Guia 8º básico 2012

MatemáticaGUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE

INCLUYE TEXTO DEL ESTUDIANTE

8ºEducación Básica

Autores del Texto del Estudiante

EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO

LICENCIADO EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO

LICENCIADA EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA,MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA,

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MARIO ZAÑARTU NAVARRO

LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD,UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.

Autoras de la Guía Didáctica del Docente

MARIBEL DONOSO SILVA

LICENCIADA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN,PROFESORA DE ESTADO EN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN,

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE.

LORNA JIMÉNEZ MARTÍNEZ

LICENCIADA EN EDUCACIÓN,PROFESORA DE MATEMÁTICA, EDUCACIÓN MEDIA,

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 2

La Guía del Docente Matemática 8, para Octavo Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana,

bajo la dirección general de:MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DEL PROYECTO: EUGENIA ÁGUILA GARAY

COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: VIVIANA LÓPEZ FUSTER

EDICIÓN: CAROLINA HENRÍQUEZ RIVAS

AUTORES DEL TEXTO DEL ESTUDIANTE: EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO

MARIO ZAÑARTU NAVARRO

AUTORAS DE LA GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE: MARIBEL DONOSO SILVA

LORNA JIMÉNEZ MARTÍNEZ

CORRECCIÓN DE ESTILO: ISABEL SPOERER VARELA

GABRIELA PRECHT ROJAS

DOCUMENTACIÓN: PAULINA NOVOA VENTURINO

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:VERÓNICA ROJAS LUNA

COORDINACIÓN GRÁFICA: CARLOTA GODOY BUSTOS

COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN: XENIA VENEGAS ZEVALLOS

JEFA DE DISEÑO ÁREA MÁTEMÁTICA: MARIELA PINEDA GÁLVEZ

DIAGRAMACIÓN: XIMENA MONCADA LOMEÑA

ILUSTRACIONES: MARTÍN OYARCE GALLARDO

FOTOGRAFÍAS: ARCHIVO SANTILLANA

CUBIERTA: LA PRÁCTICA S.P.A.

PRODUCCIÓN: GERMÁN URRUTIA GARÍN

Que dan ri gu ro sa men te pro hi bi das, sin la au to ri za ción es cri ta de los ti tu la res del "Copy right", ba jo las san cio nes es ta ble ci das en las le yes, la re pro duc ción to tal opar cial de es ta obra por cual quier me dio o pro ce di mien to, com pren di dos la re pro gra fía y el tra ta mien to in for má ti co, y la dis tri bu ción en ejem pla res de ella me dian te al qui ler o prés ta mo pú bli co.

© 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por WorldColor S.A.ISBN: 978-956-15-1763-9

Inscripción N˚: 198.046Se terminó de imprimir esta 1a edición de 4.900 ejemplares, en el mes de diciembre del año 2010.

www.santillana.cl

Referencias de las Guías Didácticas Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Proyecto Futuro y de los Textos Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Mineduc, de los autores: Rossana Herrera Concha, Francisco Rojas Sateler, Jaime Ávila Hidalgo, Ana Rojas Fernández, Javiera Setz Mena, Lorna Jiménez Martínez, Florencia Darrigrandi Navarro.

Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2003 y 2010.


Índice

3 Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Introducción 6

Propósito de la Unidad 34

Esquema de la Unidad 34

Relación entre los CMO tratados en la Unidad

y los de otros años 35

Propuesta de planificación de la Unidad 36

Errores frecuentes 38

Referencias teóricas y consideraciones sobre

algunos contenidos 39

Bibliografía 41

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio,

desarrollo y cierre (páginas 10 a 35 del Texto del Estudiante) 42

Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable 75

Evaluación. Números enteros 76

Números enteros 34

Organización de la Guía Didáctica 8

Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA) 10

Hipertexto 16

Habilidades del pensamiento 17

Evaluación en Matemática 19

Instrumentos de evaluación 20

Razonamiento matemático y Resolución de problemas 24

Estructura del Texto del Estudiante 28

Índice del Texto del Estudiante 32

1Unidad











Bibliografía 85




Evaluación. Potencias 130

Potencias 782Unidad









Bibliografía 139




Evaluación. Geometría y medición 178

Geometría y medición 1323Unidad









Bibliografía 187




Evaluación. Movimientos en el plano 224

Movimientos en el plano 1804Unidad


Solucionario (páginas 200 a 219 del Texto del Estudiante) 336

Índice temático (páginas 220 a 222 del Texto del Estudiante) 346

Bibliografía de la Guía Didáctica 349










Bibliografía 233




Evaluación. Datos y azar 276

Datos y azar 2265Unidad









Bibliografía 285




Evaluación. Funciones y relaciones proporcionales 330

Funciones y relaciones proporcionales 2786Unidad

Bibliografía (páginas 223 a 224 del Texto del Estudiante) 347

Evaluación final 332


IntroducciónEl año 2007, el Ministerio de Educación hizo una revisión del currículum, pararesponder a diversos requerimientos sociales y poder mantener su vigencia y rele-vancia. En este contexto, el Ministerio ha elaborado una propuesta de AjusteCurricular que tiene como propósito mejorar la definición curricular nacionalpara responder a problemas detectados, así como a diversos requerimientos so-ciales y a los cambios en el mundo productivo y tecnológico. Aunque es un pro-ceso de ajuste de mayor envergadura que las modificaciones realizadas a lafecha, no se trata de una nueva Reforma Curricular, ya que el currículum siguemanteniendo su enfoque y está orientado hacia el desarrollo de conocimientos,habilidades y actitudes que son relevantes para el desenvolvimiento personal,social y laboral de los sujetos en la sociedad actual.

Este Ajuste considera que el aprendizaje de la Matemática requiere consolidar, sis-tematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alum-nas poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en losniveles anteriores. Busca, asimismo, promover el desarrollo de formas de pen-samiento y de acción que posibiliten a los y las estudiantes procesar informaciónproveniente de la realidad y así profundizar su comprensión acerca de ella; el desa-rrollo de su confianza en las propias capacidades para aprender; la generación deactitudes positivas hacia el aprendizaje de la Matemática; apropiarse de formasde razonar matemáticamente; adquirir herramientas que les permitan reconocer,plantear y resolver problemas y desarrollar la confianza y seguridad en sí mismos,al tomar conciencia de sus capacidades, intuiciones y creatividad.

La presente propuesta didáctica para Matemática 8 aborda el conjunto de Ob-jetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del subsector y nivelestablecidos en el Ajuste Curricular aprobado por el Consejo Superior de Edu-cación (CSE) el año 2009, e integra y articula el tratamiento de Objetivos Fun-damentales Transversales con los contenidos y actividades centrales, dandoénfasis especialmente a los siguientes: aceptación y valoración de la diversidadetaria, cultural, socioeconómica, de género, condición física, opinión u otras; respe-to a la vida, conciencia de la dignidad humana y de los derechos y deberes detodas las personas; preservación de la naturaleza y cuidado del medioambiente;desarrollo de habilidades de pensamiento.

Tanto el Texto del Estudiante Matemática 8 como la Guía Didáctica del Docentese organizan a partir de los cuatro ejes temáticos considerados para el sector:Números, Álgebra, Geometría y Datos y Azar, considerando como eje transversalel de razonamiento, que incluye tanto la resolución de problemas, exploraciónde caminos alternativos y modelamiento de situaciones o fenómenos como eldesarrollo del pensamiento creativo, analógico y crítico para la formulación de

conjeturas, búsqueda de regularidades y patrones, y discusión de la validez delas conclusiones.

Si desea saber más sobre el Ajuste Curricular, visite: www.curriculum–mineduc.cl/curriculum/marcos–curriculares/educacion–regular/

Desde esta perspectiva, esta Guía Didáctica del Docente es un instrumento com-plementario al Texto del Estudiante Matemática 8 y ha sido elaborada con elpropósito de orientar el trabajo de los contenidos, recursos y actividades pre-sentes a lo largo del Texto, apoyando la activación de experiencias y conocimientosprevios; el desarrollo, aprendizaje, consolidación y aplicación de los contenidos;la evaluación diagnóstica, formativa y sumativa, y reforzando y profundizandoel aprendizaje.

El acercarse al conocimiento matemático implica un proceso de construcción social,en donde los objetos matemáticos no están totalmente acabados, sino en continuaconstrucción, y en el que los y las estudiantes son considerados protagonistas fun-damentales, otorgando significado a los conocimientos desde su experiencia. Apartir de este fundamento, las actividades que se plantean en el Texto del Estu-diante y en esta Guía son significativas y cercanas a la realidad y a las experienciasde los y las estudiantes.

Así, al inicio de cada Unidad se presenta una imagen en la cual se pueden observarsituaciones y contextos cotidianos o familiares, a través de los que se invita a lasalumnas y alumnos a comentar, opinar y participar a través de preguntas orientado-ras relacionadas con ella, que permiten activar sus experiencias y conocimientosprevios con respecto al contenido que se trabaja. Del mismo modo, durante el de-sarrollo de cada Unidad se presentan situaciones de la vida cotidiana y actividadesrelacionadas con la misma, que promueven el razonamiento y la comprensión delos contenidos.

Considerando que el razonamiento matemático constituye un eje central de laactividad matemática y, en consecuencia, debe ocupar un lugar importante deesta disciplina desde los niveles más elementales, es que todos los contenidosson trabajados a partir de situaciones que promueven el razonamiento y desa-rrollan las habilidades relacionadas con la resolución de problemas. Enfatizandolo anterior, cada Unidad del Texto incluye la sección BUSCANDO ESTRATEGIAS,donde se trabajan específicamente las habilidades de resolución de problemas,intencionando los pasos o etapas necesarios para su desarrollo. A partir de lasactividades propuestas en el Texto y en esta Guía, se potencia el desarrollo de lashabilidades, entendidas como el proceso mental o el conjunto de operacionesmentales por medio de las cuales una persona opera sobre una realidad o sobreun conjunto de conocimientos, de tal modo de integrarlos dándoles un sentido.



Es así como el desarrollo de las habilidades es intencionado en la Guía y en el Textoa través de actividades que desafían a el o la estudiante a poner en interacciónsus capacidades con los contenidos a trabajar, de manera de ir potenciando e in-tegrando las distintas habilidades.

En general, podemos resumir los objetivos generales de nuestra propuesta enlos siguientes:

• Consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que losalumnos y alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio ylo realizado en cursos anteriores.

• Enriquecer la comprensión de la realidad de los y las estudiantes, a través delaprendizaje de conceptos y procedimientos matemáticos, que les permitanintervenir activamente en ella.

• Desarrollar en los y las estudiantes habilidades propias del razonamientomatemático como deducir, argumentar, realizar operaciones concretas, in-volucrados en diversas situaciones.

• Aplicar habilidades propias del proceso de resolución de problemas, a travésde diversas situaciones que permitan la integración entre diversos registrosde representación semiótica de la matemática (algebraico, lenguaje natural,gráfico, tablas, etc).

• Promover en los y las estudiantes una actitud positiva frente a la matemática,desarrollando el placer de hacer matemática, el aprecio por la belleza y poderde la matemática, la confianza en el uso de la matemática y la perseveranciaen la resolución de problemas.

En cuanto a la metodología de la propuesta, esta se basa en la concepción deaprendizaje constructivista y en el concepto de evaluación para el aprendizaje. Eneste sentido, los ejes metodológicos en los que se sustenta nuestra propuesta son:

• Desarrollar los contenidos de manera articulada, secuenciada y progresiva, enun nivel de complejidad creciente, según las exigencias del subsector y nivelseñaladas en los Ajustes Curriculares y en el Mapa de Progreso de Apren-dizaje de Números.

• Presentar los contenidos en contextos significativos.• Conectar las experiencias y conocimientos previos de los y las estudiantes con

los nuevos contenidos, promoviendo, además, operaciones concretas y/o ar-gumentaciones espontáneas respecto del nuevo contenido.

• Promover en los y las estudiantes la observación y comprensión de los pro-cesos involucrados, mediante la ejemplificación y análisis de los mismos.

• Incluir justificaciones simples de los conceptos y procedimientos, cuandosea pertinente.

• Formalizar claramente los conceptos y procedimientos centrales de cada con-tenido, a través de un discurso formal, pero en un lenguaje adecuado al nivelde los estudiantes.

• Proponer actividades variadas de ejercitación de los contenidos, que permitannaturalizar los conceptos y procedimientos estudiados y que puedan conver-tirse en instancias de evaluación permanente.

• Proponer actividades de generalización de los aprendizajes, que promuevan laaplicación de los conceptos y procedimientos construidos en situacionesnuevas y diversas.

• Orientar el desarrollo de las habilidades propias del razonamiento matemáticoen la resolución de problemas en particular, como son la selección y análisisde los datos, la búsqueda y puesta en práctica de estrategias de resolución yla interpretación de resultados en función del contexto, de forma integradacon las actividades de aprendizaje.

• Presentar actividades específicas de resolución de problemas que desarrollenla heurística de la resolución de problemas.

• Incluir actividades de síntesis, donde los y las estudiantes puedan organizar loscontenidos y procedimientos centrales estudiados.

• Promover habilidades de metacognición, incluyendo instancias que permitantomar conciencia de los procesos y sus resultados y monitorear el proceso depensamiento propio durante la resolución de problemas.

• Promover el desarrollo de los Objetivos Fundamentales Transversales, de formaintegrada con el tratamiento de los contenidos.

• Promover el desarrollo de actitudes positivas frente a la matemática, de formaintegrada con el tratamiento de los contenidos.

• Incluir instancias evaluativas diagnósticas, procesuales y sumativas en las cualesse evalúen contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales. Orientarestas evaluaciones hacia la medición de destrezas, habilidades y conocimientos,a través de actividades diversas y desafiantes.

• Incorporar de forma permanente instancias de autoevaluación y reflexión sobrelos propios procesos y sus resultados, con el propósito de promover el desa-rrollo de la autonomía y habilidades de metacognición en los y las estudiantes.

• Incluir problemas que permitan al alumno o alumna, en la resolución, integrarmás de un registro de representación semiótico (gráfico, algebraico, lenguajenatural, tablas, etc.).



Para organizar con mayor claridad el año escolar, se presenta una propuesta deplanificación por Unidad, la cual contempla los Contenidos Mínimos Obligatorios,los Aprendizajes esperados, los recursos didácticos utilizados y las evaluacionescorrespondientes en cada una de ellas. Esta propuesta de planificación permitetener una mirada global del trabajo correspondiente al Octavo Año Básico, asícomo también, permite al profesor o profesora organizar y preparar las activi-dades sugeridas, contemplando los recursos didácticos especificados en dichaplanificación. Finalmente, es importante considerar que el aprendizaje es un pro-ceso dinámico y gradual, que evoluciona desde lo más simple a lo más complejo.

Por ello se han tomado como referentes, antes de realizar la planificación y la or-ganización del Texto, los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA), ya que enestos se definen los distintos niveles del aprendizaje y se explicitan los apren-dizajes a lograr en cada uno de ellos. Del mismo modo, la secuencia de lasUnidades y de las actividades propuestas en esta Guía tienen un carácter progre-sivo en cuanto a complejidad de los contenidos y de las mismas actividades.

Fuente: Mineduc. Propuesta de Ajuste Curricular. Matemática, junio 2009. Ajuste promulgadopor el Decreto N° 256 para la Educación Básica y publicado en el Diario Oficial de la Repúblicade Chile el 19 de agosto de 2009.

Organización de la Guía DidácticaLa Guía Didáctica del Docente está organizada a partir de las siguientes secciones.

• Propósito de la Unidad: en esta se entrega una orientación sobre el trabajo quese debe realizar con sus alumnos y alumnas a lo largo de la Unidad.

• Propuesta de planificación: en una tabla se organizan y vinculan los CMO, loscontenidos de la Unidad, los aprendizajes esperados, las actividades asociadas(incluidas las de evaluación), los recursos didácticos y los indicadores de eva-luación de cada Unidad. Además, se indican los tiempos estimados para sudesarrollo.

• Relación de los aprendizajes de la Unidad y los de otros años: en un diagramase relacionan los CMO desde Quinto a Octavo Año Básico, que tienen relacióncon los de la Unidad y que permiten al docente visualizar qué debieran sabersus estudiantes y en qué utilizarán posteriormente los aprendizajes que se es-pera que logren en la Unidad.

• Esquema de la Unidad: en un organizador gráfico se presentan los contenidostrabajados en la Unidad.

• Errores frecuentes: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus es-tudiantes en la Unidad y las sugerencias para poder subsanarlas o evitarlas.

• Bibliografía: se presentan distintos recursos bibliográficos, que pueden apo-yar el trabajo de los contenidos de la Unidad.

• Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos: se incluye unapresentación teórica de apoyo que le permite actualizar los conocimientos respectode los contenidos que se trabajan en la Unidad, conocer estrategias para lograr unmejor aprendizaje de los contenidos, aclarar dudas conceptuales, etc.

Además, de acuerdo con los momentos didácticos considerados en cada Unidad,se distinguen:

Páginas de inicio

• Información complementaria para docentes: se dan indicaciones que permitenorientar la activación de los conocimientos previos de los y las estudiantes conrespecto a los contenidos de la Unidad. Esto se complementa con un cuadroen donde se detallan las habilidades que se desarrollan en la actividad inicial,llamada CONVERSEMOS DE…

• Actividades complementarias: se presentan actividades que complementanlas del Texto para reforzar, ampliar o profundizar el aprendizaje.

• Evaluación diagnóstica: tiene como objetivo orientar a el o la docente en laidentificación de los aprendizajes previos de los y las estudiantes, a partir de lasactividades de la sección ¿CUÁNTO SABES? del Texto del Estudiante. Detalla lashabilidades que se evalúan en cada actividad, sugerencias para evaluar lasrespuestas de los y las estudiantes y las posibles dificultades en la evaluacióny remediales.



Páginas de desarrollo

• Contenidos Mínimos Obligatorios: se especifican los Contenidos MínimosObligatorios que se trabajan en las actividades propuestas, extraídos delAjuste Curricular.

• Actividad inicial: se plantean orientaciones que permitan detectar los cono-cimientos de entrada de sus alumnos y alumnas, relacionados con los contenidos atrabajar, a partir de la situación de inicio.

• Habilidades que se desarrollan en las actividades del Texto: se especifican lashabilidades que se trabajan en cada actividad.

• Orientaciones para el desarrollo de las actividades: se dan indicaciones conrespecto a los procedimientos a desarrollar en las distintas actividades, uso derecursos, estrategias pedagógicas, etc., para potenciar de mejor manera eldesarrollo de las habilidades en los y las estudiantes.

• Indicaciones respecto del contenido: en esta sección se plantean sugerenciaso aclaraciones específicas del contenido que se trabaja, tales como defini-ciones, propiedades, formalizaciones, etc.

• Actividades complementarias: para cada página del Texto se plantean activi-dades que permiten reforzar y profundizar el contenido y las habilidadesque se están trabajando. Además, podrá encontrar dos páginas con activi-dades de refuerzo y de profundización, después de las orientaciones que sesugieren para cada Evaluación Formativa, que podrá utilizar según losavances de sus estudiantes.

• Evaluación formativa: esta sección tiene como objetivo orientar la evalu-ación del logro de los aprendizajes referidos a los contenidos específicosque se hayan trabajado hasta el momento. Se presenta en la sección MIPROGRESO, del Texto del Estudiante, e incluye un cuadro de las habilidadesque se evalúan en ella.

Páginas de cierre

• Buscando estrategias: en esta sección se plantean orientaciones para trabajarla resolución de problemas, paso a paso, a partir de las actividades de esta sec-ción del Texto del Estudiante. Además, se especifican las habilidades que sedesarrollan y se proponen actividades complementarias que permiten reforzary/o ampliar el contenido trabajado, cuando es pertinente.

• Conexiones: se plantean orientaciones para el desarrollo de las actividades deesta sección y actividades complementarias que potencian el establecimientode vínculos entre los contenidos matemáticos trabajados y la realidad.

• Síntesis: en esta sección se entregan sugerencias para organizar y sintetizar loaprendido, a través de las actividades presentadas en esta sección del Texto delEstudiante. Además, se propone otra técnica de estudio para organizar loscontenidos trabajados en la Unidad.

• Evaluación sumativa: se orienta la evaluación de las actividades presentadas enla sección ¿QUÉ APRENDÍ?, permitiendo evaluar los logros alcanzados por susalumnos y alumnas en la Unidad. Se explicitan también posibles dificultadesy remediales.

• Evaluación fotocopiable: se incluye una evaluación sumativa al final de cadaUnidad de la Guía, de forma complementaria a la presentada en el Texto delEstudiante. Además, se sugiere una rúbrica para cada ítem.



Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)

A partir del año 2007, el Ministerio de Educación ha puesto gradualmente a dis-posición del sistema escolar los Mapas de Progreso del Aprendizaje, que son uninstrumento de apoyo al y a la docente para monitorear el progreso en el apren-dizaje de sus alumnos y alumnas, identificando distintos niveles de logro. Losniveles de logro son descripciones de los aprendizajes que demuestran los alumnosy alumnas, y le ayudarán a saber cuántos de sus estudiantes han alcanzadoaprendizajes que les permitirán abordar bien los del nivel siguiente, cuántos seencuentran progresando hacia esos aprendizajes y cuántos están recién iniciandoese proceso.

Ya sabemos que todos somos distintos y, por lo mismo, no todos aprendemos dela misma manera o al mismo ritmo; por esto, el conocer el nivel en el que se en-cuentra cada uno de sus alumnos y alumnas le servirá para atender la diversidadde estudiantes que se presenta en su aula, sus distintas maneras de aprender yorientarlos a avanzar. De acuerdo a lo anterior, en la elaboración y organizaciónde nuestra propuesta fueron considerados los niveles de logro de los Mapas deProgreso del Aprendizaje, a partir de los cuales se diseñan actividades que pro-mueven el logro de los aprendizajes en forma gradual, proponiéndose, además,evaluaciones en las distintas etapas del proceso de aprendizaje, para conocer losavances de los y las estudiantes respecto de los contenidos y habilidades espera-dos en el nivel.

A continuación, se presentan los niveles 2, 3, 4 y 5 (correspondientes a los nive-les de 3º y 4º Básico, 5º y 6º Básico, 7º y 8º Básico y 1º y 2º Medio, respectiva-mente) de los Mapas de Progreso del Aprendizaje publicados hasta el momentopor la Unidad de Currículum y Evaluación del Ministerio de Educación, de losejes: Números y Operaciones, Álgebra y Datos y Azar.

Mapa de Progreso de Números y Operaciones

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Números y Operaciones,progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada:

• Comprensión y uso de los números: se refiere a la comprensión del significadode los números, la forma de expresarlos y los contextos numéricos a los quepertenecen, así como las aplicaciones y los problemas que los originaron y/opermiten resolver.

• Comprensión y uso de las operaciones: se refiere a la comprensión del signifi-cado de las operaciones, los contextos numéricos en los que se realizan, lasrelaciones entre ellas, así como sus propiedades y usos para obtener nueva in-formación a partir de información dada.

• Razonamiento matemático: involucra habilidades relacionadas con la selec-ción, aplicación y evaluación de estrategias para la resolución de problemas;la argumentación y la comunicación de estrategias y resultados.


Nivel Descripción

Nivel 5

Reconoce a los números racionales como un conjunto numéricoen el que es posible resolver problemas que no admiten soluciónen los enteros, a los irracionales como un conjunto numérico en elque es posible resolver problemas que no admiten solución en losracionales, y a los reales como la unión entre racionales e irra-cionales. Interpreta potencias de base racional y exponenteracional, raíces enésimas y logaritmos, establece relaciones entreellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realiza opera-toria con números reales, calcula potencias, raíces y logaritmos ylos aplica en diversos contextos. Resuelve problemas utilizando es-trategias que implican descomponer un problema o situacionespropuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategiaso procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificarla validez o falsedad de conjeturas.

Nivel 4

Reconoce a los números enteros como un conjunto numérico endonde se pueden resolver problemas que no admiten solución en losnúmeros naturales, reconoce sus propiedades y los utiliza para or-denar, comparar y cuantificar magnitudes. Establece proporciones ylas usa para resolver diversas situaciones de variación proporcional.Comprende y realiza las cuatro operaciones con números enteros.

Utiliza raíces cuadradas de números enteros positivos y potencias debase fraccionaria positiva, decimal positivo o entero y exponente natu-ral en la solución de diversos desafíos. Resuelve problemas y formulaconjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer rela-ciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturasformuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedi-mientos y relaciones matemáticas.


Mapa de Progreso de Álgebra

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Álgebra progresan con-siderando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada:

• Comprensión y uso del lenguaje algebraico. Se refiere a las habilidades para in-terpretar el significado y escribir expresiones algebraicas haciendo uso de lasconvenciones del álgebra, representarlas de diversas maneras y usarlas en ladesignación de números, variables, constantes u otros objetos matemáticos.

• Comprensión y uso de relaciones algebraicas. Se refiere a la habilidad para es-tablecer relaciones entre expresiones simbólicas mediante igualdades, ecua-

ciones, inecuaciones o funciones y a la capacidad para aplicar reglas y proce-dimientos que permitan transformarlas en expresiones equivalentes.

• Razonamiento matemático. Involucra habilidades relacionadas con el re-conocimiento y descripción de regularidades, el modelamiento de situaciones ofenómenos y la argumentación matemática.


Nivel Descripción

Nivel 3

Reconoce que los números naturales se pueden expresar comoproducto de factores. Comprende el significado de potencias debase y exponente natural, y las aplica en situaciones diversas. Uti-liza números decimales positivos y fracciones positivas para ordenar,comparar, estimar, medir y calcular. Comprende el significado deporcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones onúmeros decimales, para calcular porcentajes. Comprende y rea-liza las cuatro operaciones con números positivos escritos tanto enforma decimal como fracción y en forma mental y escrita. Resuelveproblemas y formula conjeturas en diversos contextos, que re-quieren reorganizar la información disponible. Argumenta sobrela validez de un procedimiento, estrategia o conjetura planteada.

Nivel 2

Utiliza los números naturales hasta 1 000 000 para contar, ordenar,comparar, estimar y calcular. Comprende que las fracciones simplesy los números decimales permiten cuantificar las partes de un objeto,una colección de objetos o una unidad de medida. Realiza compara-ciones entre números decimales o entre fracciones y establece equiva-lencias entre ambas notaciones. Multiplica y divide (por un solo dígito)con números naturales, comprendiendo el significado de estas ope-raciones y la relación entre ellas y con la adición y sustracción. Reali-za estimaciones y cálculos mentales de adiciones, sustracciones,multiplicaciones y divisiones exactas que requieren de estrategias sim-ples. Resuelve problemas en contextos familiares en que los datos noestán necesariamente explícitos o requieren seleccionar informacióndel enunciado. Justifica la estrategia utilizada, explicando su razona-miento. Formula conjeturas y las verifica a través de ejemplos.

Nivel Descripción

Nivel 5

Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones lineal,afín, exponencial, logarítmica y raíz cuadrada, y las representa através de tablas, gráficos y algebraicamente. Transforma expre-siones algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso deconvenciones del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones linealesen forma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucrancomposición de funciones, modelos lineales y afines o sistemas deecuaciones lineales. Justifica la pertinencia del modelo aplicado yde las soluciones obtenidas.

Nivel 4

Traduce expresiones desde el lenguaje natural al lenguaje matemáticoy viceversa. Reduce expresiones algebraicas por medio de la apli-cación de propiedades de las operaciones. Resuelve problemas endiferentes contextos que involucran ecuaciones de primer gradocon la incógnita en ambos lados de la igualdad, utilizandopropiedades y convenciones del álgebra. Reconoce funciones encontextos cotidianos y sus elementos constituyentes, distinguiendoentre variables independientes y dependientes. Resuelve proble-mas que involucran aplicar el modelo de variación proporcional,explicando la relación entre las variables. Justifica la pertinencia delos procedimientos aplicados aludiendo a la situación que modela.

Nivel 3

Comprende que en las expresiones algebraicas las letras pueden re-presentar distintos valores de acuerdo al contexto. Reconoce las expre-siones algebraicas que representan las propiedades de las operacionese interpreta expresiones algebraicas que representan la generalizaciónde una operación matemática. Comprende que una misma expresióntiene distintas representaciones algebraicas equivalentes. Resuelveecuaciones de primer grado donde la incógnita se encuentra a unsolo lado de la igualdad, utilizando estrategias informales. Justificasus soluciones explicitando las estrategias utilizadas.


Mapa de Progreso de Datos y Azar

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Datos y Azar se desarro-llan considerando cuatro dimensiones que se interrelacionan.

• Procesamiento de datos. Se refiere a las habilidades para clasificar, organizar,resumir y representar datos en distintos formatos, tales como tablas y gráficos.

• Interpretación de información. Se refiere a las habilidades para analizar críti-camente y para obtener información a partir de datos organizados en tablasy gráficos.

• Comprensión del azar. Se refiere a la comprensión y uso de un lenguaje deprobabilidades, y a la habilidad para determinar la probabilidad de ocurren-cia de eventos, en forma experimental y teórica, a partir de fenómenos aleato-rios y el análisis de sus resultados.

• Razonamiento matemático. Se refiere a la habilidad para resolver problemas,reconocer patrones, formular preguntas pertinentes y hacer conjeturas a partirde datos o situaciones en las que interviene el azar, así como a la capacidadpara argumentar acerca de la validez de respuestas a las preguntas formu-ladas y acerca de las conjeturas propuestas.


Nivel Descripción

Nivel 2

Expresa relaciones de orden utilizando la simbología correspon-diente. Determina el valor desconocido en situaciones de multipli-cación y división. Identifica, describe y continúa patrones numéricosy geométricos con figuras conocidas, mencionando alguna reglaque genere la secuencia. Explica las estrategias aplicadas en la de-terminación de un valor desconocido y justifica la regla elegidapara continuar un patrón aludiendo a los términos dados.

Nivel Descripción

Nivel 5

Organiza información a través de histogramas, polígonos de frecuen-cia y gráficos de frecuencia acumulada. Extrae e interpreta informa-ción haciendo uso de medidas de dispersión y de posición. Comparados o más conjuntos de datos usando medidas de dispersión y posi-ción. Comprende que al tomar mayor cantidad de muestras de igualtamaño, desde una población finita, el promedio de las medias arit-méticas muestrales se aproxima a la media de la población. Asignaprobabilidades mediante el modelo de Laplace o bien las frecuenciasrelativas, dependiendo de las condiciones del experimento. Resuelveproblemas acerca del cálculo de probabilidades, usando diagramas deárbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma yproducto de las probabilidades.

Nivel 4

Organiza datos en gráficos y tablas, reconociendo las aplicaciones,ventajas y desventajas de distintos tipos de representación. Extraee interpreta información desde tablas de frecuencias con datosagrupados en intervalos. Comprende los conceptos de representa-tividad y aleatoriedad de una muestra y sus efectos en conclusionese inferencias acerca de una población determinada. Comprendeque a través del modelo de Laplace es posible predecir el valor dela probabilidad de ocurrencia de un evento simple, sin realizar el ex-perimento aleatorio. Resuelve problemas simples de probabili-dades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplacey también las frecuencias relativas.

Nivel 3

Reconoce aquellas variables que aportan información relevantepara resolver un problema y organiza datos en gráficos de línea, cir-culares y barras múltiples. Extrae información respecto de situa-ciones o fenómenos presentados en los gráficos anteriores y calculamedidas de tendencia central. Comprende los conceptos depoblación y muestra y la conveniencia de seleccionar muestras alrealizar estudios para caracterizar poblaciones. Evalúa la posibilidadde ocurrencia de un evento en contextos cotidianos como posible,imposible, probable o seguro, a partir de su experiencia y la obser-vación de regularidades en experimentos aleatorios simples. Con-jetura acerca de las tendencias que se desprenden desde ungráfico, desde la lectura de medidas de tendencia central o de losresultados de un experimento aleatorio simple, justificando en basea la información disponible.


Para tener mayor información y ejemplos de tareas por nivel le sugerimos que in-grese a www.curriculum-mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/matematica/

Otro aspecto considerado en nuestra propuesta se refiere a las Tecnologías deInformación y Comunicación (TIC). Con relación a ellas, el Ajuste Curricular pos-tula fortalecer su presencia a través de la incorporación de las habilidades deuso de estas tecnologías como un quinto eje transversal. En ese sentido, el docu-mento Aprendizajes K-12 funciona como un Mapa de Progreso del Aprendizajede las TIC y es considerado al momento de formular las actividades ya que, porun lado, nos muestra lo que los alumnos y alumnas debieran ser capaces dehacer utilizando estos medios y, por otro lado, lo que se espera que logren desa-rrollar en un nivel determinado.

