Hoofstuk 9Massamiddelpunt en Liniêre Momentum

In hierdie hoofstuk gaan ons u aan die volgende nuwe onderwerpe bekend stel:

Uiteindelik gaan ons die behoud van liniêre momentum gebruik om botsings in een en twee dimensies te bestudeer.

-Massamiddelpunt (com) vir ‘n sisteem van deeltjies-Die snelheid en versnelling van die massamiddelpunt-Liniêre momentum van ‘n enkele deeltjie en ‘n sisteem van deeltjies

Ons gaan die vergelyking van beweging vir die massamiddelpuntaflei en ook die beginsel van behoud van liniêre momentumbespreek.

Beskou ‘n kolf of bat wat in die lug opgegooi word. Indien ‘n mens noukeurigkyk, sal daar een spesiale punt van die kolfwees wat in ‘n eenvoudige paraboliesekromme beweeg wanneer dit in die luggegooi word.

Hierdie spesiale punt beweeg asof (1) die kolf se totale massa daar gekonsentreerd is en (2) die gravitasiekrag op die kolf slegs daar inwerk.Hierdie spesiale punt word die massamiddelpunt van die kolf genoem.

In die algemeen: DEFINISIE v MASSAMIDDELPUNT* Die massamiddelpunt van ‘n voorwerp of ‘n sisteem van voorwerpe, is die punt wat beweeg asof al die massa daargekonsentreer is en al die eksterne kragte daar aangewend word.

Wat is die massamiddelpunt van ‘n voorwerp?

Massamiddelpunt (com)• Fig. 9-2a toon twee deeltjies

met massas m1 en m2 wat op ‘n afstand d van mekaar is.

• Die oorsprong van die x-as is gekies as m1 se posisie.

• Die posisie van die massamiddelpunt (com) van hierdie twee-deeltjie sisteem word dan as volg gedefinieer:

dmm

mxcom21

2

(9-1)

• Twee deeltjies met massa m1 en m2 , by posisies x1 en x2 respektiewelik , is ‘n afstand d van mekaar.

• Die massamiddelpunt word nou gedefinieer as:

Fig.9-2b

Vervang m1 + m2 = M (somtotaal v massa v twee deeltjies)21

2211

mmxmxmxcom

(9-2)

Mxmxmxcom 2211

(9-3)

Massamiddelpunt v sisteem v deeltjies

• Indien daar n deeltjies in ‘n sisteem is, uitgestrek langs die x-as, volg:

• M = m1 + m2 + .... + mn, en• Die posisie v.d massamiddelpunt is:

Mxmxmxmx nn

com

....2211

• Indien die deeltjies in drie-dimensies versprei is, moet die massamiddelpunt deur drie posisiekoördinate gedefinieer word:

n

iiixmM 1

1(9-4)

;11

n

iiicom xm

Mx ;1

1

n

iiicom ym

My

n

iiicom zm

Mz

1

1(9-5)

Soliede uniforme voorwerpe• ‘n Eenvoudige voorwerp soos ‘n “baseball bat”,

bestaan uit so baie deeltjies (atome) dat dit as ‘n kontinue distribusie v materie beskou kan word.

• Die deeltjies word dan ‘n differensieerbare massa element dm,

• En die somme v vgl 9-5 word integrale en die koördinate v d massamiddelpunt is dan gedefinieer as:

;1 xdm

Mxcom ;1

ydmM

ycom ;1 zdm

Mzcom (9-9)

met M die massa v d voorwerp.

• Dit is baie moeilik om hierdie integrale te bepaal, maar uniforme voorwerpe het uniforme digthede, massa per volume, dus

• Digtheid = massa / volume:VM

dVdm

(9-10)

• Hieruit volg : dVVMdm

• En substitieer in vgl 9-9 dan volg:

dVVMx

Mxcom

1xdVV

1

Net so ydVV

ycom1

zdVV

zcom1

En

• Indien ‘n voorwerp ‘n punt, ‘n lyn of ‘n vlak van simmetrie het, lê die voorwerp se massamiddelpunt by die punt, op die lyn of in die vlak van simmetrie.

• Dit kan ook gebeur dat die massamiddelpunt buite die voorwerp lê, bv. ‘n perdeskoen en “doughnut”.

massamiddelpuntmassamiddelpunt

“ Sample Problem” 9-1op bl. 204(204)(171) in H&R.

