hoc360.net€¦ · HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Group: CẤP SỐ NHÂN I – LÝ THUYẾT 1 – Định nghĩa

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

CẤP SỐ NHÂN

I – LÝ THUYẾT

1 – Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số

hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu nu là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

1n nu u q với *n .

Đặc biệt:

Khi 0q , cấp số nhân có dạng 1 0 0 0u , , , ..., , ...

Khi 1q , cấp số nhân có dạng 1 1 1 1u , u , u , ..., u , ...

Khi 1 0u thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0 0 0 0, , , ..., , ...

2 – Số hạng tổng quát

Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu 1u và công bội q thì số hạng tổng quát nu được

xác định bởi công thức

11

nnu u .q với 2n .

3 – Tính chất

Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối)

đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

21 1k k ku u .u với 2k .



4 – Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Định lí 3. Cho cấp số nhân nu với công bội 1q . Đặt 1 2n nS u u ... u .

Khi đó 1 1

1

n

n

u qS .

q

Chú ý: Nếu 1q thì cấp số nhân là 1 1 1 1u , u , u , ..., u , ... khi đó 1nS nu .

II – DẠNG TOÁN

1. Dạng 1: Chứng minh một dãy là cấp số nhân.

a) Phương pháp giải

+ Chứng minh trong đó q là một số không đổi.

+ Nếu với mọi thì ta lập tỉ số

T là hằng số thì là cấp số nhân có công bội .

T phụ thuộc vào n thì không là cấp số nhân.

+ Để chứng minh dãy không phải là cấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba số hạng liên tiếp

không tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn 3 2

2 1

u u

u u .

+ Để chứng minh a,b,c theo thứ tự đó lập thành CSN, ta chứng minh

2ac b hoặc

b ac

Ví dụ 1. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Dãy số 1 2 4 8 16 32 64; ; ; ; ; ; là một cấp số nhân.

B. Dãy số 7 0 0 0; ; ; ;... là một cấp số nhân.

C. Dãy số 16nn nu : u n. là một cấp số nhân.

D. Dãy số 21 3n n

n nv : v . là một cấp số nhân.

Lời giải Kiểm tra đáp án A. Dãy số đã cho là CSN với công bội 2q .

B. Dãy số đã cho là CSN với công bội 0q .

nu

n 1 nn 1,u u .q

nu 0 n N * n 1

n

uT

u

nu q T

nu

nu



C. 1

6 1 *n

n

nu, n

u n

, không phải là hằng số. Vậy 16n

n nu : u n. không phải là

cấp số nhân.

D.

1 2 1

1

2

1 39

1 3

n n

*nn n

n

v, n

v

. Vậy 21 3n n

n nv : v . là một cấp số nhân.

Chọn đáp án C

Ví dụ 2. Trong các dãy số nu sau, dãy nào là cấp số nhân?

A. 2 1nu n n . B. 2 3nnu n . .

C. 1

1

2

6 *n

n

u

.u , n

u

D.

2 14

n

nu

.

Lời giải Kiểm tra đáp án

A. 2

12

3 3

1*n

n

u n n, n

u n n

, không phải là hằng số. Vậy nu không phải là cấp số nhân

.

B.

1

13 3 3 3

2 3 2

n*n

nn

n . nu, n

u n . n

, không phải là hằng số. Vậy nu không phải là

cấp số nhân . C. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra 1 2 3 42 3 2 3u ;u ;u ;u ;...

Vì 3 2

2 1

u u

u u nên nu không phải là cấp số nhân .

D.

2 1 1

12 1

416

4

n

*nn

n

u, n

u

. Vậy nu là một cấp số nhân.

Chọn đáp án D

Ví dụ 3.Cho dãy số được xác định bởi .

Dãy số xác định bởi . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Dãy là cấp số cộng với công sai 3d .

nu 1

n 1 n

u 2, n 1

u 4u 9

nv n nv u 3, n 1

nv



B. Dãy là cấp số nhân với công bội .

C. Dãy là cấp số cộng với công sai 4d .

D. Dãy là cấp số nhân với công bội q= 9.

Lời giải

Vì có .

Theo đề (3).

Thay (1) và (2) vào (3) được: (không đổi). Kết luận là cấp

số nhân với công bội .

Chọn đáp án C

b) Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. 128 64 32 16 8; ; ; ; ; ... B.

2 2 4 4 2; ; ; ; ....

C. 5 6 7 8; ; ; ; ... D. 1

15 5 15

; ; ; ; ...

Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?

A. 2 4 8 16; ; ; ; B. 1 1 1 1; ; ; ;

C. 2 2 2 21 2 3; ; ; 4 ; D. 3 5 7 0a; a ; a ; a ; a .

Câu 3. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. 1 2 4 8; ; ; ; B. 2 3 43 3 3 3; ; ; ;

C. 1 1

4 22 4

; ; ; ; D. 2 4 6

1 1 1 1; ; ; ;

Câu 4. Dãy số 3 3nnu . là một cấp số nhân với:

A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.

nv q 4

nv

nv

n n n 1 n 1v u 3 (1) v u 3 (2)

n 1 n n 1 nu 4u 9 u 3 4 u 3

n 1n 1 n

n

vv 4v , n 1 4

v

nv

q 4



B. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.

C. Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.

D. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.

Câu 5. Cho dãy số nu với 3

52

nnu . . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. nu không phải là cấp số nhân.

B. nu là cấp số nhân có công bội 5q và số hạng đầu 1

3

2u .

C. nu là cấp số nhân có công bội 5q và số hạng đầu 1

15

2u .

D. nu là cấp số nhân có công bội 5

2q và số hạng đầu 1 3u .

Câu 6. Trong các dãy số nu cho bởi số hạng tổng quát nu sau, dãy số nào là một cấp số

nhân?

A.

2

1

3n n

u .

B.

11

3n n

u . C.

1

3nu n . D.

2 1

3nu n .


nhân?

A. 7 3nu n. B. 7 3nnu . C.

7

3nu .

n D. 7 3n

nu . .

Câu 8. Cho dãy số nu là một cấp số nhân với 0 *nu , n . Dãy số nào sau đây không

phải là cấp số nhân?

A. 1 3 5u ; u ; u ; ... B. 1 2 33 3 3u ; u ; u ; ...

C. 1 2 3

1 1 1; ; ; ...

u u u D. 1 2 32 2 2u ; u ; u ; ...



Câu 9. Cho ba số 2 1 2

0; ; b ,a,cb a b b c

tạo thành cấp số cộng. Khẳng định nào dưới

đây là đúng?

A. a,b,c tạo thành cấp số cộng. B. a,b,c tạo thành cấp số nhân.

C. 2 2 2a ,b ,c tạo thành cấp số nhân. D. 1 1 1

, ,a b c

tạo thành cấp số cộng.

Đáp án

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Đáp án A C D B C A D D B

2. Dạng 2. Xác định các đại lượng của cấp số nhân

a) Phương pháp giải.

Vận dụng các công thức ở định nghĩa, số hạng tổng quát, tính chất của cấp số nhân.

Ví dụ 1. Cho cấp số nhân nu với công bội q < 0 và 2 44 9u ,u . Tìm 1u .

A. 1

8

3u . B. 1

8

3u . C. 1 6u . D. 1 6u .

Lời giải

Vì 20 0q ,u nên 3 0u . Do đó 3 2 4 4 9 6u u .u . ;

2 22 22 1 3 1

3

4 8

6 3

uu u .u u

u

. Chọn đáp án A

Ví dụ 2. Cho cấp số nhân nu biết 1 5 2 651 102u u ;u u . Hỏi số 12288 là số hạng

thứ mấy của cấp số nhân nu ?

A. Số hạng thứ 10. B. Số hạng thứ 11.

C. Số hạng thứ 12. D. Số hạng thứ 13.



Lời giải Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có

411 5 1

142 6 1

1 51512 3 3 2

102 1 102

nn

u qu uq u u .

u u u q q

.

Mặt khác 1 1 1212288 3 2 12288 2 2 13n nnu . n . Chọn đáp án D

b) Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm x để các số 2 8 128; ; x; theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. 14x . B. 68x . C. 64x . D. 32x .

Câu 2. Cho cấp số nhân 1 1 1 1

2 4 8 4096; ; ; ; . Hỏi số

1

4096 là số hạng thứ mấy trong

cấp số nhân đã cho?

A. 11. B. 12. C. 10. D. 13.

Câu 3. Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486.

Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.

A. 3q . B. 3q . C. 2q . D. 2q .

Câu 4. Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính

giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?

A. 18. B. 17. C. 16. D. 9.

Câu 5. Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng 1

2, công bội bằng

1

4. Hỏi số hạng đầu

tiên của cấp số nhân bằng bào nhiêu?



A. 4096. B. 1024. C. 2048. D. 1

512.

Câu 6. Cho cấp số nhân nu có 2 6u và 6 486u . Tìm công bội q của cấp số nhân

đã cho, biết rằng 3 0u .

A. 3q . B. 1

3q . C.

1

3q . D. 3q .

Câu 7. Cho cấp số nhân nu thỏa mãn 4 2

5 3

36

72

u u.

u u

Chọn khẳng định đúng?

