VI TÍCH PHÂN A1 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

VI TÍCH PHÂN A1

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

CBGD. Lê Hoài Nhân 1

1Bộ môn Toán học

Khoa Khoa học tự nhiên

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 1 / 81

Chương 1. Hàm số một biến

1 Giới hạn hàm sốGiới hạn hữu hạnCác qui tắc tính giới hạnGiới hạn vô cựcGiới hạn tại vô cựcCác dạng vô định

Giới hạn của hàm số sơ cấpVô cùng bé

2 Hàm số liên tụcĐịnh nghĩaĐiểm gián đoạnỨng dụng

3 Lời giải các Ví dụ


Giới hạn hữu hạn

Định nghĩa 1.1Cho hàm số f(x) xác định trênkhoảng (a, b) \ {x0} vớix0 ∈ (a, b). Ta nói L = lim

x→x0

f(x)

nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0sao cho

|f(x) − L| < ε.

với 0 < |x − x0| < δ



Định nghĩa 1.1Cho hàm số f(x) xác định trênkhoảng (a, b) \ {x0} vớix0 ∈ (a, b). Ta nói L = lim

x→x0

f(x)

nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0sao cho

|f(x) − L| < ε.

với 0 < |x − x0| < δ



Chú ý 1.1



Chú ý 1.1Sự tồn tại của lim

x→x0

f(x) và f(x0) độc lập với nhau.




x→x0


Sự tồn tại của limx→x0

f(x) chỉ phụ thuộc vào f(x) với những x khá

gần x0 (và khác x0).




x→x0





Nếu f(x) = g(x) với mọi x 6= a thì limx→a

f(x) = limx→a

g(x), với các giới

hạn trên đều tồn tại.




x→x0






f(x) = limx→a



Ví dụ 1.1

Xét hàm số g(x) =

{

x nếu x 6= 2

1 nếu x = 2.




x→x0






f(x) = limx→a



Ví dụ 1.1


{

x nếu x 6= 2

1 nếu x = 2.




x→x0






f(x) = limx→a



Ví dụ 1.1


{

x nếu x 6= 2

1 nếu x = 2.

Ta có limx→2

g(x) = limx→2

x = 2 trong khi đó

g(2) = 1.


Giới hạn của hàm số đa thức

Định nghĩa 1.2 (Đa thức - Polynomial)Một đa thức biến số x là hàm số có dạng

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0

trong đó an, an−1, . . . , a2, a1, a0 là các hằng số và an 6= 0.

Số tự nhiên n được gọi là bậc của đa thức P và được ký hiệu làdeg(P ) = n.



Định nghĩa 1.2 (Đa thức - Polynomial)Một đa thức biến số x là hàm số có dạng

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0

trong đó an, an−1, . . . , a2, a1, a0 là các hằng số và an 6= 0.

Số tự nhiên n được gọi là bậc của đa thức P và được ký hiệu làdeg(P ) = n.

Định lý 1.1 (Giới hạn của hàm đa thức)Nếu P (x) là một đa thức và a là số thực tùy ý thì

limx→a

P (x) = P (a).



Ví dụ 1.2Tính các giới hạn

1 limx→−2

(2x + 3)(3x − 1)

2 limx→1

x2 − 1

x + 1

3 limx→−1

x2 − 1

x + 1

4 limt→−5

t2 + 3t − 10

t + 5




1 limx→−2

(2x + 3)(3x − 1) = limx→−2

(6x2 + 7x − 3) = 7.

2 limx→1

x2 − 1

x + 1

3 limx→−1

x2 − 1

x + 1

4 limt→−5

t2 + 3t − 10

t + 5




1 limx→−2

(2x + 3)(3x − 1) = limx→−2

(6x2 + 7x − 3) = 7.

2 limx→1

x2 − 1

x + 1= lim

x→1

(x + 1)(x − 1)

x + 1= lim

x→1(x − 1) = 0.

3 limx→−1

x2 − 1

x + 1

4 limt→−5

t2 + 3t − 10

t + 5




1 limx→−2

(2x + 3)(3x − 1) = limx→−2

(6x2 + 7x − 3) = 7.

2 limx→1

x2 − 1

x + 1= lim

x→1

(x + 1)(x − 1)

x + 1= lim

x→1(x − 1) = 0.

3 limx→−1

x2 − 1

x + 1= lim

x→−1

(x + 1)(x − 1)

x + 1= lim

x→−1(x − 1) = −2.

4 limt→−5

t2 + 3t − 10

t + 5




1 limx→−2

(2x + 3)(3x − 1) = limx→−2

(6x2 + 7x − 3) = 7.

2 limx→1

x2 − 1

x + 1= lim

x→1

(x + 1)(x − 1)

x + 1= lim

x→1(x − 1) = 0.

3 limx→−1

x2 − 1

x + 1= lim

x→−1

(x + 1)(x − 1)

x + 1= lim

x→−1(x − 1) = −2.

4 limt→−5

t2 + 3t − 10

t + 5= lim

t→−5

(t + 5)(t − 2)

t + 5= lim

t→−5(t − 2) = −7.


Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function)

Tỷ sốP (x)

Q(x)của hai đa thức được gọi là hàm phân thức hữu tỷ.




Tỷ sốP (x)


Định lý 1.2 (Giới hhạn của hàm phân thức hữu tỷ)

Nếu P (x) và Q(x) là hai đa thức và a là số thực sao cho Q(a) 6= 0 thì

limx→a

P (x)

Q(x)=

P (a)

Q(a).




Tỷ sốP (x)


Định lý 1.2 (Giới hhạn của hàm phân thức hữu tỷ)

Nếu P (x) và Q(x) là hai đa thức và a là số thực sao cho Q(a) 6= 0 thì

limx→a

P (x)

Q(x)=

P (a)

Q(a).

Câu hỏi 1.1

Để tính giới hạn của hàm số hữu tỷ limx→a

P (x)

Q(x)ta cần thực hiện các

bước nào?



Ví dụ 1.3

Tính các giới hạn sau:

1 limx→3

x + 3

x + 6Bài giải

2 limt→2

t2 + 3t − 10

t2 − 4Bài giải

3 limx→1

(x2 − 1)2

x3 − 2x2 + xBài giải

4 limx→2

(

1

x − 2− 4

x2 − 4

)

. Bài giải


Next


Bài tập 1.1

Trong vi tích phân, giới hạn limh→0

f(x + h) − f(x)

hthường xuyên được sử

dụng. Hãy tính giới hạn trên cho các hàm số sau:

1 f(x) = x2

2 f(x) = x3

3 f(x) =1

x

4 f(x) =1

x2.


