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Vigas
Ejercicio Nº1
Determinar las Reacciones de la viga simplemente apoyada cargada como
se muestra en la Figura 1.
Figura1
Solución:
Para facilitar la solución de este ejercicio se efectuara por pasos
Paso 1: Determinar la Estaticidad, esto con el fin de verificar que la viga sea
isostática
NI = 3B+R
NE = 3N+C
Donde
NI: numero de incógnitas
B: numero de barras
R: numero de reacciones
NE: numero de ecuaciones
N: numero de nodos
C: numero de ecuación de condición menos uno
B = 1 ; R = 3 ; N = 2 ; C = 0
Al sustituir se tiene:
NI = 3B+R; NI = 3(1) + 3 = 6
NE = 3N+C; NE= 3(2) + 0 = 6
Como NI = NE, La viga es isostática
Paso 2: Realizar el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL)
Se dibuja la estructura con todas las fuerzas aplicadas conocidas, y con
todas las reacciones posibles según el vínculo, con sentidos arbitrarios.
Figura 2
Incógnitas
RAh =?
RAv =?
RBv =?
Paso 3: Calcular las Reacciones
Para proceder al cálculo de las reacciones se aplican las ecuaciones de
equilibrio estático, en el orden
FH = 0 MA = 0 Fv = 0
En primer lugar se aplica la ecuación de sumatorias de fuerzas horizontales
para obtener el valor de RAh, es decir
[+→ FH = 0] : RAh = 0
RAh = 0
Para resolver las otras dos incógnitas conviene emplear primero la ecuación de
momentos, para ello se debe elegir el punto respecto del cual se calculará el
momento. La elección dependerá de la posición de las incógnitas; o sea, se
debe elegir un punto que pertenezca a todas las incógnitas excepto una, y la
que resultará valorada; en este caso, es decir el punto A. ya que si se aplica la
ecuación Fv = 0 aparecerían las dos valores incógnitas RAv y RB
v.
Ahora bien recordando y aplicando la ecuación de momento, M = P x d
[+ MA = 0]: P1 x dA1 + P2 x dA2 – RBv x L = 0
Al sustituir por los valores conocidos del DCL
[+ MA = 0]: 3 Kg x 2 m + 6 Kg x 7 m - RBv x 10 m = 0
Efectuando las operaciones y Despejando RBv ; se tiene:
6 Kg.m + 42 Kg.m = 10 m x RBv
RBv= 48 Kg.m /10 m
RBv = 4.8 Kg↑
Ahora bien para conocer el valor de RAv se aplicara la sumatoria de fuerzas
verticales asumiendo que las fuerzas con sentido hacia arriba será positiva
[+↑ Fv = 0] : RAv + RB
v - P1 - P2 = 0
Al sustituir; se tiene:
[+↑ Fv = 0] : RAv + 4.8 Kg - 3 Kg - 6 Kg = 0
Al realizar la suma algebraica y despejando RAv :
RAv = 9 Kg – 4.8 Kg
RAv = 4.2 Kg↑
Con lo que queda terminado el ejercicio.
Figura 3
Resumen
La viga simplemente apoyada esta en equilibrio, es asimétrica por lo que los
valores de los vectores de reacciones verticales son RAv = 4.2 Kg y RB
v = 4.8
Kg, mientras que RAh = 0, debido a que no actúan fuerzas horizontales.
Ejercicio Nº2
Determinar las reacciones de los apoyos en la siguiente viga simplemente
apoyada en sus extremos de 10 metros de longitud que soporta una carga
distribuida w= 5 Kg por unidad de longitud.
Figura 4
Solución:
Paso 1: Determinar la Estaticidad, esto con el fin de verificar que la viga sea
isostática
B = 1 ; R = 3 ; N = 2 ; C = 0
Al sustituir, se tiene:
NI = 3B+R; NI = 3(1) + 3 = 6
NE = 3N+C; NE= 3(2) + 0 = 6
Como NI = NE, La viga es isostática
Paso 2: Realizar el DCL
Para puntualizar la carga distribuida se aplica la formula del Área de un
rectángulo, A = b x h
Donde:
b: base y h: altura
Fuerza puntualizada del rectángulo (F )
F = 10 m x 5 Kg/m = 50 Kg
Y la carga actúa en el centro de la base del rectángulo, es decir a la mitad
de 10 m
Figura 5
Incógnitas
RAh =?
RAv =?
RBv =?
Paso 3: Calcular las Reacciones
Para proceder al cálculo de las reacciones se aplican las ecuaciones de
equilibrio estático, con el orden
FH = 0 MA = 0 Fv = 0
En primer lugar se aplica la ecuación de sumatorias de fuerzas horizontales
para obtener el valor de RAh, es decir
[+→ FH = 0] : RAh = 0
RAh = 0
Para determinar las otras dos incógnitas conviene emplear primero la
ecuación de momentos, para ello se elige el punto respecto del cual se
calculará el momento. La elección dependerá de la posición de las incógnitas; o
sea, se debe elegir un punto que pertenezca a todas las incógnitas excepto
una, y la que resultará valorada; en este caso, es decir el punto A. ya que si se
aplica la ecuación Fv = 0 aparecerían las dos valores incógnitas RAv y RB
v.
