Håndtering af TI-89 på AK

INGENIØRHØJSKOLEN I ÅRHUS Adgangskursus 2. semester April 2003 Klasse: A11 Gruppen: Søren Rasmussen

Ulrich Bærentsen Edin Omic Jan Pedersen

Vejledere: Laurids Østergaard

Jette Iversen

1

Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse..............................................................................................................................1

Indledning ............................................................................................................................................3

Vejledning til brug af lommeregner TI-89...........................................................................................4

Hovedskærmen på TI-89......................................................................................................................6

Parenteser .....................................................................................................................................6

Brøker...........................................................................................................................................7

Udvidelse bogstavudtryk..............................................................................................................8

Numerisk værdi............................................................................................................................8

Rødder..........................................................................................................................................8

Løsning af ligninger af forskellig grad ........................................................................................9

Ligning med begrænsning..........................................................................................................10

Uligheder....................................................................................................................................11

Linjers skæring...........................................................................................................................12

Sinus, cosinus og tangens ..........................................................................................................13

Faktorisering af bogstavudtryk med en variable.......................................................................15

Logaritmefunktioner ..................................................................................................................15

Afledte funktioner ..........................................................................................................................17 Grænseværdi ..............................................................................................................................17

Differentiation (den afledte funktion) ........................................................................................17

Variable..........................................................................................................................................18 Definerede og udefinerede variabler..........................................................................................18

Grundlæggende grafik........................................................................................................................19

Window......................................................................................................................................19

Graf indstillinger ........................................................................................................................20

Zoom ..........................................................................................................................................21

Trace...........................................................................................................................................22

Regraph ......................................................................................................................................23

Math ...........................................................................................................................................23

Draw...........................................................................................................................................26

Pen..............................................................................................................................................27

Specielle graf funktioner....................................................................................................................28

2

Generalt......................................................................................................................................28

Sammensatte funktioner.............................................................................................................28

Stykkevise funktioner ................................................................................................................29

Betingelser .................................................................................................................................31

Inverse funktioner ......................................................................................................................31

Parameterkurver .........................................................................................................................32

Kildefortegnelse .................................................................................................................................34

Funktionsliste .....................................................................................................................................35

3

Indledning Vi har på adgangskurset på ingeniørhøjskolen erfaret at både på adgangskurset såvel som på ingeniørstudiet med fordel kan benytte en TI 89 grafregner i undervisningen. Vi har fundet det meget svært at komme rigtigt i gang med at bruge den da de manualer som er tilgængelige enten er for omfattende eller for utilstrækkelige. På baggrund af dette og fordi det kan lette det daglige arbejde at lære mere om grafregneren har vi besluttet at lave en manual for nybegyndere til TI 89 grafregneren. Vi har valgt at begrænse os til det stof vi til dato har gennemgået i matematikundervisningen da det vil være meget vanskeligt for os at gennemgå emner vi ikke selv har modtaget undervisning i. Manualen er blevet til i samarbejde mellem 4 studerende som har lavet hver sin del individuelt for til sidst at samle og redigere i fællesskab. Manualen er blevet et godt værktøj til at komme ind i de grundlæggende funktioner. De emner som ligger ud over begynderniveauet samt overflødige funktioner er sorteret fra. Det har bevirket at du her står med en enkelt koncentreret manual. Vi håber denne manual vil kunne hjælpe andre nybegyndere godt i gang med TI 89.

4

Vejledning til brug af lommeregner TI-89 Hvor de mest brugte funktioner og taster befinder sig. Y= Bruges til indtastning af forskrifter af en graf. [ ♦ ] [ F1 ]

Window Bruges til indstilling af grafvinduet. [ ♦ ] [ F2 ]

Graph Bruges til at tegne graf. [ ♦ ] [ F3 ]

Table Bruges til at lave tabel over funktioner. [ ♦ ] [ F5 ]

Mode Indeholder liste over tilstande og deres aktuelle indstilling. [MODE]

Catalog Indeholder liste over alle kommandoer. [catalog]

Var-Link Giver tabel over det variable man har i sving. [2nd] [ - ]

Custom Bruger defineret MENU. [2nd] [HOME]

Units Bruges til at tilføre en enhed til et tal. [2nd] [ 3 ]

Abs( Absolut eller numerisk værdi. [catalog] [ = ]

And Bruges til at tilføje en ekstra begrænsning til regnestykket. [catalog] [ = ] [↓]

>Bin Andre talsystemer. [catalog] [ ( ]

comDenom Bruges til at sætte på fælles brøkstreg. [catalog] [ ) ]

cos( Trigonometrisk størrelse Cosinus. [2nd] [ Z ]

cos-1( Trigonometrisk størrelse invers Cosinus. [ ♦ ] [ Z ]

>Dec Konverterer til decimaltal. [catalog] [ , ]

d( Differentiere. [catalog] [ , ]

EE Eksponent. Opløfter i 10 potens. [EE]

e^ Den naturlige eksponentiel funktion. [ ♦ ] [ X ]

expand( Udvider et faktoreret stykke. [F2] [ 3 ]

Factor( Faktorisere et udtryk. [F2] [ 2 ]

If Kommandoen ”hvis”. [catalog] [ 9 ]

int( Den hele del af et decimaltal. [catalog] [ 9 ]

In Den naturlige logaritam funktion. [2nd] [ X ]

Log( Logaritmefunktionen. [catalog] [ 4 ]

nDerive( Numerisk differention. [catalog] [ 6 ]

nSolve( Løsning af nummerriske ligninger. [F2] [ 8 ]

propFrac( Forkorter en brøk. [catalog] [ STO→]

