MATEMÁTICA GUÍA 2 RESPUESTAS I. EJERCICIOS DE DESARROLLO 1. Calcular el valor numérico de las siguientes potencias:

1.1. 3 22 3⋅ = Primero se desarrollan las potencias y finalmente el producto:

3 22 3⋅ = 7298 =⋅

1.2. 3 53 2− = Primero se desarrollan las potencias y finalmente la diferencia:

3 53 2− = 27 – 32 = –5

1.3. 3 24 2 3− ⋅ = Primero se desarrollan las potencias, luego el producto y finalmente la diferencia:

3 24 2 3− ⋅ = 9264 ⋅− = 64 – 18 = 46 2. Aplicando las propiedades de las potencias, resolver:

2.1. 5 5

32 48⋅

=

En el numerador, se puede aplicar potencias de igual exponente: 5 5

32 48⋅

=3

5

8)42( ⋅ =

3

5

88

Finalmente, se aplica división de potencias de igual base:

3

5

88 = 235 88 =− = 64.

Entonces: 5 5

32 48⋅

= 64

2.2. 3

2x yx y−

⋅=

Se aplica multiplicación y división de potencias de igual base:

3

2x yx y−

⋅= 2113 +− ⋅ yx = 32 yx

2.3. 5 1

2 4a ba b

−

−⋅

=⋅

Se aplica multiplicación y división de potencias de igual base: 5 1

2 4a ba b

−

−⋅

=⋅

4125 +−− ⋅ ba = 33 ba ⋅

Finalmente, se aplica potencias de igual exponente: 33 ba ⋅ = 3)(ab

Entonces: 5 1

2 4a ba b

−

−⋅

=⋅

3)(ab

3. Resolver y expresar el resultado en notación científica: 3.1. 0,056 : 16 = Primero se efectúa la división:

0,056 : 16 = 0,0035 Expresando finalmente el resultado en notación científica:

0,0035 = 3,5 310−⋅ Entonces: 0,056 : 16 =3,5 310−⋅

3.2. =⋅− 23 )000.2(2 Transformando las potencias:

=⋅− 23 )000.2(2 23

)000.12(21

⋅⋅ = 223

000.1221

⋅⋅

= 2000.121⋅ = 500.000

Por último, se expresa el resultado en notación científica: 500.000 = 5105 ⋅

Entonces: =⋅− 23 )000.2(2 5105 ⋅

3.3. 00125,0

3)25,0( 2 ⋅ =

Resolviendo productos y cuocientes:

00125,03)25,0( 2 ⋅ = 150

Finalmente se expresa el resultado en notación científica:

150 = 2105,1 ⋅

Entonces: 00125,0

3)25,0( 2 ⋅ = 2105,1 ⋅

4. Resolver las siguientes raíces:

4.1. 75 = Descomponiendo la cantidad subradical:

75 = 325 ⋅ = 325 ⋅ = 35

4.2. 3 0 0243,

=

Resolviendo primero la operación del subradical:

3 0 0243,

= 3 008,0 = 3125

1 = 51

4.3. 50 18− = Primero se descomponen las raíces:

50 18− = 29225 ⋅−⋅ = 2325 − Reduciendo raíces semejantes:

2325 − = 22

Luego: 50 18− = 22 5. Aplicando las propiedades de las raíces, resolver:

5.1. 31

4⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Primero se expresa la raíz como: 31

4⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

41⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ahora se calcula la raíz cuadrada y se eleva a 3. 3

41⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

81

21

21

3

33

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

Entonces: 31

4⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 8

1

5.2. 3 35 3 9 = Aplicando raíces de igual índice:

3 35 3 9 = 3 935 ⋅⋅ = 3 275 ⋅ = 5 · 3 = 15.

Luego: 3 35 3 9 = 15

5.3. 154 , = Primero se transforma el exponente decimal a fracción: 2/35,1 44 = Luego se transforma a raíz

( )32/3 44 = = 823 =

Luego: 154 , = 8

6. Racionalizar denominadores:

6.1. 35=

Se amplifica la fracción por 55 :

⋅5

355 =

553

6.2. 1 23

−=

Se amplifica la fracción por 33 :

⋅−

321

33 =

3)21(3 − =

363 −

6.3. 31 2

=+

Se amplifica la fracción por el conjugado del denominador:

2121

213

−

−⋅

+=

21)21(3

−− =

1)233

−− = 233 +−

O bien: 233 +− = )12(3323 −=−

7. Expresar como un solo término:

7.1. 2 38 2/ ⋅ = Se expresa 8 como potencia de base 2 y la raíz se expresa como potencia:

