Hjelp til GeoGebra

Offisiell manual for 3.0

Norsk, nynorsk

Markus Hohenwarter og Judith Preinerwww.geogebra.org, august 2007

2

Hjelp til GeoGebra 3.0Sist endra: 1. august, 2007GeoGebra Website: www.geogebra.org

ForfattararMarkus Hohenwarter, mhohen@math.fau.edu Judith Preiner, jpreiner@math.fau.edu

Omsett avSigbjørn Hals, sigbjorn@inter-ped.no

Søk etter hjelp i GeoGebra• Online: GeoGebra Help Search• PDF: Trykk Ctrl + Shift + F i Adobe Acrobat Reader

3

Innhald Hjelp til GeoGebra 3.0..................................................................................................3 Søk etter hjelp i GeoGebra...........................................................................................3 Innhald..........................................................................................................................41. Kva er GeoGebra?....................................................................................................72. Eksempel...................................................................................................................8

2.1 Trekant med vinklar ............................................................................................82.2 Lineær likning y = m x + b....................................................................................82.3 Tyngdepunkt for tre punkt A, B, og C .................................................................92.4 Del linjestykket AB i forholdet 7:3........................................................................92.5 Eit sett av lineære likningar med to ukjende .....................................................102.6 Tangenten til ein funksjon av x .........................................................................102.7 Gransking av polynomfunksjonar......................................................................102.8 Integral...............................................................................................................11

3. Geometriske objekt.................................................................................................121.1. Generell informasjon .......................................................................................12

1.1.1. Objektmeny ..............................................................................................121.1.2. Vis og skjul ...............................................................................................121.1.3. Sporing......................................................................................................131.1.4. Forstørr eller forminsk ..............................................................................131.1.5. Forhold mellom aksane.............................................................................131.1.6. Konstruksjonsforklaring ............................................................................131.1.7. Navigasjonsmeny......................................................................................131.1.8. Omdefiner .................................................................................................131.1.9. Eigenskapar..............................................................................................14

1.2. Menyval............................................................................................................141.2.1. Generelle menyval....................................................................................141.2.2. Punkt ........................................................................................................161.2.3. Vektor .......................................................................................................161.2.4. Linjestykke.................................................................................................171.2.5. Stråle ........................................................................................................171.2.6. Mangekant ................................................................................................171.2.7. Linje ..........................................................................................................171.2.8. Kjeglesnitt .................................................................................................181.2.9. Boge og sektor .........................................................................................191.2.10. Tal og vinklar ..........................................................................................201.2.11. Boolske verdiar.......................................................................................211.2.12. Geometrisk stad .....................................................................................211.2.13. Geometriske omformingar ..................................................................... 211.2.14. Tekst........................................................................................................221.2.15. Bilete.......................................................................................................231.2.16. Bileteeigenskapar ...................................................................................23

2. Algebraverdiar.......................................................................................................252.1. Generelle kommentarar ..................................................................................25

4

2.1.1. Endre verdiar ............................................................................................252.1.2. Animasjon..................................................................................................25

2.2. Direkte inndata ................................................................................................262.2.1. Tal og vinklar ............................................................................................262.2.2. Punkt og vektorar .....................................................................................262.2.3. Linje ..........................................................................................................272.2.4. Kjeglesnitt .................................................................................................272.2.5. Funksjon av x ...........................................................................................272.2.6. Liste med objekt........................................................................................282.2.7. Aritmetiske operasjonar ...........................................................................282.2.8. Boolske variablar.......................................................................................292.2.9. Boolske operasjonar.................................................................................30

2.3. Kommandoar ..................................................................................................302.3.1. Generelle kommandoar ........................................................................... 302.3.2. Boolske kommandoar...............................................................................312.3.3. Tal ............................................................................................................312.3.4. Vinkel ........................................................................................................332.3.5. Punkt ........................................................................................................332.3.6. Vektor .......................................................................................................352.3.7. Linjestykke ................................................................................................352.3.8. Stråle ........................................................................................................352.3.9. Mangekant ................................................................................................362.3.10. Linje ........................................................................................................362.3.11. Kjeglesnitt ...............................................................................................372.3.12. Funksjon .................................................................................................382.3.13. Parametriske kurver................................................................................392.3.14. Boge og Sektor ......................................................................................392.3.15. Bilete ......................................................................................................402.3.16. Tekst........................................................................................................402.3.17. Geometrisk stad .....................................................................................402.3.18. Talfølge...................................................................................................402.3.19. Geometriske transformasjonar................................................................41

3. Utskrift og Eksporter...............................................................................................433.1. Utskrift..............................................................................................................43

3.1.1. Teikneflata ................................................................................................433.1.2. Konstruksjonsforklaring ............................................................................43

3.2. Teikneflata som bilete .....................................................................................433.3. Teikneflata til utklippstavla...............................................................................443.4. Konstruksjonsforklaring som nettside .............................................................443.5. Dynamisk ark som nettside .............................................................................45

4. Innstillingar............................................................................................................464.1. Punktstyring ....................................................................................................464.2. Vinkelmål ........................................................................................................464.3. Tal på desimalar .............................................................................................464.4. Kontinuitet........................................................................................................464.5. Punkttype ........................................................................................................464.6. Type markering av rett vinkel.......................................................................... 464.7. Koordinatar......................................................................................................474.8. Namn på objekt................................................................................................474.9. Fontstorleik .....................................................................................................47

5

4.10. Språk .............................................................................................................474.11. Teikneflata.....................................................................................................474.12. Lagre innstillingar...........................................................................................47

5. Verktøy og verktøylinje..........................................................................................485.1. Brukardefinerte verktøy...................................................................................485.2. Tilpass verktøylinja..........................................................................................48

6. Javascript ..............................................................................................................49 Stikkord.......................................................................................................................50

6

1.Kva er GeoGebra?GeoGebra er ein dynamisk matematisk programvare, som bind saman geometri, algebra og utrekningar. Programmet er utvikla av Markus Hohenwarter ved Florida Atlantic University, til bruk for elevar og lærarar.

På den eine sida er GeoGebra eit dynamisk geometrisystem. Du kan utføre konstruksjonar med punkt, vektorar, linjestykke, linjer og kjeglesnitt. Du kan òg teikne grafar til funksjonar og endre konstruksjonane og grafane dynamisk etterpå.

På den andre sida, kan likningar og koordinatar setjast inn direkte. På denne måten kan GeoGebra bruke variablar for tal, vektorar og punkt og finne den deriverte og integral av funksjonar. Programmet tilbyr kommandoar som Nullpunkt og Ekstremalverdi.

Desse to tilnærmingsmåtane er typiske for GeoGebra: Eit uttrykk i algebravindauget svarar til eit objekt i geometrivindauget og omvendt.

7

2.EksempelLa oss sjå på nokre eksempel for å få eit innblikk i noko av det vi kan gjere med GeoGebra.

2.1Trekant med vinklar

Vel ikonet Nytt punkt på verktøylinja. Klikk tre gongar på teikneflata for å plassere dei tre hjørna A, B og C i trekanten. Etterpå vel du Mangekant og klikkar etter tur på punkta A, B, og C. For å lukke trekanten poly1, klikkar du på startpunktet A ein gong til. Arealet av trekanten blir no vist i algebravindauget.

For å få alle vinklane i trekanten, klikkar du på ikonet for å måle vinklar Vinklar på verktøylinja og klikkar deretter inne i trekanten.

No kan du velje Flytt- verktøyet og dra i hjørna for å endre på trekanten dynamisk. Legg merke til korleis arealet og vinklane i trekanten blir oppdaterte. Dersom du ikkje treng algebravindauget og koordinataksane, kan du skjule desse ved å bruke Vis-menyen.

2.2Lineær likning y = m x + bVi vil no sjå på korleis m og n påverkar den lineære likninga y = mx + b, ved å prøve ulike verdiar for m og b. For å få til dette, kan vi skrive inn desse linjene i inntastingsfeltet nedst på sida og trykkje Enter for kvar linje.

m = 1b = 2y = m*x + b (Hugs gongeteiknet mellom m og x)

No kan vi endre m og b ved å bruke inntastingsfeltet eller direkte ved å høgreklikke på m eller n i algebravindauget (MacOS: Apple + klikke) og velje Omdefiner. Prøv følgjande verdiar for m og b.

m = 2m = -3b = 0b = -1

Du kan òg lett endre m og b ved å bruke • piltastane (sjå Animasjon) • glidarar: høgreklikk (MacOS: Apple + klikk) på m eller b og vel Vis/skjul

objekt (sjå òg menyvalet Glidar)

På ein tilsvarande måte, kan vi undersøkje likningane for kjeglesnitt som • ellipsar: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 • hyperblar: b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2 eller

8

• sirklar: (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2

2.3 Tyngdepunkt for tre punkt A, B, og C Vi skal no konstruere tyngdepunktet for tre punkt ved å skrive inn linjene nedanfor i inntastingsfeltet og trykkje Enter etter kvar linje. Du kan sjølvsagt bruke musa til å utføre denne konstruksjonen. Det gjer du ved å bruke dei tilsvarande vala på verktøylinja (sjå Menyval).

A = (-2, 1)B = (5, 0)C = (0, 5)M_a = Midtpunkt[B, C]M_b = Midtpunkt[A, C]s_a = Linje[A, M_a]s_b = Linje[B, M_b]S = Skjering[s_a, s_b]

Som eit alternativ, kan du rekne ut tyngdepunktet direkte ved S1=(A + B + C)/3 og samanlikne begge resultata med kommandoen Forhold[S, S1].

Deretter kan vi granske om S = S1 er sant for andre plasseringar av A, B, og C. Dette gjer vi ved å velje Flytt med musa og flytte rundt på punkta.

2.4 Del linjestykket AB i forholdet 7:3Sidan GeoGebra lar oss rekne med vektorar, er dette lett å utføre. Skriv følgjande linjer i inntastingsfeltet, og trykk Enter etter kvar linje.

A = (-2, 1)B = (3, 3)s = Linjestykke[A, B]T = A + 7/10 (B - A)

Ein annen måte å gjere dette på er A = (-2, 1)B = (3, 3)s = Linjestykke[A, B]v = Vektor[A, B]T = A + 7/10 v

I neste trinn, kan vi innføre eit tal t, for eksempel ved å bruke ein Glidar og omdefinere punkt T som T = A + t v (sjå Omdefiner). Ved å endre t, kan du sjå punkt T flytte seg langs ei rett linje, som vi no kan skrive inn på parameterform (sjå Linje): g: X = T + s v

9

2.5 Eit sett av lineære likningar med to ukjende To lineære likningar med x og y kan tolkast som to rette linjer. Den algebraiske løysinga er skjeringspunktet for desse to linjene. Skriv desse linjene i inntastingsfeltet og trykk Enter etter kvar linje.

g: 3x + 4y = 12h: y = 2x - 8S = Skjering[g,h]

For å endre likningane, kan du høgreklikke (MacOS: Apple + klikke) på ein av dei og velje Omdefiner. Ved å bruke musa, kan du flytte linjene med Flytt eller rotere dei ved å bruke Roter om punkt.

2.6 Tangenten til ein funksjon av x GeoGebra har ein kommando for å finne tangenten til ein funksjon f(x) når x = a. Skriv desse linjene i inntastingsfeltet, og trykk Enter etter kvar linje.

a = 3f(x) = 2 sin(x)t = Tangent[a, f]

Ved å animere talet a (sjå Animasjon) kan tangenten flyttast langs grafen til funksjonen f.

Her er ein annan måte vi kan finne tangenten til ein funksjon f, i eit bestemt punkt T.a = 3f(x) = 2 sin(x)T = (a, f(a))t: X = T + s (1, f'(a))

Dette gjev oss punktet T på grafen til f, der tangenten t er gjett i parameterform.

Du kan òg finne tangenten til ein funksjon geometrisk. • Vel Nytt punkt og klikk på grafen til funksjonen f for å få eit nytt punkt A som

ligg på funksjonen f.• Vel Tangentar og klikk først på grafen til f og deretter på punktet A.

Vel nå Flytt og dra punktet A langs funksjonsgrafen med musa. På denne måten kan du sjå at tangenten og likninga for tangenten endrar seg dynamisk.

2.7 Gransking av polynomfunksjonarMed GeoGebra, kan du granske nullpunkt, lokale ekstremalpunkt, og vendepunkt for polynomfunksjonar. Skriv følgjande linjer i inntastingsfeltet og trykk Enter etter kvar linje.

f(x) = x^3 - 3 x^2 + 1R = Nullpunkt[f]E = Ekstremalpunkt[f]I = Vendepunkt[f]

10

Med Flytt kan du drage grafen til funksjonen f. I denne samanhengen kan òg første og andrederiverte av f vere interessante. Du får dei ved følgjande kommandoar i inntastingsfeltet, og ved å trykkje Enter etter kvar linje:

Derivert[f] (for å få den førstederiverte)Derivert[f,2] (for å få den andrederiverte)

Du kan òg skrive f ’, f ’’, f ’’’ osv, utan å bruke kommandoen Derivert.

