Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists

HANDBOOK OF

MATHEMATICS FOR ENGINEERS AND

SCIENTISTS

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MATHEMATICS FOR ENGINEERS AND

SCIENTISTS

Andrei D. PolyaninAlexander V. Manzhirov

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CONTENTS

Authors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii

Main Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxix

Part I. Definitions, Formulas, Methods, and Theorems 1

1. Arithmetic and Elementary Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Integer Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Real, Rational, and Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Equalities and Inequalities. Arithmetic Operations. Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1. Equalities and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2. Addition and Multiplication of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3. Ratios and Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4. Percentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.5. Absolute Value of a Number (Modulus of a Number) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Powers and Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1. Powers and Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2. Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Binomial Theorem and Related Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1. Factorials. Binomial Coefficients. Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2. Related Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Arithmetic and Geometric Progressions. Finite Sums and Products . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1. Arithmetic and Geometric Progressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2. Finite Series and Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Mean Values and Inequalities of General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.1. Arithmetic Mean, Geometric Mean, and Other Mean Values. Inequalities for

Mean Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.2. Inequalities of General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7. Some Mathematical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.1. Proof by Contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.2. Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.3. Proof by Counterexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7.4. Method of Undetermined Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

References for Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Power, Exponential, and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1. Power Function: y = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2. Exponential Function: y = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3. Logarithmic Function: y = loga x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1. Trigonometric Circle. Definition of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2. Graphs of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.3. Properties of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

v

vi CONTENTS

2.3. Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1. Definitions. Graphs of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2. Properties of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4. Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.1. Definitions. Graphs of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.2. Properties of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5. Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.1. Definitions. Graphs of Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.2. Properties of Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


3. Elementary Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1. Plane Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.1. Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2. Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.3. Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2. Solid Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.1. Straight Lines, Planes, and Angles in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.2. Polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.3. Solids Formed by Revolution of Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3. Spherical Trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3.1. Spherical Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3.2. Spherical Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71


4. Analytic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1. Points, Segments, and Coordinates on Line and Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1.1. Coordinates on Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1.2. Coordinates on Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.1.3. Points and Segments on Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2. Curves on Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.1. Curves and Their Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2. Main Problems of Analytic Geometry for Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3. Straight Lines and Points on Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.1. Equations of Straight Lines on Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.2. Mutual Arrangement of Points and Straight Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4. Second-Order Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.4.1. Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.4.2. Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4.3. Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4.4. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.4.5. Transformation of Second-Order Curves to Canonical Form . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5. Coordinates, Vectors, Curves, and Surfaces in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.5.1. Vectors. Cartesian Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.5.2. Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.5.3. Vectors. Products of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.5.4. Curves and Surfaces in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

CONTENTS vii

4.6. Line and Plane in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.6.1. Plane in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.6.2. Line in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.6.3. Mutual Arrangement of Points, Lines, and Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.7. Quadric Surfaces (Quadrics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.7.1. Quadrics (Canonical Equations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.7.2. Quadrics (General Theory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148


5. Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.1. Polynomials and Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.1.1. Polynomials and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.1.2. Linear and Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.1.3. Cubic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.1.4. Fourth-Degree Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.1.5. Algebraic Equations of Arbitrary Degree and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . 161

5.2. Matrices and Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.2.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.2.2. Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.2.3. Equivalent Matrices. Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.3. Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.3.1. Concept of a Linear Space. Its Basis and Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.3.2. Subspaces of Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.3.3. Coordinate Transformations Corresponding to Basis Transformations in a Linear

Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.4. Euclidean Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.4.1. Real Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.4.2. Complex Euclidean Space (Unitary Space) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.4.3. Banach Spaces and Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.5. Systems of Linear Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.5.1. Consistency Condition for a Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.5.2. Finding Solutions of a System of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.6. Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.6.1. Notion of a Linear Operator. Its Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.6.2. Linear Operators in Matrix Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085.6.3. Eigenvectors and Eigenvalues of Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.7. Bilinear and Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.7.1. Linear and Sesquilinear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.7.2. Bilinear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145.7.3. Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.7.4. Bilinear and Quadratic Forms in Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.7.5. Second-Order Hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

