1

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Витебский государственный

университет имени П.М. Машерова»

ХI МАШЕРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ

Материалы международной

научно-практической конференции

студентов, аспирантов

и молодых ученых

Витебск, 18 октября 2017 г.

Витебск

ВГУ имени П.М. Машерова

2017

2

УДК 378.147.88(063)+378.4(476.5)(063) ББК 74.480.278я431+74.483(4Беи-4Вит)я431

O-42

Печатается по решению научно-методического совета учреждения образования «Витебский го-

сударственный университет имени П.М. Машерова». Протокол № 5 от 19.06.2017 г.

Редакционная коллегия:

И.М. Прищепа (главный редактор),

И.А. Красовская, М.Л. Дорофеенко, А.П. Косов,

В.Л. Пугач, Г.В. Разбоева

Р е ц е н з е н т ы :

канд. биол. наук, доцент В.Я. Кузьменко;

канд. ист. наук, доцент А.Н. Дулов;

доктор физ.-мат. наук, профессор Н.Т. Воробьев;

канд. психол. наук, доцент С.В. Лауткина;

доктор пед. наук, доцент С.В. Николаенко;

доктор филол. наук, профессор А.М. Мезенко;

канд. юрид. наук, доцент И.И. Шматков

О-42

XI Машеровские чтения : материалы международной научно-практической конферен-

ции студентов, аспирантов и молодых ученых, Витебск, 18 октября 2017 г. / Витеб. гос. ун-т ;

редкол.: И.М. Прищепа (гл. ред.) [и др.]. – Витебск : ВГУ имени П.М. Машерова, 2017. – 543 с.

ISBN 978-985-517-629-0.

В сборник включены материалы, представленные авторами на международной научно-практической конферен-

ции студентов, аспирантов и молодых ученых «ХI Машеровские чтения», посвященные решению актуальных научных

проблем по естественным, техническим, гуманитарным наукам, а также методикам их преподавания. Материалы могут

быть использованы научными работниками, преподавателями, аспирантами и студентами учреждений высшего обра-зования, учителями гимназий и школ.

УДК 378.147.88(063)+378.4(476.5)(063)

ББК 74.480.278я431+74.483(4Беи-4Вит)я431

ISBN 978-985-517-629-0 © ВГУ имени П.М. Машерова, 2017

3

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ,

ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В ОБРАЗОВАНИИ

И ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССАХ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГРАММЫ «FRACTAL PLUS» ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ

Алантьев Д.С. студент 4 курса ВГУ имени П.М. Машерова, г. Витебск, Республика Беларусь

Научный руководитель – Ализарчик Л.Л., канд. пед. наук, доцент Одним из быстро развивающихся разделов математики является фрактальная геометрия, ос-

новным объектом которой являются фракталы. Они находят широкое применение во многих об-ластях науки, таких, как математика, физика, биология, экономика [1].

Учитывая сложность построения многих фракталов вручную, чаще всего для получения их изображений используют компьютерную графику. В настоящее время существуют про-граммы, позволяющие создавать фракталы, однако в основном они лишь генерируют изобра-жения алгебраических фрактальных объектов и носят исключительно демонстрационный ха-рактер.

Поэтому целью работы является разработка программного средства «FractalPlus» как ин-струмента, позволяющего создавать широкое разнообразие фрактальных объектов и проводить их анализ.

Материал и методы. Для создания программного продукта используется среда разра-ботки Microsoft Visual Studio 2015 и язык программирования C#. Визуализация графических примитивов осуществляется средствами открытой графической библиотеки OpenGL.

Результаты и их обсуждение. Разрабатываемое программное средство «FractalPlus» имеет три функциональных режима: режим генерации фракталов и режимы построения фрактальных объектов с помощью L-систем или систем итерируемых функций.

В режиме генерации фракталов в программе «FractalPlus» пользователь может получить изображения известных алгебраических и геометрических фракталов. Основой алгоритма по-строения алгебраических фракталов в разрабатываемой программе является многократное вы-числение выражения zi+1=zi

2+C, где zi – комплексная переменная, C – комплексный параметр.

Наиболее известным алгебраическим фракталом является множество Мандельброта, изображе-ние которого можно получить в программе «FractalPlus» (рис. 1).

Не менее популярным является метод построения фракталов, основанный на комплекс-ной динамике. В результате образуются биоморфы – фракталы, напоминающие живые орга-низмы. Подобного рода фрактальный объект, полученный в разрабатываемой программе, пред-ставлен на рисунке 2.

Рисунок 1 – Множество Мандельброта Рисунок 2 – Биоморф

В программе «FractalPlus» при генерации алгебраических фракталов имеется возмож-

ность изменения начальных параметров. Проводя компьютерный эксперимент, можно заме-

4

тить, что малейшие изменения параметров приводят к весьма существенным деформациям гра-ниц множества, что создает большое их разнообразие.

В режиме построения фрактальных объектов с помощью L-систем можно получать такие математические объекты, как кривые Гилберта, Пеано и др. Особое внимание привлекает воз-можность строить изображения, напоминающие природные объекты – деревья и кусты. Пример трехмерного изображения природного объекта, напоминающего ветви дерева, полученный в

разрабатываемой программе «FractalPlus», представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Фрактальный объект в L-системе

Графическая реализация L-систем использует так называемую тертл-графику, в которой точка движется в указанном направлении дискретными шагами, прочерчивая свой след в про-странстве [2].

В режиме «Системы итерируемых функций» пользователь имеет возможность строить фрактальных двумерные объекты на основе аффинных преобразований. Для этого необходимо задать таблицу чисел, где каждая строка соответствует определенной функции. Последний столбец таблицы – вероятности выбора каждой из функции. Сумма значений данного столбца не должна превышать единицы.

Рисунок 4 – Фрактальный объект на основе аффинных преобразований

На этапе разработки программа «FractalPlus» позволяет: осуществлять генерацию алгеб-раических и геометрических фракталов; с помощью L-систем или систем итерируемых функ-ций строить фрактальные объекты, которые можно масштабировать, перемещать, вращать, а также сохранять для последующей работы с ними.

Заключение. В настоящее время продолжается исследование способов применения разра-батываемой программы, добавляются новые алгоритмы построения фракталов.

1. Морозов, А.Д. Введение в теорию фракталов / А.Д. Морозов. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследова-

ний, 2002. – 160 с. 2. Кроновер, Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р.М. Кроновер. – М.: Постмаркет, 2000. – 352 с.

