Hydrodynamique et Mecanique Physique

Hydrodynamique Physique

Marc Fermigier

ESPCI - Laboratoire d’Hydrodynamique et Mecanique Physique

ii

Les figures 1.1, 1.9, 1.10, 1.11, 2.4, 10.1, 10.3, 10.4, 10.5 et 10.6 sont tirees du livre deM. Van Dyke, ” An Album of Fluid Motion ”, Parabolic Press, 1982. La figure 4.8 est tireedu livre de D.V. Bogers et K. Walters, ” Rheological Phenomena in Focus ”, Elsevier 1993.La figure 9.2 est tiree du livre de J.M. Ottino, ” The Kinematics of Mixing ”, CambridgeUniversity Press 1989. Les resultats presentes sur la figure 9.3 ont ete obtenus par A. Bakkeravec le logiciel Fluent. Les simulations numeriques sont realisees avec le logiciel Charismaecrit par Ralph Goodwin et Andrew Yeckel a l’Universite d’Illinois Urbana-Champaign.

La photographie de couverture est de Philippe Petitjeans, laboratoire PMMH, ESPCI.

Copyright M. Fermigier 2002

Reproduction interdite sans autorisation

TABLE DES MATIERES iii

Table des matieres

1 INTRODUCTION 1

1.1 Du microscopique a la geophysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Qu’est-ce qu’un fluide? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 L’hypothese de continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Notion de viscosite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Transport diffusif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Transport convectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 CINEMATIQUE 13

2.1 Descriptions eulerienne et lagrangienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Derivee particulaire de la vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Lignes de courant.Tubes de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Conservation de la masse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Ecoulement bidimensionnel incompressible. Fonction de courant. . . . . . . . 18

2.6 Mesure des champs de vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6.1 Analyse numerique des visualisations. PIV . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6.2 Velocimetrie laser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6.3 Doppler ultrasonore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7 Deformations dans un ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7.1 Decomposition du gradient de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7.2 Ecoulement de cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7.3 Ecoulement elongationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 DYNAMIQUE 27

3.1 Forces de surface et tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Representation des forces de surface par le tenseur des contraintes . . 27

3.1.2 Tenseur des contraintes dans un fluide en mouvement . . . . . . . . . 29

3.2 Ecoulements simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Ecoulement dans un tube (ecoulement de Poiseuille) . . . . . . . . . . 30

3.2.2 Ecoulement entre deux cylindres (ecoulement de Couette) . . . . . . . 33

3.3 L’equation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1 Equation de la vorticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Interface solide-fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.2 Interface fluide-fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Notion de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

iv TABLE DES MATIERES

4 FLUIDES NON NEWTONIENS 41

4.1 Fluides non newtoniens et rheologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Comportement non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.1 Relations empiriques pour la viscosite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.2 Fluide de Bingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 Viscoelasticite lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.1 Experience de fluage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.2 Relaxation de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3.3 Sollicitation periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 Anisotropie des contraintes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 LOIS DE CONSERVATION 53

5.1 Conservation de la quantite de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.1 Conservation de la quantite de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.2 Exemple d’application de la conservation de la quantite de mouvement :force exercee par l’ecoulement sur une conduite coudee . . . . . . . . . 54

5.2 Conservation de l’energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2.1 Loi d’evolution de l’energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2.2 Dissipation d’energie par viscosite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.3 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3 Applications des lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3.1 Ressaut hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3.2 Ecoulement a surface libre au-dessus d’un obstacle . . . . . . . . . . . 62

6 ECOULEMENTS A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS 65

6.1 Le monde etrange des petits nombres de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.1.1 L’equation de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.1.2 Reversibilite cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.1.3 Additivite des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2 Lubrification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2.1 Principe de la lubrification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2.2 Sustentation d’une tete de lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.3 Ecoulement dans un milieu poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.3.1 Loi de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.3.2 Modele de tubes tortueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.3.3 Ecoulements multiphasiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.4 Ecoulement autour d’une sphere. Suspensions . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.4.1 Ecoulement autour d’une sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.4.2 Viscosite des suspensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7 Ecoulements ou la viscosite est negligeable 79

7.1 Repartition de pression. Effet Coanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.1.1 Effet Coanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.2 Ecoulements potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2.1 Proprietes du potentiel des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2.2 Ecoulements potentiels simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.2.3 Ecoulement autour d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

TABLE DES MATIERES v

7.3 Forces sur un obstacle en ecoulement potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.3.1 Potentiel des vitesses a grande distance du corps . . . . . . . . . . . . 86

7.3.2 Force sur un corps solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.4 Conservation de la circulation. Theoreme de Kelvin. . . . . . . . . . . . . . . 89

7.4.1 Theoreme de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.4.2 Une manifestation du theoreme de Kelvin : le tourbillon de vidange . 90

7.5 Surfaces portantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8 COUCHES LIMITES 93

8.1 La notion de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.1.1 Approximations de l’equation de Navier-Stokes dans une couche limite. 94

8.2 Couche limite sur une plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.3 Avec gradient de pression exterieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.3.1 Influence de l’acceleration ou deceleration de l’ecoulement externe . . 99

8.3.2 Solutions autosimilaires pour un ecoulement externe en xm . . . . . . 100

8.3.3 Consequences du decollement de la couche limite . . . . . . . . . . . . 101

8.3.4 Controle de la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9 TRANSPORT CONVECTIF 105

9.1 Equation de transport de la masse et de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.2 Exemple de transport par diffusion et convection couplees . . . . . . . . . . . 106

9.3 De l’art de bien melanger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9.4 Dispersion de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10 INSTABILITES ET TURBULENCE 113

10.1 Instabilites : de l’ecoulement laminaire a la turbulence developpee . . . . . . 113

10.1.1 Instabilite de Taylor-Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.1.2 Instabilite de Kelvin-Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

10.1.3 Instabilite de Rayleigh-Benard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10.2 Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

10.2.1 La nature de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

10.2.2 Description statistique du champ de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . 11810.2.3 Couche limite turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10.2.4 Multiplicite des echelles spatiales et caractere dissipatif . . . . . . . . 120

A Proprietes physiques de quelques fluides 123

B Petit catalogue de nombres sans dimension 125

C Notions elementaires sur les tenseurs 127

D Equations en coordonnees cylindriques et spheriques 129

D.1 Equation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129D.1.1 Coordonnees cylindriques r,θ,x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

D.1.2 Coordonnees spheriques r,θ,ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

D.2 Relations entre vitesse , potentiel et fonction de courant . . . . . . . . . . . . 130

D.2.1 Ecoulement bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

D.2.2 Ecoulement tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

vi TABLE DES MATIERES

D.2.3 Ecoulement tridimensionnel avec symetrie de revolution . . . . . . . . 130

E Quelques reperes historiques 131

F References bibliographiques 135F.1 Ouvrages generaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135F.2 Ouvrages plus specialises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135F.3 Pour une application ludique de la mecanique des fluides . . . . . . . . . . . . 136

1

Chapitre 1

INTRODUCTION

1.1 La mecanique des fluides du microscopique a la geophy-sique

La dynamique des fluides joue un role essentiel dans de nombreux systemes avec desechelles de longueur extremement differentes, aussi bien dans les ecoulements naturels quedans les procedes industriels. Prenons quelques exemples pour illustrer cette ubiquite de ladynamique des fluides. Commencons par un domaine classique de l’ingenieur : l’aeronautique.La conception d’un avion de ligne doit satisfaire, a priori, a des exigences relativement simples :assurer une force de sustentation (portance) donnee tout en minimisant la resistance a l’avan-cement (force de traınee) en vitesse de croisiere et assurer la securite des phases transitoiresde vol (decollage, atterrissage). L’ecoulement de l’air autour des ailes ne sert qu’a modifierla repartition de pression de maniere a assurer la sustentation de l’avion. En premiere ap-proximation, la relation de Bernoulli : p + 1/2ρV 2 = Cte permet de determiner la pression ;plus la vitesse du fluide est grande, plus la pression est faible. En realite, la conception dessurfaces portantes necessite de longues etudes experimentales et numeriques et des profilsa geometrie variable sont utilises dans les phases transitoires du vol. Dans cet exemple, lesvitesses d’ecoulement mises en jeu vont du m/s a quelques centaines de m/s et les echelles delongueur caracteristiques de l’ecoulement vont de quelques cm a quelques dizaines de m.

Fig. 1.1 – Ecoulement autour d’un profil d’aile. Visualisation sur une maquette dans un canalhydrodynamique par injection de colorants. Photographie : H. Werle, ONERA.

2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Fig. 1.2 – Repartition schematique du debit sanguin dans les principaux organes, au reposet pendant un exercice physique.Illustration tiree de J.F. Lamb et al., Manuel de Physiologie,Masson 1990

Pour descendre dans les echelles de longueur, empruntons un exemple a la biologie : la cir-culation de l’oxygene dans notre organisme est assuree par l’ecoulement du sang a travers unsysteme complexe de canalisations, arteres et veines, dont le diametre varie du cm a quelquesmicrons. La consommation d’oxygene est regulee en partie par le debit sanguin : la frequencecardiaque controle le debit global ; la vasodilatation permet un controle local du debit, parexemple lors d’un effort physique, la proportion de sang envoye vers les muscles augmente.De nombreuses pathologies sont liees a l’obstruction partielle des vaisseaux et a la diminutionde debit qui en resulte. Dans les systemes biologiques, les effets purement mecaniques sontgeneralement intimement lies a des effets physico-chimiques. Ainsi l’adaptation a la vie enhaute altitude conduit a une augmentation de la concentration en globules rouges, augmen-tation de concentration qui s’accompagne d’une augmentation de la viscosite du sang, doncd’une resistance a l’ecoulement accrue.

Difference essentielle avec l’aeronautique : le role premier de l’ecoulement du fluide est icile transport d’une substance en solution. Il existe un autre mecanisme de transport essentiel :la diffusion moleculaire (mouvement brownien) mais il est terriblement inefficace : il suffit dene pas agiter son the ou son cafe avec une cuillere pour se rendre compte que la diffusion dusucre est extremement lente ; en fait, il faudrait une journee entiere pour que le sucre diffusedans toute la tasse.

Autre difference essentielle : le fluide mis en jeu n’est plus un corps simple en phase fluidemais un liquide complexe, une suspension de vesicules deformables, avec de nombreux ions

1.1. DU MICROSCOPIQUE A LA GEOPHYSIQUE 3

Fig. 1.3 – Schema de deux lits fluidises l’un pour la calcination du calcaire, l’autre poureffectuer une reaction catalytique. D’apres The Kirk-Othmer Encyclopedia of Chemical Tech-nology.

et macromolecules en solution. Neanmoins, a une echelle macroscopique, son comportementpeut etre decrit par les memes equations qui regissent l’ecoulement de l’air ou de l’eau. Pourl’ingenieur du genie chimique, un ecoulement est presque toujours le moyen utilise pour amenerles reactifs en contact. La technique dite du lit fluidise, dans laquelle des particules solidessont mises en suspension par un courant ascendant de fluide est souvent mise a profit pourles reactions catalytiques, le catalyseur etant disperse dans les particules solides.

Remontons maintenant dans les echelles de longueur pour examiner des ecoulements al’echelle de notre planete. La difference d’eclairement solaire entre les zones polaires et leszones tropicales induit de grandes differences de temperature entre les differentes regions duglobe. Les ecoulements atmospheriques et les courants marins servent essentiellement auxechanges de chaleur entre poles et tropiques ; la temperature moyenne qui regne a la surfacedu globe est impossible a evaluer correctement sans prendre en compte les effets de la circula-tion atmospherique a grande echelle. Par la meme occasion, ces ecoulements transportent denombreuses substances, en particulier les polluants et les cendres volcaniques. Contrairementa ce que certains ont affirme, les elements radioactifs emis par l’accident de la centrale deTchernobyl ne se sont pas arretes a nos frontieres, ils ont ete largement dissemines sur toutel’Europe. Heureusement, les ecoulements atmospheriques ont egalement realise un melangetres efficace du nuage radioactif et ont permis la dilution des polluants.

Notre experience quotidienne nous enseigne que les previsions des meteorologistes ne sontpas d’une fiabilite a toute epreuve. Pourtant ceux-ci utilisent a temps plein les plus puissants


Fig. 1.4 – Photographie de l’atmosphere terrestre prise par le satellite METEOSAT dansle canal infrarouge, le 10 Fevrier 1995. Le tourbillon associe a la perturbation situee sur leproche Atlantique s’etend sur un millier de kilometres.

ordinateurs du monde et les equations de la mecanique des fluides sont connues depuis lemilieu du 19eme siecle.. La prevision meteorologique se heurte ici a un probleme fondamental :l’existence de la turbulence et le caractere d’imprevisibilite a long terme des ecoulementsturbulents. L’examen de l’atmosphere revele des mouvements a des echelles tres differentes :un champ de ble dont la temperature est superieure a celle du bois voisin suffit a provoquerune cellule de convection thermique dont l’extension ne depasse pas quelques centaines demetres. Le meme phenomene se produit le long des cotes, provoquant la brise de mer ; cettefois, la convection fait sentir ses effets sur une dizaine de km. Les perturbations qui balaientregulierement l’Atlantique Nord pendant l’hiver sont des tourbillons de plusieurs centainesde km de diametre. En haut de cette organisation, on trouve la circulation zonale : au niveaudes tropiques les alizes soufflent essentiellement de l’est, alors qu’aux latitudes moyennes lesvents d’ouest predominent. L’existence de tourbillons sur une tres grande gamme d’echellesspatiales est une des caracteristiques de la turbulence et l’une des raisons essentielles de ladifficulte des simulations numeriques.

1.2 Qu’est-ce qu’un fluide?

Pour le physicien verse vers la thermodynamique, un fluide est un corps simple, composed’une assemblee d’atomes ou molecules identiques, en phase liquide ou gazeuse. La transitionentre les differents etats s’accompagne de la discontinuite de certaines grandeurs thermody-namiques qui permettent de construire un diagramme des phases sans ambiguıte et sans avoirrecours a une mesure des proprietes mecaniques. Par exemple, nous savons que, a la pressionatmospherique, l’eau se liquefie a 0˚C et se vaporise a 100˚C, que l’helium reste liquide a 0K.

Le mecanicien donnerait une definition plus empirique : un fluide, c’est quelque chose quicoule. Vue depuis les sommets environnants, la Mer de Glace presente des bandes alternees,sombres et claires, de forme parabolique. Ces bandes de Forbes qui sont dues a l’alternancesaisonniere de l’enneigement, revelent le lent ecoulement du glacier vers la vallee de Chamonix.Il s’agit bien d’eau en phase solide, mais la presence des crevasses et leur rearrangement

1.2. QU’EST-CE QU’UN FLUIDE? 5

Fig. 1.5 – Glacier Barnard en Alaska

permanent font, qu’a grande echelle, le glacier se comporte comme un liquide tres visqueux(fig. 1.5). Il en est de meme des materiaux qui constituent le manteau terrestre. Observes surdes echelles de temps suffisamment longues, ils coulent comme des liquides.

Pour caracteriser un materiau, le mecanicien mesurerait la deformation en fonction dela contrainte appliquee au materiau. Il definira un solide a partir de sa reponse elastique :la deformation croıt lineairement avec la contrainte appliquee. La deformation reste en ge-neral petite jusqu’a la rupture du solide. En revanche, dans un fluide la deformation peutetre arbitrairement grande sans qu’il y ait une perte de cohesion. Pour un fluide visqueux,c’est la vitesse de deformation qui est proportionnelle a la contrainte appliquee. Une telledistinction entre fluides et solides basee sur la reponse a une sollicitation mecanique peutetre plus subtile : les pates aux silicones vendues sous le nom de ”silly-putty” se comportenta la fois comme des solides et comme des liquides. Une boule de silly-putty rebondit commeune balle de caoutchouc, pourtant la meme boule de silly-putty abandonnee sur une tables’etalera lentement en une couche mince, comme le ferait une huile visqueuse ou du miel. Lesmacromolecules qui rentrent dans la composition du silly-putty ont un temps de reponse auxsollicitations extremement long (a l’echelle moleculaire), aussi leur reaction est-elle differenteselon qu’elles ont le temps ou non de se deformer de maniere significative.

Ainsi la notion de fluidite depend de l’echelle spatiale d’observation(ou de sollicitation),c’est le cas du glacier, et du temps caracteristique d’observation du systeme, c’est le casdu silly-putty. Nous entrevoyons egalement ici la relation entre la structure microscopiquedes fluides et leurs proprietes mecaniques macroscopiques. L’etude du comportement sousecoulement (discipline qui porte le nom de rheologie) joue un grand role dans de nombreusesindustries (peintures, adhesifs, agro-alimentaire, extraction du petrole, ...) et jusque dans latexture des aliments que nous absorbons.

Les relations structure-proprietes mecaniques sont en general difficiles a etablir et mettenten oeuvre des considerations subtiles de physique statistique. Un des exemples les plus frap-pants est l’ajout de polymeres de tres grande masse moleculaire dans un solvant. Une trespetite quantite de polymere (0,1 % en fraction massique) suffit a modifier considerablementla viscosite de la solution, du fait de l’enchevetrement des chaınes macromoleculaires. On nepeut clore ce paragraphe sans mentionner les milieux granulaires secs (poudres, sable) du faitde leur importance dans l’industrie (beaucoup de materiaux sont stockes et transportes sous


forme de poudres) et dans l’environnement. L’observation rapide de l’ecoulement dans un sa-blier pourrait nous faire croire qu’il est possible d’analyser ce phenomene comme l’ecoulementd’un fluide possedant des proprietes mecaniques particulieres. En fait, il n’en est rien et laphysique du tas de sable est un domaine assez eloigne de la mecanique des fluides et qui estencore en pleine evolution.

Pour illustrer le comportement particulier des milieux granulaires, considerons l’exemplesimple de l’equilibre statique d’un silo : si on mesure la pression exercee sur le fond du silo enremplissant celui-ci de plus en plus, on constate que cette pression n’augmente plus au delad’une certaine hauteur de remplissage, proportionnelle au diametre du silo. Ce comportement,tout a fait different de celui d’un liquide, est du au frottement solide sur les parois lateralesdu silo qui supporte partiellement le poids de l’empilement de grains.

1.3 L’hypothese de continuite

Si on considere un fluide simple comme l’air ou l’eau, le probleme de l’echelle d’observationse pose egalement. A tres petite echelle, il est impossible d’ignorer la nature atomique oumoleculaire des fluides. A ces echelles moleculaires, il est clair que les proprietes physiquesd’un fluide varient tres largement d’un point de l’espace a l’autre. Neanmoins, il suffit deconsiderer un volume de fluide assez grand a l’echelle microscopique pour que les proprietesdu fluide, moyennees sur un grand nombre de molecules, apparaissent comme dependantlentement de la coordonnee spatiale. Dans la plupart des situations pratiques, ce volume”suffisamment grand” reste tres petit compare aux dimensions globales de l’ecoulement ; lesmesures effectuees a cette echelle peuvent etre considerees comme ”locales”.

Des experiences recentes et des simulations numeriques de dynamique moleculaire ontpermis de mieux cerner l’influence de la structure moleculaire sur les ecoulements de filmstres minces de liquide. Lorsque l’epaisseur du film est inferieure a 10 diametres moleculaires,l’organisation moleculaire du liquide est revelee par les ”marches” que forme le liquide ens’etalant (fig. 1.6).

Dans un gaz, c’est le libre parcours moyen qui fixe la limite de l’hypothese de continuite.Lorsque la pression est suffisamment basse pour que la distance moyenne entre moleculesdevienne plus grande que les dimensions caracteristiques de l’ecoulement, on ne peut plusappliquer les lois classiques de la mecanique des fluides. Une telle situation se rencontre dansla tres haute atmosphere (rentree des vehicules spatiaux) et dans les systemes d’ultravideutilises en physique du solide. Dans la suite de ce cours, nous ignorerons ces subtilites etconsidererons tous les fluides comme des milieux continus dont les proprietes physiques et ladynamique peuvent etre decrits par des fonctions des coordonnees spatiales.

1.4 Proprietes physiques des fluides. Introduction de la notionde viscosite

Du point de vue de la mecanique, nous avons vu que la propriete essentielle des fluides estla possibilite de supporter des deformations arbitrairement grandes sans perte de cohesion. Lescontraintes engendrees dans un fluide ne dependent donc pas de l’amplitude de deformation,comme c’est le cas dans les solides. En revanche, ces contraintes dependent de la vitessede deformation ainsi que le montre l’experience suivante : enfermons un liquide entre deuxplaques planes, paralleles et distantes d’une longueur h. Deplacons la plaque superieure (dans

1.4. NOTION DE VISCOSITE 7

Fig. 1.6 – Profil d’une goutte de polydimethylsiloxane (huile silicone) s’etalant sur une surfacede silicium. Epaisseur mesuree par ellipsometrie optique, 3.5h, 11.4h, 45.4 h et 148.9 h apresle depot de la goutte. Noter que les echelles verticale et horizontale sont tres differentes.D’apres N. Fraysse et al., J. Colloid Interface Sci. 158, 27 (1993)

Fig. 1.7 – Ecoulement de cisaillement simple. Deux plaques paralleles en mouvement relatif.

son propre plan) a la vitesse V et mesurons la force qui s’exerce sur la plaque inferieure(egalement dans son propre plan). Cette force, ramenee a l’unite de surface en contact avecle liquide est proportionnelle a V/h., soit : F/S ∝ V/h Le coefficient de proportionnalite η estla viscosite dynamique du fluide. Le membre de gauche de l’equation ci-dessus a la dimensiond’une pression, c’est la contrainte de cisaillement s’exercant sur le fluide. Le membre dedroite est le gradient de vitesse present dans l’ecoulement ; il a la dimension de l’inverse d’untemps. La viscosite dynamique a donc la dimension du produit d’une pression par un temps.Dans le Systeme International de mesures, la viscosite dynamique s’exprime en Poiseuilles(1Poiseuille = 1Pa s = 1kg m−1s−1). La viscosite de l’eau a 20˚ C est 1 m Pa s ; celle de l’airest a peu pres cent fois plus petite : 1,8× 10−5 Pa s. Le glycerol, quant a lui, est plus de millefois plus visqueux que l’eau (1,3 Poiseuille). Le Poiseuille represente donc la viscosite d’unliquide que nous qualifierions de tres visqueux dans le langage courant.

Pour des raisons de commodite, les unites du systeme C.G.S. (centimetre, gramme, se-conde) sont egalement utilisees. L’unite de viscosite dans le systeme C.G.S. est le Poise (1Poise = 0,1 Poiseuille). La viscosite dynamique de l’eau a 20˚C est 1 centipoise.


Fig. 1.8 – Plaque mise en mouvement brusquement.

1.5 Transport de la quantite de mouvement du a la viscosite

En pratique, la mesure de viscosite decrite ci-dessus s’effectue dans une geometrie circu-laire : le fluide est confine entre deux cylindres concentriques de rayons legerement differents.L’un des cylindres est fixe, l’autre est mis en rotation a une vitesse imposee. La viscosite dufluide est proportionnelle au couple necessaire a l’entretien de la rotation. C’est le viscosimetredeveloppe par M. Couette au tout debut du siecle. Nous reviendrons plus en detail sur cetappareil dans le chapitre suivant.

Examinons en detail ce qui se passe lorsque un des cylindres est mis brusquement enrotation (sa vitesse angulaire passe tres rapidement de zero a une valeur finie). Les couchesde fluide au voisinage immediat de la paroi solide sont mises en mouvement avec la paroi. Ceteffet est du a l’echange de quantite de mouvement entre le solide et le fluide. Dans tous lesfluides visqueux, les mesures de vitesse locale montrent que le champ de vitesse s’extrapolea zero sur une paroi solide : il n’y a pas de mouvement relatif a une interface entre un solideet fluide visqueux. Ces observations macroscopiques ont ete confirmees recemment a l’echellemicroscopique par des simulations de dynamique moleculaire Ensuite, les couches de fluide deplus en plus eloignees de la paroi sont mises progressivement en mouvement. L’informationrelative au deplacement de la paroi diffuse au sein du fluide.

Pour analyser la cinetique de ce phenomene, considerons une geometrie plane, plus simpleque l’ecoulement entre les deux cylindres concentriques (en fait, si l’espacement des cylindresest petit devant leurs rayons, l’effet de la courbure sur l’ecoulement est negligeable. De lameme maniere, a notre echelle humaine, nous ne percevons pas la courbure de la Terre) : uneplaque solide plane, au contact avec un fluide visqueux, est mise brusquement en mouvementdans son propre plan (fig. 1.8). Quel est l’effet des contraintes de cisaillement sur un elementde volume fluide parallelepipedique d’epaisseur dz et d’aire dS dans le plan xy parallele a laplaque en mouvement? La force horizontale exercee sur la face superieure est :

η∂ux∂z|z+dz

et la force sur la face inferieure est :

−η∂ux∂z|z

La resultante de ces deux forces est egale a la variation temporelle de quantite de mouvementde l’element de fluide :

ρdzdS∂ux∂t

ou ρ est la masse volumique du fluide. La relation fondamentale de la dynamique conduitdonc a l’equation suivante :

∂ux∂t

=η

ρ

∂2ux∂z2

= ν∂2ux∂z2

(1.1)

1.5. TRANSPORT DIFFUSIF 9

ou ν est la viscosite cinematique du fluide, definie comme le rapport entre la viscosite dyna-mique et la masse volumique. L’equation ci-dessus est une equation de diffusion de la quantitede mouvement, formellement identique a l’equation de la chaleur :

∂T

∂t=

λ

ρCp∆T = κ∆T (1.2)

ou λ est la conductivite thermique, Cp la chaleur specifique et κ la diffusivite thermique.La viscosite cinematique a donc les memes dimensions que la diffusivite thermique, soit lecarre d’une longueur divise par un temps. La viscosite cinematique de l’eau, a 20˚C est10−2cm2/s ; l’air a une viscosite cinematique (0,15cm2/s) plus grande que celle de l’eau , cequi peut paraıtre surprenant mais qui tient a sa faible masse volumique.

Le mouvement du fluide est ici decrit par l’equation aux derivees partielles 1.1. Les solu-tions particulieres sont determinees par les conditions aux limites. En l’occurrence : le fluideest entierement au repos avant la mise en mouvement de la plaque solide, soit : u = 0 sit <= 0. D’autre part, la condition de non glissement sur la paroi solide impose : u = U siz = 0, t > 0. Il existe une caracteristique commune a toutes les equations de diffusion : laquantite(νt)1/2 est une longueur. C’est, en ordre de grandeur, la longueur sur laquelle diffusela quantite de mouvement pendant un temps t. La dependance en racine carree du tempsest une des ”signatures” d’un phenomene de diffusion. En normalisant la coordonnee z parcette longueur caracteristique et en introduisant la variable sans dimension ζ = z(νt)−1/2, ontransforme l’equation aux derivees partielles en une equation differentielle ordinaire :

d2u

dζ2+

1

2ζdu

dζ= 0 (1.3)

dont la solution est :

u = A

∫ ζ

0exp

(−y

2

4

)dy +B (1.4)

A et B sont determines par les conditions aux limites : u(ζ = 0) = U et u → 0 si ζ → ∞.Soit :

u = U

[1− erf

(ζ

2

)](1.5)

ou la fonction d’erreur erf est definie par : erf(ζ) = 2/√π∫ ζ

0 e−y2

dy . La solution ne de-pend que de la variable sans dimension ζ. Au cours du temps, les profils de vitesse restentidentiques, a une dilatation pres, suivant l’axe des z, avec un rapport de dilatation qui variecomme la racine carree du temps (fig. 1.8). Revenons maintenant au cas de l’ecoulement entredeux cylindres. Lorsque le cylindre interieur est mis en mouvement, la quantite de mouvementdiffuse dans le fluide. L’epaisseur de la couche ou le fluide est en mouvement croıt proportion-nellement a

√νt . Si h est l’epaisseur de l’espace entre les deux cylindres, le cylindre exterieur

se mettra en mouvement au bout d’un temps qui est de l’ordre de h2/ν . Remarquons enfinque c’est la quantite de mouvement dans la direction de l’axe x qui est transportee dans unedirection orthogonale, celle de l’axe z. Ecrivons l’equation 1.1 sous la forme :

ρ∂u

∂t=

∂

∂z

(η∂u

∂z

)(1.6)

le membre de gauche represente la variation de quantite de mouvement, par unite de temps,d’un element de fluide de volume unite. Le membre de droite est la divergence de la contrainte


Fig. 1.9 – Plaque plane mise brusquement en mouvement. Profils de vitesse a differentsinstants.

de cisaillement creee par la viscosite. La variation globale de quantite de mouvement resultedu bilan de flux de quantite de mouvement a travers les faces superieure et inferieure del’element de volume. L’expression 1.6 montre que le flux de quantite de mouvement du a laviscosite est : η∂u/∂z. Ce flux n’est rien d’autre que la contrainte de cisaillement ; son ordrede grandeur est : ηU/L.

1.6 Transport par convection de la quantite de mouvement.Introduction du nombre de Reynolds

La diffusion due a la viscosite n’est pas le seul mecanisme de transport de la quantite demouvement. L’ecoulement lui-meme participe a ce transport. Un element de fluide de volumeunite possede une impulsion ρUUU . Le volume de fluide qui traverse une surface unite par unitede temps est : q = U.nU.nU.n ou n est la normale a cette surface. Le flux de quantite de mouvementa travers cette surface est donc vectoriellement : jjj = ρUU.nUU.nUU.n et, en module :ρU 2. En general,les deux mecanismes, diffusif et convectif, de transport de l’impulsion sont presents dans unecoulement. L’importance relative des deux mecanismes est definie par le rapport :

Re =ρU2

ηU/L=ρUL

η=UL

ν(1.7)

dans lequel U est une vitesse representative de l’ecoulement (essentiellement la vitesse moyennedu fluide) et L une echelle de longueur egalement representative de l’ecoulement (essentiel-lement, la longueur sur laquelle la vitesse passe de 0 a U). Ce rapport est appele nombrede Reynolds. Lorsqu’il est tres grand devant 1, le transport d’impulsion est gouverne parla convection, c’est-a-dire par l’inertie du fluide. En revanche, lorsque Re 1, le transportd’impulsion est essentiellement diffusif et l’ecoulement est gouverne par la viscosite. Les deuxtypes d’ecoulement ont des caracteristiques tres differentes. Les ecoulements que nous obser-vons couramment dans l’eau ou dans l’air sont presque tous a tres grand nombre de Reynolds.En voici quelques exemples :

– ecoulement atmospherique : U ≈ 10 m/s, L ≈ 100 km, Re ≈ 1011.

– ecoulement autour d’une aile d’avion : U ≈ 100 m/s, L ≈ 10 m, Re ≈ 108.

1.6. TRANSPORT CONVECTIF 11

Fig. 1.10 – Ecoulement autour d’un cylindre a Reynolds = 1.5. Visualisation a l’aide departicules reflechissantes dans l’ecoulement. Photographie : S. Taneda., J. Phys. Soc. Jpn.

– ecoulement autour d’une voiture : U ≈ 30 m/s, L ≈ 4 m, Re ≈ 106 a 107.

– jet d’eau sortant d’un robinet : U ≈ 10 cm/s , L ≈ 1 cm, Re ≈ 103.

– ecoulement du sang dans l’aorte : U ≈ 1 m/s, L ≈ 1 cm, Re ≈ 104.

L’obtention d’un petit nombre de Reynolds necessite soit un fluide de grande viscosite, soitun ecoulement de tres petite taille, soit une vitesse tres faible ou une combinaison de cestrois parametres. Si vous vouliez nager a Re = 1, il faudrait vous immerger dans du siropde sucre et vous interdire de deplacer vos bras ou vos jambes a plus de 1 cm/min. ! Alorsque l’ecoulement du sang dans l’artere aorte se fait a Re ≈ 104, dans les capillaires dontle diametre est d’une dizaine de microns, la vitesse du sang est 100 µm/s et le nombre deReynolds descend jusqu’a 10−3. Autres exemples d’ecoulements a petit nombre de Reynolds :

– lubrification de pieces mecaniques en mouvement

– mouvement de particules dans les suspensions colloıdales

– propulsion des micro-organismes

– ecoulement des roches et du magma dans le manteau terrestre

Nous verrons dans la suite que la relation entre le champ de pression et le champ de vitesseest tres differente selon que le nombre de Reynolds est petit ou grand, selon que l’effet dela viscosite est preponderant ou negligeable. L’augmentation de Re est egalement associee al’apparition d’instabilites, puis de la turbulence dans l’ecoulement. La serie de photographiesci-dessous montre l’evolution du champ de vitesse dans le sillage d’un cylindre lorsque lenombre de Reynolds passe de 1,5 a 10000.


Fig. 1.11 – Ecoulement autour d’un cylindre a Reynolds = 26. Deux tourbillons de recircula-tion sont visibles derriere le cylindre. Photographie : S. Taneda.

Fig. 1.12 – Ecoulement autour d’un cylindre a Reynolds = 10000. Le sillage est devenuturbulent et presente de grands tourbillons alternes. Photographie : T. Corke et H. Nagib.

13

Chapitre 2

CINEMATIQUE

2.1 Descriptions eulerienne et lagrangienne.

La description des ecoulements est faite, dans la tres grande majorite des cas, a partirdu champ de vitesse u defini comme une fonction des variables d’espace et du temps :u(x,t).C’est-a-dire qu’on definit ou mesure en chaque point x de l’espace, et a tout instant, la vitessedu fluide, moyennee sur une longueur grande devant les distances intermoleculaires. Du pointde vue experimental, cette description dite ”eulerienne” correspond a une mesure locale dela vitesse du fluide, repetee en un tres grand nombre de points de l’ecoulement. Dans cettedescription, on observe differentes particules de fluide qui se succedent en un meme point del’espace, comme lorsqu’on regarde l’eau defiler sous un pont. Si le champ de vitesse eulerienne depend pas du temps, l’ecoulement est qualifie de stationnaire ; s’il depend du temps,l’ecoulement est instationnaire.

L’autre description, dite ”lagrangienne”, consiste a suivre le mouvement d’une memeparticule de fluide au cours du temps. Le champ de vitesse est alors specifie sous la forme :U(r0,t0,t) qui est la vitesse a l’instant t d’une particule de fluide qui se trouvait en r0 al’instant t0. Cette description lagrangienne correspond aux experiences de visualisation danslesquelles on depose un traceur (particule solide, tache de colorant) en un point de l’ecoulementet on suit la trajectoire de ce traceur. La trajectoire d’une particule de fluide est donnee parl’integration temporelle du champ de vitesse lagrangien : r(t) = r0 +

∫ tt0

U(r0,t0,t′)dt′.

2.2 Derivee particulaire de la vitesse.

Dans un ecoulement, l’acceleration d’une particule de fluide comporte, en general, deuxcontributions : la premiere contribution est due a la variation au cours du temps de la vitesse

Fig. 2.1 – Trajectoire d’une particule de fluide.

14 CHAPITRE 2. CINEMATIQUE

Fig. 2.2 – Tube de courant.

en chaque point de l’ecoulement (caractere instationnaire de l’ecoulement). La seconde contri-bution est due a l’exploration d’un champ de vitesse non uniforme par la particule de fluide.Meme lorsque l’ecoulement est stationnaire, si l’ecoulement n’est pas uniforme, une particulede fluide va explorer au cours de son deplacement des zones de plus grande ou plus faiblevitesse (voir, par exemple, l’ecoulement dans un elargissement brusque represente sur la fig.2.3) ; il en resulte un terme d’acceleration convective.