• Fig. 9-3 Drie deeltjies vorm ‘n gelyksydige driehoek met elke sy = a.

• Die massamiddelpunt word gevind deur die posisie vektor rcom.

Deeltjie Massa (kg)

x (cm) y (cm)

1 1.2 0 02 2.5 140 03 3.4 70 120

• M = 1.2 + 2.5 + 3.4 = 7.1 kg• x-koördinaat:

Mxmxmxmxcom 332211

kgcmkgcmkgkgxcom 1.7)70)(4.3()140)(5.2()0)(2.1(

= 83 cmNet so is ycom = 58 cmDus posisievektor: r com = xcom î + ycomĵ = (83 î + 58 ĵ ) cmBereken die waarde en posisie verder soos vir enige ander vektor. rcom= 101.26 cm en 35˚ m.b.t pos. x-as

Newton se Tweede Wet vir 'n Sisteem van Deeltjies

• Indien ‘n wit biljartbal na ‘n tweede bal, wat in rus verkeer, gerol word, word verwag dat die twee-bal sisteem na die botsing steeds ‘n voorwaartse beweging sal hê.

• Wat sal aanhou om vorentoe te beweeg, is die massamiddelpunt van die sisteem, wat nie deur die botsing beïnvloed word nie.

• Om in meer besonderhede na die beweging van die massamiddelpunt te kyk, word die balle met ‘n sisteem bestaande uit n deeltjies met (moontlike) verskillende massas gekyk.

• Daar word slegs op die beweging van die massamiddelpunt van al die deeltjies gekonsentreer.

• Alhoewel dit slegs ‘n punt is, beweeg dit soos ‘n deeltjie waarvan die massa gelyk is aan die totale massa van die sisteem; met ‘n posisie, snelheid en versnelling daaraan toegeken.

• Die vektorvergelyking wat die beweging van die massamiddelpunt van so ‘n sisteem van deeltjies beskryf, is dan: Fnet = Manet (9-14)

• Hierdie vergelyking is Newton se tweede wet vir die beweging van die massamiddelpunt van ‘n sisteem van deeltjies.

• Dit lyk soos die vergelyking wat van toepassing is op die beweging van ‘n enkele deeltjie F = ma.

NB: 1. Fnet is die netto krag van al die eksterne kragte wat op die sisteem inwerk.

2. M is die totale massa van die sisteem. Daar wordaanvaar dat geen massa die sisteem verlaat of bykom nie. M bly dus konstant. Daar word gesê dat die sisteem geslote is.

3. acom die versnelling van die massamiddelpunt vandie sisteem.

4. Omdat acom uit x-, y- en z-komponente kan bestaan, kry ons dus:

(9-15)

• Die gedrag van die biljartballe kan weer ondersoek word. Sodra die wit bal begin rol, is daar geen eksterne krag wat op die twee-bal sisteem werk nie.

• Dus Fnet = 0, en acom = 0 .• Versnelling = die tempo van verandering in snelheid,• dus verander die snelheid van die massamiddelpunt

nie, want acom = 0 .• Wanneer die twee balle bots, is die kragte wat in

werking kom interne kragte wat nie bydra tot die netto krag Fnet nie en dit bly dus nul.

• Die massamiddelpunt, wat voor die botsing besig was om vorentoe te beweeg, hou dus aan om vorentoe te beweeg na die botsing, teen dieselfde spoed en in dieselfde rigting

Bewys van vgl.9-14• Vgl.9-8 :

n

iiicom rm

Mr

1

,1

• Dus ,....2211 nncom rmrmrmrM (9-16)

• Differensieer vgl.9-16 m.b.t tyd:

nncomcom vmvmvmvmvMdtrdM

...332211(9-17)

• Differensieer weer vgl.9-17 m.b.t tyd:

nncomcom amamamamaMdtvdM

...332211(9-18)

Maar uit Newton II is Fnet = ma of Fi = miai,Dus

ncom FFFFaM

....321

netcom FaM

(9-19)

(9-14)

Sample Problem 9-3, p.208

Liniêre Momentum• Die liniêre momentum van ‘n deeltjie met massa m en

snelheid v, is gedefinieër as ‘n vektor p,• p = mv• Met p en v in dieselfde rigting.• SI eenheid: kilogram-meter per sekonde of kg.m/s.• Newton se Tweede Wet v Beweging i.t.v momentum:• Die tempo van verandering in momentum van ‘n deeltjie

is gelyk aan die netto eksterne krag wat inwerk op die deeltjie en is in diselfde rigting as die krag.

