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E S C O A M E N T O E M C A N A I S 445
10.5 E S C O A M E N T O C O M P R O F U N D I D A D E N O R M A L : E S C O A M E N T O U N I F O R M E
O escoamento plenamente desenvolvido e m u m canal prismático (canal c o m declividade e seção transversal constantes), com profundidade, y„ constante, denomina-se escoamento com profundidade normal o u escoamento uniforme. A declividade do fundo do canal , ou do lei to , é notada por Sb e, por hipótese, é pequena. Para analisar este escoamento, admitimos que ele seja uni forme e m todas as seções transversais e aplicamos as equações básicas ao volume de controle da F i g . 10.9.
Fig. 10.9 Volume de controle c coordenadas usados para analisar escoamentos com profundidade normal.
10.5.1 E q u a ç õ e s básicas
a. Equação da continuidade
Equação básica:
= 0(1)
d A
Hipóteses: (1) Escoamento permanente (2) F l u i d o incompressível (3) Escoamento uniforme (4) Profundidade normal , yí = y2 = yn
A equação da continuidade fornece
0 = - I P M . I + I P M J
C o m o A, = A2, segue-se que
b. Equação da quantidade de movimento
Equação básica:
Vi- v,
= P ( 1 )
Fe + F. = =íLupdv+í updV + upV-dÃ
(4.13)
(4.19a)
Hipóteses: (5) Distribuição hidrostática das pressões
(6) Decl iv idade pequena, 6 — sen 0 — tg 8 = Sb
C o m o o escoamento se faz c o m profundidade constante e velocidade uni forme, a quantidade de m ovi m ento do f luxo através da superfície de controle é zero . A força de pressão no volume de controle, na direção
446 I N T R O D U Ç Ã O À M E C Â N I C A D O S F L U I D O S E S C O A M E N T O E M C A N A I S 447
x, é nula porque a distribuição das pressões é hidrostática. A componente x da força de massa é a componente do peso do líquido no volume de controle na direção x. A s s i m , a equação da quantidade de movimento reduz-se a
- F , + Wsen 0 = 0
sendo n o coeficiente de rugosidade c o m valor diferente para cada t ipo de rugosidade das paredes. C o m esta expressão de C, a velocidade d o escoamento com profundidade normal escreve-se
(10.34)
e a vazão em volume calcula-se por
Ff = WsenO (10.28)
A força de atrito pode ser expressa pelo produto da tensão tangencial na parede, t pela área do canal em que esta tensão atua. A E q . 10.28 mostra que, para o escoamento com profundidade normal a componente da força de gravidade que produz o movimento é equil ibrada pela força de atrito a luando nas paredes do canal.
c. Equação da energia
A equação da energia para o escoamento em canal foi estabelecida na Seção 10.3
(10.10)
Para o caso de profundidade normal , y, = y2 = y „ e V, - V2. Então, da E q . 10.10, temos
h, = z , - z2 = LSb (10.29)
Para o escoamento com profundidade normal , a perda de carga devida ao atrito é igual à variação da cota do fundo do canal. A energia específica, E, permanece constante em todas as seções normalmente ao leito A l inha de energia, a linha de carga efetiva e o fundo do canal são paralelos.
10.5.2 F ó r m u l a de Manning para a velocidade '
N a prática os escoamentos em canais são, invariavelmente, turbulentos. C o m o não existe uma fórmula simples relacionando a tensão tangencial com o gradiente de velocidades, somos obrigados a lançar mão de correlações empíricas. C o m o no caso do escoamento turbulento plenamente desenvolvido em tubos a perda de carga pode ser expressa em função de u m fator de atrito ( E q . 8.32). Para aplicá-la ao escoamento e m canal o diâmetro D é escrito em termos do raio hidráulico (D = 2R = 4/?„) e a perda de carga é expressa em perda por unidade de peso (h, tem dimensão de um comprimento) . A s s i m , para escoamento em canal
4R„ 2g
D a E q . 10.29, hJL = e a velocidade, para escoamento com profundidade no rma l ,
(10.30)
(10.31)
Para a maior ia dos escoamentos em canais, o fator de atrito é função apenas da rugosidade das paredes-independe do número de Reynolds . Isto é análogo ao regime plenamente rugoso do escoamento turbulento em tubos. Para dada rugosidade, a E q . 10.31 pode ser assim escrita
r = W ' < * i » (10.32)
A E q . 10.32 é conhecida como equação de Chezy . M a n n i n g determinou os valores empíricos de C da E q 10.32, tendo sugerido que
(10.33)
D2/3Ç1/2 Q = Á V = ! l t ^ A (10.35)
A Tabela 10.2 fornece os valores de n para algumas superfícies típicas. Estes valores de n , tomados como adimensionais (o que não são; da E q . 10.34 vemos que as dimensões de n são L'mt), foram baseados nas unidades do SI S .