La premiere contribution a l’acceleration est simplement la derivee temporelle de la vitesseeulerienne : ∂u/∂t. Si la particule de fluide se trouve en r0 a l’instant t, elle parcourt en untemps δt une distance δr = u(r0,t)δt + O(δt2). La vitesse du fluide au point r1 = r0 + δrest : u(r1,t) = u(r0,t) + ∇u.δr. L’acceleration correspondante de la particule de fluide est :(∇u.δr)/δt. En prenant la limite δt 7→ 0, δr/δt 7→ u et l’acceleration convective s’ecrit : u.∇ude telle sorte que l’acceleration totale d’une particule de fluide s’ecrit :

Du

Dt=∂u

∂t+ u.∇u (2.1)

Il faut noter que ∇u est un tenseur dont les composantes sont ∂ui/∂xj et que la composantei de l’equation 2.1 s’ecrit :

DuiDt

=∂ui∂t

+∑

j

uj∂ui∂xj

. L’acceleration convective est la projection du gradient de vitesse sur la direction locale del’ecoulement.

2.3 Lignes de courant.Tubes de courant.

La representation graphique des ecoulements se fait souvent a l’aides des lignes de courant.Les lignes de courant sont tangentes en tous points au champ de vitesse. Si u,v,w sont les troiscomposantes de vitesse en coordonnees cartesiennes, l’equation des lignes de courant est :

dx

u=dy

v=dz

w(2.2)

Un tube de courant est une surface composee de lignes de courant s’appuyant sur une courbefermee. Par definition, le fluide ne traverse pas la paroi d’un tube de courant ; le debit defluide Q traversant une section droite d’un tube de courant est donc constant.

Supposons que deux sections droites d’un tube de courant aient des aires S1 et S2, etque la vitesse moyenne et la masse volumique du fluide dans chacune de ces sections soient

2.3. LIGNES DE COURANT.TUBES DE COURANT. 15

Fig. 2.3 – Ecoulement dans un elargissement brusque a Re = 50. Resultat d’une simulationnumerique. Representation du champ de vitesse par des lignes de courant.

Fig. 2.4 – Ecoulement dans un elargissement brusque a Re = 50. Resultat d’une simulationnumerique. Representation du champ de vitesse par des vecteurs.

respectivement U1, ρ1 et U2, ρ2. La conservation de la masse impose que : ρ1U1S1 = ρ2U2S2 =Q. Si le fluide est incompressible, la masse volumique est identique dans les deux sections et lavitesse du fluide est inversement proportionnelle a l’aire de la section : U = Q/ρS. Les lignesde courant donnent donc egalement une indication sur les valeurs relatives de la vitesse dansl’ecoulement : plus les lignes sont resserrees, plus la vitesse est grande.

Dans un ecoulement stationnaire, les lignes de courant et les trajectoires des elements defluide sont confondues. En revanche, dans un ecoulement instationnaire, les lignes de courantevoluent au cours du temps et les trajectoires ne sont pas confondues avec les lignes decourant. La fig. 2.5 montre les lignes de courant dans l’ecoulement derriere un cylindre misbrusquement en mouvement. Les lignes de courant observees a deux instants differents apresle demarrage du cylindre sont clairement tres distinctes.

Lorsqu’on effectue une visualisation d’un ecoulement par une injection continue de colo-rant en un point, on observe une ligne d’emission. Une ligne d’emission est l’ensemble despositions des elements de fluide qui sont passes anterieurement par le point d’emission. Dansun ecoulement stationnaire, les lignes de courant, trajectoires et lignes d’emission sont confon-dues. En revanche, dans un ecoulement instationnaire, les lignes d’emissions, les trajectoireset les lignes de courant sont, en general, differentes. La fig. 2.6 montre a nouveau l’ecoulementinstationnaire derriere un cylindre, visualise d’une part par des lignes d’emission resultant del’injection de colorant fluorescent sur le cylindre et, d’autre part, avec des lignes de courantmaterialisees par de courtes trajectoires de particules reflechissantes. Un systeme de doubleexposition est necessaire pour realiser cette image : le colorant fluorescent est excite par unflash tres bref, ce qui permet de figer les lignes d’emission. L’obturateur de l’appareil pho-tographique reste ouvert assez longtemps pour que les particules diffusantes impriment unetrace revelant l’orientation et la grandeur de la vitesses du fluide.


Fig. 2.5 – Exemple d’ecoulement instationnaire. Lignes de courant dans l’ecoulement derriereun cylindre qui est mis brusquement en mouvement a Re = 500. Visualisation a l’aide de par-ticules metalliques reflechissantes. A droite, le cylindre s’est deplace d’une fois son diametre,a gauche, de trois fois son diametre. Photographie : R. Bouard et M. Coutanceau.

La visualisation par injection de colorants (ou de fumee dans l’air) est assez simple amettre en ouvre. Elle de ce fait largement utilisee. Neanmoins, comme nous venons de le voir,l’interpretation des visualisations d’ecoulements instationnaires doit etre faite avec precaution.

2.4 Conservation de la masse.

Ecrivons le bilan de quantite de fluide entrant et sortant d’un volume de reference V , fixepar rapport au systeme de coordonnees dans lequel est exprimee la vitesse eulerienne u. Lavariation par unite de temps de la masse contenue dans le volume V est egale a la massetraversant, par unite de temps, la surface S qui delimite le volume V . Soit :

d

dt

∫

Vρdτ = −

∫

Sρu.ndσ

ou n est le vecteur unitaire normal a la surface S et oriente vers l’exterieur de celle-ci. En utilisant le theoreme d’Ostrogradski pour transformer le second membre en integralede volume, et en intervertissant la differentiation temporelle et l’integration dans le premiermembre, on obtient : ∫

V

[∂ρ

∂t+ div(ρu)

]dτ = 0

L’egalite ecrite ci-dessus est valide quel que soit le volume V considere et l’integrand est nul,ce qui conduit a l’expression locale de la conservation de la masse :

∂ρ

∂t+ div(ρu) = 0 (2.3)

Reecrivons 2.3 en developpant le second terme :

∂ρ

∂t+ u.gradρ+ ρ divu =

Dρ

Dt+ ρ divu = 0 (2.4)

La somme des deux premiers termes du membre de gauche est la derivee particulaire (ensuivant le mouvement du fluide) de la masse volumique. Si le fluide est incompressible, la

2.4. CONSERVATION DE LA MASSE. 17

Fig. 2.6 – Ecoulement instationnaire derriere un cylindre. En haut, visualisation simultaneedes lignes d’emission et lignes de courant. En bas, lignes d’emission extraites de l’image etquelques lignes de courant reconstruites.


masse volumique n’evolue pas au cours du temps et l’equation de conservation de la masse sereduit a :

divu = 0 (2.5)

L’equation 2.5 exprime la conservation du volume d’un element de fluide au cours de sadeformation par l’ecoulement. En pratique, un fluide en ecoulement peut etre considere commeincompressible si plusieurs conditions sont reunies :

– i) la vitesse typique de l’ecoulement U est petite devant la vitesse du son c, c’est-a-dire,le nombre de Mach M = U/c est petit devant l’unite. Dans l’eau ou la vitesse du son estvoisine de 1500 m/s cette condition est presque toujours verifiee. En revanche, dans l’airou c est de l’ordre de 300 m/s, de nombreux ecoulements, en particulier en aeronautique,sont influences par la compressibilite du fluide.

– ii) dans un ecoulement instationnaire, si νest la frequence typique de variation temporellede la vitesse, νdoit etre tel que 1/ν c/L ou L est une dimension caracteristique del’ecoulement. C’est-a-dire qu’a l’echelle du temps typique de fluctuation de la vitesse,une onde de pression se propage tres rapidement a travers tout l’ecoulement. Il estevident que si on interesse a la propagation des ondes sonores, par exemple au bruitrayonne par un jet turbulent, il faut tenir compte de la compressibilite du fluide.

– iii) enfin, il est necessaire que la variation de pression due a une force exterieure (lagravite par exemple) soit petite devant la pression absolue. Cette derniere condition estpresque toujours satisfaite, meme si on considere des ecoulements atmospheriques surdes echelles verticales tres grandes.

En pratique, a l’exception notable des applications aeronautiques et de l’acoustique, leseffets de compressibilite sont negligeables dans les ecoulements et nous les ignorerons dans lasuite de ce cours.

2.5 Ecoulement bidimensionnel incompressible. Fonction decourant.

La description de l’ecoulement est nettement simplifiee dans un ecoulement bidimensionnelincompressible. Seules deux composantes de la vitesse sont non nulles et elles sont reliees parla condition de conservation de la masse divu = 0, soit :

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

Cette condition peut etre satisfaite en posant :

u =∂ψ

∂yet v = −∂ψ

∂x(2.6)

La fonction ψ ainsi definie est la fonction de courant. En effet, les lignes ψ = C te ont lapropriete d’etre des lignes de courant. L’equation des lignes de courant est : vdx − udy = 0,soit, en remplacant les composantes de vitesse par les derivees de la fonction de courant :

−∂ψ∂x

dx− ∂ψ

∂ydy = dψ = 0

2.6. MESURE DES CHAMPS DE VITESSE. 19

. Le debit entre deux lignes de courant ψ = ψ1 et ψ = ψ2 est donne par la difference de valeurde la fonction de courant entre ces deux lignes : Q = ψ2 − ψ1. En effet, Q =

∫ 21 u.ndl ou n

est la normale a une ligne quelconque joignant les lignes de courant ψ = ψ1 et ψ = ψ2 . Si(dx,dy) sont les composantes du vecteur tangent a la ligne d’integration, celles de ndl sont(dy,− dx) et le debit Q est :

Q =

∫ 2

1

∂ψ

∂xdx− ∂ψ

∂y(−dy) =

∫ 2

1dψ = ψ2 − ψ1

Ainsi, lorsqu’on represente un ecoulement par des lignes de courant correspondant a des va-leurs de ψ regulierement espacees, le debit de fluide Q = ∆ψ est le meme entre tous lescouples de lignes adjacentes. L’espacement des lignes reflete alors directement la vitesse dufluide : la distance d entre les lignes de courant est inversement proportionnelle a la vitesselocale du fluide : u = ∆ψ/d. De la meme maniere que le champ magnetique, qui est a diver-gence nulle, derive d’un potentiel vecteur, le champ de vitesse d’un ecoulement bidimensionnelincompressible derive du potentiel vecteur A = ψk, k etant le vecteur unitaire sur l’axe z.Il est egalement possible de definir une fonction de courant dans un ecoulement axisyme-trique incompressible, par exemple, l’ecoulement autour d’une sphere. Si le champ de vitesseest independante de la coordonnee azimutale θ autour de l’axe de symetrie, l’equation deconservation de la masse s’ecrit :

divu =∂ux∂x

+1

r

∂rur∂r

= 0

ou x est la coordonnee le long de l’axe de symetrie. Cette equation est satisfaite si :

ux =1

r

∂ψ

∂ret ur = −1

r

∂ψ

∂x

2.6 Mesure des champs de vitesse.

2.6.1 Analyse numerique des visualisations. PIV

L’analyse detaillee des ecoulements necessite une mesure de la vitesse, aussi localisee quepossible dans l’espace, resolue dans le temps et perturbant l’ecoulement le moins possible.Nous avons deja vu des exemples de visualisations qui nous donnent des renseignementsqualitatifs. Les images obtenues avec des particules reflechissantes en suspension peuventetre traitees numeriquement pour obtenir le champ de vitesse. Il y a deux types d’imagesexploitables : soit on fait une pose assez longue pour impressionner des segments dont lalongueur est proportionnelle a la vitesse (comme dans la fig. 2.6), il faut alors identifier dansl’image l’orientation et la longueur des segments. Soit on fait deux poses tres courtes (pourfiger le mouvement des particules) et assez peu espacees pour que la trajectoire des particulesentre les deux poses soit essentiellement rectiligne. Pour mesurer le deplacement des particules,il suffit (en principe) de calculer la fonction de correlation entre les deux images. La fonctionde correlation presente un maximum a une distance egale au deplacement des particules. Cettetechnique appelee PIV (Particle Image Velocimetry) est maintenant couramment utilisee dansles laboratoires.


Fig. 2.7 – Schema d’un velocimetre laser

2.6.2 Velocimetrie laser.

Parmi les techniques de mesure locale de la vitesse, citons en deux qui utilisent des capteursplaces dans l’ecoulement : velocimetrie a fil chaud et tube de Pitot. La theorie du tube dePitot sera detaillee apres l’introduction de la loi de Bernoulli. Dans le velocimetre a fil chaud,un petit fil metallique est maintenu a une temperature constante, superieure a celle du fluide.L’asservissement en temperature du fil permet de mesurer le flux de chaleur evacue par lefluide et un etalonnage permet de relier ce flux de chaleur a la vitesse du fluide.

Il est egalement possible de mesurer la vitesse du fluide sans introduire de capteur dansl’ecoulement, en utilisant les ondes electromagnetiques (velocimetrie laser) ou les ondes acous-tiques (Doppler ultrasonore).

La velocimetrie laser est maintenant la technique la plus utilisee dans les laboratoires derecherche et elle commence a se repandre dans l’industrie. Le faisceau issu d’un laser continuest divise en deux. Les deux faisceaux sont ensuite focalises au sein de l’ecoulement. Dans levolume d’intersection des faisceaux, l’interference des deux ondes produit des franges de pas p,en general egal a quelques microns. Si une particule solide entraınee par l’ecoulement traversel’intersection des faisceaux, la lumiere diffusee par cette particule presente une succession(dans le temps) de maxima et minima qui correspondent au passage de la particule dans lesfranges brillantes et les franges sombres. La lumiere diffusee est recueillie par un photomul-tiplicateur et analysee par un appareil specialise qui determine la frequence f des successiondes maxima d’intensite. Cette frequence est telle que : f = u/p ou u est la projection de lavitesse du fluide sur la normale au plan des franges d’interference. Des dispositifs avec deuxsystemes de franges orthogonaux permettent de mesurer simultanement deux composantesde la vitesse. Avec cette technique, on peut mesurer des vitesses allant de quelques microns/sjusqu’a quelques centaines de m/s (la frequence f est alors de l’ordre de 10 Mhz).

2.6.3 Doppler ultrasonore.

L’echographie ultrasonore est devenu depuis une dizaine d’annees un outil de diagnosticmedical courant, en particulier en obstetrique. Les avancees technologiques de l’informatiqueont permis d’integrer a ces appareils une fonction de mesure de vitesse de l’ecoulement sanguinen utilisant le decalage Doppler de l’onde ultrasonore retrodiffusee. La resolution spatiale dela mesure est assuree de maniere electronique en selectionnant un paquet d’onde retrodiffuse

2.7. DEFORMATIONS DANS UN ECOULEMENT 21

Fig. 2.8 – Allure du signal sortant du photomultiplicateur dans un velocimetre laser.

qui a mis un temps determine pour revenir a la sonde (la meme sonde joue alternativement lerole d’emetteur et de recepteur). Dans les appareils les plus sophistiques, plusieurs modes devisualisation sont disponibles : vitesse du sang en un point du champ en fonction du temps,distribution des vitesses dans la section d’un vaisseau (permet de quantifier le niveau deturbulence), representation du champ de vitesse superpose sur l’image par un systeme decouleurs (permet de localiser les recirculations dans les vaisseaux).

2.7 Deformations dans un ecoulement

2.7.1 Decomposition du gradient de vitesse

Nous verrons que la dynamique des ecoulements est regie par les gradients de vitesse, c’est-a-dire par le mouvement relatif des particules de fluide. Il faut de ce fait analyser en detail lesdeformations subies par un element de fluide place dans un ecoulement. Si deux particules defluide sont placees respectivement en r et r+δr, la difference de leur deplacement pendant untemps δt est : δε = ∇u.δrδt, soit pour la composante i du deplacement : δεi = (∂ui/∂xj)δrjδt.Decomposons le gradient de vitesse en une partie symetrique et une partie antisymetrique :

∂ui∂xj

= eij + ωij (2.7)

ou les parties symetrique et antisymetrique sont respectivement :

eij =1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)ωij =

1

2

(∂ui∂xj− ∂uj∂xi

)(2.8)

Examinons d’abord la contribution de la partie symetrique a la deformation : δεsi = eijδrjδt.Il existe un repere dans lequel le tenseur de rang deux symetrique eij est diagonal. Dans cerepere, notons les composantes de δr : δr ′i. Alors, δεs = aδr′1i

′ + bδr′2j′ ou a,b,i′ et j′ sont

respectivement les valeurs propres et directions propres de eij et ou nous nous sommes limitespour simplifier a un espace bidimensionnel. Notons que : a + b = ekk = divu, la trace d’untenseur etant invariante par changement de repere. Nous pouvons encore decomposer cettedeformation en une partie isotrope et une partie anisotrope, soit :

δεs =

[a+ b

2(δr′1i

′ + δr′2j′) +

a− b2

(δr′1i′ − δr′2j′)

]δt

Le premier terme correspondant a un accroissement relatif de volume d’une quantite a+b2 δt.

Le second terme correspondant a une deformation pure, sans changement de volume, d’am-plitude : (|a− b|/2)δt.


Fig. 2.9 – Imagerie Doppler ultrasonore de l’artere carotide. Dans le losange, a l’interieurde l’image, les niveaux de gris codent la vitesse du sang. Les cotes du losange ainsi quele trait central indiquent la directions de propagation des ultrasons. Sous l’image on voitl’enregistrement temporel de la vitesse au centre du vaisseau inferieur dans l’image. DocumentATL.


Fig. 2.10 – Deformation d’un cercle par un ecoulement. Dilatation globale, puis deformationa volume constant et enfin, rotation en bloc.

Pour mieux comprendre l’effet de l’ecoulement, determinons la deformation d’un elementde fluide initialement circulaire. Le premier terme transforme le cercle de rayon R en un cerclede rayon : R[1+ a+b

2 δt] et le second terme transforme ce cercle en une ellipse dont les axes coın-cident avec les axes propres du tenseur des taux de deformation. Les deux transformations sontillustrees sur la fig. 2.10. Examinons maintenant la contribution de la partie antisymetriquedu gradient de vitesse : δεai = ωijδrjδt, toujours en nous limitant a deux dimensions pour sim-plifier l’analyse. Prenons : δr = (δr1,δr2) ; alors, δεa = (ω12δr2δt ,ω21δr1δt) = ω12δt(−δr2 , δr1), car les composantes diagonales de ωij sont nulles et ω21 = −ω12. Le deplacement de l’ex-tremite du vecteur δr est orthogonal au vecteur δr. L’effet de la partie antisymetrique dugradient de vitesse est de faire tourner ce vecteur d’un angle α ≈ ω12δt. Ceci est vrai quel quesoit l’orientation du vecteur δr. Donc, l’effet de ωij est de faire tourner les elements de volumede fluide, sans deformation, d’un angle α. On voit qu’a deux dimensions,ωij n’a qu’une seulecomposante independante, avec : ω = −2ω12 = 2ω21 et cette composante est telle que :

rotu = ωk = ω (2.9)

Le meme raisonnement s’applique a trois dimensions. On definit le vecteur ωcomme lavorticite locale de l’ecoulement. La vorticite represente le double de la vitesse angulaire derotation d’un element de fluide. Dans certains cas, la vorticite est nulle partout. l’ecoulementest alors qualifie d’irrotationnel.

La figure 2.10 resume la decomposition du gradient de vitesse en trois termes :

– un terme symetrique isotrope qui represente la variation de volume d’un element defluide. Ce terme set nul si le fluide est incompressible (divu = 0).

– un terme symetrique anisotrope qui represente une deformation pure, sans changementde volume.

– un terme antisymetrique qui represente une rotation en bloc, sans deformation. Ce termeest nul si l’ecoulement est irrotationnel.

2.7.2 Ecoulement de cisaillement simple

Appliquons la decomposition explicitee ci-dessus au cas de l’ecoulement de cisaillementsimple que l’on rencontre dans les viscosimetres a cylindres coaxiaux . Le champ de vitesseest : ux = Gy, uy = 0. La seule composant non nulle du gradient de vitesse est : ∂ux/∂y = G


Fig. 2.11 – Deformation d’un element de fluide carre dans un ecoulement de cisaillementsimple : deformation sans changement de volume avec des axes propres a 45˚ puis rotation.

et ses parties symetrique et antisymetrique sont respectivement :

e =1

2

(0 GG 0

)et ω =

1

2

(0 G−G 0

)

Le terme symetrique a une trace nulle, il n’y a donc pas de variation de volume des elementsde fluide. Ce terme symetrique a des axes propres orientes a 45˚ et les valeurs propres sontG/2 et −G/2. Enfin, le terme antisymetrique represente une rotation a la vitesse angulaire−G/2 (fig. 2.11).

2.7.3 Ecoulement elongationnel

Considerons maintenant un ecoulement purement elongationnel. Le champ de vitesse estdonne par la fonction de courant : ψ = kxy qui correspond a : ux = kx, uy = −ky. Les lignesde courant sont des hyperboles. Un tel ecoulement peut etre realise par un appareil a quatrerouleaux rotatifs (fig. 2.12) ou par un systeme de jets opposes. Le gradient de vitesse estsymetrique dans ce cas particulier:

G =

(k 00 −k

)

Les axes propres sont confondus avec les axes x et y. Un cercle se deforme en une ellipse dont legrand axe est parallele a l’axe x. Le gradient de vitesse n’ayant pas de partie antisymetrique, iln’y a pas de mouvement de rotation des elements de fluide ; cet ecoulement est un ecoulementde deformation pure.

L’absence ou la presence d’une composante rotationnelle du gradient de vitesse peut avoirdes consequences importantes. Une solution de polymeres placee dans l’appareil a quatre rou-leaux presente une birefringence assez importante. Cette anisotropie de l’indice de refractioninduite par l’ecoulement est due a la deformation des macromolecules dans l’ecoulement. Enrevanche dans un ecoulement de cisaillement simple, la meme solution de polymere soumisea un gradient de vitesse comparable ne presente pas de birefringence notable. En effet, lacomposante rotationnelle du gradient change continuellement la direction d’elongation desmacromolecules. Dans l’ecoulement elongationnel, les macromolecules restent orientees dansla direction d’allongement et, de ce fait, le gradient de vitesse est beaucoup plus efficacepour deformer les polymeres. Une observation similaire est faite concernant la deformationde goutelettes (suspendues dans un autre liquide) placees dans les memes ecoulements : lesgoutelettes sont plus facilement deformees et fractionnees dans l’ecoulement purement elon-gationnel (fig. 2.12).


Fig. 2.12 – A gauche : Appareil a quatre rouleaux pour produire un ecoulement elongationnel.A droite : Deformation d’une goutelette de fluide visqueux en fonction du nombre capillaire.Les differentes courbes correspondent a differentes valeurs de la vorticite. La deformation laplus importante est obtenue pour une vorticite nulle. Figures tiree de Bentley et Leal, J. FluidMech. 167, 219 (1986).


27

Chapitre 3

DYNAMIQUE

3.1 Forces de surface et tenseur des contraintes

Avant d’ecrire l’equation qui regit la dynamique des fluides, il est necessaire de preciserla definition des forces de surface et des contraintes. Il est possible de classer les forces quis’exercent sur la matiere en deux categories selon leur portee. Il est clair que la gravite s’exercesur des distances extremement grandes devant les dimensions moleculaires et, de ce fait, laforce de gravite sur un element de volume est proportionnelle a son volume. La gravite est,pour la mecanique des milieux continus, une force en volume. En revanche, les interactionsmoleculaires qui assurent la cohesion d’un liquide ont une portee a peine plus grande que lesdimensions moleculaires (bien que ces interactions soient d’origine electromagnetique). Cesinteractions a courte portee ne vont donc concerner qu’une mince couche externe, sur unelement de volume donne. La force globale exercee par ces interactions a courte portee estproportionnelle a l’aire de la surface limitant l’element de fluide et elle est independante deson volume. Il en est ainsi du transport de quantite de mouvement que nous avons invoqueau moment de l’introduction de la viscosite: ce transport de quantite de mouvement resultedes interactions directes entre molecules ou atomes voisins dans le fluide, et non pas d’uneinteraction a longue portee a travers le fluide. L’existence de la viscosite se manifeste par desforces de surface.

3.1.1 Representation des forces de surface par le tenseur des contraintes

Considerons un element de surface δA au sein du fluide, defini par son vecteur normal n.Les forces exercees par le fluide se trouvant d’un cote de la surface sur le fluide se trouvant del’autre cote ont une resultante que nous notons T(n)δA. Par convention, T est la contrainteexercee par le fluide vers lequel pointe la normale n. Ainsi, une contrainte positive representeune tension et une contrainte negative une compression.

Considerons un tetraedre dont trois des faces ont pour vecteur normal les vecteurs unitairesdes axes de coordonnees i,j et k. La quatrieme face a un vecteur normal n. La resultante desforces de surface sur ce tetraedre est : T(n)δA+T(−i)δA1+T(−j)δA2+T(−k)δA3. Les signes- qui apparaissent devant i,j et k proviennent du fait qu’il faut considerer la normale dirigeevers l’exterieur du tetraedre. Ensuite, tenons compte du fait que les facettes δA1, δA2,et δA3

sont des projections de δA, soit : δA1 = δAi.n et que T(−n) = −T(n). La resultante des forcesdevient donc : [T(n)− i.nT(i)− j.nT(j)− k.nT(k)]δA . L’equation de la dynamique pour cetetraedre s’ecrit : masse x acceleration = somme des forces de volume + somme des forces de

28 CHAPITRE 3. DYNAMIQUE

Fig. 3.1 – vecteur contrainte TTT sur une facette de normale nnn.

surface. Si on fait tendre les dimensions lineaires du tetraedre vers 0, les deux premiers termesde l’equation de mouvement tendent vers 0 comme δV ∝ δA3/2 . L’egalite est respectee quelque soit δV seulement si le coefficient de δA est nul, soit :

T(n) = i.nT(i) + j.nT(j) + k.nT(k) (3.1)

et, en considerant uniquement la composante selon l’axe x :

Tx(n) = nxTx(i) + nyTx(j) + nzTx(k) (3.2)

Dans cette expression, Tx(j) est la composante suivant l’axe x du vecteur contrainte quis’exerce sur une facette de normale j. Toutes les composantes de ce type constituent untenseur d’ordre deux, le tenseur des contraintes. L’equation 3.2 peut s’ecrire egalement :

Ti(n) = σijnj (3.3)

ou les σij sont les composantes du tenseur des contraintes ; dans le membre de droite de (3.3),on utilise la convention de sommation d’Einstein : lorsque le meme indice est repete, on effec-tue la somme sur toutes les valeurs possible de cet indice (par exemple, le produit scalaire a.bs’ecrit : aibi). Les composantes diagonales du tenseur sont les contraintes normales alors queles composantes hors diagonale sont les contraintes tangentielles, ou contraintes de cisaille-ment. Les composantes du tenseur des contraintes ne sont pas independantes. Considerons unpetit element de volume parallelepipedique, dont les dimensions sont dx, dy et dz. Ecrivons lecouple exerce par les contraintes sur cet element de volume et, en particulier, la composantesuivant l’axe z : Γz = σxy(dydz)dx−σyx(dxdz)dy = (σxy−σyx)δV L’equation de mouvement,en rotation, pour le petit element de volume est :

δIdω

dt= Γ

ou δI est le moment d’inertie dont l’ordre de grandeur est δV 5/3. Si on fait tendre les dimen-sions lineaires de l’element de volume vers 0, pour que son acceleration angulaire reste finie,il est necessaire que Γz soit nul, ce qui impose : σxy = σyx. Il est evidemment possible de faire

3.1. FORCES DE SURFACE ET TENSEUR DES CONTRAINTES 29

Fig. 3.2 – Vecteurs contraintes et contraintes sur les facettes orientees perpendiculairementaux vecteurs i et j.

le meme raisonnement sur les autres composantes du couple. On en deduit que le tenseur descontraintes est symetrique : σij = σji. Il n’y a donc que six composantes independantes. Ilfaut noter que cette symetrie n’est pas une propriete generale : par exemple, le tenseur descontraintes n’est pas symetrique dans un materiau magnetique, en presence d’un champ.

3.1.2 Tenseur des contraintes dans un fluide en mouvement

Dans un fluide au repos, le tenseur des contraintes est isotrope et il n’y a pas de contraintestangentielles. Sur chacun des axes la contrainte normale est l’oppose de la pression : σxx =σyy = σzz = −p . La contribution de la pression est negative, parce que le fluide est en com-pression (une contrainte normale positive represente une traction). La pression ainsi definieest identique a la pression au sens thermodynamique et elle peut etre definie a partir de l’equa-tion d’etat du fluide. Dans un fluide en mouvement, nous pouvons decomposer le tenseur descontraintes en la somme d’une contribution isotrope, que nous continuons a appeler pressionp, et d’une contribution anisotrope, due a la viscosite du fluide, soit, pour la composante σ ijdu tenseur : σij = −pδij +dij . La contribution anisotrope dij est egalement appele deviateur.L’etablissement des relations entre les contraintes et les deformations ou vitesses de deforma-tion constituent la discipline appelee rheologie (du grec ρειν = couler). Nous verrons dans lechapıtre suivant que les comportements des fluides peuvent etre tres divers. Neanmoins, lagrande majorite des fluides simples ont un comportement dit newtonien, caracterise unique-ment par un coefficient de viscosite que nous avons introduit precedemment. L’ecoulementmacroscopique du fluide constitue une petite perturbation de l’equilibre thermodynamique etles vitesses mises en jeu sont, en general, petites devant la vitesse d’agitation moleculaire. Dece fait, on peut supposer que les contraintes engendrees par l’ecoulement sont des fonctionslineaires du gradient de vitesse. C’est necessairement le gradient de vitesse qui intervient etnon la vitesse elle-meme : dans un ecoulement uniforme, il n’y a pas de mouvement relatif etpas de deformation des elements de fluide. Cette hypothese de linearite conduit a la relationgenerale suivante :

σij = Aijkl∂uk∂xl

(3.4)

ou Aijkl est un tenseur d’ordre quatre qui represente les proprietes physiques du fluide.En tenant compte du caractere isotrope du fluide (les proprietes physiques ne dependent pasde l’orientation), on peut montrer que le deviateur du tenseur des containtes s’exprime sous


la forme suivante :

dij = 2K

(eij −

1

3ekkδij

)(3.5)

ou eij est le tenseur des vitesses de deformation qui n’est autre que la partie symetrique dugradient de vitesse : eij = 1/2(∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi) et ekk = divu est la trace de ce tenseur.Le terme entre parentheses dans 3.5 est le deviateur du tenseur des vitesses de deformation.Le coefficient K qui apparaıt dans 3.5 est la viscosite dynamique η introduite precedemment.En effet, considerons l’ecoulement de cisaillement simple (voir fig. 1.6) ou seule la composante∂ux/∂y du gradient de vitesse est non nulle.La seule composante du taux de deformation nonnulle est : exy = 1

2∂ux∂y et sa trace est nulle : ekk = 0. La relation 3.5 donne la contrainte de

cisaillement : σxy = K ∂ux∂y . Cette derniere relation est precisement celle que nous avons utilise

pour definir la viscosite dynamique (§ 1.4). Seule la partie symetrique du gradient de vitesseapparaıt dans la relation constitutive 3.5. En effet, ainsi que nous l’avons vu dans la partie2.7, la partie antisymetrique correspond a une rotation en bloc, sans deformation. Lorsque lefluide est incompressible, divu = 0 et la relation 3.5 conduit a :

σij = −pδij + 2ηeij (3.6)

Notons qu’avec la decomposition du tenseur des contraintes en une partie isotrope −p et un de-viateur, nous avons cache dans la pression toutes les contraintes qui pourraient resulter d’uneexpansion ou compression isotrope. De telles contraintes existent et sont proportionnelles aun coefficient de viscosite de compression κ(par opposition a la viscosite de cisaillement η).Ces contraintes sont a l’origine de l’attenuation des ondes sonores. Nous nous limiterons icia l’etude d’ecoulements ou les effets de compressibilite sont negligeables et nous pourronsdonc ignorer l’existence de ce second coefficient de viscosite et, dans la plupart des cas, uti-liser la relation 3.6 pour evaluer les contraintes au sein du fluide. Nous examinerons dans lechapıtre suivant, les types de relations contraintes-deformations qui existent dans les fluidesnon-newtoniens qui sont en realite tres nombreux.

3.2 Introduction de l’equation de mouvement sur des ecoule-

ments simples

3.2.1 Ecoulement dans un tube (ecoulement de Poiseuille)

L’ecoulement dans un tube de section circulaire est evidemment tres frequemment utilisepour l’acheminement des fluides, depuis les tuyaux de chauffage central jusqu’aux vaisseauxsanguins. Le profil de vitesse et le champ de pression peuvent etre obtenus simplement avecquelques hypotheses. Considerons la geometrie ideale d’un tube rectiligne, de rayon R, dontla longueur L est tres grande devant le rayon. La condition L R permet de negliger lesperturbations introduites par les extremites du tube et de raisonner comme si le tube etait delongueur infinie. Choisissons des coordonnees cylindriques : x le long de l’axe du tube, r estla coordonnee radiale et θl’angle azimuthal. La symetrie du probleme suggere de chercher unchamp de vitesse qui soit independant de θ et qui soit oriente suivant l’axe du tube, soit unchamp de vitesse unidimensionnel : uθ = 0,ur = 0,u = ux(x,r). Si le fluide est incompressible,la condition de conservation de la masse s’ecrit : ∇.u = 0. Dans le cas present, une seulecomposante de la vitesse est non nulle et cette condition devient : ∂ux/∂x = 0 . Le champ devitesse ne depend donc que de la coordonnee radiale r. Les contraintes de cisaillement sont

3.2. ECOULEMENTS SIMPLES 31

Fig. 3.3 – Ecoulement dans un tube de rayon R.

Fig. 3.4 – Contraintes sur l’element de volume annulaire dans l’ecoulement de Poiseuille.

proportionnelles au gradient de vitesse ; elles sont donc aussi independantes de la coordonneeaxiale x.

Dans un fluide visqueux, la presence de la paroi solide impose que la vitesse s’annulesur cette paroi, soit u(R) = 0. Nous comprennons intuitivement que la vitesse du fluide vaaugmenter progressivement depuis la paroi vers le centre du tube. La repartition radiale devitesse est obtenue en ecrivant l’equilibre des forces sur un element de volume annulaire. Cetelement de volume, represente sur la fig. 3.3 est delimite par les cylindres de rayon r et r+dret par les plans d’abscisse x et x+ dx.

