MIRCEA MNESCU ALEXANDRU DIMACHE

HIDRAULICA

PROBLEME REZOLVATE I PROPUSE

MATRIX ROM Bucureti 2006

Cuprins

Capitolul 1. HIDROSTATICA ... 1

Capitolul 2. APLICAREA RELAIILOR GENERALE ALE MICRII LICHIDELOR . 29

Capitolul 3. CALCULUL SISTEMELOR HIDRAULICE CU SUPRAFA LIBER .... 47

ANEXE . 97

Bibliografie .. 109

Introducere

Prezenta lucrare se adreseaz studenilor din anul II de la facultatea de Ci

Ferate, Drumuri i Poduri, seciile C.F.D.P. i I.T.M., ingineri, i cuprinde aplicaii pentru cele 3 capitole importante ale cursului de Hidraulic i anume: Cap. 1 Hidrostatica; Cap. 2 Relaii generale ale micrii lichidelor i Cap. 3 Micarea cu suprafa liber.

Cea mai mare extindere s-a dat capitolului 3, uneori cu aplicaii ce depesc posibilitile de cuprindere n orele de aplicaii din program, acest capitol fiind, n mod deosebit, necesar specialitii C.F.D.P.

Aceast culegere de probleme, rezolvate sau pentru care se dau numai indicaii de rezolvare i rezultate, este o adiie revzut i mbuntit a celei aprute n anul 1985, elaborat de cadrele didactice care au activitate n facultate n prezent.

Lucrarea ine seama de cunotiinele studenilor crora li se adreseaz, trimiterile din text privesc cursul care se pred studenilor analizat n repetate rnduri prin auditul comisiilor desemnate de ctre Consiliul profesoral al facultii.

Autorii

1

1.

HIDROSTATICA

PROBLEMA 1.1

n vasul cu ap n repaus din figura 1.1 se consider punctul M, la adncimea

Mh sub nivelul liber al apei.

Se cere: 1) S se determine presiunea relativ i absolut din punctul M.

Se cunosc: Mh = 2 m, Mz = 4 m. Rezultatele se vor exprima n N/m2;

2) S se reprezinte grafic variaia cu adncimea a presiunii relative i absolute; 3) S se verifice omogenitatea dimensional a formulelor folosite; 4) S se exprime rezultatele de la punctul 1) al problemei n metri coloan ap

(mCA), atmosfere tehnice (at), pascali (Pa) i metri coloan de mercur.

Z

Plan referinta

Z

N

N'

M

hM

M

hN

N

Fig. 1.1

Rezolvare

1) Se utilizeaz legea hidrostatic scris sub una din formele:

cstp

z

, (1.1)

MNNM zzpp , (1.2)

NMNM hhpp . (1.3)

2

Se verific dac sunt ndeplinite condiiile de valabilitate ale acestei legi, adic: a) lichidul s fie n repaus, n cmp gravitaional paralel; b) punctele ntre care se scrie aceast lege s se poat uni printr-o linie

continu care s rmn n acelai fluid, aflat n echilibru. Se atrage atenia asupra indicilor din formulele (1.2) i (1.3) innd seama c h

reprezint o adncime, iar z o cot fa de un plan de referin (n general arbitrar ales). n figura 1.1 se arat prin sgei sensul n care sunt pozitive aceste mrimi.

Pentru a putea utiliza una din formulele de mai sus trebuie ca N s fie ales

ntr-un punct n care cunoatem presiunea: n 'N presiunea este cea atmosferic. n general presiunea atmosferic variaz dup o serie de parametri (altitudinea, umiditatea etc.), ns n calculele tehnice curente se consider constant.

De asemenea, n majoritatea problemelor, se neglijeaz variaia greutii specifice

a lichidelor cu temperatura i presiunea (de ex. pentru ap se consider 3N/m9800 ).

Aplicnd formula (1.3) ntre punctele M i 'N se obine:

MNMhpp ' (1.4)

sau:

23 N/m108,92 atM pp . (1.5) Similar felului cum se msoar temperatura, n valori absolute sau n valori

relative, se msoar i presiunea:

presiunea absolut ap sau barometric are valoarea zero n vid, iar presiunea atmosferic se consider, n calcule, constant, egal cu o

atmosfer tehnic 2424 N/m108.9kgf/m10 atp ; presiunea relativ rp exprim diferena ntre presiunea de msurat i cea

atmosferic. Aceast diferen poate fi pozitiv presiune manometric sau negativ presiune vacuumetric.

Este evident relaia:

atra ppp , (1.6)

dup cum este evident c presiunile absolute au numai valori pozitive, iar valoarea

maxim a presiunii vacuumetrice se realizeaz n vid: atp .

Din relaia (1.5) presiunea relativ n M va fi 0atp :

23N/m108,92 Mp (1.7)

iar presiunea absolut:

2334 N/m10128,9108,92108,9 ap .

2) Generaliznd relaia (1.4) pentru orice punct M din masa fluidului aflat n repaus se obine:

hppN

' . (1.8)

ntr-un punct oarecare:

hpp at . (1.9)

3

Se observ din aceast relaie, c presiunea crete liniar cu adncimea h. innd seama de indicaiile de la punctul precedent, n figura 1.2 se face

reprezentarea grafic cerut:

Plan referinta

PmanomPbarom

M

h

a(1

)

(2)

Pat

a

Fig. 1.2: (1) reprezint variaia presiunii manometrice, (2) variaia presiunii barometrice.

h

h

h

pmanomtg . (1.10)

3) Este cunoscut formula simbolic: mrime fizic = valoare unitate de msur.

Teorema omogenitii din analiza dimensional arat c pentru ca o relaie fizic s fie reductibil la o relaie ntre numere, ea trebuie s fie omogen din punct de vedere dimensional n raport cu un sistem coerent de mrimi fundamentale.

Teorema omogenitii servete la verificarea corectitudinii oricrei relaii fizice. Formula (1.1) este corect din punct de vedere dimensional deoarece:

Lz ; LLF

LFp

3

2

(1.11)

4) Din relaia (1.7) presiunea relativ n punctul M este:

23N/m108,92 Mp ;

n metri coloan de ap:

mCA2108,9

108,92

3

3

M

ph ;

n atmosfere tehnice 242 N/m108,9kgf/cm11 at : )m(2,0 atpM ;

n pascali N8,9kgf1,N/m1Pa1 2 :

4

Pa19600Mp ;

n metri coloan de mercur:

mcolHg147,0N/m108,96,13

N/m108,92

33

23'

Hg

Mph .

PROBLEMA 1.2

Un rezervor cilindric, nchis cu capac semisferic, este legat cu un tub nclinat

(fig. 1.3). Se cunosc: m2,0,60 20 h , m31 h , m8,0R , ,kgf/m1000

3

3kgf/m13600Hg , m23 h , .m6,0l

Se cere:

1) Cunoscnd presiunea 0p (n scar barometric) a pernei de aer din tub s

se afle presiunea p din rezervor.

aer (p0)M B

PRN

Hg

h3 P

l

A

aerp

h2

h1 ap

Y

X

R

Fig. 1.3

Se vor rezolva 4 variante:

a) );(765,00 batp

b) );(865,00 batp

c) );(10 batp

d) ).(2,10 batp

S se exprime presiunile i din variantele analizate, n presiuni relative. 2) S se determine poziiile planelor manometrice i barometrice pentru presiunile

p calculate mai nainte;

3) Pentru variantele a), b), c), pct. 1, s se reprezinte diagramele de presiuni pentru jumtatea XY a rezervorului;

Rezolvarea se va face n sistemul tehnic de uniti de msur.

5

Rezolvare:

1) Va trebui aplicat legea hidrostatic ntre punctele P i M, ns, aa cum se

vede n figura 1.3, nu este ndeplinit condiia de valabilitate b) prezentat n

problema 1.1 (pct. 1). Rezult necesar s se aplice legea hidrostatic pe poriuni:

mai nti pentru P i N (formula 1.2):

2sin hlpp HgPN ;

apoi ntre N i M:

1221 hhhhpp NM .

Eliminnd Np ntre aceste relaii se obine:

12sin hhlpp HgPM . (1.12)

nlocuind mrimile cunoscute [cm, kgf]:

2033

0 kgf/cm135,03001020864,060106,13 ppp .

Deci:

atpp 135,00 . (1.13)

nlocuind 0p cu valorile pentru cele patru variante rezult urmtoarele valori

ale presiunii absolute (barometrice):

a) atp 9,0 ; b) atp 1 ; c) atp 135,1 ; d) atp 335,1 .

Considernd atpat 1 i utiliznd formula (1.6) se obin urmtoarele valori

pentru presiunea relativ (manometric):

a) atp 1,0 ; b) 0p ; c) atp 135,0 ; d) atp 335,0 .

2) Rezervorului i se ataeaz un tub deschis la captul superior i de diametru

suficient de mare pentru ca fenomenul de capilaritate s fie neglijabil. La suprafaa

lichidului din tub presiunea este cea atmosferic, iar n planul ce trece prin acest

punct este cel manometric.

Cnd tubul ce se ataeaz este nchis i n ele se face vid, nivelul la care se

ridic lichidul reprezint planul barometric.

Pentru a determina poziia acestor plane vom exprima presiunile n metri

coloan ap (mCA):

Ex.: a) mCA9kgf/m10

kgf/m109,0

kgf/m1000

kgf/cm9,0

33

24

3

2

p

h .

Valorile pozitive se reprezint deasupra nivelului AB, valorile negative sub

acest nivel.

n figura 1.4 se dau poziiile planelor manometrice pentru variantele a, b, c din

punctul 1 al problemei.

3) Deoarece nu se face nici o specificaie, se subnelege c se cere reprezentarea

presiunilor relative.

6

vid

9,0

0m

A BPl. man

5

a

1,0

0m

ap

vidPl. bar

p p at 1,3

5m

10

,00

m

Pl. manp p at

b

A

ap

B

c

A

ap

B

vid

Pl. bar

10

,00

m

p p at

Pl. man

Pl. bar

Fig. 1.4

n perna de aer de la suprafaa apei din rezervor presiunea rmne constant

deoarece greutatea specific a aerului este mic 3kgf/m3,1 i termenul h , care reprezint variaia presiunii cu adncimea, rmne neglijabil. Deci ntre X i A

diagrama de presiune este constant. Diagramele de presiune sunt reprezentate n figura 1.5.

X

+

+

X

A

+

YTY

++

X

A

-

A-

1m

TYT

p=0,435 at

p=0,135 at

p=0,2 at

p=-0.1 at

p=0,3 at

Fig. 1.5

PROBLEMA 1.3

Pentru rezervorul din figura 1.6 n care se gsete ap se cunosc: m21 h ,

m5,12 h , 060 , m3 , m8,1b .

7

S

R

D

A

B

E

N

b

M

h1

h2a

Fig. 1.6

Se cere: 1) n ipoteza c rezervorul este deschis s se determine forele hidrostatice

exercitate asupra pereilor DENM, ABED, MNSR i punctele de aplicaie ale acestor fore;

2) S se traseze diagrama de presiuni i relative pe suprafeele de mai sus; 3) Dac vasul este nchis i la suprafaa apei este o pern de aer la presiunea

p s se determine forele hidrostatice ce acioneaz pe cele trei suprafee din

figura 1.6 i punctele de aplicaie ale acestor fore n urmtoarele ipoteze:

a) 24N/m108,92,0 p (scar manometric);

b) 0p ;

c) 24N/m108,91,0 p .

