Halado modszertani ismeretek (Statisztikaismetles)

Szokol Patricia

Debreceni Egyetem

2017–2018 oszi felev

Szokol Patricia

A hipotezisvizsgalat altalanos kerdesei

A sokasagokra vonatkozo kulonfele felteveseket hipoteziseknek, az azokhelyessegenek mintaveteli eredmenyekre alapozott vizsgalatat pedighipotezisvizsgalatnak nevezzuk.

A hipotezisvizsgalat vonatkozhat avizsgalt sokasag eloszlasara, vagy az adott eloszlas parameterere(parametereire). A hipotezisek vizsgalatara szolgalo eljarasokatstatisztikai probaknak nevezzuk. Eredmenyul azt kapjuk, hogy ahipotezist adott korulmenyek kozott elfogadjuk-e vagy sem es nem azt,hogy igaz-e vagy sem.

Peldak

Tudva, hogy egy udıtoitalt gyarto gepsorrol lekerulo palackokban afolyadekmennyiseg normalis eloszlasu 3 ml szorassal, egy 10 elemuminta alapjan vizsgaljuk meg az atlagos toltomennyiseg 500 ml-e.

Egy 15 elemu minta alapjan vizsgaljuk meg, a gyartosorrol lekerulopalackokban a folyadekmennyiseg normalis eloszlasu-e.

500 ember haj- illetve szemszınet megvizsgalva dontsunk: a hajszınfuggetlen-e a szemszıntol.

Szokol Patricia

A hipotezisvizsgalat altalanos kerdesei

A sokasagokra vonatkozo kulonfele felteveseket hipoteziseknek, az azokhelyessegenek mintaveteli eredmenyekre alapozott vizsgalatat pedighipotezisvizsgalatnak nevezzuk. A hipotezisvizsgalat vonatkozhat avizsgalt sokasag eloszlasara, vagy az adott eloszlas parameterere(parametereire).

A hipotezisek vizsgalatara szolgalo eljarasokatstatisztikai probaknak nevezzuk. Eredmenyul azt kapjuk, hogy ahipotezist adott korulmenyek kozott elfogadjuk-e vagy sem es nem azt,hogy igaz-e vagy sem.

Peldak

Tudva, hogy egy udıtoitalt gyarto gepsorrol lekerulo palackokban afolyadekmennyiseg normalis eloszlasu 3 ml szorassal, egy 10 elemuminta alapjan vizsgaljuk meg az atlagos toltomennyiseg 500 ml-e.

Egy 15 elemu minta alapjan vizsgaljuk meg, a gyartosorrol lekerulopalackokban a folyadekmennyiseg normalis eloszlasu-e.

500 ember haj- illetve szemszınet megvizsgalva dontsunk: a hajszınfuggetlen-e a szemszıntol.

Szokol Patricia

A hipotezisvizsgalat altalanos kerdesei

A sokasagokra vonatkozo kulonfele felteveseket hipoteziseknek, az azokhelyessegenek mintaveteli eredmenyekre alapozott vizsgalatat pedighipotezisvizsgalatnak nevezzuk. A hipotezisvizsgalat vonatkozhat avizsgalt sokasag eloszlasara, vagy az adott eloszlas parameterere(parametereire). A hipotezisek vizsgalatara szolgalo eljarasokatstatisztikai probaknak nevezzuk.

Eredmenyul azt kapjuk, hogy ahipotezist adott korulmenyek kozott elfogadjuk-e vagy sem es nem azt,hogy igaz-e vagy sem.

Peldak

Tudva, hogy egy udıtoitalt gyarto gepsorrol lekerulo palackokban afolyadekmennyiseg normalis eloszlasu 3 ml szorassal, egy 10 elemuminta alapjan vizsgaljuk meg az atlagos toltomennyiseg 500 ml-e.

Egy 15 elemu minta alapjan vizsgaljuk meg, a gyartosorrol lekerulopalackokban a folyadekmennyiseg normalis eloszlasu-e.

500 ember haj- illetve szemszınet megvizsgalva dontsunk: a hajszınfuggetlen-e a szemszıntol.

Szokol Patricia

A hipotezisvizsgalat altalanos kerdesei

A sokasagokra vonatkozo kulonfele felteveseket hipoteziseknek, az azokhelyessegenek mintaveteli eredmenyekre alapozott vizsgalatat pedighipotezisvizsgalatnak nevezzuk. A hipotezisvizsgalat vonatkozhat avizsgalt sokasag eloszlasara, vagy az adott eloszlas parameterere(parametereire). A hipotezisek vizsgalatara szolgalo eljarasokatstatisztikai probaknak nevezzuk. Eredmenyul azt kapjuk, hogy ahipotezist adott korulmenyek kozott elfogadjuk-e vagy sem es nem azt,hogy igaz-e vagy sem.

Peldak

Tudva, hogy egy udıtoitalt gyarto gepsorrol lekerulo palackokban afolyadekmennyiseg normalis eloszlasu 3 ml szorassal, egy 10 elemuminta alapjan vizsgaljuk meg az atlagos toltomennyiseg 500 ml-e.

Egy 15 elemu minta alapjan vizsgaljuk meg, a gyartosorrol lekerulopalackokban a folyadekmennyiseg normalis eloszlasu-e.

500 ember haj- illetve szemszınet megvizsgalva dontsunk: a hajszınfuggetlen-e a szemszıntol.