Ahora bien como en el ejercicio anterior se aplica la ecuación M = P x d
[+ MA = 0]: 50 kg x 5 m – RBv x 10 m = 0
Efectuando las operaciones y despejando RBv ; se tiene:
250 Kg.m = 10 m x RBv
RBv = 250 Kg.m /10 m
RBv = 25 Kg↑
Ahora para conocer el valor de RAv se aplicara la sumatoria de fuerzas
verticales asumiendo que las fuerzas con sentido hacia arriba será positiva
[+↑ Fv = 0] : RAv + RB
v – 50 Kg = 0
Al sustituir; se tiene:
[+↑ Fv = 0] : RAv + 25 Kg – 50 Kg = 0
Al realizar la suma algebraica y despejando RAv :
RAv = 50 Kg – 25 Kg
RAv = 25 Kg↑
Con lo que queda terminado el ejercicio.
Figura 6
Resumen
Se observa que la viga simplemente apoyada esta en equilibrio, es simétrica
razón por la cual los valores de los vectores de reacciones verticales son
iguales RAv = 25 Kg y RB
v = 25 Kg, mientras que RAh=0, debido a que no actúan
fuerzas horizontales.
Ejercicio Nº3
En la Figura 7 se representa una viga simplemente apoyada que soporta
una carga distribuida cuya intensidad varia linealmente de 6 Kg por unidad de
longitud en el apoyo fijo a cero en el extremo del apoyo de rodillo. Determine
las reacciones en los apoyos
Figura 7
Solución:
Paso 1: Determinar la Estaticidad, esto con el fin de verificar que la viga sea
isostática
B = 1 ; R = 3 ; N = 2 ; C = 0
Al sustituir, se tiene:
NI = 3B+R; NI = 3(1) + 3 = 6
NE = 3N+C; NE= 3(2) + 0 = 6
Como NI = NE, La viga es isostática
Paso 2: Realizar el DCL
Para puntualizar la carga distribuida de tipo triangular se aplica la formula
del Área de un triangulo, A = (b x h)/2
Donde:
b: base y h: altura
Fuerza puntualizada de la carga Triangular (F )
F = (10 m x 6 Kg/m) / 2 = 30 Kg
Y la carga actúa a 1/3 de la base del lado mas alto del triangulo, es decir a
10 / 3 = 3.33 m
Figura 8
Incógnitas
RAh =?
RAv =?
RBv =?
Paso 3: Calcular las Reacciones
Para proceder al cálculo de las reacciones se aplican las ecuaciones de
equilibrio estático, las cuales son
FH = 0 MA= 0 Fv = 0
En primer lugar se aplica la ecuación de sumatorias de fuerzas horizontales
para obtener el valor de RAh, es decir
[+→ FH = 0] : RAh = 0
RAh = 0
Para resolver las otras dos incógnitas conviene emplear primero la ecuación
de momentos, para ello se debe elegir el punto respecto del cual se calculará el
momento. La elección dependerá de la posición de las incógnitas; o sea, se
debe elegir un punto que pertenezca a todas las incógnitas excepto una, y la
que resultará valorada; en este caso, es decir el punto A. ya que si se aplica la
ecuación Fv = 0 aparecerían las dos valores incógnitas RAv y RB
v.
Ahora bien se aplica la ecuación de momento, M = P x d
[+ MA = 0]: 30 kg x 3.33 m – RBv x 10 m = 0
Efectuando las operaciones y Despejando RBv ; se tiene:
99.9 Kg.m = 10 m x RBv
RBv = 99.9 Kg.m /10 m
RBv= 9.99 Kg↑
Ahora para conocer el valor de RAv se aplicara la sumatoria de fuerzas
verticales asumiendo que las fuerzas con sentido hacia arriba será positiva
[+↑ Fv = 0] : RAv + RB
v – 30 Kg = 0
Al sustituir; se tiene:
[+↑ Fv = 0] : RAv + 9.99 Kg – 30 Kg = 0
Al realizar la suma algebraica y despejando RAv :
RAv = 30 Kg – 9.99 Kg
RAv = 20.01 Kg↑
Con lo que queda terminado el ejercicio.
Figura 9
Resumen
Se observa que la viga simplemente apoyada esta en equilibrio, que soporta
una carga distribuida cuya intensidad varia linealmente de 6 Kg por unidad de
longitud es asimétrica razón por la cual los valores de los vectores de
reacciones verticales son diferentes RAv = 20.01 Kg y RB
v = 9.99 Kg, la
reacción vertical en el apoyo A es mayor que la del apoyo B, debido a que la
intensidad de la carga es mayor en el extremo, además RAh = 0, debido a que
no actúan fuerzas horizontales.
