TITULARIZARE 2009

prof. SZEP GYUSZI

HARGHITA

Subiectul I

1. In triunghiul isoscel ABE avem AB = AE si m(A) = 30◦. In exteriorul triunghiului construim triunghiulechilateral BEC. Pe perpendiculara ın punctul B pe dreapta AB consideram punctul D astfel ıncat punctele Dsi E sa fie pe aceeasi parte a dreptei AB si DB = AB. Sa se arate ca:

a) BC ‖ DA;

b) m(∢ECD) = 45◦;

c) triunghiul ADC este isoscel.

2. Se dau expresiile E(x) = sin(

x+π

3

)

sin(

x− π

3

)

si F (x) = sin(π

6+ x)

sin(π

6− x)

.

a) Sa se exprime expresia F (x) ın functie de cosx.

b) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 4E(x)− 2 cosx+ 1 = 0.

c) Stiind ca tanx = −4

3, sa se calculeze valoarea expresiei

E(x)

F (x).

3. Sa se rezolve ın multimea numerelor reale si sa se discute ın functie de parametrulm ∈ R ecuatia x+√m+ x = m.

Subiectul II

1. Fie n ∈ N, n ≥ 3, a0, a1, . . . , an ∈ Z si polinomul f = anXn + an−1X

n−1 + · · ·+ a1X + a0.

a) Sa se arate ca f(1) + f(−1) este numar par.

b) Sa se arate ca daca f(2) si f(3) sunt numere impare, atunci polinomul f nu are nicio radacina ıntreaga.

c) Sa se arate ca polinomul g = X3 −X + 3a+ 1, a ∈ Z, nu poate fi descompus ın produs de doua polinoameneconstante cu coeficienti ıntregi.

2. Fie functia f : R → R, f(x) = x+ e−x.

a) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe intervalul [0,+∞).

b) Sa se arate ca functia f are un singur punct de extrem.

c) Sa se determine numarul solutilor ecuatiei f(x) = m ın functie de parametrul real m.

3. Fie functia f : [0,∞) → R, f(x) =

x lnx

(1 + x2)2, x > 0

0, x = 0.

a) Sa se studieze continuitatea functiei f ın punctul x = 0.

b) Sa se calculeze In =

∫ n

1

f(x) dx, n ∈ N∗ − {1}.

c) Sa se calculeze limn→∞

In.

1

Subiectul III

1. a) Proiectati o unitate de ınvatare la geometrie clasa a VII-a, pentru 8-12 ore. Proiectul sa detalieze continuturileunitatii de ınvatare, obiectivele specifice, activitatile de ınvatare, resursele didactice, evaluarea.

b) Pentru unitatea de ınvatare aleasa la punctul a) formulati 2 itemi obiectivi, un item semiobiectiv si un itemsubiectiv, si formulati obiectivele de evaluare.

c) Pentru fiecare item formulat la punctul b) elaborati baremul de corectare si notare.

2. Elaborati un eseu despre organizarea unei ore alternative (netraditionale) de matematica, care poate fi aplicataıntr-o clasa aleasa de D-voastra ın conditiile sistemului educational romanesc. In cadrul acesteia prezentati maidetaliat momentele importante de pregatire din partea profesorului, avantajele si dezavantajele propriu-zise aleorganizarii orei respectiv problemele ce pot aparea ın aplicarea orei ın practica. Eseul sa nu depaseasca douapagini scrise.

Observatie. In aprecierea eseului se vor lua ın considerare cerintele de continut, respectarea ıntinderii eseului,structura logica, nota personala, creativa si originala precum si forma eseului.

2

CONSTANTA

Subiectul I

1. Se considera multimea Z[√2] = {a+ b

√2 | a, b ∈ Z} si un subgrup (H,+) al grupului (R,+) cu proprietatea ca

multimea H ∩ (0, 2004) este finita si nevida.

a) Sa se arate ca, daca x, y ∈ Z[√2], atunci x+ y ∈ Z[

√2].

b) Sa se arate ca, daca x ∈ Z[√2], atunci −x ∈ Z[

√2].

c) Sa se arate ca ∀c ∈ H , avem H ⊂ {ck | k ∈ Z}.d) Sa se arate ca exista d ∈ H ∩ (0, 2004), astfel ıncat H = {dk | k ∈ Z}.e) Sa se arate ca nu exista un morfism bijectiv de grupuri ıntre grupurile (H,+) si (Z[

√2],+).

2. Se considera triunghiul ABC cu laturile de lungimi a, b, c, cu R raza cercului circumscris si cu r raza cerculuiınscris. Notam cu O centrul cercului circumscris, cu G centrul de greutate, cu H ortocentrul si cu I centrulcercului ınscris ın triunghiul ABC.

a) Sa se arate ca−−→OG =

1

3· (−→OA+

−−→OB +

−−→OC).

b) Sa se arate ca−−→OH = 3 · −−→OG.

c) Sa se arate ca 9 ·OG2 = 9R2 − (a2 + b2 + c2).

d) Sa se arate ca−→OI =

a · −→OA+ b · −−→OB + c · −−→OC

a+ b+ c.

e) Sa se arate ca OI2 = R2 − 2Rr.

Subiectul II

1. Se considera functia f : R → R, f(x) = x3 + 2x + 3, numerele a, b, c ∈ R si matricele A =

1 1 1a b ca3 b3 c3

,

B =

1 1 1a b c

f(a) f(b) f(c)

.

a) Sa se determine radacinile x1, x2, x3 ale ecuatiei f(x) = 0 si sa se calculeze suma modulelor lor.

b) Sa se arate ca det A = (a+ b+ c)(a− b)(b− c)(c− a).

c) Sa se arate ca det A = det B.

d) Sa se arate ca pentru orice trei puncte distincte cu coordonatele naturale situate pe graficul functiei f , ariatriunghiului cu varfurile ın aceste puncte este un numar natural divizibil cu 3.

2. Fie sirul (xn)n∈N definit prin xn =1

2· 34· . . . · 2n− 1

2n·√2n+ 1 si integralele I0 =

∫ π

2

0

dx si In =

∫ π

2

0

(cosx)n dx,

∀ n ∈ N∗.

a) Sa se calculeze I1, I2.

b) Sa se demonstreze ca In =n− 1

n· In−2, ∀ n ∈ N∗, n ≥ 2.

c) Sa se arate ca 1 ≤ InIn+1

≤ n+ 1

n, ∀ n ∈ N∗.

d) Folosind inductia matematica, aratati ca I2n =1

2· 34· . . . · 2n− 1

2n· π2si I2n+1 =

2

1· 43· . . . · 2n

2n− 1· 1

2n+ 1,

∀ n ∈ N∗.

e) Verificati ca (xn)2 =

2

π· I2nI2n+1

, ∀ n ∈ N∗. si sa se calculeze limn→∞

xn.