5

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

НА ПРОЕКЦИОННЫХ ЧЕРТЕЖАХ

Алейников М.А., Хапанков В.И.

магистранты ВГУ имени П.М. Машерова, г. Витебск, Республика Беларусь Научный руководитель – Ализарчик Л.Л., канд. пед. наук, доцент

Учителю, преподающему математику в старших классах, известны определенные труд-

ности, которые возникают в процессе изучения стереометрии буквально с первых ее уроков. Начальные сведения по стереометрии имеют абстрактный характер, усвоение материала стро-ится на заучивании, и, таким образом, намечается формализм в знаниях учащихся. Они теряют интерес к дисциплине, и многие из них считают стереометрию трудным школьным предметом [1].

Накопленный педагогический опыт использования компьютерной графики подтверждает эффективность работы с виртуальными динамическими изображениями: подвижные чертежи создают сильное впечатление глубины, построения с помощью компьютерных средств прово-дятся быстрее и качественнее, благодаря обратной связи ученики могут контролировать свое решение оперативно и самостоятельно [2].

Цель работы – на основе анализа дидактических возможностей и обобщения педагогиче-ского опыта применения информационных технологий разработать и апробировать программный продукт «Editor-Sections» для работы с проекционными чертежами.

Материал и методы. За основу создания приложения была взята технология OpenGL. OpenGL (OpenGraphicsLibrary) – спецификация, определяющая независимый от языка про-граммирования программный интерфейс для написания приложений, использующих двумер-ную и трѐхмерную компьютерную графику. Основным принципом работы OpenGL является получение наборов векторных графических примитивов в виде точек, линий и треугольников с последующей математической обработкой полученных данных и построением растровой кар-тинки на экране или в памяти.

На данном этапе исследования проводится педагогический эксперимент, в котором уча-ствуют студенты факультета математики и информационных технологий ВГУ имени П.М. Ма-шерова и учащиеся учреждений среднего специального образования.

Результаты и их обсуждение. Разрабатываемая программа «Editor-Sections» использует математический аппарат – аксиомы и теоремы стереометрии, которые изучаются учащимися в школьном курсе геометрии.

Задачник приложения на данном этапе содержит 98 задач, дифференцированных по ти-пам согласно действующим учебным пособиям по стереометрии. Благодаря понятному интер-фейсу преподаватель, использующий программный продукт, может добавлять новые типы за-дач, создавать задачи и чертежи в любой из тем в неограниченном количестве.

Построение плоских сечений многогранников по праву считается одной из сложнейших математических задач, так как охватывает практически все графические умения (от анализа изображения фигуры до построения многоугольника сечения). В результате исследования с помощью приложения «Editor-Sections» апробированы различные методы построения сечений, например, метод следов, метод внутреннего проектирования, метод переноса секущей плоско-сти, а также наиболее часто встречающийся комбинированный метод.

В программе реализована возможность создания обучающих алгоритмов решения задач, способствующих лучшему пониманию и усвоению методов построения на проекционных чер-тежах.

В приложении предусмотрена обратная связь учителя и ученика. С помощью соответст-вующих режимов «Editor-Sections» позволяет создавать и редактировать неограниченное коли-чество вариантов тестов, включая в них имеющиеся в программе задачи. На рисунке 1 пред-ставлен рабочий тест, который содержит 4 задачи по разным темам.

Компьютерная программа «Editor-Sections» на данном этапе разработки позволяет: - создавать изображения призм и пирамид; - имитировать вращение в пространстве изображений тел; - строить дополнительные точки на ребрах фигур; - находить точки пересечения прямых; - проводить прямые через заданные точки;

6

- строить прямую, параллельную данной; - решать задачи на построение сечений различными методами; - конструировать задачи для последующего решения; - создавать демо-ролики; - создавать тесты из имеющегося набора задач.

Рисунок 1 – Разработанный тест с задачами

Заключение. В настоящее время продолжается изучение возможностей использования технологии OpenGL для реализации разрабатываемого программного продукта, совершенству-ется интерфейс, а также программа наполняется контентом геометрических фигур и задач. В перспективе видится необходимым провести апробацию тестовой базы программы в учрежде-ниях общего среднего, среднего специального и высшего образования, создать демонстрацион-ные материалы для формирования умений решать задачи на построение перпендикуляров на проекционных чертежах различными методами.

1. Литвиненко, В.Н. Сборник задач по стереометрии / В.Н. Литвиненко. – М.: Москва, «Посвещение», 1998. – 237 с. 2. Ализарчик, Л.Л. Современные подходы к использованию информационных и коммуникационных технологий при изучении

математики / Л.Л. Ализарчик // Современное образование Витебщины.– №1(1). – 2013. – С. 26-31. 3. Шлее, М. Qt 4.8 Профессиональное программирование на С++ / М. Шлее. – М.: Санкт-Питербург, 2012. – 858 с.

О НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНЫМИ НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ

УСЛОВИЯМИ НЕЙМАНА

Ашыров А.А. студент 2 курса ВГУ имени П.М. Машерова, г. Витебск, Республика Беларусь

Научный руководитель – Кавитова Т.В.

Рассматривается нелинейное параболическое уравнение

),,0(,,),( Ttxudytyuuuut

(1)

с нелинейным нелокальным граничным условием

),,0(,,),(),(),(

Ttxdytyuyxktxu

(2)

и начальным условием

,),()0,( 0 xxuxu (3)

где T > 0, – ограниченная область в пространстве ,1, nRn с гладкой границей ,

– внешняя единичная нормаль к . Относительно данных задачи (1)–(3) делаются следующие предположения:

;0),(),(),( yxkCyxk

7

.,)(),()(

,,0)(),()( 00

01

0

xdyyuyxkxu

xxuCxu

Пусть }.0{),,0(),,0( TTTT STSTQ

Определение. Назовем неотрицательную функцию )()(),( 1,01,2 TTT QCQCtxu

верхним решением задачи (1)–(3), если

.),()0,(

,),(,),(),(),(

,),(,),(

0

xxuxu

Stxdytyuyxktxu

Qtxudytyuuuu

T

Tt

(4)

Неотрицательную функцию )()(),( 1,01,2 TTT QCQCtxu назовем нижним реше-

нием задачи (1)–(3), если неравенства (4) выполнены с противоположным знаком. Функцию

),( txu будем называть решением задачи (1)–(3), если ),( txu одновременно является верхним и

нижним решением задачи (1)–(3). Теорема. Пусть ),( txu и ),( txu – соответственно верхнее и нижнее решения задачи (1)–

(3). Тогда ),(),( txutxu при TTQtx ),( .

