Hotelling Modelle Lineares Hotelling Preismodell · Monopol Duopol Supply Chains Strategische Lagerhaltung Anreize für Manager Terminmärkte Hotelling Lineares Hotelling Modell Kreis

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Kreis Hotelling Modell

Sequentieller Markteintritt

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Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 188

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AnnahmenI Die Nachfrage für ein homogenes Gut stammt

aus einer linearen StadtI Länge: L > 0I An jeder Stelle der Stadt x ∈ [0,L] befindet sich

genau ein KonsumentI Jeder Konsument fragt genau eine Einheit nach

I 2 Anbieter (A und B)I Vorgegebene Lokationen a und L−bI Es gilt a und (L−b) ∈ [0,L]I Symmetrische Kostenstruktur beider Anbieter

Ki = k ∗qi + F und i ∈ [A,B]


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Annahmen

I Um zu Anbieter A zu gelangen, muss Konsument xdie Strecke |x−a| zurücklegen

I Um zu Anbieter B zu gelangen die Strecke|x− (L−b)|

I Es entstehen lineare Entfernungskosten in Höhevon t ∗ z

I Wobei t den Entfernungskostenfaktor und z dieEntfernung darstellt


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Annahmen

I Lösung durch RückwärtsinduktionI Stufe 2: Kunden wählen den Anbieter bei dem sie

das Gut kaufen möchtenI Dabei berücksichtigen sie die Preise beider

Anbieter und die Entfernungskosten

I Stufe 1: Die Anbieter wählen ihre Preise, um ihrenGewinn zu maximieren


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Stufe 2

I Die Nutzenfunktion des Konsumenten x ist

U =

{−pA− t |x−a| , falls x bei A kauft−pB− t |x− (L−b)| , falls x bei B kauft

I Konsument x ist zwischen A und B indifferentI Es gilt:

−pA− t(x−a) =−pB− t(L−b− x)

I Wenn sich A und B an der gleichen Stelle befindensetzt ein extremer Preiswettbewerb ein

I Es wird im Folgenden angenommen, dass A und B„weit genug“ voneinander entfernt sind


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Stufe 1

I Alle Kunden „links“ von x werden bei A kaufen,alle „rechts“ von x werden bei B kaufen

I Durch Umformen der Indifferenzbedingung ergibtsich die Nachfrage für A

qA = x =pB−pA

2t+

L−b + a2

I Entsprechend ergibt sich die Nachfrage für B

qB = L− x =pA−pB

2t+

L + b−a2


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Stufe 1I Maximierung der Gewinnfunktion für Anbieter A:

maxpA

πA =

(pB−pA

2t+

L−b + a2

)(pA−k)−F

I Notwendige Bedingung:

0 =pB−2pA + k

2t+

L−b + a2

I Reaktionsfunktion von Anbieter A

pA (pB) =pB + k

2+

(L−b + a) t2

I Analog wird die Reaktionsfunktion für Anbieter Bermittelt

pB (pA) =pA + k

2+

(L + b−a) t2


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Stufe 1

I Gleichgewicht im Schnittpunkt derReaktionsfunktionen

I Preise der Anbieter

pA =(3L−b + a) t

3+ k ; pB =

(3L + b−a) t3

+ k

I Gleichgewichtsmengen

qA = x =3L−b + a

6; qB = L− x =

3L + b−a6

I Gleichgewichtsgewinn

πA =t (3L−b + a)2

18−F ; πB =

t (3L + b−a)2

18−F


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Diskussion

I Der gleichgewichtige Gewinn von A steigt,I je höher die Entfernungskosten t sind,I je kleiner b istI je größer a ist.

I Das gilt analog für den Gewinn von Anbieter BI Die hergeleiteten Gleichgewichte gelten nur,

I wenn Lokationen exogen vorgegeben sind undI wenn Entfernungskosten linear sind.


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Endogene Lokationswahl

I Es wird weiterhin ein lineares Hotelling Preismodellangenommen

I Bei endogener Lokationswahl optimiert derAnbieter seinen Gewinn in zwei Stufen

I Erste Stufe: Wahl der LokationenI Zweite Stufe: Preissetzung

I Bei linearen Entfernungskosten gibt es keinGleichgewicht in reinen Strategien

I Wenn die Lokationen nahe aneinander liegen,haben die Anbieter Anreize auseinander zu gehen

I Wenn die Lokationen weit von einander entferntsind, haben die Anbieter Anreize aufeinander zuzugehen

I Bei quadratischen Entfernungskosten wird derhöchste Grad der Differenzierung gewählt


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Annahmen

I Im gegensatz zu dem linearen Hotelling Modell istdie Anzahl der Anbieter (N) endogen

I Alle Anbieter 1...N sind symmetrischI Symmetrische Kostenfunktion

Ki = k ∗qi + F und i ∈ [0...N]

I Anbieter sind gleichmäßig auf einem Kreis verteiltI Der Kreisumfang ist 1I Der Abstand zwischen zwei Anbietern ist 1

N


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AnnahmenI Es entstehen für den Kunden lineare

Entfernungskosten in Höhe von t ∗ zI Wobei t den Entfernungskostenfaktor und z die

Entfernung darstelltI Die Konsumenten sind gleichmäßig auf dem Kreis

vertreiltI Jeder Konsument fragt genau eine Einheit nachI Aufgrund der Symmetrie kann angenommen

werden, dass p2 = pN = p

pN= p p2 = p

p1

Käufer von Anbieter 1

1N

x


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Annahmen

I Lösung durch RückwärtsinduktionI Stufe 3: Kunden wählen den Anbieter bei dem sie

das Gut kaufen möchtenI Dabei berücksichtigen sie die Preise der Anbieter

und die Entfernungen

I Stufe 2: Die Anbieter wählen ihre Preise, um ihrenGewinn zu maximieren

I Stufe 1: Markteintrittsentscheidung der AnbieterI Es werden so viele Anbieter in den Markt

eintreten, bis der Gewinn gleich 0 ist


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Stufe 3

I Der Kunde x wird ermittelt, der zwischen Anbieter1 und Anbieter 2 indifferent ist

I Für den indifferenten Kunden x gilt:

p1 + t x = p + t(1N− x).