3

Subiectul III

1. Descrieti la alegere una din urmatoarele metode de ınvatare: problematizarea, demonstratia, lucrul cu manualul,prezentand:

a) Definitia.

b) Caracterizarea metodei

c) Un exemplu de utilizare a metodei la disciplina matematica.

2. Elaborati proiectul de lectie cu tema: ”Teorema cresterilor finite a lui Lagrange”, prezentand numai urmatoareleactivitati de ınvatare:

a) Enuntul si demonstratia teoremei.

b) Formularea unui exemplu de functie care nu verifica o ipoteza a teoremei lui Lagrange, dar pentru careconcluzia ramane valabila.

c) Formularea unui exemplu de functie care nu verifica o ipoteza a teoremei lui Lagrange, dar pentru careconcluzia este falsa.

4

MARAMURES

Subiectul I

a) Teoremele lui L’Hospital (enunturi, demonstrati una din teoreme).

b) Calculati

limx→0

xn − sinn x

xn+2, n ∈ N.

Subiectul II

1. a) Pentru ce valori ale lui n ∈ N, numarul nn−1 se scrie ca un numar de n− 2 cifre?

b) Sa se determine n ∈ N cu proprietatea ca exista a, b ∈ Z astfel ıncat n2 = a+ b si n3 = a3 + b3.

c) Fie a0, a1, . . . , a2010 coeficientii polinomului (1 +X +X2)1000. Sa se arate ca a0 + a2 + a4 + . . .+ a2010 esteun numar natural par.

2. Fie a 6= 0 si I : R\{0} → R, data prin I(a) =

∫ π

4

0

cos2 x

a2 cos2 x+ sin2 xdx.

a) Sa se calculeze I(1).

b) Sa se studieze continuitatea functiei I ın punctele −1 si 1.

3. a) Sa se demonstreze ca ıntr-un triunghi ABC:

1

sin A2

+1

sin B2

+1

sin C2

≥ 6.

b) In triunghiul ABC, cevienele AA1, BB1, CC1 sunt concurente ın punctul M . Atunci:

AM

MA1

=AC1

C1B+

AB1

B1C·

c) Doua muchii opuse ale unui tetraedru sunt perpendiculare daca si numai daca ınaltimile tetraedrului carepleaca din varfurile uneia dintra muchiile respective sunt concurente.

Subiectul III

1. Metode specifice de predare a matematicii - Metoda inductiei matematice.

2. Se considera x ∈ R astfel ıncat x+1

x∈ Z. Sa se demonstreze ca xn +

1

xn∈ Z, ∀n ∈ N.

3. Fie poligonul convex A1A2 . . . An, n ≥ 3. Sa se arate ca numarul diagonalelor poligonului este egal cun(n− 3)

2·

5

BUCURESTI

Subiectul I

1. Demonstrati ca ecuatia x2 + y2 + z2 = 2xyz nu are solutii naturale nenule.

2. Fie triunghiurile △ABC si △A′B′C′ cu acelasi centru de greutate G. Calculati suma

−−→AA′ +

−−→AB′ +

−−→AC′ +

−−→BA′ +

−−→BB′ +

−−→BC′ +

−−→CA′ +

−−→CB′ +

−−→CC′.

3. a) Definiti probabilitatea conditionata.

b) Fie o multime {1, 2, 3, . . . , n}. Calculati probabilitatea ca o submultime de 4 elemente sa fie formata dinelementele unei progresii aritmetice.

Subiectul II

1. Determinati maximul functiei f :[

0,π

2

]

→ R, f(x) = sin3 x cos5 x.

2. Pe R se defineste legea de compozitie x⋆y = xy−2x−2y. Determinati a ∈ R astfel ıncat multimea G = [a,+∞)sa fie parte stabila a lui R.

3. Calculati limx→∞

1

x

∫ x

0

1

4 + cos tdt.

Subiectul III

1. Proiectati o unitate de ınvatare cu tema ”Progresii”. Definitia unitatii de ınvatare.

2. Elaborati un test formativ cu trei itemi pentru tema ”Siruri monotone”. Definitia testului formativ.

3. Elaborati o propunere de optional (curriculum la decizia scolii - C.D.S.), urmarind urmatoarele aspecte:

a) Precizarea numelui si a tipului optionalului proiectat.

b) Prezentarea argumentului, a listei de continuturi si a metodelor de evaluare.

6

HUNEDOARA

Subiectul I

1. Se considera multimea M =

1 a b

0 1 c

0 0 1

| a, b, c ∈ Z7

si matricea I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

a) Daca A, B ∈ M , sa se arate ca A ·B ∈ M .

b) Sa se arate ca A7 = I, ∀ A ∈ M .

c) Sa se determine doua matrice A, B ∈ M cu proprietatea ca A · B 6= B · A.d) Sa se arate ca (M, ·), unde ”·” este ınmultirea matricelor, este grup necomutativ cu 73 elemente si orice

element A ∈ M , cu A 6= I are ordinul 7.

2. Fie ABC un triunghi cu AB = c, BC = a, CA = b, R raza cercului circumscris triunghiului ABC, r raza cerculuiınscris ın triunghiul ABC. Daca O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, I este centrul cerculuiınscris ın triunghiul ABC, H este ortocentrul triunghiului ABC, iar G este centrul de greutate al triunghiuluiABC, sa se arate ca:

a) 3 · −−→OG =−→OA+

−−→OB +

−−→OC.

b)−−→OH = 3 · −−→OG.

c) 9 · OG2 = 9R2 − (a2 + b2 + c2).

d) (a+ b+ c) · −→OI = a · −→OA+ b · −−→OB + c · −−→OC.

e) OI2 = R2 − 2Rr.

Subiectul II

1. Se considera numerele ıntregi a1, a2, . . . , an distincte si polinomul f = (X − a1)2 · (X − a2)

2 · . . . · (X − an)2 + 1.

a) Sa se arate ca polinomul f nu are radacini reale.

b) Sa se arate ca daca g, h ∈ Z[X ] si f = g · h, atunci g(ak) = h(ak), ∀ k = 1, n.

c) Sa se arate ca daca g(a1) = 1, atunci g(ak) = h(ak) = 1, ∀ k = 1, n.

d) Sa se arate ca daca polinoamele g si h sunt neconstante, atunci grad(g) = grad(h) = n.

e) Sa se arate ca polinomul f este ireductibil ın Q[X ].