Các qui tắc tính giới hạn

Định lý 1.3 (Các phép toán trên giới hạn)Nếu limx→a f(x) = L, limx→a g(x) = M và k là một hằng số, m, n làcác số nguyên thì1. Phép cộng lim

x→a[f(x) + g(x)] = L + M

2. Phép trừ limx→a

[f(x) − g(x)] = L − M

3. Phép nhân limx→a

f(x)g(x) = LM

4. Phép chia limx→a

f(x)g(x) = L

M nếu M 6= 0

5. Lũy thừa limx→a

[f(x)]m/n = Lm/n với L > 0 nếu n chẵn

và L 6= 0 nếu n lẻ6. Thứ tự Nếu f(x) ≤ g(x) thì L ≤ M



Ví dụ 1.4Giả sử rằng lim

x→4f(x) = 2 và lim

x→4g(x) = −3. Tìm các giới hạn sau:

1 limx→4

[g(x) + 3]

2 limx→4

xg(x)

3 limx→4

[g(x)]2

4 limx→4

g(x)

f(x) − 1






1 limx→4

[g(x) + 3]= limx→4

g(x) + limx→4

3 = −3 + 3 = 0.

2 limx→4

xg(x)

3 limx→4

[g(x)]2

4 limx→4

g(x)

f(x) − 1






1 limx→4

[g(x) + 3]= limx→4

g(x) + limx→4

3 = −3 + 3 = 0.

2 limx→4

xg(x) =(

limx→4

x)

.(

limx→4

g(x))

= 4.(−3) = −12.

3 limx→4

[g(x)]2

4 limx→4

g(x)

f(x) − 1






1 limx→4

[g(x) + 3]= limx→4

g(x) + limx→4

3 = −3 + 3 = 0.

2 limx→4

xg(x) =(

limx→4

x)

.(

limx→4

g(x))

= 4.(−3) = −12.

3 limx→4

[g(x)]2=(

limx→4

g(x))2

= (−3)2 = 9.

4 limx→4

g(x)

f(x) − 1






1 limx→4

[g(x) + 3]= limx→4

g(x) + limx→4

3 = −3 + 3 = 0.

2 limx→4

xg(x) =(

limx→4

x)

.(

limx→4

g(x))

= 4.(−3) = −12.

3 limx→4

[g(x)]2=(

limx→4

g(x))2

= (−3)2 = 9.

4 limx→4

g(x)

f(x) − 1=

limx→4

g(x)

limx→4

f(x) − limx→4

1=

−3

2 − 1= −3.



Ví dụ 1.5

1 Cho limx→2

f(x) − 5

x − 2= 3, tìm lim

x→2f(x).

2 Cho limx→0

f(x)

x2= −2, tìm lim

x→0f(x) và lim

x→0

f(x)

x.

Bài Giải

Ví dụ 1.6

Tính các giới hạn sau

1 limt→0

√t2 + 9 − 3

t22 lim

u→−2

√u4 + 2u + 6

Bài Giải



Câu hỏi 1.2Để tính giới hạn của hàm số chứa căn thức lim

x→a

√

P (x) với P (x) là một

đa thức ta cần thực hiện những bước nào?



Câu hỏi 1.2Để tính giới hạn của hàm số chứa căn thức lim

x→a

√

P (x) với P (x) là một

đa thức ta cần thực hiện những bước nào?

Câu hỏi 1.3

Để tính giới hạn của hàm số chứa căn thức dạng limx→a

√

P (x) − A

Q(x)với

P (x), Q(x) là các đa thức với√

P (a) = A và Q(a) = 0 ta cần thựchiện những bước nào?



Bài tập 1.2Tính các giới hạn sau:

1 limx→−4

√x2 + 9 − 5

x + 4

2 limu→2

√4u + 1 − 3

u − 2

3 limt→0

(

1

t√

1 + t− 1

t

)

4 limx→2

√6 − x − 2√3 − x − 1

Bài tập 1.3

Biết rằng limx→1

f(x) − 8

x − 1= 10. Hãy tìm lim

x→1f(x).



Định lý 1.4 (Định lý kẹp giữa - The Squeeze theorem)Giả sử bất đẳng thức f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) thỏa mãn với mọi x thuộcmột khoảng chứa a (có thể không thỏa tại x = a). Khi đó

limx→a

f(x) = limx→a

h(x) = L =⇒ limx→a

g(x) = L.



Ví dụ 1.7

1 Giả sử 3 − x2 ≤ u(x) ≤ 3 + x2 với mọi x 6= 0. Tính limx→0

u(x).

2 Tính giới hạn limx→0

x2 sin1

x.

Bài Giải

Ví dụ 1.8

1 (*) Chứng minh rằng: nếu limx→a

f(x) = L thì limx→a

|f(x)| = |L|.Hệ quả Nếu lim

x→a|f(x)| = 0 thì lim

x→af(x) = 0.

2 Tính giới hạn limx→0

x sin1

x2.

Bài Giải



Bài tập 1.41 Biết rằng

√5 − 2x2 ≤ f(x) ≤

√5 − x2 với mọi x ∈ [−1, 1]. Tính

limx→0

f(x).

2 Biết rằng 2 − x2 ≤ g(x) ≤ 2 cos x với mọi x. Tính limx→0

g(x).

Bài tập 1.5Cho hàm số

f(x) =

{

x2 sin1

xnếu x < 0

√x nếu x > 0

.

Tính các giới hạn một phía limx→0−

f(x) và limx→0+

f(x). Từ đó suy ra

limx→0

f(x).



Định lý 1.5 (Giới hạn của hàm hợp)Nếu lim

x→x0

u(x) = u0 và limu→u0

f(u) = L thì limx→x0

f(u(x)) = L.



Định lý 1.5 (Giới hạn của hàm hợp)Nếu lim

x→x0

u(x) = u0 và limu→u0

f(u) = L thì limx→x0

f(u(x)) = L.

Ví dụ 1.9

Vì limx→

√π

2

x2 =π

4và lim

u→π

4

sin u =

√2

2nên lim

x→√

π

2

sin x2 =

√2

2.