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СОВРЕМЕННЫХ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ

В КАЧЕСТВЕ ИНСТРУМЕНТА ДЛЯ РАЗРАБОТКИ ПРОГРАММЫ

СОЗДАНИЯ ВИДЕОУРОКОВ

Боровский А.С.

учащийся 3 курса Оршанского колледжа ВГУ имени П.М. Машерова,

г. Орша, Республика Беларусь

Научный руководитель – Карманов А.В., магистр физ.-мат. наук, преподаватель

Видеоурок – это дистанционная форма обучения, с помощью которой можно изменить

классическую форму преподавания, заменив чтение лекций преподавателем у доски на запись

этого действия на видеокамеру или выполняемых действий на компьютере с голосом.

Обычное речевое изложение материала с использованием доски не всегда эффективно

ввиду малой наглядности, так как в некоторых случаях невозможно полностью все отобразить

на доске. Другой вариант подачи учебного материала на лабораторных и практических заняти-

ях – описание работы на бумажных носителях, в текстовом файле, гипертекстовом документе.

Текстовое описание работы с пошаговыми инструкциями – процесс трудоѐмкий, с большими

временными затратами как для обучаемого, читающего текст, так и для учителя, разрабаты-

вающего методические указания.

Эффективным средством решения описанных проблем, является использование видеоме-

тода, основа которого – видеоурок. Видеоуроки – активно использующееся и развивающееся

средство образовательной технологии.

Видеометод, как никакой другой метод, отвечает основному принципу обучения – прин-

ципу наглядности и представляет собой особый вид организации учебного процесса, заклю-

чающийся в том, что на уроках используется различное видео оборудование: экран, проектор, и

т.д. В настоящее время видеоуроки позволяют удовлетворить спрос на качественные знания,

оказать помощь как учителю, так и ученику.

Наравне со стандартными способами обучения во многих случаях удобно использовать

видеоуроки по различным дисциплинам и направлениям. Использование видеоурока в обуче-

нии кроме визуального восприятия материала дает еще и образное представление об изучаемом

материале. Преимуществами видеоуроков, являются их максимальная доступность и соответ-

ствие уровню развития современных научных знаний.

Программы для создания видеоуроков в последнее время набирают популярность и ста-

новятся всѐ более распространѐнными.

8

Цель исследование – написание программы для создания видеоуроков, которая будет не-

требовательна к ресурсам компьютера, а также будет проста в использовании.

Материал и методы. Для решения поставленной задачи была выбрана среда программи-

рования Delphi 7. Выбор среды программирования обусловлен следующими факторами:

быстрота разработки приложения;

низкие требования разработанного приложения к ресурсам компьютера;

высокая производительность разработанного приложения;

улучшенная отладка программ;

визуальное построение приложений позволяет быстро и качественно создать интерфейс про-граммы. Так же при разработке программы были использованы методы библиотеки AviWriter.dll.

Результаты и их обсуждение. В результате решения поставленной задачи была разрабо-

тана программа для создания видеоуроков.

Разработанная программа выполняет следующие функции:

– создание скриншотов выделенной области; – изменение настроек качества видео; – создание видео с голосовым сопровождением. Действия, происходящие на экране, а также в некоторых приложениях, данная программа

запишет в видео avi формата. В программе для создания видеоуроков реализовано следующее:

– создание и сохранение видео; – изменение настроек качества видео; – запись видео с голосовым сопровождением; – скриншот выделенной области; – установка пользовательских настроек Заключение. Создание и применение видеоуроков позволяет творчески подойти к изло-

жению учебного материала. Качественно подготовленный видеоурок дает возможность реали-

зовать индивидуальный подход. Разработанная программа для создания видеоуроков позволяет

создавать видеоуроки, имеет простой и понятный интерфейс, обладает высокой скоростью ра-

боты и при этом нетребовательна к ресурсам компьютера. 1. Технологии создания электронных обучающих средств [Электронный ресурс]. / Г.А. Краснова, М.И. Беляев, А.В. Со-

ловов //. сайт Института дистанционного образования Российского университета дружбы народов. Режим доступа – http://ido.rudn. ru/ido.aspx?id=book2 - дата доступа 18.07.2017

АБ ІНТЭГРАЛЬНЫМ ВЫЯЎЛЕННІ КВАТЭРНІЁННЫХ F-МАНАГЕННЫХ ФУНКЦЫЙ Варонін А.М.

студэнт 2 курса Міжнароднага ўніверсітэта ―МІТСО‖, г. Мінск, Рэспубліка Беларусь Навуковы кіраўнік – Шылінец У.А., канд. фіз.-мат. навук, дацэнт

У.А. Гусеў у працы [1] вывучаў кватэрніѐнныя манагенныя ў сэнсе У.С. Фѐдарава (F-манагенныя ) функцыі [2] на плоскасці. У працах [3–5] даследаваліся F-манагенныя кватэрніѐнныя функцыі трох і чатырох рэчаісных зменных.

У дадзенай працы даследуюцца F-манагенныя кватэрніѐнныя функцыі, адрозныя ад раней разгледжаных. Для гэтых кватэрніѐнных функцый атрымана інтэгральнае выяўленне і рэшана краявая задача.

Няхай D – адназвязны абсяг трохмернай рэчаіснай эўклідавай прасторы ),,(3 zyxE .

Разгледзім кватэрніѐнныя функцыі выгляду

kzyxfjzyxfizyxfzyxff ),,(),,(),,(),,( 4321 , zjyixp 321 , дзе

4321 ,,, ffff – рэчаісныя функцыі класа )(1 DC , kji ,,,1 – базіс алгебры кватэрніѐнаў

( ,,,,,,1,1,1 222 jkiikjijkkjikijkji jik ), )3,2,1( nn –

такія рэчаісныя лікі, што 21

23

22 . Для любых пунктаў ),,( zyxM і ),,( zyxM абсягу D

мяркуем )()( MfMff , )()( MpMpp .

