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Holt Geometría
Resumen y repaso
Copyright © by Holt, Rinehart and Winston
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopy, recording, or any information storage and retrieval system, without permission in writing from the publisher.
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HOLT and the “Owl Design” are trademarks licensed to Holt, Rinehart and Winston, registered in the United States of America and/or other jurisdictions.
Printed in the United States of America
If you have received these materials as examination copies free of charge, Holt, Rinehart and Winston retains title to the materials and they may not be resold. Resale of examination copies is strictly prohibited.
Possession of this publication in print format does not entitle users to convert this publication, or any portion of it, into electronic format.
ISBN 0-03-041209-9
1 2 3 4 5 862 10 09 08 07 06
CAPÍTULO 1 Fundamentos de geometría Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
CAPÍTULO 2 Razonamiento geométrico Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
CAPÍTULO 3 Líneas paralelas y perpendiculares Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
CAPÍTULO 4 Congruencia de los triángulos Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
CAPÍTULO 5 Propiedades y atributos de los triángulos Guía de estudio: Repaso . . . . . . . .17
CAPÍTULO 6 Polígonos y cuadriláteros Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
CAPÍTULO 7 Semejanza Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
CAPÍTULO 8 Trigonometría y triángulos rectángulos Guía de estudio: Repaso . . . . . . .29
CAPÍTULO 9 Cómo extender el perímetro, la circunferencia y el área Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
CAPÍTULO 10 Razonamiento espacial Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
CAPÍTULO 11 Círculos Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
CAPÍTULO 12 Cómo extender la geometría transformacional Guía de estudio: Repaso . . .45
CONTENIDOS
Copyright © by Holt, Rinehart and Winston. iii Holt GeometríaAll rights reserved.
Capítulo 1 Fundamentos de geometría 1
altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
ángulo agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
ángulo llano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
ángulo obtuso . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
ángulo recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
ángulos adyacentes . . . . . . . . . . . . 28
ángulos complementarios . . . . . . 29
ángulos congruentes . . . . . . . . . . . 22
ángulos opuestos por el vértice . 30
ángulos suplementarios . . . . . . . . 29
área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
formar una bisectriz . . . . . . . . . . . 15
bisectriz de un ángulo . . . . . . . . . . 23
cateto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
colineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
coordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
coplanario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
diámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
entre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
exterior de un ángulo . . . . . . . . . . 20
extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
hipotenusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
imagen original . . . . . . . . . . . . . . . . 50
interior de un ángulo . . . . . . . . . . 20
línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
mediatriz de segmento . . . . . . . . . 16
medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
par lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . 43
postulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
rayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
rayos opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
segmentos congruentes . . . . . . . . . 7
término indefinido . . . . . . . . . . . . . 6
transformación . . . . . . . . . . . . . . . . 50
traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un(a) −−−−−−
? divide un ángulo en dos ángulos congruentes.
2. Los −−−−−−
? son dos ángulos cuyas medidas suman 90°.
3. La longitud del lado más largo de un triángulo rectángulo se llama −−−−−−
? .
Identifica cada uno de los siguientes.
4. cuatro puntos coplanarios
5. línea que contiene a B y C
6. plano que contiene a A, G y E
■ Identifica el extremo común de ��� SR y
�� ST .
�� SR y ��� ST son rayos opuestos con un extremo
común S.
1-1 Cómo comprender puntos, líneas y planos (págs. 6–11)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Vocabulario
■ Traza y rotula tres líneas coplanarias que se intersequen en un punto.
Traza y rotula cada uno de los siguientes.
7. línea que contenga a P y Q
8. par de rayos opuestos que contengan a C
9. � ��� CD que interseque el plano P en B
16. Clasifica cada ángulo como agudo, recto u obtuso.
17. m∠HJL = 116°. Halla m∠HJK.
18. ��� NP forma una bisectriz con ∠MNQ, m∠MNP = (6x - 12) ° y m∠PNQ = (4x + 8) °. Halla m∠MNQ.
■ Clasifica cada ángulo como agudo, recto u obtuso.
∠ABC agudo; ∠CBD agudo;∠ABD obtuso;∠DBE agudo;∠CBE obtuso
■ −
KM forma una bisectriz con ∠JKL, m∠JKM = (3x + 4) ° y m∠MKL = (6x - 5) °. Halla m∠JKL.
3x + 4 = 6x - 5 Def. de bisectriz de un ∠Suma 5 a ambos lados.Resta 3x de ambos lados.Divide ambos lados entre 3.
3x + 9 = 6x 9 = 3x
x = 3
m∠JKL = 3x + 4 + 6x - 5= 9x -1= 9 (3) - 1 = 26°
1-3 Cómo medir y construir ángulos (págs. 20–27)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla cada longitud.
10. JL 11. HK
12. Y está entre X y Z, XY = 13.8 y XZ = 21.4. Halla YZ.
13. Q está entre P y R. Halla PR.
14. U es el punto medio de −
TV , TU = 3x + 4 y UV = 5x - 2. Halla TU, UV y TV.
15. E es el punto medio de −
DF , DE = 9x y EF = 4x + 10. Halla DE, EF y DF.
■ Halla la longitud de −
XY .
XY = ⎪-2 - 1⎥ = ⎪-3⎥ = 3
■ S está entre R y T. Halla RT.
RT = RS + ST 3x + 2 = 5x - 6 + 2x 3x + 2 = 7x - 6 x = 2
RT = 3 (2) + 2 = 8
1-2 Cómo medir y construir segmentos (págs. 13–19)
EJERCICIOSE J E M P L O S
2 Guía de estudio: Repaso
Capítulo 1 Fundamentos de geometría 3
Indica si los ángulos son sólo adyacentes, adyacentes y forman un par lineal o no adyacentes.
19. ∠1 y ∠2
20. ∠3 y ∠4
21. ∠2 y ∠5
Halla la medida del complemento y suplemento de cada ángulo.
22. 23.
24. Un ángulo mide 5 grados más que su complemento multiplicado por 4. Halla la medida del ángulo.
■ Indica si los ángulos son sólo adyacentes, adyacentes y forman un par lineal o no adyacentes.
∠1 y ∠2 son sólo adyacentes.
∠2 y ∠4 no son adyacentes.
∠2 y ∠3 son adyacentes y forman un par lineal.
∠1 y ∠4 son adyacentes y forman un par lineal.
■ Halla la medida del complemento y suplemento de cada ángulo.
90 - 67.3 = 22.7°
180 - 67.3 = 112.7°
90 - (3x - 8) = (98 - 3x) °
180 - (3x - 8) = (188 - 3x) °
EJERCICIOS
1-4 Pares de ángulos (págs. 28–33)
E J E M P L O S
Halla el perímetro y el área de cada figura.
25. 26.
27. 28.
Halla la circunferencia y el área de cada círculo a la décima más cercana.
29. 30.
31. El área de un triángulo es 102 m 2 . La base del triángulo es 17 m. ¿Cuál es la altura del triángulo?
■ Halla el perímetro y el área del triángulo.
P = 2x + 3x + 5 + 10 = 5x + 15
A = 1 _ 2
(3x + 5) (2x)
= 3 x 2 + 5x
■ Halla la circunferencia y el área del círculo a la décima más cercana.
C = 2π r = 2π (11) = 22π ≈ 69.1 cm
A = π r 2 = π (11) 2 = 121π ≈ 380.1 cm 2
1-5 Cómo usar fórmulas en geometría (págs. 36–41)
EJERCICIOSE J E M P L O S
4 Guía de estudio: Repaso
Y es el punto medio de −
AB . Halla las coordenadas que faltan de cada punto.
32. A (3, 2
) ; B
(-1, 4
) ; Y
(,
)
33. A (5, 0
) ; B
(,
) ; Y
(-2, 3
)
34. A (
, ) ; B
(-4, 4
) ; Y
(-2, 3
)
Usa la fórmula de distancia y el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre cada par de puntos a la décima más cercana.
35. X (-2, 4
) y Y
(6, 1
)
36. H (0, 3
) y K
(-2, -4
)
37. L (-4, 2
) y M
(3, -2
)
■ X es el punto medio de −
CD . C tiene las coordenadas (-4, 1) , y X tiene las coordenadas (3, -2) . Halla las coordenadas de D.
(3, -2) = (
-4 + x _ 2
, 1 + y
_ 2
)
3 = -4 + x _ 2
-2 = 1 + y
_ 2
6 = -4 + x -4 = 1 + y
10 = x -5 = y
Las coordenadas de D son (10, -5
) .
■ Usa la fórmula de distancia y el teorema de Pitágoras para hallar la distancia, a la décima más cercana, desde (1, 6) hasta (4, 2) .
d = √
4 - (1) 2 + 2 - (6) 2 c2 = a 2 + b 2
= √
3 2 + (-4) 2 = 3 2 + 4 2
= √
9 + 16 = 9 + 16 = 25
= √
25 c = √
25
= 5.0 = 5.0
1-6 El punto medio y la distancia en el plano cartesiano (págs. 43–49)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Identifica cada transformación. Luego, usa la notación de flecha para describir la transformación.
38.
39.
40. Las coordenadas de los vértices de �XYZ son X
(-5, -4
) , Y
(-3, -1
) y Z
(-2, -2
) . Halla las
coordenadas de la imagen de �XYZ después de la traslación
(
x, y)
→ (
x + 4, y + 5)
.
■ Identifica la transformación. Luego, usa la notación de flecha para describir la transformación.
La transformación es una reflexión. �ABC → �A′B′C′
■ Las coordenadas de los vértices del rectángulo HJKL son H (2, -1) , J (5, -1) , K (5, -3) y L (2, -3) . Halla las coordenadas de la imagen del rectángulo HJKL después de la traslación (x, y) → (x - 4, y + 1) .
H′ = (2 - 4, -1 + 1
) = H′
(-2, 0
)
J′ = (5 - 4, -1 + 1
) = J′
(1, 0
)
K′ = (5 - 4, -3 + 1
) = K′
(1, -2
)
L′ = (2 - 4, -3 + 1
) = L′
(-2, -2
)
1-7 Transformaciones en el plano cartesiano (págs. 50–55)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Capítulo 2 Razonamiento geométrico 5
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un enunciado que puedes demostrar y luego usar como una razón en demostraciones posteriores es un(a)
−−−
? .
2. El/la −−−
? es el proceso en el que se usa la lógica para sacar conclusiones a partir de hechos, definiciones y propiedades dados.
3. Un(a) −−−
? es un caso en el que una conjetura no es verdadera.
4. Un enunciado que crees verdadero basándote en el razonamiento inductivo se llama −− −
? .
Haz una conjetura sobre cada patrón. Escribe los próximos dos elementos.
5.
6. 1 _ 6
, 1 _ 3
, 1 _ 2
, 2 _ 3
, … 7.
Completa cada conjetura.
8. La suma de un número par y un número impar es −−−
? .
9. El cuadrado de un número natural es −−−
? .
Determina si cada conjetura es verdadera. Si no lo es, escribe o dibuja un contraejemplo.
10. Todos los números cabales son números naturales.
11. Si C es el punto medio de −−
AB , entonces −−
AC � −−
BC .
12. Si 2x + 3 = 15, entonces x = 6.
13. Febrero tiene 28 días.
14. Traza un triángulo. Construye las bisectrices de cada ángulo del triángulo. Haz una conjetura sobre dónde se intersecan las bisectrices de los tres ángulos.
■ Halla el próximo elemento en el siguiente patrón.
El cuadrado rojo se mueve en dirección contraria a las manecillas del reloj. La próxima figura es .
■ Completa la conjetura “La suma de dos números impares es
−−−
? ” .
Anota algunos ejemplos y busca un patrón. 1 + 1 = 2 3 + 5 = 8 7 + 11 = 18
La suma de dos números impares es un número par.
■ Halla un contraejemplo para demostrar que la conjetura “Para todos los números enteros distintos de cero, -x < x” es falsa.
Elige valores positivos y negativos para x y sustituye para ver si la conjetura se cumple.
Sea n = 3. Como -3 < 3, la conjetura se cumple.
Sea n = -5. Como - (-5) es 5 y 5 ≮ -5,
la conjetura es falsa.
n = -5 es un contraejemplo.
2-1 Cómo usar el razonamiento inductivo para hacer conjeturas (págs. 74–79)
EJERCICIOSE J E M P L O S
conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
conjetura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
contraejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
contrarrecíproco . . . . . . . . . . . . . . . 83
cuadrilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
demostración . . . . . . . . . . . . . . . . 104
demostración de dos columnas 111
demostración en párrafo . . . . . . 120
demostración en diagrama de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
enunciado bicondicional . . . . . . . 96
enunciado condicional . . . . . . . . . 81
enunciados lógicamente equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 83
hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
razonamiento deductivo . . . . . . . 88
razonamiento inductivo . . . . . . . . 74
recíproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
valor de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Vocabulario
Escribe un enunciado condicional a partir de cada diagrama de Venn.
15. 16.
Determina si cada condicional es verdadero. Si es falso, da un contraejemplo.
17. Si dos ángulos son adyacentes, entonces tienen un rayo común.
18. Si multiplicas dos números irracionales, el producto es irracional.
Escribe el recíproco, el inverso y el contrarrecíproco de cada enunciado condicional. Halla el valor de verdad de cada uno.
19. Si ∠X es un ángulo recto, entonces m∠X = 90°.
20. Si x es un número cabal, entonces x = 2.
■ Escribe un enunciado condicional a partir de la oración “Un rectángulo tiene diagonales congruentes”.
Si una figura es un rectángulo, entonces tiene diagonales congruentes.
■ Escribe el inverso, el recíproco y el contrarrecíproco del enunciado condicional “Si m∠1 = 35°, entonces ∠1 es agudo”. Halla el valor de verdad de cada uno.
Recíproco: Si ∠1 es agudo, entonces m∠1 = 35°.No todos los ángulos agudos miden 35°, por lo tanto, esto es falso.