2. Fie sirul (In)n≥1 definit prin In =

∫ π

4

0

tg2nx dx, ∀ n ∈ N∗.

a) Sa se calculeze I1.

b) Sa se arate ca In =1

2n− 1− In−1, ∀ n ∈ N, n ≥ 2.

c) Sa se arate ca sirul (In)n≥1 este convergent.

d) Sa se calculeze limn→∞

(

1− 1

3+

1

5− 1

7+ . . .+ (−1)n−1 · 1

2n− 1

)

.

e) Sa se arate ca nu exista g, h ∈ R[X ], astfel ıncatg(n)

h(n)= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ . . .+ (−1)n−1 · 1

2n− 1, ∀ n ∈ N∗.

Subiectul III

Proiectati o unitate de ınvatare cu tema ”Teorema cresterilor finite a lui Lagrange”.

1. In cadrul acesteia prezentati numai urmatoarele activitati de ınvatare:

a) enuntul teoremei;

b) demonstrarea teoremei;

c) formularea unui exemplu de functie care nu verifica o ipoteza a teoremei lui Lagrange, dar pentru careconcluzia ramane valabila;

d) formularea unui exemplu de functie care nu verifica o ipoteza a teoremei lui Lagrange, dar pentru careconcluzia este falsa.

2. Dati exemple de doua obiective operationale asociate acestei teme.

7

BRAILA

Subiectul I

1. Se considera matricea A =

0 0 −10 1 01 0 0

∈ M3(R).

a) Sa se calculeze A2, A3, A4.

b) Fie n ∈ N∗. Sa se arate ca An = I3 ⇔ 4|n.c) Fie G = {An |n ∈ N∗}. Sa se arate ca G, ımpreuna cu operatia de ınmultire a matricelor, formeaza un grup

comutativ cu 4 elemente.

d) Demonstrati ca (G, ·) este izomorf cu (Z4,+).

e) Sa se calculeze det (A+A2 +A3 + . . .+A2009).

2. Fie ABC un triunghi, C(O,R) cercul circumscris △ABC, H ortocentrul, G centrul de greutate si A′ punctuldiametral opus lui A ın C(O,R).

a) Aratati ca patrulaterul A′BHC este paralelogram.

b) Dovediti ca oricare ar fi punctul M din planul (ABC),−−→MH =

−−→MA+

−−→MB +

−−→MC − 2 · −−→MO.

c) Demonstrati ca−−→OH =

−→OA+

−−→OB +

−−→OC.

d) Sa se arate ca punctele O, G, H sunt coliniare si OH = 3 · OG.

e) Daca D ∈ C(O,R), D 6= A, D 6= B, iar H ′ este ortocentrul triunghiului ABD, atunci demonstrati ca−−→HH ′ =

−−→CD.

Subiectul II

1. Se considera functia f : R → R, f(x) = (x− 1)(x− 3)(x− 5)(x− 7).

a) Sa se calculeze limx→∞

f(x)

x4·

b) Sa se determine numarul de radacini pentru ecuatia f ′(x) = 0.

c) Sa se gaseasca cele trei radacini ale ecuatiei f ′(x) = 0.

d) Sa se determine valoarea minima a functiei f .

2. Se considera sirul (In)n≥1, In =

∫ 1

0

xn

x2 + 3x+ 2dx.

a) Sa se calculeze I1.

b) Sa se studieze convergenta sirului (In)n≥1.

c) Sa se calculeze limn→∞

In.

d) Sa se arate ca In+2 + 3In+1 + 2In =1

n+ 1, ∀ n ∈ N∗.

e) Sa se calculeze limn→∞

nIn.

Subiectul III

1. Descrieti, la alegere, una dintre urmatoarele metode de ınvatamant: demonstratia, expunerea, problematizarea,metoda lucrului cu manualul, prezentand:

a) caracterizarea metodei;

b) un exemplu de utilizare a metodei la matematica.

2. Elaborati o proba de evaluare sumativa/finala care sa contina:

a) trei itemi, cate unul, la alegere, dintre urmatoarele tipuri: rezolvare de probleme, cu raspuns scurt, enuntlacunar, item de tip pereche.

b) baremul de corectare al probei de evaluare (raspunsul corect pentru fiecare item si distribuirea punctajuluide 100 puncte, dintre care 10 puncte se acorda din oficiu).

8

TIMIS

Subiectul I

1. Se considera functia f : R → R, f(x) = a · |x+ 1|+ |x− 1|+ (2 − a)x− a− 1, unde a ∈ R.

a) Sa se verifice daca f(1) = 1.

b) Sa se studieze continuitatea functiei f .

c) Sa se determine valorile lui a pentru care functia f este inversabila.

d) Sa se determine inversa functiei f pentru valorile lui a determinate la punctul c).

2. Sa se arate ca ın orice triunghi ABC are loc relatia:

a · cosA+ b · cosB + c · cosC =abc

2R2,

unde ACnot= b, AB

not= c, iar R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.

3. Fie polinomul P ∈ R[X ], definit prin P (X) = X5 − 7X4 + 15X3 + aX2 + bX + c.

a) Sa se determine valorile parametrilor a, b, c astfel ıncat polinomul P sa se divida cu polinomul (X2−4)(X−1).

b) Sa se rationalizeze expresia E =1√

u2v + uv2 −√u+ v

, unde u si v sunt radacinile complexe conjugate ale

ecuatiei P (x) = 0, pentru a = 15, b = −76, c = 52.

c) Sa se calculeze suma S =5∑

k=1

xnk , unde xk, k = 1, 5, sunt radacinile ecuatiei P (x) = 0, pentru a = 15,

b = −76, c = 52.

Subiectul II

1. a) Sa se rezolve inecuatia C3n ≤ 10.

b) Sa se demonstreze identitatea 12C1n + 32C3

n + 52C5n + . . . = n(n+ 1)2n−3.

2. In interiorul cubului ABCDA′B′C′D′ cu latura de 9 se considera 1981 puncte.

a) Sa se calculeze distanta de la punctul A la diagonala A′C.

b) Sa se demonstreze ca printre cele 1981 de puncte considerate exista cel putin doua cu proprietatea cadistanta dintre ele este mai mica decat 1.