5.8. Some Facts from Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.8.1. Groups and Their Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.8.2. Transformation Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2285.8.3. Group Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230


viii CONTENTS

6. Limits and Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.1. Basic Concepts of Mathematical Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.1.1. Number Sets. Functions of Real Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.1.2. Limit of a Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.1.3. Limit of a Function. Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406.1.4. Infinitely Small and Infinitely Large Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.1.5. Continuous Functions. Discontinuities of the First and the Second Kind . . . . . . . 2436.1.6. Convex and Concave Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456.1.7. Functions of Bounded Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.1.8. Convergence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.2. Differential Calculus for Functions of a Single Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2506.2.1. Derivative and Differential, Their Geometrical and Physical Meaning . . . . . . . . . 2506.2.2. Table of Derivatives and Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.2.3. Theorems about Differentiable Functions. LHospital Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.2.4. Higher-Order Derivatives and Differentials. Taylors Formula . . . . . . . . . . . . . . . 2556.2.5. Extremal Points. Points of Inflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.2.6. Qualitative Analysis of Functions and Construction of Graphs . . . . . . . . . . . . . . 2596.2.7. Approximate Solution of Equations (Root-Finding Algorithms for Continuous

Functions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.3. Functions of Several Variables. Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.3.1. Point Sets. Functions. Limits and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.3.2. Differentiation of Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2646.3.3. Directional Derivative. Gradient. Geometrical Applications . . . . . . . . . . . . . . . . 2676.3.4. Extremal Points of Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2696.3.5. Differential Operators of the Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272


7. Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7.1. Indefinite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.1.1. Antiderivative. Indefinite Integral and Its Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.1.2. Table of Basic Integrals. Properties of the Indefinite Integral. Integration

Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2747.1.3. Integration of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2767.1.4. Integration of Irrational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.1.5. Integration of Exponential and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2817.1.6. Integration of Polynomials Multiplied by Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . 283

7.2. Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2867.2.1. Basic Definitions. Classes of Integrable Functions. Geometrical Meaning of the

Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2867.2.2. Properties of Definite Integrals and Useful Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2877.2.3. General Reduction Formulas for the Evaluation of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.2.4. General Asymptotic Formulas for the Calculation of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 2907.2.5. Mean Value Theorems. Properties of Integrals in Terms of Inequalities.

Arithmetic Mean and Geometric Mean of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2957.2.6. Geometric and Physical Applications of the Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . 2997.2.7. Improper Integrals with Infinite Integration Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3017.2.8. General Reduction Formulas for the Calculation of Improper Integrals . . . . . . . . 3047.2.9. General Asymptotic Formulas for the Calculation of Improper Integrals . . . . . . . 3077.2.10. Improper Integrals of Unbounded Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3087.2.11. Cauchy-Type Singular Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

CONTENTS ix

7.2.12. Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3127.2.13. Square Integrable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3147.2.14. Approximate (Numerical) Methods for Computation of Definite Integrals . . . . 315

7.3. Double and Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3177.3.1. Definition and Properties of the Double Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3177.3.2. Computation of the Double Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3197.3.3. Geometric and Physical Applications of the Double Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 3237.3.4. Definition and Properties of the Triple Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3247.3.5. Computation of the Triple Integral. Some Applications. Iterated Integrals and

Asymptotic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

7.4. Line and Surface Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3297.4.1. Line Integral of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3297.4.2. Line Integral of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3307.4.3. Surface Integral of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3327.4.4. Surface Integral of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3337.4.5. Integral Formulas of Vector Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334


8. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

8.1. Numerical Series and Infinite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3378.1.1. Convergent Numerical Series and Their Properties. Cauchys Criterion . . . . . . . 3378.1.2. Convergence Criteria for Series with Positive (Nonnegative) Terms . . . . . . . . . . 3388.1.3. Convergence Criteria for Arbitrary Numerical Series. Absolute and Conditional

Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418.1.4. Multiplication of Series. Some Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3438.1.5. Summation Methods. Convergence Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3448.1.6. Infinite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

8.2. Functional Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3488.2.1. Pointwise and Uniform Convergence of Functional Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3488.2.2. Basic Criteria of Uniform Convergence. Properties of Uniformly Convergent

Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

8.3. Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3508.3.1. Radius of Convergence of Power Series. Properties of Power Series . . . . . . . . . . 3508.3.2. Taylor and Maclaurin Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3528.3.3. Operations with Power Series. Summation Formulas for Power Series . . . . . . . . 354

8.4. Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3578.4.1. Representation of 2-Periodic Functions by Fourier Series. Main Results . . . . . 3578.4.2. Fourier Expansions of Periodic, Nonperiodic, Odd, and Even Functions . . . . . . . 3598.4.3. Criteria of Uniform and Mean-Square Convergence of Fourier Series . . . . . . . . . 3618.4.4. Summation Formulas for Trigonometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