Inverso: Si m∠1 ≠ 35°, entonces ∠1 no es agudo. Se puede trazar un ángulo agudo que no mida 35°, por lo tanto, esto es falso.
Contrarrecíproco: Si ∠1 no es agudo, entonces m∠1 ≠ 35°. Un ángulo que mide 35° debe ser agudo. Por lo tanto, este enunciado es verdadero.
2-2 Enunciados condicionales (págs. 81–87)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Usa los siguientes enunciados verdaderos para determinar si cada conclusión es verdadera o falsa.
Sue es miembro del equipo de natación. Cuando el equipo practica, Sue nada. El equipo empieza la práctica cuando abre la piscina. La piscina abre a las 8 am durante los días de semana y a las 12 del mediodía los sábados.
21. El equipo de natación practica sólo los días de semana.
22. Sue nada los sábados.
23. La práctica del equipo de natación empieza a la misma hora todos los días.
Usa la siguiente información para los Ejercicios del 24 al 26.
La expresión 2.15 + 0.07x da el costo de una llamada telefónica de larga distancia, donde x es la cantidad de minutos luego del primer minuto.
Si es posible, saca una conclusión a partir de la información dada. Si no es posible, explica por qué.
24. El costo de la llamada de larga distancia de Sara es $2.57.
25. Paulo hace una llamada de larga distancia que dura diez minutos.
26. La factura mensual de las llamadas de larga distancia de Asa es $19.05.
■ Determina si la conjetura es válida según la regla de separación o la ley del silogismo.
Dado: Si 5c = 8y, entonces 2w = -15. If 5c = 8y, entonces x = 17.
Conjetura: Si 2w = -15, entonces x = 17.
Sea p 5c = 8y, sea q 2w = -15 y sea r x = 17.
Usando símbolos, la información dada se escribe como p → q y p → r. No se pueden aplicar la regla de separación ni la ley del silogismo. La conjetura no es válida.
■ Saca una conclusión a partir de la información dada.
Datos conocidos: Si hay dos puntos distintos, entonces hay una línea que los atraviesa. A y B son puntos distintos.
Sea p la hipótesis: dos puntos son distintos.
Sea q la conclusión: hay una línea que atraviesa los puntos.
El enunciado “A y B son puntos distintos” coincide con la hipótesis, por lo tanto, se puede concluir que hay una línea que atraviesa A y B.
2-3 Cómo usar el razonamiento deductivo para verificar conjeturas (págs. 88–93)
EJERCICIOSE J E M P L O S
6 Guía de estudio: Repaso
Capítulo 2 Razonamiento geométrico 7
Determina si es posible escribir un bicondicional verdadero a partir de cada enunciado condicional. Si no es posible, da un contraejemplo.
27. Si 3 - 2x _ 5
= 2, entonces x = 5 _ 2
.
28. Si x < 0, entonces el valor de x 4 es positivo.
29. Si un segmento tiene extremos en (1, 5
) y
(-3, 1
) ,
tentonces el punto medio es (-1, 3
) .
30. Si la medida de un ángulo de un triángulo es 90°, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.
Completa cada enunciado para formar un bicondicional verdadero.
31. Dos ángulos son −−−
? si y sólo si la suma de sus medidas es 90°.
32. x 3 >0 si y sólo si x es −−−
? .
33. Trey puede viajar 100 millas en menos de 2 horas si y sólo si su velocidad promedio es
−−−
? .
34. El área de un cuadrado es igual a s 2 si y sólo si el perímetro del cuadrado es
−−−
? .
■ Para el condicional “Si un número es divisible entre 10, entonces termina en 0”, escribe el recíproco y un enunciado bicondicional.
Recíproco: Si un número termina en 0, entonces es divisible entre 10.
Bicondicional: Un número es divisible entre 10 si y sólo si termina en 0.
■ Determina si el bicondicional “Los lados de un triángulo miden 3, 7 y 15 si y sólo si el perímetro es 25” es verdadero. Si es falso, da un contraejemplo.
Condicional: Si los lados de un triángulo miden 3, 7 y 15, entonces el perímetro es 25. Verdadero.
Recíproco: Si el perímetro de un triángulo es 25, entonces sus lados miden 3, 7 y 15. Falso; un triángulo con lados con longitudes 6, 10 y 9 también tiene un perímetro de 25.
Por lo tanto, el bicondicional es falso.
2-4 Enunciados bicondicionales y definiciones (págs. 96–101)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Resuelve cada ecuación. Escribe una justificación para cada paso.
35. m _ -5
+ 3 = -4.5 36. -47 = 3x - 59
Identifica la propiedad que justifica cada enunciado.
37. a + b = a + b
38. Si ∠RST � ∠ABC, entonces ∠ABC � ∠RST.
39. 2x = 9 y y = 9. Por lo tanto, 2x = y.
Usa la propiedad indicada para completar cada enunciado.
40. Prop. reflex. de �: figura ABCD �
−−−
?
41. Prop. sim. de =: Si m∠2 = m∠5, entonces −−−
? .
42. Prop. trans. de �: Si −−
AB � −−
CD y −−
AB � −−
EF , entonces
−−−
? .
43. Kim pidió dinero prestado a una tasa de interés anual del 6% para comprar un automóvil. ¿Cuánto pidió prestado si pagó $4200 de interés durante el periodo de 4 años del préstamo? Resuelve la ecuación I = Cit para P y justifica cada paso.
■ Resuelve la ecuación 5x - 3 = -18. Escribe una justificación para cada paso.
5x - 3 = -18 Datos conocidos
−−−−−
+ 3 −−−
+ 3 Prop.de la suma de =
5x = -15 Simplifica.
5x _5
= -15 _ 5
Prop. de la div. de =
x = -3 Simplifica.
■ Escribe una justificación para cada paso.
RS = ST Datos conocidos
5x - 18 = 4x Prop. de la resta de = x - 18 = 0 Prop. de la resta de = x = 18 Prop. de la suma de =
Identifica la propiedad que justifica cada enunciado.
■ ∠X � ∠2, por lo tanto, ∠2 � ∠X.
Propiedad simétrica de la congruencia
■ Si m∠2 = 180° y m∠3 = 180°, entonces m∠2 = m∠3.
Propiedad transitiva de la igualdad
2-5 Demostración algebraica (págs. 104–109)
EJERCICIOSE J E M P L O S
8 Guía de estudio: Repaso
44. Escribe una justificación para cada paso, dado que ∠1 y ∠2 son complementarios y ∠1 � ∠3.1. ∠1 y ∠2 compl. 2. m∠1 + m∠2 = 90°3. ∠1 � ∠34. m∠1 = m∠35. m∠3 + m∠2 = 90°6. ∠3 y ∠2 compl.
45. Escribe en los espacios en blanco para completar la demostración de dos columnas. Dado:
−−
TU � −−
UV Demuestra: SU + TU = SVDemostración de dos columnas:
Enunciados Razones
1. −−
TU � −−
UV
2. b. −−−−
?
3. c. −−−−
?
4. SU + TU = SV
1. a. −−−−
?
2. Def. de seg. �
3. Post. de la suma de seg.
4. d. −−−−
?
Halla el valor de cada variable.
46. 47.
■ Escribe una justificación para cadapaso, dado que m∠2 = 2m∠1.
1. ∠1 y ∠2 supl. Teor. del par lineal
2. m∠1 + m∠2 = 180° Def. de � supl.
3. m∠2 = 2m∠1 Dado
4. m∠1 + 2m∠1 = 180° Sustituye. Pasos 2, 3
5. 3m∠1 = 180° Simplifica.
6. m∠1 = 60° Prop. de división de =
■ Usa el plan dado para escribir una demostración de dos columnas.
Dado: −−
AD forma una bisectriz con ∠BAC. ∠1 � ∠3
Demuestra: ∠2 � ∠3
Plan: Usa la definición de bisectriz de un ángulo para demostrar que ∠1 � ∠2. Usa la propiedad transitiva para concluir que ∠2 � ∠3.
Demostración de dos columnas:
Enunciados Razones
1. −−−
AD forma una bisectriz con ∠BAC.
2. ∠1 � ∠2
3. ∠1 � ∠3
4. ∠2 � ∠3
1. Dado
2. Def. de bisectriz de un ∠
3. Dado
4. Prop. transit. de �
2-6 Demostración geométrica (pp. 110–116)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Usa el plan dado para escribir cada uno de los siguientes.
Dado: ∠ADE y ∠DAE son complementarios∠ADE y ∠BAC son complementarios
Demuestra: ∠DAC � ∠BAE
Plan: Usa el teorema de los complementos congruentes para demostrar que
∠DAE � ∠BAC. Como ∠CAE � ∠CAE, ∠DAC � ∠BAE según el teorema de los
ángulos comunes.
48. una demostración 49. una demostración enen diagrama de flujo párrafo
Halla el valor de cada variable y menciona el teorema que justifica tu respuesta.
50. 51.
Usa la demostración de dos columnas en el ejemplo de la Lección 2-6 de arriba para escribir cada uno de los siguientes.
■ una demostración en diagrama de flujo
■ una demostración en párrafo
Como −−
AD forma una bisectriz con ∠BAC, ∠1 � ∠2 según la definición de bisectriz de un ángulo. Se sabe que ∠1 � ∠3. Por lo tanto, ∠2 � ∠3 según la propiedad transitiva de la congruencia.
2-7 Demostraciones en párrafos y diagrama de flujo (págs. 118–125)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Capítulo 3 Líneas paralelas y perpendiculares 9
Vocabularioángulos alternos externos . . . . . 147
ángulos alternos internos . . . . . 147
ángulos correspondientes . . . . . 147
ángulos internos del mismo lado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
distancia desde un punto a una línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
distancia horizontal . . . . . . . . . . . 182
distancia vertical . . . . . . . . . . . . . 182
forma de pendiente-intersección . . . . . 190
forma de punto y pendiente . . . 190
líneas oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . 146
líneas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . 146
líneas perpendiculares . . . . . . . . 146
mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . 146
transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Los ángulos de los lados opuestos de una transversal y entre las líneas que cruza la transversal son −−−−
? .
2. Las líneas que están en diferentes planos son −−−−
? .
3. Un(a) −−−−
? es una línea que cruza dos líneas coplanares en dos puntos.
4. El/la −−−−
? se usa para escribir la ecuación de una línea con una pendiente dada que atraviesa un punto dado.
5. La pendiente de una línea es la razón del/de la −−−−
? al/a la −−−−
? .
Identifica cada uno de los siguientes.
6. un par de segmentos oblicuos
7. un par de segmentos paralelos
8. un par de segmentos perpendiculares
9. un par de planos paralelos
Identifica cada uno de los siguientes.
■ un par de segmentos paralelos
−−
AB ‖ −−
CD
■ un par de planos paralelos
plano ABC ‖ plano EFG
■ un par de segmentos perpendiculares
−−
AB ⊥ −−
AE
■ un par de segmentos oblicuos
−−
AB y −−
FG son oblicuos.
3-1 Líneas y ángulos (págs. 146–151)
EJERCICIOSE J E M P L O S
10 Guía de estudio: Repaso
Identifica la transversal y clasifica cada par de ángulos.
10. ∠5 y ∠2
11. ∠6 y ∠3
12. ∠2 y ∠4
13. ∠1 y ∠2
Identifica la transversal y clasifica cada par de ángulos.
■ ∠4 y ∠6
p, ángulos correspondientes
■ ∠1 y ∠2
q, ángulos alternos internos
■ ∠3 y ∠4
p, ángulos alternos externos
■ ∠6 y ∠7
r, ángulos internos del mismo lado
Halla la medida de cada ángulo.
14. m∠WYZ
15. m∠KLM
16. m∠DEF
17. m∠QRS
Halla la medida de cada ángulo.
■ m∠TUV
Según el teorema de los ángulos internos del mismo lado, (6x + 10) + (4x + 20) = 180.
x = 15 Halla x.
Sustituye x por el valor en la expresión para m∠TUV.m∠TUV = 4 (15) + 20 = 80°
■ m∠ABC
Según el postulado de los ángulos correspondientes,8x + 28 = 10x + 4.
x = 12 Halla x.
Sustituye x por el valor en la expresión para uno de los ángulos obtusos. 10 (12) + 4 = 124°
∠ABC es suplementario del ángulo de 124°, por lo tanto, m∠ABC = 180 - 124 = 56°.
3-2 Ángulos formados por líneas paralelas y transversales (págs. 155–161)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Capítulo 3 Líneas paralelas y perpendiculares 11
Usa la información dada y los teoremas y postulados que aprendiste para demostrarque c ‖ d.
18. m∠4 = 58°, m∠6 = 58°
19. m∠1 = (23x + 38) °, m∠5 = (17x + 56) °, x = 3
20. m∠6 = (12x + 6) °, m∠3 = (21x + 9) °, x = 5
21. m∠1 = 99°, m∠7 = (13x + 8) °, x = 7
Usa la información dada y los teoremas y postulados que aprendiste para demostrar que p ‖ q.
■ m∠2 + m∠3 = 180°
∠2 y ∠3 son suplementarios, por lo tanto, p ‖ q según el recíproco del teorema de los ángulos internos del mismo lado.
■ ∠8 � ∠6
∠8 � ∠6, por lo tanto, p ‖ q según el recíproco del postulado de ángulos correspondientes.
■ m∠1 = (7x - 3) °, m∠5 = 5x + 15, x = 9
m∠1 = 60° y m∠5 = 60°. Por lo tanto, ∠1 � ∠5. p ‖ q según el recíproco del teorema de los ángulos alternos externos.
3-3 Cómo demostrar líneas paralelas (págs. 162–169)
EJERCICIOSE J E M P L O S
22. Identifica el segmento más corto desde el punto K hasta
−−
LN .
23. Escribe y resuelve una desigualdad para hallar x.
24. Dado: −−
AD ‖ −−
BC , −−
AD ⊥ −−
AB , −−
DC ⊥ −−
BC
Demuestra: −−
AB ‖ −−
CD
■ Identifica el segmento más corto desde el punto X a
−− WY .