Азначэнне. Кватэрніѐнная функцыя f называецца F-манагеннай) [2] па кватэрніѐннай

http://ido.rudn/

9

функцыі p у абсягу D , калі існуе такая кватэрніѐнная функцыя

kzyxjzyxizyxzyx ),,(),,(),,(),,( 4321

( )4,3,2,1(),,( izyxi – адназначныя рэчаісныя функцыі пункта ( zyx ,, ) абсягу D ), што для любога фіксаванага пункта DM і любога зменнага пункта DM маем

),()( MMMpf , дзе 0),(

MM пры 0 , MM .

Лѐгка паказаць, што калі функцыя f – F-манагенная па функцыі p у абсягу D , то існуюць

частковыя вытворныя z

f

y

f

x

f

,, , і пры гэтым

z

p

z

f

y

p

y

f

x

p

x

f

,, . Абазначым

функцыю праз p

f

. Тады апошнія роўнасці можна запісаць у выглядзе

p

f

z

p

z

f

p

f

y

p

y

f

p

f

x

p

x

f

,, . (1)

Разгледзім наступную краявую задачу.

Задача. Няхай V – трохмерны абмежаваны абсяг з граніцай ( DVD , ). Мяркуем

далей, што p і функцыя f, F-манагенная па p , вызначаны на замкнутай двухмернай паверхні ,

гомеаморфнай сферы канечнага дыяметра і дастаткова гладкай для магчымасці скарыстать формулу Астраградскага. Патрабуецца знайсці ў любым унутраным пункце абсягу V значэнне

функцыі f, F-манагеннай па p, калі вядомы яе значэнні на паверхні .

Для функцыі kzyxfjzyxfizyxfzyxff ),,(),,(),,(),,( 4321 і адвольнага

пункта ),,( 000 zyxM лічым [6]:

,)}(

)()({

133

1223211

fdzx

j

yxi

zj

yi

xI

(2)

дзе 321 ,, – кіроўныя косінусы вонкавай нармалі да паверхні у яе бягучым пункце

),,( zyxP , 22

02

0 )()()( zzyyxxr , ,30

r

xx

x

,

3

0

r

yy

y

3

0

r

zz

z

.

Няхай M – любы дадзены пункт абсягу D , VM . Тэарэма 1. Для любой кватэрніѐннай функцыі f, F-манагеннай па кватэрніѐннай функцыі

p у абсягу D , маем 0I , дзе I вызначаецца роўнасцю (2).

Доказ. Па формуле Астраградскага атрымоўваем

.})()(

)(){(

1312

3212

2

2

2

2

2

dVz

f

zxj

y

f

yxi

x

f

zj

yi

xf

zyxI

V

Адсюль і з умоў (1) F-манагеннасці функцыі f па функцыі p у абсягу D , паколькі

02

2

2

2

2

2

zyx

, атрымоўваем 0I .

Тэарэма 2. Калі кватэрніѐнная функцыя f з‘яўляецца F-манагеннай па кватэрніѐннай

функцыі p у абсягу D , то для любога пункта M, які ляжыць унутры V, маем

.})(

)(){(4

1)(

313

2121321

1

fdjzx

iyxzyx

Mf

(3)

10

Доказ. Няхай 1 – сфера з цэнтрам у пункце ),,( 000 zyxM , якая размешчана ўнутры .

Калі l – радыус сферы 1 , то маем

.})(1

{})(

)(){(

1123

22

21213113

2112332211

1

1

1

fdl

fdz

j

yi

xjiI

(4)

Вядома, што

3

1

2 1k

k, dld 21 ( d – элемент адзінкавай сферы). З роўнасці (4)

атрымаем

1

14

1)(

IMf . (5)

З тэарэмы 1 вынікае, што II 1 . Тады з роўнасці (5) атрымаем інтэгральнае выяўленне

(3). Пры дапамозе інтэгральнага выяўлення (3) і рашаецца сфармуляваная краявая задача.

1. Гусев, В.А. О кватернионных функциях, моногенных в смысле В.С. Фѐдорова / В.А. Гусев // Успехи математических

наук, 1965. – Т. 20.– Вып. 1(121). – С. 203–208. 2. Фѐдоров, В.С. Основные свойства обобщѐнных моногенных функций / В.С. Фѐдоров // Известия вузов. Математика,

1958. – №6.– С. 257–265. 3. Стэльмашук, М.Т. Аб інтэгральным выяўленні кватэрніѐнных F-манагенных функцый аднаго класа / М.Т. Стэльмашук,

У.А. Шылінец // Весці БДПУ. Серыя 3, 2005. –№2. – С. 8–10. 4. Стэльмашук, М.Т. Рашэнне краявой задачы для кватэрніѐнных функцый чатырох рэчаісных зменных /

М.Т. Стэльмашук, У.А. Шылінец, Г.Ф. Падабед // Весці БДПУ. Серыя 3, 2006. – №1. – С. 12–14. 5. Стэльмашук, М.Т. Аб кватэрніѐнных манагенных у сэнсе У.С. Фѐдарава функцыях / М.Т. Стэльмашук, У.А. Шылінец,

Г.А. Андрэева // Весці БДПУ. Серыя 3, 2010. –№1. – С. 11–13. 6. Фѐдоров, В.С. Об одном обобщении интеграла типа Коши в многомерном пространстве / В.С. Фѐдоров // Известия

вузов. Математика, 1957. – №1. – С. 227–233.

О ЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАНИЯХ МНОЖЕСТВ ХАРТЛИ Василевич Т.Б.

аспирант ВГУ имени П.М. Машерова, г. Витебск, Республика Беларусь Научный руководитель – Воробьев Н.Т., доктор физ.-мат. наук, профессор

Все рассматриваемые группы конечны. Мы будем использовать стандартную терминоло-

гию из [1, 2, 3].

Идея локализации – одна из ведущих в теории групп. Благодаря развитию локального ме-

тода Гашюцом, Фишером и Хартли в [4] были обобщены классические теоремы Силова и Хол-

ла. Ими было установлено, что если F – непустой класс Фиттинга, то разрешимая группа имеет

точно один класс сопряженных F-инъекторов.

Основная цель настоящей работы – развитие локального метода Хартли и изучение

свойств H-функций, определяющих локально множества Хартли. Предварительные сведения. Напомним, что классом групп называется множество

групп, которое вместе с каждой своей группой содержит все изоморфные ей группы. Классом

Фиттинга называют класс групп F, замкнутый относительно нормальных подгрупп и произве-

дений нормальных F-подгрупп. Из определения класса Фиттинга следует, что для каждого непустого класса Фиттинга

F любая группа G имеет единственную максимальную нормальную F-подгруппу, которую на-зывают F-радикалом G и обозначают GF.