8.5. Asymptotic Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3638.5.1. Asymptotic Series of Poincare Type. Formulas for the Coefficients . . . . . . . . . . . 3638.5.2. Operations with Asymptotic Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364


9. Differential Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

9.1. Theory of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3679.1.1. Plane Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3679.1.2. Space Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

x CONTENTS

9.2. Theory of Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3869.2.1. Elementary Notions in Theory of Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3869.2.2. Curvature of Curves on Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3929.2.3. Intrinsic Geometry of Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395


10. Functions of Complex Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

10.1. Basic Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39910.1.1. Complex Numbers. Functions of Complex Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39910.1.2. Functions of Complex Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

10.2. Main Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41910.2.1. Conformal Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41910.2.2. Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

References for Chapter 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

11. Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

11.1. General Form of Integral Transforms. Some Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43511.1.1. Integral Transforms and Inversion Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43511.1.2. Residues. Jordan Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

11.2. Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43611.2.1. Laplace Transform and the Inverse Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43611.2.2. Main Properties of the Laplace Transform. Inversion Formulas for Some

Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43711.2.3. Limit Theorems. Representation of Inverse Transforms as Convergent Series

and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

11.3. Mellin Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44111.3.1. Mellin Transform and the Inversion Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44111.3.2. Main Properties of the Mellin Transform. Relation Among the Mellin,

Laplace, and Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

11.4. Various Forms of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44311.4.1. Fourier Transform and the Inverse Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44311.4.2. Fourier Cosine and Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

11.5. Other Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44611.5.1. Integral Transforms Whose Kernels Contain Bessel Functions and Modified

Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44611.5.2. Summary Table of Integral Transforms. Areas of Application of Integral

Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448


12. Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

12.1. First-Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45312.1.1. General Concepts. The Cauchy Problem. Uniqueness and Existence Theorems 45312.1.2. Equations Solved for the Derivative. Simplest Techniques of Integration . . . . 45612.1.3. Exact Differential Equations. Integrating Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45812.1.4. Riccati Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46012.1.5. Abel Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46212.1.6. Abel Equations of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46412.1.7. Equations Not Solved for the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46512.1.8. Contact Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46812.1.9. Approximate Analytic Methods for Solution of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 46912.1.10. Numerical Integration of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

CONTENTS xi

12.2. Second-Order Linear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47212.2.1. Formulas for the General Solution. Some Transformations . . . . . . . . . . . . . . . 47212.2.2. Representation of Solutions as a Series in the Independent Variable . . . . . . . . 47512.2.3. Asymptotic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47712.2.4. Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48012.2.5. Eigenvalue Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48212.2.6. Theorems on Estimates and Zeros of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

12.3. Second-Order Nonlinear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48812.3.1. Form of the General Solution. Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48812.3.2. Equations Admitting Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48912.3.3. Methods of Regular Series Expansions with Respect to the Independent

Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49212.3.4. Movable Singularities of Solutions of Ordinary Differential Equations.

Painleve Transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49412.3.5. Perturbation Methods of Mechanics and Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49912.3.6. Galerkin Method and Its Modifications (Projection Methods) . . . . . . . . . . . . . 50812.3.7. Iteration and Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

12.4. Linear Equations of Arbitrary Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51412.4.1. Linear Equations with Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51412.4.2. Linear Equations with Variable Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51812.4.3. Asymptotic Solutions of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52212.4.4. Collocation Method and Its Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

12.5. Nonlinear Equations of Arbitrary Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52412.5.1. Structure of the General Solution. Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52412.5.2. Equations Admitting Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

12.6. Linear Systems of Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52812.6.1. Systems of Linear Constant-Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52812.6.2. Systems of Linear Variable-Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

12.7. Nonlinear Systems of Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54212.7.1. Solutions and First Integrals. Uniqueness and Existence Theorems . . . . . . . . . 54212.7.2. Integrable Combinations. Autonomous Systems of Equations . . . . . . . . . . . . . 54512.7.3. Elements of Stability Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546


13. First-Order Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

13.1. Linear and Quasilinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55313.1.1. Characteristic System. General Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55313.1.2. Cauchy Problem. Existence and Uniqueness Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55613.1.3. Qualitative Features and Discontinuous Solutions of Quasilinear Equations . . 55813.1.4. Quasilinear Equations of General Form. Generalized Solution, Jump