2.8 IntegralNår ein skal introdusere temaet integral, kan ein bruke GeoGebra til å vise nedre og øvre sum av rektangel for ein funksjon. Skriv følgjande linjer i inntastingsfeltet og trykk Enter etter kvar linje.

f(x) = x^2/4 + 2a = 0b = 2n = 5U = SumUnder[f, a, b, n]O = SumOver[f, a, b, n]

Ved å endre på a, b, eller n (sjå Animasjon; sjå Glidar), kan du sjå korleis desse parametrane verkar inn på over- og undersummen. For å endre auken på n til 1, kan du høgreklikke (MacOS: Apple + klikke) på n og velje Eigenskapar.

Vi kan få det bestemte integralet ved å bruke kommandoen Integral[f, a, b], For å få den antideriverte som F, skriv du: F = Integral[f].

11

3. Geometriske objektI dette kapittelet skal vi forklare korleis vi kan bruke musa til å lage og endre objekt i GeoGebra.

1.1. Generell informasjon Geometrivindauget (til høgre i GeoGebra) viser grafiske representasjonar av punkt, vektorar, linjestykke, mangekantar, funksjonar, rette linjer og kjeglesnitt. Så snart musa blir ført over eit slikt objekt, blir dette objektet markert og det kjem fram ei forklaring.Obs: Geometrivindauget blir oftast kalla for teikneflata.

Det er mange måtar å fortelje GeoGebra korleis programmet skal reagere på ulike innsettingar frå musa. I geometrivindauget (sjå Menyval), kan ein for eksempel få fram eit nytt punkt ved å klikke på teikneflata (sjå menyvalet Nytt punkt). Ein kan òg få fram skjeringspunkt (sjå menyvalet Skjering mellom to objekt), eller lage ein sirkel (sjå menyvala for Sirkel).

Obs: Når du høgreklikkar på eit objekt i algebravindauget, får du fram ein redigerings-meny for dette objektet.

1.1.1. Objektmeny Ved å høgreklikke på eit objekt, får vi fram ein eigen meny for dette objektet. Her kan du for eksempel velje om du vil ha kartesiske eller polare koordinatar, og på kva slags form likningane skal skrivast. Her finn du òg kommandoar som: Gje nytt namn, Omdefiner og Slett

Når du vel Eigenskapar i objektmenyen, får du fram ein egen meny, der du kan endre farge, storleik, linjebreidde, linjestil eller fyll for kvart objekt.

1.1.2. Vis og skjul

Geometriske objekt kan bli teikna (Vis) eller ikkje (Skjul). Bruk menyvalet Vis / skjul objekt eller Objektmenyen for å endre på dette. Ikonet til venstre for kvart objekt i algebravindauget viser kva som er valt for dette objektet ( “skjult” eller ”synleg”).

Obs: Du kan òg bruke menyvalet Avmerkingsboks for å vise eller skjule objekt for å vise / skjule fleire objekt.

12

1.1.3. SporingGeometriske objekt kan etterlate eit spor på skjermen når dei blir flytta. Bruk Objektmenyen for å slå sporing av objekt av og på.

Obs: Menyvalet Frisk opp og fjern ev. spor i Vis-menyen, slettar alle slike spor.

1.1.4. Forstørr eller forminsk Etter å ha høgreklikka (MacOS: Apple + klikka) på teikneflata, vil det bli vist ein objektmeny som vil la deg forstørre eller forminske innhaldet på teikneflata (sjå òg menyvalet Forstørr eller Forminsk).

Obs: For å zoome inn til eit bestemt område, kan du høgreklikke (MacOS: Apple + klikke) på teikneflata, og drage for å definere området du vil zoome inn til. Hald høgre museknapp nede når du dreg rektangelet over ønska område.

1.1.5. Forhold mellom aksaneHøgreklikk (MacOS: Apple + klikk) på teikneflata og vel Eigenskapar for å få opp objektmenyen, der du kan

• endre forholdet mellom x-aksen og y-aksen• skjule / vise ein eller begge koordinataksane• endre på utsjånaden til aksane (merke, farge og linjestil)

1.1.6. Konstruksjonsforklaring Den interaktive konstruksjonsprotokollen (menyvalet Vis, Konstruksjonsprotokoll) er ein tabell som viser alle trinna i konstruksjonen. Han lar deg vise gjennomføringa i ein ferdig konstruksjon steg for steg, ved å bruke navigasjonsmenyen nedst i vindauget. Du kan til og med sette inn nye konstruksjonssteg eller endre på rekkefølgja av stega. Du finn fleire detaljar om dette i hjelp-menyen for konstruksjonsforklaringa.

Obs: Ved å bruke kolonnen Etappepunkt i Vis-menyen, kan du definere bestemte steg i konstruksjonen som etappepunkt. På denne måten kan du gruppere objekt og få vist fleire objekt samtidig.

1.1.7. NavigasjonsmenyGeoGebra tilbyr ein navigasjonsmeny for å flytte fram og tilbake i ein ferdig konstruksjon. Vel Navigasjonsmeny for trinna i konstruksjonen i Vis-menyen for å vise denne nedst i geometrivindauget (teikneflata).

1.1.8. Omdefiner Eit objekt kan bli omdefinert ved å bruke Objektmenyen. Dette er veldig nyttig for fleire endringar av konstruksjonen etter kvarandre. Du kan òg omdefinere eit objekt ved å velje Flytt og dobbeltklikke på eit avhengig objekt i algebravindauget.

13

Eksempel: For å plassere eit fritt punkt A på ei linje h, vel du Omdefiner for punkt A og skriv Punkt[h] i menyen som dukkar opp. For å fjerne punktet frå denne linja og frigjere det igjen, kan du omdefinere det til nokre frie koordinatar.

Eit anna eksempel er omdefineringa av ei linje h gjennom to punkt A og B til eit linjestykke. Vel Omdefiner og skriv Linjestykke[A, B]i menyvalet som dukkar opp. Dette fungerer òg den motsette vegen.

Å omdefinere eit objekt er ein fleksibel måte å endre ein konstruksjon på. Hugs at du òg kan endre rekkefølgja på stega i konstruksjonen ved å bruke konstruksjonsforklaringa.

1.1.9. EigenskaparMenyen for eigenskapar lar deg endre eigenskapane for eit objekt.(som farge og linjestil). Du kan opne denne dialogen ved å høgreklikke (MacOS: Apple + klikke) på eit objekt og velje Eigenskapar, eller ved å velje Eigenskapar i Rediger-menyen.

I menyen for eigenskapar, er objekta ordna etter type (som punkt, linjer, sirklar). Dette gjer det lett å jobbe med mange objekt samtidig. Du kan endre på eigenskapane til valde objekt ved å bruke valalternativa på høgre side av menyen. Lukk dialogboksen for Eigenskapar for å utføre endringa.

1.2. MenyvalFølgjande val kan aktiverast frå verktøylinja eller i Geometrimenyen. Klikk på den vesle trekanten nedst i høgre hjørne på eit ikon, for å få fram ein meny med fleire val.

Obs: Du kan lett lage nye punkt i alle konstruksjonsvala ved å klikke på teikneflata.

Merking av eit objektÅ merke eit objekt, vil seie å klikke på det med musa.

Ein rask måte å gje eit nytt namn til eit objekt For å gje eit valt eller nyleg laga objekt eit nytt namn, treng du berre å starte med å skrive namnet for å få opna den aktuelle dialogboksen.

1.2.1. Generelle menyval

Flytt I dette menyvalet kan du drage og flytte objekt med musa. Dersom du vel eit objekt ved å klikke på det i, Flytt-menyen, kan du

• slette det ved å velje Delete-tasten • flytte det ved å bruke piltastane (sjå Animasjon)

14

Obs: Du kan òg aktivere Flytt-menyvalet, ved å trykkje Esc-tasten.

Ved å halde nede Ctrl- tasten, kan du velje fleire objekt samtidig.

Ein annan måte å velje fleire objekt på, er å halde nede venstre muttast og drage eit rektangel rundt dei objekta du ønskjer å velje. Du kan så flytte alle objekta i rektangelet samtidig, ved å klikke på og flytte eitt av dei med musa.

Utvalsrektangelet kan òg brukast til å velje eit utsnitt av ein graf for utskrift, eksportere bilete og for dynamiske arbeidsdokument (sjå Utskrift og Eksporter).

Roter om punkt Vel først punktet som objektet skal rotere om. Etterpå kan du rotere uavhengige objekt ved å flytte dei med musa.

Forhold Marker to objekt for å få informasjon om forholdet mellom desse (sjå òg kommandoen Forhold).

Flytt teikneflata Drag og slepp teikneflata for å flytte på origo i koordinatsystemet.Obs: Du kan òg flytte teikneflata ved å halde nede Shift-tasten (PC òg Ctrl-tasten) og drage med musa.

I dette menyvalet kan du endre skalaen på kvar av aksane ved å flytte på ein av dei med musa. Obs: Å skalere aksane er òg mogleg i alle andre menyval, om du held nede Shift tasten (PC: òg Ctrl -tasten) når du flyttar på aksane.

Forstørr Klikk på eit fritt valt punkt på teikneflata for å zoome inn der (sjå òg Forstørr og forminsk)

Forminsk Klikk på eit fritt valt punkt på teikneflata for å zoome ut der (sjå òg Forstørr og forminsk)

Vis / skjul objekt Klikk på eit objekt for å skjule det.Obs: Alle objekt som skal skjulast kan merkast først. Endingane vil komme til syne så snart du skiftar til eit anna menyval på verktøylinja.

Vis / skjul namn Klikk på eit objekt for å vise eller skjule namnet på objektet.

15

Kopier stil eller format Dette menyvalet lar deg kopiere synlege eigenskapar (farge, storleik, linjestil) frå eit objekt til fleire andre. For å gjere dette, vel du først det objektet som du ønskjer å kopiere stilen frå. Deretter klikkar du på alle andre objekt som du ønskjer å overføre eigenskapane til.

Slett objekt Klikk på objektet du ønskjer å slette.

1.2.2. Punkt

Nytt punkt Du lagar eit nytt punkt ved å klikke på teikneflata. Obs: Koordinatane til punktet blir synlege når du slepp mustasten.

Ved å klikke på eit linjestykke, ei rett linje, ein mangekant, eit kjeglesnitt, ein funksjon eller ei kurve, kan du òg plassere eit punkt på desse objekta (sjå òg kommandoen Punkt). Ved å klikke på skjeringspunktet mellom to objekt, kan du òg få koordinatane til skjeringspunktet (sjå òg kommandoen Skjering).

Skjering mellom to objekt Du kan finne skjeringspunkt mellom to objekt på to måtar. Dersom du

• merkar to objekt vil alle skjeringspunkt vise (om mogleg). • klikkar på skjeringspunktet for to objekt, vil berre dette eine skjeringspunktet

bli markert.

For linjestykke, strålar eller bogar, kan du velje om du vil tillate skjeringspunkt i forlengingar (sjå Eigenskapar). Dette kan brukast for å finne skjeringspunkt som ligg i ei forlenging av eit objekt. For eksempel er forlenginga av eit linjestykke eller ein stråle ei rett linje.

Midtpunkt eller sentrum Klikk på

• to punkt for å få eit punkt som ligg midt mellom• eit linjestykke for å få midtpunktet på dette • eit kjeglesnitt (for eksempel ein sirkel) for å finne sentrum der

1.2.3. Vektor

Vektor mellom to punkt Merk start- og sluttpunkt for ein vektor.

16

Vektor frå punkt Merk eit punkt A og ein vektor v for å lage punktet B = A + v og vektoren frå A til B.

1.2.4. Linjestykke

Linjestykke mellom to punkt Når du set av to punkt A og B, blir det definert eit linjestykke mellom desse. Lengda på linjestykket vert synleg i algebravindauget.

Linjestykke med fast lengde frå eit punkt Klikk på eit punkt A som kan vere startpunkt for linjestykket. Skriv så den aktuelle lengda a av linjestykket i vindauget som dukkar opp.

Obs: Dette menyvalet lager eit linjestykke med lengde a og sluttpunkt B. Det kan roterast i menyvalet Flytt rundt startpunktet A.

1.2.5. Stråle

Stråle gjennom to punkt Ved å merke to punkt A og B, blir det laga ein stråle som startar i A og som går gjennom B. I algebravindauget kan du sjå likninga for den tilsvarande linja.