Ejercicio Nº4
Determine las reacciones en el apoyo A de una viga empotrada de 10
metros de longitud cargada como se muestra en la Figura 10.
Figura 10
Solución:
Paso 1: Determinar la Estaticidad, esto con el fin de verificar que la viga sea
isostática
B = 1 ; R = 3 ; N = 2 ; C = 0
Al sustituir, se tiene:
NI = 3B+R; NI = 3(1) + 3 = 6
NE = 3N+C; NE= 3(2) + 0 = 6
Como NI = NE, La viga es isostática
Paso 2: Realizar el DCL
Como se puede observar hay una carga de tipo rectangular y otra de tipo
trapezoidal, para puntualizar la carga distribuida de tipo rectangular se aplica la
formula del Área de un rectángulo, A = b x h
F = 4 m x 10 KN / m = 40 KN
Y la carga actúa a la mitad de la base del rectángulo, es decir a 4/2 = 2 m
Para puntualizar la carga trapezoidal se divide en una de tipo rectangular y
otra triangular
Figura 11
Con la carga triangular se aplica la formula del Área de un triangulo, A =
(b x h)/2
F = (6 m x 10 KN/m) / 2 = 30 KN
Y la carga actúa a 1/3 de la base del lado mas alto del triangulo, es decir a
6/3 = 2 m
La carga distribuida de tipo rectangular se tiene
F = (6 m x 10 KN/m) = 60 KN
Y la carga actúa a la mitad de la base del rectángulo, es decir a 6/2 = 3 m
Considerando las medidas a partir del apoyo A se tiene:
Figura 12
Incógnitas
RAh =?
RAv =?
MA =?
Paso 3: Calcular las Reacciones
Para proceder al cálculo de las reacciones se aplican las ecuaciones de
equilibrio estático:
FH = 0 Fv = 0 MA= 0
En primer lugar se aplica la ecuación de sumatorias de fuerzas horizontales
para obtener el valor de RAh.
[+→ FH = 0] : RAh = 0
RAh = 0
Ahora para conocer el valor de RAv se aplicara la sumatoria de fuerzas
verticales asumiendo que las fuerzas con sentido hacia arriba será positiva
[+↑ Fv = 0] : RAv – 40 KN – 30 KN – 60 K = 0
Al realizar la suma algebraica y despejando RAv :
RAv = 130 KN
RAv = 130 KN↑
Ahora bien para determinar MA se aplica la tercera ecuación
[+ MA = 0]: - MA + 40 KN x 2 m + 30 KN x 6 m + 60 KN x 7 m = 0
Efectuando las operaciones y despejando MA ; se tiene:
- MA + 80 KN.m + 180 KN.m + 420 KN.m = 0
MA = 680 KN.m
MA = 680 KN.m
Con lo que queda terminado el ejercicio.
Figura 13
Resumen
Se observa que la viga empotrada en A esta en equilibrio, que soporta dos
carga distribuida una rectangular y una trapezoidal cuya intensidad varia
linealmente por unidad de longitud, el valor del vector de reacción vertical es
RAv = 130 KN, la reacción horizontal que RA
h = 0, debido a que no actúan
fuerzas horizontales y el Momento en el apoyo es de 680 KN.m.
Ejercicio Nº5
Determine las reacciones de viga simplemente apoyada en voladizo cargada
como se muestra en la Figura14.
Figura 14
Solución:
Paso 1: Determinar la Estaticidad, esto con el fin de verificar que la viga sea
isostática
B = 2 ; R = 3 ; N = 3 ; C = 0
Al sustituir, se tiene:
NI = 3B+R; NI = 3(2) + 3 = 9
NE = 3N+C; NE= 3(3) + 0 = 9
Como NI = NE, La viga es isostática
Paso 2: Realizar el DCL
Para puntualizar la carga distribuida de tipo rectangular se aplica la formula
del Área de un rectángulo, A = b x h
F = 4 m x 10 Kg/m = 40 Kg
Y la carga actúa a la mitad de la base del rectángulo, es decir a 4/2 = 2 m
Puntualizando la carga triangular se tiene: A = (b x h)/2
F = (3 m x 6 Kg/m) / 2 = 9 Kg
Y la carga actúa a 1/3 de la base del lado mas alto del triangulo, es decir a
3/3 =1 m
El vector de la fuerza inclinada se descompone en Fx y Fy, donde:
Fx = 1Kg Cos30º = 0.87 Kg
Fy = 1Kg Sen30º = 0.50 Kg
Figura 15
Incógnitas
RAh =?
RAv =?
RBv =?