A. 1 4

2

u.

q

B. 1 6

2

u.

q

C. 1 9

2

u.

q

D. 1 9

3

u.

q

Câu 8. Các số 6 5 2 8x y, x y, x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng

thời các số 1 2 3x , y , x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính 2 2x y .

A. 2 2 40x y . B. 2 2 25x y . C. 2 2 100x y . D. 2 2 10x y .

Câu 9. Cho cấp số nhân nu có 1 3u và 1 2 315 4u u u đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm

số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

A. 13 24567u . B. 13 49152u . C. 13 12288u D. 13 3072u .

Đáp án

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Đáp án D B A B C D B A C

Lời giải câu 9

Gọi q là công bội của cấp số nhân nu .



Ta có 22

1 2 315 4 45 12 3 3 2 33 33u u u q q q q. Suy ra 1 2 315 4u u u đạt

GTNN khi 2q .

Khi đó 1213 1 12288u u q . Phương án đúng là C.

3. Dạng 3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

a) Phương pháp giải.

Ghi nhớ công thức

1 11

1

n

n

u qS , q .

q

Ví dụ 1. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân , biết số hạng đầu bằng 18, số

hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366.

A. 19674. B. 59040. C. 177138. D. 6552

Lời giải

1 218 54 3u ,u q . 1 1 1 7

139366 39366 18 3 39366 3 3 8n n nnu u .q . n .

Vậy 8

8

1 318 59040

1 3S .

. Chọn đáp án B.

Ví dụ 2. Tính các tổng sau:

a) 2 2 2

1 1 12 4 2

2 4 2n

n nS ...

A. 4 1 1

43 4

n

nn.

B.

1 4 14 2

3 4

n

nn.

C. 4 1 1

43 4

n

nn.

D.

4 1 14 2

3 4

n

nn.

b) 8

8 88 888 88 8nn so

S ... ...

A. 80 10 1 8

81 9

n

n.

B. 810 1 10 9

81n. n

C. 80 10 1

81

n

n.

D. 80 10 1 8

9 9

n

n.

Lời giải.



2 4 2

2 4 2

2 4 2

2 4 2

1 1 12 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 12 2 2 2

2 2 2

11

1 4 1 44 211 4 4 14

4 1 14 2

3 4

nn n

n

n

n n

n

n

a) S ...

... ... n

. n

n.

Chọn đáp án D.

9

2 3

89 99 999 99 9

9

810 1 10 1 10 1 10 1

9

nn so

n

b ) S ...

...

2 3810 10 10 10

9

8 1 1010

9 1 10

80 10 1 8

81 9

n

n

n

... n

. n

n.

Chọn đáp án A. b) Bài tập ứng dụng

Câu 1. Cho cấp số nhân nu có 1 3u và 2q . Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của

cấp số nhân đã cho.

A. 10 511S . B. 10 1025S . C. 10 1025S . D. 10 1023S .

Câu 2. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1 4 16 64; ; ; ; Gọi nS là tổng của

n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 14nnS . B.

11 4

2

n

n

nS .

C.

4 1

3

n

nS .

D. 4 4 1

3

n

nS .



Câu 3. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1 1

1 20484 2

; ; ; ; . Tính tổng S của

tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.

A. 2047 75.S , B. 2049 75.S , C. 4095 75.S , D.

4096 75.S ,

D. 12n .

Câu 4. Cho cấp số nhân nu có 2 2u và 5 54u . Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên

của cấp số nhân đã cho.

A. 1000

1000

1 3

4S .

B.

1000

1000

3 1

2S .

C. 1000

1000

3 1

6S .

D.

1000

1000

1 3

6S .

Câu 5. Cho cấp số nhân nu có tổng n số hạng đầu tiên là 1

3 1

3

n

n nS .

Tìm số hạng thứ

5 của cấp số nhân đã cho.

A. 5 4

2

3u . B. 5 5

1

3u . C. 5

5 3u . D. 5 5

5

3u .

Câu 6. Cho cấp số nhân nu có 1 6u và 2q . Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số

nhân đã cho bằng 2046. Tìm n.

A. 9n . B. 10n . C. 11n . D. 12n .

Câu 7. Gọi 9 99 999 999 9S ... ... ( n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây?

A. 10 1

9

n

S .

B. 10 1

109

n

S .

C. 10 1

109

n

S n.

D. 10 1

109

n

S n.

Câu 8. Gọi 1 11 111 111 1S ... ... ( n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây?



A. 10 1

81

n

S .

B. 10 1

1081

n

S .

C. 10 1

1081

n

S n.

D. 1 10 1

109 9

n

S n .

Câu 9. Kết quả của tổng 2 781 2 5 3 5 79 5S . . ... . được viết dưới dạng

315

516

ba . a ,b . Tính giá trị biểu thức 16

bP a .

A. 4P . B. 5P . C. 79

16P . D. 20P .

Đáp án

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Đáp án A A C D A B C D B

Lời giải câu 9

Từ giả thiết suy ra 2 3 795 3 2 5 3 5 79 5S . . ... . . Do đó

79 792 78 79 79 791 5 1 315 5 1 315

4 5 1 5 5 5 10 5 79 5 51 5 4 4 16 16

.S S S ... . . S . .

Vì 791 315 315 1 1 795 5 79 5

16 16 16 16 16 16bS . a . a , b P .

Chọn đáp án B.

4. Dạng 4. Một số bài toán liên quan đến cấp số nhân



Câu 1. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138

ngày khối lượng của nguyêb tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm)

khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).

A. 152 22 10, . . B. 152 52 10, . . C. 153 22 10, . . D. 153 52 10, . .

Câu 2. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng

bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng

1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 212 288 m ). Tính diện tích mặt trên

cùng.

A. 26m . B. 28m . C. 210m . D. 212m .

Câu 3. Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần

sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần

thứ 10. Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?

A. Hòa vốn. B. Thua 20000 đồng.

C. Thắng 20000 đồng. D. Thua 40000 đồng.

Câu 4.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập

thành một cấp số nhân: 3 2 27 2 6 8 0x x m m x .

A. 7m . B. 1m .

C. 1m hoặc 7m . D. 1m hoặc 7m .

Câu 5. Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7000000đ một tháng. Sau 36 tháng người đó được tăng lương 7%. Hằng tháng người đó tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép( nghĩa là lãi của tháng này được nhập vào vốn của tháng kế tiếp). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng.



a) Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được ( cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn) A. 53296000 (đồng). B. 53297000(đồng). C. 53298000(đồng). D. 53290000(đồng). b) Hỏi sau 60 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được ( cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng trăm) A. 94602200 (đồng). B. 94602100 (đồng). C. 94602000 (đồng). D. 94602156 (đồng).

Câu 6. Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa

chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó xin nhà vua: ''Bàn cờ có 64 ô, với ô thứ

nhất thần xin nhận 1 hạt,ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai,… cứ

như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước và thần xin

nhận tổng số các hạt thóc ở 64 ô''. Hỏi người đó sẽ nhận được một phần thưởng tương

ứng nặng bao nhiêu? (Giả sử 100 hạt thóc nặng 20 gam).

A. 370 (tỉ tấn). B. 369 (tỉ tấn). C. 360 (tỉ tấn). D.36 (tỉ tấn).

Câu 7. Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá

của mỗi mét sau tăng thêm 10000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước.

- Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá

của mỗi mét sau tăng thêm 8% giá của mét khoan ngay trước.

Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một cái giếng sâu 20

mét, một cái giếng sâu 30 mét ở hai địa điểm khác nhau. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở

khoan giếng nào cho từng giếng để chi phí khoan hai giếng là ít nhất. Biết chất lượng và

thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau.

A. Chọn cơ sở A để khoan cả hai giếng.

B. Chọn cơ sở B để khoan cả hai giếng.

C. Chọn cở sở A khoan giếng 20 mét, chọn cơ sở B khoan giếng 30 mét.

D. Chọn cở sở A khoan giếng 30 mét, chọn cơ sở B khoan giếng 20 mét.



Câu 8 (Đề minh họa thi THPTQG của Bộ GD năm 2018.Cho dãy số ( )nu thỏa mãn

1 1 10 10log 2 log 2log 2logu u u u và 1 2n nu u với mọi 1n . Giá trị nhỏ nhất của n để

1005nu bằng

A. 247 . B. 248 . C. 229 . D. 290 .

Câu 9: Cho ba số thực dương , ,x y z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với

mỗi số thực dương 1a a thì 3log , log , loga a ax y z theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Tính giá trị biểu thức 1959 2019 60

.x y z

Py z x

A. 2019

2 B. 60 C. 2019 D. 4038

Đáp án

Câu 1 2 3 4 5a 5b 6 7 8 9

Đáp án D C A D C A B D B D

Lời giải chi tiết

Câu 1. Kí hiệu nu (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau n chu kì án rã.

Ta có 7314 ngày gồm 53 chu kì bán rã. Theo đề bài ra, ta cần tính 53u .

Từ giả thiết suy ra dãy ( nu ) là một cấp số nhân với số hạng đầu là 1

2010

2u và công

bội q=0,5. Do đó 52

1553

110 2 22 10

2u . , .

.

Chọn đáp án A.



Câu 2. Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ tầng 1) lập thành một cấp số nhân có công bội

1

2q và 1

122886 144

2u . Khi đó diện tích mặt trên cùng là

1011 1 10

61446

2u u q . Chọn đáp án A.