El Mapa de Progreso de las TIC se organiza en cuatro dimensiones.

• Tecnológica. Utilización de aplicaciones y generación de productos que resuel-van las necesidades de información y comunicación dentro del entorno socialreal/ inmediato/ próximo (no virtual).

• Información. Búsqueda y acceso a información de diversas fuentes virtuales yevaluación de su pertinencia y calidad.

• Comunicación. Interacción en redes virtuales de comunicación, con aportescreativos propios.

• Ética. Uso responsable de la información y comunicación.

Cada una de las dimensiones anteriores presenta distintos niveles, y para cadauno de ellos se describen variables e indicadores que señalan lo que los alum-nos y alumnas serán capaces de realizar al finalizar ese nivel. Estos niveles, pordimensión, son:

Dimensión Tecnológica


Nivel Descripción

Nivel 2

Organiza datos simples relativos a situaciones o fenómenos diver-sos, en gráficos de barras simples. Extrae información respecto deun fenómeno o situación desde tablas y gráficos de barras sim-ples. Saca conclusiones y verifica afirmaciones que requieren inte-grar los datos disponibles, o bien realiza algunas operacionessimples. Justifica dando cuenta del procedimiento utilizado.

Extraído de: Mapas de Progreso del Aprendizaje.Ministerio de Educación. Julio de 2009. www.curriculum-mineduc.cl

Niveles Variables Indicadores

Nivel 513 – 14 años 1º y 2º medio

Utiliza y combina distintosprogramas como procesadorde texto, planillas de cálculo,plantillas de presentación, ydispositivos periféricos, paradesarrollar productos multi-mediales simples.

• Produce hipertextos.• Traspasa/incorpora video

o sonido a presentaciones PowerPoint.

• Incorpora movimiento en sus presentaciones.

• Graba y edita videos.

Nivel 411 – 12 años 7º y 8º básico

Utiliza diversos programascomo procesador de texto,planillas de cálculo y deplantillas de presentación,para escribir, editar y ordenarinformación, exportando in-formación de un programaa otro y de algunos disposi-tivos periféricos.

• Exporta gráficos a formato de procesador de texto.

• Utiliza cámara digital.• Crea presentaciones con

incorporación de movimiento en plantillas de PP.

• Vincula información en las presentaciones.

• Mezcla música con imágenes estáticas y en movimiento en sus presentaciones.

• Utiliza corrector ortográfico.

Nivel 39 – 10 años

5º y 6º básico

Utiliza diversos programascomo procesador de texto,planillas de cálculo y deplantillas de presentación,para escribir, editar y or-denar información.

• Crea presentaciones combi-nando textos con fotografíaso dibujos en plantillas de PP.

• Crea tablas en el procesadorde texto para ordenar información.

• Ordena datos en planillas de cálculo.

• Utiliza distintos tipos de gráfi-cos (barras, torta, lineales).


Dimensión Información




3º y 4º básico

Utiliza programas en formaelemental, como proce-sador de texto para escribirilustrar y editar textos sim-ples y planillas de cálculopara ordenar datos y elabo-rar gráficos simples.

• Crea y guarda archivos.• Utiliza los comandos de cortar,

copiar y pegar.• Chatea con sus amigos.• Compone y edita

textos simples.• Usa aplicaciones gráficas para

ilustrar información.• Utiliza los nombres de los com-

ponentes y capacidades delcomputador (teclado, mouse,funciones como guardar).


Nivel 513 – 14 años1º y 2º medio

Recupera, guarda y orga-niza información en dis-tintos formatos, obtenidade Internet en formaautónoma utilizando bus-cadores, metabuscadores ybúsqueda avanzada.

• Utiliza operadores booleanospara buscar información.

• Evalúa con diversos criterios lacalidad de una página web.

• Sabe utilizar un tesauro.• Realiza búsquedas

en metabuscadores.



Recupera, guarda y orga-niza información en dis-tintos formatos, extraídade sitios web recomenda-dos por el profesor y nave-gación libre en Internet.Identifica y utiliza los crite-rios básicos de evaluaciónde la información: la actua-lidad, autoría, pertenencia.

• Utiliza diversos buscadores electrónicos.

• Guarda URL que le interesan.• Busca música y videos en

sitios especializados.• Busca elementos que le

permiten analizar la validez de la información (autor, fecha, fuente).

• Busca fuentes de informaciónen catálogos por autor, materia o título.

• Identifica en los datos de laURL la relevancia e interés delsitio (extensiones).

• Identifica fuentes primarias y secundarias.

• Diferencia hechos de opiniones.


5º y 6º básico

Recupera, guarda y orga-niza información extraídade algunas fuentes off line,y navegación en Internetcon criterios de búsquedadefinidos previamente.

• Identifica palabras clave parabuscar información.

• Selecciona textos específicospara responder a sus preguntas.


3º y 4º básico

Recupera y guarda infor-mación extraída de algu-nas fuentes off line o sitiosweb seleccionados por el profesor.

• Identifica en forma precisa la información que necesita a través de una pregunta específica.

• Selecciona y guarda la información en carpetas.

• Navega por un sitio web acotando las búsquedas.


Dimensión Comunicación Dimensión Ética



Nivel 513 – 14 años1º y 2º medio

Publica información propiaen plataformas virtuales,como blogs y retroalimentaa otros.

• Mantiene actualizado su sitio(blog, fotolog o página web).

• Inicia debates virtuales.


Participa en espacios inter-activos de sitios web, dedebate e intercambio de in-formación y produce docu-mentos en forma colectiva.

• Utiliza el control de cambios.• Participa en foros de curso.


5º y 6º básico

Intercambia información através de herramientas decomunicación para la gene-ración de documentos sim-ples en forma colaborativao colectiva.

• Envía mensajes electrónicos a varios destinatarios.

• Reconoce y sabe utilizar los archivos adjuntos de un mensaje electrónico.

• Ocupa técnicas simples paraaportar en la construcción de documentos (letras decolor, subrayados).

• Adjunta archivos en correo electrónico.


3º y 4º básico

Mantiene conversacionesvirtuales en forma autóno-ma con sus compañeros,por ejemplo, a través del Chat.

• Organiza listas de direccionesde correo electrónico.

• Se conecta a Messenger.• Activa y desactiva su

participación en el Chat.• Activa y desactiva a los inte-

grantes de una sala de Chat.


Nivel 513 – 14 años 1º y 2º medio

Conoce la regulación legalde utilización del espaciovirtual y las normas de se-guridad de la red. (Claves,pirateo, hackeo) y aplica cri-terios de buenas prácticas.

• Conoce las consecuencias le-gales de interferir en la comu-nicación on line.

• Identifica en el contenido delas páginas mensajes discrimi-natorios o ilegales.

• Emplea buenas maneras al usarcorreo electrónico (Netiquette).


Cita las fuentes desde don-de ha extraído informacióny utiliza convenciones bi-bliotecológicas básicas pa-ra registrarlas. (bibliografíao linkografía). Discrimina yse protege de la informa-ción y ofertas de serviciosque pueden ser perjudi-ciales para él/ella.

• No abre correos desconocidos.• Borra los spam.• Cita correctamente las fuentes

virtuales de información (im-plica conocer nociones de pro-piedad intelectual, derechosde autor, plagio).


5º y 6º básico

Identifica la fuente desdedonde es extraída la in-formación. Autolimita eltiempo dedicado a lanavegación e intercam-bios virtuales.

• Se programa para limitar el tiempo de uso del computa-dor y desarrollar otro tipo de actividades.

• Declara la fuente desde dondeextrae la información.

• Utiliza cremillas para citar.


3º y 4º básico

Identifica y aplica las nor-mas de seguridad básicaspara evitar la contami-nación virtual. Identifica yaplica las normas de cui-dado personal y respetopor el otro en la comuni-cación virtual.

• Actualiza los programas antivirus.

• Copias de seguridad.• No descarga software ilegales.• Elimina información innecesaria.• Utiliza la papelera de reciclaje

del sistema.

Extraído de: Aprendizajes K-12. Ministerio de Educación. Agosto de 2009. http://portal.enlaces.cl


Considerando los avances tecnológicos, el fácil acceso a Internet y los diferentesgrados de confiabilidad que presentan los distintos sitios, es necesario guiar anuestros estudiantes en el uso de estas tecnologías. A continuación, se presen-tan algunos criterios que le permitirán a usted y a sus alumnos y alumnas evaluarfuentes de información provenientes de sitios web.

Información sobre la Web

Para evaluar si la información que se localiza en Internet es confiable, se puedenplantear tres preguntas cuando se lee una dirección web (URL):

• ¿Reconoce el Nombre de Dominio?• ¿Cuál es la extensión del Nombre de Dominio?

Por ejemplo: .edu: hace referencia a instituciones educativas..gov: corresponde a sitios web de instituciones gubernamentales.

• ¿La página localizada es personal?Si presentan caracteres especiales como ~, % indican que a partir de esecarácter la información corresponde a la opinión personal de una persona.

Información sobre el contenido de la página

Es pertinente hacerse preguntas como las siguientes para evaluar una página web:

• ¿Es útil la información para el tema sobre el que me estoy informando o queestoy investigando?

• ¿En qué fecha se publicaron los contenidos?, ¿son actuales, están vigentes? • ¿Si la información publicada en la página web proviene de otras fuentes, se

citan estas correctamente?

Información sobre los autores y editores

Para evaluar la validez de la autoría de una página, se pueden utilizar las siguien-tes preguntas:

• ¿En la página aparece el nombre del autor o autores?• ¿Qué información se encuentra en la Web sobre el autor?

Fuente: Artículo elaborado por Eduteka con información proveniente del libro“Web Literacy for Educators”, escrito por el Dr. Alan November.

Para saber más sobre este tema puede visitar www.eduteka.org/CompetenciaWeb.php

HipertextoJunto al Texto escolar, los y las estudiantes tendrán a su disposición el apoyo deun Hipertexto, que es un conjunto de recursos multimedia que se estructuran apartir del Texto del Estudiante y que incorporan elementos que permiten alusuario utilizar el recurso, con una secuencia de lectura dinámica, combinandoimágenes fijas y en movimiento, animaciones y sonidos.

Nuestra propuesta didáctica de Hipertexto se organiza en función de los momen-tos pedagógicos expuestos en la estructura didáctica de cada Unidad del Texto im-preso: inicio, desarrollo y cierre. A partir de estos momentos se presentan diversosrecursos que incluyen, entre otros: animaciones, diccionarios y enciclopedias electrónicas, actividades y mapas conceptuales interactivos, vinculados altratamiento de los contenidos abordados en el Texto. Entre las funciones pedagó-gicas de estos recursos destacan: motivar y consolidar el aprendizaje, evaluar con-ductas de entrada, enriquecer el Texto, ejercitar y/o profundizar los contenidos yaplicarlos en contextos distintos, evaluar sumativamente y sintetizar.

La propuesta didáctica que presentamos se muestra en el siguiente cuadro:


Momento pedagógico

Recurso

Inicio

– Introducción: animación que motiva el aprendizaje de la Unidad.

– Diagnóstico: evaluación interactiva que permite conocer losconocimientos previos de los estudiantes.

– Links de apoyo: vínculos a sitios webs que enriquecen la actividad inicial de la unidad y que activan los conocimientosprevios de los estudiantes.

Desarrollo

– Recursos digitales vinculados con el contenido de la Unidad y que enriquecen las actividades del Texto.

– Recursos digitales que permiten ejercitar y/o profundizar loscontenidos tratados en el Texto.

– Recursos digitales que permiten consolidar a partir de la aplicación en un contexto distinto, los contenidos tratados en el Texto.

Cierre

– Mapa conceptual: actividad interactiva que permite sinteti-zar, organizar y jerarquizar los contenidos tratados en el Texto.

– Autoevaluación: se presentan dos autoevaluaciones, una in-teractiva y otra imprimible que permitirá evaluar, en cadaUnidad, el nivel de logro de sus estudiantes.


Habilidades del pensamiento

El trabajo en el aula de matemática orientado al desarrollo de habilidades es degran importancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y se basa en la necesi-dad de formar personas capaces de resolver problemas de la vida cotidiana y delámbito matemático, de forma autónoma y eficaz. De esta forma, las actividadesa desarrollar por los alumnos y alumnas de Octavo Año Básico, propuestas en elTexto del Estudiante y en la Guía Didáctica del Docente, buscan promover el de-sarrollo de estas habilidades, mediante estrategias metodológicas que propiciansu adquisición.

Para ello, tanto en las actividades como en los ítems de evaluación diseñados hanjugado un papel central las destrezas y habilidades utilizadas en el “Estudio in-ternacional de Tendencias en Matemática y Ciencia 2003” (TIMSS), proyecto dela Asociación Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA).

Así, las habilidades incluidas en este Texto son las que se espera deberían mani-festar los alumnos y alumnas de este curso, aunque el grado de sofisticación deesta manifestación varíe en relación con los cursos superiores o inferiores.

A continuación, se presenta la descripción de las habilidades consideradas en estapropuesta, agrupadas en cuatro dominios cognitivos: Conocimiento de hechos yprocedimientos, Utilización de conceptos, Resolución de problemas habituales yRazonamiento, los cuales están formados por las descripciones de las destrezasy habilidades. En general, la complejidad cognitiva aumenta desde las primerashabilidades hasta las finales del listado, permitiendo una progresión desde elconocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta el uso de esteconocimiento en la resolución de problemas. No obstante, esta complejidad nodebe confundirse con la de la actividad o del ítem de evaluación, pues esta tam-bién depende de la interacción entre el contenido y la habilidad.


RecordarRecordar definiciones; vocabulario; unidades; hechos numéri-cos; propiedades de los números; propiedades de las figurasplanas; convenciones matemáticas.

Reconocer/Identificar

Reconocer o identificar entidades matemáticas que sean equiva-lentes, es decir, áreas de partes de figuras para representarfracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajesequivalentes; expresiones algebraicas simplificadas; figurasgeométricas simples orientadas de modo diferente.

Calcular

Conocer procedimientos algorítmicos para sumar, restar, mul-tiplicar, dividir o una combinación de estas operaciones;conocer procedimientos para aproximar números, estimarmedidas, resolver ecuaciones, evaluar expresiones y fórmulas,dividir una cantidad en una razón dada, aumentar o dis-minuir una cantidad en un porcentaje dado. Simplificar, des-componer en factores, expandir expresiones algebraicas ynuméricas; reunir términos semejantes.

Usar herramientas

Usar las matemáticas y los instrumentos de medición; leerescalas: dibujar líneas, ángulos o figuras según unas especi-ficaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla ycompás para construir la mediatriz de una línea, la bisectrizde un ángulo, triángulos y cuadriláteros.

Saber

Saber que la longitud, el área y el volumen se conservan endeterminadas condiciones; tener una apreciación de concep-tos tales como inclusión y exclusión, generalidad, igualdad deprobabilidades, representación, prueba, cardinalidad y ordinali-dad, relaciones matemáticas, valor posicional de las cifras.

Clasificar

Clasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones eideas según propiedades comunes; tomar decisiones correc-tas con relación a la pertenencia a una clase; ordenarnúmeros y objetos según sus atributos.

Representar

Representar números mediante modelos; representar infor-mación matemática de datos en diagramas, tablas, cuadros,gráficos; generar representaciones equivalentes de una entidado relación matemática dada.

FormularFormular problemas o soluciones que puedan ser represen-tados por ecuaciones o expresiones dadas.

DistinguirDistinguir preguntas que se pueden plantear con informacióndada, por ejemplo un conjunto de datos, de aquellas que nose pueden plantear así.

Utilización de conceptos

Conocimiento de hechos y procedimientos


Resolución de problemas habituales

Razonamiento


Seleccionar

Seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para re-solver problemas en los que haya un algoritmo o método desolución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabríaesperar que resultase conocido para los y las estudiantes.Seleccionar algoritmos, fórmulas o unidades apropiadas.

RepresentarGenerar una representación apropiada, por ejemplo, unaecuación o un diagrama, para resolver un problema común.

InterpretarInterpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones,diagramas, etc.); seguir y ejecutar un conjunto de instruc-ciones matemáticas.

Aplicar

Aplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptospara resolver problemas matemáticos habituales (incluidosproblemas de la vida real), es decir, problemas similares a losque probablemente hayan visto los y las estudiantes en clase.

Verificar o comprobar

Verificar o comprobar la corrección de la solución a un pro-blema; evaluar lo razonable que es la solución de un problema.

Formularhipótesis,conjeturar o predecir

Hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutirideas, proponer modelos, examinar conjuntos de conjeturaso predecir datos; especificar un resultado (número, patrón,cantidad, transformación, etcétera) que resultará de una ope-ración o experimento antes de que se lleve a cabo.

Analizar

Determinar y describir o usar relaciones entre variables u ob-jetos en situaciones matemáticas; analizar datos estadísticosunivariantes; descomponer figuras geométricas para simpli-ficar la resolución de un problema; dibujar la red de un sólidodado poco conocido; hacer inferencias válidas a partir de in-formación dada.

EvaluarDiscutir y evaluar críticamente una idea matemática, conje-tura, estrategia de resolución de problemas, método,demostración, etcétera.

Generalizar

Extender el dominio al que son aplicables el resultado delpensamiento matemático y la resolución de problemas me-diante la reexposición de resultados en términos más gene-rales y más aplicables.

Conectar

Conectar conocimientos nuevos con conocimientos exis-tentes; hacer conexiones entre diferentes elementos deconocimiento y representaciones relacionadas; vincular ideasu objetos matemáticos relacionados.

Sintetizar o integrar

Combinar procedimientos matemáticos (dispares) para es-tablecer resultados; combinar resultados para llegar a un re-sultado ulterior.

Resolverproblemas

Resolver problemas enmarcados en contextos matemáticos ode la vida real de los que es muy poco probable que los estu-diantes hayan encontrado ítems similares; aplicar procedi-mientos matemáticos en contextos poco conocidos.

Justificar

Proporcionar pruebas de la validez de una acción o de la ver-dad de un enunciado mediante referencia a propiedades oresultados matemáticos; desarrollar argumentos matemáticospara demostrar la verdad o falsedad de enunciados, dada lainformación relevante.

Fuente: Ina V.S. Mullis, y otros. Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.Secretaría General de Educación y Formación Profesional. Instituto Nacional de Calidad y Evaluación(INCE), Madrid, 2002.


Evaluación en Matemática

La evaluación es una parte central del proceso curricular, el cual se entiendecomo un proceso continuo de observación, monitoreo y el establecimiento dejuicios profesionales sobre el estado de aprendizaje de los alumnos y alumnas apartir de lo observado. En el proceso de evaluación están involucradas tres ac-ciones: medición, evaluación y calificación.

Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles de estruc-turación. Puede ser un proceso de clasificación, o de generación de categoríasa partir de la observación o la comparación de comportamientos observablescon categorías o escalas conocidas.

Evaluar supone la existencia de estándares o criterios para la población a la quepertenecen los y las estudiantes, con respecto a los cuales comparar los resulta-dos de la medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostradopor el o la estudiante y el estándar o criterio seleccionado.

Calificar es expresar mediante un código (generalmente un número que indicauna posición en una escala dada) el resultado de ese juicio.

El proceso de evaluación es parte constitutiva del proceso de enseñanza y apren-dizaje, ya que es un proceso continuo que consiste en recoger información acercade cómo se está produciendo el aprendizaje. Debe entregar al educador y al edu-cando antecedentes objetivos acerca de cómo se produce dicho aprendizaje yqué aspectos de este no domina integralmente, y así regular y mejorar los apren-dizajes de los y las estudiantes.

Con los resultados obtenidos en las evaluaciones, la o el profesor crea un plande acción que permita mejorar los resultados obtenidos, a través de actividadesremediales o de reforzamiento de los contenidos.

Con el fin de monitorear el proceso en su totalidad, se proponen en esta Guíala aplicación de tres instancias de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa.

• Evaluación diagnóstica. Se integra al inicio de cada Unidad, para identificar losconocimientos previos con los cuales los y las estudiantes se enfrentarán a losnuevos aprendizajes, y para detectar falencias que pudieran entorpecer el logrode aprendizajes más complejos, y poder entonces aplicar refuerzos o remediales.

En esta Guía podemos encontrar esta instancia de evaluación al comienzo decada Unidad en la sección ¿CUÁNTO SABES?

• Evaluación formativa. Se desarrolla durante la Unidad y, dado su carácterprocesal, permitirá a cada estudiante retroalimentar su desempeño, y al o ladocente realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logrode los aprendizajes.

La evaluación formativa también es considerada dentro de cada Unidad deesta Guía en la sección MI PROGRESO, en la cual se busca monitorear el pro-ceso de aprendizaje de los contenidos que han sido trabajados.

• Evaluación sumativa. Entrega información acerca del nivel de logro alcanzadorespecto de los aprendizajes esperados al término de la Unidad, dando la posi-bilidad de reforzar los aprendizajes identificados como más débiles, a travésde la aplicación de actividades remediales.

Al finalizar cada Unidad de la Guía se presenta una evaluación fotocopiablede carácter sumativo, que evalúa el aprendizaje de los contenidos trabajadosa lo largo de toda la Unidad.

Es importante considerar que el proceso de evaluación de los aprendizajes buscadeterminar el potencial de aprendizaje de los y las estudiantes, la capacidad pararesolver problemas y comunicar lo aprendido, conocer el tipo de razonamientoempleado, identificar los conceptos que manejan, los procedimientos que aplicany la actitud presentada frente al problema a resolver; además, permite aproximarseal estado del pensamiento matemático de los y las estudiantes.

Para establecer desde dónde y cómo se ve el conocimiento matemático escolar, separte desde una concepción en la cual se reconocen dos aspectos: el conceptual yel procedimental. El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informa-ciones conectadas entre sí mediante múltiples relaciones, que constituyen lo quese denomina estructura conceptual.

El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecuciónde tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos.

En él se distinguen tres niveles:

• Destrezas: en el campo de la matemática escolar se distinguen entre destrezasaritméticas, geométricas, métricas, gráficas y de representación.

• Razonamiento matemático: conjunto de argumentaciones y procesos asocia-dos que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datoso premisas y reglas de inferencia.

• Estrategias: formas de responder a una determinada situación dentro de unaestructura conceptual; implica tener una gran creatividad e imaginación.



Instrumentos de evaluación

En el proceso de Evaluación es importante considerar distintos instrumentos quepermitan evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. A continuación, sepresentan algunos instrumentos que puede utilizar para la evaluación del apren-dizaje matemático.

Procedimientos evaluativos

El procedimiento de evaluación más utilizado son las pruebas; sin embargo, noes el único existente. A continuación le presentamos otros procedimientos eva-luativos complementarios a las pruebas y su posible uso.



Propósitos

Ensayo

Para comprobar la calidad de la expresión escrita, uso dereferencias, la habilidad para desarrollar un argumentocoherente, la comprensión y transferencia del conocimientoy la evaluación crítica de ideas.

Observaciónespontánea oestructurada

Para recabar información sobre el ámbito afectivo-valórico,para juzgar desempeños tales como expresión oral, crea-ción plástica, manipulación en laboratorio, y en general,para evaluar la forma en que el alumno actúa mientrasdesarrolla su aprendizaje.

Entrevistaespontánea oestructurada

Para examinar con el alumno el trabajo realizado, paraaclarar asuntos que surgen de documentos o revisar laprofundidad y amplitud del aprendizaje, para evaluar laaplicación de estrategias a una tarea de aprendizaje.

Desempeño

Para evaluar aplicaciones de la teoría en un contexto es-tructurado (puede ser en un ambiente simulado, en eltaller, el laboratorio). Para verificar capacidades o habili-dades (ej. de resolución de problemas), aplicación deconocimientos y habilidades.

PresentaciónPara verificar la capacidad de presentar información aten-diendo a la audiencia y al tema. Para comprobar com-prensión del tema.


Propósitos

Informes, críticas,artículos

Para juzgar nivel de conocimientos y para evaluar habili-dades de análisis y de expresión escrita sobre asuntos varios,p. ej. de actualidad.

Trabajo realizadoo proyecto detrabajo

Para comprobar la calidad del trabajo, su relevancia enfunción del propósito, la originalidad de la producción.(A menudo se combina con la entrevista o con la prueba oral).

Carpeta

Para validar el aprendizaje del alumno a través de un con-junto de materiales que reflejen sus progresos. Incluye sutrabajo, sus reflexiones sobre su propia práctica y eviden-cias de otras personas calificadas para hacer comentarios.

Extraído de: La evaluación en el nuevo currículo: equívocos y equilibrios. Documento de Trabajo:Unidad de Currículum y Evaluación. Ministerio de Educación. Santiago, 2002. www.rmm.cl/biblio/doc/200403101109420.uce.doc

Es importante mencionar que todo procedimiento o instrumento de evaluaciónserá valido si es coherente con los tipos de aprendizajes que busca evaluar, losconocimientos y habilidades que involucran los OF/CMO y los aprendizajes es-perados que el docente haya seleccionado.

En el proceso de evaluación es importante considerar instrumentos que permi-tan evaluar el desempeño de los alumnos y alumnas, y que a la vez no solo seenfoquen en que el resultado sea el correcto, sino también en el proceso que seutiliza. A continuación, se presentan algunas rúbricas con criterios específicos yfundamentales que permiten averiguar cómo está aprendiendo el o la estudiante.


Rúbricas para mapas conceptuales


Indicadores Logrado Medianamente logrado Por lograr

Conceptos y terminología

Muestra un entendimiento del concepto oprincipio matemático y una notación y unaterminología adecuada.

Comete algunos errores en la terminologíaempleada y muestra algunos vacíos en elentendimiento del concepto o principio.

Comete muchos errores en la terminologíay muestra vacíos conceptuales profundos.

Conocimiento de las relaciones entre conceptos

Construye un mapa conceptual apropiado ycompleto, incluyendo ejemplos, colocandolos conceptos en jerarquías y conexionesadecuadas y colocando relaciones en todaslas conexiones, dando como resultado finalun mapa que es fácil de interpretar.

Coloca la mayoría de los conceptos en unajerarquía adecuada, estableciendo rela-ciones apropiadas la mayoría de las veces,dando como resultado un mapa fácil de interpretar.

Coloca solo unos pocos conceptos en unajerarquía apropiada y usa solo unas pocasrelaciones entre los conceptos, dando comoresultado un mapa difícil de interpretar.

Habilidad para comunicar conceptos a través del mapa conceptual

Identifica todos los conceptos importantesy demuestra un conocimiento de las rela-ciones entre estos.

Identifica importantes conceptos, pero rea-liza algunas conexiones erradas.

Realiza muchas conexiones erradas.

Rúbricas para trabajos escritos

Indicadores Logrado Medianamente logrado Por lograr

Ideas y contenido

El escrito es claro, enfocado e interesante.Mantiene la atención del lector. El tema ohistoria central se enriquece con anécdotasy detalles relevantes.

El escrito es claro y enfocado; sin embargo,el resultado general puede no captar la aten-ción. Hay un intento por sustentarlo, peropuede ser limitado, irreal o muy general.

El escrito carece de una idea o propósito cen-tral. El lector se ve forzado a hacer inferenciasbasándose en detalles muy incompletos.

Organización

La organización resalta y focaliza la idea otema central. El orden, la estructura o lapresentación comprometen y mueven allector a lo largo del texto.

El lector puede inferir lo que va a suceder enla historia, pero, en general, la organizaciónpuede ser, en algunos casos, inefectiva omuy obvia.

La organización es casual y desarticulada.La escritura carece de dirección, con ideas,detalles o eventos que se encadenan unoscon otros, atropelladamente.



Logrado Medianamente logrado Por lograr

Voz

El escritor habla directamente al lector enforma directa, expresiva y que lo compro-mete con el relato. El escritor se involucraabiertamente con el texto y lo escribe paraser leído.

El escritor parece sincero, pero no está com-pletamente involucrado en el tema. El resul-tado es ameno, aceptable y a veces di-recto, pero no compromete.

El escritor parece completamente indife-rente, no involucrado o desapasionado. Como resultado, la escritura es plana, sin vida, rígida o mecánica. Y, dependi-endo del tema, resulta abiertamente técnica o incoherente.

Elección de palabras

Las palabras transmiten el mensaje pro-puesto en forma interesante, natural yprecisa. La escritura es completa y rica,pero concisa.

El lenguaje es totalmente corriente, perotransmite el mensaje. Es funcional, aunquecarece de efectividad. Frecuentemente, elescritor decide por comodidad o facilidadde manejo, producir una especie de “docu-mento genérico”, colmado de frases y pala-bras familiares.

El escritor hace esfuerzos con un vocabulariolimitado, buscando a ciegas las palabras quetransmitan el significado. Frecuentemente,el lenguaje es tan vago y abstracto o tan re-dundante y carente de detalles que sola-mente el mensaje más amplio y general llegaa la audiencia.

Fluidez en las oraciones

La escritura fluye fácilmente y tiene buenritmo cuando se lee en voz alta. Las ora-ciones están bien construidas, son muy co-herentes y la estructura variada hace que, alleerlas, sean expresivas y agradables.

Las oraciones tienden a ser más mecánicasque fluidas. El texto se desliza eficiente-mente durante la mayor parte del escrito,aunque puede carecer de ritmo o gracia,tendiendo a ser más ameno que musical. Ocasionalmente, las construcciones inade-cuadas hacen lenta la lectura.

El escrito es difícil de seguir o de leer en vozalta. Las oraciones tienden a estar cor-tadas, incompletas, inconexas, irregulareso muy toscas.

Convenciones

El escritor demuestra una buena compren-sión de los estándares y convenciones de laescritura (gramática, puntuación, utilizaciónadecuada del lenguaje, ortografía) y los usaefectivamente para mejorar la facilidad delectura. Los errores tienden a ser muy pocosy de menor importancia.

Hay errores en las convenciones para es-cribir que, si bien no son demasiados, per-judican la facilidad de lectura. Aun cuandolos errores no bloquean el significado,tienden a distraer.

Hay numerosos y repetidos errores en la uti-lización adecuada del lenguaje, en la es-tructura de las oraciones, en la ortografía ola puntuación que distraen al lector y hacenel texto difícil de leer. De hecho, la grave-dad y frecuencia de los errores tiende a sertan notoria que el lector encontrará muchadificultad para concentrarse en el mensaje ydeberá releerlo para entender.


Bien MalNecesita mejorar

Usa ideas propias o reformula en forma original las ideas de otros para orientar su investigación.

Plantea en forma clara el problema a investigar.

Formula una secuencia de pasos a seguir para orientar su investigación (plan de trabajo).

Se plantea metas parciales a lograr en el tiempo.

Form

ulac

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esen

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ón d

e re

sulta

dos

Rúbricas para presentaciones orales

Pauta de proyectos realizados por estudiantes


Logrado Medianamente logrado Por lograr

PreparaciónBuen proceso de preparación, muestra profundidad en el desarrollo del tema.

Cumplido en la presentación de los resúmenes aprovecha el tiempo para aclaraciones.

Presenta el resumen y la actividadplaneada sucintamente.

Sustentación teóricaDomina el tema propuesto, logra conectarloy explicarlo en sus diferentes aspectos. Laevaluación logra analizar el tema.

Logra explicar el tema, relacionando losdiferentes aspectos de éste. La evaluacióntiene en cuenta los diversos aspectos presentados.

Conoce el tema superficialmente, logra ex-plicar los puntos planteados. La actividadde evaluación es poco adecuada.

Manejo de la discusiónBien liderada, suscita controversia y participación.

Es organizada; puede contestar los diferentes interrogantes.

La dirige, no resalta los puntos más impor-tantes, no llega a conclusiones.

ParticipaciónPertinente. Activa; es fundamental para elbuen desarrollo de cada uno de los temas.

Oportuna, aporta buenos elementos, prestaatención a las distintas participaciones.

Está presente. Presta poca atención a lasdistintas participaciones.

Extraído de: Matriz de Valoración en www.eduteka.org

Utiliza distintas fuentes de información y de consulta (incluido el profesor).

Discute con otros compañeros y compañeras acerca de los avances de su investigación.

Presenta avances parciales de su trabajo.

Realiza voluntariamente una exposición oral al resto de la clase para presentar los resultados de su investigación.

Presenta un informe escrito de acuerdo con los términos de referencia del proyecto.

Usa un lenguaje claro y adecuado para presentar los resultados de su trabajo.

Usa figuras, tablas y diagramas que ayudan a la claridad de la información presentada.

Establece conclusiones apropiadas válidas, acordes con el problema investigado y con los objetivos planteados.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm


Razonamiento matemático y Resolución de problemasEn la interacción con el entorno y con los otros, las personas nos enfrentamosdiariamente a situaciones problemáticas necesarias de ser resueltas de la mane-ra más óptima. En la búsqueda de estas soluciones interactúan la experiencia,la creatividad y, por supuesto, las capacidades de cada individuo. Al resolver unproblema determinado se aprende también cómo actuar frente a nuevas situa-ciones o que impliquen un desafío.