Szokol Patricia

A hipotezisvizsgalat altalanos kerdesei

A sokasagokra vonatkozo kulonfele felteveseket hipoteziseknek, az azokhelyessegenek mintaveteli eredmenyekre alapozott vizsgalatat pedighipotezisvizsgalatnak nevezzuk. A hipotezisvizsgalat vonatkozhat avizsgalt sokasag eloszlasara, vagy az adott eloszlas parameterere(parametereire). A hipotezisek vizsgalatara szolgalo eljarasokatstatisztikai probaknak nevezzuk. Eredmenyul azt kapjuk, hogy ahipotezist adott korulmenyek kozott elfogadjuk-e vagy sem es nem azt,hogy igaz-e vagy sem.

Peldak

Tudva, hogy egy udıtoitalt gyarto gepsorrol lekerulo palackokban afolyadekmennyiseg normalis eloszlasu 3 ml szorassal, egy 10 elemuminta alapjan vizsgaljuk meg az atlagos toltomennyiseg 500 ml-e.

Egy 15 elemu minta alapjan vizsgaljuk meg, a gyartosorrol lekerulopalackokban a folyadekmennyiseg normalis eloszlasu-e.

500 ember haj- illetve szemszınet megvizsgalva dontsunk: a hajszınfuggetlen-e a szemszıntol.

Szokol Patricia

A hipotezisvizsgalat altalanos kerdesei

A sokasagokra vonatkozo kulonfele felteveseket hipoteziseknek, az azokhelyessegenek mintaveteli eredmenyekre alapozott vizsgalatat pedighipotezisvizsgalatnak nevezzuk. A hipotezisvizsgalat vonatkozhat avizsgalt sokasag eloszlasara, vagy az adott eloszlas parameterere(parametereire). A hipotezisek vizsgalatara szolgalo eljarasokatstatisztikai probaknak nevezzuk. Eredmenyul azt kapjuk, hogy ahipotezist adott korulmenyek kozott elfogadjuk-e vagy sem es nem azt,hogy igaz-e vagy sem.

Peldak

Tudva, hogy egy udıtoitalt gyarto gepsorrol lekerulo palackokban afolyadekmennyiseg normalis eloszlasu 3 ml szorassal, egy 10 elemuminta alapjan vizsgaljuk meg az atlagos toltomennyiseg 500 ml-e.

Egy 15 elemu minta alapjan vizsgaljuk meg, a gyartosorrol lekerulopalackokban a folyadekmennyiseg normalis eloszlasu-e.

500 ember haj- illetve szemszınet megvizsgalva dontsunk: a hajszınfuggetlen-e a szemszıntol.

Szokol Patricia

A hipotezisvizsgalat altalanos kerdesei

A sokasagokra vonatkozo kulonfele felteveseket hipoteziseknek, az azokhelyessegenek mintaveteli eredmenyekre alapozott vizsgalatat pedighipotezisvizsgalatnak nevezzuk. A hipotezisvizsgalat vonatkozhat avizsgalt sokasag eloszlasara, vagy az adott eloszlas parameterere(parametereire). A hipotezisek vizsgalatara szolgalo eljarasokatstatisztikai probaknak nevezzuk. Eredmenyul azt kapjuk, hogy ahipotezist adott korulmenyek kozott elfogadjuk-e vagy sem es nem azt,hogy igaz-e vagy sem.

Peldak

Tudva, hogy egy udıtoitalt gyarto gepsorrol lekerulo palackokban afolyadekmennyiseg normalis eloszlasu 3 ml szorassal, egy 10 elemuminta alapjan vizsgaljuk meg az atlagos toltomennyiseg 500 ml-e.

Egy 15 elemu minta alapjan vizsgaljuk meg, a gyartosorrol lekerulopalackokban a folyadekmennyiseg normalis eloszlasu-e.

500 ember haj- illetve szemszınet megvizsgalva dontsunk: a hajszınfuggetlen-e a szemszıntol.

Szokol Patricia

A hipotezisek megfogalmazasa, probafuggvenymeghatarozasa

Ket egymasnak ellentmondo feltevest (hipotezist) fogalmazunk meg. Azegyik: nullhipotezis, jelolese H0, errol hozunk dontest. A masik:alternatıv hipotezis, vagy ellenhipotezis, jelolese H1.

Egyszerunullhipotezis: fennallasa eseten a sokasag eloszlasa egyertelmuenmeghatarozott.Probafuggveny: az y1, y2, . . . , yn minta egy olyan T (y1, y2, . . . , yn)fuggvenye, melynek eloszlasa H0 teljesulese eseten ismert.

Szignifikancia szint, kritikus tartomany

A probafuggveny ertekkeszletet ket diszjunkt reszre bontjuk, egyelfogadasi (E) es egy kritikus (K) tartomanyra. A hatarok megadasa: haH0 teljesul, akkor a probafuggveny egy elore megadott nagy 1− αvaloszınuseggel az elfogadasi tartomanyba esik, ahol α kicsi (pl. 0,1;0,05; 0,01). Szignifikanciaszint: α · 100% (pl. 10%; 5%; 1%)

Szokol Patricia

A hipotezisek megfogalmazasa, probafuggvenymeghatarozasa

Ket egymasnak ellentmondo feltevest (hipotezist) fogalmazunk meg. Azegyik: nullhipotezis, jelolese H0, errol hozunk dontest. A masik:alternatıv hipotezis, vagy ellenhipotezis, jelolese H1. Egyszerunullhipotezis: fennallasa eseten a sokasag eloszlasa egyertelmuenmeghatarozott.

Probafuggveny: az y1, y2, . . . , yn minta egy olyan T (y1, y2, . . . , yn)fuggvenye, melynek eloszlasa H0 teljesulese eseten ismert.