5

rcl Hent variable. [2nd] [STO→]

round( Afrunding af tal. [catalog] [ 2 ]

sin( Trigonometrisk størrelse Sinus. [2nd] [ Y ]

sin-1( Trigonometriske størrelse Invers Sinus. [ ♦ ] [ Y ]

solve( Bruges til at løse ligninger [F2]

tan( Trigonometrisk størrelse Tangens. [2nd] [ T ]

tan-1( Trigonometriske størrelse Invers Tangens. [ ♦ ] [ T ]

when( Bruges til at lave stykkevise funktioner. [catalog] [ ⋅ ]

+ Addition. [ + ]

- Subtraktion. [ - ]

* Multiplikation. [ x ]

/ Division. [ ÷]

^ Potens. [ ^ ]

= Ligheds tegn. [ = ]

> Større tegn. [ 2nd ] [ ⋅ ]

< Mindre tegn. [ 2nd] [ 0 ]

≤ Mindre end eller lig med tegn. [ ♦ ] [ 0 ]

≥ Større end eller lig med tegn. [ ♦ ]

[ ⋅ ]

√( Kvadratrod. [2nd] [ x ]

° Grader. [2nd] [ I ]

π Pi (3,14) [2nd] [ ^ ]

, Komma. [ , ]

6

Hovedskærmen på TI-89 I dette kapitel fortæller vi om hvordan TI-89 kan bruges som almindelig lommeregner. Grundlæggende kommandoer bliver forklaret. I kapitlerne om hovedskærmen tager vi udgangspunkt i MAT 1 og MAT 2 (til kap 3). Der bliver vist eksempler på hvordan forskellige udtryk indtastes på grafregneren, og hvordan de evt. kunne løses ved TI-89 hjælp.

Parenteser Det er vigtigt at sætte parenteserne rigtigt. Eks. 1 3*4+7 = 19 3*(4+7) = 33

Du skal være opmærksom på, at når negative lige potenser opløftes, skal der også sættes parenteser. Eks. 2 Fejlindtastning: -22 = -4 Rigtig indtastning: (-2)2 = 4 [( ] [(–)] [2] [ )] [∧ ] [2]

TI-89 regner det første udtryk sådan: -(2*2) = -4 . Lommeregneren ser [–] tegnet som et regnetegn. Derfor skal [(-)] bruges når der regnes med negativt fortegn.

7

Brøker TI-89 kan sætte et udtryk på fælles brøkstreg ved anvendelse af ComDenom( . Du finder dette udtryk i: Nyt udtryk tryk: [F2] [6] Hvis man kun har brug for fællesnævneren, er dette også muligt. Kommandoen getdenom( bruges. Tryk: [catalog] [7] [↓]

[getdenom( ] [ENTER] x,y,z,t findes som taster. Bogstaver som ikke står på linien hvor x,y findes tastes således: [alpha] [vilkårligt symbol] Eks. 3 2 3

4y x+

=

8 34x yxy+

Tast: comdenom((2/y)+3/(4x)) getdenom((2/y)+3/(4x))

Det er også muligt at reducere udtryk ved hjælp af TI-89. Eks. 4 12 96 15x yx y+−

= 4 32 5x yx y+−

Tast: ((12x+9y)/(6x-15y))

8

Udvidelse bogstavudtryk Hvis du skulle komme ud for at udvide et bogstavudtryk, kan du bruge: expand(: [F2] [3] Bogstaver tastes som tidligere. Husk parenteser !. Eks. 5 ( kvadratsætningen). (x+y)2 = x2 + y2 + 2xy Tast: expand((x+y)^2)

Numerisk værdi Hvis der bliver brug for at regne med numerisk værdi kan komandoen [abs( ] indsættes i indtastningslinien. Tryk: [ CATALOG] [A ] [↑ ]op[↓]

[abs( ] [ENTER] Og skriv derefter udtrykket du har tænkt dig at regne. Eks. 6 | 4-7| = 3 Tast: abs(4-7)

Rødder Kubikrødder skrives på TI-89 som en stambrøk. Det vil sige: x1/n = n x Tryk:

[8] [ ^ ] [(] brøken [)]

9

Eks. 7 8 = 2 2 ⇔ 8(1/2) = 2 2 8(1/3) = 3 8 = 2

Potenser skrives på samme måde som kubikrødderne, blot uden brøken. (Dog kun hvis eksponenter er et heltal.)

Løsning af ligninger af forskellig grad Ligningerne kan løses med forskellige forudsætninger med hjælp af TI-89. Vi bruger en andengradsligning som eksempel, men disse funktioner kan bruges til forskellige ligninger. Du kan finde skæring med x akse, finde begrænsede løsninger, positive løsninger og så videre. solve( er den der vi på adgangs kurset vil bruge mest. Derfor er det denne kommando der bliver omtalt. Tryk: [ F2] [ENTER] Hvis du blot skal finde x = 0 kan kommandoen zeros( bruges. Denne kommando kan dog ikke udtrykke underforståede løsninger ,uligheder, men løsningen kan dog begrænses. Derfor er solve at foretrække, men zeros( er hurtigere at bruge end solve(. Tryk: [ F2] [4]

10

Eks. 8 x2 – 2x – 6 = 2 , Find x = 0: x2 –2x –8 = 0 d = (-2)2 – 4*1*(-8) = 36

X =( 2) , 36

2*1− − + −

= 4 og (-2) Tast: solve(x^2-2x-8=0,x) Zeros(x^2-2x-8,x)

Ligning med begrænsning Hvis ligningen fra forrige eksempel skulle løses i intervaller: x > 0 kan [│] ”with” bruges. Whit fortæller grafregneren hvilke betingelser, ligningen skal løses ud fra. Efter det første udtryk tastes der [│] [2nd] [>] [0] Intervallet kan begrænses mere ved at benytte [and].