Les forces qui s’exercent sur cet element de volume, suivant l’axe du tube, sont :

– la pression sur les faces perpendiculaires a l’axe :

p(x,r)2πr dr − p(x+ dx,r)2πr dr = − ∂p∂x

2πr dr dx

– les contraintes de cisaillement σrx sur les surfaces cylindriques:

σrx(r + dr)2π(r + dr) dx− σrx(r)2πr dx = 2π∂(rσrx)

∂rdr dx

Notons que le signe des forces tangentes est impose par le choix d’une normale n exterieurea l’element de volume : la normale n(r + dr) a la meme orientation que l’axe r alors que lanormale n(r) a une orientation opposee. En consequence le vecteur contrainte sur la facette(r) a pour composantes: −σrr(r),− σxr(r). Nous cherchons ici une solution independante dutemps. Si la vitesse d’un element de fluide est constante, la resultante des forces est nulle,soit :

∂p

∂x=

1

r

∂(rσrx)

∂r(3.7)


La contrainte de cisaillement est reliee au gradient de vitesse par : σxr = η∂ux/∂r. L’equation3.7 devient donc :

∂p

∂x=η

r

∂

∂r

(r∂ux∂r

)(3.8)

Examinons maintenant la resultante des forces s’exercant sur un element de fluide dansla direction radiale. Prenons le meme element de volume que ci-dessus, mais limite par lesangles polaires θ et θ+ dθ. Ecrivons la resultante des forces sur l’element de volume projeteesur la direction radiale :

−(r + dr) p(r + dr) dθ + r p(r) dθ + 2p(r)dθ

2dr = 0

Les deux premiers termes du membre de gauche proviennent de la pression exercee sur lesfaces cylindriques en r et r + dr. Le troisieme terme provient de la pression exercee sur lesfaces radiales en θ et θ + dθ. D’ou :

∂p

∂r= 0 (3.9)

Si la pression ne depend que de x et la vitesse ne depend que de r, les deux membres del’equation 3.8 sont necessairement egaux a une constante G qui est le gradient de pressionmoyen le long de l’ecoulement : G = ∆p/L. L’equation s’integre une premiere fois en :

∂ux∂r

=Gr

2η+A

r

ou A est une constante d’integration. Pour assurer la continuite du gradient de vitesse (etdonc, des contraintes) sur l’axe du tube, il faut imposer A = 0. Une seconde integrationconduit a :

ux =G

η

(r2 −R2

4

)(3.10)

en tenant compte de la condition aux limites ux(R) = 0. Le profil de vitesse est parabolique,avec une vitesse maximale sur l’axe egale a −GR2/4η. Notons que, si le gradient de pressionest negatif, la vitesse est positive ; l’ecoulement se fait bien de la region de forte pression versla region de faible pression. Le debit de fluide a travers le tube est donne par l’integration duprofil de vitesse :

Q = 2π

∫ R

0uxrdr =

πR4

8η

∆p

L(3.11)

Ce resultat, souvent appele ”loi de Poiseuille 1”, montre que le debit est proportionnel augradient de pression ∆p/L et inversement proportionnel a la viscosite dynamique du fluide.Il depend tres fortement du diametre du tube ; cette dependance en puissance quatrieme dudiametre est une consequence du profil de vitesse parabolique qui est lui-meme une conse-quence de la condition de non glissement sur la paroi du tube. Une situation physique tresdifferente est le transport des electrons dans un conducteur electrique : la vitesse moyenne deselectrons est la meme dans toute la section du conducteur ; la resistance du conducteur estsimplement inversement proportionnelle a sa section (πR2).

1. du nom du medecin francais qui fut l’un des premiers a etudier quantitativement l’ecoulement dans untube rectiligne.

3.2. ECOULEMENTS SIMPLES 33

Fig. 3.5 – Schema de l’ecoulement entre deux cylindres coaxiaux.

3.2.2 Ecoulement entre deux cylindres (ecoulement de Couette)

Un autre ecoulement simple est celui realise dans l’espace compris entre deux cylindrescoaxiaux animes d’une vitesse de rotation constante dans le temps. Le cylindre exterieur(resp. interieur) a un rayon Re (resp. Ri) et il est entraıne a la vitesse angulaire Ωe (resp.Ωi). Nous supposons que les cylindres sont suffisamment longs (dans la direction axiale) pourque les effets dus aux extremites soient negligeables et pour qu’il n’y ait pas de composanteaxiale de la vitesse (le probleme, tridimensionnel dans la realite, est ramene a un problemeplan). Si l’ecoulement reste stable, nous pouvons supposer que le champ de vitesse conserve lasymetrie cylindrique : la vitesse est independante de le coordonnee azimuthale θ. La conditiond’incompressibilite impose alors que la composante radiale de la vitesse soit nulle. Consideronsen effet un element de volume delimite par les rayons θ et θ+ dθ et par les cercles r et r+ dr.Le volume net de fluide qui entre dans cet element de volume est :

rur(r) dθ − (r + dr)ur(r + dr) dθ + uθ(θ) dr − uθ(θ + dθ) dr

Lorsque le fluide est incompressible, cet accroissement de volume est nul, ce qui conduit a :

∂(rur)

∂r+∂uθ∂θ

= 0 (3.12)

Le champ de vitesse etant independant de θ pour une raison de symetrie, l’equation 3.12conduit a : ur = C/r. Sur les parois solides en r = Re et r = Ri la vitesse radiale est nulle (lefluide ne peut traverser ces parois), elle est donc nulle dans tout l’ecoulement.

Nous pouvons maintenant ecrire l’equilibre des forces qui s’exercent sur l’element de vo-lume que nous avons considere ci-dessus. Si l’ecoulement reste stable, nous pouvons supposerque chaque element de fluide se deplace avec une vitesse tangentielle constante sur une tra-jectoire circulaire. Un tel element a une acceleration centripete egale a u2

θ/r. Dans la directionradiale, le gradient de pression equilibre cette acceleration centripete. Ecrivons la resultantedes forces sur l’element de volume projetee sur la direction radiale :

−(r + dr) p(r + dr) dθ + r p(r) dθ + 2p(r) drdθ

2= −ρu

2θ

rr dr dθ


Les deux premiers termes du membre de gauche proviennent de la pression exercee sur lesfaces cylindriques en r et r + dr. Le troisieme terme provient de la pression exercee sur lesfaces radiales en θ et θ + dθ. D’ou :

∂p

∂r= ρ

u2θ

r(3.13)

Dans la direction tangentielle, ecrivons le couple resultant de l’action des contraintes tangen-tielles, couple qui est nul puisque l’element de volume se deplace a vitesse angulaire constante(notons que la pression est independante de θ, elle n’apparaıt donc pas dans l’equation ci-dessous) :

−(r + dr)2σrθ(r + dr) dθ + r2σrθ(r) dθ = 0

soit :∂(r2σrθ)

∂r= 0 (3.14)

Soit, σrθ = C/r2 La contrainte tangentielle est proportionnelle a la vitesse de deformation :

σrθ = η

(∂uθ∂r− uθ

r

)= ηr

∂

∂r

(uθr

)

Il faut soustraire uθ/r au gradient de vitesse pour tenir compte du fait qu’une rotation en bloc(rotation solide avec uθ = ωr) ne provoque pas de deformation. L’integration de l’equationde mouvement donne : uθ = A/r+Br, les constantes d’integration A et B etant determineespar les conditions aux limites sur les parois : uθ(Ri) = ΩiRi et uθ(Re) = ΩeRe :

uθ =(Ωi − Ωe)R

2iR

2e

R2e −R2

i

1

r+

ΩeR2e − ΩiR

2i

R2e −R2

i

r (3.15)

La contrainte tangentielle sur le cylindre exterieur est donc :

σrθ(Re) = 2η(Ωe − Ωi)R

2i

R2e −R2

i

et le couple induit par cette contrainte est :

Γ = 4πη(Ωe − Ωi)R

2iR

2e

R2e −R2

i

(3.16)

Ce couple est proportionnel a la viscosite dynamique du fluide et a la difference de vitessede rotation des deux cylindres. Dans le cas ou le rayon des deux cylindres est tres granddevant leur separation : (Re − Ri = h Ri), on retrouve un ecoulement identique a celuiobserve entre deux plaques planes paralleles, c’est-a-dire un profil de vitesse lineaire. Lorsquele cylindre exterieur est seul en mouvement (Ωi = 0), le couple exerce sur le cylindre exterieurdevient alors Γ = 2πηΩR3/h , ou Ω = Ωe et Re ≈ Ri ≈ R. Ce type d’ecoulement entre deuxcylindres coaxiaux de diametres proches est utilise couramment pour la mesure des viscosites.La realisation d’un viscosimetre de Couette est tres delicate mecaniquement : il faut assurerune parfaite concentricite des deux cylindres et eliminer les frottements au maximum. Ilfaut egalement apporter des corrections empiriques aux formules donnees ci-dessus pour tenircompte des effets de l’ecoulement a l’extremite des cylindres. Les appareils les plus sophistiquespeuvent travailler a vitesse de rotation imposee ou a contrainte imposee.

3.3. L’EQUATION DE NAVIER-STOKES 35

3.3 L’equation de Navier-Stokes

Nous avons trouve l’equation de mouvement du fluide dans quelques cas simples. Passonsmaintenant a l’etablissement de cette equation dans le cas general pour un fluide visqueuxincompressible. La relation fondamentale de la dynamique peut s’exprimer de la manieresuivante : la variation temporelle de la quantite de mouvement d’un element de volume V estegale a la somme des forces qui s’exercent sur cet element de volume, soit :

D

Dt

[∫

Vρu dτ

]=

∫

Vf dτ +

∫

Σσn dS (3.17)

ou Σ est la surface delimitant le volume V , dS est un element de surface de normale n, f estla force exercee par unite de volume et σ le tenseur des contraintes. La derivee temporelledu premier membre est une derivee lagrangienne, c’est-a-dire, en suivant le mouvement desparticules de fluide. La masse de l’element de fluideρdτ reste constante dans ce mouvement. Ilest donc possible d’ecrire le premier terme :

∫V ρDu/Dt dτ . L’integrale des forces de surface

peut s’ecrire, a l’aide du theoreme d’Ostrogradsky sous la forme :∫V ∇.σ dτ ou ∇.σ est la

divergence du tenseur des contraintes, un vecteur dont la composante i est : ∂σij/∂xj . Enfaisant tendre le volume V vers zero l’equation de mouvement devient :

ρDu

Dt= f +∇.σ (3.18)

Maintenant, utilisons la decomposition de la derivee lagrangienne de la vitesse en la sommede la derivee eulerienne et de l’acceleration convective (equation2.1) En tenant compte del’expression du tenseur des contraintes pour un fluide newtonien en mouvement (equation3.6), la contribution des forces de surface a la composante i de l’equation de mouvements’ecrit :

∂σij∂xj

= − ∂p

∂xi+ η

∂2ui∂xj∂xj

et l’equation de mouvement prend la forme :

ρ∂u

∂t+ ρu.∇u = −∇p+ η∆u + f (3.19)

C’est l’equation de Navier-Stokes qui decrit le comportement des fluides newtoniens. Reecri-vons cette equation sous la forme suivante :

∂u

∂t+ u.∇u = −1

ρ∇p+ ν∆u +

1

ρf (3.20)

ou ν est la viscosite cinematique du fluide. L’expression de cette equation en coordonneescylindriques et spheriques est donnee en annexe. Notons, qu’en l’absence d’ecoulement, sila seule force en volume presente est la gravite, nous retrouvons a partir de l’equation deNavier-Stokes la loi de la statique des fluides : ∇p = ρg.

3.3.1 Equation de la vorticite

Dans certaines circonstances, il est utile de decrire le champ de vitesse par l’intermediairede la vorticite ω = ∇ ∧ u. En particulier, dans les ecoulements turbulents on observe le


developpement de zones ou la vorticite est fortement concentree. En prenant le rotationnelde l’equation de Navier-Stokes, on obtient l’equation d’evolution de la vorticite :

∂ω

∂t+ u.∇ω = ω.∇u + ν∆ω +

1

ρ2∇ρ ∧∇p (3.21)

ou on a suppose que la force f derive d’un potentiel. Le membre de gauche de l’equation3.21 est la derivee lagrangienne de la vorticite. Le membre de droite comprend trois termes :deux termes de production et un terme de dissipation du a la viscosite. Le premier termede production est le produit scalaire de la vorticite et du gradient de vitesse. Ce termetraduit a la fois la reorientation du vecteur vorticite par le gradient de vitesse et l’etirementou la compression de la vorticite ; le mecanisme d’etirement de vorticite est crucial pour lageneration de la turbulence.

L’autre terme de production de vorticite fait intervenir le gradient de masse volumique. Ceterme de genaration barocline de la vorticite est nul si le gradient de pression et le gradient dedensite sont paralleles. Ce terme intervient par exemple dans un fluide stratifie verticalementpar la gravite et soumis a un gradient de pression horizontal. Sous l’effet du gradient depression, le fluide dense se met en mouvement moins rapidement que le fluide leger, ce quiengendre un gradient de vitesse vertical et une composante de vorticite perpendiculaire auplan defini par ∇ρ et ∇p.

3.4 Conditions aux limites

L’equation de mouvement et l’equation de conservation de la masse suffisent en principe adeterminer le champ de vitesse et le champ de pression. Encore faut-il preciser les conditionsaux limites auxquelles obeissent la vitesse ou les contraintes.

3.4.1 Interface solide-fluide

Comme nous l’avons deja mentionne, toutes les observations experimentales et les simu-lations numeriques s’accordent pour affirmer que la vitesse d’un fluide s’annulle au voisinageimmediat d’une paroi solide. Le fait que la composante de la vitesse normale a la paroi soitnulle est simplement liee au fait que le fluide ne penetre pas dans le solide. En revanche, lanullite de la composante de vitesse tangente a la paroi est liee a l’existence de la viscosite :une discontinuite de la vitesse conduirait a une contrainte de cisaillement infinie et donc, aune divergence de l’energie dissipee dans l’ecoulement. Dans certaines conditions d’ecoule-ment que nous definirons plus loin, les effets de la viscosite peuvent etre negliges. On peutalors resoudre les equations de mouvement comme si le fluide etait parfait, c’est-a-dire, sansviscosite. Alors, la presence d’une paroi solide impose uniquement la nullite de la composantede vitesse normale a la paroi.

3.4.2 Interface fluide-fluide

De la meme maniere qu’a une interface fluide-solide, une discontinuite de la composante devitesse tangente a l’interface imposerait une contrainte de cisaillement infinie. Une conditionpurement cinematique assure que la composante de vitesse normale a l’interface soit egalementcontinue a travers cette interface. En effet, l’interface se deplace a la meme vitesse que leselements de fluide places a son contact. Si nous placons dans un repere local defini par la

3.4. CONDITIONS AUX LIMITES 37

Fig. 3.6 – Interface entre deux fluides

normale a l’interface (fig. ci- dessous), ou ζ,w1 et w2 sont respectivement la position del’interface et les vitesses normales dans chacun des fluides, cette condition cinematique s’ecrit :

dζ

dt= w1 = w2 (3.22)

En conclusion, la vitesse du fluide est continue a travers une interface. Examinons maintenantla relation qui existe entre les contraintes de part et d’autre de l’interface. Considerons unelement de volume place a cheval sur l’interface, dont les faces sont paralleles a l’interfaceet dont l’epaisseur, perpendiculairement a l’interface, est tres petite. La resultante des forcessur cet element de volume est : [σijnj]1 + [σijnj]2 + tension de surface. Cette resultante estnulle lorsqu’on fait tendre l’epaisseur de cet element de volume vers 0. Prenons des axes xety confondus avec la tangente et la normale a l’interface ; alors nnn1 = (0,1) et nnn2 = −nnn1 =(0,−1). La resultante des forces tangentielles est :

([σxy]1 − [σxy]2

)dx . La resultante des forces

normales est :([σyy]1 − [σyy]2

)dx . Il faut ajouter la contribution de la tension interfaciale

entre les deux fluides. La tension de surface γ est l’energie qu’il faut fournir pour creer uneinterface d’aire unite. On peut aussi considerer γ comme une force par unite de longueur,s’exercant dans le plan de l’interface et qui assure la cohesion de cette interface.

Contraintes normales de part et d’autre de l’interface

Lorsque l’interface est courbe, l’existence d’une tension interfaciale se traduit par unediscontinuite des contraintes normales a la traversee de l’interface. En projetant sur la normalela tension de surface qui s’exerce sur les deux extremites de l’element de volume de longueurdx, on obtient : γdx/R ou R est le rayon de courbure de l’interface, d’ou :

([σyy]1 − [σyy]2

)dx+

γdx/R . Le raisonnement que nous venons de faire sur un element de volume bidimensionnelpeut etre refait en trois dimensions. Il conduit a :

[σnn]1 − [σnn]2 = γ

(1

Ra+

1

Rb

)= γC (3.23)

ou Ra et Rb sont les rayons de courbure de l’interface dans deux plans orthogonaux et Cest la courbure totale de l’interface. Lorsque les contraintes normales se reduisent a −p, 3.23devient :

∆p = γC (3.24)

la pression etant la plus elevee a l’interieur de la courbure (l’interieur d’une bulle est ensurpression). Cette equation est l’equation classique de la capillarite.


Fig. 3.7 – Ascension capillaire

Le phenomene d’ascension capillaire est une manifestation de cette discontinuite de pres-sion a la traversee d’une interface courbe. Si on plonge l’extremite d’un petit tube de verredans l’eau, on voit l’eau monter dans le tube. La hauteur d’ascension est inversement pro-portionnelle au rayon du tube. Si le verre est tres propre, l’interface eau-air se raccorde a lasurface du verre avec un angle tres petit et le menisque est une demi-sphere de rayon egala celui du tube. Au dessus de l’interface, la pression est egale a la pression atmospheriquep0. Immediatement en-dessous de l’interface, la pression est inferieur a p0, d’une quantite∆p = 2γ/R. Pour retrouver une pression p0 en bas du tube, il faut que le liquide monte d’unehauteur h telle que : ρgh = ∆p.

Contraintes tangentielles de part et d’autre de l’interface

En projetant la tension de surface sur la direction x, il vient :([σxy]1 − [σxy]2

)dx+ γ(x+

dx)− γ(x) = 0 , soit :

∆σxy =∂γ

∂x(3.25)

La discontinuite de contrainte tangentielle est egale au gradient de tension superficielle le longde l’interface. La tension superficielle depend, en general, de la temperature et, eventuellement,de la concentration de molecules tensioactives. S’il n’y a pas de gradient de temperature, s’iln’y a pas de tensioactif dans le liquide ou si la concentration de tensioactif est uniforme, latension superficielle est uniforme et il n’y a pas de discontinuite de la contrainte tangentiellea la traversee d’une interface. Lorsque le fluide est newtonien, les contraintes tangentiellessont proportionnelles au gradient de vitesse. Si l’ecoulement est unidimensionnel et paralleleau plan de l’interface, la relation 3.25 prend la forme suivante :

η1

[∂ux∂y

]

1

= η2

[∂ux∂y

]

2

(3.26)

ou les directions x et y sont respectivement paralleles et normales a l’interface. Les gradientsde vitesse de part et d’autre de l’interface sont dans un rapport qui est inverse du rapportdes viscosites dynamiques. Lorsqu’un des fluides a une viscosite tres petite devant celle del’autre fluide (cas d’une interface liquide-gaz), 3.26 se reduit a :∂ux/∂y = 0 dans le fluide leplus visqueux : dans ce cas, le gradient de vitesse est nul sur l’interface.

3.5. NOTION DE SIMILITUDE 39

Fig. 3.8 – Deux ecoulements geometriquement similaires caracterises par les longueurs L1 etL2 et par les vitesses U1 et U2

3.5 Notion de similitude. Une definition plus precise du nombrede Reynolds

Une fois qu’une solution de l’equation de Navier-stokes a ete obtenue avec des conditionsaux limites particulieres, on peut se demander si cette solution est egalement observee dans desecoulements geometriquement similaires. Deux ecoulements sont geometriquement similairessi toutes leurs dimensions sont homothetiques. Considerons par exemple l’ecoulement autourd’un obstacle place dans un canal (fig. 3.8). En l’occurence, la geometrie de l’ecoulement estcompletement definie par la donnee de la largeur L du canal et par tous les rapports entre Let les dimensions de l’obstacle.

De la meme maniere, il est possible de caracteriser le champ de vitesse par une vitesserepresentative U . Pour ce qui concerne l’ecoulement dans un canal, U peut etre la vitessemoyenne d’ecoulement. Le champ de vitesse est alors fixe par la donnee de L et U par desfonctions sans dimensions u′ = u/U de coordonnees d’espace sans dimensions r ′ = r/L.Ecrivons l’equation de Navier- Stokes avec ces variables sans dimension, en omettant le termede force en volume. Notons que les derivees spatiales s’ecrivent :∂/∂r = 1/L∂/∂r ′ et que nouspouvons definir un temps caracteristique τ = L/U .

U

τ

∂u′u′u′

∂t′+U2

Lu′.∇u′u′.∇u′u′.∇u′ − U

L2ν∆‘u′u′u′ = − 1

ρL∇p′ (3.27)

ou t′ est un temps adimensionnel : t′ = t/τ . En reportant la valeur de τ dans 3.27 et endivisant par U 2/L, on obtient :

∂u′u′u′

∂t′+ u′.∇u′u′.∇u′u′.∇u′ − ν

UL∆‘u′u′u′ = −∇‘p′ (3.28)

ou nous avons defini une pression adimensionnelle :p′ = p/ρU2 . En effet, 1/2ρU 2 qui estl’energie cinetique (typique) par unite de volume a la dimension d’une pression. C’est cequ’on nomme la pression dynamique. L’equation de Navier Stokes ainsi ecrite ne comporteplus que des termes sans dimension et les parametres physiques qui determinent l’ecoule-ment apparaissent uniquement dans le rapport :ν/UL = 1/Re qui est l’inverse du nombre deReynolds. Si on obtient une solution de l’equation de Navier-Stokes avec des conditions auxlimites prescrites par U , L et par des combinaisons des variables d’espace sans dimension,cette solution sera egalement valide si la vitesse caracteristique U et la longueur caracteris-tique L sont modifiees a condition que le nombre de Reynolds reste le meme. Ces ecoulementsont une similitude dynamique.

Lorsqu’il n’y a pas de force en volume, les seuls parametres qui caracterisent le fluide sontsa viscosite dynamique et sa masse volumique. Le nombre de Reynolds est une estimation


du rapport entre les effets d’inertie et les effets de viscosite. On peut le voir egalement enconsiderant l’importance relative des termes u′.∇u′u′.∇u′u′.∇u′ et (ν/UL)∆‘u′u′u′ dans l’equation 3.28. SiU et L sont convenablement choisis pour representer l’ecoulement, toutes les variables sansdimension (avec des ‘) sont d’ordre unite, de telle sorte que u′.∇u′u′.∇u′u′.∇u′ et ∆‘u′u′u′ sont du memeordre de grandeur. Le rapport du terme inertiel u.∇uu.∇uu.∇u et du terme lie a la viscosite ν∆uuu, dansl’equation de Navier-Stokes, est precisement le nombre de Reynolds.

Lorsque des effets physiques autres que l’inertie et la viscosite entrent en jeu, d’autresparametres de similitude apparaissent. Par exemple, si on rajoute un terme de gravite al’equation 3.28, le rapport des effets inertiels sur les effets de gravite vaut, en ordre de grandeur,U2/gL . C’est le nombre de Froude. Si l’on veut respecter l’importance relative des effetsinertiels et des effets de gravite dans un essai sur maquette, par exemple, il faut travailler anombre de Froude constant.

41

Chapitre 4

FLUIDES NON NEWTONIENS

4.1 Fluides non newtoniens et rheologie

Si le modele de fluide newtonien decrit bien la tres grande majorite des fluides composes demolecules simples, il existe un bon nombre de fluides, dont certains sont d’usage tres courant,qui ont un comportement sous ecoulement plus complexe. La definition d’un fluide newto-nien est assez restrictive : les contraintes de cisaillement sont proportionnelles au gradient devitesse, ce qui implique que :

– Dans un ecoulement de cisaillement simple, les seules contraintes creees par l’ecoulementsont des contraintes de cisaillement.

– La viscosite est independante de la vitesse de cisaillement.

– La viscosite est independante du temps et les contraintes s’annulent immediatementlorsque l’ecoulement est arrete.

Toute deviation de ces regles est le signe d’un comportement non-newtonien. La descriptiondes ces comportements et leur interpretation en relation avec la structure microscopique dufluide constitue la discipline appelee rheologie. Cette discipline est assez recente ; elle a connuun developpement considerable avec l’apparition des polymeres synthetiques.

4.2 Comportement non lineaire

Commencons par examiner le caractere non-newtonien le plus repandu, la variation deviscosite avec la vitesse de cisaillement. Tres souvent, pour les solutions de polymere, la visco-site diminue au fur et a mesure que l’on augmente le taux de cisaillement (gradient de vitesse)auquel est soumis le fluide. C’est le comportement rheofluidifiant (shear thinning en anglais).Ce comportement est egalement observe dans les suspensions de particules solides, dans lessuspensions de vesicules deformables comme le sang. Les deux figures ci-dessous montrentles rheogrammes (relation contrainte-taux de cisaillement) et l’evolution de la viscosite enfonction du taux de cisaillement pour trois fluides rheofluidifiants.

4.2.1 Relations empiriques pour la viscosite

Lorsque la viscosite n’est plus independante du taux de cisaillement, il est necessaired’utiliser plusieurs parametres pour decrire le comportement mecanique du fluide. Un certainnombre de modeles empiriques permettent cette description : i) modele en loi de puissance

42 CHAPITRE 4. FLUIDES NON NEWTONIENS

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100C

ontr

aint

e (P

a)

10-2 10-1 100 101 102 103 104

Taux de cisaillement γ (s-1)

Polyacrylamide

SangLatex

Newtonien

Fig. 4.1 – Exemples de fluides rheofluidifiants. Rheogrammes obtenus pour une i) solutionaqueuse de polyacrylamide, ii) du sang, iii) une suspension de particules de polymere (latex)dans l’eau.

2

46

0.01

2

46

0.1

2

46

1

2

Vis

cosi

té (P

a.s)

10-2 10-1 100 101 102 103 104

Taux de cisaillement γ (s-1)

Polyacrylamide

SangLatex

Fig. 4.2 – viscosite en fonction du taux de cisaillement pour une solution aqueuse de poly-acrylamide, du sang, une suspension de particules de polymere (latex) dans l’eau.

4.3. VISCOELASTICITE LINEAIRE 43

d’Ostwald Dans une certaine gamme de taux de cisaillement, on peut representer la viscositecomme une loi de puissance de γ, en particulier pour les polymeres fondus :

η = mγn−1 (4.1)

Le fluide newtonien correspond a n = 1 et un fluide rheofluidifiant est represente par n < 1.Bien que ce modele permette de resoudre bon nombre de problemes d’ecoulement de fluidesnon-newtoniens, il faut garder a l’esprit qu’il decrit tres mal le comportement a faible tauxde cisaillement et que les parametres m et n n’ont pas d’interpretation claire en termes deparametres microscopiques tels que la masse moleculaire. ii) modele de Carreau Une extensiondu modele en loi de puissance est la relation de Carreau qui fait intervenir cinq parametres :

η − η∞η0 − η∞

= [1 + (λγ)a](n−1)/a (4.2)

ou η0 est la viscosite a cisaillement nul, η∞la viscosite a cisaillement infini, λ une constantede temps, n un exposant de loi de puissance et a est un parametre qui decrit la transitionentre le comportement a faible cisaillement et la region en loi de puissance. Encore une fois,les differents coefficients sont determines de maniere empirique et n’ont pas de significationphysique simple.

4.2.2 Fluide de Bingham

Un cas particulier du comportement rheofluidifiant est l’existence d’une contrainte seuild’ecoulement : si la contrainte appliquee au fluide est inferieure a cette contrainte seuil, aucunedeformation ne se produit, le fluide ne coule pas. Un exemple courant de fluide a seuil est lapate dentifrice : elle ne peut sortir du tube sous l’effet de son propre poids, il faut lui appliquerune contrainte nettement superieure pour qu’elle s’ecoule. La representation la plus simpled’un fluide a seuil est le modele de Bingham qui donne la relation suivante entre la contrainteσ et le taux de cisaillement γ:

σ = σs + ηpγ (4.3)

ou σs et la contrainte seuil et ηp est appele la viscosite plastique. En pratique le modele deBingham ne s’applique que dans une gamme limitee de taux de cisaillements et la contrainteseuil, obtenue par extrapolation du rheogramme a γ = 0, est souvent difficile a determinercorrectement.

On rencontre egalement le comportement rheoepaississant (shear thickening) : la viscositeaugmente lorsqu’on augmente le taux de cisaillement. Dans la plupart des cas connus, le com-portement rheoepaississant n’est observe que sur une gamme limitee de taux de cisaillement,le liquide possedant egalement un comportement rheofluidifiant a des taux de cisaillementplus faibles. Par exemple, les suspensions tres concentrees (au-dessus de 30% en fraction vo-lumique) de particules solides presentent une brusque augmentation de viscosite qui est lieea un changement important de la structure de la suspension.

4.3 Viscoelasticite lineaire

Un autre comportement non-newtonien tres important est le caractere viscoelastique, tresfrequent dans les solutions de polymeres et dans les polymeres fondus. La reponse du fluidea une deformation presente a la fois un aspect visqueux (contrainte proportionnelle a la


25

20

15

10

5

0

Con

trai

nte

(Pa)

8006004002000

Taux de cisaillement (s-1)

Contrainte seuilextrapolée

Contrainte seuildu modèle de Bingham

Fig. 4.3 – Exemple de fluide a seuil d’ecoulement. Rheogramme d’une suspension concentreede bauxite avec les contraintes seuils d’ecoulement determinees i) par un modele de Bingham,ii) par extrapolation d’un ajustement polynomial.

vitesse de deformation) et un aspect elastique (contrainte proportionnelle a la deformation).Un exemple particulierement spectaculaire de fluide viscolelastique est la pate de siliconeconnue sous le nom commercial de ”silly-putty”: une boule de silly-putty rebondit sur le solcomme une balle de caoutchouc ; pourtant, si on pose cette boule sur une surface horizontaleet si on attend quelques minutes, on voit le silly-putty s’etaler comme un fluide visqueux.Le meme materiau reagit de maniere tres differente lorsqu’il est soumis a une sollicitationtres rapide (en le faisant rebondir sur le sol) ou lorsque la contrainte est appliquee pendantun temps tres long. Dans le premier cas, le temps de sollicitation est inferieur a un tempscaracteristique du materiau, les composants elementaires n’ont pas le temps de se deformerde maniere importante et on observe une reponse elastique. En revanche, lorsque le tempsde sollicitation est plus grand que le temps caracteristique, on observe une reponse de typevisqueux. Le modele le plus simple de fluide viscoelastique consiste a additioner les contraintesd’origine elastique et les contraintes d’origine visqueuse :

σ = σelast. + σvisq. = Eγ + ηγ (4.4)

ou E est un module d’elasticite et γ est la deformation. Une representation graphique de cemodele, dit solide de Kelvin-Voigt, est l’association en parallele d’un ressort et d’un piston.On peut egalement associer en serie un ressort et un piston (modele du liquide de Maxwell) ;dans ce cas, les deformations elastique et visqueuse s’additionnent et les contraintes sontidentiques, soit :

γ =dγviscdt

+dγelastdt

=1

E

dσ

dt+σ

η(4.5)

Les modeles de Kelvin et Maxwell ont evidemment des analogues en electricite : une resistanceet un condensateur soit en parallele, soit en serie. Les deux modeles font apparaıtre un tempsde relaxation caracteristique : τ = η/E qui est l’analogue du temps caracteristique RC enelectricite. Experimentalement, le comportement viscoelastique peut etre mis en evidence enexaminant l’evolution temporelle de la reponse du fluide. Il y a essentiellement trois typesd’experiences : le fluage (creep), la relaxation de contrainte et la sollicitation oscillante.

4.3. VISCOELASTICITE LINEAIRE 45

Fig. 4.4 – Modele de Kelvin (a gauche) et modele de Maxwell pour un fluide viscoelastique.

τ

t

J

Fig. 4.5 – fonction fluage d’un solide de Kelvin-Voigt.

4.3.1 Experience de fluage

Dans une experience de fluage, le materiau est soumis, a partir d’un instant donne, a unecontrainte constante σ0. La deformation γ(t) est reliee a la contrainte par la fonction fluagef(t) :

γ(t) = f(t) σ0 (4.6)

La fonction fluage a la dimension de l’inverse d’une contrainte. Pour le solide de Kelvin-Voigt,la fonction fluage a pour expression :

f =1

E[1− exp(−tE/η)] = J [1− exp(−t/τ)] (4.7)

ou J = 1/E est la complaisance elastique et τ est le temps de relaxation defini ci-dessus. Lesolide de Kelvin-Voigt a un comportement elastique a temps long (t τ), apres un regimetransitoire dont la duree est definie par τ . Il s’agit d’une elasticite retardee par la presence del’element visqueux.

Pour le liquide de Maxwell, la fonction fluage est :

f =1

E+t

η= J +

t

η(4.8)

A temps long, le comportement est celui d’un fluide newtonien avec une viscosite η: la de-formation augmente lineairement avec le temps. La difference avec un fluide newtonien est lapresence d’une elasticite instantanee donnee par la complaisance elastique J .


J

f(t)

t

1/η

Fig. 4.6 – fonction fluage d’un liquide de Maxwell

4.3.2 Relaxation de contrainte

Le comportement viscoelastique peut etre egalement analyse dans l’experience de relaxa-tion de contrainte : le materiau est soumis, a partir d’un instant donne, a une deformation γ0

constante. La contrainte est proportionnelle a la fonction de relaxation g :

σ(t) = g(t)γ0 (4.9)

La fonction de relaxation g a la dimension d’un module elastique.

4.3.3 Sollicitation periodique

La determination des temps de relaxation peut etre effectuee en soumettant le materiau aune sollicitation periodique, par exemple dans un rheometre a mobile tournant fonctionnanten mode sinusoıdal. Si la deformation imposee est sinusoıdale et de faible amplitude : γ =γ0 exp(iωt), la reponse en contrainte est egalement sinusoıdale , avec un dephasage δ parrapport a la deformation : σ = σ0 exp(iωt + δ) . La contrainte et la deformation sont relieespar un module de cisaillement complexe G∗ tel que :

σ(t) = G∗(ω)γ(t) et G∗ = G′ + iG′′ (4.10)

ou les parties reelle et imaginaire de G∗ sont le module de conservation (storage modulus)et le module de perte (loss modulus). On definit egalement une viscosite complexe η∗ telleque :

σ(t) = η ∗ (ω)γ (4.11)

les parties reelle et imaginaire de η∗ etant reliees aux modules de cisaillement par :

η∗ =G′′

ω− iG

′

ω

Le module de conservation G′ caracterise la reponse en phase avec la deformation. Il estassocie a la reponse elastique. En revanche, le module de perte G′′ est associe a la reponse detype visqueux, en quadrature de phase par rapport a la deformation. La puissance mise enjeu dans la deformation est, par unite de volume :P = σγ . En faisant la moyenne de cettequantite sur un quart de periode, de t = 0 a t = π/2ω, il vient :

P = ±ωγ20

πG′(ω) +

ωγ20

2G′′(ω) (4.12)

Le premier terme change de signe tous les quarts de cycle : c’est l’energie de deformationelastique stockee puis restituee. Ce terme est proportionnel a la partie reelle du module de

4.4. ANISOTROPIE DES CONTRAINTES NORMALES 47

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0.01 0.1 1 10 100ωτ

G'/GG''/G

η'/η0

Fig. 4.7 – modules de cisaillement et viscosite pour le liquide de Maxwell en fonction de lafrequence reduite.

cisaillement. Le second terme est toujours positif, c’est l’energie dissipee par le frottementvisqueux. Il est proportionnel a la partie imaginaire du module. Le module de cisaillementcomplexe est facilement calcule pour le modele du liquide de Maxwell. Sa dependance enfrequence est analogue a celle de l’impedance d’un circuit RC :

G′ = Eω2τ2

1 + ω2τ2, G′′ = E

ωτ

1 + ω2τ2, η′ =

η

1 + ω2τ2(4.13)

La reponse est de type elastique aux grandes frequences (temps courts) et de type visqueuseaux basses frequences (temps longs).