Szignifikancia szint, kritikus tartomany

A probafuggveny ertekkeszletet ket diszjunkt reszre bontjuk, egyelfogadasi (E) es egy kritikus (K) tartomanyra. A hatarok megadasa: haH0 teljesul, akkor a probafuggveny egy elore megadott nagy 1− αvaloszınuseggel az elfogadasi tartomanyba esik, ahol α kicsi (pl. 0,1;0,05; 0,01). Szignifikanciaszint: α · 100% (pl. 10%; 5%; 1%)

Szokol Patricia

A hipotezisek megfogalmazasa, probafuggvenymeghatarozasa

Ket egymasnak ellentmondo feltevest (hipotezist) fogalmazunk meg. Azegyik: nullhipotezis, jelolese H0, errol hozunk dontest. A masik:alternatıv hipotezis, vagy ellenhipotezis, jelolese H1. Egyszerunullhipotezis: fennallasa eseten a sokasag eloszlasa egyertelmuenmeghatarozott.Probafuggveny: az y1, y2, . . . , yn minta egy olyan T (y1, y2, . . . , yn)fuggvenye, melynek eloszlasa H0 teljesulese eseten ismert.

Szignifikancia szint, kritikus tartomany

A probafuggveny ertekkeszletet ket diszjunkt reszre bontjuk, egyelfogadasi (E) es egy kritikus (K) tartomanyra. A hatarok megadasa: haH0 teljesul, akkor a probafuggveny egy elore megadott nagy 1− αvaloszınuseggel az elfogadasi tartomanyba esik, ahol α kicsi (pl. 0,1;0,05; 0,01). Szignifikanciaszint: α · 100% (pl. 10%; 5%; 1%)

Szokol Patricia

A hipotezisek megfogalmazasa, probafuggvenymeghatarozasa

Ket egymasnak ellentmondo feltevest (hipotezist) fogalmazunk meg. Azegyik: nullhipotezis, jelolese H0, errol hozunk dontest. A masik:alternatıv hipotezis, vagy ellenhipotezis, jelolese H1. Egyszerunullhipotezis: fennallasa eseten a sokasag eloszlasa egyertelmuenmeghatarozott.Probafuggveny: az y1, y2, . . . , yn minta egy olyan T (y1, y2, . . . , yn)fuggvenye, melynek eloszlasa H0 teljesulese eseten ismert.

Szignifikancia szint, kritikus tartomany

A probafuggveny ertekkeszletet ket diszjunkt reszre bontjuk, egyelfogadasi (E) es egy kritikus (K) tartomanyra.

A hatarok megadasa: haH0 teljesul, akkor a probafuggveny egy elore megadott nagy 1− αvaloszınuseggel az elfogadasi tartomanyba esik, ahol α kicsi (pl. 0,1;0,05; 0,01). Szignifikanciaszint: α · 100% (pl. 10%; 5%; 1%)

Szokol Patricia

A hipotezisek megfogalmazasa, probafuggvenymeghatarozasa

Ket egymasnak ellentmondo feltevest (hipotezist) fogalmazunk meg. Azegyik: nullhipotezis, jelolese H0, errol hozunk dontest. A masik:alternatıv hipotezis, vagy ellenhipotezis, jelolese H1. Egyszerunullhipotezis: fennallasa eseten a sokasag eloszlasa egyertelmuenmeghatarozott.Probafuggveny: az y1, y2, . . . , yn minta egy olyan T (y1, y2, . . . , yn)fuggvenye, melynek eloszlasa H0 teljesulese eseten ismert.

Szignifikancia szint, kritikus tartomany

A probafuggveny ertekkeszletet ket diszjunkt reszre bontjuk, egyelfogadasi (E) es egy kritikus (K) tartomanyra. A hatarok megadasa: haH0 teljesul, akkor a probafuggveny egy elore megadott nagy 1− αvaloszınuseggel az elfogadasi tartomanyba esik, ahol α kicsi (pl. 0,1;0,05; 0,01).

Szignifikanciaszint: α · 100% (pl. 10%; 5%; 1%)

Szokol Patricia

A hipotezisek megfogalmazasa, probafuggvenymeghatarozasa

Ket egymasnak ellentmondo feltevest (hipotezist) fogalmazunk meg. Azegyik: nullhipotezis, jelolese H0, errol hozunk dontest. A masik:alternatıv hipotezis, vagy ellenhipotezis, jelolese H1. Egyszerunullhipotezis: fennallasa eseten a sokasag eloszlasa egyertelmuenmeghatarozott.Probafuggveny: az y1, y2, . . . , yn minta egy olyan T (y1, y2, . . . , yn)fuggvenye, melynek eloszlasa H0 teljesulese eseten ismert.

Szignifikancia szint, kritikus tartomany

A probafuggveny ertekkeszletet ket diszjunkt reszre bontjuk, egyelfogadasi (E) es egy kritikus (K) tartomanyra. A hatarok megadasa: haH0 teljesul, akkor a probafuggveny egy elore megadott nagy 1− αvaloszınuseggel az elfogadasi tartomanyba esik, ahol α kicsi (pl. 0,1;0,05; 0,01). Szignifikanciaszint: α · 100% (pl. 10%; 5%; 1%)

Szokol Patricia

A hipotezisek megfogalmazasa, probafuggvenymeghatarozasa

Bal oldali kritikus tartomany. ca: a probafuggveny eloszlasanakp = α rendu kvantilise.

Jobb oldali kritikus tartomany. cf : a probafuggveny eloszlasanakp = 1− α rendu kvantilise.