[catalog] [A ] [↑ ]op[↓] [and] [ENTER] Eks. 9 Tryk: solve(x^2-2x-6=2,x) │x > 0 solve(x^2-2x-6=2,x) │x > 0 and x < 5

11

Uligheder Uligheder løses også ved brug af solve( eller en af de andre funktioner der bruges til løsning af ligninger. Ulighedstegnene [≤ ],[≥ ],[>] og [<] bruges blot i stedet for [=]. De indtastes på denne måde;

[◊] [≥ eller≤ ] [2nd] [> eller<]

Der kan også tilføjes et interval. Det foregår på samme måde som ved udregning af ligninger, hvor funktionen [ │] bruges. Eks. 10 4x + 8 < -3x – 3 ⇔ x < (-11/7) Tryk: solve( 4x + 8 < -3x – 3, x) solve( 4x + 8 < -3x – 3, x) │x > 0

12

Linjers skæring TI-89 kan i hovedskærmen ved hjælp af solve( finde skærings punktet for to linier der skær hinanden. Læg mærke til at ligningen skal løses med hensyn til det rigtige symbol. Læg også mærke til at [ │] komandoen bruges. Eks. 11

2x – 3y = 4 , x ⇔ x = 3 42y +

-x +7y = -12, y | x = 3 42y + ⇔ y = -20/11

x = 3 42y + | y = -20/11 ⇔ x = -8/11

Tast: solve( 2x – 3y = 4, x ) solve( -x+7x=-12,7) | x = (3y+4)/2 x = (3y+4)/2 | y = -20/11

Du kan også finde skæringer for en linie og en cirkel, Parabler osv. Dette vil vi blot vise med nogle billeder. Ved 2 løsninger skal du være opmærksom på, at begge ikke løsninger kan indsættes på en gang. Før markøren op på resultatet af udtrykket.

X = - (-y2-2y +24-4) or (-y2-2y +24)+4

13

Eks.12 Tryk: [ENTER] De bliver nu vist på indtastnings linien. Slet den ene af løsningerne med slette funktionen. [←] Og tryk: [ENTER] Udfør denne fremgangsmåde en gang til med den løsning du slettede og du har begge løsninger til det ene koordinat. Deres to koordinater findes på samme måde som fremgangsmåden ovenfor.

Dette kan dog gøres nemmere med graf delen af lommeregneren. Dette vises senere.

Sinus, cosinus og tangens Grafregneren er nyttig til at regne med disse begreber. Der kan regnes i grader eller radianer. Du kan tjekke statuslinien for at se om din grafregner står til grader ( DEG ) eller om den står til radianer (RAD ). Ved ændring til radian mål tastes:

[mode] [↑ ] [↓] indtil, [angle] [ENTER] [1:RADIAN] [ENTER]

På samme måde kan du ændre det tilbage. Et par eksempler med radianer og grader. Tryk: [2ND] [sin(]

14

Eks: 13 Rad: Tast: Sin(π ) Sin(π / 2) Deg: Tast: Sin(180) Sin(90)

Hvis stykket på enheds cirklen kendes, er det muligt at finde vinklen eller radianmålet. Tryk: [◊] [sin-1(] Eks: 14

sin(x) = 1 rad x = 2π

⇔

sin(X) = 1enhed x = 90⇔ rad Tast: sin-1(1) Deg Tast: sin-1(1)

15

Faktorisering af bogstavudtryk med en variable Det er muligt at opløse et udtryk i faktorer, hvis der er en variabel. Kommandoen factor( bruges Tryk: [F2] [2] Eks. 15 ( polynomier): Tast: factor( 3x ^ 4 – 12x ^ 3 – 3x ^ 2 +48x – 36)

factor( kan også bruges til at faktorisere rationelle tal. Eks. 16

Logaritmefunktioner Når logaritmiske ligninger og uligheder løses skal man huske på at det kun er de positive løsninger som er brugbare DVS G = R+. Kommandoerne log( ( 10 tals logaritmen), og ln( (den naturlige logaritme) kan findes i menuen catalog på tidligere forklarede måder.

16

Eks. 17 Løs ligningen: Log( x3 + x ) – log(x) = 1 x2 +1 = 10 x = 3 Tast: solve(log( x ^ 3 + x) – log( x) = 1,x)

Det ses at grafregneren giver 2 løsninger da den opløfte ligningen til 10 potens. Det er kun 3 der er brugbar.

17

Afledte funktioner

Grænseværdi Det er muligt at finde grænseværdien y for en given variabel i punktet x ved brug af grafregneren. Man bruger kommandoen limit(. Det kan være en god hjælp hvis man er i tvivl om man har reduceret rigtigt på papiret ved et svært regnestykke. Tryk: [F3] [4] Eks. 18 Vi vil vise at funktionen f(x) = -x2 + 2x +3 er differentiabel i et punkt. Trin 1: ▲y = f( x0 + h ) – f( x0 ) ▲y = - h2 -2 x0h + 2h Trin 2: ▲y/h = -h -2 x0 +2 Trin 3: Findes lim▲y/h ( dette kan grafregneren regne) Tast : limit( - h – 2x + 2 , h , 0 )

limit( - h – 2x + 2 , x , 2 )

De to nederste udregninger er lavet udelukkende for at vise den afledte funktions hældning i punkterne 2 og 0.