Для каждого непустого класса групп F, подгруппа V группы G называется F-максимальной,

если V F и U=V всякий раз, когда V U G и U F. Подгруппа V группы G называется

F-инъектором G, если V K является F-максимальной подгруппой K для всякой субнормаль-ной подгруппы K группы G.

Следуя [5], множеством Фиттинга группы G назовем непустое множество F подгрупп группы G, если выполняются следующие условия: 1) если T ⊴ S F, то T F; 2) если S, T F и

11

S, T ⊴ ST, то ST F; 3) если S F и x G, то S x F. Понятие F-инъектора группы для множества Фиттинга группы G определяется аналогич-

но как и для класса Фиттинга.

Следуя [6], функцию h: ℙ →{множества Фиттинга группы G} назовем функцией Хартли

(или кратко H-функцией) группы G. Напомним, что произведением F ∘ X множества Фиттинга группы G и класса Фиттинга X [7] называется множество подгрупп {H G: H/ HF X}.

Символы Ep', Np обозначают соответственно класс всех p'-групп, всех нильпотентных p-групп.

Пусть π ℙ, h – функция Хартли группы G и HS(h) = pπ h(p) ∘ (Ep' Np). Множество Фиттинга H группы G назовем множеством Хартли группы G, если H = HS(h) для некоторой H-функции h.

Пусть π ℙ и h – H-функция множества Хартли H группы G. Тогда h назовем: 1) приведенной, если h(p) H для всех p π; 2) полной, если h(p) h(q) ∘ Eq' для всех различных p, q π; 3) полной приведенной, если h является одновременно полной и приведенной;

4) постоянной, если h(p) = h(q) для всех различных p, q π. Результаты.

Основной результат работы следующая

ТЕОРЕМА. Каждое множество Хартли может быть определено с помощью полной

приведенной H-функции. Заключение.

В настоящей работе определена H-функция, определяющая любое множество Хартли. 1. Doerk, K. Finite solvable groups / K. Doerk, T. Hawkes. – Berlin–New York : Walter de Gruyter, 1992. – P.891. 2. Guo, W. Structure Theory for Canonical Classes of Finite Groups / W. Guo. – Springer, 2015. – P. 360. 3. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. – Beijing-New York-Dordrecht-

Boston-London: Science Press-Kluwer Academic Publishers, 2000. – P. 385. 4. Gaschьtz, W. Injektoren endlicher auflцsbarer Gruppen / W. Gaschьtz, B. Fischer, B. Hartley // Math. Z. – 1967. – № 102. –

P. 337-339. 5. Anderson, W. Injectors in finite soluble groups / W. Anderson // J. Algebra. –1975. – №36. – С. 33-338. 6. Воробьев, Н.Т. О предположении Хоукса для радикальных классов / Н.Т. Воробьев // Сиб. матем. журн. – 1996. –

№ 37(6). – С. 1296-1302. 7. Семенов, М. Г. Формула инъектора конечной π-разрешимой группы / М. Г. Семенов // Проблемы физики, математики

и техники. – 2014. – № 4(21). – С. 77-88.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДЫ «ЖИВАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ПРИ ОБУЧЕНИИ ПОСТРОЕНИЮ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ Васильева М.О.

магистрант 2 курса ПсковГУ, г. Псков, Российская Федерация Научный руководитель – Медведева И.Н., канд. физ.-мат. наук, доцент

Задачи на построение сечений многогранников, изучаемые в начале курса стереометрии

средней школы, являются важным дополнением к теоретическому материалу. Решение этих задач формирует пространственные представления учащихся и развивает конструктивное и ло-гическое мышление. Стереометрическая задача, в которой проверяется умение построить сече-ние многогранника и найти какую-либо его геометрическую характеристику, входит в состав ЕГЭ по математике с 2010 года. Выпускники, как правило, берутся за решение данной задачи, так как она проста в формулировке, и кажется для обучающихся посильной. Вместе с тем, ста-тистические данные по результатам ЕГЭ по математике за последние три года показывают, что 95% выпускников Псковской области, бравшихся за решение задачи 14 (ранее С2), получили 0 баллов, только 2% получили 2 балла, и 3% получили 1 балл [3]. На диаграммах (См. рис.1) представлены сопоставительные результаты решаемости задачи С2 по Псковскому региону и в целом по России (данные ФИПИ), из которых следует, что решаемость этой задачи плохая по стране в целом, а псковские выпускники решают ее еще хуже, чем в целом по России.

Для изучения сложившейся ситуации нами был проведен опрос учителей математики не-которых школ Пскова, в ходе которого мы выясняли точку зрения учителей на причины неудач выпускников при решении задачи 14 (C2). Учителями были названы следующие основные при-

12

чины: у учеников плохо развито пространственное воображение, в учебниках по геометрии предлагается недостаточное количество задач по данной теме, сказывается отсутствие такого предмета, как черчение. В аналитических обзорах ФИПИ указываются следующие причины низкой успешности решения стереометрической задачи ЕГЭ по математике: наибольшие за-труднения участники испытывали при оформлении доказательства, большое количество вы-числительных ошибок. Низкая успешность выполнения этого задания свидетельствует о не-сформированности пространственных представлений у выпускников [1].

Рис. 1. Сопоставление статистических данных по заданию №14(С2)

ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Все сказанное выше позволяет сделать вывод об актуальности проблемы нашего иссле-дования, которая заключается в поиске путей использования компьютерных программ для бо-лее успешного обучения старшеклассников построению сечений многогранников, развития их пространственных представлений.

Цель исследования – разработать дополнительно к традиционной, методику обучения по-строению сечений многогранников, привлекая компьютерные программы.

Материал и методы. В исследовании в качестве рабочего материала использовались учебно-методические пособия для учителей [2], программа «Живая Геометрия», реализуются методы исследования общенаучного характера, педагогический эксперимент.