Giới hạn vô cực

Định nghĩa 1.4Cho hàm số f(x) xác định trênkhoảng (a, b) \ {x0} vớix0 ∈ (a, b). Ta nóilim

x→x0

f(x) = +∞ nếu với mỗi

A > 0, tồn tại δ > 0 sao cho

f(x) > A

với 0 < |x − x0| < δ

Ta nói limx→x0

f(x) = −∞ nếu

limx→x0

{−f(x)} = +∞


Giới hạn tại vô cực

Định nghĩa 1.5Cho hàm số f(x) xác định tạimọi x > a. Ta nóiL = lim

x→+∞f(x) nếu với mỗi

ε > 0, tồn tại A > 0 sao cho

|f(x) − L| < ε,∀x > A.



Chú ý 1.2 (Giới hạn của hàm hữu tỷ)Cho Pm(x) = amxm + . . . + a0 và Qn(x) = bnxn + . . . + b0 là các đa

thức có bậc tương ứng là m và n. Khi đó, giới hạn limx→±∞

Pm(x)

Qn(x)

1 bằng 0 (zero) nếu m < n.

2 bằngam

bnnếu m = n.

Nếu trường hợp thứ nhất xảy ra, ta nói đồ thị hàm sốPm(x)

Qn(x)có

đường tiệm cận ngang là trục hoành; trường hợp còn thì có tiệm

cận ngang là đường thẳng y =am

bn.



Chú ý 1.3 (Giới hạn của hàm đa thức)Cho P (x) = xn + an−1x

n−1 + . . . + a0 là đa thức bậc n > 0 có hệ số củaxn bằng 1. Khi đó, giới hạn lim

x→±∞Pn(x)

1 bằng +∞ nếu n là số chẵn.

2 bằng ±∞ tương ứng nếu n là số lẻ.



Chú ý 1.4 (Giới hạn của hàm hữu tỷ)Cho Pm(x) = amxm + . . . + a0 và Qn(x) = bnxn + . . . + b0 là các đathức có bậc tương ứng là m và n với m > n > 0. Ta luôn có,

Pm(x)

Qn(x)= qm−n(x) +

rs(x)

Qn(x)

trong đó qm−n và rs là các đa thức có bậc tương ứng là m − n vàs < n. Khi đó,

limx→±∞

Pm(x)

Qn(x)= lim

x→±∞qm−n(x)


Các dạng vô định

Loại Ví dụ0

0limx→0

sin x

x∞∞ lim

x→0

ln 1x

cot(x2)

0.∞ limx→0+

x ln1

x

∞−∞ limx→π

2−

(

tan x − 1

π − 2x

)

00 limx→0+

xx

∞0 limx→π

2−

(tan x)cos 2x

1∞ limx→∞

(

1 +1

x

)x


Giới hạn của hàm số lượng giác

limx→0

sin x

x= 1.

Nếu limx→x0

u(x) = 0 thì

limx→x0

sinu(x)

u(x)= 1

Ví dụ 1.10

1 limx→0

sin x2

x2.

2 limx→0

sin x2

x.

3 limx→−1

sin(x2 − x − 2)

x + 1.

4 limx→1

sin(1 −√x)

x − 1.

Bài Giải



Ví dụ 1.11

1 limx→0

x + x cos x

sinx cos x

2 limx→0

tan x − sin x

x3

3 limx→0

tan 3x

sin 8xBài Giải

Bài tập 1.6

1 limθ→0

sin√

2θ√2θ

2 limx→0

tan 2x

x

3 limx→0

x csc 2x

cos 5x4 lim

x→06x2(cot x)(csc 2x)

5 limx→0

x2 + x + sin x

2x

6 limθ→0

1 − cos θ

sin 2θ

7 limx→−2

x2 − 4

arctan(x + 2)Đs: −4.



Bài tập 1.7Tính các giới hạn sau:

1 limx→0

sin(1 − cos x)

x

2 limx→0+

sin x

sin√

x

3 limx→0

sin(sin x)

x

4 limx→0

sin(x + x2)

x

5 limx→2

sin(x2 − 4)

x − 2

6 limx→9

sin(√

x − 3)

x − 9


Giới hạn của hàm số lũy thừa

limx→0

(1 + x)α − 1

x= α. lim

x→0

n

√1 + x − 1

x=

1

n.

Nếu limx→x0

u(x) = 0 thì

limx→x0

(1 + u(x))α − 1

u(x)= α. lim

x→x0

n

√

1 + u(x) − 1

u(x)=

1

n.

Ví dụ 1.12

1 limx→0

3√

1 + x2 − 1

x2 + x3

2 limx→0

√1 + x sin x − 1

x2

3 limx→0

5√

1 + x −√

1 − 2x

xBài Giải


Giới hạn của hàm số mũ

limx→0

ax − 1

x= ln a. lim

x→0

ex − 1

x= 1

Nếu limx→x0

u(x) = 0 thì

limx→x0

au(x) − 1

u(x)= ln a. lim

x→x0

eu(x) − 1

u(x)= 1.

Ví dụ 1.13

1 limx→0

ex − e2x

x2 lim

x→0

ex2 − cos x

x2

Bài Giải


Giới hạn của hàm số logarith

limx→0

ln(1 + x)

x= 1

Nếu limx→x0

u(x) = 0 thì

limx→x0

ln(1 + u(x))

u(x)= 1

Ví dụ 1.14

1 limx→0

ln(1 − 4x)

x

2 limx→0

ln(1 + sin x)

x

3 limx→0

ln cos x

ln(1 + x2)Bài Giải


Dạng vô định 1∞

Nếu limx→x0

u(x) = 1 và limx→x0

v(x) = ∞ thì

limx→x0

u(x)v(x) = elim

x→x0[u(x)−1].v(x)

Ví dụ 1.15

Xác định dạng vô định và tính các giới hạn sau

1 limx→0

(

1 + tan x

1 + sin x

)1

sin x

2 limx→∞

(

2x + 3

2x + 1

)x+1

Bài Giải


Khái niệm vô cùng bé và vô cùng lớn

Định nghĩa 1.6Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé khi x → x0 nếu lim

x→x0

α(x) = 0

Hàm số α(x) được gọi là vô cùng lớn khi x → x0 nếulim

x→x0

|α(x)| = +∞

Định lý 1.6Nghịch đảo của một vô cùng lớn là một vô cùng bé và nghịch đảo củamột vô cùng bé khác 0 là một vô cùng lớn.