Condition, and Stability Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

13.2. Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57013.2.1. Solution Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57013.2.2. Cauchy Problem. Existence and Uniqueness Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57613.2.3. Generalized Viscosity Solutions and Their Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 579


xii CONTENTS

14. Linear Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

14.1. Classification of Second-Order Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58514.1.1. Equations with Two Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58514.1.2. Equations with Many Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

14.2. Basic Problems of Mathematical Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59014.2.1. Initial and Boundary Conditions. Cauchy Problem. Boundary Value Problems 59014.2.2. First, Second, Third, and Mixed Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . 593

14.3. Properties and Exact Solutions of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59414.3.1. Homogeneous Linear Equations and Their Particular Solutions . . . . . . . . . . . . 59414.3.2. Nonhomogeneous Linear Equations and Their Particular Solutions . . . . . . . . . 59814.3.3. General Solutions of Some Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

14.4. Method of Separation of Variables (Fourier Method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60214.4.1. Description of the Method of Separation of Variables. General Stage of

Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60214.4.2. Problems for Parabolic Equations: Final Stage of Solution . . . . . . . . . . . . . . . 60514.4.3. Problems for Hyperbolic Equations: Final Stage of Solution . . . . . . . . . . . . . . 60714.4.4. Solution of Boundary Value Problems for Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . 609

14.5. Integral Transforms Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61114.5.1. Laplace Transform and Its Application in Mathematical Physics . . . . . . . . . . . 61114.5.2. Fourier Transform and Its Application in Mathematical Physics . . . . . . . . . . . 614

14.6. Representation of the Solution of the Cauchy Problem via the Fundamental Solution . . 61514.6.1. Cauchy Problem for Parabolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61514.6.2. Cauchy Problem for Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

14.7. Boundary Value Problems for Parabolic Equations with One Space Variable. GreensFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61814.7.1. Representation of Solutions via the Greens Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61814.7.2. Problems for Equation s(x) wt =

x

[p(x) wx

]q(x)w + (x, t) . . . . . . . . . . . 620

14.8. Boundary Value Problems for Hyperbolic Equations with One Space Variable. GreensFunction. Goursat Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62314.8.1. Representation of Solutions via the Greens Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

14.8.2. Problems for Equation s(x) 2w

t2= x

[p(x) wx

]q(x)w + (x, t) . . . . . . . . . . 624

14.8.3. Problems for Equation 2w

t2 + a(t)wt = b(t)

{x

[p(x) wx

] q(x)w

}+ (x, t) 626

14.8.4. Generalized Cauchy Problem with Initial Conditions Set Along a Curve . . . . . 62714.8.5. Goursat Problem (a Problem with Initial Data of Characteristics) . . . . . . . . . . 629

14.9. Boundary Value Problems for Elliptic Equations with Two Space Variables . . . . . . . . . 63114.9.1. Problems and the Greens Functions for Equation

a(x) 2w

x2 +2wy2 + b(x)

wx + c(x)w = (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

14.9.2. Representation of Solutions to Boundary Value Problems via the GreensFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

14.10. Boundary Value Problems with Many Space Variables. Representation of Solutionsvia the Greens Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63414.10.1. Problems for Parabolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63414.10.2. Problems for Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63614.10.3. Problems for Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63714.10.4. Comparison of the Solution Structures for Boundary Value Problems for

Equations of Various Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

CONTENTS xiii

14.11. Construction of the Greens Functions. General Formulas and Relations . . . . . . . . . . 63914.11.1. Greens Functions of Boundary Value Problems for Equations of Various

Types in Bounded Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63914.11.2. Greens Functions Admitting Incomplete Separation of Variables . . . . . . . . 64014.11.3. Construction of Greens Functions via Fundamental Solutions . . . . . . . . . . 642

14.12. Duhamels Principles in Nonstationary Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64614.12.1. Problems for Homogeneous Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64614.12.2. Problems for Nonhomogeneous Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

14.13. Transformations Simplifying Initial and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64914.13.1. Transformations That Lead to Homogeneous Boundary Conditions . . . . . . 64914.13.2. Transformations That Lead to Homogeneous Initial and Boundary

Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650


15. Nonlinear Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

15.1. Classification of Second-Order Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65315.1.1. Classification of Semilinear Equations in Two Independent Variables . . . . . . . 65315.1.2. Classification of Nonlinear Equations in Two Independent Variables . . . . . . . . 653