Результаты и их обсуждение. Для достижения поставленной цели мы решили использо-вать программу «Живая Геометрия», исходя из следующих соображений: данная программа про-ста в работе, совместима с любой операционной системой, в ней можно использовать систему «кнопок», которые позволяют «спрятать» или «показать» различные элементы, что помогает придумывать различные задания для обучающихся. Кроме этого, электронная программа «Живая Геометрия» является отличным помощником при построении геометрических чертежей. При создании чертежей используются стандартные геометрические операции: проведение прямой (отрезка, луча) через две точки, построение окружности по заданным центру и радиусу (или по заданному центру и точке на окружности), построение биссектрисы угла, середины отрезка, про-ведение перпендикулярных и параллельных прямых и др.

Система преобразований позволяет производить над объектами такие операции как от-ражение, растяжение, повороты, сдвиги. Во время работы с «Живой Геометрией» можно взять точку на созданном чертеже и перемещать ее по предписанной траектории. При этом будет из-меняться длина, форма линий, то есть программа позволяет «оживлять» чертежи, что позволяет развивать пространственное воображение, помочь школьникам «увидеть» полученное сечение многогранника.

Констатирующий эксперимент и опытно-экспериментальное преподавание проводится с 2015 года, в различных образовательных учреждениях г. Пскова. В ходе констатирующего эксперимента был проведен входной контроль, с целью выявления остаточных знаний у уча-щихся 11-х классов. В процессе исследования было принято решение вовлечь в эксперимент недавних выпускников различных школ Пскова и Псковской области – студентов второго кур-са физико-математического факультета, обучающихся по направлению Педагогическое образо-вание, профиль Математика. По результатам входного контроля, можно сделать вывод, что обучающиеся (и школьники и студенты) часто не представляют, какими могут быть сечения того или иного многогранника плоскостью, порой им не хватает пространственных представ-лений, они могут предложить в качестве сечения неплоскую фигуру, и не видят этого, их зна-ния и умения по построению сечений нуждаются в систематизации.

Проанализировав полученные результаты, мы начали поисковый эксперимент. Для обу-

13

чения решению задач на построение сечений многогранников нами была предложена методика,

которая наряду с традиционными методами обучения построению сечений многогранников,

включает использование среды «Живая Геометрия». Мы разработали и провели 2 занятия для

обучающихся 10 классов, также 2 занятия для обучающихся 11 классов и студентов.

Заключение. Результаты опытно-экспериментального преподавания показали, что ис-

пользование среды «Живая геометрия», наряду с традиционной методикой изучения этого ма-

териала, позволяет более успешно обучать решению задач на построение сечений многогран-

ников, повышает интерес учащихся к предмету, высвобождает время и ресурсы на содержа-

тельные и творческие виды работ. Мы считаем, что сбалансированное применение компьюте-

ров в сочетании с традиционными формами обучения открывает принципиально новые воз-

можности в обучении. Применение цифровых образовательных ресурсов позволяет активизи-

ровать деятельность учащихся, дает возможность повысить качество обучения, содействует

формированию метапредметных и предметных компетенций обучающихся.

1. Ященко И.В., Семенов А.В., Высоцкий И.Р., Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2016 года по математике. – ФИПИ. – 2016. – 42 с.

2. Медведева И.Н. Построение сечений методом следов // Углублѐнное изучение математики в десятом классе. – С. 5–7, 1993.

3. Бойцова С.Н., Полетаев И.А., Бурская Л.Ю., Яркова Л.А., Бочерашвили В.Т. Статистики результатов государственной итогов аттестации сборник по Псковской области / «Региональный центр информационных технологий» и ГБОУ ДПО ПО; «Центр

оценки качества образования». – Псков, 2015. – 64 с.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ

ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Дерунова В.Л.

4 курс, ФГБОУ ВО «Псковский государственный университет»,

г. Псков, Российская Федерация

Научный руководитель – Фахретдинова В.А., канд. физ.-мат. наук

«Метод координат» довольно эффективно может быть использован при решении широ-

кого класса геометрических задач, как планиметрических, так и стереометрических. Наиболее

сложными являются задачи по стереометрии, которые учащимся приходится решать в 10-11

классах. Это, например, задачи о нахождении угла между плоскостями, угла между прямой и

плоскостью, расстояния между точкой и плоскостью и т.п. [1]. Данные задачи можно успешно

решать и, не прибегая к методу координат, но, по нашему мнению, для решения таких задач

часто требуются дополнительные построения, не всегда очевидные. Использование же метода

координат сводит данные задачи к довольно простым арифметическим алгоритмам, которые

посильны большинству учащихся.

Материал и методы. Анализ школьных учебников показал, что данному методу не уде-

ляется достаточно внимания при изучении геометрии в школе. Поэтому для систематизации

знаний и выработки более устойчивых навыков при решении стереометрических задач целесо-

образно провести для учащихся 11 класса элективный курс по данной теме.

Нами был разработан элективный курс «Применение метода координат при решении сте-

реометрических задач» и апробирован со студентами 3 курса физико-математического факуль-

тета, обучающимися по направлению «Педагогическое образование», профиль «Математика».

Для более успешного освоения материала и систематизации знаний нами были разработаны

алгоритмы для решения следующих задач: задачи на нахождение угла между прямыми или плоско-

стями, прямой и плоскостью, на вычисление расстояния от точки до плоскости или прямой, рас-

стояние между скрещивающимися прямыми. Приведем пример одной из таких задач.

Задача.

Дана правильная четырѐхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пи-

рамиды равно 6 высота – 33 Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой МТ, где точки М и Т – середины ребер CS и BC соответственно [1].

Решение.

1. Расположим данную фигуру целесообразным образом в системе координат (рис. 1). 2. Найдем координаты необходимых точек:

14

B(0; 0; 0), C( 6 ; 0; 0), D( 6 ; 6 ; 0), A(0; 6 ; 0),

S6 6

; ; 33 .2 2

Так как M – середина CS, T – середина BC,

H – середина AD, то M3 6 6 33

; ; ,4 4 2

T6

; 0; 0 ,2

H6

; 6; 0 .2

3. Найдем уравнение плоскости (MTH):

3 6 6 33А + В+ С+ D = 0

4 4 2

6 2 1А + D = 0 x + z +1 = 0

4 6 33

6А + 6 В + D = 0

2

2 1n ; 0; .

6 33

4. Вычислим координаты конца вектора нормали TK к плоскости (МТН):

2 6=

26

1 10= 0 K ; 0;

6 33

1= 0

33

x

y

z

5. Найдем уравнение плоскости (MTK):

3 6 6 33А + В+ С+ D = 0

4 4 2

6 2 46 2 33А + D = 0 x + y z +1 = 0

4 36 6

1 1А + C + D = 0

6 33

2 46 2 33n ; ; .