• In vergelykingvorm:

dtpdFnet

(9-23)• Die liniêre momentum van ‘n voorwerp kan slegs deur ‘n netto eksterne krag verander word!

dtpdFnet

Substitueer vmp

Dan amdtvdmvm

dtd

dtpdFnet

)(

in

• Beskou ‘n sisteem van n deeltjies, elk met sy eie massa, snelheid en liniêre momentum. Die deeltjies mag met mekaar interaksie hê en eksterne kragte mag op hulle inwerk. Die sisteem as geheel het ‘n totale liniêre momentum P, wat as die vektorsom van die individuele deeltjies se momentums gedefinieer word. Dus:

Die Liniêre Momentum van ‘n Sisteem van Deeltjies

(9-24)

As hierdie vgl. met Vgl. 9-17 vergelyk word , word gesien dat

(9-25)

• Dit gee ‘n ander manier om die liniêre momentum van ‘n sisteem van deeltjies te definieer:

• Die liniêre momentum van ‘n sisteem van deeltjies is gelyk aan die produk van die totale massa M van die sisteem en die snelheid van die massamiddelpunt.

• Differensieer vgl.9-25 m.b.t tyd:

comcom aMdtvdM

dtPd

• Vergelyk met Fnet = Manet , vgl.9-14, met vgl.9-26, dan:

(9-26)

dtPdFnet

(sisteem van deeltjies) (9-27)

Botsings en Impuls• Die momentum, p, van enige deeltjie kan nie verander nie,

tensy ‘n netto eksterne krag, Fnet daarop inwerk.• Twee maniere om p te verander:• - stoot of gooi voorwerp;

- botsing met ‘n ander voorwerp• In ‘n botsing (ongeluk),• - werk die eksterne krag baie gou,

- het ‘n groot waarde,- verander skielik die voorwerp se p.

• In ‘n botsing waar een voorwerp beweeg en die ander voorwerp stilstaande is, word die bewegenge voorwerp die projektiel genoem en die stilstaande voorwerp die teiken genoem.

‘n Enkele Botsing• Laat projektiel = bal en teiken = kolf• Botsing is kort, maar die krag op die bal is groot genoeg om dit

te vertraag, te stop of selfs in teenoorgestelde rigting te laat beweeg.

• So uit eq.9-27, dp = F(t)dt (9-28)• Vind die netto verandering in die bal se momentum deur albei

kante te integreer vanaf tyd ti net voor botsing tot tyd tf net na botsing:

•

f

i

f

i

t

t

t

t

dttFpd )(

• linkerkant: pf – pi = Δp• regterkant: impulse = J

(9-29)

f

i

f

i

t

t

t

t

dttFpd )( (9-29)

f

i

t

t

dttFJ )(

Impuls gedefinieër (9-30)

Jp

Liniêre momentum-Impuls teorie (9-31)

In vektorvorm: Jpp if

(9-32)

In komponentvorm: xx Jp (9-33)

En f

i

t

txixfx dtFpp (9-34)

• Ons weet dikwels nie hoe die krag verander met tyd nie, maar wel wat die grootte van die gemiddelde krag, Favg, is en hoelank, Δt (= tf – ti), die botsing geduur het.

• Dan is die grootte van die impuls: J = FgemΔt(9-35)

• Wat as ons eerder fokus op die kolf?• Volgens Newton III: Fbal = -Fkolf

• Selfde grootte, maar teenoorgestelde rigtings• Dus uit vgl.9-35: Jbal = -Jkolf

• Doen Sample Problems 9-4 & 9-5, p213-214

‘n Reeks Botsings • Kyk na die krag op ‘n liggaam wanneer dit ‘n

reeks identiese, herhaalde botsings ondervind, bv. indien daar m.b.v. ‘n tennismasjien, balle teen ‘n hoë tempo na ‘n muur afgeskiet word.

• Elke botsing sal ‘n krag teen die muur uitoefen. • Die gemiddelde krag Favg op die muur tydens die

bombardement moet bereken word, dws die gemiddelde krag tydens ‘n groot aantal botsings.