−−
XZ
■ Escribe y resuelve una desigualdad para hallar x.
x + 3 > 3
x > 0 Resta 3 de ambos lados.
■ Dado: m ⊥ p, ∠1 y ∠2 2 son complementarios.
Demuestra: p ‖ q
Demostración: Se sabe que m ⊥ p. ∠1 y ∠2 son complementarios, por lo tanto, m∠1 + m∠2 = 90°. Así, m ⊥ q. Dos líneas perpendiculares a la misma línea son paralelas, por lo tanto, p ‖ q.
3-4 Líneas perpendiculares (págs. 172–178)
EJERCICIOSE J E M P L O S
12 Guía de estudio: Repaso
Escribe la ecuación de cada línea en la forma dada.
30. la línea que pasa por (6, 1
) y
(-3, 5
) en forma de
pendiente-intersección
31. la línea que pasa por (-3, -4
) con pendiente 2 _
3 en
forma de pendiente-intersección
32. la línea con intersección con el eje x en 1 y con el eje y en -2 en forma de punto y pendiente
Determina si las líneas son paralelas, se intersecan o coinciden.
33. -3x + 2y = 5, 6x - 4y = 8
34. y = 4x - 3, 5x + 2y = 1
35. y = 2x + 1, 2x - y = -1
■ Escribe la ecuación de la línea que pasa por
(5, -2) con pendiente 3 __ 5 en forma de pendiente-
intersección.
y - (-2) = 3 _ 5
(x - 5) Forma de punto y pendiente
Simplifica.
Halla y.
y + 2 = 3 _ 5
x - 3
y = 3 _ 5
x - 5
■ Determina si las líneas y = 4x + 6 y 8x - 2y = 4 son paralelas, se intersecan o coinciden.
Despeja y en la segunda ecuación para hallar la forma de pendiente-intersección.
8x - 2y = 4
y = 4x - 2
Ambas líneas tienen pendiente 4 y diferentes intersecciones con el eje y, por lo tanto, son paralelas.
EJERCICIOSE J E M P L O S
3-6 Líneas en el plano cartesiano (págs. 190–197)
Usa la fórmula de pendiente para determinar la pendiente de cada línea.
25. 26.
Usa pendientes para determinar si las líneas son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas.
27. � �� EF y � �� GH para E (8, 2
) , F
(-3, 4
) , G
(6, 1
) y
H (-4, 3
)
28. � �� JK y � �� LM para J (4, 3
) , K
(-4, -2
) , L
(5, 6
) y
M (-3, 1
)
29. � �� ST y � �� UV para S (-4, 5
) , T
(2, 3
) , U
(3, 1
) y
V (4, 4
)
■ Usa la fórmula de pendiente para determinar la pendiente de la línea.
pendiente de � ��� WX = y 2 - y 1
_ x 2 - x 1 = 3 - (-3)
_ 2 - (-4)
= 6 _ 6
= 1
■ Usa pendientes para determinar si � ⎯ � AB y � ⎯ � CD son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas para A (-1, 5) , B (-3, 4) , C (3, -1) y D (4, -3) .
pendiente de � �� AB = 4 - 5 _ -3 - (-1)
= 1 _ 2
pendiente de � �� CD = -3 - (-1)
_ 4 - 3
= -2 _ 1
= -2
Las pendientes son recíprocos opuestos, por lo tanto, las líneas son perpendiculares.
3-5 Pendientes de las líneas (págs. 182–187)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Capítulo 4 Congruencia de los triángulos 13
Vocabularioángulo base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
ángulo del vértice . . . . . . . . . . . . . 273
ángulo externo . . . . . . . . . . . . . . . 225
ángulo incluido . . . . . . . . . . . . . . . 242
ángulo interno . . . . . . . . . . . . . . . 225
ángulo interno remoto . . . . . . . . 225
ángulos correspondientes . . . . . 231
base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
catetos de un triángulo isósceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
lado incluido . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
lados correspondientes . . . . . . . . 231
línea auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
PCTCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
polígonos congruentes . . . . . . . . 231
demostración de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . 267
rigidez del triángulo . . . . . . . . . . 242
triángulo acutángulo . . . . . . . . . . 216
triángulo equiangular . . . . . . . . . 216
triángulo equilátero . . . . . . . . . . . 217
triángulo escaleno . . . . . . . . . . . . 217
triángulo isósceles . . . . . . . . . . . . 217
triángulo rectángulo . . . . . . . . . . 216
triángulo obtusángulo . . . . . . . . 216
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un) −−−−
? es un triángulo con por lo menos dos lados congruentes.
2. Un nombre que se da a los ángulos de triángulos congruentes que se corresponden entre sí es
−−−−
? .
3. Un(a) −−−−
? es el lado común de dos ángulos consecutivos de un polígono.
Clasifica cada triángulo por las medidas de sus ángulos y longitudes de sus lados.
4. 5.
■ Clasifica el triángulo por las medidas de sus ángulos y longitudes de sus lados.
triángulo rectángulo isósceles
4-1 Cómo clasificar triángulos (págs. 216–221)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla m∠N.
6.
7. En �LMN, m∠L = 8x °, m∠M = (2x + 1) ° y m∠N = (6x - 1) °.
■ Halla m∠S. 12x = 3x + 42 + 6x
12x = 9x + 42
3x = 42
x = 14
m∠S = 6 (14) = 84°
4-2 Relaciones entre ángulos en triángulos (págs. 223–230)
EJERCICIOSE J E M P L O
Dado: �PQR � �XYZ. Identifica las partes correspondientes congruentes.
8. −−
PR � −−−−
? 9. ∠Y � −−−
?
Dado: �ABC � �CDA Halla cada valor.
10. x
11. CD
■ Dado: �DEF � �JKL. Identifica todos los pares de partes correspondientes congruentes. Luego, halla el valor de x.
Los pares congruentes son: ∠D � ∠J, ∠E � ∠K, ∠F � ∠L,
−−
DE � −−
JK , −−
EF � −−
KL , y −−
DF � −−
JL .
Como m∠E = m∠K, 90 = 8x - 22. Cuando se suma 22 a ambos lados, 112 = 8x. Por lo tanto, x = 14.
4-3 Triángulos congruentes (págs. 231–237)
EJERCICIOSE J E M P L O
12. Dado: −−
AB � −−
DE , −−
DB �
−−
AE Demuestra: �ADB � �DAE
13. Dado: −−
GJ forma una bisectriz con −−
FH , y
−−
FH forma una bisectriz con
−−
GJ .Demuestra: �FGK � �HJK
14. Demuestra que �ABC � �XYZ cuando x = -6.
15. Demuestra que �LMN � �PQR cuando y = 25.
■ Dado: −−
RS � −−
UT y −−
VS � −−
VT . V es el punto medio de
−− RU .
Demuestra: �RSV � �UTV
Demostración:
Enunciados Razones
1. −−
RS � −−
UT
2. −−
VS � −−
VT
3. V es el pto. medio de
−−
RU .
4. −−
RV � −−
UV
5. �RSV � �UTV
1. Dado
2. Dado
3. Dado
4. Def. de pto. medio
5. LLL Pasos 1, 2, 4
■ Demuestra que �ADB � �CDB cuando s = 5.
AB = s 2 - 4s AD = 14 - 2s
= 5 2 - 4 (5 ) = 14 - 2 (5 )
= 5 = 4
−−
BD � −−
BD según la propiedad reflexiva. −−
AD � −−
CD y
−−
AB � −−
CB . Por lo tanto, �ADB � �CDB según LLL.
4-4 Congruencia de los triángulos: LLL y LAL (págs. 242–249)
EJERCICIOSE J E M P L O S
14 Guía de estudio: Repaso
Capítulo 4 Congruencia de los triángulos 15
16. Dado: C es el punto medio de
−−
AG . −−
HA ‖ −−
GB Demuestra: �HAC � �BGC
17. Dado: −−−
WX ⊥ −−
XZ , −−
YZ ⊥ −−
ZX , −−−
WZ � −−
YX Demuestra: �WZX � �YXZ
18. Dado: ∠S y ∠V son ángulos rectos.RT = UW.m∠T = m∠W
Demuestra: �RST � �UVW
■ Dado: B es el punto medio de −−
AE . ∠A � ∠E,∠ABC � ∠EBD
Demuestra: �ABC � �EBD
Demostración:
Enunciados Razones
1. ∠A � ∠E
2. ∠ABC � ∠EBD
3. B es el pto. medio de
−−
AE .
4. −−
AB � −−
EB
5. �ABC � �EBD
1. Dado
2. Dado
3. Dado
4. Def. de pto. medio
5. ALA Pasos 1, 4, 2
4-5 Congruencia de los triángulos: ALA, AAL y HC (págs. 252–259)
EJERCICIOSE J E M P L O S
19. Dado: M es el punto medio de −−
BD . −−
BC � −−
DC Demuestra: ∠1 � ∠2
20. Dado: −−
PQ � −−
RQ , −−
PS � −−
RS Demuestra:
−−
QS forma una bisectriz con ∠PQR.
21. Dado: H es el punto medio de −−
GL . L es el punto medio de
−−−
MK . −−−
GM � −−
KJ , −−
GJ � −−−
KM ,∠G � ∠K
Demuestra: ∠GMH � ∠KJL
■ Dado: −−
JL y −−
HK forman una bisectriz entre sí.
Demuestra: ∠JHG � ∠LKG
Demostración:
Enunciados Razones
1. −−
JL y −−
HK forman una bisectriz entre sí.
2. −−
JG � −−
LG , and
−−−
HG � −−
KG .
3. ∠JGH � ∠LGK
4. �JHG � �LKG
5. ∠JHG � ∠LKG
1. Dado
2. Def. de bisectriz
3. Teo. del vértice del �
4. LAL Pasos 2, 3
5. PCTCC
4-6 Congruencia de los triángulos: PCTCC (págs. 260–265)
EJERCICIOSE J E M P L O S
16 Guía de estudio: Repaso
Ubica cada figura en el plano cartesiano y da las coordenadas de cada vértice.
22. un triángulo rectángulo con catetos de longitudes r y s
23. un rectángulo con longitud 2p y ancho p
24. un cuadrado con longitud de lado de 8m
Para los Ejercicios 25 y 26, asigna coordenadas a cada vértice y escribe una demostración de coordenadas.
25. Dado: En el rectángulo ABCD, E es el punto medio de −−
AB , F es el punto medio de −−
BC , G es el punto medio de
−−
CD , y H es el punto medio de −−
AD . Demuestra:
−−
EF � −−−
GH
26. Dado: �PQR tiene un∠Q recto. M es el punto medio de
−−
PR . Demuestra: MP = MQ = MR
27. Demuestra que un triángulo con vértices en (3, 5
) ,
(3, 2
) y
(2, 5
) es un triángulo rectángulo.
■ Dado: ∠B es un ángulo recto en el triángulo rectángulo isósceles �ABC. E es el punto medio de
−− AB .
D es el punto medio de −−
CB . −−
AB � −−
CB
Demuestra: −−
CE � −−
AD
Demostración: Usa las coordenadas A (0, 2a
) , B
(0, 0
) y C
(2a, 0
) . Traza
−−
AD y −−
CE .
Según la fórmula del punto medio,
E = (
0 + 0
_ 2
, 2a + 0
_ 2
)
= (0, a
) y
D = (
0 + 2a
_ 2
, 0 + 0
_ 2
)
= (a, 0
)
Según la fórmula de distancia,
CE = √
(2a - 0) 2 + (0 - a) 2
= √
4a 2 + a 2 = a √
5
AD = √
(a - 0) 2 + (0 - 2a) 2
= √
a 2 + 4a 2 = a √
5
Por lo tanto, −−
CE � −−
AD según la definición de congruencia.
4-7 Introducción a la demostración de coordenadas (págs. 267–272)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla cada valor.
28. x
29. RS
30. Dado: �ACD es isósceles y ∠D es el ángulo del vértice. B es el punto medio de
−−
AC . AB = x + 5, BC = 2x - 3, y CD = 2x + 6.
Halla el perímetro del �ACD.
■ Halla el valor de x.
m∠D + m∠E + m∠F = 180° según el teorema de la suma del triángulo. m∠E = m∠F según el teorema del triángulo isósceles.
m∠D + 2 m∠E = 180° Sustitución
Sustituye los valores dados.
Simplifica.
Divide ambos lados entre 6.
42 + 2 (3x)= 180
6x = 138
x = 23
4-8 Triángulos isósceles y equiláteros (págs. 273–279)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Capítulo 5 Propiedades y atributos de los triángulos 17
Vocabularioaltura de un triángulo . . . . . . . . . 316
centroide de un triángulo . . . . . 314
circuncentro de un triángulo . . 307
circunscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
concurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
demostración indirecta . . . . . . . 332
equidistante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
incentro de un triángulo . . . . . . 309
inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . 300
mediana de un triángulo . . . . . . 314
ortocentro de un triángulo . . . . 316
punto de concurrencia . . . . . . . . 307
segmento medio de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . 322
tripleta de Pitágoras . . . . . . . . . . 349
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un punto que está a la misma distancia de dos o más objetos está −−−−
? de los objetos.
2. Un −−−−
? es un segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo.
3. El punto de concurrencia de las bisectrices de los ángulos de un triángulo es el/la −−−−
? .
4. Un(a) −−−−
? es un conjunto de puntos que cumplen con una condición dada.
Halla cada medida.
5. BD 6. YZ
7. HT 8. m∠MNP
Escribe una ecuación en forma de punto y pendiente para la mediatriz del segmento con los extremos dados.
9. A (-4, 5
) , B
(6, -5
) 10. X
(3, 2
) , Y
(5, 10
)
Indica si la información dada te permite concluir que P está en la bisectriz del ∠ABC.
11. 12.
Halla cada medida.
■ JL
Como −−
JM � −−−
MK y −−−
ML ⊥ −−
JK , −−−
ML es la mediatriz del −−
JK .