O relacionamento entre as variáveis da E q . 10.35 pode ser considerado de vários modos .
Tabela 10.2 Valores do coeficiente de rugosidade de M a n n i n g , n, para algumas paredes de canais
T i p o de parede V a l o r de
rr"
Lucila, vidro ou plástico 0,010 Madeira ou concreto liso 0,013 Concreto mal-acabado, tijolos bem assentados, tubos de
concreto ou de ferro fundido 0,015 Tubos de aço rebitados ou helicoidais 0,017 Canais de terra lisos e uniformes 0,022 Calhas metálicas corrugadas, canais típicos,
rios livres de grandes pedras e sem muita vegetação 0,025 Canais e rios com muitas pedras e vegetação 0,035
"Veja em (1| uma tabela mais completa.
A vazão em volume e m canal prismático de decl ividade e rugosidade dadas é função do tamanho e da forma do canal . Isto está ilustrado no Exercíc io 10.4. Para um escoamento especificado e m canal prismático de declividade e de rugosidade conhecidas, a profundidade do escoamento uniforme é função do tamanho e da fo rma do canal . Existe somente u m a profundidade para escoamento uniforme para cada vazão. A profundidade pode ser maior , menor ou igual à profundidade crítica. Isto está ilustrado no Exercício 10.5.
Exerc íc io 10.4 — Enunciado
Pensa-se em canais de seções quadradas e semicirculares c o m declividade 0,001 para conduzir líquidos. A s paredes dos canais são chapiscadas c o m concreto com n = 0,015. A v a l i a r a vazão transportada por estes canais para as dimensões máximas entre 0,5 e 2,0 m . C o m p a r a r os canais em base da vazão e m v o l u m e para dada área da j jeção transversal.
|- S O L U Ç Ã O ^ '
D A D O S : CanãiTÓe seções semicirculares e quadradas. S t = 0,001; n = 0,015 Tamanhos entre 0,5 e 2,0 m.
D E T E R M I N A R : (a) A vazão em função do tamanho (b) Comparar os canais em base da vazão Q versus a seção transversal, A.
RESOLUÇÃO: Aplicar a Eq . 10.35 para o escoamento com profundidade normal em canal longo.
! A s Eqs. 10.34 e 10.35 são válidas pata as unidades do SI. E m unidades inglesas o numerador destas equações deve ser multiplicado por (0,3048)"'" ~ 1,49. C o m esta modificação o valor de n pode ser considerado com o mesmo valor numérico em ambos os sistemas de unidade.
448 I N T R O D U Ç Ã O À M E C Â N I C A D O S F L U I D O S
Equação de cálculo:
Para o canal de seção quadrada
P = 3 L , A = L \o Rh = -
Substituindo na Eq. 10.35, temos
Para L = 1 m,
Q =
7 \ ' 3
j ) S t ' 2
' (3 ) 2 ' 3 n L"3
(10
(O.OOl)"2
K i 7 3 7 r T K 7 Í T ( » ) , / J - l , 0 I m J / s (3) 2 ' 3(0,0I5)
Tabulando para a gama dos tamanhos indicados, vem:
L(m) /t(m2) Q(mJ/s)
0,5 1,0 0,25 1,00 0,160 1,01
1,5 2,0 2,25 4,00 2,99 6,44
Para o canal semicircular
n D nD2 n D i 2 D P = -7-. -4 = —-—, então Rh = = _
2 8 8 ;i£> 4
Substituindo na E q . 10.35, vem
Para D = 1 m
(COOl)" 2 *
G = (WWí3) ( l ) = 0 ' 3 2 9 m 3 / s
Tabulando para a gama dos tamanhos enunciados, vem:
c ( m ) 0,5 1,0 1,5 2 0 -4(m2) 0,0982 0,393 0,884 1 57 C(m3/s) 0,0517 0,329 0,969 2,09
Para ambos os canais, a variação da vazão é
C - Lm ou Q ~ A"'
" e f i d e n t e - r ° " " " * 3 ^ ° , r a n s v e r s a l m o s t » V ° c « Ú semicircular é ma
E S C O A M E N T O E M C A N A I S 449
10
Canal semicircular •
Sb = 0 ,001 n = 0,0151
0,5 1,0 2,0 Área d a seção Iransversal, A (m z)
5,0
Exercíc i Enunciado
U m aqueduto elevado deve ser construído c o m aduelas de madeira para transportar água de u m lago de montanha para pequena usina hidrelétrica. O aqueduto deverá transportar (2 = 2 m3/s, com inclinação igual a Sb = 0,002, sendo n = 0,013. A v a l i a r o tamanho do aqueduto (a) para seção retangular c o m y/b = 0,5 e (b) para seção triangular equilátera.