Differentiation (den afledte funktion) Hvis du har en funktion som er differentiabel i et punkt kan du nemt finde de funktioner som kan afledes i punktet. I stedet for regning med grænseværdier kan funktionen indtastes direkte ved brug af Kommandoen d( kan findes både i calc menuen og ved hjælp af knappen [2nd]. Calc tryk: [F3] [1] 2nd tryk: [2nd] [ d ] Eks. 19

18

Variable

Definerede og udefinerede variabler Det er vigtigt at forstå virkningen af disse. Hvis du har defineret (uden at vide det) et symbol kan du ende med et forkert resultat. Hvis du skal definere et symbol trykkes: [vilkårligt værdi] [sto→]

[symbolet der skal defineres] Hvis du skal slette et defineret symbol : [catalog] [↑ ]op[↓] [Delvar]

[ENTER] Eks. 20 Tast: 2[alpha] a + a + y 5 [sto→ ] a 2[alpha] a + a + y Delvar a 2[alpha] a + a + y

Du kan hurtigt tjekke om et symbol er defineret: Eks. 21 Tast: Udefineret a defineret d

19

Grundlæggende grafik Dette kapitel vil lede dig gennem de grundlæggende funktioner på grafregnerens grafik side. Godt at vide

• Har du sat grafregneren til at tegne en graf som du fortryder, kan du trykke [ON] og dernæst gå videre til den funktion du ville have bruge.

• Grafregneren afsætter punkter med et interval som du selv fastsætter i window under xres ([♦] [WINDOW]) mellem disse punkter tegner den grafen. Det kan resultere i at grafregneren kommer til at tegne en linje hvor der ikke skal være en. Som eksempel kan vi tage Tan(x) den vil aldrig komme til at ligge i punktet 0,5pi*2p, men i skærmbilledet vil der vises en streg. Se Eks. 22 og læg mærke til at der ingen Y-værdi er defineret for 0,5pi. Det er også grunden til at du i Eks. 22 vil se at grafen umiddelbart ikke kommer helt ned til x-aksen.

• Standard vinduet er x- og y-værdier = 10, -x- og -y-værdier er = -10, hvilket betyder skærmbilledet går fra -10 til +10 i både x og y retning. x- og y-scl = 1 betyder at der er 1 enhed mellem punkterne på x og y aksen. x-res = 2 betyder at grafregneren afsætter punkter til at tegne efter med en afstand af 2 pixels mellem hver. Jo lavere man sætter x-res jo mere præcis bliver skærmbilledet, laveste mulige x-res værdi er 1.

Eks. 22 Eks. 23

Det er de lodrette linjer som egentlig ikke burde være der Window [♦] [F2] Indstilling af det vindue man ønsker grafen tegnet i kan ske med de forudindstillede funktioner som ligger under Zoom menuen. Zoom menuen vil senere blive gennemgået, men det er selvfølgelig også muligt at indstille vinduet manuelt. Vi ønsker et vindue fra -10 til 10 på x- og y-akserne (x og y max. og min.), med hvert trin ad akserne på 1 enheden (x og yscl) og xres altså hvor fin eller grov grafen skal være til 2 på en skala fra 1 til 10 Trin Indtast på grafregner Eks. 23 Vælg Window menuen [♦][WINDOW] Sæt xmin hvor langt den negative del af x-aksen skal være [(-)][1][0] Sæt xmax hvor lang den posektive del af x-aksen skal være [↓][1][0] Sæt xscl hvor meget et trin ad x-aksen skal være [↓][1] Sæt ymin hvor lang den negative del af y-aksen skal være [↓][(-)][1][0] Sæt ymax hvor lang den posiktive del af y-aksen skal være [↓][1][0] Sæt yscl hvor meget et trin ad y-aksen skal være [↓][1] Sæt xres hvor fint grafen skal tegnes på en skala fra 1 til 10 [↓][2]

20

Graf indstillinger I dialogboksen er der 5 indstillingsmuligheder, hvor de 2 vil blive gennemgået. Det vil være: 1: function arbejde med grafer af almindelige funktioner (y= ax + b) og geometriskefigure 2: parametric Parameterkurvers ligninger består af en x- og en y-komponent, som begge udtrykkes som funktioner af samme uafhængige variabel t. Du kan anvende parameterkurver til at tegne et tidsafhængigt forløb Arbejder man i parametric er det ikke alle funktioner som bliver omtalt i dette kapitel der er tilgængelige, men de som er fungerer som omtalt under function. Parametric findes således. Trin indtast på grafregner Vælg Parametric [MODE][→][2][ENTER] Som eksempel til at demonstrer de forskellige funktioner som ligger i grafregneren vil vi bruge en cirkel med radius 5 og med centrum i koordinatsystemets begyndelsespunkt hvilket giver ligningen y=√r2 + x2 samt en ret linje med ligningen y=2x+4. Vi ser på 1:function da den har flest muligheder Eks. 24 Eks. 25

Cirklen ligner en ellipse fordi afstanden Dette løses ved taste [F2] [5] se forklaring mellem punkterne på x og y aksen ikke er lige stor. under Zoom Trin Indtast på grafregner Indstil hvilken type graf du vil arbejde med. [MODE] [→] [1eller2] Vi vil starte med at se på 1: function [MODE] [→] [1] [ENTER] Eks. 24 Tegn en cirkel med radius 5 Start med at sætte radius til 5 [5] [STO>] [alpha] [R] Tegn øverste del af cirklen [♦] [Y=][ENTER] [2nd] [√]