Consideraremos la resolución de problemas como una modalidad didáctica enla que el o la docente genera situaciones para que los alumnos y alumnaspuedan explorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar,analizar y/o generar aplicaciones, investigar y, en general, construir conceptos,aprender procedimientos, algoritmos u otros tópicos matemáticos.

Esto se traduce en diferentes situaciones didácticas en las que el y la estudiante,interactuando con desafíos especialmente diseñados, en un ambiente coopera-tivo y estimulante, busca soluciones, explicaciones o distinciones. Algunas deestas situaciones pueden ser:

• Explorar una situación problema con el objeto de acercarse a un concepto ogenerar procedimientos para buscar y reconocer una solución.

• Analizar una situación problema insuficientemente definida con el objetode aprender acerca del enunciado de un problema y/o con el objeto queformule preguntas.

• Investigar una situación con el objeto de reunir y sistematizar información queinvolucre el uso de modelos matemáticos.

En nuestra propuesta, el trabajo de Razonamiento matemático y Resoluciónde problemas es transversal al desarrollo de todos los contenidos y consideracinco componentes interconectados: conceptos, habilidades, procesos, acti-tudes y metacognición.

• Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario para re-solver problemas matemáticos.

• Habilidades: son las aptitudes que se espera que los y las estudiantes sean ca-paces de desarrollar en cada contenido.

• Procesos: apunta al razonamiento y la heurística involucrados en la resoluciónde problemas matemáticos.

• Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática.

• Metacognición: consiste en la habilidad de monitorear el proceso de pensa-miento propio durante la resolución de problemas.

Polya propone un modelo para resolver situaciones problema, en un plan queconsiste en cuatro pasos.

1. Comprender un problema: identifica, analiza e interpreta los datos disponiblesdentro del contexto del problema.

¿Puedes replantear el problema con tus propias palabras?, ¿cuál es la pre-gunta del problema?, ¿qué datos te entrega el problema?, ¿sabes a quéquieres llegar?, ¿son suficientes los datos que te entregan para resolver elproblema?, ¿hay datos que no son necesarios para resolver el problema?

2. Crear un plan: encuentra las conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido.

¿Qué puedo hacer con los datos que tengo para responder correctamentela pregunta?

3. Poner en práctica un plan: ejecuta lo planificado. Implementar la o las estrate-gias escogidas hasta solucionar completamente el problema o hasta que lamisma acción sugiera tomar un nuevo curso.

Al desarrollar tu plan verifica cada uno de los pasos. ¿Puedes estar seguro de quecada uno está correcto?, ¿puedes demostrar (o argumentar) que está correcto?

4. Examinar lo hecho: examina la solución obtenida.¿Puedes comprobar la respuesta?, ¿puedes comprobar los argumentos?,¿puedes obtener el resultado por un camino diferente?, ¿puedes “ver” la res-puesta de una sola mirada?, ¿puedes usar el resultado o el procedimientopara resolver otro problema?

Considerando las etapas de la propuesta de Polya, se han diseñado actividadesa través de las cuales los y las estudiantes pueden identificar cada uno de lospasos descritos.

En la sección BUSCANDO ESTRATEGIAS (del Texto del Estudiante) se plantean pro-blemas en contextos cercanos y familiares a los alumnos y alumnas, con el objetivode que sean recepcionados por ellos y ellas como un desafío y los estimule a uti-lizar todos los recursos de los cuales dispongan. Además, se determina una estruc-tura clara de los pasos a seguir para resolverlos.

Para evaluar la resolución de problemas, se propone la siguiente tabla, que especifica los indicadores de logro de acuerdo con cada etapa de la Resoluciónde problemas.



No comprende En proceso, logro parcial Logro, aplicación

Comprensión delproblema o de lasituación

• No intenta entender el problema.• Entiende mal el problema.• Como rutina, pide explicaciones.

• Copia el problema.• Identifica palabras clave.• Puede que malinterprete parte

del problema.• Puede que tenga alguna idea acerca

del problema.

• Puede expresar en sus propias palabras ointerpretar coherentemente el problema.

• Comprende las condiciones principales.• Elimina la información innecesaria.• Tiene una idea acerca de la respuesta.

Comprensión de conceptos

• No modela los conceptos rutinarios correctamente.

• No puede explicar el concepto.• No intenta resolver el problema.• No hace conexiones.

• Demuestra un entendimiento parcial osatisfactorio.

• Puede encontrar y explicar usando unavariedad de modos.

• Está listo para hacer conexiones acercade cómo y por qué.

• Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores.

• Puede crear problemas relacionados.• Realiza las tareas cada vez con

menos errores.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos.

• Conecta cómo y por qué.• Aplica el concepto a problemas o

situaciones nuevas.• Hace y explica conexiones.• Realiza lo pedido y va más allá.

Medición (longitud,masa, capacidad)

• Hace comparaciones directas entre objetos.• No puede ordenar objetos de acuerdo a

su medida.• No distingue diferencias entre distintas

unidades de medida.

• Puede ordenar y comparar usandounidades no estándares.

• Puede estimar y medir usando unidadesno estándares.

• Puede resolver algunos problemas relacionados con medida.

• Puede estimar y medir usando unidadesestándares.

• Puede utilizar incrementos fraccionarios para medir.

• Puede resolver problemas relacionados.

• Hace conjeturas poco realistas.• No usa estrategias para refinar la

estimación.• No puede modelar o explicar la

estrategia especificada.• No puede aplicar estrategias unidas

a explicaciones.

• Refina conjeturas o estimaciones mediante particiones/comparaciones.

• Puede modelar, explicar y aplicar una estrategia cuando le preguntan.

• Demuestra poseer estrategias; otras, le faltan.

• Usa estimación cuando es apropiado.

• Refina conjeturas o estimaciones mediante particiones, comparaciones.

• Puede modelar, explicar y aplicar una estrategia cuando le preguntan.

• Demuestra poseer estrategias; otras, le faltan.

• Usa estimación cuando es apropiado.





Verificación de resultados y/o progresos

• No revisa cálculos ni procedimientos.• No reconoce si su respuesta es o

no razonable.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si

existen dudas.

• Chequea racionalidad de los resultados.• Reconoce sinrazones.

Recolección y organización de datos

• No hace planteamientos.• No puede proceder sin instrucciones

ni asistencia.• Comete graves errores al recolectar

o mostrar datos.

• Puede recolectar y desplegar datos, dada una forma de registrarlos.

• Tiene errores menores al recolectar y desplegar datos.

• Puede corregir errores en momentos críticos.

• Puede recolectar y desplegar en forma organizada.

• Clasifica en forma exacta y apropiada.

Interpretación y síntesis de resultados

• No hace planteamientos para resumir y describir datos.

• Puede responder preguntas simples relacionadas con los datos, si es requerido.

• No puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

• Resume y describe datos apropiadamente.

• Puede generar una respuesta a una pregunta relacionada con los datos.

• Puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

• Expresa conclusiones e interpretaciones válidas.

• Hace generalizaciones.• Comunica resultados en forma clara

y lógica.

Aplicación de conceptos, procedimientos y estrategias

• No lo intenta.• Se apoya en otros para seleccionar

y aplicar estrategias.• Su trabajo no es comprensible.• No puede explicar su trabajo o

estrategia adecuadamente.• Selecciona estrategias inadecuadas.• Su implementación no es lógica

ni ordenada.

• Usa estrategias si se lo piden.• Reconoce estrategias.• Puede explicar estrategias.• Usa un limitado número de estrategias.• Puede seleccionar una estrategia,

pero necesita ayuda en su implementación.

• Puede presentar su trabajo en una forma aceptable.

• Genera nuevos procedimientos.• Extiende o modifica la estrategia.• Conoce o usa diversas estrategias.• Usa estrategias en forma flexible.• Reconoce cuando una estrategia

es aplicable.• Presenta su trabajo en forma lógica

y coherente.



Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

Fuentes consultadas:

• Chamorro, C. (1991). El aprendizaje significativo en el área de matemáticas. Madrid: Alambra Longmam.

• Sternberg, R., Spears-Swerling, L. (1996). “La comprensión de los principios básicos y de las dificultades de enseñar a pensar”, en: Teaching for thinking, trad. de R. Llavori. Enseñar a pensar. Madrid: Santillana.


Disposiciones (valores, actitudes)

• Demuestra ansiedad o disgusto.• Se retira o es pasivo durante la clase.• Cede fácilmente y se frustra en la clase.• Necesita un apoyo frecuente, atención

y retroalimentación.

• Se aplica a la tarea.• Participa activamente en las actividades

de aprendizaje.• Está dispuesto a intentar nuevos métodos.• Responde si le preguntan, pero puede

que no tome la iniciativa.

• Demuestra confianza en su trabajo.• Es persistente cuando intenta

varios enfoques.• No se da por vencido.• Es curioso, muestra flexibilidad.• Hace muchas preguntas.

Generalización yconexiones

• No intenta hacer conexiones.• No hace conexiones.• No puede extender ideas en

nuevas aplicaciones.• Hace el mínimo esperado.

• Puede reconocer problemas o aplicaciones similares.

• Hace conexiones.

• Propone y explora conexiones.• Puede crear problemas paralelos

variando las condiciones del problema original.

• Puede aplicar ideas en nuevas aplicaciones.


Estructura del Texto del EstudianteEn la estructura del Texto del Estudiante se muestran las dife-rentes páginas y secciones que componen cada Unidad, consu respectiva descripción, distinguiéndose en su estructuradidáctica los tres momentos pedagógicos presentes en ellas(inicio, desarrollo y cierre).

• En las páginas de inicio se explicitan los aprendizajes que seespera que logren los y las estudiantes con el desarrollo dela Unidad; además, se presentan actividades de motivacióny activación de experiencias y conocimientos previos, juntocon una evaluación diagnóstica que le permitirá conocerlos conocimientos que tienen sus alumnos y alumnas y queserán el punto de partida para el trabajo de la Unidad.


Estructura del Texto

Páginas de inicio

4 Matemática 8

Números enteros

Unidad

• Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por unnúmero entero negativo.

• Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar números enteros.• Emplear procedimientos de cálculo en divisiones exactas de números enteros.• Ampliar el algoritmo de la división de números naturales a la división de

números enteros y aplicarlo.• Calcular operaciones combinadas con números enteros.• Resolver problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan

las cuatro operaciones aritméticas con números enteros.

En esta Unidad podrás...

La atmósfera es una masa gaseosa que envuelve a la Tierra.

Sus componentes cumplen un papel muy importante para que en nuestro planeta pueda existir la vida; además, no solo nos protege de la radiación solar,sino que filtra radiaciones nocivas e impide que el calor emitido por el Sol seescape al espacio.

Sin la atmósfera, la temperatura de la Tierra se volvería insoportable,aumentaría en 100 ºC por el día y variaría cerca de –150 ºC en la noche.

La atmósfera se divide en diferentes capas. Una de ellas es la tropósfera, quecorresponde a la zona más baja de la atmósfera, donde se producen todos losfenómenos meteorológicos y cuya temperatura disminuye con la altura.

Fuente: Dirección Meteorológica de Chile,

www.meteochile.cl/ayudaest.html, septiembre 2009.

La fotografía fue tomada en un avión que volaba en la tropósfera, sobre una zona en que la temperatura de la superficie era de 24 ºC y esta disminuía, según laaltura, a razón de 6 ºC por kilómetro.

1. ¿Cuál era la temperatura a 2 km de altura?2. ¿A qué altura la temperatura fue de 0 ºC?3. ¿A qué altura volaba el avión, si la temperatura del aire varió a –24 ºC?

Conversemos de...

1

Números enteros 1110 Unidad 1

El Texto Matemática 8 está organizado en 6 unidades. En cada Unidad encontrarás las siguientes páginas y secciones:

¿Cuánto sabes?

Unidad 1

1. Completa con los signos <, > o =, según corresponda.

a) –7 –5 c) �–10� �–15� e) �–3� 3

b) �–8� 5 d) 4 –1 f) 8 –8

2. Ordena los siguientes números de menor a mayor.

a) 49; –14; –28; 20; 29; –29 d) –7; –10; –16; –18; 1; 0

b) –4; –5; –1; 1; 3; 5e) –14; –19; 22; –23; 10; –5

c) 101; 111; –111; –1; 5; 18 f) –18; –20; –40; 2; –6; 6

3. Ubica en la recta numérica los números: –6, –4, 7, –5, –1, 3, –2 y sus

inversos aditivos.

4. Calcula mentalmente:

a) (–2) + 8 =e) 22 – 30 =

b) (–14) + 6 =f) –(–4 + 2) – (9 – 5) =

c) (–3) + (–8) =g) (5 – 18) – (–8 + 8) =

d) –11 – (–4) =h) –4 – 7 + (9 – 3) + 10 =

5. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso, la estrategia

que utilizaste.

a) La temperatura de un frigorífico es de –10 ºC. Después de un corte de

luz sube 15 ºC, luego, cuando vuelve la energía, baja rápidamente

12 ºC. ¿Cuál es la temperatura del frigorífico después de esta

disminución de temperatura?

b) Camila le debe $ 12 000 a su madre y $ 5500 a su hermano. Si le paga

$ 10 500 a su madre y $ 3800 a su hermano, ¿cuánto debe ahora

en total?

c) Un buzo que se encuentra a 9 metros bajo el nivel del mar sube hacia la

superficie 5 metros, luego, desciende 6 metros. ¿A qué profundidad se

encuentra ahora?

d) Un pez que está a 5 metros bajo el nivel del mar, primero desciende

3 metros y, luego, sube 6 metros. ¿A qué distancia del nivel del mar

se encuentra ahora? Represéntalo en la recta numérica.


a) 45 : 9 =e) 2 • 3 • 10 =

b) 50 • 6 =f) 540 : 60 =

c) 13 • 4 =g) 121 : 11 =

d) 180 : 6 =h) 12 • 5 =

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.

¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve

correctamente el ejercicio.

Números enteros 13

12 Unidad 1

• El conjunto de los números enteros está compuesto por los números naturales (�),

el cero y los números negativos. Se simboliza por �.

• La distancia que hay entre un número y el cero la representaremos a través del valor

absoluto. El valor absoluto de un número a lo escribiremos �a�.

Por ejemplo: la distancia entre –20 y cero en la recta numérica es 20, entonces �–20� = 20.

• En la recta numérica, un número, positivo o negativo, es mayor que todos los números que

están a la izquierda de él y es menor que cualquier número que esté a la derecha de él.

Por ejemplo, –2 > –4, ya que el –2 está a la derecha del –4, como se observa en la siguiente

recta numérica:

• Para sumar números enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y conservamos

el signo.

Para sumar dos números enteros de distinto signo restamos sus valores absolutos y,

al resultado, le asignamos el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo: (–3) + (–5) = –8

6 + (–9) = –3

• Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo: 15 – (–10) = 15 + 10 = 25

–18 – 22 = –18 + (–22) = –40

¿Qué debes recordar?

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

� = �…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…�

Conversemos de...Sección que te plantea preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de la Unidadque te permitirán exponer tus ideas, dar opinionesy argumentar a partir de tus experiencias.

¿Cuánto sabes?Podrás resolver ejercicios y problemasque te ayudarán a recordar conocimientosque serán la base para el desarrollo de la Unidad.

En esta Unidad podrás...En esta sección conoceráslos principales objetivos quese espera que logres con el desarrollo de la Unidad.

¿Qué debes recordar?Encontrarás el resumen de los principales conceptos trabajados enaños anteriores y que te servirán comoapoyo para los aprendizajes que se espera que logres en la Unidad.



• Las páginas de desarrollo incluyen variadas actividades deexploración, construcción y aplicación de los contenidos; al-gunas para desarrollarlas en forma individual, otras para co-mentar y discutir, y otras para realizar con metodología detrabajo colaborativo. En estas páginas se destacan las ideaso conceptos fundamentales a través de una formalización.

Estructura del Texto 5

Páginas de desarrollo

Números enteros 17

Unidad 1

16 Unidad 1

Multiplicación de números enteros

Un grupo de 4 amigos inventaron un juego en el que obtenían puntosal responder ciertas preguntas. Si no respondían correctamente, seanotaban puntos negativos o cero. Aquí está el resumen después de 5 etapas.

Como Beatriz obtuvo 15 puntos en cada etapa, la expresión quepermite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las 5 etapases: 15 • 5 = 75, es decir, terminó con 75 puntos.

La expresión que permite calcular con cuántos puntos terminóCristián al final de las 5 etapas, si obtuvo –10 en cada una es: (–10) • 5 = –50, o bien: 5 • (–10) = –50. Por lo tanto, Cristián terminócon –50 puntos al final del juego.

Gonzalo hizo 0 puntos en cada etapa. En este caso, la expresión quepermite calcular la cantidad de puntos al finalizar el juego es: 0 • 5 = 0, es decir, terminó con 0 puntos.

Si Alejandra hizo –12 puntos en cada etapa, la expresión quepermite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las etapas es:(–12) • 5 = –60. En este caso, Alejandra terminó el juego con –60 puntos.

Beatriz fue quien obtuvo más puntos.La expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvoAlejandra en las 2 últimas etapas, si en cada una obtuvo (–12) puntos,es: (–12) • 2 = –24 puntos. Entonces, al no jugar las últimas dosetapas dejó de perder 24 puntos. La expresión matemática en estecaso, considerando que representaremos con (–2) a las dos etapasque no jugó, es: (–12) • (–2) = 24. Notemos que (–12) • (–2) = 12 • 2 = 24.

Para discutir

• ¿Con cuántos puntos terminó cada jugador?• ¿Quién obtuvo más puntos? • Si Alejandra jugara hasta la tercera etapa, ¿cuántos puntos

dejaría de perder con las dos etapas que no jugó?

Ayuda

Recuerda que, usualmente,cuando el número es positivo,no se escribe el signo +. Por ejemplo: (+3) se escribe también 3.

Actividades

1. Calcula el resultado de los siguientes productos.

a) 3 • (–5) c) (–11) • 3 e) (–4) • (–1) g) 7 • (–2) b) 0 • (–3) d) (–5) • (–6) f) 1 • (–7) h) (–9) • (–5)

2. Expresa como producto de dos factores los siguientes números.

a) –20 b) –16 c) –18 d) +8

3. Completa con el factor que falta.

a) • (–7) = 21 c) • 9 = –72 e) (–4) • = 4b) 5 • = –35 d) 6 • = 18 f) (–4) • = –64

4. En esta pirámide, el número de cada casilla debe ser el producto de los dos números de lascasillas sobre las que está apoyada dicha casilla. Complétala.

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Etapa 5

Beatriz 15 15 15 15 15

Cristián –10 –10 –10 –10 –10

Gonzalo 0 0 0 0 0

Alejandra –12 –12 –12 –12 –12

• Para cualquier número entero a, se tiene que a • 0 = 0 • a = 0.

• Para multiplicar números enteros, se deben multiplicar sus valores absolutos y al resultadoanteponer el signo + si los factores tienen el mismo signo, o el signo – si tienen distinto signo.

• La tabla que se muestra a la derecha te permite recordar la regla de los signos.

• Al multiplicar dos números que tienen igual signo, el resultado es positivo. Por ejemplo:(+5) • (+7) = +35 (–6� • (–2) = +12

• Al multiplicar dos números que tienen diferente signo,el resultado es negativo. Por ejemplo:(+8) • (–9) = –72 (–6) • (+4) = –24

No olvides que...

Signo del 1er factor

Signo del 2o factor

Signo delproducto

+ + +

– – +

+ – –

– + –

+1080

–12

+6

+3

20 Unidad 1

Mi progreso

En esta actividad deberán utilizar seis tarjetas azules, seis tarjetas rojas y una moneda para calcular

mentalmente multiplicaciones y divisiones con números enteros. Formen grupos de cuatro

integrantes y sigan las instrucciones.

1. Elaboren seis tarjetas azules con los siguientes números: –150, +200, –250, +300, –350, +400.

2. Elaboren seis tarjetas rojas con los siguientes números: –25, –10, –5, –1, 2, 5.

3. Cada integrante, por turno:

1º Saca una tarjeta azul al azar.

2º Saca una tarjeta roja al azar.

3º Lanza la moneda, si sale cara se deben multiplicar mentalmente los números obtenidos;

de lo contrario (sello), se divide mentalmente el número de la tarjeta azul por el de la

tarjeta roja.

4º Si responde correctamente, gana 1 punto; si no, pierde 1 punto.

4. Jueguen hasta que alguno de los integrantes complete 10 puntos.

En equipo

Números enteros 21

5. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes

y completa la tabla.

6. A partir de los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior, responde:

a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y –(b : a)?, ¿por qué?

b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y �b : a�?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en

estos casos?, ¿por qué?

c) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular las divisiones �b� : �a� y �b : a�?, ¿ocurrirá siempre lo

mismo en estos casos?, ¿por qué?, ¿y si fueran multiplicaciones?

7. Un clavadista se lanza de una altura de 12 metros a una piscina. Si la profundidad que logra es un

tercio de la altura a la que se lanzó, ¿qué número representa la profundidad que alcanza respecto

del nivel del agua?

a b b : a – (b : a) �b� : �a� �b : a�

5 15

– 3 –18

–2 4

4 –28

m n m • m m : n m • n �m� • �m�

–20 5

48 –6

–450 –90

CriterioÍtem Respuestas correctas

Reconocer el divisor en una expresión asociada a números enteros. 1

Analizar expresiones algebraicas asociadas a números enteros. 2

Calcular el producto o cociente de dos números enteros.3

Resolver un problema que requiere multiplicación y división de

números enteros.

4 y 5

Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.

1. En la expresión (–36) : x = –4, el valor de x es:

A. –9B. 9

C. 6D. –12

2. Si x es un número entero negativo, ¿cuál de estos números es el más grande?

A. 4 + x B. 4 • x C. 4 : x D. 4 – x

3. Remplaza los valores de m y n en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.

A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

a) ¿Qué tienen en común las soluciones obtenidas al calcular m : n y m • n?, ¿por qué?

b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular m • m y �m� • �m�?, ¿ocurrirá siempre lo mismo

en estos casos?, ¿por qué?

4. En un juego, Emilia tiene 60 puntos a favor y Carlos tiene 10 puntos en contra. Si Carlos gana la

mitad de puntos que Emilia tiene y, luego, Emilia dobla su puntaje, ¿cuántos puntos tienen ahora

Emilia y Carlos?

5. En el interior de una cámara frigorífica puede descender la temperatura 4 ºC cada hora.

¿Cuántas horas tardará en bajar la temperatura 20 ºC?, ¿y en bajar 16 ºC?

Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto; completa la siguiente tabla y, luego, responde.

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera

la estrategia utilizada.

Unidad 1

AyudaTe recuerda uncontenido o procedimiento.

Para discutirPor medio de preguntas,explorarás el contenidomatemático que aprenderás, pondrás enpráctica lo que ya sabes,compartirás tus ideas y extraerás conclusiones.

En equipoDesarrollarás en grupo entretenidas e interesantesactividades que te permitiránprogresar en tu aprendizaje

No olvides que...Encontrarás explicaciones,descripciones o definiciones que destacany precisan lo que vasaprendiendo.

ActividadesResolverás variadas actividades para ir descubriendo los conceptos y reforzar así su aprendizaje.

Te invitamos a ingresar al hipertexto donde encontrarásdiferentes recursos y actividadesinteractivas que complementarántu aprendizaje.



Además, las páginas de desarrollo contienen secciones que per-mitirán que sus estudiantes aprendan estrategias de cálculo men-tal y otras en que deberán utilizar herramientas tecnológicascomo calculadora y computador. También presentan páginas conactividades específicas para la resolución de problemas, que, apesar de que se trabajen transversalmente, acá se muestran es-trategias específicas para que los y las estudiantes las aprendany apliquen en otras situaciones. Las evaluaciones formativas queaquí se presentan le permitirán obtener información sobre el pro-ceso de aprendizaje de sus estudiantes.

6 Matemática 8

28 Unidad 1

Usando una planilla de cálculo, resuelve operaciones combinadas con números enteros. Siguelas instrucciones.

1º En A1 escribe “Positivo”, en B1 “Negativo”, en C1 “Operación 1”, en D1 “Operación 2”, en E1 “Operación 3” y en F1 “Operación 4”.

2º En las celdas A2 y B2 anota 600 y –30, respectivamente.3º En la celda C2 correspondiente a “Operación 1” haz doble clic y anota = A2*B2-B2*A2.

Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 • (–30) – (–30) • 600.4º En la celda D2 correspondiente a “Operación 2” haz doble clic y anota = A2/B2-B2.

Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) – (–30).5º En la celda E2 correspondiente a “Operación 3” haz doble clic y anota = A2/B2+ABS(B2).

Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) + �–30�.6º En la celda F2, inventa una operación combinada usando los números que aparecen en las

celdas A2 y B2 (como en los puntos 3, 4 y 5) y los símbolos +, – , * y /.7º En las celdas de la columna “Positivo” escribe números enteros positivos hasta A10. En las

celdas de la columna “Negativo” escribe números enteros negativos que sean divisores delnúmero positivo de su fila correspondiente.

8º Con el mouse, selecciona la celda C2, anda a su vértice inferior derecho, y cuando aparezcauna cruz negrita, arrastra hasta la celda C10. Así, deberían aparecer todos los resultadoscorrespondientes.

9º Repite el paso anterior para las celdas D2, E2 y F2. Deberías obtener:

Finalmente, compara los números obtenidos en cada columna y responde:

a) ¿Por qué en “Operación 1” los resultados son siempre cero?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?Justifica.

b) ¿Por qué los resultados de “Operación 2” y “Operación 3” son iguales?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? Justifica.

c) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿obtienes como resultado cero en la columna “Operación 1”?, ¿por qué?

d) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿los resultados de “Operación 2” y “Operación 3” serían iguales?, ¿por qué? Verifica en tu planilla de cálculo.

Herramientas tecnológicas

Mi progreso

a b c a : b • c a • b : c c • (a – b) + a c • a – c • b + a

–18 2 –12

–28 –7 –14

Criterio Ítem Respuestas correctas

Representar en lenguaje matemático una situación escrita enlenguaje natural.

1

Analizar expresiones relacionadas al algoritmo de la división. 2

Calcular operaciones combinadas con números enteros. 3

Resolver un problema, que involucra las cuatro operaciones connúmeros enteros.

4


1. Juan trabaja en un supermercado. Durante el primer semestre del año pasado tuvo un sueldo fijomensual de $ 300 000. En julio recibió un aumento de $ 50 000. ¿Qué expresión permite calcularcuánto ganó Juan el año pasado?

A. 300 000 • 6 + 50 000 • 6 C. 300 000 • 6 + 350 000 • 6B. 300 000 • 12 + 50 000 D. 300 000 • 12 + 350 000

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. Una división de números enteros es siempre exacta.B. El resto en una división de números negativos, es negativo.C. El producto de dos números enteros negativos es un número entero negativo.D. El dividendo en la división exacta con números enteros es igual al divisor por el cociente.

3. Remplaza los valores de a, b y c y completa la tabla con los resultados que obtengas. Luego, responde.

• ¿Obtienes los mismos resultados en las columnas 4 y 5?, ¿y en las columnas 6 y 7?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

4. Un objeto se encuentra a 32 metros bajo el nivel del mar. Si cada 5 minutos desciende 3 metros,¿qué número representa la profundidad en que se encontrará 35 minutos después?

Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañerala estrategia utilizada.

Números enteros 29

Unidad 1

26 Unidad 1

Unidad 1

11. Escribe en cada línea el número que falta para que se cumpla la igualdad.

a) 6 : –3 • = –8 e) –5 • –7 • 2 : = –7

b) –3 • ( : –5) = 9 f) : –9 • 2 = –10

c) (–20 : ) • (–8 : 2) = –40 g) 100 : (20 : ) = –50

d) 45 : : 3 = –3 h) • –6 : 2 = 9

12. En cada caso, escribe una pregunta para que el problema sea resuelto con las operaciones que

se indican. Luego, resuélvelos.

a) Operaciones: adición y multiplicación.

En una ciudad del país, la temperatura mínima a las 7:00 horas fue de –2 ºC.

Cada hora aumentó 3 ºC hasta las 11:00 horas.

Pregunta:

Respuesta:

b) Operaciones: adición y división.

Patricio logró ahorrar $ 95 000 en una alcancía desde enero hasta mayo. En junio pudo

guardar $ 20 000, en julio ahorró $ 15 000 y en agosto retiró la cuarta parte del total.

Pregunta:

Respuesta:

Para saber en forma rápida qué signo corresponde al resultado de una multiplicación o

división entre números enteros, cuenta la cantidad de números negativos de la expresión:

si es par, el resultado será positivo; de lo contrario (cantidad impar), el resultado es negativo.

Observa los ejemplos:

25 • (–4) : 20 • 6 : (–10) = +3 (–20� : 2 • (–5) • (–2) = –100

(2 números negativos) (3 números negativos)

Calcula mentalmente, aplicando la estrategia aprendida.

a) (–2) • 2 • (–2) • 2 • (–2) = g) 2 • (–5) • (–10) : 4 • (–3) =

b) (–15) : (–3) • (–4) • 2 : (–5) = h) 300 : 15 • (–3) : 2 • 6 =

c) (–10) • (–100) • (–1000) • (–10 000) = i) (–1) : 1 • (–1) : 1 • (–1) • (–1) : (–1) =

d) 2500 : (–5) : (–10) = j) (–24) : (–8) : 3 • (–1) • (–2) =

e) 3 • 3 • (–4) : (–2) : 9 • (–1) = k) 12 • 10 : (–4) • (–3) : (–9) =

f) 4 • 4 • 4 : (–4) • 1 : (–1) = l) (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) =

Estrategia mental

Números enteros 27

5. Una familia gasta mensualmente $ 100 000 de arriendo, $ 65 000 en mercadería y $ 50 000

en gas, luz y agua. Si desean comprar un automóvil a crédito que cuesta $ 1 200 000, dando de

pie unos ahorros que equivalen $ 150 000 y el resto en 24 cuotas mensuales iguales, calcula:

a) ¿Cuál es el valor de cada una de las 24 cuotas del auto?

b) Si deciden comprar el auto, ¿cuánto dinero gastarán mensualmente en cuentas?

6. Una familia compra una casa en enero del año 2011 con un crédito en cuotas fijas a 20 años.

El valor de la casa es de $ 12 000 000 incluidos los intereses.

a) ¿Cuánto pagan anualmente?

b) ¿Cuál es el valor de cada cuota mensual?

c) ¿Cuánto han pagado después de 5 años?

7. El valor de las acciones de una empresa en la bolsa de comercio disminuye $ 12 cada día.

Hoy tienen un valor de $ 690.

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuánto costarán dentro de 8 días?

b) ¿Cuánto costarán dentro de 8 días?, ¿y en 15 días?

8. La temperatura en una cámara de refrigeración a las 14:45 horas es de 20 ºC.

Se sabe que la temperatura baja 2 ºC cada minuto.

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuál será la temperatura a las 15:03 horas?

b) Calcula la temperatura a las 15:03 horas.

9. Remplaza los valores de a, b y c en cada caso, realiza los cálculos correspondientes

y completa la tabla.


a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular (b : c) • a y b : (c • a)?, ¿ocurrirá siempre

lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular a • (b • c) y (a • b) • c?, ¿ocurrirá siempre

lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

a b c (b : c) • a b : (c • a) a • (b • c) (a • b) • c

3 –36 6

–2 18 –9

4 –96 8

–10 –50 –5

8 32 –2

Unidad 1Buscando estrategias

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.

a) Marcelo, el tesorero del Octavo Año Básico de un colegio de Coquimbo, debe rendircuentas al curso cada término de semestre. Dice lo siguiente: “Por aportes voluntarios enmarzo reunimos $ 88 000; en abril, $ 65 000; en mayo, $ 100 000, y en junio, $ 55 000.En la fiesta de curso gastamos $ 140 000; el regalo a la profesora costó $ 35 000, y en larifa de curso ganamos $ 63 000”. ¿Cuál fue el saldo final del curso?

b) Claudio puso un negocio de comida rápida. El primer mes ganó $ 300 000, el segundomes ganó el doble que en el primero, en el tercero ganó el triple del segundo, el cuartomes perdió la mitad de las ganancias de los primeros meses juntos, y en el quinto tuvoingresos de $ 255 000. ¿Cuál fue el saldo final?

c) Un día de julio, en Calama, la temperatura mínima que se registró a las 7:30 horas, fue de –3 ºC. Durante las siguientes 8 horas, la temperatura subió 3 ºC por hora y, luego, descendió 2 ºC por hora. ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 23:30 horas?, ¿y a las 00:30 horas?