1.2.6. Mangekant

Mangekant Merk minst tre punkt som skal utgjere hjørna i mangekanten. Klikk så på det første punktet igjen for å lukke mangekanten. Arealet av denne vert vist i algebravindauget.

Regulær mangekantVed å markere to punkt A og B og skrive inn ønska tal på sider n i tekstfeltet i dialogboksen som dukkar opp, får du danna ein regulær mangekant med n hjørne (inkludert punkta A og B).

1.2.7. Linje

Linje gjennom to punkt Ved å markere to punkt A og B blir det definert ei rett linje gjennom A og B. Retningsvektoren for linja er (B - A).

17

Parallell linje Ved å markere ei linje g og eit punkt A, blir det definert ei rett linje gjennom A og som er parallell med g. Retninga på linja er den same som retninga på g.

Normal Ved å merke ei linje g og eit punkt A får vi laga ei rett linje gjennom A, vinkelrett på linja g. Retninga på linja er den same som på normalvektoren (sjå òg kommandoen Normalvektor) til g.

Midtnormal Midtnormalen til eit linjestykke blir definert ved å klikke på eit linjestykke eller på to endepunkt A og B. Retninga på midtnormalen er den same som retninga på normalvektoren til linjestykket s eller AB (sjå òg kommandoen Normalvektor).

Halveringslinje for vinkel Halveringslinja for ein vinkel kan definerast på to måtar.

• Ved å markere tre punkt A, B, C får vi halveringslinja for vinkelen ABC, der B er toppunktet.

• Ved å markere to linjer får vi begge halveringslinjene for dei mellomliggande vinklane.

Obs: Retningsvektoren for alle halveringslinjer har lengde 1.

Tangentar Tangentar til eit kjeglesnitt kan lagast på to måtar.

• Ved å markere eit punkt A og eit kjeglesnitt c, får vi laga alle tangentane til c, gjennom A.

• Ved å markere ei linje g og eit kjeglesnitt c får vi laga alle tangentane til c som er parallelle med g.

Ved å markere eit punkt A og ein funksjon f, får vi laga tangenten til f, for x = x(A).

Sekantlinje eller diameterlinje Dette menyvalet gjev oss ei linje som er ei forlenging av ein sekant eller diameter til eit kjeglesnitt. Du kan

• markere eit punkt og eit kjeglesnitt for å få denne linja • markere ei linje eller ein vektor og eit kjeglesnitt for å få linja som er ei

forlenging av diameteren

1.2.8. Kjeglesnitt

Sirkel definert ved sentrum og punkt Ved å setje av eit punkt M og eit punkt P, blir det definert ein sirkel med sentrum i M og som går gjennom P. Radius i sirkelen har lengda MP.

18

Sirkel definert ved sentrum og radius Etter å ha sett av eit punkt M, får du spørsmål om å skrive inn lengda av radius i tekstfeltet på vindauget som dukkar opp.

Sirkel gjennom tre punkt Ved å setje av tre punkt A, B, og C, blir det definert ein sirkel gjennom desse tre punkta. Dersom punkta ligg på ei rett linje, degenererer sirkelen til å bli denne linja.

Kjeglesnitt gjennom 5 punkt Set vi av 5 punkt, får vi eit kjeglesnitt gjennom desse. Obs: Kjeglesnittet er definert dersom ikkje meir enn tre av desse punkta ligg på ei rett linje.

1.2.9. Boge og sektor Obs: Den algebraiske verdien av ein boge er lengda på bogen. Verdien til ein sektor er arealet.

Halvsirkel Ved å merke to punkt A og B blir det laga ein halvsirkel over linjestykket (diameteren) AB.

Sirkelboge definert ved sentrum, radius og punkt Ved å merke tre punkt M, A, og B, blir det laga ein sirkelboge med sentrum i M, og som startar i A og sluttar i B. Obs: Punkt B treng ikkje å ligge på bogen.

Sirkelsektor definert ved sentrum, radius og punkt Ved å merke tre punkt M, A, og B, blir det laga ein sirkelsektor med sentrum i M, og som startar i A og sluttar i B. Obs: Punkt B treng ikkje å ligge på sektoren.

Sirkelboge gjennom tre punkt Ved å merke tre punkt, blir det laga ein sirkelboge gjennom desse tre punkta.

Sirkelsektor ved tre punkt Ved å merke tre punkt, blir det laga ein sirkelsektor gjennom desse tre punkta.

19

1.2.10. Tal og vinklar

Avstand eller lengde Dette menyvalet gjev oss avstanden mellom to punkt eller mellom eit punkt og ei linje. Det gjev oss òg lengda av eit linjestykke eller omkrinsen av ein sirkel.

ArealDette menyvalet gjev oss arealet av ein mangekant, sirkel eller ellipse som ein dynamisk tekst i algebravindauget.

StigningDette menyvalet gjev oss stigninga til ei linje som ein dynamisk tekst i algebravindauget.

Glidar Obs: I GeoGebra er ein glidar berre ein grafisk representasjon av eit fritt tal eller vinkel.

Klikk på ein fritt vald stad på teikneflata for å lage ein glidar for eit definert tal eller ein vinkel. Vindauget som dukkar opp gjer at vi kan skrive namnet, intervallet [min, maks] til talet eller vinkelen, og retninga og breidda på glidaren, målt i pikslar.

Obs: Du kan lage ein glidar for alle definerte frie tal eller vinklar, ved å vise dette talet eller denne vinkelen (sjå Objektmeny; sjå menyvalet Vis / skjul objekt).

Posisjonen til glidaren kan vere absolutt på teikneflata eller relativ til koordinataksane (sjå Eigenskapar for det aktuelle talet eller vinkelen).

Vinkel Dette menyvalet kan gje oss

• vinkelen mellom tre punkt • vinkelen mellom to linjestykke • vinkelen mellom to linjer • vinkelen mellom to vektorar • alle vinklane inne i ein mangekant

Alle desse vinklane er avgrensa til å ligge mellom 0 og 180°. Dersom du vil tillate konvekse vinklar (vinklar mellom 180° og 360°), kan du velje dette i Eigenskapar.

Vinkel med fast storleik Merk to punkt A og B og skriv storleiken på vinkelen i tekstfeltet i vindauget som dukkar opp. Dette menyvalet lager eit punkt C og ein vinkel α, der α er vinkelen ABC.

20

1.2.11. Boolske verdiar

Avkryssingsboks for å vise og skjule objektVed å klikke på teikneflata, blir det laga ein avkryssingsboks (ut frå Boolske verdiar) for å vise og skjule eitt eller fleire objekt. I vindauget som dukkar opp kan du avgjere kva for objekt som skal bli styrte av avkryssingsboksen.

1.2.12. Geometrisk stad

Geometrisk stad Marker eit punkt B som er avhengig av eit anna punkt A, og som vi vil teikne den geometriske staden for. Klikk deretter på punkt A. Obs: Punkt B må vere eit punkt på eit objekt (for eksempel ei linje, eit linjestykke eller ein sirkel).

Eksempel: • Skriv f(x) = x^2 – 2 x – 1 i inntastingsfeltet. • Plasser eit nytt punkt A på x-aksen (sjå menyvalet Nytt punkt; sjå

kommandoen Punkt). • Lag punktet B = (x(A), f’(x(A))) som er avhengig av A. • Vel Geometrisk stad frå verktøylinja og klikk på punkt B og deretter på

punkt A.• Drag punkt A langs x-aksen for å sjå korleis punkt B flyttar seg langs den

geometriske staden sin (i dette tilfellet linja y = 2x – 2).

1.2.13. Geometriske omformingar Dei følgjande geometriske omformingane fungerer for punkt, linjer, kjeglesnitt, mangekantar og bilete.

Spegl objekt om punkt Først klikkar du på objektet som skal speglast. Deretter klikkar du på punktet som objektet skal speglast om.

Spegl objekt om linje Først klikkar du på objektet som skal speglast. Deretter klikkar du på linja som objektet skal speglast om.

Roter objekt om punkt med fast vinkel Først merkar du objektet som skal roterast. Deretter klikkar du på punktet som skal vere rotasjonssenteret. Då vil det dukke opp eit vindauge der du kan skrive kor stor rotasjonsvinkelen skal vere.

21

Flytt objekt med vektor Først merkar du objektet som skal flyttast. Deretter klikkar du på den aktuelle vektoren.

Utvid objekt frå punkt med faktorFørst merkar du objektet som skal utvidast. Deretter klikkar du på punktet som objektet skal utvidast frå. Då vil det dukke opp eit vindauge der du kan skrive inn faktoren for utviding.

1.2.14. Tekst

Tekst Med dette menyvalet kan du lage statiske eller dynamiske tekstar eller LaTeX formlar i geometrivindauget (på teikneflata).

• Klikk på teikneflata for å lage ein ny tekst der.• Klikk på eit punkt for å lage ein ny tekst der posisjonen er definert i forhold til

dette punktet.

Etterpå dukkar det opp ein dialogboks der du kan skrive inn teksten. Obs: Du kan bruke verdiar hos objekt for å lage ein dynamisk tekst.

Inndata Forklaring“Dette er ein tekst” Enkel tekst (statisk)“Punkt A = ” + A Dynamisk tekst ut frå verdien til punkt A“a = ” + a + ”cm” Dynamisk tekst ut frå lengda av a

Plasseringa av ein tekst kan vere absolutt bestemt på skjermen, eller vere i forhold til koordinatsystemet (sjå Eigenskapar for teksten).

LaTeX Formlar I GeoGebra kan du òg skrive Formlar. For å gjere dette, kan du hake av i avkryssingsboksen LaTeX formel i dialogboksen til menyvalet Tekst og skrive inn formelen i LaTeX. Her er det vist nokre viktige LaTeX-kommandoar. Du kan gjerne lese meir om slike kommandoar i annan litteratur om LaTeX.

LaTeX inndata Resultata \cdot b ba ⋅

\frac{a}{b}ba

\sqrt{x} x\sqrt[n]{x} n x\vec{v} v

\overlinje{AB} AB

22

LaTeX inndata Resultatx^{2} 2xa_{1} 1a\sin\alpha + \cos\beta βα cossin +

\int_{a}^{b} x dx ∫b

axdx

\sum_{i=1}^{n} i^2 ∑ =

n

ii

12

1.2.15. Bilete

Set inn bilete Dette menyvalet lar deg plassere eit bilete på teikneflata.

• Du får plassert nedre venstre hjørne av biletet der du klikkar først. • Om du klikkar på eit punkt, vil nedre venstre hjørne av biletet vere plassert på

dette punktet. Deretter blir det opna ein dialogboks, der du kan velje kva for eit bilete du vil setje inn.

1.2.16. Bileteeigenskapar Plassering Posisjonen til eit bilete kan vere absolutt på skjermen, eller relativ i forhold til koordinatsystemet (sjå Eigenskapar til eit bilete). Den siste varianten får ein ved å definere dei tre hjørnepunkta. Dette gjer at du kan skalere, rotere og endre form på bileta.

• 1. hjørne (posisjonen til nedre venstre hjørne av biletet) • 2. hjørne (posisjonen til nedre høgre hjørne av biletet)

Obs: Dette hjørnet kan berre bli definert dersom det første hjørnet er definert først. 2. hjørne definerer breidda av biletet.

• 4. hjørne (posisjonen til øvre venstre hjørne av biletet) Obs: Dette hjørnet kan berre bli definert dersom det første hjørnet er definert først. 4. hjørne definerer høgda av biletet.

Obs: Sjå òg kommandoen Hjørne

Eksempel:La oss lage tre punkt A, B, og C for å utforske verknaden av desse hjørnepunkta.

• Sett punkt A som det første og punkt B som det andre hjørnet av biletet ditt. Ved å dra punkta A og B i Flytt menyvalet, kan du enkelt granske verknaden av desse punkta.

• Sett punkt A som det første og punkt C som det fjerde hjørnet, og undersøk korleis biletet blir endra når du flyttar på punkta.

• Til slutt kan du setje alle tre hjørnepunkta og sjå korleis biletet endrar seg når du flyttar på punkta.

Du har alt sett korleis du kan endre plassering og storleik på biletet. Dersom du ønskjer å knytte biletet til punkt A og å setje breidda til 3 og høgda til 4, kan du gjere dette slik:

23

• 1. hjørne: A • 2. hjørne: A + (3, 0) • 4. hjørne: A + (0, 4)

Obs: Dersom du no flyttar punkt A i Flytt menyvalet, held biletet den ønska storleiken.