Rezolvare

1) Pentru determinarea forei hidrostatice i a punctului de aplicaie al acesteia pe o suprafa plan se procedeaz n felul urmtor:

I. Se determin planul manometric conform indicaiilor de la problema 1.2 pct. 2;

II. Se alege un sistem de axe de coordonate care trebuie s ndeplineasc urmtoarele condiii: planul xOy se suprapune peste planul manometric; axa Oy reprezint intersecia ntre planul manometric i planul ce

conine suprafaa pe care se cere fora hidrostatic.

Axa Oh va fi ndreptat n jos, iar axa 'Oy va fi coninut n planul

suprafeei de studiat; III. Se determin fora hidrostatic cu formula:

AhApF GG (1.15)

n care: A este aria suprafeei pe care se cere fora;

Gp presiunea n centrul de greutate al suprafeei A;

Gh adncimea centrului de greutate al suprafeei A;

greutatea specific a lichidului;

8

IV. Se determin poziia centrului de presiune (C) n care se aplic fora hidrostatic:

'

''

G

GyGC

yA

Iyy

(1.16)

Oy

yyC

S

Iy

' (1.17)

n care: GyI este momentul de inerie al suprafeei A fa de o ax paralel cu Oy

i care trece prin G centrul de greutate al suprafeei A;

OyS este momentul static al suprafeei A n raport cu axa Oy ;

'yyI este momentul centrifugal fa de axele 'Oyy .

n general suprafeele pe care se calculeaz forele hidrostatice sunt simetrice

n raport cu axa 'Oy i deci Cy este cunoscut fr a fi calculat.

Pentru cteva forme de suprafee, n figura 1.7, se d formula momentului de inerie GyI .

Y Y Yh

b

G G Gh

b D

12

3hbIGy

36

3hbIGy

64

4DIGy

Fig. 1.7 Pentru fora hidrostatic pe suprafaa DENM, n figura 1.8 se materializeaz

indicaiile I. i II.: planul manometric este suprafaa liber a apei, iar sistemul de axe ndeplinete condiiile cerute.

eG C

M

hG

y'

N

y

x

h

h2

h1D

a

OE y''

y'G

Fig. 1.8

9

Pentru datele problemei, urmnd ordinea de calcul recomandat se obine:

22 m13,3864,0

8,15,1

sin

b

hMNDMA ;

m75,22

5,12

2

21

hhhG ;

m18,3874,0

75,2

sin

'

GGh

y ;

4

332

3

m794,012

864,0

5,18,1

12

sin

12

hb

MDMNIGy ;

N105,8475,213,3108,9 33 GhAF ,

m26,318,313,3

794,018,3''

G

GyGC

yA

Iyy .

Fora F va fi aplicat n C i perpendicular pe suprafaa DENM. Punctul C se gsete ntotdeauna mai jos dect G, din cauza repartiiei

presiunilor. Distana ntre cele dou puncte se numete excentricitate:

m.08,0'

G

Gy

yA

Ie

Pe suprafaa ABED ntreg algoritmul se repet, cu modificarea sistemului

( 'OyOh )(fig. 1.9).

hy'

CG

hA

D

A

OE

b

M

N

y

B

x

Fig. 1.9

Calculele urmeaz aceeai ordine:

21 m6,38,12 bhBEEDA ;

10

m12

1' h

yh GG ;

433

13

m2,112

28,1

1212

hbBEDEIGy ;

N103,3516,3108,9 33 GhAF ;

CG

GyGC h

yA

Iyy

m333,1

16,3

2,11'' .

.m333,0e

Se va reveni asupra acestor calcule care se pot scrie, cu simboluri, sub forma:

22

211

1

hb

hbhF , (1.18)

CG hhhbh

hb

hy

11

1

31

1'

3

2

2

12

2. (1.19)

Pentru suprafaa MNSR planul manometric este suprafaa liber a apei. Fiind plane paralele, axa Oy va fi la infinit. Din cauza distribuiei uniforme a presiunii pe

suprafaa MNSR, GC, figura 1.10, iar fora hidrostatic se calculeaz cu formula (1.15):

N105,1858,135,3108,9 3321 blhhApF G

l

M

h2

h1N

GC

S

R

b

F

Fig. 1.10

2) Pe linia ADMR, distribuia de presiuni manometric este artat n figura 1.11.

Calculul forelor, prezentat la punctul 1), s-a fcut lucrnd n scar relativ a presiunilor. Forele hidrostatice se pot calcula i cu valorile presiunilor absolute (singura diferen fiind c n loc de planul manometric se folosete planul barometric), ns n acest caz trebuie inut seama i de forele date de presiunea atmosferic de la exteriorul rezervorului.

11

29,810

M

h1

h2D

O

A

R

3,59,810

3N/m

2

2N/m3

Fig. 1.11

Calculul forelor hidrostatice se poate face i prin metoda grafic folosind

diagrama presiunilor care realizeaz corpul de presiune. Pe suprafaa ABED, corpul de presiune prezentat n figura 1.12, este o prism dreapt cu baza un triunghi

dreptunghic de catete 1h i 1h i de nlime b i reprezint, n spaiu, diagrama

presiunilor. Volumul acestei prisme d fora hidrostatic:

bhhF 112

1 (vezi formula 1.18).

Punctul de aplicaie al acestei fore va fi centrul de greutate al prismei, adic la

13

2h (vezi formula 1.19).

b

h1

D

h1

A

E

B

Fig. 1.12

Pe suprafaa DENM corpul de presiune (fig. 1.13) este o prism dreapt cu

baza un trapez, iar fora va fi:

N105,84

sin2

32211

bhhhh

F .

12

a+

d=(

h1+

h2)

C=h2/sin M

ba=

h1

D

E

N

M

c=h2/sina

G'

a=h

1

c/2

xc''

D

Ce

G

y''

a=h

1d=h

2

Fig. 1.13 Fig. 1.14

Centrul de greutate al trapezului, 'G (fig. 1.14) se proiecteaz n centrul de presiune cutat C:

m.95,02

23

2

''

da

dacXC (1.20)

Centrul de greutate al suprafeei dreptunghiulare DENM va fi la 2

c, deci:

m.08,0sin2

2''

h

Xe C

Se recomand utilizarea metodei analitice care permite rezolvarea oricrei probleme de acest tip. Metoda grafic este indicat pentru suprafee dreptunghiulare la care corpurile de presiune au forme simple.

3) Se vor urmri indicaiile de rezolvare de la pct. 1). Pentru cele trei variante, planele manometrice se vor gsi n urmtoarele poziii

fa de suprafaa apei:

m2

p

ha ; 0bh ; m1ch .

n figura 1.15 a, b, c, sunt indicate sistemele de axe pentru aflarea mrimilor i punctelor de aplicaie ale forelor ce se exercit pe suprafaa DENM.

O,y

h

apaFM,NG

eh2

a

h

C

y'

p p at

O,y

h1

haaer

D,E

x

O,y

h2FM,NGh2 apa

b

C

y'h

p p ataerh1 D,E

xh1

apae

G FM,N

c

C

y'

p p ataer

D,Ehc x

Fig. 1.15

13

Fa de rezolvarea prezentat la punctul 1 al problemei, singura modificare ce

apare n calcule este nlocuirea lui 1h prin:

a) 21 hh ; b) 1h ; c) Chh 1 .

Deci n varianta a) ( 24N/m108,92,0 p ) pentru suprafaa DENM:

.m5,5sin

,m75,42

,m13,3sin

'

21

22

GG

aG

hy

hhhh

bhA

4

32

m794,012

sin

hb

IGy ,

N105,145 3 GhAF ,

m55,55,513,3

794,05,5

'

''

G

GyGC

yA

Iyy .

n varianta b) 0p nici o modificare fa de punctul 1 al problemei pentru suprafaa DENM.

n variana c) 24N/m108,91,0 p pentru suprafaa DENM:

m;02,2sin

m;75,12

;m13,3sin

'

21

22

GG

CG

hy

hhhh

bhA

4m794,0GyI ;

NhAF G3107,53 ;

m145,202,213,3

794,002,2'

Cy .

Se las n seama cititorului rezolvarea pentru celelalte suprafee.

PROBLEMA 1.4

ntr-un canal de seciune dreptunghiular, de lime m4b , este necesar ca

apa s aib adncimea de 2,5 m.

14

a

A

A

b

c

A

h=2,5h=2,5

h

Fig. 1.16

Pentru reinerea apei se propun variantele a, b, c figura 1.16 de realizare a

stavilelor. Considernd stavilele articulate pe muchia A se cere s se determine forele

hidrostatice i momentele ce vor trebui preluate n articulaia A.

Rezolvare

n cazul suprafeelor curbe, deoarece forele ce acioneaz pe ariile elementare au direcii diferite, este necesar s se fac proiecia forelor elementare dup un sistem de axe de coordonate i apoi nsumarea acestor proiecii pe fiecare ax.

Algoritmul de rezolvare este urmtorul: I. Se stabilete planul manometric dup indicaiile de la problema 1.2 pct. 3). II. Se alege sistemul de axe de coordonate care trebuie s ndeplineasc

o singur condiie: planul xOy s coincid cu planul manometric; III. Se determin forele hidrostatice dup cele trei axe:

Gxxx hAF ; (1.21)

Gyyy hAF (1.22)

wFz , (1.23)

n care : xA , yA sunt proieciile suprafeei curbe pe planurile yOz , respectiv xOz ;

Gxh , Gyh sunt adncimile centrelor de greutate ale suprafeelor xA , respectiv yA ;

w volumul cuprins ntre suprafaa curb i proiecia acesteia pe planul manometric;

greutatea specific a lichidului.

IV. Dac suprafaa curb permite, se afl rezultanta unic, determinat de direcie, punct de aplicaie i mrime.

Exemple de suprafee ce admit rezultant unic sunt cele de rotaie deoarece forele elementare, perpendiculare pe elementele de suprafa, sunt concurente pe axa de rotaie.

Pentru varianta a) n figura 1.17 este reprezentat sistemul de axe Oxyh , iar

aciunea apei pe suprafaa cilindric MPQN se determin dup formulele (1.21) (1.23).

Proiecia suprafeei MPQN pe planul xOh este linia MN, deci 0yA .

Rezult 0yF .

15

Q

R=2,5m

A'P

y

M A

N

x

b=4m

O

GxQ'

P'

N'

h

Fig. 1.17

Proiecia suprafeei MPQN pe planul yOh este dreptunghiul ''' NQO i deci:

2m105,24 RbAx .

Centrul de greutate al suprafeei 'xA , punctul xG , se afl la adncimea:

m25,122

ON'

RhGx .

Rezult:

N105,12225,110108,9 33 Gxxx hAF

Volumul w este cuprins ntre suprafaa curb MPQN i proiecia acesteia

AMPA ' , deci un sfert de cilindru circular:

322 m6,1945,214,34

1

4

1 bRw ,

N10192 3 wFh .

n figura 1.18 sunt desenate forele xF i hF .