[alpha] [R] [^] [2] [-] [x] [^] [2] [)] [ENTER] Grafregneren tegner pr. definition en cirkel ad som to funktioner hvor den nederste er den øverste med modsat fortegn Tegn den nederste del af cirklen [ENTER] [(-)] [Y] [1] [(] [x]

[)] [ENTER] Tegn en linje med ligningen Y=2x+4 [2][x][+][4] Tegn en funktion i et standart vindue: [F2] [6]

21

Du har nu flere muligheder for at for at bruge, undersøge og regne på funktionen. Vi vil nu gennemgå grafregnerens Zoom, Trace, Regraph, Math, Draw og Tegnefunktioner. Zoom [F2] Undermenuen Zoom har 11 valgmuligheder hvor vi kort vil beskrive hver enkelt og dernæst vise praktisk brug af de mest gængse. Punkt i menu funktion 1: ZoomBox du kan lave en ramme og zoome ind på indholdet 2: ZoomIn du kan lave et nyt centrum for skærmen og zoome ind på det 3: ZoomOut du kan lave et nyt centrum for skærmen og zoome ud fra det 4: ZoomDec centrer begyndelses punkt og gør hvert trin ad x- og y-aksen = 0,1 5: ZoomSqr justere vinduet så et trin på x svare til et trin på y akse (se eks. 1) 6: ZoomStd justere til en hver tid vinduet tilbage til standart (se note 1) 7: ZoomTrig justere vinduet så det passer til triognomiske funktioner (se?) 8: ZoomInt giver mulighed for at vælge nyt centrum, ændre xscl og yscl til 10 og gør hvert trin ad akserne = 1 9: ZoomData justere vinduet til fordel for statistiske tegninger A:ZoomFit justere vinduet så skærmbilledet passer til funktionen B:Memory du kan gemme for senere at åbne samme vindue. Du har mulighed for at gemme et vindue inden du f.eks. begynder at redigere i det. Memory giver også mulighed at gentegne skærmbillede som det så ud før sidste Zoomning ved at anvende ZoomPrev C:SetFactors… du kan bestemme hvor meget ZoomIn og ZoomOut skal Zoome med Vi tager udgangspunkt i eksempel 1 hvor vi vil starte med at se på ZoomBox (eks.3), ZoomIn (eks.4) og ZoomOut (eks.5) som kan være nyttig hvis man kun ønsker at se en lille del af skærmbilledet. Eks. 26 Eks. 27 og 28

Indram det ønskede område. Flyt markøren til det nye centrum. Trin Indtast på grafregneren Eks. 26 Vælg ZoomBox [F2] [1] Flyt courseren til et hjørne af det felt du ønsker forstørret [↔][↕][ENTER] Flyt den dernæst til det diagonale hjørne [↔][↕][ENTER] Eks. 27 Vælg ZoomIn [F2][2] Vælg et centrum for skærmbilledet det sted du ønsker at Zoome ind [↔][↕][ENTER]

22

Eks. 28 Vælg ZoomOut [F2][3] Vælg et centrum for skærmbilledet det sted du ønsker at Zoome ud [↔][↕][ENTER] Eks. 29 Eks. 30

Et eksempel hvor det ser ud til at grafen ikke Funktionen er smart hvis man ikke ved røre x-aksen som forklaret under Godt at vide. hvilket område en graf vil befinde sig. Trin Indtast på grafregner Eks. 29 Vælg ZoomDec som er magen til ZoomIn her laves x- og y-aksernes værdi om til decimal tal med en decimal [F2][4] Eks. 30 Vælg Zoomfit for at være sikker på at have grafen i skærmbilledet [F2] [a] Trace [F3] Grafregnerens trace funktion bruges til at spore en graf. Har man flere grafer i samme skærmbillede kan funktionen være nyttigt til at kende forskel mellem dem. Hver funktion har et nummer efter hvilken linje man tastede funktionen ind på i y-editoren, dette tal vil stå i øverste højre hjørne i skærmbilledet (Eks. 31). Trace funktionen kan også bruges til at definere en eksakt y værdi til en vilkårlig x værdi. Eks. 31 Eks. 32

Her er det funktion 3 som er ”sporet” Funktion 3 skære y-aksen i 4 Trin Indtastning på grafregner Eks. 31 Spor graferne. Vælg Trace og blader mellem funktionerne med piletasterne [F3][↕] (se tallet øverst til højre)

23

Eks. 32 Find y-værdien på funktion 3 ved x-værdi på 0 Vælg Trace, blader til funktion 3 og tast 0 [F3][↕][0][Enter] Regraph [F4] Med denne funktion kan du gentegne funktione, det kan være nyttigt hvis man har ændret i grafen og ønsker den tilbage i sin oprindelige form. Math [F5] I math funktionen har du mulighed for at få grafregneren til at finde forskellige nyttige punkter som for eksempel toppunkt, nulpunkt, skæringspunkter og finde tangenter. Vi vil beskrive de enkelte underpunkter i Math menuen og derefter regne eksempler med de mest gængse. Punkt i menu funktion 1: Value finder y-værdien til en given x-værdi i den først tegnede funktion i y-editoren med pilende kan du bladre mellem de tegnede funktioner 2: Zero finder et nulpunkt inden for et givet interval 3: Minimum finder minimum inden for et givent interval 4: Maximum finder maximum inden for et givet interval 5: Intersection finder skæringspunkt mellem to grafer 6: Derivatives finder differentialkvotienten i et punkt 7: ∫f (x) dx finder det tilnærmede numeriske integral over et interval 8: Inflection finder vendepunktet på en kurve, hvor funktionens anden afledte ændre fortegn 9: Distance finder afstanden mellem to punkter A:Tangent tegner tangenten til et punk tog kommer med tangentens ligning B:Arc finder bue længden mellem to punkter langs en kurve C:Shade skravere områder omkring en graf eller et intervar mellem to grafer Vi tager igen udgangspunkt i vores cirkel og linje som tidligere for at se på hvordan de forskellige punkter virker. De første fire vil være Value, Zero, minimum og maximum Eks. 33 Eks. 34