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.

3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,¿por qué?

a) Un día de agosto, a las 9:00 horas, un submarino seencuentra a 150 m de profundidad. Si durante una hora baja con rapidez de 12 m cada10 minutos, y luego sube hacia la superficie duranteuna hora y media con rapidez de 18 m cada 15 minutos, y durante los siguientes 40 minutossigue subiendo aumentando la rapidez a 20 m cada10 minutos, ¿a qué profundidad se encontrará a las12:10 horas?

b) La señora Carmen, dueña de un almacén, calcula mensualmente las ganancias y gastos desu negocio. En el mes de junio, la primera semana vendió $ 210 000, la segunda semanavendió $ 180 000, la tercera gastó $ 140 000 en el arriendo del local y vendió $ 270 000, y la cuarta semana ganó $ 192 000 y pagó $ 25 000 en luz, $ 10 000 en agua y $ 300 000en mercadería. ¿Cuál fue el saldo final de junio?

El año 2005, Marcos inició una empresa. Ese año perdió$ 12 000 000, el segundo año perdió el doble que elprimero, el tercer año ganó el triple que las pérdidasde los dos anteriores juntos. El cuarto tuvo ingresos de $ 18 000 000, y el quinto año obtuvo ganancias iguales a la mitad de las ganancias del tercer año. ¿Cuál fue elsaldo final de la empresa?

Comprender• ¿Qué sabes del problema?

Que el primer y segundo año perdió, y los tres años siguientes tuvo ganancias.• ¿Qué debes encontrar?

La cantidad de dinero correspondiente al saldo final de la empresa.

Planificar• ¿Cómo resolver el problema?

Para facilitar los cálculos, representaremos con signo + los números correspondientes aganancias, y con signo –, los números que corresponden a pérdidas. Luego, calculamos losvalores correspondientes a cada año y, por último, los sumamos para obtener el saldo final.

Resolver• Calculamos los valores correspondientes a cada año:

Año 2005: –12 000 000Año 2006: 2 • –12 000 000 = –24 000 000Año 2007: 3 • (+12 000 000 + +24 000 000) = 3 • +36 000 000 = +108 000 000Año 2008: +18 000 000Año 2009: +108 000 000 : 2 = +54 000 000

Luego, sumamos los valores obtenidos:(–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000)= 144 000 000

Responder• El saldo final de la empresa corresponde a una ganancia de $ 144 000 000.

Revisar• Para comprobar el resultado, puedes asociar la suma de otra manera:

(–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000) =(–12 000 000 + –24 000 000) + (+108 000 000 + +18 000 000 + +54 000 000) =(–36 000 000) + (+180 000 000) = –36 000 000 + 180 000 000 = +144 000 000

30 Unidad 1 Números enteros 31

Herramientas tecnológicasAprenderás a ocupar la calculadora para resolver diversos ejercicios y a utilizar planillas de cálculo o programascomputacionales.

Mi progresoResolverás actividadesque te permitiránevaluar tu progresoen el logro de losaprendizajes.

Estrategia mentalPodrás aprender ypracticar diversas estrategias de cálculomental.

Buscando estrategiasObservarás un problemaresuelto paso a paso através de una determinadaestrategia. Podrás aprendery practicar la estrategia utilizada y buscar otras quete permitan encontrar lasolución.



• En las páginas de cierre se presentan actividades de conso-lidación a partir de una noticia de actualidad y de síntesis,y finalizan con una evaluación sumativa que integra loscontenidos tratados a lo largo de la Unidad e incluye unaautoevaluación que permite que los y las estudiantes seanconscientes del logro de sus aprendizajes y que reflexionensobre cómo aprenden, las dificultades que encontraron ycómo las superaron. Además, encontrarán talleres de eva-luación propuestos para el cierre de cada semestre, en losque se plantean actividades que integran contenidos traba-jados en las Unidades desarrolladas.

Para facilitar el aprendizaje y el trabajo con el Texto, se esperaque los alumnos y alumnas logren distinguir con claridad estaspáginas y secciones, para lo cual es conveniente que, antesde iniciar el trabajo en las Unidades del Texto, revise con ellosy ellas esta organización, deteniéndose en cada una de laspáginas y secciones correspondientes y realizando preguntasque le permitan verificar la comprensión de sus estudiantesrespecto del tipo de información que encontrarán en cadatipo de página y sección.

Estructura del Texto 7

Páginas de cierre

Para finalizar

32 Unidad 1

Números enteros 33

Unidad 1

A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales

conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las

relaciones que hay entre los conceptos.

1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.

2. ¿Cómo multiplicas un número natural por un número entero negativo?

3. ¿Cómo multiplicas números enteros?

4. ¿Cómo divides números enteros?

5. ¿Cómo resuelves ejercicios con multiplicaciones y divisiones combinadas?

6. ¿Cuál es la prioridad de las operaciones al resolver ejercicios con operatoria combinada?

7. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de números enteros?,

¿y qué diferencias?

8. Si a, b y c son números enteros, ¿podrías afirmar que a • (b + c) = a • b + a • c?, ¿por qué?

Da dos ejemplos.

9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en

tu curso e intenten aclararla en conjunto.

OPERACIONES CON

NÚMEROS ENTEROS

MULTIPLICACIÓNDIVISIÓN

OPERACIONES

COMBINADAS

1. Lee los siguientes indicadores y cópialos en tu cuaderno.

• Respeté/respetó las opiniones de los demás integrantes.

• Cumplí/cumplió con las tareas que se comprometió.

• Hice/hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

a. Dibuja una tabla con cada integrante de tu grupo, incluyéndote a ti mismo, y haz tu

evaluación escribiendo: Generalmente, A veces o Casi nunca, según corresponda. Luego,

comparen y comenten sus respuestas.

b. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

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Fuente: Instituto de Astrofísica de Canarias,

www.iac.es/gabinete/difus/cometas/halley.htm, septiembre 2009.

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.

1. ¿Cuándo se calcula que será la siguiente visita?

2. Desde 1986, ¿cuántas visitas habrá hecho el cometa hasta el año 2217?, ¿en qué años?

3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la

solución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.

4. Averigüen por qué el cometa tiene ese nombre y en qué año fue observado por primera vez.

5. En el año 1472, el cometa fue observado por un astrónomo alemán. Anoten todos los años

que el Halley pasó, desde 1472 hasta la fecha. ¿Coincide con el último año que pasó por las

cercanías de la órbita de la Tierra?, ¿por qué?

6. Averigüen cuál fue la distancia más cercana del Halley a la Tierra en 1986.

Síntesis

Evaluamos nuestro trabajo

EXACTA

INEXACTA

Unidad 1¿Qué aprendí?

Números enteros 3534 Unidad 1

1. Si n es un número entero positivo, ¿cuál deestos números es menor que cero?

A. 5 + nB. 2 • nC. n : (–n)D. –2 • (–n)

2. Un tiburón gris se encuentra a 250 metros de profundidad. Si desciende un quinto de la profundidad a la que se encuentra, ¿qué número representa la profundidad queestá con respecto al nivel del mar?

A. –300B. 300C. –200D. 200

3. Un día de julio en Santiago, la temperatura alas 7:30 horas fue de –4 ºC, y tres horas mástarde subió 7 ºC. Si la máxima fue el triple dela temperatura registrada a las 10:30 horas,¿cuál fue la temperatura máxima del día?

A. –9 ºCB. –8 ºCC. 9 ºCD. 6 ºC

4. Si n, m son números enteros, n es el antecesorde m y –8 es el sucesor de m, ¿cuál es elsucesor de (n • m)?

A. 91B. –90C. –89D. 90

5. ¿Cuál de las siguientes frases es incorrecta?

A. Si se multiplican dos números enterosnegativos, el resultado es mayor que cero.

B. Si se dividen dos números enterosnegativos, el resultado es mayor que cero.

C. Si se multiplica el valor absoluto de unnúmero entero negativo por un númeronatural, el resultado es negativo.

D. Si se multiplica un número natural por unnúmero entero negativo, el resultado es unnúmero entero negativo.

6. Si a = –5, entonces (a • a) es igual a:

A. �a� • �a�B. �a� • aC. a • 1D. –(a • a)

7. Al calcular –9 + 3 : �–2 + (–1 • 1)�, resulta:

A. 10B. –9C. –10D. –6

8. En la expresión –5 • x : –2 = 10, el valor de x es:

A. –4B. –20C. 20D. 4

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 9. La temperatura de un meteorito al ingresar a la atmósfera terrestre varía de –150 ºC a 2230 ºC en diez minutos. Si en cada minuto que transcurre, la temperatura aumenta de igual manera, ¿cuánto aumenta por minuto?

10. La estructura de una mina subterránea de carbón está formada por galeríashorizontales. La distancia vertical entre cada dos galerías es de 10 m, estando,por ejemplo, la galería 2 situada a 20 m de profundidad.

a) Si estamos a 50 m de profundidad, ¿en qué galería nos encontramos?b) Tras subir 30 m, Carlos está en la galería 7. ¿En qué galería estaba antes?c) Antes de subir 20 m, Luis estaba en la galería 6, ¿en qué galería se

encuentra ahora?

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocasteen alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

1. Marca según tu apreciación.

2. Reflexiona y responde.

a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?c) Vuelve a la página 11 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,

¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Multiplicación de un número natural por un númeroentero negativo


División exacta de números enteros

División inexacta de números enteros

Operaciones combinadas

Resolución de problemas

ConexionesA partir de una noticia o tema, desarrollarás enequipo una actividad quete permitirá aplicar lo queaprendiste en la Unidad.Además, te invitamos aevaluar tu actitud y la decada integrante del grupopara que puedas mejorartu forma de trabajar.

¿Qué aprendí?En estas dos páginasresponderás preguntasde selección múltiple y actividades de desarrollo para evaluarlo que has aprendidoen la Unidad.

¿Qué logré?Evaluarás y reflexionarássobre los aprendizajes queadquiriste en esta Unidad.

SíntesisPodrás organizar y sintetizar lo aprendidoutilizando un organizador gráfico. Además, aclararás los conceptos trabajadosrespondiendo preguntas sobre estos y sus relaciones.


Índice del Texto del Estudiante


El índice del Texto permite distinguir las Unidades en que seencuentra dividido este y los contenidos que se trabajan encada una de ellas.

En cada Unidad es posible observar que hay páginas agru-padas por colores; estas corresponden a las evaluaciones quese presentan en la Unidad.

Índice

8 Matemática 8

1Unidad

¿Cuánto sabes? 12Multiplicación de un número natural por un número entero negativo 14Multiplicación de números enteros 16División exacta de números enteros 18Mi progreso 21División inexacta de números enteros 22Operaciones combinadas 24

Mi progreso 29Buscando estrategias 30Para finalizar 32¿Qué aprendí? 34

Números enteros 10

2Unidad

¿Cuánto sabes? 38Potencias de base entera y exponente natural 40Valor de la potencia 42Multiplicación de potencias de igual base 44División de potencias de igual base 46Multiplicación de potencias de igual exponente 48División de potencias de igual exponente 50Potencia de una potencia 52

Mi progreso 55Potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural 56Potencias de base decimal positiva y exponente natural 58Crecimiento exponencial 60Decrecimiento exponencial 62Mi progreso 65Buscando estrategias 66Para finalizar 68¿Qué aprendí? 70

Potencias 36

Geometría y medición 72¿Cuánto sabes? 74Circunferencia y círculo como lugar geométrico 76Elementos de la circunferencia 78Número y su relación con la circunferencia 80Longitud de la circunferencia 82Área del círculo 84

Mi progreso 87Área del cilindro y cono 88Volumen del cilindro y cono 92Mi progreso 95Buscando estrategias 96Para finalizar 98¿Qué aprendí? 100

3Unidad



Es conveniente revisar este índice con los alumnos y alumnas,de modo que logren visualizar las diferentes Unidades quetrabajarán a lo largo del año escolar y cómo estas incorporandiferentes instancias de aprendizaje y evaluación. Para ello,puede pedirles que formulen preguntas que se puedan res-ponder a partir de la información que entrega el índice, y lascompartan con sus compañeros y compañeras.

Índice 9

Bibliografía 223

4Unidad

¿Cuánto sabes? 104Transformaciones de figuras y objetos 106Traslaciones de figuras planas 108Reflexiones de figuras planas 110Rotaciones de figuras planas 112Mi progreso 117Teselaciones 118

Teselaciones regulares y semirregulares 120Mi progreso 123Buscando estrategias 124Para finalizar 126¿Qué aprendí? 128

Movimientos en el plano 102

5Unidad

¿Cuánto sabes? 132Interpretación de tablas de frecuencias 134Construcción de tablas para datos agrupados 136Media aritmética para datos agrupados 138Moda para datos agrupados 140Censo y muestreo 142Análisis de encuestas 144

Mi progreso 149Espacio muestral y principio multiplicativo 150Sucesos equiprobables 152Regla de Laplace 154Mi progreso 157Buscando estrategias 158Para finalizar 160¿Qué aprendí? 162

Datos y azar 130

6Unidad

¿Cuánto sabes? 166Situaciones con dos variables 168Noción de función 172Variables dependientes e independientes 174Dominio y recorrido 178Mi progreso 181Variaciones proporcionales y no proporcionales 182

Relación de proporcionalidad directa 184Relación de proporcionalidad inversa 188Mi progreso 193Buscando estrategias 194Para finalizar 196¿Qué aprendí? 198

Funciones y relaciones proporcionales 164

Solucionario 200Índice temático 220


34 Unidad 1 – Números enteros Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

PROPÓSITO DE LA UNIDAD

En esta Unidad se plantean distintas actividades que promueven el logro de estrate-gias mentales, sistematización de procedimientos, definición y aplicación de algorit-mos para multiplicar y dividir números enteros. También se utilizan herramientastecnológicas que permiten a los y las estudiantes resolver de forma eficaz diferentestipos de problemas.

Durante el desarrollo de la Unidad, se pretende que el alumno o alumna analice ycomprenda diversas situaciones que se presentan a su alrededor, reconociendo lautilidad de los números enteros y, con ello, la necesidad de definir y aplicar diversasestrategias para la resolución de problemas, ya sea de la vida cotidiana o del ámbitomatemático, en que estén involucradas la adición, sustracción, multiplicación y di-visión de números enteros.

Al final de la Unidad, aparece una evaluación en que el alumno o alumna podráponer a prueba sus conocimientos y así saber cuánto es lo que aprendió, cuálesfueron sus errores y cómo superarlos.

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Números enterosUnidad1

Operatoria

Adición Sustracción

La prioridad de las operaciones


Multiplicación División

Números enteros

se debe respetaraplicaciones en aplicaciones en

en el cálculo que involucra

puedeninvolucrar

Resoluciónde problemas

Situaciones delmundo real

por ejemplo, en

Distancias (bajo y sobreel nivel del mar)

Temperaturas(bajo y sobre 0)

Ganancias ypérdidas de dinero

U1 (PAG 34-39)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 34

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS

7º básico

Interpretación de las operaciones de adición y sustracción en el ámbito delos números enteros, empleo de proce-dimientos de cálculo de dichas opera-ciones, argumentación en torno al usodel neutro e inverso aditivo y su apli-cación en la resolución de problemas.

8º básico

Empleo de procedimientos de cálculopara multiplicar un número natural porun número entero negativo y extensiónde dichos procedimientos a la multipli-cación de números enteros.

Extensión del algoritmo de la división denúmeros naturales a la división de nú-meros enteros. Discusión y aplicación dedicho algoritmo.

Resolución de problemas en contextosdiversos y significativos que involucran las4 operaciones aritméticas con númerosenteros, […], enfatizando en el análisiscrítico de los procedimientos de resolu-ción y de los resultados obtenidos.

1º medio

Identificación de situaciones que mues-tran la necesidad de ampliar el conjuntode los números enteros al conjunto de losnúmeros racionales y caracterización deestos últimos.

Sistematización de procedimientos decálculo escrito y con ayuda de herramien-tas tecnológicas de adiciones, sustrac-ciones, multiplicaciones y divisiones connúmeros racionales y su aplicación en laresolución de problemas.

Resolución de problemas en contextosdiversos que involucran números racio-nales […], enfatizando el análisis críticode los procedimientos de resolución y delos resultados obtenidos.

2º medio

Identificación de situaciones que mues-tran la necesidad de ampliar los númerosracionales a los números reales, recono-cimiento de algunas de las propiedadesde los números y de las operaciones y suuso para resolver diversos problemas.

Resolución de problemas en contextosdiversos y significativos en los que se uti-lizan adiciones y sustracciones con nú-meros enteros, […], enfatizando enaspectos relativos al análisis de las es-trategias de resolución, la evaluación dela validez de dichas estrategias enrelación con la pregunta, los datos y elcontexto del problema.




PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

Tiempo estimado: 5 a 6 semanas

CMO ContenidosAprendizajes

esperadosActividades asociadas

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

Empleo deprocedimientos decálculo para multiplicarun número natural porun número enteronegativo y extensiónde dichos procedi-mientos a lamultiplicación denúmeros enteros.

Extensión delalgoritmo de la divisiónde números naturalesa la división denúmeros enteros.

Discusión y aplicaciónde dicho algoritmo.

Multiplicación de unnúmero natural por unnúmero entero negativo.

Multiplicación denúmeros enteros.

División exacta denúmeros enteros.

División inexacta denúmeros enteros.

• Determinar y emplearprocedimientos paramultiplicar un númeronatural por un númeroentero negativo.

• Ampliar los proce-dimientos de cálculopara multiplicarnúmeros enteros.

• Emplear procedimientosde cálculo en divisionesexactas de números enteros.

• Analizar la validez de los resultadosobtenidos en divisiones exactas de números enteros.

• Ampliar el algoritmode la división denúmeros naturales a la división denúmeros enteros.

• Aplicar el algoritmo de la división denúmeros enteros.

En el TextoDe exploración:páginas 14, 16 y 18.

De construcción deconceptos: páginas 15,17, 19 y 20.

De consolidación:página 32.

En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 47,49, 51, 54, 72 y 73.

De profundización:páginas 47, 49, 51, 54 y 73.

En el TextoDe exploración:páginas 22 y 24.

De construcción deconceptos: páginas 23,25, 26 y 27.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 57,61, 64, 72 y 73.

De profundización: páginas 57, 61, 64, 65y 73.

• Calculan el producto denúmeros enteros.

• Calculan el cociente dedos números enteros.

• Aplican el algoritmo dela división de números en-teros en divisiones exactas.

• Resuelven problemas queinvolucran multiplicacióny división de números enteros.

• Aplican el algoritmo dela división de númerosenteros en divisionesinexactas.

• Calculan operacionescombinadas con números enteros.

• Resuelven problemasque involucran las 4 operaciones con números enteros.

Diagnóstica:páginas 12 y 13del Texto delEstudiante.

Formativa: páginas 21 y 29del Texto delEstudiante.

Sumativa:páginas 34 y 35del Texto delEstudiante, y 76y 77 de la GuíaDidáctica del Docente.

• Lápices decolores.

• Tabla dedatos.

• Pirámidecon númerosenteros.

• 6 tarjetasazules y6 tarjetasrojas.

• Unamoneda.

• Un plumón.

• Computadorcon planillade cálculo.








Resolución deproblemas encontextos diversos ysignificativos queinvolucran las 4 opera-ciones aritméticas connúmeros enteros, […],enfatizando en elanálisis crítico de losprocedimientos deresolución y de losresultados obtenidos.

Operaciones combinadas.

Buscando estrategias.

• Determinar y aplicarestrategias paracalcular operacionescombinadas connúmeros enteros.

• Resolver problemasque involucran las4 operacionesaritméticas connúmeros enteros.

• Aplicar habilidadesbásicas del procesode resolución deproblemas en contex-tos diversos.

• Analizar la validez delos procedimientosutilizados y de losresultados obtenidos.

En el TextoDe exploración:página 30.De construcción deconceptos: página 31.De consolidación:página 32.

En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 67,72 y 73.De profundización:páginas 67 y 73.

• Resuelven problemasque involucran las4 operaciones connúmeros enterosempleando diversasestrategias.



ERRORES FRECUENTES

Errores frecuentes Cómo subsanarlos

En la multiplicación de números enteros se pueden presentar los siguientes inconvenientes:

• En la multiplicación de números enteros, el alumno o alumna resuelve la multi-plicación sin considerar el signo de los factores, ignorándolo completamente.

• En la multiplicación de números enteros negativos, los y las estudiantes resuel-ven la multiplicación, manteniendo el signo de los factores, confundiéndolocon los procedimientos de la adición.

• En la multiplicación de números enteros de distinto signo, los y las estudiantesresuelven la multiplicación, manteniendo el signo del número mayor,confundiéndolo con los procedimientos de la adición.

• A través de la evaluación diagnóstica podrá conocer los conocimientos y expe-riencias previas de los y las estudiantes. Si los conocimientos no son sufi-cientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presen-ten, ya que pueden provocar dificultades en el aprendizaje de los contenidosde la Unidad.

• Es conveniente recordar la multiplicación de números naturales como adiciónde sumandos iguales.

• Comparar, de forma paralela, los distintos procedimientos de cálculo emplea-dos para resolver adiciones y multiplicaciones de números enteros.

• Usar colores para diferenciar adiciones y multiplicaciones. Ejemplo: (–4) + (–7) = –11 (–4) • (–7) = 28

• Plantear actividades en que los alumnos y alumnas tengan que identificar loserrores cometidos en ejercicios resueltos y explicar por qué es incorrecto, asícomo también argumentar cuando crean que están correctos.

En la división de números enteros es posible encontrar los siguientes inconvenientes:

• En la división de números enteros, los y las estudiantes resuelven la división sinconsiderar el signo del dividendo y divisor.

• En la división de números enteros negativos, los y las estudiantes resuelven ladivisión, manteniendo el signo del dividendo o divisor, confundiéndolo con losprocedimientos de la adición.

• En la división de números enteros de distinto signo, los y las estudiantesresuelven la división, manteniendo el signo del número mayor, confundiéndolocon los procedimientos de la adición.

• En la aplicación del algoritmo de la división de números enteros, los y lasestudiantes olvidan que el resto debe ser positivo.

• Comparar de forma paralela, los distintos procedimientos de cálculo emplea-dos para resolver adiciones y divisiones de números enteros.

• Usar colores para diferenciar adiciones y divisiones. Ejemplo: 24 + (–3) = 21 24 : (–3) = –8

• Plantear actividades en que los alumnos y alumnas tengan que identificar loserrores cometidos en ejercicios resueltos y explicar por qué es incorrecto, asícomo también argumentar cuando crea que están correctos.

• Es conveniente aplicar el algoritmo de la división de números naturales endivisiones con resto mayor que cero, previo a la extensión del algoritmo paranúmeros enteros.

En las operaciones combinadas de números enteros, pueden aparecer las siguientes dificultades:

• En las operaciones combinadas de números enteros, los y las estudiantes igno-ran la prioridad de las operaciones.

• En las multipliaciones y divisiones combinadas, los y las estudiantes resuelvenprimero las multiplicaciones, no considerando el orden en que aparecen dichas operaciones.

• En la operatoria combinada de números enteros, en que sí aparece paréntesis,los y las estudiantes olvidan resolver primero el paréntesis.

• Enmarcar con colores la prioridad de las operaciones.• Destacar la presencia de un paréntesis.• Desarrollar un cuadro de procedimientos, en el cual se especifique de acuerdo

al ejercicio, cuál es el primer paso, después el segundo paso a seguir etc., hasta obtener el resultado final.

• Fomentar la utilización de la prioridad de las operaciones, tanto dentro comofuera de un paréntesis.

• Plantear actividades en que los y las estudiantes tengan que identificar loserrores cometidos en ejercicios resueltos y realizar el correcto desarrollo deellos, argumentando cada paso.


La Matemática ofrece una diversidad de procedimientos que permiten el análisis,modelación, cálculo, medición y estimación del mundo natural y social, permitiendorelacionar los más diversos aspectos de la realidad. El aprendizaje de esta cienciaayuda a enriquecer la comprensión de la realidad, facilita la selección de estrategiaspara resolver problemas y contribuye al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo.

Es por ello que los números han sido un tema fundamental. Uno de los conjuntosnuméricos que se estudian durante este período corresponden a los números en-teros, en particular la multiplicación y división, así como también la resolución deproblemas en diversos contextos que involucran las cuatro operaciones aritméti-cas con dicho conjunto.

A continuación se presentan algunas referencias teóricas acerca del conjunto de losnúmeros enteros:

• El conjunto de los números enteros (�) está formado por:- Los números enteros positivos (�+): 1, 2, 3, …- El cero: 0.- Los números enteros negativos (�–): –1, –2, –3, …- El conjunto de los números enteros se denota por:

� = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ....}

• El conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado, infinito y sinprimer elemento.

• En el conjunto de los números enteros se pueden definir las mismas relacionesde orden que en los números naturales: menor que, mayor que o igual que. Es

así que dado dos números enteros cualesquiera, siempre hay uno menor y otromayor, salvo que ambos números sean iguales.

• Los números enteros se representan de forma ordenada en la recta numérica,como se observa:

• La distancia que hay entre un número entero y el cero la representaremos a travésdel valor absoluto. El valor absoluto de un número a se representa por a .Ejemplo:

3 = 3, pues representa tres unidades de distancia al cero.

–3 = 3, pues representa tres unidades de distancia al cero.

Algunas propiedades del valor absoluto de dos números enteros a, b, son:

- a • b = a • b

- –a = a

- = ; b ≠ 0

- a 2 = a2


REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONES SOBRE ALGUNOS CONTENIDOS

ab

ab

En la resolución de problemas, se pueden presentar los siguientes inconvenientes:

• Los y las estudiantes tienen dificultades de comprensión lectora, impidiendo unabuena interpretación y su posterior resolución.

• Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir la respuesta al problema planteado.• Utilización incorrecta de los datos entregados en el problema.• En problemas que involucran más de una operación, los y las estudiantes

confunden las operaciones que permiten resolver el problema.• Los y las estudiantes olvidan analizar las soluciones obtenidas en problemas.

• Promover la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar,resolver, responder y revisar. De este modo, los y las estudiantes identificarán losdatos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, así comoresponder y analizar la veracidad de la solución.

• Plantear actividades en que los y las estudiantes tengan que identificar, en elproblema resuelto, cada uno de los pasos de la estrategia propuesta.

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4



• Propiedades en los números enteros

Las propiedades de la adición y la multiplicación sobre � son:

AdiciónOperaciones

PropiedadesMultiplicación

ClausuraClausura

Conmutatividad

Asociatividad

Elemento neutro

Elemento inverso

Al sumar dos números enteros, su resultado también será un númeroentero.∀ a ∈� y ∀ b ∈�,a + b = c, con c ∈�.

∀ a ∈� y ∀ b ∈�,a + b = b + a

∀ a ∈�, ∀ b ∈� y c ∈�

(a + b) + c = a + (b + c)

∀ a ∈�, ∃ 0 ∈�, tal que a + 0 = 0 + a = a

∀ a ∈�, ∃ –a ∈�, tal que a + (–a) = (–a) + a = 0

Al multiplicar dos números enteros, su producto también será unnúmero entero.∀ a ∈� y ∀ b ∈�,a • b = c, con c ∈�

∀ a ∈� y ∀ b ∈�,a • b = b • a

∀ a ∈�, ∀ b ∈� y c ∈�

(a • b) • c = a • (b • c)

∀ a ∈�, ∃ 1 ∈�, tal que a • 1 = 1 • a = a

No se cumple.

Distributividad ∀ a ∈�, ∀ b ∈� y c ∈�, a • (b + c) = a • b + a • c

• Para los números enteros, están definidas las operaciones de adición, sustracción,multiplicación y división.

• Al resolver ejercicios que presentan varias operaciones, la prioridad para resolver-las es la siguiente:

1º Paréntesis.

2º Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

3º Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

• El CMO 2 propuesto en el Ajuste Curricular dice: “Extensión del algoritmo de ladivisión de los números naturales a la división de los números enteros. Discusióny aplicación de dicho algoritmo”. El algoritmo de la división dice lo siguiente:Dado dos enteros a y b, con b ≠ 0, existen únicos enteros q y r, tal que:

a = b • q + r y 0 ≤ r < b

Observación: el número q es el cociente de a dividido por b y r es el resto o residuo.

Fuente: Kumanduri, R. (1998). Number theory with computer applications (p. 9).Department of Mathematics, Columbia University: Prentice Hall.


Al aplicar el algoritmo de la división de números enteros, se tiene que: el dividendoes igual al divisor por el cociente más el resto, teniendo en consideración que elresto es mayor o igual a cero. Este algoritmo fue estudiado en cursos anteriores paranúmeros naturales: es frecuente aplicarlo para comprobar si el resultado de una di-visión exacta de números naturales es correcta. Por ejemplo: 10 : 5 = 2; luego, paraverificar que el resultado es correcto se tiene que: 10 = 5 • 2 + 0.

En los casos en que la división de números naturales no es exacta, como en:

10 : 4 = 2, se aplica el algoritmo de la división: 10 = 4 • 2 + 22

En este curso, el algoritmo se extiende a los números enteros, para lo cual se debetener en consideración que, al igual que la división de números naturales, esta puedeo no ser exacta. Si es exacta (el resto es cero), al aplicar el algoritmo, el dividendoes igual al divisor por el cociente (previamente se estudió multiplicación de númerosenteros). Por ejemplo:

–10 : 5 = –2, entonces –10 = 5 • –2 + 0.

Si la división no es exacta, al aplicar el algoritmo se debe tener en consideraciónque el resto es mayor que cero; entonces, el cociente dependerá de los signos deldividendo y divisor. En estos casos, deja de ser intuitivo (como en los números natu-rales). Por ejemplo:

Si el dividendo es 10 y el divisor 4, entonces: 10 = 4 • 2 + 2. Además, 10 : 4 = 2,5.

Si el dividendo es –10 y el divisor 4, entonces: –10 = 4 • (–3) + 2. Además, –10 : 4 = –2,5.

Si el dividendo es –10 y el divisor –4, entonces: –10 = (–4) • 3 + 2. Además, –10 : –4 = 2,5.

Si el dividendo es 10 y el divisor –4, entonces: 10 = (–4) • (–2) + 2. Además, 10 : –4 = –2,5.

Es importante que los y las estudiantes sepan que en cursos posteriores calcularán elcociente (racional) en divisiones inexactas de números enteros. Por otro lado, el hechode extender el algoritmo de la división a los números enteros permitirá que los y lasestudiantes comprendan la relación entre dividendo, divisor y cociente, pues muchasveces la enseñanza de este contenido se remite a la aplicación de la regla de los sig-nos, que, si bien sirve de apoyo, no debería ser el objetivo central.

Más información acerca de los números enteros y ejercicios:• Manual esencial. (2008). Números. Aritmética y álgebra, (pp. 48–55). Santiago de

Chile: Santillana.

Bibliografía• Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la matemática como disciplina experimental.

Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.• Rencoret B., M. (2002). Iniciación matemática-Un modelo de jerarquía de enseñanza.

Santiago: Andrés Bello.

Sitios webs• De forma interactiva, todo sobre números enteros.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enterosdesp/index.htm

• Operatoria con números enteros: multiplicación y divisiónhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enteros2/

Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.



La atmósfera es un concepto conocido para el o la estudiante; han escuchado, vistoo leído sobre el tema y la importancia que adquiere debido al tema del agujero enla capa de ozono o el calentamiento global. Con esto, se pretende utilizar el propioentorno como medio de exploración y análisis, para activar sus conocimientos yexperiencias previas.

Números enteros

Unidad

1

10 Unidad 1

• Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por unnúmero entero negativo.

• Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar números enteros.• Emplear procedimientos de cálculo en divisiones exactas de números enteros.• Ampliar el algoritmo de la división de números naturales a la división de

números enteros y aplicarlo.• Calcular operaciones combinadas con números enteros.• Resolver problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan

las cuatro operaciones aritméticas con números enteros.


La atmósfera es una masa gaseosa que envuelve a la Tierra.

Sus componentes cumplen un papel muy importante para que en nuestro planeta pueda existir la vida; además, no solo nos protege de la radiación solar,sino que filtra radiaciones nocivas e impide que el calor emitido por el Sol seescape al espacio.

Sin la atmósfera, la temperatura de la Tierra se volvería insoportable,aumentaría en 100 ºC por el día y variaría cerca de –150 ºC en la noche.

La atmósfera se divide en diferentes capas. Una de ellas es la tropósfera, quecorresponde a la zona más baja de la atmósfera, donde se producen todos losfenómenos meteorológicos y cuya temperatura disminuye con la altura.

Fuente: Dirección Meteorológica de Chile,

www.meteochile.cl/ayudaest.html, septiembre 2009.