15.2. Transformations of Equations of Mathematical Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65515.2.1. Point Transformations: Overview and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65515.2.2. Hodograph Transformations (Special Point Transformations) . . . . . . . . . . . . . 65715.2.3. Contact Transformations. Legendre and Euler Transformations . . . . . . . . . . . . 66015.2.4. Backlund Transformations. Differential Substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66315.2.5. Differential Substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666

15.3. Traveling-Wave Solutions, Self-Similar Solutions, and Some Other Simple Solutions.Similarity Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66715.3.1. Preliminary Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66715.3.2. Traveling-Wave Solutions. Invariance of Equations Under Translations . . . . . 66715.3.3. Self-Similar Solutions. Invariance of Equations Under Scaling

Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66915.3.4. Equations Invariant Under Combinations of Translation and Scaling

Transformations, and Their Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67415.3.5. Generalized Self-Similar Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

15.4. Exact Solutions with Simple Separation of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67815.4.1. Multiplicative and Additive Separable Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67815.4.2. Simple Separation of Variables in Nonlinear Partial Differential Equations . . . 67815.4.3. Complex Separation of Variables in Nonlinear Partial Differential Equations . 679

15.5. Method of Generalized Separation of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68115.5.1. Structure of Generalized Separable Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68115.5.2. Simplified Scheme for Constructing Solutions Based on Presetting One System

of Coordinate Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68315.5.3. Solution of Functional Differential Equations by Differentiation . . . . . . . . . . . 68415.5.4. Solution of Functional-Differential Equations by Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . 68815.5.5. TitovGalaktionov Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693

15.6. Method of Functional Separation of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69715.6.1. Structure of Functional Separable Solutions. Solution by Reduction to

Equations with Quadratic Nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69715.6.2. Special Functional Separable Solutions. Generalized Traveling-Wave

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

xiv CONTENTS

15.6.3. Differentiation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70015.6.4. Splitting Method. Solutions of Some Nonlinear Functional Equations and

Their Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

15.7. Direct Method of Symmetry Reductions of Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70815.7.1. ClarksonKruskal Direct Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70815.7.2. Some Modifications and Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

15.8. Classical Method of Studying Symmetries of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 71615.8.1. One-Parameter Transformations and Their Local Properties . . . . . . . . . . . . . . 71615.8.2. Symmetries of Nonlinear Second-Order Equations. Invariance Condition . . . . 71915.8.3. Using Symmetries of Equations for Finding Exact Solutions. Invariant

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72415.8.4. Some Generalizations. Higher-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

15.9. Nonclassical Method of Symmetry Reductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73215.9.1. Description of the Method. Invariant Surface Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . 73215.9.2. Examples: The NewellWhitehead Equation and a Nonlinear Wave Equation 733

15.10. Differential Constraints Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73715.10.1. Description of the Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73715.10.2. First-Order Differential Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73915.10.3. Second- and Higher-Order Differential Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74415.10.4. Connection Between the Differential Constraints Method and Other

Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

15.11. Painleve Test for Nonlinear Equations of Mathematical Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . 74815.11.1. Solutions of Partial Differential Equations with a Movable Pole. Method

Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74815.11.2. Examples of Performing the Painleve Test and Truncated Expansions for

Studying Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75015.11.3. Construction of Solutions of Nonlinear Equations That Fail the Painleve

Test, Using Truncated Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

15.12. Methods of the Inverse Scattering Problem (Soliton Theory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75515.12.1. Method Based on Using Lax Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75515.12.2. Method Based on a Compatibility Condition for Systems of Linear

Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75715.12.3. Solution of the Cauchy Problem by the Inverse Scattering Problem Method 760

15.13. Conservation Laws and Integrals of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76615.13.1. Basic Definitions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76615.13.2. Equations Admitting Variational Formulation. Noetherian Symmetries . . . 767

15.14. Nonlinear Systems of Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77015.14.1. Overdetermined Systems of Two Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77015.14.2. Pfaffian Equations and Their Solutions. Connection with Overdetermined

Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77215.14.3. Systems of First-Order Equations Describing Convective Mass Transfer

with Volume Reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77515.14.4. First-Order Hyperbolic Systems of Quasilinear Equations. Systems of

Conservation Laws of Gas Dynamic Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78015.14.5. Systems of Second-Order Equations of Reaction-Diffusion Type . . . . . . . . 796