E X E R C Í C I O 10.5 — S O L U Ç Ã O
D A D O S : Aqueduto a ser construído com aduelas de madeira.
Sb = 0,002; n = 0,013; Q - 2,00 m3/s.
D E T E R M I N A R : O tamanho do aqueduto para: (a) Seção retangular com y/b = 0,5. (b) Seção triangular equilátera.
RESOLUÇÃO: Admitir que o aqueduto é longo de modo que o escoamento seja uniforme (profundidade normal). Assim a E q . 10.35 é aplicável.
Equação de cálculo: R2/3C-1/2 .
(10.35)
A escolha da forma do canal fixa a relação entre Rh c A, e a E q . 10.35 pode ser resolvida para a profundidade normal, y„, determinando o tamanho necessário da seção.
(a) Seção retangular
P = 2y. + b; yjb = 0,5
P = 2y, + 2y„ = 4y,
A = y„b = y„(2y„) = 2y, 5><„
450 I N T R O D U Ç Ã O À M E C Â N I C A D O S F L U I D O S
Substituindo na Eq. 10.35, obtemos
Q _ Rl»Sl» a (0,5y.)2"Sl'H2yi) 2(0,5)2'3Sj"yt13
n
0,013(2,00) »Q 3/8
.2(0,5) I / 3SJ'2 |_2(0,5)2/3(0,O02)"2
- 0,748 m
As dimensões necessárias da seção retangular são
>-„ = 0,748 m /l = l , 1 2 m 2
6 = 1,50 m P = 3 ,00m
Também Fr ,
Fr
V _ 0. /t/T* As/gy,
2,00 m 3 1
l , 1 2 m 2 |9,8I m 0,748 i 175" " 0 . « 9
(b) Seçáo triangular equilátera
2y„ P = 2s =
cos 30"
P 4
2 2 cos 30° J Substituindo na Eq. 10.35, vem
Slny* 2 ( 4 ) 2 ' 3 c o s 3 0 ° n
2 ( 4 ) 2 / 3 c o s 3 0 ° n r 2 ] 3 / 8 = f2(4) 2 / 3 cos30°(0,013)(2,00)~[ 3 / 8
(0.002)" 2
2 l 3 / e _ ("2
As dimensões necessárias da seçáo triangular são
y, = 1,42 m P = 3,28 m
= 1,42 m
g 2,0 m 3 1 Também V = — = — x
A s 1,16 m 2
-4 = 1,16 m 2 b, = 1,64 i
i 1,72 m/s
e F r = Wt sJgAjb,
Fr = 1,72 m
9,81 m l , 1 6 m 2 1 " — — x x s 2 1,64 m
ÍT7Í = 0,653
E S C O A M E N T O E M CANAIS 451
Comparando os resultados, vemos que o aqueduto retangular será de construção menos cara; seu perímetro é cerca de 8,5% menor do que o do aqueduto triangular.
Este exemplo mostra o efeito da forma da seçáo no tamanho da seção necessária para conduzir dada vazão em canal com declividade e coeficiente de rugosidade dados. Para Sb e n especificados o escoamento pode I ser suberitico, crítico ou supererítico, tal seja o valor de Q. r
10.5.3 Seções de m á x i m a eficiência
Para dadas declividade e rugosidade, a seção de canal de máxima eficiência requer, para dada vazão, que a área molhada seja mínima. D a E q . 10.35
i = h ò b (10.36) A n
A s s i m a seção transversal ótima é a que possui raio hidráulico, Rh, máximo. C o m o Rk = A/P, Rh será máximo quando o perímetro molhado for mínimo. Resolvendo a E q . 10.36 para A (com Rb = AIP) v e m
A = 3/5
2/5 ei/2
Tabela 10.3 Seções de canais de máxima eficiência
P 2 ' 5 (10.37)
G e o m e t r i a P r o f u n d i d a d e A r e a d a seção S e ç ã o ót ima n o r m a l , yK t r a n s v e r s a l , A
Trapezoidal
Retangular
Triangular
•x = 60"
1 b = 2y„
0,968 Q" sl"
ot = 45° 1,297 1,682 Qn
Fundo plano e largo 77nkmnm^P0mM0$m9m%
Circular
Nenhuma 1,00 (Q/b)n
re«T'8 „JQ"T
D a E q . 10.37, vemos que a área de escoamento será mínima quando o perímetro molhado for mínimo. O perímetro molhado, P, é função da forma da seçáo do canal . Para qualquer canal prismático (retangular,
trapezoidal , triangular, circular e t c ) , a seção pode ser ot imizada. A s seções de máxima eficiência para os canais de formas mais comuns são dadas na Tabela 10.3. A determinação da seção de máxima eficiência para um canal de seção trapezoidal está ilustrada no Exercício 10.6.
