Hàm một biến số · PDF file · 2011-10-07công thức cho ta một hàm s ố Tuy vậy, câu ... Cho hàm f xác định bởi Tính f(0), f(1), f(2) ... =tanx f(x)=cotx

1

Hàm một biến số

Định nghĩa và các phép toán

Lecture 1

Nguyen Van Thuy

Tài liệu tham khảo

[1] James Stewart, Calculus: Early Transcendentals,

7th edition, Brooks/Cole, 2010

[2] Dương Minh Đức, Giải tích hàm một biến, 2006

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 1-2

Hàm số là gì?

Câu hỏi “hàm số là gì?” có nhiều cách trả lời.

Thường thì câu trả lời là “một công thức”, ví dụ

công thức cho ta một hàm số

Tuy vậy, câu trả lời này chưa được tốt. Ví dụ

có 2 công thức. Đây là 1 hàm số hay 2 hàm số?


2 4y x x x

2

1, 1( ) (1.1)

, 1

x xg x

x x

Hàm số là gì?

Hình tròn bán kính r có diện tích là 𝐴 = 𝜋𝑟2. Ta nói

A là một hàm số theo r

Cước phí C của dịch vụ chuyển phát nhanh EMS

nội tỉnh phụ thuộc vào khối lượng w của thư.

Không có công thức đơn giản tính C theo w, nhưng

bưu điện có quy tắc xác định C khi biết w. Ta nói C

là một hàm số theo w


Hàm số là gì?

Cước dịch vụ chuyển phát nhanh EMS nội tỉnh


Nấc khối lượng (gam) Giá cước (VNĐ)

w≤50 6.000

50<w≤100 8.000

100<w≤250 10.000

250<w≤500 12.500

500<w≤1000 15.000

1000<w≤1500 18.000

15000<w≤2000 21.000

Mỗi nấc 500g tiếp theo 1.600

Hàm số là gì?

Dân số của thế giới P

phụ thuộc vào thời

điểm t. Bảng bên cạnh

cho chúng ta dân số

xấp xỉ P(t) của thế giới

tại thời điểm t. Ví dụ

P(1950)2.560.000.000

Ta nói dân số P là một

hàm số theo t


Năm Dân số (triệu người)

1900 1650

1910 1750

1920 1860

1930 2070

1940 2300

1950 2560

1960 3040

1970 3710

1980 4450

1990 5280

2000 6080

2

Hàm số

Định nghĩa. Hàm số f là một quy tắc gán mỗi số

thực x trong D với duy nhất một số thực, ky hiệu

f(x), trong tập E


x f(x)

D E f

•

•

Vi du


1

3

5

6

0

5

1

8

2

3

•

2

1

9

3

2 7 •

Quan hệ nào là hàm số?

Cach xac đinh hàm số

Có 4 cách xác định một hàm số

Mô tả bằng lời

Bảng giá trị

Đô thị

Công thức


Hàm số

Ví dụ. Hàm số f có đô thị

như hình vẽ

a) Tính 𝑓(−1)

b) Ước lượng giá trị của 𝑓(2)

c) Với giá trị nào của x thì

𝑓 𝑥 = 2?

d) Ước lượng giá trị của x

sao cho 𝑓 𝑥 = 0

e) Trên những khoảng nào

thì hàm số giảm?


Miên xac đinh – miên gia tri

Câu hỏi: “những giá trị nào được chấp nhận cho

các biến số?”

Với hàm ta phải có

Định nghĩa. Miền xác định của hàm số 𝑓(𝑥) là tập

hợp tất cả các giá trị của 𝑥 sao cho 𝑓(𝑥) có nghĩa.

Miền giá trị của một hàm số là tập hợp tất cả các

giá trị của hàm số


2( ) 1f x x 1 1x



Miền giá trị

Miền xác định

y

x

y = f(x)

3


Ví dụ. Tìm miền xác định, miền giá trị các

hàm số

a) 𝑓 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑏)𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑐) 𝑓 𝑥 = (1 − 𝑥2)−1/2

𝑑) 𝑓 𝑥 = − 1, 𝑥 < 0 1, 𝑥 ≥ 0


Vi du

y

1

O 1 x


Cho hàm f có đô thị như hình vẽ a) Tìm f(2) và f(5) b) Tìm miền xác định, miền giá trị của hàm f

Đồ thi

Định nghĩa. Nếu hàm số f(x) có miền xác

định là D thì đô thị của hàm số là tập hợp


{( , ( )) | }x f x x D

O

y

1 2 x

f(x) f(2)

f(1)

(x, f(x))

x

Đồ thi

Chú y. Một đường cong là đô thị của hàm số khi và

chỉ khi mỗi đường thẳng song song với trục tung

cắt đường cong tại nhiều nhất một điểm


y

x

(a, b)

x=a

a

y

x

(a, c)

x=a

a

(a, b)