JL = KL ⊥ Teorema de la bisectriz
Sustituye 7.9 por KL.JL = 7.9
■ m∠PQS, dado que m∠PQR = 68°
Como SP = SR, −−
SP ⊥ −−
QP , y
−−
SR ⊥ −−
QR , ��� QS forma una
bisectriz con ∠PQR según el recíproco del teorema de labisectriz de un ángulo.
m∠PQS = 1 _ 2
m∠PQR Def. de bisectriz de un ∠
Sustituye m∠PQR por 68°.
m∠PQS = 1 _ 2
(68°) = 34°
5-1 Mediatrices y bisectrices de ángulos (págs. 300–306)
EJERCICIOSE J E M P L O S
18 Guía de estudio: Repaso
−−
PX , −−
PY y −−
PZ son las mediatrices de �GHJ. Halla cada longitud.
13. GY 14. GP
15. GJ 16. PH
−−
UA y −−
VA son bisectrices de ángulos de �UVW. Halla cada medida.
17. la distancia de A a
−−
UV
18. m∠WVA
Halla el circuncentro de un triángulo con los vértices dados.
19. M (0, 6
) , N
(8, 0
) , O
(0, 0
)
20. O (0, 0
) , R
(0, -7
) , S
(-12, 0
)
■ −−
DG , −−
EG y −−
FG son las mediatrices de �ABC. Halla AG.
G es el circuncentro de �ABC. Según el teorema del circuncentro, G está equidistante de los vértices de �ABC.
AG = CG Teor. del circuncentro
Sustituye 5.1 por CG. AG = 5.1
■ −−
QS y −−
RS son bisectrices de ángulos de �PQR. Halla la distancia deS a
−− PR .
S es el incentro de �PQR. Según el teorema del incentro, S está equidistante de los lados de �PQR. La distancia de S a
−−
PQ es 17, por lo tanto, la distancia de S a
−−
PR también es 17.
5-2 Bisectrices de los triángulos (págs. 307–313)
EJERCICIOSE J E M P L O S
En �DEF, DB = 24.6, y EZ = 11.6. Halla cada longitud.
21. DZ 22. ZB
23. ZC 24. EC
Halla el ortocentro de un triángulo con los vértices dados.
25. J (-6, 7
) , K
(-6, 0
) , L
(-11, 0
)
26. A (1, 2
) , B
(6, 2
) , C
(1, -8
)
27. R (2, 3
) , S
(7, 8
) , T
(8, 3
)
28. X (-3, 2
) , Y
(5, 2
) , Z
(3, -4
)
29. Las coordenadas de una pieza triangular de un móvil son
(0, 4
) ,
(3, 8
) , and
(6, 0
) . La pieza colgará de una
cadena de manera que quede balanceada. ¿En qué coordenadas se debe sujetar la cadena?
■ En �JKL, JP = 42. Halla JQ.
JQ = 2 _ 3
JP Teor. del centroide
Sustituye JP por 42.
Multiplica.
JQ = 2 _ 3
(42)
JQ = 28
■ Halla el ortocentro de �RST con los vértices R (-5, 3) , S (-2, 5) y T (-2, 0) .
Como −−
ST es vertical, la ecuación de la línea que contiene la
altura desde R a −−
ST es y = 3.
pendiente de −−
RT = 3 - 0 _ -5 - (-2)
= -1
La pendiente de la altura a −−
RT es 1. Esta línea debe pasar por S
(-2, 5
) .
y - y 1 = m (
x - x 1 )
Forma de punto y pendiente
Sustitución y - 5 = 1 (x + 2)
Resuelve el sistema ⎧
⎨
⎩
y = 3
y = x + 7 para hallar que las
coordenadas del ortocentro son (-4, 3
) .
5-3 Medianas y alturas de los triángulos (págs. 314–320)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Capítulo 5 Propiedades y atributos de los triángulos 19
Halla cada medida.
30. BC 31. XZ
32. XC 33. m∠BCZ
34. m∠BAX 35. m∠YXZ
36. Los vértices de�GHJ son G (-4, -7
) , H
(2, 5
)
y J (10, -3
) . V es el punto medio de
−−−
GH , yW es el punto medio de
−−
HJ . Demuestra que −−−
VW ‖ −−
GJ
y VW = 1 __ 2 GJ.
Halla cada medida.
■ NQ
Según el teor. del segmento
medio de �, NQ = 1 _ 2
KL = 45.7.
■ m∠NQM
−−
NP ‖ −−−
ML Teor. del segmento medio del �Teor. de la altura de � internoSustitución
m∠NQM = m∠PNQ m∠NQM = 37°
5-4 El teorema del segmento medio de un triángulo (págs. 322–327)
EJERCICIOSE J E M P L O S
37. Escribe los lados de �ABC en orden, del más corto al más largo.
38. Escribe los ángulos de�FGH en orden, de menor a mayor.
39. Dos lados de un triángulo miden 13.5 centímetros y 4.5 centímetros. Halla el rango de posibles longitudes para el tercer lado.
Indica si es posible que un triángulo tenga lados con las siguientes longitudes. Explica.
40. 6.2, 8.1, 14.2 41. z, z, 3z, cuando z = 5
42. Escribe una demostración indirecta de que un triángulo no puede tener dos ángulos obtusos.
■ Escribe los ángulos de �RST en orden, de menor a mayor.
El ángulo menor es el opuestodel lado más corto. En orden, los ángulos son ∠S, ∠R y ∠T.
■ Dos lados de un triángulo miden 15 pulgadas y 12 pulgadas. Halla el rango de posibles longitudes para el tercer lado.
Sea s la longitud del tercer lado.
s + 15 > 12 s + 12 > 15 15 + 12 > s s > -3 s > 3 27 > s
Según el teorema de desigualdad de los triángulos, 3 pulg < s < 27 pulg.
5-5 Demostración indirecta y desigualdades en un triángulo (págs. 332–339)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Compara las medidas dadas.
43. PS y RS 44. m∠BCA y m∠DCA
Halla el rango de valores para n.
45. 46.
Compara las medidas dadas.
■ KL y ST
KJ = RS, JL = RT y m∠J > m∠R. Según el teor. del eje, KL > ST.
■ m∠ZXY y m∠XZW
XY = WZ, XZ = XZ y YZ < XW. Según el recíproco del teor. del eje, m∠ZXY < m∠XZW.
5-6 Desigualdades en dos triángulos (págs. 340–345)
EJERCICIOSE J E M P L O S
20 Guía de estudio: Repaso
Halla el valor de x. Da tu respuesta en la forma radical más simple.
47. 48.
Halla la longitud del lado que falta. Indica si los lados forman una tripleta de Pitágoras. Explica.
49. 50.
Indica si las medidas pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo. Si es así, clasifica el triángulo como acutángulo, obtusángulo o rectángulo.
51. 9, 12, 16 52. 11, 14, 27
53. 1.5, 3.6, 3.9 54. 2, 3.7, 4.1
■ Halla el valor de x. Da tu respuesta en la forma radical más simple.
a 2 + b 2 = c 2 Teor. de Pitágoras
SustituciónSimplifica.
Halla la raíz cuadrada positiva y simplifica.
6 2 + 3 2 = x 2 45 = x 2 x = 3
√
�
5
■ Halla la longitud del lado que falta. Indica si los lados forman una tripleta de Pitágoras. Explica.
a 2 + b 2 = c 2 Teor. de PitágorasSustituciónHalla a 2 .Halla la raíz cuadrada positiva.
a 2 + (1.6) 2 = 2 2 a 2 = 1.44
a = 1.2
Las longitudes de los lados no forman una tripleta de Pitágoras porque 1.2 y 1.6 no son números cabales.
5-7 El teorema de Pitágoras (págs. 348–355)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla los valores de las variables. Da tus respuestas en la forma radical más simple.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
Halla el valor de cada variable. Redondea a la pulgada más cercana.
61. 62.
Halla los valores de las variables. Da tus respuestas en la forma radical más simple.
■ Éste es un triángulo de 45°, 45°
y 90°. x = 19 √
�
2 Hipot.= cateto
√
�
2
■ Éste es un triángulo 45°, 45° y
90°. 15 = x √
�
2 Hipot.= cateto
√
�
2
15 _
√
�
2 = x Divide ambos lados entre
√
�
2 .
Racionaliza el denominador. 15
√
�
2 _
2 = x
■ Éste es un triángulo de 30°, 60°
y 90°. 22 = 2x Hipot. = 2(cateto más corto)
11 = x Divide ambos lados entre 2.
Cateto más largo = (cateto más corto)
√
�
3 y = 11
√
�
3
5-8 Cómo aplicar triángulos rectángulos especiales (págs. 356–362)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Capítulo 6 Polígonos y cuadriláteros 21
Vocabularioángulo base de un trapecio . . . . 429
base de un trapecio . . . . . . . . . . . 429
cateto de un trapecio . . . . . . . . . . 429
cometa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
cóncavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
lado de un polígono . . . . . . . . . . . 382
paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . 391
polígono regular . . . . . . . . . . . . . . 382
rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
rombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
segmento medio de un trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . 431
trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
trapecio isósceles . . . . . . . . . . . . . 429
vértice de un polígono . . . . . . . . 382
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. El extremo común de dos lados de un polígono es un(a) −−−−
? .
2. Un polígono es −−−−
? si ninguna diagonal contiene puntos en el exterior.
3. Un(a) −−−−
? es un cuadrilátero con cuatro lados congruentes.
4. Cada uno de los lados paralelos de un trapecio se llama −−−−
? .
Indica si cada figura es un polígono. Si es un polígono, identifícala por el número de lados.
5. 6. 7.
Indica si cada polígono es regular o irregular. Indica si es cóncavo o convexo.
8. 9. 10.
Halla cada medida.
11. la suma de las medidas de los ángulos internos de un dodecágono convexo
12. la medida de cada ángulo interno de un polígono regular de 20 lados
13. la medida de cada ángulo externo de un cuadrilátero regular
14. la medida de cada ángulo interno del hexágono ABCDEF
■ Indica si la figura es un polígono. Si es un polígono, identifícala por el número de lados.
Ésta es una figura plana cerrada formada por dos segmentos que se cruzan sólo en sus extremos, por lo tanto, es un polígono. Tiene seis lados, por lo tanto, es un hexágono.
■ Indica si el polígono es regular o irregular. Indica si es cóncavo o convexo.
El polígono es equilátero, pero no es equiangular; por lo tanto, no es regular. Ninguna diagonal contiene puntos en el exterior, por lo tanto, es convexo.
Halla cada medida.
■ la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo de 11 lados
(n - 2) 180° Teor. de la suma de ∠ de un polígono
(11 - 2) 180° = 1620° Sustituye n por 11.
■ la medida de cada ángulo externo de un pentágono regular
suma de. � ext. = 360° Teor. de la suma de ∠ ext. de un polígono
medida de un ∠ ext. = 360° _ 5
= 72°
6-1 Propiedades y atributos de los polígonos (págs. 382–388)
EJERCICIOSE J E M P L O S
22 Guía de estudio: Repaso
En �ABCD, m∠ABC = 79°, BC = 62.4 y BD = 75.Halla cada medida.
15. BE 16. AD
17. ED 18. m∠CDA
19. m∠BCD 20. m∠DAB
WXYZ es un paralelogramo. Halla cada medida.
21. WX 22. YZ
23. m∠W 24. m∠X
25. m∠Y 26. m∠Z
27. Tres vértices de �RSTV son R (-8, 1
) , S
(2, 3
) y V
(-4, -7
) . Halla las coordenadas del vértice T.
28. Escribe una demostración de dos columnas.Dado: GHLM es un paralelogramo.
∠L � ∠JMG
Demuestra: �GJM es isósceles.
■ En �PQRS, m∠RSP = 99°, PQ = 19.8 y RT = 12.3.Halla PT.
−−
PT � −−
RT � → diagonales que forman bisectriz entre síDef. de seg. �Sustituye RT por 12.3.
PT = RTPT = 12.3
JKLM es un paralelogramo. Halla cada medida.
■ LK
−−
JM �
−−
LK � → lados opuestos �Def. de seg. �Sustituye los valores dados.Halla y.
JM = LK2y - 9 = y + 7
y = 16LK = 16 + 7 = 23
■ m∠M
m∠J + m∠M = 180° � → � sup. cons.Sustituye los valores dados.Halla x.
(x + 4) + 3x = 180
x = 44 m∠M = 3 (44) = 132°
6-2 Propiedades de los paralelogramos (págs. 391–397)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Demuestra que el cuadrilátero es un paralelogramo para los valores dados de las variables.
29. m = 13, n = 27 30. x = 25, y = 7
Determina si el cuadrilátero debe ser un paralelogramo. Justifica tu respuesta.
31. 32.
33. Demuestra que el cuadrilátero con los vértices B
(-4, 3
) , D
(6, 5
) , F
(7, -1
) y H
(-3, -3
) es un
paralelogramo.
■ Demuestra que MNPQ es un paralelogramo donde a = 6 y b = 1.6.
MN = 2a + 5 QP = 4a - 7MN = 2 (6) + 5 = 17 QP = 4 (6) - 7 = 17MQ = 7b NP = 2b + 8MQ = 7 (1.6) = 11.2 NP = 2 (1.6) + 8 = 11.2
Como sus lados opuestos son congruentes, MNPQ es un paralelogramo.
■ Determina si el cuadrilátero debe ser un paralelogramo. Justifica tu respuesta.
No. Un par de ángulos opuestos son congruentes, y un par de lados consecutivos son congruentes. No se cumple ninguna de las condiciones para un paralelogramo.
6-3 Condiciones para los paralelogramos (págs. 398–405)
EJERCICIOE J E M P L O S
Capítulo 6 Polígonos y cuadriláteros 23
En el rectángulo JKLM, KM = 52.8 y JM = 45.6.Halla cada longitud.