Le modele de Maxwell qui ne prend en compte qu’un seul temps de relaxation est incapablede representer correctement les proprietes de veritables liquides viscoelastiques. La figure ci-dessous montre le module de conservation et le module de perte mesures sur du polyethylenefondu. Les deux modules sont du meme ordre de grandeur et augmentent continument avecla frequence. Ce diagramme peut s’interpreter par une distribution assez large des temps derelaxation. Ces temps de relaxation correspondent au differents modes de deformation de lachaıne polymere.

Un autre exemple est donne ci-dessous avec les modules de cisaillement de polystyreneslineaires de differentes masses moleculaires. Pour les plus grandes masses moleculaires, il ap-paraıt une bande de frequences dans laquelle G′ et G′′ sont constants. L’existence de ce ”plateau caoutchouteux ” est lie aux enchevetrements qui se produisent entre des macromo-lecules de grande masse. L’ecoulement du materiau necessite la ” reptation ” d’un polymeredans les enchevetrements imposes par les polymeres environnants.

4.4 Anisotropie des contraintes normales

Dans un fluide newtonien soumis a un ecoulement de cisaillement simple (ux = γy), seulela contrainte tangentielle σxy est modifiee par l’ecoulement, les contraintes normales restentisotropes et egales a −p. Dans certains liquides, essentiellement des solutions de polymeres detres grande masse moleculaire, l’ecoulement de cisaillement induit egalement une differenceentre contraintes normales :

σxx − σyy = N1(γ) et σyy − σzz = N2(γ) (4.14)


Fig. 4.8 – modules de cisaillement pour du polyethylene fondu. Les courbes en trait plein sontobtenues d’apres un modele de Maxwell generalise, a plusieurs temps de relaxation. D’ apresH.M. Laun, Rheol. Acta, 17, 1 (1978)

L’anisotropie des contraintes normales est un effet non-lineaire : a faible taux de cisaille-ment, N1 et N2 sont des fonctions quadratiques de γ . Pour refleter ce caractere non lineaire,on definit deux coefficients d’anisotropie Ψ1 et Ψ2 tels que : N1 = −Ψ1γ

2 et N2 = −Ψ2γ2. En

general N1 est negatif et beaucoup plus grand en valeur absolue que N2 qui est generalementpositif.

L’apparition d’anisotropie des contraintes normales est lie au fait que l’ecoulement decisaillement modifie la microstructure du fluide et la rend anisotrope. Prenons l’exemple d’unesolution de polymeres : la macromolecule en solution a l’aspect d’une ”pelote” de fil contenuedans une enveloppe spherique. Lorsqu’elle est soumise a un cisaillement suffisamment fort,cette pelote se deforme en un ellipsoıde dont le grand axe a tendance a tourner vers la directiond’ecoulement (cf. II,7 deformation dans les ecoulements). L’elasticite du polymere, d’origineessentiellement entropique, a tendance a ramener cet ellipsoıde vers une forme spherique.La force de rappel est maximale dans la direction de l’ecoulement ; elle est responsable del’apparition d’une compression le long de l’ecoulement. Ceci implique donc que σxx < σyy,soit N1 < 0. En revanche, il n’y a pas d’interpretation simple du signe de N2. La figure4.11 montre la dependance en taux de cisaillement de la premiere difference des contraintesnormales pour deux solutions de polymere (polyacrylamide et polyisobutylene) et une solutionde surfactant. L’anisotropie des contraintes normales a deux manifestations spectaculaires :l’ascension du fluide le long d’un barreau tournant (effet Weissenberg) et l’expansion dujet sortant d’un orifice (fig. 4.12). Dans l’ecoulement engendre par le cylindre tournant, lavitesse est essentiellement azimuthale, avec un gradient radial. L’anisotropie des contraintesnormales conduit ici a : σθθ < σrr. Il y a une ”tension” le long des lignes de courant circulairesqui tend a pousser le fluide vers le centre de rotation et donc a le faire monter le long du


Fig. 4.9 – modules de cisaillement pour une serie de polystyrenes lineaires de masses mole-culaires allant de 8900 (L9) a 580000 (L18). D’apres S. Onogi, T. Masuda, K. Kitagawa,Macromolecules 3, 109 (1970)

Fig. 4.10 – Contraintes engendrees par un ecoulement de cisaillement.


Fig. 4.11 – coefficient Ψ1 de la premiere difference des contraintes normales en fonction dutaux de cisaillement pour differentes solutions : cercles : polyacrylamide, triangles : polyisobu-tylene, carres : laurate d’aluminium. D’apres J.D. Huppler et al., Trans. Soc. Rheol., 11 159(1967)

cylindre tournant. Dans le cas du jet, l’expansion a la sortie de l’orifice est due a la relaxationdes contraintes normales σxx (x etant la direction de l’axe du tube) accumulees pendantl’ecoulement a l’interieur du tube. Cet effet d’expansion intervient frequemment dans lesprocedes d’extrusion des polymeres fondus.


Fig. 4.12 – effets de l’anisotropie des contraintes normales. Ascension d’une solution depolyisobutylene le long d’un barreau tournant (a droite, photographie : Shell Research Ltd.).Expansion d’un jet de solution de polyacrylamide a la sortie d’un orifice (a gauche, photogra-phie : R.E. Evans).


53

Chapitre 5

LOIS DE CONSERVATION

5.1 Conservation de la quantite de mouvement

Nous avons juqu’a present ecrit l’equation de mouvement des fluides a partir de l’equationfondamentale de la dynamique ainsi que l’equation de conservation de la masse. Nous allonsmaintenant reecrire ces equations sous une autre forme en considerant le bilan de quantite demouvement dans un volume ferme du fluide.

5.1.1 Conservation de la quantite de mouvement

Determinons la variation temporelle de la quantite de mouvement d’un element de fluidede volume unite, dont la masse est ρ:

∂(ρu)

∂t= u

∂ρ

∂t+ ρ

∂u

∂t(5.1)

et utilisons, d’une part, l’equation de mouvement (3.18)qui relie l’acceleration ”particulaire” Du/Dt aux forces en volume et aux contraintes ;

l’equation 5.1 devient :∂(ρu)

∂t= u

∂ρ

∂t− ρu.∇u + divσ + f (5.2)

D’autre part, reecrivons l’equation de conservation de la masse de cet element de volume ,sous la forme ”lagrangienne” :

∂ρ

∂t+∇.(ρu) = 0 (5.3)

et 5.2 donne :∂(ρu)

∂t= −u∇.(ρu)− ρu.∇u + divσ + f (5.4)

soit, en notation indicielle pour la composante i:

∂(ρui)

∂t= −ui

∂(ρuj)

∂xj− ρuj

∂ui∂xj

+∂σij∂xj

+ fi (5.5)

ce qui donne, en regroupant les deux premiers termes du membre de droite :

∂(ρui)

∂t=

∂

∂xj(−ρuiuj + σij) + fi (5.6)

54 CHAPITRE 5. LOIS DE CONSERVATION

L’equation 5.6 n’est qu’une autre ecriture de l’equation de mouvement. Elle ne fait aucunehypothese quant a la compressibilite ou a la loi de comportement ; elle est valide dans toutes lescirconstances. Le second membre de 5.6 fait apparaıtre la divergence du tenseur des contraintesainsi que la divergence du flux convectif de quantite de mouvement. L’expression ρuiuj esten effet la quantite de mouvement dans la direction i qui traverse, par unite de temps, unesurface unite dont la normale est parallele a j et ce, uniquement sous l’effet de la convectiondu fluide. La somme de ρuiuj et de σij constitue le flux total de quantite de mouvement. Enpratique, l’equation de conservation de l’impulsion est surtout utilisee sous sa forme integrale,que nous allons etablir maintenant. Integrons 5.6 sur un volume V , fixe par rapport au repereou est definie la vitesse eulerienne u, en utilisant le theoreme de la divergence :

∫V ∇.A dV =∫

S A.n dS. Nous obtenons:

∫

V

∂(ρui)

∂tdV = −

∫

S(ρuiuj − σij)nj dS +

∫

Vfi dV

ou S est la surface limitant le volume V et n est la normale a S. Et, en utilisant le faitque le volume V est fixe dans l’espace, en separant le tenseur des contraintes en une partieisotrope −pδij et un deviateur dij:

d

dt

(∫

Vρui dV

)= −

∫

Sρuiujnj dS +

∫

Sdijnj dS −

∫

Spni dS +

∫

Vfi dV (5.7)

L’equation de conservation de l’impulsion prend une forme particulierement simple lorsquel’ecoulement est stationnaire et que la force en volume derive d’un potentiel φ (comme lagravite, par exemple). Alors, 5.7 devient :

∫

Sρuiujnj dS =

∫

Sdijnj dS −

∫

Spni dS +

∫

Sφni dS (5.8)

qui exprime un equilibre entre, d’une part, le flux convectif de quantite de mouvement atravers la surface S et, d’autre part, l’integrale des contraintes dues a la presence du fluideexterieur au volume V et l’integrale sur S du potentiel equivalent au champ de force. Nousverrons qu’un choix judicieux du volume de controle V permet d’estimer tres simplement laforce sur des objets places au contact d’un ecoulement. L’equation de conservation sous laforme 5.8 ne fait intervenir que des quantites calculees sur la surface limitant le volume decontrole ; il est inutile de connaıtre le champ de vitesse et le champ de pression a l’interieurde V .

5.1.2 Exemple d’application de la conservation de la quantite de mouve-ment : force exercee par l’ecoulement sur une conduite coudee

Considerons l’ecoulement dans une conduite presentant un coude progressif d’angle α.Nous supposons ici que l’ecoulement est a un nombre de Reynolds suffisant pour que les effetsvisqueux soient negligeables. De plus, nous supposons que le profil de vitesse est plat dansles sections droites du tube, ce qui effectivement observe a grand nombre de Reynolds. Nouscherchons la force exercee par l’ecoulement sur la conduite. Cette force F est l’integrale descontraintes sur la surface interieure de la conduite Si, soit : F =

∫Si−pn dS ou n est un

vecteur unitaire normal a Si et oriente vers le fluide.

5.1. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT 55

Fig. 5.1 – Ecoulement dans une conduite coudee. Le volume de controle utilise pour appliquerla conservation de l’impulsion est limite par le trait pointille.

Pour calculer F, appliquons la loi de conservation de l’impulsion sur un volume de controledelimite par la surface interieure de la conduite Si et par deux sections droites S1 et S2 placeesen amont et en aval du coude, soit, en negligeant le poids du liquide contenu dans le tube :

∫

Sρuiujnj dS = −

∫

Spni dS

ou S est la reunion de S1, S2 et Si. Soit encore, puisque les vecteurs unitaires n sont orientesvers l’exterieur du volume de controle (n = −n) :

∫

Sρuiujnj dS = −

∫

S1

pni dS −∫

S2

pni dS − Fi (5.9)

Les normales a S1 et S2 ont pour composantes respectives : (-1,0) et (cosα, sinα). La compo-sante suivant x de l’equation de conservation est :

ρ(−U21S1 + U2

2S2 cosα) = p1S1 − p2S2 cosα− Fx (5.10)

et la composant suivant y est :

ρU22 sinα = −p2S2 sinα− Fy (5.11)

Il faut ajouter a ces deux equations la conservation du debit : U1S1 = U2S2, ce qui donne :

Fx = p1S1 − p2S2 cosα+ ρU2S2(U1 − U2 cosα) (5.12)

Fy = −(ρU22 + p2)S2 sinα (5.13)

Si l’entree et la sortie du coude ont la meme section : S1 = S2 = Σ et U1 = U2 = U , alors lesequations 5.13 deviennent :

Fx = Σ[p1 − p2 cosα+ ρU 2(1− cosα)] (5.14)

Fy = −Σ(ρU 2 + p2) sinα (5.15)

La composante de force Fy est celle qui permet la mise en mouvement des arroseurs rotatifsqui sont faits de deux tubes coudes a leur extremite et montes sur un axe de rotation vertical.Lorsque les canalisations sont de grande dimensions et que le debit est tres important commec’est le cas dans les conduites forcees d’usines hydroelectriques, les forces exercees sur uncoude de la canalisation peuvent etre considerables. C’est pourquoi les conduites forcees sontancrees par des ouvrages de beton.


5.2 Conservation de l’energie

5.2.1 Loi d’evolution de l’energie cinetique

De la meme maniere que pour le bilan de quantite de mouvement, nous allons evaluerl’evolution temporelle de l’energie cinetique d’un element de fluide de volume unite et demasse ρ, en nous limitant aux ecoulements de fluides incompressibles :

∂

∂t

(ρu2

2

)= ρui

∂ui∂t

(5.16)

En utilisant l’equation de mouvement pour exprimer la derivee eulerienne de la vitesse, (5.16)devient :

∂

∂t

(ρu2

2

)= −ρuiuj

∂ui∂xj

+ ui∂σij∂xj

+ uifi (5.17)

soit, en decomposant le tenseur des contraintes comme precedemment en une partie isotrope−pδij et en un deviateur dij :

∂

∂t

(ρu2

2

)= −uj

∂

∂xj

(ρu2

2+ p

)+∂uidij∂xj

− dij∂ui∂xj

+ uifi (5.18)

ou bien, en notation vectorielle :

∂

∂t

(ρu2

2

)= −u.∇

(ρu2

2+ p

)+∇.(u.d)− d.∇u + u.f (5.19)

Enfin, en tenant compte de la condition d’incompressibilite (∇.u = 0), nous pouvons mettrele premier terme du membre de droite de (5.19) sous la forme d’une divergence, soit :

∂ec∂t

= −∇.[u

(ρu2

2+ p

)− u.d

]− d.∇u + u.f (5.20)

Reecrivons cette equation d’evolution de l’energie cinetique sous forme integrale, en integrantchacun des termes sur un volume V fixe dans le repere ”eulerien” et en utilisant le theoremede la divergence :

∂

∂t

(∫

Vec dV

)= −

∫

S

ρu2

2u.n dS +

∫

S(σ.u).n dS +

∫

Vu.f dV −

∫

Vσ.∇u dV (5.21)

Quelle est la signification physique des differents termes de 5.21 :

– le premier terme du second membre est le flux d’energie cinetique ”convectee” parl’ecoulement a travers la surface S.

– le second terme est le travail, par unite de temps, des contraintes exercees sur la surfaceS.

– le troisieme terme est le travail, par unite de temps, des forces en volume.

– enfin, le quatrieme terme est associe a la deformation du volume V . Il represente l’energiedissipee par viscosite lors de cette deformation.

5.2. CONSERVATION DE L’ENERGIE 57

5.2.2 Dissipation d’energie par viscosite

Afin de mieux comprendre la signification des deux termes qui font intervenir le tenseurdes contraintes dans 5.21, considerons le cas d’un ecoulement unidimensionnel ou seule lacomposante ux de la vitesse est non nulle. Ecrivons le travail par unite de temps δW desforces qui s’exercent sur un element de volume rectangulaire dont les dimensions sont dxet dy : il faut tenir compte de la contrainte de cisaillement σxy sur les faces superieure etinferieure et de la contrainte normale σxx = −p sur les faces droite et gauche.

δW =∂

∂x(−pux) dx dy +

∂

∂y(σxyux) dy dx (5.22)

soit, en tenant compte de la condition d’incompressibilite qui s’ecrit ici : ∂ux/∂x = 0 et enexprimant le travail W par unite de volume :

W = −ux∂p

∂x+ ux

∂σxy∂y

+ σxy∂ux∂y

(5.23)

Or l’equation de mouvement, dans ce cas precis, s’ecrit :

ρ∂ux∂t

= −∂p∂x

+∂σxy∂y

(il n’y a pas de force en volume et la condition d’incompressibilite fait que le terme non-lineaireu.∇u est nul), ce qui conduit a :

W = ρux∂ux∂t

+ σxy∂ux∂y

=∂

∂t

(ρu2

x

2

)+ σxy

∂ux∂y

(5.24)

Le travail des forces exercees sur l’element de volume comprend deux termes : le premierest lie a la variation d’energie cinetique et a l’acceleration globale de cet element, le secondcorrespond a l’acroissement d’energie interne qui resulte de la dissipation d’energie par vis-cosite. Cette energie dissipee provient du travail des contraintes de cisaillement lors de ladeformation de l’element de fluide ; c’est pourquoi ce terme fait apparaıtre explicitement legradient de vitesse. En revanche, l’autre terme de l’equation 5.24 dans lequel apparaissentles contraintes de cisaillement contribue a l’acceleration globale. Ce terme fait apparaıtre ladifference de valeur de la contrainte de cisaillement sur les deux faces de l’element distantesde dy. Dans le cas ou le fluide est newtonien et incompressible, le deviateur des contraintess’ecrit : dij = 2ηeij et l’energie dissipee par viscosite est, d’apres l’equation 5.21, par unite devolume :

Edis = 2ηeij∂ui∂xj

(5.25)

En tenant compte de la symetrie du tenseur des taux de deformation eij ,l’expression 5.24 setransforme en :

Edis = 2ηeijeij (5.26)

Dans le cas ou il y a une seule composante non nulle du gradient de vitesse comme dansl’ecoulement de cisaillement simple, l’expression 5.26 exprime simplement le fait que l’energiedissipee par unite de volume est le produit de la viscosite dynamique par le carre du gradientde vitesse.


L’energie dissipee par viscosite contribue finalement a elever (tres peu) la temperaturedu fluide. Prenons par exemple un gradient de vitesse de 100 s−1 (variation de 1m/s sur1cm) dans l’eau : la dissipation d’energie par unite de volume est 10 W/m3. Si aucune energien’etait rayonnee par le fluide ou echangee avec les parois contenant l’ecoulement, cet apportd’energie conduirait a une elevation de temperature de environ 2mK par s.

Pour determiner correctement la repartition de temperature dans le fluide, il faudraitrajouter dans le bilan energetique des termes de transport de la chaleur dus a l’advection etau rayonnement.

5.2.3 Loi de Bernoulli

Loi de Bernoulli

L’equation de conservation de l’energie prend une forme particulierement simple lorsqu’ilest possible de negliger les effets de viscosite et lorsque les forces en volume derivent d’unpotentiel φ, tel que : f = −∇φ . En partant de l’equation (5.19) et en posant d = 0, il vient :

∂

∂t

(ρu2

2

)= −u.∇

(ρu2

2+ p+ φ

)(5.27)

Lorsque l’ecoulement est stationnaire, la derivee eulerienne de l’energie cinetique est nulle.Ce qui veut dire que la gradient de la quantite H = ρu2/2 + p+ φ est partout orthogonal auvecteur vitesse. Donc, si on se deplace en suivant une particule de fluide le long d’une ligne decourant, la quantite H, qui est l’equivalent d’une integrale premiere en mecanique du pointmateriel, est constante. Cette relation est connue sous le nom de loi de Bernoulli :

ρu2

2+ p+ φ = C te le long d′une ligne de courant (5.28)

Si la seule force en volume presente est la gravite, φ = ρgz et l’equation de Bernoullidevient :

ρu2

2+ p+ ρgz = C te (5.29)

Tube de Pitot

Parmi les dispositifs qui utilisent les variations de pression decritent par la loi de Bernoullise trouve le tube de Pitot qui permet de mesurer la vitesse d’un ecoulement de gaz. Le tubede Pitot est represente schematiquement sur la fig. 5.2 ; il se compose d’un tube de sectioncirculaire dont l’extremite est profilee. Deux trous sont perces dans le tube pour mesurer lapression, d’une part sur le nez du tube et, d’autre part, sur le corps cylindrique du tube. Lesdeux prises de pression sont reliees a un manometre differentiel.

Nous supposons que l’ecoulement loin du tube est uniforme, avec une vitesse U et que l’axedu tube est parallele a U . Par raison de symetrie, il existe une ligne de courant, confondueavec l’axe du tube qui se termine au point B. Ce point B est un point de stagnation, la vitessedu fluide y est nulle, meme dans l’hypothese ou le fluide est parfait. Appliquons la loi deBernoulli entre le point A, situe loin du tube, ou la vitesse est egale a U et le point B ou lavitesse est nulle :

pA + ρU2/2 = pB (5.30)

5.2. CONSERVATION DE L’ENERGIE 59

Fig. 5.2 – Schema d’un tube de Pitot.

La pression de stagnation (en B) est superieure a la pression qui regne au sein de l’ecoulement.La difference est la quantite 1/2ρU 2 que l’on nomme la pression dynamique. Autour dupoint A, l’ecoulement n’est pas perturbe par le tube et les lignes de courant sont paralleles.Il y a une seule composante de vitesse le long de l’axe x. Si nous utilisons l’equation demouvement (meme en tenant compte des effet visqueux), elle donne sur les axes orthogonauxa x : ∂p/∂y = ∂p/∂z = 0.

Dans un ecoulement unidimensionnel, il n’y a pas de gradient de pression perpendicu-lairement aux lignes de courant. En consequence, dans l’ecoulement qui nous interesse ici :pC = pA. Parce que l’extremite du tube de Pitot est profilee, l’ecoulement est peu perturbepar le tube et, le long du tube, les lignes de courant restent paralleles a la direction moyennede l’ecoulement. Pour la raison exposee ci-dessus, la pression au point E, sur le tube, est lameme que la pression au point D. La vitesse en E est nulle du fait de la viscosite du fluide.Nous verrons plus loin que, dans certains cas, les effets visqueux ne sont ressentis que dansune mince couche pres d’une paroi solide, la couche limite. Pour le tube de Pitot, nous noustrouvons dans cette situation et si nous choisissons le point D en dehors de la couche limite,nous pouvons appliquer la loi de Bernoulli entre C et D :

pC + ρU2/2 = pD + ρU2/2 (5.31)

Le manometre differentiel mesure l’ecart de pression entre B et E qui est, compte tenu desrelations etablies ci-dessus : ∆p = 1/2ρU 2 . Le tube de Pitot donne acces a la pression dyna-mique qui varie proportionnellement au carre de la vitesse.

Loi de Bernoulli en ecoulement potentiel

La loi de Bernoulli prend une forme particuliere lorsque le champ de vitesse derive d’unpotentiel Φ. Pour la retrouver, nous allons partir de l’equation d’Euler qui est l’equation demouvement des fluides non visqueux :

∂u

∂t+ u.∇u = −1

ρ∇p+

f

ρ(5.32)

L’equation d’Euler est identique a l’equation de Navier-Stokes a ceci-pres que le terme propor-tionnel a la viscosite a disparu. Si les forces en volume derivent d’un potentiel −φ, l’equationd’Euler devient :

∇(ρ∂Φ

∂t

)+ ρu.∇u = −∇(p+ φ) (5.33)


Fig. 5.3 – Ressaut hydraulique circulaire forme sur une surface plane a partir du jet d’unrobinet

En utilisant le fait que : u.∇u = ∇(u2/2)−u∧∇∧u et que le champ de vitesse est irrotationnel,l’equation (5.33) devient :

∇(ρ∂Φ

∂t+ ρ

u2

2+ p+ φ

)= 0 (5.34)

c’est-a-dire que la quantite : ρ∂Φ/∂t + ρu2/2 + p + φ est constante dans tout l’ecoulement.Si l’ecoulement est stationnaire, on retrouve la loi de Bernoulli (5.28) mais generalisee al’ensemble de l’ecoulement du fait du caractere irrotationnel de l’ecoulement.

5.3 Applications des lois de conservation

5.3.1 Ressaut hydraulique

Le ressaut hydraulique est un phenomene qui se manifeste dans les ecoulements a surfacelibre et qu’il est tres facile d’observer dans un evier a fond bien plat. Lorsque le jet d’eausortant du robinet touche la surface de l’evier, le jet s’etale en une nappe circulaire. Si l’onchoisit bien le debit, la nappe d’eau change brusquement d’epaisseur a une distance du centrede l’ordre d’une dizaine de cm. La zone centrale de la nappe est plus mince que la zone externe ;sa surface apparaıt egalement beaucoup plus lisse. Ce brusque changement d’epaisseur estle ”ressaut hydraulique”. Ce phenomene est couramment observe en aval des deversoirs debarrage. L’origine physique du ressaut est liee aux ondes de surface qui se propagent a lasurface de l’eau. Lorsque l’epaisseur d’eau est tres faible, c’est-a-dire beaucoup plus petiteque la longueur d’onde des ondes de surface, la vitesse de propagation des ondes est

√gh, ou

h est la hauteur d’eau. L’epaisseur de la nappe d’eau qui s’etale est constante. La conservationdu debit impose alors que la vitesse decroisse de facon inversement proportionnelle au rayon. Sila vitesse au centre est superieure a la vitesse de propgation, il existe un rayon critique au-deladuquel la vitesse devient inferieure a la vitesse de propagation. Ce rayon critique corresponda la position du ressaut. On appelle nombre de Froude, le carre du rapport entre la vitesse

5.3. APPLICATIONS DES LOIS DE CONSERVATION 61

Fig. 5.4 – Ressaut hydraulique dans un canal. Photographie H. Chanson

Fig. 5.5 – Ressaut hydraulique. Volume de controle utilise pour la conservation de l’impulsion.

du fluide et la vitesse de propagation des ondes de surface : Fr = U 2/gh. Au franchissementdu ressaut, le nombre de Froude passe d’une valeur superieure a 1 a une valeur inferieure a 1.

Afin de preciser les relations existant entre les hauteurs d’eau et vitesses en amont et enaval du ressaut, nous considerons le cas d’un ecoulement unidirectionnel et non plus axisy-metrique. Appliquons la relation de conservation de l’impulsion a un volume de controle quienglobe le ressaut (fig. 5.5). Si nous negligeons les effets dus a la viscosite, il suffit d’ecrirel’egalite entre l’integrale du flux convectif de quantite de mouvement ρuiuj et l’integrale de lapression sur la surface limitant le volume de controle. Nous pouvons faire l’hypothese qu’assezloin en amont et en aval du ressaut, le champ de vitesse est unidirectionnel : la composanteverticale de vitesse est nulle. Donc, l’equation de Navier-Stokes projetee sur l’axe vertical sereduit a l’equation de l’hydrostatique. Dans la section 1 de l’ecoulement : p1 = p0 +ρg(h1−z)et dans la section 2 : p2 = p0 + ρg(h2 − z), ou p0 est la pression atmospherique.

La conservation de l’impulsion impose donc :

−ρU21h1 + ρU2

2h2 =

∫ H

0p1(z) dz −

∫ H

0p2(z) dz (5.35)

soit :

ρ(U22h2 − U2

1h1) = p0(H − h1) + p0h1 + ρgh2

1

2− p0(H − h2)− p0h2 + ρg

h22

2(5.36)

soit, encore :

ρ(U22h2 − U2

1h1) = ρg

(h2

1

2− h2

2

2

)(5.37)


Fig. 5.6 – ecoulement dans un canal au-dessus d’un obstacle.

En tenant compte de la conservation du debit : U1h1 = U2h2, l’equation (5.37) devient :

U21 =

g

2

h2

h1(h1 + h2) (5.38)

avec une formule similaire pour U2, en intervertissant les indices. Supposons que la hauteur h2

soit superieure a h1 et comparons la vitesse U1 donnee par (5.38) a la vitesse de propagationdes ondes de surface dans la section 1,

√gh1:

U21 = gh1

[h2

2h1

(1 +

h2

h1

)](5.39)

Si h2 > h1, nous voyons immediatement que U1 est superieur a la vitesse de propagationdes ondes. Un calcul similaire nous montrerait que U2 est inferieur a

√gh2. L’ecoulement

en amont du ressaut est supercritique alors que l’ecoulement en aval est sous-critique. Ceciexplique que les perturbations de surface en amont ne peuvent se propager que vers le ressaut,alors qu’en aval, elles peuvent se propager dans les deux directions. Le ressaut constitue un”point d’accumulation” pour les ondes de surface.

5.3.2 Ecoulement a surface libre au-dessus d’un obstacle

L’application de la relation de Bernoulli va nous permettre d’etudier la deflection de lasurface libre d’un ecoulement dans un canal, lorsqu’une surelevation est placee dans le fonddu canal. Nous supposons que les effets visqueux sont negligeables et que la vitesse du fluideest la meme sur toute la hauteur du canal. Notons U0 et h0 la vitesse et l’epaisseur del’ecoulement loin en amont de l’obstacle ; U(x), h(x) et e(x) sont respectivement la vitessedu fluide, l’epaisseur de l’ecoulement et la hauteur de l’obstacle en fonction de la position lelong de l’ecoulement.

La conservation du debit impose : U(x)h(x) = U0h0 soit :

Udh

dx+ h

dU

dx= 0 (5.40)

La relation de Bernoulli appliquee sur la surface libre donne :

p0 +1

2ρU2

0 + ρgh0 = p0 +1

2ρU2 + ρg(h+ e) (5.41)

soit, en derivant par rapport a x et en utilisant la conservation du debit:

UdU

dx+ g

(− hU

dU

dx+de

dx

)= 0 (5.42)

5.3. APPLICATIONS DES LOIS DE CONSERVATION 63

ou bien, en mettant en evidence l’ecart entre la vitesse de l’ecoulement et la vitesse des ondesde surface :

1

U

dU

dx(U2 − gh) = −g de

dx(5.43)

Au point ou l’obstacle est le plus haut, c’est-a-dire ou de/dx = 0, l’equation (5.43) peut etresatisfaite soit i) en annulant la derivee de la vitesse, soit ii) en annulant U 2 − gh. Supposonsmaintenant que l’ecoulement en amont de l’obstacle soit sous-critique (U 2

0 < gh0) et exami-nons les signes des differents termes de l’equation (5.43) qui sont imposes par la forme del’obstacle : de/dx est d’abord positif, puis nul, puis negatif.

i) ii)

de/dx (U 2 − gh)dU/dx U 2 − gh dU/dx dh/dx U 2 − gh dU/dx dh/dx

+ - - + - - + -

0 0 - 0 0 0 + -

- + - - + + + -

D’apres les resultats indiques dans le tableau ci-dessus, nous voyons que dans le premiercas, l’ecoulement reste sous-critique, l’epaisseur de la couche de la fluide diminue puis re-augmente et l’ecoulement s’accelere sur la face amont de l’obstacle. En revanche, dans lesecond cas, la vitesse augmente suffisamment pour que l’ecoulement devienne supercritiqueen aval de l’obstacle. La vitesse continue a augmenter en aval de l’obstacle. Plus loin en aval,l’ecoulement subit un ressaut hydraulique qui lui permet de redevenir sous-critique.

Il existe une analogie entre ces ecoulements a surface libre, en ”eau peu profonde” oula vitesse de propagation des ondes est liee a la hauteur d’eau et les ecoulements de fluidescompressibles dans des tuyeres. La densite du fluide joue alors le role de la hauteur d’eau etle nombre de Mach, qui est le rapport de la vitesse du fluide a la vitesse du son, joue le memerole que le nombre de Froude. Si l’ecoulement est subsonique (M < 1) en amont du col de latuyere, on peut avoir une onde de choc localisee au col de la tuyere.


65

Chapitre 6

ECOULEMENTS A PETITSNOMBRES DE REYNOLDS

6.1 Le monde etrange des petits nombres de Reynolds

Nous avons mentionne des l’introduction que le transport de la quantite de mouvementpeut etre du a la viscosite ou bien a la convection par l’ecoulement lui-meme. L’importancerelative de ces deux mecanismes de transport peut etre appreciee par la valeur du nombre deReynolds Re = UL/ν. La faible valeur de la viscosite de l’eau et de l’air fait que la plupart desecoulements que nous observons dans la vie courante sont des ecoulements a grand nombre deReynolds ou l’inertie est preponderante devant la viscosite. Aussi, nombre de raisonnementsintuitifs que nous avons sur les ecoulements sont influences par cette experience quotidienneet ne s’appliquent pas lorsque le nombre de Reynolds est petit.

Nous allons maintenant examiner les circonstances dans lesquelles les effets visqueux sontdominants et quelles sont les particularites des ecoulements a faible nombre de Reynolds. Ladefinition de Re nous montre que nous pouvons rendre la viscosite preponderante de troismanieres : i) : en diminuant la vitesse, ii) : en diminuant la taille de l’ecoulement, iii) : enaugmentant la viscosite ou bien en combinant ces effets.

Des ecoulements a vitesse extremement faible sont rencontres en geophysique : l’ecou-lement d’un glacier ou le mouvement du magma dans le manteau terrestre. Bien que lesmateriaux mis en jeu ne soient pas, a proprement parler des fluides, leur mouvement sur desechelles de temps suffisamment longues peuvent etre decrits comme ceux d’un liquide tresvisqueux avec une inertie completement negligeable.

Parmi les ecoulements avec des echelles de longueur tres petites, mentionnons les ecoule-ments dans les milieux poreux (roches poreuses, colonnes de chromatographie) et les ecoule-ments autour de petites objets en suspension (micro-organismes, macromolecules, particulescolloıdales). Les developements recents des microsystemes mecaniques (MEMS) et des dis-positifs d’analyse physico-chimique integres accroissent encore le champ d’application desecoulements a petits nombres de Reynolds.

66 CHAPITRE 6. ECOULEMENTS A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS

6.1.1 L’equation de Stokes

En eliminant de l’equation de Navier-Stokes les termes proportionnels a la masse volu-mique du fluide, on obtient l’equation de Stokes :

η∆u = ∇p (6.1)

La difference fondamentale entre les deux equations est que le terme non lineaire en vitessea disparu ; l’equation de Stokes est une equation aux derivees partielles lineaire. Les ecou-lements a petit nombres de Reynolds ont presque toujours lieu dans des conditions ou lefluide est incompressible. Le mouvement du fluide est donc specifie par (6.1) et par l’equationde conservation : ∇.u = 0. En combinant ces deux equations, il est possible de reformulerl’equation de Stokes de deux manieres :

– i) en prenant le rotationnel de (6.1), on obtient :

∆ω = 0 (6.2)

ou on a introduit la vorticite ω qui est le rotationnel du champ de vitesse. On utilisera(6.2) en particulier si les conditions aux limites sont specifiees en fonction du champ devitesse.

– ii) en prenant la divergence de (6.1), on obtient :

∆p = 0 (6.3)

ce qui montre que le champ de pression obeit a l’equation de Laplace.

On utilisera (6.3) si les conditions aux limites sont specifiees en fonction de la pression.Apres calcul de p, la vitesse sera determinee a l’aide de (6.1). On peut remarquer que laviscosite a disparu des equations (6.2) et (6.3) : η determine seulement l’amplitude relativedu gradient de pression et de la vitesse. C’est-a-dire que, pour des conditions aux limitesdonnees, les lignes de courant seront toujours les memes, quelle que soit la viscosite du fluide.

6.1.2 Reversibilite cinematique

Une des consequences de la linearite de l’equation de Stokes est la reversibilite des ecoule-ments a tres petits nombres de Reynolds. Si l’ecoulement du fluide est cree par le mouvementde parois solides, lorsqu’on inverse le mouvement des parois, les particules de fluide reprennentexactement les memes trajectoires, mais en sens inverse. Cette reversibilite peut egalementetre comprise comme une diffusion ”instantanee” de la quantite de mouvement a travers toutl’ecoulement : la presence de parois solides influence l’ecoulement par la condition de nonglissement sur les parois. Lorsque les effets visqueux sont totalement preponderants, c’est ladiffusion de la quantite de mouvement par la viscosite qui vehicule cette information.