• Elke projektiel het ‘n aanvangsmomentum mv en ondergaan ‘n verandering in liniêre momentum p a.g.v. die botsing.

• Die tot. verandering in mom. vir n projektiele tydens tydinterval t, is: np.

• Die resulterende impuls J op die teiken gedurende die tyd t is langs die x-as en het dieselfde grootte np, maar is in die teenoorgestelde rigting.

Fig.9-10 ‘n Reëlmatige stroom projektiele, met identiese liniêre momentum, bots met die teiken, wat vas is. Die gem. krag Favg op die teiken is na regs en die grootte hang af van die tempo waarmee die projektiele bots.

• Die verband kan as volg geskryf word: J = -np (9-

36)waar die (–) teken aandui dat J en p teenoorgestelde rigtings het.

• Deur herrangskikking, word die gemiddelde krag Favg , wat op die teiken inwerk tydens die botsings:

vmtnp

tn

tJFavg

(9-37)

• Hierdie vergelyking gee Favg i.t.v. n/t, die tempo waarmee die projektiele teen die teiken bots, en v die verandering in die snelheid van die projektiele.

Behoud van Liniêre Momentum• Gestel die netto eksterne krag op ‘n sisteem van

deeltjies is nul (‘n geïsoleerde sisteem) en dat geen deeltjies die sisteem verlaat of bykom nie (die sisteem is geslote).

• Indien Fnet = 0 in Vgl. 9-23 gestel word, dan is dP/ dt = 0 • P = konstant (geslote, geïsoleerde sisteem) (9-42)• In woorde: Indien geen eksterne krag op ‘n sisteem van

deeltjies inwerk nie, sal die totale liniêre momentum van die sisteem nie verander nie.

• Bekend as: wet van behoud van liniêre momentum:– Pi = Pf (geslote, geïsoleerde sisteem) (9-43)– [Tot. Lin. momentum by ‘n begintyd ti ] = [Tot. Lin.

momentum by ‘n later tyd tf ]

• Vgls. 9-42 en 9-43 is vektorvergelykings en dus ekwivalent aan drie vergelykings wat ooreenstem met die behoud van liniêre momentum in die drie rigtings van die xyz –assestelsel.

• Afhangende van die kragte wat op die sisteem werk, kan liniêre momentum in een of twee rigtings behoue bly, maar nie noodwendig in alle rigtings nie.

• As die komponent van die netto eksterne krag op ‘n geslote sisteem nul is langs ‘n as, dan kan die komponent van liniêre momentum op die sisteem langs die as nie verander nie.

• Doen Sample Problems 9-6 tot 9-8, p215-217

Momentum vs Kinetiese Energie in Botsings• Beskou ‘n geslote geïsoleerde sisteem v 2 deeltjies:• P = konstant, as Fnet = 0• Beskou nou eerder die kinetiese energie van die 2

deeltjies wat bots:• As die totale kinetiese energie, Ktot , voor en na ‘n

botsing dieselfde bly, dan is dit ‘n elastiese botsing.• Dikwels gaan K egter tydens ‘n botsing as ander vorme

verlore, bv. termiese energie of klankenergie, dan is dit ‘n onelastiese botsing.

• Die grootste verlies in K vind plaas tydens ‘n botsing waarna die voorwerpe aan mekaar vassit, en word ‘n volledige onelastiese botsing genoem

• Tydens ‘n botsing in ‘n geslote, geïsoleerde sisteem, mag die momentum van onderskeie liggame verander, maar die totale momentum P van die sisteem kan nie verander nie, afgesien daarvan of die botsing elasties of onelasties was.

• Dit is ‘n ander manier om die wet van behoud van liniêre momentum uit te druk (in Afdeling 9-6 bespreek).

Onelastiese Botsings in Een-Dimensie

• Die twee voorwerpe vorm die sisteem, wat geslote en geïsoleerd is. Die wet van behoud van momentum kan as volg geskryf word: [totale momentum Pi voor die botsing] = [totale momentum Pf na die botsing]

• in simboolvorm as volg: p1

i + p2 i = p1 f + p2 f (behoud van momentum) (9-50)

Fig.9-14 toon twee voorwerpe net voor en net na ‘n eendimensionele botsing (wat beteken dat die beweging voor en na die botsing langs dieselfde as bly). Die snelhede voor die botsing (onderskrif i) en na die botsing (onderskrif f) word aangedui.

