HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ CÁC DẠNG ......HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Group: CÁC DẠNG TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Phần 1: LÝ THUYẾT

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

CÁC DẠNG TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH

Phần 1: LÝ THUYẾT

1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến

1 mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc

đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M

và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên

đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

Nhận xét:

1.2. Nhận xét:

- : ( , )N a ON d O a HO

- ( , ) 0d O a O a

2.2. Nhận xét:

- ( ) : ( ,( ))N P ON d O P OH

- ( ,( )) 0d O P O P

-

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song

song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a

đến mp(P).

d(a;(P)) = OH

aH

O

H

O

P

a

H

O

P



3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng

này đến mặt phẳng kia.

d((P);(Q)) = OH

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng

đó.

d(a;b) = AB

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng

đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường

thẳng còn lại.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

BẢNG CÁC CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG THƯỜNG DÙNG

Tên Nội dung Hình vẽ

Các hệ thức

lượng trong tam

giác vuông

a2 = b2 + c2 b2 = ab’

c2 = ac ’ h2 = b’c’

ah = bc ; 2 2 2

1 1 1

h a b ;

b c

sin osC = ; sin osB=a a

B c C c

tan cot ; cot tanb c

B C B Cc b

Định lí cosin a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC

H

O

Q

P

B

A

b

a

b'

b ch

a

c'CB

A



Định lí sin 2

sin sin sin

a b cR

A B C

Với R là bán kính đường ròn ngoại tiếp tam giác

ABC

Công thức tính

độ dài đường

trung tuyến trong

tam giác

2 2 2

22

4a

b c am

,

2 2 2

22

4b

a c bm

2 2 2

22

4c

b a cm

Công thức tính

diện tích của tam

giác

1 1 1S= ,

2 2 2

1 1 1sin sinB sinA,

2 2 2

abcS= ,

4R

,

a b cah bh ch

S ab C ac bc

S pr

S p p a p b p c

Với r là bán kính đường ròn nội tiếp tam giác

ABC

Diện tích hình

vuông. Bình phương cạnh góc vuông

Diện tích hình

chữ nhật Chiều dài nhân chiều rộng.

Diện tích hình

thoi Một phần hai tích độ dài hai đường chéo.

PHẦN 2: CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Phương pháp:

c b

a/2 M

B

A

C



Tìm khoẳng cách từ O đến đường thẳng a ta dựng OH vuông góc với đường thẳng

a tia O. Khi đó ;OH d O a

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều tâm O , cạnh a

, hình chiếu của 'C trên mp ( )ABC trùng với tâm của đáy. Cạnh bên 'CC hợp với

ABC góc 060 . Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng 'CC .

A. .2

a B.

3.

2

a C. .

4

a D. .

3

a

Bài giải:

Ta có 'C O ABC nên 0'; ' 60 .CC ABC C CO

Dựng 'OH CC tại H . Khi đó ; ' .OH d O CC

COHD vuông tại H nên 0sin 60 .OH CO

Ta có OH=2 3 3

.3 2 3

aa 03

sin 60 .3 2

a aOH

Vậy chọn A.

aH

O



Ví dụ 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh ,a SA vuông góc với

đáy và .SA a Gọi E là trung điểm của cạnh .CD Tính theo a khoảng cách từ S

đến đường thẳng .BE

A. 5

3

a B.

5.

5

a C.

3 5.

5

a D.

2 5.

5

a

Bài giải:

Dựng SH BE tại .H khi đó ;SH d S BE

Ta có BE SA

BE SHA BE AHBE SH

2

2 2 2 5.

2 2

a aBE BC CE a

1 1.

2 2ABE ABCDS S AH BED

2 2 5

55

2

a aAH

a

Trong tam giác SAHD có 2

2 2 2 4 3 5.

5 5

a aSH SA AH a

Vậy 3 5

; .5

ad S BE

Vậy chọn C.

E

DA

B C

S

H



a

a

G

I

J O

A

B

D

C

S

H

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy (ABCD) là hình vuông tâm O cạnh a , SA

vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a. Gọi I , J là trung điểm của SC và AB. Tính

khoảng cách từ I đến CJ.

A. a 20

10 B. a 30

10 C. a 30

5 D. a 20

20

Bài giải :

Trong (ABCD) dựng OH CJ tại H. Ta có

CJ SO

CJ IOH CJ IHCJ OH

.

Khoảng cách từ I đến CJ là HI .

Gọi G BO CJ nên G là trọng tâm của tam giác ABC ,

với 1 a 2OG OB

3 6 .

Trong COGD vuông tại O có 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 18 20 aOH

OH OC OG a a a 20 .

Trong OIHD vuông tại O : 2 2

2 2 a a a 30IH OH OI

20 4 10

Vậy chọn B

Bài tập tự luyện:

Câu 1: Cho tứ diện S.ABC trong đó SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và

3 , , 2SA a SB a SC a . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

A. 3 2

2

a B.

7 5

5

a C.

8 3

3

a D.

5 6

6

a

Câu 2: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC BCD và BCD là tam giác đều cạnh

bằng a. Biết 2AC a và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng:



A. 2

3a B.

6

11a C.

7

5a D.

4

7a


bằng a. Biết 2AC a và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:

A. 3 2

2

a B.

2 3

3

a C.

4 5

3

a D.

11

2

a

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA ABCD , 2SA a , ABCD là hình thoi cạnh

bằng a và 60oB . Biết 2SA a . Tính khoảng cách từ A đến SC

A. 3 2

2

a B.

4 3

3

a C.

2 5

5

a D.

5 6

2

a

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ABCD , 2SA a , ABCD là hình vuông cạnh

bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.

A. 3

3

a B.

3

4

a C.

2

3

a D.

2

4

a

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng:

A. 2 cota B. 2 tana C. 2

cos2

a D.

2sin

2

a

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,AB,BC vuông góc với nhau từng đôi một.

Biết 3 , 3, 6SA a AB a BC a . Khoảng cách từ B đến SC bằng:

A. 2a B. 2a C. 2 3a D. 3a

Câu 8: Cho tứ diện S.ABC trong đó SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và

3 , , 2SA a SB a SC a . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

A. 3 2

2

a B.

7 5

5

a C.

8 3

3

a D.

5 6

6

a


bằng a. Biết 2AC a và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng:

A. 2

3a B.

6

11a C.

7

5a D.

4

7a




bằng a. Biết 2AC a và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:

A. 3 2

2

a B.

2 3

3

a C.

4 5

3

a D.

11

2

a

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có SA ABCD , 2SA a , ABCD là hình thoi cạnh

bằng a và 60oB . Biết 2SA a . Tính khoảng cách từ A đến SC

A. 3 2

2

a B.

4 3

3

a C.

2 5

5

a D.

5 6

2

a

Dạng 2: Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng.

2.1: Khoảng cách từ điểm M bất kì đến mặt phẳng có chứa đường cao của

hình chóp (lăng trụ…)

Phương pháp:

Bước 1: Quy khoảng cách từ điểm M về điểm A thuộc mp đáy.

Bước 2: Tìm giao tuyến của mp đáy với mp

Bước 3: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H. Khi đó

;AH d A

*Các công thức thường gặp:

d

P

A

OH

M

K

d

P

M

O

K

A

H



Công thức tính tỉ lệ khoảng cách:

d M,mp P MO

AOd A,mp P

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật có 2 ; 3AB a AD a . Hình

chiếu vuông góc của S lên ABCD là H thuộc AB sao cho 2HB HA , góc giữa SC

và ABCD bằng 045 .

a. Tính khoảng cách từ D đến SHC .

A. 9 97

97a B.

2 85

11a C.

85

11

a D.

97

97

a

b. Gọi M là trung điểm của SA. Tính khoảng cách từ M đến SHD

A. 85

6

a B.

85

12

a C.

6 85

85

a D.

3 85

85

a

Bài giải:

Phân tích: Mặt phẳng SHC chứa đường cao của hình chóp. Vì vậy muốn tính

khoẳng cách từ điểm D đến mp SHC ta chỉ cần dựng hình chiếu vuông góc của D

lên HC .

Hướng dẫn:

DA

B C

S

H

KN

M



Dựng DK HC tại K.