La reversibilite peut etre mise en evidence par l’experience suivante : dans un ecoulementde Couette (entre deux cylindres coaxiaux) on place un fluide tres visqueux. On injecte loca-lement dans le fluide du colorant dilue dans le meme fluide tres visqueux de facon a former undessin dans le liquide. Puis, on met un des deux cylindres en mouvement et on lui fait effectuerune rotation de plusieurs tours. Le dessin colore est completement distordu par le cisaillement.Ensuite, on inverse le sens de rotation du cylindre et on lui fait effectuer exactement le memenombre de tours qu’a l’aller. On voit alors le dessin colore se reconstituer exactement au

6.1. LE MONDE ETRANGE DES PETITS NOMBRES DE REYNOLDS 67

Fig. 6.1 – reversibilite de l’ecoulement de Couette (vue de dessus). Au depart (en haut agauche), on dessine un carre avec du colorant entre les deux cylindres. La position des cy-lindres est reperee par deux petits triangles. La rotation du cylindre interieur deforme comple-tement le carre (en haut, a droite : θ= 20˚, en bas a gauche,θ = 345˚). Ensuite, on ramenele cylindre interieur a son point de depart (en bas, a droite) ; le carre colore se reconstitue. Ilest legerement deforme par la diffusion.


Fig. 6.2 – ecoulement dans un convergent (ou divergent) a Re = 0 (a gauche) et Re = 50(a droite). Sur les figures du haut l’ecoulement va de gauche a droite, sur les figures du bas,de droite a gauche. Lignes de courant determinees par resolution numerique de l’equation deNavier-Stokes.

meme endroit qu’au depart du mouvement. La seule transformation irreversible subie par lecolorant est une legere diffusion due a l’agitation moleculaire.

En l’absence d’inertie, les lignes de courant peuvent etre parcourues dans un sens ou dansl’autre. Si u est solution de l’equation de Stokes, alors −u l’est aussi. Ce n’est plus le cas desl’instant ou l’inertie du fluide joue un role. Sur la fig. 6.2 nous voyons les lignes de courantdans un elargissement brusque (ou retrecissement brusque selon la direction de l’ecoulement).A Re = 0, les lignes de courant sont les memes pour les deux sens d’ecoulement. En revanche,a Re = 50, l’ecoulement dans le divergent forme un jet au centre de la partie large. Ce jet n’estpas visible si l’ecoulement est convergent : souffler ou aspirer dans un entonnoir ne produit lememe ecoulement que si Re est tres petit.

La reversibilite a egalement une consequence sur la symetrie des lignes de courant. Consi-derons l’ecoulement autour d’un obstacle possedant un plan de symetrie (par exemple, le planx = 0). Si u(x,y,z) est solution de l’equation de Stokes, alors −u est egalement solution. Enrenversant l’ecoulement, la face amont est devenue la face aval et vice versa et comme l’obs-tacle est symetrique, on doit obtenir les memes lignes de courant que dans la configurationinitiale, ce qui implique que : u(x,y,z) −− > −u(−x,y,z) = −u(x,y,z) On remarquera sur lafig. 1.9 qui montre l’ecoulement autour d’un cylindre a Re = 1.5 que la symetrie entre l’amontet l’aval est deja brisee. Il faut effectivement des nombres de Reynolds tres petits pour quel’inertie du fluide ne se manifeste pas dans ce type d’ecoulements.

Enfin, la reversibilite cinematique a des consequences fondamentales sur les modes depropulsion animale. Les organismes de tres petite taille comme les bacteries et les sperma-tozoıdes vivent dans un monde ou l’inertie est negligeable devant la viscosite. L’evolution adonc conduit a des modes de propulsion utilisant des cils ou des flagelles qui sont radicalementdifferents des modes de propulsion des organismes plus grands qui tirent partie de l’inertie dufluide 1.

6.1.3 Additivite des solutions

Une autre consequence de la linearite de l’equation de Stokes est la possibilite d’addi-tionner simplement des solutions pour former une autre solution. Par exemple, considerons

1. E.M. Purcell, ”Life at low Reynolds number”, Am. J. Phys. 45, 3 (1977)

6.2. LUBRIFICATION 69

Fig. 6.3 – additivite des solutions de l’equation de Stokes pour l’ecoulement dans un canal.

Fig. 6.4 – geometrie typique d’un ecoulement de lubrification.

l’ecoulement bidimensionnel dans un canal. Si les deux parois sont fixes, la solution est unprofil de vitesse parabolique avec une courbure du profil proportionnelle au gradient de pres-sion (voir le calcul de cet ecoulement dans le § III.2.1). En revanche, si une des parois estmobile et s’il n’y a pas de gradient de pression, la solution est un ecoulement avec un profilde vitesse lineaire. L’addition des deux solutions (addition des champs de vitesse et additiondes gradients de pression) est egalement une solution de l’equation de Stokes. Elle corresponda la presence d’un gradient de pression dans le canal et a un mouvement d’une des parois.

6.2 Lubrification

6.2.1 Principe de la lubrification

Une des circonstances importantes dans laquelle l’inertie du fluide peut etre negligeeconcerne les ecoulements dits de lubrification. Ce terme recouvre les ecoulements de fluidesvisqueux confines entre deux parois solides tres proches en mouvement relatif. Les deux paroisdelimitent un espace de tres grand rapport d’aspect : l’epaisseur moyenne< h > est tres petitedevant la longueur L. De plus, si l’epaisseur h varie d’un point a un autre de l’ecoulement,nous nous restreignons au cas ou cette variation est tres lente, c’est-a-dire : dh/dx 1.

Cette geometrie particuliere a deux consequences :

– la composante longitudinale de vitesse u est beaucoup plus grande que la composantetransverse v. En effet, la conservation de la masse impose :

∂u

∂x+∂v

∂y≈ u

L+v

h= 0 (6.4)

d’ou :

u ≈ vLh

(6.5)

– la force qui s’exerce sur les parois est beaucoup plus grande dans la direction normalea l’ecoulement que dans la direction parallele a l’ecoulement. La force normale Fn estl’integrale de la pression sur une des parois solides : Fn =

∫ L0 (p − p0) dx ≈ (p − p0)L


Fig. 6.5 – tete de lecture vue de face (a gauche). Profils de vitesse dans une couche de liquided’epaisseur variable.

. Toujours en tenant compte de L/h 1, il est possible de determiner un ordre degrandeur de la pression a partir de l’equation de Stokes :

η

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)≈ η∂

2u

∂y2≈ η U

h2=∂u

∂x≈ p− p0

L(6.6)

d’ou :

p− p0 ≈ ηUL

h2et Fn ≈ η

UL2

h2(6.7)

D’autre part la force Ft dans la direction parallele a l’ecoulement est l’integrale de lacontrainte tangentielle sur la paroi solide :

Ft =

∫ L

0σxy dx =

∫ L

0η∂u

∂ydx ≈ ηUL

h(6.8)

d’ou :

Ft = Fnh

L 1 (6.9)

Le rapport des deux composantes de force est egal au rapport des dimensions carac-teristiques de l’ecoulement. Ceci permet de supporter des charges importantes tout enconservant la possibilite d’un mouvement relatif avec une resistance faible. C’est le prin-cipe utilise dans la lubrification des pieces mecaniques en rotation, dans les articulationsentre les os, dans la sustentation des tetes de lecture de disques magnetiques ...

Notons que les approximations faites ci-dessus peuvent aussi s’appliquer au cas d’unecouche mince de liquide s’etalant sur une surface solide, c’est-a-dire aux problemes de mouillageainsi qu’a l’ecoulement dans les films de savon.

6.2.2 Sustentation d’une tete de lecture

L’augmentation de la densite de donnees sur les disques durs impose une distance entre latete de lecture et la surface du disque tres faible. Cette distance est actuellement courammentde 0,25 µm. Elle devrait descendre tres prochainement a 0,05 µm. Aucun asservissementn’etant capable de maintenir cette ”hauteur de vol”, c’est l’ecoulement d’air entre la tete etle disque qui assure cette fonction. Dans beaucoup de cas, la tete de lecture a une forme decatamaran avec deux patins separes par une encoche et une partie avant en pente douce.Nous allons calculer l’ecoulement dans cette partie en biseau qui definit une couche de fluided’epaisseur : h = h0 + θx.

Pour la composante u, l’equation de Stokes se ramene a :

η∂2u

∂y2=∂p

∂x= G (6.10)

6.3. ECOULEMENT DANS UN MILIEU POREUX 71

ou le gradient de pression G ainsi que u dependent, a priori, de x. En supposant que h varielentement (θ 1), donc que le champ de vitesse evolue egalement lentement avec x, nouspouvons integrer 6.10 en y comme si l’ecoulement etait unidimensionnel et comme si u nedependait que de y. En se placant dans le repere ou la tete est immobile et le disque se deplace,les conditions aux limites sont : u = −U en y = 0 et u = 0 en y = h(x). Ce qui donne :

u =G

2η(y2 − yh) + U

(yh− 1)

(6.11)

Ce profil de vitesse est la superposition d’un profil parabolique du au gradient de pression etd’un profil lineaire du au mouvement relatif des deux surfaces solides. En integrant 6.11 surtoute l’epaisseur, nous obtenons le debit de fluide qui est constant dans toute la longueur del’ecoulement :

Q =

∫ h

0udy = −Gh

3

12η− Uh

2(6.12)

d’ou :

G =∂p

∂x=∂p

∂h

dh

dx= −6η

(2Q

h3+U

h2

)(6.13)

Le gradient de pression s’annule lorsque h = hm = −2Q/U (le debit est negatif parce que lefluide se deplace dans la direction −x). Il est positif lorsque h est inferieur a hm et negatif si hest superieur a hm. Le profil de vitesse est lineaire lorsque G = 0. Si h est different de hm, leprofil de vitesse est parabolique avec une concavite dont le signe depend de G. En integrant6.13 en h et en prenant p = p0 en h = h0, il vient :

p− p0 =6η

θ

[Q

(1

h2− 1

h20

)+ U

(1

h− 1

h0

)](6.14)

Si nous supposons qu’a l’autre extremite du plan incline, ou h = h1 = h0 + θL, la pressionest aussi egale a p0, l’equation 6.14 fixe le debit :

Q = −U h0h1

h0 + h1(6.15)

La force de sustentation FN est obtenue par integration de la surpression qui regne dans lecoin de fluide :

FN =

∫ L

0(p− p0)dx =

6ηU

θ2

[lnh1

h0− 2(h1 − h0)

h0 + h1

](6.16)

alors que la force tangentielle est obtenue par integration de la contrainte de cisaillement :

FT =

∫ L

0η∂u

∂ydx = −2

ηU

θ

[lnh1

h0− 3(h1 − h0)

h0 + h1

](6.17)

L’ordre de grandeur de FN/FT est 1/θ soit L/(h1 − h0) 1. Le fait d’avoir un plan treslegerement incline permet d’engendrer une force normale tres importante.

6.3 Ecoulement dans un milieu poreux

6.3.1 Loi de Darcy

Les ecoulements dans les milieux poreux sont a priori tres difficiles a modeliser compte tenude l’extreme complexite de la geometrie de ces milieux. Neanmoins, il est possible d’etablir


une relation simple entre la vitesse moyenne du fluide u et le gradient de pression moyen G .Dans chacun des pores qui constitue l’espace occupe par le fluide, l’ecoulement est similairea un ecoulement de Poiseuille, meme si la geometrie du pore est plus complexe que celle d’untube de section circulaire. Le point essentiel est que de la vitesse moyenne u dans chacundes pores est proportionnelle au gradient de pression local G : u ∝ (1/η)d2G ou d est unelongueur representative du diametre des pores. Si nous regardons maintenant l’ecoulementa une echelle beaucoup plus grande que celle des pores, mais qui peut etre nettement pluspetite que les dimensions totales du milieu poreux, nous pouvons definir une vitesse moyenneu et un gradient de pression moyen G . Ces deux quantites sont obtenues par integration deu et g sur une longueur assez grande pour que les fluctuations dues a la variabilite des poresdisparaissent. L’integration conserve la linearite de la relation entre u et G et l’equation quien resulte est la loi de Darcy :

u = −kη∇p (6.18)

ou k est un parametre qui caracterise le milieu poreux et qui a la dimension du carre d’unelongueur ; c’est la permeabilite du milieu poreux. Notons que la loi de Darcy, ecrite sous laforme suivante :

ηu

k= −∇p (6.19)

est analogue a l’equation de Stokes, le terme u/k remplacant ∆u. Pour une geometrie donnee(par exemple un empilement regulier de spheres), la permeabilite est proportionnelle au carrede la dimension des objets qui constituent le milieu poreux. Exemples de permeabilites :

– sable : 2× 10−7 a 2× 10−7cm2

– gres : 5× 10−12 a 3× 10−8cm2

– sols : 3× 10−9 a 1× 10−7cm2

– cigarette : 10−5cm2

Pour les tres faibles permeabilites, en particuliers les sols, on utilise une unite de permeabiliteadaptee, le Darcy egal a 1 micron carre

Le champ de vitesse moyenne derive d’un potentiel proportionnel a la pression moyennee.Cette propriete simple permet de resoudre assez aisement les problemes d’ecoulement dansles sols : la condition d’incompressibilite associee a la loi de Darcy implique que le champ depression obeisse a l’equation de Laplace. Il suffit donc en principe de resoudre l’equation deLaplace avec les conditions aux limites appropriees.

Exemple d’application de la loi de Darcy : ecoulement dans une digue en terre

Parfois une solution approchee peut etre trouvee comme dans l’exemple du barrage enterre, explique ci-dessous. Un barrage en terre n’est pas totalement impermeable : l’eau s’in-filtre dans la masse de la digue. Mais cette infiltration n’est pas catastrophique si l’eau neressort pas sur la face aval du barrage et n’erode pas la digue. L’eau infiltree est recueillie parun drain place au bas de la face aval de la digue (fig. 6.6).

Supposons que l’ecoulement dans le barrage est suffisamment faible pour ne perturber quetres peu la repartition de pression hydrostatique. Alors, dans chaque section x du barrage,la repartition de pression est : ou p0 est la pression atmospherique et h(x) la hauteur d’eau al’interieur de la digue. Dans cette approximation, l’ecoulement n’a qu’une seule composantede vitesse suivant l’axe x :

ux = −kη

∂p

∂x= −kρg

η

∂h

∂x(6.20)

6.3. ECOULEMENT DANS UN MILIEU POREUX 73

Fig. 6.6 – schema d’un barrage en terre

et le debit d’eau infiltree est donne en integrant ux sur toute la hauteur h :

Q =

∫ h(x)

0uxdz = −kρg

2η

∂h2

∂x(6.21)

La hauteur d’eau est donc telle que :

h2 = h20 −

2ηQ

kρgx (6.22)

ou h0 est la hauteur d’eau dans le reservoir. La longueur minimale du barrage pour que l’eauinfiltree ne sorte pas sur la face aval est donc donnee par :

L =kρgh2

0

2ηQ(6.23)

Si le drain (ou regne la pression p0, ce qui implique h(l) = 0) est place a une distance l de laface amont de la digue, le debit d’eau infiltree est fixe par (6.22) :

Q =kρgh2

0

2ηl(6.24)

On pourrait retrouver le resultat ci-dessus par un raisonnement dimensionnel : l’ordre de gran-deur du gradient de pression a travers la digue est : ∇p ≈ ρgh0

l . La vitesse moyenne est donnee

par la loi de Darcy : u = kη∇p et le debit est de l’ordre de Q ≈ uh0. Les resultats enonces

ci-dessus ne sont valides que si le champ de vitesse reste approximativement unidimensionnel,c’est-a-dire si dh/dx reste petit devant 1. En effet, la surface libre etant a pression constanteil s’agit d’une ligne de courant. La surface inferieure de la digue (z = 0) est egalement uneligne de courant. La ligne de courant la plus inclinee sur l’horizontale est la surface libre et lerapport uy/ux est donne par la pente de la surface libre dh/dx .

6.3.2 Modele de tubes tortueux

Si l’on met a part quelques configurations simples comme l’empilement periodique despheres, il est impossible de predire exactement la permeabilite d’un milieu poreux meme sisa geometrie est parfaitement connue. Il faut avoir recours a la determination experimentaleou a des modeles approximatifs pour connaıtre k. Un de ces modeles consiste a remplacerle milieu poreux reel par un ensemble de canaux tortueux de section circulaire. Si L est lalongueur du milieu poreux dans la direction moyenne de l’ecoulement, la longueur effectivede chaque tube est : L′ = TL ou T est la tortuosite du chemin emprunte par le fluide. Dansun milieu a tres faible porosite, T peut etre nettement plus grand que 1. Le gradient de


Fig. 6.7 – Modele de tubes tortueux pour un milieu poreux.

pression effectif dans chaque tube est ∆p/L′ = ∆p/TL ou ∆p est la difference de pressionentre les deux extremites du poreux. Nous appliquons la loi de Poiseuille qui donne le debitdans chaque tube de diametre d:

q =πd4

128η

∆p

TL(6.25)

Le debit total dans le milieu poreux est : Q = Nq ou N est le nombre total de tubes et lavitesse moyenne est : u = nq ou n est le nombre de tubes par unite de surface (sur une coupedu poreux perpendiculairement a l’ecoulement). Exprimons maintenant la permeabilite dumilieu en fonction de sa porosite α, de sa surface specifique σ et de la tortuosite. La porositeest la fraction de volume occupee par le fluide. La surface specifique est l’aire de contactentre le fluide et le solide par unite de volume. Dans notre modele de tubes : α = nπd2/4 etσ = nπdT , ce qui donne une permeabilite telle que :

k =α3

2σ2T 2(6.26)

Ce resultat est connu sous le nom de relation de Cozeny-Karman. Il n’est pas restreint aun modele de tubes et s’applique correctement a un certain nombre de milieux poreux. Maisil est souvent incorrect pour des distributions de particules (ou de pores) tres larges, pourdes particules non spheriques. Il existe evidemment d’autres modeles plus sophistiques quirendent compte plus precisement des permeabilites mesurees.

6.3.3 Ecoulements multiphasiques

Nous avons parle jusqu’a present d’ecoulements monophasiques dans le milieux poreux( au sens ou il y a une seule phase fluide). Mais en hydrologie et en genie petrolier, onest toujours confronte a des ecoulements multiphasiques (eau-air ou huile-eau). La presenced’interfaces fluides ajoute encore a la complexite du probleme. Mentionnons simplement quela repartition de pression est considerablement modifiee par le pression capillaire : pc ≈ γ/d ,ou γ est la tension interfaciale, et que la forme globale (a une echelle plus grande que le pores)de l’interface entre les deux phases peut etre differente selon les conditions de deplacementdes fluides.

6.4. ECOULEMENT AUTOUR D’UNE SPHERE. SUSPENSIONS 75

6.4 Ecoulement autour d’une sphere. Suspensions

Une des applications importantes de l’equation de Stokes concerne les fluides contenantde petites particules solides (suspensions) ou des gouttelettes (emulsions). Le transport desediments fluviaux et marins, la flottation des minerais, l’ecoulement de pates de ceramiques,les solutions diluees de polymeres sont, entre autres, decrits par la physique des suspensions.Si les dimensions des particules ou gouttelettes sont assez petites, l’ecoulement sera decrit(au moins localement) par l’equation de Stokes. La premiere approche des ecoulements desuspensions consiste a examiner l’ecoulement d’une sphere : la symetrie du probleme simplifieles resultats et bon nombre de particules colloıdales sont spheriques pour des raisons physico-chimiques.

6.4.1 Ecoulement autour d’une sphere

Commencons par determiner l’ordre de grandeur de la vitesse de sedimentation d’unesphere a petit nombre de Reynolds. La vitesse de sedimentation est telle que la force detraınee T equilibre le poids apparent de la sphere : P = 4/3πa3δρg ou δρ est la difference demasse volumique entre la sphere et le fluide. T est l’integrale des contraintes sur la surface dela sphere. D’apres l’equation de Stokes, l’ordre de grandeur de la pression et des contraintesde cisaillement est : ηU/a . Le rayon de la sphere a est en effet la seule longueur caracteristiquedu probleme et : ∆u ≈ U/a2 et ∇p ≈ p/a. En integrant la contrainte sur la surface totale dela sphere, on obtient : T ≈ a2ηU/a = ηaU et la vitesse de sedimentation :

Used ≈P

ηa≈ δρga2

η(6.27)

Ce raisonnement simple nous montre que la vitesse de sedimentation varie comme le carredu rayon de la particule. La resolution complete de l’equation de Stokes est assez longue etnous allons simplement donner les resultats du calcul. Dans le referentiel ou la sphere est enmouvement a une vitesse U et le fluide a l’infini immobile, le champ de vitesse est donne par :

ur = U cosφ

(3a

2r− a3

2r3

)et uφ − U sinφ

(3a

4r+

a3

4r3

)(6.28)

ou r et φ sont les coordonnees polaires definies par le centre de la sphere et l’axe x suivantlequel la sphere se deplace. Les lignes de courant correspondant au champ de vitesse donnepar (6.28) sont representees sur la figure 6.8. Elles correspondent a une fonction de courant :

ψ = Ur2 sin2 φ

(3a

4r− a3

4r3

)

Pour obtenir le champ de vitesse dans le repere ou la sphere est immobile, il suffit d’ajouter−U partout a la vitesse, ce qui correspond a ajouter −1/2Ur2 sin2 φ a la fonction de courant.Les lignes de courant correspondantes sont representees sur la fig. 6.9. Il faut noter que laperturbation engendree par la sphere decroıt tres lentement (en 1/r) a grande distance. Enrevanche, dans un ecoulement a nombre de Reynolds eleve, le sillage d’un objet en mouvements’attenue tres rapidement (dans la direction normale a l’ecoulement). Cette lente decroissancede la perturbation a Re 1 fait que dans une suspension les particules interagissent forte-ment entre elles des l’instant ou la concentration depasse quelques % en volume. Ce sont


2 2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

1 0.8 0.6

0.5

0.4

0.2 0.2 0.1 0

Fig. 6.8 – ecoulement a petit Re autour d’une sphere. Lignes de courant dans le repere ou lefluide est immobile a l’infini. Les valeurs de ψ sont normalisees par Ua2.

-0.2

-0.2

-0.4

-0.6

-0.6

-0.8

-1 -1.2

-1.4 -1.6

-1.8 -2

-2.2 -2.4 -2.6 -2.8

Fig. 6.9 – ecoulement a petit Re autour d’une sphere. Lignes de courant dans le repere ou lasphere est immobile.

6.4. ECOULEMENT AUTOUR D’UNE SPHERE. SUSPENSIONS 77

Fig. 6.10 – Ligne passant au sein d’une suspension et interceptant les particules solides.

des interactions hydrodynamiques dues au mouvement du fluide entre les particules et qui serajoutent aux autres interactions (electrostatiques par exemple).

A partir du champ de vitesse (6.28) on calcule les contraintes a la surface de la sphere etla force de traınee :

T = 6πηaU (6.29)

La valeur exacte de la vitesse de sedimentation est donc :

Used =2

9

δρga2

η(6.30)

6.4.2 Viscosite des suspensions

L’experience montre que la mise en suspension de particules solides dans un liquide aug-mente la viscosite de ce liquide. L’augmentation de viscosite est lineaire en concentrationlorsque la fraction en volume φ occupee par le solide ne depasse pas 2 ou 3 %. Dans ses etudessur le mouvement Brownien, Einstein est le premier a avoir montre que la viscosite de lasuspension est :

ηs = η0(1 + 2.5φ) (6.31)

L’obtention du facteur numerique 2.5 est assez difficile. Nous pouvons neanmoins etablir uneformule approchee par un raisonnement simple. Considerons la viscosite cinematique νs dela suspension comme un coefficient de diffusion de la quantite de mouvement. Le temps dediffusion entre deux points distants A et B de d est : d2/νs.

Sur la droite joignant A et B au sein de la suspension, nous interceptons des particulessolides. En traversant ces particules solides, le transport de la quantite de mouvement se faitinstantanement, alors que dans le liquide le transport est diffusif. Donc, le temps de diffusionest aussi : d2

f/ν0 ou df est la distance effectivement parcourue au sein du liquide et ν0 laviscosite cinematique du liquide. Sachant que df = (1 − φ)d, et en supposant que la massevolumique de la suspension est tres voisine de celle du liquide, nous obtenons :

η0

η= (1− φ)2d′o :

η

η0≈ 1 + 2φ (6.32)

ce qui est en accord raisonnable avec la formule exacte. La formule 6.31 peut egalementetre appliquee a des solutions de polymeres flexibles. Dans les conditions physico-chimiquesou la chaıne polymere forme une pelote contenue dans une sphere, l’ecoulement du solvantest modifie pratiquement comme si la pelote etait une sphere dure. Le rayon de cette sphereequivalente (rayon hydrodynamiqueRH) peut etre relie par des calculs de physique statistiquea la longueur de la macromolecule. Ainsi, la mesure de la viscosite de solutions diluees est unmoyen simple d’estimer la masse moleculaire d’un polymere. Lorsque la fraction volumique


solide depasse quelques %, l’augmentation de viscosite devient non lineaire. La viscosite finitpar diverger si la fraction solide approche de l’empilement compact : le liquide ne se trouveplus que dans de minces films qui permettent de lubrifier le contact entre les grains, commedans du sable humide.

79

Chapitre 7

Ecoulements ou la viscosite estnegligeable

7.1 Repartition de pression. Effet Coanda

Nous avons deja, dans plusieurs circonstances, fait l’hypothese que la viscosite du fluideetait negligeable. Dans le chapitre V consacre aux lois de conservation, nous avons etabli larelation de Bernoulli et nous l’avons appliquee aux ecoulements a surface libre et au tube dePitot. Nous allons maintenant completer la relation qui existe entre pression et vitesse dans unecoulement de fluide parfait. Rappelons que la loi de Bernoulli exprime que la quantite H =1/2ρu2+p+ρφest constante le long d’une ligne de courant. Si l’ecoulement est irrotationnel, Hest constant dans tout l’ecoulement. A partir de l’equation d’Euler ρ∂u/∂t+ ρu.∇u = −∇p,nous allons etablir la variation de pression observee lorsqu’on traverse des lignes de courantcourbees. Si les lignes de courant ont localement un rayon de courbure R, l’acceleration d’uneparticule de fluide a deux composantes :

– une composante du/dtorientee suivant la tangente t aux lignes de courant

– une composante u2/R orientee suivant la normale n aux lignes de courant, c’est l’acce-leration centripete

D’ou :

ρ∂u

∂t+ ρu.∇u = ρ

du

dtt− ρu

2

Rn (7.1)

si n est oriente vers l’exterieur de la courbure.Le gradient de pression doit equilibrer les deux composantes d’acceleration et, le gradient

de pression radial equilibre l’acceleration centripete :

ρu2

R=∂p

∂r(7.2)

ce qui montre que la pression augmente lorsqu’on s’eloigne du centre de courbure des lignesde courant. Nous retrouvons egalement le fait qu’il n’y a pas de gradient de pression perpen-diculairement aux lignes de courant si celles-ci sont rectilignes (R infini). Afin de connaıtrela repartition complete de pression dans un ecoulement de fluide parfait, nous pouvons doncappliquer la loi de Bernoulli sur une ligne de courant et utiliser la relation 7.2 pour passerd’une ligne de courant a l’autre. Une manifestation evidente du gradient de pression radiallie a la courbure des lignes de courant est la deformation de la surface libre d’un liquide

80 CHAPITRE 7. ECOULEMENTS OU LA VISCOSITE EST NEGLIGEABLE

Fig. 7.1 – Ecoulement avec des lignes de courant courbees.

Fig. 7.2 – Recipient en rotation rempli d’eau. La courbe en trait noir est la forme theoriquede la surface libre.

contenu dans un recipient cylindrique en rotation. Si on attend assez longtemps apres la miseen rotation du recipient, tout le liquide tourne en bloc avec un champ de vitesse uθ = Ωr.

Lorsque le fluide est en rotation solide, il n’y a pas de deformation des elements de fluideet, meme si le fluide est visqueux, il n’y a pas de contraintes liees a la viscosite et les equationsde mouvement se ramenent a :ρu2

θ/R = ∂p/∂r dans la direction radiale et : −ρg = ∂p/∂zdansla direction verticale. Dans la direction radiale, la pression est donnee par : p(r,z) = p(0,z) +1/2ρΩ2r2.Sachant qu’a la surface libre, definie par z = ζ(r) la pression est constante et egalea p0, on obtient :p0 +ρgζ(0) + 1/2ρΩ2r2 = p0 +ρgζ(r), d’ou : ζ(r)− ζ(0) = Ω2r2/2g. La formede la surface libre est un paraboloıde de revolution.

7.1.1 Effet Coanda.

Une autre manifestation du gradient de pression radial peut etre observee en placant uncylindre ou une sphere sur le bord d’un jet. Le jet est deflechi par la surface solide et leslignes de courant se courbent en suivant la surface solide. Le gradient de pression est telque la pression sur la surface de l’objet est plus petite qu’a l’exterieur du jet. Si le jet esteffectivement place sur un des cotes de l’objet, il y a une difference de pression entre lesdeux cotes de l’objet qui tend a pousser l’objet vers le jet. Cet effet permet de maintenir enlevitation une boule sur laquelle on dirige un jet d’air.

7.2. ECOULEMENTS POTENTIELS 81

Fig. 7.3 – Sphere sustentee par un jet d’air. Le poids P de la sphere est equilibre par la traıneeT et par la force resultant du gradient de pression radial.

7.2 Ecoulements potentiels

7.2.1 Proprietes du potentiel des vitesses

Une des proprietes importantes des ecoulements de fluides parfaits est que si un volumede fluide est irrotationnel (ω = rotu = 0), il le reste indefiniment. Si par exemple, le fluide estinitialement au repos et s’il est mis en mouvement par l’application d’un gradient de pression,l’ecoulement cree sera potentiel. Cette propriete n’est evidemment pas verifiee exactementdans les fluides reels. Neanmoins, dans certaines conditions, en particulier sur les corps profiles,les effets visqueux peuvent etre negliges et des ecoulements potentiels sont observes. Cecijustifie l’etude de ce type d’ecoulements.

Si, de plus, le fluide est incompressible, le caractere irrotationnel : u = ∇φ couple a lacondition d’incompressibilite conduit a :

divu = div(∇φ) = ∆φ = 0 (7.3)

Le potentiel des vitesses obeit a l’equation de Laplace et la resolution de l’equation de mouve-ment se ramene a la recherche de fonctions harmoniques satisfaisant les conditions aux limites.Ce probleme est exactement equivalent a celui rencontre en electrostatique. En l’absence deviscosite, les parois solides n’imposent plus une condition de vitesse nulle. Le fluide ne peutneanmoins pas les traverser, c’est-a-dire que la composante de vitesse normale a la paroi doitetre nulle, soit ∂φ/∂n = 0 ou n est une coordonnee dans une direction normale a la paroisolide.

La linearite de l’equation de Laplace permet d’additionner des solutions obtenues inde-pendamment. Il suffit que le potentiel obtenu finalement respecte les conditions aux limites.A deux dimensions, le caractere potentiel de l’ecoulement impose que la fonction de courantψ satisfasse egalement l’equation de Laplace. En effet :

rotu =

(∂u

∂y− ∂v

∂x

)k =

(∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂x2

)k = 0 (7.4)


Fig. 7.4 – equipotentielles et lignes de courant pour un ecoulement uniforme.

La vitesse est orthogonale aux lignes equipotentielles φ = Cte et tangente aux lignes decourant ψ = Cte. Les equipotentielles et les lignes de courant constituent donc des reseauxde courbes orthogonales. Nous allons examiner quelques solutions simples de l’equation deLaplace.

7.2.2 Ecoulements potentiels simples

Ecoulement uniforme

Le champ de vitesse est donne par : u = U , v = 0. Le potentiel des vitesses correspondantest : φ = Ux et la fonction de courant est ψ = Uy.

Tourbillon

Les lignes de courant sont circulaires. Le champ de vitesse est ur = 0,uθ = Γ/2πr. Lepotentiel des vitesses correspondant est donne par : uθ = 1/r∂φ/∂θ, soit :

φ =Γθ

2π(7.5)

Les equipotentielles sont des droites θ = Cte. La fonction de courant est donnee par : uθ =1/r∂φ/∂r, d’ou :

ψ = − Γ

2πlnr

a(7.6)

Les lignes de courant sont des cercles espaces exponentiellement. La circulation de la vitessesur un cercle de rayon r est :

C =

∫uθdl =

∫ 2π

0

Γ

2πrrdθ = Γ (7.7)

Le parametre Γ est donc la circulation associee au tourbillon. Cette circulation est indepen-dante du rayon du cercle. En consequence, le flux du rotationnel de la vitesse sur une surfacelimitee par deux cercles de rayon quelconque centrees en O est nul. L’ecoulement est bienirrotationnel, sauf en r = 0 ou il existe une singularite de la vorticite. Cette singularite estresponsable de la circulation non nulle sur un contour qui entoure le centre du tourbillon. Cettesituation est absolument analogue au champ magnetique cree par un fil rectiligne parcourupar un courant.

On peut egalement noter que le potentiel definit par (7.5) n’est pas univoque. En tournantplusieurs fois autour du centre du tourbillon, on obtient des valeurs differentes du potentiel


Fig. 7.5 – tourbillon. Lignes de courant et equipotentielles.

en un meme point de l’espace. Cette multiplicite du potentiel est due a la singularite devorticite placee en r = 0. De maniere analogue, en magnetisme, la presence de courants rendle potentiel vecteur non univoque.

Source

Une source (ou un puits) est un ecoulement purement radial dont le debit total est Q.Le champ de vitesse est : ur = Q

2πr ,uθ = 0 . Si Q est positif, l’ecoulement diverge depuisle centre (source) ; si Q est negatif, l’ecoulement converge (puits). Le potentiel des vitessescorrespondant est donne par : ur = ∂φ/∂r , d’ou :

φ =Q

2πlnr

a(7.8)

La fonction de courant est donnee par : ur = 1r∂ψ/∂θ , d’ou : ψ = Qθ

2π . Remarquons que lepotentiel et la fonction des courants ont la meme forme que pour le tourbillon, mais leur rolessont inverses. La source est, en quelque sorte, l’ecoulement dual du tourbillon.