CONTENTS xv

16. Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

16.1. Linear Integral Equations of the First Kind with Variable Integration Limit . . . . . . . . . 80116.1.1. Volterra Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80116.1.2. Equations with Degenerate Kernel: K(x, t) = g1(x)h1(t) + + gn(x)hn(t) . . 80216.1.3. Equations with Difference Kernel: K(x, t) = K(x t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80416.1.4. Reduction of Volterra Equations of the First Kind to Volterra Equations of the

Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80716.1.5. Method of Quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

16.2. Linear Integral Equations of the Second Kind with Variable Integration Limit . . . . . . . 81016.2.1. Volterra Equations of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81016.2.2. Equations with Degenerate Kernel: K(x, t) = g1(x)h1(t) + + gn(x)hn(t) . . 81116.2.3. Equations with Difference Kernel: K(x, t) = K(x t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81316.2.4. Construction of Solutions of Integral Equations with Special Right-Hand Side 81516.2.5. Method of Model Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81816.2.6. Successive Approximation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82216.2.7. Method of Quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

16.3. Linear Integral Equations of the First Kind with Constant Limits of Integration . . . . . . 82416.3.1. Fredholm Integral Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82416.3.2. Method of Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82516.3.3. Regularization Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827

16.4. Linear Integral Equations of the Second Kind with Constant Limits of Integration . . . . 82916.4.1. Fredholm Integral Equations of the Second Kind. Resolvent . . . . . . . . . . . . . . 82916.4.2. Fredholm Equations of the Second Kind with Degenerate Kernel . . . . . . . . . . 83016.4.3. Solution as a Power Series in the Parameter. Method of Successive

Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83216.4.4. Fredholm Theorems and the Fredholm Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83416.4.5. Fredholm Integral Equations of the Second Kind with Symmetric Kernel . . . . 83516.4.6. Methods of Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84116.4.7. Method of Approximating a Kernel by a Degenerate One . . . . . . . . . . . . . . . . 84416.4.8. Collocation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84716.4.9. Method of Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84916.4.10. BubnovGalerkin Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85016.4.11. Quadrature Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85216.4.12. Systems of Fredholm Integral Equations of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . 854

16.5. Nonlinear Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85616.5.1. Nonlinear Volterra and Urysohn Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85616.5.2. Nonlinear Volterra Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85616.5.3. Equations with Constant Integration Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863


17. Difference Equations and Other Functional Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873

17.1. Difference Equations of Integer Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87317.1.1. First-Order Linear Difference Equations of Integer Argument . . . . . . . . . . . . . 87317.1.2. First-Order Nonlinear Difference Equations of Integer Argument . . . . . . . . . . 87417.1.3. Second-Order Linear Difference Equations with Constant Coefficients . . . . . . 87717.1.4. Second-Order Linear Difference Equations with Variable Coefficients . . . . . . 87917.1.5. Linear Difference Equations of Arbitrary Order with Constant Coefficients . . 88117.1.6. Linear Difference Equations of Arbitrary Order with Variable Coefficients . . . 88217.1.7. Nonlinear Difference Equations of Arbitrary Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884

xvi CONTENTS

17.2. Linear Difference Equations with a Single Continuous Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88517.2.1. First-Order Linear Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88517.2.2. Second-Order Linear Difference Equations with Integer Differences . . . . . . . . 89417.2.3. Linear mth-Order Difference Equations with Integer Differences . . . . . . . . . . 89817.2.4. Linear mth-Order Difference Equations with Arbitrary Differences . . . . . . . . 904

17.3. Linear Functional Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90717.3.1. Iterations of Functions and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90717.3.2. Linear Homogeneous Functional Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91017.3.3. Linear Nonhomogeneous Functional Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91217.3.4. Linear Functional Equations Reducible to Linear Difference Equations with

Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916

17.4. Nonlinear Difference and Functional Equations with a Single Variable . . . . . . . . . . . . . 91817.4.1. Nonlinear Difference Equations with a Single Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91817.4.2. Reciprocal (Cyclic) Functional Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91917.4.3. Nonlinear Functional Equations Reducible to Difference Equations . . . . . . . . 92117.4.4. Power Series Solution of Nonlinear Functional Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 922

17.5. Functional Equations with Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92217.5.1. Method of Differentiation in a Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92217.5.2. Method of Differentiation in Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92517.5.3. Method of Substituting Particular Values of Independent Arguments . . . . . . . 92617.5.4. Method of Argument Elimination by Test Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92817.5.5. Bilinear Functional Equations and Nonlinear Functional Equations Reducible

to Bilinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930


18. Special Functions and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937

18.1. Some Coefficients, Symbols, and Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93718.1.1. Binomial Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93718.1.2. Pochhammer Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93818.1.3. Bernoulli Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93818.1.4. Euler Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939