■ KL
JKLM es un �. Rect. → �� → lados opuestos �KL = JM = 45.6
■ NL
JL = KM = 52.8 Rect. → diagonales �
� → diag. que forman bisectriz entre sí
NL = 1 _ 2
JL = 26.4
■ PQRS es un rombo. Halla m∠QPR, dado quem∠QTR = (6y + 6) ° y m∠SPR = 3y°.
m∠QTR = 90° 6y + 6 = 90
y = 14m∠QPR = m∠SPR Rombo → cada diagonalm∠QPR = 3 (14) ° = 42° forma una bisectriz con �
opuesto
■ Los vértices del cuadrado ABCD son A (5, 0) , B (2, 4) , C (-2, 1) y D (1, -3) . Demuestra que las diagonales del cuadrado ABCD son mediatrices congruentes entre sí.
AC = BD = 5 √
2 Las diag. son �.
El producto de las pendientes es -1, por lo tanto, las diag. son ⊥.
pendiente de −−
AC = -
1 _ 7
pendiente de −−
BD = 7
pto. medio de −−
AC = pto. medio de
−−
BD = (
3 _ 2
, 1 _ 2
)
Las diag. forman una bisectriz entre sí.
6-4 Propiedades de los paralelogramos especiales (págs. 408–415)
EJERCICIOSE J E M P L O S
En el rectángulo ABCD, CD = 18 y CE = 19.8.Halla cada longitud.
34. AB 35. AC
36. BD 37. BE
En el rombo WXYZ, WX = 7a + 1,WZ = 9a - 6 y VZ = 3a. Halla cada medida.
38. WZ 39. XV
40. XY 41. XZ
En el rombo RSTV, m∠TZV = (8n + 18) °y m∠SRV = (9n + 1) °.Halla cada medida.
42. m∠TRS 43. m∠RSV
44. m∠STV 45. m∠TVR
Halla las medidas de los ángulos numerados en cada figura.
46. rectángulo MNPQ 47. rombo CDGH
Demuestra que las diagonales del cuadrado con los vértices dados son mediatrices congruentes entre sí.
48. R (-5, 0
) , S
(-1, -2
) , T
(-3, -6
) y U
(-7, -4
)
49. E (2, 1
) , F
(5, 1
) , G
(5, -2
) y H
(2, -2
)
Determina si la conclusión es válida. Si no lo es, indica qué información adicional se necesita para hacerla válida.
50. Dado: −−
ER ⊥ −−
FS , −−
ER � −−
FS Conclusión: EFRS es un cuadrado.
51. Dado: −−
ER y −−
FS forman una bisectriz entre sí. −−
ER � −−
FS Conclusión: EFRS es un rectángulo.
52. Dado: −−
EF ‖ −−
RS , −−
FR ‖ −−
ES , −−
EF � −−
ES Conclusión: EFRS es un rombo.
■ Determina si la conclusión es válida. Si no lo es, indica qué información adicional se necesita para hacerla válida.
Dado: −−
LP ⊥ −−
KN Conclusión: KLNP es un rombo.
La conclusión no es válida.Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, entonces el paralelogramo es un rombo. Para aplicar este teorema, primero debes saber si KLNP es un paralelogramo.
6-5 Condiciones para paralelogramos especiales (págs. 418–425)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Rombo → diag. ⊥Sustituye el valor dado.Halla y.
24 Guía de estudio: Repaso
Usa las diagonales para indicar si un paralelogramo con los vértices dados es un rectángulo, rombo o cuadrado. Menciona todos los nombres que correspondan.
53. B (-3, 0
) , F
(-2, 7
) , J
(5, 8
) , N
(4, 1
)
54. D (-4, -3
) , H
(5, 6
) , L
(8, 3
) , P
(-1, -6
)
55. Q (-8, -2
) , T
(-6, 8
) , W
(4, 6
) , Z
(2, -4
)
■ Usa las diagonales para indicar si un paralelogramo con los vértices P (-5, 3) , Q (0, 1) , R (2, -4) y S (-3, -2) es un rectángulo, rombo o cuadrado. Da todos los nombres que correspondan.
PR = √
98 = 7 √
2 Fórmula de distanciaFórmula de distanciaQS = √
18 = 3 √
2
Como PR ≠ QS, PQRS no es un rectángulo ni es un cuadrado.
pendiente de −−
PR = 7 _ -7
= -1 Fórmula de pendiente
Fórmula de pendiente pendiente de −−
QS = 3 _ 3
= 1
Como el producto de las pendientes es -1, las diagonales son perpendiculares. PQRS es un rombo.
En la cometa WXYZ, m∠VXY = 58° y m∠ZWX = 50°.Halla cada medida.
56. m∠XYZ 57. m∠ZWV
58. m∠VZW 59. m∠WZY
Halla cada medida.
60. m∠R y m∠S 61. BZ si ZH = 70 y EK = 121.6
62. MN 63. EQ
64. Halla el valor de n para que PQXY sea isósceles.
Menciona el mejor nombre para un cuadrilátero cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas.
65. (-4, 5
) ,
(-1, 8
) ,
(5, 5
) ,
(-1, 2
)
66. (1, 4
) ,
(5, 4
) ,
(5, -4
) ,
(1, -1
)
67. (-6, -1
) ,
(-4, 2
) ,
(0, 2
) ,
(2, -1
)
■ En la cometa PQRS, m∠SRT = 24°, y m∠TSP = 53°. Halla m∠SPT.
�PTS es un triángulo Cometa → diag. ⊥
Los � agudos de � rect. son comp.
rectángulo. m∠SPT + m∠TSP = 90°
m∠SPT + 53 = 90 Sustituye 53 por m∠TSP.Resta 53 de ambos lados. m∠SPT = 37°
■ Halla m∠D.
m∠C + m∠D = 180° Teor. de � internos del mismo ladoSustituye m∠C por 51.Resta.
51 + m∠D = 180 m∠D = 129°
■ En el trapecio HJLN, JP = 32.5 y HL = 50.
Halla PN.
−−
JN � −−
HL JN = HL = 50
JP + PN = JN32.5 + PN = 50
PN = 17.5
■ Halla WZ.
AB = 1 _ 2
(XY + WZ) Teor. de los segmentos medios de un trap.
Sustituye.
Multiplica ambos lados por 2.Halla WZ.
73.5 = 1 _ 2
(42 + WZ)
147 = 42 + WZ
105 = WZ
6-6 Propiedades de las cometas y los trapecios (págs. 427–435)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Trap. isósc. → diag. �Def. de segmentos �
Post. de la suma de los seg.Sustituye.Resta 32.5 de ambos lados.
Capítulo 7 Semejanza 25
Vocabulariodibujo a escala . . . . . . . . . . . . . . . . .489
dilatación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .495
escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .489
factor de escala . . . . . . . . . . . . . . . . .495
medición indirecta . . . . . . . . . . . . . .488
polígonos semejantes . . . . . . . . . . .462
productos cruzados . . . . . . . . . . . . .455
proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455
razón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .454
razón de semejanza . . . . . . . . . . . . .463
semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462
valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . .455
valores medios . . . . . . . . . . . . . . . . .455
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Una ecuación que afirma que dos razones son iguales se llama −−−−
? .
2. Un(a) −−−−
? es una transformación que cambia el tamaño de una figura, pero no su forma.
3. En la proporción u _ v = x _ y , los/las −−−−
? son v y x.
4. Un(a) −−−−
? compara dos números mediante la división.
Escribe una razón que exprese la pendiente de cada línea.
5. m
6. n
7. p
8. Si se divide 84 entre tres partes en la razón 3:5:6, ¿cuál es la suma de la parte más pequeña y la más grande?
9. La razón de las medidas de un par de lados de un rectángulo es 7:12. Si el perímetro del rectángulo es 95, ¿cuál es la longitud de cada lado?
Resuelve cada proporción.
10. y
_ 7
= 9 _ 3
11. 10 _ 4
= 25 _ s
12. x _ 4
= 9 _ x 13. 4 _ z - 1
= z - 1 _ 36
14. 12 _ 2x
= 3x _ 32
15. y + 1
_ 24
= 2 _ 3
(
y + 1)
7-1 Razón y proporción (págs. 454–459)
EJERCICIOSE J E M P L O S■ Escribe una razón que exprese la pendiente de �.
pendiente = _ distancia vert. __ _ distancia horiz. _
= y 2 - y 1
_ x 2 - x 1
= 4 - 2 _ -1 - 3
=
2 _ -4
= -
1 _ 2
■ Resuelve la proporción.
2 _ 4 (x - 3)
= x - 3 _ 50
4 (x - 3) 2 = 2 (50)
Prop. de productos cruzados
Simplifica.
Divide ambos lados entre 4.
Halla la raíz cuadrada de ambos lados.
4 (x - 3) 2 = 100
(x - 3) 2 = 25
x - 3 = ±5
x - 3 = 5 ó x - 3 = -5 Vuelve a escribir como dos ecuac.
Suma 3 en ambos lados.
x = 8 ó x = -2
26 Guía de estudio: Repaso
Determina si los polígonos son semejantes. Si lo son, escribe la razón de semejanza y un enunciado de semejanza.
16. rectángulos JKLM y PQRS
17. �TUV y �WXY
■ Determina si �ABC y �DEF son semejantes. Si lo son, escribe la razón de semejanza y un enunciado de semejanza.
Se sabe que ∠A � ∠D y ∠B � ∠E. ∠C � ∠F según el teorema del tercer ángulo. AB ___ DE
= BC ___ EF
= AC ___ DF
= 2 __ 3 . Por lo tanto, la razón de
semejanza es 2 __ 3 , y �ABC ∼ �DEF.
7-2 Razones en polígonos semejantes (págs. 462–467)
EJERCICIOSE J E M P L O
18. Dado: JL = 1 _ 3
JN, JK = 1 _ 3
JM
Demuestra: �JKL ∼ �JMN
19. Dado: −−
QR ‖ −−
ST
Demuestra: �PQR ∼ �PTS
20. Dado: −−
BD ‖ −−
CE
Demuestra: AB (CE) = AC (BD)
(Pista: después de demostrar la semejanza de los triángulos, busca una proporción usando AB, AC, CE y BD, las longitudes de los lados correspondientes).
■ Dado: −−
AB ‖ −−
CD , AB = 2CD, AC = 2CE
Demuestra: �ABC ∼ �CDE
Demostración:
Enunciados Razones
1. −−
AB ‖ −−
CD
2. ∠BAC � ∠DCE
3. AB = 2CD, AC = 2CE
4. AB ___ CD
= 2, AC ___ CE
= 2
5. AB ___ CD
= AC ___ CE
6. �ABC ∼ �CDE
1. Dado
2. Post. de � corr.
3. Dado
4. Prop. de la div.
5. Prop. transit. de =
6. LAL ∼ (Pasos 2, 5)
7-3 Semejanza entre triángulos: AA, LLL y LAL (págs. 470–477)
EJERCICIOSE J E M P L O
Capítulo 7 Semejanza 27
Halla cada longitud.
21. CE
22. ST
Verifica que los segmentos dados sean paralelos.
23. −−
KL y −−−
MN
24. −−
AB y −−
CD
25. Halla SU y SV.
26. Halla la longitud del tercer lado del �ABC.
27. Un lado de un triángulo mide x pulgadas más que el otro lado. El rayo que forma una bisectriz con el ángulo formado por estos lados divide el lado opuesto en segmentos de 3 pulgadas y 5 pulgadas. Halla el perímetro del triángulo en función de x.
■ Halla PQ.
Se sabe que −−
QR ‖ −−
ST , por lo tanto, PQ
___ QS
= PR ___ RT
según el teorema de proporcionalidad de los triángulos.
PQ
_ 5
= 15 _ 6
Sustituye QS por 5, PR por 15 y RT por 6.
Prop. de productos cruzados
Divide ambos lados entre 6.
6 (PQ
) = 75
PQ = 12.5
■ Verifica que −−
AB ‖ −−
CD .
EC _ CA
= 6 _ 4
= 1.5
ED _ DB
= 4.5 _ 3
= 1.5
Como EC ___ CA
= ED ___ DB
, −−
AB ‖ −−
CD según el recíproco del
teorema de la proporcionalidad de los triángulos.
■ Halla JL y LK.
Como −−
JK forma una bisectriz con ∠LJM, JL ___ LK
= JM ___ MK
según el teorema de la bisectriz de los ángulos de un
triángulo.
3x - 2 _ 2x
= 12.5 _ 10
Sustituye los valores dados.
Prop. de productos cruzados.
Simplifica.Suma 20 a ambos lados.
10 (3x - 2) = 12.5 (2x)
30x - 20 = 25x
30x = 25x + 20
5x = 20 Resta 25x de ambos lados.
Divide ambos lados entre 5.
x = 4
JL = 3x - 2
= 3 (4) - 2 = 10
LK = 2x
= 2 (4) = 8
7-4 Cómo aplicar las propiedades de los triángulos semejantes (págs. 481–487)
EJERCICIOSE J E M P L O S
28 Guía de estudio: Repaso
28. Para hallar la altura de un mástil, Casey midió su propia sombra y la sombra del mástil. Como la altura de Casey es 5 pies y 4 pulg, ¿cuál es la altura x del mástil?
29. Jonathan está a 3 pies de un poste, que mide 12 pies de altura. El poste y su sombra forman los catetos de un triángulo rectángulo. Jonathan mide 6 pies de altura y está parado en paralelo al poste. ¿Cuál es la longitud de la sombra de Jonathan?
■ Usa las dimensiones en el diagrama para hallar la altura h de la torre.
Un estudiante que mide 5 pies y 5 pulgadas midió su sombra y la sombra de una torre para hallar la altura de la torre.
5 pies 5 pulg = 65 pulg 1 pie 3 pulg = 15 pulg 11 pies 3 pulg = 135 pulg
h _ 135
= 65 _ 15
Los lados corr. son proporcionales.
Prop. de productos cruzados.
Simplifica.
Divide ambos lados entre 15.
15h = 65 (135)
15h = 8775
h = 585 pulg
La altura de la torre es 48 pies y 9 pulg.
7-5 Cómo usar relaciones proporcionales (págs. 488–494)
EJERCICIOSE J E M P L O
30. Dado: R (1, -3
) , S
(-1, -1
) , T
(2, 0
) , U
(-3, 1
)
y V (3, 3
)
Demuestra: �RST ∼ �RUV
31. Dado: J (4, 4
) , K
(2, 3
) , L
(4, 2
) , M
(-4, 0
) y
N (4, -4
)
Demuestra: �JKL ∼ �JMN
32. Dado que �AOB ∼ �COD, halla las coordenadas de B y el factor de escala.
33. Representa gráficamente la imagen del triángulo después de una dilatación con el factor de escala dado. Luego, verifica que la imagen sea semejante al triángulo dado. K
(0, 3
) , L
(0, 0
) y M
(4, 0
) con factor de escala 3.
■ Dado: A (5, -4) , B (-1, -2) , C (3, 0) , D (-4, -1) y E (2, 2)
Demuestra: �ABC ∼ �ADE
Demostración: Marca los puntos y traza los triángulos.
Usa la fórmula de distancia para hallar las longitudes de los lados.
AC = 2 √
5 , AE = 3 √
5
AB = 2 √
10 , AD = 3 √
10
Por lo tanto, AB _ AD
= AC _ AE
= 2 _ 3
.
Como los lados correspondientes son proporcionales y ∠A � ∠A b según la propiedad reflexiva, �ABC ∼ �ADE según LAL ∼.
7-6 Dilataciones y semejanzas en el plano cartesiano (págs. 495–500)
EJERCICIOSE J E M P L O
Capítulo 8 Trigonometría y triángulos rectángulos 29
Vocabularioángulo de depresión . . . . . . . . . . 544
ángulo de elevación . . . . . . . . . . . 544
coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
forma de componente . . . . . . . . . 559
magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5601
media geométrica . . . . . . . . . . . . 519
razón trigonométrica . . . . . . . . . 525
seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
vector resultante . . . . . . . . . . . . . . 561
vectores iguales . . . . . . . . . . . . . . . 561
vectores paralelos . . . . . . . . . . . . . 561
6. Escribe un enunciado de semejanza comparando los tres triángulos.
Halla la media geométrica de cada par de números. Si es necesario, da la respuesta en la forma radical más simple.
7. 1 _ 4
y 100 8. 3 y 17
Halla x, y y z.
9. 10.
11.
■ Halla la media geométrica de 5 y 30.
Sea x la media geométrica.
x 2 = (5) (30) = 150 Def. de media geométrica
x = √ ��
150 = 5 √ �
6 Halla la raíz cuadrada positiva.
■ Halla x, y y z.
( √
�
33 ) 2 = 3 (3 + x) √
��
33 es la media geométrica de 3 y 3 + x. 33 = 9 + 3x
24 = 3x
x = 8
y 2 = (3) (8) y es la media geométrica de 3 y 8. y 2 = 24
y = √ �
24 = 2 √ �
6
z 2 = (8) (11) z es la media geométrica de 8 y 11. z 2 = 88
z = √ �
88 = 2 √ �
22
8-1 Semejanza entre triángulos rectángulos (págs. 518–523)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. El/la −−−−
? de un vector indica el cambio horizontal y vertical desde el punto inicial hasta el punto terminal.
2. Dos vectores con la misma magnitud y dirección se llaman −−−−
? .
3. Si a y b son números positivos, entonces √
��
ab es el/la −−−−
? de a y b.
4. Un −−−−
? es el ángulo formado por una línea horizontal y una línea de visión hasta un punto por encima de la línea horizontal.
5. El seno, el coseno y la tangente son ejemplos de un(a) −−−−
? .
Halla cada longitud. Redondea a la centésima más cercana.
12. UV
13. PR
14. XY 15. JL
Halla cada longitud. Redondea a la centésima más cercana.
■ EF
sen 75° = EF _ 8.1
Como están indicados el cateto op. y la hipotenusa, usa una razón de seno.
EF = 8.1 (sen 75°)
EF ≈ 7.82 cm
■ AB
tan 34° = 4.2 _ AB
AB tan 34° = 4.2 Como están indicados los catetos adyacentes y opuestos, usa una razón de tangente.
AB = 4.2 _ tan 34°
AB ≈ 6.23 pulg
8-2 Razones trigonométricas (págs. 525–532)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla las medidas desconocidas. Redondea las longitudes a la centésima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.
16.
17.
18. 19.
■ Halla las medidas desconocidas en �LMN. Redondea las longitudes a la centésima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. Por lo tanto, m∠N = 90° - 61° =29°.
sen L =
MN_LN
Escribe una razón trigonométrica.
Sustituye los valores dados.
Halla LN.
Escribe una razón trigonométrica.
Sustituye los valores dados.
Halla LM.
sen 61° = 8.5 _ LN
LN =
8.5_sen 61°
≈ 9.72
tan L = MN _ LM
tan 61° =
8.5_LM
LM = 8.5 _ tan 61°
≈ 4.71
8-3 Cómo resolver triángulos rectángulos (págs. 534–541)
EJERCICIOSE J E M P L O
30 Guía de estudio: Repaso
Capítulo 8 Trigonometría y triángulos rectángulos 31
Clasifica cada ángulo como un ángulo de elevación o un ángulo de depresión.
20. ∠1 21. ∠2
22. Cuando el ángulo de elevación al Sol es 82°, un monumento proyecta una sombra que mide 5.1 pies de largo. ¿Cuál es la altura del monumento redondeada al pie más cercano?
23. Un guardabosque en una torre mirador detecta un incendio a la distancia. El ángulo de depresión hasta el incendio es de 4° y la torre mirador mide 32m de altura. ¿Cuál es la distancia horizontal hasta el incendio? Redondea al metro más cercano.
■ Un piloto en un avión detecta un incendio forestal en tierra a un ángulo de depresión de 71°. La altitud del avión es 3000 pies. ¿Cuál es la distancia horizontal desde el avión hasta el incendio? Redondea al pie más cercano.
tan 71° = 3000 _ XF
XF = 3000 _ tan 71°
XF ≈ 1033 pies
■ Un buzo está nadando a una profundidad de 63 pies por debajo del nivel del mar. Ve una boya flotando a nivel del mar a un ángulo de elevación de 47°. ¿Cuánto debe nadar el buzo para quedar directamente debajo de la boya? Redondea al pie más cercano.
tan 47° = 63 _ XD
XD = 63 _ tan 47°
XD ≈ 59 pies
8-4 Ángulos de elevación y depresión (págs. 544–549)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla cada medida. Redondea las longitudes a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.
24. m∠Z
25. MN
Halla cada medida. Redondea las longitudes a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.
■ m∠B
sen B _ AC
= sen C _ AB
Ley de los senos
Sustituye los valores dados.
Multiplica ambos lados por 6.
sen B _ 6
= sen 88° _ 8
sen B = 6 sen 88° _ 8
m∠B = sen -1
(
6 sen 88° _ 8
)
≈ 49°
8-5 Ley de los senos y ley de los cosenos (págs. 551–558)
EJERCICIOSE J E M P L O S
32 Guía de estudio: Repaso
Escribe cada vector en forma de componente.
28. ⎯⎯⎯� AB con A (5, 1
) y B
(-2, 3
)
29. ⎯⎯⎯⎯� MN con M (-2, 4
) y N
(-1, -2
)
30. ⎯⎯⎯� RS
Traza cada vector en un plano cartesiano. Halla su magnitud a la décima más cercana.
31. ⟨-5, -3⟩
32. ⟨-2, 0⟩
33. ⟨4, -4⟩
Traza cada vector en un plano cartesiano. Halla la dirección del vector al grado más cercano.
34. El vector ⟨4, 5⟩ da la velocidad de un helicóptero.
35. El vector ⟨7, 2⟩ da la fuerza que usa un bote
remolcador.
36. Un avión vuela a una velocidad constante de 600 mi/h con rumbo N 55° E. Hay viento cruzado que sopla hacia el este a 50 mi/h. ¿Cuáles son la velocidad y la dirección reales del avión? Redondea la velocidad a la décima más cercana y la dirección al grado más cercano.
■ Traza el vector ⟨-1, 4⟩ en un plano cartesiano. Halla su magnitud a la décima más cercana.
⎪
⟨-1, 4⟩
⎥
= √
�����
(-1) 2 + (4) 2
= √ �
17 ≈ 4.1
■ El vector ⟨4, 3⟩. Da la velocidad de un avión a chorro. Traza el vector en un plano cartesiano. Halla la dirección del vector al grado más cercano.
En el �PQR, tan P = 3 _ 4
, por lo tanto
m∠P = tan -1 (
3 _ 4
)
≈ 37°.
■ Susan cruza nadando un río con rumbo N 75° E a una velocidad de 0.5 mi/h. La corriente del río fluye hacia el este a 1 mi/h. Halla la velocidad real de Susan a la décima más cercana y su dirección al grado más cercano.
cos 15° = x _
0.5 , por lo tanto,
x ≈ 0.48.
sen 15° = y _
0.5 , por lo tanto,
y ≈ 0.13.
El vector de Susan es ⟨0.48, 0.13⟩. La corriente es ⟨1, 0⟩. La velocidad real de Susan es la magnitud del vector resultante, ⟨1.48, 0.13⟩.
⎪
⟨1.48, 0.13⟩
⎥
= √
�������
(1.48) 2 + (0.13) 2 ≈ 1.5 mi/h
Su dirección es tan -1 (
0.13 _ 1.48
)
≈ 5°, o N 85° E.
8-6 Vectores (págs. 559–567)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla cada medida. Redondea las longitudes a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.
■ HJ
Usa la ley de los cosenos.
HJ 2 = GH 2 + G J 2 - 2 (GH) (GJ) cos G
=1 0 2 + 1 1 2 - 2 (10 ) (11 ) cos 32°
H J 2 ≈ 34.4294 Simplifica.
Halla la raíz cuadrada. HJ ≈ 5.9
Halla cada medida. Redondea las longitudes a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.
26. EF
27. m∠Q
Capítulo 9 Cómo extender el perímetro, la circunferencia y el área 33
Vocabularioángulo central de un polígono regular . . . . 601
apotema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
centro de un círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
centro de un polígono regular . . . . . . . . . . . 601
círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
figura compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
probabilidad geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 630
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un(a) −−−−
? es la longitud de un segmento perpendicular a un lado de un polígono regular.
2. El punto equidistante de todos los puntos en un círculo es el/la −−−−
? .
3. El/la −−−−
? se basa en una razón de medidas geométricas.
Halla cada medida.
4. el área de un cuadrado en el que P = 36 pulg
5. el perímetro de un rectángulo en el que b = 4 cm y A = 28 cm 2
6. la altura de un triángulo en el que A = 6 x 3 y pulg 2 y b = 4xy pulg
7. la altura de un trapecio en el que A = 48xy pies 2
8. el área de un rombo en el que d 1 = 21 yd y d 2 = 24 yd
9. la diagonal d 2 del rombo en el que A = 630 x 3 y 7 pulg 2
10. el área de una cometa en la que d 1 = 32 m y d 2 = 18 m
Halla cada medida.
■ el perímetro de un cuadrado en el que A = 36 pulg 2
A = s 2 = 36 pulg 2 Usa la fórmula del área para hallar la longitud del lado.
S = √ �
36 = 6 pulg
P = 4s = 4 � 6 = 24 pulg
■ el área del triángulo
Según el teorema de Pitágoras,
8 2 + b 2 = 17 2
64 + b 2 = 289
b 2 = 225, por lo tanto, b = 15 pies.
A = 1 _ 2
bh = 1 _ 2
(15) (8) = 60 pies 2
■ la diagonal d 2 de un rombo en el que A = 6 x 3 y 3 m y d 1 = 4 x 2 y m
A = 1 _ 2
d 1 d 2
6 x 3 y 3 = 1 _ 2
(4 x 2 y
) d 2 Sustituye los valores dados.
Halla d 2 . d 2 = 3x y 2
9-1 Cómo desarrollar fórmulas para triángulos y cuadriláteros (págs. 589–597)
EJERCICIOSE J E M P L O S
34 Guía de estudio: Repaso
Halla cada medida. Redondea a la décima más cercana si es necesario.
11. la circunferencia de �G
12. el área de �J en el que C = 14π yd
13. el diámetro de �K en el que A = 64 x 2 π m 2
14. el área de un pentágono regular con lados cuya longitud es 10 pies
15. el área de un triángulo equilátero con lados cuya longitud es 4 pulgadas
16. el área de un octágono regular con lados cuya longitud es 8 cm
17. el área del cuadrado
Halla cada medida.
■ la circunferencia y el área de
�B en función de π
C = 2πr = 2π (
5xy)
= 10xyπ m
A = π r 2 = π (
5xy)
2 = 25 x 2 y 2 π m 2
■ el área, a la décima más cercana, de un hexágono regular con una apotema de 9 yd.
Según el teorema del triángulo
30°-60°-90°, x = 9 √ �
3 ____ 3 = 3 √
� 3 .
Por lo tanto, s = 2x = 6 √ �
3 , y
P = 6 (6 √ �
3 ) = 36 √ �
3 .
A = 1 _ 2
aP = 1 _ 2
(9) (36 √ �
3 ) = 162 √ �
3 ≈ 280.6 yd 2
9-2 Cómo desarrollar fórmulas para círculos y polígonos regulares (págs. 600–605)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla el área sombreada. Redondea a la décima más cercana si es necesario.
18. 19.
20.
■ Halla el área sombreada. Redondea a la décima más cercana si es necesario.
El área del triángulo es
A = 1 _ 2
(18) (20) = 180 cm 2 .
El área del paralelogramo es
A = bh = 20 (10) = 200 cm 2 .
El área de la figura es la suma de las dos áreas.180 + 200 = 380 cm 2
9-3 Figuras compuestas (págs. 606–612)
EJERCICIOSE J E M P L O
Capítulo 9 Cómo extender el perímetro, la circunferencia y el área 35
Estima el área de cada figura irregular.
21.
22.