Dipole

De la meme maniere qu’en electrostatique ou deux charges proches de signes opposesconstituent un dipole, nous pouvons fabriquer un dipole en rapprochant une source et unpuits de debits opposes. Le potentiel des vitesses pour le dipole est la somme du potentiel dupuits et de la source, soit :

φ = φs + φp =Q

2π

(lnrsa− ln

rpa

)(7.9)

ou rs est la distance a la source et rp la distance au puits. En faisant tendre la distance dentre puits et source vers 0, tout en gardant le produit p = dQ constant, les distances rs et


Fig. 7.6 – ecoulement cree par un dipole. Les lignes de courant sont des ellipses (en traitpointille

rp deviennent tres grandes devant d. Il est alors possible de faire un developpement de ln rset ln rp autour de ln r ou r est la distance entre le point considere et le centre du dipole. Soit :ln rs = ln r + ∂ ln r

∂r (rs − r). D’ou :

φ =Q

2πr(rs − rp) ≈

Qd cos θ

2πr= − p.r

2πr2(7.10)

ou θ est l’angle entre l’axe du dipole et r. Le champ de vitesse correspondant est :

ur =∂φ

∂r=p cos θ

2πr2=

px

2πr3et uθ =

1

r

∂φ

∂θ=p sin θ

2πr2=

py

2πr3(7.11)

7.2.3 Ecoulement autour d’un cylindre

La recherche du potentiel des vitesses pour l’ecoulement autour d’un obstacle doit satisfaireuniquement a deux conditions : loin de l’obstacle, on doit retrouver un ecoulement uniformeavec un potentiel φ = Ux et sur l’obstacle, la vitesse normale a la paroi doit etre nulle, c’est-a-dire que la paroi doit etre une ligne de courant. L’obstacle constituant une perturbationde l’ecoulement uniforme, une des methodes pour trouver le potentiel consiste a ajouter auchamp de vitesse uniforme, la vitesse resultant d’un developpement multipolaire du potentiel.Nous avons vu ci-dessus ce que sont le potentiel d’un monopole (source) et d’un dipole. Onpeut definir de la meme maniere, le potentiel d’un quadrupole et des multipoles d’ordres pluseleves. La propriete d’additivite de l’equation de Laplace fait que tous ces developpementsmultipolaires satisfont egalement a l’equation de Laplace. Nous allons considerer ici l’ajoutdu potentiel d’un dipole a un ecoulement uniforme qui permet de representer l’ecoulementautour d’un cylindre. L’axe du dipole est parallele a l’ecoulement moyen pour conserver lasymetrie axiale et le potentiel est :

φ = Ux− p cos θ

2πr=(Ur − p

2πr

)cos θ (7.12)

Le champ de vitesse correspondant est :

ur =(U +

p

2πr2

)cos θ uθ = −

(U − p

2πr2

)sin θ (7.13)


0.8 0.8 0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

0

0

-0.

2

-0.

4

-0.

6

-0.

8

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

Fig. 7.7 – ecoulement potentiel autour d’un cylindre. Lignes de courant ( ψ normalisee parUa) en trait plein et isobares (pression normalisee par la pression dynamique) en pointilles.

il doit satisfaire aux conditions aux limites : u = U i a l’infini et ur = 0 en r = a (sur le cercle).La premiere condition est verifiee quelle que soit la force du dipole parce que le potentiel dudipole decroıt en 1/r et sa contribution s’annule a l’infini. La seconde condition impose laforce du dipole : p = −2πa2U et le potentiel resultant est :

φ = Ur cos θ

(1− a2

r2

)(7.14)

et le champ de vitesse est :

ur = U cos θ

(1− a2

r2

)uθ = −U sin θ

(1 +

a2

r2

)(7.15)

La fonction de courant s’en deduit par integration :

ψ = −Ur sin θ

(1− a2

r2

)(7.16)

Les lignes de courant sont representees sur la fig. 7.7. Il est facile de determiner le champde pression ; puisque l’ecoulement est potentiel, la loi de Bernoulli s’applique dans tous l’ecou-lement et :

p− p∞ =1

2ρ(U2 − u2) =

1

2ρU2a

2

r2

(2 cos 2θ − a2

r2

)(7.17)

Sur les points du cylindre ou la vitesse est nulle (en θ = 0 et π), on retrouve la pression destagnation: p = p0 + 1/2ρU 2.

En integrant la pression sur le pourtour du cylindre, nous obtenons la force exercee parl’ecoulement et en particulier sa composant dans la direction de l’ecoulement moyen :

Fx =

∫ 2π

0−p cos θ adθ (7.18)

La force de traınee est nulle, en raison de l’hypothese que nous avons faite de negliger laviscosite et de ne pas imposer de condition de non glissement a la surface du solide. Commenous le verrons, un meme resultat est obtenu pour tout corps solide dans un ecoulementpotentiel. Cette propriete fut decouverte par D’Alembert et constituait a l’epoque un paradoxecar le role de la viscosite n’etait pas clairement etabli.


7.3 Forces sur un obstacle en ecoulement potentiel

La force exercee par l’ecoulement sur un corps solide depend evidemment de la formede ce corps. Neanmoins, dans le cas des ecoulements potentiels, des resultats tres generauxpeuvent etre obtenus en considerant la forme asymptotique de l’ecoulement loin de l’obstacle.Pour etablir ces formes asymptotiques, il convient de faire la distinction entre les ecoule-ments bidimensionnels et les ecoulements tridimensionnels. D’une part la forme du potentieldes vitesses a grande distance du corps est differente : en effet, cette forme est dictee par lanecessite d’avoir un debit nul sur une sphere (a 3 D) et sur un cercle (a 2D). D’autre part,a deux dimensions la presence d’un corps solide modifie la topologie du domaine d’ecoule-ment : ce domaine n’est plus simplement connexe. Il est possible de tracer un contour dansle fluide et entourant le solide. La longueur de ce contour ne peut etre reduite a zero parune transformation continue. L’existence de contours fermes non reductibles au sein du fluideoffre la possibilite d’avoir une circulation non nulle de la vitesse autour de ces contours. Donc,le potentiel des vitesses peut etre multiforme, ainsi que nous l’avons vu dans l’exemple dutourbillon. Cette possibilite n’existe pas a trois dimensions pour un corps dont les dimensionssont finies : tous les contours traces dans le fluide peuvent etre reduits a une aire nulle.

7.3.1 Potentiel des vitesses a grande distance du corps

Dans un ecoulement bidimensionnel, la forme asymptotique du potentiel est :

φ(r) =Γθ

2π+ c ln r + c1

A.r

r2+ O

(1

r2

)(7.19)

Le premier terme du developpement est le potentiel d’un tourbillon, il correspond a l’existencepossible d’une circulation autour de l’obstacle. Le second terme est le potentiel d’une source.L’integrale sur un contour ferme de l’ecoulement lie a ce terme de source est un debit c. Enraison de la condition de vitesse normale nulle imposee sur le corps solide, ce debit doit etre nul.Le terme suivant est le potentiel d’un dipole et il est possible de poursuivre le developpementpar des termes multipolaires. A grande distance, le terme dipolaire domine les termes d’ordreplus eleve. Si la circulation Γ n’est pas nulle, sa contribution (decroissant en 1/r) au champde vitesse est dominante. En revanche, si la circulation est nulle, le terme dipolaire donne lacontribution dominante (en 1/r2) au champ de vitesse. Nous avons vu que, dans le cas d’uncylindre, le developpement (7.19) donne la solution exacte de l’equation de Laplace. Dans unecoulement tridimensionnel, le potentiel peut etre developpe en harmoniques spheriques :

φ(r) =c

r+ c1

A.r

r3+ O

(1

r3

)(7.20)

Le premier terme de ce developpement est un terme de source qui est nul pour la meme raisonque dans un ecoulement bidimensionnel. Le second terme est le potentiel d’un dipole a troisdimensions. Ce terme dipolaire est dominant a grande distance.

7.3.2 Force sur un corps solide

Nous utilisons la loi de conservation de l’impulsion pour calculer la force F exercee surle solide. Nous prenons un volume de controle limite, d’une part, par la surface du solide Scet, d’autre part, par un cylindre S situe a grande distance (fig. 7.8). A trois dimensions, le

7.3. FORCES SUR UN OBSTACLE EN ECOULEMENT POTENTIEL 87

Fig. 7.8 – volume de controle utilise pour calculer la force sur un corps solide.

cylindre est remplace par une sphere. Puisqu’il n’y a pas ici de contraintes engendrees parla viscosite, F est l’integrale de la pression sur la surface Sc du corps: F =

∫ScpndS ou n

est a la normale a Sc orientee vers le fluide. D’autre part, la conservation de la quantite demouvement applique au volume limite par Sc et S donne :

∫

S+Sc

ρu(u.n)dS +

∫

S+Sc

pndS =

∫

VfdV (7.21)

ou f est la force par unite de volume exercee sur le fluide (la gravite par exemple) et n lanormale a S+Sc orientee vers l’exterieur du volume de controle. A la surface du corps solide,la composante normale de vitesse est nulle et le flux de quantite de mouvement a travers cettesurface est donc nul. En supposant que la force en volume est nulle (l’ajout de la force degravite donnerait la poussee d’Archimede exercee sur le corps), l’equation de conservation del’impulsion devient : ∫

Sρu(u.n)dS +

∫

SpndS = −F (7.22)

Decomposons maintenant le champ de vitesse u en la somme de la vitesse a l’infini U et d’uneperturbation v due a l’obstacle et utilisons la loi de Bernoulli pour evaluer la pression :

p+1

2ρ(U + v)2 = p∞ +

1

2ρU2 (7.23)

Si la surface S est placee suffisamment loin de l’obstacle, la perturbation v est petitedevant la vitesse moyenne U et il est possible de negliger le terme en v2 dans le membre degauche de (7.23), d’ou :

p− p∞ ≈ −ρv.U (7.24)

En reportant cette expression de la pression dans (7.22), il vient :

F =

∫

Sp∞ndS −

∫

Sρ(v.U)ndS +

∫

SρUU.ndS +

∫

SρUv.ndS +

∫

SρvU.ndS (7.25)

Les integrales de p∞ et U (qui sont constants) sur le contour ferme S sont nulles. L’integrale∫S ρUv.ndS est egalement nulle ; c’est, au facteur U pres, l’integrale de la perturbation v sur

la surface S, c’est-a-dire le debit de fluide a travers S associe a la perturbation. Nous avons


vu que la presence du corps solide empeche d’avoir un terme de source pour le potentiel deperturbation. Ce debit est donc nul. Finalement, la force exercee sur le solide est :

F = −∫

Sρ(v.U)ndS +

∫

SρvU.ndS =

∫

Sρ[(U.n)v − (v.U)n]dS (7.26)

Soit, en utilisant la relation vectorielle : A ∧ (B ∧C) = (A.C)B− (A.B)C ,

F = −∫

SρU ∧ (v ∧ n)dS = −ρU ∧

∫

S(v ∧ n)dS (7.27)

Cette derniere expression montre que la force F est toujours orthogonale a la directionmoyenne de l’ecoulement. Il n’y a pas de force de traınee dans un ecoulement potentiel. Nousretrouvons sous forme generale le resultat obtenu pour l’ecoulement autour d’un cylindre.Dans un ecoulement tridimensionnel autour d’un corps de dimensions finies, le terme domi-nant du potentiel des vitesses est le terme dipolaire en 1/r2. Le champ de vitesse correspondantdecroıt en 1/r3. L’integrale de cette perturbation sur une sphere de surface proportionnelle ar2 decroıt comme 1/r. Il est possible de placer la surface S arbitrairement loin et l’integralede v est nulle. La force de portance (normale a l’ecoulement moyen) est donc aussi nulle dansce cas. Dans un ecoulement bidimensionnel, en presence d’une circulation autour du corpssolide, c’est ce terme de circulation qui domine la perturbation v a grande distance. Pour lesmemes raisons qu’a trois dimensions, la contribution du terme dipolaire a la force F est nulle.Le champ de vitesse v est donne par le potentiel d’un tourbillon (7.5):

v = ∇φ =Γ

2π∇θ (7.28)

et, en choisissant S comme un cercle de rayon r, la normale n a pour composantes cos θ etsin θ. La composante Fy s’exprime de la maniere suivante, pour un ecoulement moyen dirigesuivant l’axe x :

Fy = −ρU Γ

2π

∫ 2π

0

(∂θ

∂ycos θ − ∂θ

∂xsin θ

)rdθ = −ρUΓ (7.29)

Ce dernier resultat qui montre que la portance est proportionnelle au produit de la vitessemoyenne et de la circulation, est connu sous le nom de relation de Kutta-Joukovski. Il fautnoter que la vitesse U est exprimee dans un repere ou le corps solide est immobile ; U est lavitesse du fluide a l’infini. Nous pouvons interpreter simplement le signe de la force de portanceen utilisant la loi de Bernoulli. Supposons que l’ecoulement moyen du fluide se fasse de droitea gauche, soit : U = (−U,0) et que la circulation Γ soit positive (dans le sens trigonometrique).Au dessus du solide, l’ecoulement cree par la circulation se rajoute a l’ecoulement moyen. Endessous, il s’oppose a l’ecoulement moyen. La vitesse du fluide est donc plus grande au-dessusde l’obstacle qu’en dessous. En application de la loi de Bernoulli, la pression est plus basseau-dessus de l’obstacle. Donc la force resultante est dirigee vers le haut (Fy positif, en accordavec (7.29) pour une vitesse moyenne negative et une circulation positive.)

La portance developpee sur des ailes ou des voiles est donc liee a l’existence d’une cir-culation autour de ces profils. Nous n’avons pas evoque jusqu’a maintenant la facon dontcette circulation s’etablit. En realite, la viscosite joue un role determinant dans ce phenomenetransitoire sur lequel nous reviendrons un peu plus loin. Un cylindre ou une sphere en rota-tion (comme une balle de tennis frappee avec un effet) sont egalement soumis a une force de

7.4. CONSERVATION DE LA CIRCULATION. THEOREME DE KELVIN. 89

Fig. 7.9 – portance engendree par un ecoulement bidimensionnel couple a une circulation Γautour de l’obstacle.

portance. La encore, la viscosite joue un role important : la surface solide en rotation entraınele fluide environnant qui doit respecter la condition de non glissement sur la surface et unecoulement tourbillonnaire est ainsi cree. Dans certaines conditions, le champ de vitesse reelest peu different de celui determine par une theorie potentielle et la force de portance reelleest tres voisine de celle predite par la relation de Kutta-Joukovski. Les cylindres tournantsont ete effectivement utilises comme surfaces portantes sur un navire imagine par Flettnerdans les annees 20: deux grands cylindres verticaux entraınes par des moteurs remplacaientles voiles traditionnelles.

7.4 Conservation de la circulation. Theoreme de Kelvin.

7.4.1 Theoreme de Kelvin

La circulation de la vitesse sur un contour ferme joue un role essentiel dans la determina-tion des forces exercees sur des obstacles. Nous allons voir comment evolue cette circulationlorsque le contour C se deplace avec le fluide. La variation de circulation au cours du tempsest : DΓ

Dt = DDt

∮C u.dl ou D/Dt est une derivee particulaire, telle que nous l’avons definie

au chap. II, calculee en suivant le mouvement d’une particule de fluide. La variation de lacirculation Γ comprend deux contributions : la premiere est due au deplacement du contourC, entraıne par le mouvement du fluide, la seconde est due a la variation temporelle de lavitesse sur le contour, soit :

DΓ

Dt=

∮

C

Du

Dt.dl +

∮

Cu.Ddl

Dt(7.30)

La premiere integrale peut etre evaluee a partir de l’equation d’Euler : DuDt = −1

ρ∇p + 1ρ∇φ

ou φ est le potentiel dont derivent les forces en volume. Si la masse volumique est constante,cette premiere integrale se ramene a la circulation de deux gradients sur un contour ferme, elleest donc nulle. La variation de longueur de l’element de contour dl, par unite de temps, estsimplement la difference des vitesses aux deux extremites de cet element, soit : Ddl

Dt = ∇u.dlet la seconde integrale devient :

∮

Cu.Ddl

Dt=

∮

Cu.∇u.dl =

∮

C

1

2∇(u2).dl (7.31)


C’est a nouveau l’integrale d’un gradient sur un contour ferme. Donc la variation de circulationsur un contour ferme qui suit l’ecoulement est nulle:

DΓ

Dt= 0 (7.32)

Ce resultat, qui constitue le theoreme de Kelvin, n’est valide que si i) le fluide n’est pasvisqueux, ii) si la masse volumique est constante et iii) si les forces en volume derivent d’unpotentiel.

7.4.2 Une manifestation du theoreme de Kelvin : le tourbillon de vidange

Lorsqu’on vidange un evier ou une baignoire, on peut observer la depression de la surfacelibre qui se forme au-dessus de l’orifice de vidange. Cette depression reflete une chute depression au sein du liquide qui est elle-meme due a un tourbillon qui se forme dans le recipient(par une perturbation initiale, la force de Coriolis n’a rien a voir la-dedans, contrairementa ce qu’on affirme parfois). L’amplification du tourbillon est liee au theoreme de Kelvin :considerons un element de fluide cylindrique dont l’axe est confondu avec celui du trou devidange. La circulation Γ sur la surface exterieure de ce cylindre est de l’ordre de UR ou Uest la vitesse tangentielle et R le rayon du cylindre. L’ecoulement dans la vidange etire cecylindre de fluide le long de son axe. Pour satisfaire la conservation du volume, le rayon ducylindre doit diminuer et pour conserver la circulation, la vitesse tangentielle doit augmenter.

7.5 Surfaces portantes

Comme nous l’avons vu , la force de portance sur un corps solide en mouvement est lieea l’existence d’une circulation autour de ce corps. Nous pouvons dans certains cas calculeranalytiquement l’ecoulement potentiel autour de profils d’aile. Ces profils particulier sontobtenus par une transformation conforme de l’ecoulement autour d’un cylindre. Sur les deuxfigures 7.10 et 7.11 sont representes l’ecoulement sans circulation et l’ecoulement avec unevaleur particuliere de la circulation. Dans les deux cas l’angle d’incidence de l’ecoulementmoyen sur le profil est le meme. En l’absence de circulation, notons que le point de stagnationarriere ne se trouve pas exactement sur le bord de fuite, mais sur la partie superieure del’aile. La ligne de courant situee immediatement en dessous de l’aile doit contourner tresbrusquement le bord de fuite aigu. Dans ces conditions, la vitesse et le gradient de vitessedivergent au bord de fuite. Evidemment, dans un ecoulement reel ou la viscosite est toujourspresente, cette situation est impossible. Il se trouve que les effets visqueux imposent une vitessefinie, ainsi que l’egalite entre la vitesse sur l’extrados et sur l’intrados au voisinage immediatdu bord de fuite (condition de Kutta-Joukovski). La fig. 7.11 montre le meme ecoulement maisavec une circulation qui a ete ajustee de telle maniere que le point de stagnation arriere setrouve exactement au bord de fuite. Cette circulation dans le sens trigonometrique corresponda une force de portance dirigee vers le haut. On notera le resserrement tres important deslignes de courant sur la partie superieure, pres du bord d’attaque. Cette acceleration du fluideinduit, selon la loi de Bernoulli, une depression importante a la partie superieure de l’aile.

Nous voyons sur la figure 7.12 la repartition de pression sur un profil d’aile reel, mesuree ensoufflerie. Sur cette figure, la pression est normalisee par la pression dynamique 1/2ρU 2. No-tons, qu’en valeur absolue, le changement de pression est nettement plus grand sur l’extrados(l’aile est (( aspiree )) vers le haut.

7.5. SURFACES PORTANTES 91

Fig. 7.10 – ecoulement potentiel autour d’un profil d’aile, sans circulation.

Fig. 7.11 – ecoulement potentiel autour d’un profil d’aile avec une circulation assurant unevitesse finie au bord de fuite.

-3

-2

-1

0

1

p'-p

' 0

1.00.80.60.40.20.0

x/c

Fig. 7.12 – repartition de pression sur un profil d’aile avec un angle d’incidence de 7˚ enfonction de la position le long du profil. c est la longueur du profil (corde). Cercles : pressionsur l’intrados. Triangles : pression sur l’extrados.


Fig. 7.13 – visualisation par des filets colores de l’ecoulement autour d’un profil d’aile enincidence.

Lorsque la vitesse moyenne change ou bien lorsque l’incidence du profil est modifiee, laforce de portance change. La circulation autour de l’aile doit donc changer. Or, d’apres letheoreme de Kelvin, si les effets visqueux sont negligeables, la circulation sur un contour quisuit le mouvement du fluide doit etre constante. Le changement de circulation autour d’unprofil portant doit s’accompagner d’un changement de circulation exactement oppose dans lefluide qui est emporte dans le sillage du profil. Cette conservation globale de la circulationest illustree sur la fig. 7.13.

Dans l’ecoulement photographie sur la fig. 7.13, la vitesse moyenne a ete brusquementmodifiee, ce qui a entraıne une modification de la circulation autour du profil d’aile. Pourcompenser ce changement, un tourbillon de circulation opposee se cree au bord de fuite etse detache du profil. La circulation autour des deux rectangles noirs dessines sur la fig. 7.13(autour de l’aile et autour du tourbillon detache) est telle que la circulation globale est resteconstante pendant la modification de l’ecoulement moyen. Pour la meme raison, lorsqu’unprofil portant est mis en mouvement, il faut detacher un tourbillon derriere le profil afin depermettre l’etablissement de la portance.

93

Chapitre 8

COUCHES LIMITES

8.1 La notion de couche limite

Nous avons deja examine des ecoulements ou les effets visqueux sont entierement domi-nants et des ecoulements ou nous avons au contraire completement neglige les effets de laviscosite. Par exemple, pour etablir le principe de fonctionnement du tube de Pitot (§ 5.2),nous avons utilise la loi de Bernoulli. Pourtant le resultat ainsi obtenu est conforme a cequi observe dans la realite ou les effets visqueux ne sont jamais totalement negligeables. Enparticulier, la viscosite du fluide impose toujours que la vitesse de l’ecoulement soit nulle auvoisinage immediat d’une paroi solide ce qui en contradiction avec l’hypothese de glissementutilisee pour les ecoulements de fluide parfait. Il est possible de reconcilier ces deux pointsde vue contradictoires grace a l’existence d’une couche limite dans laquelle les effets visqueuxsont confines et en dehors de laquelle les effets visqueux sont negligeables.

L’existence d’une couche limite provient des effets combines de la viscosite et de la convec-tion par l’ecoulement moyen sur le transport de la quantite de mouvement. Nous avons etablidans l’introduction (§ I.5) que la mise en mouvement d’une plaque plane infinie conduit a unediffusion de la quantite de mouvement vers l’interieur du fluide. L’epaisseur de la couche danslaquelle la diffusion a eu lieu est de l’ordre de

√νt. La viscosite est egalement responsable

de la diffusion de la vorticite dans l’ecoulement. A l’instant initial, le fluide est au repos et,evidemment, la vorticite est nulle partout. Si nous reprenons le profil de vitesse etabli dans I.5et calculons la vorticite ωz = ∂u/∂y− ∂v/∂x, nous obtenons un profil de vorticite qui decroıtcomme exp(−ζ2) ou ζ est la coordonnee normale a la plaque normalisee par

√νt. Ainsi, a

l’interieur de la couche d’epaisseur√νt, la vorticite creee par la brusque mise en mouvement

de la plaque a diffuse. En revanche, a l’exterieur la vorticite n’a pas eu le temps de diffuseret l’ecoulement est reste irrotationnel.

Dans cet exemple de la plaque infinie, il y a une invariance par rapport a la coordonneex le long de la plaque. De ce fait, le transport de quantite de mouvement par l’ecoulementmoyen, parallele a la plaque, n’a aucun effet, la quantite transportee ayant la meme valeur atoutes les abscisses x. Il n’en est pas de meme dans un cas plus general (par exemple, si laplaque plane est de longueur finie) ou la convection par l’ecoulement moyen va participer autransport de la quantite de mouvement. Considerons le cas d’une plaque plane de tres faibleepaisseur et de longueur l placee dans un ecoulement uniforme parallele a la plaque (fig. 8.1).

Supposons que l’ecoulement uniforme soit brusquement accelere de 0 a la vitesse constanteU . La viscosite impose le developpement autour de la plaque d’une couche ou la vorticite

94 CHAPITRE 8. COUCHES LIMITES

Fig. 8.1 – Couche limite autour d’une plaque plane de longueur l, dans le cas ou Ul/ν estd’ordre unite et dans le cas ou Ul/ν est tres grand.

n’est pas nulle. L’ecoulement moyen s’oppose a l’extension de cette couche vers l’amont. Enrevanche, il favorise son developpement vers l’aval. Contrairement au cas de la plaque infinie,nous pouvons atteindre ici un etat stationnaire pour le transport de la vorticite et de laquantite de mouvement. Cet etat stationnaire va definir l’epaisseur de la couche limite. Letemps moyen mis par un element de fluide pour parcourir la totalite de la plaque est l/U .Pendant ce temps, la viscosite permet a la quantite de mouvement de diffuser sur une distanceδ = (νl/U)1/2 = lRe−1/2, si nous calculons le nombre de Reynolds sur la longueur de la plaque.Si le nombre de Reynolds ainsi calcule est suffisamment grand, l’epaisseur δ sera petite devantla longueur l de la plaque. En dehors de la couche limite, l’ecoulement reste irrotationnel et leseffets visqueux sont negligeables. Ce raisonnement s’applique a tout corps solide place dansun ecoulement, a condition que la couche limite reste effectivement confinee pres du corps ;nous verrons plus tard quelles sont les conditions qui conduisent au decollement de la couchelimite.

Ceci justifie l’utilisation de l’hypothese de fluide parfait pour decrire l’ecoulement autourd’un corps solide ainsi que la recherche de solutions qui derivent d’un potentiel (ecoulementsirrotationnels).

8.1.1 Approximations de l’equation de Navier-Stokes dans une couche li-mite.

Le fait que l’epaisseur de la couche limite soit petite devant les autres dimensions caracte-ristiques de l’ecoulement permet de faire des approximations dans l’equation de Navier-Stokes.Pour simplifier, considerons toujours le cas d’une plaque plane (placee en y = 0) placee dansun ecoulement uniforme a l’infini (u = U,v = 0) et supposons que l’ecoulement est bidimen-sionnel.

La faible epaisseur de la couche limite implique que les derivees de la vitesse dans ladirection y (normale a la plaque) sont beaucoup plus grandes que les derivees dans la directionx : ∣∣∣∣

∂u

∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣∂u

∂x

∣∣∣∣ et

∣∣∣∣∂2u

∂y2

∣∣∣∣∣∣∣∣∂2u

∂x2

∣∣∣∣ (8.1)

Ces inegalites permettent de simplifier l’ecriture de l’equation de Navier-Stokes pour la com-posante u de la vitesse :

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

∂2u

∂y2(8.2)

8.2. COUCHE LIMITE SUR UNE PLAQUE PLANE 95

Par ailleurs, la composante de vitesse v, normale a la plaque est petite devant u, ainsi que lemontre la relation d’incompressibilite :

∂u

∂x+∂v

∂y≈ u

l+v

δ= 0 (8.3)

Nous pouvons noter que l’equation (8.2) est identique a l’equation d’Euler pour les fluidesparfaits a un terme pres qui est proportionnel a la viscosite et qui rend compte de la diffusionde la vorticite. Les considerations generales developpees ci-dessus suggerent que ce terme deviscosite est comparable aux termes inertiels de (8.2) a l’interieur de la couche limite, soit :

u∂u

∂x≈ ν ∂

2u

∂y2(8.4)

soit, en ordre de grandeur : U Ul ≈ ν Uδ2 , qui conduit a :

δ2 ≈ l2 νUl

soit :δ ≈ lRe−1/2 (8.5)

ou le nombre de Reynolds est defini avec la longueur de la plaque. Une des consequences de(8.5) est que la composante v a pour ordre de grandeur : URe−1/2 et que la projection suivanty de l’equation de Navier-Stokes se reduit a :

∂p

∂y= 0 (8.6)

tous les termes proportionnels a v etant petits. La pression est donc pratiquement constantea travers la couche limite et elle determinee par la resolution de l’equation d’Euler en dehorsde la couche limite. lorsque l’ecoulement est stationnaire, l’equation d’Euler est equivalentea la relation de Bernoulli. Il est donc possible de resoudre (8.2) en utilisant les conditionsaux limites suivantes : sur la plaque plane (y = 0) : u = v = 0 ; sur l’exterieur de la couche(y/δ 7→ ∞) : u(x,y,t) 7→ U(x,t) et v 7→ 0, la pression etant donnee par l’equation de Bernoullip + 1/2ρU 2 = Cte. Le raisonnement que nous venons de faire pour une plaque plane peutetre generalise a d’autres geometries. Nous pouvons decrire de la meme maniere la couchelimite sur une paroi courbe. Il suffit de definir un systeme de coordonnees curvilignes suivantle contour de la paroi solide. Il faudra egalement tenir compte du gradient de pression radialimpose par la courbure des lignes de courant et remplacer l’equation (8.6) par une equationsimilaire a (7.2). Nous pouvons egalement utiliser des approximations de couche limite pourdecrire la zone de transition entre deux ecoulements paralleles de vitesses differentes (couchede melange, fig. 8.2) ou bien pour decrire un sillage laminaire. Les approximations essentiellesreposent en effet sur la grande disparite des longueurs caracterisant l’ecoulement dans deuxdirections orthogonales.

8.2 Couche limite sur une plaque plane

En utilisant les approximations justifiees ci-dessus, nous allons determiner le champ devitesse dans la couche limite se developpant sur une plaque plane. Nous avons a resoudrel’equation (8.2), couplee a la condition d’incompressibilite (8.3) avec les conditions aux limites


Fig. 8.2 – couche de melange se developpant entre deux ecoulements uniformes de vitesses U1

et U2.

suivantes : u = v = 0 en y = 0 et u 7→ U si y/δ 7→ ∞ lorsque l > x > 0 et u = U en x = 0,quel que soit y. Il est clair que l’epaisseur de la couche limite augmente lorsqu’on se deplacedans le sens de l’ecoulement moyen. Chaque portion de la paroi solide contribue en effet aralentir l’ecoulement par le biais du frottement visqueux. A une distance x du bord d’attaquede la plaque, seules les parties de la plaque situees en amont de ce point ont contribue al’epaississement de la couche limite. Nous pouvons donc supposer que l’epaisseur locale de lacouche limite ne depend que de la coordonnee x et pas de la longueur totale de la plaque.Sachant qu’un element de fluide parcourt la distance x en un temps de l’ordre de x/U et quela distance sur laquelle diffuse la quantite de mouvement est de l’ordre de

√νt, l’epaisseur

locale de la couche limite δ(x) doit etre de l’ordre de√νx/U . Tout le raisonnement qui suit

repose sur le fait que l’epaisseur de couche limite ne depend que la distance au bord d’attaqueet que ce qui se passe en aval n’influence pas la couche limite. Avant de chercher des solutionsdes equations (8.2) et (8.3), nous allons les ecrire avec des variables sans dimension (avec desprimes). Nous normalisons naturellement la vitesse u le long de la plaque par la vitesse al’infini U :

u = u′U (8.7)

Reprenons maintenant la condition d’incompressibilite et ecrivons l’ordre de grandeur desdifferents termes avec les grandeurs ” locales ” X et δ(X) ou X est la distance depuis le bordd’attaque de la plaque:

∂u

∂x+∂v

∂y≈ u

X+

v

δ(x)(8.8)

ce qui nous conduit a :

v ≈ uδ(x)

Xet v = v′URe−1/2

X (8.9)

ou ReX est un nombre de Reynolds defini sur la longueur X : Rex = UX/ν. L’echellede longueur suivant y est naturellement l’epaisseur locale de la couche limite et l’echelle delongueur suivant x est la distance X :

x = x′X et y = y′δ(X) (8.10)

Reportons dans (8.2) les variables sans dimension definies par (8.7), (8.9 et (8.10) et remar-quons que, a l’exterieur de la couche limite, la vitesse est constante et donc, la pression est

8.2. COUCHE LIMITE SUR UNE PLAQUE PLANE 97

egalement constante. Nous obtenons :

u′∂u′

∂x′+ v′

∂u′

∂y′=∂2u′

∂y′2(8.11)

Cette forme de l’equation de couche limite montre que les termes inertiels (membre de gauche)sont bien du meme ordre de grandeur que les termes de viscosite (membre de droite). En effet,les variables adimensionnelles sont toutes choisies de maniere a etre d’ordre unite. On peutegalement remarquer que la viscosite du fluide et le nombre de Reynolds n’apparaissent plusdirectement dans cette equation. Ceci resulte du choix de l’epaisseur locale de la couche limite :

δ(X) = XRe−1/2X qui decrit l’essentiel du phenomene physique conduisant a la formation de la

couche limite. De la meme maniere que dans le probleme de la plaque infinie mise brusquementen mouvement, nous allons trouver des solutions autosimilaires pour le profil de vitesse enprenant une coordonnee spatiale sans dimension : ζ = y/δ(X) = y(U/νx)1/2 et en cherchantune solution pour u de la forme :

u = Uf(ζ) (8.12)

Pour satisfaire les conditions aux limites (u(y = 0) = 0 et u 7→ U si y 7→ ∞), il est necessaireque : f(0) = 0 et : f(ζ) 7→ 1 si ζ 7→ ∞. En reportant l’expression (8.12) dans la conditiond’incompressibilite, il vient :

∂v

∂y=∂v

∂ζ

∂ζ

∂y=

(U

νx

)1/2 ∂v

∂ζ=

U

2xζf ′(ζ) (8.13)

soit :∂v

∂ζ=

1

2

(νU

x

)1/2

ζf ′(ζ) (8.14)

qu’il est possible d’integrer par parties en :

v =1

2

(νU

x

)1/2 [ζf(ζ)−

∫ ζ

0f(ξ)dξ

](8.15)

en tenant compte de la condition v(y = 0) = 0. Nous pouvons maintenant inserer les expres-sions (8.12) et (8.15) dans l’equation (8.2), avec ∂p/∂x = 0 puisque la pression est constantea l’exterieur de la couche limite. Avec :

u∂u

∂x= −1

2

U2

xζff ′et : v

∂u

∂y=

1

2

U2

xf ′(ζf −

∫fdξ

)

ainsi que :∂2u

∂y2=U2

νxf ′′

il vient :

2f ′′(ζ) + f ′(ζ)

∫ ζ

0f(ξ)dξ = 0 (8.16)

qui est l’equation de Blasius decrivant le profil de vitesse. Remarquons la disparition expli-cite des coordonnees x et y dans cette derniere equation. Elles apparaissent seulement parl’intermediaire de ζ qui est proportionnel a yx−1/2. Ceci confirme que l’equation de couche


1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

u/U

86420

ζ = y (U/νx)1/2

Fig. 8.3 – profil de vitesse dans la couche limite sur une plaque plane.

limite admet bien des solutions autosimilaires (les profils de vitesses sont identiques a toutesles abscisses x). La solution de (8.16) a ete obtenue numeriquement. Il faut noter que lorsqueζ est inferieur a 2, le profil de vitesse est tres proche d’une droite et que lorsque ζ atteint5, f est superieur a 0,99. La couche limite sur une plaque plane peut donc etre representeetres schematiquement par un profil lineaire se raccordant a la valeur constante de la vitesse al’exterieur de la couche limite (fig. 8.3). A partir du profil de vitesse, nous pouvons determinerla force de friction exercee sur la plaque par l’ecoulement. La contrainte de cisaillement surla plaque est :

σxy = η

(∂u

∂y

)

y=0

= ηUf ′(0)∂ζ

∂y(8.17)

soit, en faisant apparaıtre la pression dynamique ρU 2 et en prenant la valeur de f ′(0) = 0.33trouvee par le calcul :

σxy = 0,33ρU 2( ν

Ux

)1/2(8.18)

La force totale sur une plaque de longueur l (par unite de longueur dans la troisieme dimen-sion) est donc l’integrale de la contrainte donnee par (8.18) :

Fl = 0,33ρU 2

∫ l

0

( ν

Ux

)1/2dx = 0,66ρU 2l

( νUl

)1/2(8.19)

Le coefficient de friction CD est defini comme le rapport entre la force de traınee et la forcequi serait exercee par la pression dynamique appliquee uniformement sur toute la plaque,soit :

CD =FlρU2l

= 0,66Re−1/2l (8.20)

L’expression du coefficient de friction trouvee ci-dessus dans le cas d’une plaque planereste approximativement correcte sur des corps profiles, c’est-a-dire tant que la surface solidefait un angle faible avec la direction moyenne de l’ecoulement (par exemple, dans le cas duprofil d’aile de la fig. 1.1 place en incidence nulle). Les calculs developpes ci-dessus cessentegalement d’etre valables lorsque la couche limite devient turbulente ce qui se produit lorsquele nombre de Reynolds construit sur l’epaisseur locale de la couche limite Uδ/ν excede apeu pres 600. Nous avons jusqu’a present defini l’epaisseur δ de la couche limite par unraisonnement purement dimensionnel. Il est maintenant possible d’en donner une definitionplus precise. La definition la plus simple consiste a chercher la valeur de ζ pour laquelle u/Uatteint une valeur donnee, par exemple 0,99. On trouve alors : δ = 5(νx/U)1/2. Une autre

8.3. AVEC GRADIENT DE PRESSION EXTERIEUR 99

definition, plus physique, consiste a definir l’epaisseur de deplacement qui estime le deficitglobal de debit du a la presence de la couche limite. En amont de la plaque, le debit de fluideentre les lignes y = 0 et y = D est evidemment Q0 = UD. A une distance x en aval du bordd’attaque, ce debit devient :

Q =

∫ D

0udy = Q0 −

∫ D

0(U − u)dy ≈ Q0 − U

∫ ∞

0

(1− u

U

)dy (8.21)

ou nous avons utilise le fait que D est beaucoup plus grand que l’epaisseur de le couche limiteet, qu’en dehors de cette couche, u est egal a U . Nous pouvons ecrire (8.21) sous la forme :

Q = Q0 − Uδ1 (8.22)

definissant ainsi l’epaisseur de deplacement δ1. Cette epaisseur est egalement la distance dontsont deplacees verticalement les lignes de courant dans l’ecoulement potentiel a l’exterieur dela couche limite. En effet, il faut assurer la conservation du debit Q0 entre les lignes de courantqui, loin en amont, se situent respectivement en y = 0 et y = D. Sachant qu’a l’exterieurde la couche limite, la vitesse est uniforme et egale a U , pour compenser le deficit exprimepar (8.22), il faut deplacer la ligne de courant exterieure d’une distance δ1. Cet ecartementprogressif des lignes de courant exterieures est du a la petite composante verticale de vitesse.