Ta có ;DK HC

DK SHC DK d D SHCDK SH

2

22 2 4 973 .

3 3

aHC BH BC a a

Khi đó 1 1

.2 2

HDC ABCDS S DK HCD ABCDSDK

HC

26 9 97.

9797

3

aa

a

Chọn A

* Các sai lầm thường gặp: Các em học sinh hay sử dụng công thức

2 2 2

1 1 1

DK HD DC trong tam giác thường.

Câu b.

Phân tích: Ta có mp SHD chứa đường cao của hình chóp.

Ta thấy điểm M chưa nằm trong mặt phẳng đáy, vì thế ta có thể quy tính khoảng

cách từ M về khoảng cách điểm A đến mp SHD .

Hướng dẫn: M là trung điểm của SA nên

; 1 1

; ;2 2;

d M SHD SMd M SHD d A SHD

SAd A SHD

Dựng AN HD tại N.

Ta có A;AN HD

AN SHD AN d SHDAN SH

Khi đó AN là đường cao của tam giác AHD nên



2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 36

8532

3

AN AH AD aaa

85 85

;6 2 12

a AN aAN d M SHD .

Chọn B

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC đôi một vuông góc với nhau

, biết SA = a√3 , AB = a√3 . Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là :

A. �√�

� B.

�√�

� C.

�√�

� D.

6

2

a

Bài giải :

Phân tích : Khi S là đỉnh để tính khoảng cách từ A đến mp SBC khi đó A là

chân đường vuông góc hạ từ S và mặt phẳng SBC là mặt bên nhưng nếu ta xem C

là đỉnh thì mp SBC chính là mp có chứa đường cao của hình chóp. Vì vậy ta có

thể đổi đỉnh.

Hướng dẫn :

Ta có BC AB

BC ABSBC AS

Dựng AH BS tại H. Khi đó ;AH BS

AH SCB AH d A SBCAH BC

B

A

s

C

H



Tam giác ABS vuông tại S nên 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2

3 3 3AH AB AS a a a

6

2

aAH

* Bài tập tự luyện :

Câu 1 : Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , M là trung điểm của

CD , hình chiếu vuông góc của S lên mp ABCD là trung điểm H của AM , góc

giữa SC với mp ABCD bằng 060 .

a. Tính khoảng cách từ B đến mp SAM

A. B C. D

b. Tính khoảng cách từ C đến mp SAM

A. B. C. D.

Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D có ; ; 'AB a BC b CC c .Tính

khoảng cách từ B đến mp ' 'ACC A .

A. 2 2

ab

a b B.

2 2

a b

a b

C.

2 2

2 2

a b

a b D.

2 2

2

a b.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA đáy và

SA = a 3 . Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp(SAC).

A. a 2

6 B.

2

3

a C.

2

2

a D.

2 2

3

a

Hướng dẫn:

Ta có BO AC BD a 2

BO SAC d B, SAC BOBO SA 2 2

.

Hai điểm B và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với (SAC) tại I với I trung

điểm của SA , nên có:

d G, SAC GI 1 1 a 2

d G, SAC d B, SACBI 3 3 6d B, SAC

.



2.2: Khoảng cách từ hình chiếu vuông góc A của đỉnh S đến mp bên

Phương pháp: Bước 1: Tìm giao tuyến của với mp đáy.

Bước 2: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H.

Bước 3: Nối SH, dựng AK vuông góc SH tại K. Khi đó

;AK d A

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mp ABC ; 4 ;AB AC cm

3 ;AB cm 5BC cm . Tính khoảng cách từ A đến mp .BCD

A. 6 34

7 B.

34

7 C.

2 34

7

3 34

7

Hướng dẫn:

Phân tích :Ta thấy A là chân đường vuông góc hạ từ D xuống mp BCD . Vì thế ta

áp dụng phương pháp tìm khoảng cách từ chân đường vuông góc hạ từ đỉnh xuống

mp bên

Giải:



Cách 1: Dựng AE BC tại E.

Ta có BC AE

BC ADEBC AD

BDC ADE theo giao tuyến DE.

Dựng AH DE tại H ;AH d A DBC

Ta có ABCD vuông tại A, nên 2 2 2

1 1 1 1 1 25

9 16 144AE AB AC

AH là đường cao của tam giác ADE nên 2 2 2

1 1 1 1 25 17

16 144 72AH AD AE

6 34

17AH

Vậy 6 34

;17

d A BCD cm

Cách 2 : Ta thấy ; ;AD AB AC đôi một vuông góc nhau nên tứ diện ABCD là tứ diện

vuông.

Vì vậy khoảng cách từ A đên BCD có thể tính theo công thức

2 2 2 2

1 1 1 1

; AD AB ACd A BCD

2 3 2

1 1 1

4 3 5

A

B

C

D

E

H



6 34

;17

d A BCD cm

* Sai lầm thường gặp : Một số học sinh không phân biệt được mặt phẳng đã cho

để tính khoảng cách đó có chứa đường cao của hình chóp (hình lăng trụ… ) hay

không, nên trong bài toán này các em thường chỉ dựng AE vuông góc BC tại E và

nghĩ rằng đó chính là khoảng cách từ A đến mp BCD .

Ví dụ 2 : Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật có 2 ; 3AB a AD a . Hình

chiếu vuông góc của S lên ABCD là H thuộc AB sao cho 2HB HA , góc giữa SC

và ABCD bằng 045 .

a. Tính khoảng cách từ H đến mp SCD

A. B. C. D.

b. Gọi M là trung điểm của SA. Tính khoảng cách từ H đến mp CDM

A. B. C. D.

a. Phân tích : Ta thấy H là hình chiếu vuông góc của S lên mp ABCD và mp

SCD là mp bên

Giải : Từ H dựng HL CD tại L . Ta có CD HL

CD SHLCD SH

SHL SCD theo giao tuyến SL.

T

DA

B C

S

H

M F



Dựng HF SL tại F ;HF d H SCD

Ta có 2

22 2 4 973 .

3 3

aHC BH BC a a

97

3

aSH HC

Ta giác SHC vuông tại H có đường cao HF nên

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 178

873397

3

HF SH HL aaa

873;

178HF d H SCD a

b. Phân tích: ta thấy muốn tính khoảng cách từ H đến mp (MCD) thì H là chân

đường vuông góc hạ từ S xuống mp đáy (ABCD) trong đó mp (MCD) không chứa

đỉnh S. Vì vậy ta xem đỉnh là M thì chúng ta phải quy tính khoảng cách từ H về

điểm P là hình chiếu của M lêm mp (ABCD) lúc đó T sẽ là trung điểm của HA.

Bài giải: Gọi P là trung điểm của HA, ta có MP ABCD

, ta thấy / /PH MCD

nên ; ;d H MCD d P MCD

Dựng PT CD

tại T

.

LPD

A

B C

S

H

M F



Ta có

CD PTCD MTP

CD MP

MCD MTP

theo giao tuyến MT

.

Dựng PQ MT

tại Q

. Khi đó ;PQ d P MCD

.

1 97

2 6

aMP SH

; 3PT a

Ta có 2 22 2 2

1 1 1 1 1

397

6

PQ MP PT aa

2

421

873a

873

421PQ a

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = a, đáy ABC là tam giác

vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . Tính khoảng cách từ A đến (A'BC).

A. 21

21

a B.

21

7

a C.

3

7

a D.

2 21

7

a

Bài giải : Dựng AH BC tại H. Tam giác ABC vuông tại A có

2 2AC BC AB a và a 3.a a 3AH.BC AB.AC AH

2a 2 .

Ta có BC AH và BC AA' BC A' AH mà BC (A'BC)

A' BC A'AH , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến A'H

trong (A’AH) dựng AK A'H K A'H AK A' BC .

Vậy d A, A' BC AK .

Trong A' AHD có : 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 4 7 a 21 AK

7AK AA' AH a 3a 3a .

Kết luận a 21d A, A' BC

7 .

* Trường hợp đặc biệt: + Tứ diện vuông.



Nếu tứ diện ABCD là tứ diện vuông tại A, Gọi H là hình chiếu vuông góc của A

lên BCD thì ;AH d A BCD

Khi đó ta có thể sử dụng công thức 2 2 2 2

1 1 1 1

AH AB AC AD

+ Một số trường hợp phải đổi đỉnh để quy về chân đường cao mới.