36 6

6. Подставим полученные значения в формулу вычисления расстояния от точки до плоскости:

15

(H, (МТК)) = 22 2

6 2 46 2 336 0 1

2 36 6 23

22 46 2 33

36 6

Ответ: 23

.2

Результаты и их обсуждение. После завершения апробации нами было проведено анке-тирование. Респондентами выступили 18 студентов 2 курса и 22 студента 1 курса, обучающих-ся по направлению «Педагогическое образование». Большинство учащихся отметили, что зна-комились в школьном курсе геометрии с методом координат, однако не изучали подробно его применение при решении стереометрических задач.

Приведем пример стереометрической задачи № 14 из ЕГЭ 2016 года и рассмотрим ос-новные ошибки, которые допустили учащиеся.

Задача. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 8, а боковое

ребро AA1 равно. На рѐбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L соответственно, причѐм AK=B1L2. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L .

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ. [2] Наибольшие затруднения участники испытывали при проведении доказательства. Самая

распространенная ошибка заключалась в неверном применении признака перпендикулярности прямой и плоскости. При выполнении второго пункта было допущено большое количество вы-числительных ошибок. Низкая успешность выполнения этого задания свидетельствует о не-сформированности пространственных представлений у выпускников.

Данную задачу можно достаточно быстро и удобно решить методом координат: доста-точно найти уравнение плоскости γ и показать, что указанная прямая BM параллельна вектору нормали плоскости, также нетрудно найти расстояние от точки до плоскости, используя из-вестную формулу.

Заключение. После завершения апробации студенты отметили, что метод координат дает определенные преимущества по сравнению с «традиционным методом» (не методом координат). В качестве основного достоинства они отметили быстроту и простой алгоритм действий.

Таким образом, мы считаем, что учащихся старших классов следует знакомить с возмож-ностями применения данного метода при решении задач. Однако у учащихся должны быть сформированы устойчивые вычислительные навыки, так как применение этого метода требует довольно объемных вычислений.

1. Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян В.Ф. Бутузов, С.Б. Ка-домцев. - Москва: Просвещение, 2002. - 255 с.

2. Федеральный институт педагогических измерений. URL: http://togirro.ru/assets/files/RAZV%20MAT%20OBR/analiz_EGE_FIPI_matematika.pdf (дата обращения 10.03.2017).

РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО СРЕДСТВА ДЛЯ РАБОТЫ С QR-КОДАМИ

Каплун А.А. учащийся 4 курса Оршанского колледжа ВГУ имени П.М. Машерова,

г. Орша, Республика Беларусь Научный руководитель – Юржиц С.Л., магистр образования, преподаватель

На сегодняшний день становятся популярными QR-коды, которые получили широкое распространение в различных сферах. Их можно встретить в рекламе; документообороте бан-ковской и платежных систем, сфере контроля за наличием и продвижением товаров и др. Ос-новным преимуществом QR-кода является количество зашифрованной информации, которой намного больше, чем в стандартных штрих кодах.

В переводе с английского QR (Quick Response) означает «быстрый отклик». Это матрич-ный двумерный штрих-код, представляющий собой способ хранения информации в закодирован-

http://togirro.ru/assets/files/RAZV%20MAT%20OBR/analiz_EGE_FIPI_matematika.pdf

16

ном виде. Он был изобретен в 1994 году дочерней компанией Toyota-Denso Wave [1]. В одном из словарей приводится QR-код определяют как машиночитаемый код, состоящий

из массива черных и белых квадратов, как правило, используется для хранения URL-адреса или другой информации для считывания, используя камеру на смартфоне [2]. Следует отметить, что в

основе устройства QR-кодов лежит двоичный принцип кодирования информации. Несмотря на то, что существует достаточно программ для создания и распознавания QR-

кода, эти приложения не всегда бывают удобны с точки зрения интерфейса, скорости работы, а

в некоторых случаях требуют интернет-соединения, поэтому разработка бесплатного приложе-ния, обладающего высокой скоростью работы, нетребовательного ресурсам и работающего ав-

тономно является достаточно актуальной задачей. Целью изучения поставленной задачи является разработка приложения, которое позволит

создавать, сохранять, распознавать и загружать QR-коды даже при отсутствии Интернет-соединения.

Материал и методы. Формирование QR-кода происходит по строго определенному ал-горитму, который в упрощенном виде можно разделить на несколько ключевых этапов, кото-

рые включают:

кодирование данных;

добавление служебной информации;

разделение информации на блоки;

создание байтов коррекции, объединение блоков;

размещение информации на QR-коде. Использование методов моделирования дает возможность создания шаблонов позицио-

нирования для сканирования и распознавания QR-кода.

В качестве языка программирования был выбран язык C#, а так же была использована библиотека MessagingToolkit.QRCode.dll, благодаря которой можно легко распознавать и де-

шифровать QR-код. Результаты и их обсуждение. QR-код изображается в форме квадрата. Самый главный

элемент его – матрица, представленная в виде рисунка, состоящего из черных квадратов и ли-

ний (модулей), в которых заложена разнообразная информация. В зависимости от того, какое количество информации необходимо зашифровать в изображении, число модулей может изме-

няться. Помимо этого изображение включает в себя модули, которые содержат в себе данные, помогающие сканирующим устройствам корректно распознать заложенную информацию.

В матрице данные хранятся в двух измерениях в горизонтальном и вертикальном направ-лении, что выгодно отличает QR-коды от старых штрих-кодов. По всем углам изображения,

кроме нижнего левого размещены элементы, дающие возможность определить положение QR-кода и начать процесс сканирования и распознавания.

Разработанная программа позволяет создавать QR-код, сохранять его в виде графическо-го файла различных форматов, полученных с помощью телефона, планшета, фотоаппарата,

осуществлять загрузку ранее сохраненного QR-кода, выполнять дешифровку и корректировку QR-кода, а также при необходимости его распечатать. Причем не имеет значения, в каком виде

– напечатанном или электронном – представлен QR-код. Главное в том, чтобы это изображение было построено по определенным правилам.