2 38 2/ ⋅ = 32

)2( 3 21

2⋅ = 22 21

2⋅ Queda así, una multiplicación de potencias de igual base:

22 21

2⋅ = 2/122 + = 25

2 Este puede ser expresado como raíz:

25

2 = 3225 =

Entonces: 2 38 2/ ⋅ = 32

7.2. 4

82

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Se expresa el 8 y la raíz de 2 como potencias de base 2:

482

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

43

21

2

2⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Operando como potencias de igual base:

43

21

2

2⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

43 2

1

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − = 4

2/52 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

Se expresa la raíz como potencia:

42/52 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ = ( ) 2

4

25

2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ = 52 = 32

Entonces: 4

82

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠32

7.3. 3 10 53 24 3

⋅=

⋅

Se expresa todo como potencias de base 2 o base 3, según corresponda:

3

53 10

3423

⋅

⋅

31

310

32

232

5

⋅

⋅

Ahora se operan potencias de igual base:

31

310

32

232

5

⋅

⋅ = 2523 31

310

−−⋅ = 33/9 23 ⋅ = 333 )23(23 ⋅=⋅ = 36 = 216

Luego: 3

53 10

3423

⋅

⋅ = 216

8. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones logarítmicas: 8.1. 2 64log = Aplicando la definición de logaritmo, debe darse que: x=64log2 ⇔ 642 =x Expresando 64 como potencia de base 2: 642 =x

622 =x Luego: x = 6 Entonces: 664log2 =

8.2. 0 1log , = El logaritmo que no expresa la base, se entiende que es base 10 (logaritmo común). Entonces: log 0,1 = x ⇔ 1,010 =x Expresando 0,1 como potencia de base 10: 1,010 =x

10110 =x

11010 −=x Luego: x = -1 Entonces: log 0,1 = -1

8.3. =16log 8

Aplicando la definición de logaritmo, debe darse que:

=16log 8 x ⇔ ( ) 168 =x

Expresando todo como potencia de base 2:

( ) 168 =x

43 22 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

x

422 23

=x

; de donde:

42

3=

x

x = 8/3 Entonces: =16log 8 8/3

9. Aplicando las propiedades de los logaritmos, calcular el valor numérico de las expresiones siguientes: 9.1. 2log5log + = Aplicando la propiedad de la suma de logaritmos:

2log5log + = 110log)25log( ==⋅ Entonces: 2log5log + = 1

9.2. 21log50log − =

Aplicando la propiedad de la diferencia de logaritmos:

21log50log − = ):50log( 2

1 = log 100 = 2

Entonces: 2

1log50log − = 2

9.3. 000.1log = Expresando la raíz como potencia:

21

000.1log000.1log = Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:

000.1log000.1log 212

1

= = 321 ⋅ = 3/2

Entonces: 23000.1log =

10. Escribir en lenguaje algebraico las siguientes proposiciones: 10.1. El doble de x menos el cubo de y

El doble de x es: 2x El cubo de y es: 3y

Entonces, el doble de x menos el cubo de y es: 2x - 3y

10.2. El triple de la diferencia de los cuadrados entre x e y

Los cuadrados de x e y son, respectivamente: 2x e 2y

La diferencia de los cuadrados entre x e y es: 2x - 2y

Entonces, el triple de la diferencia de los cuadrados entre x e y es: 3( 2x - 2y )

10.3. La mitad de la diferencia entre el cuadrado de x y el cuádruplo de y.

El cuadrado de x es: 2x El cuádruplo de y es: 4y

Entonces, la mitad de la diferencia entre el cuadrado de x y el cuádruplo de y es:

21 ( 2x - 4y ) =

242 yx −

11. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones:

11.1. 532 +− uu ; si u = -4 Reemplazando u:

532 +− uu = 5)4(3)4( 2 +−⋅−− = 16 + 12 + 5 = 33

11.2. xyyx 23 2 − ; si x = -3 e y = 5 Reemplazando x e y:

xyyx 23 2 − = 5)3(25)3(3 2 ⋅−⋅−⋅−⋅ = 135 + 30 = 165

11.3. xxx 10log20435 2 −− ; si x = 5

Reemplazando x:

)5(2 10log)5(204)5(35

−⋅− = 10log510043

125−⋅− =

= 151043

125⋅−⋅− =

310

313512545

3125 −

=−

=−

12. Desarrollar los siguientes productos de expresiones algebraicas:

12.1. =− 2)73( x Es un cuadrado de binomio: 22 7)7()3(2)3( +⋅⋅− xx = 49429 2 +− xx Luego: =− 2)73( x 49429 2 +− xx

