Universidad Tecnica Federico Santa Mara.Departamento de Matematica.

GUIA MAT024 - PAR. 200

PROFESOR: LEONELO ITURRIAGA PASTENE

Integrales Dobles

1. Calcule cada una de las siguientes integrales:

a)

20

x20

ydydx

b)

0

cos()0

r sen()drd

c)

e/21/2

2x2x2x+1

0

1

x2 y2dydx

d)

20

42y2

42y2ydxdy

e)

10

yy2

(xy x2)dxdy

2. En cada uno de los siguientes items se especifica una funcion Fy se describe una region R. Encuentre el valor de

RF (x, y)dA.

a) F (x, y) = x + y; R es la region limitada por las graficas dey = x2 y y2 = x.

b) F (x, y) = y2; R esta limitada por las graficas de x + y = 2,e y = x2.

c) F (x, y) = 2x; R esta limitada por la grafica de x2 +y2 = 4.d) F (x, y) = 1; R esta limitada por las graficas de y = 9 x2,

e y = x+ 3.e) F (x, y) = 1; R esta limita por las graficas de xy = 6 y

x+ y = 5.f ) F (x, y) = 25 x2 y2; R esta limita por las graficas de

x+ y = 5, x = 0 e y = 0.g) F (x, y) = 4 x2 y2; R esta limitada por las graficas de

y =

1 x2 e y = 0.

Integrales Triples

1. Calcule cada una de las siguientes integrales:

a)

10

x0

xy0

xdzdydx.

1

2 L. ITURRIAGA

b)

20

2xx2

2xx2

4x2y242x

dzdydx.

c)

42

11/z

yz0

xyzdxdydz.

d)

21

10

42

x2y2zdzdydx.

e)

20

9x20

x+yxy

zdzdydx.

2. Encuentre, usando integrales triples, el volumen de la region des-crita en cada item.a) La region del primer octante limitada por las graficas de{(x, y, z); x2 + y2 = 4}, y {(x, y, z); y2 + z2 = 4}.

b) La region limitada por las graficas de {(x, y, z); x2 = z},{(x, y, z); x2 = 6 z}, {(x, y, z); z2y = 4} y {(x, y, z); y =0}.

c) La region limitada pow las graficas de {(x, y, z); z = x2 +2y2}, {(x, y, z); x+ y = 1} y los planos coordenados.

d) La region limitada por las graficas de {(x, y, z); y2 = a2 2ax} y los planos con ecuaciones x = z y x = 0.

e) La region limitada por las graficas de {(x, y, z); x2 = 44z},{(x, y, z); y2 = 4 4z} y el plano xy.

f ) La region limitada por las graficas deE = {(x, y, z) R3; z 0, x+ 2y + z 1, y |x|}. Encuentre ademas

E

y dV.

Cambios de coordenadas en la integral multiple

1. En cada uno de los siguientes ejercicios calcule el area de la regiondada utilizando coordenadas polares:a) La region limitada por un circulo de radio a.b) Ua region anular encerrada por los crculos con ecuaciones

(x 6)2 + y2 = 36 y (x 4)4 + y2 = 16.c) La region limitada por las graficas de x2 +y2 = 25, x2 +y2 =

4, y = 0 e y = x.d) La region limitada por la grafica de r2 = a2 cos(2).

2. Calcule las siguientes integrales mediante un cambio adecuadode variables:

a)

40

16x20

(x2 + y2)dydx.

b)

a0

a2y20

a2 x2 y2dxdy.

c)

2a0

2axx20

(x2 + y2)dxdy.

GUIA MAT024 - PAR. 200 3

d)

S

e(yx)/(y+x)dxdy, donde S es le triangulo determinado

por la recta x+ y = 2 y lo ejes coordenados.

e)

S

(x y)2 sen2(x + y)dxdy, donde S es el paralelogramo

con vertices (, 0), (2, ), (, 2), (0, ).

f )

S

(x2 +y2)dxdydz siendo S el solido limitado por la grafi-

ca de x2 + y2 = 2z y por el plano z = 1.

g)

S

dxdydz siendo S el solido limitado por los tres planos

coordenados, la grafica de z = x2 + y2, y el plano x+ y = 1.

h)

S

dxdydz siendo S una esfera de radio a y centro en el

origen.

i)

S

dxdydz siendo S el solido limitado entre dos esferas

concentricas de radios a y b, (0 < a < b) y con centro en elorigen.

3. Calcular Rz dV

dondeR es la region del primer octante encerrada por el elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 y los planos coordenados.

4. Calcule la integral

D

x2ex2

y

y(x2 + y2)dA

donde D es la region acotada por las curvas x = y, x = 2y,x2 = y y x2 = 2y.

AYUDA: Considere u = xy; v = x

2

y.

5. Sea := {(x, y) R2 : x 0, y 0, x y 1, y 1/2 x}.Calcule:

yey

(x+ y)2dxdy

AYUDA: Considere x+ y = u, y = uv.6. Use coordenadas cilndricas para encontrar el volumen de la re-

gion limitada por las graficas de x2 + y2 = z, x2 + y2 y = 0 yel plano xy.

4 L. ITURRIAGA

7. Considere la suma de integrales

I =

1/20

3x

3x

x2+y20

(x2 + y2 + z2

)dzdydx

+

21/2

1(x1)2

1(x1)2

x2+y20

(x2 + y2 + z2

)dzdydx

a) Escribir I usando coordenadas cilndricas y esfericas.b) Calcular el valor de I en cualquier sistema de coordenadas.

8. Calcule Dx2y2 dA

donde D la region acotada por el primer cuadrante, las dos hi-perbolas xy = 1, xy = 2, y las rectas y = x e y = 4x.

AYUDA: Considere xy = u, v = yx.

9. Calcule el volumen de la region solida encerrada entre

x2 + y2 = 9, y + z = 5, z = 1.

10. Determine el centroide de la region acotada por

z3 =

(x2

4+ y2 + z2

)211. Calcular

R3

dV

(x2 + y2 + z2 + 9)2.

Varios

1. Encuentre la coordenada z del centro de masa de la porcion delcono z =

x2 + y2 entre z = 1 y z = 2, si la densidad de masa

es constante .2. Determinar el centroide del solido que queda encerrado por los

paraboloides z = x2 + y2 y z = 36 3x2 3y2 .3. Hallar la masa y el centro de masa del solido limitado por el

paraboloide z = 4x2 + 4y2 y el plano z = a, (a > 0) si este tienedensidad constante.