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Anexos
427
TABLA A.1
VIGA APOYADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION DIAGRAMA DE MOMENTOS
FLECTORES MOMENTO MAXIMO
DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES
REACCIONES EN APOYOS
FLECHAS MAXIMAS ÁNGULOS DE GIRO EXTREMOS
LbaP
M =
LaP
R
LbP
R
B
A
=
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )EIL
aLbaPEIL
bLbaP
bLaEILbP
fbLa
Xba
aLbEILaP
faLb
Xba
BA
A
B
6;
6
33;
3;
33;
3;
23
21
23
21
+=
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=>
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=<
θθ
4LP
M =
2P
RR BA ==
EILP
EILPfLXX
BA
BA
16
48;
2
2
3
==
===
θθ
aPM =
PRR BA ==
( )
( )EI
aLaP
aLEIaPfLXX
BA
BA
2
4324
;2
22
−==
−===
θθ
2LP
M =
23PRR BA ==
EILP
LEIP
fLXX
BA
BA
325
38419
;2
2
3
==
⋅===
θθ
aLn =
LPn
nMkn
LPnMkn
81
;12
8;2
2 −=+=
==
PnRR BA 21−
==
( )( )EILP
nnn
fkn
LXX
EILP
nn
fkn
BA
3
3
22
32
384115
;12
2
38445
;2
⋅−+
=+=
==
⋅−
==
EILP
nn
BA
22
241
⋅−
==θθ
aLn =
LPn
nMkn
LPnMkn
81
;12
8;2
2 +=+=
==
PnRR BA 2==
EILP
nnn
fkn
LXX
EILP
nnnnn
fkn
BA
3
3
24
3
2
234
384125
;12
2
3844426
;2
⋅++
=+=
==
⋅−+++−
==
EILP
nn
BA
22
4812
⋅+
==θθ
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
Estructuras Hiperestáticas
428
TABLA A.2
VIGA APOYADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION DIAGRAMA DE MOMENTOS
FLECTORES MOMENTO MAXIMO
DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES
REACCIONES EN APOYOS
FLECHAS MAXIMAS ÁNGULOS DE GIRO EXTREMOS
2
81
LqM =
2Lq
RR BA ==
EILq
EILq
fL
XX
BA
BA
24
3845
;2
3
4
==
⋅===
θθ
( ) ( )2
22
8;
2 LbLaq
ML
bLaX
+=
+=α
( )
Laq
R
LbLaq
R
B
A
2
22
=
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−=>
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=<
2
2222
3
4
2/32222/22
224
;224
5526,05734,1310
;100
575,8575,58;4531,0
62
6;
62
;4531,0
La
EILaq
La
EILaq
La
EILq
f
aLXLa
aLaqf
aLXLa
BA
B
l
B
θθ
( )2
cLcqM
−=
cqRR BA ==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−===
2
22
2
23
4324
2124
;2
Lc
EILcq
Lc
Lc
EILcq
fL
XX
BA
BA
θθ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=
−+=
22
;2
Lca
Lcb
caqM
Lca
caXα
( )
( )L
bLcqR
LaLcq
R
B
A
−=
−=
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
2
2
2
2
2
2
2
2
13
;13 L
cLa
EILcaq
Lc
Lb
EILcbq
BA θθ
12
2LqM =
4Lq
RR BA ==
EILq
EILq
fL
XX
BA
BA
1965
120;
2
3
4
==
===
θθ
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
Anexos
429
TABLA A.3.