Nếu ta nhìn mặt phẳng cần tính khoảng cách chưa chứa đỉnh của hình chóp thì ta

nên dựng đường cao mới ứng với đỉnh của mp.

Bài tập tự luyện: Câu 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,AB,BC vuông góc với nhau từng đôi một.

Biết 3 , 3SA a AB a . Khoảng cách từ A đến SBC bằng:

A. 3

2

a B.

2

3

a C.

2 5

5

a D.

6

2

a

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết

2 ,AD a SA a . Khoảng cách từ A đến SCD bằng:

A. 3 2

2

a B.

2 3

3

a C.

2

5

a D.

3

7

a

Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng 3a .

Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên.

A. 5

2

a B.

2 3

3

a C.

3

10a D.

2

5a

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng

2a . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên.

A. 3

2

a B.

2 3

3

a C.

2 5

3

a D.

5

2

a

2.3: Khoảng cách từ điểm bất kì đến mp bên.

Phương pháp: Quy khoảng cách từ điểm đó đến mp bên về khoảng cách từ điểm

là hình chiếu của đỉnh S đến mp bên.

* Các ví dụ:



Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy là hình thang vuông tại ,A D ,

.,AB AD a 2CD a . Cạnh bên SD vuông góc với đáy ABCD và .SD a Tính

khoảng cách từ A đến ( )SBC .

A. 6

6

a B.

6

3

a C.

6

12

a D.

6

2

a

Hướng dẫn giải:

Phân tích: Ta thấy rằng A không phải là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh S và

mp SBC cũng không chứa đường cao của hình chóp, vì vậy chúng ta có thể đưa

khoảng cách từ điểm A về chân đường vuông góc hạ từ đỉnh S là D.

Giải:

Gọi I là trung điểm của DC. Khi đó / / / /AI BC AI SBC

( ; ;d A SBC d I SBC

Ta có I là trung điểm của DC nên ; 2 ; 2 ;d D SBC d I SBC d A SBC

Ta có SD BC

BC SDBDB BC

SDB SBC theo giao tuyến SB.

Dựng DH SB tại H ;DH d D SBC

Tam giác DSB vuông tại D nên 2 2 2

1 1 1

DH SD DB

22 2

1 1 3

22a aa

6

3

aDH

6

;6

ad A SBC

CID

A B

S

H



45°

H

N

MA D

B C

S

I

1

11H

A

B C

DM

N

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và vuông

góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa

mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính khoảng cách từ D đến

mặt phẳng (SBM).

A. 2

3

a B. 2a C.

2

2

a

Hướng dẫn:

Phân tích: ta thấy mp (SMB) không chứa đường cao của hình chóp và cũng không

phải là hình chiếu vuông góc của đỉnh S nên ta có thể quy khoảng cách từ điểm D

về điểm A là chân đường cao hạ từ S.

Giải:

Gọi H là giao điểm của BM và AN. Ta có 1 1

ABM DAN c.g.c B AD D , Mà

0 0

1 1 1 1B M 90 A M 90 . Vậy BM AN

Ta có BM AN

BM SAN BM SHBM SA

.

BM là giao tuyến của mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) và có BM AN ,

BM SH nên góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng AN và SH là góc 0SHA 45 .

Tam giác SAH vuông cân tại A AH AS a

Trong tam giác vuông ABM:

2 2 2

1 1 1

AB AM AH

2 2AB 5AH AB AH 5 a 5

Có BM SAN mà BM (SBM) (SBM) (SAN) , hai mặt phẳng (SBM) và (SAN)

vuông góc nhau theo giao tuyến SH , trong (SAN) dựng AI SH I SH suy ra

AI SBM d A,mp SMB AI .

Trong tam giác SAH vuông cân tại A có SH AH. 2 a 2AI

2 2 2 .



OH

A

B C

D

S

K

I

L

J

M

Hai điểm A và D cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBM) tại M

nên có :

d D, SMB DM a 2

1 d D, SMB d A, SMBAD 2d A, SMB

.

Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a và AC = a. Từ trung điểm H của AB

dựng SH vuông góc với (ABCD) với SH = a.

a). Tính khoảng cách từ H đến (SCD).

A. a 21

21 B. a 21

7 C. a 21

14 D. a 21

b). Tính khoảng cách từ O đến (SCD).

A. a 21

14 B. a 21

7 C. 2a 21

7 D.

21

21

a

c). Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

A. 57a B. a 57

38 C. a 57

19 D. 2a 57

19

Hướng dẫn giải:

a. Tính khoảng cách từ H đến (SCD).

Phân tích: Ta thấy H là chân đường cao hạ từ đỉnh S nên

ta cáp dụng phương pháp tính khoảng cách từ chân

đường cao đến mp bên.

Trong (ABCD) dựng HK CD tại K .

Ta có CD HK

CD SHKCD SH

mà CD (SCD) SCD SHK hai mặt phẳng này

vuông góc với nhau theo giao tuyến SK , trong (SHK)

dựng HI SK tại I

HI SCD .



Vậy d H,mp SCD HI .

Vì a 3AB CD d H,CD d A,CD

2 ( ACDD đều )

Trong SHKD vuông tại H : 2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 7 a 21HI

7HI HK HS 3a a 3a .

Kết luận a 21d H,mp SCD HI

7 .

b). Tính khoảng cách từ O đến (SCD).

Gọi M là giao điểm của HO và CD, O là tâm đối xứng của đáy suy ra O trung

điểm của HM. Nên

d O, SCD OM 1 a 21

d O, SCDHM 2 14d H, SCD

.

c). Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Muốn tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) , ta phải tính khoảng cách từ H đến

mp(SBC) trước sau đó sử dụng công thức tính tỉ lệ khoảng cách

Trong (ABCD) dựng HL BC tại L , có BC HL

BC SHLBC SH

SBC SHL , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SL, trong

mp(SHL) dựng HJ SL tại J HJ SBC d H, SBC HJ .

Ta có ABCD đều nên 0HBL 60 . Trong DHBL: 0 a 3HL BH.sin 60

4 .

Trong SHLD vuông tại H : 2 2 2 2 2 2

1 1 1 16 1 19 a 57HJ

19HJ HL HS 3a a 3a

Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBC) tại B nên có

d A, SBC AB 2a 57

2 d A, SBCHB 19d H, SBC

.



Ví dụ 4 : (ĐH_KA_2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a, 3a

2SD , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung

điểm cạnh AB. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Giải. Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH ABCD

Xét tam giác vuông HSD vuông tại H, ta có:

22 2 2 2 2

2 22

2

4

9a

4 4

ABSH SD HD SD AD

aa

a

SH a

Tính khoảng cách , ( )d A SBD ?

Cách 1. Phân tích:

+) Ta có AH SBD B . Vì vậy quy khoẳng cách từ điểm A về điểm H là chân

đường cao hạ từ S đến mp ABCD

+) Tính , ( )d H SBD

+)

, ( )2

, ( )

d A SBD AB

d H SBD HB

Giải.

Gọi O AC BD AC BD tại O

Trong mặt phẳng ABCD , kẻ / /HI BD I BD HI AO . Kẻ HK SI K SI .

Suy ra , ( )d H SBD HK

a

3a

2

I

OH

CB

A D

S

K



Xét tam giác OAB, có H là trung điểm của AB và / /HI AO suy ra HI là đường trung

bình của tam giác OAB. Nên ta có 2

2 4

OA aHI

Xét tam giác HSK vuông tại H, có:

22 2 2 2

1 1 1 1 1 9

32

4

aHK

HK HI SH a aa

Tính , ( )d A SBD ?

Ta có AH SBD B , suy ra

, ( )2

, ( )

d A SBD AB

d H SBD HB

2a

, ( ) 23

d A SBD HK

Cách 2. (Hướng gián tiếp: Kết hợp giữa tính chất tứ diện vuông và kỹ thuật dời

điểm cắt nhau)

Phân tích: +) Ta có , ,SH HB SH HO HB HO , suy ra S.HOB là tứ diện vuông

+) , ,SOB SBD d H SOB d H SBD

+ Sau khi tính được khoảng cách từ H thì ta lại

quy về để tính ,d A SBD

Giải.