Câu 3. Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có 1 20 000u

và công bội 2q .

Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

91

9 1 2 9

110220000

1

u pS u u ... u

p

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là 910 1 10240000u u .p

Ta có 10 9 20 000 0u S nên du khách thắng 20 000. Chọn đáp án C.

Câu 4.

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt 1 2 3x ,x ,x lập thành

một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có 1 2 3 8x x x .

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có 21 3 2x x x . Suy ra ta có 3

2 28 2x x .

Với nghiệm x=2, ta có 2 16 7 0

7

mm m

m

+ Điều kiện đủ: Với 1m hoặc 7m thì 2 6 7m m nên ta có phương trình

3 27 14 8 0x x x .

Giải phương trình này, ta được các nghiệm là 1 2 4, , . Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành

một cấp số nhân với công bôị 2q .

Vậy 1m và 7m là các giá trị cần tìm.

Chọn đáp án D.



Câu 5.

a) Đặt 7.000.000a (đồng), 20%m , 0,3%n , 7%t .

Hết tháng thứ nhất, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là 11 (1 )T am n .

Hết tháng thứ hai, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

2 12 1( )(1 ) (1 ) (1 )T T am n am n am n .

..........

Hết tháng thứ 36, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

3636 35

36

(1 ) 1(1 ) (1 ) ... (1 ) .(1 )

nT am n am n am n am n

n

Thay số ta được 36 53 297 648,73T (đồng). Chọn đáp án C

b) Hết tháng thứ 37, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

137 36 36(1 ) (1 ) .(1 ) (1 ) .(1 )T T a t m n T n a t m n


2 238 37 36(1 ) (1 ) .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )T T a t m n T n a t m n n .

..........


24 24 2360 36

2424

36

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ... (1 )

(1 ) 1 (1 ) (1 ) .(1 ) .

T T n a t m n n n

nT n a t m n

n

Thay số và tính ta được tổng số tiền tiết kiệm sau 60 tháng của người đó là:

60 94 602156,59T (đồng). Chọn đáp án A

Câu 6. Tổng số hạt thóc phần thưởng là tổng 64 số hạng đầu tiên một cấp số nhân với

1 1 2u ,q . Như thế 64

1 6464

1 1 1 22 1

1 1 2

nu qS

q

(hạt thóc)



Quy đổi: 100 hạt thóc nặng 20 gam suy ra 50.000.000 hạt nặng 1 tấn. Suy ra 642 1 hạt

thóc nặng 642 1

50000000

(tấn) 369 (tỉ tấn) . Chọn đáp án B

Thông tin thêm: Nhà vua không thể có đủ thóc để thưởng cho người này vì:

Đây là một số rất lớn, nếu đem rải đều số thóc này lên bề mặt trái đất thì được một lớp thóc dày khoảng 9mm.

Hoặc nếu một người trung bình mỗi bữa cần dùng 5000 hạt, một ngày dùng 3 bữa thì số thóc này có thể nuôi 7 tỉ người trong khoảng 481 năm.

Câu 7. Kí hiệu n nA ,B lần lượt là số tiền công ( đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của

cơ sở A và cơ sở B.

Theo giả thiết ta có:

nA là tổng n số hạng đầu tiên của CSC với số hạng đầu 1 50000u và công sai 10000d .

nB là tổng n số hạng đầu tiên của CSN với số hạng đầu 1 50000v và công bội 1 08q , . Do

đó

120

2020

20 1

20 2 1910 2 50000 19 10000 2900000

2

1 1 09150000 2558000

1 1 1 09

u dA . .

,qB v .

q ,

Suy ra nên chọn cơ sở B khoan giếng 20 mét.

130

3030

30 1

30 2 2915 2 50000 29 10000 5850000

2

1 1 09150000 6815377

1 1 1 09

u dA . .

,qB v .

q ,

Suy ra nên chọn cơ sở A để khoan giếng 30 mét.

Vậy chọn đáp án D

Câu 8. Đặt 21 10 1 10t 2 log u 2log u 0 log u 2log u t 2, khi đó giả thiết trở thành:

2

12 0

2

tt t

t loai

Suy ra

2 2

1 10 1 10 1 10 1 10log 2 log 1 log 1 2 log log 10 log 10 1 .u u u u u u u u



Mà 1 2n n nu u u là cấp số nhân với công bội 910 12 2 2 .q u u

Từ 1 , 2 suy ra 29 18 2 1

1 1 1 1 1 18 18 19

10 10 2 .1010 2 2 10 2 . .

2 2 2

nn

nu u u u u u

Do đó 100 19

100 1002 2 219

2 .10 5 .25 5 log log 10 100log 5 19 247,87.

2 10

n

nu n

Vậy giá trị n nhỏ nhất thỏa mãn là 248.n Chọn đáp án B.

Câu 9.

Vì , , 0x y z theo thứ tự lập thành 1 CSN nên 2 .z qy q x

Vì 3log , log , loga a ax y z theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên 32log log logaa a

y x z

2 4 4 3 34 log log 3log 4 log log 3log log loga a a a a a a ay x z qx x q x q x xq x

4 4 6 4q x q x 1 1959 2019 60 4038q x y z P . Chọn đáp án D.

5. Dạng 5. Bài tập kết hợp cấp số cộng và cấp số nhân

Câu 1. Các số 6 , 5 2 , 8x y x y x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các

số 1, 2, 3x y x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính 2 2.x y

A. 2 2 40.x y B. 2 2 25.x y C. 2 2 100.x y D. 2 2 10.x y

Câu 2. Ba số ; ; x y z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời

các số ; 2 ; 3x y z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của

q .

A. 1

.3

q B. 1

.9

q C. 1

.3

q D. 3.q

Câu 3.Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?

A. Dãy số na , với 1 3a và 1 6,n na a 1,n vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

B.Dãy số nb , với 1 1b và 21 2 1 3,n nb b 1,n vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

C.Dãy số nc , với 1 2c và 2

1 3 10n nc c 1,n vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.



D. Dãy số nd , với 1 3d và 21 2 15,n nd d 1,n vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

Câu 4. Các số 6 ,x y 5 2 ,x y 8x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời,

các số 5

,3

x 1,y 2 3x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và .y

A. 3, 1x y hoặc 3 1

, .8 8

x y B. 3, 1x y hoặc 3 1

, .8 8

x y

C. 24, 8x y hoặc 3, 1x y .D. 24, 8x y hoặc 3, 1x y

Câu 5. Ba số , ,x y z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các

số 2;3;9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số

nhân. Tính 2 2 2.F x y z

A. 389.F hoặc 395.F B. 395.F hoặc 179.F

C. 389.F hoặc 179.F D. 441F hoặc 357.F

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Các số 6 , 5 2 , 8x y x y x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các

số 1, 2, 3x y x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính 2 2.x y

A. 2 2 40.x y B. 2 2 25.x y C. 2 2 100.x y D. 2 2 10.x y

Lời giải. Theo giả thiết ta có

2

6 8 2 5 2

1 3 2

x y x y x y

x x y y

2 2

3 3 6.

23 1 3 3 2 0 2

x y x y x

yy y y y y

Suy ra 2 2 40.x y Chọn A.

Câu 2. Ba số ; ; x y z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời

các số ; 2 ; 3x y z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của

q .

A. 1

.3

q B. 1

.9

q C. 1

.3

q D. 3.q

Lời giải.

2

2 2

2

0;3 4 3 4 1 0 .

3 2 2 3 4 1 0

xy xq z xqx xq xq x q q

x z y q q



Nếu 0 0x y z công sai của cấp số cộng: ; 2 ; 3x y z bằng 0 (vô lí).

Nếu 2

11

3 4 1 0 .13

3

1

q

q q q qq

Chọn A.

Câu 3.Đáp án D.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.

+ Phương án A:Ta có 2 23; 3;...a a Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng

minh được rằng 3, 1na n . Do đó na là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số

cộng (công sai bằng 0 ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).

+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được 1, 1nb n . Do đó

nb là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0 ) vừa là cấp số

nhân (công bội bằng 1).

+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được 2, 1nc n . Do đó

nc là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0 ) vừa là cấp số


+ Phương án D: Ta có: 1 2 33, 3, 3d d d . Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng

cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số nd không phải là cấp số cộng và cũng

không là cấp số nhân .

Câu 4. Đáp án A.

+ Ba số 6 ,5 2 ,8x y x y x y lập thành cấp số cộng nên

6 8 2 5 2 3x y x y x y x y .

+ Ba số 5

, 1, 2 33

x y x y lập thành cấp số nhân nên 25

2 3 13

x x y y

.

Thay 3x y vào ta được 28 7 1 0 1y y y hoặc 1

8y .

Với 1y thì 3x ; với 1

8y thì

3

8x .

Câu 5. Đáp án C.



Theo tính chất của cấp số cộng , ta có 2x z y .

Kết hợp với giả thiết 21x y z , ta suy ra 3 21 7y y .

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì 7x y d d và 7z y d d .

Sau khi thêm các số 2;3;9 vào ba số , ,x y z ta được ba số là 2, 3, 9x y z hay

9 ,10,16d d .

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có 2 29 16 10 7 44 0d d d d .