Ketoldali kritikus tartomany. ca, cf : a probafuggveny eloszlasanakp = α/2 ill. p = 1− α/2 rendu kvantilise.

Hibak

Elsofaju hiba: a H0 hipotezist elvetjuk, pedig igaz. Valoszınusegemegegyezik az α szignifikanciaszinttel.

Masodfaju hiba: a H0 hipotezist elfogadjuk, pedig nem igaz. Enneka β valoszınuseget csak akkor szamszerusıthetjuk, ha pontosantudjuk, a H0 helyett a valosagban milyen egyszeru alternatıva allfenn.

Szokol Patricia

A hipotezisek megfogalmazasa, probafuggvenymeghatarozasa

Bal oldali kritikus tartomany. ca: a probafuggveny eloszlasanakp = α rendu kvantilise.

Jobb oldali kritikus tartomany. cf : a probafuggveny eloszlasanakp = 1− α rendu kvantilise.

Ketoldali kritikus tartomany. ca, cf : a probafuggveny eloszlasanakp = α/2 ill. p = 1− α/2 rendu kvantilise.

Hibak

Elsofaju hiba: a H0 hipotezist elvetjuk, pedig igaz. Valoszınusegemegegyezik az α szignifikanciaszinttel.

Masodfaju hiba: a H0 hipotezist elfogadjuk, pedig nem igaz. Enneka β valoszınuseget csak akkor szamszerusıthetjuk, ha pontosantudjuk, a H0 helyett a valosagban milyen egyszeru alternatıva allfenn.

Szokol Patricia

A hipotezisek megfogalmazasa, probafuggvenymeghatarozasa

Bal oldali kritikus tartomany. ca: a probafuggveny eloszlasanakp = α rendu kvantilise.

Jobb oldali kritikus tartomany. cf : a probafuggveny eloszlasanakp = 1− α rendu kvantilise.

Ketoldali kritikus tartomany. ca, cf : a probafuggveny eloszlasanakp = α/2 ill. p = 1− α/2 rendu kvantilise.

Hibak

Elsofaju hiba: a H0 hipotezist elvetjuk, pedig igaz. Valoszınusegemegegyezik az α szignifikanciaszinttel.

Masodfaju hiba: a H0 hipotezist elfogadjuk, pedig nem igaz. Enneka β valoszınuseget csak akkor szamszerusıthetjuk, ha pontosantudjuk, a H0 helyett a valosagban milyen egyszeru alternatıva allfenn.

Szokol Patricia

A hipotezisek megfogalmazasa, probafuggvenymeghatarozasa

Bal oldali kritikus tartomany. ca: a probafuggveny eloszlasanakp = α rendu kvantilise.

Jobb oldali kritikus tartomany. cf : a probafuggveny eloszlasanakp = 1− α rendu kvantilise.

Ketoldali kritikus tartomany. ca, cf : a probafuggveny eloszlasanakp = α/2 ill. p = 1− α/2 rendu kvantilise.

Hibak

Elsofaju hiba: a H0 hipotezist elvetjuk, pedig igaz. Valoszınusegemegegyezik az α szignifikanciaszinttel.

Masodfaju hiba: a H0 hipotezist elfogadjuk, pedig nem igaz. Enneka β valoszınuseget csak akkor szamszerusıthetjuk, ha pontosantudjuk, a H0 helyett a valosagban milyen egyszeru alternatıva allfenn.

Szokol Patricia

A hipotezisek megfogalmazasa, probafuggvenymeghatarozasa

Bal oldali kritikus tartomany. ca: a probafuggveny eloszlasanakp = α rendu kvantilise.

Jobb oldali kritikus tartomany. cf : a probafuggveny eloszlasanakp = 1− α rendu kvantilise.

Ketoldali kritikus tartomany. ca, cf : a probafuggveny eloszlasanakp = α/2 ill. p = 1− α/2 rendu kvantilise.

Hibak

Elsofaju hiba: a H0 hipotezist elvetjuk, pedig igaz. Valoszınusegemegegyezik az α szignifikanciaszinttel.

Masodfaju hiba: a H0 hipotezist elfogadjuk, pedig nem igaz. Enneka β valoszınuseget csak akkor szamszerusıthetjuk, ha pontosantudjuk, a H0 helyett a valosagban milyen egyszeru alternatıva allfenn.

Szokol Patricia

Hibak

H0 igaz nem igazelvetjuk elsofaju hiba (α) helyes dontes (1− β)

elfogadjuk helyes dontes (1− α) masodfaju hiba (β)

p-ertek

A p-ertek az a legkisebb szignifikanciaszint, amin H0 mar eppen elvethetoH1-el szemben. A p-ertek a T probafuggvenynek a hipotezisvizsgalatahozhasznalt mintabol nyert erteke alapjan hatarozhato meg. Egyoldalialternatıv hipotezis eseten a p-ertek ugy hatarozhato meg, hogy aprobafuggveny mintabol nyert erteket H1 iranyanak megfeleloen also vagyfelso kritikus erteknek tekintjuk, majd megallapıtjuk, vagy megbecsuljuka hozza tartozo szignifikanciaszintet. Ketoldali alternatıv hipotezis esetena probafuggveny mintabol nyert erteket elojeletol, egyes esetekbennagysagatol fuggoen also vagy felso kritikus erteknek tekintjuk, majd ahozzatartozo szignifikanciaszint ketszereset vesszuk. Adott α szinteseten: p ≤ α : elvetjuk H0-t; p > α: elfogadjuk H0-t.