12.2. =−+ )65()65( xx Es un producto de una suma por su diferencia:

=−+ )65()65( xx 22 )6()5( −x = 3625 2 −x Luego: =−+ )65()65( xx 3625 2 −x

12.3. )52()98( xx −+ = Es un producto de binomios:

)52()98( xx −+ = )5(929)5(828 xxxx −⋅+⋅+−⋅+⋅

= 16 – 40x + 18x – 45 2x

= 16 – 22x – 45 2x Entonces: )52()98( xx −+ =16 – 22x – 45 2x 13. Factorizar las expresiones algebraicas siguientes:

12.1. xxx −− 23 711 = Factorizando por x:

xxx −− 23 711 = )1711( 2 −− xxx

12.2. 32 48 xx − =

Factorizando por 24x : 32 48 xx − = 24x (2 – x)

12.3. xx 45 1010 + =

Primero se expresará la potencia xxx 45 101010 ⋅= . Entonces:

xx 45 1010 + = xxx 44 101010 +⋅ Ahora se puede factorizar por x410 :

xx 45 1010 + = xxx 44 101010 +⋅ = x410 ( 110 +x ) 14. Factorizar los cuadrados perfectos:

14.1. =++ 122 xx 2)1( +x

14.2. =−− 9124 2 xx no es un cuadrado perfecto

14.3. =+− 497025 24 aa 2)75( −a

15. Factorizar los siguientes trinomios:

15.1. =−+ 2422 xx Se buscan 2 números que, multiplicados den –24 y sumen 2. Estos son el 6 y el –4. Entonces: =−+ 2422 xx (x + 6) (x – 4)

15.2. =++ 652 xx Se buscan 2 números que, multiplicados den 6 y sumen 5. Estos son el 3 y el 2. Entonces: =++ 652 xx (x + 3) (x + 2)

15.3. =+− xxx 107 23 Previamente se factoriza por x:

=+− xxx 107 23 )107( 2 +− xxx Ahora se factoriza el paréntesis, buscando dos números que, multiplicados den 10 y sumen -7. Estos son el –5 y el –2. Entonces: =+− xxx 107 23 x (x – 5) (x – 2)

II. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. De las siguientes igualdades, indique cuáles son verdaderas

I: ( )95,1 28 = II: 3 5 = 45 III: 1010log2 = Solución:

I: ( )95,1 28 = Convirtiendo el exponente 1,5 a fracción 3/2, queda: 2/35,1 88 = Expresando el 8 como potencia de base 2: 2/35,1 88 = = 2/33 )2( Operando las fracciones del exponente: 2/33 )2( = 2/92 Transformando, finalmente a raíz:

2/92 = 99 )2(2 = ; y la igualdad I es verdadera. II: 3 5 = 45 El 3 puede expresarse como raíz de 9: 3 5 = 59 ⋅ Aplicando producto de raíces de igual exponente: 59 ⋅ = 4559 =⋅ ; y la igualdad II es verdadera. III: 1010log2 = El logaritmo en base 2 de 10 es el exponente al cual hay que elevar el 2 para obtener 10: 1010log2 = ⇔ 102 10 = ; lo que es FALSO. Respuesta: son verdaderas solo I y II.

2. Calcular el valor numérico de )25log()25log( ++− Solución: Aplicando propiedad de la suma de logaritmos:

)25log()25log( ++− = [ ])25)(25(log +− Quedando el logaritmo de un producto de una suma por su diferencia:

=+− )25()25( 5 – 4 = 1 Por lo tanto: )25log()25log( ++− = [ ])25)(25(log +− = log 1 = 0. Respuesta: )25log()25log( ++− = 0.

3. Calcular: =−−

21

31

)254(27

Solución: El primer término puede ser convertido a raíz:

331

2727 = = 3 El segundo término se convierte primero a potencia de exponente positivo, y luego a raíz:

2/121

)4

25()254( =

−=

25

425

=

Entonces:

=−−

21

31

)254(27

253 + = 5,5

211

=

Respuesta: =−−

21

31

)254(27 11/2 = 5,5

4. Calcular el valor numérico de =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

21021110211

Solución: Corresponde a un cuadrado de binomio: El cuadrado del primer término es: 10211−

El cuadrado del segundo término es: 10211+ El doble producto del primero por el segundo es:

⋅2 10211− 10211+⋅ = ⋅2 10211()10211( +⋅− = Obsérvese que el subradical corresponde al producto de una suma por su diferencia: = ⋅2 40121− = 812 ⋅ = 1892 =⋅ Entonces:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

21021110211 10211− + 10211+ - 18 = 4

Respuesta: =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

21021110211 4

5. Calcular y expresar en notación científica 3

6

000.40200

51⋅

Solución: Expresando el numerador y el denominador como producto de una potencia de base 10:

3

6

000.40200

51⋅ =

3

6

)000.104()1002(

51

⋅

⋅⋅

Aplicando potencia de igual exponente:

3

6

)000.104()1002(

51

⋅

⋅⋅ =

33

66

000.1041002

51

⋅

⋅⋅ =

63

66

10041002

51

⋅

⋅⋅ =

6

6

22

51⋅ = 2,0

51=

Ahora hay que expresar 0,2 como notación científica: 0,2 = 2 · 110−

Respuesta: 3

6

000.40200

51⋅ = 2 · 110−

6. Calcular: =⋅⋅ −

322)8(4 1363/1

Solución: Primero se transformarán los términos en potencias de base 2:

=⋅⋅ −

322)8(4 1363/1

=⋅⋅ −

5

13633/12

2

2)2()2(

Ahora las raíces a potencia, y se operarán los exponentes:

=⋅⋅ −

5

13633/12

2

2)2()2(=

⋅⋅ −

2/5

1362/33/2

22)2(2

=⋅⋅ −

2/5

132/183/2

2222

=⋅⋅ −

2/5

1393/2

2222

Ahora se divide y multiplican las potencias de igual base:

=⋅⋅ −

2/5

1393/2

2222 2/51393/22/51393/2 22222 −−+−− =⋅⋅⋅ = 6/352−

Este número puede expresarse de varias formas:

6/352− = 6/55 22 −− ⋅ = 6 55 22 −− ⋅ = ( ) 56 22−

Respuesta: =⋅⋅ −

322)8(4 1363/1

6/352− = 6/55 22 −− ⋅ = 6 55 22 −− ⋅ = ( ) 56 22−

7. Reducir la expresión: 26 24

2aa−+

Solución: El numerador puede ser factorizado por 6:

2246 2

+−

aa =

2)4(6 2

+−

aa

El factor en el paréntesis es un producto de una suma por su diferencia. Entonces:

2

)4(6 2

+−

aa =

2)2()2(6

+−+

aaa

Simplificando (a + 2):

2

)2()2(6+

−+a

aa = )2(6 −a

Respuesta: 2246 2

+−

aa = )2(6 −a

8. Reducir la expresión: 653011

2

2

−−

+−

aaaa

Solución: En el numerador se factoriza. Dos números que multiplicados den 30 y sumados den -11 son el -5 y el -6. En el denominador se factoriza. Dos números que multiplicados den -6 y sumados den -5 son el 1 y el -6. Entonces:

653011

2

2

−−

+−

aaaa =

)6()1()6()5(

−+−−

aaaa . Simplificando por (a – 6):

653011

2

2

−−

+−

aaaa =

)6()1()6()5(

−+−−

aaaa =

15

+−

aa

Respuesta: 653011

2

2

−−

+−

aaaa =

15

+−

aa

9. Un estanque tiene )1( −a litros de agua y para llenarlo se necesitan (b + 1) litros más. ¿Cuál es la capacidad del estanque? Solución: Sea x la capacidad total del estanque. Si el estanque tiene )1( −a litros y para llenarlo se agregan (b + 1) litros, entonces, su capacidad total es igual a: babax +=++−= )1()1( Respuesta: la capacidad total del estanque es (a + b) litros.

10. Una madre tiene 24 años y su hijo 4 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será el doble de la del hijo? Solución: Hoy el hijo tiene 4 años y la madre 24. Dentro de “x” años, el hijo tendrá: ( x+4 ) años Dentro de “x” años, la madre tendrá: ( x+24 ) años Para que la madre tenga el doble de edad que su hijo, el valor de x debe ser:

xxxxxxx

=−=−+=++=+

162824

2824)4(224

Respuesta: en 16 años más, la edad de la madre será el doble de la de su hijo.

SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. El valor de

)(0,14)(-0,1 · )(0,011,2

4

2-2

⋅

⋅ , expresado en notación científica es igual a:

Solución: Desarrollando el producto en el numerador resulta: 120 El producto en el denominador resulta: 0,0004 Realizando el cuociente 120 / 0,0004 = 300.000 Expresando 300.000 como notación científica: 5103 ⋅ Alternativa correcta: E.

2. 123

234

950 + 27 −− =

Solución: La raíz de 27, de 50 y de 12 serán descompuestas:

123

234

950 + 27 −− =

343

234

9225 + 39

⋅−−

⋅⋅ .

= 32

323

4235 + 33 −−

Racionalizando el término: 23

4 = 22

234

⋅ = 2324⋅

= 3

22

Racionalizando el término: 32

3 = 33

323

⋅ = 3233⋅

= 23

Queda, entonces:

323

2342

35 + 33 −− =

23

3222

35 + 33 −−

Sumando algebraicamente raíces semejantes:

=−−3

22235 +

23 33

2336 − +

32225 − = 23

25

+

Alternativa correcta: B.

3. Al racionalizar el denominador de la expresión:

514

−

− queda:

Solución: Para racionalizar un denominador binomial, se amplifica por su correspondiente conjugado:

514

−

− = 51

4−

−

5151

+

+⋅ =

2)5(1)51(4

−

+− = 51

)51(4−+− =

4)51(4

−+− = 51+

Alternativa correcta: A.

4. ?7

12log5626log

813log =+−

Solución: Aplicando la propiedad del logaritmo de un cuociente:

=+−7

12log5626log

813log log 13 – log 8 – log 26 + log 56 + log 12 – log 7

Algunos argumentos serán descompuestos en productos: log 13 – log 8 – log (13 · 2) + log (7 · 8) + log (4 · 3) – log 7 Ahora se aplicará la propiedad del logaritmo de un producto:

log 13 – log 8– log 13 – log 2 + log 7 + log 8 + log 4 + log 3 – log 7 Reduciendo los términos opuestos, queda:

log 4 + log 3 – log 2, que puede ser expresado como: log 23·4 = log 6

Alternativa correcta: C. Otra forma: Aplicando la propiedad que el logaritmo de una suma es el logaritmo del producto y que el logaritmo de una resta es el logaritmo del cuociente:

6log)1221log(

)122613log()

2656

712

813log(

5626

712

813

log5626log)

712

813log(

712log

5626log

813log

=⋅=

⋅=⋅⋅=⋅

=−⋅=+−

5. Si 2 log a2 = 3, entonces a4 = ? Solución: En la igualdad: 2 log a2 = 3, se aplica la propiedad del logaritmo: log 22 )(a = 3. Resolviendo la potencia:

log 4a = 3 Escribiendo el 3 como log 1.000 log 000.1log4 =a Cancelando los logaritmos, queda finalmente que: 34 10000.1 ==a Alternativa correcta: D. 6. Los divisores del polinomio xxx 82 23 −+ son: I: x II: (x + 4) III: (x – 2) Solución: Primero: se factoriza el polinomio por x, quedando: xxx 82 23 −+ = )82( 2 −+ xxx Ahora se factoriza el trinomio del paréntesis: )82( 2 −+ xxx = )2()4( −+ xxx Por lo tanto, los tres factores son divisores del polinomio original. Alternativa correcta: E.

7. =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

22 4 - 16 - x

Solución: Se trata de un cuadrado de binomio. El cuadrado del primer término es: 162 −x

El doble producto del primero por el segundo es: -8 162 −x El cuadrado del segundo término es: 16 Por lo tanto:

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

22 4 - 16 - x 162 −x - 8 162 −x + 16

Reduciendo términos semejantes, queda: 2x - 8 162 −x

Alternativa correcta: B.

8.

94211

2

2

−

−−

aaa =

Solución: El numerador se puede factorizar como producto de dos binomios, mientras que el denominador es el producto de una suma por su diferencia.

94211

2

2

−

−−

aaa =

)3()3()14()3(

−+−+

aaaa

Simplificando por (a + 3), queda:

94211

2

2

−

−−

aaa =

)3()3()14()3(

−+−+

aaaa =

)3()14(

−−

aa

Alternativa correcta: C. 9. La expresión: “un medio de la diferencia entre los cuadrados de x e y”, algebraicamente se expresa: Solución: Primero: la diferencia entre los cuadrados de x e y se escribe 22 yx −

Segundo: Un medio de esta diferencia es: 2

22 yx −

Alternativa correcta: D.

10. Se puede calcular el valor numérico de la expresión 1

6655+

−−+y

yxxy , si:

(1) x = –5 (2) y = 13 Solución: Aparentemente, para calcular el valor numérico de la expresión, se debe conocer el valor de x y el de y. Pero, si se factoriza en numerador, queda:

1

6655+

−−+y

yxxy =1

)1()65(+

+−y

yx

Simplificando (y + 1), la expresión queda reducida a (5x – 6), que solo depende del valor de x. Por lo tanto, con la información (1) es suficiente para resolver el problema. Alternativa Correcta: A