Bakgrunnsbilete Du kan setje eit bilete som bakgrunn på teikneflata (sjå Eigenskapar til biletet). Eit bakgrunnsbilete ligg bak koordinataksane, og kan ikkje lenger veljast med musa. Obs: For å endre på innstillingane til eit bakgrunnsbilete, kan du velje Eigenskapar frå Rediger-menyen på verktøylinja.

Gjennomsiktig Eit bilete kan gjerast gjennomsiktig for å sjå objekt eller aksar som ligg bak biletet. Du kan avgjere kor gjennomsiktig det skal vere ved å stille inn fyll-verdien til ein verdi mellom 0 % og 100 % (sjå Eigenskapar til eit bilete).

24

2. AlgebraverdiarI dette kapittelet vil vi forklare korleis du kan bruke tastaturet til å lage og endre objekt i GeoGebra.

2.1. Generelle kommentarar Verdiar, koordinatar og likningar for frie og avhengige objekt, blir viste i algebravindauget (på venstre side i GeoGebra). Frie objekt er ikkje avhengige av andre objekt, og kan endrast direkte.

Du kan lage og endre objekt ved å bruke inntastingsfeltet nedst i GeoGebra-vindauget (sjå Direkte innlastingar; sjå Kommandoar).Obs: Pass alltid på å trykkje Enter etter å ha skrive inn definisjonen av objektet i inntastingsfeltet.

2.1.1. Endre verdiar Frie objekt kan endrast direkte, men det kan ikkje dei avhengige. For å endre på verdiane til eit fritt objekt, kan du overskrive dei gamle verdiane ved å skrive inn ein ny verdi i inntastingsfeltet (sjå Direkte innlastingar). Eksempel: Dersom du ønskjer å endre på verdien av ein definert variabel a frå 3 til 5, skriv du berre den nye verdien a = 5 i inntastingsfeltet og trykkjer Enter.

Obs: Alternativt kan du gjere dette i algebravindauget ved å velje Omdefiner i Objektmenyen, eller ved å dobbeltklikke på eit ikon i algebravindauget når du står i menyvalet Flytt

2.1.2. Animasjon

For å endre eit tal eller ein vinkel gradvis, vel du talet eller vinkelen med Flytt- verktøyet. Deretter trykkjer du på + eller – tasten.

Ved å halde + eller – tasten nede kan du lage animasjonar. Eksempel: Dersom Koordinatane til eit punkt er avhengige av ein variabel k, som for eksempel P = (2 k, k), vil punktet følgje ei rett linje når verdien av k blir endra kontinuerleg.

Du kan flytte eit kvart fritt objekt med piltastane i Flytt-menyvalet (sjå Animasjon; sjå Flytt). Obs: Du kan justere skritta i endringa i menyen for Eigenskapar for objektet.

Hurtigtastar : • Ctrl + pil gjev deg ei endring på 10 einingar i gongen.• Alt + pil gjev deg ei endring på 100 einingar i gongen.

25

Obs: Eit punkt på ei linje kan òg flyttast langs linja ved at vi brukar + eller - tasten (sjå Animasjon).

2.2. Direkte inndata GeoGebra kan operere med tal, vinklar, punkt, vektorar, linjestykke, linjer, kjeglesnitt, funksjonar og parametriske kurver. Vi vil no forklare korleis desse objekta kan lagast eller endrast ved koordinatar eller likningar i inntastingsfeltet.

Obs: Du kan òg bruke indeksar i namn på objekt. Du får for eksempel A1 eller SAB, ved å skrive inn A_1 eller s_{AB}i inntastingsfeltet.

2.2.1. Tal og vinklar Tal og vinklar brukar teiknet “.” som desimalteikn.

Eksempel: Du får talet r ved å skrive r = 5.32. Obs: Du kan òg bruke konstanten π og Euler-konstanten e for uttrykk og utrekningar ved å velje dei frå nedtrekksmenyen ved sidan av inntastingsfeltet.

Vinklar blir skrivne i grader (°) eller radianar (rad). Konstanten π er nyttig for radianar, og kan òg skrivast som pi.

Eksempel: Ein vinkel α kan skrivast i grader (α = 60°) eller radianar (α = pi/3).

Obs: GeoGebra utfører alle interne utrekningar i radianar. Symbolet ° er rett og slett ein konstant for π/180, for å rekne om frå grader til radianar.

Glidarar og piltastar Frie tal og vinklar kan visast som glidarar på teikneflata (sjå menyvalet Glidar). Du kan òg endre tal og vinklar i algebravindauget ved hjelp av piltastane (sjå Animasjon).

Grenseverdiar for intervallFrie tal og vinklar kan avgrensast til eit intervall [min, maks] (sjå Eigenskapar). Dette intervallet blir òg brukt av Glidarar.

For alle avhengige vinklar, kan du bestemme om vinkelen kan vere konveks (mellom 180° og 360°) eller ikkje (sjå Eigenskapar).

2.2.2. Punkt og vektorar Punkt og vektorar kan skrivast med kartesiske eller polare koordinatar (sjå Tal og vinklar). Obs: Store bokstavar refererer til punkt og små bokstaver refererer til vektorar.

26

Eksempel: • For å setje inn eit punkt P eller ein vektor v i kartesiske koordinatar, kan du

bruke P = (1, 0) eller v = (0, 5). • For å bruke polare koordinatar, skriv du P = (1; 0°) eller v = (5; 90°).

2.2.3. Linje Ei linje kan skrivast inn som ei lineær likning med x og y eller på parametrisk form. I begge tilfelle kan tidlegare definerte variablar (som tal, punkt, vektorar) brukast. Obs: Du kan skrive namnet på ei likning i starten av inntastingsfeltet og leggje til eit kolon etter namnet.

Eksempel: • Skriv inn g : 3x + 4y = 2 for å få teikna linja g som ei lineær likning. • Definer ein parameter t (t = 3), før du skriv inn linja g på parameterform

g: X = (-5, 5) + t (4, -3).• Definer først parametrane m = 2 og b = -1. Deretter kan du skrive likninga

g: y = m x + b for å få teikna linja g på denne måten.

xAkse og y-akse Dei to koordinataksane kan vere med i kommandoar ved at vi brukar namna xAkse og yAkse. Eksempel: Kommandoen Normal[A, xAkse] teiknar ein normal på x-aksen gjennom punktet A.

2.2.4. Kjeglesnitt Eit kjeglesnitt kan skrivast som ei kvadratisk likning med x og y. Du kan bruke tidlegare definerte variablar (som tal, punkt, vektorar). Namnet på kjeglesnittet kan skrivast framfor likninga dersom du set eit kolon etter.

Eksempel:• Ellipse ell: ell: 9 x^2 + 16 y^2 = 144• Hyperbel hyp: hyp: 9 x^2 – 16 y^2 = 144• Parabel par: par: y^2 = 4 x• Sirkel k1: k1: x^2 + y^2 = 25• Sirkel k2: k2: (x – 5)^2 + (y + 2)^2 = 25

Obs: Dersom du definerer to parametrar a = 4 og b = 3 på førehand, kan du skrive likninga til ein ellipse som ell: b^2*x^2 + a^2*y^2 = a^2*b^2.

2.2.5. Funksjon av x For å skrive inn ein funksjon, kan du bruke tidlegare definerte variablar (som tal, punkt, vektorar) og andre funksjonar.

27

Eksempel:• Funksjon f: f(x) = 3 x^3 – x^2• Funksjon g: g(x) = tan(f(x))• Namnlaus funksjon: sin(3 x) + tan(x)

Alle indre funksjonar (som sin, cos, tan) er omtala i delen om aritmetiske operasjonar (sjå Aritmetiske operasjonar).

I GeoGebra kan du òg bruke kommandoar for å finne integral av og den deriverte til ein funksjon.

Du kan òg bruke f’(x) eller f’’(x),… for å finne dei deriverte til ein tidlegare definert funksjon f(x).Eksempel: Først må du definere funksjonen f som for eksempel f(x) = 3 x^3 – x^2. Så kan du skrive inn g(x) = cos(f’(x + 2)) for å få funksjonen g.

Vidare kan funksjonar bli flytta med ein vektor (sjå kommandoen Flytt) og ein fri funksjon kan bli flytta med musa (sjå menyvalet Flytt).

Avgrens ein funksjon til eit intervall For å avgrense ein funksjon til eit intervall [a, b], må du bruke kommandoen Funksjon (sjå kommandoen Funksjon).

2.2.6. Liste med objektVed å bruke slike parentesar {…}, kan du lage ei liste med fleire objekt (som punkt, linjestykke, sirklar).

Eksempel: • L = {A, B, C} gjev deg ei liste som består av tre punkt A, B, og C, dersom

du har laga/definert desse punkta frå før.• L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} gjev deg ei liste som består av akkurat

desse inntasta, namnlause punkta.

2.2.7. Aritmetiske operasjonar For å skrive inn tal, koordinatar eller likningar (sjå Direkte inndata), kan du bruke aritmetiske uttrykk med parentesar. Følgjande operasjonar kan utførast i GeoGebra:

Operasjon Inndata (teikn)addisjon +subtraksjon -multiplikasjon * eller mellomromstastenskalarprodukt * eller mellomromstastendivisjon /eksponent ^ eller 2fakultet !gammafunksjon gamma( )parentesar ( )

28

Operasjon Inndata (teikn)x-koordinatar x( )y-koordinatar y( )absoluttverdi abs( )sign sgn( )kvadratrot sqrt( )kubikkrot cbrt( )tilfeldig tal mellom 0 og 1 random( )eksponentialfunksjon exp( ) eller ℯxlogaritmar (naturleg, med grunntal e) ln( ) eller log( )logaritmar med grunntal 2 ld( )logaritmar med grunntal10 lg( )cosinus cos( )sinus sin( )tangens tan( )invers cosinus acos( )invers sinus asin( )invers tangens atan( )hyperbolsk cosinus cosh( )hyperbolsk sinus sinh( )hyperbolsk tangens tanh( )antihyperbolsk cosinus acosh( )antihyperbolsk sinus asinh( )antihyperbolsk tangens atanh( )største heile tal mindre enn eller lik floor( )minste heile tal større enn eller lik ceil( )avrund round( )

Eksempel: • Midtpunktet M for to punkt A og B kan skrivast som M = (A + B) / 2. • Lengda av ein vektor v kan reknast ut ved å bruke l = sqrt(v * v).

Obs: I GeoGebra kan du òg gjere utrekningar med punkt og vektorar.

2.2.8. Boolske variablarDu kan bruke dei Boolske variablane “true” og “false” i GeoGebra.

Eksempel: Skriv a = true eller b = false i inntastingsfeltet og trykk deretter Enter.

Avkryssingsboks og piltastarFrie Boolske variablar kan visast som avkryssingsboksar på teikneflata (sjå menyvalet Avkryssingsboks for å vise eller skjule objekt). Ved hjelp av piltastane, kan du lett endre på Boolske variablar i algebravindauget (sjå Animasjon).

29

2.2.9. Boolske operasjonarDu kan bruke følgjande Boolske operasjonar i GeoGebra:

Operasjon Eksempel Typar

lik ≟ eller == a ≟ b eller a == b tal, punkt, linjer, kjeglesnitt a, b

ulik ≠ eller != a ≠ b eller a != b tal, punkt, linjer, kjeglesnitt a, b

mindre enn < a < b tal a, bstørre enn > a > b tal a, bmindre enn eller lik ≤ eller <= a ≤ b eller a <= b tal a, bstørre enn eller lik ≥ eller >= a ≥ b eller a >= b tal a, bog ∧ a ∧ b Boolske a, beller ∨ a ∨ b Boolske a, bikkje ¬ eller ! ¬a eller !a Boolske aparallell ∥ a ∥ b linjer a, b

normal ⊥ a ⊥ b linjer a, b

2.3. Kommandoar Ved hjelp av kommandoar kan vi lage nye eller endre på eksisterande objekt. Vi kan bestemme namnet på resultatet av kommandoen ved å skrive ein bokstav og deretter ”=”. I eksempelet under blir det nye punktet kalla S.

Eksempel: For å få skjeringspunktet mellom to linjer g og h, kan du skrive S = Skjering[g,h] (sjå kommandoen Skjering).

Obs: Du kan òg bruke indeksar i namn på objekt: A1 eller SAB blir skrive inn som A_1 eller s_{AB}.

2.3.1. Generelle kommandoar

Forhold Forhold[objekt a, objekt b]: viser ein meldingsboks som fortel oss noko om

forholdet mellom objekt a og objekt b.Obs: Denne kommandoen lar deg granske om to objekt er like, om eit punkt ligg på ei linje eller eit kjeglesnitt, eller om ei linje er tangent til eller skjer eit kjeglesnitt.