AM

dFN

Fh

Fx

F

dA

Fig. 1.18

16

Deoarece forele elementare dAp sunt perpendiculare pe suprafaa curb

MN, vor trece prin A i deci sistemul de fore se reduce la o rezultant unic:

N10228 322 hx

FFF ,

57,1tg 1 x

h

F

F.

Momentul forelor hidrostatice n raport cu articulaia A va fi nul. Pentru varianta b) n figura 1.19 sunt date indicaiile necesare:

0yF , (MPNQ se proiecteaz pe planul xOz dup linia MTQ: 0yA )

N105,12225,145,2108,92 33 RbRhAF Gxxx

PS'

A'S

y

P'

MT'

xO

NN' T A

Q

Q'

h

b

2R=2,5m

Fig. 1.19

Suprafaa cilindric PMQN este intersectat de o vertical n dou puncte;

calculul forei verticale se face n acest caz separat pentru suprafaa superioar PSTM i pentru suprafaa inferioar TSQN. n figura 1.20 se prezint intersecia suprafeei curbe cu planul xOh .

Volumul 1w care d fora vertical ce acioneaz pe suprafaa PSTM se

proiecteaz n planul xOh dup triunghiul curbiliniu TMT ' se calculeaz scznd volumul unui sfert de cilindru circular din volumul unui paralelipiped:

32221 m34,1425,114,3

4

1425,1

4

1 bRbRRw ,

N101,13 311 wFh , ndreptat n jos.

Volumul 2w ce d fora care acioneaz pe suprafaa TSNQ este volumul

cuprins ntre aceast suprafa i proiecia PMST '' din planul manometric, adic acelai paralelipiped ca mai nainte la care se adun un sfert de cilindru circular:

17

,m2,114

1 322 bRbRRw

N10110 322 wFh , ndreptat n sus.

xM,P

Fh

T',S'O,y

A,A'T,S

R

Q,N

F

F

F

h

Fh

1

2

y

h

Fig. 1.20

Din compunerea celor dou fore rezult:

,m96,92

1 3212 bRwww

N109,96 312

hhh FFF , ndreptat n sus.

n figura 1.20 s-au haurat n direcii diferite proieciile volumelor 1w i 2w pe

planul xOh , remarcnd c primul volum d o for ndreptat n jos, iar cellalt o for ndreptat n sus. Se vede c aciunea volumului care se proiecteaz dup MTT este nul deoarece acest volum, haurat de dou ori n direcii diferite, produce asupra suprafeei cilindrice MPNQ dou fore egale i de sens contrar.

Se obine cu ajutorul acestui procedeu direct volumul w , haurat o singur dat: acest volum chiar volumul nchis pe suprafaa curb.

Se poate calcula i n acest caz o rezultant unic:

N10157 322 hx

FFF ,

79,0tg 1 x

h

F

F.

Fora F trece prin articulaia A, deci nu d moment n raport cu aceasta. Pentru varianta c) aplicnd indicaiile de la problema 1.3 rezult imediat planul

manometric i sistemul de axe (fig. 1.21).

18

Se calculeaz:

m;45,1864,0

25,1

sin

m;25,12

;m6,114864,0

5,2

sin

'

2

GG

G

hy

hh

bh

A

433

m06,8864,0

5,2

12

4

sin12

hbIGy ;

N1014225,16,11108,9 33 GhAF ;

m.93,145,16,11

06,845,1

'

''

G

GyGC

Ay

Iyy

A,O,y

h

h=2,5m

x

F zF

G

C

Fx

y'h ctg

h ctg a23

23

h

Fig. 1.21

Momentul forei F n raport cu articulaia A este:

m.N1027493,110142 33' CyFM

O suprafa plan este un caz particular de suprafa curb, deci pentru calculul forei pe stavila plan se pot utiliza i formulele (1.21) (1.23).

0yF , 0yA ( proiecia stavilei pe planul xOh este o dreapt);

hbAx , proiecia stavilei pe planul yOz este un dreptunghi, al crui centru

de greutate este la adncimea 2/hhGx :

N105,1222

3h

bhhAF Gxxx .

19

Proiecia volumului w este haurat n fig.1.21

3m25,7ctg2

1 bhhw ,

N1071 3 wFh .

Rezult:

N10142 322 hx

FFF ;

ctgtg 1x

h

F

F, deci F rezult perpendicular pe stavil.

PROBLEMA 1.5

Pentru rezervorul din figura 1.22 n care se gsete ap sunt cunoscute:

m6,0R , m41 , atpM 2,0 .

Se cere:

1) S se determine fora hidrostatic pe capacul semisferic KJ prin: aplicarea algoritmului de la problema 1.4;

metoda solidificrii.

2) Dac rezervorul este poziionat ca n figura 1.23, pentru suprafaa lateral LJ GK s se calculeze:

fora hidrostatic; eforturile interioare ce apar din presiunea apei.

Rezolvare

1) nlimea planului manometric fa de generatoarea GK este:

.m210

102,0

3

4

p

h

KM

G

L

apa

l1J

R

GL

apa

M

RKJ

l1

Fig. 1.22 Fig. 1.23

20

n figura 1.24 capacul semisferic este proiectat dup cercul '''' SJTK n planul

yOz i dup semicercul ''' QTS n planul xOy .

y

T' Q'

S'

x

K

Q

T

F zF

R+

h

O

K''

T''

J

Fx

J''

h

S'' S

Fig. 1.24

Este de observat c n cazul n care orice paralel la una dintre axele orizontale

OyOx, care intersecteaz suprafaa curb determin dou puncte de intersecie, apar fore elementare egale ca mrime, pe acelai suport, dar de sensuri opuse, deci care se anuleaz reciproc. Suprafaa se numete nchis n raport cu axa respectiv (fig. 1.25).

h

O y

x

dF1y dF2y

dAdA

Fig. 1.25

Pentru axa vertical Oz aceast observaie nu este valabil din cauza variaiei, pe aceast direcie, a presiunii statice care face ca forele elementare s nu fie egale.

Pentru capacul semisferic KQJ (fig. 1.24), orice paralel la axa Oy , care

intersecteaz suprafaa, determin dou puncte de intersecie, deci 0yF .

Se vede imediat c: 222 m13,16,014,3 RAx (cercul din planul yOz );

21

m6,226,0 hRhGx (adncimea la care se afl centrul de greutate

al ariei xA );

N104,286,213,1108,9 33 Gxxx hAF .

Deoarece paralele la axa Oh intersecteaz suprafaa semisferei n cte dou puncte, se vor determina separat forele verticale pe suprafaa SQTJ i, respectiv, SQTK.

Volumul corespunztor primei suprafee este:

1w = Vol. ''' QTTQJSS = Vol. Cilindru ''' TQSQTS + Vol. Sfert sfer STQJ i

d o for ndreptat n jos. Volumul corespunztor suprafeei superioare este:

2w = Vol. ''' STSKTQQ = Vol. Cilindru ''' TQSQTS Vol. Sfert sfer SQTK, i

d o for vertical ndreptat n sus. Rezult: 21 www = Vol. Sfert sfer STQJ + Vol. Sfert sfer SQTK, fora

vertical rezultat fiind ndreptat n jos.

3

3

4

4

12 RwFh .

Capacul semisferic admite rezultant unic:

N107,45 322 hx

FFF , care face cu orizontala unghiul 1 :

098,0tg 1 x

h

F

F; 1 5

035'.

Metoda solidificrii este des folosit n mecanica fluidelor i const n a detaa, virtual, din masa de fluid, o particul i de a-i aplica forele de legtur i forele masice care acionau asupra particulei nainte de detaare. n acest fel particula se comport ca un corp solid i i se pot aplica teoremele din mecanica corpului rigid.

Considernd apa din capacul semisferic solidificat, introducem fora de legtur ( 1F ) i fora masic ( 2F ) (fig. 1.26).

K

F2F

G

F1

J

Fig. 1.26

1F reprezint fora datorat aciunii apei din stnga seciunii KJ, deci o for

de presiune asupra unei suprafee plane circulare KJ care are centrul de greutate (G) la adncimea hR sub planul manometric:

22

N3104,2821 hRRGhAF .

Fora masic 2F reprezint greutatea lichidului solidificat adic:

N44403

4

2

1 32 RF .

2) Suprafaa lateral a cilindrului LJ GK este nchis fa de axele Ox i Oy

deci:

.0

,0

y

x

F

F

Proiecia suprafeei curbe pe planul manometric Oxy este circumferina unui

cerc: volumul cuprins ntre suprafaa LJ GK i aceast proiecie este zero, deci:

0hF .

Proieciile forei hidrostatice sunt nule, ns acestea reprezint rezultatele dup cele trei axe. n pereii rezervorului apar eforturi interioare datorate presiunii (sau presiuni), care cresc proporional cu adncimea.

Calculul se face pentru inele orizontale, folosind formula cazanelor.

h

O,y x

L G

J K

h

h1

Fig. 1.27

G

TT

L

D

p

Fig. 1.28

23

Inelul din seciunea LG, de nlime suficient de mic pentru a neglija variaia de presiune, este prezentat n figura 1.28. Presiunea va fi cea indicat de manometru deci:

.N/cm2N/m102,02,0 225 atp

Se noteaz cu T fora ce apare n peretele de grosime al rezervorului (fig. 1.28). Formula cazanelor (obinut printr-o ecuaie de proiecie a forelor pe direcia

lui T) este:

DpT 22 . (1.24)

Dac grosimea tablei este mm3 efortul unitar va fi:

2N/cm4002

Dp

.

PROBLEMA 1.6

Stavila plan S din figura 1.29 nchide un canal dreptunghiular de lime m4b ,

cu ap. Stavila este meninut nchis de contragreutatea G printr-un sistem de prghii articulate.

Se cunosc:

m.4

,60

m,5,1

m,2

m,3

o

b

H

d

a

Se cere: 1) Contragreutatea G pentru a menine stavila nchis. Se neglijeaz greutatea

proprie a stavilei i a prghiilor i frecrile n articulaii. Fora hidrostatic se va determina prin dou procedee: analitic i grafic. 2) Se presupune c valoarea contragreutii G este cea determinat mai

nainte, ns pe adncimea H sunt dou straturi de grosimi egale, din lichide diferite. S se traseze diagrama presiunilor pe stavil i fr a face calcule s se precizeze dac i cum se modific poziia stavilei S. Cele dou lichide sunt ap i ulei.

aM

S

N

P

G

a d

H

A B

Fig. 1.29

24

Indicaii i rezolvare

1) Bara PN este dublu articulat i ncrcat numai n noduri, deci fora ce apare n aceast bar este axial. Pentru determinarea forei axiale din bara PN se scrie o ecuaie de moment n raport cu articulaia M.

2) Se consider greutatea specific a uleiului 3kgf/m900u . Se precizeaz

care lichid va sta deasupra i se traseaz diagrama de presiuni, innd seama de greutile specifice. Dup cum se modific sau nu fora hidrostatic, stavila i pstreaz poziia, se deschide sau contragreutatea G coboar pe suportul AB.

PROBLEMA 1.7

Peretele unui rezervor are seciunea din figura 1.30.