Đồ thi

Hàm trị tuyệt đối

𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥, 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑛ế𝑢 𝑥 < 0


Đồ thi

Maple

Plot(f(x),x=a..b)

piecewise(cond_1, f_1, cond_2,

f_2, ..., cond_n, f_n,

f_otherwise)


4

Vi du

Cho hàm f xác định bơi

Tính f(0), f(1), f(2) và vẽ đô thị


2

1 , 1( )

, 1

x xf x

x x

Vi du

Tìm công thức của hàm f có đô thị cho bơi


y

1

O 1 x

Vi du

Tìm miền xác định và vẽ đô thị các hàm số

a) b)

c) d)

Tìm công thức của hàm số có đô thị là nưa trên của đường tròn


( ) 3f x 2( ) 6g t t t

24( )

2

tH t

t

3 | |( )

x xG x

x

2 2( 2) 4x y

Cac phép toan vê hàm số

Cho 2 hàm 𝑓, 𝑔

𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)

𝑓. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥)

𝑓

𝑔𝑥 =

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥

Phép lấy hàm hợp

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))


Cac phép toan vê hàm số

Ví dụ. Cho 2 hàm 𝑓, 𝑔 với

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑔 𝑥 = 𝑥2

Xác định các hàm

𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓. 𝑔,𝑓

𝑔, 𝑓 ∘ 𝑔, 𝑔 ∘ 𝑓


Hàm hơp

Định nghĩa

Ví dụ. Dung bảng, tính các biểu thức sau

a) f(g(1)) b) g(f(1)) c) f(f(1))

d) g(g(1)) e) (gf)(3) f) (fg)(6)


x 1 2 3 4 5 6

f(x) 3 1 4 2 2 5

g(x) 6 3 2 1 2 3

( )( ) ( ( ))f g x f g x

5

Song anh

f: AB là một song ánh nếu với mỗi giá trị

yB, tìm được duy nhất một giá trị của xA

sao cho f(x)=y

Ví dụ


5

1

8

2

3

2

1

9

3

2 7

Hàm ngươc

Định nghĩa. Cho f là song ánh từ A vào B.

Hàm ngược của f ky hiệu là f-1 từ B vào A và

được xác định bơi


1( ) ( )f y x f x y

2

1

9

3

2 7

A B

f

2

1

9

3

2 7

A B

f -1

Hàm lương giac ngươc

Chú y

Miền xác định của f-1 = miền giá trị của f

Miền giá trị của f-1 = miền xác định của f

Các hàm lượng giác ngược

arcsin hay sin-1 : [-1,1] [-/2, /2]

arccos hay cos-1: [-1,1] [0,]

arctan hay tan-1: (-/2, /2)

arccot hay cot-1: (0, )


Vi du

Tính các biểu thức sau


) arcsin( 3 / 2)

)arccos( 1)

)arctan(1/ 3)

) cot( 3)

a

b

c

d arc

) arccos( 1/ 2)

)arctan( 1)

)arcsin(sin(7 / 3))

)sin(2arcsin(3 / 5))

e

f

g

h

Hàm sơ câp cơ ban

5 loại hàm sơ cấp cơ bản

Hàm luy thừa

Hàm mu

Hàm logarithm

Hàm lượng giác

Hàm lượng giác ngược



Hàm luy thừa

𝑓 𝑥 = 𝑥𝛼

=2: f(x)=x2, D=, T=[0,+∞)

=-1/2


1/2 1( )

(0, ), (0, )

f x xx

D T

6


Hàm mu

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 , 𝐷 = ℝ, 𝑇 = (0,∞)


a>1 0<a<1


Hàm logarithm

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥, 𝐷 = 0,∞ , 𝑇 = ℝ


1 1 2 3 4 5

2

2

4

1 1 2 3 4 5

6

4

2

2

0<a<1

a>1


Hàm lượng giác

f(x)=sinx

f(x)=cosx

f(x)=tanx

f(x)=cotx



Hàm lượng giác ngược

f(x)=arcsinx

f(x)=arccosx

f(x)=arctanx

f(x)=arccotx


Hàm sơ câp

Là hàm số nhận được từ các hàm sơ cấp cơ

bản bằng cách dung các phép toán cộng,

trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp

Hàm số 𝑓 𝑥 =ln (𝑥2+1)+𝑒𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥−2 là hàm sơ

cấp

Hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑥 không phải là hàm sơ cấp


Documents

Hàm một biến số · PDF file · 2011-10-07công thức cho ta một hàm s ố Tuy vậy, câu ... Cho hàm f xác định bởi Tính f(0), f(1), f(2) ... =tanx f(x)=cotx