Szokol Patricia

Hibak

H0 igaz nem igazelvetjuk elsofaju hiba (α) helyes dontes (1− β)

elfogadjuk helyes dontes (1− α) masodfaju hiba (β)

p-ertek

A p-ertek az a legkisebb szignifikanciaszint, amin H0 mar eppen elvethetoH1-el szemben. A p-ertek a T probafuggvenynek a hipotezisvizsgalatahozhasznalt mintabol nyert erteke alapjan hatarozhato meg.

Egyoldalialternatıv hipotezis eseten a p-ertek ugy hatarozhato meg, hogy aprobafuggveny mintabol nyert erteket H1 iranyanak megfeleloen also vagyfelso kritikus erteknek tekintjuk, majd megallapıtjuk, vagy megbecsuljuka hozza tartozo szignifikanciaszintet. Ketoldali alternatıv hipotezis esetena probafuggveny mintabol nyert erteket elojeletol, egyes esetekbennagysagatol fuggoen also vagy felso kritikus erteknek tekintjuk, majd ahozzatartozo szignifikanciaszint ketszereset vesszuk. Adott α szinteseten: p ≤ α : elvetjuk H0-t; p > α: elfogadjuk H0-t.

Szokol Patricia

Hibak

H0 igaz nem igazelvetjuk elsofaju hiba (α) helyes dontes (1− β)

elfogadjuk helyes dontes (1− α) masodfaju hiba (β)

p-ertek

A p-ertek az a legkisebb szignifikanciaszint, amin H0 mar eppen elvethetoH1-el szemben. A p-ertek a T probafuggvenynek a hipotezisvizsgalatahozhasznalt mintabol nyert erteke alapjan hatarozhato meg. Egyoldalialternatıv hipotezis eseten a p-ertek ugy hatarozhato meg, hogy aprobafuggveny mintabol nyert erteket H1 iranyanak megfeleloen also vagyfelso kritikus erteknek tekintjuk, majd megallapıtjuk, vagy megbecsuljuka hozza tartozo szignifikanciaszintet.

Ketoldali alternatıv hipotezis esetena probafuggveny mintabol nyert erteket elojeletol, egyes esetekbennagysagatol fuggoen also vagy felso kritikus erteknek tekintjuk, majd ahozzatartozo szignifikanciaszint ketszereset vesszuk. Adott α szinteseten: p ≤ α : elvetjuk H0-t; p > α: elfogadjuk H0-t.

Szokol Patricia

Hibak

H0 igaz nem igazelvetjuk elsofaju hiba (α) helyes dontes (1− β)

elfogadjuk helyes dontes (1− α) masodfaju hiba (β)

p-ertek

A p-ertek az a legkisebb szignifikanciaszint, amin H0 mar eppen elvethetoH1-el szemben. A p-ertek a T probafuggvenynek a hipotezisvizsgalatahozhasznalt mintabol nyert erteke alapjan hatarozhato meg. Egyoldalialternatıv hipotezis eseten a p-ertek ugy hatarozhato meg, hogy aprobafuggveny mintabol nyert erteket H1 iranyanak megfeleloen also vagyfelso kritikus erteknek tekintjuk, majd megallapıtjuk, vagy megbecsuljuka hozza tartozo szignifikanciaszintet. Ketoldali alternatıv hipotezis esetena probafuggveny mintabol nyert erteket elojeletol, egyes esetekbennagysagatol fuggoen also vagy felso kritikus erteknek tekintjuk, majd ahozzatartozo szignifikanciaszint ketszereset vesszuk.

Adott α szinteseten: p ≤ α : elvetjuk H0-t; p > α: elfogadjuk H0-t.

Szokol Patricia

Hibak

H0 igaz nem igazelvetjuk elsofaju hiba (α) helyes dontes (1− β)

elfogadjuk helyes dontes (1− α) masodfaju hiba (β)

p-ertek

A p-ertek az a legkisebb szignifikanciaszint, amin H0 mar eppen elvethetoH1-el szemben. A p-ertek a T probafuggvenynek a hipotezisvizsgalatahozhasznalt mintabol nyert erteke alapjan hatarozhato meg. Egyoldalialternatıv hipotezis eseten a p-ertek ugy hatarozhato meg, hogy aprobafuggveny mintabol nyert erteket H1 iranyanak megfeleloen also vagyfelso kritikus erteknek tekintjuk, majd megallapıtjuk, vagy megbecsuljuka hozza tartozo szignifikanciaszintet. Ketoldali alternatıv hipotezis esetena probafuggveny mintabol nyert erteket elojeletol, egyes esetekbennagysagatol fuggoen also vagy felso kritikus erteknek tekintjuk, majd ahozzatartozo szignifikanciaszint ketszereset vesszuk. Adott α szinteseten: p ≤ α : elvetjuk H0-t; p > α: elfogadjuk H0-t.

Szokol Patricia

Pelda

Pelda

Az alabbiakban egy vonat sebessegere vonatkozo adatok szerepelnek:Lefele: 86,9 88,7 106,1 114 100,3 94,2

126,5 110,1 96,1 116,8 104,8 122Felfele: 102,3 84,4 74,5 82 86,9 108,6

100,5 90,3 78,2 106,4 (km/h).

Korabbi

meresek azt mutatjak, hogy a sebessegek jo kozelıtessel normaliseloszlasuak. Ellenorizzuk le, hogy igaz-e az a hipotezis (95%-os szinten),hogy lefele gyorsabban halad a vonat? A fuggetlen mintas t-probaalkalmazhatosagahoz eloszor arrol kell donteni 90%-os szinten, hogy azismeretlen szorasok egyenloek-e (F-proba).