VIGA APOYADA
DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION DIAGRAMA DE MOMENTOS
FLECTORES MOMENTO MAXIMO
DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES
REACCIONES EN APOYOS
FLECHAS MAXIMAS ÁNGULOS DE GIRO EXTREMOS
2/32
2/1
323
3
;3
23
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
LaLaq
M
LaL
aX α
( )
Laq
R
LaLaq
R
B
A
3
623
2
=
−=
( ) ( )LEI
aqaLLEI
aqLLaa
La
EILq
f
LLa
XLa
aLLEIqa
faL
XLa
BA
a
l
B
9035
;360
404512
405,2117,410
;0737,1593,1;4607,0
1535
9;
1535
;4607,0
222222
3
4
2/32222/22
−=
+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=>
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=<
θθ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
2/32
32
6
;3
1
Lb
Labq
M
Lb
bX β
( )L
bLbqR
Lbq
R
B
A
63
6
2
−=
=
( ) ( )LEI
bqbLbLLEI
bqbL
Lb
EILq
f
LLb
XLb
bLLEI
bqf
bLXLb
BA
A
l
A
36031520
;360
310
745,1267,810
;7334,02527,1;4396,0
30310
18
;30
310;4396,0
222222
3
4
2/3222
2/22
+−=
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⋅>
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=⋅<
θθ
Carga parabólica
2
485
LqM =
3Lq
RR BA ==
EILq
EILq
fL
XX
BA
BA
30
760,561
;2
3
4
==
===
θθ
Lam
Mba
Lbm
Mba
=>
=<
;
;
Lm
RR BA =−=
( ) ( )LEI
aLmLEI
bLm
bLLEI
mf
bLLXab
aLLEI
mf
aLLXba
BA
B
A
63
;6
3
33
3;
33
;
33
3;
33
;
2222
2/3222/122
2/3222/122
−=
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=<
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=<
θθ
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
Estructuras Hiperestáticas
430
TABLA A.4
VIGA EMPOTRADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO REACCIONES EN LOS APOYOS DIAGRAMA DE MOMENTOS
FLECTORES
2
2
2
2
LbaP
M
LbaP
M
EB
EA
−=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
La
La
pR
Lb
Lb
pR
B
A
23
23
2
2
2
2
8
8
LPM
LPM
EB
EA
−=
=
2
2
PR
PR
B
A
=
=
( )
( )L
aLaPM
LaLaP
M
EB
EA
−−=
−=
PR
PR
B
A
=
=
16
5
165
LPM
LPM
EB
EA
−=
=
23
23
PR
PR
B
A
=
=
n° de fuerzas = n-1
( )
( )n
nLPM
nnLP
M
EB
EA
121
121
2
2
−−=
−=
Pn
R
Pn
R
B
A
21
21
−=
−=
n° de fuerzas = n-1
( )
( )n
nLPM
nnLP
M
EB
EA
2412
2412
2
2
+−=
+=
Pn
R
Pn
R
B
A
2
2
=
=
12
12
2
2
LqM
LqM
EB
EA
−=
=
2
2
LqR
LqR
B
A
=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
La
LaqM
La
LaaqM
EB
EA
3412
38612
3
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
La
Laq
R
La
Laaq
R
B
A
22
222
2
3
2
2
Anexos
431
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
TABLA A.5
VIGA EMPOTRADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO REACCIONES EN LOS APOYOS DIAGRAMA DE MOMENTOS
FLECTORES
( )
( )22
22
4312
4312
cLLcq
M
cLLcq
M
EB
EA
−−=
−=
cqR
cqR
B
A
=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅−=
33
2
33
2
2
2
2
2
2
2
2
2
LaLc
La
bcqM
LbLc
Lb
acqM
EB
EA
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
232
2312
Lc
La
La
Lc
La
cqR
Lc
La
La
Lc
La
cqR
B
A
2
2
965
965
LqM
LqM
EB
EA
−=
=
4
4
LqR
LqR
B
A
=
=
20
30
2
2
LqM
LqM
EB
EA
−=
=
LqR
LqR
B
A
207
203
=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
La
Laq
M
La
Laaq
M
EB
EA
4520
6151030
3
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
La
Laq
R
La
Laaq
R
B
A
81520
8151020
2
3
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
La
Lbbq
M
Lb
Lbq
M
EB
EA
10360
3560
2
22
3
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Lb
Lbbq
R
Lb
Lbq
R
B
A
251020
2520
2
2
2
3
Carga parabólica
15
15
2
2
LqM
LqM
EB
EA
−=
=
3
3
LqR
LqR
B
A
=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
La
La
mM
Lb
Lb
mM
EB
EA
32
32
3
3
6
6
Lba
mR
Lba
mR
B
A
−=
=
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