y-værdien til x-værdien 2 Zero, min og max fungere efter samme

princip. Trin Indtast på grafregner Eks. 33 Value. y-værdien til x-værdien 2 [F5][1][2][ENTER] y-værdien på de andre funktioner [↕]

24

Eks. 34 Zero, Minimum og Maximum. Funktion 3’s skæring med nul Vælg Zero og find funktion 3 [F5][2][2*↓] Afsæt et punkt med y-værdi under nul [←][ENTER] Afsæt et punkt med y-værdi over nul [→] [ENTER] Funktion 2’s minimul Vælg minimum og find funktion 2 [F5][3][↓] Afsæt et punkt til venstre for grafens laveste punkt [←][ENTER] Afsæt et punkt til højre for grafens laveste punkt [→][ENTER] Funktion 1’s maximum Vælg maximum og find funktion 1 [F5][4] Afsæt et punkt til venstre for grafens højeste punkt [←][ENTER] Afsæt et punkt til højre for grafens højeste punkt [→][ENTER]

Intersection og Derivatives Vi vil finde skæringspunktet mellem funktion 1 (den øverste halvdel af cirklen) og funktion 3 (linjen) Eks. 34 og derefter finde differentialkvotienten i punktet 2,? Eks.35 Eks. 35 Eks. 36

Punktet hvor de to funktioner skære hinanden tangent hældning i x = 2 Trin Indtast på grafregner Eks. 35 To funktioners skæringspunkt Vælg intersection [F5][5] Vælg kurve 1 og 3 [ENTER][↓][ENTER] Afsæt et punkt til venstre for skæringspunktet [←][ENTER] Vælg et punkt til højre for skæringspunktet [→][ENTER] Eks. 36 Differentialkvotienten i x = 2 Vælg derivatives [F5][6][1] Vælg punktet hvor du ønsker at kende differentialkvotienten [2][ENTER]

25

Distance og Tangent Vi vil bestemme en afstand mellem to punkter og derefter finde tangenten til x-værdien 4 på funktion 2. Eks. 37 Eks. 38

Afstanden fra x-værdien -3 på funktion 1 Ligningen til Tangenten for x-værdien 4 på til x-værdien 2 på funktion 2 funktion 1 Trin Indtastning på grafregneren Eks. 37 Afstand mellem to punkter Vælg distance [F5][9] Vælg det punkt du ønsker afstanden målt fra [(-)][3][ENTER] Vælg det punkt du ønsker afstanden målt til [↓][2][ENTER] Eks. 38 Bestem tangenten på funktion 1 til x-værdien 4 Vælg Tangent [F5][alpha][A] Vælg det punkt du ønsker tangenten [4][ENTER]

Arc og Shade Vi starter med at gentegne for at komme af med tangenten fra forrige eksempel. Nu vil vi bestemme hvor langt der er den halve vej rundt langs cirklen og dernæst skravere området mellem linjen og y-aksen i det område som ligger inden for cirklen. Eks. 39 Eks. 40

Efter at have gentegnet finder Eller skravere et ønsket felt vi den halve omkreds

26

Trin Indtastning på grafregner Eks. 39 Den halve omkreds Vælg Ace [F5][alpha][B] Vælg hvorfra du ønsker måling foretaget [(-)][5][ENTER] Vælg hvortil du ønsker målingen [5][ENTER] Eks. 40 Skraver et område Vælg Shade [F5][alpha][C] Vælg nederste funktion for det skraverede felt [↓][0][ENTER] Vælg øverste funktion for det skraverede felt [ENTER] Vælg nederste niveau for det skraverede felt [(-)][5][ENTER] Vælg øverste niveau for det skraverede felt [0][ENTER] Draw [2nd][F1] Her kan du tilføje forskellige former for funktioner til dit skærmbillede uden om y-editoren. Det vil sige at når du gentegner dit skærmbillede får du kun de funktioner frem som er skrevet i y-editoren, altså er funktioner tegnet i Draw en slags ”engangsfunktioner”. Punkt i menu funktion 1: ClrDraw slet grafer som er tegnet i menuen Draw (svare til Regraph) 2: DrawFunc tegn en funktion 3: DrawInv tegn en inversfunktion 4: DravPol tegn en polær graf 5: DrawParm tegn en parameterkurve Vi vil tilføje henholdsvis en funktion og en inversfunktion til vores kendte skærmbillede Eks. 41 Eks. 42

Det kendte skærmbillede med her også den inverse funktion af y = -2x-4 en funktion y = -2x-4 tegnet med begge kan slettes med ClrDraw Trin Indtast på grafregneren Eks. 41 Tegn funktionen y = -2x-4 til.

27

Vælg DrawFunc [2nd][F1][2] Skriv ligningen for den funktion du ønsker tegnet [(-)][2][x][-][4][ENTER] Eks. 42 Tegn den inverse funktion af y = -2x-4 Vælg DrawInv [2nd][F1][3] Skriv ligningen for den funktion du ønsker tegnet [(-)][2][x][-][4][ENTER] Slet de to funktioner igen [2nd][F6][1] Pen [2nd][F2] Her kan du ”manuel” tegne streger og cirkler til på dit skærm billede Punkt i menu funktion 1: Pencil du kan tegne en linje som du selv ønsker den 2: Eraser du kan slette ved at føre firkanten hen på det du ønsker slettet 3: Line du kan tegne en ret linje 4: Circle du kan tegne en cirkel 5: Horizontal du kan få en vandret linje på tværs af hele skærmen 6: Vertikal du kan få en lodret linje på tværs af hele skærmen 7: Text du kan skrive tekst til et ønsket punkt 8: Save picture du kan gemme et billede Vi vil tegne en vilkårlig linje, en cirkel og vise en horizontal linje Eks. 43 Eks. 44

En vilkårlig linje Hullet i cirklen er der hvor courseren står Trin Indtast på grafregner Eks. 43 Tegn en vilkårlig linje [2nd][F2][1][ENTER][↑] …. Eks. 44 Tegn en cirkel Afsæt centrum [2nd][F2][4][ENTER] Afsæt radius [→][ENTER] Vis en horizontal linje [2nd][F2][5] Flyt den til ønsket position [↕][ENTER]

28

Specielle graf funktioner Generalt Grafregneren er opbygget så variable er de samme i alle skærme og menuer. Dette er f.eks. en fordel når man skal bruge et tal fra grafskærmen i hovedskærmen. Man kan også skrive til en variabel i hovedskærmen ved at bruge tasten [STO→]. Det kan både være en graf og en værdi. Eks. 45

I stedet for at huske på det tal man har fundet når man bruger kommanoden Intersection så skriver man kun variablen for den koordinat. Hvis det er y koordinaten så kan vi se den hedder yc. Eks. 46 Hvis vi vil lagre en ligning som f.eks. 5x3 2 − på y1= tastes: √(3x2-5) [STO→] y1(x) [ENTER]

Sammensatte funktioner Man kan bruge den indtastede formel i y-editoren flere steder. Hvis vi i hovedskærmen indtaster y1(x) [ENTER] og har indtastet en formel i y-editoren på den plads så vil lommeregneren vise den formel. Hvis vi i stedet skriver y1(3) [ENTER] så kommer resultatet som funktionen af 3. Eks. 47

Man kan sammensætte funktioner ved at indtaste den anden formel hvor x skal stå.

29

Eks. 48

MAT1 side 241: g(x) x 2f (x) 7 3x

= −= −

xyxy372

)2(1−=

−=

Hvis vi skal finde )x)(gf( så skal vi skrive: y1(y2(x)) Hvis det er )x)(fg( vi skal finde, skal vi skrive: y2(y1(x))

Grunden til at resultatet y1(y2(2)) giver et ikke realt resultat er at værdien 2 ligger uden for definitionsmængden til det udtryk.

Stykkevise funktioner Grafregneren kan vise stykkevise funktioner ved at bruge kommandoen when( i Y-editoren for at sammensætte de forskellige funktioner. When(betingelse,sandtudtryk,falskudtryk) Betingelse: Her indtastes en betingelse for at adskille de to funktioner. (eks: [x][<][1]) Sandtudtryk: Her indtastes funktionen for den sande betingelse. (eks: [x][^][2]) Falskudtryk: Her indtastes funktionen for den falske betingelse. (eks: [-][x][+][3]) Eks. 49

2x 2 for x 1f (x)

x 3 for x 1 + <

= − + ≥

when(x<1,x^2+2,-x+3)

Hvis man skal tegne mere end to funktioner i samme graf så er det nemmest at bruge en anden funktion der hedder Func. Funktionerne der bruges findes i menuen [catalog]. I denne funktion er der underfunktioner for at få betingelserne til at hænge sammen. Det er nogle af de samme som bruges indenfor programmering.

30

Func:If betingelse1 Then:Return udtryk1:ElseIf betingelse2 Then:Return udtryk2:Else:Return udtryk3:EndIf:EndFunc Forklaring: Func Funktion If Hvis Then Da (så) Return Returnere ElseIf Ellers hvis Else Ellers EndIf Afslutter If EndFunc Afslutter Func Kolonet bruges til at adskille de forskellige sætninger, men skal huskes. Eks. 50

MAT1 side 213: 2x 1 for x 1

f (x) x for 1 x 2x 4 for x 2

− − < −= − ≤ < − + ≥

(indtastes i en linje)

Func :If x<-1 Then :Return -2x-1 :ElseIf -1≤x and x<2 Then :Return x :Else :Return -x+4 :EndIf :EndFunc Grunden til at udtryk 3 ikke har nogle betingelser er at det udtryk gælder for alle andre værdier end de værdier af x der er betingelser for.

Læg mærke til at betingelsen x≥2 ikke bliver brugt fordi –x+4 automatisk vil gælde for alle andre værdier end -2x-1, -1≤x og x<2.

31

Betingelser I y-editoren kan man som i hovedskærmen bruge betingelser for den x værdi man arbejder med. Det gøres med kommandoen ”with” [ | ]. Denne kommando bruges til at angive en definitionsmængde efter et udtryk. Eks. 51

] ]3f (x) x 2x 4 Dm(f)= -1,8;2,5= − − x3-2x-4|x>-1,8 and x≤2,5

Nu vises kun grafen indenfor definitionsmængden.