X : lefele mert sebessegek; Y : felfele mert sebessegek.X ∼ N (µX , σ

2X ) Y ∼ N (µY , σ

2Y ),

H0 : σX = σY ,H1 : σX 6= σY .

Szokol Patricia

Pelda

Pelda

Az alabbiakban egy vonat sebessegere vonatkozo adatok szerepelnek:Lefele: 86,9 88,7 106,1 114 100,3 94,2

126,5 110,1 96,1 116,8 104,8 122Felfele: 102,3 84,4 74,5 82 86,9 108,6

100,5 90,3 78,2 106,4 (km/h).

Korabbi

meresek azt mutatjak, hogy a sebessegek jo kozelıtessel normaliseloszlasuak. Ellenorizzuk le, hogy igaz-e az a hipotezis (95%-os szinten),hogy lefele gyorsabban halad a vonat?

A fuggetlen mintas t-probaalkalmazhatosagahoz eloszor arrol kell donteni 90%-os szinten, hogy azismeretlen szorasok egyenloek-e (F-proba).

X : lefele mert sebessegek; Y : felfele mert sebessegek.X ∼ N (µX , σ

2X ) Y ∼ N (µY , σ

2Y ),

H0 : σX = σY ,H1 : σX 6= σY .

Szokol Patricia

Pelda

Pelda

Az alabbiakban egy vonat sebessegere vonatkozo adatok szerepelnek:Lefele: 86,9 88,7 106,1 114 100,3 94,2

126,5 110,1 96,1 116,8 104,8 122Felfele: 102,3 84,4 74,5 82 86,9 108,6

100,5 90,3 78,2 106,4 (km/h).

Korabbi

meresek azt mutatjak, hogy a sebessegek jo kozelıtessel normaliseloszlasuak. Ellenorizzuk le, hogy igaz-e az a hipotezis (95%-os szinten),hogy lefele gyorsabban halad a vonat? A fuggetlen mintas t-probaalkalmazhatosagahoz eloszor arrol kell donteni 90%-os szinten, hogy azismeretlen szorasok egyenloek-e (F-proba).

X : lefele mert sebessegek; Y : felfele mert sebessegek.X ∼ N (µX , σ

2X ) Y ∼ N (µY , σ

2Y ),

H0 : σX = σY ,H1 : σX 6= σY .

Szokol Patricia

Pelda

Pelda

Az alabbiakban egy vonat sebessegere vonatkozo adatok szerepelnek:Lefele: 86,9 88,7 106,1 114 100,3 94,2

126,5 110,1 96,1 116,8 104,8 122Felfele: 102,3 84,4 74,5 82 86,9 108,6

100,5 90,3 78,2 106,4 (km/h).

Korabbi

meresek azt mutatjak, hogy a sebessegek jo kozelıtessel normaliseloszlasuak. Ellenorizzuk le, hogy igaz-e az a hipotezis (95%-os szinten),hogy lefele gyorsabban halad a vonat? A fuggetlen mintas t-probaalkalmazhatosagahoz eloszor arrol kell donteni 90%-os szinten, hogy azismeretlen szorasok egyenloek-e (F-proba).

X : lefele mert sebessegek; Y : felfele mert sebessegek.X ∼ N (µX , σ

2X ) Y ∼ N (µY , σ

2Y ),

H0 : σX = σY ,H1 : σX 6= σY .

Szokol Patricia

Pelda

Az F proba statisztika erteke

F (x , y) = max

{s∗2NX

s∗2NY

,s∗2NY

s∗2NX

}=

164, 21

149, 014= 1, 10207.

Mivel NX = 12,NY = 10, ıgy 11 es 9 szabadsagi fokot kell tekinteni azF-eloszlas tablazatnal a kritikus ertek meghatarozasahoz. α = 0, 1, ıgy amegfelelo kritikus ertek: 3, 1. Mivel 1, 1 < 3, 1, a H0-t elfogadjuk 90%-osszinten.

t-proba

A ketmintas t-proba eseten hipoteziseink a kovetkezoek:

H0 : EX = EY ; H1 : EX > EY .

Szokol Patricia

Pelda

Az F proba statisztika erteke

F (x , y) = max

{s∗2NX

s∗2NY

,s∗2NY

s∗2NX

}=

164, 21

149, 014= 1, 10207.

Mivel NX = 12,NY = 10, ıgy 11 es 9 szabadsagi fokot kell tekinteni azF-eloszlas tablazatnal a kritikus ertek meghatarozasahoz. α = 0, 1, ıgy amegfelelo kritikus ertek: 3, 1. Mivel 1, 1 < 3, 1, a H0-t elfogadjuk 90%-osszinten.

t-proba

A ketmintas t-proba eseten hipoteziseink a kovetkezoek:

H0 : EX = EY ; H1 : EX > EY .

Szokol Patricia

Pelda

Az F proba statisztika erteke

F (x , y) = max

{s∗2NX

s∗2NY

,s∗2NY

s∗2NX

}=

164, 21

149, 014= 1, 10207.

Mivel NX = 12,NY = 10, ıgy 11 es 9 szabadsagi fokot kell tekinteni azF-eloszlas tablazatnal a kritikus ertek meghatarozasahoz. α = 0, 1, ıgy amegfelelo kritikus ertek: 3, 1. Mivel 1, 1 < 3, 1, a H0-t elfogadjuk 90%-osszinten.

t-proba

A ketmintas t-proba eseten hipoteziseink a kovetkezoek:

H0 : EX = EY ; H1 : EX > EY .