Do , ,SH HB SH HO HB HO , suy ra S.HOB

là tứ diện vuông.

Ta lại có

, ,SOB SBD d H SOB d H SBD Tính ,d H SOB h ?

Sử dụng tính chất tứ diện vuông ta có:

OH

CB

A D

S



2 2 2 2 2

1 1 1 1 9

h HS HO HB a với

2

aHB HO

Suy ra 3

ah

Tính 2a

,3

d A SBD

Cách 3. Có thể dùng kỹ thuật thể tích khối chóp (Áp dụng cho học sinh 12)

Phân tích:

+) Khai thác bài toán ta có . .

1.

2S ABD S ABCDV V

+) Mặt khác ta có ..

31, . ,

3S ABD

S ABD SBD

SBD

VV d A SAD S d A SAD

SD

D

+) Tính diện tích tam giác SBD.

Giải.

Ta có . .

1.

2S ABD S ABCDV V

Mặt khác có . ..

3 31, . , (1)

3 2S ABD S ABCD

S ABD SBD

SBD SBD

V VV d A SBD S d A SBD

S SD

D D

Tính diện tích tam giác SBD. Trong mặt phẳng (SBD), kẻ ( )SI BD I BD

thì 1

.2

SBDS SI BDD

a

3a

2

I

OH

C

DA

B

S



Do H là hình chiếu của S trên mp(ABCD) và SI ABCD I mà ( )SI BD I BD .

Suy ra HI BD (theo định lí ba đường vuông góc)

Xét tam giác HIS vuông tại H có

22 22 2 2 2 2 2 9a 3

2 4 8 2 2

OA a aSI SH HI SH a SI

Suy ra 21 1 3 3

. 22 2 42 2

SBD

a aS SI BD aD (2)

Thay (1) vào (2) ta có

3

2

3.2a3,

3 32.

4

a

d A SBDa

* Bài tập tự luyện

Câu 1: ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2013 : Cho hình chóp

S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, 0ABC 30 , SBC là tam giác đều cạnh a và

mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

A. a 39

13 B. a 39

26 C. a 39

39 D. 2a 39

13

Câu 2 : Trong mặt phẳng (P) , cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng a, góc

ABC= 120° . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD. Trên đường thẳng vuông góc

với mặt phẳng (P) tại G lấy điểm S sao cho góc ASC = 90° . Khoảng cách từ điểm

G đến mặt phẳng (SBD) theo a là :

A. �√�

� B.

�√�

� C.

��√�

� D. Đáp án khác

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ,

SA = a , SA (ABCD) , AB = BC = a và AD = 2a . Khoảng cách từ điểm B đến

mặt phẳng (SCD) theo a là :

A. �√�

� B.

��√�

� C.

�√�

� D.

�√�

�



Câu 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = 2a ,

BC = a√2 , BD = a√6 . Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trọng tâm G

của tam giác BCD. Biết SG = 2a , khoảng cách từ điểm A đến (SBD) theo a là :

A. ��

�√� B.

�

√� C.

��

√� D. Đáp án khác.

Câu 5 : Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a√2 , BD = CD = a√3 , BC = 2a , góc

tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 45° . Khoảng cách từ điểm B đến mặt

phẳng (ACD) là :

A. a√2 B . a√5 C. �√�

� D. Cả A và C đều đúng.

Câu 6 : Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,AB,BC đôi một vuông góc với nhau ,

biết SA = a√3 , AB = a√3 . Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là :

A. �√�

� B.

�√�

� C.

�√�

� D. Đáp án khác

Câu 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật; 2 ; 2AB a AD a . Gọi M

là trung điểm của AB, hai mặt phẳng SAC và SDM cùng vuông góc với mp đáy

và 6SH a với H là giao điểm của AC và DM. Tính khoảng cách từ H đến mp

SAD

Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến BCD bằng:

A. 6

2

a B.

6

3

a C.

3

6

a D.

3

3

a

Dạng 3: Khoảng cách giữa đường thẳng song song với mp.

- Phương pháp: Việc tính khoảng cách từ đường thẳng D đến mặt phẳng ()

được đưa về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Vậy:

( ,( )) ( ,( )), D Dd d M M .

Các ví dụ:



Bài 1. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D , 2AD a . Trên đường thẳng

vuông góc tại D với ABCD lấy điểm S với 2SD a . Tính khỏang cách giữa

đường thẳng DC và SAB .

A. 2a . B. 3

3

a. C.

2

a. D.

2

3

a.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dựng DK SA , , ,d DC SAB d D SAB DK

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 3

2 4 4DK SD AD a a a

2

3

aDK

2a

A

CD

S

B

K



Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều . có 2 .S ABCD AB SA a Khoảng cách từ đường

thẳng AB đến SCD bằng bao nhiêu?

A. 6

.2

a B.

6.

3

a C. .

2

a D. .a


Chọn B.

Gọi ,I M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD thì ( )CD SIM

Vẽ IH SM tại H SM thì ( )IH SCD

.

, ( ) , ( )SO IM

d AB SCD d I SCD IHSM

SABD đều cạnh 2 3 3a SI a SM a

Và 2 212

2OM IM a SO SM OM a

Cuối cùng . 2.2 2 6

,( )33

SO IM a a ad AB SCD

SM a

I MOB

A D

C

S

H



Bài 3. Cho hình chóp .S ABCD có SA ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông có

chiều cao AB a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB vàCB . Tính khỏang

cách giữa đường thẳng IJ và . SAD

A. 2

2

a B.

2

a C.

3

3

a D.

3

a


Chọn B.

/ / AD / /( ) (SAD) ,( ) .2

aIJ IJ SAD d IJ, d I SAD IA



Bài 4. Cho hình chóp .O ABC có đường cao 2

3

aOH . Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của OA và OB . Tính khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC .

A. 3

.3

a B.

2.

2

a C. .

2

a D. .

3

a


Chọn A.

Khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC :

3, , .

2 3

OH ad MN ABC d MNP ABC

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp SABCD, có SA (ABCD) và SA = a 6 , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kinh AD = 2a.

a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) l:

.A a . 2B a 2

.2

aC .

2

aD

b) Khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) là: 6

.3

aA . 3B a

6.

2

aC .

2

aD

P

N

M

HA C

B

O



Diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với

mp(SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng 3

4

a là:

2.A a 2. 3B a 2 3

.2

aC

2 6.

2

aD

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 .

a) Khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) l: 3

.2

aA . 3B a

2.

2

aC .

2

aD

b) Khoảng cách từ A đến (ABC) l: 6

.3

aA . 21B a

21.

3

aC

21.

7

aD

c) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) l:

2.

3

aA . 2B a

2.

2

aC .

2

aD

Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = 2a.

a) Khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) l: 2 6

. ;2 3

a aA

2. 2;

2

aB a

6. ; 2

2

aC a

2. ; 2

2

aD a

b) M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Khoảng cách từ MN đến (SBD): 2

.3

aA . 2B a

6.

3

aC .

2

aD

c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt các cạnh SA, SD theo thứ tự tại E, F. Cho biết

AD cách (P) một khoảng là 2

2

a, Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) l:

2 6.

2

aA 2. 2B a

2 2.

2

aC

2 3.

2

aD

Bài 4. (Chuyên Hưng Yên) Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác cân, AB AC a ,

120BAC . Mặt phẳng ' 'AB C tạo với đáy một góc 60°. Thể tích của lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và

khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng ' 'AB C là:

33 3. ;

8 4

a aA

33 2. ;

8 2

a aB

33 3. ;

4 4

a aC

3 2. ;

8 2

a aD



Bài 5. Cho biết khẳng định nào sau đây là sai?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, khi đó:

A. mặt phẳng (A’BD) song song với mặt phẳng (CB’D’).

B. ' ( ' ) . ' (CB'D')AC A BD M AC N thì M và N tương ứng là trọng tâm

của các tam giác A’BD và CB’D’.