8.3 Couches limites en presence d’un gradient de pressionexterieur. Decollement

8.3.1 Influence de l’acceleration ou deceleration de l’ecoulement externe

La configuration de l’ecoulement (par exemple la courbure de la paroi solide) peut imposerun gradient de vitesse ∂U/∂x non nul a l’exterieur de la couche limite. L’application de la loide Bernoulli nous indique que la pression varie egalement dans la direction de l’ecoulementmoyen. En utilisant la condition d’incompressibilite, nous pouvons obtenir la composante devitesse verticale v en fonction du gradient de vitesse longitudinal :

v(y) = −∫ y

0

∂u

∂xdy (8.23)

Si ∂u/∂x est positif (le fluide accelere le long de la paroi), (8.23) nous indique que la com-posante verticale de vitesse sera negative. Pour satisfaire la condition d’incompressibilite, lefluide est ramene vers la paroi. L’acceleration de l’ecoulement hors de la couche limite contri-bue donc a amincir la couche limite. En revanche, s’il y a deceleration de l’ecoulement horsde la couche limite, (8.23) nous montre que v est positif, le fluide est emporte de la paroi versl’ecoulement exterieur. Cet effet se rajoute a l’epaississement de la couche limite provoquepar la diffusion de la quantite de mouvement due a la viscosite. A l’exterieur de la couchelimite, le gradient de pression est :

∂p

∂x= −ρU ∂U

∂x(8.24)

La composante de vitesse v etant tres petite, la pression a l’interieur de la couche limiteest tres peu differente de la pression externe. Ainsi, la deceleration de l’ecoulement externeconduit a l’existence d’un gradient de pression adverse, qui s’oppose a l’ecoulement dans lacouche limite. Si ce gradient de pression est suffisamment fort, il peut renverser l’ecoulementet provoquer le decollement de la couche limite.


8.3.2 Solutions autosimilaires pour un ecoulement externe en xm

Lorsque la vitesse externe varie en loi de puissance avec la coordonnee longitudinale,soit : U(x) = Cxm, il existe des solutions autosimilaires a l’equation de la couche limite.Ces solutions ont ete determinees numeriquement par Falkner et Skan en 1930. Les deuxcomposantes de vitesse u et v sont donnees par la fonction de courant :

ψ =√νUxf(ζ) (8.25)

ou la coordonnee verticale adimensionnelle ζ est definie comme precedemment :

ζ = y

(U

νx

)1/2

(8.26)

et ou la fonction f obeit a l’equation :

mf ′2 − 1

2(m+ 1)ff ′′ = m+ f ′′′ (8.27)

Lorsque m = 0, la vitesse est uniforme le long de la couche limite et l’equation (8.27) estequivalente a l’equation de Blasius (8.16) pour l’ecoulement sur une plaque plane. Les solutionsde l’equation de Falkner-Skan (8.27) pour quelques valeurs de m sont representees sur la fig.8.4. De la meme maniere que pour la couche limite sur une plaque plane, l’epaisseur dedeplacement δ1 et la contrainte de cisaillement sur la paroi peuvent etre determinees :

δ1 =(νxU

)1/2∫ ∞

0(1− f ′)dζ ∝ x 1

2(1−m) (8.28)

L’epaisseur de deplacement est uniforme le long de la paroi lorsque la vitesse externe augmentelineairement (m = 1). L’epaississement de la couche limite par diffusion ” visqueuse ” estexactement compense par l’acceleration de l’ecoulement externe.

σxy(y = 0) = ρ

(νU3

x

)f ′(0) ∝ x 1

2(3m−1) (8.29)

Lorsque m = 1/3, la contrainte est uniforme tout au long de la paroi. La diminution dugradient de vitesse provoque par l’epaississement de la couche limite est ici exactement com-pense par l’acceleration de l’ecoulement externe. L’examen des solutions de l’equation deFalkner-Skan, en presence de deceleration (m < 0) montre que les profils de vitesse ont unpoint d’inflexion (pour m = 0, le point d’inflexion est situe a la paroi). D’autre part, sim < −0.091, le gradient de vitesse ∂u/∂y a la paroi change de signe. Ceci montre que pourune deceleration de l’ecoulement externe caracterisee par une valeur de m inferieure a cettevaleur critique, il y a renversement de l’ecoulement a la paroi.

Dans l’analyse de Falkner et Skan, le gradient de vitesse ∂u/∂y change de signe partoutdans la couche limite si m passe en dessous de la valeur critique m = −0.091. Dans l’ecoule-ment autour d’un corps de forme complexe (une surface portante par exemple), le gradient devitesse longitudinal ∂U/∂x evolue le long du corps. En pratique, la couche limite se separe dela paroi solide au point ou ∂u/∂y change de signe. Ce decollement est en general associe a unepaississement tres important de la couche limite et egalement a l’apparition d’instabilites.Les approximations que nous avons faites pour decrire la couche limite ne s’appliquent alorsplus. La consequence essentielle pour les applications est que la vitesse dans la couche limitedecroıt considerablement (beaucoup plus vite que la deceleration imposee par l’ecoulementpotentiel externe) et la pression croıt egalement rapidement dans la direction de l’ecoulementmoyen.


1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0u/

U43210

(m+1)1/2(U/2νx)1/2y

m = -0.091

m = 0

m = 1/3

m = 1

Fig. 8.4 – solutions de l’equation de Falkner-Skan pour quatre valeurs de m.

8.3.3 Consequences du decollement de la couche limite

Sillage des corps non profiles

Sur un corps non profile (un cylindre ou une sphere, par exemple), la couche limite sedeveloppe a partir du point de stagnation situe sur la face amont du corps. Sur la partiearriere du corps, la forme du solide impose une divergence rapide des lignes de courant,donc un ralentissement rapide de l’ecoulement moyen. Ce ralentissement est naturellementla source d’un decollement premature de la couche limite (voir, par exemple, la fig. 1.6). Laconsequence directe de ce decollement est la presence d’un sillage tres large et un force detraınee tres importante sur le corps. Afin de comparer l’influence de la forme de differentscorps sur la force de traınee FT , on definit un coefficient de traınee CD (D comme Drag,traınee en anglais), tel que :

FT =1

2ρU2SCD (8.30)

ou S est la surface frontale du corps et 1/2ρU 2 est la pression dynamique qui, dans unecoulement a grand nombre de Reynolds, donne un ordre de grandeur de la surpression regnantsur la face amont du corps. C’est ce coefficient de traınee qu’on designe traditionnellementpar Cx pour les automobiles. Le coefficient de traınee est, en general, fonction du nombre deReynolds. Toutefois, si les caracteristiques generales de l’ecoulement varient peu, le coefficientde traınee reste presque constant. Ainsi, pour un cylindre, CD varie de 1,4 a 1,2 lorsque Revarie de 102 a 105 (avec un minimum a 0,9 pourRe de l’ordre de 1000). A titre de comparaison,le coefficient de traınee d’un profil d’aile place a angle d’incidence nul peut descendre endessous de 10−2. Cette faible traınee s’explique par l’absence de decollement appreciable dela couche limite sur l’ensemble du profil.

Surfaces portantes

Comme nous l’avons vu en etudiant les ecoulements ou la viscosite peut etre negligee, lapresence d’une force portante sur un corps solide est associee a l’existence d’une circulationautour de ce corps et a une difference appreciable de vitesse entre la surface superieure etla surface inferieure (voir la repartition de pression de la fig. 7.12). De meme que la traıneeest caracterisee par le coefficient CD, la force de portance est definie par un coefficient sans


1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2C

L2520151050

40

30

20

10

0

CL /C

D

Fig. 8.5 – Coefficient de portance (CL) et finesse (CL/CD) pour un profil d’aile en fonctionde l’angle d’incidence (mesures effectuees a Re de l’ordre de 106).

dimension CL (L comme lift) tel que :

FP =1

2ρU2SCL (8.31)

L’augmentation de l’angle d’incidence (angle entre l’ecoulement loin de l’aile et l’axe duprofil) se traduit d’abord par une augmentation de la portance, resultant essentiellement d’uneacceleration du fluide sur l’extrados. Neanmoins, lorsque l’angle d’incidence est augmente au-dela d’une valeur qui depend du nombre de Reynolds et de la forme exacte du profil, laportance diminue, de meme que le rapport CL/CD (finesse) qui definit les performances del’aile.

Cette diminution du coefficient de portance a grande incidence est lie au decollement dela couche limite a l’extrados du profil. On peut observer un debut de decollement sur la fig.1.1 ; le profil est place a un angle d’incidence assez faible et le decollement de la couche limitese produit loin du bord d’attaque. Sur la fig. 7.13, en revanche, l’angle d’incidence est treseleve et le decollement se produit immediatement en aval du bord d’attaque et influence toutl’ecoulement sur la partie superieure du profil. Sur un voilier, il est possible de visualiser ledecollement de couche limite en posant des petits brins de laine sur les voiles, en particulier, lelong du bord d’attaque. Lorsque les brins de laine se retournent, c’est le signe d’une inversionde l’ecoulement sur la voile et donc du decollement de couche limite. C’est aussi le signe quel’angle incidence est trop grand et que la voile est incorrectement reglee.

8.3.4 Controle de la couche limite

Le decollement de couche limite etant generateur de perte de portance et d’augmentationde traınee, il faut chercher a le reduire. Differentes solutions ont ete apportees a ce probleme,en particulier en aeronautique. On a envisage d’aspirer la couche limite en percant de petitstrous dans la paroi solide et en pompant le fluide. L’efficacite de ce procede a ete prouve ensoufflerie et sur quelques avions prototypes mais il n’a pas encore ete mis en oeuvre sur desappareils produits en serie. En revanche, le procede de ” soufflage ” qui consiste a injectertangentiellement du fluide a grande vitesse dans la couche limite est tres efficace et plus simplea mettre en oeuvre. Tous les avions de transport modernes sont equipes de volets a fentes aussibien au bord d’attaque qu’au bord de fuite des ailes. Ces volets sont entierement deployes a


Fig. 8.6 – Schema d’un profil d’aile avec bec de bord d’attaque et volets de bord de fuite.Document NASA.

l’atterrissage. Pour des raisons de securite, l’atterrissage doit s’effectuer a la vitesse la plusfaible possible. Pour maintenir une portance suffisante, il est necessaire de braquer l’avionet d’augmenter considerablement l’angle d’incidence. Les volets a fente de bord d’attaquereinjectent de l’air a haute vitesse sur l’extrados et retardent considerablement le decollementde la couche limite. Les volets de bord de fuite permettent de reorienter le flux d’air quittantl’aile vers le bas et augmentent ainsi la portance.


105

Chapitre 9

TRANSPORT CONVECTIF

9.1 Equation de transport de la masse et de la chaleur

Nous avons deja etabli l’equation de transport de la quantite de mouvement, c’est-a-direl’equation de mouvement pour le fluide. Examinons maintenant comment est regi le transportd’une quantite vehiculee par l’ecoulement (concentration d’un solute, quantite de chaleur, ...).De la meme facon que pour la quantite de mouvement, deux processus de transport inter-viennent : un transport diffusif, du au mouvement brownien et un transport convectif propre-ment dit, du a l’ecoulement. Prenons l’exemple de la diffusion d’un solute de concentrationC (le traitement de la diffusion de la chaleur est absolument analogue). Determinons toutd’abord l’expression des flux de solute a travers une surface de normale n. Le flux convectifJC est le produit de la concentration du solute par la projection de la vitesse du fluide sur lanormale a la surface :

JC = Cu.n (9.1)

Le flux diffusif JD est lui proportionnel au gradient de concentration. En effet, consideronsdeux surfaces paralleles a notre surface de reference et placees de part et d’autre de celle-cia une distance δ telle qu’une molecule de solute parcourt δ en un temps unite. Le nombrede molecules traversant la surface de reference et provenant de la surface situee en +δ estproportionnel a C0 +∇Cδ. Le nombre de molecules provenant de la surface situee en −δ estproportionnel a C0 − ∇Cδ. Donc, le bilan global de molecules qui traversent la surface dereference dans la direction + est proportionnel a −∇C. Si JD est un nombre de molecules parunite de surface et par unite de temps, C est un nombre de molecules par unite de volume etla constante de proportionnalite entre JD et ∇C a la dimension d’un coefficient de diffusion.L’expression de JD est donc :

JD = −D∇C (9.2)

Ecrivons maintenant la conservation de la masse dans un volume V fixe, limite par la surfaceS :

∂

∂t

∫

VCdV +

∫

S(uC −D∇C).ndS = 0 (9.3)

soit, en intervertissant la derivee temporelle et l’integration sur le volume fixe et en utilisantle theoreme de la divergence :

∂C

∂t+∇.(uC −D∇C) = 0 (9.4)

106 CHAPITRE 9. TRANSPORT CONVECTIF

Si le fluide est incompressible et si le coefficient de diffusion D est independant de la concen-tration de solute (ceci suppose que les gradients de concentration ne soient pas trop grands),(9.4) devient :

∂C

∂t+ u.∇C −D∆C = 0 (9.5)

Une equation identique serait obtenue pour le transport de la chaleur, en remplacant laconcentration C par la temperature et le coefficient de diffusion D par la diffusivite thermiqueκ. Afin de comparer l’influence relative du terme convectif et du terme diffusif, nous pouvonsconstruire un nombre sans dimension analogue au nombre de Reynolds, le nombre de PecletP e, tel que :

Pe =u.∇CD∆C

≈ UL

D(9.6)

ou U est une vitesse representative de l’ecoulement et L une longueur caracterisant le gra-dient de concentration. Si Pe 1 le transport de matiere est essentiellement assure par laconvection, alors que, si Pe 1, c’est la diffusion brownienne qui est dominante. Dans lesgaz, la diffusivite thermique est tres voisine de la viscosite cinematique. En effet, les meca-nismes microscopiques de transport de la quantite de mouvement et de l’energie cinetique(qui definit la temperature) sont identiques. En revanche, dans les liquides, la diffusivite ther-mique est, en general, notablement plus petite que la viscosite cinematique (10 fois plus petitedans l’eau). Le coefficient de diffusion de la masse est egalement du meme ordre de grandeurque la viscosite cinematique dans les gaz. Dans les liquides, il est beaucoup plus petit que ν.Par exemple, le coefficient de diffusion de l’ethanol dans l’eau est de l’ordre de 10−5cm2/s.Dans les liquides, la diffusion moleculaire est extremement peu efficace pour le transport d’unsolute. Remarquons enfin que les particules solides suffisamment petites (a peu pres moinsd’un micron de diametre) ont un mouvement brownien. L’evolution de leur concentrationsera donc soumise a la meme equation de transport. Leur coefficient de diffusion D est donnepar : D = mkBT ou m est la mobilite de ces particules (rapport vitesse de deplacement/forceappliquee). Pour des particules spheriques de rayon a, dans un fluide de viscosite η :

D =kBT

6πηa(9.7)

Plus le fluide est visqueux, plus les particules solides diffusent lentement. Si les gradientsde concentration ou de temperature sont suffisamment faibles, les proprietes physiques dufluide (viscosite, masse volumique) ne sont pas affectees par le transport du solute ou de lachaleur. Il n’y a alors pas de couplage direct entre la dynamique de l’ecoulement et la quantitetransportee, qu’on qualifie dans ce cas de ” scalaire passif ”. Le champ de concentration peutetre trouve a partir de (9.5) si le champ de vitesse est donne. En revanche, si les proprietesphysiques du fluide sont suffisamment modifiees, il y aura un fort couplage entre l’equationde transport et l’equation de mouvement pour le fluide. C’est le cas, par exemple, pour laconvection thermique declenchee par la remontee de fluide chaud dans le champ de pesanteur.

9.2 Exemple de transport par diffusion et convection couplees

Considerons l’exemple represente sur la fig. 9.1 : un film de liquide, d’epaisseur h constantes’ecoule sous l’effet de la gravite le long d’une paroi verticale. Un solute, present initialement

9.2. EXEMPLE DE TRANSPORT PAR DIFFUSION ET CONVECTION COUPLEES107

Fig. 9.1 – Diffusion dans un film liquide vertical

dans le liquide s’adsorbe de maniere irreversible sur la paroi. Le profil de vitesse est parabo-lique avec une vitesse maximale a la surface du liquide :

u = −gν

(y2

2− hy

)(9.8)

ou ν est la viscosite cinematique du liquide et y est la direction normale a l’ecoulement. Lavitesse moyenne de l’ecoulement est : U = g

νh3

3 . En supposant que l’ecoulement n’est pasmodifie par le transport du solute, l’equation (9.5) devient :

∂C

∂t+ u

∂C

∂x−D

(∂2C

∂x2+∂2C

∂y2

)= 0 (9.9)

Tant que la paroi solide n’est pas saturee, le solute continue de s’adsorber irreversiblement.Nous pouvons alors faire l’hypothese que la concentration est nulle a la paroi ; la paroi secomporte comme un ” puits ”. Lorsque le liquide entre en contact avec la paroi reactive, enhaut de l’ecoulement, la condition C = 0 a la paroi est imposee brusquement. Nous voyonsalors l’analogie entre ce probleme et celui de la couche limite sur une paroi plane ou lacondition de vitesse nulle est imposee a partir du bord d’attaque. La couche dans laquellela concentration du solute est affectee par la presence de la paroi adsorbante va s’epaissirprogressivement le long de l’ecoulement. En poussant l’analogie avec la couche limite pourla quantite de mouvement, nous pouvons ecrire que l’epaisseur δ de la couche limite pour laconcentration sera d’autant plus petite que le nombre de Peclet sera grand. Supposons quele nombre de Peclet soit assez grand pour que l’epaisseur δ reste petite devant l’epaisseur


du film de liquide h. Alors, le gradient de concentration n’est appreciable que tres pres de laparoi solide, ou le profil de vitesse est approximativement lineaire :

u = −gν

(y2

2− hy

)≈ ghy

ν= 3

Uy

h(9.10)

D’autre part, l’epaisseur de la couche limite de concentration varie lentement dans la directionde l’ecoulement. Nous pouvons donc supposer que la derivee de la concentration dans ladirection de l’ecoulement (x) est beaucoup plus petite que la derivee dans la direction normalea l’ecoulement (y). Si nous cherchons une solution stationnaire du probleme, l’equation detransport devient :

3Uy

h

∂C

∂x−D∂

2C

∂y2= 0 (9.11)

De la meme maniere que pour la couche limite de quantite de mouvement, reecrivons l’equation(9.11) en utilisant des quantites adimensionnelles : x′ = x/X, y′ = y/δ(X) et C ′ = C/C0 .Dans la direction y, la longueur caracteristique est l’epaisseur locale de la couche limite δ(X).Dans la direction x, la longueur caracteristique est la distance X parcourue depuis le debutde la paroi solide. En faisant apparaıtre le nombre de Peclet Pe = Uh/D (9.11) devient:

3Peδ

Xy′∂C′∂x′ =

h2

δ2

∂2C′∂y′2 (9.12)

Si nous choisissons l’epaisseur de couche limite δ(X) telle que : δ3 = h2X/Pe, soit :

δ

h=

(X

h

)1/3

Pe−1/3 (9.13)

(9.12) s’ecrit :

3y′∂C′∂x′ =

∂2C′∂y′2 (9.14)

ou les caracteristiques physiques du probleme ont disparu. L’equation (9.13) nous donne doncla dependance de l’epaisseur de couche limite en fonction de la position x et du nombre dePeclet. Notons que δ(x) augmente comme la racine cubique de x, c’est-a-dire plus lentementque l’epaisseur de couche limite pour la quantite de mouvement. Ceci est du au profil de vitesselineaire pres de la paroi solide. Nous pouvons maintenant chercher des solutions autosimilairesde (9.11) sous la forme : C = C0f(ζ) ou ζ = y/δ(x). En utilisant ces variables, il vient :

d2f

dζ2+ζ2

3

df

dζ= 0 (9.15)

soit :d

dζ

(lndf

dζ

)= −ζ

2

3(9.16)

que nous devons integrer avec les conditions aux limites suivantes : f = 0 en ζ = 0 et f 7→ 1si ζ 7→ ∞. D’ou le profil de concentration :

f =

∫ ζ0 exp(−ξ3/9)dξ∫∞0 exp(−ξ3/9)dξ

≈ 0,54

∫ ζ

0exp(−ξ3/9)dξ (9.17)

9.3. DE L’ART DE BIEN MELANGER 109

Nous pouvons maintenant calculer le flux de solute vers la surface solide. Le flux de concen-tration dans la direction y est purement diffusif :

JD(y = 0) = −D∂C∂y

= −DC0

δf ′(0) ≈ 0,54D

C0

δ(9.18)

et calculer la quantite totale de solute Q qui se depose sur la surface de longueur L par unitede temps :

Q =

∫ L

0JD(y = 0)dx ≈ 3C0D

(L

h

)2/3

Pe1/3 (9.19)

ce resultat n’etant bien entendu valide que si l’epaisseur δ reste petite devant l’epaisseur hdu film de liquide. Le resultat obtenu ici peut etre generalise a des geometries plus complexessi l’ecoulement du liquide dans le film reste laminaire. Si nous nous interessions au problemed’un gaz diffusant dans un film liquide s’ecoulant sur un paroi verticale, la procedure a suivreserait identique. Cette fois, le profil de vitesse vu par le gaz diffusant serait approximativementuniforme et l’equation de transport deviendrait :

U0∂C

∂x+D

∂2C

∂y2= 0 (9.20)

ou U0 est la vitesse a la surface du film. L’equation (9.20) est formellement identique a

(1.1) qui decrit la diffusion de la quantite de mouvement dans le probleme de la plaqueplane mise brusquement en mouvement (en remplacant x par U0t). Nous trouverions donc unecouche limite de diffusion dont l’epaisseur croıt comme

√x, avec un profil de concentration

donne par une fonction d’erreur.

9.3 De l’art de bien melanger

La faible valeur des coefficients de diffusion de masse dans les liquides fait que la diffusionmoleculaire ne devient efficace pour le melange qu’a des echelles de longueur suffisammentpetites pour que le nombre de Peclet associe soit petit devant l’unite. Un melange efficaceet rapide necessite donc la creation de forts gradients de concentration par l’intermediaired’un ecoulement. Dans les fluides peu visqueux, l’obtention d’un ecoulement turbulent estassez facile (par exemple, avec un agitateur magnetique dans un becher) et l’existence detourbillons dans une tres large gamme d’echelles spatiales conduit rapidement a l’apparitionde forts gradients de concentration.

En revanche, si la forte viscosite du fluide (pates, suspensions concentrees, polymeres fon-dus) ou les petites dimensions de l’ecoulement imposent un ecoulement laminaire, l’obtentionde forts gradients de concentration necessite des dispositifs particuliers. Mentionnons, parexemple, les melangeurs statiques Kenics constitues d’une serie d’helices placees a l’interieurd’un tube. Deux helices successives sont decalees de 90˚ et leur sens de rotation est inverse.Deux fluides rentrent separes dans le tube, de part et d’autre de la premiere separation he-licoıdale. A chaque changement de section helicoıdale, l’ecoulement est coupe en deux. Lacombinaison du mouvement helicoıdal et des partitions successives de l’ecoulement conduita une redistribution tres homogene des deux ecoulements initialement separes. L’ecoulementest tel que deux elements de fluide initialement proches dans la section d’entree, finissent parse retrouver arbitrairement eloignes l’un de l’autre.


Fig. 9.2 – schema d’un melangeur statique Kenics

Fig. 9.3 – repartition de concentration dans un melangeur statique Kenics. Resultat de simu-lations numeriques. En haut a gauche : champ de concentration a l’entree dans le melangeur.En haut a droite et en bas a gauche: champ de concentration dans diverses sections du premieretage. En bas a droite : champ de concentration dans le troisieme etage.

9.4. DISPERSION DE TAYLOR 111

Fig. 9.4 – Ecoulement entre deux cylindres excentres mis en mouvement alternativement.A gauche : etirement en feuillets d’un tache de colorant (apres 12 periodes de rotation). Aucentre : lignes de courant pour la rotation du cylindre interieur. A droite : lignes de courantpour la rotation du cylindre exterieur. Figures tirees de Chaiken, Chevray, Tabor et Tan, Proc.Roy. Soc. A408 165 (1986)

Un autre moyen de melanger efficacement les fluides tres visqueux consiste a utiliser unecoulement instationnaire, dont les lignes de courant changent de topologie au cours du temps.Un exemple en est donne sur la fig. 9.4 : le fluide est confine entre deux cylindres excentres.Chaque cylindre est mis en mouvement alternativement pendant un temps correspondant amoins d’un tour complet. A chaque changement de cylindre, les lignes de courant changentbrusquement de topologie. Apres quelques periodes, le resultat de ces sauts entre lignes decourant differentes est une trajectoire chaotique. La photographie de la fig. 9.4 montre le” feuilletage ” obtenu apres 12 periodes de rotation : un tache circulaire de colorant placeesur l’axe median a ete rapidement etiree en une figure tres complexe mettant en evidence detres forts gradients de concentration. L’action de la diffusion moleculaire permettra ensuited’homogeneiser totalement la concentration en colorant.

9.4 Dispersion de Taylor

Terminons cette breve description du transport convectif par le phenomene de ” dispersionde Taylor ” tres important en chromatographie. G.I. Taylor, en 1953, a etudie experimenta-lement la diffusion d’un colorant dans un tube dans lequel se produit un ecoulement dePoiseuille laminaire. Il a constate qu’un element de fluide colore introduit dans l’ecoulements’etale progressivement selon l’axe du tube. Le profil de concentration longitudinal est a peupres gaussien. La largeur de la gaussienne obeit a une loi de diffusion avec un coefficient dediffusion effectif Deff proportionnel a U 2a2/D ou U est la vitesse moyenne de l’ecoulement,a le rayon du tube et D le coefficient de diffusion du colorant.

Supposons que le colorant soit initialement distribue uniformement dans le tube, sur unelongueur l. L’effet de l’ecoulement seul est de deformer ce ” bouchon ” de colorant et de donnera ces extremites une forme parabolique. L’ecoulement cree donc un gradient de concentra-tion radial. La diffusion moleculaire va alors tendre a homogeneiser la concentration dans ladirection radiale. Le temps necessaire a cette diffusion est de l’ordre de τ = a2/D. Pendantce temps τ , le bouchon de colorant a ete etale par l’ecoulement sur une longueur L = U0τ ouU0 est la vitesse maximale de l’ecoulement, qui est du meme ordre de grandeur que la vitessemoyenne. Si nous formons le rapport entre L2 et τ , nous trouvons un coefficient de diffusion


Fig. 9.5 – Dispersion de Taylor dans un tube. En a : position initiale du colorant. En b,colorant deplace par le profil de vitesse parabolique. En c, concentration de colorant resultantde l’effet combine de la diffusion et du champ de vitesse parabolique.

longitudinale tel que :

Deff ∝U2

0a4

D2=U2

0a2

D(9.21)

La diffusion longitudinale du colorant resulte de l’effet combine du gradient de vitesse quidistord la concentration initiale de colorant et cree un fort gradient de concentration radial,et de la diffusion qui rend la concentration uniforme radialement. Ce resultat peut s’appliquera l’ecoulement dans les milieux poreux, en considerant les pores comme une succession detubes. La dispersion de Taylor est ainsi a l’origine de l’elargissement des pics de concentrationobserves en chromatographie.

113

Chapitre 10

INSTABILITES ETTURBULENCE

En caricaturant a l’extreme, on pourrait affirmer que ce qui a ete enonce dans les chapitresprecedents ne s’applique pas a la grande majorite des ecoulements que nous sommes suscep-tibles de rencontrer. En effet, la faible viscosite de l’eau et de l’air et les echelles de longueurmises en jeu font que les nombres de Reynolds associes aux ecoulements dans la nature oudans l’activite industrielle sont en general tres grands et ces ecoulements sont turbulents.La nature particuliere de la turbulence et, specialement, la multiplicite d’echelles spatialesempeche d’appliquer simplement les resultats obtenus en negligeant les termes dus a la visco-site dans l’equation de Navier-Stokes. Nous allons examiner quelques types d’ecoulements oule developpement d’instabilites successives conduit a un comportement chaotique, puis nousessaierons de degager les caracteristiques importantes de la turbulence.

10.1 Instabilites : de l’ecoulement laminaire a la turbulencedeveloppee

10.1.1 Instabilite de Taylor-Couette

Le passage d’un ecoulement laminaire ou la vitesse est independante du temps a un ecou-lement turbulent ou la vitesse varie de maniere aleatoire dans le temps s’effectue par une seried’instabilites qui rendent l’ecoulement de plus en plus complexe. Regardons, par exemple,l’ecoulement entre deux cylindres concentriques, lorsqu’on fait tourner le cylindre interieur etque le cylindre exterieur est immobile. A faible vitesse, les lignes de courant sont des cerclesconcentriques, il n’y a pas de structure particuliere visible dans l’ecoulement. Au dela d’unevitesse critique, des ” rouleaux ” apparaissent dans l’ecoulement (fig. 10.1). Il apparaıt unecomposante de vitesse axiale et une composante radiale qui sont periodiques le long de l’axedes cylindres. Les trajectoires des elements de fluides s’enroulent sur des tores. La vitessereste independante du temps. Cette premiere instabilite est due a la force centrifuge. En aug-mentant encore la vitesse de rotation, une seconde instabilite apparaıt au dela d’une autrevitesse critique. Cette seconde instabilite se manifeste par une ondulation des rouleaux. Lavitesse du fluide devient alors periodique dans le temps. En continuant a augmenter la vitessede rotation, on constate que la vitesse varie aleatoirement dans le temps, l’ecoulement estdevenu turbulent. Neanmoins, les visualisations montrent que l’ecoulement garde une perio-

114 CHAPITRE 10. INSTABILITES ET TURBULENCE

Fig. 10.1 – visualisations des instabilites successives de l’ecoulement entre cylindres coaxiaux(ecoulement de Couette-Taylor). A gauche : instabilite primaire en ” rouleaux ”. A droite :rouleaux sinusoıdaux. Photos : Burkhalter et Koschmieder.

dicite spatiale le long de l’axe des cylindres. En augmentant considerablement la vitesse derotation, on finit par faire disparaıtre la periodicite spatiale, l’ecoulement a atteint un etat deturbulence developpee.

La sequence d’instabilites qui conduit a la turbulence varie d’un ecoulement a l’autre ; elleest notablement plus complexe dans l’ecoulement de Poiseuille ou dans une couche limite. Latransition dans l’ecoulement de Couette-Taylor peut etre consideree comme un modele assezsimple : l’instabilite primaire fait apparaıtre une structure spatiale periodique. L’instabilitesecondaire fait apparaıtre une periodicite temporelle. Les instabilites suivantes vont brisercette periodicite et conduire l’ecoulement vers la chaos spatial et temporel. Contrairementa l’idee admise jusqu’aux annees 70, la transition vers la turbulence ne necessite pas unesequence infinie d’instabilites successives. H. Swinney et J. Gollub ont montre clairement,dans une experience realisee a l’universite de Princeton en 1975, que quelques etapes suffisentpour conduire de l’ecoulement laminaire vers un etat chaotique (fig. 10.2).

D’autres experiences, en particulier sur l’instabilite convective de Rayleigh-Benard, ontconfirme l’existence d’etapes bien definies dans la transition vers le chaos 1.

10.1.2 Instabilite de Kelvin-Helmholtz

L’instabilite d’une ” couche de melange ” entre deux courants de fluide de vitesses diffe-rentes, appelee aussi instabilite de Kelvin-Helmholtz presente elle aussi une succession d’insta-bilites : apparition de tourbillons periodiques dans la couche de melange (periodicite spatialeet temporelle), interactions entre les tourbillons provoquant une modification locale de laperiodicite, apparition de structures tridimensionnelles. L’instabilite de Kelvin-Helmholtz seretrouve egalement dans l’instabilite des sillages et dans l’instabilite des jets. Elle est a l’ori-gine de la turbulence dans tous les ecoulements ou regne un fort cisaillement. Dans l’instabilitede Taylor-Couette comme dans celle de Kelvin-Helmholtz, le moteur de l’instabilite est l’iner-tie du fluide et le terme non lineaire u.gradu dans l’equation de mouvement. En revanche,la viscosite a tendance a stabiliser l’ecoulement. C’est pourquoi le parametre qui decrit cesinstabilites est le nombre de Reynolds. Dans le cas de l’ecoulement de Couette, Re = ΩR1d/νou R1 est le rayon du cylindre interieur, d est l’espacement entre les cylindres et Ω est lavitesse angulaire.