La fotografía fue tomada en un avión que volaba en la tropósfera, sobre una zona en que la temperatura de la superficie era de 24 ºC y esta disminuía, según laaltura, a razón de 6 ºC por kilómetro.

1. ¿Cuál era la temperatura a 2 km de altura?2. ¿A qué altura la temperatura fue de 0 ºC?3. ¿A qué altura volaba el avión, si la temperatura del aire varió a –24 ºC?

Conversemos de...

Números enteros 11

TEXTO DEL ESTUDIANTE 10 Y 11


HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Conversemos de...Ítems 1, 2 y 3: analizar, calcular y determinar.


APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD

En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se es-pera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lea en voz altay, luego, puede preguntarles qué saben sobre los números enteros, la operatoria condichos números y la resolución de problemas.

Con las ideas que surjan a partir de los y las estudiantes puede hacer un esquemao mapa semántico en la pizarra; esto le permitirá obtener información respecto desus conocimientos previos y, a la vez, les permitirá recordar los conceptos trabaja-dos en años anteriores, que les servirán para lograr los aprendizajes esperados deesta Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL

Se recomienda que los alumnos y alumnas comenten la imagen y respondan pregun-tas como las siguientes:

• ¿qué significa que la temperatura disminuye a razón de 6 ºC por kilómetro?

• ¿cuál era la temperatura a un kilómetro de altura?, ¿por qué?

Es conveniente que tenga más de una estrategia para resolver el problema; una deellas, con una tabla que muestre la temperatura por kilómetro, o bien, utilizando unarecta numérica o utilizando la función: y = 24 – 6 • x, donde x representa los kilóme-tros e y es la temperatura (las funciones se estudiarán más adelante). Por ejemplo,si utiliza el procedimiento con tabla:

Para explorar los conocimientos de los y las estudiantes, puede realizar las siguien-tes preguntas:

• ¿Cuál fue la temperatura mínima ayer en tu cuidad?, ¿y la máxima?, ¿cómo lo supiste?

• El cerro Tololo se ubica en el Valle del Elqui, a unos 80 km de La Serena, a unaaltura de 2200 metros sobre el nivel del mar. Un día de verano, la temperaturaen el valle del Elqui fue de 33 ºC; ¿crees que la temperatura en la cúspide del cerroTololo es la misma?

• ¿Qué sucederá con la temperatura a mayor altura?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?

Se pretende que, a través de la imagen, la información entregada al respecto, las pre-guntas planteadas y su propia experiencia, los alumnos y alumnas reconozcan que, enciertos casos, la temperatura disminuye con la altura. Además, se espera que los y lasestudiantes descubran que en algunas situaciones es necesario emplear procedimien-tos de multiplicación de números enteros para facilitar los cálculos.

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES

Es conveniente que esté informado o informada sobre los siguientes conceptos parael desarrollo de la actividad exploratoria:

• La atmósfera está constituida por una mezcla de gases, como nitrógeno, oxígeno,vapor de agua, ozono, entre otros.

• La atmósfera se puede dividir en capas en función al comportamiento de la tem-peratura con la altura. Estas son:- Tropósfera: desde la superficie terrestre hasta los 18 km de altura en el Ecuador.

La temperatura del aire disminuye con la altura.- Estratósfera: hasta una altitud de 50 km, aprox. La temperatura aumenta con

la altura.- Mesósfera: hasta una altura de 80 km. La temperatura vuelve a disminuir con

la altura.- Termósfera o Ionósfera: hasta los 700 km de altitud, aprox. La temperatura

aumenta con la altura.- Exósfera: es la zona de transición entre nuestra atmósfera y el espacio interplanetario.

• Podría reflexionar con sus estudiantes en torno a la destrucción de la capa de ozonoy los efectos en seres humanos, animales y plantas. También podría plantear pregun-tas sobre el cambio climático. Algunas fuentes para obtener información al respectoson: Dirección General de Aeronáutica Civil, Ayuda al estudiante (2009). Agujero deozono y Cambio climático, [en línea]. Dirección Meteorológica de Chile. Disponibleen: www.meteochile.cl/ayudaest.html

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo1. Un avión con pasajeros vuela en la tropósfera, sobre una zona en que la tempera-

tura de la superficie es de 36 ºC. Si la temperatura disminuye a razón de 8 ºC porkilómetro, determina:

a) ¿cuál era la temperatura a 10 km?b) ¿a qué altura volaba el avión si la temperatura del aire varió a 4 ºC?, ¿y a –12 ºC?

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular y determinar).

De profundización1. Un avión con pasajeros vuela en la tropósfera a una altura de 10 km. Si la tempera-

tura disminuye a razón de 6 ºC por kilómetro, determina:

a) si la temperatura a la altura que vuela el avión era de –48 ºC, ¿qué temperaturahay en la superficie?

b) si en la superficie hay 24 ºC, ¿a qué altura la temperatura empieza a ser bajo cero?

(Habilidades que desarrolla: comprender, analizar y calcular).


Altura (km) 0 1 2Temperatura (°C) 24 – 6 • 0 = 24 24 – 6 • 1 = 18 24 – 6 • 2 = 12


¿Cuánto sabes?

1. Completa con los signos <, > o =, según corresponda.

a) –7 –5 c) �–10� �–15� e) �–3� 3

b) �–8� 5 d) 4 –1 f) 8 –8

2. Ordena los siguientes números de menor a mayor.

a) 49; –14; –28; 20; 29; –29 d) –7; –10; –16; –18; 1; 0b) –4; –5; –1; 1; 3; 5 e) –14; –19; 22; –23; 10; –5c) 101; 111; –111; –1; 5; 18 f) –18; –20; –40; 2; –6; 6

3. Ubica en la recta numérica los números: –6, –4, 7, –5, –1, 3, –2 y sus inversos aditivos.


a) (–2) + 8 = e) 22 – 30 = b) (–14) + 6 = f) –(–4 + 2) – (9 – 5) =c) (–3) + (–8) = g) (5 – 18) – (–8 + 8) =d) –11 – (–4) = h) –4 – 7 + (9 – 3) + 10 =

5. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso, la estrategia que utilizaste.

a) La temperatura de un frigorífico es de –10 ºC. Después de un corte deluz sube 15 ºC, luego, cuando vuelve la energía, baja rápidamente 12 ºC. ¿Cuál es la temperatura del frigorífico después de estadisminución de temperatura?

b) Camila le debe $ 12 000 a su madre y $ 5500 a su hermano. Si le paga$ 10 500 a su madre y $ 3800 a su hermano, ¿cuánto debe ahora en total?

c) Un buzo que se encuentra a 9 metros bajo el nivel del mar sube hacia lasuperficie 5 metros, luego, desciende 6 metros. ¿A qué profundidad seencuentra ahora?

d) Un pez que está a 5 metros bajo el nivel del mar, primero desciende 3 metros y, luego, sube 6 metros. ¿A qué distancia del nivel del mar se encuentra ahora? Represéntalo en la recta numérica.

12 Unidad 1

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Unidad 1


a) 45 : 9 = e) 2 • 3 • 10 =b) 50 • 6 = f) 540 : 60 =c) 13 • 4 = g) 121 : 11 =d) 180 : 6 = h) 12 • 5 =

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.

Números enteros 13

• El conjunto de los números enteros está compuesto por los números naturales (�), el cero y los números negativos. Se simboliza por �.

• La distancia que hay entre un número y el cero la representaremos a través del valorabsoluto. El valor absoluto de un número a lo escribiremos �a�.

Por ejemplo: la distancia entre –20 y cero en la recta numérica es 20, entonces �–20� = 20.

• En la recta numérica, un número, positivo o negativo, es mayor que todos los números queestán a la izquierda de él y es menor que cualquier número que esté a la derecha de él.

Por ejemplo, –2 > –4, ya que el –2 está a la derecha del –4, como se observa en la siguienterecta numérica:

• Para sumar números enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y conservamos el signo. Para sumar dos números enteros de distinto signo restamos sus valores absolutos y, al resultado, le asignamos el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo: (–3) + (–5) = –86 + (–9) = –3

• Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo: 15 – (–10) = 15 + 10 = 25–18 – 22 = –18 + (–22) = –40


–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

� = �…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…�



EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

Esta evaluación diagnóstica es una herramienta útil para determinar los conocimien-tos previos de los alumnos y alumnas; tiene como título ¿CUÁNTO SABES?, e incluyelos siguientes criterios:

Ítem 1: comparar pares de números enteros, involucrando el valor absoluto y utilizandolos signos <, > o =.

Ítem 2: ordenar de menor a mayor conjuntos con números enteros.Ítem 3: ubicar un conjunto de números enteros con sus respectivos inversos aditivos

en la recta numérica.Ítems 4 y 6: calcular mentalmente operaciones con números enteros.

Ítem 5: resolver diversos problemas que involucran cálculos de adiciones o sustrac-ciones y explicar la estrategia utilizada.


HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN:

¿Cuánto sabes?Ítems 1 y 2: reconocer, identificar y clasificar.Ítem 3: representar.Ítems 4 y 6: calcular.Ítem 5: analizar, resolver problemas y justificar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

• En los ítems 1, 2 y 3, podrían ordenar de forma errónea los números negativos.Es recomendable recordar la relación de orden en �. Además, es convenienteque represente los números enteros en una recta numérica.

• En el ítem 1, debido a que se involucran valores absolutos de números enteros, esposible que sus estudiantes ignoren dicho concepto. Es recomendable recordar

que el valor absoluto de un número entero a se puede relacionar con la distanciaen la recta numérica entre a y el cero.

• En los ítems 4 y 6, es posible que calculen incorrectamente. Es conveniente queverifiquen usando calculadora científica.

• En el ítem 5, se pide la justificación de la estrategia empleada, lo que podría sercomplejo para el alumno o alumna. Para ello, se recomienda que continuamentejustifiquen sus respuestas, como una forma de verificar que comprenden lo queestán realizando y desarrollar en ellos habilidades comunicativas para argumentar,exponer ideas y opiniones bien fundamentadas.

• Se sugiere corregir en conjunto con los alumnos y alumnas la sección ¿CUÁNTOSABES? y analizar los errores cometidos. De este modo, podrá evidenciar los apren-dizajes ya adquiridos por los alumnos y alumnas y los que aún no se adquieren.


A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes.

Ítem Completamente logrado Logrado Medianamente logrado Por lograr

1

Compara correctamente los pares denúmeros dados, por medio de larelación de orden y considerando quetodo valor absoluto de un número es positivo, asignándoles así el símbolo correspondiente.

Compara correctamente los pares denúmeros dados, teniendo que calcularcada valor absoluto y, luego, comparando, asignándoles así el símbolo correspondiente.

Compara erróneamente algunos de lospares de números dados, confundiendola relación de orden en los númerosnegativos, asignándoles así el símbolo incorrecto.

Compara erróneamente los pares denúmeros dados, confundiendo la relaciónde orden en los negativos y comparandolos valores absolutos sin distinguir queson siempre positivos, asignándoles asíel símbolo incorrecto.

2

Ordena correctamente, de menor amayor, los conjuntos de número dados,por medio de la relación de orden deforma eficiente.

Ordena correctamente, de menor amayor, los conjuntos de número dados,por medio de la relación de ordenteniendo que separar por negativos ypositivos y, luego, ordenarlos.

Ordena erróneamente, de menor amayor, algunos de los conjuntos denúmeros dados, confundiendo larelación de orden en los negativos,asignándoles así una ubicación invertida.

Ordena erróneamente, de menor amayor, los conjuntos de número dados,confundiendo la relación de orden enlos negativos y los positivos, ordenán-dolos de mayor a menor.

3

Ubica correctamente los númerosdados, por medio de la relación deorden, y establece de forma eficientesus inversos aditivos.

Ubica correctamente los números dados,teniendo primero que determinar susinversos aditivos y, luego, ubicarlos pormedio de la relación de orden.

Ubica erróneamente alguno de los nú-meros dados, confundiendo la relaciónde orden en los números negativos,asignándoles así una ubicación invertida.

Ubica erróneamente los números dados,confundiendo la relación de orden enlos negativos y los inversos aditivos, ordenándolos de forma invertida.

4 y 6

Calcula correctamente los ejercicios,por medio de diversas estrategias mentales y respetando la prioridad delas operaciones.

Calcula correctamente los ejercicios,por medio de una única estrategiamental y respetando la prioridad de las operaciones.

Calcula erróneamente algunos de los ejercicios, por medio de una estrategia mental.

Calcula erróneamente los ejerciciosdados, por medio de una estrategiamental; no respeta la prioridad de las operaciones.

5

Resuelve correctamente cada uno delos problemas dados, indicando deforma detallada cada uno de sus pasosy justificando cada uno de ellos.

Resuelve correctamente cada uno delos problemas dados, indicando deforma detallada cada uno de sus pasos,sin justificarlos.

Resuelve erróneamente alguno de losproblemas dados, calculando de formainadecuada y sin responder todas laspreguntas planteadas.

Resuelve erróneamente cada uno de losproblemas dados, calculando de formainadecuada, sin responder todas las pre-guntas planteadas en cada uno de ellos,y no justifica cada uno de sus pasos.


Para discutir

14 Unidad 1

Multiplicación de un número naturalpor un número entero negativo

Claudia y Juan aprendieron a multiplicar dos números naturalesutilizando diferentes procedimientos. Claudia lo hace como adiciónde sumandos iguales. Juan lo hace descomponiendo el primer factor. Observa.

• ¿Cuál de los dos procedimientos utilizas frecuentemente?, ¿qué otro procedimiento conoces? Explícalo.

• ¿Se puede escribir como multiplicación una adición de sumandosiguales, si el sumando que se repite es un número entero menorque cero?, ¿cómo?, ¿por qué?

• Las expresiones (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) y (–14) • 5¿son equivalentes?, ¿por qué?, ¿cuál es el resultado en cada caso?

• ¿Cuál es el signo del resultado de una multiplicación entre dosnúmeros si uno de los factores es un número natural y el otro esun número entero negativo?

En la situación anterior, si consideramos el procedimiento de Claudia,el sumando 14 se repite 5 veces, lo que, escrito como multiplicación,es 14 • 5.

Luego, para escribir como multiplicación (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14), el sumando (–14) se repite 5 veces, entonces se escribe (–14) • 5.

Podemos calcular (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) apoyándonosen la recta numérica:

Obtenemos: (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) = –14 – 14 – 14 – 14 – 14 = –70.Como (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) = (–14) • 5, tenemos que (–14) • 5 = –70.

–80 –70–56 –42

–60 –50 –40 –30 –20 –10 0 10–28 –14

Números enteros 15

Unidad 1

Actividades

Ayuda

Propiedad conmutativa de lamultiplicación: a • b = b • a, con a y bnúmeros enteros.

1. Escribe como adición las siguientes multiplicaciones y, luego, resuelve.

a) (–3) • 5 = c) 4 • (–6) = e) (–1) • 8 = g) 9 • (–4) =b) 2 • 10 = d) (–10) • 3 = f) 1 • (–8) = h) (–13) • 4 =


a) –1 b) –16 c) 8 d) –10 e) –36 f) –7

3. Escribe como una multiplicación cada adición de sumandos iguales.

a) (+14) + (+14) + (+14) + (+14) d) (–4) + (–4) + (–4) + (–4) b) (–1) + (–1) + (–1) + (–1) + (–1) e) (–5) + (–5) c) (–21) + (–21) + (–21) f) (–6) + (–6) + (–6) + (–6) + (–6) + (–6)

4. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a) En una multiplicación, si los factores son dos números naturales, el producto también lo es.b) La multiplicación de un número natural por un número entero negativo resulta un número

entero positivo o negativo, según el caso.c) En una multiplicación, donde un factor es un número natural y el otro es un número entero

negativo, el producto es siempre menor que cada uno de los factores.

¿Cómo calcular 5 • (–14)?

En el caso que el número negativo sea el segundo factor, como 5 • (–14), se puede escribir como (–14) • 5, por la propiedadconmutativa de la multiplicación.

Por lo tanto, 5 • (–14) = (–14) • 5 = –70

• Para multiplicar un número natural por un número entero negativo, la expresión se puedeescribir como una adición iterada de sumandos iguales y, luego, calcular la operación. Ejemplos: (–12) • 3 = (–12) + (–12) + (–12) = –12 – 12 – 12 = –36

2 • (–7) = (–7) • 2 = (–7) + (–7) = –7 – 7 = –14

No olvides que...



CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

• Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por unnúmero entero negativo […].


Para discutirÍtem 1: analizar, recordar y justificar.Ítem 2: analizar, conectar y justificar.Ítem 3: calcular, analizar y justificar.Ítem 4: analizar y generalizar.

ActividadesÍtem 1: representar y calcular.Ítem 2: conectar, calcular y representar.Ítem 3: conectar y representar.Ítem 4: analizar y justificar.



De refuerzo

1. Escribe como adición las siguientes multiplicaciones y, luego, calcula usando larecta numérica:

a) 2 • 3 =

b) (–5) • 2 =

c) 3 • (–4) =

d) (–1) • 6 =

(Habilidades que desarrolla: interpretar, representar y calcular).

De profundización

1. En cada uno de los siguientes problemas, representa la multiplicación que se debeutilizar y, luego, resuelve:

a) En la Antártica, la temperatura ha disminuido 7 ºC cada hora durante 5 horas.¿Cuántos grados ha disminuido la temperatura durante las últimas 5 horas?

b) En una ciudad ubicada en el norte de América, es común que en período deinvierno, desde las 22:00 horas, la temperatura disminuya 3 ºC por hora,aproximadamente. ¿Cuántos grados ha disminuido la temperatura hasta las4:00 horas del día siguiente?

c) Un día de invierno en Santiago la temperatura bajó 2 ºC por hora desde las00:00 horas. ¿Cuántos grados disminuyó la temperatura hasta las 5:00 horas?

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar y calcular).

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a introducir la multiplicación de un número natural por un número en-tero negativo. Esta actividad pretende que el alumno o alumna relacione susconocimientos previos, relacionados con la multilplicación de números naturales, y losutilice para multiplicar un número natural por un número entero negativo.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

• Antes de comenzar el ítem 1, pregunte a los alumnos y alumnas cómo se escri-birían en forma de adición algunas multiplicaciones con números naturales y, luego,las resuelvan. Las multiplicaciones podrían ser similares a las propuestas en el Textodel Estudiante (por ejemplo: 3 • 5; 4 • 6 y 9 • 4). Luego, permítales que comparenlas respuestas obtenidas.Para apoyar a los o las estudiantes que presentan dificultades en el cálculo de unaadición iterada de sumandos iguales, sugiérales utilizar la recta numérica paraefectuar dichas operaciones.

• En el ítem 2, para comprobar que los factores encontrados por los y las estudiantesson correctos, pídales que escriban las multiplicaciones como adiciones y, luego, calculen.

• En el ítem 3, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos, pídalesa los y las estudiantes que calculen las adiciones con calculadora, así como tam-bién las multiplicaciones encontradas y, luego, las comparen.

• En el ítem 4, podría proponer a los alumnos y alumnas que den tres ejemplos encada caso, pues, por medio de esos ejemplos concretos (inicialmente), se facilitaríala abstracción en cada caso.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

Podría generalizar la multiplicación de un número natural por un número enteronegativo, realizando la siguiente demostración:Por demostrar: (–a) • b = –(a • b); ∀ a, b �+

Demostración:

Como (–a) ∈ �–, entonces:

a + (–a) = 0 / • b

[a + (–a)] • b = 0 • b / aplicamos la propiedad distibutiva

a • b + (–a) • b = 0 / sumamos el inverso aditivo de (a • b)

a • b + (–a) • b + –(a • b) = 0 + –(a • b) / reducimos términos semejantes

∴ (–a) • b = –(a • b); ∀ a, b ∈ �+



16 Unidad 1


Un grupo de 4 amigos inventaron un juego en el que obtenían puntosal responder ciertas preguntas. Si no respondían correctamente, seanotaban puntos negativos o cero. Aquí está el resumen después de 5 etapas.

Como Beatriz obtuvo 15 puntos en cada etapa, la expresión quepermite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las 5 etapases: 15 • 5 = 75, es decir, terminó con 75 puntos.

La expresión que permite calcular con cuántos puntos terminóCristián al final de las 5 etapas, si obtuvo –10 en cada una es: (–10) • 5 = –50, o bien: 5 • (–10) = –50. Por lo tanto, Cristián terminócon –50 puntos al final del juego.

Gonzalo hizo 0 puntos en cada etapa. En este caso, la expresión quepermite calcular la cantidad de puntos al finalizar el juego es: 0 • 5 = 0, es decir, terminó con 0 puntos.

Si Alejandra hizo –12 puntos en cada etapa, la expresión quepermite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las etapas es:(–12) • 5 = –60. En este caso, Alejandra terminó el juego con –60 puntos.

Beatriz fue quien obtuvo más puntos.La expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvoAlejandra en las 2 últimas etapas, si en cada una obtuvo (–12) puntos,es: (–12) • 2 = –24 puntos. Entonces, al no jugar las últimas dosetapas dejó de perder 24 puntos. La expresión matemática en estecaso, considerando que representaremos con (–2) a las dos etapasque no jugó, es: (–12) • (–2) = 24. Notemos que (–12) • (–2) = 12 • 2 = 24.

Para discutir

• ¿Con cuántos puntos terminó cada jugador?• ¿Quién obtuvo más puntos? • Si Alejandra jugara hasta la tercera etapa, ¿cuántos puntos

dejaría de perder con las dos etapas que no jugó?

Ayuda

Recuerda que, usualmente,cuando el número es positivo,no se escribe el signo +. Por ejemplo: (+3) se escribe también 3.

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Etapa 5

Beatriz 15 15 15 15 15

Cristián –10 –10 –10 –10 –10

Gonzalo 0 0 0 0 0

Alejandra –12 –12 –12 –12 –12

Números enteros 17

Unidad 1

Actividades

1. Calcula el resultado de los siguientes productos.

a) 3 • (–5) c) (–11) • 3 e) (–4) • (–1) g) 7 • (–2) b) 0 • (–3) d) (–5) • (–6) f) 1 • (–7) h) (–9) • (–5)


a) –20 b) –16 c) –18 d) +8

3. Completa con el factor que falta.

a) • (–7) = 21 c) • 9 = –72 e) (–4) • = 4b) 5 • = –35 d) 6 • = 18 f) (–4) • = –64

4. En esta pirámide, el número de cada casilla debe ser el producto de los dos números de lascasillas sobre las que está apoyada dicha casilla. Complétala.

• Para cualquier número entero a, se tiene que a • 0 = 0 • a = 0.

• Para multiplicar números enteros, se deben multiplicar sus valores absolutos y al resultadoanteponer el signo + si los factores tienen el mismo signo, o el signo – si tienen distinto signo.

• La tabla que se muestra a la derecha te permite recordar la regla de los signos.

• Al multiplicar dos números que tienen igual signo, el resultado es positivo. Por ejemplo:(+5) • (+7) = +35 (–6� • (–2) = +12

• Al multiplicar dos números que tienen diferente signo,el resultado es negativo. Por ejemplo:(+8) • (–9) = –72 (–6) • (+4) = –24

No olvides que...

Signo del 1er factor

Signo del 2o factor

Signo delproducto

+ + +

– – +

+ – –

– + –

+1080

–12

+6

+3



CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

• Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por unnúmero entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicaciónde números enteros.


Para discutir ActividadesÍtem 1: interpretar y calcular. Ítem 1: calcular.Ítem 2: analizar y clasificar. Ítem 2: representar, conectar y calcular.Ítem 3: analizar y calcular. Ítem 3: analizar y calcular.

Ítem 4: analizar, aplicar y calcular.


ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter explorato-rio y están orientadas a ampliar los procedimientos anteriores a la multiplicación denúmeros enteros. Para complementar las preguntas de la sección, se sugiere plantearal curso preguntas como las siguientes:

• ¿es posible determinar con cuántos puntos terminó cada jugador usando el pro-cedimiento de la página anterior?, ¿cómo lo harías?

• utilizando la recta numérica, ¿es posible calcular la cantidad de puntos obtenidospor Cristián?, ¿cómo lo harías?

• ¿por qué Gonzalo obtuvo 0 puntos?

Además, sería conveniente destacar que (–12) • 5 = 12 • (–5) = –(12 • 5) = –60.


• Previo a la resolución del ítem 1, se recomienda destacar la multiplicación de unnúmero natural por un número entero negativo, estudiada anteriormente.Además, sería pertinente mencionar que la regla de los signos se utiliza para mul-tiplicar (y dividir) números enteros y no en adición y sustracción. Por ejemplo:3 • (–2) = –6 y 3 – 2 = 1.

• En los ítems 2 y 3, pídales a los y las estudiantes que utilicen calculadora paracomprobar que los resultados obtenidos son correctos.

• En el ítem 4, podría proponer a los alumnos y alumnas elaborar otra pirámide, convalores distintos a los que aparecen en el Texto; por ejemplo, podría decirles elnúmero de la cúspide y uno de la base y, luego, podría preguntarles las estrate-gias empleadas para que las compartan con el resto del curso.


Podría generalizar la multiplicación de dos número enteros negativos realizando lasiguiente demostración:

Por demostrar: (–a) • (–b) = a • b; ∀ a, b ∈ �+

Demostración:

Como (–a) ∈ �– y (–b) ∈ �–, entonces:

a + (–a) = 0 / • (–b)

[a + (–a)] • (–b) = 0 • (–b) / aplicamos la propiedad distibutiva

a • (–b) + (–a) • (–b) = 0

Por otra parte, ya se demostró: a • (–b) = –(a • b), luego:

–(a • b) + (–a) • (–b) = 0 / sumamos el inverso aditivo de –(a • b)

–(a • b) + (–a) • (–b) + (a • b) = 0 + (a • b) / reducimos términos semejantes

∴ (–a) • (–b) = a • b; ∀ a, b ∈ �+


De refuerzo

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones.

a) (–3) • 6 =b) (–10) • 8 =c) (–2) • (–9) =d) 10 • (–8) =

2. Expresa como producto de tres factores los siguientes números.

a) –64b) –36c) 100

(Habilidades que desarrollan: calcular y representar).

De profundización

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones.

a) (–2) • 5 • (–3) =b) (–4) • (–5) • (–2) =c) (–1) • 7 • 3 =

2. Completa con el resultado correspondiente.

a) Al multiplicar el inverso aditivo de (–3) por el sucesor de (–2), resulta: b) Al multiplicar el inverso aditivo de 7 por el antecesor de (–5), resulta:c) Al multiplicar el antecesor de (–11) por el sucesor de 5, resulta:

(Habilidades que desarrollan: calcular, conectar y representar).



18 Unidad 1


Carlos y Francisca tienen una libreta donde ingresan sus transaccionesde dinero mensual. Estas son las anotaciones del mes de abril:

Si asociamos las ganancias con el signo +, y los gastos con el signo –,en la situación anterior, el sueldo se escribirá entonces como +415 000 ó 415 000 y los otros movimientos son gastos, porconsiguiente se escribirán como –80 000, –9000, –12 000 y –55 000,por concepto de arriendo, luz, gas y supermercado, respectivamente.

Para determinar el sueldo que recibieron Carlos y Francisca en abril,si reciben lo mismo, calculamos: 415 000 : 2 = 207 500. Es decir, cadauno recibió un sueldo de $ 207 500 ese mes. Para comprobar que elresultado obtenido es correcto, multiplicamos el divisor por el cociente,que debe ser igual al dividendo, es decir, 415 000 = 2 • 207 500.

Sabemos que el mes de abril tiene 30 días; para determinar cuántodinero gastaron diariamente en gas, calculamos: 12 000 : 30 = 400.Luego, gastaron $ 400 por día en gas. Como asociamos a los gastosel signo –, podemos escribir –12 000 : 30 = –400. Al comprobar eneste caso, tenemos: –12 000 = 30 • (–400). Para determinar el gastodiario en luz, calculamos: –9000 : 30 = –300. Por lo tanto, gastaron $ 300 en luz diariamente. Luego, para verificar que el cálculorealizado es correcto, tenemos: –9000 = 30 • (–300).

Ten presente que en las divisiones realizadas el dividendo es igual aldivisor por el cociente, es decir, las divisiones son exactas.

Para discutir

• ¿Con qué número entero relacionarías cada movimiento dedinero?, ¿por qué?

• Si ambos tienen el mismo sueldo, ¿cuánto recibe cada uno?• Si el consumo diario de gas y luz fue aproximadamente el mismo,

¿cuánto gastaron cada día por concepto?, ¿cómo lo calculaste?• ¿Cómo comprobarías que los resultados obtenidos en cada caso

son correctos?

Ayuda

En una división exacta, el restoes igual a cero. Por ejemplo, en 30 : 5 = 6, significa que 30 = 5 • 6 + 0.

Concepto Arriendo Luz Sueldos Gas Supermercado

Movimiento (en pesos)

80 000 9000 415 000 12 000 55 000

Números enteros 19

Unidad 1

Actividades

1. Calcula y verifica que los resultados obtenidos sean correctos.

a) 120 : 2 = d) 270 : (–27) = g) 120 : (–2) =b) 164 : (–4) = e) (–333) : 3 = h) (–108) : (–12) =c) (–225) : 5 = f) (–456) : (–6) = i) 300 : ((–30) : 6) =

2. Obtén dos números cuyo cociente sea el indicado.

a) : = 48 b) : = –54 c) : = –1024


a) 180 : (–9) = c) : (–9) = 7 e) : (–14) = –9b) 240 : = –24 d) : 12 = 4 f) (–720) : = –6

4. Lee atentamente, comenta y, luego, responde:

a) Considera la expresión: x : y = 2. Si x es un número entero negativo mayor que –11, ¿qué valores pueden tomar x e y?

b) El cociente de dos números enteros ¿es siempre un número natural? Justifica.

• Para calcular el cociente de dos números enteros, se deben dividir sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo + si ambos números, dividendo y divisor, son de igual signo, o el signo – si son de signos diferentes.

• La tabla que se muestra a la derecha te permiterecordar la regla de los signos:

• La división es la operación inversa de lamultiplicación. Cuando la división de númerosenteros es exacta, se verifica que el resultadoobtenido o cociente es correcto, si el dividendo es igual al divisor por el cociente. Por ejemplo:

14 : 2 = 7 14 = 2 • 7 (–20) : (–4) = 5 (–20) = (–4) • 515 : (–3) = –5 15 = (–3) • (–5) (–18) : 9 = –2 (–18) = 9 • (–2)

No olvides que...

Signo deldividendo

Signo deldivisor

Signo delcociente

+ + +

– – +

+ – –

– + –




• Extensión del algoritmo de la división de números naturales a la división de númerosenteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.


Para discutirÍtem 1: relacionar y justificar.Ítem 2: analizar y calcular.Ítem 3: analizar, calcular y justificar.Ítem 4: comprobar.


ActividadesÍtem 1: calcular y verificar.Ítems 2 y 3: analizar, conectar y calcular.Ítem 4: analizar, evaluar, conjeturar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a ampliar el algoritmo de la división (exacta) de números naturales ala división (exacta) de números enteros. Para ello, se presenta una situación relacionadacon los ingresos y gastos mensuales de una familia. En esta actividad se pretende quelos alumnos y alumnas observen que al dividir dos números enteros (las divisiones sonexactas) se puede comprobar que el resultado obtenido es correcto, utilizando elmismo procedimiento que utilizaban en años anteriores para números naturales, esdecir, el algoritmo de la división.

Al finalizar esta sección, se sugiere relacionar el signo del cociente (al aplicar el algo-ritmo de la división) con la regla de signos, para facilitar en cálculo mental.


• En el ítem 1, además de verificar los resultados obtenidos aplicando el algoritmode la división, por ejemplo 270 : (–27) = –10, luego, 270 = (–27) • (–10), es con-veniente que relacione la regla de los signos con el signo del cociente al aplicarel algoritmo de la división.

• En los ítems 2 y 3, luego de resolver las actividades, se sugiere comprobar que losnúmeros obtenidos son los correctos; de este modo, no solo aplicará el algoritmode la división, sino que relacionará un procedimiento que aplicaban en años an-teriores con este contenido nuevo.

• En el ítem 4, puede pedirles a los alumnos y alumnas que expliquen sus estrate-gias empleadas; de este modo, las pueden compartir, comparar y, además,analizar cuál de ellas les parece más adecuada.


• Para comenzar esta sección, se sugiere recordar a los y las estudiantes que en unadivisión exacta de números naturales a : b = c, a es el dividendo, b el divisor y cel cociente.

Es pertinente recordar que para comprobar que una solución es correcta, sepuede cacular a = b • c.

Además, como el resto es cero, a es divisible por b. Por ejemplo: 30 : 6 = 5, luego,al comprobar: 30 = 6 • 5, entonces, 30 es divisible por 6.