Giải phương trình ta được 11d hoặc 4d .

Với 11d , cấp số cộng 18,7, 4 . Lúc này 389F .

Với 4d , cấp số cộng 3,7,11. Lúc này 179F .

ĐỀ KIỂM TRA BÀI CẤP SỐ NHÂN

25 CÂU TN-45 PHÚT


A. 128; 64; 32; 16; 8; ... B. 2; 2; 4; 4 2; ....

C. 5; 6; 7; 8; ... D. 1

15; 5; 1; ; ...5


A. 2; 4; 8; 16; B. 1; 1; 1; 1;

C. 2 2 2 21 ; 2 ; 3 ; 4 ; D. 3 5 7; ; ; ; 0 .a a a a a


A. 1; 2; 4; 8; B. 2 3 43; 3 ; 3 ; 3 ;

C. 1 14; 2; ; ;

2 4 D.

2 4 6

1 1 1 1; ; ; ;

Câu 4. Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32; là một cấp số nhân với:







Câu 5. Cho cấp số nhân nu với 1 2u và 5.q Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số

nhân.

A. 2; 10; 50; 250. B. 2; 10; 50; 250.

C. 2; 10; 50; 250. D. 2; 10; 50; 250.


; ; ; ; .2 4 8 4096

Hỏi số 1

4096 là số hạng thứ mấy trong cấp số

nhân đã cho?

A. 11. B. 12. C. 10. D. 13.

Câu 7. Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

A. 720. B. 81. C. 64. D. 56.

Câu 8. Tìm x để các số 2; 8; ; 128x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. 14.x B. 32.x C. 64.x D. 68.x

Câu 9. Với giá trị x nào dưới đấy thì các số 4; ; 9x theo thứ tự đó lập thành một cấp số

nhân?

A. 36.x B. 13.

2x C. 6.x D. 36.x

Câu 10. Tìm 0b để các số 1; ; 2

2b theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. 1.b B. 1.b C. 2.b D. 2.b

Câu 11. Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2 1; ; 2 1x x x theo thứ tự đó lập thành một cấp số

nhân.

A.

1.

3x B.

1.

3x C. 3.x D. 3.x

Câu 12. Tìm x để ba số 1 ; 9 ; 33x x x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.



A. 1.x B. 3.x C. 7.x D. 3; 7.x x

Câu 13. Với giá trị ,x y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là 2; ; 18; x y theo thứ tự đó

lập thành cấp số nhân?

A. 6

.54

x

y

B. 10

.26

x

y

C. 6

.54

x

y

D. 6

.54

x

y

Câu 14. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; 12; ; 192.x y Mệnh đề nào sau đây là

đúng?

A. 1; 144.x y B. 2; 72.x y C. 3; 48.x y D.

4; 36.x y

Câu 15. Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5; ; ; 320x y

theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 25

.125

x

y

B. 20

.80

x

y

C. 15

.45

x

y

D. 30

.90

x

y

Câu 16. Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là 6; x x và .y Tìm y , biết rằng công bội của

cấp số nhân là 6.

A. 216.y B. 324

.5

y C. 1296

.5

y D. 12.y

Câu 17. Cho dãy số tăng , , a b c c theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời , 8, a b c

theo thứ tự lập thành cấp số cộng và , 8, 64a b c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính

giá trị biểu thức 2 .P a b c

A. 184

.9

P B. 64.P C. 92

.9

P D. 32.P

Câu 18. Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai

khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q . Tìm .q

A. 2.q B. 2.q C. 3.

2q D. 3

.2

q

Câu 19. Cho bố số , , ,a b c d biết rằng , ,a b c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân công

bội 1q ; còn , ,b c d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm q biết rằng 14a d và

12.b c



A. 18 73.

24q

B. 19 73

.24

q

C. 20 73.

24q

D.

21 73.

24q

Câu 20. Gọi 9 99 999 ... 999...9S ( n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây?

A. 10 1.

9

n

S

B. 10 110 .

9

n

S

C. 10 110 .

9

n

S n

D. 10 110 .

9

n

S n

Câu 21. Gọi 1 11 111 ... 111...1S ( n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây?

A. 10 1.

81

n

S

B. 10 110 .

81

n

S

C. 10 110 .

81

n

S n

D. 1 10 110 .

9 9

n

S n

Câu 22. Biết rằng 2 10 21.31 2.3 3.3 ... 11.3 .

4

b

S a Tính .4

bP a

A. 1.P B. 2.P C. 3.P D. 4.P

Câu 23. Một cấp số nhân có ba số hạng là , , a b c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều

khác 0 và công bội 0.q Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 2

1 1.

bca B.

2

1 1.

acb C.

2

1 1.

bac D.

1 1 2.

a b c

Câu 24. Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ

nhất. Tổng của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng:

A. 056 . B. 0102 . C. 0252 . D. 0168 .


bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1

bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 212 288 m ). Tính diện tích mặt trên cùng.

A. 26 .m B. 28 .m C. 210 .m D. 212 .m



HƯƠNG DẪN GIẢI ĐỀ KIỂM TRA


A. 128; 64; 32; 16; 8; ... B. 2; 2; 4; 4 2; ....

C. 5; 6; 7; 8; ... D. 1

15; 5; 1; ; ...5

Lời giải. Dãy nu là cấp số nhân

32 41

1 2 3

* 0 ,n n n

uu uu qu n

u u uq u q gọi là công bội.

Xét đáp án A: 32 4

1 2 3

1128; 64; 32; 16; 8; ...

2

uu u

u u u Chọn A.

Xét đáp án B: 2 3

21

12; 2; 4; 4 2; ...

22.

u

u

u

u loại B.

Tương tự, ta cũng loại các đáp án C, D.


A. 2; 4; 8; 16; B. 1; 1; 1; 1;

C. 2 2 2 21 ; 2 ; 3 ; 4 ; D. 3 5 7; ; ; ; 0 .a a a a a

Lời giải. Xét đáp án C: 2 2 2

1

32

2

21 ; 2 ; 3 ; 4 ; 49

4

u

u

u

u Chọn C.

Các đáp án A, B, D đều là các cấp số nhân.

Nhận xét: Dãy nu với 0nu là cấp số nhân . nnu a q , tức là các số hạng của nó đều được

biểu diễn dưới dạng lũy thừa của cùng một cơ số q (công bội), các số hạng liên tiếp (kể từ

số hạng thứ hai) thì số mũ của chúng cách đều nhau. Ví dụ

2; 4; 8; 16; là cấp số nhân và 2 .nnu

1; 1; 1; 1; là cấp số nhân và 1 .n

nu



3 5 7; ; ; ; 0a a a a a là cấp số nhân và 2 1 21. .

nnnu a a

a


A. 1; 2; 4; 8; B. 2 3 43; 3 ; 3 ; 3 ;

C. 1 14; 2; ; ;

2 4 D.

2 4 6

1 1 1 1; ; ; ;

Lời giải. Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là 12;3; .

2

Xét đáp án D: 2

2 4 621

3

2

1 1 1 1 1; ; ; ;

1

u

u

u

u Chọn D.

Câu 4. Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32; là một cấp số nhân với:





Lời giải. Cấp số nhân: 1

2

1

1; 2; 4; 8; 16;2

2;

1

3

u

uq

u

Chọn B.

Câu 5. Cho cấp số nhân nu với 1 2u và 5.q Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số

nhân.

A. 2; 10; 50; 250. B. 2; 10; 50; 250.

C. 2; 10; 50; 250. D. 2; 10; 50; 250.

Lời giải.

1

2 11

3 2

4 3

2

102

505

250

u

u u qu

u u qq

u u q

Chọn B.


; ; ; ; .2 4 8 4096

Hỏi số 1

4096 là số hạng thứ mấy trong cấp số

nhân đã cho?



A. 11. B. 12. C. 10. D. 13.


2

1

1

21 1 1 1 1 1 1; ; ; ; . .

12 4 8 4096 2 2 2

2

n

n n

u

uu

qu

12

1 1 112

4096 2 2n n

u n Chọn B.

Câu 7. Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

A. 720. B. 81. C. 64. D. 56.

Lời giải. Ta có cấp số nhân nu có:

12 1

1

16 981

36 4

k kk k

k k

u uq u u q

u u

Chọn B.

Câu 8. Tìm x để các số 2; 8; ; 128x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. 14.x B. 32.x C. 64.x D. 68.x

Lời giải. Cấp số nhân 2; 8; ; 128x theo thứ tự đó sẽ là 1 2 3 4; ; ;u u u u , ta có

32

1 2

23 4

2 3

8 32322 8

3232128 1024

328

uu x xxu u

xxu xu x

xxu u

Chọn B.

Câu 9. Với giá trị x nào dưới đấy thì các số 4; ; 9x theo thứ tự đó lập thành một cấp số

nhân?

A. 36.x B. 13.

2x C. 6.x D. 36.x

Lời giải. Cấp số nhân: 294; ; 9 36 6

4

xx x x

x

Chọn C.

Nhận xét: ba số ; ;a b c theo thứ tự đó lấp thành cấp số nhân 2.ac b

Câu 10. Tìm 0b để các số 1; ; 2

2b theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. 1.b B. 1.b C. 2.b D. 2.b



Lời giải. Cấp số nhân 21 1

; ; 2 . 2 12 2

b b b Chọn B.

Câu 11. Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2 1; ; 2 1x x x theo thứ tự đó lập thành một cấp số

nhân.

A.

1.

3x B.

1.

3x C. 3.x D. 3.x

Lời giải. Cấp số nhân 2 2 12 1; ; 2 1 2 1 2 1 3 1 .

3x x x x x x x x

Chọn A.

Câu 12. Tìm x để ba số 1 ; 9 ; 33x x x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. 1.x B. 3.x C. 7.x D. 3; 7.x x

Lời giải. Cấp số nhân 2

1 ; 9 ; 33 1 33 9 3.x x x x x x x Chọn B.

Câu 13. Với giá trị ,x y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là 2; ; 18; x y theo thứ tự đó

lập thành cấp số nhân?

A. 6

.54

x

y

B. 10

.26

x

y

C. 6

.54

x

y

D. 6

.54

x

y


324

18

22; ; 18; .

18 4

18

5

xx

xx y

y y

xx

Vậy

; 6;54x y hoặc ; 6; 54x y Chọn C.

Câu 14. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; 12; ; 192.x y Mệnh đề nào sau đây là

đúng?

A. 1; 144.x y B. 2; 72.x y C. 3; 48.x y D.

4; 36.x y

Lời giải. Câp số nhân:2

12144

12; 12; ; 192 .

3

481922304

12

yx xx

yx yy y

yy

Chọn C.



Câu 15. Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5; ; ; 320x y

theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 25

.125

x

y

B. 20

.80

x

y

C. 15

.45

x

y

D. 30

.90

x

y

Lời giải. Cấp số nhân:

1

22

3 1

33

4 1

5

5 205; ; ; 320 .

805

32025

u

xq

xx y x

yy u u q

xu u q

Chọn B.

Câu 16. Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là 6; x x và .y Tìm y , biết rằng công bội của

cấp số nhân là 6.

A. 216.y B. 324

.5

y C. 1296

.5

y D. 12.y

Lời giải. Cấp số nhân 6; x x và y có công bội 6q nên ta có

1

2 1

23 2

366, 65

6 636 1296

36.36 5 5

u x q x

x u u q x

yy u u q x

Chọn C.

Câu 17. Cho dãy số tăng , , a b c c theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời , 8, a b c

theo thứ tự lập thành cấp số cộng và , 8, 64a b c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính

giá trị biểu thức 2 .P a b c

A. 184

.9

P B. 64.P C. 92

.9

P D. 32.P

Lời giải. Ta có

22

2 2

1

2 8 2 16 2 .

64 8 64 8 3

ac bac b

a c b a b c

a c b ac a b

Thay (1) vào (3) ta được: 2 264 16 64 4 4 4 .b a b b a b



Kết hợp (2) với (4) ta được:

82 16 7

54 4 4 60

7

ca

a b c

a b cb

Thay (5) vào (1) ta được:

2 2

36

7 8 4 60 9 424 3600 0 36 .100

9

c

c c c c c c cc

Với 36 4, 12 4 12 72 64.c a b P Chọn B.

Câu 18. Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai

khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q . Tìm .q

A. 2.q B. 2.q C. 3.

2q D. 3

.2

q

Lời giải. Giả sử ba số hạng ; ;a b c lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đó ; ;b a c theo thứ

tự đó lập thành cấp số nhân công bội .q Ta có

2

2 2

2 02 .

; 2 0

a c b bbq bq b

a bq c bq q q

Nếu 0 0b a b c nên ; ;a b c là cấp số cộng công sai 0d (vô lí).

Nếu 2 2 0 1q q q hoặc 2.q Nếu 1q a b c (vô lí), do đó 2.q Chọn B.

Câu 19. Cho bố số , , ,a b c d biết rằng , ,a b c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân công

bội 1q ; còn , ,b c d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm q biết rằng 14a d và

12.b c

A. 18 73.

24q

B. 19 73

.24

q

C. 20 73.

24q

D.

21 73.

24q

Lời giải. Giả sử , ,a b c lập thành cấp số cộng công bội .q Khi đó theo giả thiết ta có:



22

2

, 2 12

14 214

12 312

b aq c aq aq d aqb d c

a da d

a q qb c

Nếu 0 0q b c d (vô lí)

Nếu 1 ; 0q b a c a b c (vô lí).

Vậy 0, 1,qq từ (2) và (3) ta có: 14d a và 2

12a

q q

thay vào (1) ta được:

2 33 2

2 2 2

2

12 14 14 12 2412 7 13 6 0

191 12 19 6

730

24

q q q qq q q

q q q q q q

q q q q

Vì 1q nên 19 73.

24q

Chọn B.

Câu 20. Gọi 9 99 999 ... 999...9S ( n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây?

A. 10 1.

9

n

S

B. 10 110 .

9

n

S

C. 10 110 .

9

n

S n

D. 10 110 .

9

n

S n

Lời giải. Ta có 2

n so 9

9 99 999 ... 99...9 10 1 10 1 ... 10 1nS

2 1 1010 10 ... 10 10. .

1 10

nn n n

Chọn C.

Câu 21. Gọi 1 11 111 ... 111...1S ( n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây?

A. 10 1.

81

n

S

B. 10 110 .

81

n

S

C. 10 110 .

81

n

S n

D. 1 10 110 .

9 9

n

S n

Lời giải. Ta có n so 9

1 1 1 109 99 999 ... 99...9 . 10.

9 9 1 10

n

S n

. Chọn D.



Câu 22. Biết rằng 2 10 21.31 2.3 3.3 ... 11.3 .

4

b

S a Tính .4

bP a

A. 1.P B. 2.P C. 3.P D. 4.P

Lời giải. Từ giả thiết suy ra 2 3 113 3 2.3 3.3 ... 11.3S . Do đó

11 112 10 11 11 111 3 1 21.3 1 21

2 3 1 3 3 ... 3 10.3 11.3 .3 .1 3 2 2 4 4

S S S S

Vì 111 21.3 21.3 1 1 11

, 11 3.4 4 4 4 4 4

b

S a a b P Chọn C.

Câu 23. Một cấp số nhân có ba số hạng là , , a b c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều

khác 0 và công bội 0.q Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 2

1 1.

bca B.

2

1 1.

acb C.

2

1 1.

bac D.

1 1 2.

a b c

Lời giải. Ta có 2

2

1 1ac b

acb Chọn B.

Câu 24. Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ

nhất. Tổng của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng:

A. 056 . B. 0102 . C. 0252 . D. 0168 .

Lời giải. Giả sử 4 góc A, B, C, D (với A B C D ) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân

thỏa yêu cầu với công bội .q Ta có

2 3

33

31 360360

9 252.27 27

243

qA q q qA B C D

A A DD A Aq A

D Aq

Chọn C.


bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1

bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 212 288 m ). Tính diện tích mặt trên cùng.

A. 26 .m B. 28 .m C. 210 .m D. 212 .m



Lời giải. Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội 1

2q và 1

122886 144.

2u Khi đó diện tích mặt trên cùng là

1011 1 10

61446

2u u q Chọn A.

ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

50 CÂU TN

Câu 1. Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân?

A.1 1 1

1, , , .5 25 125

B.1 1 1

; ; ;1.8 4 2

C. 4 4 4 42;2 2;4 2;8 2. D.1 1 1

1; ; ; .3 9 27

Câu 2. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? A. Dãy số ,nu với 7 3 .nu n B. Dãy số ,nv với 7 3 .n

nv

C. Dãy số ,nw với 7.3 .nnw D. Dãy số ,nt với

7.

3nt

n

Câu 3. Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân.

A. 1

21

2.

n n

u

u u

B. 1

1

1.

3n n

u

u u

C. 1

1

3.

1n n

u

u u

D.

1

1

3.

2 .nn n

u

u u

Câu 4. Cho dãy số nu xác định bởi 1 3u và 1 , 1.4n

n

uu n Tìm số hạng

tổng quát của dãy số.

A. 3.4 .nnu B. 13.4 .n

nu C. 13.4 .nnu D.

13.4 .nnu

Câu 5. Cho cấp số nhân nx có 2 3x và 4 27.x Tính số hạng đầu 1x và

công bội q của cấp số nhân.

A. 1 1, 3x q hoặc 1 1, 3.x q B. 1 1, 3x q hoặc 1 1, 3.x q

C. 1 3, 1x q hoặc 1 3, 1.x q D. 1 3, 1x q hoặc 1 3, 1.x q

Câu 6. Cho cấp số nhân na có 3 8a và 5 32.a Tìm số hạng thứ mười của

cấp số nhân đó.



A. 10 1024.a B. 10 512.a C. 10 1024.a D.

10 1024.a

Câu 7. Cho cấp số nhân ,12, ,192.x y Tìm x và .y

A. 3, 48x y hoặc 4, 36.x y B. 3, 48x y hoặc 2, 72.x y

C. 3, 48x y hoặc 3, 48.x y D. 3, 48x y hoặc

3, 48.x y

Câu 8. Cho cấp số nhân nu có 1 5, 3u q và 200,nS tìm n và .nu

A. 5n và 405.nu B. 6n và 1215.nu

C. 7n và 3645.nu D. 4n và 135.nu

Câu 9. Cho cấp số nhân na có 1 2a và biểu thức 1 2 320 10a a a đạt giá trị

nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ bảy của cấp số nhân đó.

A. 7 156250.a B. 7 31250.a C. 7 2000000.a D.

7 39062.a

Câu 10. Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng

số đo của góc nhỏ nhất bằng 1

9 số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các

góc trong tứ giác đó.

A. 0 0 0 05 ,15 ,45 , 225 . B. 0 0 0 09 , 27 ,81 , 243 . C. 0 0 0 07 , 21 ,63 ,269 . D. 0 0 0 08 ,32 ,72 ,248 .

Câu 11. Cho cấp số nhân nu có 4 6

3 5

540.

180

u u

u u

Tìm số hạng đầu 1u và công

bội q của cấp số nhân.

A. 1 2, 3.u q B. 1 2, 3.u q C. 1 2, 3.u q D.

1 2, 3.u q

Câu 12. Cho cấp số nhân na có 1 7,a 6 224a và 3577.kS Tính giá trị của

biểu thức 1 .kT k a

A. 17920.T B. 8064.T C. 39424.T D. 86016.T

Câu 13. Cho cấp số nhân nu có 2 4S và 3 13.S Tìm 5.S

A. 5 121S hoặc 5

181.

16S B. 5 121S hoặc 5

35.

16S

C. 5 114S hoặc 5

185.

16S D. 5 141S hoặc 5

183.

16S



Câu 14. Cho cấp số nhân nu có 1 8u và biểu thức 3 2 14 2 15u u u đạt giá trị

nhỏ nhất. Tính 10.S

A. 11

10 9

2 4 1

5.4S

B.

10

10 8

2 4 1

5.4S

C.

10

10 6

2 1

3.2S

D.

11

10 7

2 1

3.2S

Câu 15. Cho cấp số nhân nu có 1 2,u công bội dương và biểu thức

4

7

1024u

u đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 11 12 20... .S u u u

A. 2046.S B. 2097150.S C. 2095104.S D.

1047552.S

Câu 16. Cho cấp số nhân nu có 4 6

3 5

540

180

u u

u u

. Tính 21.S

A. 2121

13 1

2S B. 21

21 3 1.S C. 2121 1 3 .S D.

2121

13 1 .

2S

Câu 17. Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là 2 1x và 24 1.x Số hạng thứ ba của

cấp số nhân là:

A. 2 1.x B. 2 1.x

C. 3 28 4 2 1.x x x D. 3 28 4 2 1.x x x

Câu 18. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?

A. 1

1

1.

1, 1n n

u

u u n

B. 1

1

1.

3 , 1n n

u

u u n

C. 1

1

2.

2 3, 1n n

u

u u n

D. 1

2.

sin , 11

n

u

u nn

Câu 19. Cho dãy số nu với 3.5 .

2n

nu Khẳng định nào sau đây đúng?





3.

2u


15.

2u


2q và số hạng đầu 1 3.u


nhân?

A.

2

1.

3n nu

B.

11.

3n nu C.

1.

3nu n D.

2 1.

3nu n


nhân?

A. 7 3 .nu n B. 7 3 .nnu C. 7

.3

nun

D. 7.3 .nnu

Câu 22. Cho dãy số nu là một cấp số nhân với *0, .nu n Dãy số nào sau đây không


A. 1 3 5; ; ; ...u u u B. 1 2 33 ; 3 ; 3 ; ...u u u

C. 1 2 3

1 1 1; ; ; ...

u u u D. 1 2 32; 2; 2; ...u u u

Câu 23. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; ... . Tìm số hạng tổng quát

nu của cấp số nhân đã cho.

A. 13 .nnu

B. 3 .nnu C. 13 .nnu

D. 3 3 .nnu



A. 3.q B. 3.q C. 2.q D. 2.q

Câu 25. Cho cấp số nhân nu có 1 3u và 2

.3

q Mệnh đề nào sau đây đúng?



A. 5

27.

16u B. 5

16.

27u C. 5

16.

27u D. 5

27.

16u

Câu 26. Cho cấp số nhân nu có 1 2u và 2 8u . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 6 130.S B. 5 256.u C. 5 256.S D. 4.q

Câu 27. Cho cấp số nhân nu có 1 3u và 2q . Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số

nhân đã cho?


C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số

đã cho.


10q . Số

103

1

10 là số hạng thứ mấy của cấp số

nhân đã cho?


C. Số hạng thứ 105. D. Không là số hạng của cấp số đã cho.



A. 18. B. 17. C. 16. D. 9.

Câu 30. Cho cấp số nhân nu có 81nu và 1 9.nu Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1

.9

q B. 9.q C. 9.q D. 1

.9

q

Câu 31. Một dãy số được xác định bởi 1 4u và 1

1, 2.

2n nu u n Số hạng tổng quát nu

của dãy số đó là:

A. 12 .nnu

B. 1

2 .n

nu

C. 14 2 .nnu

D. 1

14 .

2

n

nu

Câu 32. Cho cấp số nhân nu có 1 3u và 2.q Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp

số nhân đã cho.

A. 10 511.S B. 10 1025.S C. 10 1025.S D. 10 1023.S



Câu 33. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64; Gọi nS là tổng của n số

hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 14 .nnS

B. 11 4

.2

n

n

nS

C. 4 1

.3

n

nS

D. 4 4 1

.3

n

nS

Câu 34. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1 1; ; 1; ; 2048.

4 2 Tính tổng S của tất cả

các số hạng của cấp số nhân đã cho.

A. 2047,75.S B. 2049,75.S C. 4095,75.S D. 4096,75.S

Câu 35. Tính tổng 1

2 4 8 16 32 64 ... 2 2n n

S

với 1, .n n

A. 2 .S n B. 2 .nS C. 2 1 2

.1 2

n

S

D. 1 2

2. .3

n

S

Câu 36. Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng

189. Tìm số hạng cuối 6u của cấp số nhân đã cho.

A. 6 32.u B. 6 104.u C. 6 48.u D. 6 96.u

Câu 37. Cho cấp số nhân nu có 1 6u và 2.q Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số

nhân đã cho bằng 2046. Tìm .n

A. 9.n B. 10.n C. 11.n D. 12.n

Câu 38. Cho cấp số nhân nu có tổng n số hạng đầu tiên là 5 1.nnS Tìm số hạng thứ 4


A. 4 100.u B. 4 124.u C. 4 500.u D. 4 624.u


3 1.

3

n

n nS

Tìm số hạng thứ 5


A. 5 4

2.

3u B. 5 5

1.

3u C. 5

5 3 .u D. 5 5

5.

3u

Câu 40. Cho cấp số nhân nu có 2 2u và 5 54.u Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp




A. 1000

1000

1 3.

4S

B.

1000

1000

3 1.

2S

C. 1000

1000

3 1.

6S

D.

1000

1000

1 3.

6S

Câu 41. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

lập thành một cấp số nhân: 3 23 1 5 4 8 0.x x x m x

A. 2.m B. 2.m C. 4.m D. 4.m

Câu 42. Biết rằng tồn tại hai giá trị 1m và 2m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

lập thành một cấp số nhân: 3 2 2 22 2 2 1 7 2 2 54 0.x m m x m m x Tính giá trị của

biểu thức 3 31 2 .P m m

A. 56P B. 8.P C. 56P D. 8.P

Câu 43. Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn

đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10%. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng

lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên 10%. Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn

tăng giá là bao nhiêu?

A. 120. B.121. C.122. D. 200.

Câu 44. Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi

suất là 0,7% số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao

nhiêu tiền?

A. 5810 . 0,007 (đồng) B.

5810 . 1,007 (đồng)

C. 6810 . 0,007 (đồng) D.

6810 . 1,007 (đồng)

Câu 45. Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1, 2%. Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2

triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh

M sẽ là bao nhiêu?

A. 10320nghìn người. B.3000nghìn người. C. 2227 nghìn người. D. 2300 nghìn người.

Câu 46. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần.

Nếu lúc đầu có 1210 tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

A. 121024.10 tế bào. B. 12256.10 tế bào. C. 12512.10 tế bào. D. 13512.10 tế

bào.

Câu 47. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của

mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của



tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là 212288 ,m tính diện tích mặt trên

cùng.

A. 26 .m B. 212 .m C. 224 .m D. 23 .m

Câu 48.Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?

A. Dãy số na , với 1 3a và 1 6,n na a 1,n vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

B.Dãy số nb , với 1 1b và 21 2 1 3,n nb b 1,n vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

C.Dãy số nc , với 1 2c và 2

1 3 10n nc c 1,n vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

D. Dãy số nd , với 1 3d và 21 2 15,n nd d 1,n vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

Câu 49. Các số 6 ,x y 5 2 ,x y 8x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời,

các số 5

,3

x 1,y 2 3x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và .y

A. 3, 1x y hoặc 3 1

, .8 8

x y B. 3, 1x y hoặc 3 1

, .8 8

x y

C. 24, 8x y hoặc 3, 1x y D. 24, 8x y hoặc 3, 1x y

Câu 50. Ba số , ,x y z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các

số 2;3;9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số

nhân. Tính 2 2 2.F x y z

A. 389.F hoặc 395.F B. 395.F hoặc 179.F C. 389.F hoặc 179.F D. 441F hoặc 357.F

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Đáp án B

Các dãy số trong các phương án ,A C và D đảm bảo về dấu còn dãy số trong phương án

B thì 3 số hạng đầu âm còn số hạng thứ tư là dương nên dãy số trong phương án B

không phải là cấp số nhân.

Câu 2. Đáp án .C

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

+ Phương án :A Ba số hạng đầu của dãy số là 4,1, 2 không lập thành cấp số nhân nên

dãy số nu không phải là cấp số nhân.

+ Phương án :B Ba số hạng đầu của dãy số là 4; 2; 20 không lập thành cấp số nhân nên

dãy số nv không phải là cấp số nhân.



+ Phương án :C Ta có 11 7.3 3 , 1n

n nw w n nên dãy số nw là một cấp số nhân.

+ Phương án :D Ba số hạng đầu của dãy số là 7 7 7

, ,3 6 9

không lập thành cấp số nhân nên

dãy số nt không phải là cấp số nhân.

Câu 3. Đáp án .B

Các kiểm tra như câu 2.


Ta có: 1

1.

4 4n

n n

uu u nên nu là cấp số nhân có công bội

1.

4q Suy ra số hạng tổng

quát là 1

1 11

1. 3. 3.4 .

4

n

n nnu u q

Vậy phương án đúng là .B


Ta có 2

4

3

27

x

x

1

31

3

27

x q

x q

1 1

3

x

q

hoặc 1 1

.3

x

q

Do đó B là phương án đúng.

Câu 6. Đáp án .A

Ta có: 3

5

8

32

a

a

21

41

8

32

a q

a q

1 2

2

a

q

hoặc 1 2

.2

a

q

Với 1 2, 2a q thì 910 1 1024.a a q

Với 1 2, 2a q thì 910 1 1024.a a q

Vậy 10 1024.a Suy ra A là phương án đúng.


Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: 2 12.192 2304y 48.y

Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có: 212 144.xy

Với 48y thì 3;x với 48y thì 3.x

Vậy phương án đúng là .C

Câu 8. Đáp án .D



Ta có: 1

1.

1

n

n

qS u

q

nên theo giả thiế, ta có:

1 35. 200

1 3

n

3 81 4.n n

Suy ra 34 1. 135.u u q Vậy đáp án là .D


Gọi q là công bội của cấp số nhân na .

Ta có 21 2 320 10 2 10 20a a a q q

22 5 10 10, .q q

Dấu bằng xảy ra khi 5.q

Suy ra 6 67 1. 2.5 31250.a a q



Cách 1: Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán

không.

+ Phương án :A Các góc 0 0 0 05 ,15 ,45 ,225 không lập thành cấp số nhân vì

0 015 3.5 ; 0 045 3.15 ; 0 0225 3.45 .

+ Phương án :B Các góc 0 0 0 09 , 27 ,81 , 243 lập thành cấp số nhân và

0 0 0 0 09 27 81 243 360 . Hơn nữa, 0 019 81

9 nên B là phương án đúng.

+ Phương án C và :D Kiểm tra như phương án .A

Cách 2: Gọi các góc của tứ giác là 2 3, , , ,a aq aq aq trong đó 1.q

Theo giả thiết, ta có 21

9a aq nên 3.q

Suy ra các góc của tứ giác là ,3 ,9 , 27 .a a a a

Vì tổng các góc trong tứ giác bằng 0360 nên ta có: 03 9 27 360a a a a 09 .a

Do đó, phương án đúng là B (vì trong ba phương án còn lại không có phương án nào có

góc 09 ).


Ta có 4 6 540u u 3 5 540.u u q

Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được 3.q



Lại có 3 5 180u u 2 41 180.u q q

Vì 3q nên 1 2.u

Vậy phương án đúng là .A


Ta có 6 224a 51 224a q 2q (do 1 7a ).

Do

1 17 2 1

1

k

kk

a qS

q

nên 3577kS 7 2 1 3577k 92 2k 9.k

Suy ra 89 110 10 17920.T a a q


Dạng 3: Bài tập về tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.


Ta có 3 3 2 9u S S 21 1 2

99u q u

q

Vì 2 4S nên 1 1 4.u u q Do đó 2

9 94

q q

24 9 9 0q q 3q hoặc 3

.4

q

+ Với 3q thì 1 1,u 56 1 243.u u q

Suy ra 1 65

1 243121.

1 1 3

u uS

q

+ Với 3

4q thì 1 16,u 6

243.

64u

Suy ra 1 65

181.

1 16

u uS

q



Gọi q là công bội của cấp số nhân. Khi đó

2

3 2 14 2 15 2 4 1 122 122, .u u u q q

Dấu bằng xảy ra khi 4 1 0q 1

.4

q



Suy ra:

10

1010

10 1 8

11 2 4 11 4

. 8.11 5.4

14

qS u

q



Gọi q là công bội của cấp số nhân, 0.q

Ta có 34 6

7

1024 5122 .u q

u q

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

3 3 3 3 33

6 6 6

512 512 5122 3 . . 24.q q q q q

q q q

Suy ra 4

7

1024u

u đạt giá trị nhỏ nhất bằng 24 khi 3

6

512q

q 2.q

Ta có 10

1 1110

12 2;

1

u qS

q

201 21

10

12 2.

1

u qS

q

Do đó 20 10 2095104.S S S Vậy phương án đúng là .C


Ta có 4 6 540u u 3 5 540.u u q

Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được 3.q Lại có 3 5 180u u

2 41 180.u q q

Vì 3q nên 1 2.u Suy ra

21

1 2121

1 13 1 .

1 2

u qS

q


Câu 17. Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là 2 1x và 24 1.x Số hạng thứ ba của

cấp số nhân là:

A. 2 1.x B. 2 1.x

C. 3 28 4 2 1.x x x D. 3 28 4 2 1.x x x

Lời giải. Công bội của cấp số nhân là: 24 1

2 1.2 1

xq x

x

Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân

là: 2 3 24 1 2 1 8 4 2 1x x x x x Chọn C.



Câu 18. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?

A. 1

1

1.

1, 1n n

u

u u n

B. 1

1

1.

3 , 1n n

u

u u n

C. 1

1

2.

2 3, 1n n

u

u u n

D. 1

2.

sin , 11

n

u

u nn

Lời giải. nu là cấp số nhân 1n nu qu Chọn B.

Câu 19. Cho dãy số nu với 3.5 .

2n

nu Khẳng định nào sau đây đúng?



3.

2u


15.

2u


2q và số hạng đầu 1 3.u

Lời giải. 3.5

2n

nu là cấp số nhân công bội 5q và 1

15

2u Chọn C.


nhân?

A.

2

1.

3n nu

B.

11.

3n nu C.

1.

3nu n D.

2 1.

3nu n

Lời giải. Dãy 2

1 19.

33

n

n nu

là cấp số nhân có

1 3

1

3

u

q

Chọn A.


nhân?

A. 7 3 .nu n B. 7 3 .nnu C. 7

.3

nun

D. 7.3 .nnu



Lời giải. Dãy 7.3nnu là cấp số nhân có 1 21

3

u

q

Chọn D.

Câu 22. Cho dãy số nu là một cấp số nhân với *0, .nu n Dãy số nào sau đây không


A. 1 3 5; ; ; ...u u u B. 1 2 33 ; 3 ; 3 ; ...u u u

C. 1 2 3

1 1 1; ; ; ...

u u u D. 1 2 32; 2; 2; ...u u u

Lời giải. Giả sử nu là cấp số nhân công bội ,q thì

Dãy 1 3 5; ; ; ...u u u là cấp số nhân công bội 2.q

Dãy 1 2 33 ; 3 ; 3 ; ...u u u là cấp số nhân công bội 2 .q

Dãy 1 2 3

1 1 1; ; ; ...

u u ulà cấp số nhân công bội 1

.q

Dãy 1 2 32; 2; 2; ...u u u không phải là cấp số nhân. Chọn D.

Nhận xét: Có thể lấy một cấp số nhân cụ thể để kiểm tra, ví dụ 2 .nnu

Câu 23. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; ... . Tìm số hạng tổng quát

nu của cấp số nhân đã cho.

A. 13 .nnu

B. 3 .nnu C. 13 .nnu

D. 3 3 .nnu

Lời giải. Câp số nhân 1

1 11

3

3; 9; 27; 81; ... 3.3 393

3

n n nn

u

u u qq

.

Chọn B.



A. 3.q B. 3.q C. 2.q D. 2.q



Lời giải. Theo giải thiết ta có: 1 5 5 56 1

6

2486 2 243 3.

486

uu u q q q q

u

Chọn A.


.3

q Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 5

27.

16u B. 5

16.

27u C. 5

16.

27u D. 5

27.

16u

Lời giải. 41

45 1

32 16 16

3. 3. .23 81 27

3

u

u u qq

Chọn B.

Câu 26. Cho cấp số nhân nu có 1 2u và 2 8u . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 6 130.S B. 5 256.u C. 5 256.S D. 4.q

Lời giải.

1

551

5 1

2 1

6

6

445 1

2

4

2 1 41. 2. 410

8 2 1 1 4

1 42. 1638

1 4

2. 4 512.

u

q

u qS u

u u q q q

S

u u q

Chọn D.