1. Voir par exemple, P. Berge, Y.Pomeau, M. Dubois-Gance, ”Des rythmes au chaos”, Odile Jacob, 1994

10.1. INSTABILITES : DE L’ECOULEMENT LAMINAIRE A LA TURBULENCE DEVELOPPEE115

Fig. 10.2 – dependance temporelle de la vitesse radiale (a gauche) et spectre de puissance (adroite) dans l’instabilite de Taylor Couette. Les enregistrements sont effectues a des nombresde Reynolds croissants (du haut vers le bas). Le premier montre une seule frequence fonda-mentale et ses harmoniques. Le second montre deux frequences fondamentales et leurs harmo-niques. Le dernier montre seulement une bande large. le comportement temporel correspondantest chaotique, sans aucune periodicite apparente. Figures tirees de Gollub et Swinney, Phys.Rev. Lett. 35, 927 (1975)

Fig. 10.3 – instabilite de Kelvin-Helmholtz entre deux courants d’eau paralleles. Visualisationpar fluorescence induite par laser. Photo par F. Roberts, P. Dimotakis et A. Roshko.


Fig. 10.4 – instabilite d’un jet circulaire de CO2 penetrant dans l’air a Re = 30000. L’in-stabilite se developpe a la peripherie du jet qui devient rapidement completement turbulent.Visualisation par ombroscopie. Photo par F. Landis et A. Schapiro.

10.1.3 Instabilite de Rayleigh-Benard

Il peut y avoir d’autres sources d’instabilite que l’inertie du fluide. Un exemple notableest l’instabilite thermoconvective d’une couche de fluide chauffee par le bas. Le fluide chaudest moins dense que le fluide froid et il a tendance a monter dans le champ de gravite. Ladiffusion thermique tend a homogeneiser la temperature et a reduire les gradients de densiteresponsables de la convection. La viscosite du fluide tend egalement a ralentir la convection. Ladiffusion thermique et la viscosite sont ici les deux effets stabilisants. Lorsque la difference detemperature entre le bas et le haut de la couche de fluide est assez grande, on voit apparaıtredes rouleaux de convection reguliers dont la largeur est voisine de l’epaisseur de la couchede fluide. En augmentant encore la difference de temperature, la structure de l’ecoulement secomplique de plus en plus et finit par devenir chaotique. Une des caracteristiques communesde toutes les instabilites decrites ci-dessus est l’apparition d’une structure spatiale periodiquedans l’instabilite primaire. Le systeme se comporte comme un amplificateur selectif pour lessources de bruit. Parmi tous les modes possibles, l’un d’entre eux est amplifie de facon plusimportante et fixe la periodicite spatiale de l’ecoulement. Une autre caracteristique communede ces instabilites est l’existence d’un parametre de controle. Dans le cas de l’instabilitecentrifuge et de l’instabilite de Kelvin-Helmholtz, c’est le nombre de Reynolds qui joue cerole. Pour l’instabilite thermoconvective, c’est un autre nombre sans dimension, le nombre deRayleigh :

Ra =αgd3∆T

νκ(10.1)

ou α est le coefficient de dilatation thermique du fluide, d est l’epaisseur de la couche defluide, ∆T est la difference de temperature et κ la diffusivite thermique. Le parametre decontrole compare l’amplitude des mecanismes destabilisants et stabilisants. L’instabilite ap-paraıt lorsque le parametre de controle depasse une valeur seuil qui depend de la geometrieexacte de l’ecoulement.

10.2. TURBULENCE 117

Fig. 10.5 – instabilite thermoconvective d’une couche de fluide (instabilite de Rayleigh-Benard). La couche de liquide est chauffee par le dessous. Des particules metalliques en sus-pension permettent de visualiser les cellules de convection qui ont presque toutes une formehexagonale. Photo : E. Koschmieder

10.2 Turbulence

10.2.1 La nature de la turbulence

Il est difficile de definir la turbulence par des criteres simples. Une possibilite consiste aqualifier un ecoulement de turbulent des que le champ de vitesse presente un caractere chao-tique (absence de toute periodicite) dans l’espace ou le temps. Mais il existe des ecoulements” deterministes ” qui presentent des caracteres chaotiques, comme ceux dans les melangeurshelicoıdaux (voir § 9.3). Le caractere aleatoire de l’ecoulement n’est qu’une des facettes dela turbulence. Il impose de traiter les ecoulements turbulents par des methodes statistiques.Une des manifestations spectaculaires du caractere chaotique est la sensibilite aux conditionsinitiales : un systeme dynamique complexe place dans des conditions initiales extremementpeu differentes peut evoluer au cours du temps de facons tres differentes. Ainsi les previsionsmeteorologiques qui sont initiees avec un etat approximatif de l’atmosphere (faute de pouvoirmesurer vitesse, temperature, pression et humidite en tous points) s’ecartent progressivementde la situation reelle. Au dela d’une dizaine de jours, les depressions et anticyclones de lasimulation n’ont plus rien de commun avec ceux de l’atmosphere reelle. Henri Poincare avaitdecouvert des la fin du dix-neuvieme siecle que trois corps en interaction gravitationnellepouvaient avoir un comportement chaotique. Il fallut attendre les annees soixante et les si-mulations numeriques du meteorologue Edward Lorenz pour que les idees de Poincare soientappliquees au chaos en mecanique des fluides.

Un autre aspect essentiel de la turbulence est sa capacite a melanger rapidement quece soit la quantite de mouvement, la chaleur ou la masse. Les fluctuations du champ devitesse se produisent sur une large gamme d’echelles spatiales et assurent tres efficacement laproduction de forts gradients de concentration qui sont finalement attenues par les mecanismesde diffusion moleculaire. L’existence de ” tourbillons ” a toutes les echelles spatiales, depuisla plus grande dimension de l’ecoulement jusqu’a une echelle assez petite pour que la viscosite


Fig. 10.6 – couche de melange turbulente a Re = 850000. Les grands tourbillons provenant del’instabilite initiale de la couche de melange sont encore visibles ainsi que toute une gammede tourbillons beaucoup plus petits. Photo : M.R. Rebello, G.L. Brown et A. Roshko.

attenue les mouvements tourbillonnaires, est une caracteristique de la turbulence developpee.

Les ecoulements turbulents sont essentiellement tridimensionnels et rotationnels. Ils sontle siege de tres intenses fluctuations de la vitesse et de la vorticite. Un examen d’un enregis-trement de la vitesse locale au sein d’un ecoulement turbulent montre des evenements tresintenses qui depassent de beaucoup le niveau moyen du bruit. Les simulation numeriques di-rectes de l’equation de Navier-Stokes a grand nombre de Reynolds n’ont ete possibles qu’avecl’apparition des supercalculateurs vectoriels. Elles ont montre la presence de zones allongeestres localisees dans lesquelles la vorticite atteint une valeur tres grande.

10.2.2 Description statistique du champ de vitesse

Reynolds a introduit une description statistique du champ de vitesse turbulent en separantla vitesse u en une valeur moyenne temporelle U et une fluctuation v, de valeur moyenne nulle:

ui = Ui + vi avec < ui >= Ui et < vi >= 0 (10.2)

les valeurs moyennes etant calculees sur un temps tres grand devant les periodes caracte-ristiques des fluctuations. On montre facilement que si le fluide est incompressible, la vitessemoyenne et la fluctuation obeissent a l’equation de conservation :

∇.U = 0 et ∇.v = 0 (10.3)

En reportant la decomposition 10.2 dans l’equation de Navier-Stokes, et en prenant lamoyenne temporelle, on obtient :

Ui∂Ui∂xj

= −1

ρ

∂

∂xj(−Pδij + 2ηEij − ρ < vivj >) (10.4)

ou P est la moyenne temporelle de la pression et Eij la moyenne temporelle du tenseur desdeformations eij . Le terme de derivee temporelle de la vitesse a disparu puisque nous avonspris une valeur moyenne sur un temps assez long. Par rapport a l’equation de Navier-Stokes,il apparaıt un terme supplementaire −ρ < vivj > dans le tenseur des contraintes. Ce termequi represente la fonction de correlation entre les composantes vi et vj de la fluctuation devitesse est appele contrainte de Reynolds. Les contraintes de Reynolds manifestent l’influencedes fluctuations sur l’ecoulement moyen.


Fig. 10.7 – Transfert de quantite de mouvement dans une couche limite par l’intermediairedes contraintes de Reynolds

10.2.3 Couche limite turbulente

Si nous utilisons la decomposition de Reynolds dans les approximations de couche limite,nous transformons l’equation (8.2) qui decrit une couche limite laminaire en :

U∂U

∂x+ V

∂U

∂y= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

∂2U

∂y2− ∂ < uv >

∂y(10.5)

Dans la couche limite ou le gradient de vitesse moyen ∂U/∂y est positif, la fonction decorrelation des fluctuations < uv > devrait etre essentiellement negative. En effet, une fluc-tuation v positive est associee au mouvement d’un element de fluide vers l’exterieur de lacouche limite. Cet element emporte avec lui une quantite de mouvement faible puisqu’il setrouvait dans une zone de faible vitesse. Il va donc se trouver dans un environnement ou lamajorite des elements de fluide se deplacera plus vite. Il sera donc associe a une fluctuationu de valeur negative. On peut faire un raisonnement identique avec une fluctuation v nega-tive (fig. 10.7). On voit ici que le tenseur de Reynolds augmente le transfert de quantite demouvement au sein de la couche limite.

Cet accroissement du transfert de quantite de mouvement explique que le decollement descouches limites est retarde lorsqu’elles deviennent turbulentes : l’apport de fluide de grandevitesse vers la paroi s’oppose au developpement d’un gradient de pression adverse qui estresponsable du decollement (cf 8.3). Cet effet se manifeste par la diminution brutale de traıneeobservee sur les spheres lorsque la couche limite devient turbulente : la couche limite decolleplus en aval et la largeur du sillage se trouve reduite. La fig. 10.8 montre de coefficient detraınee mesure sur des spheres lisses et rugueuses. Sur les spheres lisses, la transition de lacouche limite a lieu vers Re = 3 × 105 et provoque une reduction de traınee d’un facteur 5.Sur des spheres de plus en plus rugueuses la transition se produit a des nombres de Reynoldsplus petits et entraıne une reduction de traınee du meme ordre de grandeur.

Sur certaines ailes d’avion, de tres petits ailerons places devant les volets de bord de fuiteservent a declencher la turbulence de la couche limite et a retarder son decollement sur lesvolets lorsqu’ils sont places a un grand angle d’incidence.


Fig. 10.8 – coefficients de traınee pour une sphere lisse (trait continu seul) et pour des spheresrugueuses. L’amplitude de la rugosite va de 2,5 × 10−4 diametre (croix) jusqu’a 1,25 × 10−2

diametre(carres). D’apres E. Achenbach, J. Fluid Mech. 65, 113 (1974)

10.2.4 Multiplicite des echelles spatiales et caractere dissipatif

Un des trait essentiels des ecoulements turbulents est l’existence de tourbillons dans touteune gamme d’echelles spatiales. Cette caracteristique est assez evidente sur les photographiesdes fig. 10.4 et 10.6. La taille des plus grands tourbillons est en general fixee par l’echelleglobale de l’ecoulement, ou par son mode d’instabilite primaire, comme dans le cas de lacouche de melange.

Le mathematicien russe Kolmogorov a formalise en 1941 la notion de cascade d’energiecinetique dans les ecoulements turbulents. L’energie cinetique fluctuante est ” injectee ” auniveau de l’echelle spatiale la plus grande L. Par des mecanismes d’interactions non lineaires,une partie de cette energie ” cascade ” vers les petites echelles (ce transfert d’energie alieu de maniere permanente dans l’espace de Fourier representant l’ecoulement). L’hypotheseessentielle de Kolmogorov est que l’energie cinetique transferee est la meme a toutes lesechelles spatiales. Si u(l) est la fluctuation de vitesse representative des tourbillons a l’echellel, l’energie cinetique par unite de masse du fluide est de l’ordre de u(l)2. Une fraction de cetteenergie est transferee vers les tourbillons plus petits. Le temps caracteristique de ce transfertest le temps associe au tourbillon d’echelle l, soit τ(l) ∝ l/u(l). Donc, le taux de transfert del’energie cinetique ε est tel que :

ε ∝ u(l)2/τ(l) = u(l)3/l (10.6)

Tant que les dimensions des tourbillons restent assez grandes, la viscosite joue un role ne-gligeable dans l’ecoulement. En revanche, lorsque les tourbillons atteignent une taille assezpetite ld, la viscosite devient dominante et l’energie cinetique transferee ε est dissipee. Cetteechelle de dissipation ld, ou micro-echelle de Kolmogorov, peut etre evaluee en ecrivant quele nombre de Reynolds associe a cette echelle est egal a 1, soit :

1 =ldu(ld)

ν=ldε

1/3l1/3d

ν(10.7)

d’ou l’ordre de grandeur de l’echelle de dissipation :

ld ∝ ν3/4ε−1/4 (10.8)


Fig. 10.9 – representation schematique du flux d’energie cinetique dans un ecoulement tur-bulent.

Notons que plus le nombre de Reynolds de l’ecoulement global est grand, plus l’echelle de

dissipation est petite. En effet, si ReL = u(L)L/ν = ε1/3L3/4/ν, alors : ld ∝ LRe−3/4L . En

pratique, les lois d’echelle ainsi predites par Kolmogorov ne sont observees que dans lesecoulements de turbulence developpee a tres grands nombres de Reynolds, au moins de l’ordrede 106.

Bien que le nombre de Reynolds associe a l’ecoulement global soit tres grand, l’existence detourbillons jusqu’a l’echelle ld impose une forte dissipation d’energie cinetique. Le caracteredissipatif des ecoulements turbulents se manifeste, entre autres, par une perte de chargeaccrue lorsque l’ecoulement dans un tuyau passe de l’etat laminaire a l’etat turbulent. Si laturbulence n’est plus entretenue par l’ecoulement moyen, elle est amortie tres rapidementpar les effets de la viscosite. La multiplicite des echelles spatiales est egalement la sourceessentielle de la difficulte de simuler numeriquement les ecoulements turbulents. Prenonsl’exemple d’un avion : la plus grande echelle de l’ecoulement est une dimension typique del’avion, quelques dizaines de m. La vitesse est de l’ordre de 200 a 250 m/s ce qui conduit aun nombre de Reynolds ReL de l’ordre de 108 !. L’echelle de dissipation pour cet ecoulementest 106 fois plus petite que L ; elle est de l’ordre de quelques dizaines de microns. Si onvoulait simuler la totalite de l’ecoulement, il faudrait de l’ordre de (106)3 = 1018 mailles ! Uneestimation similaire est donnee par Kim et Moin, deux experts de la simulation numerique dela turbulence : ils evaluent le nombre de mailles a 1016. En utilisant un calculateur ” teraflop”, 100 fois plus rapide que la limite actuelle, il faudrait encore plusieurs milliers d’annees pourcalculer une seule seconde de l’ecoulement reel ! Cette difficulte apparemment insurmontablepeut etre contournee en ne simulant directement que les grandes echelles de l’ecoulement. Lespetites echelles sont representees par un modele statistique (technique dite de ” Large EddySimulation ”). En utilisant la methode LES, Moin et Kim ont ete les premiers a simuler unecoulement turbulent dans une conduite avec un certain realisme (c’est-a-dire reproduisantcorrectement les observations experimentales jusqu’aux plus petites echelles de l’ecoulement).Le nombre de Reynolds atteint etait de l’ordre de 10 000, avec 500 000 points de maillage.


123

Annexe A

Proprietes physiques de quelquesfluides

– ρ : masse volumique

– γ : tension superficielle

– η : viscosite dynamique

– ν = η/ρ : viscosite cinematique

– λ : conductivite thermique

– κ = λ/ρCp : diffusivite thermique

Air Eau Ethanol Glycerol Mercurea 20˚C a 20˚C a 15˚C a 15˚C a 15˚C

ρ(kg/m3) 1,205 998 790 1260 13610

γ (mN/m) 73 22 63 487

η (Pa.s) 1,81 × 10−5 1,002 × 10−3 1,34× 10−3 2.33 1,58 × 10−3

ν(cm2/s) 0,15 0,01 0,017 18,5 1,16 × 10−3

λ(J/ms˚C) 2,53 × 10−6 5,9× 10−5 1,83× 10−5 2,9× 10−5 8,0× 10−4

κ(cm2/s) 0,202 1,42 × 10−3 9,9 × 10−4 9,8× 10−4 0,042

124 ANNEXE A. PROPRIETES PHYSIQUES DE QUELQUES FLUIDES

125

Annexe B

Petit catalogue de nombres sansdimension

Les parametres physiques intervenant dans les nombres sans dimension sont une echellede longueur L, une echelle de temps t, une echelle de vitesse U , une echelle de temperature Tainsi que les proprietes physiques du fluide masse volumique ρ, viscosite dynamique η, tensionsuperficielle γ, difusivite thermique κ, diffusivite massique D.

On pourra consulter la page du Treasure trove of physics d’Eric Weinstein consacree auxnombres sans dimension (http://www.treasure-troves.com/physics/topics/DimensionlessParameters.html).

– nombre de Bond : rapport des effets de gravite et de la tension superficielle.

Bo =ρgL2

γ=L2

λ2c

ou λc est la longueur capillaire.

– nombre capillaire : rapport des effets visqueux et de la tension superficielle.

Ca =ηU

γ

– nombre d’Ekman : rapport des effets visqueux et de la force de Coriolis dans un ecoule-ment en rotation a vitesse angulaire Ω

Ek =ν

ΩL2

– nombre de Froude : rapport des effets inertiels et de la gravite.

Fr =U2

gL

– nombre de Mach : rapport de la vitesse du fluide et de la vitesse du son

M =U

c

– nombre de Nusselt : flux de chaleur adimensionnel

Nu =HL

κ∆T

ou H est le flux de chaleur

126 ANNEXE B. PETIT CATALOGUE DE NOMBRES SANS DIMENSION

– nombre de Peclet :

Pe =UL

D= RePr

– nombre de Prandtl : rapport de la viscosite cinematique et de la difusivite thermique.

Pr =ν

κ

– nombre de Rayleigh : rapport de la force d’Archimede creee par l’expansion thermiqueet de

Ra =αρg∆TL3

νκ

ou α est le coefficient d’expansion thermique et ∆T est la variation de temperature surl’echelle L.

– nombre de Reynolds : rapport des effets inertiels et des effets de viscosite

Re =UL

ν

– nombre de Rossby : rapport de l’acceleration convective et de la force de Coriolis dansun ecoulement en rotation a vitesse angulaire Ω

Ro =U

ΩL

– nombre de Schmidt : rapport de la viscosite cinematique et de la diffusivite massique

Sc =ν

D

– nombre de Stokes : rapport de l’inertie d’une particule solide et des forces visqueuses

St =ρsLU

η

ou ρs est la masse volumique de la particule et L sa taille.

– nombre de Strouhal : frequence normalisee pour un ecoulement instationnaire

Str =L

Ut

127

Annexe C

Notions elementaires sur lestenseurs

(d’apres C. Pozrikidis, ”Introduction to theoretical and computational fluid dynamics”).

Les equations de la mecanique des fluides amenent a manipuler des tenseurs, en particulierle tenseur des contraintes et le gradient de vitesse. Notons ici quelques unes de leur proprietesessentielles.

Le caractere tensoriel d’une quantite se definit par rapport a ses transformations dans unchangement de repere. Considerons deux systemes de coordonnees cartesiennes (x1,x2,x3) et(y1,y2,y3) ayant une origine commune. Les coordonnees dans les deux systemes d’axes sontreliees par :

yi = Aijxj et xi = yjAji

ou A est une matrice de rotation telle que son inverse soit egale a sa transposee : AT = A−1.

Considerons maintenant une matrice 3x3 T dont les elements sont des parametres phy-siques dependant des coordonnees d’espace et de temps. Lorsque les valeurs des elements deT dans le systeme de coordonnees y, notees T(y), sont reliees aux valeurs de ces memeselements dans le systeme de coordonnees x, notees T(x), par les relations :

Tij(y) = AikAjlTkl(x) et Tij(x) = Tkl(y)AkiAlj

la matrice T st un tenseur de rang deux. Une des caracteristiques importantes des tenseurs derang deux est l’invariance de leur polynome caracteristique Det(T−λI) dans un changementde repere. De ce fait les racines du polynome caracteristique, qui sont les valeurs propres dutenseur sont egalement invariantes par changement de repere.

Le polynome caracteristique peut s’exprimer en fonction des trois invariants du tenseur :

Det(T− λI) = −λ3 + I3λ2 − I2λ+ I1

ces trois invariants ayant les expression suivantes :

I1 = Det(T) = λ1λ2λ3

I2 = λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1 =1

2([Tr(T)]2 − Tr(T2))

I3 = Tr(T) = λ1 + λ2 + λ3

128 ANNEXE C. NOTIONS ELEMENTAIRES SUR LES TENSEURS

Le gradient de vitesse G obeit aux regles de transformation enoncees ci-dessus, c’estdonc un tenseur cartesien de rang deux. En effet, les composantes de vitesse se transformentcomme les coordonnees d’espace, puisqu’elles sont des derivees par rapport au temps de cescoordonnees. soit :

ui(y) = Aijuj(x), ui(x) = uj(y)Aij

En utilisant la regle de derivations succesives, on a pour la composante Gij du gradient :

Gij =∂uj(x)

∂xi=∂yk∂xi

∂uj(x)

∂yk= Aki

∂uj(x)

∂yk= AkiAlj

∂ul(y)

∂yk

Le gradient se transforme donc comme :

Gij(x) = AkiAljGkl(y).

Le troisieme invariant, la trace du tenseur, est ici egal a la divergence de la vitesse. Il carac-terise le changement de volume, par unite de temps, d’un element de fluide. Lorsque le fluidepeut etre considere comme incompressible, la trace de G est nulle. Les parties symetrique etantisymetrique de G sont egalement des tenseurs de rang deux.

Un autre exemple de tenseur de rang deux est le flux de quantite de mouvement ρuiuj .Un raisonnement analogue a celui fait pour le gradient de vitesse montre qu’il se transformedans un changement de repere comme :

ρuiuj(x) = AkiAljρukul(y)

129

Annexe D

Equations en coordonneescylindriques et spheriques

D.1 Equation de Navier-Stokes

D.1.1 Coordonnees cylindriques r,θ,x

∂ux∂t

+ u.∇ux = −1

ρ

∂p

∂x+ ν∆ux

∂ur∂t

+ u.∇ur −u2θ

r= −1

ρ

∂p

∂r+ ν

(∆ur −

urr2− 2

r2

∂uθ∂θ

)

∂uθ∂t

+ u.∇uθ +uruθr

= − 1

ρr

∂p

∂θ+ ν

(∆uθ −

uθr2

+2

r2

∂ur∂θ

)

ou les operateurs gradient et laplacien ont pour expression :

∇f =

(∂f

∂x,∂f

∂r,1

r

∂f

∂θ

)

∆f =∂2f

∂x2+

1

r

∂

∂r

(r∂f

∂r

)+

1

r2

∂2f

∂θ2

D.1.2 Coordonnees spheriques r,θ,ϕ

∂ur∂t

+ u.∇ur −u2θ

r−u2ϕ

r= −1

ρ

∂p

∂r+ ν

[∆ur −

2urr2− 2

r2sinθ

∂(uθsinθ)

∂θ− 2

r2sinθ

∂uϕ∂ϕ

]

∂uθ∂t

+ u.∇uθ +uθurr−u2ϕcotθ

r= − 1

ρr

∂p

∂θ+ ν

[∆uθ +

2

r2

∂ur∂θ− uθr2sin2θ

− 2cosθ

r2sin2θ

∂uϕ∂ϕ

]

∂uϕ∂t

+u.∇uϕ+uϕurr

+uϕuθcotθ

r= − 1

ρrsinθ

∂p

∂ϕ+ν

[∆uϕ +

2

r2sinθ

∂ur∂ϕ− uϕr2sin2θ

+2cosθ

r2sin2θ

∂uθ∂ϕ

]

130ANNEXE D. EQUATIONS EN COORDONNEES CYLINDRIQUES ET SPHERIQUES

ou les operateurs gradient et laplacien ont pour expression :

∇f =

(∂f

∂r,1

r

∂f

∂θ,

1

rsinθ

∂f

∂ϕ,

)

∆f =1

r2

∂

∂r

(r2∂f

∂r

)+

1

r2sinθ

∂

∂θ

(sinθ

∂f

∂θ

)+

1

r2sin2θ

∂2f

∂ϕ2

D.2 Relations entre vitesse , potentiel et fonction de courant

u est la vitesse, φ le potentiel et ψ est la fonction de courant.

D.2.1 Ecoulement bidimensionnel

Coordonnees cartesiennes

ux =∂φ

∂x,uy =

∂φ

∂y

ux =∂ψ

∂y,uy = −∂ψ

∂x

Coordonnees polaires

ur =∂φ

∂r,uθ =

1

r

∂φ

∂θ

ur =1

r

∂ψ

∂θ,uθ = −∂ψ

∂r

D.2.2 Ecoulement tridimensionnel

Coordonnees cylindriques

ur =∂φ

∂r,uθ =

1

r

∂φ

∂θ,ux =

∂φ

∂x

Coordonnees spheriques

ur =∂φ

∂r,uθ =

1

rsinϕ

∂φ

∂θ,uϕ =

1

r

∂φ

∂ϕ

D.2.3 Ecoulement tridimensionnel avec symetrie de revolution

Coordonnees cylindriques x,r,θ

ur = −1

r

∂ψ

∂x,ux =

1

r

∂ψ

∂r

Coordonnees spheriques r,θ,ϕ

ur =1

r2sinϕ

∂ψ

∂ϕ,uϕ = − 1

rsinϕ

∂ψ

∂r

131

Annexe E

Quelques reperes historiques

(liste incomplete et tres subjective)

– 1687 Isaac Newton est le premier a proposer une theorie du frottement visqueux dans lesfluides. Ses conclusions sont erronees mais il comprend que la resistance a l’ecoulementa lieu au sein du fluide. Cette idee ne sera reprise que 150 ans plus tard.

– 1732 Henri de Pitot decrit dans une note a l’Academie des Sciences ”une machine pourmesurer la vitesse des eaux courantes et le sillage des vaisseaux”. Cette machine estmaintenant connue sous le nom de tube de Pitot.

– 1738 Daniel Bernoulli publie ”Hydrodynamique, ou Memoire sur les forces et les mou-vements des fluides” dans lequel il exprime le principe de conservation de l’energie

– 1750 Leonard Euler etablit les equations de mouvement d’un fluide non visqueux et endeduit la loi que nous appelons maintenant ”loi de Bernoulli”. D’apres Lagrange, Eulerest le fondateur de la mecanique des fluides. Euler introduit le concept de ”particulefluide”, petit element de volume qui permet de decrire le champ de vitesse.

– 1822 Claude Navier, en partant des idees de Newton sur le frottement visqueux, introduitla viscosite dans les equations de mouvement. Ces memes equations seront obtenues sousune forme differente par G. G. Stokes en 1845.

– 1840 le medecin Jean-Louis Poiseuille afin d’etudier le mouvement du sang dans lesveines et vaisseaux capillaires effectue des mesures tres precises sur les ecoulementsdans les conduits cylindriques et en deduit la relation debit-perte de charge qui portemaintenant son nom. L’hydraulicien Ludwig Hagen arrive independamment aux memesconclusions.

– 1856 Henry Darcy, ingenieur des Ponts et Chaussees publie un memoire sur ”Les fon-taines publiques de la ville de Dijon” dans lequel il etablit la proportionnalite entre ledebit de filtration dans les sols et la perte de charge.

– 1859 Helmholtz propose une decomposition du champ de vitesse en une partie rotation-nelle et une partie rotationnelle. Il utilise la notion de lignes de vorticite pour decrirel’evolution temporelle de tourbillons et surfaces de discontinuite.

– 1882 James Thomson observe que la convection dans une couche de liquide horizontales’accompagne de l’apparition de mouvement cellulaires. Henri Benard fera en 1900 lespremieres etudes systematiques de l’apparition des cellules de convection, sans doute lapremiere observation directe d’une brisure de symetrie. Lord Rayleigh en fait la premieretheorie en 1916.

132 ANNEXE E. QUELQUES REPERES HISTORIQUES

– 1883 Osborne Reynolds met en evidence experimentalement la transition laminaire-turbulent dans un ecoulement dans un tube.

– 1900 Maurice Couette pefectionne considerablement l’appareil a cylindres tournants etrealise les premieres mesures vraiment precises de viscosite.

– 1906 Joukovski etablit la relation entre portance et circulation autour d’un profil por-tant.

– 1910 Ludwig Prandtl developpe la theorie de la couche limite

– 1915 sir Geoffrey Taylor realise des mesures de pression sur un avion en vol (une reussiteremarquable compte tenu de ce qu’etait l’aviation de l’epoque). La meme annee, ilelabore la premiere theorie de la diffusion par la turbulence. G.I. Taylor est sans aucundoute la personne qui a apporte l a plus grande contribution a la mecanique des fluidespendant la premiere moitie du vingtieme siecle. Ses travaux touchent a tous les domainesde la dynamique des fluides et melent des theories novatrices et des experiences souventsimples et elegantes. G. I. Taylor s’est preoccupe aussi bien de problemes fondamentauxque d’applications ; il est, par exemple, l’inventeur de l’ancre de marine dite C.Q.R. quel’on trouve maintenant sur presque tous les bateaux de plaisance. Lorsque les militairesamericains rendirent public un enregistrement filme de la premiere explosion nucleaire,G.I. Taylor determina la puissance de la bombe (qui etait gardee secrete) a partir dela vitesse d’expansion de la ” boule de feu ”, ce qui causa un certain emoi chez les ditsmilitaires.

– 1921 Lewis Fry Richardson imagine, dans une vision orwelienne, le premier systeme decalcul parallele pour les previsions meteorologiques : des operateurs disposes reguliere-ment sur un batiment en forme de globe calculent localement l’evolution du champ devitesse et de pression et, au signal d’un chef d’orchestre, transmettent les resultats aleurs voisins immediats. Richardson apporte en 1926 une contribution importante a ladiffusion par la turbulence en observant le mouvement de toutes sortes de traceurs dansl’atmosphere et dans les rivieres (des tranches de navet par exemple !)

– 1938 Piotr Kapitza decouvre la superfluidite de l’helium, manifestation macroscopiquede la condensation de Bose. Lev Landau etablira une theorie de la transition superfluidequelques annees plus tard.

– 1941 Le mathematicien Kolmogorov developpe une approche statistique de la turbulencedeveloppee qui repose sur un echange continu d’energie cinetique entre les differentesechelles spatiales.

– 1963 Le meteorologiste Edward Lorenz met en evidence la ”sensibilite aux conditionsinitiales” dans une simulation numerique des mouvements atmospheriques. Bien d’autresexperiences de mecanique des fluides confirmeront cet aspect de chaos deterministe etremettront au gout du jour les idees developpees par Henri Poincare au debut du sieclesur le mouvement chaotiques de corps celestes en interaction.

– 1975-7 Jerry Gollub et Harry Swinney a Princeton et Albert Libchaber et Jean Maurer al’Ecole Normale Superieure identifient clairement les premieres transitions vers le chaosdans les ecoulements. L’experience de Gollub et Swinney n’est rien d’autre que l’analyseattentive des spectres de fluctuation dans l’instabilite de Taylor-Couette. Le coeur del’experience de Libchaber et Maurer est une minuscule cellule de convection contenantde l’helium liquide. Depuis, d’autres types de transitions ont ete decouverts et le sujeta fait noircir des tonnes de papier.

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– 1976 Brown et Roshko au California Institute of Technology mettent en evidence desstructures organisees persistant dans des ecoulements a tres grand nombres de Reynolds.D’autres experiences, en particulier sur les couches limites, confortent l’idee qu’un ecou-lement turbulent conserve une organisation qu’on ne peut decrire de maniere purementstatistique.

– 1980 Les premiers calculateurs paralleles permettent la simulation directe d’ecoulementsturbulents a des nombres de Reynolds raisonnables (quelques centaines). John Kim etParziv Moin, au centre de recherche Ames de la NASA, utilisent le calculateur proto-type ILLIAC-IV pour simuler un ecoulement turbulent jusqu’a Re = 14000 . Jusqu’anos jours, la mecanique des fluides reste une des applications primordiales des supercal-culateurs et les problemes poses par la turbulence sont loin d’etre resolus.

134 ANNEXE E. QUELQUES REPERES HISTORIQUES

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Annexe F

References bibliographiques

F.1 Ouvrages generaux

– E. Guyon, J. P. Hulin, L. Petit, Hydrodynamique Physique, Intereditions (1991): le livre”made in PC”. Ce cours s’en inspire tres largement.

– G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press (1970):LA reference classique en mecanique des fluides. Quelque fois un peu calculatoire, maistoujours tres rigoureux.

– D.J. Tritton, Physical Fluid Dynamics (2nd edition), Oxford University Press (1988) :presentation moins formelle que Batchelor, plus ”avec les mains”. De nombreux sujets”modernes”, qui vont au-dela de ce cours, sont traites dans la seconde edition.

– M. Van Dyke, An Album of Fluid Motion, Parabolic Press (1982) : compilation de vi-sualisations dans des conditions tres diverses, de l’ecoulement rampant a l’ecoulementhypersonique. La consultation de cet ouvrage est tres utile pour se faire une idee de laforme reelle des lignes de courant.

– R. B.Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Transport Phenomena , Wiley (1960): la me-canique des fluides appliquee au genie chimique. Un livre d’ingenieurs avec de nombreuxexemples.

– A.R. Paterson , A first course in fluid dynamics, Cambridge University Press (1983)Traite essentiellement des fluides parfaits (on neglige les effets de viscosite), des fluidescompressibles et des ondes de surface.

– G.M. Homsy et al., Multimedia Fluid Mechanics,Cambridge University Press (1999)CD-ROM interactif illustrant toutes les notions de base de la mecanique des fluides.Comprend une videotheque avec plus d’une centaine d’exemples d’ecoulements.

F.2 Ouvrages plus specialises

– M. Lesieur, Turbulence , Presses Universitaires de Grenoble (1994) : tres bonne intro-duction a la turbulence qui peut se lire a un niveau elementaire et a un niveau plusspecialise.

– J. Gleick, La theorie du chaos , Flammarion (1987) : compte-rendu tres vivant de l’emer-gence de la science du chaos dans les annees 70 et 80.

136 ANNEXE F. REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

– P. Berge, Y. Pomeau, M. Dubois-Gance, Des rythmes au chaos, Odile Jacob (1997) :encore un ouvrage sur les instabilites et le chaos, par quelques uns des principauxchercheurs francais dans le domaine.

– E. Guyon, J.P. Hulin, Granites et fumees, un peu d’ordre dans le melange, Odile Jacob(1997) : une introduction au melange dans les fluides et les milieux granulaires.

– G. Couarraze, J.L. Grossiord, Initiation a la rheologie, Lavoisier (1991)

F.3 Pour une application ludique de la mecanique des fluides

– The best of Sail trim , Granada Publishing (1975) : une compilation d’articles parus dansla revue americaine Sail. Avec, en particulier une discussion tres serieuse de l’interactionentre la voile d’avant (foc, genois) avec la grand voile et une approche scientifique dureglage des voiles.

– C. A. Marchaj, Aerohydrodynamics of sailing, un ouvrage de reference tres volumineuxet tres cher, mais qu’il est utile de consulter dans les librairies specialisees ou dans lesbibliotheques.

– C.A. Marchaj, Sail Performance : Designs and Techniques to Maximize Sail Power, McGraw Hill (1996)

Documents

Hydrodynamique et Mecanique Physique