• Para evitar que el aprendizaje de este contenido se transforme en un procedimientomecánico, el énfasis debe centrarse en el algoritmo de la división (exacta) de

números enteros y en comprobar que el resultado obtenido es correcto, utilizandodicho algoritmo, por ejemplo: (–45) : 9 = (–5), luego (–45) = 9 • (–5). La regla delos signos es solo un mecanismo que facilita el cálculo mental.

• Se sugiere tener presente algunas propiedades del valor absoluto y ejemplificarcon valores numéricos. Por ejemplo, en la propiedad: a • b = a • b , en este caso

puede ejemplificar con: 2 • (–3) = –6 = 6 y 2 • –3 = 2 • 3 = 6. Luego, para

y (–8) : 2 = 8 : 2 = 4.


De refuerzo


a) (–12) : 3 = b) (–32) : (–4) = c) 45 : (–5) = d) (–24) : (–8) =

2. Expresa como división los siguientes números.

a) +4 b) +3 c) –15 d) –12

(Habilidades que desarrollan: calcular y representar).

De profundización


a) [450 : (–10)] : (–9) = c) [80 : 4] : (–4) =

b) [(–20) : (–2)] : (–5) = d) 48 : [16 : (–2)] =

2. Completa con el resultado correspondiente.

a) Al dividir el inverso aditivo de (–40) con el sucesor de (–6), resulta: b) Al dividir el inverso aditivo de 60 con el sucesor de (–11), resulta: c) Al dividir el sucesor de (–46) con el antecesor de (–8), resulta: d) Al dividir el antecesor de 10 con el antecesor de (–2), resulta:

3. Completa con el número correspondiente.

a) Si el dividendo es (–10) y el divisor es 2, entonces el cociente es .b) (–8) es divisor de 24, porque 24 = (–8) • .c) es divisor de (–63), porque (–63) = • 7.d) Si el dividendo es (–26) y el divisor es , entonces el cociente es 2.

(Habilidades que desarrollan: interpretar, representar, calcular, aplicar y analizar).


ejemplificar la propiedad = , con b ≠ 0, puede calcular: (–8) : 2 = –4 = 4 ab

ab


20 Unidad 1

En esta actividad deberán utilizar seis tarjetas azules, seis tarjetas rojas y una moneda para calcularmentalmente multiplicaciones y divisiones con números enteros. Formen grupos de cuatrointegrantes y sigan las instrucciones.

1. Elaboren seis tarjetas azules con los siguientes números: –150, +200, –250, +300, –350, +400.2. Elaboren seis tarjetas rojas con los siguientes números: –25, –10, –5, –1, 2, 5.3. Cada integrante, por turno:

1º Saca una tarjeta azul al azar.2º Saca una tarjeta roja al azar.3º Lanza la moneda, si sale cara se deben multiplicar mentalmente los números obtenidos;

de lo contrario (sello), se divide mentalmente el número de la tarjeta azul por el de la tarjeta roja.

4º Si responde correctamente, gana 1 punto; si no, pierde 1 punto.

4. Jueguen hasta que alguno de los integrantes complete 10 puntos.

En equipo

5. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.


a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y –(b : a)?, ¿por qué?b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y �b : a�?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en

estos casos?, ¿por qué?c) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular las divisiones �b� : �a� y �b : a�?, ¿ocurrirá siempre lo

mismo en estos casos?, ¿por qué?, ¿y si fueran multiplicaciones?

7. Un clavadista se lanza de una altura de 12 metros a una piscina. Si la profundidad que logra es untercio de la altura a la que se lanzó, ¿qué número representa la profundidad que alcanza respectodel nivel del agua?

a b b : a – (b : a) �b� : �a� �b : a�

5 15

– 3 –18

–2 4

4 –28

Mi progreso

Números enteros 21

m n m • m m : n m • n �m� • �m�

–20 5

48 –6

–450 –90


Reconocer el divisor en una expresión asociada a números enteros. 1

Analizar expresiones algebraicas asociadas a números enteros. 2

Calcular el producto o cociente de dos números enteros. 3

Resolver un problema que requiere multiplicación y división denúmeros enteros.

4 y 5


1. En la expresión (–36) : x = –4, el valor de x es:

A. –9 B. 9 C. 6 D. –12

2. Si x es un número entero negativo, ¿cuál de estos números es el más grande?

A. 4 + x B. 4 • x C. 4 : x D. 4 – x

3. Remplaza los valores de m y n en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.


a) ¿Qué tienen en común las soluciones obtenidas al calcular m : n y m • n?, ¿por qué?b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular m • m y �m� • �m�?, ¿ocurrirá siempre lo mismo

en estos casos?, ¿por qué?

4. En un juego, Emilia tiene 60 puntos a favor y Carlos tiene 10 puntos en contra. Si Carlos gana lamitad de puntos que Emilia tiene y, luego, Emilia dobla su puntaje, ¿cuántos puntos tienen ahoraEmilia y Carlos?

5. En el interior de una cámara frigorífica puede descender la temperatura 4 ºC cada hora. ¿Cuántas horas tardará en bajar la temperatura 20 ºC?, ¿y en bajar 16 ºC?

Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto; completa la siguiente tabla y, luego, responde.


Unidad 1




• Extensión del algoritmo de la división de números naturales a la división de númerosenteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.


Actividades En equipoÍtem 5: evaluar, aplicar y calcular. Calcular.Ítem 6: analizar y conjeturar.Ítem 7: resolver problemas y representar.



• Luego de completar la tabla del ítem 5, los alumnos y alumnas responderán laspreguntas del ítem 6 relacionadas con propiedades del valor absoluto, el cual esun conocimiento previo y que puede ser aplicado en la división de números en-teros. Se sugiere que promueva la discusión en estos casos, para que sean los ylas estudiantes quienes generalicen. Al finalizar esta actividad, podría destacarlos resultados obtenidos en la pregunta c del ítem 6 y mencionar que se trata deuna propiedad del valor absoluto. Además, puede indicar que en el caso de lamultiplicación, es decir, a • b = a • b , también corresponde a una propiedaddel valor absoluto; ejemplifique con 3 ó 4 casos numéricos en este caso.

• En el ítem 7, mencione a los y las estudiantes que para representar la profundi-dad (bajo el nivel del mar), en este caso, usaremos números negativos.

• En la actividad EN EQUIPO podría proponer a los y las estudiantes, después que realicen la actividad, cambiar los valores de las tarjetas y seguir jugando a partir delas instrucciones; si alguna de las divisiones no es exacta con los valores que esco-gieron, plantee preguntas como: ¿qué sucederá en estos casos?, ¿cómo lo resol-verás? Luego, indique que estos casos se estudiarán en cursos posteriores.

EVALUACIÓN FORMATIVA

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad,se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.


Mi progresoÍtem 1: analizar, identificar y calcular.Ítem 2: analizar, conjeturar y evaluar.Ítem 3: evaluar, aplicar, calcular y analizar.Ítems 4 y 5: resolver problemas, analizar y calcular.


• En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta;esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es re-comendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo corres-pondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no erroresen las estrategias empleadas.

• En el ítem 3, debido a que se involucra valor absoluto, es posible que los alum-nos y alumnas ignoren u olviden dicho concepto y no lo apliquen. Para ello, esnecesario recordar el valor absoluto con algunos casos particulares.

• El los ítems 4 y 5 es posible que los y las estudiantes confundan qué operacionesestán asociadas. Para evitarlo, es conveniente que sugiera una estrategia a emplear.

En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podráplantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.



3

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente la tabla, analizandocada respuesta de forma general.

Evalúa, aplica, calcula y completacorrectamente la tabla. Analizandocada respuesta con casos particulares.

Evalúa, aplica, calcula y completaerróneamente partes de la tabla,analiza y responde erróneamentealguna pregunta.

Evalúa, aplica, calcula y completaerróneamente partes de la tabla,confundiendo los signos y sin respondercada pregunta.

4Analiza y calcula correctamente elproblema, empleando más de una estrategia.

Analiza y calcula correctamente el problema.

Analiza y calcula erróneamente elproblema, confundiendo el signo del resultado.

Analiza y calcula erróneamente, elproblema, confundiendo el signo delresultado y su valor.

5Analiza y calcula correctamente elproblema, empleando más deuna estrategia.


Analiza y calcula erróneamente el problema, confundiendo el signo del resultado.

Analiza y calcula erróneamente, el problema, confundiendo el signo del resultado y su valor.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3, 4 y 5.



De refuerzo

1. Completa la siguiente tabla.


a) ¿obtienes los mismos signos en los resultados de a • b y a : b?, ¿por qué?b) ¿en qué casos a • b = a : b?, ¿por qué?

2. Una sustancia química que está a 30 ºC bajo cero se calienta en un mechero,aumentando su temperatura a razón de 2 ºC por minuto.

a) ¿Qué temperatura alcanza después de 25 minutos?, ¿y después de 1 hora?b) ¿Cuántos minutos deben transcurrir para que alcance una temperatura de

–12 ºC?, ¿y 14 ºC?

3. Un submarino se encuentra en la superficie del mar. Si cada una hora desciende50 metros:

a) ¿qué profundidad alcanza después de 3 horas?b) ¿cuánto tiempo ha transcurrido después de haber bajado 350 metros?c) al situarse a 600 metros bajo el nivel del mar, el submarino comienza a subir a

razón de 40 metros por hora. ¿Cuánto demora desde esa ubicación en llegara la superficie?

4. En un juego inventado por un grupo de 4 amigos (Macarena, Camila, Carlos yLuis), al responder ciertas preguntas se anotaban puntos positivos si respondíancorrectamente y puntos negativos en caso de error. Si Carlos terminó el juegocon 90 puntos y Camila con –20 puntos:

a) ¿Con cuántos puntos terminó Macarena, si obtuvo un tercio de los puntosde Carlos?

b) ¿Con cuántos puntos terminó Luis si hasta la mitad del juego tenía la mismacantidad de puntos con que terminó Camila, y en la otra parte del juego ganóla mitad de puntos con que Carlos terminó?

De profundización



a) ¿en qué casos el producto es igual al cociente?; ¿ocurrirá siempre lo mismo enesos casos?, ¿por qué?

b) ¿en qué casos el cociente es igual a 1 ó –1?; ¿ocurrirá siempre lo mismo enesos casos?, ¿por qué?

2. Si a es un número entero positivo (distinto de 1) y b es su inverso aditivo, ubicaen la recta numérica: a, b, 2 • a, 2 • b


a b a • b a : b

–12 3

21 –7

–4 –2

10 –5

–32 –2

13 –1

–42 6

25 –5

–100 4

17 1

a b a • b a : b

–48 –3

12 1

–3 –5

–9 –81

100 20

–4 32

–29 –29

30 30

–16 –1

0


55 Unidad 1 – Números enteros

a • b a : b

–36 –4

–147 –3

8 2

–50 –2

64 16

–13 –13

–252 –7

–125 –5

–400 –25

17 17

SOLUCIONARIO DE LA PÁGINA 54 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De refuerzo

1.

a) Sí, ya que la regla de los signos es igual en ambos casos.b) Cuando a = 13, b = –1 y a = 17, b = 1, el producto es igual al cociente. Esto

ocurre cuando b = 1 o b = –1.

2. a) 20 ºC, 90 ºC

b) 9 min, 22 min

3. a) 150 mb) 7 hc) 15 h

4. a) 30 puntos. b) 25 puntos.

a b a • b a : b12

–12–44

–48 –3

12 12 144 1

15 –3 –45 –5

–9 9 –81 –1

100 5 500 20

–8 –4 32 2

29–29

–11

–29 –29

30–30

1–1

30 30

4–4

–44

–16 –1

De profundización

1.

a) En las filas 8 y 9. Sí, ocurre si el divisor (segundo factor) es 1 ó –1.b) En las filas 3, 5 y 10. Sí, pues si se divide un número por sí mismo o por su

inverso aditivo, el cociente es 1 ó –1, respectivamente.

2.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

0 a 2 • ab2 • b


22 Unidad 1

Para discutir

• La división anterior, ¿es exacta?, ¿por qué? • ¿Se puede comprobar que el resultado es correcto en este caso?,

¿cómo lo harías?• Si el dividendo o divisor fuera negativo, ¿se podrá comprobar

que el resultado es correcto de la misma forma anterior?, ¿cómo lo harías?

• En la división –17 : 5, ¿qué sucederá con el resto?, ¿será 2?, ¿por qué?


Una profesora recuerda a sus alumnas y alumnos el algoritmo de ladivisión de números naturales, cuando el resto o residuo es mayorque cero. Observa:

17 : 5 = 32

La división que muestra la profesora no es exacta, ya que el residuo oresto es mayor que cero, es 2. Luego, podemos escribir 17 = 5 • 3 + 2.

En general, según el algoritmo de la división de números naturales,el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo.

En el caso que el dividendo o divisor sea negativo, debemosconsiderar algunos aspectos nuevos.

En la división: –17 : 5, el dividendo se puede escribir de dosformas. Observa:

a) –17 = 5 • (–3) –2 b) –17 = 5 • (–4) + 3

Si queremos escribir el dividendo como la multiplicación entre divisorpor el cociente más el resto, ¿cuál de las dos formas es correcta?

La respuesta es la letra b, pues según el algoritmo que se extiende a los números enteros, el resto debe ser positivo (y menor que elvalor absoluto del divisor), cuando no es cero. Entonces, para:

17 : –5, significa que 17 = (–5) • (–3) + 2, ya que, 0 < 2 < �–5�–17 : –5, significa que –17 = (–5) • 4 + 3, ya que, 0 < 3 < �–5�

Divisor

Cociente

Resto

Dividendo

Números enteros 23

Unidad 1

Actividades

1. Completa la siguiente tabla, guiándote por el ejemplo.

2. Observa los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior y responde:

a) Observa los casos en que el dividendo es igual, ¿por qué el cociente es distinto?, ¿de qué depende?

b) ¿Existirá otra forma de escribir el dividendo en cada caso?, ¿por qué?

3. Utilizando lo aprendido hasta ahora, responde:

a) Si a es un número entero, ¿cómo justificarías que a : 0 no tiene solución?b) Si a es un número entero, ¿cómo justificarías que 0 : a = 0?

Según el algoritmo de la división:

• El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo.

• Si la división es exacta, el residuo es igual a cero.

• Si la división no es exacta, el residuo es mayor que cero y menor que el valor absoluto del divisor.

No olvides que...

Dividendo Divisor Cociente Resto El dividendo es igual a

30 –6 –5 0 30 = (–6) • (–5) + 0

30 6

42 5

–42 –5

–12 8

12 8

27 –6

–27 –6

27 6

–20 4

20 –4




• Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división denúmeros enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.


Para discutirÍtem 1: analizar y justificar.Ítem 2: recordar y comprobar.Ítems 3 y 4: analizar, conectar y justificar.


ActividadesÍtem 1: aplicar.Ítem 2: analizar y justificar.Ítem 3: analizar, generalizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a ampliar el algoritmo de la división de números naturales (cuandoel resto es mayor que cero) a la división de números enteros. Para ello, se recuerda, pormedio de un ejemplo, el algoritmo de la división de números naturales. En esta activi-dad se pretende que los alumnos y alumnas analicen qué sucede con el cociente y elresto cuando el dividendo o divisor es un número entero negativo, es decir, que notenque, al ampliar dicho algoritmo, se deben respetar ciertas condiciones que hasta estemomento se aplicaban sin ser formalizadas.

Al finalizar esta sección, se sugiere indicar a los y las estudiantes que el cociente(racional) de divisiones inexactas con números enteros se estudiará el próximo año, yel cociente estudiado (según el algoritmo) es en el ámbito de los números enteros.


• Antes de comenzar el ítem 1, es conveniente que destaque las condiciones delalgoritmo de la división cuando esta es inexacta, es decir, que el resto es mayorque cero y menor que el valor absoluto del divisor.

• En el ítem 2, guíe a los alumnos y alumnas, para que descubran que el cocientey resto son únicos en cada caso.

• En el ítem 3, si los alumnos o alumnas tienen dificultad para justificarutilizando el algoritmo de la división, muestre algunos casos particulares, como12 : 0 y 0 : 12, y, a partir de estos, guíe a los alumnos y alumnas para que anali-cen lo que sucede en cada caso.


• Podría explicar por qué 1 : 0 no tiene solución, o bien, no está definido. Aplicandoel algoritmo de la división, se tiene:Si x es el cociente, entonces 1 = 0 • x, luego no hay ningún número que al multi-plicarse por cero dé como resultado 1.

• Podría explicar por qué 0 : 1 = 0. Si aplicamos el algoritmo de la división, tenemosque: 0 = 1 • 0, y se concluye que cualquier número multiplicado por cero da porresultado cero.En ambos casos, observe que no es necesario considerar el resto, ya que debe sermayor que cero y menor que el valor absoluto del divisor.


De refuerzo

1. Completa con el número correspondiente en cada caso.

a) Si el dividendo es 19 y el divisor es 5, entonces, el cociente es yel resto es .

b) Si el dividendo es y el divisor es 3, entonces, el cociente es (–7) yel resto es 1.

c) Si el dividendo es (–33) y el divisor es , entonces, el cociente es 9 yel resto es 3.

d) Si el dividendo es –90 y el divisor es 3, entonces, el cociente es yel resto es .

e) Si el dividendo es y el divisor es (–8), entonces, el cociente es 6 yel resto es 7.

(Habilidades que desarrolla: interpretar, representar, aplicar y calcular).

De profundización


Dividendo Divisor Cociente Resto El dividendo es igual a

–20 –20 = (–6) • + 4

15 –2

10 –5

37 7 2

–28 –28 = • (–10) + 2

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar, calcular y representar).



24 Unidad 1

Ayuda

Propiedad distributiva de lamultiplicación respecto de la suma:a • (b + c) = a • b + a • c; con a, b y c números enteros.Ejemplo:(–2) • [(–4) – (+6)] = (–2) • (–4) – (–2) • (+6)= (+8) – (–12)= 20

Para discutir

• ¿Cuál fue la temperatura registrada a mediodía en Temuco?, ¿y a las 15:00 horas?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Cuál fue la variación de temperatura (amplitud térmica) en grados ese día?

• Averigua la temperatura mínima y máxima para mañana en tu ciudad.


Un día de invierno, en Temuco, la temperatura mínima registrada a las 7:00 horas fue de –2 ºC, dos horas más tarde subió 5 ºC. A las 12:00 horas, la temperatura fue el doble de la temperaturaregistrada a las 9:00 horas. La máxima del día se registró tres horasdespués, y subió 7 ºC.

En la situación anterior, una forma de determinar cuál fue latemperatura registrada a las 12:00 horas, es calculando la expresión:(–2 + 5) • 2.

Esta expresión se puede calcular de dos formas: 1º resolver primerolas operaciones entre paréntesis y luego multiplicar; 2º aplicar lapropiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

Forma 1: (–2 + 5) • 2 = 3 • 2= 6

Forma 2: (–2 + 5) • 2 = 2 • (–2) + 2 • 5 = –4 + 10= 6

Así, la temperatura a las 12:00 horas fue 6 ºC.

Para determinar la temperatura registrada a las 15:00 horas, una forma es resolver la expresión: �(–2 + 5) • 2� + 7

Entonces: �(–2 + 5) • 2� + 7= �3 • 2� + 7

= 6 + 7= 13

Luego, la temperatura registrada a las 15:00 horas fue 13 ºC.

Por lo tanto, la amplitud térmica ese día fue 15 ºC, ya que: 13 – (–2) = 15

Glosario amplitud térmica:es la diferencia entre latemperatura más alta y la másbaja registrada en un lugar,durante un período de tiempo.

La temperatura máxima en Temuco se registró

a las 15 horas.

Unidad 1

Actividades

1. Resuelve.

a) (–18 : 6) • –2 d) (–640 : –4) • (12 : 2) g) (24 : –12) • (7 • 0)b) 36 : (–4 : 1) e) (30 • 0) : (–2 • 3) h) (8 • –3) : (4 : –2)c) (–9 : 3) • (10 : –5) f) (10 : –10) • 10 i) (8 : –8) • (–7 : 7)

2. Calcula aplicando la propiedad distributiva.

a) (–5) • (–4 + 8) c) (7 – 9) • (+5) e) (20 –30) • (–10)b) (–10) • (5 + (–3)) d) (–9 – 12) • (+2) f) (–15) • (–2 + 10)

3. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a) 16 : (–2) – (–4 + 2) + 5 • (–1) d) 4 • (14 : –2) + 9 • (–3) – 2 : –2)b) 25 : 5 – �(4 – 9) • 3 – (9 –12) : 3� e) –7 – (–49 : 7) + 14 • 2 + 7 c) 2 + (8 : 4) – (–2 • 3) + (9 : –3) f) �–20 : (16 – 12) • –5� – 14


Números enteros 25

• Si al resolver un problema aparecen operaciones combinadas, debes calcular siguiendo el orden:

1º Se resuelven los paréntesis.2º Después se realizan las multiplicaciones y divisiones en orden, de izquierda a derecha.3º Se efectúan, por último, las sumas y las restas en orden, de izquierda a derecha.

No olvides que...

a b (a + b) • a (a • b) : (a + b) (a + b) • (a – b)

12 –4

– 2 3

–10 –15




• Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las4 operaciones aritméticas con números enteros [...], enfatizando en el análisis críticode los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.


Para discutirÍtem 1: analizar, representar y calcular.Ítem 2: analizar y calcular.Ítem 3: conectar.


ActividadesÍtems 1, 2 y 3: calcular.

Ítem 4: evaluar y calcular.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorioy están orientadas a resolver problemas que involucran las operaciones aritméticas deadición y multiplicación. En esta situación, relacionada con la temperatura de unaciudad, se pretende que los alumnos y alumnas analicen y determinen cuál es la tem-peratura a cierta hora del día, planteando la expresión que permite resolver cadacaso y utilizando diversas estrategias en la resolución.

Es conveniente que los y las estudiantes observen que en la actividad inicial se presen-tan dos estrategias para resolver y, en ambos casos, se obtienen los mismos resultados:la primera, respetando la prioridad de las operaciones y, la segunda, aplicando lapropiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.


• Antes de comenzar el ítem 1, en conveniente que recuerde a los y las estudian-tes la prioridad de las operaciones, ya que en los ítems 1 y 3 aparecen opera-ciones combinadas.

• En el ítem 2, los y las estudiantes aplicarán la propiedad distributiva de la multipli-cación respecto de la suma. Una vez terminada esta actividad, se sugiere que pidaa los alumnos y alumnas que resuelvan estas operaciones utilizando otra estrategia(aplicando la prioridad de las operaciones). De este modo, no solo compro-barán que sus soluciones son correctas, sino que evidenciarán que muchasveces en Matemática es posible seguir más de un camino en la resolución deun ejercicio o problema.

• En el ítem 4, permítales a los y las estudiantes, si es posible, que resuelvan cadaoperación mentalmente, utilizando la estrategia que ellos escojan. Por ejemplo,en la tercera columna podrían aplicar la prioridad de las operaciones o lapropiedad distributiva.


• Se sugiere que destaque a los y las estudiantes que en una operación combinadacon paréntesis, si dentro del paréntesis hay más de una operación, entonces, seaplica la prioridad de las operaciones en dichas operaciones. Por ejemplo:

–24 : (–4 + 5 • 2)= –24 : (–4 + 10)

= –24 : 6= –4

• Se sugiere que destaque a los y las estudiantes que en una operación combinada,si hay paréntesis en el interior de otro paréntesis, estos se resuelven de adentrohacia afuera, respetando la prioridad de las operaciones. Por ejemplo:

–3 • [–2 + (12 : (–4) • 2) – 1]= –3 • [–2 + (–3 • 2) – 1]

= –3 • [–2 + (–6) – 1]= –3 • [–9]

= +27



26 Unidad 1

5. Una familia gasta mensualmente $ 100 000 de arriendo, $ 65 000 en mercadería y $ 50 000 en gas, luz y agua. Si desean comprar un automóvil a crédito que cuesta $ 1 200 000, dando depie unos ahorros que equivalen $ 150 000 y el resto en 24 cuotas mensuales iguales, calcula:

a) ¿Cuál es el valor de cada una de las 24 cuotas del auto? b) Si deciden comprar el auto, ¿cuánto dinero gastarán mensualmente en cuentas?

6. Una familia compra una casa en enero del año 2011 con un crédito en cuotas fijas a 20 años. El valor de la casa es de $ 12 000 000 incluidos los intereses.

a) ¿Cuánto pagan anualmente?b) ¿Cuál es el valor de cada cuota mensual?c) ¿Cuánto han pagado después de 5 años?

7. El valor de las acciones de una empresa en la bolsa de comercio disminuye $ 12 cada día. Hoy tienen un valor de $ 690.

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuánto costarán dentro de 8 días?b) ¿Cuánto costarán dentro de 8 días?, ¿y en 15 días?

8. La temperatura en una cámara de refrigeración a las 14:45 horas es de 20 ºC. Se sabe que la temperatura baja 2 ºC cada minuto.

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuál será la temperatura a las 15:03 horas?b) Calcula la temperatura a las 15:03 horas.

9. Remplaza los valores de a, b y c en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.


a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular (b : c) • a y b : (c • a)?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular a • (b • c) y (a • b) • c?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

a b c (b : c) • a b : (c • a) a • (b • c) (a • b) • c

3 –36 6

–2 18 –9

4 –96 8

–10 –50 –5

8 32 –2

Unidad 1


a) 6 : –3 • = –8 e) –5 • –7 • 2 : = –7b) –3 • ( : –5) = 9 f) : –9 • 2 = –10c) (–20 : ) • (–8 : 2) = –40 g) 100 : (20 : ) = –50d) 45 : : 3 = –3 h) • –6 : 2 = 9

12. En cada caso, escribe una pregunta para que el problema sea resuelto con las operaciones que se indican. Luego, resuélvelos.

a) Operaciones: adición y multiplicación.En una ciudad del país, la temperatura mínima a las 7:00 horas fue de –2 ºC. Cada hora aumentó 3 ºC hasta las 11:00 horas.Pregunta: Respuesta:

b) Operaciones: adición y división.Patricio logró ahorrar $ 95 000 en una alcancía desde enero hasta mayo. En junio pudoguardar $ 20 000, en julio ahorró $ 15 000 y en agosto retiró la cuarta parte del total.Pregunta: Respuesta:

Para saber en forma rápida qué signo corresponde al resultado de una multiplicación o división entre números enteros, cuenta la cantidad de números negativos de la expresión: si es par, el resultado será positivo; de lo contrario (cantidad impar), el resultado es negativo. Observa los ejemplos:

25 • (–4) : 20 • 6 : (–10) = +3 (–20� : 2 • (–5) • (–2) = –100(2 números negativos) (3 números negativos)


a) (–2) • 2 • (–2) • 2 • (–2) = g) 2 • (–5) • (–10) : 4 • (–3) =

b) (–15) : (–3) • (–4) • 2 : (–5) = h) 300 : 15 • (–3) : 2 • 6 =

c) (–10) • (–100) • (–1000) • (–10 000) = i) (–1) : 1 • (–1) : 1 • (–1) • (–1) : (–1) =

d) 2500 : (–5) : (–10) = j) (–24) : (–8) : 3 • (–1) • (–2) =

e) 3 • 3 • (–4) : (–2) : 9 • (–1) = k) 12 • 10 : (–4) • (–3) : (–9) =

f) 4 • 4 • 4 : (–4) • 1 : (–1) = l) (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) =

Estrategia mental

Números enteros 27






ActividadesÍtems 5 y 6: analizar, aplicar y calcular.Ítems 7 y 8: representar, aplicar y calcular.Ítem 9: evaluar y calcular.Ítem 10: analizar, generalizar y justificar.

Ítem 11: identificar y calcular.Ítem 12: formular y resolver problemas.


Estrategia mentalAplicar y calcular.


• En los ítems 5 y 6 es conveniente que pida a los alumnos y alumnas que escribanla estrategia y las operaciones empleadas. Luego, un o una estudiante explicacómo resolvió la pregunta 5 a otro compañero o compañera, y este último explicacómo resolvió la 6 a su compañero o compañera (que explicó la 5). De este modo,permite que discutan sobre la pertinencia de los resultados obtenidos, así comotambién sobre los procedimientos empleados.

• En los ítems 7 y 8, es conveniente que analice en la pizarra las expresiones matemáti-cas que permiten resolver cada caso, pues el objetivo de ambos problemas no solotiene relación con las operaciones combinadas y la prioridad para resolverlas, sinoque es una primera aproximación a las funciones, que es un contenido que setratará más adelante.

• Luego de completar la tabla del ítem 9, los alumnos y alumnas reponderán las pre-guntas del ítem 10 relacionadas con la prioridad de las operaciones. Se sugiere quepromueva la discusión en estos casos, para que sean los y las estudiantes quienesgeneralicen. Al finalizar esta actividad podría destacar que en el caso de la pre-gunta b, del ítem 10, se trata de la propiedad asociativa de los números enteros.

• En el ítem 11, luego que los y las estudiantes escriban el número que falta, podríancomprobar utilizando calculadora científica y verificar que la operación da comoresultado, efectivamente, el número que aparece en el Texto.

• En el ítem 12, se sugiere que los y las estudiantes expongan las preguntas que es-cribieron, pues de este modo conocerán y compararán las diversas preguntas quesurgieron espontáneamente para una misma situación; además, podrían analizar lapertinencia de estas.

• En la sección ESTRATEGIA MENTAL, es conveniente destacar que dicha estrate-gia se puede emplear no solo en esta Unidad, sino que en las potencias, que seestudiarán en la Unidad siguiente, pues permite saber de forma rápida el signodel resultado.


De refuerzo


a) –36 : (–18 : 3) =

b) 14 – 2 • (–5) + 18 : (–2) =

c) 28 : [(–12 • 2) : (54 : –9)] =

d) 2 • [(11 • 3 – 5) + (16 : –4)] =

2. Resuleve utilizando dos estrategias distintas, en cada caso.

a) [(–10 – 4) • 3 – 2] –1 =b) 25 • (5 • –10) • 2 =

3. Calcula mentalmente, indicando la estrategia utilizada en cada caso.

a) (–10 • –3) • –6 =b) –30 • (–15 + 10) =c) 4 • (–5 + 3) =

(Habilidades que desarrollan: calcular, aplicar y formular).

De profundización

1. Determina el o los errores en cada caso y, luego, resuelve correctamente.

a) (–18) + 4 • (–2) + 35 : (–7) = –14 • –2 + 5= –14 • 3= –42

b) (–4) : (–1) + 20 : (–5) + 13 = –4 + 4 + 13= 0 + 13= 13

c) (–4) • [–12 : –3 – 18 : –2] = (–4) • [4 – 18 : –2]= (–4) • [–14 : –2]= (–4) • 7= –28

2. Un día de julio, en una ciudad del norte del país, la temperatura registrada a las 6:00 horas fue de –5 ºC; tres horas más tarde subió 4 ºC. Dos horas después, subió6 ºC. A las 12:30 horas, la temperatura fue el doble de la temperatura registradaa las 11:00 horas. La temperatura máxima del día se registró tres horas después yfue el doble de la temperatura registrada a las 12:30 horas.

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular la temperatura registrada alas 12:30 horas?, ¿y a las 15:30 horas?

b) ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 11:00 horas?c) ¿Cuál fue la máxima temperatura de ese día?

(Habilidades que desarrollan: analizar, calcular e identificar).



28 Unidad 1

Usando una planilla de cálculo, resuelve operaciones combinadas con números enteros. Siguelas instrucciones.

1º En A1 escribe “Positivo”, en B1 “Negativo”, en C1 “Operación 1”, en D1 “Operación 2”, en E1 “Operación 3” y en F1 “Operación 4”.

2º En las celdas A2 y B2 anota 600 y –30, respectivamente.3º En la celda C2 correspondiente a “Operación 1” haz doble clic y anota = A2*B2-B2*A2.

Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 • (–30) – (–30) • 600.4º En la celda D2 correspondiente a “Operación 2” haz doble clic y anota = A2/B2-B2.

Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) – (–30).5º En la celda E2 correspondiente a “Operación 3” haz doble clic y anota = A2/B2+ABS(B2).

Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) + �–30�.6º En la celda F2, inventa una operación combinada usando los números que aparecen en las

celdas A2 y B2 (como en los puntos 3, 4 y 5) y los símbolos +, – , * y /.7º En las celdas de la columna “Positivo” escribe números enteros positivos hasta A10. En las

celdas de la columna “Negativo” escribe números enteros negativos que sean divisores delnúmero positivo de su fila correspondiente.

8º Con el mouse, selecciona la celda C2, anda a su vértice inferior derecho, y cuando aparezcauna cruz negrita, arrastra hasta la celda C10. Así, deberían aparecer todos los resultadoscorrespondientes.