Slett Slett[objekt a]: Slettar eit objekt a og alle objekt som er avhengige av dette.

ElementElement[list L, tal n]: n-te element av ei liste L

30

2.3.2. Boolske kommandoarDersom[vilkår, a, b]: gjev oss ein kopi av objekt a dersom vilkåret er oppfylt

(true) og ein kopi av objekt b dersom vilkåret ikkje er oppfylt (false).Dersom[vilkår, a]: gjev oss ein kopi av a dersom vilkåret er oppfylt (true)og

eit udefinert objekt om vilkåret ikkje er oppfylt (false).

2.3.3. Tal

Lengde Lengde[vektor v]: Lengda av vektor vLengde[punkt A]: Lengda av vektoren frå origo til A Lengde[funksjon f, tal x1, tal x2]: Lengda av funksjonsgrafen til f

mellom tala x1 og x2Lengde[funksjon f, punkt A, punkt B]: Lengda av grafen til funksjonen f

mellom dei to punkta A og B på grafenLengde[kurve c, tal t1, tal t2]: Lengda av kurva c mellom tala t1 og t2Lengde[kurve c, punkt A, punkt B]: Lengda av kurve c mellom to punkt A

og B på kurva.Lengde[liste L]: Lengda av lista L (tal på element i lista)

Areal Areal[punkt A, punkt B, punkt C, ...]: Areal av mangekanten som er

definert av punkta A, B, C…. Areal[kjeglesnitt c]: Areal av kjeglesnittet c (sirkel eller ellipse)

Avstand Avstand[punkt A, punkt B]: Avstanden mellom to punkt A og B Avstand[punkt A, linje g]: Avstanden mellom eit punkt A og ei linje g Avstand[linje g, linje h]: Avstanden mellom linjene g og h.

Obs: Avstanden mellom linjer som skjer kvarandre er 0. Denne kommandoen er interessant for parallelle linjer.

Modulorekning (kongruensrekning)Mod[tal a, tal b]: Rest når tal a er dividert med tal b

HeiltalskvotientDiv[tal a, tal b]: Heiltalskvotienten når talet a er dividert med talet b

Stigning Stigning[linje g]: Stigning av linje g.

Obs: Denne kommandoen teiknar òg stigninga som ein trekant. Storleiken på trekanten kan endrast (sjå Eigenskapar).

KrummingKrumming[punkt A, funksjon f]: Krumming til funksjon f i punktet AKrumming[punkt A, kurve c]: Krumminga til kurve c i punktet A

31

Radius Radius[sirkel c]: Radius til sirkelen c

OmkrinsOmkrins[kjeglesnitt c]: Gjev oss omkrinsen av eit kjeglesnitt (sirkel eller

ellipse)Omkrins[mangekant poly]: Gjev oss omkrinsen langs ytterkanten av

mangekanten poly

Parameter Parameter[parabel p]: Parameteren til ein parabel p (avstanden mellom

styrelinje og brennpunkt)

LengdeStorHalvakse LengdeStorHalvakse[kjeglesnitt c]: Lengda av den store halvaksen i eit

kjeglesnitt c

LengdeLitenHalvakse LengdeLitenHalvakse[kjeglesnitt c]: Lengda av den vesle halvaksen i eit

kjeglesnitt c

Eksentrisitet Eksentrisitet[kjeglesnitt c]: Eksentrisiteten til eit kjeglesnitt c

Integral Integral[funksjon f, tal a, tal b]: Bestemt integral til ein funksjon f(x)

frå tal a til tal b. Obs: Denne kommandoen teiknar òg arealet mellom funksjonsgrafen og x-aksen.

Integral[funksjon f, funksjon g, tal a, tal b]: Bestemt integral for differansen f(x) - g(x) frå talet a til talet b. Obs: Denne kommandoen teiknar òg arealet mellom funksjonsgrafane til f og g.

Obs: Se Ubestemt integral

SumUnder SumUnder[funksjon f, tal a, tal b, tal n]: Sum av rektangel under

funksjonsgrafen til f, i intervallet [a, b] med n rektangel. Obs: Denne kommandoen teiknar rektangla i tillegg til å rekne ut summen.

SumOver SumOver[funksjon f, tal a, tal b, tal n]: Sum av rektangel over

funksjonsgrafen f i intervallet [a, b] med n rektangla. Obs: Denne kommandoen teiknar rektangla i tillegg til å rekne ut summen.

IterasjonIterasjon[funksjon f, tal x0, tal n]: gjentar funksjonen f, n gongar med

den bestemte startverdien x0.

32

Eksempel: Etter å ha definert f(x) = x^2 vil kommandoen Iterasjon[f, 3, 2] gje resultatet (32)2 = 81

Minimum og MaksimumMin[tal a, tal b]: Den minste verdien av dei to tala a og bMaks[tal a, tal b]: Den største verdien av tala a og b

DelingsforholdDelingsforhold[punkt A, punkt B, punkt C]: Gjev oss delingsforholdet λ

til tre punkt A, B, og C, som ligg på ei rett linje, og slik at BA = λ * BC eller A = B + λ * BC

KryssforholdKryssforhold[punkt A, punkt B, punkt C, punkt D]: Kryssforholdet λ til

fire punkt som ligg på ei rett linje, og som er slik at λ = Delingsforholdet[A, B, C] / Delingsforholdet[A, B, D]

2.3.4. Vinkel

Vinkel Vinkel[vektor v1, vektor v2]: Vinkel mellom to vektorar v1 og v2 (mellom 0

og 360°) Vinkel[linje g, linje h]: Vinkel mellom retningsvektorane for to linjer g og h

(mellom 0 og 360°)Vinkel[punkt A, punkt B, punkt C]: Vinkel mellom BA og BC (mellom 0 og

360°). Punkt B er toppunktet. Vinkel[punkt A, punkt B, vinkel alfa]: Vinkel med storleik α, og som er

teikna frå punkt A med toppunkt B Vinkel[kjeglesnitt c]: Vinkelen mellom x-aksen og den store aksen i eit

kjeglesnitt (sjå kommandoen Aksar)Vinkel[vektor v]: Vinkel mellom x-aksen og vektor v Vinkel[punkt A]: Vinkel mellom x-aksen og vektoren frå origo til punkt A Vinkel[tal n]: Omreknar eit tal n til ein vinkel (med resultat mellom 0 og 2pi) Vinkel[mangekant poly]: Alle indre vinklar i mangekanten poly

2.3.5. Punkt

Punkt Punkt[linje g]: Punkt på linja gPunkt[kjeglesnitt c]: Punkt på kjeglesnitt c (som sirkel, ellipse eller hyperbel) Punkt[funksjon f]: Punkt på funksjonen fPunkt[mangekant poly]: Punkt på mangekanten polyPunkt[vektor v]: Punkt på vektor vPunkt[punkt P, vektor v]: Punkt P pluss vektor v

Midtpunkt eller sentrumMidtpunkt[punkt A, punkt B]: Midtpunkt mellom punkta A og B

33

Midtpunkt[linjestykke s]: Midtpunkt på linjestykket sSentrum[kjeglesnitt c]: Sentrum til eit kjeglesnitt c (som sirkel, ellipse eller

hyperbel)

Brennpunkt Brennpunkt[kjeglesnitt c]: (Alle) brennpunkt til eit kjeglesnitt c

Toppunkt Toppunkt[kjeglesnitt c]: (Alle) toppunkt til eit kjeglesnitt c

Tyngdepunkt Tyngdepunkt[mangekant poly]: Tyngdepunktet til mangekanten poly

Skjering Skjering[linje g, linje h]: Skjeringspunkt mellom linjene g og h Skjering[linje g, kjeglesnitt c]: Alle skjeringspunkt mellom linje g og

kjeglesnittet c (maks. 2) Skjering[linje g, kjeglesnitt c, tal n]: n-te skjeringspunkt mellom

linje g og kjeglesnitt c Skjering[kjeglesnitt c1, kjeglesnitt c2]: Alle skjeringspunkt mellom

kjeglesnitta c1 og c2 (maks. 4) Skjering[kjeglesnitt c1, kjeglesnitt c2, tal n]: n-te skjeringspunkt

mellom kjeglesnitta c1 og c2 Skjering[polynom f1, polynom f2]: Alle skjeringspunkt mellom polynoma f1

og f2 Skjering[polynom f1, polynom f2, tal n]: n-te skjeringspunkt mellom

polynoma f1 og f2Skjering[polynom f, linje g]: Alle skjeringspunkt mellom polynom f og linje

g Skjering[polynom f, linje g, tal n]: n-te skjeringspunkt mellom polynom

f og linje gSkjering[funksjon f, funksjon g, punkt A]: Skjeringspunkt mellom

funksjonane f og g, med startpunkt A (for Newtons metode) Skjering[funksjon f, linje g, punkt A]: Skjeringspunkt mellom funksjon

f og linje g, med startpunkt A (for Newtons metode)

Obs: Sjå òg menyvalet Skjering mellom to punkt

Nullpunkt Nullpunkt[polynom f]: Alle nullpunkt for f (som punkt) Nullpunkt[funksjon f, tal a]: eit nullpunkt for funksjonen f med startpunkt a

(Newtons metode) Nullpunkt[funksjon f, tal a, tal b]: eit nullpunkt for funksjonen f i

intervallet [a, b] (regula falsi)

Ekstremalpunkt Ekstremalpunkt[polynom f]: Alle lokale ekstremalpunkt til polynomet f (som

punkt)

34

Vendepunkt Vendepunkt[polynom f]: Alle vendepunkt til polynomet f

2.3.6. Vektor

Vektor Vektor[punkt A, punkt B]: Vektoren frå punkt A til punkt B Vektor[punkt A]: Vektoren frå origo til punkt A

Retningsvektor Retningsvektor[linje g]: Retningsvektoren til linje g.

Obs: Ei linje med likning ax + by = c har retningsvektor (b, - a).

Einingsvektor Einingsvektor[linje g]: Retningsvektor med lengde 1 for linje gEiningsvektor[vektor v]: Vektor med lengde 1 og same retning som vektoren

v

Normalvektor Normalvektor[linje g]: Normalvektor for ei linje g.

Obs: Ei linje med likning ax + by = c har normalvektoren (a, b). Normalvektor[vektor v]: Normalvektor til vektoren v.

Obs: ein vektor med vektorkoordinatar (a, b) har normalvektoren (- b, a).

EiningsNormalvektor EiningsNormalvektor[linje g]: Normalvektor med lengde 1, til linja g EiningsNormalvektor[vektor v]: Normalvektor med lengde 1, til ein vektor v

KrummingsvektorKrummingsvektor[punkt A, funksjon f]: Krummingsvektor til funksjonen f i

punkt AKrummingsvektor[punkt A, kurve c]: Krummingsvektor til kurve c i punktet A

2.3.7. Linjestykke

Linjestykke Linjestykke[punkt A, punkt B]: Linjestykket mellom to punkt A og B. Linjestykke[punkt A, tal a]: Linjestykket med lengde a og startpunkt A.

Obs: Sluttpunktet til linjestykket blir òg avmerka.

2.3.8. Stråle

Stråle Stråle[punkt A, punkt B]: Stråle som startar i punkt A og som går gjennom

punkt B

35

Stråle[punkt A, vektor v]: Stråle som startar i punkt A, med same retning som vektor v

2.3.9. Mangekant

MangekantMangekant[punkt A, punkt B, punkt C,...]: Mangekant definert ved dei

bestemte punkta A, B, C,… Mangekant[punkt A, punkt B, tal n]: Regulær mangekant med n hjørne

(medrekna punkt A og B)

2.3.10. Linje

Linje Linje[punkt A, punkt B]: Linje gjennom to punkt A og B Linje[punkt A, linje g]: Linje gjennom punkt A, parallell med linje g Linje[punkt A, vektor v]: Linje gjennom punkt A, med retningsvektor v

Normal Normal[punkt A, linje g]: Linje gjennom punkt A vinkelrett på linja g Normal[punkt A, vektor v]: Linje gjennom punkt A vinkelrett på vektor v

Midtnormal Midtnormal[punkt A, punkt B]: Midtnormal til linjestykket AB Midtnormal[linjestykke s]: Midtnormal til linjestykket s

VinkelHalveringslinje VinkelHalveringslinje[punkt A, punkt B, punkt C]: Halveringslinje for

vinkelen som er definert av punkta A, B, og C. Obs: Punkt B er toppunktet i denne vinkelen.

VinkelHalveringslinje[linje g, linje h]: Begge halveringslinjene for vinklane mellom linjene g og h.