Câu 27. Cho cấp số nhân nu có 1 3u và 2q . Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số

nhân đã cho?


C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số

đã cho.

Lời giải. 1 1 61 1 6

1192 3. 2 1 .2 64 1 .2 7.n nn n

nu u q n Chọn C.


10q . Số

103

1

10 là số hạng thứ mấy của cấp số

nhân đã cho?




C. Số hạng thứ 105. D. Không là số hạng của cấp số đã cho.

Lời giải. 1

11103 1

11 11. 104.

1 1031010 10

nn

nn n

n chanu u q n

n

Chọn B.



A. 18. B. 17. C. 16. D. 9.

Lời giải. 1 1 1 8132805 5.3 3 6561 3 9.n n n

nu u q n Vậy 9u là số hạng chính giữa của

cấp số nhân, nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng. Chọn B.

Câu 30. Cho cấp số nhân nu có 81nu và 1 9.nu Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1

.9

q B. 9.q C. 9.q D. 1

.9

q

Lời giải. Công bội 1 9 1

81 9n

n

uq

u Chọn A.

Câu 31. Một dãy số được xác định bởi 1 4u và 1

1, 2.

2n nu u n Số hạng tổng quát nu

của dãy số đó là:

A. 12 .nnu

B. 1

2 .n

nu

C. 14 2 .nnu

D. 1

14 .

2

n

nu

Lời giải. 11 1

11

1

4 41

4. .1 12

2 2

n

nn

n n

u u

u u qu u q

Chọn D.

Câu 32. Cho cấp số nhân nu có 1 3u và 2.q Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp


A. 10 511.S B. 10 1025.S C. 10 1025.S D. 10 1023.S

Lời giải.

10101

10 1

3 1 21. 3. 1023.

2 1 1 2

u qS u

q q

Chọn D.

Câu 33. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64; Gọi nS là tổng của n số

hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?



A. 14 .nnS

B. 11 4

.2

n

n

nS

C. 4 1

.3

n

nS

D. 4 4 1

.3

n

nS

Lời giải. Cấp số nhân đã cho có 1

1

1 1 1 4 4 1. 1. .

4 1 1 4 3

n n n

n

u qS u

q q

Chọn C.

Câu 34. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1 1; ; 1; ; 2048.

4 2 Tính tổng S của tất cả

các số hạng của cấp số nhân đã cho.

A. 2047,75.S B. 2049,75.S C. 4095,75.S D. 4096,75.S

Lời giải. Cấp số nhân đã cho có

11 1 1 211

11

2048 2 .2 2 13.42

2

n n nuu q n

q

Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 13 số hạng. Vậy

13 13

13 1

1 1 1 2. . 2047,75

1 4 1 2

qS u

q

Chọn A.

Câu 35. Tính tổng 1

2 4 8 16 32 64 ... 2 2n n

S

với 1, .n n

A. 2 .S n B. 2 .nS C. 2 1 2

.1 2

n

S

D. 1 2

2. .3

n

S

Lời giải. Các số hạng 1

2; 4; 8; 16; 32; 64;...; 2 ; 2n n

trong tổng S gồm có n số hạng theo

thứ tự đó lập thành cấp số nhân có 1 2, 2.u q Vậy

1

1 2 1 21. 2. 2.

1 1 2 3

n nn

n

qS S u

q

Chọn D.

Câu 36. Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng

189. Tìm số hạng cuối 6u của cấp số nhân đã cho.

A. 6 32.u B. 6 104.u C. 6 48.u D. 6 96.u

Lời giải. Theo giả thiết:



5 56 66 1

16 1 1

22

3.2 96.1 1 23189 .

1 1 2

qq

u u qquS u u

q

Chọn D.

Câu 37. Cho cấp số nhân nu có 1 6u và 2.q Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số

nhân đã cho bằng 2046. Tìm .n

A. 9.n B. 10.n C. 11.n D. 12.n

Lời giải. Ta có

1

1 212046 . 6. 2 2 1 2 1024 10.

1 1 2

nnn n

n

qS u n

q

Chọn B.

Câu 38. Cho cấp số nhân nu có tổng n số hạng đầu tiên là 5 1.nnS Tìm số hạng thứ 4


A. 4 100.u B. 4 124.u C. 4 500.u D. 4 624.u

Lời giải. Ta có 1 11 11

1 415 1 . 1 .

5 51 1

nn n

n

u q uuqS u q

q qq q

Khi đó

3 34 1 4.5 500u u q Chọn C.


3 1.

3

n

n nS

Tìm số hạng thứ 5


A. 5 4

2.

3u B. 5 5

1.

3u C. 5

5 3 .u D. 5 5

5.

3u

Lời giải. Ta có 1 1

1

1

3 1 23 1 1

3 1 1 .113 13

33

nnn

nn

u q uu

S qq qq

Khi đó

45 1 4

2

3u u q Chọn A.

Câu 40. Cho cấp số nhân nu có 2 2u và 5 54.u Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp


A. 1000

1000

1 3.

4S

B.

1000

1000

3 1.

2S



C. 1000

1000

3 1.

6S

D.

1000

1000

1 3.

6S

Lời giải. Ta có 2 1 1

4 3 35 1 1

22

.354 . 2

3

u u q u

u u q u q q qq

Khi đó

100100 100

100 1

1 31 2 1 3. .

1 3 1 3 6

qS u

q

Chọn D.


Cách 1: Ta có 8

8.1

d

a

Điều kiện cần để phương trình đã choc ó ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là 3 8 2x là nghiệm của phương trình.

Thay 2x vào phương trình đã cho, ta được

4 2 0m 2.m

Với 2,m ta có phương trình 3 27 14 8 0x x x 1; 2; 4x x x

Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên 2m là giá trị cần tìm. Vậy, B là phương

án đúng.

Cách 2: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.


Ta có 54

27.2

d

a

Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân

là 3 27 3x phải là nghiệm của phương trình đã cho. 2 2 8 0m m 2; 4.m m

Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số m nên 2m và 4m là các giá

trị thỏa mãn

Suy ra 332 4 56.P



Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là:

1 100 100.10% 110.M



Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là:

2 110 110.10% 121.M

Suy ra phương án đúng là .B

Suy ra phương án đúng là B.

Câu 44. Đáp án D.

Số tiền ban đầu là 80 10M (đồng).

Đặt 0,7% 0,007r .

Số tiền sau tháng thứ nhất là 1 0 0 0 1M M M r M r .

Số tiền sau tháng thứ hai là 2

2 1 1 0 1M M M r M r .

Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là 6

6 0 1M M r .

Do đó 68

6 10 1,007M .


Đặt 60 2000000 2.10P và 1, 2% 0,012r .

Gọi nP là số dân của tỉnh M sau n năm nữa.

Ta có: 1 1n n n nP P P r P r .

Suy ra nP là một cấp số nhân với số hạng đầu 0P và công bội 1q r .

Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là: 9 106

9 0 1 2.10 1,012 2227000P M r .


Lúc đầu có 2210 tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có

cấp số nhân với 221 10u và công bội 2q .

Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9 lần phân chia tế bào. Ta có 10u là số

tế bào nhận được sau 3 giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là 9 1210 1 512.10u u q .




Gọi 0u là diện tích đế tháp và nu là diện tích bề mặt trên của tầng thứ n , với 1 11n .

Theo giả thiết, ta có 1

10 10

2n nu u n .

Dãy số nu lập thành cấp số nhân với số hạng đầu 0 12288u và công bội 1

2q .

Diện tích mặt trên cùng của tháp là 11

11 211 0

1. 12288. 6m

2u u q

.

Câu 48.Đáp án D.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.

+ Phương án A:Ta có 2 23; 3;...a a Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng

minh được rằng 3, 1na n . Do đó na là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số

cộng (công sai bằng 0 ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).

+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được 1, 1nb n . Do đó

nb là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0 ) vừa là cấp số


+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được 2, 1nc n . Do đó

nc là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0 ) vừa là cấp số


+ Phương án D: Ta có: 1 2 33, 3, 3d d d . Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng

cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số nd không phải là cấp số cộng và cũng

không là cấp số nhân .


+ Ba số 6 ,5 2 ,8x y x y x y lập thành cấp số cộng nên

6 8 2 5 2 3x y x y x y x y .

+ Ba số 5

, 1, 2 33

x y x y lập thành cấp số nhân nên 25

2 3 13

x x y y

.

Thay 3x y vào ta được 28 7 1 0 1y y y hoặc 1

8y .



Với 1y thì 3x ; với 1

8y thì

3

8x .


Theo tính chất của cấp số cộng , ta có 2x z y .

Kết hợp với giả thiết 21x y z , ta suy ra 3 21 7y y .

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì 7x y d d và 7z y d d .

Sau khi thêm các số 2;3;9 vào ba số , ,x y z ta được ba số là 2, 3, 9x y z hay

9 ,10,16d d .

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có 2 29 16 10 7 44 0d d d d .

Giải phương trình ta được 11d hoặc 4d .

Với 11d , cấp số cộng 18,7, 4 . Lúc này 389F .

Với 4d , cấp số cộng 3,7,11. Lúc này 179F .

Documents

hoc360.net€¦ · HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Group: CẤP SỐ NHÂN I – LÝ THUYẾT 1 – Định nghĩa