Khái niệm vô cùng bé và vô cùng lớn

Ví dụ 1.16sinx là vô cùng bé khi x → 0 vì lim

x→0sin x = 0

ln cos x là vô cùng bé khi x → 0 vì limx→0

ln cos x = 0

arctan(x + 2) là vô cùng bé khi x → −2 vì limx→−2

arctan(x + 2) = 0

1

x2là vô cùng lớn khi x → 0 vì lim

x→0

1

x2= ∞

sinx là vô cùng bé khi x → 0 nên1

sin xlà vô cùng lớn khi x → 0.


Vô cùng bé

Định lý 1.7Tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn là một vô cùng bé.

Ví dụ 1.17

limx→∞

sinx

x

limx→0

x. sin1

xBài Giải


Vô cùng bé

Định nghĩa 1.7 (So sánh các vô cùng bé)Cho α(x) và β(x) là hai vô cùng bé khi x → x0. Khi đó,

Nếu limx→x0

α(x)

β(x)= 0 thì α(x) = o(β(x))

Nếu limx→x0

α(x)

β(x)= ∞ thì β(x) = o(α(x))

Nếu limx→x0

α(x)

β(x)= A (hữu hạn khác 0) thì β(x) = O(α(x))

Nếu limx→x0

α(x)

β(x)= 1 thì ta nói α(x) và β(x) là hai vô cùng bé tương

đương. Ký hiệu: α(x) ∼ β(x).


Vô cùng bé

Định lý 1.8 (Các vô cùng bé tương đương thường gặp)sinx ∼ x khi x → 0

ln(1 + x) ∼ x khi x → 0

ex − 1 ∼ x khi x → 0

n

√1 + x − 1 ∼ 1

nx khi x → 0.


Vô cùng bé

Định lý 1.9 (Nguyên lý thay vô cùng bé tương đương)Cho α(x), α(x), β(x) và β(x) là các vô cùng bé khi x → x0 trong đóα(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x). Khi đó,

limx→x0

α(x)

β(x)= lim

x→x0

α(x)

β(x)

Ví dụ 1.18

1 limx→0

√1 + 2x − 1

tan 3xĐs:

1

3

2 limx→0

ex sin x − 1

ln cos xĐs: -2

Bài Giải


Vô cùng bé

Định lý 1.10 (Nguyên lý ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao)Cho

r(x) = α(x) + β(x) + . . . + γ(x)

trong đó α(x), β(x), . . . , γ(x) là các vô cùng bé khi x → x0. Giả sử α(x)là vô cùng bé có bậc thấp nhất so với β(x), . . . , γ(x). Khi đó, r(x) cũnglà một vô cùng bé trong quá trình x → x0 và

r(x) ∼ α(x)

Ví dụ 1.19

1 limx→0

sin x + 3x2 + 2 tan5 x

3x + x3 + 6x42 lim

x→0

sin 5x + tan2 x + ln(1 + x2)

x + x2 + arcsin2 x

Bài Giải


Nhắc lại về giới hạn







Nhắc lại về giới hạn







Hàm số liên tục

Định nghĩa 2.1 (Hàm số liên tục tại điểm trong)1 Ta nói hàm số f liên tục tại x0 nếu lim

x→x0

f(x) = f(x0).

2 Nếu limx→x0

f(x) không tồn tại hoặc tồn tại nhưng khác f(x0) thì ta

nói f gián đoạn tại x0.3 Ta nói hàm số f liên tục phải tại x0 nếu lim

x→x0+f(x) = f(x0).

4 Ta nói hàm số f liên tục trái tại x0 nếu limx→x0−

f(x) = f(x0).



Định nghĩa 2.1 (Hàm số liên tục tại điểm trong)1 Ta nói hàm số f liên tục tại x0 nếu lim

x→x0

f(x) = f(x0).

2 Nếu limx→x0

f(x) không tồn tại hoặc tồn tại nhưng khác f(x0) thì ta

nói f gián đoạn tại x0.3 Ta nói hàm số f liên tục phải tại x0 nếu lim

x→x0+f(x) = f(x0).

4 Ta nói hàm số f liên tục trái tại x0 nếu limx→x0−

f(x) = f(x0).

Định lý 2.1 (Điều kiện liên tục)Hàm số f liên tục lại x0 nếu và chỉ nếu f(x) liên tục trái và liên tục phảitại x0



Một hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các điềukiện sau đây:1. f(x0) tồn tại (x0 thuộc D(f))2. lim

x→x0

f(x) tồn tại (f có giới hạn tại x0)

3. limx→x0

f(x) = f(x0) (giới hạn bằng giá trị của hàm số)



Một hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các điềukiện sau đây:1. f(x0) tồn tại (x0 thuộc D(f))2. lim

x→x0

f(x) tồn tại (f có giới hạn tại x0)

3. limx→x0

f(x) = f(x0) (giới hạn bằng giá trị của hàm số)

Hàm số f gián đoạn tại x0 nếu một trong ba điều sau đây xảy ra:

f(x) không xác định tại x0.

limx→x0

f(x) không tồn tại.

f(x) xác định tại x0 và limx→x0

f(x) tồn tại nhưng limx→x0

f(x) 6= f(x0).



Ví dụ 2.1

Xét sự liên tục của hàm số tại điểm x0

1 f(x) =

√1 + sinx − 1

xnếu x 6= 0

1

2nếu x = 0

tại x0 = 0.

2 g(x) =

{

x2 nếu x ≤ 2

x nếu x > 2tại x0 = 2.

3 h(x) =

1

xnếu x < 0

sin x

xnếu x > 0

1 nếu x = 0

tại x0 = 0. Bài Giải



Định lý 2.2Các hàm số sau đây liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó(nếu là điểm biên thì chỉ liên tục một phía)

1 Hàm số đa thức.2 Hàm số hữu tỷ.3 Hàm số lũy thừa y = xα với α là hằng số.4 Hàm số mũ ax và hàm số logarith loga x với a là hằng số dương,

khác 1.5 Các hàm số lượng giác và hàm số lượng giác ngược.6 Hàm số giá trị tuyệt đối |x|.



Ví dụ 2.2

Xét sự liên tục của hàm số trên R

1 f(x) =

{

x2 nếu x ≤ 2

x nếu x > 2.

2 g(x) =

{ sin x

xnếu x 6= 0

1 nếu x = 0.