C. 'AM MN NC .

D. AC’ vuông góc với (A’BD) và (CB’D’).

Bài 6. Trong không gian cho điểm O không thuộc mặt phẳng (P). Tập hợp những

đường thẳng đi qua O và song song với (P) là

A. toàn bộ không gian.

B. một mặt phẳng song song với (P).

C. hai mặt phẳng song song với (P).

D. một mặt phẳng đi qua O và song song với (P).

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đaý là hình thang vuông

có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC = a. Khi đó

khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (SAD) là bao nhiêu?

A. h ;a B. h ;2

a C.

2h ;

2

a D.

3h ;

2

a

Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD cạnh đáy bằng cạnh bên bằng a . Tính

khoảng cách h từ AD đến mp SBC bằng bao nhiêu?

A. 2

3

ah . B.

2

3h a . C.

3

2

ah . D.

3

ah .

Dạng 4: Khoảng cách giữa hai mp song song nhau.

Phương pháp: Quy về khoảng cách từ 1 điểm nằm trên mp này đến mp kia.



Các ví dụ

Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác .ABC A B C có các cạnh bên hợp với đáy những

góc bằng 060 , đáy ABC là tam giác đều cạnh a và A cách đều , ,A B C . Tính khoảng

cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

A. a . B. 2a . C. 2

3

a. D.

3

2

a.


Chọn A.

Khoảng cách giữa hai đáy bằng đường cao A H của tứ diện .A ABC

0tan 60A H

A H aA G

, G là trọng tâm tam giác ABC .

Bài 2. Cho hình hộp thoi .ABCD A B C D có các cạnh đều bằng a và 060BAD BAA DAA . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy ( )ABCD và ( )A B C D

là:

A. 10

5

a. B.

6

3

a. C.

5

5

a. D.

3

3

a.


β

α

A

H

60

G

C'

B'

C

B

A

A'



Chọn B.

.A ABD là tứ diện đều cạnh a

Khoảng cách giữa hai đáy là đường cao A G của tứ diện A ABD và bằng

6

3

a

Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác 1 1 1.ABC A B C có cạnh bên bằng .a Các cạnh bên của

lăng trụ tạo với mặt đáy góc o60 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng 1 1 1A BC

là trung điểm của 1 1.BC Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?

A. 3

.2

a B. .3

a C.

2.

2a D. .

2

a


Chọn A.

Ta có: ' ' 60 .oA H ABC A AH

o 3' ' ' , ' ' .cos60 .

2d A B C ABC A H A A a

C'

D'

B'

C

DA

B

A'

G



Bài 4. Cho hình lập phương .ABCD A B C D cạnh .a Khoảng cách giữa

và AB C A DC bằng :

A. 3a . B. 2a . C. 3

a. D.

3

3

a.


Chọn D.

Ta có , , ,d dAB C A DC B A D d DC A DC

Gọi O là tâm của hình vuông A B C D . Gọi I là hình . Chiếu của D trên

O D , suy ra I là hình chiếu của D trên A DC .

2 2 2

2

2.

. 32, , .3

2

2

aa

D O D DAB C A

ad d D D I

DDC A D

O D D a

C

a

c) Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a > 0. Khi đó, khỏang cách

giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD) là bao nhiêu?

A. 3

3

ah . B.

3

2

ah .



C. 2

3

ah . D.

6

3

ah .

Bài 2. Cho hình lăng trụ tứ giác đều .ABCD A B C D có cạnh đáy bằng .a Gọi , , M N P

lần lượt là trung điểm của , , . AD DC A D Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

và .MNP ACC

A. .3

a B.

2.

4

a C.

3.

3

a D. .

4

a


Chọn B.

Nhận xét ( ) ( )ACC ACC A

Gọi , O AC BD I MN BD

Khi đó, , ( )OI AC OI AA OI ACC A

Suy ra 1 2

( ), ( )4 4

ad MNP ACC OI AC

Bài 3. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?

A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm

M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

O

IN

M

B

C

P

N

M

C

C'

D

BA

A' B'

D'

A

D



B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường

vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng () chứa đường này

và () vuông góc với đường kia.

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ

một điểm M thuộc () chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì

trên b.

D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng () song song với a là

khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng ().

Bài 4. Cho hình lăng trụ .ABC A B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc tạo bởi cạnh

bên và mặt phẳng đáy bằng 30 . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng A B C thuộc

đường thẳng B C . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là:

A. .3

a B.

3.

2

a C. .

2

a D.

2.

2

a

Bài 5:Cho hình chóp S.ABCD có SA ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông có

chiều cao AB a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CB. Tính khoảng cách

giữa đường thẳng IJ và SAD .

A. 2

2

a B.

3

3

a C.

2

a D.

3

a

Bài 6:Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, 2AD a . Trên đường thẳng

vuông góc tại D với ABCD lấy điểm S với 2SD a . Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng DC và SAB .

A. 2

3

a B.

2

a C. 2a D.

3

3

a

Bài 7: Cho hình chóp O.ABC có đường cao 2

3

aOH . Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và ABC bằng:

A. 2

a B.

2

2

a C.

3

a D.

3

3

a



Bài 8: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AD,DC,A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

MNP và 'ACC .

A. 3

3

a B.

4

a C.

3

a D.

2

4

a

Bài 9: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60o đáy ABC là tam giác đều và A’ cách đều A,B,C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

A. a B. 2a C. 3

2

a D.

2

3

a

Dạng 5: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

I/ LÝ THUYẾT

1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : Định nghĩa: Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

D và 'D là đường thẳng a cắt D ở M và cắt

'D ở N đồng thời vuông góc với cả D và 'D .

Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau D và 'D .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đườngthẳng đó .

2. Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :

Cách 1: Khi a b Dựng một ,mp P b P a tại H .

Trong (P) dựng HK b tại K . Đoạn HK là đoạn vuông góc

chung của a và b . Cách 2:

Dựng , / /P b P a .

Dựng 'P

a hch a , bằng cách lấy M a

dựng đoạn MN , lúc đó a’ là

đường thẳng đi qua N và song song a .

(a)

D'

DM

N



Gọi 'H a b , dựng / /HK MN HK là đoạn vuông góc chung cần tìm .

3. Nhận xét 3.1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ 1 điểm

trên đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng kia. 3.2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2

mặt phẳng song song lần lượt chứa 2 đướng thẳng đó.

II/ CÁC DẠNG TOÁN

DẠNG 1: Xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

1. Phương pháp giải

Cách 1 : Dùng định nghĩa, dựng đoạn vuông góc chung Cách 2 : Áp dụng nhận xét 3.1 Cách 3 : Áp dụng nhận xét 3.2

* Đặc biệt

+ Nếu thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta

tìm giao điểm I của (P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó

+ Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung

điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

3. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SD a 2

, SA SB a , và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.

Giải

Theo giả thiết ABCD SBD theo giao tuyến BD.

Do đó nếu dựng AO SBD thì O BD

Mặt khác AS AB AD OS OB OD hay SBDD là tam giác vuông tại S.

2 2 2 2BD SB SD a 2a a 3

32 2 2 3a a

AO AB OB a4 2

Trong SBDD dựng OH SD tại H (1)

H là trung điểm của SD.

Theo chứng minh trên AO SBD AO OH (2)

a b

d(a, b) IH

H

O

B

CD

A

S



Từ (1) và (2) chứng tỏ OH là đoạn vuông góc chung của AC và SD.

Vậy d AC,SD OH

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, SA vuông góc với đáy, SA AD a, AB 2a . Xác định khoảng cách giữa AB và SC.

Hướng dẫn giải Ta có: AB // DC nên

d AB,SC d AB, SDC .

Trong mặt phẳng (SAD) từ A kẻ

AH SD, H SD 1

Ta có:

DC AD

DC SAD DC AH 2DC SA

Từ (1) và (2) suy ra AH SCD

AH d AB, SCD d AB,SC

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Kí hiệu

là khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. B. C. D.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc với đáy. H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Kí hiệu


A. B. C. D.

Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều, I là trung điểm AB. Kí hiệu là khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA' và

BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. B. C. D.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm AC, M là trung điểm BC, H là hình chiếu

( , )d a b

( , ) d SA BC AB ( , ) d BI SC IH ( , ) d SB AC IH

( , ) d SB AC BI

( , )d a b

( , ) d AB SC BS ( , ) d AB SC AK ( , ) d AB SC AH

( , ) d AB SC BC

( ', )d AA BC

( ', ) d AA BC AB ( ', ) d AA BC IC ( ', ) 'd AA BC A B

( ', ) d AA BC AC

BE

A

D C

S

H



của I lên SC. Kí hiệu là khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b. Khẳng

định nào sau đây đúng ?