3. Fie sirurile de numere reale (en)n∈N∗ , (En)n∈N∗ , (gn)n∈N∗ , definite prin: en =

(

1 +1

n

)n

, En =

n∑

k=0

1

k!, gn =

(

1 +1

n

)n+1

. Sa se arate ca:

a) 2 < en < En < 3, ∀ n ∈ N∗.

b)n+ 1

n· en ≤ gn+1 ≤ n

n− 1· en, ∀ n ∈ N\{0, 1}.

c) 0 < e− En <1

n · n! , ∀ n ∈ N∗, unde limn→∞

en = e.

Subiectul III

1. Ce este planificarea calendaristica?

2. Proiectarea unei unitati de ınvatare pentru liceu poate fi structurata ın 6 secvente de activitati (cu finalitatiprecise). Enumerati aceste secvente, cuvintele-cheie corespunzatoare acestora si ıntrebarile ce evidentiaza, dinperspectiva elevului, fiecare dintre secventele unitatii de ınvatare.

3. Pentru unitatea de ınvatare ”Elemente de combinatorica”, clasa a X-a, programa M1, elaborati:

a) un test de evaluare sumativa care sa fie format din 9 itemi, dintre care: doi itemi cu alegere multipla, unitem cu alegere duala, un item de tip pereche, doi itemi de completare, trei itemi de tip subiectiv.

b) Baremul pentru testul elaborat. Baremul trebuie sa contina rezultatele la exercitiile si problemele propuseın test, precum si punctajul aferent.

9

IASI

Subiectul I Se considera numerele reale a1, a2, . . . , an si functiile f, F : R → R, f(x) = a1 cosx + a2 cos 2x + . . . +

an cosnx si F (x) = a1 sinx+a22

sin 2x+ . . .+ann

sinnx, n ∈ N∗.

a) Demonstrati ca functia F este o primitiva a functiei f pe R.

b) Aratati ca F (kπ) = 0, ∀ k ∈ Z.

c) Sa se arate ca daca f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R, atunci F (x) = 0, ∀ x ∈ R.

d) Sa se arate ca daca F (x) = 0, ∀ x ∈ R, atunci f(x) = 0, ∀ x ∈ R.

e) Aratati ca pentru p, q ∈ N∗,∫ 2π

0

cos px cos qx dx =

{

0, daca p 6= q

π, daca p = q.

f) Sa se arate ca daca f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R, atunci a1 = a2 = . . . = an = 0.

Subiectul II

1. Se considera polinomul fn(X) = 1+X

1!+X(X + 1)

2!+ . . .+

X(X + 1) · . . . · (X + n− 1)

n!, n ∈ N∗, iar A ∈ M3(C),

A 6= O3 si A2009 = O3.

a) Verificati ca n!fn(X) = (X + 1)(X + 2) · . . . · (X + n), ∀ n ≥ 2.

b) Aratati ca fn(t) ∈ Z, ∀ t ∈ Z.

c) Aratati ca pentru orice x ∈ C, matricea I3 + xA este inversabila.

d) Aratati ca det (I3 + xA) = 1, ∀ x ∈ C.

e) Calculati det (f3(A)).

2. Fie ABC un triunghi dreptunghic cu laturile exprimate prin numere naturale.

a) Aratati ca raza cercului ınscris este numar natural.

b) Aratati ca aria triunghiului dat este un numar natural divizibil cu 6.

Subiectul III

1. Descrieti, la alegere, una dintre urmatoarele metode de ınvatamant: problematizarea, experimentul, simularea,expunerea, prezentand:

a) definitia;

b) caracterizarea metodei;

c) un exemplu de utilizare a metodei la disciplina matematica.

2. Alegeti unul dintre urmatoarele mijloace de ınvatamant: calculatorul, fisele de lucru, filmul didactic, aparatelesi instrumentele de laborator, si precizati:

a) modul sau de integrare ın activitatea didactica cu elevii (predare/ınvatare/ evaluare);

b) un exemplu de utilizare adecvata a respectivului mijloc de ınvatamant la disciplina matematica, pe o temala alegere.

3. Elaborati pentru disciplina matematica o proba de evaluare sumativa/finala, care sa contina: trei itemi, cateunul, la alegere, dintre urmatoarele tipuri: de tip pereche, cu un raspuns scurt, cu alegere multipla, rezolvare deproblema.

10

CARAS-SEVERIN

Subiectul I

1. Fie A =

(

5 122 5

)

∈ M2(R) si

(

xn

yn

)

∈ M2,1(R) cu

(

xn+1

yn+1

)

= A ·(

xn

yn

)

, ∀ n ∈ N si x0 = 1, y0 = 0.

a) Sa se determine x1, y1, x2, y2.

b) Sa se arate ca xn + yn√6 = (5 + 2

√6)n, ∀ n ∈ N.

c) Sa se calculeze x2n − 6y2n.

d) Sa se arate ca xn+2 − 10xn+1 + xn = 0.

2. Fie ABCD un patrulater convex oarecare si notam cu α unghiul dintre laturile opuse AD si BC.

a) Demonstrati egalitatea cosα =AC2 +BD2 −AB2 −DC2

2 ·AD · BC·

b) Daca β este unghiul ascutit al diagonalelor, demonstrati ca: cosβ =

∣

∣AD2 +BC2 − CD2 −AB2∣

∣

2 ·AC · BD·

c) Demonstrati ca daca laturile opuse AD si BC sunt perpendiculare, atunci AC2 +BD2 = AB2 +DC2.

d) Demonstrati ca diagonalele unui patrulater sunt perpendiculare daca si numai daca suma patratelor laturiloropuse este constanta.

3. Fie functia f : R → R data de f(x) = x+ cosx− 1 si sirul (an)n≥0 definit prin a0 = 1, an+1 =

∫ an

0

sin(πx) dx.

a) Determinati numarul de radacini reale ale functiei f .

b) Aratati ca sirul (an)n≥0 este monoton.

c) Aratati ca sirul (an)n≥0 este marginit.

d) Calculati limn→∞

an.

Subiectul II

1. Proiectati o unitate de ınvatare cu tema ”Derivabilitate” ın cadrul careia sa prezentati numai urmatoareleactivitati de ınvatare:

a) Definirea derivatei unei functii ıntr-un punct (exemplificare prin doua exemple).

b) Interpretarea geometrica a derivatei unei functii ıntr-un punct.

c) Proprietati ale functiilor derivabile.

d) Teoreme de medie, monotonie, convexitate.

2. Elaborati pentru tema ”Binomul lui Newton” o proba de evaluare care sa contina:

a) Itemi de urmatoarele tipuri: obiectivi, semiobiectivi si subiectivi.

b) Barem de corectare (raspuns corect pentru fiecare item si distribuirea punctajului de 100 de puncte, dincare 10 puncte din oficiu).