Determinada a seção de máxima eficiência, as expressões para a profundidade n o r m a l , y„, e para a área, A, em funçáo da vazão, podem ser obtidas da E q . 10.35. Estas expressões foram incluídas na Tabe la 10.3.
E x e r c í c i o 10.6 — Enunciado
A seção de u m canal trapezoidal deve ser ot imizada de modo a minimizar o volume de escavação, para dada vazão escoando com profundidade n o r m a l . D e t e r m i n a r a razão ótima do comprimento do lado da seçáo para a largura do fundo e o ângulo ótimo do lado c o m a horizontal .
E X E R C Í C I O 10.6 - S O L U Ç Ã O
D A D O S : Canal de seção trapezoidal.
D E T E R M I N A R : (a) Razão ótima entre o comprimento do lado e a largura do fundo,
(b) Ângulo ótimo do lado.
RESOLUÇÃO: Da discussão da Seção 10.5.3, vimos que a forma ótima do canal é obtida quando Rh é maximizado, ou quando P è minimizado, para dada seçáo molhada. A área da seção é
A = by, + L cos 0 L sen 0 y.
Mas L - , logo sen 0
, cos 0 A = by, + yi = by, + y 2 cot f
senfl ( D
O perímetro molhado é
P = b + 2L = b + 2 senfl
A largura do fundo pode ser eliminada usando a E q . 1 para obtermos
A 2y„ P = _ - y „ c o t f l + - ^
yH senfl
Para qualquer ângulo do lado, o perímetro pode ser minimizado derivando-se a E q . 2 em relação a y Assim
dP A 2 = _ _ _ cot d + — - = 0
dyn y„ senti
e
, AsenO y* m 2 — cos 9
(Para o canal retangular, 6 = trtl e A = byn. A E q . 3 torna-se
2 by, b
(2)
(3)
E S C O A M E N T O E M C A N A I S 45:
como indica a Tabela 10.3.) • Para determinar o ângulo ótimo do lado, devemos derivar a E q . 3 em relação a t. Assim
2y, A cos 0 A s en 2 0
- + dB 2-00*8^ (2-cosO)
r c o s e ( 2 - c o s f l ) - s e n 2 9~| _ Q
~ A \ ( 2 - c o s 0 ) 2 J
que se reduz a 2 cos » - 1 = fl, cos « = -y, ou B = 60°
Substituindo na E q . 3, vem
2 - |
Finalmente, substituindo na E q . 1, temos
Z-A^-j. ou A = j 3 y i
/3y„2 - by, + yl - by„ + ^ yl ou 6 = ? fíy. - %
Logo
2y„ senS
= b
Assim a seção trapezoidal de máxima eficiência tem os lados e o fundo do mesmo comprimento e os lados inclinadc de 60° sobre a horizontal. É um semi-hexágono.
10.5.4 Escoamento normal cr í t ico
A E q 10 35 indica que, para dada vazão e m volume através de um canal prismático de rugosidade constantt há somente uma declividade do leito para o escoamento com profundidade normal . Resolvendo a E q . 10.3 para Sb,
(10.3Í-
Se a declividade do fundo do canal for tal que a profundidade n o r m a l , para dada vazão, é exatament igual à profundidade crítica, esta decl ividade é denominada decl ividade crítica. Nota ndo por Sc a decl iv idad crítica vem
' nQ T n\ (10.3Í
D a E q . 10.21, para o escoamento crítico, t iramos
A* b.