Inverse funktioner Grafregneren kan tegne den inverse funktion af en graf ved at bruge DrawInv funktionen. For at bruge funktionen skal du indtaste en funktion i Y-editoren og henvise til den i hovedskærmen ved at skrive y1(x) hvis det er y1 eller selve udtrykket. DrawInv udtryk [ENTER] Bemærk at grafregneren tegner hele den inverse funktion selvom den ikke er injektiv, fordi den kun tegner linjen, derfor forsvinder linjen også hvis man zoomer eller panorerer. Eks. 52 MAT1 side 245: [ ]1

2f (x) x 3 Dm(f)= -4;4= + DrawInv y1(x)

For at beregne det rigtige udtryk for den inverse linje skal man bruge solve( funktionen. Det nemmeste er først at indtaste udtrykket i y-editoren og derefter henvise til det i solve( funktionen i hovedskærmen. Det er nemmest at se ved et eksempel.

32

Eks. 53 f (x) x 2 3 x 2= + − ≥ − Y-editor: y1(x)=√(x+2)-3|x≥-2 [ENTER] Hovedskærm [HOME]: Solve(y1(x)=t,x) [ENTER] Nu får man ligningen for den inverse funktion, blot med x som y og t som x. Dem kan man omskrive: x^2+6x+7|x≥-3 [STO→] y2(x) [ENTER] Nu er den inverse ligning gemt på y2= i y-editoren.

Parameterkurver En parameterkurve er en graf hvor x og y aksen har forskellige ligninger med en fælles variabel. Parameterkurver tegnes ikke som en standard graf, derfor skal man skifte til graftilstanden parametric. Dette gøres ved at trykke: [MODE] [→] [2] [ENTER] [ENTER]

Nu ser Y-editoren anderledes ud da der nu er to linjer man skal udfylde. I xt1= skrives den ligning der er gældende for x-aksen og i yt1= skrives den for y-aksen. Variablen hedder t. Inden man tegner grafen skal man kontrollere at vinduet er opsat rigtigt. Især værdierne tmax og tmin der bestemmer grafens længde. Tstep bestemmer med hvilken præcision grafen tegnes.

33

Eks. 54

MAT1 side ? enhedscirklen på grafregneren: xt1 cos(t)yt1 sin(t)

==

Husk at ændre fra grader til radianer ved at trykke: [MODE] 3x[▼] [►] [1] [ENTER] [ENTER]

Hvis man trykker [F3] og enten [►] eller [◄] kan man aflæse sinus og cosinus til t eller indtaste en værdi i t (radianer). Eks. 55 Med en parameterkurve kan man f.eks. tegne en graf over en bolds kurve i gennem luften. Hvis vi har en bold der bliver skudt 60° op i luften med 15m/s og der er en tyngdeacceleration på 9,82m/s2.

En bolds kurve: 212

xt1 15 t cos(60 )yt1 15 t sin(60 ) 9,82 t

= × × °

= × × ° − × ×

På grafen kan man aflæse højden som yc og længden som xc som funktion af tiden hvis man trykker [F3] og enten [►] eller [◄].

34

Kildefortegnelse

• Texas Instrumensts TI-89 og TI-92 Plus Vejledning til Advanced Mathematics Software Version 2.0 http://education.ti.com/downloads/guidebooks/dk/8992bookdan.pdf

• Knud Nissen

Ti-89 Introduktion og eksempler Texas Instruments ISBN 87-91010-01-2

• Jens Carstensen og Jesper Frandsen

MAT 1 Systime 1. udgave 6. oplag 2001 ISBN 87-7783-879-3

• Jens Carstensen og Jesper Frandsen

MAT 2A Systime 1. udgave 4. oplag 2002 ISBN 87-7783-935-8

35

Funktionsliste Navn Home-vind. Graf-vindue Afrund et tal Round catalog Afstand mellem to punkter Distance F5 Begræns yderligere forhold ved en ligning And Cataolg Bue længde mellem to punkter Arc F5 Differentialkvotienten i et punkt Derivatives F5 Differentier ligning d F3 Find Y-værdi Value F5 Forkort en brøk propFrac F2 Fællesbrøkstreg ComDenom F2 Gentegn en graf ReGraph F4 Grænseværdi Limit F3 Indstil hvor meget den skal Zoome ind med SetFactores F2 Løs en ligning Solve F2 Løs numerisk ligning nSolve F2 Mindste værdi på graf Minimum F5 Numerisk differentiation nDeriv F3 Samle i et udtryk factor F2 Skraver et område Shade F5 Skæring (graf) med x aksen Zero F5 Skæring med x-aksen (ligninger) Zeros F2 Skæring af to grafer Intersection F5 Spor en graf Trace F3 Stykkevis funktioner When catalog Største værdi på graf Maximum F5 Tangent i et punkt Tangent F5 Tegn en cirkel Circle F7 Tegn en linje Line F7 Tegn en lodret linje Vertical F7 Tegn en vandret linje Horizontal F7 Tegn med blyant Pencil F7 Tegn trigonometrisk funktion ZoomTrig F2 Tegn graf i naturlig størrelse ZoomSqr F2 Tegn graf med ens interval på akser ZoomStd F2 Tegn graf med nyt centrum og ret trin på akserne til 1 ZoomInt F2 Tilføj funktion DrawFunc F6 Tilføj en invers funktion DrawInv F6 Tilføj tekst Tekst F7 udvider til faktorer expand F2 Zoom:Et område ZoomBox F2

Ind ZoomIn F2 Ind og lav trin på akserne på 0,1 ZoomDec F2 Ud ZoomOut F2