Traza y clasifica el polígono con los vértices dados. Halla el perímetro y el área del polígono.
23. H (0, 3
) , J
(3, 0
) , K
(0, -3
) , L
(-3, 0
)
24. M (-2, 5
) , N
(3, -2
) , P
(-2, -2
)
25. A (-2, 3
) , B
(2, 3
) , C
(4, -1
) , D
(-4, -1
)
26. E (-1, 3
) , F
(3, 3
) , G
(1, 0
) , H
(-3, 0
)
Halla el área del polígono con los vértices dados.
27. Q (1, 4
) , R
(4, 3
) , S
(2, -4
) , T
(-3, -2
)
28. V (-2, 2
) , W
(4, 0
) , X
(2, -3
) , Y
(-3, 0
)
29. A (1, 4
) , B
(2, 3
) , C
(0, -3
) , D
(-2, -1
)
30. E (-1, 2
) , F
(2, 0
) , G
(1, -3
) , H
(-4, -1
)
■ Estima el área de la figura irregular.
La figura abarca aproximadamente 28 cuadrados completos y 17 mitades de cuadrados. El área total es aproximadamente 28
+ 1 _ 2
(17) = 36.5 undades 2 .
■ Traza y clasifica los polígonos con los vértices R (2, 4) , S (3, 1) , T (2, -2) y U (1, 1) . Halla el perímetro y el área del polígono.
RSTU parece ser un rombo.
Verifícalo demostrando que los cuatro lados son congruentes. Según la fórmula de distancia, UR = RS = ST = TU = √
� 10 unidades.
El perímetro es 4 √ �
10 unidades
El área es A = 1 _ 2
d 1 d 2 = 1 _ 2
US � RT = 1 _ 2
(2 � 6) = 6 unidades 2 .
■ Halla el área del polígono con los vértices A (-3, 4) , B (2, 3) , C (0, -2) y D (-5, -1) .
área del rectángulo:
7 (6) = 42 unidades 2
área de los triángulos:
a: A = 1 _ 2
(2) (5)
= 5 unidades 2
b: A = 1 _ 2
(5) (1)
= 2.5 unidades 2
c: A = 1 _ 2
(2) (5) = 5 unidades 2
d: A = 1 _ 2
(5) (1) = 2.5 unidades 2
área del polígono: A = 42 - 5 - 2.5 - 5 - 2.5 = 27 unidades 2
9-4 Perímetro y área en el plano cartesiano (págs. 616–621)
EJERCICIOSE J E M P L O S
36 Guía de estudio: Repaso
Describe el efecto de cada cambio sobre el perímetro o la circunferencia y el área de la figura dada.
31. Se triplican la base y la altura del triángulo con vérticesX
(-1, 3
) , Y
(-3, -2
) y Z
(2, -2
)
32. Se duplica longitud de los lados del cuadrado con vértices P
(-1, 1
) , Q
(3, 1
) , R
(3, -3
) y S
(-1, -3
)
33. El radio de �A con un radio de 11 m se
multiplica por 1 _ 2
.
34. La base y la altura de un triángulo con base de 8 pies y altura de 20 pies se multiplican por 4.
■ Se duplican la base y la altura de un rectángulo con base de 10 cm y altura de 15 cm. Describe el efecto en el área y el perímetro de la figura.
original: P = 2b + 2h = 2 (10) + 2 (15) = 50 cm
A = bh = 10 (15) = 150 cm 2
duplicado: P = 2b + 2h = 2 (20) + 2 (30) = 100 cm
A = bh = 20 (30) = 600 cm 2
El perímetro aumenta por un factor de 2. El área aumenta por un factor de 4.
9-5 Efectos de cambiar dimensiones de manera proporcional (págs. 622–627)
EJERCICIOSE J E M P L O
Se elige al azar un punto en −−
AD . Halla la probabilidad de cada suceso.
35. El punto está en −−
AB .
36. El punto no está en −−
CD .
37. El punto está en −−
AB o −−
CD .
38. El punto está en −−
BC o −−
CD .
Halla la probabilidad de que un punto elegido al azar dentro del rectángulo de 40 m por 24 m esté dentro de cada figura. Redondea a la centésima más cercana.
39. el hexágono regular
40. el triángulo
41. el círculo o el triángulo
42. dentro del rectángulo, pero no dentro del hexágono, triángulo o círculo
Se elige al azar un punto en −−
WZ . Halla la probabilidad de cada suceso.
■ El punto está en −−
XZ .
P (XZ) = XZ _ WZ
= 15 _ 18
= 5 _ 6
■ El punto está en −−−
WX o −−
YZ .
P ( −−−
WX o −−
YZ ) = P ( −−−
WX ) + P ( −−
YZ ) = 3 _ 18
+ 7 _ 18
= 10 _ 18
= 5 _ 9
■ Halla la probabilidad de que un punto elegido al azar dentro del rectángulo esté dentro del triángulo equilátero.
área del rectángulo
A = bh = 20 (10) = 200 pies 2
área del triángulo
A = 1 _ 2
aP = 1 _ 2
(
5 √
� 3 _
3
)
(30) = 25 √ �
3 ≈ 43.3 pies 2
P = 43.3 _ 200
≈ 0.22
9-6 Probabilidad geométrica (págs. 630–636)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Capítulo 10 Razonamiento espacial 37
Vocabularioaltura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
altura de un cono . . . . . . . . . . . . . 690
altura de una pirámide . . . . . . . . 689
altura inclinada de un cono recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
altura inclinada de una pirámide regular . . . . . . . . . . . 689
área total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
arista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
arista lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
cara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
cara lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
centro de una esfera . . . . . . . . . . 714
cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
cilindro oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . 681
cilindro recto . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
círculo máximo . . . . . . . . . . . . . . . 714
cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
cono oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
cono recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
dibujo en perspectiva . . . . . . . . . 662
dibujo isométrico . . . . . . . . . . . . . 662
dibujo ortográfico . . . . . . . . . . . . 661
eje de un cilindro . . . . . . . . . . . . . 681
eje de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . 690
esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
hemisferio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
pirámide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
pirámide regular . . . . . . . . . . . . . . 689
plantilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
poliedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
prisma oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . 680
prisma recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
punto de fuga . . . . . . . . . . . . . . . . 662
radio de una esfera . . . . . . . . . . . 714
sección transversal . . . . . . . . . . . 656
superficie lateral . . . . . . . . . . . . . . 681
vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
vértice de un cono . . . . . . . . . . . . 690
vértice de una pirámide . . . . . . . 689
volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un(a) −−−−
? tiene, por lo menos, una cara lateral no rectangular.
2. Un nombre que se da a la intersección de una figura tridimensional y un plano es −−−−
? .
Clasifica cada figura. Identifica los vértices, las aristas y bases.
3. 4.
Describe la figura tridimensional que se puede formar con la plantilla dada.
5. 6.
■ Clasifica la figura. Identifica los vértices, las aristas y bases.
prisma pentagonal
vértices: A, B, C, D, E, F, G, H, J, K
aristas: −−
AB , −−
BC , −−
CD , −−
DE , −−
AE , −−
FG , −−−
GH , −−
HJ , −−
JK , −−
KF , −−
AF , −−
EK , −−
DJ , −−
CH , −−
BG
bases: ABCDE, FGHJK
■ Describe la figura tridimensional que se puede formar con la plantilla dada.
La plantilla forma un prisma rectangular.
10-1 Geometría de cuerpos geométricos (págs. 654–660)
EJERCICIOSE J E M P L O S
38 Guía de estudio: Repaso
Halla la cantidad de vértices, aristas y caras de cada poliedro. Usa tus resultados para verificar la fórmula de Euler.
13. 14.
Halla la distancia entre los puntos dados. Halla el punto medio del segmento con los extremos dados. Redondea a la décima más cercana si es necesario.
15. (2, 6, 4
) y
(7, 1, 1
)
16. (0, 3, 0
) y
(5, 7, 8
)
17. (7, 2, 6
) y
(9, 1, 5
)
18. (6, 2, 8
) y
(2, 7, 4
)
■ Halla la cantidad de vértices, aristas y caras del poliedro dado. Usa tus resultados para verificar la fórmula de Euler.
V = 12, E = 18, F = 8
12 - 18 + 8 = 2
■ Halla la distancia entre los puntos (6, 3, 4) y (2, 7, 9) . Halla el punto medio del segmento con los extremos dados. Redondea a la décima más cercana si es necesario.
distancia:
d = √
������������
(2 - 6) 2 + (7 - 3) 2 + (9 - 4) 2
= √
�
57 ≈ 7.5
punto medio:
M (
6 + 2
_ 2
, 3 + 7
_ 2
, 4 + 9
_ 2
)
M (4, 5, 6.5
)
10-3 Fórmulas en tres dimensiones (págs. 670–677)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Usa la figura compuesta de cubos individuales para los Ejercicios del 7 al 10. Haz de cuenta que no hay cubos escondidos.
7. Dibuja las seis vistas ortográficas.
8. Dibuja una vista isométrica.
9. Dibuja el objeto en perspectiva de un punto.
10. Dibuja el objeto en perspectiva de dos puntos.
Determina si cada dibujo representa el objeto dado. Haz de cuenta que no hay cubos escondidos.
11. 12.
■ Dibuja las seisvistas ortográficas del objeto dado. Haz de cuenta que no hay cubos escondidos.
Superior: Inferior:
Frontal: Trasera:
Lado izquierdo: Lado derecho:
■ Dibuja una vista isométrica del objeto dado. Haz de cuenta que no hay cubos escondidos.
10-2 Representaciones de figuras tridimensionales (págs. 661–668)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Capítulo 10 Razonamiento espacial 39
Halla el área lateral y el área total de cada prisma o cilindro recto. Redondea a la décima más cercana si es necesario.
19.
20. un cubo con lados con longitud de 5 pies
21. un prisma triangular equilátero con una altura de 7 m y longitudes de aristas de la base de 6 m
22. un prisma pentagonal regular con una altura de 8 cm y una longitud de aristas de la base de 4 cm
Halla el área lateral y el área total de cada cilindro o prisma recto.
■
L = Ph = 28 (10) = 280 pulg 2
S = Ph + 2B = 280 + 2 (49) = 378 pulg 2
■ un cilindro con un radio de 8 m y una altura de 12 m
L = 2πrh = 2π (8) (12) = 192π ≈ 603.2 m 2
S = L + 2B = 192π + 2π (8) 2 = 320π
≈ 1005.3 m 2
10-4 Área total de prismas y cilindros (págs. 680–687)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla el área lateral y el área total de cada pirámide recta o cono recto.
23. una pirámide cuadrada con lados con longitud de 15 pies y una altura inclinada de 21 pies
24. un cono con un radio de 7 m y una altura de 24 m
25. un cono con un diámetro de 20 pulg y una altura inclinada de 15 pulg
Halla el área total de cada figura compuesta.
26. 27.
Halla el área lateral y el área total de cada pirámide o cono recto.
■
El radio es 8m, por lo tanto, la altura inclinada es
√
����
8 2 + 15 2 = 17 m.
L = πr� = π (8) (17) = 136π m 2
S = πr� + π r 2 = 136π + (8) 2 π = 200π m 2
■ una pirámide hexagonal regular cuyas aristas de la base miden 8 pulg y cuya altura inclinada es 20 pulg.
L = 1 _ 2
P� = 1 _ 2
(48) (20) = 480 pulg 2
S = L + B = 480 + 1 _ 2
(4 √
�
3 ) (48) ≈ 646.3 pulg 2
10-5 Área total de pirámides y conos (págs. 689–696)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla el volumen de cada prisma.
28. 29.■ Halla el volumen
del prisma.
V = Bh = (
1 _ 2
aP)
h
= 1 _ 2
(4 √
�
3 ) (48) (12)
= 1152 √
�
3 ≈ 1995.3 cm 3
10-6 Volumen de prismas y cilindros (págs. 697–704)
EJERCICIOSE J E M P L O S
40 Guía de estudio: Repaso
Halla el volumen de cada cilindro.
30. 31. ■ Halla el volumen del cilindro.
V = π r 2 h = π (6) 2 (14)
= 504π ≈ 1583.4 pies 3
■ Halla el volumen de la pirámide.
V = 1 _ 3
Bh = 1 _ 3
(8 · 3) (14)
= 112 pulg 3
■ Halla el volumen del cono.
V = 1 _ 3
π r 2 h = 1 _ 3
π (9) 2 (16)
= 432π pies 3 ≈ 1357.2 pies 3
10-7 Volumen de pirámides y conos (págs. 705–712)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla el volumen de cada pirámide o cono.
32. una pirámide hexagonal con un área de base de 42 m 2 y una altura de 8 m
33. una pirámide triangular equilátera con aristas de base de 3 cm y una altura de 8 cm
34. un cono con un diámetro de 12 cm y una altura de 10 cm
35. un cono con un área de base de 16π pies 2 y una altura de 9 pies
Halla el volumen de cada figura compuesta.
36. 37.
Halla cada medida. Da tus respuestas en función de π.
38. el volumen de una esfera con un área total de 100 π m 2
39. el área total de una esfera con un volumen de 288π pulg 3
40. el diámetro de una esfera con un área total de 256π pies 2
Halla el área total y el volumen de cada figura compuesta.
41. 42.
■ Halla el volumen y el área total de la esfera. Da tus respuestasen función de π.
V = 4 _ 3
π r 3 = 4 _ 3
π (9) 3 = 972π m 2
S = 4π r 2 = 4π (9) 2 = 324π m 2
10-8 Esferas (págs. 714–721)
EJERCICIOSE J E M P L O
Capítulo 11 Círculos 41
Vocabularioángulo central . . . . . . . . . . . . . . . . 756
ángulo inscrito . . . . . . . . . . . . . . . 772
arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
arco abarcado . . . . . . . . . . . . . . . . 772
arco mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
arco menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
arcos adyacentes . . . . . . . . . . . . . 757
arcos congruentes . . . . . . . . . . . . 757
círculos concéntricos . . . . . . . . . 747
círculos congruentes . . . . . . . . . . 747
círculos tangentes . . . . . . . . . . . . 747
cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
exterior de un círculo . . . . . . . . . 746
interior de un círculo . . . . . . . . . 746
longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . 766
punto de tangencia . . . . . . . . . . . 746
secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
sector de un círculo . . . . . . . . . . . 764
segmento de un círculo . . . . . . . 765
segmento secante . . . . . . . . . . . . . 793
segmento secante externo . . . . . 793
segmento tangente . . . . . . . . . . . 794
semicírculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
subtender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772
tangente común . . . . . . . . . . . . . . 748
tangente de un círculo . . . . . . . . 746
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un(a) −−−−
? es una región limitada por un arco y una cuerda.
2. Un ángulo cuyo vértice está en el centro de un círculo se llama −−−−
? .
3. La medida de un(a) −−−−
? es 360° menos la medida de su ángulo central.
4. Los/las −−−−
? son círculos coplanares con el mismo centro.
Identifica cada línea o segmento que se interseca con cada círculo.
5. 6.
Dadas las medidas de los siguientes segmentos que son tangentes a un círculo, halla cada longitud.
7. AB = 9x - 2 y BC = 7x + 4. Halla AB.
8. EF = 5y + 32 y EG = 8 - y. Halla EG.
9. JK = 8m - 5 y JL = 2m + 4. Halla JK.
10. WX = 0.8x + 1.2 y WY = 2.4x. Halla WY.
■ Identifica cada línea o segmento que se interseca con �A.
cuerda: −−
DE
tangente: � �� BC
radios: −−
AE , −−
AD y −−
AB
secante: � �� DE
diámetro: −−
DE
■ −−
RS y −−
RW son tangentes a �T. RS = x + 5 y RW = 3x - 7. Halla RS.
RS = RW 2 seg. tangentes a � desde el mismo pto. ext. → seg. �.Sustituye los valores dados.Resta 3x de ambos lados.Resta 5 de ambos lados.Divide ambos lados entre -2.Sustituye y por 6.Simplifica.
x + 5 = 3x - 7-2x + 5 = -7
-2x = -12x = 6
RS = 6 + 5 = 11
11-1 Líneas que se intersecan con círculos (págs. 746–754)
EJERCICIOSE J E M P L O S
42 Guía de estudio: Repaso
Halla cada medida.
11. m � KM
12. m � HMK
13. m � JK
14. m � MJK
Halla cada longitud a la décima más cercana.
15. ST 16. CD
Halla cada medida.
■ m � BF
∠BAF y ∠FAE son suplementarios, por lo tanto, m∠BAF = 180° - 62° = 118°.m � BF = m∠BAF = 118°
■ m � DF
Como m∠DAE = 90°, m � DE = 90°. m∠EAF = 62°, por lo tanto, m � EF = 62°. Según el postulado de la suma de arcos,
m � DF = m � DE + m � EF = 90° + 62° = 152°.
11-2 Arcos y cuerdas (págs. 756–763)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla el área de cada sector. Da tu respuesta en función de π y redondéala a la centésima más cercana.
17. sector DEF 18. sector JKL
Halla cada longitud de arco. Da tu respuesta en función de π y redondéala a la centésima más cercana.
19. � GH 20. � MNP
■ Halla el área del sector PQR. Da tu respuesta en función de π y redondéala a la centésima más cercana.
A = π r 2 (
m° _ 360°
)
= π (4) 2 (
135° _ 360
)
= 16π (
3 _ 8
)
= 6π m 2
≈ 18.85 m 2
■ Halla la longitud de � AB . Da tu respuesta en función de π y redondéala a la centésima más cercana.
L = 2πr (
m° _ 360°
)
= 2π (9) (
80° _ 360°
)
= 18π (
4 _ 9
)
= 8π pies
≈ 25.13 pies
11-3 Área de sectores y longitud de arcos (págs. 764–769)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Capítulo 11 Círculos 43
Halla cada medida.
21. m � JL
22. m∠MKL
Halla cada valor.
23. x
24. m∠RSP
Halla cada medida.
■ m∠ABD
Según el teorema del ángulo inscrito,
m∠ABD = 1 __ 2 m � AD , por lo tanto,
m∠ABD = 1 __ 2 (108°) = 54°.
■ m � BE
Según el teorema del ángulo inscrito, m∠BAE = 1 __
2 m � BE . Por lo tanto, 28° = 1 __
2 m � BE ,
y m � BE = 2 (28°) = 56°.
11-4 Ángulos inscritos (págs. 772–779)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla cada medida.
25. m � MR
26. m∠QMR
27. m∠GKH
28. Una pieza artística de cordel se crea colocando 16 clavos con espacios iguales entre sí alrededor de la circunferencia de un círculo. Se pasa un trozo de cordel de A a B a C a D. ¿Cuánto mide m∠BXC?
Halla cada medida.
■ m∠UWX
m∠UWX = 1 _ 2
m � UW
= 1 _ 2
(160°)
= 80°
■ m � VW
Como m∠UWX = 80°, m∠UWY = 100° y m∠VWY = 50°. m∠VWY = 1 __
2 m � VW .
Por lo tanto, 50° = 1 __ 2 m � VW y m � VW = 2 (50°) = 100°.
■ m∠AED
m∠AED = 1 _ 2
(m � AD + m � BC )
= 1 _ 2
(31° + 87°)
= 1 _ 2
(118°)
= 59°
11-5 Relaciones de ángulos en círculos (págs. 782–789)
EJERCICIOSE J E M P L O S
44 Guía de estudio: Repaso
Halla el valor de la variable y la longitud de cada cuerda.
29. 30.
Halla el valor de la variable y la longitud de cada segmento secante.
31. 32.
■ Halla el valor de x y la longitud de cada cuerda.
AE � EB = DE
� EC
12x = 8 (6)
12x = 48
x = 4
AB = 12 + 4 = 16
DC = 8 + 6 = 14
■ Halla el valor de x y la longitud cada segmento secante.
FJ � FG = FK
� FH
16 (4) = (6 + x) 6
64 = 36 + 6x
28 = 6x
x = 4 2 _ 3
FJ = 12 + 4 = 16
FK = 4 2 _ 3
+ 6 = 10 2 _ 3
11-6 Relaciones de segmentos en círculos (págs. 792–798)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Escribe la ecuación de cada círculo.
33. �A con centro (-4, -3
) y radio 3
34. �B que pasa por (-2, -2
) y tiene el centro B
(-2, 0
)
35. �C
36. Representa gráficamente (x + 2) 2 + (
y - 2)
2 = 1.
■ Escribe la ecuación del �A que pasa por (-1, 1) y tiene centro A (2, 3) .
La ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio r es (x - h)
2 +
(
y - k)
2 = r 2 .
r = √
(2 - (-1) )
2 + (3 - 1) 2 = √
3 2 + 2 2 = √
13
La ecuación del �A es (x - 2) 2 + (
y - 3)
2 = 13.
■ Representa gráficamente (x - 2) 2 + (y + 1) 2 = 4.
El centro del círculo es (2, -1
) y el radio es √
4 = 2.
11-7 Círculos en el plano cartesiano (págs. 799–805)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Capítulo 12 Cómo extender la geometría transformacional 45
Vocabularioagrandamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873
centro de dilatación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873
composición de transformaciones . . . . . . . . . . . . 848
reflexión con deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848
eje de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
isometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824
patrón de friso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873
simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
simetría axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
simetría de reflexión con deslizamiento . . . . . . . 863
simetría de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857
simetría de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
teselado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
teselado regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864
teselado semirregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un(a) −−−−
? es un patrón formado por polígonos regulares congruentes.
2. Un patrón que tiene simetría de traslación a lo largo de una línea se llama −−−−
? .
3. Una transformación que no cambia el tamaño o forma de una figura es un(a) −−−−
? .
4. Una transformación seguida de otra se llama −−−−
? .
Indica si cada transformación parece ser una reflexión.
5. 6.
7. 8.
Refleja la figura con los vértices dados sobre la línea dada.
9. E (-3, 2
) , F
(0, 2
) , G
(-2, 5
) ; eje x
10. J (2, -1
) , K
(4, -2
) , L
(4, -3
) , M
(2, -3
) ; eje y
11. P (2, -2
) , Q
(4, -2
) , R
(3, -4
) ; y = x
12. A (2, 2
) , B
(-2, 2
) , C
(-1, 4
) ; y = x
■ Refleja la figura con los vértices dados sobre la línea dada.
A (1, -2) , B (4, -3) , C (3, 0) ; y = x
Para reflejar sobre la línea y = x, intercambia las coordenadas x e y de cada punto. Las imágenes de los vértices son A'
(-2, 1
) , B'
(-3, 4
) y C'
(0, 3
) .
12-1 Reflexiones (págs. 824–830)
EJERCICIOSE J E M P L O
46 Guía de estudio: Repaso
Indica si cada transformación parece ser una traslación.
13. 14.
15. 16.
Traslada la figura con los vértices dados a lo largo del vector dado.
17. R (1, -1
) , S
(1, -3
) , T
(4, -3
) , U
(4, -1
) ; ⟨-5, 2⟩
18. A (-4, -1
) , B
(-3, 2
) , C
(-1, -2
) ; ⟨6, 0⟩
19. M (1, 4
) , N
(4, 4
) , P
(3, 1
) ; ⟨-3, -3⟩
20. D (3, 1
) , E
(2, -2
) , F
(3, -4
) , G
(4, -2
) ; ⟨-6, 2⟩
■ Traslada la figura con los vértices dados a lo largo del vector dado.
D (-4, 4) , E (-4, 2) , F (-1, 1) , G (-2, 3) ; ⟨5, -5⟩
Para trasladar a lo largo de ⟨5, -5⟩, suma 5 a la coordenada x de cada punto y suma -5 a la coordenada y de cada punto. Los vértices de la imagen son D'
(1, -1
) , E'
(1, -3
) , F'
(4, -4
) y
G' (3, -2
) .
12-2 Traslaciones (págs. 831–837)
EJERCICIOSE J E M P L O
Indica si cada transformación parece ser una rotación.
21. 22.
23. 24.
Rota la figura con los vértices dados alrededor del origen usando el ángulo de rotación dado.
25. A (1, 3
) , B
(4, 1
) , C
(4, 4
) ; 90°
26. A (1, 3
) , B
(4, 1
) , C
(4, 4
) ; 180°
27. M (2, 2
) , N
(5, 2
) , P
(3, -2
) , Q
(0, -2
) ; 90°
28. G (-2, 1
) , H
(-3, -2
) , J
(-1, -4
) ; 180°
■ Rota la figura con los vértices dados alrededor del origen usando el ángulo de rotación dado.
A (-2, 0) , B (-1, 3) , C (-4, 3) ; 180°
Para rotar la figura 180°, halla los opuestos de las coordenadas x e y de cada punto. Los vértices de la imagen son A'
(2, 0
) , B'
(1, -3
) y C'
(4, -3
) .
12-3 Rotaciones (págs. 839–845)
EJERCICIOSE J E M P L O
Capítulo 12 Cómo extender la geometría transformacional 47
Traza el resultado de la composición de isometrías.
29. Traslada ABCD a lo largo de �
v , y luego, refléjalo sobre la línea m.
30. Refleja �JKL sobre la línea m y luego, rótalo 90° alrededor del punto P.
■ Traza el resultado de la composición de isometrías.
Traslada el �MNP a lo largo de � v , y luego, refléjalo
sobre la línea �.
Primero traza �M'N'P', la imagen de traslación de �MNP. Luego, refleja �M'N'P' sobre la línea � para hallar la imagen final, �M''N''P''.
12-4 Composiciones de transformaciones (págs. 848–853)
EJERCICIOSE J E M P L O
Indica si cada figura tiene simetría axial. Si la tiene, copia la figura y traza todos los ejes de simetría.
31. 32.
Indica si cada figura tiene simetría de rotación. Si la tiene, da el ángulo de simetría de rotación y el orden de simetría.
33. 34.
35. 36.
Indica si cada figura tiene simetría de rotación. Si la tiene, da el ángulo de simetría de rotación y el orden de la simetría.
■
no tiene simetría rotacional
■
La figura coincide consigo misma cuando se rota 90°. Por lo tanto, el ángulo de simetría de rotación es de 90°. El orden de simetría es 4.
12-5 Simetría (págs. 856–862)
EJERCICIOSE J E M P L O
48 Guía de estudio: Repaso
Copia la figura dada y úsala para crear un teselado.
37. 38.
39. 40.
Clasifica cada teselado como regular, semirregular o ninguno.
41.
42.
■ Copia la figura dada y úsala para crear un teselado. Rota el cuadrilátero 180° alrededor del punto medio de un lado.
Traslada el par de cuadriláteros resultante para formar una fila.
Traslada la fila para hacer un teselado.
■ Clasifica el teselado como regular, semirregular o ninguno.
El teselado está formado dos polígonos regulares diferentes y cada vértice tiene los mismos polígonos en el mismo orden. Por lo tanto, el teselado es semirregular.
12-6 Teselados (págs. 863–869)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Indica si cada transformación parece ser una dilatación.
43. 44.
Dibuja la imagen de la figura con los vértices dados debajo de una dilatación con centro en el origen usando el factor de escala dado..
45. R (0, 0
) , S
(4, 4
) , T
(4, -4
) ; factor de escala: -
1 _ 2
46. D (0, 2
) , E
(-2, 2
) , F
(-2, 0
) ; factor de escala: -2
■ Dibuja la imagen de la figura con los vértices dados debajo de una dilatación con centro en el origen usando el factor de escala dado.A (0, -2) , B (2, -2) , C (2, 0) ; factor de escala: 2
Multiplica por 2 las coordenadas x e y de cada punto. Los vértices de la imagen son A'
(0, -4
) ,
B' (4, -4
) y C'
(4, 0
) .
12-7 Dilataciones (págs. 872–879)
EJERCICIOSE J E M P L O