E podemos escrever
Sr - (10.4Í
Para u m canal retangular de largura b, c o m b » yc; b, = b; Ac = byc; e R„ - yt. Substituindo na Ec
10.40, temos
454 I N T R O D U Ç Ã O À M E C Â N I C A D O S F L U I D O S
, »29 Sc = T-ÍTT (10.41)
7c
E m termos de profundidade crítica e de declividade crítica,
x y* > Vc! $b < S<- declividade suave (subcrítica) s e >"» = yc: Sb = S<: declividade crítica s e )'„ < yc: Sb > Sc- declividade forte (supercrítica)
E x e r c í c i o 10.7 — Enunciado
Para o escoamento crítico normal em um canal largo e plano, de concreto mal-acabado, plotar a declividade do leito em função da profundidade no intervalo 0,01 m < y < 10 m . C o m p a r a r com a curva correspondente para o escoamenlao- í t ico normal em um canal retangular de máxima eficiência.
E X E R C Í C I O 10 .7 j - S O L U Ç Ã O
D A D O S : Escoamento crítico normal em (a) canal largo e plano e (b) em canal retangular de máxima eficiência de concreto mal-acabado.
D E T E R M I N A R : Plotar Sc versus y c para ambos os casos.
RESOLUÇÃO:
Para concreto mal-acabado, a Tabela 10.2 fornece n - 0,015. Para canal largo aplicar diretamente a E q . 10.41.
Equação de cálculo: S< = z £ (10.41)
yc
Logo
Sc = (0,0I5)2(9,81)>.C- "•> = 0,0022 l y , - " 3 (1)
Para canal retangular de máxima eficiência, começar com a Eq. 10.34 e usar yjb = 0,5 para as condições ótimas. Equação de cálculo: V = R;»SI>2
(10.34)
Para as condições de máxima eficiência, P = b + 2y„ = 4y n , A = by = 2y ! , e
Para o escoamento normal crítico, y„ = y c e V = Vc = \így~e Substituindo na E q . 10.34, vem
K~Jgy,=g,l2y>c • w - w - W / W *
Então
çl/2 _ " g c _ 1 9 ' ( 0 , 5 ) 2 " y ' ' ° ° U ' " (0,5) 4 ' 3 y t '
(2)
E S C O A M E N T O E M C A N A I S 455
Os valores calculados pelas Eqs. 1 e 2 constam da seguinte figura:
0,10
0 ,05
T "» 0 ,02
1 o 0,01
1 | 0 ,005 1 o
0,002
0,001
0,01 0 ,02 0.05 0,10 0,2 0,5 1,0 2 5 10,0
Profundidade crítica, yt (m) Há somente uma inclinação para o escoamento com profundidade normal para cada vazão, cada geometria do canal e cada coeficiente de rugosidade. Se a profundidade normal é crítica, a declividade è como mostrada acima. Comparando as Eqs. 1 e 2 verificamos que, para dada profundidade (e, consequentemente, para a mesma vazão por unidade de largura, porque Vc = Vgy~f) a declividade crítica para o canal retangular é 2,52 vezes maior do que a do canal de fundo largo, em razão do atrito adicional nas paredes.
10.6 E S C O A M E N T O C O M P R O F U N D I D A D E G R A D U A L M E N T E V A R I A D A
Quando o escoamento em canal encontra uma variação na declividade do leito ou aproxima-se da profundidade normal , a profundidade do escoamento varia gradualmente. O escoamento com profundidade gradualmente variada deve ser analisado pela aplicação da equaçáo da energia a um volume de controle diferencial . O resultado é uma equação diferencial que relaciona as variações da profundidade com as distâncias ao longo do escoamento. A equação decorrente pode ser numericamente resolvida se admitirmos que a perda de carga, em cada seção, é a mesma que se verif ica para o escoamento c o m profundidade normal , com iguais velocidade, e raio hidráulico da seção. A profundidade d'água e a cota do fundo, por hipótese, var iam suavemente. C o m o nó caso do escoamento com profundidade normal , admit imos que a velocidade é uniforme e que a distribuição das pressões, e m cada seção, é hidrostática.
A equaçáo da energia ( E q . 10.10) para escoamento em canal fo i aplicada a um volume de controle f inito, na Seção 10.3. Podemos adaptar esta equação ao volume de controle diferencial de comprimento dx, mostrado na F i g . 10.10. A s s i m
'V1' V1 V1
2(7 2g + y + dy + z + dz + dhg
A variação, dz, da cota do leito pode ser expressa em termos de sua decl ividade do seguinte m o d o : dz = —Sbdx. A perda de carga, £<7i„ pode ser expressa em termos de linha de carga efetiva; dh, = 5 dx, em que S é positivo porque a L C E abaixa-se na direção do escoamento.
Datum 1 .
Fig. 10.10 Volume de controle diferencial usado para analisar escoamentos gradualmente variados.