9º Repite el paso anterior para las celdas D2, E2 y F2. Deberías obtener:

Finalmente, compara los números obtenidos en cada columna y responde:

a) ¿Por qué en “Operación 1” los resultados son siempre cero?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?Justifica.

b) ¿Por qué los resultados de “Operación 2” y “Operación 3” son iguales?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? Justifica.

c) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿obtienes como resultado cero en la columna “Operación 1”?, ¿por qué?

d) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿los resultados de “Operación 2” y “Operación 3” serían iguales?, ¿por qué? Verifica en tu planilla de cálculo.


Mi progreso

a b c a : b • c a • b : c c • (a – b) + a c • a – c • b + a

–18 2 –12

–28 –7 –14


Representar en lenguaje matemático una situación escrita enlenguaje natural.

1

Analizar expresiones relacionadas al algoritmo de la división. 2

Calcular operaciones combinadas con números enteros. 3

Resolver un problema, que involucra las cuatro operaciones connúmeros enteros.

4


1. Juan trabaja en un supermercado. Durante el primer semestre del año pasado tuvo un sueldo fijomensual de $ 300 000. En julio recibió un aumento de $ 50 000. ¿Qué expresión permite calcularcuánto ganó Juan el año pasado?

A. 300 000 • 6 + 50 000 • 6 C. 300 000 • 6 + 350 000 • 6B. 300 000 • 12 + 50 000 D. 300 000 • 12 + 350 000

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. Una división de números enteros es siempre exacta.B. El resto en una división de números negativos, es negativo.C. El producto de dos números enteros negativos es un número entero negativo.D. El dividendo en la división exacta con números enteros es igual al divisor por el cociente.

3. Remplaza los valores de a, b y c y completa la tabla con los resultados que obtengas. Luego, responde.

• ¿Obtienes los mismos resultados en las columnas 4 y 5?, ¿y en las columnas 6 y 7?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

4. Un objeto se encuentra a 32 metros bajo el nivel del mar. Si cada 5 minutos desciende 3 metros,¿qué número representa la profundidad en que se encontrará 35 minutos después?



Números enteros 29

Unidad 1





HABILIDADES QUE DESARROLLAN CON:

Herramientas tecnológicasÍtems 1 a 8: usar herramientas. Ítem 9: analizar, generalizar, justificar y usar herramientas.



• Al utilizar la planilla de cálculo, debe tener en consideración que los símbolosempleados: +, –, *, /, corresponden a las operaciones de adición, sustracción,multiplicación y división, respectivamente.

• Es conveniente que supervice permanentemente a los alumnos y alumnas en eldesarrollo de la actividad, pues podrían aparecer diversas dificultades que re-quieran de su ayuda y orientación.

• Se recomienda que recuerde a sus estudiantes que al ingresar una función se antepone el símbolo =.

• Al finalizar la actividad, destaque que en “Operación 1” el resultado siempre escero, pues A2*B2 = B2*A2, por la propiedad conmutativa.


De refuerzo

1. Realiza lo siguiente en una planilla de cálculo.

Dividan por dos los números de la columna “Positivo” y, luego, escríbanlos endicha columna (en remplazo de los que estaban). Luego, vuelvan a repetir lospasos realizados anteriormente y respondan las preguntas del ítem 9.

(Habilidades que desarrolla: analizar, generalizar y justificar).

De profundización

1. Para cualquier par de números enteros a y b, con b ≠ 0:

a) La expresión: a • b – b • a, ¿es siempre igual a cero? Justifica.b) Las expresiones: (a : b – b) y (a : b + |b|), ¿son iguales? Justifica.

(Habilidades que desarrolla: analizar, generalizar y justificar).




Mi progresoÍtem 1: analizar y representar.Ítem 2: analizar y evaluar.Ítem 3: evaluar, aplicar, calcular, analizar y generalizar.Ítem 4: analizar y calcular.


• En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta; estodificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendablepedirles que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo quefacilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas.

• En el ítem 2, se debe analizar la pertinencia de afirmaciones; como no se trata decasos concretos, el alumno o alumna podría confundirse en dichos casos. Es con-veniente que visualicen casos particulares que se relacionen con cada afirmación,para luego analizar su veracidad a través de estos.

• En el ítem 3, es posible que los alumnos y alumnas ignoren la prioridad de las ope-raciones; es conveniente recordarla.

• En el ítem 4, recuerde a los y las estudiantes que para representar una distanciabajo el nivel del mar, se pueden usar los números negativos. Por ejemplo, 32 mbajo el nivel del mar, lo representaremos como –32.




3

Evalúa, aplica, calcula y completacorrectamente la tabla. Responde cada pregunta correctamente.

Evalúa, aplica, calcula y completacorrectamente la tabla. Responde cada pregunta.

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente algunas partes de la tabla.Responde algunas de las preguntas.

Evalúa, aplica, calcula y completa erróneamente la tabla.No responde las preguntas.

4Analiza y calcula correctamente el problema, empleando más de una estrategia.


Analiza y calcula erróneamente el problema, confundiendo el signodel resultado.

Analiza y calcula erróneamente, elproblema, confundiendo el signo delresultado y su valor.

A continuación, se representa una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3 y 4.


6. Felipe trabaja como vendedor en una casa comercial; su sueldo base es de$ 180 000. Por cada producto vendido que tiene un valor superior o igual a$ 40 000, recibe una comisión de $ 5000. Durante el mes de agosto vendió losproductos que se detallan en la siguiente tabla con sus respectivos costos:

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuál será el sueldo de Felipe co-rrespondiente al mes de agosto?

b) ¿Cuál será su sueldo ese mes?

7. El frigorífico de una empresa de productos congelados se encuentra a 30 ºC bajocero durante todo el día. Un día la máquina presentó fallas, provocando un au-mento de la temperatura a razón de 3 ºC por hora; ¿cuál será la temperatura delfrigorífico despues de 6 horas?

8. Un equipo sumergible, provisto de cámaras sensibles a la oscuridad, descubriórestos de un barco a 2000 metros de la superficie.

a) Si el equipo sumergible descendió 100 metros cada media hora, ¿cuánto tardóen llegar a los restos del barco, aproximadamente?

b) Si enviaron otro equipo sumergible, que tardó 5 horas en llegar a los restos delbarco, ¿a cuántos metros por hora descendía, aproximadamente?

De profundización

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.

1. Si a, b y c son números enteros, b ≠ 0 y b es divisor de a, ¿cuál de las siguientesexpresiones resulta siempre cero?

A. a • c – |a • c|

B. (a : b) • c – c • (a : b)

C. (a : b) – c

D. (a : b) • c + c • (a : b)



De refuerzo


1. Si el dividendo es (–37) y el divisor es 5, entonces:

A. el cociente es 8 y el resto es 3.B. el cociente es (–8) y el resto es 3.C. el cociente es (–7) y el resto es (–2).D. el cociente es 7 y el resto es 2.

2. Las transacciones de dinero de Carla en el mes de septiembre fueron: $ 45 000en agua, luz, teléfono y gas, $ 100 000 de dividendo, $ 380 000 de sueldo y enmercadería gasta la mitad de lo que gasta en dividendo. ¿Qué expresión permitecalcular cuánto dinero le queda a Carla para otros gastos?

A. 380 000 – 45 000 + 100 000 + 100 000 : 2B. (45 000 + 100 000 + 100 000 : 2) – 380 000C. 380 000 – 45 000 – 100 000 + 100 000 : 2D. 380 000 – (45 000 + 100 000 + 100 000 : 2)

3. Un pez que se encuentra a 10 metros bajo el nivel del mar, desciende 2 metroscada 2 minutos, ¿a qué profundidad se encuentra después de 16 minutos?

A. 26 metros bajo el nivel del mar. C. 6 metros bajo el nivel del mar.B. 18 metros bajo el nivel del mar. D. –36 metros bajo el nivel del mar.


5. A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

a) Aplica otra estrategia para resolver en cada caso.

b) Si cambiaras los números de la columna b, ¿con qué número entero es posibleobtener resultado cero en (b + c) : a?


Cantidad Producto Costo ($)

2 Plancha 20 000

3 Celular 40 000

2 Microondas 75 000

4 DVD 45 000

5 Televisor 90 000

a b c (b + c) : a c • (b – a) (a – b) + c a • (b • c)

2 10 –2

3 –10 –5

–2 –8 4

4 26 –2

–1 –1 –9


a b c c • (b – a) (a – b) + c a • (b • c) a : b • c

12 3 –2

–9 3 –5

–22 11 4

42 6 –2

–1 –1 –8

c • (b – a) (a – b) + c a • (b • c) a : b • c

18 7 –72 –8

–60 –17 135 15

132 –29 –968 –8

72 34 –504 –14

0 –8 –8 –8

a 3 3 11 6 –1

a 5 8 7 8 7

2. Al resolver 12 – 7 • 3 – 24 : (–6) resulta :

A. 29

B. –13

C. –5

D. 37

3. En la expresión: (–60) : x = –12, el valor de x es:

A. –5

B. 12

C. 5

D. 1

4. Completa la siguiente tabla:

5. A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

a) ¿Puedes aplicar alguna propiedad de los números enteros para resolver encada caso?, ¿cuál?

b) Si cambiaras los números de la columna a, ¿con qué número entero es posi-ble obtener resultado cero en c • (b – a)?, ¿y en (a – b) + c?

6. Camilo y Lorena son hermanos. Camilo ahorró en enero $ 12 500 y en febrero$ 18 600. Lorena en enero ahorró el doble que su hermano ese mismo mes y enfebrero la tercera parte de lo ahorrado por su hermano en febrero. En marzo,entre los dos, juntaron $ 21 500.

a) ¿Qué expresión permite calcular cuánto ahorraron el primer trimestre de ese año?

b) ¿Cuánto ahorraron el primer trimestre?


b 2 5 –4 2 9

(b + c) : a c • (b – a) (a – b) + c a • (b • c)

4 –16 –10 –40

–5 65 8 150

2 –24 10 64

6 –44 –24 –208

10 0 –9 –9

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 64 Y 65 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De refuerzo

1. B 2. D 3. A

4.

5. b)

6. a) 180 000 + 5000 • 14 b) $ 250 000

7. –12 ºC.

8. a) 10 horas. b) A 400 metros por hora.

De profundización

1. B 2. C 3. C

4.

5. a) Sí, la propiedad distributiva y propiedad asociativa. En la última columna apli-camos la prioridad de las operaciones.

b) Para c • (b – a) = 0, se tiene

Para (a – b) + c = 0, se tiene

6. a) (12 500 + 18 600) + (12 500 • 2 + 18 600 : 3) + 21 500

b) $ 83 800


Buscando estrategias

El año 2005, Marcos inició una empresa. Ese año perdió$ 12 000 000, el segundo año perdió el doble que elprimero, el tercer año ganó el triple que las pérdidasde los dos anteriores juntos. El cuarto tuvo ingresos de $ 18 000 000, y el quinto año obtuvo ganancias iguales a la mitad de las ganancias del tercer año. ¿Cuál fue elsaldo final de la empresa?


Que el primer y segundo año perdió, y los tres años siguientes tuvo ganancias.• ¿Qué debes encontrar?

La cantidad de dinero correspondiente al saldo final de la empresa.


Para facilitar los cálculos, representaremos con signo + los números correspondientes aganancias, y con signo –, los números que corresponden a pérdidas. Luego, calculamos losvalores correspondientes a cada año y, por último, los sumamos para obtener el saldo final.

Resolver• Calculamos los valores correspondientes a cada año:

Año 2005: –12 000 000Año 2006: 2 • –12 000 000 = –24 000 000Año 2007: 3 • (+12 000 000 + +24 000 000) = 3 • +36 000 000 = +108 000 000Año 2008: +18 000 000Año 2009: +108 000 000 : 2 = +54 000 000

Luego, sumamos los valores obtenidos:(–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000)= 144 000 000

Responder• El saldo final de la empresa corresponde a una ganancia de $ 144 000 000.

Revisar• Para comprobar el resultado, puedes asociar la suma de otra manera:

(–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000) =(–12 000 000 + –24 000 000) + (+108 000 000 + +18 000 000 + +54 000 000) =(–36 000 000) + (+180 000 000) = –36 000 000 + 180 000 000 = +144 000 000

30 Unidad 1

Unidad 1


a) Marcelo, el tesorero del Octavo Año Básico de un colegio de Coquimbo, debe rendircuentas al curso cada término de semestre. Dice lo siguiente: “Por aportes voluntarios enmarzo reunimos $ 88 000; en abril, $ 65 000; en mayo, $ 100 000, y en junio, $ 55 000.En la fiesta de curso gastamos $ 140 000; el regalo a la profesora costó $ 35 000, y en larifa de curso ganamos $ 63 000”. ¿Cuál fue el saldo final del curso?

b) Claudio puso un negocio de comida rápida. El primer mes ganó $ 300 000, el segundomes ganó el doble que en el primero, en el tercero ganó el triple del segundo, el cuartomes perdió la mitad de las ganancias de los primeros meses juntos, y en el quinto tuvoingresos de $ 255 000. ¿Cuál fue el saldo final?

c) Un día de julio, en Calama, la temperatura mínima que se registró a las 7:30 horas, fue de –3 ºC. Durante las siguientes 8 horas, la temperatura subió 3 ºC por hora y, luego, descendió 2 ºC por hora. ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 23:30 horas?, ¿y a las 00:30 horas?



a) Un día de agosto, a las 9:00 horas, un submarino seencuentra a 150 m de profundidad. Si durante una hora baja con rapidez de 12 m cada10 minutos, y luego sube hacia la superficie duranteuna hora y media con rapidez de 18 m cada 15 minutos, y durante los siguientes 40 minutossigue subiendo aumentando la rapidez a 20 m cada10 minutos, ¿a qué profundidad se encontrará a las12:10 horas?

b) La señora Carmen, dueña de un almacén, calcula mensualmente las ganancias y gastos desu negocio. En el mes de junio, la primera semana vendió $ 210 000, la segunda semanavendió $ 180 000, la tercera gastó $ 140 000 en el arriendo del local y vendió $ 270 000, y la cuarta semana ganó $ 192 000 y pagó $ 25 000 en luz, $ 10 000 en agua y $ 300 000en mercadería. ¿Cuál fue el saldo final de junio?

Números enteros 31





HABILIDADES QUE DESARROLLAN:

Buscando estrategiasÍtem 1: analizar, formular, aplicar y calcular.Ítems 2 y 3: seleccionar, analizar, resolver problemas y evaluar.


La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en la Unidad; sin em-bargo, en estas páginas se presenta una estrategia específica para que los alumnosy alumnas la aprendan, la apliquen en otros problemas y, luego, busquen otras es-trategias de resolución.

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO

Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser re-suelto de distintas formas. La estrategia presentada en el Texto del Estudiante essolo una forma de dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordarel problema podría ser la siguiente: Plantear la situación como un ejercicio combi-nado y, luego, aplicar la prioridad de las operaciones, es decir (en miles):

–12 000 – (2 • 12 000) + 3 • (12 000 + 2 • 12 000) + 18 000 + [3 • (12 000 + 2 • 12 000)] : 2 = –12 000 – 24 000 + 108 000 + 18 000 + 54 000

= 144 000


De refuerzo

1. Un grupo de 6 personas (Pablo, Francisca, Pedro, Felipe, Lorena y Cecilia) estáreuniendo dinero para realizar un paseo. Han determinado que cada personanecesita $ 9500 para asistir a dicha actividad.

Pablo ha juntado $ 3500, Francisca el doble de lo que ha reunido Pablo, Pedro$ 2000 más que lo reunido por Francisca, Felipe la tercera parte de lo reunido porPedro, y Lorena y Cecilia ya juntaron el dinero necesario.

a) ¿Cuánto dinero deben juntar en total?b) Si consideras el dinero reunido por el grupo de amigos, ¿cuánto les falta

por reunir?Utiliza la estrategia propuesta en la página 30.

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar y calcular).


Logro, aplicación En proceso, logro parcial No comprende

Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabrase interpretar coherentemente el problema.

• Identifica la información necesaria.• Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Copia el problema.• Identifica palabras clave.• Puede que interprete mal parte del problema.• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No entiende el problema.• Entiende mal el problema.• Como rutina pide explicaciones.




a situaciones nuevas.• Hace y explica conexiones.• Realiza lo pedido y va más allá.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio.• Puede demostrar y explicar usando una variedad de

modos.• Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y

por qué.• Relaciona el concepto con conocimiento y

experiencias anteriores.• Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• No modela los conceptos rutinarioscorrectamente.


Verificación de resultadosy/o progreso

• Chequea la racionalidad de los resultados.

• Reconoce sin dar argumentos.

• Revisa cálculos y procedimientos.• Puede investigar razones si existen dudas.


no razonable.

INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados.



Para finalizar

32 Unidad 1

1. Dibuja una tabla con cada integrante de tu grupo, incluyéndote a ti mismo y copia en ella lossiguientes indicadores:

• Respeté/respetó las opiniones de los demás integrantes.• Cumplí/cumplió con las tareas que se comprometió.• Hice/hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

a. Haz tu evaluación escribiendo: Generalmente, A veces o Casi nunca, según corresponda.Luego, comparen y comenten sus respuestas.


Cone

xion

es NACIONAL

El cometa Halley (1P/Halley) es un cometa

brillante y grande que orbita alrededor del Sol cada

77 años en promedio. Es uno de lo cometas más

conocidos; a partir de él ha sido posible estudiar las

características de los demás cometas. Este cometa

fue el primero en fotografiarse desde el espacio. La

última vez que pasó por las cercanías de la órbita de

la Tierra fue en 1986. Si bien existen otros cometas,

este se puede observar a simple vista, por lo cual

existen referencias de sus apariciones, incluso antes

de Cristo.

Un cometa visto en el siglo XX

Fuente: Instituto de Astrofísica de Canarias,www.iac.es/gabinete/difus/cometas/halley.htm, septiembre 2009.


1. ¿Cuándo se calcula que será la siguiente visita?2. Desde 1986, ¿cuántas visitas habrá hecho el cometa hasta el año 2217?, ¿en qué años?3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la

solución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.4. Averigüen por qué el cometa tiene ese nombre y en qué año fue observado por primera vez.5. En el año 1472, el cometa fue observado por un astrónomo alemán. Anoten todos los años

que el Halley pasó, desde 1472 hasta la fecha. ¿Coincide con el último año que pasó por lascercanías de la órbita de la Tierra?, ¿por qué?

6. Averigüen cuál fue la distancia más cercana del Halley a la Tierra en 1986.


Números enteros 33

Unidad 1

A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principalesconceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican lasrelaciones que hay entre los conceptos.


2. ¿Cómo multiplicas un número natural por un número entero negativo?

3. ¿Cómo multiplicas números enteros?

4. ¿Cómo divides números enteros?

5. ¿Cómo resuelves ejercicios con multiplicaciones y divisiones combinadas?

6. ¿Cuál es la prioridad de las operaciones al resolver ejercicios con operatoria combinada?

7. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de números enteros?, ¿y qué diferencias?

8. Si a, b y c son números enteros, ¿podrías afirmar que a • (b + c) = a • b + a • c?, ¿por qué? Da dos ejemplos.

9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

OPERACIONES CON

NÚMEROS ENTEROS

MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN

OPERACIONES

COMBINADAS

Síntesis

EXACTA

INEXACTA




ConexionesÍtem 1: analizar y calcular.Ítem 2: calcular.Ítem 3: evaluar.Ítem 4: relacionar.

Ítem 5: calcular, verificar y justificar.Ítem 6: interpretar.

SíntesisRecordar y conectar.


La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular los númerosenteros con los fenómenos que ocurren en nuestro entorno, en este caso relaciona-dos con la astronomía.

Durante esta actividad puede comentar y discutir con sus estudiantes sobre temasrelacionados con el cometa Halley, el Sol, los planetas, así como también sobre otroscometas que no podemos ver a simple vista.

Más información sobre astronomía puede encontrar en la revista Astronomía Digital: www.astro-digital.com/11/cometas.html

TÉCNICA DE ESTUDIO

A continuación, presentamos una técnica de estudio que le puede enseñar a losalumnos y alumnas: el cuestionario.

El cuestionario consiste en plantear preguntas sobre un tema, y a través de las res-puestas a esas preguntas obtener toda la información necesaria para saber de quése trata el contenido que estudiamos, destacando las ideas fundamentales.

• La creación del cuestionario debe realizarse individualmente y se sugiere que sehaga en clases, para que oriente y guíe a los y las estudiantes en su trabajo.

• Se deben confeccionar al menos 6 preguntas relacionadas con los temas incluidosen la Unidad, con un ejemplo numérico o un problema de aplicación en cada caso.

• Las preguntas deben ser claras.• Puede revisar los cuestionarios en el curso guiando con preguntas como las siguien-

tes: ¿cómo encuentran las preguntas planteadas?, ¿faltó alguna pregunta?, ¿cuál?


De refuerzo

1. En relación al Sol, los cometas y los planetas, responde:

a) ¿Sabes a qué distancia está nuestro planeta del Sol?, ¿cómo lo supiste?b) ¿Conoces otros cometas aparte del Halley?, ¿cuáles?c) ¿Haz escuchado hablar de otros planetas?, ¿cuáles?

(Habilidades que desarrollan: conectar y justificar).

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD

Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alum-nas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Estamanera de sintetizar es una técnica de estudio que permite a los y las estudiantes con-solidar, organizar y clasificar sus aprendizajes.


De refuerzo

1. Construye un cuadro resumen sobre los principales temas de esta Unidad.2. ¿Qué estrategias conoces para resolver problemas? Menciona sus pasos.

3. Inventa un ejercicio que involucre las 4 operaciones aritméticas con números ente-ros; luego, resuélvelo, respetando la prioridad de las operaciones.

4. Menciona y aplica dos estrategias para calcular: [(–2) + 4 – 6] • 3. 5. ¿Cómo jutificarías que (–36) : 9 = (–4)?

(Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, aplicar y calcular).

De profundización

1. Construye un cuadro resumen sobre la multiplicación de números enteros.Da tres ejemplos.

2. Construye un cuadro resumen sobre la división de números enteros, involucrandoel algoritmo de la división. Da tres ejemplos.

3. Inventa un problema que involucre las operaciones aritméticas con números ente-ros. Luego, resuélvelo, indicando la estrategia a utilizar.

(Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, formular, aplicar y calcular).



¿Qué aprendí?

34 Unidad 1

1. Si n es un número entero positivo, ¿cuál deestos números es menor que cero?

A. 5 + nB. 2 • nC. n : (–n)D. –2 • (–n)

2. Un tiburón gris se encuentra a 250 metros de profundidad. Si desciende un quinto de la profundidad a la que se encuentra, ¿qué número representa la profundidad queestá con respecto al nivel del mar?

A. –300B. 300C. –200D. 200

3. Un día de julio en Santiago, la temperatura alas 7:30 horas fue de –4 ºC, y tres horas mástarde subió 7 ºC. Si la máxima fue el triple dela temperatura registrada a las 10:30 horas,¿cuál fue la temperatura máxima del día?

A. –9 ºCB. –8 ºCC. 9 ºCD. 6 ºC

4. Si n, m son números enteros, n es el antecesorde m y –8 es el sucesor de m, ¿cuál es elsucesor de (n • m)?

A. 91B. –90C. –89D. 90

5. ¿Cuál de las siguientes frases es incorrecta?

A. Si se multiplican dos números enterosnegativos, el resultado es mayor que cero.

B. Si se dividen dos números enterosnegativos, el resultado es mayor que cero.

C. Si se multiplica el valor absoluto de unnúmero entero negativo por un númeronatural, el resultado es negativo.

D. Si se multiplica un número natural por unnúmero entero negativo, el resultado es unnúmero entero negativo.

6. Si a = –5, entonces (a • a) es igual a:

A. �a� • �a�B. �a� • aC. a • 1D. –(a • a)

7. Al calcular –9 + 3 : �–2 + (–1 • 1)�, resulta:

A. 10B. –9C. –10D. –6

8. En la expresión –5 • x : –2 = 10, el valor de x es:

A. –4B. –20C. 20D. 4


Unidad 1

Números enteros 35

9. La temperatura de un meteorito al ingresar a la atmósfera terrestre varía de –150 ºC a 2230 ºC en diez minutos. Si en cada minuto que transcurre, la temperatura aumenta de igual manera, ¿cuánto aumenta por minuto?

10. La estructura de una mina subterránea de carbón está formada por galeríashorizontales. La distancia vertical entre cada dos galerías es de 10 m, estando,por ejemplo, la galería 2 situada a 20 m de profundidad.

a) Si estamos a 50 m de profundidad, ¿en qué galería nos encontramos?b) Tras subir 30 m, Carlos está en la galería 7. ¿En qué galería estaba antes?c) Antes de subir 20 m, Luis estaba en la galería 6, ¿en qué galería se

encuentra ahora?






No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Multiplicación de un número natural por un númeroentero negativo









¿Qué aprendí?Ítem 1: analizar, conjeturar y evaluar.Ítems 2 y 3: analizar, interpretar y calcular.Ítem 4: analizar, conjeturar y evaluar.Ítem 5: analizar y evaluar.

Ítem 6: evaluar y calcular.Ítem 7: calcular.Ítem 8: analizar e identificar.Ítems 9 y 10: analizar, interpretar y calcular.


EVALUACIÓN SUMATIVA

En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉAPRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquiridolos alumnos y alumnas en la Unidad de Números enteros, y con esta informaciónseguir determinadas líneas de acción, por ejemplo, volver a enseñar un contenidoo realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que sepretendían con el desarrollo de esta Unidad.

Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas.Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.


• En los ítems 1 al 8, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta;esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es reco-mendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondienteal lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrate-gias empleadas.

• En los ítems 9 y 10, es conveniente pedirles a los y las estudiantes que una vezcomprendido el problema y planificada la estrategia, sean ordenados en el desa-rrollo de este. De este modo, pueden ayudar a sus compañeros y compañerasque tienen más dificultad, o bien, en caso de cometer errores, facilitará detec-tarlos y corregirlos.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzaro profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles lasactividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtenganen la evaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.


La siguiente se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9 y 10.


9

Resuelve correctamente cuántoaumenta por minuto, utilizando diversasestrategias que permiten realizar untrabajo más eficientemente.

Resuelve correctamente cuántoaumenta por minuto, utilizandouna estrategia.

Resuelve erróneamente cuánto aumentapor minuto, aplicando la prioridad de lasoperaciones y confundiendo los signos.

Resuelve erróneamente cuántoaumenta por minuto, sin respetar laprioridad de las operacione ni la reglade los signos.

10

Resuelve correctamente los valorespedidos, utilizando diversas estrategiasque permiten realizar un trabajomás eficientemente.

Resuelve correctamente los valorespedidos, sin explicar la estrategia usada.

Resuelve erróneamente alguno de losvalores pedidos, por medio de laaplicación inadecuada de la prioridad delas operaciones, respetando los signos.

Resuelve erróneamente los valorespedidos, por medio de la aplicacióninadecuada de la prioridad de lasoperaciones, sin respetar los signos.



Fecha Temperatura mínima Temperatura máxima

27 de febrero 8 °C

13 de junio –8 °C

11 de noviembre 25 °C


De refuerzo


1. Al resolver (–12) : 4 • (–5) – 20 : (–2) resulta:

A. 25B. –5C. –25D. 5

2. Si el dividendo es –360 y el divisor es 4, entonces el cociente es:

A. 90B. –9C. –90D. –1 440

3. El resultado de (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) es:

A. 20B. –16C. –20D. 16

4. ¿Qué número dividido por –9 resulta 3?

A. 3B. –27C. –3D. 27

5. Si x es un número entero negativo, entonces el doble de x es:

I. mayor que cero.II. menor que cero.III.menor que x.

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. II y III

6. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas?

I. (–18 : 3 – 4) • 2 = –20II. (–8) + (–8) + (–8) + (–8) = 8 • 4III. (10 – 2 • 5) : 2 = 0

A. Solo IB. Solo IIC. I y IIID. II y III

7. En una ciudad del sur del país se registraron las siguientes temperaturas en las fechasque se indican a continuación. Completa la tabla según la información entregada.

a) El 27 de febrero la temperatura máxima fue el triple de la mínima.b) El 13 de junio la temperatura máxima fue 14 ºC más que la mínima.c) El 11 de noviembre la temperatura mínima fue la quinta parte de la máxima.

8. Un buzo está a 200 metros bajo el nivel del mar; luego, baja 50 metros más y,finalmente, desciende la mitad de lo que había bajado hasta ese momento.

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular la profundidad alcanzada porel buzo?

b) ¿A cuántos metros de la superficie se encontraba?

9. Martina, Andrea y Guillermo realizaron los siguientes cálculos:

Martina Andrea Guillermo9 + (–14) • 5 16 : [–2 – 6] 20 : –5 • 2 = –5 • 5 = –8 – 6 = –4 • 2= –25 = –14 = –8

• En los tres procedimientos realizados, ¿observas algún error?; ¿cuál? Corrígelo.



4. Si a es un número entero positivo, entonces el triple de a es:

I. mayor que cero.II. menor que cero.III.mayor que a.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y III

D. II y III

5. Completa la siguiente tabla. Utiliza dos estrategias para resolver en cada caso.

6. Completa las secuencias numéricas.

: (–5) • (–3) : (–2) • 6

a)

: (–7) : 4 • (–3) : (–1)

b)

• 4 : (–2) • (–4) : (–1)

c)

7. Obtén el número –8 utilizando números del conjunto A = {–3, –2, –1, 1, 2, 3} yal menos dos operaciones aritméticas. Escribe dos formas distintas de obtenerel número.


a b c a • (b – c) a • (b • c) c : a – c • b c : b • a

–5 10 20

–3 4 –12

–2 –3 –18

–50

–9

8

10. Calcula:

a) (–2 –8) : (1 – 3) =b) [–4 • (3 – 7) + 1] • (–2) =c) (–36) : 4 • (–6) : (–3) : 2 • (–4) =d) (–3) • [–1000 : (–10 – 90) – 50] =


De profundización


1. Al resolver [(–4) • 7 – 45 : (–9) + 5] • (–2), resulta:

A. –36B. 46C. 56D. 36

2. El resultado de la expresión (–120) : (–5) • 4 es:

A. 96B. –96C. 6D. –6

3. Si x y z son números enteros, x es el antecesor de z y –4 es el antecesor de x.¿Cuál es el sucesor de (x • z)?

A. 6B. –7C. –5D. 7


a b c a • (b – c) a • (b • c) c : a – c : b (b • a) – (c + a)

–5 3 –30

–2 –4 –16

7 4 –28



a • (b – c) a • (b • c) c : a – c • b c : b • a

50 –1 000 –204 –10

–48 144 52 9

–30 –108 –45 –12

a • (b – c) a • (b • c) c : a – c : b (b • a) – (c + a)

–165 450 16 20

–24 –128 4 26

224 –784 3 49

De profundización

1. D 2. A 3. D 4. C

5.

6.: (–5) • (–3) : (–2) • 6

a)

: (–7) : 4 • (–3) : (–1)

b)

• 4 : (–2) • (–4) : (–1)

c)

7. Algunas formas: (–3) • 2 + (–2) ó (–2) • 2 + (–2) • 2.


De refuerzo

1. A 2. C 3. C 4. B 5. D 6. B

7. a) 24 ºCb) 6 ºCc) 5 ºC

8. a) –200 – 50 –250 : 2b) 375 metros.

9. Martina Andrea 9 + (–14) • 5 16 : [–2 – 6] = 9 – 70 = 16 : –8 = –61 = –2

10. a) 5 b) –34 c) 36 d) 120

11.

250 –50 150 –75 –450

–84 12 3 –9 9

–4 –16 8 –32 32


Ítem Habilidades que se evalúan Puntaje Total

I Analizar, aplicar y calcular. 2 puntos cada una 16 puntos

IIAnalizar, evaluar, representar,aplicar y calcular.

6 puntos cada una 18 puntos



9Calcula correctamente cada expresión,empleando más de una estrategia.

Calcula correctamente cada expresión. Calcula érronemente una de lasexpresiones, pues confunde los signosdel resultado.

Calcula érronemanete cada expresión,sin respetar la prioridad de las operaciones.

10Analiza, evalúa, calcula y completacorrectamente la tabla, verificando lassoluciones con otra estrategia.

Analiza, evalúa, calcula y completacorrectamente la tabla.

Analiza, evalúa, calcula y completaerróneamente partes de la tabla.

Analiza, evalúa, calcula y completaerróneamente la tabla.

11

Calcula correctamente cada expresión,interpretando mentalmente el sucesorde, el antecesor de y el inverso aditivo.Aplica el algoritmo de la división.

Calcula correctamente cada expresión yaplica el algoritmo de la división.