Bài Giải



Ví dụ 2.3

Tìm m để hàm số sau liên tục trên R

1 f(x) =

{

x sin1

xkhi x 6= 0

m khi x = 0.

2 g(x) =

{

cos x khi x ≤ 0m(x − 1) khi x > 0

. Bài Giải


Phân loại điểm gián đoạn

Định nghĩa 2.2Ta nói điểm gián đoạn x0 của hàm số f là điểm gián đoạn loại 1 nếucả lim

x→x0+f(x) và lim

x→x0−f(x) tồn tại.



Định nghĩa 2.2Ta nói điểm gián đoạn x0 của hàm số f là điểm gián đoạn loại 1 nếucả lim

x→x0+f(x) và lim

x→x0−f(x) tồn tại.



Định nghĩa 2.3Ta nói điểm gián đoạn x0 của hàm số f là điểm gián đoạn loại 2 nếux0 không phải điểm gián đoạn loại 1.



Định nghĩa 2.3Ta nói điểm gián đoạn x0 của hàm số f là điểm gián đoạn loại 2 nếux0 không phải điểm gián đoạn loại 1.



Định nghĩa 2.4 (Điểm gián đoạn loại bỏ được)Ta nói điểm gián đoạn loại 1 x0 của hàm số f là điểm gián đoạn bỏđược nếu lim

x→x0

f(x) tồn tại.



Định nghĩa 2.4 (Điểm gián đoạn loại bỏ được)Ta nói điểm gián đoạn loại 1 x0 của hàm số f là điểm gián đoạn bỏđược nếu lim

x→x0

f(x) tồn tại.

Ví dụ 2.4Hãy xác định điểm gián đoạn bỏ được của hàm số có đồ thị bên dưới


Mở rộng liên tục

Cho hàm số f(x) thỏa f(c) có thể không xác định nhưng limx→c

f(x) = L

hữu hạn.




f(x) = L

hữu hạn. Khi đó, hàm số

F (x) =

{

f(x) nếu x thuộc miền xác định của f(x)

L nếu x = c

được gọi là mở rộng liên tục của hàm số f(x) đến x = c.




f(x) = L

hữu hạn. Khi đó, hàm số

F (x) =

{

f(x) nếu x thuộc miền xác định của f(x)

L nếu x = c

được gọi là mở rộng liên tục của hàm số f(x) đến x = c.



Ví dụ 2.5

Tìm mở rộng liên tục của hàm số f(x) =x2 + x − 6

x2 − 4đến x = 2.


Chứng minh phương trình có nghiệm

Định lý 2.3 (Sự tồn tại nghiệm của phương trình)Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phươngtrình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a, b).


Chứng minh phương trình có nghiệm

Định lý 2.3 (Sự tồn tại nghiệm của phương trình)Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phươngtrình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a, b).

Ví dụ 2.61 Chứng minh phương trình x.2x = 1 có nghiệm trên khoảng (0, 1).

2 Chứng minh phương trình x3 − 15x + 1 = 0 có đúng ba nghiệmtrên khoảng (−4, 4).



Ví dụ 1.3 câu 1

limx→3

x + 3

x + 6


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 1

limx→3

x + 3

x + 6

1 Phân tích. Hàm số hữu tỷx + 3

x + 6xác định tại x = 3 nên ta có

thể áp dụng định lý 1.2.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 1

limx→3

x + 3

x + 6

1 Phân tích. Hàm số hữu tỷx + 3

x + 6xác định tại x = 3 nên ta có


2 Giải. limx→3

x + 3

x + 6=

3 + 3

3 + 6=

6

9=

2

3.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 2

limt→2

t2 + 3t − 10

t2 − 4


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 2

limt→2

t2 + 3t − 10

t2 − 4

1 Phân tích.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 2

limt→2

t2 + 3t − 10

t2 − 4

1 Phân tích.Hàm số hữu tỷ

t2 + 3t − 10

t2 − 4không xác định tại t = 2 nên ta không có



Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 2

limt→2

t2 + 3t − 10

t2 − 4


t2 + 3t − 10


thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử t − 2. Ta có thể rút gọn nhântử chung này.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 2

limt→2

t2 + 3t − 10

t2 − 4


t2 + 3t − 10



2 Giải.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 2

limt→2

t2 + 3t − 10

t2 − 4


t2 + 3t − 10



2 Giải.Vì

t2 + 3t − 10

t2 − 4=

(t − 2)(t + 5)

(t − 2)(t + 2)=

t + 5

t + 2, ∀t 6= ±2


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 2

limt→2

t2 + 3t − 10

t2 − 4


t2 + 3t − 10



2 Giải.Vì

t2 + 3t − 10

t2 − 4=

(t − 2)(t + 5)

(t − 2)(t + 2)=

t + 5

t + 2, ∀t 6= ±2

nên limt→2

t2 + 3t − 10

t2 − 4= lim

t→2

t + 5

t + 2=

2 + 5

2 + 2=

7

4


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 3

limx→1

(x2 − 1)2

x3 − 2x2 + x


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 3

limx→1

(x2 − 1)2

x3 − 2x2 + x

1 Phân tích.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 3

limx→1

(x2 − 1)2

x3 − 2x2 + x


(x2 − 1)2

x3 − 2x2 + xkhông xác định tại x = 1 nên ta không

có thể áp dụng định lý 1.2.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 3

limx→1

(x2 − 1)2

x3 − 2x2 + x


(x2 − 1)2


có thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử (x − 1)2. Ta có thể rút gọnnhân tử chung này.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 3

limx→1

(x2 − 1)2

x3 − 2x2 + x


(x2 − 1)2



2 Giải.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 3

limx→1

(x2 − 1)2

x3 − 2x2 + x


(x2 − 1)2



2 Giải.Vì

(x2 − 1)2

x3 − 2x2 + x=

(x − 1)2(x + 1)2

(x − 1)2x=

(x + 1)2

x,∀x 6= 1 và x 6= 0


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 3

limx→1

(x2 − 1)2

x3 − 2x2 + x


(x2 − 1)2



2 Giải.Vì

(x2 − 1)2

x3 − 2x2 + x=

(x − 1)2(x + 1)2

(x − 1)2x=

(x + 1)2

x,∀x 6= 1 và x 6= 0

nên limx→1

(x2 − 1)2

x3 − 2x2 + x= lim

x→1

(x + 1)2

x=

(1 + 1)2

1= 4


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 4

limx→2

(

1

x − 2− 4

x2 − 4

)


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 4

limx→2

(

1

x − 2− 4

x2 − 4

)

1 Phân tích.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 4

limx→2

(

1

x − 2− 4

x2 − 4

)

1 Phân tích.Hàm số

1

x − 2− 4

x2 − 4là tổng của hai hàm hữu tỷ. Sau khi thực hiện

phép toán trừ ta thu được hàm số hữu tỷ không xác định tại x = 2 nênta không có thể áp dụng định lý 1.2.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 4

limx→2

(

1

x − 2− 4

x2 − 4

)


1

x − 2− 4


phép toán trừ ta thu được hàm số hữu tỷ không xác định tại x = 2 nênta không có thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử (x − 2). Ta có thể rút gọnnhân tử chung này.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 4

limx→2

(

1

x − 2− 4

x2 − 4

)


1

x − 2− 4



2 Giải.


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 4

limx→2

(

1

x − 2− 4

x2 − 4

)


1

x − 2− 4



2 Giải.Vì

1

x − 2− 4

x2 − 4=

x − 2

x2 − 4=

1

x + 2,∀x 6= ±2


Đề bài


Ví dụ 1.3 câu 4

limx→2

(

1

x − 2− 4

x2 − 4

)


1

x − 2− 4



2 Giải.Vì

1

x − 2− 4

x2 − 4=

x − 2

x2 − 4=

1

x + 2,∀x 6= ±2

nên limx→2

(

1

x − 2− 4

x2 − 4

)

= limx→2

1

x + 2=

1

2 + 2=

1

4


Đề bài

Giới hạn một phía

Ví dụ ??

Cho hàm số f(x) =

{ √x − 4 nếu x > 4

8 − 2x nếu x < 4. Tính lim

x→4f(x).


Đề bài


Ví dụ ??


{ √x − 4 nếu x > 4


x→4f(x).

1 Phân tích. Hàm số f(x) có hai biểu thức khác nhau về hai phía củax = 4. Do đó, để tính giới hạn lim

x→4f(x) ta cần tính các giới hạn một

phía limx→4+

f(x) và limx→4−

f(x).Sau đó, áp dụng định lý ??.


Đề bài


Ví dụ ??


{ √x − 4 nếu x > 4


x→4f(x).



phía limx→4+



2 Giải.


Đề bài


Ví dụ ??


{ √x − 4 nếu x > 4


x→4f(x).



phía limx→4+



2 Giải.lim

x→4+f(x) = lim

x→4+

√x − 4 =

√

limx→4+

(x − 4) = 0.


Đề bài


Ví dụ ??


{ √x − 4 nếu x > 4


x→4f(x).



phía limx→4+



2 Giải.lim

x→4+f(x) = lim

x→4+

√x − 4 =

√

limx→4+

(x − 4) = 0.

limx→4−

f(x) = limx→4−

(8 − 2x) = 0.


Đề bài


Ví dụ ??


{ √x − 4 nếu x > 4


x→4f(x).



phía limx→4+



2 Giải.lim

x→4+f(x) = lim

x→4+

√x − 4 =

√

limx→4+

(x − 4) = 0.

limx→4−

f(x) = limx→4−

(8 − 2x) = 0.

Do limx→4+

f(x) = limx→4−

f(x) = 0 nên limx→4

f(x) = 0.


Đề bài


Ví dụ ??


{ √x − 4 nếu x > 4


x→4f(x).



phía limx→4+



2 Giải.lim

x→4+f(x) = lim

x→4+

√x − 4 =

√

limx→4+

(x − 4) = 0.

limx→4−

f(x) = limx→4−

(8 − 2x) = 0.

Do limx→4+

f(x) = limx→4−

f(x) = 0 nên limx→4

f(x) = 0.

Vậy limx→4

f(x) = 0.


Đề bài

Lời giải của ví dụ 1.5

Đặt g(x) =f(x) − 5

x − 2. Theo đề bài, ta có lim

x→2g(x) = 3.

Với cách đặt trên ta có f(x) = g(x).(x − 2) + 5. Do đó,

limx→2

f(x) = limx→2

g(x). limx→2

(x − 2) + limx→2

3 = 3.


Đề bài


Đặt g(x) =f(x) − 5

x − 2. Theo đề bài, ta có lim

x→2g(x) = 3.

Với cách đặt trên ta có f(x) = g(x).(x − 2) + 5. Do đó,

limx→2

f(x) = limx→2

g(x). limx→2

(x − 2) + limx→2

3 = 3.

Đặt g(x) =f(x)

x2. Theo đề bài, ta có lim

x→0g(x) = −2.

Với cách đặt trên ta có f(x) = x2.g(x) vàf(x)

x= xg(x). Do đó,

limx→0

f(x) = limx→0

x2. limx→0

g(x) = 0

và

limx→0

f(x)

x= lim

x→0x. lim

x→0g(x) = 0.


Đề bài


limt→0

√t2 + 9 − 3

t2= lim

t→0

t2

t2(√

t2 + 9 + 3)= lim

t→0

1√t2 + 9 + 3

=1

6


Đề bài


limt→0

√t2 + 9 − 3

t2= lim

t→0

t2

t2(√

t2 + 9 + 3)= lim

t→0

1√t2 + 9 + 3

=1

6

limu→−2

√u4 + 2u + 6 =

√

limu→−2

(u4 + 2u + 6) =√

18


Đề bài


Theo đề bài 3 − x2 ≤ u(x) ≤ 3 + x2, ∀x 6= 0. Mặt khác

limx→0

(3 − x2) = limx→0

(3 + x2) = 3

nên

limx→0

u(x) = 3.


Đề bài


Theo đề bài 3 − x2 ≤ u(x) ≤ 3 + x2, ∀x 6= 0. Mặt khác

limx→0

(3 − x2) = limx→0

(3 + x2) = 3

nên

limx→0

u(x) = 3.

Ta có −1 ≤ sin1

x≤ 1, ∀x 6= 0. Nhân các vế của bất đẳng thức trên với

x2 > 0, ta được x2 ≤ x2 sin1

x≤ x2. Vì lim

x→0(−x2) = lim

x→0x2 = 0 nên

limx→0

x2 sin1

x= 0.


Đề bài


Ta có∣

∣

∣

∣

sin1

x2

∣

∣

∣

∣

≤ 1, ∀x 6= 0 nên

0 ≤∣

∣

∣

∣

x sin1

x2

∣

∣

∣

∣

= |x| .∣

∣

∣

∣

sin1

x2

∣

∣

∣

∣

≤ |x| .

Vì limx→0

0 = limx→0

|x| = 0 nên

limx→0

∣

∣

∣

∣

x sin1

x2

∣

∣

∣

∣

= 0.

Suy ra

limx→0

x sin1

x2= 0.


Đề bài

Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 1

limx→0

sin x2

x2


Đề bài


limx→0

sin x2

x2


Đề bài


Vì limx→0

x2 = 0 nên limx→0

sin x2

x2= 1.


Đề bài


limx→0

sin x2

x


Đề bài


limx→0

sin x2

x= lim

x→0

sin x2

x2.x2

x


Đề bài


Vì limx→0

x2 = 0 nên limx→0

sin x2

x= lim

x→0

sin x2

x2.x2

x= 1.0 = 0.


Đề bài


limx→−1

sin(x2 − x − 2)

x + 1

= limx→−1

sin(x2 − x − 2)

x2 − x − 2. limx→−1

x2 − x − 2

x + 1= 1. lim

x→−1(x − 2) = −3


Đề bài


limx→−1

sin(x2 − x − 2)

x + 1

= limx→−1

sin(x2 − x − 2)

x2 − x − 2. limx→−1

x2 − x − 2

x + 1= 1. lim

x→−1(x − 2) = −3


Đề bài


limx→−1

sin(x2 − x − 2)

x + 1

= limx→−1

sin(x2 − x − 2)

x2 − x − 2. limx→−1

x2 − x − 2

x + 1= 1. lim

x→−1(x − 2) = −3


Đề bài


limx→1

sin(1 −√x)

x − 1

= limx→1

sin(1 −√x)

1 −√x

. limx→1

1 −√x

x − 1

= 1. limx→1

−1

1 +√

x= −1

2


Đề bài


limx→1

sin(1 −√x)

x − 1

= limx→1

sin(1 −√x)

1 −√x

. limx→1

1 −√x

x − 1

= 1. limx→1

−1

1 +√

x= −1

2


Đề bài


limx→1

sin(1 −√x)

x − 1

= limx→1

sin(1 −√x)

1 −√x

. limx→1

1 −√x

x − 1

= 1. limx→1

−1

1 +√

x= −1

2


Đề bài


limx→0

x + x cos x

sin x cos x= lim

x→0

x(1 + cos x)

sin x cos x= lim

x→0

x

sin x.1 + cos x

cos x= 1.2 = 2.


Đề bài


limx→0

tan x − sin x

x3= lim

x→0

sinx(

1cos x − 1

)

x3= lim

x→0

sin x

x

1 − cos x

x2

1

cos x=

1

2.


Đề bài


limx→0

tan 3x

sin 8x= lim

x→0

sin 3x

sin 8x. cos 3x= lim

x→0

sin 3x

3x.

8x

sin 8x.

3

8 cos 3x=

3

8.


Đề bài


limx→0

3√

1 + x2 − 1

x2 + x3= lim

x→0

3√

1 + x2 − 1

x2.

1

1 + x=

1

3.1 =

1

3.


Đề bài


limx→0

√1 + x sin x − 1

x2= lim

x→0

√1 + x sinx − 1

x sin x.sin x

x=

1

2.1 =

1

2.


Đề bài


limx→0

5√

1 + x −√

1 − 2x

x= lim

x→0

5√

1 + x−1 + 1 −√

1 − 2x

x

= limx→0

5√

1 + x − 1

x+ lim

x→0

1 −√

1 − 2x

x

Ta có, limx→0

1 −√

1 − 2x

x= 2 lim

x→0

√1 − 2x − 1

−2x= 2.

1

2= 1.

Vậy limx→0

5√

1 + x −√

1 − 2x

x=

1

5+ 1 =

6

5.


Đề bài


limx→0

e2x − ex

x= lim

x→0(−ex)

ex − 1

x= −1.


Đề bài


limx→0

ex2 − cos x

x2= lim

x→0

ex2−1 + 1 − cos x

x2

= limx→0

ex2 − 1

x2+ lim

x→0

1 − cos x

x2

= 1 +1

2=

3

2


Đề bài


limx→0

ln(1 − 4x)

x= −4 lim

x→0

ln(1 + (−4x))

−4x= −4


Đề bài


limx→0

ln(1 + sin x)

x= lim

x→0

ln(1 + sin x)

sin x. limx→0

sin x

x= 1


Đề bài


limx→0

ln(cos x)

ln(1 + x2)= lim

x→0

ln(1 + (cos x − 1))

cos x − 1.

x2

ln(1 + x2).cos x − 1

x2

= 1.1.

(

−1

2

)

= −1

2


Đề bài


Vì L = limx→0

(

1 + tan x

1 + sin x

)1

sin x

có dạng vô định 1∞ nên

L = elimx→0

( 1+tan x

1+sin x−1). 1

sin x .

Ta có, limx→0

(

1 + tan x

1 + sin x

)

.1

sin x= lim

x→0

tan x − sin x

(1 + sinx) sin x=

limx→0

1cos x − 1

(1 + sin x)= 0.

Vậy limx→0

(

1 + tan x

1 + sin x

)1

sin x

= e0 = 1.


Đề bài


Vì K = limx→∞

(

2x + 3

2x + 1

)x+1

có dạng vô định 1∞ nên

K = elim

x→∞( 2x+3

2x+1−1).(x+1)

= elim

x→∞

2(x+1)2x+1 = e1 = e.


Đề bài


Tính giới hạn limx→∞

1

x. sin x

limx→∞

1

x= 0 nên

1

xlà vô cùng bé khi x → ∞.

|sin x| ≤ 1,∀x ∈ R nên sin x là một đại lượng bị chặn.

Do đó,1

x. sin x là tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn.

Suy ra1

x. sin x là vô cùng bé khi x → ∞ hay

limx→∞

1

x. sin x = 0


Đề bài


Tính giới hạn limx→0

x sin1

x

limx→0

x = 0 nên x là vô cùng bé khi x → 0.∣

∣

∣

∣

sin1

x

∣

∣

∣

∣

≤ 1,∀x 6= 0 nên sin1

xlà một đại lượng bị chặn.

Do đó, x sin1

xlà tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn.

Suy ra x sin1

xlà vô cùng bé khi x → 0 hay

limx→0

x sin1

x= 0


Đề bài



√1 + 2x − 1

tan 3x.