С помощью разработанного приложения можно создавать QR-код. В отдельном окне пользователь может набрать соответствующий текст или загрузить из файла на мобильном уст-

ройстве. В процессе работы программы данная информация преобразовывается, кодируется в

соответствующий QR-код. Имеется возможность редактирования QR-кода, необходимо предварительно его рас-

шифровать. Пользователь изменяет содержание информации, а затем с помощью разработанно-го приложения, выбрав соответствующий пункт меню, выполняет шифрование в QR-код, т.е.

получает новое изображение. Созданный с помощью данного приложения QR-код может также содержать адрес электронной почты, имя адресата, осуществлять сохранение коротких текстов

или стихотворений, телефонные номера и пр. Полученные QR-коды можно размещать на сайте, в презентациях, в документах, на информационных стендах и табличках и т.д. Имеется воз-

можность печати полученных QR-кодов.

17

Заключение. Таким образом, разработанная программа для создания QR-кодов является

инструментом пользователя для работы с QR-кодами. Она может использоваться в качестве

средства для создания визитных карточек, пригласительных билетов, SMS-сообщений и др.

Главным преимуществами приложения является то, что она обладает понятным интерфей-

сом, проста в использовании, имеет высокую скорость сканирования и распознания, что делает

удобным инструментом для пользователя для быстрого создания и распознавания QR-кода.

1. Ромат, Е.В. Реклама: учебник для вузов. 8-е изд. Стандарт третьего поколения [Текст] / Е.В. Ромат, Д.В. Сендеров. СПб.: Изд. дом «Питер», 2013 г. – 512 с.

2. Оксфордский словарь. [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http: //www.oxforddictionaries.com/ru/определение /английский/ QR-code. Дата доступа: 29.06.2017.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭПОКСИДНОЙ СМОЛЫ С СВЧ-ПОЛЕМ СРЕДСТВАМИ CST MICROWAVE STUDIO

Кизина О.А. молодой ученый УО «ПГУ», г. Новополоцк, Республика Беларусь

Научный руководитель – Адамович А.Л., канд. техн. наук, доцент

Эпоксидная смола используется в том числе, как средство пропитки армирующих нитей

для стекловолокна. Сушка нитей и отверждение смолы осуществляется традиционным спосо-

бом в сушильных камерах, характеризуется большой длительностью и высокой стоимостью.

Эпоксидная смола способна поглощать энергию СВЧ-поля и нагреваться за счет диэлектриче-

ских потерь.

Целью работы было проверить возможность реализовать на практике способ отвержде-

ния пропитанной эпоксидной смолой армирующей нити под воздействием СВЧ-поля.

Материал и методы. В работе использовались два метода – трехмерное компьютерное

моделирование как разновидность математического и эксперимент.

Компьютерное моделирование осуществлялось средствами специализированного пакета

CST Studio Suite от компании CST (Computer Simulation Technologies), включающего 7 моду-

лей: CST Microwave Studio для моделей в СВЧ-диапазоне, CST EM Studio для работы в НЧ-

диапазоне, CST Particle Studio для моделирования заряженных частиц в трехмерном электро-

магнитном поле, CST Design Studio для моделирования работы электрических принципиальных

схем, CST PCB Studio для работы с печатными платами, CST Cable Studio для исследования

взаимодействия электромагнитного поля и кабельных структур и CST MPhysics Studio для про-

ведения смешанного мультифизического моделирования. Непосредственно в работе использо-

вался модуль CST Microwave Studio.

Модель содержит отрезок прямоугольного волновода для подвода поля от источника к

материалу, источник СВЧ-поля с частотой 2,45ГГц, материал с характеристиками жидкой

эпоксидной смолы, дополнительное модельное пространство для повышения точности модели-

рования. Толщина стенки волновода 1мм, поперечное сечение стандартное 90Ч45 (мм), длина

160 мм, что соответствует длине волны в волноводе для частоты 2,45ГГц. Использованная вол-

на для модели – Н10.

Результаты моделирования оценивались количественно по показателю коэффициента от-

ражения волновода S11 и качественно по картине распределения СВЧ-поля в исследуемой зоне.

Оба критерия оценивались на частотах 2,45, 2,4 и 2,5 ГГц.

Эксперименты проводились в лабораторной установке, содержащей магнетрон мощно-

стью 0,9кВт, Y-циркулятор, отрезок прямоугольного волновода и кювету с исследуемой смо-

лой.

Результаты и их обсуждение. Предполагается протягивание пропитанной нити через

волновод в процессе СВЧ-нагрева, поэтому при моделировании исследовалось распростране-

ние СВЧ-поля через модель волновода с отверстиями для протяжки и с цилиндрическими вы-

ступами длиной 40мм и внутренним диаметром 20мм. Принятое значение диаметра волновод-

ных выступов выбрано произвольно. В таблице 1 отражены значения показателя S11 и напря-

женности СВЧ-поля за пределами волновода.

18

Таблица 1 – Зависимость модельного коэффициента отражения S11 от частоты и конст-рукции модели

Вариант модели Значение коэффициента S11 на частотах

Напряженность электрической компо-ненты СВЧ-поля за пределами волно-

вода Е, В/м

2,4ГГц 2,45ГГц 2,5ГГц 2,4ГГц 2,45ГГц 2,5ГГц

Волновод с отвер-стиями

0,99906 0,99902 0,99897 6,58 6,83 7,1

Волновод с высту-пами

0,99999 1,00000 0,99999 0,4 0,4 0,45

Очевидно, что коэффициент S11 практически не отличается для рассмотренных конструк-ций, т.к. при округлении даст 1, чему и должен быть равен в идеальном случае. По значению напряженности поля на границе модельного пространства предпочтительно использовать вол-новод с выступами – напряженность поля Е ниже на порядок по сравнению с конструкцией с отверстиями. На рисунке 1 показана выбранная конструкция волновода для дальнейших иссле-дований. Красным цветом отмечен порт-источник электрической компоненты СВЧ-поля Е.

Рисунок 1 – Модель волновода для СВЧ-отверждения эпоксидной смолы целиком и в разрезе с вложенным материалом

На рисунке 2 показано распространение поля с вложенным в волновод стержнем мате-риала диаметром 10мм и 20мм. Коэффициенты отражения для них равны 0,9809 и 0,7227 соот-ветственно.

а) б) Рисунок 2 – Распределение СВЧ-поля в модели

для разных диаметров стержней модельного материала: 10мм (а) и 20мм (б)

Из рисунка 2 видно, что значительных отличий в распространении СВЧ-поля в модели

при изменении диаметра стержня не наблюдается. Напряженн