I Daraus folgt:

x =p−p1

2t+

12N

.

I Alle Kunden links von x kaufen von Anbieter 1, alleKunden rechts von x kaufen bei Anbieter 2

I Analog kann der indifferente Kunde für alleAnbieter ermittelt werden


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Stufe 2

I Anbieter 1 bedient sowohl Kunden die links alsauch Kunden die rechts von ihm liegen

I Die Nachfrage von Anbieter 1 ergibt sich als:

q1(p1,p) = 2x =p−p1

t+

1N.

I Der Anbieter wählt seinen Preis

maxp1

π1 = (p1−k)(p−p1

t+

1N

)−F

I Notwendige Bedingung

0 =p−2p1 + k

t+

1N


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Stufe 2

I In einem symmetrischen Gleichgewicht gilt:

p1 = p2 = ... = pN = p.

I Einsetzten in die notwendige Bedingung ergibt:

p = k +tN.


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Stufe 1

I Im Gleichgewicht werden genau so vieleAnbieter in den Markt eintreten, dass alle AnbieterNullgewinne generieren

I Solange positive Gewinne generiert werdenkönnen, treten weitere Marktteilnehmer ein

I Bei negativen Gewinnen werden Anbieter ausdem Markt austreten

I Bei Nullgewinnen besteht weder ein Anreiz ausdem Markt auszutreten noch in den Markteinzutreten


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Stufe 1I Die optimale Anzahl an Unternehmen wird

ermittelt indem der Gewinn eines einzelnenAnbieters i nullgesetzt wird

πi = (p−k)1N−F =

tN2 −F !

= 0

I Damit ergibt sich die optimale Anzal vonAnbietern N als:

N =

√tF.

I Das resultiert in folgenden gleichgewichtigenPreisen und Mengen:

p = k +√

tF , q =tF

− 12

.


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Wohlfahrtseffekte

I Die optimale Anbieteranzahl N aus demHotelling-Modell übersteigt dieWohlfahrtsmaximierenden Anzahl

I Um die Wohlfahrt zu maximieren wird die Summeaus den Transportkosten des durchschnittlichenKunden 1

4N und der insgesamt anfallendenFixkosten L minimiert

minN

L(F , t ,N) = N ∗F +t

4N


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Wohlfahrtseffekte

I Notwendige Bedingung

0 = F − t4N2

I Daraus folgt, dass die WohlfahrtsmaximierendeAnzahl an Anbieter N kleiner ist als dieAnbietermenge N im Gleichgewicht des linearenHotelling Modells

N =12

√tF<

√tF

= N


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Hotelling Modell mit sequentiellem Markteintritt


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Annahmen

I Preise sind gleich und fix vorgegebenI Zur Vereinfachung wird p = 1 angenommen

I 3 Anbieter befinden sich in einer linearen StadtI Länge der Stadt = 1I Sequentielle Positionswahl der Anbieter


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Annahmen

I Lösung per RückwärtsinduktionI Stufe 3: Anbieter 3 Entscheidet über seine PositionI Stufe 2: Anbieter 2 Entscheidet über seine PositionI Stufe 1: Anbieter 1 Entscheidet über seine Position

I Zur Vereinfachung wird angenommen, dassAnbieter 1 die Position x1 = 1

4 wählt


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Stufe 3

I Die Entscheidung von Anbieter 2 kann in 3Intervallen liegen:

1. x2 = 14 − ε

2. 14 < x2 < 3

43. x2 ≥ 3

4

I Für jedes Intervall ergibt sich eineBeste-Antwort-Funktion für Anbieter 3

BA(Intervall1) : x3 =14

+ ε

BA(Intervall2) : x3 = x2 + ε

BA(Intervall3) : x3 =x2−x1

2+ x1


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Stufe 2

x1x2 x3

1/42

14

π ≈ 334

π ≈1.

x3

1/42.

x1 x2 2

2

1x4

2

−π ≈ 3 21 xπ ≈ −

3/4

x3

1/43

x1 x22 3

2 2x x1 x

2−

π ≈ − +2

3

1x4

2

−π ≈

1/4 2 23/4

I Gegeben der Reaktion von Anbieter 3 wähltSpieler 2 seine Position


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Stufe 2

I Anbieter 2 wählt Intervall 3I Gewinn von Anbieter 2 in Intervall 3:

π2 = 1−x2 +x2−x3

2.

I Innerhalb dieses Intervalls wählt Anbieter 2 diePosition

x2 =34


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Gleichgewicht

I Im Gleichgewicht gilt:

x1 =14, π1 =

38

x2 =34, π2 =

38

x3 =12, π3 =

14


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