A. B. C. D.

Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, I là trung điểm AB. Kí hiệu là khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và

B'C'. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. B. C. D.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Kí hiệu


A. B. C. D.

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm AB, N là trung điểm AC,

SB = AB, , , G là trọng tâm tam giác ABC, I,K lần

lượt là trung điểm BC, SA. Kí hiệu là khoảng cách giữa 2 đường thẳng a

và b. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. B. C. D.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với đáy, H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SI, SD. M,N lần lượt là trung điểm của SB,AD. Kí hiệu là khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN

và SI. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. B. C. D.

DẠNG 2: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

1. Phương pháp giải

Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính

khoảng cách từ b đến mp(P) .

( , )d a b

( , ) d BI SC IH ( , ) d SA BC AB ( , ) d SA BC AM

( , ) d SB AC BI

( , ' ')d AB B C

( , ' ') AB'd AB B C ( , ' ') BC'd AB B C ( , ' ') AA 'd AB B C

( , ' ') AC 'd AB B C

( , )d a b

( , ) d SA BC AB ( , ) d SB AC IH ( , ) d BI SC IH

( , ) d SB AC BI

( ) ( )SMC ABC ( ) ( )SBN ABC

( , )d a b

( , ) d SA BC IA ( , ) d SA MI IK ( , ) d SA BC IK

( , ) d SA BC IS

( , )d MN SI

1( , )

2d MN SI AK

1( , )

2d MN SI AI

1( , )

2d MN SI AB

1( , )

2d MN SI AH



Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm .

Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó .

2. Công thức thường dùng

- Các công thức ở dạng 1

- Các công thức khác

3. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD

, biết SD 2a 5 , SC tạo với mặt đáy ABCD một góc 060 . Tính theo a khoảng cách

giữa hai đường thẳng DM và SA.

A. a 15

79 B.

a 5

79

C. 2a 15

79 D.

3a 5

79


Sử dụng cách 1

Theo giả thiết ta có SM ABCD

MC là hình chiếu của SC trên ABCD nên góc giữa

SC với mặt phẳng ABCD là 0SCM 60

Trong tam giác vuông SMC và SMD ta có:

2 2 0SM SD MD MC.tan60 mà ABCD là hình

vuông nên MC MD

2 2 2SD MC 3MC MC a 5 SM a 15

Dựng hình bình hành AMDI ta có AI / /MD nên

d DM,SA D DM, SAI d M, SAI

Kẻ MH AI và MK SH . Chứng minh d M, SAI MK

Tính được 2a 2a 15

MH MK5 79

. Vậy chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a

, cạnh bên AA ' a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.

I

MCB

A D

S

H

K



A. a 35

7 B.

a 7

7 C.

a 5

5 D.

a 35

5


Sử dụng cách 1

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B.

Gọi E là trung điểm của BB’. Khi đó B'C / / AME

Suy ra d AM,B'C d B'C, AME

d C, AME d B, AME

Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME)

Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 7 a 7h

7h BA BM BE h a

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C là a 7

7.

Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 , 0BAD 120 và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng số đo của góc

giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 060 . Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng BD và SC

A. a 7

14 B.

3a 7

4 C.

3a 7

14 D.

a 7

8


Sử dụng cách 3

Gọi O AC BD . Vì DB AC, BD SC

nên BD SAC tại O.

Kẻ OI SC OI là đường vuông góc chung

của BD và SC.

Sử dụng hai tam giác đồng dạng ICO và ACS

hoặc đường cao của tam giác SAC, suy ra được

3a 7OI

14 . Vậy 3a 7

d BD,SC14

.

Vậy chọn đáp án C.

E

M

B'

C'

A C

B

A'

O H

B

D C

A

S

I



Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SD a 2

, SA SB a , và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a

khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.

A. a

4 B.

5a

2 C.

a

2 D.

3a

2


Sử dụng cách 3

Theo giả thiết ABCD SBD theo giao tuyến BD.

Do đó nếu dựng AO SBD thì O BD

Mặt khác AS AB AD OS OB OD hay SBDD là tam giác vuông tại S.

2 2 2 2BD SB SD a 2a a 3

32 2 2 3a a

AO AB OB a4 2

Trong SBDD dựng OH SD tại H (1)

H là trung điểm của SD.

Theo chứng minh trên AO SBD AO OH (2)

Từ (1) và (2) chứng tỏ OH là đoạn vuông góc chung của

AC và SD.

Vậy 1 ad AC,SD OH SB

2 2

4. Sai lầm thường gặp (nếu có)

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A, . Tam giác

SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa SC và AB.

A. 2 39

39.

a B.

3

4.

a C.

39

13.

a D. Đáp án khác.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB đều cạnh a, tam giác ABC cân tại C. Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AB, góc hợp bởi

cạnh SC và mặt đáy là 030 . Tính khoảng cách của hai đường thẳng SA và BC

aAC

2

H

O

B

CD

A

S



A.3a

13 B.

3a

13

C.a

13

D. 2a

13

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, tứ giác ABCD là hình thang cân, hai đáy là BC và

AD. Biết SA a 2, AD 2a, AB BC CD a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng ABCD trùng với trung điểm cạnh AD. Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng SB và AD

A. a 21

3 B.

a 21

7 C.

a

7

D. 3a

7

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 3a, AD 2a

. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao

cho AH 2HB . Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD bằng 060 . Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD

A. a 39

15 B.

6a 39

13 C.

a 39

3 D.

a 39

11

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, a 17

SD2

,

hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB.

Gọi K là trung điểm của đoạn AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và

SD theo a.

A. a 3

25 B.

a 3

45 C.

a 3

15 D.

a 3

5

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có a 70

SC5

, đáy ABC là tam giác vuông tại A,

AB 2a, AC a và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB.

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA

A.3a

5 B.

4a

5 C.

a

5 D.

2a

5

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng 3a. Chân

đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho

AB 3AH , góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 060 . Tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng SA và BC



A.3a 21

29 B.

3a 21

19

C.a 21

39

D. 3a 21

7

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD 2a

. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của H và AD, góc

giữa SB và mặt phẳng đáy (ABCD) là 045 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

SD và BH theo a

A. 2a

3 B.

2a5

C.2

a3

D. a

3

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh

bên SD hợp với mặt đáy một góc 060 và hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt

đáy là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.

A. a 345

31 B.

a 546

31 C.

a 645

31 D.

a 465

31

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật 1 1 1 1.ABCD A B C D có ba kích thước AB = a, AD = 2a,

AA1 = 3a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A1BD) bằng bao nhiêu?

A. a B. 7

6a C.

5

7a D.

6

7a

Câu 2: Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = AD = a và

. Khi đó khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh

đối diện của tứ diện A’ABD bằng

A.

B. C.

D.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc 060BAD

. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và 3

4

aSO . Khoảng cách

từ A đến mặt phẳng (SBC) là:

A. 3

2

a B.

3

2

a C.

2

3

a D.

3

4

a

0' ' 60A AB A AD BAD

2

2

a 3

2

a2a

3

2

a



Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = AC = AD

= 3. Diện tích tam giác BCD bằng:

A. 9 3

2 B. 27 C.

27

2 D.

9 2

3

Câu 5: Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.

Khoảng cách từ đỉnh S tới mặt phẳng đáy là:

A. a B. C. 1,5a D. a

Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trong các mệnh đề sau mệnh

đề nào là đúng?

A. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BD) bằng

B. Độ dài đoạn AC’ bằng a

C. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (CDD’C’) bằng a

D. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC’B’) bằng

Câu 7: Cho góc 090xOy và một điểm M nằm ngoài mặt phẳng chứa góc xOy . Biết

MO = 6. Khoảng cách từ M đến Ox và Oy bằng nhau và bằng 2 5 . Khoảng cách từ

M đến (Ox, Oy) bằng bao nhiêu?