A

B

D

P N

beton

apa

h1

h2

h3

h0

l1

l

M

G1

G2

G3

T

P N

Fig. 1.30 Fig. 1.31

Se cunosc:

m.5

,tf/m3,2

m,9,0

m,5

m,2,1

m,3,0

m,2,1

3

3

1

2

1

0

h

l

h

h

h

l

b

Se cere: 1) S se traseze diagrama presiunilor hidrostatice pe linia ABDP; 2) S se determine forele hidrostatice i punctele lor de aplicaie pentru

suprafeele AB, BD, DP; 3) S se calculeze fora tietoare ce apare n ncastrarea PN i momentul forelor

n raport cu punctul N innd seama de aciunea apei i de greutatea peretelui de beton.

25

Indicaii i rezolvare

Calculul forelor i momentelor din greutatea proprie se face aa cum se arat n figura 1.31.

PROBLEMA 1.8

Confluena a dou canale este amenajat ca n figura 1.32 sub forma unui sfert de trunchi de con.

Sunt date:

m.2

m,5

m,3

h

R

r

Se cere s se determine aciunea apei pe suprafaa lateral a trunchiului de con ANBEQG.

h

y

a) Vedere in plan

b) Sectiunea X-X

G

N

X

Q

X

Q

M N

M B

A

Ez z

R

r

r

R

Fig. 1.32

Rezolvare

Planul manometric se gsete la nivelul apei din canal, deci la acest nivel se gsete i planul xOy .

Suprafaa ANBEQG fiind o suprafa curb, vor trebui calculate rezultantele forei hidrostatice dup direciile triedului de referin (relaiile 1.21 1.23).

Se observ uor c proieciile suprafeei curbe pe planele xOz i yOz sunt

trapeze dreptunghice, deci:

;m822

35

2

2

hrR

Ax

m08,135

35,2

3

22

3

2

3

rR

rRh

bB

bBhhGx ;

26

N.108408,18108,9 33 Gxxx hAF

Pentru componenta dup Oy :

2m82

hrR

Ay ;

m08,12

3

rR

rRhhGy ;

N1084 3 Gyyy hAF .

Componenta vertical zF va fi dat de greutatea volumului apei cuprinse ntre

suprafaa curb i proiecia acestuia pe planul xOy :

w = Vol. Sfert cilindru (MGQE) Vol. Sfert trunchi de con (MANB MGQE) =

2222222 m25,3035353

2

4

14,32514,3

4

1

344

1

RrrR

hhR

N108,2925,30108,9 43 wFh , ndreptat n jos.

N1032 4222 hyx

FFFF .

Unghiul pe care-l face rezultanta cu orizontala este dat de:

.69,2tg22

yx

h

FF

F

PROBLEMA 1.9

Amenajarea malului unui canal navigabil, cu elemente din beton, poate avea una din urmtoarele forme:

B

C

A

a1

h1

h2

VARIANTA A

C

B

VARIANTA B

A

h1

h2

a2

Fig. 1.33

Fiind date: m15/21 Nh ; 1 300; m10/52 Nh ; 2 45

0.

27

Se cere: 1) Diagrama presiunii hidrostatice pe suprafeele AB, BC; 2) Forele hidrostatice i punctele de aplicaie ale acestora pe metru liniar de

amenajare. N = numrul de ordine al studentului n grup.

PROBLEMA 1.10

Malul unui lac este amenajat cu elemente din beton ca n figurile de mai jos (fig. 1.34).

Fiind date: mNh 10/8 ; mNb 15/2 ; mNa 20/1 ; mNc 20/5,0 ; 2 45

0.

BC

A

VARIANTA A

b

ha

C

A

Ba

c

b

D

VARIANTA B

Fig. 1.34

Se cere: 1) Diagrama presiunii hidrostatice pe suprafeele AB, BC,CD; 2) Forele hidrostatice i punctele de aplicaii ale acestora pe metru liniar la

amenajare.

PROBLEMA 1.11

Pentru amenajarea unui cheu de acostare este propus una din formele de mai jos.

VARIANTA A

A

B

D

VARIANTA B

R

A

B

C

D

E

a

R

b

c

C

c

h1

h2

Fig. 1.35

28

Fiind cunoscute: mNa 30/1 ; mNb 30/4 ;

mNc 20/5,1 ; mNR 30/2 ;

mNh 30/11 ; mNh 20/62 .

Se cere: 1) Diagrama presiunii hidrostatice pe suprafeele AB, BC,CD,DE; 2) Forele hidrostatice ce acioneaz asupra amenajrii i punctele de aplicaie

ale acestor fore. Calculele se vor face pentru un metru liniar de lungime de amenajare.

29

2.

APLICAREA RELAIILOR GENERALE ALE MICRII LICHIDELOR

PROBLEMA 2.1

Pentru instalaia hidraulic din figura 2.1, format din conducte de oel, mbinate cu mufe, se cunosc:

mm2001 D ; mm1002 D ; m21 h ; m42 h ; m121 ; m152 ;

m83 .

Se cunoate debitul instalaiei s/30 Q .

Se cere:

1) Folosind ecuaia de continuitate, s se determine vitezele medii 1V i 2V

pentru cele dou diametre; 2) S se traseze, calitativ, liniile caracteristice ale sistemului de conducte; 3) S se calculeze pierderea de sarcin local din primul cot i pierderea de

sarcin distribuit pe tronsonul de diametru 2D ;

4) S se determine presiunea din seciunea A (fig. 2.1); 5) S se determine debitul instalaiei dac n locul vasului cu nivel liber este

un vas avnd o pern de aer sub presiune ( atmp 2,10 ) i s se traseze liniile

caracteristice n acest caz.

Fig. 2.1

Rezolvare

1) Ecuaia de continuitate din [5], formula (2.18) arat c debitul este constant:

2211 VAVAQ (2.1)

sau

30

2

22

1

21

44V

DV

DQ

. (2.2)

nlocuind debitul Q i diametrele 1D i 2D , cunoscute, se obin vitezele:

m/s;95,02,014,3

030,044

221

1

D

QV

m/s;82,34

22

2

D

QV

11

2

2

12 4VV

D

DV

.

2) Ecuaia energiei din [5], formula 2.35, aplicat ntre dou seciuni, este:

2122

222

2

211

1

rh

g

VpZ

g

VpZ . (2.3)

Semnificaiile sunt cunoscute din [5], 2.4.2, n care se dau indicaii pentru trasarea liniilor caracteristice (energetica i piezometrica).

n figura 2.2 sunt reprezentate liniile caracteristice.

Fig. 2.2 3) Formula de calcul pentru pierderile de sarcin locale este:

g

Vh

2

2

, (2.4)

cu semnificaiile din [5], 2.8. n anexa 4 se arat c schimbarea de direcie se poate realiza prin tierea i

sudarea conductei. Pentru cot la 900: 02,1c . Schimbarea de direcie se poate

realiza avnd raza de curbur mm300cR , n care caz coeficientul de pierdere de

sarcin local este:

14,0902

847,10131,0

5,3

cc

R

D. (2.5)

31

Pierderea de sarcin la schimbarea de direcie din seciunea 2 din figura 2.2 va fi determinat n funcie de soluia proiectantului:

dac se face cot la 900 prin sudur:

m05,062,19

95,002,1

2

h ;

dac se realizeaz curb cu :mm300cR

m007,062,19

95,014,0

2

h .

Pentru calculul pierderilor de sarcin distribuite se folosete formula:

g

V

Dhd

2

2

, (2.6)

cu semnificaiile din [5], 2.7.

Pentru tronsonul de diametru 2D , viteza m/s82,32 V .

Pentru calculul lui se va folosi din [1] formula (2.63):

042,01,0

021,0021,0

3,03,0

D. (2.7)

Rezult:

m50,262,19

82,3

1,0

8042,0

2

dh .

n mod asemntor se pot calcula i celelalte pierderi de sarcin (locale i distribuite), proiectantul urmnd s stabileasc alctuirea geometric a curbelor, a schimbrilor de seciune, a intrrilor i ieirilor din rezervoare etc. i prin aplicarea formulelor corespunztoare pentru coeficientul .

4) Presiunea din seciunea A se poate determina aplicnd relaia (2.3) ntre seciunile i-A sau A-f. Fiind numai pierderi de sarcin distribuite, se va scrie relaia ntre A-f.

Deoarece: 0AZ ; 0 atmf pp ; 0fZ ; 2VVA , rezult:

fAdA h

p

;

m5,22

22

2

32

g

V

D

pA ;

PapA 24500 .

5) Dac rezervorul cu nivel liber din figura 2.1 este nlocuit cu un rezervor

avnd o pern de aer sub presiune ( atmp 2,10 ), liniile caracteristice sunt trasate n

figura 2.3:

m1210

102,1

3

40

0

p

h .

32

Fig. 2.3

Ecuaia energiei ntre seciunile i i f va fi:

1

2211

22

4

21

3

21

2

21

1

220

2122222 D

h

g

V

g

V

g

V

g

V

g

Vphh

g

V

D 2

22

2

32

.

Cunoscnd nlimile ih , lungimile i , diametrele iD , presiunea 0p , coeficientul

Coriolis 05,1 (micare turbulent), coeficienii i din anexa 4 i coeficienii

dup formula (2.7), rmn ca necunoscute vitezele 1V i 2V , deci o ecuaie cu dou

necunoscute. Se adaug ecuaia de continuitate (2.2), rezultnd un sistem de 3 ecuaii cu 3

necunoscute ( 1V , 2V , Q).

Dac 5,01 ; 14,032 ; 335,04 (pentru viteza din aval 2V ),

034,01 ; 042,02 , rezult: m/s31,21 V ; m/s24,92 V i

s/5,72/sm0725,0 3 Q .

Comentariu

Formulele aplicate n aceast problem sunt generale, valabile pentru orice sistem hidraulic. Pe msur ce lungimea sistemului hidraulic crete, pierderile de sarcin locale i termenii cinetici au pondere din ce n ce mai mic n relaia (2.3).

Pentru sistemul de conducte, dac pierderile de sarcin locale reprezint mai puin de 2% din pierderile de sarcin totale (locale + distribuite) se poate utiliza o schem simplificat de calcul. ntr-o asemenea situaie, se numete sistem lung de conducte i se pot neglija termenii cinetici i pierderile de sarcin locale, ecuaia energiei devenind:

21

22

11

dhp

Zp

Z . (2.8)

33

n consecin liniile caracteristice se reduc la reprezentarea liniei piezometrice. Pentru pierderile de sarcin distribuite se recomand folosirea formulelor de tip Chzy ([1], 2.7.3):

2

2

K

Qhd , (2.9)

n care: RACK se numete modul de debit; (2.10)

P

AR raza hidraulic;

6/11 Rn

C coeficientul de rezisten Chzy (2.11)

(n formula (2.11), R se introduce n m i rezult C n /sm0,5 ). Coeficientul de rugozitate n este dat n tabelul 2.2 din [5], iar pentru conducte

circulare se pot obine valorile modulului de debit K din [5], tabelul 2.1 Schema simplificat (pentru sisteme lungi de conducte) se aplic pentru

lungimi ale liniilor de curent mai mari de 100 m, convenional, i permite rezolvarea unor sisteme mai complicate ca alctuire.

PROBLEMA 2.2

Pentru sistemul de conducte din figura 2.4 se cunosc caracteristicile tronsoanelor 1 i 2 ( m401 , mm2001 D , m802 , mm1502 D , 0125,0n ),

nlimile m21 h , m82 h i presiunea la manometrul M ( bari5,10 p ).