18.2. Error Functions. Exponential and Logarithmic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93918.2.1. Error Function and Complementary Error Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93918.2.2. Exponential Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94018.2.3. Logarithmic Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941

18.3. Sine Integral and Cosine Integral. Fresnel Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94118.3.1. Sine Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94118.3.2. Cosine Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94218.3.3. Fresnel Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942

18.4. Gamma Function, Psi Function, and Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94318.4.1. Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94318.4.2. Psi Function (Digamma Function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94418.4.3. Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945

18.5. Incomplete Gamma and Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94618.5.1. Incomplete Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94618.5.2. Incomplete Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947

CONTENTS xvii

18.6. Bessel Functions (Cylindrical Functions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94718.6.1. Definitions and Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94718.6.2. Integral Representations and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94918.6.3. Zeros and Orthogonality Properties of Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 95118.6.4. Hankel Functions (Bessel Functions of the Third Kind) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

18.7. Modified Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95318.7.1. Definitions. Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95318.7.2. Integral Representations and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954

18.8. Airy Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95518.8.1. Definition and Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95518.8.2. Power Series and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956

18.9. Degenerate Hypergeometric Functions (Kummer Functions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95618.9.1. Definitions and Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95618.9.2. Integral Representations and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95918.9.3. Whittaker Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960

18.10. Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96018.10.1. Various Representations of the Hypergeometric Function . . . . . . . . . . . . . . 96018.10.2. Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960

18.11. Legendre Polynomials, Legendre Functions, and Associated Legendre Functions . . . 96218.11.1. Legendre Polynomials and Legendre Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96218.11.2. Associated Legendre Functions with Integer Indices and Real Argument . . 96418.11.3. Associated Legendre Functions. General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965

18.12. Parabolic Cylinder Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96718.12.1. Definitions. Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96718.12.2. Integral Representations, Asymptotic Expansions, and Linear Relations . . . 968

18.13. Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96918.13.1. Complete Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96918.13.2. Incomplete Elliptic Integrals (Elliptic Integrals) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 970

18.14. Elliptic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97218.14.1. Jacobi Elliptic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97218.14.2. Weierstrass Elliptic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976

18.15. Jacobi Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97818.15.1. Series Representation of the Jacobi Theta Functions. Simplest Properties . . 97818.15.2. Various Relations and Formulas. Connection with Jacobi Elliptic Functions 978

18.16. Mathieu Functions and Modified Mathieu Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98018.16.1. Mathieu Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98018.16.2. Modified Mathieu Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982

18.17. Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98218.17.1. Laguerre Polynomials and Generalized Laguerre Polynomials . . . . . . . . . . . 98218.17.2. Chebyshev Polynomials and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98318.17.3. Hermite Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98518.17.4. Jacobi Polynomials and Gegenbauer Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986

18.18. Nonorthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98818.18.1. Bernoulli Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98818.18.2. Euler Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989


xviii CONTENTS

19. Calculus of Variations and Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991

19.1. Calculus of Variations and Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99119.1.1. Some Definitions and Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99119.1.2. Simplest Problem of Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99319.1.3. Isoperimetric Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100219.1.4. Problems with Higher Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100619.1.5. Lagrange Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100819.1.6. Pontryagin Maximum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010

19.2. Mathematical Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101219.2.1. Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101219.2.2. Nonlinear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027


20. Probability Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031

20.1. Simplest Probabilistic Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103120.1.1. Probabilities of Random Events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103120.1.2. Conditional Probability and Simplest Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103520.1.3. Sequences of Trials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037

20.2. Random Variables and Their Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103920.2.1. One-Dimensional Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103920.2.2. Characteristics of One-Dimensional Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104220.2.3. Main Discrete Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104720.2.4. Continuous Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105120.2.5. Multivariate Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057

20.3. Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106820.3.1. Convergence of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106820.3.2. Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069

20.4. Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107120.4.1. Theory of Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107120.4.2. Models of Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074


21. Mathematical Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081

21.1. Introduction to Mathematical Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108121.1.1. Basic Notions and Problems of Mathematical Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108121.1.2. Simplest Statistical Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108221.1.3. Numerical Characteristics of Statistical Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087

21.2. Statistical Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108821.2.1. Estimators and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108821.2.2. Estimation Methods for Unknown Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109121.2.3. Interval Estimators (Confidence Intervals) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093