Paso 3: Calcular las Reacciones
Para proceder al cálculo de las reacciones se aplican las ecuaciones de
equilibrio estático:
FH = 0 MA = 0 Fv = 0
En primer lugar para obtener el valor de RAh, se aplica la ecuación de
sumatorias de fuerzas horizontales, asumiendo que las fuerzas con sentido
hacia la derecha será positiva es decir;
[+→ FH = 0] : RAh – 0.87 Kg = 0
Despejando RAh
RAh = 0.87 Kg
RAh = 0.87 Kg→
Ahora para conocer el valor de RAv se aplicara la sumatoria de fuerzas
verticales asumiendo que las fuerzas con sentido hacia arriba será positiva
[+↑ Fv = 0] : RAv + RB
v – 40 Kg – 3 Kg – 0.5 Kg – 9 Kg = 0
RAv + 26.17 Kg – 40 Kg – 3 Kg – 0.5 Kg – 9 Kg = 0
RAv + 26.17 Kg – 52.5 Kg = 0
Después de realizar la suma algebraica y despejando RAv :
RAv = 26.33 Kg
RAv = 26.33 Kg↑
Con lo que queda terminado el ejercicio.
Figura 16
Resumen
La viga simplemente apoyada en voladizo que soporta los diferentes tipos
de cargas, esta en equilibrio, la reacción horizontal que RAh=0.87 Kg, debido a
que la fuerza inclinada tiene dos componentes una horizontal de 0.87 Kg con
sentido hacia la izquierda que es igual a la reacción horizontal con sentido
hacia la derecha para que este en equilibrio, una vez realizado la sumatoria de
momento en el apoyo A se obtuvo el valor de RBv = 26.17 Kg y luego con
sumatoria de fuerzas verticales se determino el valor de RAv = 26.33 Kg.
Ejercicio Nº6
Determine las reacciones del apoyo A de la viga simplemente apoyada en
voladizo cargada como se muestra en la Figura 17, si la reacción en el apoyo B
es de 14 Kg
Figura 17
Solución:
Paso 1: Determinar la Estaticidad, esto con el fin de verificar que la viga sea
isostática
B = 2 ; R = 3 ; N = 3 ; C = 0
Al sustituir, se tiene:
NI = 3B+R; NI = 3(2) + 3 = 9
NE = 3N+C; NE= 3(3) + 0 = 9
Como NI = NE, La viga es isostática
Paso 2: Elaborar el DCL
El vector de la fuerza inclinada se descompone en Fx y Fy, donde:
Fx = 8 Kg Cos30º = 6.93 Kg
Fy = 8 Kg Sen30º = 4 Kg
Figura 18
Incógnitas
RAh =?
RAv =?
Paso 3: Calcular las Reacciones
Para proceder al cálculo de las reacciones se aplican las dos ecuaciones de
equilibrio estático, las cuales son
FH = 0 Fv = 0
En primer lugar para obtener el valor de RAh, se aplica la ecuación de
sumatorias de fuerzas horizontales, asumiendo que las fuerzas con sentido
hacia la derecha será positiva es decir;
[+→ FH = 0] : RAh – 6.93 Kg = 0
Despejando RAh
RAh = 6.93 Kg
Con lo que queda terminado el ejercicio.
Figura 19
Resumen
La viga simplemente apoyada en voladizo cargada como se muestra en la
figura19, esta en equilibrio, la reacción horizontal que RAh= 6.93 Kg, debido a
que la fuerza inclinada tiene dos componentes una horizontal de 6.93 Kg con
sentido hacia la izquierda ←, que es igual a la reacción horizontal con sentido
hacia la derecha → para que este en equilibrio, y luego con sumatoria de
fuerzas verticales se determino el valor de RAv = -10 Kg, lo que indica el signo
negativo es el sentido de la reacción vertical del apoyo A, va con sentido hacia
abajo ↓ esto con el fin de que exista el equilibrio.
Ejercicio Nº7
RAh = 6.93 Kg→
Determine las reacciones de viga simplemente apoyada en voladizo
cargada como se muestra en la Figura 20.
Figura 20
Solución:
Paso 1: Determinar la Estaticidad, esto con el fin de verificar que la viga sea
isostática
B = 2 ; R = 3 ; N = 3 ; C = 0
Al sustituir, se tiene:
NI = 3B+R; NI = 3(2) + 3 = 9
NE = 3N+C; NE= 3(3) + 0 = 9
Como NI = NE, La viga es isostática
Paso 2: Realizar el DCL
Para puntualizar la carga distribuida de tipo rectangular se aplica la formula
del Área de un rectángulo, A = b x h
F = 5 m x 10 Kg/m = 50 Kg
Y la carga actúa a la mitad de la base del rectángulo
Para puntualizar la carga trapezoidal se divide en una de tipo rectangular y
otra triangular
Figura 21
Con la carga triangular se aplica la formula del Área de un triangulo,
A = (b x h)/2
F = (4 m x 6 KN/m) / 2 = 12 KN
Y la carga actúa a 1/3 de la base del lado mas alto del triangulo, es decir a
4/3 = 1.33 m
Al puntualizar la carga distribuida de tipo rectangular se tiene
F = (4 m x 10 KN/m) = 40 KN
Y la carga actúa a la mitad de la base del rectángulo, es decir a 4/2 = 2 m
Considerando que el apoyo A esta a 2 m del inicio de la viga se tiene:
Figura 22
Incógnitas
RAh =?