Se cere: 1) S se traseze liniile caracteristice; 2) S se determine debitul sistemului de conducte.

Rezolvare

1) innd seama de datele problemei este necesar s se stabileasc sensul de curgere a apei. Se determin cotele piezometrice din seciunile A i B i, evident, apa va curge de la cota mai mare ctre cota mai mic.

Fig. 2.4 Notnd PR planul de referin, se obine:

m30,17108,9

105,12

3

50

1

ph

pZH

AA ;

m82

h

pZH

BB .

34

Sensul de curgere va fi de la seciunea A la seciunea B.

Lungimea fiecrei conducte este mai mic de 100 m, dar lungimea total este

mai mare de 100 m, deci se poate folosi relaia de calcul pentru sisteme lungi de

conducte.

Liniile caracteristice sunt trasate n figura 2.5. n comparaie cu figurile 2.2 i 2.3

simplificrile sunt evidente.

Fig. 2.5

2) Calculul debitului se face aplicnd ecuaia (2.8) ntre seciunile A i B:

BAdB

BA

A hp

Zp

Z

;

2120

1 dd hhhp

h

.

Cu datele problemei, din anexa 5, se obin modulele de debit pentru cele dou

tronsoane:

s/1,3411 K ; pK /4,1582 .

innd seama de relaia (2.9) se obine:

222

22

121

21

20

1 K

Q

K

Qh

ph

.

n aceast relaie, necunoscutele sunt 1Q i 2Q .

Din ecuaia de continuitate n seciunea C, rezult:

21 QQ .

nlocuind valorile numerice se obine:

s/31,5121 QQ .

NOT: Pentru problemele care urmeaz se vor da numai indicaii de rezolvare, fiind propuse att probleme cu sisteme scurte de conducte, ct i probleme cu sisteme

lungi de conducte.

35

PROBLEMA 2.3

Dou rezervoare cu nivel liber sunt legate printr-o conduct de diametru D = 200 m, conform schemelor din figurile 2.6 i 2.7.

Se cere: 1) S se traseze liniile caracteristice; 2) S se determine debitele;

3) S se calculeze presiunile din seciunea P n cele dou variante.

Se vor rezolva ambele variante, subliniindu-se asemnrile i deosebirile.

Fig. 2.6

Fig. 2.7

36

Se cunosc:

m31 ; m52 ; m43 ;

m61 h ; m102 h ; m23 h .

Indicaii de rezolvare

Sisteme scurte de conducte. n ambele variante lungimea total a sistemului

este aceeai m2832211 hh , diferena de cot piezometric ntre A i B este aceeai m412 hh , iar pierderile de sarcin locale i distribuite sunt la fel.

Liniile caracteristice sunt desenate n figurile 28,a i 28,b pentru cele dou variante.

a.

b.

Fig. 2.8

37

Considernd coeficienii de rezisten pentru pierderile de sarcin locale:

5,01 ; 02,15432 ; 05,16

(pierderea de sarcin la intrarea n rezervor este egal cu termenul cinetic 6 ),

se aplic ecuaia energiei (2.3) ntre seciunile A i B; pentru cele dou scheme,

rezult viteza apei m/s75,2V i debitul s/4,86 Q .

Liniile caracteristice sunt identice i debitele sunt egale.

Diferena ntre cele dou probleme apare n calculul presiunii n seciunea P.

n prima variant, linia piezometric este mai jos dect axul conductei, deci presiunea

n seciunea P va fi mai mic dect presiunea atmosferic. Se aplic ecuaia energiei

ntre seciunile P i B:

n varianta din figura 2.8,a:

g

V

D

h

g

Vh

g

Vph P

222

232

2

6543

2

2

;

62,19

75,2

2,0

14034,0

62,19

75,205,102,12

62,19

75,205,110

222

Pp

;

apcolm92,7

Pp ;

n varianta din figura 2.8,b:

g

gV

D

h

g

Vhh

g

VpP

2

2

22

231

2

65421

2

;

apcolm44,9

Pp .

n prima variant, teoretic, dac apcolm10

Pp , n seciunea P ar fi vid.

n practic, pentru a nu se produce cavitaie trebuie ca:

apcolm7...6

Pp .

n plus, n aceast variant, curgerea este posibil numai dup amorsarea

curgerii, operaie care nseamn umplerea conductei cu ap.

n a doua variant nu exist limite ale presiunii n seciunea P i nu este nevoie

de amorsarea curgerii.

Este interesant faptul c prin calculul debitelor nu se remarc nici o diferen

ntre cele dou variante.

Trasarea liniilor caracteristice i calculul presiunilor minime din sistemele

hidraulice pot introduce restricii de funcionare.

38

PROBLEMA 2.4

Pentru sistemul scurt de conducte din figura 2.9 se cere s se traseze liniile caracteristice i s se calculeze presiunea necesar la manometrul M.

Fig. 2.9

Se cunosc:

m21 h , m0,32 h , m20 ; s20Q ; D = 100 mm;

5,01 ; 4,02 ; 05,13 .

Indicaii de rezolvare

Trasarea liniilor caracteristice va ine seama de modificarea de debit din seciunea 2. Dei diametrul conductei este constant, panta liniilor va fi mai mic pe tronsonul 23 fa de tronsonul 12, deoarece prin scderea debitului la jumtate viteza apei se va reduce la fel.

Scriind ecuaia energiei ntre seciunile i i f i introducnd m/s55,22 3221 VV ,

se obine at476,0Mp .

PROBLEMA 2.5

Pentru sistemul lung de conducte din figura 2.10 se cunosc:

mm1254321 DDDD ; 014,0n ; at4,0Vsp ;

m1601 ; m1202 ; m1503 m1804 ; H = 20 m.

Fig. 2.10

39

Se cere: 1) S se traseze, calitativ, liniile caracteristice; 2) S se determine modulul de debit; 3) S se calculeze debitul pentru fiecare tronson.

Indicaie de rezolvare

Pentru trasarea liniilor caracteristice (fig. 2.11) se va ine seama de presiunea de serviciu la van i de faptul c pierderile de sarcin sunt egale pentru tronsoanele

legate n paralel (32 dd

hh ).

Fig. 2.11

Aplicnd ecuaia energiei pe traseul Vi 421 i, pe traseul Vi 431 ,

prin scderea celor dou relaii se gsete 32 dd

hh . Adugnd ecuaiile de

continuitate n nodurile A i B se obine un sistem de 4 ecuaii cu 4 necunoscute ( iQ ).

Se calculeaz raza hidraulic (R = D/4), coeficientul Chzy

6/1

1R

nC i se

obine modulul de debit:

/sm0895,0 3 RACK .

Rezolvnd sistemul de 4 ecuaii se obine: sQQ /54,1841 ; sQ /79,92 ;

sQ /75,83 .

PROBLEMA 2.6

Pentru sistemul lung de conducte din figura 2.12 se cunosc: H = 12 m;

m1801 ; mm2001 D ; sK /3411 ; m2002 ; mm2002 D ; sK /3412 ;

mm1503 D ; sK /1593 ; m403 .

Se cere: 1) S se traseze. calitativ, liniile caracteristice; 2) S se calculeze debitele pentru fiecare tronson.

Indicaii de rezolvare

Liniile caracteristice sunt trasate n figura 2.13 innd seama c traseele fi 1 i fi 32 sunt independente. Scriind ecuaia energiei pe cele dou trasee se obine:

sQ /06,881 ; sQQ /4,5932 .

40

Fig. 2.12

Fig. 2.13

PROBLEMA 2.7

Pe tronsonul de conduct din figura 2.14 sunt montate dou manometre. Se cunosc:

mm200D ; 0125,0n ; m300 ; bari31Mp ; bari2,12 Mp ; Z = 6 m.

Se cere: 1) S se determine sensul de curgere a apei; 2) S se traseze liniile caracteristice; 3) S se determine debitul pe conduct.

Fig. 2.14

Indicaii de rezolvare

Se calculeaz cotele piezometrice n dreptul celor dou piezometre:

m6,30111

M

p

pZH ; m25,8222

Mp

pZH .

Sensul de curgere a apei este de la seciunea 1 la seciunea 2, iar liniile caracteristice sunt artate n figura 2.15.

41

Fig. 2.15

Se poate calcula panta piezometric (egal cu panta hidraulic) ntre cele dou

seciuni:

0412,021

ppp

HHJJ .

Din anexa 5 se obine modulul de debit sK /1,341 i se calculeaz debitul:

./23,69 sJKQ .

PROBLEMA 2.8

Pentru sistemul lung de conducte din figura 2.16 se cunosc: m1001 ;

mm4001 D ; sK /21661 ; mm30032 DD ; sKK /100632 ; m8002 ;

m5003 ; m422 H ; m503 H ; 32 QQ .

Fig. 2.16

Se cere: 1) S se traseze liniile caracteristice; 2) S se determine debitul pentru fiecare tronson;

3) S se determine presiunea de serviciu la vana 3V .

42

Indicaie de rezolvare

Liniile caracteristice sunt trasate n figura 2.17.

Fig. 2.17

Deoarece 32 QQ , din ecuaia de continuitate rezult 21 2QQ . Aplicnd

ecuaia energiei ntre seciunile i i f, se obine:

sQ /4401 ; sQ /2202 .

Aplicnd ecuaia energiei ntre seciuniel i i 3V , se obine presiunea de

serviciu at191,23Vsp .

PROBLEMA 2.9

Pentru sistemul hidraulic din figura 2.18 se cunosc: cotele mdM551 Z ;

mdM602 Z ; mdM85iZ ; lungimile m2001 ; m3002 ; m15043 ;

diametrele mm2001 D ; sK /3411 ; mm1502 D ; sK /1592 ;

mm10043 DD ; rugozitatea 0125,0n .

Fig. 2.18

Se cere: A. n ipoteza c vana 2V este nchis, iar vana 1V este complet deschis:

1) S se traseze liniile caracteristice; 2) S se determine debitul pe fiecare tronson; 3) S se determine presiunea la vana 2V .

43

B. n ipoteza c vana 2V este complet deschis, iar la vana 1V este o presiune

de serviciu at3,01Vsp (m), se cere:

4) S se traseze liniile caracteristice; 5) S se scrie sistemul de ecuaii din care se pot calcula debitele.

Rspunsuri

La pct. 2): sQQ /8,4621 .

La pct. 3): at123,22Vsp .

Pentru punctele 4) i 5) rspunsurile sunt date de figura 2.19 i prin sistemul de relaii:

323

23

121

21

2 K

Q

K

QZZi ; 42

4

24

323

23

K

Q

K

Q ;

si

p

K

Q

K

QZZ 22

2

22

121

21

1 ;

4321 QQQQ .

Fig. 2.19

PROBLEMA 2.10

Pentru sistemul hidraulic din figura 2.20 se cunosc: (m)at7,0cp ; m5001 ;

mm20021 DD ; 0125,0n ; m3002 ; m5003 ; mm3003 D ; m45AH ;

m35BH ; m20CH .

Fig. 2.20

44

Se cere: 1) S se determine sensul de curgere pe tronsonul 2; 2) S se traseze, calitativ, liniile caracteristice; 3) S se determine debitul pe fiecare tronson; 4) S se determine presiunea de serviciu la van.

Rspunsuri

1) De la B ctre C; 3) sQ /7,641 ; sQ /72,552 ; sQ /4,1203 ;

4) (m)at98,1Vsp .

PROBLEMA 2.11

Pentru sistemul hidraulic din figura 2.21 se cunosc: at1,0Vsp ; m91 H ;

m62 H ; sQ /202 ; sQ /303 ; at05,02 p ; mm2001 D ; m2501 ;

mm1503 D ; m2003 ; m2402 . Modulele de debit sunt date n tabel.

D (mm) 125 150 175 200 250

K ( s/ ) 97,4 158,4 238,9 341,1 618,5 Se cere: 1) S se traseze, calitativ, liniile caracteristice;

2) S se determine presiunea 1p i diametrul 2D pentru asigurarea debitelor

cerute.

Rspunsuri

2) at455,01 p ; mm175/240 22 DsK .

Fig. 2.21

PROBLEMA 2.12

Pentru sistemul hidraulic din figura 2.22 se cunosc: mm2001 D ; m3001 ;

sK /3411 ; mm1502 D ; m3502 ; sK /1592 ; (m)at7,0Mp ; m11 h ;

m5,62 h .

45

Fig. 2.22 Se cere: A. Dac debitul sQA /30 : 1) S se stabileasc sensul de curgere pe tronsonul 2; 2) S se traseze, calitativ, liniile caracteristice; 3) S se determine debitul pe fiecare tronson; 4) S se determine presiunea la seciunea A. B. Ct trebuie s fie debitul AQ , aa ca pe tronsonul 2 debitul s fie nul ?

Rspunsuri

1) Deoarece cota piezometric n rezervorul sub presiune din stnga )m8( PsH este mai mare dect ca a rezervorului cu nivel liber din dreapta

)m5,6( pdH , pe conducta sensul de curgere nu poate fi dect de la rezervor

ctre seciunea A. Dac debitul pe conducta este zero (linia piezometric este

orizontal), pierderea de sarcin pe conducta va fi de 1,5 m, iar debitul pe

tronsonul va fi:

shd

KQ /11,24111

.

Deoarece debitul sQA /30 , rezult c o parte din acest debit trebuie s vin din rezervorul din dreapta, iar cota piezometric n A va fi mai joas dect n rezervor.

3) sQ /85,251 ; sQ /15,42 ; 4) aA Pp 61446 .

B) sQA /11,24 .

PROBLEMA 2.13

Pentru instalaia de pompare din figura 2.23 se cunosc: /sm065,0 3Q ;

m30a ; m6gah ; m1300r ; m36grh ; %67 .

Se cere: 1) S se traseze, calitativ, liniile caracteristice; 2) S se determine diametrul conductei de aspiraie, dac se admite o nlime

vacuumetric apcolm7vacH , iar coeficienii de rezisten 10sorb

i 2cot .

3) S se determine, prin calcule tehnico-economice, diametrul conductei de refulare.

46

Fig. 2.23

Indicaii de rezolvare (vezi [1], 3.3.6)

1) Liniile caracteristice se traseaz considernd conducta de aspiraie ca scurt, iar conducta de refulare ca lung.

2) Se dau valori diametrului aD i se calculeaz

Pvac

ppH at , astfel ca s

se obin o valoare ct mai apropiat de 7 m. 3) Pentru calcule tehnico-economice se vor folosi urmtorii indicatori:

costul energiei electrice: lei/kwh30,0ec ;

timpul de funcionare: ore/an6000ft ;

durata de recuperare a investiiei: ani5rt ;

costul conductei este dat n tabelul 2.1.

Tabelul 2.1

D (mm) 100 150 200 250 300 350 400

ic (lei/m) 95 156 219 286 333 410 509

Se dau valori diametrului rD , se calculeaz costul investiiei, pierderile de

sarcin pe refulare, puterea pompei, costul energiei electrice. Se traseaz graficele costurilor n funcie de diametru. Se alege diametrul ce conduce la cheltuieli anuale minime.

Rspuns

2) mm300aD ; 3) mm300rD pentru cheltuieli anuale de 170.000 lei/an.

*

* *

COMENTARIU Inginerii n specialitatea CFDP vor avea mai puin de proiectat i dimensionat sisteme de conducte. Totui, trebuie s aib un minim de cunotine, care s le permit ca mcar situaiile simple s le poat rezolva cu fore proprii.

Un al doilea motiv pentru care s-a introdus acest capitol este faptul c aplicarea relaiilor generale ale micrii lichidelor are cele mai clare condiii pentru sistemele hidraulice sub presiune (micarea uniform i permanent, contururi rigide etc.).

47

3.

CALCULUL SISTEMELOR HIDRAULICE

CU SUPRAFA LIBER

PROBLEMA 3.1

S se dimensioneze rigola pentru scurgerea apelor pe marginea unui drum,

cunoscnd debitul transportat /sm500,0 3Q , panta terenului %4i i faptul c

rigola este protejat cu pereu din piatr spart.

Rezolvare

Se va considera micarea apei pe rigol ca fiind uniform, astfel nct panta

hidraulic din formula Chzy se poate lua egal cu panta canalului: iJ .

Rezult: viteza medie pe seciune RiCv (3.1)

debitul RiACAvQ . (3.2)

n aceste relaii A este aria seciunii vii a canalului, R este raza hidraulic

( PAR / ), P este perimetrul udat (contactul cu pereii solizi).

Coeficientul C introdus de Chzy se poate calcula utiliznd mai multe

relaii, asupra crora se vor face unele comentarii:

a) relaia Pavlovski:

yRn

C1

(3.3)

n care: 10,075,013,05,2 nRny ; n este coeficient de rugozitate (anexa 2).

Este apreciat ca cea mai corect i complet relaie de calcul ([4], pag. 377), iar pentru simplificarea calculelor se recomand utilizarea diagramei din [5], pag. 66;

b) relaia Manning:

6/11 Rn

C . (3.4)

este mai simpl i se recomand pentru calculele curente;

c) relaia Bazin:

R

C

1

87 (3.5)

se recomand mai ales pentru cursuri naturale de ap [2]. n aceast relaie este un coeficient de rugozitate pentru care s-au dat valori

ntr-un numr relativ redus de cazuri ([4], pag. 376).

48

d) relaia Ganguillet Kutter:

R

n

i

inC

00155,0

231

00155,0123

(3.6)

este recomandat pentru calculul canalelor de seciuni mari i cu pante mici

0005,0i [2].

n toate formulele, R se introduce n metri i rezult C n s/m 5,0 . Avnd n vedere aceste observaii, se vor folosi n continuare relaiile Manning

i Pavlovski. Pentru pereul din piatr spart se poate lua coeficientul de rugozitate

225,0n (anexa 2), precum i viteza medie admisibil pe canal de 2,5 m/s (anexa

7c). Pentru aceast vitez, aria seciunii vii necesar se obine din relaia:

2m200,05,2

5,0

v

QA .

ntr-o prim etap se vor propune mai multe forme de seciuni, toate avnd

aria 2m200,0A (fig. 3.1).

Legend: Pentru fiecare desen din acest capitol linia notat reprezint orizontala.

Fig. 3.1

Varianta A: seciune dreptunghiular de lime m4,0b impus de utilajul cu

care se execut sptura. Rezult m5,00 h .

Varianta B: seciune dreptunghiular ce respect condiia de optim hidraulic:

hb 2 ([5], pag. 95). Rezult m63,0b ; m32,00 h .

Varianta C: seciune trapezoidal ce respect condiia de optim hidraulic:

mmhb 212 ([5], pag. 95).

Pentru nclinarea taluzului 1m , dat de consolidarea albiei, rezult m28,0b ;

m33,00 h .

Varianta D: seciune triunghiular cu taluzele 5,11 m i 12 m . Rezult

m4,00 h .

Varianta E: seciune semicircular. Rezult: m71,0D .

49

n a doua etap se calculeaz capacitatea de transport utiliznd formula (3.2) n care:

pentru seciune dreptunghiular:

0hbA ; ;2 0hbP (3.7)

pentru seciune trapezoidal:

00 )( hmhbA ; 2

0 12 mhbP ; (3.8)

pentru seciune triunghiular:

21202

1mmhA ;

2

2210

11 mmhP ; (3.9)

pentru seciune semicircular:

;8

2DA

2

DP

(3.10)

Coeficientul Chzy s-a calculat cu formula Manning (3.4), iar calculele sunt prezentate n tabelul 3.1.

Tabelul 3.1

Varianta A

(m2) P

(m) R

(m) C

(m0,5/s) Q

(m3/s) V

(m/s) Observaii

A 0,200 1,4 0,143 32,1 0,485 2,42

B 0,202 1,27 0,159 32,7 0,527 2,60

C 0,201 1,21 0,165 32,9 0,539 2,68

D 0,200 1,28 0,156 32,5 0,515 2,58

E 0,198 1,12 0,177 33,3 0,555 2,80

Aceeai arie a seciunii nseamn volume egale de sptur, ns capacitatea

de transport va fi diferit n funcie de forma seciunii, verificndu-se observaiile din [5] pagina 95.

Debitul cel mai mare curge pe rigola semicircular, care ns este ceva mai dificil de realizat n practic. Urmeaz variantele C i B, cu seciuni ce respect condiia de optim hidraulic. Diferenele se explic prin valorile diferite ale perimetrului udat i, deci, ale razei hidraulice.

Apar astfel unele rezerve n ce privete capacitatea de transport, dar i posibilitatea de apariie a unor viteze medii mai mari dect cele admise iniial. Alegerea variantei se va face dup criterii hidraulice (capacitatea de transport, viteze medii ale apei), dar i dup criterii economice (utilaje i materiale disponibile).

Panta canalului este relativ mare, motiv pentru care se va verifica posibilitatea formrii curentului de ap aerat pe canal, situaie n care capacitatea de transport este diminuat.

Dup indicaiile din [4] pagina 529, aerarea se produce dac panta canalului

depete o valoare 0i :

0834,000784,0

Rii . (3.11)

50

Pentru varianta C: m165,0R i 091,00 i .

Deoarece panta %1,9%4 0 ii nu se va produce aerarea, fapt verificat i

prin indicaia din [2], pagina 394, unde se spune c aerarea apare pentru pante ale canalului mai mari de 10%.

PROBLEMA 3.2

S se verifice capacitatea de transport pentru cele dou seciuni din figura 3.2.

Se cunosc adncimea apei n micare uniform m3,20 h , panta canalului 0002i ,

m5,11 h , m5,01 b , m5,12 b , m2b , m1m .

Fig. 3.2

Se cunosc coeficienii de rugozitate (anexa 2):

014,01 n pereu din dale de beton;

020,02 n pavaj din bolovani.

Rezolvare

Seciunea A este unitar, ns suprafaa perimetral a albiei are rugoziti diferite. Viteza medie se calculeaz folosind un coeficient de rugozitate echivalent ntregii seciuni, care se poate determina cu relaia:

0154,0

12

12

20

2012

mhb

mhnbn

P

Pnn

i

ii

.

Debitul se determin cu relaia (3.2):

200 m9,9)( hmhbA ;

m5,812 20 mhbP ;

m17,1R ; /sm8,66)17,1(0154,0

1 0,561 C ; /sm32 3Q .