11

SUCEAVA

Subiectul I

1. Se considera matricele A =

(

2 2−2 −2

)

si I2 =

(

1 00 1

)

.

a) Sa se determine numarul real a, astfel ıncat (I2 +A)(I2 + aA) = I2.

b) Sa se arate ca det (I2 +A2) = 1, ∀ n ∈ N, n ≥ 2.

c) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca (I2 +A)n = I2 + nA, ∀ n ∈ N∗.

d) Sa se calculeze determinantul matricei B = I2 + 2A+ 3A2 + . . .+ 2005A2004.

2. Fie patratul ABCD de latura a si un punct variabil M pe (BC). Notand cu E intersectia dintre dreptele DMsi AB, iar cu F intersectia dintre dreptele AM si CD,

a) demonstrati caBE

EA+

CF

FD= 1.

b) demonstrati (folosind eventual punctul a)) ca media geometrica a lungimilor bazelor trapezului BEFC esteegala cu lungimea laturii patratului ABCD;

c) aratati ca SBEFC > SABCD, unde am notat cu S aria patrulaterului indicat;

d) determinati pozitia punctului M ∈ (BC) astfel ıncat aria trapezului BEFC sa fie minima.

e) daca M este mijlocul segmentului (BC), determinati raza cercului circumscris patrulaterului AEFD.

Subiectul II

1. Pe multimea numerelor complexe se considera legea de compozitie ”◦”, definita prin x ◦ y = xy+ ix+ iy− 1− i.

a) Sa se verifice identitatea x ◦ y = (x + i)(y + i)− i, ∀ x, y ∈ C.

b) Sa se arate ca x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, ∀ x, y, z ∈ C.

c) Sa se calculeze x ◦ (−i).

d) Sa se calculeze (−100i) ◦ (−99i) ◦ . . . ◦ (−i) ◦ 0 ◦ i ◦ (2i) ◦ . . . ◦ (99i) ◦ (100i).e) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca: x1 ◦x2 ◦ . . .◦xn = (x1+ i) · (x2+ i) · . . . · (xn+1)− i,

∀ n ∈ N∗, ∀ x1, x2, . . ., xn ∈ C.

2. Se considera functia f : (0,+∞) → R, f(x) = 1 +lnx

x·

a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ (0,+∞).

b) Sa se calculeze f(e) si f ′(e).

c) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe intervalul (0, e] si strict descrescatoare pe intervalul[e,+∞).

d) Sa se calculeze

∫ e

1

f(x) dx.

e) Sa se arate ca nn+1 > (n+ 1)n, ∀ n ∈ N, n ≥ 3.

Subiectul III

Descrieti, la alegere, una dintre urmatoarele metode de ınvatamant: demonstratia, problematizarea, metoda lu-crului cu manualul, prezentand:

a) definitia;

b) caracterizarea metodei;

c) un exemplu de utilizare a metodei la disciplina de concurs.

12

SATU MARE

Subiectul I

1. Se considera multimile M =

A =

a b cc a bb c a

| a, b, c ∈ N

si K = {n ∈ N |n = a3+b3+c3−3abc, a, b, c ∈ N}.

a) Calculati det A, A ∈ M .

b) Aratati ca exista o functie f : M → K astfel ıncat f(A ·B) = f(A) · f(B).

c) Daca m, n ∈ K, atunci m · n ∈ K.

d) Exista o matrice E ∈ M cu proprietatea ca

a b cc a bb c a

= a · I3 + b ·E + c · E2, ∀ a, b, c ∈ N.

e) Daca n ∈ N si an = C0n +C3

n +C6n + . . ., bn = C1

n +C4n +C7

n + . . ., cn = C2n +C5

n +C8n + . . ., sa se arate ca

a3n + b3n + c3n − 3anbncn = 2n.

2. Fie triunghiul oarecare ABC, A′, B′, C′ mijloacele laturilor (BC), (AC) si respectiv (AB), D, E, F picioareleınaltimilor duse din varfurile A, B, C ale triunghiului, H ortocentrul triunghiului si A1, B1, C1 mijloacelesegmentelor (AH), (BH) si respectiv (CH).

a) Aratati ca punctele A′, B′, C′ si D sunt conciclice.

b) Aratati ca patrulaterul A′B′A1D este inscriptibil.

c) Sa se arate ca punctele A′, B′, C′, D, E, F , A1, B1, C1 sunt situate pe un cerc; determinati centrul si razaacestuia.

Subiectul II

1. Se considera polinomul f = X4 − 10X2 + 1, numarul a =√2 +

√3 si x1, x2, x3, x4 ∈ C radacinile polinomului

f .

a) Determinati valorile f(a) si f(−a).

b) Aratati ca f este ireductibil ın Q[X ].

c) Daca g ∈ Q[X ] si g(a) = 0, aratati ca restul ımpartirii lui g la f este egal cu zero.

d) Se considera polinomul h =X2 − 5

2. Rezolvati ın R ecuatia h(x) =

√6.

e) Aratati ca nu exista niciun polinom w ∈ Z[X ] cu proprietatea w(a) =√6.

2. Se considera functia f(x) =eλx

x2 + λ2, unde x ∈ R, λ ∈ R∗.

a) Pentru λ = 1 determinati ecuatia tangentei la graficul functiei f ın punctul de abscisa x = 1.

b) Pentru λ = 1, calculati

∫ 1

0

1

f(x)dx.

c) Aratati ca functia f este strict crescatoare pentru λ > 1.

d) Sa se arate ca pentru λ ≥ 1 are loc inegalitatea eλx > 1 +(x

λ

)2

, ∀ x > 0.

e) Pentru ce valori ale parametrilor λ si µ ecuatia µ ·(

x3 +2 + 3

√3

4x+ 1

)

f(x) = eλx, are radacini sinusurile

unghiurilor unui triunghi dreptunghic.

Subiectul III

1. Pentru tema ”Rapoarte si proportii. Procente”, formulati:

a) un item cu ıntrebari structurate;

b) un item pereche;

c) un item cu alegere multipla;

13

d) un item de completare;

e) un item cu raspuns deschis.

2. Formulati cinci obiective operationale la tema ”Siruri. Progresii aritmetice si progresii geometrice”.

3. Tratati din punct de vedere metodic tema ” Ecuatii trigonometrice liniare a · sinx + b · cosx = c, cu a, b, cnumere reale” (prezentarea metodelor de rezolvare, exemple).

14

PRAHOVA

Subiectul I

1. Fie a, b ∈ R, a < b.

a) Sa se arate ca√2009 /∈ Q.

b) Sa se arate ca intervalul (a, b) contine cel putin un numar rational.

c) Sa se arate ca intervalul (a, b) contine cel putin un numar irational.

d) Sa se arate ca exista o alegere a semnelor + sau − astfel ıncat numarul ±√1±

√2±

√3± . . .±

√2009 sa

fie irational.

2. Fie patrulaterul convex ABCD avand AB = CD = a, BC = b si DA = c astfel ıncat 0 < b < c, a + b = c,

bc =a2

2si a > 0.

a) Sa se arate ca AB + BC + CD +DA = a(2 +√3).

b) Sa se arate ca bisectoarele unghiurilor patrulaterului nu sunt concurente.

c) Sa se arate ca S =a2

4

√

5− 4 cos(A+ C), unde S reprezinta aria patrulaterului, A = m(∢BAD) si C =

m(∢BCD).

d) Pentru ce valori ale lui a aria maxima este3

2?

e) Stiind ca ABCD este trapez isoscel, sa se arate ca cercurile de diametre AB, BC, CD, DA au un punctcomun.

Subiectul II

1. Fie matricea A ∈ M3(Z), A =

a b cc a bb c a

. Notam cu At transpusa matricei A si cu SX suma elementelor

matricei X ∈ M3(Z).

a) Sa se arate ca SA·At = 0 ⇔ SA = 0.

b) Stiind ca a = 2, b = c = −2, sa se determine numarul de solutii ale ecuatiei X3 = A, X ∈ M3(Z).

c) Stiind ca SA 6= 0 si det A = 0, sa se arate ca rang A = 1.

d) Stiind ca a = 2, b = c = 3, sa se rezolve ın M3(Z) ecuatia X3 = A.

e) Sa se determine numarul de matrice A, daca det A = 14.

2. Se considera functia f : (0,+∞) → R, f(x) = xa, unde a ∈ R.

a) Sa se arate ca, daca a > 1, atunci functia f este convexa pe intervalul (0,+∞).

b) Sa se arate ca exista c ∈ (13, 15) si d ∈ (2009, 2011) astfel ıncat 15a−13a = 2aca−1 si 2011a−2009a = 2ada−1.

c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 13x + 2011x = 15x + 2009x.

d) Sa se arate ca 3√15 + 3

√2009 > 3

√13 + 3

√2011 153 + 20093 < 133 + 20113.

e) Sa se arate ca14 · 15ln 15

+2008 · 2009ln 2009

<12 · 13ln 13

+2010 · 2011ln 2011

·

Subiectul III

1. Proiectati o unitate de ınvatare cu tema: ”Teorema lui Ceva”.

In cadrul acestei unitati prezentati numai urmatoarele activitati de ınvatare:

a) Enuntul teoremei.

b) Demonstratia teoremei si interpretarea geometrica.

c) Formulati doua exercitii cu grade de dificultate diferite care se rezolva folosind teorema si rezolvati acesteexercitii.

2. Elaborati o proba de evaluare finala/sumativa pentru unitatea de ınvatare ”Grup finit” care sa contina:

a) Trei itemi de tipuri diferite.

b) Baremul de corectare al probei de evaluare (raspunsul corect pentru fiecare item si distribuirea celor 10puncte).

15

GALATI

Subiectul I

Fie I centrul cercului ınscris ın triunghiul ABC si D ∈ (BC), E ∈ (AC), F ∈ (AB) punctele de contact ale cerculuiınscris cu laturile.

a) Daca notam AF = x, BD = y, CE = z si a + b + c = 2p, unde a, b, c sunt marimile laturilor, calculati x, y, zın functie de a, b, c, p.

b) Aratati ca−−→AD =

1

a[(p− c)

−−→AB + (p− b)

−→AC].

c) Demonstrati ca a · −−→AD + b · −−→BE + c · −−→CF = ~0.

d) Daca a = 4, b = 6, c = 8, calculati lungimile AI, BI, CI.

Subiectul II

1. Se considera polinoamele f , g ∈ R[X ], f = X2 +X + 1, cu radacinile x1, x2, si g = aX2 + bX + c cu a 6= 0. Fie

matricele A, V ∈ M3(C), A =

c b aa c bb a c

si V =

1 1 11 x1 x2

1 x21 x2

2

.

a) Sa se arate ca det V = 3(x2 − x1).

b) Sa se arate ca A · V =

g(1) g(x1) g(x2)g(1) x1g(x1) x2g(x2)g(1) x2

1g(x1) x22g(x2)

.

c) Sa se arate ca daca det A = 0, atunci a+ b+ c = 0 sau a = b = c.

d) Sa se arate ca ecuatia Y · V = I3 nu are solutii, unde Y ∈ M3(C) si Y =

x y zz x yy z x

.

2. Se considera polinoamele f, g ∈ Q[X ], f = X4+X3+X2+X+1 cu radacinile x1, x2, x3, x4 ∈ C si g = X2− 1.

a) Sa se determine restul ımpartirii polinomului f la polinomul g.

b) Sa se calculeze (x1 + 1)(x2 + 1)(x3 + 1)(x4 + 1).

c) Sa se calculeze g(x1)g(x2)g(x3)g(x4).

Subiectul III

1. Fie triunghiul ABC cu m(∢A) = 90◦, AD ⊥ BC, E = prABD, F = prACD, M = prBCE, N = prBCF .

a) Sa se arate ca MD = ND.

b) Sa se demonstreze relatia AD3 = BC ·DE ·DF .

c) Sa se arate ca EB · AC3 = FC ·AB3.

2. Se considera sirul (In)n∈N∗ dat de In =

∫ 1

0

xn

x2 + 1dx, ∀ n ∈ N∗.

a) Sa se calculeze I2.

b) Sa se verifice relatia In+2 + In =1

n+ 1, ∀ n ∈ N∗.

c) Sa se calculeze limn→∞

nIn.

Subiectul IV

Intocmiti proiectul didactic pentru lectia mixta cu secventele:

a) verificare - progresii aritmetice.

b) predare - progresii geometrice.

16

SIBIU

Subiectul I Se considera sirul (In)n≥1, definit prin In =

∫ 1

0

(x− x2)n dx, ∀ n ∈ N∗.

a) Sa se calculeze I2.

b) Sa se arate ca 0 ≤ x− x2 ≤ 1

4, ∀ x ∈ [0, 1].

c) Sa se deduca inegalitatile 0 ≤ In ≤ 1

4n, ∀ n ∈ N∗.

d) Sa se arate ca In =1

4· 2n

2n+ 1· In+1, ∀ n ∈ N, n ≥ 2.

e) Sa se arate ca2

3· 45· . . . · 2n

2n+ 1<

√

3

2n+ 3, ∀ n ∈ N∗.

f) Sa se arate ca In =2

3· 45· . . . · 2n

2n+ 1·(

1

4

)n

, ∀ n ∈ N∗.

g) Sa se calculeze limn→∞

4nIn.