RAv =?
RBv =?
Paso 3: Calcular las Reacciones
Para proceder al cálculo de las reacciones se aplican las ecuaciones de
equilibrio estático;
FH = 0 MA= 0 Fv = 0
En primer lugar para obtener el valor de RAh, se aplica la ecuación de
sumatorias de fuerzas horizontales, asumiendo que las fuerzas con sentido
hacia la derecha será positiva es decir;
[+→ FH = 0] : RAh = 0
RAh = 0
Ahora bien para determinar RBv se aplica la ecuación de momento en el
apoyo A
[+ MA = 0] :
50 KN x 0.5 m + 12 KN x 4.33 m + 40 KN x 5 m + 3 KN x 9 m - RBv x 9 m = 0
Efectuando las operaciones y despejando RBv , se tiene:
25 KN.m + 51.96 KN.m + 200 KN.m + 27 KN.m - RBv x 9 m = 0
303.96 KN.m = RBv x 9 m
RBv = 33.77 KN
RBv = 33.77 KN↑
Ahora para conocer el valor de RAv se aplicara la sumatoria de fuerzas
verticales asumiendo que las fuerzas con sentido hacia arriba será positiva
[+↑ Fv = 0] : RAv + RB
v – 50 KN – 12 KN – 40 KN – 3 KN = 0
RAv + 33.77 KN – 50 KN – 12 KN – 40 KN – 3 KN = 0
RAv + 33.77 KN – 105 KN = 0
Después de realizar la suma algebraica y despejando RAv :
RAv = 71.23 KN
RAv = 71.23 KN↑
Con lo que queda terminado el ejercicio.
Figura 23
Resumen
La viga simplemente apoyada en voladizo que soporta los diferentes tipos
de cargas, esta en equilibrio, la reacción horizontal que RAh=0, debido a que no
actúan fuerzas horizontales, una vez realizado la sumatoria de momento en el
apoyo A se obtuvo el valor de RBv = 33.77 KN y luego con sumatoria de fuerzas
verticales se determino el valor de RAv = 71.23 KN
Vigas Compuestas
Ejercicio Nº8
Determine las reacciones en los apoyos de la viga compuesta cargada
como se muestra en la Figura 24.
Figura 24
Solución:
Paso 1: Determinar la Estaticidad, esto con el fin de verificar que la viga sea
isostática
B = 3 ; R = 4 ; N = 4 ; C = 1
Al sustituir, se tiene:
NI = 3B+R; NI = 3(3) + 4 = 13
NE = 3N+C; NE= 3(4) + 1 = 13
Como NI = NE, La viga es isostática
Paso 2: Realizar el DCL
Como se puede observar hay una carga distribuida tipo rectangular, para
puntualizar la carga se aplica la formula del Área de un rectángulo, A = b x h
F = 4 m x 100 KN / m = 400 KN
Y la carga actúa a la mitad de la base del rectángulo, es decir a 4/2 = 2 m
Figura 25
Incógnitas
RAh =?
RAv =?
RBv =?
RDv =?
Paso 3: Calcular las Reacciones
Para la viga compuesta de una viga simple y una en voladizo unida por
medio de una articulación interna. Se observa que el numero de elementos de
reacción desconocidos, incluyendo la reacción horizontal en el apoyo A, es
cuatro, es decir para resolverlas se deben aplicar cuatro ecuaciones
independiente de la estática, tres de equilibrio y una de condición, las cuales
son
FH = 0 MCD = 0 MA = 0 Fv = 0
En primer lugar se aplica la ecuación de sumatorias de fuerzas horizontales
para obtener el valor de RAh.
[+→ FH = 0] : RAh = 0
RAh = 0
Ahora para conocer el valor de RDv se aplicara la sumatoria de momento de
la rotula C al apoyo D, considerar el diagrama de la Figura 26
Figura 26
[+ MCD = 0]: 400 KN x 2 m - RDv x 4 m = 0
Efectuando la multiplicación y despejando RDv ; se tiene:
800 KN.m - RDv x 4 m = 0
RDv = 200 KN
RDv = 200 KN↑
Ahora se aplica la tercera ecuación para determinar RBv
[+ MA = 0]:
30 KN x 1 m + 7 KN x 4 m - RBv x 4 m + 400 KN x 8 m - 200 KN x 10 m = 0
Efectuando las operaciones y despejando RBv; se tiene:
30 KN.m + 28 KN.m - RBv x 4 m + 3200 KN.8 m - 2000 KN.m = 0
1258 KN.m = RBv x 4 m
RBv = 314.5 KN
RBv = 314.5 KN↑
[+↑ Fv = 0] : RAv + RB
v + RDv – 30 KN – 7 KN – 400 KN = 0
RAv + 314.5 KN + 200 KN – 30 KN – 7 KN – 400 KN = 0
Al realizar la suma algebraica y despejando RAv :
RAv = - 77.5 KN
RAv = - 77.5 KN ↓
Con lo que queda terminado el ejercicio.
Figura 27
Resumen
Para la viga compuesta de una viga simple y una en voladizo unida por
medio de una articulación interna, se aplicaron cuatro ecuaciones
independiente de la estática, a saber tres de equilibrio y una de condición, para
determinar las reacciones, primeramente se dividió la viga en la rotula para
aplicar la ecuación de condición MCA y así obtener el valor del vector de
reacción vertical RDv = 200 KN.
Luego con la ecuación de momento en el apoyo A considerando toda las
fuerzas que actúan en la viga compuesta para determinar el valor de reacción
vertical RBv = 314.5 KN, para finalizar con las incógnitas de las reacciones
verticales se aplicó la sumatoria de fuerzas verticales para garantizar el
equilibrio en la viga con RAv = - 75.5 KN, el resultado es negativo, lo cual indica
que el sentido del vector de reacción vertical es contrario al asumido, es decir;
es hacia abajo ↓. En vista a que no actúan fuerzas horizontales, la reacción
horizontal RAh = 0.
Ejercicio Nº9
Determine las reacciones en los apoyos de la viga compuesta cargada
como se muestra en la Figura 28.
Figura 28
Solución:
Paso 1: Determinar la Estaticidad, esto con el fin de verificar que la viga sea
isostática
B = 2 ; R = 4 ; N = 3 ; C = 1
Al Sustituir, se tiene:
NI = 3B+R; NI = 3(2) + 4 = 10
NE = 3N+C; NE= 3(3) + 1 = 10
Como NI=NE, La viga es isostática
Paso 2: Realizar el DCL
Se observa una carga de tipo trapezoidal y una inclinada, se procede como
en los ejercicios anteriores para puntualizar la carga trapezoidal se divide en
una de tipo rectangular y otra triangular
Figura 29
Con la carga triangular se aplica la formula del Área de un triangulo,
A = (b x h) / 2
F = (6 m x 300 Kg/m) / 2 = 900 Kg
Y la carga actúa a 1/3 de la base del lado mas alto del triangulo, es decir a
6 / 3 = 2 m
Para la carga distribuida de tipo rectangular se tiene
F = (6 m x 200 Kg/m) = 1200 Kg
Y la carga actúa a la mitad de la base del rectángulo, es decir a 6/2 = 3 m
El vector de la fuerza inclinada se descompone en Fx y Fy, donde:
Fx = 25 Kg Cos60º = 12.5 Kg
Fy = 25 Kg Sen60º = 21.65 Kg
Figura 30
Incógnitas
RAh =?
RAv =?
MA =?
Rcv =?
Paso 3: Calcular las Reacciones
Para la viga compuesta, obsérvese que el numero de elementos de reacción
desconocidos, incluyendo la reacción horizontal en el apoyo A, es cuatro, es
decir para resolverlas se aplican cuatro ecuaciones independiente de la
estática, a saber tres de equilibrio y una de condición, así como:
FH = 0 MBC = 0 Fv = 0 MA = 0
En primer lugar se aplica la ecuación de sumatorias de fuerzas horizontales
para obtener el valor de RAh.
[+→ FH = 0] : RAh -12.5 Kg = 0
Al despejar RAh ; se tiene:
RAh = 12.5 Kg
RAh = 12.5 Kg→
Ahora se aplicara la sumatoria de momento en la rotula B a la derecha, es
decir al apoyo C, para conocer el valor de RCv, considerar el diagrama de la
Figura 31
Figura 31
[+ MBC = 0]: 900 Kg x 2 m + 1200 Kg x 3 m - RCv x 6 m = 0
1800 Kg.m + 3600 Kg.m - RCv x 6 m = 0
5400 Kg.m - RCv x 6 m = 0
Efectuando las operaciones y despejando RCv ; se tiene:
RCv = 900 Kg
RCv = 900 Kg↑
Ahora se aplica la tercera ecuación para determinar RAv
[+↑ Fv = 0] : RAv + RC
v + 21.65 Kg – 900 Kg – 1200 Kg = 0
RAv + 900 Kg + 21.65 Kg – 900 Kg – 1200 Kg = 0
RAv – 1178.35 Kg = 0
Al realizar la suma algebraica y despejando RAv :
RAv = 1178.35 Kg
RAv = 1178.35 Kg↑
Ahora bien, se aplicara la sumatoria de momento en el apoyo A,
considerando toda la viga para conocer la incógnita MA.
[+ MA = 0]:
– 21.65 Kg x 1 m + 100 Kg.m + 900 Kg x 5 m + 1200 Kg x 6 m - RCv x 9 m – MA
= 0
Al sustituir el valor de RCv = 900 Kg, se tiene:
– 21.65 Kg x 1 m + 100 Kg.m + 900 Kg x 5 m + 1200 Kg x 6 m – 900 Kg x 9 m –
MA = 0
Efectuando las operaciones y despejando MA ; se tiene:
– 21.65 Kg.m + 100 Kg.m + 4500 Kg.m + 7200 Kg.m – 8100 Kg.m – MA = 0
3678.35 Kg.m – MA = 0
MA = 3678.35 Kg.m
MA = 3678.35 Kg.m
Con lo que queda terminado el ejercicio.
Figura 32
Resumen
Para la viga compuesta empotrada en A, con una articulación interna, en la
cual se aplicaron cuatro ecuaciones independiente de la estática, a saber tres
de equilibrio y una de condición, para determinar las reacciones, primeramente
se aplicó la ecuación de fuerzas horizontales cuyo valor de la reacción
horizontal RAh= 12.5 Kg en vista que equilibra la componente horizontal de la
fuerza inclinada de 25 Kg.
Luego para aplicar la ecuación de condición MBC se dividió la viga en la
rotula y así obtener el valor del vector de reacción vertical RCv = 900 Kg, la otra
incógnita de reacción vertical se aplicó la sumatoria de fuerzas verticales para
garantizar el equilibrio en la viga con la cual, RAv = 1178.35 Kg. ya para finalizar
se aplicó la ecuación de momento en el apoyo A y se considero todas las
fuerzas que actúan en la viga compuesta para obtener el valor del momento en
el empotramiento, MA = 3678.35 Kg.m.
Ejercicio Nº10
Determine las reacciones en los apoyos de la viga compuesta que soporta
una carga distribuida de 100KN en toda su longitud, ver la Figura 33.
Figura 33
Solución:
Paso 1: Determinar la Estaticidad, esto con el fin de verificar que la viga sea
isostática
B = 3 ; R = 4 ; N = 4 ; C = 1
Sustituyendo, se tiene:
NI=3B+R; NI = 3(3) + 4 = 13
NE=3N+C; NE= 3(4) + 1 = 13
Como NI=NE, La viga es isostática
Paso 2: Realizar el DCL
Como se puede observar la carga distribuida de tipo rectangular para
puntualizarla se divide en dos rectángulos, una de base 2m y otra de base 4m.
F 1 = (2 m x 100 KN/m) = 200 KN
Y la carga actúa a la mitad de la base del rectángulo, es decir a 2/2 = 1 m
F 2 = (4 m x 100 KN/m) = 400 KN
Y la carga actúa a la mitad de la base del rectángulo, es decir a 4/2 = 2 m
Figura 34
Incógnitas
RAh =?
RAv =?
Rcv =?
RDv =?
Paso 3: Calcular las Reacciones
Para la viga compuesta, se considera como en los ejercicios anteriores con
vigas compuestas para determinar las reacciones desconocidas, se aplican
cuatro ecuaciones independiente de la estática, a saber tres de equilibrio y una
de condición, así como:
FH = 0 MBD = 0 MA = 0 Fv = 0
En primer lugar se aplica la ecuación de sumatorias de fuerzas horizontales
para obtener el valor de RAh.
[+→ FH = 0] : RAh = 0
RAh = 0
Ahora se aplicara la sumatoria de momento en la rotula B a la derecha, es
decir al apoyo D, y obtener una ecuación con dos incógnitas; RCv y RD
v,
considerar el diagrama de la Figura 34
Figura 35
[+ MBD = 0]: - RCv x 1 m + 400 KN x 2 m - RD
v x 4 m = 0
Efectuando las operaciones y ordenando los términos ; se tiene la primera
ecuación :
– RCv – 4 RD
v = – 800
Al multiplicar toda la ecuación por menos uno (–1), se tiene:
RCv + 4 RD
v = 800 ecuación (1)
Ahora bien, se aplicara la sumatoria de momento en el apoyo A,
considerando toda las fuerzas que actúan en la viga para obtener la segunda
ecuación con las mismas incógnitas de la anterior, para utilizar en método de
sustitución y determinar los valores de las reacciones RCv y RD
v
[+ MA = 0]: 200 KN x 1 m - RCv x 3 m + 400 KN x 4 m - RD
v x 6 m = 0
Efectuando las operaciones y ordenando los términos; se tiene la segunda
ecuación :
200 KN.m – 3 RCv + 1600 KN.m – 6 RD
v = 0
– 3 RCv – 6 RD
v = – 1800
Al multiplicar toda la ecuación por menos uno (–1), se tiene:
3 RCv + 6 RD
v = 1800 ecuación (2)
Con la relación de las dos ecuaciones obtenidas, se aplica el método de
sustitución para así determinar las incógnitas
De la ecuación (1) se despeja RCv y luego se sustituye en la ecuación (2)
RCv = 800 - 4 RD
v
3(800 - 4 RDv) + 6 RD
v = 1800
2400 - 12 RDv + 6 RD
v = 1800
- 6 RDv = - 600
Al despejar RDv ; se tiene:
RDv = 100 KN↑
Se sustituye el valor de RDv en la ecuación (1),
RCv = 800 - 4 RD
v
RCv = 800 - 4 (100 KN)
Después de realizar las operaciones matemáticas correspondientes, se
obtiene RCv:
RCv = 800 KN - 400 KN
RCv = 400 KN↑
Ahora para determinar RAv se aplica la ecuación de sumatoria de fuerzas
verticales
[+↑ Fv = 0] : RAv + RC
v +RDv– 200 KN – 400 KN = 0
RAv + 400 KN + 100 KN – 200 KN – 400 KN = 0
Al realizar la suma algebraica y despejando RAv
RAv – 100 KN = 0
RAv = 100 KN
RAv = 100 KN↑
Con lo que queda terminado el ejercicio.
Figura 36
Resumen
Para la viga compuesta con una articulación interna, en la cual se aplicaron
cuatro ecuaciones independiente de la estática, a saber tres de equilibrio y una
de condición, para determinar las reacciones, primeramente se aplicó la
ecuación de fuerzas horizontales cuyo valor de la reacción horizontal RAh = 0
Luego para aplicar la ecuación de condición MBD se dividió la viga en la rotula y
así obtener una ecuación en función de dos incógnitas del apoyo C y D ,
además de aplicar la ecuación de momento en el apoyo A y considerando toda
las fuerzas que actúan en la viga compuesta se obtiene una segunda ecuación
en función de las mismas incógnitas, esto con el fin de aplicar el método de
sustitución y determinar el valor de las reacciones verticales RCv = 400 KN y RD
v
= 100 KN.
Para finalizar con las incógnitas de las reacciones verticales se aplicó la
sumatoria de fuerzas verticales para garantizar el equilibrio en la viga con
reacción vertical RAv = 100 KN.
Ejercicio Nº11
Una escalera apoyada en A y en B esta cargada con el peso de una
persona aplicada en el punto C, como se muestra en la Figura 37. (Se
desprecia el peso propio de la escalera y el rozamiento en el punto B).
Determine las reacciones en los apoyos.
Figura 37
Solución:
Paso 1: Determinar la Estaticidad, esto con el fin de verificar que la viga sea
isostática
B = 1 ; R = 3 ; N = 2 ; C = 0
Sustituyendo, se tiene:
NI = 3B+R; NI = 3(1) + 9 = 6
NE = 3N+C; NE= 3(2) + 0 = 6
Como NI = NE, La viga es isostática
Paso 2: Realizar el DCL
Figura 38
Incógnitas
RAh =?
RAv =?
RBh =?
Paso 3: Calcular las Reacciones
Para determinar las reacciones desconocidas, se aplican las tres
ecuaciones de equilibrio estático:
Fv = 0 MA = 0 FH = 0
En primer lugar se aplica la ecuación de sumatorias de fuerzas verticales
para obtener el valor de RAv.
[+↑ Fv = 0] : RAv – 75 Kg = 0
RAv = 75 Kg
RAv = 75 Kg↑
Ahora se aplicara la sumatoria de momento en el apoyo A, y así determinar
incógnitas RBh
[+ MA = 0]: 75 Kg x 1.3 m - RBh x 3 m = 0
Efectuando las operaciones y se despeja RBh , se tiene:
97.5 Kg.m - RBh x 3 m = 0
97.5 Kg.m = RBh x 3 m
RBh = 97.5 Kg.m / 3 m
RBh = 32.5 Kg
RBh = 32.5 Kg→
Para determinar la tercera incógnita RAh se aplica la ecuación de sumatorias
de fuerzas horizontales.
[+→ FH = 0] : RAh - RB
h = 0
RAh - 32.5 Kg = 0
RAh = 32.5 Kg
RAh = 32.5 Kg→
Con lo que queda terminado el ejercicio.
Figura 39
Resumen
Para la viga inclinada, para determinar las reacciones, primeramente se
aplicó la ecuación de fuerzas verticales, la cual el valor es igual al de la fuerza
de 75 Kg debido q que es la única fuerza que actúa en la escalera en sentido
vertical, además de aplicar la ecuación de momento en el apoyo A y
considerando toda las fuerzas que actúan en la viga la segunda incógnita, RBh =
32.5 Kg y luego para finalizar con las incógnitas de las reacciones horizontales,
se utilizo la ecuación de sumatoria de fuerzas horizontales para así, garantizar
el equilibrio en la viga RAh = 32.5 Kg. De tal sentido que las reacciones
horizontales son iguales pero con sentido diferentes.