Szokol Patricia

Muveletek komplex szamokkal

t-proba

A t-probastatisztika erteke:

t =X − Y√

(NX − 1)s∗2NX− (NY − 1)s∗2NY

·

√NXNY (NX + NY − 2)

NX + NY

=105, 547− 91, 41√

11 ∗ 12, 8152 − 9 ∗ 12, 2072·√

12 ∗ 10(12 + 10− 2)

12 + 10= 2, 631.

Masreszt, a kritikus tartomany a t- eloszlastablazat alapjan (20-asszabadsagi fok, α = 0, 05)

C1 = {(x , y) : t > 1, 725}.

Mivel 2, 631 > 1, 725, ıgy H1-et fogadjuk el 95%-os szinten.

Szokol Patricia

Muveletek komplex szamokkal

t-proba

A t-probastatisztika erteke:

t =X − Y√

(NX − 1)s∗2NX− (NY − 1)s∗2NY

·

√NXNY (NX + NY − 2)

NX + NY

=105, 547− 91, 41√

11 ∗ 12, 8152 − 9 ∗ 12, 2072·√

12 ∗ 10(12 + 10− 2)

12 + 10= 2, 631.

Masreszt, a kritikus tartomany a t- eloszlastablazat alapjan (20-asszabadsagi fok, α = 0, 05)

C1 = {(x , y) : t > 1, 725}.

Mivel 2, 631 > 1, 725, ıgy H1-et fogadjuk el 95%-os szinten.

Szokol Patricia

Muveletek komplex szamokkal

t-proba

A t-probastatisztika erteke:

t =X − Y√

(NX − 1)s∗2NX− (NY − 1)s∗2NY

·

√NXNY (NX + NY − 2)

NX + NY

=105, 547− 91, 41√

11 ∗ 12, 8152 − 9 ∗ 12, 2072·√

12 ∗ 10(12 + 10− 2)

12 + 10= 2, 631.

Masreszt, a kritikus tartomany a t- eloszlastablazat alapjan (20-asszabadsagi fok, α = 0, 05)

C1 = {(x , y) : t > 1, 725}.

Mivel 2, 631 > 1, 725, ıgy H1-et fogadjuk el 95%-os szinten.

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

yij : a j-edik minta i-edik eleme (j = 1, . . . ,M, i = 1, . . . , nj).

yij eloszlasa: N (µj , σ2j ).

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;Ellenhipotezis: H1 : ∃j ∈ {1, . . . ,M}, µj 6= µ.

Negyzetosszegek kozotti osszefugges:

M∑j=1

nj∑i=1

(yij − y)2 =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2 +

M∑j=1

nj(yj − y)2.

SST=SSB+SSK,

ahol SST a teljes, SSB a belso es SSK a kulso negyzetosszeg.

Atlagos negyzetoszegek:

s2k =SSK

M − 1, kulso , s2b =

SSB

n −M,

ahol n =∑M

j=1 nj .

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

yij : a j-edik minta i-edik eleme (j = 1, . . . ,M, i = 1, . . . , nj).

yij eloszlasa: N (µj , σ2j ).

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;Ellenhipotezis: H1 : ∃j ∈ {1, . . . ,M}, µj 6= µ.

Negyzetosszegek kozotti osszefugges:

M∑j=1

nj∑i=1

(yij − y)2 =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2 +

M∑j=1

nj(yj − y)2.

SST=SSB+SSK,

ahol SST a teljes, SSB a belso es SSK a kulso negyzetosszeg.

Atlagos negyzetoszegek:

s2k =SSK

M − 1, kulso , s2b =

SSB

n −M,

ahol n =∑M

j=1 nj .

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

yij : a j-edik minta i-edik eleme (j = 1, . . . ,M, i = 1, . . . , nj).

yij eloszlasa: N (µj , σ2j ).

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;Ellenhipotezis: H1 : ∃j ∈ {1, . . . ,M}, µj 6= µ.

Negyzetosszegek kozotti osszefugges:

M∑j=1

nj∑i=1

(yij − y)2 =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2 +

M∑j=1

nj(yj − y)2.

SST=SSB+SSK,

ahol SST a teljes, SSB a belso es SSK a kulso negyzetosszeg.

Atlagos negyzetoszegek:

s2k =SSK

M − 1, kulso , s2b =

SSB

n −M,

ahol n =∑M

j=1 nj .

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

yij : a j-edik minta i-edik eleme (j = 1, . . . ,M, i = 1, . . . , nj).

yij eloszlasa: N (µj , σ2j ).

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;Ellenhipotezis: H1 : ∃j ∈ {1, . . . ,M}, µj 6= µ.

Negyzetosszegek kozotti osszefugges:

M∑j=1

nj∑i=1

(yij − y)2 =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2 +

M∑j=1

nj(yj − y)2.

SST=SSB+SSK,

ahol SST a teljes, SSB a belso es SSK a kulso negyzetosszeg.

Atlagos negyzetoszegek:

s2k =SSK

M − 1, kulso , s2b =

SSB

n −M,

ahol n =∑M

j=1 nj .

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

yij : a j-edik minta i-edik eleme (j = 1, . . . ,M, i = 1, . . . , nj).

yij eloszlasa: N (µj , σ2j ).

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;Ellenhipotezis: H1 : ∃j ∈ {1, . . . ,M}, µj 6= µ.

Negyzetosszegek kozotti osszefugges:

M∑j=1

nj∑i=1

(yij − y)2 =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2 +

M∑j=1

nj(yj − y)2.

SST=SSB+SSK,

ahol SST a teljes, SSB a belso es SSK a kulso negyzetosszeg.

Atlagos negyzetoszegek:

s2k =SSK

M − 1, kulso , s2b =

SSB

n −M,

ahol n =∑M

j=1 nj .

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

Probafuggveny

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;

SSB =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2; SSK =

M∑j=1

nj(yj − y)2.

A probafuggveny:

F =SSK/(M − 1)

SSB/(n −M)=

s2ks2b.

Ha az egyes (normalis eloszlasu) mintak szorasai megegyeznek(σ1 = σ2 = · · · = σM , tesztelheto) es H0 teljesul, akkor aprobafuggveny eloszlasa M − 1 es n−M szabadsagi foku F -eloszlas.

Ha H0 igaz, SSK kicsi, SSB nagy.

Adott α-szinthez tartozo kritikus tartomany:

F ≥ F1−α(M − 1, n −M).

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

Probafuggveny

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;

SSB =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2; SSK =

M∑j=1

nj(yj − y)2.

A probafuggveny:

F =SSK/(M − 1)

SSB/(n −M)=

s2ks2b.

Ha az egyes (normalis eloszlasu) mintak szorasai megegyeznek(σ1 = σ2 = · · · = σM , tesztelheto) es H0 teljesul, akkor aprobafuggveny eloszlasa M − 1 es n−M szabadsagi foku F -eloszlas.

Ha H0 igaz, SSK kicsi, SSB nagy.

Adott α-szinthez tartozo kritikus tartomany:

F ≥ F1−α(M − 1, n −M).

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

Probafuggveny

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;

SSB =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2; SSK =

M∑j=1

nj(yj − y)2.

A probafuggveny:

F =SSK/(M − 1)

SSB/(n −M)=

s2ks2b.

Ha az egyes (normalis eloszlasu) mintak szorasai megegyeznek(σ1 = σ2 = · · · = σM , tesztelheto) es H0 teljesul, akkor aprobafuggveny eloszlasa M − 1 es n−M szabadsagi foku F -eloszlas.

Ha H0 igaz, SSK kicsi, SSB nagy.

Adott α-szinthez tartozo kritikus tartomany:

F ≥ F1−α(M − 1, n −M).

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

Probafuggveny

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;

SSB =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2; SSK =

M∑j=1

nj(yj − y)2.

A probafuggveny:

F =SSK/(M − 1)

SSB/(n −M)=

s2ks2b.

Ha az egyes (normalis eloszlasu) mintak szorasai megegyeznek(σ1 = σ2 = · · · = σM , tesztelheto) es H0 teljesul, akkor aprobafuggveny eloszlasa M − 1 es n−M szabadsagi foku F -eloszlas.

Ha H0 igaz, SSK kicsi, SSB nagy.

Adott α-szinthez tartozo kritikus tartomany:

F ≥ F1−α(M − 1, n −M).

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

Szorafelbonto-tablazat

Minta: yij ∼ N (µj , σj), j = 1, . . . ,M, i = 1, . . . , nj .

Feltetel:σ1 = · · · = σM .

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;Ellenhipotezis: H1 : ∃j ∈ {1, . . . ,M}, µj 6= µ.

SSB =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2; SSK =

M∑j=1

nj(yj − y)2.

A szorodas Elteres Szab.-i Atlagos F p-ertekoka negyzetossz. fok negyzetossz.

kulso SSK M − 1 s2k = SSKM−1 s2k/s

2b p

belso SSB n −M s2b = SSBn−M

teljes SST n − 1

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

Szorafelbonto-tablazat

Minta: yij ∼ N (µj , σj), j = 1, . . . ,M, i = 1, . . . , nj .

Feltetel:σ1 = · · · = σM .

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;Ellenhipotezis: H1 : ∃j ∈ {1, . . . ,M}, µj 6= µ.

SSB =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2; SSK =

M∑j=1

nj(yj − y)2.

A szorodas Elteres Szab.-i Atlagos F p-ertekoka negyzetossz. fok negyzetossz.

kulso SSK M − 1 s2k = SSKM−1 s2k/s

2b p

belso SSB n −M s2b = SSBn−M

teljes SST n − 1

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

Szorafelbonto-tablazat

Minta: yij ∼ N (µj , σj), j = 1, . . . ,M, i = 1, . . . , nj .

Feltetel:σ1 = · · · = σM .

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;Ellenhipotezis: H1 : ∃j ∈ {1, . . . ,M}, µj 6= µ.

SSB =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2; SSK =

M∑j=1

nj(yj − y)2.

A szorodas Elteres Szab.-i Atlagos F p-ertekoka negyzetossz. fok negyzetossz.

kulso SSK M − 1 s2k = SSKM−1 s2k/s

2b p

belso SSB n −M s2b = SSBn−M

teljes SST n − 1

Szokol Patricia

Egy szempontu szorasanalızis

Szorafelbonto-tablazat

Minta: yij ∼ N (µj , σj), j = 1, . . . ,M, i = 1, . . . , nj .

Feltetel:σ1 = · · · = σM .

Nullhipotezis: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µM = µ;Ellenhipotezis: H1 : ∃j ∈ {1, . . . ,M}, µj 6= µ.

SSB =M∑j=1

nj∑i=1

(yij − yj)2; SSK =

M∑j=1

nj(yj − y)2.

A szorodas Elteres Szab.-i Atlagos F p-ertekoka negyzetossz. fok negyzetossz.

kulso SSK M − 1 s2k = SSKM−1 s2k/s

2b p

belso SSB n −M s2b = SSBn−M

teljes SST n − 1

Szokol Patricia