Estructuras Hiperestáticas
432
TABLA A.6
VIGA APOYADA EMPOTRADA
DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO REACCIONES EN LOS APOYOS DIAGRAMA DE MOMENTOS
FLECTORES
( )22 L
bLbaPM E +
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
La
LaP
R
Lb
LbP
R
B
A
32
32
2
2
2
2
LPM E
163
= PR
PR
B
A
165
1611
=
=
( )L
aLaPM E
23 −
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
La
LaP
R
La
LaP
R
B
A
1322
1322
LPM E
3215
= PR
PR
B
A
3233
3263
=
=
n° de fuerzas = n-1
LPn
nM E
812 −
=
( )( )
( )( )P
nnn
R
Pn
nnR
B
A
8131
8151
−−=
+−=
n° de fuerzas = n-1
LPn
nM E
1612 2 +
=
Pn
nR
Pn
nR
B
A
1616
16110
2
2
−=
+=
2
81
LqM E = LqR
LqR
B
A
83
85
=
=
( )2
22
8LbLaq
M E +=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
La
Laq
R
Lb
Lbaq
R
B
A
48
158
2
3
2
2
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
Anexos
433
TABLA A.7
VIGA APOYADA EMPOTRADA
DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO REACCIONES EN LOS APOYOS DIAGRAMA DE MOMENTOS
FLECTORES
( )222
2
28
bLLbq
M E −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
2
2
22
688
68
Lb
Lbbq
R
Lb
Lbq
R
B
A
( )22 438
cLLcq
M E −=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
2
2
2
458
4118
Lccq
R
Lccq
R
B
A
( )[ ]22
cbLaL
cbqM E −+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
32
Lc
La
La
Lc
La
cqR
Lc
La
La
Lc
La
cqR
B
A
2
645
LqM E = LqR
LqR
B
A
6411
6421
=
=
2
1207
LqM E = LqR
LqR
B
A
4011
409
=
=
25
2LqM E =
10
52
LqR
LqR
B
A
=
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
La
Laaq
M E 415340120
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
La
Laq
R
La
Laaq
R
B
A
41540
4152020
2
3
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
22
3530 L
bbqM E
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
2
2
22
5510
510
Lb
Lbbq
R
Lb
Lbq
R
B
A
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
Estructuras Hiperestáticas
434
TABLA A.8
VIGA APOYADA EMPOTRADA
DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO REACCIONES EN LOS APOYOS DIAGRAMA DE MOMENTOS
FLECTORES
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
22
310120 L
bbqM E
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
2
2
22
102040
1040
Lb
Lbbq
R
Lb
Lbq
R
B
A
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
La
Laaq
M E 5320120
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
La
Laq
R
La
Laaq
R
B
A
540
52040
2
3
2
2
Carga parabólica
10
2LqM E =
LqR
LqR
B
A
307
3013
=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
2
312 L
bmM E
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
La
Lam
R
La
Lam
R
B
A
223
223
2
2
2m
M E =
Lm
R
Lm
R
B
A
⋅−=
⋅=
23
23
CALCULO DE MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO DE UNA VIGA APOYADA-EMPOTRADA EN FUNCIÓN DE LOS MOMENTOS DE EMPO TRAMIENTO PERFECTO.
EB
EA
E
EBB
EA
E
MMM
MMM
21
−=
⋅−= β
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
Anexos
435
TABLA A.9
VIGA EN VOLADIZO DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION DIAGRAMA DE MOMENTOS
FLECTORES MOMENTO MAXIMO
DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES
REACCION EN APOYO
FLECHAS MAXIMAS ÁNGULO DE GIRO EXTREMO
aPM =
PR =
EIaP
EIaL
aPf
2
63
2
2
=
−=
θ
LPM =
PR =
EILP
EILP
f
2
3
2
3
=
=
θ
2
21
LqM = LqR =
EILq
EILq
f
6
8
3
4
=
=
θ
2
21
aqM = aqR =
EIaq
EIaL
aqf
6
244
3
3
=
−=
θ
acqM 2=
cqR 2=
( )[ ]cacacaEIq
ac
aac
LEIacq
f
++−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
3156
133
33
2
2
2
22
θ
2
61
LqM = LqR21
=
EILq
EILq
f
24
30
3
4
=
=
θ
2
61
LqM = LqR21
= ( )
EIaq
aLEI
aqf
24
5120
3
3
=
−=
θ
2mM =
0=R
( )
EIam
aLEIamf
=
−=
θ
22