21.3. Statistical Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109421.3.1. Statistical Hypothesis. Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109421.3.2. Goodness-of-Fit Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109821.3.3. Problems Related to Normal Samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101


CONTENTS xix

Part II. Mathematical Tables 1111

T1. Finite Sums and Infinite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113

T1.1. Finite Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113T1.1.1. Numerical Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113T1.1.2. Functional Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116

T1.2. Infinite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118T1.2.1. Numerical Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118T1.2.2. Functional Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1120

References for Chapter T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127

T2. Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129

T2.1. Indefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129T2.1.1. Integrals Involving Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129T2.1.2. Integrals Involving Irrational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134T2.1.3. Integrals Involving Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137T2.1.4. Integrals Involving Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137T2.1.5. Integrals Involving Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140T2.1.6. Integrals Involving Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142T2.1.7. Integrals Involving Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147

T2.2. Tables of Definite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147T2.2.1. Integrals Involving Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147T2.2.2. Integrals Involving Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1150T2.2.3. Integrals Involving Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152T2.2.4. Integrals Involving Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152T2.2.5. Integrals Involving Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153


T3. Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157

T3.1. Tables of Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157T3.1.1. General Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157T3.1.2. Expressions with Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159T3.1.3. Expressions with Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159T3.1.4. Expressions with Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1160T3.1.5. Expressions with Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161T3.1.6. Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161T3.1.7. Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163

T3.2. Tables of Inverse Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164T3.2.1. General Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164T3.2.2. Expressions with Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166T3.2.3. Expressions with Square Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1170T3.2.4. Expressions with Arbitrary Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172T3.2.5. Expressions with Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172T3.2.6. Expressions with Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174T3.2.7. Expressions with Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174T3.2.8. Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175T3.2.9. Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176

xx CONTENTS

T3.3. Tables of Fourier Cosine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177T3.3.1. General Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177T3.3.2. Expressions with Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177T3.3.3. Expressions with Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178T3.3.4. Expressions with Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179T3.3.5. Expressions with Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179T3.3.6. Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1180T3.3.7. Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181

T3.4. Tables of Fourier Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182T3.4.1. General Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182T3.4.2. Expressions with Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182T3.4.3. Expressions with Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183T3.4.4. Expressions with Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184T3.4.5. Expressions with Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184T3.4.6. Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185T3.4.7. Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186

T3.5. Tables of Mellin Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187T3.5.1. General Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187T3.5.2. Expressions with Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188T3.5.3. Expressions with Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188T3.5.4. Expressions with Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189T3.5.5. Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189T3.5.6. Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1190

T3.6. Tables of Inverse Mellin Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1190T3.6.1. Expressions with Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1190T3.6.2. Expressions with Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 1191T3.6.3. Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192T3.6.4. Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193


T4. Orthogonal Curvilinear Systems of Coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195

T4.1. Arbitrary Curvilinear Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195T4.1.1. General Nonorthogonal Curvilinear Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195T4.1.2. General Orthogonal Curvilinear Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196

T4.2. Special Curvilinear Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198T4.2.1. Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198T4.2.2. Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199T4.2.3. Coordinates of a Prolate Ellipsoid of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1200T4.2.4. Coordinates of an Oblate Ellipsoid of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1201T4.2.5. Coordinates of an Elliptic Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202T4.2.6. Conical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202T4.2.7. Parabolic Cylinder Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203T4.2.8. Parabolic Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203T4.2.9. Bicylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204T4.2.10. Bipolar Coordinates (in Space) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204T4.2.11. Toroidal Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205


CONTENTS xxi

T5. Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207

T5.1. First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207

T5.2. Second-Order Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212T5.2.1. Equations Involving Power Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213T5.2.2. Equations Involving Exponential and Other Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220T5.2.3. Equations Involving Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222

T5.3. Second-Order Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223T5.3.1. Equations of the Form yxx = f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223T5.3.2. Equations of the Form f (x, y)yxx = g(x, y, yx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225


T6. Systems of Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229

T6.1. Linear Systems of Two Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229T6.1.1. Systems of First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229T6.1.2. Systems of Second-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232

T6.2. Linear Systems of Three and More Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237

T6.3. Nonlinear Systems of Two Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239T6.3.1. Systems of First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239T6.3.2. Systems of Second-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1240

T6.4. Nonlinear Systems of Three or More Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244


T7. First-Order Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247

T7.1. Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247T7.1.1. Equations of the Form f (x, y) wx + g(x, y)

wy = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Documents

Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists