Guia de Ejercicios Prueba 1

Instituto de Matemáticas Asignatura: Mat 1196 Profesor: Sergio Iturra Olivares

Guía de EjerciciosLógica, Conjuntos y Números Naturales

LOGICA

1.- Simplificar, usando propiedades, las siguientes proposiciones

1.1) 1.2)

1.3) 1.4)

2.- Determine el valor de las proposiciones y , si se sabe que las proposiciones y

, son ambas Falsas.

3.- Si se sabe que la proposición compuesta es Verdadera, determine el

valor de verdad de la proposición .

4.- Si se sabe que la proposición compuesta es Verdadera, determine el

valor de verdad de la proposición .

5.- Si las proposiciones y son ambas Verdaderas, determinar si la proposición tiene un valor de verdad fijo o depende del valor de la proposición

CUANTIFICADORES Y CONJUNTOS

6- Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones con cuantificadores

6.1)

6.2)


6.3)

6.4)

7.- Demuestre que es Falsa la siguiente proposición:

8.- Sean , y las funciones proposicionales

y .

a) Determine el valor de verdad de la proposición b) ¿Existe de modo que la proposición sea Falsa? c) Determine el valor de verdad de las proposiciones

c1)

c2)

9.- Sean y , el conjunto Universo y los conjuntos y

Obtener el conjunto

10.- Expresar en un Diagrama de Venn el conjunto

11.- Considere el Universo , y los conjuntos y , Obtener el conjunto

12.- Dados los conjuntos y . Determine el valor de verdad

de la siguiente proposición

13.- Sea . Determine el valor de verdad de la negación de la

siguiente proposición


14.- Dados los conjuntos y y las funciones proposicionales , , , determinar el valor de

verdad de la siguiente proposición

15.- Simplificar al máximo las siguientes expresiones, utilizando propiedades de conjuntos

a)

b)

c)

d)

e)

16.- Sean y tres conjuntos contenidos en un conjunto Universo , tales que y . Determine si se cumple que

17.- Sean y tres conjuntos que cumplen las dos condiciones siguientes: y

. Represente estas condiciones en un Diagrama de Venn y úselas para demostrar que

18.- Dados dos conjuntos y tales que , determinar, usando propiedades de

conjuntos, si se cumple la siguiente igualdad

19.- Si se sabe que B A , determine si se cumple que CB A B A B

20.- Considere la función proposicional de dos variables , : 2 7p x y x y , los conjuntos

1,3,5A , 2,4B y las proposiciones

: ( , )p x A y B p x y

: ( , )q y B x A p x y a) Expresar p y q en lenguaje verbal.b) Determinar valor de verdad de p y q .c) Expresar simbólicamente las negaciones de p y q .

21.- Considere los conjuntos y . Determine el valor de verdad de la s


22.-Represente en un Diagrama de Venn, el conjunto que se obtiene al simplificar al

máximo el siguiente conjunto .

iguiente proposición .

CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

22.- Se realizó una encuesta entre 90 alumnos de la PUCV, respecto a la preferencia por tres marcas de computadores personales y se obtuvo la siguiente información: 44 alumnos prefieren la marca A, 45 prefieren la marca B, 69 prefieren la marca A o la B, 16 prefieren las marcas A y C, 15 prefieren las marcas B y C, 12 prefieren las tres marcas y 59 prefieren la marca C o la B. Determinar el número de alumnos que prefieren:

a) La marca A y la C, pero no la B

b) La marca B o la C, pero no ambas

c) Una sola marca

23.- En una encuesta realizada a 150 personas respecto al medio de comunicación que usan para enterarse de las noticias, se obtuvo la siguiente información: 63 leen los diarios, 60 escuchan la radio, 20 escuchan la Radio y ven la TV, 24 ven la TV y leen los diarios, 27 escuchan la Radio y leen los Diarios, 95 escuchan la Radio o ven la TV y 30 utilizan otro tipo de medios. Determinar el número de personas que:a) Prefieren sólo uno de estos medios de comunicaciónb) Leen los Diarios o ven la TV, pero no escuchan la Radioc) No leen los Diariosd) Utilizan estos tres medios de comunicación

24.- En una encuesta realizada a estudiantes de Ingeniería de la PUCV, acerca de su preferencia de trabajar en el sector público, el sector privado o ser independiente, se obtuvo que: 85 prefieren trabajar en el sector público y en el privado, 95 sólo en el sector público, 220 prefieren trabajar en el sector público, 130 prefieren el sector privado y no ser independientes, 130 prefieren ser independientes y no trabajar en el sector privado, 45 prefieren trabajar en el sector privado y ser independientes, pero no en el sector público, 210 prefieren el sector privado y 280 no prefieren el sector público. Determinar el número de alumnos que:a) No descartan ninguna de las tres opciones.b) Fueron encuestados.c) Prefieren sólo una de las opciones.


25.- En una encuesta realizada a 150 vendedores de Software, se obtuvo la siguiente información: 63 prefieren Software de Aplicación, 60 prefieren Software Educativos, 20 prefieren Software Educativos y de Juegos, 99 prefieren de Juegos o de Aplicación, 96 prefieren Educativos o de Aplicación, 95 prefieren Educativos o de Juegos y 30 prefieren otro tipo de Software. Determinar el número de vendedores que:a) Prefieren sólo un tipo de Softwareb) Prefieren Software de Aplicación o Juegos, pero no Educativos.c) No prefieren Software de Educación.

26.- En una encuesta realizada a 400 estudiantes de Ingeniería Comercial acerca de sus intenciones de especialización, ya sea en Marketing M, Administración A o Economía E, se obtuvo que: 85 prefieren sólo M, 55 prefieren M y A, 124 escogen A pero no M, 180 prefieren M, 60 eligen M y E, 250 no eligen E, 30 eligen A y E pero no M. Determinar el número de alumnos que:a) Prefieren sólo E.b) Eligen las tres especialidades.c) Sólo una especialidad.

27.- Se realizó una encuesta entre 170 personas, respecto a que si, además de lo que cotizan en las AFP, invierten dinero extra para su jubilación en tres opciones: Ahorro Provisional Voluntario APV, Seguro con Ahorro SA y Rentas Vitalicias RV y se obtuvo la siguiente información: 43 invierten sólo en SA, 82 invierten en SA, 12 sólo en APV, 15 sólo en RV y SA, 26 sólo en APV y SA, 20 invierten en APV y RV y 37 no invierten en ninguna de estas tres opciones. Determinar el número de personas que invierten:

a) Sólo en RV

b) En APV y RV, pero no en SA.

c) En las tres opciones

28.-Se realizó una encuesta entre 90 alumnos de la PUCV, respecto a la preferencia de tres marcas de computadores personales y se obtuvo la siguiente información: 44 alumnos prefieren la marca A, 45 prefieren la marca B, 69 prefieren la marca A o la B, 16 prefieren las marcas A y C, 15 prefieren las marcas B y C, 12 prefieren las tres marcas y 59 prefieren la marca C o la B. Determinar el número de alumnos que prefieren: a) La marca A y la C, pero no la B b) Una sola marca c) Otra marca.


29.- Una agencia de viajes ha preguntado a 180 de sus clientes sobre sus destinos de viaje favoritos en Europa. Los resultados fueron los siguientes:57 prefieren España, 77 prefieren Alemania, 45 prefieren España y Alemania, 10 prefieren España, pero no Alemania ni Francia, 28 prefieren España y Alemania, pero no Francia, 90 prefieren otros países y 19 prefieren Alemania y Francia.Determinar el número de clientes que:a) Prefieren como destino a Franciab) Prefieren uno de los destinosc) Si prefieren Francia, no prefieren España.d) Sólo dos destinos.

30.- En una encuesta realizada a 100 personas sobre los resultados obtenidos en un cuestionario de tres preguntas, se obtuvo los siguientes resultados:

49 acertaron la tercera pregunta 32 acertaron la segunda y tercera pregunta 55 acertaron la segunda pregunta 6 acertaron únicamente la primera pregunta 11 acertaron la primera y la tercera pregunta, solamente 9 acertaron la primera y la segunda pregunta, solamente 7 acertaron las tres preguntas

a) Con la información entregada, construya un diagrama de Venn b) ¿Cuántas personas no contestaron las preguntas? c) ¿Cuántas acertaron solo dos preguntas?

INDUCCION

1.- Demostrar, usando Inducción, las siguientes propiedades de los Números Naturales.

1.1.-

1.2.-


1.3.-

1.4.-

1.5.-

1.6.-

1.7.-

2.- Para las sucesiones definidas por recurrencia,

2.1.- ; . 2.2.- ; .

Determinea)

b) Conjeture una expresión no recursiva para y luego demuéstrela por Inducción.

PROGRESIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS

1.- Determine una P.A. y una P.G. tales quea) Los dos primeros términos de las dos progresiones sean iguales a tres.b) Los segundos términos de ambas progresiones coincidan y el tercer término de la P.A.

sea igual a del tercer término de la P.G.

2.- La suma de tres números en P.A. es igual a 12. Si el primer número se aumenta en 1, el segundo en 2 y el tercero en 3 unidades, los números resultantes están en P.G. Determinar los números que están en P.G. y

3.- Hallar, si existe, el valor de , de modo que los números , y formen una P.G. En caso de existir, calcular la suma de los primeros 30 términos.

4.- La secuencia 32, -16, 8 muestra los tres primeros términos de una P.G. de 35 términos.


a) ¿Qué lugar ocupa en esta progresión, el número ? El lugar 10

b) Calcular la suma de los últimos 18 términos.

5.- En una P.G. finita de 50 términos, el cuarto es – 40 y el séptimo es 320.

a) Determinar el término general

b) Calcular la suma de los 20 primeros términos de posición par.

6.- En una P.A., el quinto y el octavo término suman 38 y la suma de sus seis primeros términos es 42. Hallara) tal que la suma de los primeros términos sea igual a 700 b) La suma de los 30 primeros términos de posición impar.

7.- En una sucesión de 4 términos cuya suma es 104, se sabe que los tres primeros están en P.G., los tres últimos están en P.A. y el cuarto término es igual a tres veces el segundo. Determinar los cuatro términos. y

8.- Insertar tres medios geométricos entre los números 3 y 48 y

9.- Una deuda se va a pagar en cuotas mensuales que forman una P.A. Si se sabe que la quinta y décima cuota son de US$ 360 y US$ 560, respectivamente y que la última cuota es de US$ 1120, calcular el tiempo en que se paga la deuda. 24 meses10.- En una sala de cine, la tercera y décima fila están a una distancia de 9,3 y 15,6 mts de la pantalla, respectivamente. ¿En qué fila se ubicará una persona que está a 20,1 mts de la pantalla? En la fila 15

11.- Considere la sucesión . Determine la suma de sus últimos 7 términos. 1036

12.- Considere la sucesión . Determine su número de términos. 2590

13.- Una compañía debe pagar en impuestos $21.600.0000 en los próximos seis años y el gobierno determina que los pagos anuales de impuestos, en los próximos 6 años, formarán una P.A. Si el segundo año la compañía pagará US$ 2.700.000, determine el dinero que pagará la compañía en impuestos en el sexto año. $5.100.000

Instituto de Matemáticas Asignatura: Mat 1196 Profesor: Sergio Iturra Olivares 14.- Una compañía debe distribuir $4.600.000 entre sus diez mejores vendedores. Se sabe que el décimo vendedor de la lista recibirá $100.000 y la diferencia entre los vendedores clasificados debe ser constante. Determine el dinero que reciben los dos mejores vendedores. $820.000 y $740.000

15.- Una empresa debe pagar una deuda en 6 pagos que están en P.G. y se sabe que el segundo y quinto pago son de US$ 120 y US$3.240.000, respectivamente. Calcular el

monto total de la deuda.

16.- Una empresa debe pagar una deuda cuyos siete pagos están en P.G. y se sabe que el segundo y quinto pago son de US$ 88 y US$117.128, respectivamente. Calcular el monto total de la deuda.

17.- Hallar una P.G. de 5 términos de modo que su razón es la cuarta parte del segundo término y la suma de sus dos primeros términos es 20. 4, 16 64, 256 y 1024

18.- Una persona deposita $ 1.200.00 a un tasa de interés compuesto del 1,1% mensual,. Calcular el monto acumulado al cabo de dos años. $ 1.560.30319.- Una fábrica disminuye su producción en un 2% anual. Si la producción en el segundo año es de 11760 unidades, calcular la producción total de la fábrica entre el primer y cuarto año, ambos incluidos. 46579 (aprox.)

20.- Hallar el octavo término de una Progresión Geométrica de términos positivos, si se sabe que su razón es la mitad del primer término y sus dos primeros términos suman 12. 13122

21.- Una persona debe pagar una deuda de en cierto número de cuotas y acuerda con su acreedor, pagar en cada cuota mas que en la cuota anterior. Si la primera cuota es de , determinar el número de cuotas en que pagará la deuda y el valor de la última cuota. 18 cuotas y $590

22.- Calcular la suma de los últimos 6 términos de la Progresión

570

23.- En una sala de cine, la cuarta y novena fila están a una distancia de 11,7 y 16,2 mts de la pantalla, respectivamente. En qué fila se ubicará una persona que está a 30,6 mts de la pantalla. En la fila 25

Instituto de Matemáticas Asignatura: Mat 1196 Profesor: Sergio Iturra Olivares 24.- Considere la P.A. . Determine la suma de todos sus términos.

25.- Una compañía debe distribuir por comisiones, $1.700.000 entre sus diez mejores vendedores calificados. Se sabe que el décimo vendedor de la lista recibirá $80.000 y la diferencia entre los vendedores clasificados debe ser constante. Determine el dinero que recibe el mejor vendedor.

26.- Considere la P.G. . Determine la suma de todos

sus términos.

27.- Una fábrica aumenta su producción en un 3% anual. Si la producción en el segundo año es de 11760 unidades, calcular la producción total de la fábrica entre el primer y séptimo año, ambos incluidos. (aprox.)

28.- El valor de compra de una maquinaria industrial es de $24.600.000 se desechará cuando su valor residual sea de $.3.320.000. La vida útil que se espera para esta maquinaria es de 15 años. Enfrente este problema en términos de una progresión aritmética y determine cuánto se desvaloriza cada año la maquinaria. En $1.520.000

29.- En una P.G. de 11 términos, el quinto término es 128 y el noveno es 8. Calcular la

suma de los 11 términos de la P.G.

30.- Una persona debe cancelar en crédito a un banco, que con intereses alcanza a US$621.000 en cierto número de pagos mensuales, cada uno de ellos, empezando por el segundo, mayor que el anterior en US$1000. Si su cuarto pago es de $ 29.000, ¿en cuánto tiempo pagará su deuda? 18 meses

31.- Un virus computacional aparece en los computadores al abrir archivos desde Internet, de modo que cada día hay el doble de computadores que el día anterior con el virus. Usando progresiones, determine en que día habrán 32.768 computadores con el virus. El día 1632.- Una persona decide instalar un ciber café para arriendo de computadores. Para ello contrae una deuda de $63.600.000 y acuerda con su acreedor, pagar en cada cuota $50.000 más que en la cuota anterior. Si la primera cuota es de $150.000, calcular el número de cuotas en que pagará la deuda. 48 cuotas

33.- Una empresa tuvo una producción anual de 400.000 unidades en el año 1998 y desde ese año decide aumentar su producción en un 2% anual. Determinar

Instituto de Matemáticas Asignatura: Mat 1196 Profesor: Sergio Iturra Olivares a) La producción anual aproximada de la empresa en el año 2004. 450.465 unidades b) La producción total de la empresa hasta el año 2006. (aprox.) c) El año que la empresa tendrá una producción aproximada de 441.632 unidades. Año 2003

34.- Por el arriendo de un departamento, una persona acuerda con el dueño del departamento pagar $200.000 mensuales el primer año (1998) y cada año reajustar el arriendo en un 4%. Determinara) El arriendo mensual que pagará la persona el año 2006 $273.714b) El dinero pagado en arriendo hasta el año 2006 $25.398.709c) El año que pagará $224.973 mensuales de arriendo. El año 2001

35.- Una empresa Química debe cancelar una deuda en un plazo de 36 meses y acuerda con su banco acreedor, pagarla en cuotas mensuales que forman una P.A. Si la cuota inicial es de US$1500 y la décima cuota es de US$4650, calcular el total de la deuda. $274.500

36.- En la excavación de un pozo de profundidad se acuerda cancelar al encargado de obra $ 547000 por el primer metro de excavación. En lo que sigue de la excavación, por cada metro que se avance en ella se cancelará $ 74567 más que lo cancelado en el metro anteriormente excavado. Si el pozo debe tener 37 metros de profundidad, ¿a cuánto asciende el costo de la construcción del pozo? $69.900.622

37.- Una máquina tiene un costo inicial de US$200 y se deprecia anualmente US$160. Calcular la vida útil de la máquina si su valor de desecho fue de US$400. Vida útil = Año en que la máquina alcanza su valor de desecho. 11 años

38.- Una máquina se compró en US$10.000 y se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su valor. Si el valor de desecho de la máquina es de US$3000, calcular la vida útil de la máquina, es decir, el número de años en que su valor depreciado es menor que su valor de desecho. 6 años

SUMATORIAS


1.- Calcular el valor de las siguientes Sumatorias

1.1.- 1.2.-

1.3.- 1.4.-

1.5.- 1.6.-

1.7.- 1.8.-

1.9.- 1.10.-

1.11.- 1.12.-

1.13.- 1.14.-


1.15.- 1.16.-

1.17.- 1.18.-

1.19.-

2.- Calcular , si se tiene que

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