Tangent Tangent[punkt A, kjeglesnitt c]: (Alle) tangentane til kjeglesnittet c,

gjennom punkt A Tangent[linje g, kjeglesnitt c]: (Alle) tangentane til kjeglesnitt c, som er

parallelle med linje g Tangent[tal a, funksjon f]: Tangent til funksjonen f(x) for x = a Tangent[punkt A, funksjon f]: Tangent til funksjonen f(x) for x = x(A) Tangent[punkt A, kurve c]: Tangent til kurve c i punkt A

Asymptote Asymptote[hyperbel h]: Begge asymptotane til hyperbelen h

Styrelinje Styrelinje[parabel p]: Styrelinje til parabelen p

36

Aksar Aksar[kjeglesnitt c]: Store og vesle halvakse til kjeglesnittet c

StorHalvakse StorHalvakse[kjeglesnitt c]: Den store halvaksen til eit kjeglesnitt c

LitenHalvakseLitenHalvakse[kjeglesnitt c]: Den vesle halvaksen til eit kjeglesnitt c

PolarLinje PolarLinje[punkt A, kjeglesnitt c]: Polar linje til punkt A i forhold til

kjeglesnittet c

Diameter Diameter[linje g, kjeglesnitt c]: Diameterlinje parallell med g i forhold til

kjeglesnittet c Diameter[vektor v, kjeglesnitt c]: Diameterlinje med retning som

vektoren v i forhold til kjeglesnittet c

2.3.11. Kjeglesnitt

Sirkel Sirkel[punkt M, tal r]: Sirkel med midtpunkt M og radius r Sirkel[punkt M, linjestykke s]: Sirkel med midtpunkt M og radius lik

Lengde[s] Sirkel[punkt M, punkt A]: Sirkel med midtpunkt M gjennom punkt A Sirkel[punkt A, punkt B, punkt C]: Sirkel gjennom tre punkt A, B og C

KrummingssirkelKrummingssirkel[punkt A, funksjon f]: Krummingssirkel til funksjonen f i

punkt AKrummingssirkel[punkt A, kurve c]: Krummingssirkel til kurve c i punkt A

Ellipse Ellipse[punkt F, punkt G, tal a]: Ellipse med brennpunkt F og G og med

a som lengde for den store halvaksen. Obs: Vilkår: 2a > Avstand[F, G]

Ellipse[punkt F, punkt G, linjestykke s]: Ellipse med brennpunkt F og G, der lengda på den store halvaksen er lik linjestykket s (a = Lengde[s]).

Hyperbel Hyperbel[punkt F, punkt G, tal a]: Hyperbel med brennpunkt F og G og

den store halvaksen lik lengda a. Obs: Vilkår: 0 < 2a < Avstand[F, G]

Hyperbel[punkt F, punkt G, linjestykke s]: Hyperbel med brennpunkt F og G, der lengda av den store halvaksen er lik lengda av linjestykket s (a = Lengde[s])

37

Parabel Parabel[punkt F, linje g]: Parabel med brennpunkt F og styrelinje g

Kjeglesnitt Kjeglesnitt[punkt A, punkt B, punkt C, punkt D, punkt E]:

Kjeglesnitt gjennom fem punkt A, B, C, D, og C. Obs: Fire av punkta må ikkje ligge på ei rett linje.

2.3.12. Funksjon

Derivert Derivert[funksjon f]: Den deriverte av funksjonen f(x) Derivert[funksjon f, tal n]: n-te derivert av funksjonen f(x)

Obs: Du kan bruke f’(x) i staden for Derivert[f] og f’’(x) i staden for Derivert[f, 2].

Integral Integral[funksjon f]: Ubestemt integral for funksjonen f(x) Obs: Se Bestemt integral

Polynom Polynom[funksjon f]: Utvidar polynomfunksjonen f.

Eksempel: Polynom[(x - 3)^2] gjev resultatet x2 - 6x + 9

TaylorPolynomTaylorPolynom[funksjon f, tal a, tal n]: Utviklar ei potensrekkje for

funksjonen f om punktet x = a, i n-te potens

FunksjonFunksjon[funksjon f, tal a, tal b]: Funksjon, som er lik f i intervallet [a,

b] og ikkje er definert utanfor [a, b]

Funksjon med delt forskriftDu kan bruke den Boolske kommandoen Dersom (sjå kommando Dersom) for å lage ein funksjon med delt forskrift. Obs: Du kan bruke derivert og integral av slike funksjonar og finne skjeringspunkt for desse, som for vanlege funksjonar.

Eksempel: f(x) = Dersom[x < 3, sin(x), x^2] gjev deg ein funksjon som er lik:

• sin(x) for x < 3 og • x2 for x ≥ 3.

38

2.3.13. Parametriske kurverKurve[uttrykk e1, uttrykk e2, parameter t, tal a, tal b]:

Kartesisk parametrisk kurve for x-uttrykket e1 og y-uttrykket e2 (der vi brukar parameter t), innanfor det valde intervallet [a, b]

Eksempel: c = Kurve[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi]

Derivert[kurve c]: Den deriverte til kurve c

Obs: Parametriske kurver kan brukast på same måte som funksjonar i aritmetiske uttrykk.Eksempel: Ved å skrive c(3) får vi punktet for t=3 på kurve c.

Obs: Du kan òg plassere eit punkt på ei kurve ved å bruke menyvalet Nytt punkt (sjå menyvalet Nytt punkt; sjå òg kommandoen Punkt). Sidan parametrane a og b er dynamiske, kan du bruke glidarar for desse variablane (sjå menyvalet Glidar).

2.3.14. Boge og Sektor Obs: Den algebraiske verdien av ein boge er lengda, og verdien av ein sektor er arealet.

Halvsirkel Halvsirkel[punkt A, punkt B]: Halvsirkel over linjestykket AB.

Sirkelboge Sirkelboge[punkt M, punkt A, punkt B]: Sirkelboge med midtpunkt M

mellom punkt A og B. Obs: Punkt B treng ikkje ligge på sirkelbogen.

Bogelengde Bogelengde[punkt A, punkt B, punkt C]: Lengda av bogen som går frå A til

C, gjennom B

Boge Boge[kjeglesnitt c, punkt A, punkt B]: Bogen som går frå punkt A til

punkt B, der A og B ligg på kjeglesnittet c (sirkel eller ellipse) Boge[kjeglesnitt c, tal t1, tal t2]: Bogen mellom to parameterverdiar,

t1 og t2, som ligg på kjeglesnittet c. Dette gjeld for desse parameterformene: • Sirkel: (r cos(t), r sin(t)) der r er radius i sirkelen • Ellipse: (a cos(t), b sin(t)) der a og b er lengdene av den store og den vesle

halvaksen.

SirkelsektorSirkelsektor[punkt M, punkt A, punkt B]: Sirkelsektor med midtpunkt M

mellom to punkt A og B. Obs: Punkt B treng ikkje ligge på bogen.

SirkelsektorBoge SirkelsektorBoge[punkt A, punkt B, punkt C]: Sirkelsektor gjennom tre

punkt A, B, og C på sirkelbogen

39

Sektor Sektor[kjeglesnitt c, punkt A, punkt B]: Sektor mellom to punkt A og B

på kjeglesnittet c (sirkel eller ellipse) Sektor[kjeglesnitt c, tal t1, tal t2]: Sektor mellom to

parameterverdiar t1 og t2 på kjeglesnittet c. Dette gjeld for desse parameterformene:

• Sirkel: (r cos(t), r sin(t), der r er radius i sirkelen • Ellipse: (a cos(t), b sin(t)), der a og b er lengdene av den store og vesle

halvaksen.

2.3.15. Bilete

Hjørne Hjørne[bilete pic, tal n]: n-te hjørne av eit bilete pic med maksimum 4

hjørne

2.3.16. Tekst

Namn Namn[objekt]: Tekst som viser namnet på det valde objektet

Obs: Bruk denne kommandoen i dynamisk tekst for objekt som kan ha fått nye namn

2.3.17. Geometrisk stad

Geometrisk stad Geometrisk stad[punkt Q, punkt P]: Ein geometrisk stad i form av ei linje

for punkt Q som er avhengig av punkt P. Obs: Punkt P må vere på eit objekt (som linje, linjestykke, sirkel).

2.3.18. Talfølge

TalfølgjeTalfølge[uttrykk e, variable i, tal a, tal b]: Liste med objekt ut frå

uttrykk e og indeksen i, som går frå tal a til tal b.Eksempel: L = Talfølgje[(2, i), i, 1, 5] lagar ei liste av punkt der y-koordinatene går frå 1 til 5

Talfølgje[uttrykk e, variable i, tal a, tal b, tal s]: Liste som er laga ut frå uttrykket e og indeksen i som går frå tal a til tal b med trinnstorleik s.Eksempel: L = Talfølgje[(2, i), i, 1, 5, 0.5] lagar ei liste med punkt, der y-koordinatane går frå 1 to 5 med ein auke på 0.5.

Obs: Sida parametrane a og b er dynamiske, kan du bruke glidarar for desse.

40

Andre kommandoar for talfølgjerElement[liste L, tal n]: n-te element i liste LLengde[liste L]: Tal på element i ei liste LMin[liste L]: Det minste elementet i liste LMaks[liste L]: Det største elementet i liste L

IterasjonarIterasjonListe[funksjon f, tal x0, tal n]: Liste L med lengde n+1, der

elementa er iterasjonar av funksjonen f med startpunkt x0.Eksempel: Etter å ha definert funksjonen f(x) = x^2, vil kommandoen L = IterasjonListe[f, 3, 2] gje deg lista L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 81}

2.3.19. Geometriske transformasjonarDersom du gjev ein av desse kommandoane eit nytt namn, vil det bli laga ein kopi av det aktuelle objektet. Obs: Kommandoen Spegl[A, g] speglar punkt A om linja g og endrar posisjonen til punkt A. Ved å skrive B = Spegl[A, g] vil det bli laga eit nytt punkt B og posisjonen til punkt A er uendra.

Flytt Flytt[punkt A, vektor v]: Flyttar punkt A med vektoren v Flytt[linje g, vektor v]: Flyttar linje g med vektor v Flytt[kjeglesnitt c, vektor v]: Flyttar kjeglesnitt c med vektor v Flytt[funksjon c, vektor v]: Flyttar funksjon f med vektoren v Flytt[mangekant poly, vektor v]: Flyttar mangekanten poly med vektoren v. Flytt[bilete pic, vektor v]: Flyttar bilete pic med vektor v Flytt[vektor v, Punkt P]: Flyttar vektor v til punkt P

Obs: Sjå òg menyvalet Flytt objekt med vektor

Roter Roter[punkt A, vinkel phi]: Roter punkt A med vinkelen φ om origo Roter[vektor v, vinkel phi]: Roter vektor v med vinkel φ Roter[linje g, vinkel phi]: Roter linje g med vinkel φ om origo Roter[kjeglesnitt c, vinkel phi]: Roter kjeglesnitt c med vinkel φ om

origo Roter[mangekant poly, vinkel phi]: Roter mangekant poly med vinkel φ

om origo. Obs: Det blir danna nye hjørne og linjestykke. Roter[bilete pic, vinkel phi]: Roter bilete pic med vinkel φ om origo Roter[punkt A, vinkel phi, punkt B]: Roter punkt A med vinkel φ om

punkt B Roter[linje g, vinkel phi, punkt B]: Roter linje g med vinkel φ om punkt

B Roter[kjeglesnitt c, vinkel phi, punkt B]: Roter kjeglesnitt c med

vinkel φ om punkt B Roter[mangekant poly, vinkel phi, punkt B]: Roter mangekant poly med

vinkel φ om punkt B. Obs: Det blir danna nye hjørne og linjestykke.

41

Roter[bilete pic, vinkel phi, punkt B]: Roter bilete pic med vinkel φ om punkt B

Obs: Sjå òg menyvalet Roter objekt om punkt med vinkel

Spegl Spegl[punkt A, punkt B]: Spegl punkt A om punkt B Spegl[linje g, punkt B]: Spegl linje g om punkt B Spegl[kjeglesnitt c, punkt B]: Spegl kjeglesnitt c om punkt B Spegl[mangekant poly, punkt B]: Spegl mangekant poly om punkt B.

Obs: Det blir danna nye hjørne og linjestykke. Spegl[bilete pic, punkt B]: Spegl bilete pic om punkt B Spegl[punkt A, linje h]: Spegl punkt A om linje h Spegl[linje g, linje h]: Spegl linje g om linje h Spegl[kjeglesnitt c, linje h]: Spegl kjeglesnitt c om linje h Spegl[mangekant poly, linje h]: Spegl mangekant poly om linje h.

Obs: Det blir danna nye hjørne og linjestykke. Spegl[bilete pic, linje h]: Spegl bilete pic om linje h

Obs: Se òg menyvalet Spegl objekt om punkt; Spegl objekt om linje

Utvid Utvid[punkt A, tal f, punkt S]: Utvid punkt A frå punkt S med faktoren f

Obs: Dette betyr i praksis å utvide avstanden frå S til A med faktoren fUtvid[linje h, tal f, punkt S]: Utvid linje h frå punkt S med faktoren f

Obs: Ei utviding av ei linje gjev inga praktisk meining, då ei linje er uendeleg i utstrekning. Vi får to samanfallande linjer

Utvid[kjeglesnitt c, tal f, punkt S]: Utvid kjeglesnitt c frå punkt S med faktoren f

Utvid[mangekant poly, tal f, punkt S]: Utvid mangekanten poly frå punkt S med faktoren f. Obs: Det blir danna nye hjørne og linjestykke.

Utvid[bilete pic, tal f, punkt S]: Utvid bilete pic frå punkt S med faktoren f

Obs: Se òg menyvalet Utvid objekt frå punkt med vektor

42

3. Utskrift og Eksporter

3.1. Utskrift

3.1.1. Teikneflata Du finn Førehandsvis utskrift for teikneflata i Fil-menyen. Her kan du skrive inn tittel, forfattar, dato og skala for utskrifta (i cm).

Obs: Trykk Enter etter kvar endring for å oppdatere vindauget for førehandsvising.

3.1.2. Konstruksjonsforklaring For å kunne opne vindauget for førehandsvising av konstruksjonsforklaringa, må du først klikke på Vis på verktøylinja og merke av for Konstruksjonsforklaring. Deretter klikkar du på Fil i dette nye vindauget, og vel der Førehandsvis utskrift.

Obs: Du kan vise og skjule dei ulike kolonnane for Namn, Definisjon, Kommando, Algebra, og Etappepunkt i konstruksjonsforklaring (sjå menyvalet Vis for konstruksjonsforklaringa).

I vindauget for førehandsvising av konstruksjonsforklaringa, kan du skrive inn tittel, forfattar og dato, før utskrift av konstruksjonen.

Det er ein navigasjonsmeny nedst i vindauget for konstruksjonsforklaringa. Med denne kan du navigere steg for steg gjennom konstruksjonen din (sjå Navigasjonsmeny). Obs: Ved å bruke kolonnen Etappepunkt (i menyvalet Vis), kan du definere visse konstruksjonssteg som etappepunkt. På denne måten kan du gruppere objekt og skreddarsy framvisinga av konstruksjonen. Ved å navigere gjennom konstruksjonen, vil grupperte objekt visast på same tid.

3.2. Teikneflata som bilete Du kan finne valet Teikneflata som bilete i Fil-menyen og Eksporter. Her kan du oppgje skalaen (i cm) og oppløysinga (i dpi) for utdata. Den verkelige storleiken på det eksporterte biletet er vist nedst i vindauget. Du har følgjande format-val når du skal eksportere teikneflata som bilete:

PNG – Portable Network GraphicsDette er eit pikselgrafikk-format. Til høgare oppløysing, til betre kvalitet. (300 dpi vil vanlegvis vere tilfredsstillende). PNG-grafikk bør skalerast etter kvart for å unngå kvalitetsreduksjon.

PNG-grafikkfiler er veleigna til bruk på websider (html) og i Microsoft Word.

43

Obs: Når du set inn eit PNG-bilete i eit Word-dokument (meny Sett inn, Bilete frå fil), må du passe på at storleiken er sett til 100 %. I motsett fall vil den oppgjevne skalaen i cm bli endra.

EPS – Encapsulated Postscript Dette er eit vektorgrafikk-format. EPS-bilete kan skalerast utan tap av kvalitet. EPS- grafikkfiler er veleigna til bruk i vektorgrafikkprogram som Corel Draw og profesjonelle teksthandsamingssystem som LaTeX.

Oppløysinga på EPS-grafikk er alltid 72 dpi. Denne verdien blir berre brukt til å rekne ut den verkelige storleiken på biletet i cm, og har ingen innverknad på kvaliteten på biletet.

Obs: Det er ikkje mogleg å få ein transparent effekt med fylte mangekantar og kjeglesnitt når vi brukar EPS.

SVG – Scaleable Vektor Graphic(sjå EPS-format over)

EMF – Enhanced Meta Format(sjå EPS-format over)

PSTricks for LaTeX

3.3. Teikneflata til utklippstavlaDu kan finne valet Teikneflata til utklippstavla i Fil-menyen, Eksporter. Dette valet kopierer eit skjermutsnitt av teikneflata til utklippstavla, som eit bilete i PNG-format (sjå PNG format). Dette biletet kan limast inn i andre program som Microsoft Word.

Obs: For å eksportere konstruksjonen din i ein bestemt skala (i cm) må du bruke menyvalet Eksporter og deretter Teikneflata som bilete, i Fil-menyen (sjå Teikneflata som bilete).

3.4. Konstruksjonsforklaring som nettside For å opne vindauget Eksporter Konstruksjonsforklaring må du først opne Konstruksjonsforklaring frå Vis menyen. Du finn deretter Eksporter som nettside i Fil-menyen i dette vindauget.

Obs: Du kan vise eller skjule dei ulike kolonnane i konstruksjonsforklaringa før du eksporterer denne som ei nettside (sjå menyvalet Vis i konstruksjonsforklaringa).

I vindauget for eksportering, kan du skrive inn tittel, forfattar og dato for konstruksjonen, og velje om du vil eksportere eit bilete av teikneflata og algebravindauget saman med konstruksjonsforklaringa.

44

Obs: Den eksporterte HTML-fila kan visast i ein kvar nettlesar (som Mozilla, Internet Explorer) og redigerast med mange teksthandsamingsprogram (som FrontPage, Word).

3.5. Dynamisk ark som nettside I Fil-menyen, Eksporter finn du valet Dynamisk ark som nettside (html).

Øvst i dette vindauget for eksportering, kan du skrive inn tittel, forfattar og dato for det dynamiske arket.

I arkfana Generelt, kan du legge til litt tekst over og under den dynamiske konstruksjonen (som ei skildring av konstruksjonen og nokre oppgåver). Sjølve konstruksjonen kan setjast rett inn i ei nettside, eller kan opnast ved å klikke på ein knapp.

I arkfana Avansert kan du endre funksjonaliteten til den dynamiske konstruksjonen (som å klikke på eit ikon for å nullstille konstruksjonen eller opne ein applikasjon ved å dobbeltklikke på teikneflata). Du kan òg endre grensesnittet (som å skjule verktøylinja og å endre på breidde og høgde på den dynamiske konstruksjonen).Obs: Du må ikkje bruke for store verdiar for breidde og høgde på konstruksjonen. Desse må veljast slik at heile konstruksjonen blir vist i nettlesaren.

Det er mange filer som blir eksporterte når du eksporterer eit dynamisk ark.• Html-fil (eks. sirkel.html) Denne fila inneheld òg sjølve det dynamiske arket. • GGB-fil (eks. sirkel_worksheet.ggb) Denne fila inneheld GeoGebra-

konstruksjonen din. • geogebra.jar (mange filer) Desse filene inneheld GeoGebra og gjer

konstruksjonen din interaktiv.

Alle filer (for eksempel sirkel.html, sirkel_worksheet.ggb og geogebra.jar filene) må vere i den same mappa for at den dynamiske konstruksjonen skal fungere. Du kan sjølvsagt kopiere alle desse filene til ei anna mappe òg.

Obs: Den eksporterte HTML fila (eks. sirkel.html) kan visast i alle nettlesarar (som Mozilla, Internet Explorer, Safari). For at den dynamiske konstruksjonen skal fungere, må Java vere installert på datamaskina. Du kan laste ned Java gratis frå http://www.java.com. Dersom du vil bruke det dynamiske arket på ei datamaskin på skulen, må du få den nettverksansvarlege til å installere Java på serveren.

Obs: Du kan redigere teksten på det dynamiske arket med teksthandsamingsverktøy (som FrontPage, Word) ved å opne den eksporterte HTML-fila.

45

4. InnstillingarGlobale innstillingar kan endrast i menyen Innstillingar. For å endre eit objekt, høgreklikkar du på objektet for å få fram Objektmenyen.

4.1. Punktstyring Avgjer om Punktstyring er på/av eller om punktet blir styrt av rutenettet.

4.2. Vinkelmål Avgjer om vinklar skal visast i grader (°) eller radianar (rad)Obs: Innskriving av vinklar kan alltid gjerast på begge måtar (grader og radianar).

4.3. Tal på desimalar Lar deg justere talet på desimalar frå 0 til 5.

4.4. KontinuitetGeoGebra lar deg skru av og på ein algoritme for å unngå at dynamiske skjeringspunkt mellom dynamiske objekt hoppar til nye posisjonar. I GeoGebra blir det brukt ein “nesten-heuristisk” algoritme for at dynamiske skjeringspunkt (som mellom ei linje og eit kjeglesnitt) held seg nær ved sine tidlegare posisjonar. Denne algoritmen kan slåast av og på i Innstillingar

Obs: Denne algoritmen er slått av som standard. For brukardefinerte verktøy (sjå Brukardefinerte verktøy) er Kontinuitet alltid slått av.

4.5. Punkttype Avgjer om punkt skal visast som prikkar eller kryss.

4.6. Type markering av rett vinkelAvgjer om ein rett vinkel skal markerast med eit rektangel, ein prikk eller som alle andre vinklar.

46

4.7. KoordinatarAvgjer om punktkoordinatar skal visast som A = (x, y) eller A(x | y).

4.8. Namn på objektDu kan bestemme om namnet på eit nytt objekt skal visast eller ikkje. Obs: Innstillinga Automatisk viser namn på nye objekt når algebravindauget er oppe når du lager nye objekt.

4.9. Fontstorleik Avgjer fontstorleiken på namn og tekst, i punkt (Pt).

4.10. Språk GeoGebra er omsett til mange språk. I dette menyvalet kan du velje kva for eit språk programmet skal bruke. Dette påverkar alle menynamn, namn på objekt, kommandoar og namn på alle utdata.

4.11. TeikneflataOpnar eit vindauge der eigenskapar for teikneflata kan justerast (som å vise og skjule rutenett og aksar og å bestemme bakgrunnsfarge.)

4.12. Lagre innstillingarGeoGebra hugsar dei valde innstillingane for verktøylinja og teikneflata, når du lagrar desse i menyen for Innstillingar .

47

5. Verktøy og verktøylinje

5.1. Brukardefinerte verktøyDu kan lage ditt eige verktøy i GeoGebra ut frå ein konstruksjon som du har laga frå før. Etter å ha utført den aktuelle konstruksjonen for verktøyet, kan du klikke på Lag nytt verktøy på verktøylinja. I vindauget som dukkar opp, kan du bestemme startobjekt og sluttobjekt for verktøyet. Du kan òg velje namn, ikon og kommando for verktøyet.

Eksempel: Kvadratverktøy• Konstruer eit kvadrat ved å starte med to punkt A og B. Konstruer dei andre

hjørna og bind dei saman ved hjelp av verktøyet Mangekant. Då får du kvadratet poly1.

• Vel Lag nytt verktøy i Verktøy menyen.• Vel Sluttobjekt: Klikk på kvadratet eller vel det frå nedtrekksmenyen.• Vel Startobjekt: GeoGebra vil automatisk vise dei moglege vala for deg (her:

punkt A og B). Du kan òg endre på valet av startobjekt ved å bruke nedtrekksmenyen eller ved å klikke på dei i konstruksjonen.

• Skriv inn namnet på verktøyet og kommandonamnet for det nye verktøyet ditt. Verktøynamnet vil visast i verktøylinja til GeoGebra. Kommandonamnet kan brukast i inntastingsfeltet.

• Du kan òg velje eit ikon for verktøyet, som skal vise på verktøylinja. GeoGebra tilpassar storleiken på biletet automatisk for at det skal passe til knappen på verktøylinja.

Obs: Du kan bruke det nye verktøyet både frå verktøylinja og som ein kommando i inntastingsfeltet. Alle verktøy blir automatisk lagra i GGB-fila du har konstruert. Klikk på Innstillingar og deretter på Lagre innstillingar for å bruke verktøyet i andre konstruksjonar.

Ved å bruke Endre verktøy i menyvalet Verktøy, kan du slette eit verktøy eller redigere namn og ikon for verktøyet. Du kan òg lagre det valde verktøyet i ei GeoGebra Verktøy Fil (“GGT”). Denne fila kan brukast seinare. (Bruk Fil, Opne for å laste inn og bruke verktøyet i ein annen konstruksjon.) Obs: Å opne ei “GGT”-fil vil ikkje endre på konstruksjonen du held på med. Det vil derimot skje om du opnar ei “GGB”-fil.

5.2. Tilpass verktøylinjaDu kan tilpasse verktøyet i verktøylinja til GeoGebra ved å velje Tilpass verktøylinje i menyen Verktøy. Dette er spesielt nyttig for dynamiske ark, dersom du ønskjer å fjerne tilgangen på nokre verktøy for brukaren. Obs: Innstillingane som du brukar på verktøylinja vil bli lagra saman med konstruksjonen i ei “GGB”-fil.

48

6. Javascript Obs: GeoGebra sitt Javascript-grensesnitt kan vere interessant for brukarar som har litt erfaring i å redigere HTML.

For å forbetre dynamiske ark som du lagar, kan du auke interaktiviteten og la GeoGebra-applets bidra i eit JavaScript-grensesnitt. For eksempel kan du lage ein knapp for å få tilfeldige nye variantar av ein dynamisk konstruksjon.

Sjå dokumentet GeoGebra-Applets og JavaScript for å få eksempel på og informasjon om bruk av JavaScript med GeoGebra-applets (miniprogram).

49

Stikkord Aabsoluttverdi.................................................................. 29addisjon......................................................................... 28aksar..................................................................................

kommando................................................................ 37akse...................................................................................

x-akse, y-akse........................................................... 27animasjon...................................................................... 25areal...................................................................................

kommando................................................................ 31menyval.................................................................... 20

aritmetiske operasjonar.................................................. 28asymptote..........................................................................

kommando................................................................ 36avgrens..............................................................................

funksjon til intervall................................................. 28avkryssingsboks.................................................................

for å vise/skjule objekt............................................. 21avrund............................................................................ 29avstand..............................................................................

kommando................................................................ 31menyval.................................................................... 20

Bbakgrunnsbilete............................................................. 241.2.15. bilete.................................................................. 23

bakgrunn.................................................................. 24gjennomsiktig........................................................... 24plassering................................................................. 23

boge...................................................................................kommando................................................................ 39

bogelengde........................................................................kommando................................................................ 39

Boolske..............................................................................kommandoar............................................................. 31operasjonar............................................................... 30variablar................................................................... 29

brennpunkt.........................................................................kommando................................................................ 34

brukardefinerte verktøy................................................. 48Ccosinus........................................................................... 29Ddelingsforhold....................................................................

kommando................................................................ 33delt forskrift.......................................................................

kommando................................................................ 38derivert..............................................................................

kommando................................................................ 38dersom...............................................................................

kommando................................................................ 38desimalplassar...................................................................

innstillingar ............................................................. 46diameterlinje......................................................................

kommando................................................................ 37divisjon.......................................................................... 28dynamisk ark.....................................................................

eksporter.................................................................. 45Eeinings-normalvektor.........................................................

kommando................................................................ 35

einingsvektor.....................................................................kommando................................................................ 35

eksentrisitet........................................................................kommando................................................................ 32

eksponent....................................................................... 28eksponentialfunksjon..................................................... 29eksporter........................................................................ 44

dynamisk ark............................................................ 45konstruksjonsforklaring som nettside....................... 44teikneflata................................................................. 43

ekstremalpunkt..................................................................kommando................................................................ 34

element..............................................................................kommando................................................................ 30

ellipse................................................................................kommando................................................................ 37

endre verktøy................................................................. 48etappepunkt.............................................................. 13, 43Ffakultet........................................................................... 28farge.............................................................................. 12flytt....................................................................................

kommando................................................................ 41menyval.................................................................... 14objekt med vektor, menyval..................................... 22teikneflata, menyval................................................. 15

flytting........................................................................... 41fontstorleik........................................................................

innstillingar.............................................................. 47forhold...............................................................................

kommando................................................................ 30menyval.................................................................... 15

forhold mellom aksane.................................................. 131.1.6. forklaring............................................................. 13

eksporter................................................................... 44format................................................................................

kopier stil.................................................................. 16format og stil.....................................................................

kopier....................................................................... 16formel............................................................................ 22forminsk menyval.......................................................... 15forstørr...............................................................................

menyval.................................................................... 15forstørre eller forminske................................................ 132.2.5. funksjon............................................................... 27

avgrens til intervall................................................... 28eksponential.............................................................. 29kommando................................................................ 38

fyll................................................................................. 12Ggammafunksjon............................................................. 28generelle menyval..............................................................

menyval.................................................................... 141.2.12. geometrisk stad.................................................. 21

kommando................................................................ 40menyval.................................................................... 21

geometrivindauget......................................................... 12gje nytt namn................................................................. 12gjennomsiktig....................................................................

bilete......................................................................... 24glidar.................................................................................

50

menyval.................................................................... 20golv................................................................................ 29grense................................................................................

verdi for vinkel......................................................... 26 verdi for tal.............................................................. 26

Hhalveringslinje for vinkel...................................................

kommando................................................................ 36menyval.................................................................... 18

halvsirkel...........................................................................kommando................................................................ 39menyval.................................................................... 19

heiltalskvotient..................................................................kommando................................................................ 31

hjørne................................................................................kommando................................................................ 40

hyperbel.............................................................................kommando................................................................ 37

Iindeks...................................................................... 26, 30inn

bilete,........................................................................ 23inn“................................................................................ 23innstillingar.................................................................... 46inntastingsfelt................................................................ 26integral..............................................................................

bestemt..................................................................... 32kommando.......................................................... 32, 38ubestemt................................................................... 38

iterasjon.............................................................................kommando................................................................ 32

iterasjonar...................................................................... 41Jjavascript....................................................................... 49K2.2.4. kjeglesnitt............................................................ 27

gjennom 5 punkt, menyval....................................... 19kommando................................................................ 38

kommandoar.................................................................. 30kongruensrekning..............................................................

kommando................................................................ 311.1.6. konstruksjonsforklaring....................................... 13

eksporter................................................................... 44utskrift...................................................................... 43

kontinuitet.........................................................................innstillingar ............................................................. 46

koordinatar.................................................................... 26innstillingar.............................................................. 47x-koordinatar............................................................ 29

kopier stil eller format.......................................................menyval.................................................................... 16

krumming..........................................................................kommando................................................................ 31vektor...........................................................................

kommando.......................................................... 35krummingssirkel................................................................

kommando................................................................ 37kryssforhold.......................................................................

kommando................................................................ 33kubikkrot....................................................................... 29Llagre innstillingar...............................................................

innstillingar.............................................................. 47lengde................................................................................

kommando................................................................ 31linje...................................................................................

endre til linjestykke, omdefiner................................ 13

gjennom to punkt, menyval...................................... 17kommando................................................................ 36midtnormal, kommando........................................... 36midtnormal, menyval................................................ 18

linjebreidde.................................................................... 12linjestil........................................................................... 12linjestykke.........................................................................

kommando................................................................ 35med fast lengde frå punkt, menyval.......................... 17mellom to punkt, menyval........................................ 17omdefiner til linje.........................................................

omdefiner........................................................... 14liste................................................................................ 28liten halvakse.....................................................................

lengde,kommando.................................................... 32logaritmar...................................................................... 29Mmangekant.........................................................................

kommando................................................................ 36menyval.................................................................... 17regulær, menyval...................................................... 17

meny for eigenskapar..................................................... 14menyval......................................................................... 14midtpunkt..........................................................................

kommando................................................................ 33menyval.................................................................... 16

minimum...........................................................................kommando................................................................ 33

modulorekning............................................................... 31multiplikasjon................................................................ 28Nnamn på objekt..................................................................

innstillingar.............................................................. 47navigasjonsmeny..................................................... 13, 43normal...............................................................................

kommando................................................................ 36normal, menyval....................................................... 18

normalvektor, kommando.............................................. 35nullpunkt...........................................................................

kommando................................................................ 34nytt punkt..........................................................................

menyval.................................................................... 16Oobjektmeny.................................................................... 12omdefiner...................................................................... 12omkrins..............................................................................

kommando................................................................ 32Pparabel...............................................................................

kommando................................................................ 38parallell linje......................................................................

menyval.................................................................... 18parameter...........................................................................

kommando................................................................ 32parametrisk kurve.......................................................... 39parentesar...................................................................... 28polar linje..........................................................................

kommando................................................................ 372.2.2. punkt.................................................................... 26

kommando................................................................ 33plasser på ei linje, omdefiner.................................... 13styr, innstillingar....................................................... 46

punkttype........................................................................... innstillingar............................................................. 46

Rradius.................................................................................

kommando................................................................ 32

51

regulær mangekant............................................................menyval.................................................................... 17

retningsvektor....................................................................kommando................................................................ 35

roter...................................................................................objekt om punkt, menyval........................................ 21rundt punkt, menyval................................................ 15

rotér...................................................................................kommando................................................................ 41

Ssekant eller diameter..........................................................

menyval.................................................................... 182.3.14. sektor................................................................. 39

kommando................................................................ 40sign................................................................................ 29sinus.............................................................................. 29sirkel..................................................................................

definert ved sentrum og punkt, menyval .................. 18definert ved sentrum og radius, menyval.................. 19gjennom tre punkt, menyval..................................... 19kommando................................................................ 37

sirkelboge..........................................................................definert ved sentrum radius og punkt, menyval........ 19gjennom tre punkt, menyval..................................... 19kommando................................................................ 39

sirkelsektor........................................................................definert ved sentrum, radius og punkt, menyval....... 19gjennom tre punkt, menyval..................................... 19kommando................................................................ 39

sirkelsektorboge.................................................................kommando................................................................ 39

skjering..............................................................................kommando................................................................ 34to objekt, menyval.................................................... 16

slett................................................................................ 12kommando................................................................ 30objekt, menyval........................................................ 16

spegl..................................................................................kommando................................................................ 42objekt om linje, menyval.......................................... 21objekt om punkt, menyval........................................ 21

sporing........................................................................... 13språk..................................................................................

innstillingar.............................................................. 47stigning..............................................................................

kommando................................................................ 31menyval.................................................................... 20

stor halvakse......................................................................lengde, kommando................................................... 32

store halvakse....................................................................kommando................................................................ 37

storleik........................................................................... 12stråle..................................................................................

gjennom to punkt, menyval...................................... 17kommando................................................................ 35

styrelinje............................................................................kommando................................................................ 36

subtraksjon.................................................................... 28sum over............................................................................

kommando................................................................ 32sum under..........................................................................

kommando................................................................ 32Ttak292.2.1. tal......................................................................... 26

grenseverdi............................................................... 26talfølgje......................................................................... 40

andre kommandoar................................................... 41

tangens........................................................................... 29tangent...............................................................................

kommando................................................................ 36menyval.................................................................... 18

Taylorpolynom..................................................................kommando................................................................ 38

teikneflata...................................................................... 12innstillingar.............................................................. 47til utklippstavla, eksporter........................................ 44utskrift...................................................................... 43

tekst...................................................................................menyval.................................................................... 22

tilfeldig.......................................................................... 29tilpass verktøylinje......................................................... 48toppunkt.............................................................................

kommando................................................................ 34trigonometriske funksjonar............................................ 28tyngdepunkt.......................................................................

kommando................................................................ 34type markering av rett vinkel.............................................

innstillingar.............................................................. 46Uutskrift........................................................................... 43utvalsrektangel............................................................... 15utvid..................................................................................

kommando................................................................ 42objekt frå punkt, menyval......................................... 22polynom................................................................... 38

Vvektor................................................................................

frå punkt, menyval.................................................... 17kommando................................................................ 35mellom to punkt, menyval........................................ 16

vektorar......................................................................... 26vendepunkt........................................................................

kommando................................................................ 35verdiar...............................................................................

endre......................................................................... 25vesle halvakse....................................................................

kommando................................................................ 372.2.1. vinkel................................................................... 26

grenseverdi............................................................... 26kommando................................................................ 33konveks.................................................................... 26med fast storleik, menyval........................................ 20menyval.................................................................... 20

vinkelmål........................................................................... innstillingar............................................................. 46

vis 12vis / skjul...........................................................................

namn, menyval......................................................... 15objekt, menyval........................................................ 15

Xx-akse............................................................................ 27x-koordinatar ................................................................ 29Yy-akse............................................................................ 27y-kooordinatar............................................................... 29 27, 28, 29 trigonometrisk funksjon....................................................

antihyperbolsk cosinus............................................. 29antihyperbolsk sinus................................................. 29antihyperbolsk tangens............................................. 29cosinus...................................................................... 29hyperbolsk cosinus................................................... 29hyperbolsk sinus....................................................... 29

52

hyperbolsk tangens................................................... 29invers cosinus........................................................... 29invers sinus............................................................... 29

invers tangens........................................................... 29sinus......................................................................... 29tangens..................................................................... 29

53