Subiectul II

A.

1. a) Aratati ca sin4π

5= sin

3π

5·

b) Aratati ca cosπ

5=

√5 + 1

4·

c) Demonstrati ca sin 1◦ + cos 1◦ ∈ R\Q.

2. Notatiile fiind cele cunoscute ıntr-un triunghi, demonstrati ca:

a) r = 4R sinA

2sin

B

2sin

C

2;

b) sinA

2≤ a

b+ c;

c) sinA

2sin

B

2sin

C

2≤ 1

8·

B.

1. Se considera multimea M2(Z5) si submultimea G = {X ∈ M2(Z5) |X =

(

a b

2b a

)

, a, b ∈ Z5}.

a) Sa se arate ca daca P,Q ∈ G, atunci P +Q ∈ G si P ·Q ∈ G.

b) Sa se rezolve ın multimea G ecuatia X2 = I2.

c) Sa se arate ca pentru ∀ A ∈ G, A 6= O2, exista o matrice B ∈ G astfel ıncat A ·B = B ·A = I2.

2. Fie un inel (A,+, ·) astfel ıncat x6 = x, ∀ x ∈ A. Demonstrati ca:

a) x+ x = 0, ∀ x ∈ A.

b) x2 = x, ∀ x ∈ A.

c) inelul A este comutativ.

Subiectul III

Sa se introduca o notiune la alegere, din:

· Vectori - clasa a IX - a

· Element neutru - clasa a XII - a

17

· Paralelogram - clasa a VI - a

· Relatia de congruenta a doua triunghiuri - clasa a VII - a

avand ın vedere urmatoarele:

- Activitati de ınvatare

- Metode folosite

- Alcatuirea unui test de evaluare formativa care sa cuprinda un item obiectiv, un item semiobiectiv si un itemsubiectiv

- Evaluarea rezultatelor

- Forme de instruire

18

TULCEA

Subiectul I

1. Un elev afirma, cu privire la o functie oarecare f : A → B: ”Functia f este surjectiva ⇔ exista cel putin unelement x ∈ A astfel ıncat pentru orice y ∈ B sa avem f(x) = y”.

a) Definiti notiunea de functie surjectiva.

b) Explicati de ce afirmatia elevului este falsa.

2. Cate functii f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, . . . , 10} au proprietatea f(1) = f(2)?

3. Aratati ca numarul√35n+ 12 este irational, ∀ n ∈ N.

4. Sa se arate prin inductie matematica completa ca radacinile ecuatiei

1 +x

1!+

x(x + 1)

2!+ . . .+

x(x + 1) . . . (x + n− 1)

n!= 0,

n ∈ N∗, sunt −1,−2, . . . ,−n.

5. Fie triunghiul ABC ın care mediana dusa din A este perpendiculara pe latura AB. Stiind ca AB = 1 si AC = 2,sa se calculeze masura unghiului A.

6. Fie dreptele d1 : ax− y+1 = 0 si d2 : 2x+ y− 1 = 0. Determinati numarul a ∈ R astfel ıncat d2 sa fie simetricadreptei d1 fata de axa Oy.

Subiectul II

1. Pe multimea G = [0, 1) consideram legea de compozitie x ◦ y = {x+ y}, unde {a} este partea fractionara a luia ∈ R.

a) Sa se arate ca (G, ◦) este grup abelian.

b) Daca n ∈ N, n ≥ 2, notand Gn =

{

0,1

n,2

n, . . . ,

n− 1

n

}

, aratati ca (Gn, ◦) este subgrup al lui (G, ◦).

c) Demonstrati ca (G, ◦) este izomorf cu (U, ·), unde U = {z ∈ C | |z| = 1}.

2. Se considera functia f : [0,+∞) → [0,+∞), f(x) =2x+ 1

x+ 2si sirul (xn)n∈N dat prin x0 = 2, xn+1 = f(xn), ∀

n ∈ N.

a) Sa se determine Im(f).

b) Sa se arate ca sirul (xn)n∈N are limita egala cu 1.

c) Sa se arate ca sirul (yn)n∈N, dat prin yn = x0 + x1 + . . .+ xn − n, este convergent.

Subiectul III

1. Elaborati o propunere de optional (curriculum la decizia scolii - C.D.S.), urmarind urmatoarele aspecte:

a) Precizarea numelui si a tipului optionalului proiectat.

b) Prezentarea argumentului, a listei de continuturi si a metodelor de evaluare.

2. Rolul exemplelor si contraexemplelor ın ınsusirea operatiei de ınmultire a matricelor (pornind de la exempleconcrete).

19

DOLJ

Subiectul I

1. Se considera f ∈ R[X ], f = a3X3 + a2X

2 + a1X + a0, a3 6= 0.

a) Pentru a3 = 1, a2 = 0, a1 = a0 = 2, sa se arate ca f nu are radacini rationale.

b) Pentru a3 = 1, a2 = 0, a1 = a0 = 2, sa se arate ca f are o singura radacina reala.

c) Pentru a3 = 1, a2 = 0, a1 = a0 = 2, se noteaza cu a radacina reala a lui f si cu Z[a] = {g(a) | g ∈ Z[X ]}.Sa se arate ca (Z[a],+, ·) este inel comutativ, unde adunarea si ınmultirea sunt operatiile obisnuite din R.

d) Sa se arate ca daca a2 =

n∑

i=1

bici si a1 =

n∑

i=1

b2i

2, a3 =

n∑

i=1

c2i , iar a0 ∈ R∗, atunci f nu are toate radacinile

reale, unde bi, ci ∈ (0,+∞), ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n} si n ∈ N∗.

2. Se considera functia f : R → R, f(x) = x2 − 6x+ 10.

a) Sa se calculeze f(f(2)).

b) Sa se arate ca f(x) ≥ 1, ∀ x ∈ R.

c) Sa se calculeze suma f(1) + f(2) + . . .+ f(20).

d) Sa se rezolve ecuatia f(log2 x) = 1, x ∈ (0,+∞).

e) Sa se calculeze probabilitatea ca un element x ∈ {0, 1, 2, 3} sa verifice relatia f(x) ≤ 5.