Seciunea B nu este unitar, vitezele medii vor fi diferite n cele dou pri ale albiei i calculele se fac separat:

pentru partea de albie protejat cu pavaj din bolovani:

22101011111 m12,6)(

2

1))(2()( hhmhhmhbhmhbA ;

51

m88,511 202

11 mhmhbP ;

mR 04,1 ; smC /1,50)04,1(020.0

1 5,06/1 ; /sm14 3' Q ;

pentru partea de albie protejat cu dale de beton:

2210102 m52,1)(

2

1)( hhmhhbA ;

m63,21)( 2102 mhhbP ; m578,0R ;

s/m3,65)578,0(014,0

1 5,06/1 C ; /sm38,3 3" Q .

Debitul total prin seciunea B va fi suma celor dou debite, deci: /sm38,17 3Q .

PROBLEMA 3.3

Pe un canal de pant 00

01i curge debitul /sm2 3Q . Canalul este betonat

)014,0( n i poate fi executat n trei variante:

Varianta A: seciune dreptunghiular cu limea m5,1b ;

Varianta B: seciune trapezoidal avnd limea la fund m5,0b i nclinarea

taluzelor 5,1m ;

Varianta C : seciune circular cu diametrul m5,1D .

Se cere: 1. S se calculeze adncimile normale n micare uniform; 2. S se stabileasc regimul de micare pe canal n cele trei variante.

Rezolvare

Varianta A: seciune dreptunghiular. 1. Adncimea normal se determin dup indicaiile din [5], pagina 93, dndu-

se valori pentru adncimea h i trasnd graficul )(hfQ . Utiliznd formulele (3.7),

(3.4) i (3.2) se ntocmete tabelul 3.2.

Tabelul 3.2

h (m)

A (m2)

P (m)

R (m)

C (m0,5/s)

Q (m3/s)

Observaii

1 1,5 3,5 0,43 62 1,92

1,1 1,65 3,7 0,445 63 2,19

1,05 1,57 3,6 0,437 62,5 2,045

Se atrage atenia asupra felului cum se aleg valorile lui h , pentru rezolvarea

problemei cu volum minim de calcule: prima valoare este arbitrar, apoi se compar

debitul calculat /s)m92,1( 3 cu debitul dat /s)m2( 3 , stabilindu-se dac este necesar

micorarea sau mrirea adncimii h . Se traseaz graficul din figura 3.3 din care se obine m025,10 h .

52

Fig. 3.3

2. Regimul de micare se poate stabili prin mai multe criterii expuse n [5]

pagina 101.

Criteriul adncimii necesit compararea lui 0h cu adncimea critic crh .

Pentru seciune dreptunghiular 32

g

qhcr

, n care m/sm333,1 3

b

Qq ;

1,1 .

Rezult m59,0crh i deoarece crhh 0 , regimul de micare este lent.

Criteriul Froude necesit calculul numrului hg

2 VFr .

Deoarece m/s28,1025,15,1

2

A

QV ; m025,10 hh , rezult 1161,0Fr ,

deci regim lent de micare.

Criteriul pantei necesit calculul pantei cri care corespunde unei micri

uniforme avnd n vedere adncimea normal egal cu adncimea critic m)59,0( crh .

Pentru aceast adncime, modulul de debit RACK va fi:

2m886,0A ; m68,2P ; m33,0R ; /sm5,590,5C ;

/sm3,30 3crK .

Panta critic rezultat: 00436,02

2

cr

crK

Qi .

Deoarece panta canalului crii , regimul de micare este lent.

Varianta B seciune trapezoidal.

1. Adncimea normal se determin cu ajutorul tabelului 3.3 n care s-au

folosit formulele (3.8), (3.4) i (3.2).

53

Tabelul 3.3

h (m)

A (m2)

P (m)

R (m)

C (m0,5/s)

Q (m3/s)

Observaii

1 2 4,1 0,489 63,5 2,81

0,8 1,36 3,38 0,403 61,5 1,68

0,9 1,665 3,74 0,445 63 2,21

Cu aceste date s-a trasat graficul din figura 3.4 din care se obine m85,00 h .

Fig. 3.4

2. Pentru stabilirea regimulul de micare se vor folosi criteriul adncimii i

criteriul Froude: Adncimea critic se determin cu ajutorul relaiei:

g

Q

B

A

crh

23 , (3.12)

trasnd graficul )(3

hfB

A .

Se calculeaz 52

m45,08,9

41,1

g

Q, apoi se dau valori lui h , se determin

mhbB 2 i B

A3 (tab. 3.4).

Tabelul 3.4

h (m)

B (m)

A (m2) B

A3

(m5)

Observaii

1 3,5 2 2,29

0,5 2 0,625 0,122

0,7 2,6 1,085 0,493

54

Din graficul din figura 3.5 rezult m67,0crh .

Fig. 3.5

Deoarece crhh 0 , regimul de micare este lent.

Criteriul Froude. Pentru adncimea normal m85,00 h , se calculeaz:

200 m54,1)( hmhbA ;

m08,32 0 mhbB ;

m/s3,1;m5,0 A

QV

B

Ah .

Rezult:

137,0Fr2

hg

V, deci regim lent de micare.

Varianta C seciune circular D = 1,5 m. 1. Determinarea adncimii normale se face dup [5] pagina 98. Pentru seciune plin i micare uniform:

22

m765,14

D

A ; m71,4 DP ; R = 0,375 m;

smC /7,60)375,0(014,0

1 5,06/1 ;

/sm08,2 3 RiACQp .

Rezult: 96,008,2

2

pQ

Q, iar din diagrama din anexa 6b se obine 8,00

D

h

deci .m2,10 h

2. Criteriul adncimii se aplic calculnd crh cu relaia (3.12). Aria, perimetrul

udat i oglinda apei n funcie de gradul de umplere h/D se dau n anexa 6a.

55

Cunoscnd c 52

m45,0

g

Q, se ntocmete tabelul 3.5.

Tabelul 3.5

D

h h

(m) 2D

A A

(m2) D

B

B

(m) B

A3 Observaii

0,5 0,75 0,392 0,884 1 1,5 0,46

0,4 0,6 0,295 0,664 0,98 1,47 0,200

0,45 0,675 0,32 0,72 0,9 1,485 0,252

Se traseaz graficul din figura 3.6 i se obine m.74,0crh

Deoarece crhh 0 , regimul de micare este lent.

Fig. 3.6

Numrul Froude se calculeaz pentru adncimea m,2,10 h astfel:

8,00 D

h;

din anexa 6a:

22 m52,1674,0 DA ;

m2,18,0 DB .

Se calculeaz m26,1B

Ah ; m/s32,1

A

QV i rezult:

115,0Fr2

gh

V, deci regim lent de micare.

Calcule de acest fel intervin frecvent n dimensionarea i verificarea podeelor

tubulare de seciune circular.

56

PROBLEMA 3.4.

Pe canalele de seciune dreptunghiular (varianta A) i trapezoidal (varianta B) din problema 3.3 se realizeaz trepte de nlimi mari.

Se cere s se stabileasc forma suprafeei libere n amonte de aceste trepte i s se calculeze lungimile curbelor de remu ce se formeaz.

Rezolvare

Varianta A este un canal de seciune dreptunghiular pentru care se cunosc din problema precedent:

m5,1b ; 014,0n ; i = 1 ; Q = 2 m3/s ; 0h 1,025 m ; crh 0,59 m.

Amenajarea n trepte se utilizeaz curent n corectarea torenilor sau n realizarea rigolelor de colectare i evacuare a apelor ce nsoesc cile de comunicaie, n zonele cu pante mari ale terenului.

n amonte de treapt, la o distan suficient de mare, adncimea apei este 0h

adncimea normal n micare uniform. Adncimea apei deasupra treptei nu este impus de canal. Curentul de ap

se aranjeaz astfel nct s pstreze energia specific minim necesar curgerii (principiul Belanger) i este tiut ([5], pag. 100) c acestei valori a energiei i

corespunde adncimea critic crh . Msurtori mai exacte au artat c n seciunea

de capt adncimea apei este ceva mai mic dect cea critic, astfel c crh apare n

amonte la o distan de (3...4) crh .

Fig. 3.7

Racordarea ntre adncimile 0h i crh (fig. 3.7) se face prin curb de tip b

(format ntre nivelurile normal N i critic C) i cu indice 1 (deoarece crhh 0 ).

Discuia asupra formei acestei curbe se face n [5], 4.3.2., artndu-se c se apropie asimptotic de nivelul normal i perpendicular la nivelul critic.

Calculul lungimii curbei de remu se poate face cu metoda Bahmetev pentru c albia este prismatic ([5], 4.3.3).

Formula de calcul este:

)1()2(1120 ji

hs , (3.13)

57

n care: 0h

h adncimea relativ;

2

21 hhh

adncimea medie;

F

B

g

Cij

2

; B oglinda apei, P perimetrul udat i C coeficientul Chzy,

calculate pentru h .

),()( xf funcie dat n anexa 10;

x indice hidraulic al albiei, din anexa 9, pentru seciunea dreptunghiular,

2

66,233,3

h

bx .

n cazul problemei de rezolvat:

adncimea m59,02 crhh ;

adncimea m1m025,001 hh (curba se apropie asimptotic de nivelul

normal, deci dac se ia 01 hh rezult lungime infinit a curbei de remu).

Calculele sunt prezentate n continuare:

m.795,02

59,01;575,0

025,1

59,0;975,0

025,1

121

h

m387,0;m09,32;m19,1;m5,1 2 P

ARhbPbhAbB ;

/sm6,601 0,56/1 Rn

C ;

33,009,3

5,1

8,9

6,60001,01,1 22

P

B

g

Cij ;

.645,2

2795,0

5,1

66,233,3

x

Din anexa 10, prin interpolri:

;840,1)(645,2

975,01

1

x .618,0)(

645,2

575,02

2

x

Introducnd elementele calculate n relaia (3.13) rezult:

m430840,1618,0)33,01(975,0575,0001,0

025,1s .

Metoda Bahmetev se poate aplica numai albiilor prismatice. Calculele sunt simple. Unele erori de calcul apar n determinarea indicelui hidraulic al albiei i a funciilor din tabele. Pentru calcule mai exacte se poate aplica anamorfoza

logaritmic ([2], pag. 39) i dezvoltrile n serii ale funciilor ([2], pag. 87).

58

O metod mai general, aplicabil pentru albii de seciune oarecare, const n utilizarea ecuaiei sub forma ([2], pag. 118):

sJiHH AA 12 (3.14)

n care:g

VhHA

2

2 ; seciunea 1 este n amonte;

RC

VJ

2

2

este panta hidraulic medie pe tronsonul 1-2 de lungime s .

Aa cum se arat n lucrarea menionat, relaia (3.14) necesit mprirea curbei de remu n sectoare mai scurte, astfel ca utilizarea pantei hidraulice medii pe

sector ( J ) s nu produc erori de calcul prea mari. Aceste sectoare vor fi cu att mai mici cu ct curbura liniilor de curent este mai pronunat.

Se va calcula lungimea curbei de remu ntre adncimile extreme:

pentru m11 h ; 2

1 m5,1A ; m5,31 P ; m43,01 R ; /sm620,5

1 C ;

m/s33,11 V ; m1,11 AH ;

pentru m59,02 h ; 2

2 m885,0A ; m68,22 P ; m33,02 R ;

/sm2,59 0,52 C ; m/s26,22 V ; m876,02 AH ;

valorile medii vor fi:

m/s79,12

21

VV

V ; /sm6,60 0,5C ; m38,0R ; 00229,02

2

RC

VJ ;

rezult lungimea:

m175

00229,0001,0

100,1876,012

Ji

HHs

AA.

Acest rezultat difer mult de cel obinut prin metoda Bahmetev. Pentru lungimea curbei de remu mprit n 4 tronsoane, alegndu-se

adncimile intermediare de calcul de 0,9-0,8-0,7 m, se prezint calculele din tabelul 3.6.

Tabelul 3.6

h (m)

A (m2)

P (m)

R (m)

C (m0,5/s)

V (m/s)

HA (m)

C (m0,5/s)

V (m/s)

R (m)

J s

(m)

1 1,5 3,5 0,43 62 1,33 1,1 61,8 1,407 0,42 0,00123 336

0,9 1,35 3,3 0,41 61,6 1,485 1,023

61,15 1,575 0,398 0,00166 103

0,8 1,2 3,1 0,387 60,7 1,666 0,955

60,5 1,785 0,376 0,0023 40

0,7 1,05 2,9 0,365 60,3 1,905 0,903

59,75 2,082 0,347 0,0035 11

0,59 0,885 2,68 0,33 59,2 2,26 0,876 490 Lungimea total (m)

59

Acest rezultat este n concordan acceptabil cu cel obinut prin metoda

Bahmetev.

Avnd n vedere observaiile de mai sus se recomand utilizarea relaiei

Bahmetev pentru albii prismatice, iar pentru alte forme de albii, ecuaia energiei, care

ns necesit un volum mare de calcule.

Varianta B este un canal de seciune trapezoidal pentru care se cunosc din

problema precedent:

;m5,0b m = 1,5; n = 0,014; Q = 2 m3/s; i = 1; 0h 0,85 m; crh 0,67 m.

Rezolvarea se face ca pentru seciunea dreptunghiular: se formeaz acelai

tip de curb de remu, care se poate calcula prin cele dou metode prezentate.

Diferene apar numai n formulele pentru determinarea elementelor geometrice;

astfel c se las n seama cititorului calculele numerice.

PROBLEMA 3.5

Dac pe canalul din problema 3.3, n variantele A (seciune dreptunghiular) i

B (seciune trapezoidal), se produc salturi hidraulice, se cere s se determine

caracteristicile acestui fel de racordare.

Rezolvare

Varianta A este un canal de seciune dreptunghiular pentru care se cunosc:

;m5,1b n = 0,014; Q = 2 m3/s; i = 1; 0h 1,025 m; crh 0,59 m.

Saltul hidraulic reprezint form de trecere de la regim rapid la regim lent de

micare.

Elementele ce caracterizeaz un salt hidraulic sunt (fig. 3.8):

a) adncimile conjugate 'h i "h respectiv adncimile la intrarea i ieirea

din salt;

b) pierderea de energie n salt rh ;

c) lungimea saltului s .

a) Deoarece pe canal regimul de micare este lent ( crhh 0 ), adncimea "h

va fi egal cu 0h adncimea normal n micare uniform: m025,10" hh .

Seciunea fiind dreptunghiular, adncimea conjudat cu h" se determin cu

relaia ([5], pag. 113):

m27,018

12 3"

2"'

gh

qhh , (3.15)

n care m/sm33,15,1

2 3 b

Qq .

Evident crhh ' , deci regim rapid n seciunea 1.

b) Liniile caracteristice sunt reprezentate n figura 3.8.

60

Fig. 3.8

Linia piezometric LP este suprafaa liber a apei, iar linia energetic LE

se gsete deasupra, cu termenul cinetic g

V

2

2.

Neglijnd diferena de cot datorat pantei canalului, pierderea de sarcin va fi:

g

Vh

g

Vhhr

22

2""

2'' .

Se calculeaz vitezele: m/s95,427,05,1

2

'

'

bh

QV ; m/s3,1" V i rezult

m52,012,164,1 rh .

c) Lungimea saltului se poate determina cu formula din [5], pagina 113:

)( '" hhms ; m = 4...6 (3.16)

i se obine m5,4s .

De remarcat c pe lungimea de 4,5 m se produce o pierdere de sarcin de 0,52 m, ce reprezint 32% din energia n seciunea de intrare n salt.

Saltul hidraulic ce se formeaz este perfect deoarece 2/ '" hh ([5], pag. 111).

Varianta B este un canal de seciune trapezoidal pentru care se cunosc:

;m5,0b m = 1,5 ; n = 0,014; Q = 2 m3/s; i = 1; 0h 0,85 m; crh 0,67 m.

a) La fel ca n varianta A, crhh 0 , adic regim lent n micare uniform. Deci

m85,00" hh , urmnd a se determina h' utiliznd funcia saltului ([5], pag. 112):

gA

QhAh G

2

)( (3.16)

n care, pentru seciunea trapezoidal:

mhb

mhbhhG

23

6 (3.17)

este adncimea centrului de greutate al ariei: hmhbA .

61

Calculele sunt centralizate n tabelul 3.7.

Tabelul 3.7

h (m)

A (m2)

Gh

(m) GhA

(m3) gA

Q2

(m3)

)(h

(m3) Observaii

0,85 1,51 0,323 0,487 0,27 0,757

0,67 1,0 0,258 0,258 0,408 0,666

0,55 0,728 0,218 0,159 0,562 0,721

0,45 0,528 0,182 0,096 0,775 0,871

n graficul din figura 3.9 se pune condiia )()( '" hh i se gsete m53,0' h .

Fig. 3.9

b) Liniile caracteristice sunt cele trasate n figura 3.8. Se calculeaz vitezele medii:

m92,2

''

'

hmhb

QV ; m92,2

''

'

hmhb

QV

m32,1

""

"

hmhb

QV .

Pierderea de energie va fi:

m058,0947,0005,122

2""

2''

g

Vh

g

Vhhr .

Saltul hidraulic ce se formeaz este ondulat 2/ '" hh i pierderea de sarcin este mic.

62

c) Lungimea saltului se calculeaz cu relaia ([5], pag. 113):

'

'"" 415

B

BBhs . (3.18)

Oglinda apei este B = b + 2 mh i rezult:

m09,2' B ; m05,3" B i m7,15s .

PROBLEMA 3.6

Debueul unui pode ntr-o albie de lime mare se poate face dup una dintre

variantele din figura 3.10.

Fig. 3.10

Se cunosc: lumina podeului m4' b , adncimea apei 'h 1,6 m, debitul evacuat

Q = 51,2 m3/s, limea 0B =40 m. Presupunnd c apare salt hidraulic ce ncepe din

seciunea 1, se cere s se determine adncimea de ieire din salt "h .

Rezolvare

Saltul hidraulic ce se formeaz are caracter spaial, se pune deci problema

determinrii adncimilor conjugate n aceast situaie.

Varianta A. Relaia ce leag adncimile conjugate este ([2], pag. 200):

63

12

1

1

12111

12 2

222

1

1'

mm

Fr (3.19)

n care: '

2''

gh

VFr este numrul Froude calculat pentru seciunea 1;

'

"

1b

b raport admis n calculele curente cu valoare unitate;

'2 b

B n care B este limea activ a curentului; n calcule se

admite 2 5...6 pentru 10/'

0 bB i 4...32 pentru

10/ '0 bB ;

'

"

h

h raportul adncimilor conjugate;

m coeficientul puin cunoscut, pentru care n calcule se propune valoarea 0,25.

Lungimea saltului va fi:

'2

1bB (3.20)

Relaiile sunt verificate pentru 4...3/ '0 bB .

Pentru seciunea 1:

''

'

hb

QV 8 m/s; 1,4

'

2''

gh

VFr (se verific astfel regimul rapid din

seciunea 1: ).1' Fr

Deoarece 10/ '0 bB se va admite 52 .

nlocuind valorile cunoscute n relaia (3.19) se obine:

5,1

1

25,1

121451

12,82

2 .

Rezolvarea se face prin ncercri i rezult 61,1'

"

h

h; m58,2" h .

Lungimea saltului hidraulic va fi m8)420(2

1 .

Calculele fcute considernd micarea plan sunt acoperitoare 121 .

Varianta B. Albia dreptunghiular ce se lrgete treptat trebuie s aib

0115

1tg , pentru a nu se produce deslipirea curentului de ap de pereii laterali.

Relaia de calcul pentru adncimi conjugate este:

1114 2111' Fr (3.21)

64

n care: '

"

1b

b ;

'

"

h

h ;

'

2''

gh

VFr .

Dac se admite 8/1tg , limea:

tg2 ''" sbb (3.22)

unde 's este lungimea saltului hidraulic spaial:

tg1,0'

''

s

ss

b

b

(3.23)

n care s este lungimea saltului n condiii plane, ce se poate determina n funcie

de caracteristicile micrii din seciunea 1 cu relaia:

81,0'' 13,10

Frhs . (3.24)

nlocuind valorile numerice rezult, n ordine:

m/s8''

' hb

QV ; 1,4

'

2''

gh

VFr ; s 8,42 m;

's 8,2 m;

"b 6,05 m; 51,1'

"

1 b

b.

Relaia (3.21) devine:

151,215,1151,14,16 2 , care se rezolv prin ncercri, obinndu-se 39,2 ; .m83,3'" hh

PROBLEMA 3.7

Pe un canal cu limea B = 40 m se construiete un deversor cu nlimea

p = 4 m ctre amonte i 1p 6 m ctre aval. Deversorul are dou deschideri de cte

10 m fiecare, iar culeele i pila sunt rotunjite (fig. 3.11,a). Se cunoate cheia debitelor din aval, dat n tabelul 3.8 i n figura 3.11,b.

Tabelul 3.8

avh

(m) 5,4 5,5 5,75 6,0 6,25 6,5 6,75 7

Q (m3/s)

10 15 28 44 60 80 102 120

n seciune, deversorul poate avea urmtoarele forme: varianta A deversor cu profil practic CreagerOfierov; varianta B deversor cu perete gros, cu profil trapezoidal, cunoscndu-se

m1c ; 01 m ; 22 m ;

65

varianta C deversor prag lat avnd c = 5,00 m i muchia din amonte rotunjit; varianta D deversor prag lat avnd c = 5,00 m i muchia din amonte dreapt.

Fig. 3.11,a Fig. 3.11,b

Rezolvare

Formula general pentru calculul deversorului dreptunghiular de lungime b este:

2/30

2 HgmbQ , (3.25)

n care: m este coeficient de debit, iar:

g

VHH

2

20

0

(3.26)

este sarcina deversorului innd seama i de termenul cinetic. Coeficientul de debit este influenat, n principal, de urmtoarele elemente:

forma seciunii deversorului ( 0m );

contracia lateral ( ); necarea ( );

viteza de acces n amonte de deversor.

De ultimul factor se ine seama prin folosirea sarcinii 0H , iar de ceilali prin

relaia:

0mm . (3.27)

Varianta A e