• Omdat die botsing in een dimensie plaasvind, kan die pyltjies op die vektore weggelaat word en vanaf p = mv, kan Vgl. 9-50 geskryf word as:

• m1v1 i + m2v2 i = m1v1 f + m2v2 f (9-51)• Hiermee kan een van die ontbrekende waardes

bereken word as die ander gegee word.

Onelastiese Botsings in Een-Dimensie

Volkome Onelastiese Botsing

• Vir hierdie geval word Vgl. 9-51 geskryf asm1v1 i = (m1 + m2)V (9-

52)• Of

Fig. 9-15 Voor die botsing is m2 (teiken) in rus en m1 (projektiel) beweeg direk na regs. Na die botsing beweeg die twee saam met dieselfde snelheid V.

ivmmmV 1

21

1

(9-53)

• V kan dus hieruit bereken word. • Let op dat V kleiner as v1i moet wees.

Snelheid van Massamiddelpunt • In ‘n geslote, geïsoleerde sisteem, kan die snelheid vcom

van die massamiddelpunt nie deur ‘n botsing verander word nie, want met die sisteem geïsoleer, is daar geen netto krag wat daarop inwerk om dit te verander nie.

• Om ‘n uitdrukking vir vcom te kry, word daar weer na die twee-liggaam sisteem en die eendimensionele botsing van Fig.9-14 gekyk . M.b.v. (P = Mvcom), kan vcom i.v.m. die totale liniêre momentum P van die sisteem gebring word deur die vgl. as volg te skryf:

comcom vmmvMP )( 21 (9-54)

ii ppP 21

(9-55)

Snelheid van Massamiddelpunt • Indien P deur Vgl.9-55 in Vgl.9-54 vervang word

en daarna vir vcom opgelos word, kry ons:

21

21

21 mmpp

mmP

v iicom

(9-56)

• Die regterkant van bogenoemde vergelyking is ‘n konstante en vcom het dieselfde konstante waarde voor en na die botsing.

NB: Sample Problem 9-9, p219-220Beginsel v werking v ballistiese pendulum

blockbulletbullet

blockbulletbullet

bulletblockbullet

bulletblockbullet

Vm

mv

vmm

mV

&&

&

Uit behoud v meganiese energie:ghmVm blockbulletblockbullet &

2&2

1

ghV 2gh

mmv

bullet

blockbulletbullet 2&

smmsmkgkgvbullet /630)063.0)(/8.9(2

0095.0)4.50095.0( 2

Elastiese Botsing in Een-dimensie• Ktot voor botsing = Ktot na botsing• In ‘n elastiese botsing, kan die kinetiese energie van elke botsende

deeltjie verander, maar die totale kinetiese energie van die sisteem verander nie.

• Dus bv. vir ‘n stilstaande teiken: m1v1i = m1v1f + m2v2f (lin.momentum)(9-63)

• en ½m1v1i2

= ½m1v1f2 + ½m2v2f

2 (kin.energie) (9-64)• Dus uit vgl.9-63: m1(v1i - v1f )= m2v2f (9-65)• En uit vgl.9-64: m1v1i

2 - m1v1f

2 = m2v2f2 m1(v1i + v1f)(v1i - v1f) = m2v2f

2 (9-66)• Deel vgl.9-66 deur 9-65 en m.b.v. Verdere algebra volg:

if vmmmmv 121

211

(9-67)

en if vmmmv 1

21

12

2

(9-68)

• Gelyke massas: m1 = m2

dan v1f = 0 en v2f = v1i

twee liggame ruil snelhede om• ‘n Massiewe teiken: m2 >> m1

dan v1f ≈ -v1i en v2f ≈ (2m1/m2)v1i (9-69) liggaam 1 bons terug met fietlik dieselfde

spoed, liggaam 2 beweeg baie stadig vorentoe.

if vmmmmv 121

211

(9-67)

if vmmmv 1

21

12

2

(9-68)

• ‘n Massiewe projektiel: m1 >> m2

dan v1f ≈ v1i en v2f ≈ 2v1i (9-70) liggaam 1 beweeg met fietlik dieselfde

spoed vorentoe, liggaam 2 beweeg teen dubbeld liggaam 1 se spoed vorentoe.

• Doen Sample Problem 9-11, p223

if vmmmmv 121

211

(9-67)

if vmmmv 1

21

12

2

(9-68)