Khi x → 0 thì 2x → 0 do đó√

1 + 2x − 1 ∼ 1

2.(2x) = x.

Khi x → 0 thì 3x → 0 và limx→0

cos 3x = 1 nên

tan 3x =sin 3x

cos 3x∼ 3x

1= 3x.

Theo nguyên lý thay vô cùng bé tương đương ta được

limx→0

√1 + 2x − 1

tan 3x= lim

x→0

x

3x=

1

3.


Đề bài



ex sinx − 1

ln cos x.

Khi x → 0 ta có, x sin x → 0. Hơn nữa x sin x ∼ x.x = x2. Suy ra

ex sinx − 1 ∼ x sin x ∼ x2.

Khi x → 0 ta có cos x − 1 → 0 và cos x − 1 ∼ −x2

2. Suy ra,

ln cos x = ln [1 + (cos x − 1)] ∼ cos x − 1 ∼ −x2

2.

Theo nguyên lý thay vô cùng bé tương đương ta được

limx→0

ex sinx − 1

ln cos x= lim

x→0

x2

−x2

2

= −2.


Đề bài




3x + x3 + 6x4.

Khi x → 0 ta có sin x và 3x lần lượt là các vô cùng bé có bậc thấpnhất (duy nhất) của tử thức và mẫu thức.

Do đó, Bằng cách áp dụng nguyên lý bỏ qua các vô cùng bé bậc caota được

limx→0


3x + x3 + 6x4= lim

x→0

x

3x=

1

3.


Đề bài



sin 5x + tan2 x + ln(1 + x2)

x + x2 + arcsin2 x.

Khi x → 0 ta có sin 5x và x lần lượt là các vô cùng bé có bậc thấpnhất (duy nhất) của tử thức và mẫu thức.

Bằng cách áp dụng nguyên lý bỏ qua các vô cùng bé bậc cao ta có

limx→0

sin 5x + tan2 x + ln(1 + x2)

x + x2 + arcsin2 x= lim

x→0

sin 5x

x= lim

x→0

5x

x= 5


Đề bài


Xét sự liên tục của hàm số f(x) =

√1 + sinx − 1

xnếu x 6= 0

1

2nếu x = 0

tại

x0 = 0.

Ta có, f(x) = f(x)|x=0 =1

2.

limx→0

f(x) = limx→0

√1 + sinx − 1

x= lim

x→0

√1 + sin x − 1

sin x.sin x

x=

1

2.

Suy ra, limx→0

f(x) = f(0) =1

2. Do đó, f(x) liên tục tại x = 0.


Đề bài


Xét sự liên tục của hàm số g(x) =

{

x2 nếu x ≤ 2

x nếu x > 2tại x0 = 2.

Ta có,

limx→2−

g(x) = limx→2−

x2 = 4

limx→2+

g(x) = limx→2+

x = 2

=⇒ limx→2−

g(x) 6= limx→2+

g(x).

Do đó limx→2

g(x) không tồn tại.

Suy ra, hàm số g(x) gián đoạn tại x = 2.


Đề bài


Xét sự liên tục của hàm số h(x) =

1

xnếu x < 0

sinx

xnếu x > 0

1 nếu x = 0

tại x0 = 0.

Ta có, limx→0−

h(x) = limx→0−

1

x= −∞.

Suy ra, limx→0

h(x) không hữu hạn.

Vậy hàm số h(x) gián đoạn tại x = 0.


Đề bài


Xét sự liên tục của hàm số f(x) =

{

x2 nếu x ≤ 2

x nếu x > 2trên R .

Với x < 2 ta có f(x) = x2 là hàm số sơ cấp. Do đó, f(x) liên tụctrên khoảng (−∞, 2).Với x > 2 ta có f(x) = x là hàm số sơ cấp. Do đó, f(x) liên tục trênkhoảng (2,+∞).Tại x = 2 ta có,

limx→2−

f(x) = limx→2−

x2 = 4

limx→2+

f(x) = limx→2+

x = 2

=⇒ limx→2−

f(x) 6= limx→2+

f(x).

Do đó limx→2

f(x) không tồn tại.

Suy ra, hàm số f(x) gián đoạn tại x = 2.Vậy f(x) không là hàm số liên tục trên toàn trục số.


Đề bài


Xét sự liên tục của hàm số g(x) =

{ sin x

xnếu x 6= 0

1 nếu x = 0trên R .

Với x 6= 0, ta có f(x) =sin x

xlà hàm số sơ cấp. Suy ra g(x) liên tục

trên mỗi khoảng (−∞, 0) và (0,+∞).

Tại x = 0, ta có limx→0

f(x) = limx→0

sin x

x= 1 = f(0). Suy ra, f(x) liên

tục tại x = 0.

Vậy f(x) là hàm số liên tục trên R.


Đề bài


Tìm m để hàm số f(x) =

{

x sin1

xkhi x 6= 0

m khi x = 0. liên tục trên R.

Với x 6= 0 ta có f(x) = x sin1

xlà hàm số sơ cấp. Do đó, f(x) liên

tục trên từng khoảng (−∞, 0) và (0,+∞).Theo đề bài, hàm số f(x) liên tục trên R nên f(x) liên tục tại x = 0hay

limx→0

f(x) = f(0) ⇐⇒ limx→0

x sin1

x= m (1)

Ta có, x sin1

xlà tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn

khi x → 0. Do đó, nó là một vô cùng bé khi x → 0, tức là

limx→0

f(x) = 0.

Từ (1) ta có giá trị cần tìm là m = [email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 80 / 81

Đề bài


Tìm m để hàm số g(x) =

{

cos x khi x ≤ 0m(x − 1) khi x > 0

liên tục trên R.

Với x < 0 ta có g(x) = cos x là hàm số sơ cấp. Do đó, nó liên tụctrên khoảng (−∞, 0).

Với x > 0 ta có g(x) = m(x − 1) là đa thức bậc nhất nên nó liên tụctrên khoảng (0,+∞).

Theo đề bài, g(x) liên tục trên R. Suy ra g(x) liên tục tại x = 0 hay

limx to0−

g(x) = limx→0+

g(x) = g(0) ⇐⇒ 1 = −m ⇐⇒ m = −1.

Vậy giá trị cần tìm là m = −1.


Đề bài

Documents

VI TÍCH PHÂN A1 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN