I poliedri

Abbiamo visto che i solidi si suddividono in…

• Poliedri, se la sua superficie è formata esclusivamente da poligoni

• Solidi a superficie curva se, la sua superficie è parzialmente curva

Poliedri regolari

• Un poliedro è regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari e congruenti e tutti i diedri e gli angoloidi sono congruenti fra loro

• I Poliedri regolari sono solo cinque e prendono il nome di solidi platonici

I poliedri non regolariI prismi e le piramidi

Un prisma è

• Un poliedro costituito da due poligoni congruenti, posti su piani paralleli, e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni di base

• I poligoni di base danno il nome al prisma

Riconosci i prismi

Le parti di un prisma

Faccia laterale

Base

Spigolo di base

Spigolo laterale

Altezza

•L’insieme delle facce laterali del prisma prende il nome di SUPERFICIE LATERALE•L’insieme delle superficie di base del solido prende il nome di Superficie di base Sb•L’insieme di tutte le facce del prisma laterale e di base prende il nome di SUPERFICIE TOTALE

Diagonale

• Prisma obliquo: se tutte le facce laterali sono parallelogrammi e l’altezza

non coincide con uno degli spigoli

• Prisma retto: se tutte le facce laterali sono perpendicolari alle basi e

l’altezza coincide con uno degli spigoli

• Prisma regolare: se è retto e le basi sono poligoni regolari (le facce laterali

sono rettangoli uguali fra loro).

Per visualizzare la superficie di un solido si ricorre ad una

operazione chiamata “sviluppo sul piano del solido” e ci

permette di

capire come si calcola la misura dell’area di un solido

Lo sviluppo di un solido è la superficie che si ottiene

riportando su un piano le facce che lo compongono.

Lo sviluppo di un solido consiste

nel distendere su una superficie piana tutte le facce,

laterali e di base, del solido.

La superficie di un solido

Osservando lo sviluppo sul piano del

prisma ci accorgiamo che la superficie

laterale del prisma coincide con il

rettangolo ABCD.

Questo rettangolo ha la base AB

congruente al perimetro di base del

prisma e l’altezza AD congruente

all’altezza del prisma.

Superficie laterale e totale dei prismi

A

C

B

D

In definitiva la superficie laterale del prisma si ottiene

moltiplicando il perimetro del poligono di base del

prisma per l’altezza:

Sl = p x h P= Sl : h h = Sl : p

P.s. ricorda dire superficie o dire Area è la stessa

cosa

Superficie totale

La superficie totale è data dalla somma della superficie laterale e dell’area delle due basi:

St = Sl + 2Ab

Formule inverse

Sl = St – 2Ab Ab = St - Sl

Esempio • un prisma retto ha per base un rettangolo le cui dimensioni

misurano 4 cm e 7 cm. Sapendo che l’altezza del prisma misura 20 cm, calcolane l’area della superficie laterale e totale

AB = A’B’= 7cm

BC = B’C’ = 4cm

BB’ = 20 cm

Sl = p x h =

P b = (AB + BC) x 2 = (7+4) x 2 = 22 cm

Sl = 22 x 20 = 440 cm2

St = Sl + 2 x Ab =

Ab = b x h = 7 x4 = 28 cm2

St = 440 + 2 x 28 = 496 cm2

Il volume dei prismi

• Per comprendere la formula che ci permette di calcolare il volume di un prisma, consideriamo il caso di un parallelepipedo rettangolo avente le dimensioni di base di 4 cm e 6 cm e l’altezza di 5 cm. Scegliamo come unità di misura il cm3, calcolare il volume del parallelepipedo significa trovare quanti cubetti con lo spigolo da 1 cm3, esso può contenere.

= 1 cm3

6 cm4 cm

5 cm

6 cm 4 cm 5 cm x = 24 cm x = 120cm3

In definitiva e in generale per calcolare il volume di un prisma basta calcolare l’area del poligono di base (rettangolo rosa) e moltiplicarla per l’altezza del prisma V = Abase ∙ h da cui Abase = V / h h = V/ A base

Avvertimento !!!!!

• Quando devi trovare il Volume dei solidi ricordati che devi stare attento all’unità di misura

Se V è in Allora P è in E Ps è in

dm3 Kg Kg/dm3

cm3 g g/cm3

m3 t t/m3

• Il rapporto tra peso e volume di una sostanza prende il nome di peso specifico (ps)

• Quindi Ps = P/V• Dalle formule inverse P = Ps x V• V = P / Ps• Quindi il volume di un corpo si può ricavare

dal peso specifico della sostanza

Un prisma particolare Il parallelepipedo

È un prisma retto le cui basi sono dei

parallelogrammi.

Ovviamente anche le facce saranno dei

parallelogrammi

Nel parallelepipedo retto le diagonali sono

quattro e si incontrano in un punto O che li

divide a metà

In generale per il calcolo dell’Area laterale

e totale del parallelepipedo valgono le

stesse formule dei prismi

A

E

D

F

I G

B

C

O

il parallelepipedo rettangolo

Se i poligoni di base sono dei

rettangoli abbiamo il parallelepipedo

rettangolo, tutte e 6 le facce sono

quindi dei rettangoli a due a due

congruenti e paralleli. I tre spigoli

che escono da uno stesso vertice si

chiamano dimensioni del

parallelepipedo e sono lunghezza

larghezza e altezza

V = a ∙ b ∙ c

a = V / b∙c

b = V / a∙c

c = V / a ∙b

ab

c

Slaterale = Abase ∙ 4 = l2 ∙ 4

l =

Stotale = Abase ∙ 6 = l2 ∙ 6

l =

Il cubo è un particolare

parallelepipedo rettangolo avente

le tre dimensioni congruenti

Nel caso del cubo, poiché le facce

sono quadrati congruenti sarà

sufficiente trovare l’area di una

faccia e moltiplicarla per 4 per

avere l’area della superficie

laterale e per 6 per avere l’area

della superficie totale

Misura della diagonale di un parallelepipedo retto

Nel parallelepipedo rettangolo vi sono 4

diagonali congruenti.

C

A

E

D

F

I G

Ba

b

cConsideriamo una diagonale e osserviamo il

triangolo ACG. Poiché si tratta di un triangolo

rettangolo e la diagonale è ipotenusa del

triangolo, possiamo applicare il teorema di

Pitagora.

diagonale =

Ma, poiché AC, diagonale del rettangolo di

base, è ipotenusa del triangolo rettangolo ABC,

AC =

AC2 + CG2

AB2 + BC2

In definitiva la diagonale

del parallelepipedo è ….

AB2 + BC2 + CG2

Poiché il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo possiamo applicare la stessa formula.

Ma nel cubo le tre dimensioni sono uguali, allora

Perché? Riflettiamoci insieme

d = l ∙

La diagonale nel cubo

3

AB2 + BC2 + CG2

l = d / 3 l2 + l2 + l2 l2 ∙ 3 = =

Esercizio

• Calcola la misura della diagonale di un parallelepipedo sapendo che le dimensione di base sono 12 cm e 16 cm e l’altezza è di 21 cm

• (29 cm)• La diagonale di un parallelepipedo rettangolo

misura 10 cm mentre le dimensioni di base sono 3,6 cm e 4,8 cm. Determina la misura dell’altezza del prisma

La piramide

Le piramidiSi dice piramide un

poliedro limitato da un poligono qualunque, detto base, e da tanti

triangoli quanti sono i lati del poligono, aventi tutti

un vertice comune.

Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base.

PIRAMIDE TRIANGOLARE

PIRAMIDE QUADRANGOLARE

PIRAMIDE PENTAGONALE

faccialaterale

Piramidi rette e regolariUna piramide si dice retta se ha per

base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dell’altezza.

Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base

un poligono regolare.

QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO

PENTAGONOREGOLARE

Alcuni esempiIl solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base.

Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q.

• Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale? …….

Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati? ……………………..

Prova tu

6

isoscele

In una piramide retta le facce triangolari laterali hanno tutti la stessa altezza, che prende il nome di apotema

ATTENZIONE!!!! Non confondere l’apotema della piramide con l’apotema del poligono di base che coincide con il raggio della circonferenza

Come avrai notato

l’apotema di una piramide

coincide con l’ipotenusa di

un triangolo rettangolo che

ha come cateti l’altezza

della piramide e il raggio

della circonferenza

inscritta nel poligono.

POSSIAMO ALLORA RICORRERE AL

TEOREMA DI PITAGORA PER TROVARE

I TRE SEGMENTI?

LO HAI NOTATO?!!!!?

apotema

altezzaraggio

• Trova l’apotema di una piramide reqolare quadrangolare, che

ha l’altezza di 12 cm e il raggio di 3,5 cm. (12,5 cm)

• Trova lo spigolo di base di una piramide regolare triangolare

alta 60 cm e con l’apotema di 61 cm (22 cm)

• Una piramide retta a base quadrata ha lo spigolo di base di 16

cm e l’apotema di 15 cm. Trova la lunghezza dello spigolo

laterale. (17 cm)

Osservando lo sviluppo sul piano di una piramide regolare si nota che la superficie

laterale è formato da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono di base.

Questi triangoli, hanno tutti la stessa altezza (apotema della piramide).

Questi triangoli sono equivalenti a un unico triangolo che ha per base il perimetro del

poligono di base e per altezza l’apotema della piramide.

Poiché l’area del triangolo è

A = (b ∙ h) : 2

la superficie laterale è

Sl = (2p ∙ a) : 2

da cui

2p = (2 ∙ Sl) : a a = (2 ∙ Sl ) : 2p

La superficie totale si trova come nei prismi

Il volume della piramide

Per capire come si calcola il volume della piramide possiamo ricorrere ad un

esperimento.

Costruiamo una piramide e un prisma con lo stesso poligono di base e la stessa

altezza.

Riempiamo la piramide di sabbia e versiamola nel prisma.

Che cosa noti?

Poiché il volume del prisma si ottiene

V = Abase ∙ h

Il volume della piramide è

V = (Abase ∙ h) : 3