A. 2 3 B. 2 C. 2 2 D. 4

Câu 8: Cho hình lập phương 1 1 1 1.ABCD A B C D cạnh bằng a. Trong các kết quả sau, kết

quả nào đúng?

A. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) bằng 3

a.

B. Khoảng cách từ AB đến B1D bằng 2

a

C. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CDC1D1) bằng 2a .

2a 3

3

a

3

2

3

2

a



D. 1 2AC a .

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng cạnh bên bằng a. Khoảng

cách từ AD đến mp(SBC) bằng bao nhiêu?

A. 2

3

a B.

2

3a C.

3

2

a D.

3

a

Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Cạnh bên AA1 = 21. Tam giác ABC

là tam giác vuông cân tại A, BC = 42. Khoảng cách từ A đến (A1BC) bằng bao

nhiêu?

A. 7 2 B. 21 3

2 C. 42 D.

21 2

2

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa

BB’ và AC bằng:

A. 2

2

a B.

2

a C.

3

a D.

3

3

a

Câu 12: Cho tứ diện ABCD, kí hiệu h1, h2, h3, h4 lân lượt là khoảng cách từ mỗi

đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đối diện với đỉnh đó của hình tứ diện, Khẳng định nào

sai trong các khẳng định sau?

A. h1 = h2 = h3 = h4 chỉ xảy ra khi tứ diện đó là tứ diện đều.

B. Có tứ diện mà một trong bốn khoảng cách bằng độ dài một cạnh của tứ diện

C. Có tứ diện mà hai trong bốn khoảng cách bằng độ dài hai cạnh của tứ diện

D. h1 = h2 = h3 = h4 khi các mặt của tứ diện đồng dạng

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a, BC =

a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a . Khoảng cách từ S đến mặt

phẳng đáy (ABCD) là:

A. 2

2

a B.

2

4

a C.

3

2

a D.

3

4

a



Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước AB = a, DA =

b, AA’ = c. Trong các kết quả sau kết quả nào sai?

A. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BD) bằng

B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và DD’ bằng

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC’ bằng b

D. Độ dài đường chéo BD’ bằng

Câu 14: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi

cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A’B’C’)

thuộc đường thẳng B’C’. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ là:

A. 3

4

a B.

2

a C.

3

2

a D.

3

a

Câu 15: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Qua một điểm cho trước có duy nhất một đường phẳng vuông góc với một

đường phẳng cho trước

B. Cho ba đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi một. Khi đó ba đường thẳng

này sẽ nằm trong ba mặt phẳng song song với nhau từng đôi một

C. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất

trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy và

ngược lại

D. Qua một điểm cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt

phẳng cho trước

Câu 16: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách từ C đến AC’

là:

A. 3

3

a B.

5

3

a C.

2

3

a D.

6

3

a

2 2 2

3

a b c

2a b

2 2 2a b c



Câu 17: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy có tâm O và cạnh bằng a, cạnh

bên bằng a. Khoảng cách từ O đến (SAD) bằng bao nhiêu?

A. 2

a B.

2

a C.

6

a D. a

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi

một. Biết SA = 3a, AB=a 3 , BC = a 6 . Khỏang cách từ B đến SC bằng:

A. 2a 3 B. a 3 C. a 2 D. 2a

Câu 19: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)

bằng bao nhiêu?

A. 2a B. 6

3a C.

3

2

a D.

6

2a

Câu 20: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, đường thẳng nào đi qua một điểm M

trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung

của a và b.

B. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong

mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

C. Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau, Khi

đó, đường vuông góc chung của a và b luôn vuông góc với (P).

D. Đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu

vuông góc với cả a và b.

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có SA ( ABCD) đáy ABCD là hình thoi cạnh

bằng a và B̂ = 600. Biết SA= 2a. Tính khỏang cách từ A đến SC

A. 3 2

2

a B.

2 5

5

a C.

5 6

2

a D.

4 3

3

a



Câu 23: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a

3 . Tính khaỏng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên:

A. 5

2

a B.

2 3

3

a C. a

3

10 D. a

2

5

Câu 24: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD = 2a. Trên đường thẳng

vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a 2 . Tính khỏang cách giữa

đường thẳng DC và ( SAB).

A. a 2 B. 3

3

a C.

2

a D.

2

3

a

Câu 25: Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và

OA = OB = OC = a. Khoảng cách giữa OA và BC bằng bao nhiêu?

A. 2

a B.

3

2

a C. a D.

2

a

Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, Cạnh

bên SA = a và vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC, M là trung điểm của

AB. Khoảng cách từ I đến CM bằng bao nhiêu?

A. 2

5

a B.

3

10a C.

2

5a D.

3

5a

Câu 27: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh

bằng a. Biết AC = a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ A đến đường

thẳng BD bằng:

A. 11

2

a B.

4 5

3

a C.

3 2

2

a D.

2 3

3

a

Câu 28: Cho tứ diện SABC trong đó SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một

và SA = 3a, SB = a, SC=2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

A. 3 2

2

a B.

7 5

5

a C.

8 3

3

a D.

5 6

6

a



Câu 29: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi

một. Biết SA = a 3 , AB=a 3 . Khỏang cách từ A đến (SBC) bằng:

A. 3

2

a B.

2

3

a C.

2 5

5

a D.

6

6

a


A. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường vuông góc chung luôn nằm

trong mặt phẳng vuông góc với a và chứa đường thẳng b.

B. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b chéo nhau là một đường

thẳng vừa vuông góc với a vừa vuông góc với b.

C. Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không có điểm chung.

D. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất

trong các đoạn nối hai điểm bất kỳ lần lượt thuộc hai đường thẳng ấy.

Câu 31: Cho tứ diện ABCD có AC = BC = AD = BD = a, CD = b, AB = c. Khoảng

cách giữa AB và CD là?

A. 2 2 23

2

a b c B.

2 2 24

2

a b c C.

2 2 22

2

a b c D.

2 2 2

2

a b c

Câu 32: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Khoảng

cách từ S đến (ABCD) bằng bao nhiêu?

A. 2

a B. a C.

2

a D.

3

a

Câu 33: Khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a bằng:

A.

B.

C. D. 2a


hai đường thẳng BC’ và CD’ là:

2

3

a 2

2

a 3

3

a



A. 2

a B.

2

2

a C.

3

2

a D.

3

4

a

Câu 35: Trong các mệnh đề nêu trên mệnh đề nào là sai?

Cho tứ diện đều ABCD. Khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ABC) là:

A. Độ dài DG trong đó G là trọng tâm của DABC.

B. Độ dài đoạn DI trong đó I là trung điểm của đoạn AM với M là trung điểm

của đoạn BC

C. Độ dài đoạn DH trong đó H là hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt

phẳng (ABC)

D. Độ dài đoạn DK trong đó K là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC.

Câu 36: Hình tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = AC = AD

= 3. Diện tích tam giác BCD bằng

A. B.

C.

D.

Câu 37: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những

góc bằng 600, đáy ABC là tam giác đều và A’ cách đều A, B, C. Tính khoảng cách

giữa hai đáy của hình lăng trụ.

A. a B. a 2 C. 2

3

a D.

3

2

a

Câu 38: Cho hình hôp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a, AC = 2a.

Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD’) là:

A. 5

5

a B.

3

3

a C.

6

3

a D.

10

5

a

Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có SA ( ABCD), SA= 2a, ABCD là hình vuông

cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.

2727

2

9 2

3

9 3

2



A. 3

3

a B.

3

4

a C.

2

3

a D.

2

4

a

Câu 40: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’ là?

A. 2 2

4ab

a b B.

2 2

3ab

a b C.

2 2

2ab

a b D.

2 2

ab

a b

Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a,

SA vuông góc với đáy (ABCD), SA = a. khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và

BD bằng bao nhiêu?

A. 6

a B.

7

a C.

2

a D.

5

a

Câu 42: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a.

Khoảng cách từ C đến (SAD) bằng bao nhiêu?

A. 2

a B.

6

a C. a D.

2

6

a

Câu 43: Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a và 0' ' 60BAD BAA DAA . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và

(A’B’C’D’) là:

A. 10

5

a B.

6

3

a C.

5

5

a D.

3

3

a

Câu 44: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c.

Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) là:

A. 2 2

4ab

a b B.

2 2

3ab

a b C.

2 2

2ab

a b D.

2 2

ab

a b

Câu 45: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?

A. Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Đường vuông

góc chung của a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với

đường kia.



B. Không thể có một hình chóp tứ giác S.ABCD nào có hai mặt bên (SAB) và

(SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy

C. Cho , là hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng cắt nhau nằm trong

mặt phẳng () và là véctơ chỉ phương của đường thẳng D. Điều kiện cần và đủ

để D () là . = 0 và . = 0

D. Hai đường thẳng a và b trong không gian có các véctơ chỉ phương lần lượt là

và . Điều kiện cần và đủ để a và b chéo nhau là a và b không có điểm chung và

hai véctơ , không cùng phương

Câu 46: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA(ABCD) và

SA = a . Độ dài đoạn vuông góc chung của SB và CD bằng:

A. B. C. D.

Câu 47: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA(ABCD) và

SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD bằng:

A. B.

C. D.


hai đường thẳng BD’ và B’C là:

A. 6

3

a B.

10

5

a C.

6

6

a D.

5

5

a

Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc

với đáy (ABCD). Gọi K, H, M theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, O, D lên

SC. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và BD là đoạn thẳng nào dưới

đây?

A. BS B. BK C. DM D. OH

Câu 50: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng

a 2 . Tính khỏang cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên:

u v

n

n

u n

v

u v

u v

a 6a 2a 3a

a6

6a 6a 3a



A. 3

2

a B.

5

2

a C.

2 5

3

a D.

2

3

a

Câu 51: Cho mặt phẳng (P) và điểm M ngoài (P), khoảng cách từ M đến (P) bằng

6. Lấy A thuộc (P) và N trên AM sao cho 2MN = NA. khoảng cách từ N đến (P)

bằng bao nhiêu?

A. 4 B. 2 C. 3 D. 5

Câu 52: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = AD = a và 0' ' 60A AB A AD BAD . Khi đó khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh

đối của tứ diện A’ABC bằng:

A. 3

2

a B.

3

2

a C.

2

2

a D. 2a

Câu 53: Cho hình lăng trụ tam giác 1 1 1.ABC A B C có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên

của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 600. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng

(A1B1C1) là trung điểm của B1C1. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng

bao nhiêu?

A. 3

2a B.

3

a C.

2

2a D.

2

a

Câu 54: Cho khối lập phương ABCDA’B’C’D’.

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo

nhau AD và A’C’ là :

A. AA’ B. BB’ C. DA’ D. DD’



Câu 55: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc

060BAD . Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và 3

4

aSO .

Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) là:

A. 3

a B.

3

4

a C.

3

8

a D.

3

4

a

Câu 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và

CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A. a B. a C. a D. 2a

Câu 57: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a.

Diện tích tam giác ABC bằng 22 ,a BC a . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

A. 2a B. 4a C. 3a D. 5a

Câu 58: Cho hình chóp S.ABCD trong đó SA, AB, BC đôi một vuông góc và SA =

AB = BC = 1. Khoảng cách giữa hai điểm S và C nhận giá trị nào trong các giá trị

sau?

A. B. C. 2 D.

Câu 59: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh

bằng a. Biết AC = a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường

thẳng AM bằng:

A. a 7

5 B. a

4

7 C. a

6

11 D. a

2

3

Câu 60: Cho hình chóp tứ gáic đều S.ABCD có AB = SA = 2a. Khoảng cách từ

đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu?

A. 6

2

a B.

6

3

a C.

2

a D. a

2 3

2 33

2



Câu 61: Cho hình lập phương 1 1 1 1.ABCD A B C D cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của

AD. Khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng (C1D1M) bằng bao nhiêu?

A. 2

5

a B.

2

6

a C.

1

2a D. a

Câu 62: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

CD bằng bao nhiêu?

A. 2

a B.

2

a C. a D.

3

a

Câu 63: Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và

OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao

nhiêu?

A. a B. 5

a C.

3

2

a D.

2

a

Câu 64: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?

A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M

bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường

vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng () chứa đường này và ()

vuông góc với đường kia.

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một

điểm M thuộc () chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.

D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng () song song với a là khoảng

cách từ một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng ()

Câu 65: Cho hình chóp S.ABCD có SA ( ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật.

Biết AD = 2a, SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

A. 3

7

a B.

3 2

2

a C.

2

5

a D.

2 3

3

a



Câu 66: Cho hình hộp chữ nhật 1 1 1 1.ABCD A B C D có 1AA 2 , AD 4aa . Gọi M là trung

điểm AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 1A B và 1C M bằng bao nhiêu?

A. 3a B. 2 2a C. 2a D. 2a

Câu 67: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a . Khoảng cách giữa (AB’C)

và (A’DC’) bằng :

A. B. C.

D.

Câu 68: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a,cạnh bên bằng 2a.

Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng:

A. 4a B. 3a C. a D. 2a

Câu 69: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều

ABC cạnh a . Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng

(P) lấy điểm S sao cho SA = a . Khoảng cách từ A

đến (SBC) bằng :

A. B. C.

D.

Câu 70: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc

060BAD . Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và 3

4

aSO . Gọi

E là trung điểm BC và F là trung điểm BE. Góc giữa hai mặt phẳng (SOF) và (SBC)

là:

A. 900 B. 600 C. 300 D. 450


3a 2a3

a

3

3a

5a a27

21a 3a



A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với

mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó

C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt

phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó .

Câu 72: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên

và mặt đáy bằng α. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng:

A. 2

2

acosα B. a 2 tan C.

2

2

asinα D. a 2 cotα

Câu 73: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a, BC =

a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a . Gọi E và F lần lượt là trung

điểm của AB và CD; K là điểm bất kỳ trên AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

EF và SK là:

A. 3

3

a B.

6

3

a C.

15

5

a D.

21

7

a

Câu 74: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, cạnh

bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách

giữa SM và BC bằng bao nhiêu?

A. 2

3

a B.

2

a C.

3

3

a D.

3

2

a

Câu 75: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 2a . Khoảng

cách từ S đến (ABC) bằng :

A. B. C. D. a2 3a a 5a



Câu 76: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc

với đáy (ABCD). Gọi K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD.

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK B. Đoạn vuông góc chung của

AC và SD là CD

C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH D. Các khẳng định trên đều sai.

Câu 77: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt

phẳng ( MNP) và ( ACC’).

A. 3

a B.

2

4

a C.

3

3

a D.

4

a

Câu 78: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 (đvd). Khoảng cách

giữa AA’ và BD’ bằng:

A. 2 2

5 B.

3 5

7 C.

3

3 D.

2

2

Câu 79: Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B không nằm trong (P), Đặt d1 = d(A;

(P)) và d2 = d(B; (P)). Trong các kết luận sau kết luận nào đúng?

A. Nếu ≠ 1 thì đoạn thẳng AB cắt (P).

B. ≠ 1 khi và chỉ khi đoạn thẳng AB cắt (P)

C. Nếu đường thẳng AB cắt (P) tại điểm I thì

D. = 1 khi và chỉ khi AB // (P)

Câu 80: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

1

2

d

d

1

2

d

d

1

2

dIA

IB d

1

2

d

d



A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường

thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này

và vuông góc với đường thẳng kia.

B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng

cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mp(P).

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một

điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên

b.

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M

bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Câu 82: Cho hình tứ diện OABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB

= OC. Gọi I là trung điểm của BC, J là trung điểm AI, Gọi K, L lần lượt là hình chiếu

vuông góc của O lên AI và của J lên OC. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng

định sau?

A. Đoạn vuông góc chung của AI và OC là JLQ

B. Đoạn vuông góc chung của AI và OC là IC

C. Đoạn vuông góc chung của AI và OC là OK

D. Các khẳng định trên đều sai.

Câu 83: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi

cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A’B’C’)

thuộc đường thẳng B’C’. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là:

A. 3

a B.

3

2

a C.

2

a D.

2

2

a

----------- HẾT ----------



Documents

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ CÁC DẠNG ......HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Group: CÁC DẠNG TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Phần 1: LÝ THUYẾT