Subiectul II

1. In triunghiul ABC fie M mijlocul lui BC si notam cu a, b, c lungimile laturilor triunghiului. Consideram

punctele D, E astfel ca−−→AB = m

−−→AD si

−→AC = n

−→AE, m, n ∈ (1,+∞), iar {F} = AM ∩DE. Sa se arate ca:

a) (m+ n)−→AF =

−−→AB +

−→AC.

b) m−−→DF = n

−−→FE.

c) Fie I centrul cercului ınscris ın triunghiul ABC. Sa se arate ca D, E, I sunt coliniare daca si numai daca

are loc egalitatea b · DB

DA+ c · EC

EA= a.

2. Fie f : R∗ → R, f(x) =x

arctg x·

a) Determinati asimptota spre +∞ la graficul functiei.

b) Stabiliti intervalele de monotonie ale functiei.

c) Stabiliti intervalele de convexitate si de concavitate ale functiei.

d) Demonstrati inegalitatea7

arctg 7+

2

arctg 2>

4

arctg 4+

5

arctg 5·

e) Calculati partea ıntreaga a volumului corpului obtinut prin rotirea ın jurul axei Ox a subgraficului functiei

g :

[√3

3, 1

]

→ R, g(x) = f(√x).

Subiectul III

1. Descrieti la alegere o metoda de ınvatare dintre: problematizarea sau descoperirea, prezentand: caracterizareametodei, un exemplu de utilizare a metodei la disciplina la care sustineti concurs.

2. Elaborati o proba de evaluare continua la disciplina matematica care sa contina trei tipuri de itemi si baremulde notare.

20

GIURGIU

Subiectul I

1. Se considera polinomul f ∈ Z[X ], f = X3 − 2X2 +X − 3 avand radacinile complexe x1, x2, x3.

a) Sa se afle catul si restul ımpartirii polinomului f la polinomul g = X2 −X + 1.

b) Sa se calculeze determinantul d =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 x2 x3

x3 x1 x2

x2 x3 x1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

c) Sa se calculeze valoarea expresiei x21 + x2

2 + x23.

d) Sa se arate ca daca g ∈ Z[X ] cu proprietatea ca g(3) si g(4) sunt impare, atunci g nu are nicio radacinaıntreaga.

2. Se considera cercurile C1(O1, 5), C2(O2, 3) astfel ıncat O1O2 = 4 cm.

a) Aratati ca cercurile sunt secante.

b) Notam cu A si B punctele comune ale celor doua cercuri. O secanta variabila trecand prin A taie C1 ın Msi C2 ın N . Aratati ca m(∢MBN) este constanta.

c) Prin B se duce o secanta PQ ‖ MN , P ∈ C2, Q ∈ C1. Aratati ca MNPQ este paralelogram.

d) Sa se determine pozitia secantei MN astfel ıncat distanta sa fie maxima.

Subiectul II

1. Pe multimea R definim legea de compozitie x ◦ y = xy + 2x+ 2y + 2.

a) Sa se verifice ca x ◦ y = (x+ 2)(y + 2)− 2, ∀ x, y ∈ R.

b) Sa se arate ca legea este asociativa.

c) Sa se arate ca functia f : R → R, f(x) = x− 2 verifica relatia f(xy) = f(x) ◦ f(y), ∀ x, y ∈ R.

d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia x ◦ x ◦ x ◦ x ◦ x = 30.

e) Sa se calculeze −1 ◦(

−3

2

)

◦(

−4

3

)

◦ . . . ◦(

−2010

2009

)

.

2. Se considera functia f : R → R, f(x) =x

x4 + 48·

a) Sa se determine asimptotele functiei f .

b) Sa se determine multimea valorilor functiei f .

c) Sa se afle aria cuprinsa ıntre valorile functiei, axa Ox si dreptele x = 0, x = 4.

d) Calculati volumul corpului generat de functia g : [0, 1] → R, g(x) = x√

f(x).

Subiectul III

Metoda reducerii la absurd.

a) prezentarea generala a temei;

b) dati trei exemple ın care sa folositi metoda reducerii la absurd pentru demonstrarea unor proprietati sau unorteoreme;

c) proiectati o secventa de lectie ın care sa folositi metoda reducerii la absurd.

21

ARGES

Subiectul I

Fie matricea A =

( √3 1 +

√3

17− 9√3 8−

√3

)

si multimea G = {X(a) = aA+ (1− a)I2 | a ∈ R}.

a) Aratati ca G este o parte stabila a lui M2(R) ın raport cu ınmultirea matricelor.

b) Calculati X

(

−2009

6

)

·X(

−2007

6

)

· . . . ·X(

2007

6

)

·X(

2009

6

)

.

c) Calculati Xn(a), unde n ∈ N∗.

d) Daca H ⊂ G, H =

{

X(a) | a > −1

6

}

, aratati ca (H, ·) este un grup izomorf cu grupul (R,+).

Subiectul II

In planul ınzestrat cu un reper ortonormat (O,~i,~j) se considera punctele A(a, b), B(a+ 1, b+ 3), C(a + 4, b+ 2),unde a, b ∈ R.

a) Determinati coordonatele punctului E, astfel ıncat ABEC sa fie paralelogram.

b) Fie D simetricul lui E fata de C. Stabiliti natura patrulaterului ABCD.

c) Se noteaza cu I si J centrele de simetrie ale patrulaterelor ABCD si ABEC. Determinati coordonatele punctelorI si J .

d) Fie A′, B′ punctele din plan definite prin−−→CA′ = k · −→CA si

−−→CB′ = k · −−→CB, unde k > 0. Determinati coordonatele

punctelor A′, B′ si cercetati daca vectorii−−−→A′B′ si

−→IJ sunt paraleli.

Subiectul III

Fie sirul (In)n≥1, In =

∫ e

1

x(ln x)n dx.

a) Calculati I1.

b) Demonstrati ca pentru orice n ∈ N∗ are loc relatia 2In + nIn−1 = e2.

c) Demonstrati ca sirul (In)n≥1 este descrescator.

d) Aratati cae2

n+ 3≤ In ≤ e2

n+ 2, ∀ n ∈ N∗.

e) Calculati limn→∞

nIn.

Subiectul IV

Examinati structura si valoarea teoretica si practica a programei scolare la matematica, din perspectiva activitatilorde proiectare, realizare si evaluare la clasa.

Nota: Pentru subiectul de metodica, ın acordarea punctajului se iau ın considerare si organizarea prezentarii,structurarea argumentelor si a exemplelor, precum si nota personala, creativa a analizei.

22