Calcula erróneamente algunas expre-siones, confundiendo el sucesor de o elantecesor de o el inverso aditivo. Aplicael algoritmo de la división, confundiendosus condiciones.

Calcula erróneamente las expresiones,confundiendo el sucesor de, el ante-cesor de y el inverso aditivo. Aplica elalgoritmo de la división, confundiendosus condiciones.

EVALUACIÓN FINAL

En las páginas 76 y 77, se presenta una evaluación fotocopiable que usted puedeutilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son losconocimientos que han adquirido los y las estudiantes en la Unidad de Númerosenteros, y con esta información determinar líneas de acción; por ejemplo, volver aenseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos losaprendizajes que se esperaba lograr en esta Unidad.

El tiempo estimado para la realización de la evaluación es 40 minutos. Este tiempopuede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta:

Puntaje total de la evaluación: 34 puntos

Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzadosen la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente 6 ó 7 preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente 4 ó 5 preguntas.Por lograr, si contesta correctamente menos de cuatro preguntas.

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9, 10 y 11.


Se sugiere pedirles a sus estudiantes que realicen algún tipo de desarrollo en cadapregunta, para detectar en qué se equivocan, y ayudarlos a alcanzar los aprendiza-jes que se espera que logren, si fuera necesario.

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LASPÁGINAS 76 Y 77

1. D 2. D 3. A 4. A 5. C 6. A 7. C 8. A

9. a) –27 b) –200

10.

11. a) –49 b) 6 c) –6 d) –5 y 2 e) –162 f) –5 y 0

a b c a • (b + c) a • (b • c) c : a • b

–5 4 –20 80 400 16

2 3 –10 –14 –60 –15

–3 –2 –9 33 –54 –6

4 4 –12 –32 –192 –12

–4 2 20 –88 –160 –10


EVALUACIÓNNúmeros enteros

Nombre: Curso: 8º Fecha:

Puntaje: Nota:

I. Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta.

1. Si x es un número entero distinto de cero, el resultado de (–6) • x es:

I. mayor que cero si x > 0II. menor que cero si x > 0III. mayor que cero si x < 0

A. Solo IB. Solo IIC. Solo I y IID. Solo II y III

2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas?

I. (–5) • 4 + 12 = –8II. 15 : (–3) + 20 : (–5) = –3III. (–7) • (–4) = –28

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. II y III

3. Un alpinista asciende una montaña 22 metros por hora durante 5 horas. Luego, durante 3 horas, asciende 28 metros por hora.¿Cuántos metros asciende durante ese período?

A. 194 mB. 26 mC. 50 mD. 400 m

4. Si a y b son números enteros, a es el sucesor de b y –7 es el sucesorde a, ¿cuál es el antecesor de (a • b)?

A. 71B. 72C. 73D. –73

5. ¿Qué número dividido por –4 resulta –20?

A. 5B. –5C. 80D. –80

6. Al calcular: –4 – (–25 : 5) + 2 – 15 : 3, resulta:

A. –2B. –12C. 2D. –4

7. Don Felipe es dueño de un negocio. El primer trimestre del añopasado obtuvo una ganancia de $ 1 500 000; el segundo trimestreperdió $ 650 000; el tercer trimestre ganó el doble de lo obtenidoel primer trimestre y el cuarto trimestre obtuvo ganancias iguales ala mitad de las ganancias del primer periodo. ¿Cuál fue el saldofinal del año pasado?

A. $ 6 650 000B. $ 5 900 000C. $ 4 600 000D. $ 5 350 000

Guía Didáctica del Docente – Matemática 876 Unidad 1 – Números enteros – Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


a b c a • (b + c) a • (b • c) c : a • b

–5 4 –20

2 –10 –14

–3 –2 –54

4 –12 –32

–4 20 –10

8. La temperatura mínima registrada en Santiago un día de invierno alas 7:00 horas fue –5 ºC. Si la temperatura aumentó 4 ºC por hora(aproximadamente), hasta llegar a la máxima del día, que fue 27 ºC,¿a qué hora se registró la temperatura máxima?

A. A las 15:00 horas.B. A las 14:00 horas.C. A las 13:00 horas.D. A las 16:00 horas.

II. Resuelve los siguientes ejercicios, mostrando su desarrollo.


a) 12 : (–4) – 15 • 2 – 30 : (–5) =

b) [–6 • (3 – 10) – 2] • (–5) =


11. Completa con el número correspondiente en cada caso.

a) Al multiplicar el sucesor de –8 por el inverso aditivo de (–7),

resulta .

b) Al dividir el inverso aditivo de 48 con el sucesor de (–9),

resulta .

c) Al dividir el antecesor de 25 con el inverso aditivo de 4,

resulta .

d) Si el dividendo es (–23) y el divisor es 5, entonces, el cocientees y el resto es .

e) Al multiplicar el antecesor de 19 por el inverso aditivo de 9,

resulta .

f) Si el dividendo es (–45) y el divisor es 9, entonces, el cociente

es y el resto es .



78 Unidad 2 – Potencias Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


En esta Unidad se plantean diversas actividades que promueven el logro de estrategiasde cálculo mental, sistematización de procedimientos, determinación y aplicación depropiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base entera, frac-cionaria o decimal positiva y exponente natural. También se utilizan herramientas tec-nológicas que permiten a los y las estudiantes resolver de forma eficaz diferentes tiposde problemas. Durante el desarrollo de la Unidad, se pretende que el alumno y alumnaanalice y comprenda diversas situaciones que se presentan a su alrededor, reconociendola utilidad de las potencias y, con ello, la necesidad de definir y aplicar diversas estrate-gias para la resolución de problemas, ya sea de la vida cotidiana o del ámbitomatemático en que estén involucradas las potencias y la aplicación de sus propiedades.

Al final de la Unidad, aparece una evaluación en que el alumno o alumna podrá ponera prueba sus conocimientos y así saber cuánto es lo que aprendió, cuáles fueron suserrores y cómo superarlos.


PotenciasUnidad2

Multiplicacióny división depotencias deigual base

Potencias de basefraccionaria positiva yexponente natural.

Potencias de basedecimal positiva y

exponente natural.

Multiplicacióny división depotencias de

igual exponente

Potencia de unapotencia

Figuras planas Cuerposgeométricos

Crecimientoexponencial

Decrecimientoexponencial

Potencias de base enteray exponente natural

Resolver problemasse extienden a

permiten

permiten

asociados a

se aplican las propiedades



7º básico

Interpretación de potencias que tienencomo base un número natural, una frac-ción positiva o un número decimal posi-tivo y como exponente un númeronatural, establecimiento y aplicación ensituaciones diversas de procedimientosde cálculo de multiplicación de potenciasde igual base o igual exponente, formu-lación y verificación de conjeturas relati-vas a propiedades de las potenciasutilizando multiplicaciones y divisiones.

8º básico

Utilización de estrategias de cálculo men-tal y escrito que implican el uso de po-tencias de base entera y exponentenatural, determinación y aplicación depropiedades relativas a la multiplicacióny división de potencias que tienen baseentera y exponente natural, y extensión apotencias de base fraccionaria o decimalpositiva y exponente natural.

Resolución de problemas en contextos di-versos y significativos que involucran […],potencias de base entera, fraccionaria odecimal positiva y exponente natural, en-fatizando en el análisis crítico de los pro-cedimientos de resolución y de losresultados obtenidos.

1º medio

Extensión de las propiedades de poten-cias al caso de base racional y exponenteentero y aplicación de ellas en diferentes contextos.

Resolución de problemas en contextos di-versos que involucran […] potencias debase racional y exponente entero, enfati-zando el análisis crítico de los procedi-mientos de resolución y de los resultados obtenidos.

2º medio

Análisis de la existencia de la raíz enésimaen el conjunto de los números reales, surelación con las potencias de exponenteracional y demostración de algunas desus propiedades.

Interpretación de logaritmos y su relacióncon potencias y raíces, deducción de suspropiedades y aplicaciones del cálculo delogaritmos a la resolución de problemasen diversas áreas del conocimiento.

Elaboración de estrategias de cálculomental y escrito que implican el uso depotencias de 10 con exponente entero ysu aplicación para representar númerosdecimales finitos como un producto deun número natural por una potencia de10 de exponente entero.

Resolución de problemas en contextos di-versos y significativos en que se utilizan[…] potencias […], enfatizando en aspec-tos relativos al análisis de las estrategiasde resolución, la evaluación de la validezde dichas estrategias en relación con lapregunta, los datos y el contexto del problema.











Utilización de estrate-gias de cálculo mentaly escrito que implicanel uso de potenciasde base entera yexponente natural,determinación y apli-cación de propiedadesrelativas a la multipli-cación y división depotencias que tienenbase entera y expo-nente natural, yextensión a potenciasde base fraccionariao decimal positiva yexponente natural.

Potencia de base enteray exponente natural.

Valor de la potencia.

Multiplicación de poten-cias de igual base.

División de potencias deigual base.

Multiplicación de poten-cias de igual exponente.

División de potencias deigual exponente.

Potencia de una potencia.

Potencia de basefraccionaria positiva yexponente natural.

Potencia de base decimalpositiva y exponentenatural.

• Emplear estrategias decálculo mental y escritoque implican el uso de potencias de base entera y exponente natural.

• Determinar y aplicarpropiedades relativasa la multiplicación ydivisión de potenciasque tienen base enteray exponente natural.

• Aplicar propiedadesrelativas a la multipli-cación y división de potencias que tienenbase fraccionaria odecimal positiva y exponente natural.

En el TextoDe exploración:páginas 40, 42, 44, 46,48, 50 y 52.

De construcción deconceptos: páginas 41,43, 45, 47, 49, 51 y 53. De consolidación:página 68.

En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 87,91, 93, 95, 97, 99, 101,103, 105, 106, 126 y 127.

De profundización:páginas 87, 91, 93, 95,97, 99, 101, 103, 105,106, 107 y 127.

En el TextoDe exploración:páginas 56, 58, 60 y 62.De construcción deconceptos: páginas 57,59, 61 y 63.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas109, 111, 113, 115, 117,118, 126 y 127.

De profundización:páginas 109, 111, 113,

• Calculan potencias debase entera y exponente natural.

• Aplican propiedadesrelativas a la multipli-cación y división depotencias que tienenbase entera y exponente natural.

• Analizan y resuelvensituaciones queinvolucran potencias debase entera y exponente natural.

• Aplican propiedades rela-tivas a la multiplicación ydivisión de potencias quetienen base fraccionariao decimal positiva yexponente natural.

• Analizan y resuelvensituaciones que involu-cran potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponentenatural.

• Resuelven problemassobre crecimiento y de-crecimiento exponencial.

Diagnóstica:página 38 delTexto delEstudiante.


Sumativa:páginas 70 y 71del Texto delEstudiante, y130 y 131 de laGuía Didácticadel Docente.

• Tabla dedatos

• Computador.• Calculadora

científica.• 36 cubos de

cartulina.• Tijeras.• Pegamento.• Regla.• Cartulina.• Hoja

tamañocarta.








Resolución deproblemas encontextos diversos ysignificativos queinvolucran […]potencias de baseentera, fraccionaria odecimal positiva yexponente natural,enfatizando en elanálisis crítico de losprocedimientos deresolución y de losresultados obtenidos.

Crecimiento exponencial

Decrecimientoexponencial


• Aplicar estrategias pararesolver problemas queinvolucran crecimientoy decrecimientoexponencial.

• Resolver problemasque involucranpotencias de baseentera, fraccionaria odecimal positiva yexponente natural.

• Aplicar habilidadesbásicas del procesode resolución deproblemas encontextos diversos.

• Analizar la validez delos procedimientosutilizados y de losresultados obtenidos.

115, 117, 118 y 127.

En el TextoDe exploración:página 66.

De construcción deconceptos: página 67.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas121, 126 y 127.

De profundización:páginas 121 y 127.

• Resuelven problemas queinvolucran potencias debase entera y exponentenatural, empleandodiversas estrategias.



ERRORES FRECUENTES


En el concepto de potencia pueden aparecer los siguientes errores:

• En las potencias que la base es un número entero negativo, el alumno o alumnale asigna al valor de la potencia signo negativo, sin considerar si el exponente espar o impar.

• En las potencias que la base es una fracción o decimal positiva, el alumno oalumna, al calcular, puede tener dificultades en la multiplicación o división.

• En las potencias de base negativa, el o la estudiante podría no diferenciar casoscomo: –22 y (–2)2.

• Es conveniente recordar el cálculo de potencias de base entera, fraccionaria odecimal positiva y exponente natural.

• Comparar y calcular de forma paralela las potencias de base entera negativa yexponente par e impar. Destacar con distinto color, cuando los exponentes parese impares.

Por ejemplo:(–2)2 = (–2) • (–2) = 4(–2)3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8

• Plantear actividades en que los alumnos y alumnas identifiquen errores en ejerci-cios resueltos, así como también argumentar en el caso de que estén correctos.

• Diferenciar y calcular casos como:–22 = – 2 • 2 = –4(–2)2 = –2 • –2 = 4

En la multiplicación y división de potencias de igual base o igual exponente, puedenaparecer los siguientes errores:

• En la aplicación de las propiedades de potencias de multiplicación o división depotencias de igual base o exponente, el alumno o alumna confunde dichaspropiedades y aplica ambas a la vez.Por ejemplo: 24 • 34 = 68.

• En los casos que se puede aplicar cualquiera de estas dos propiedades, el alumnoo alumna aplica ambas, sin notar que puede aplicar cualquiera de las dos.Por ejemplo: 32 • 32 = 94.

• A través de actividades que le permitan al alumno o alumna comparar de formaparalela las distintas aplicaciones de las propiedades que se utilizan para resolvermultiplicaciones y divisiones con igual base o exponente.

• Plantear actividades en que los alumnos y alumnas identifiquen errores en ejerci-cios resueltos, así como también argumentar en el caso de que estén correctos.

• Resolver ejercicios sin aplicar las propiedades, paso a paso y, luego, aplicar lapropiedad correspondiente para comprobar los resultados obtenidos.

Por ejemplo:24 • 34 = 16 • 81 = 1296Comprobación: 24 • 34 = 64 = 1296.

• Resolver ejercicios en los que el alumno o alumna pueda escoger una de las dospropiedades para resolver y, luego, aplicar la otra propiedad para comprobar losresultados obtenidos. Por ejemplo: 32 • 32 = 32 + 2 = 34 = 81.Comprobación: 32 • 32 = (3 • 3)2 = 92 = 81.

En la potencia de una potencia puede aparecer el siguiente error:

• El alumno o alumna confunde la propiedad y en vez de multiplicar los expo-nentes, los suma.

Por ejemplo: (22)3

= 25.

• Se sugiere resolver, paso a paso, por medio de casos particulares, para explicarla propiedad. Por ejemplo:

(22)3

= (2 • 2)3 = (2 • 2) • (2 • 2) • (2 • 2) = 26.


La Matemática ofrece una diversidad de procedimientos que permiten el análisis,modelación, cálculo, medición y estimación del mundo natural y social, permitiendorelacionar los más diversos aspectos de la realidad. El aprendizaje de esta cienciaayuda a enriquecer la comprensión de la realidad, facilita la selección de estrategiaspara resolver problemas y contribuye al desarrollo del pensamiento crítico yautónomo. Es por ello que las potencias han sido un tema fundamental. En laUnidad anterior se estudió multiplicación de números enteros, contenido funda-mental para estudiar potencias de base entera y exponente natural, estudiado enesta Unidad. Luego, se aplican las propiedades relativas a la multiplicación y divisiónde dichas potencias y se extienden a potencias de base fraccionaria y decimal posi-tiva y exponente natural. Estos aprendizajes son utilizados para resolver problemasen contextos diversos y significativos por medio de diversas estrategias de resolución.

En esta Unidad es posible utilizar calculadora científica como una herramienta útily práctica que permite al alumno o alumna comprobar los resultados obtenidos.

A continuación, se presentan algunas referencias teóricas acerca de las potencias ysus propiedades.

• Una potencia es la multiplicación de un factor por sí mismo, tantas vecescomo indique el exponente. Es decir,

an = a • a • … • a con a número entero y n número natural

• El factor repetido (a) se denomina base y el número que indica la cantidad deveces que se multiplica (n) se llama exponente.

• La potencia an se lee “a elevado a n”. El producto resultante se denominavalor de la potencia.

Ejemplo: (–4)3 = (–4) • (–4) • (–4) = –64

• El concepto de potencia se puede ampliar a potencias de base y exponenteentero o potencias de base racional y exponente entero o exponente racional.

Para extender el concepto de potencia, a continuación profundizaremos en losdos primeros casos.

Potencia de base y exponente enteroSi a y b son números enteros con a ≠ 0, entonces se tiene que:

ab = a • a • … • a a–b = (a–1)b

=

Ejemplos:

1. (–3)5 = –3 • –3 • –3 • –3 • –3 = –243

1 1 1a a a

b b

b b( ) = =



En la resolución de problemas, se pueden presentar los siguientes inconvenientes:

• Los y las estudiantes tienen dificultades de comprensión lectora, impidiendo una buena interpretación y su posterior resolución.

• Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir la respuesta al problema planteado.

• Utilización incorrecta de los datos entregados en el problema.• Los y las estudiantes olvidan analizar las soluciones obtenidas en problemas.

• Promover la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar,resolver, responder y revisar. Con estos pasos, los y las estudiantes identificaránlos datos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, así comoresponder y analizar la veracidad de la solución.

• Plantear actividades en que los y las estudiantes tengan que identificar, en elproblema resuelto, cada uno de los pasos de la estrategia propuesta.

n factores

Exponente

Base Valor de la potencia

b factores



2. 8–3 =

Potencia de base racional y exponente enteroSi a y b son números enteros distintos de cero y n un número entero, entonces:

Ejemplo:

• El valor de una potencia de exponente cero y base distinta de cero es 1. Es decir,

a0 = 1, a ≠ 0

Ejemplos: 20 = 1

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

Para todo a, b ∈� y n, m ∈�, se cumplen las siguientes propiedades:

Multiplicación de potencias de igual baseEl producto de dos o más potencias de igual base equivale a una potencia con lamisma base y exponente igual a la suma de los exponentes de los factores. Es decir,

an • am = an + m

División de potencias de igual baseEl cociente de dos potencias de igual base equivale a una potencia con la misma base yexponente igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor. Es decir,

an : am = an – m

Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponenteEl producto de dos o más potencias de distinta base e igual exponente equivale auna potencia de igual exponente y base igual al producto de las bases de los fac-tores. Es decir,

am • bm = (a • b)m

1

8

18 8 8

15123 = =i i

34

43

169

2 2( ) = ( ) =−

División de potencias de distinta base e igual exponenteEl cociente de dos potencias de distinta base e igual exponente equivale a una po-tencia de igual exponente y de base igual al cociente entre la base del dividendo yla base del divisor. Es decir,

am : bm = (a : b)m

Potencia de una potenciaLa potencia de una potencia equivale a la base elevada al producto de los exponentes.Es decir,

(an)m

= an • m

• Al calcular potencias es importante que tenga en cuenta algunas consideraciones:

– La adición iterada de un mismo número puede escribirse en forma de producto,por ejemplo: 5 + 5 + 5 = 5 • 3 = 15. En cambio, la multiplicación de factoresiguales, como: 5 • 5 • 5, puede escribirse como potencia, es decir,5 • 5 • 5 = 53 = 125.En general: n • a ≠ an

– No son distributivas respecto a la adición y sustracción, por ejemplo:(2 + 4)2 = 62 = 36. En cambio: 22 + 42 = 4 + 16 = 20.En general: (a ± b)n ≠ an ± bn

– No son conmutativas, excepto cuando la base y el exponente tienen el mismovalor (como 33), por ejemplo: 23 = 8. En cambio 32 = 9.En general: ab ≠ ba

– Observe y diferencie los siguientes casos:

a) b)

• Las propiedades de las potencias, estudiadas en este curso, se pueden aplicar encasos en que, para facilitar los cálculos, es conveniente representar númerosgrandes como un producto de un número natural por una potencia de 10 deexponente natural, estudiado en 7º Básico. Por ejemplo:

20 • 109 – 7 = 20 • 102 = 2 • 101 • 102 = 2 • 103

En estos casos, en que se pueden escribir los números de forma abreviada, utilizandopotencias de base 10, se puede usar notación científica.

2 2 642 63( ) = =2 2 2562 83= =

3. (–2)–2 = 12

12 2

142−( )

=− −

=i

ab

ab

ab

ab

a

b

n n

n( ) = =i i i. . .

35 1

0( ) =

4000 5 000 00010 000 000

4 10 53i i i i

=( ) 10

1 10

20 10

10

6

7

9

7( )

= =i

i

ab a

bab

b

a

ba

n

n n

n

n

n

n( ) =

( )= = = ( )− 1 1

n factores


• Un número real x escrito en notación científica, es de la forma:

x = a • 10n, con 1 ≤ a < 10 y n un número entero

Ejemplos:

400 000 000 = 4 • 108

0,0005 = 5 • 10–4

Más información acerca de las potencias y ejercicios:• Manual esencial. (2008). Números. Aritmética y álgebra (p. 104–117).

Santiago: Santillana.

En las páginas 60, 61, 62 y 63 del Texto del Estudiante se trabajan los conceptos decrecimiento y decrecimiento exponencial. Cabe destacar que dichos conceptos sontratados de forma simple, pues se estudiarán con profundidad en cursos posterio-res. En estas páginas se mencionan algunas funciones exponenciales, como f(x) = 2x

y g(x) = � �x

, con dominio en los números naturales más el cero. Además, se men-

cionan algunos conceptos relacionados a las funciones, como variables dependien-tes e independientes, pero se introducen sin ser definidos formalmente, pues la ideaes que el alumno o alumna se familiarice con ellos de forma natural e intuitiva.

A continuación, se presentan algunas referencias teóricas sobre función exponen-cial, crecimiento y decrecimiento exponencial.

Función exponencialUna función exponencial es toda función cuya variable se encuentre en el exponentede una potencia. En general, una función exponencial es de la forma f(x) = ax, cona ∈ �+ – {1} y x ∈ �. Esta función posee las siguientes características:

• El dominio de la función son los números reales. • El recorrido de la función son los números reales positivos.• La curva asociada a la función interseca al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).• Si a > 1, la función es creciente y si 0 < a < 1, la función es decreciente.

Una función se dice creciente si x1 < x2, entonces f(x1) < f(x2). En cambio, si cuando

x1 < x2, se tiene que f(x1) > f(x2), la función se dice que es decreciente.

13

En los siguientes ejemplos, se muestran dos funciones exponenciales y su repre-sentación gráfica.

f(x) = 2x con x ∈ �, es creciente g(x) = � �x

con x ∈ �, es decreciente

El caso particular p(x) = 1x, con x ∈ �, corresponde a una función constante, por loque no se habla de función exponencial.

Crecimiento exponencialSi el crecimiento de las variables se puede modelar mediante la función f(x) = c • ax,con c > 0, a > 1, se dice que crecen exponencialmente, o bien, que presentan uncrecimiento exponencial.

Por ejemplo: el número de un tipo de bacterias de un cultivo está dado por la fórmulaB(t) = 600 • e0,55 • t, donde t se mide en horas.

Decrecimiento exponencialSi el decrecimiento de las variables se puede modelar mediante la funcióng(x) = c • ar • x, con c > 0, a > 1 y r < 0, se dice que decrecen exponencialmente,o bien, que presentan un decrecimiento exponencial.

Por ejemplo: la cantidad de un tipo de sustancia radiactiva en un organismo muertoque queda después de x años está dada por P(t) = 500 • e–0,000115 • x mg.

Bibliografía• Artigue, M. (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. México:

Grupo Editorial Iberoamérica.• Duval, R. (2004). Semiosis y Pensamiento Humano. Cali: Universidad del Valle.

13



Las bacterias son los organismos más abundantes del planeta; crecen en el suelo,en desechos radioactivos, incluso en las profundidades del mar; están presentes entodo hábitat de la Tierra. En la industria, son importantes para producir queso, yogur, mantequilla, entre otros. Algunas de ellas pueden causar graves enfer-medades infecciosas; para estudiar las bacterias causantes de enfermedades y los

PotenciasUnidad

2

36 Unidad 2

• Emplear estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potenciasde base entera y exponente natural.

• Determinar y aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división depotencias de base entera y exponente natural.

• Aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de basefraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

• Resolver problemas que involucran crecimiento y decrecimiento exponencial.• Resolver problemas en contextos diversos y significativos que involucran

potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.


Las bacterias son microorganismos unicelulares de tamaño muy pequeño y sonlos organismos más abundantes del planeta.

Muchas especies bacterianas son tan parecidas que es imposible diferenciarlassolo con el uso del microscopio; para identificarlas, se estudian sus características“sembrándolas” en medios de cultivo especiales, que es un método paramultiplicar los microorganismos.

Los cultivos suelen usarse en medicina para identificar y estudiar las enfermedades.

Si un cultivo de bacterias se inicia con 10 000 bacterias y su número se duplicacada media hora.

1. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 2 horas?, ¿y al cabo de 4 horas?; ¿cómo lo calculaste?

2. ¿Cuántas bacterias hay después de 9 horas?3. ¿Después de cuántos minutos habrán 40 960 000 bacterias?

Conversemos de...

Potencias 37



antibióticos sensibles a dichas bacterias, se siembran en medios de cultivo especiales.Con esto, se pretende utilizar el propio entorno como medio de exploración y análisis,activar sus conocimientos y experiencias previas.


Estas preguntas se enmarcan en una situación real, que requiere reflexión y asociacióncon la actividad inicial de la Unidad. Se pretende que, a través de la imagen, la infor-mación entregada al respecto, las preguntas planteadas y su propia experiencia, losalumnos y alumnas reconozcan que, en ciertos casos, se pueden usar las potenciaspara resolver problemas y facilitar los cálculos.


Es conveniente que esté informado o informada sobre los siguientes conceptos para eldesarrollo de la actividad exploratoria.

Las bacterias son los seres vivos más pequeños y más simples desde el punto de vistaestructural. A pesar de su simplicidad estructural, las bacterias son seres complejos y di-versificados desde un punto de vista bioquímico, lo que ha permitido su adaptación alas más variadas condiciones de vida.

Aunque muchas especies tienen formas irregulares, en general, las bacterias presentanalgunas formas básicas: las cocáceas o cocos (forma esférica); los bacilos (forma cilín-drica); las espiroquetas (forma de espiral), y los vibriones (forma de coma).

Las bacterias se reproducen por simple división. De esta manera, a partir de una bac-teria progenitora se generan dos bacterias hijas y, si cada una de estas se duplica, luegoexistirán cuatro. La cantidad de bacterias presentes en un medio determinado, dondeexistan condiciones óptimas de nutrientes, temperatura, luminosidad, entre otros fac-tores, puede aumentar en el tiempo en forma exponencial (1, 2, 4, 8, 16, etc.).


De refuerzo

1. Un cultivo se inicia con 4000 bacterias, las que se duplican cada dos horas.

a) ¿Cuántas bacterias hay después de 4 horas?b) ¿Después de cuantas horas hay 128 000 bacterias?


De profundización

1. En un laboratorio de microbiología un cultivo de bacterias comenzó a las 9:30 horasy se inicia con 500 bacterias, las que se duplican cada una hora.

a) ¿Cuántas bacterias hay a las 12:30 horas del mismo día?b) ¿A qué hora hay 256 000 bacterias?

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, conectar y calcular).

87 Unidad 2 – Potencias

Período detiempo (30 min)

0 1 2

Cantidad debacterias 10 000 • 20 = 10 000 10 000 • 21 = 20 000 10 000 • 22 = 40 000


Conversemos de...Ítems 1, 2 y 3: analizar, representar y calcular.


En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se es-pera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lea en vozalta y, luego, puede preguntarles qué saben sobre las potencias, el cálculo de estasy la resolución de problemas.

Con las ideas que surjan a partir de los y las estudiantes puede hacer un esquemao mapa semántico en la pizarra; esto le permitirá obtener información respecto desus conocimientos previos y, a la vez, les permitirá recordar los conceptos trabaja-dos en años anteriores, los que les servirán para lograr los aprendizajes esperadosde esta Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL

Se recomienda que los alumnos y alumnas comenten la imagen y respondan pregun-tas como las siguientes:

• ¿Qué significa que el número de bacterias se duplica cada media hora?• ¿Cuál será la cantidad de bacterias al cabo de media hora?, ¿por qué?

Es conveniente que tenga más de una estrategia para resolver el problema; una deellas, con una tabla que muestre la cantidad de bacterias por período de tiempo(30 min), o bien, utilizando la función: y = 10 000 • 2x, donde x representa los pe-ríodos de tiempo, que son de media hora e y es la cantidad de bacterias (las fun-ciones se estudiarán más adelante); también podría explicar el crecimiento de lapoblación bacteriana utilizando un gráfico. Por ejemplo, si utiliza el procedimientocon tabla:

Para explorar los conocimientos de los y las estudiantes, puede realizar lassiguientes preguntas:

• ¿Qué enfermedades pueden causar las bacterias?• ¿Existen enfermedades mortales causadas por bacterias?, ¿cuáles?• ¿Para qué se utilizan los antibióticos?



¿Cuánto sabes?

1. Escribe como potencia los siguientes enunciados.

a) Tres elevado a dos. d) Tres cuartos al cuadrado.b) Siete elevado a seis. e) Cinco al cubo.c) Cuatro décimos elevado a cuatro. f) Dos tercios elevado a cinco.

2. Escribe el desarrollo de cada potencia.

a) 52 c) 183 e) 28

b) � �4

d) (0,2)5 f) (1,3)2

3. Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula su valor.

a) 34 d) (0,4)2 g) 26

b) 153 e) � �4

h) 252

c) (0,3)3 f) 64 i) � �5

4. Completa el exponente de cada potencia para que la igualdad sea verdadera.

a) 2 = 32 c) 26 = 1 e) � � =

b) 11 = 161 051 d) 0,1 = 0,0001 f) 3 = 243

5. Un grupo de 10 amigos organiza una campaña solidaria con el fin derecaudar dinero para un hogar de ancianos. Para ello, cada uno dona $ 500el primer día y, a su vez, se comprometen a que cada uno pedirá $ 500 aotras 10 amistades diferentes el segundo día, y que cada una de estaspersonas les pedirán $ 500 a otras 10 personas diferentes el tercer día, y así sucesivamente los siguientes días.

a) ¿Cuántas personas participaron en la campaña solidaria al finalizar elquinto día?; ¿cómo lo calculaste?

b) ¿Cuánto dinero recaudaron al finalizar el tercer día?, ¿y el séptimo día?;¿cómo lo calculaste?

38 Unidad 2

13

56

125216

49

25

Unidad 2

Potencias 39

• Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. En ella se reconocen la base y el exponente.En general:

an ; n es un número natural.

Se lee: “a elevado a n”.Ejemplo: 34, se lee “tres elevado a cuatro”.

• La base corresponde al factor que se repite; el exponente indica cuántas veces debe repetirsedicho factor.

• El valor de la potencia es el producto total que se obtiene al multiplicar la base por sí mismatantas veces como lo indica el exponente, es decir:

an = a • a • a • … • a = b

Ejemplo: 43 = 4 • 4 • 4 = 64(0,5)2 = 0,5 • 0,5 = 0,25

• Si la base de una potencia es 1, el valor de la potencia para cualquier exponente es 1.Si el exponente de una potencia es 1, el valor de la potencia es igual a la base.Si el exponente de una potencia es 0, el valor de la potencia es 1.En general: 1n = 1 a1 = a a0 = 1 con a = 0

• Para calcular el valor de una potencia cuya base es una fracción veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo: � �3

= • • = = =

Ejemplo: � �n

= • • • ... • = =


6. Un grupo scout formado por 120 personas, organizó una campaña para plantar árboles en 4 plazas de la ciudad. Si el grupo se dividióen 4 subgrupos y cada subgrupo debe plantar 4 árboles por plaza, ¿cuántos árboles plantarán en total?

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.

ab

23

23

33827

23

23

23

2 • 2 • 23 • 3 • 3

an

bnab

ab

ab

ab

a • a • a • ... ab • b • b • ... b

Base

Exponente

n factores

n veces

valor de la potencia

n veces

n veces




Esta evaluación diagnóstica es una herramienta útil para determinar los conocimientosprevios de los alumnos y alumnas; tiene como título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye lossiguientes criterios:

Ítem 1: representar como potencia expresiones en lenguaje natural.Ítem 2: representar como multiplicación una potencia.

Ítem 3: representar como multiplicación una potencia y calcular su valor.Ítem 4: analizar igualdades con potencias e identificar el exponente que falta.Ítem 5: resolver problemas que involucran potencias y justificar la estrategia empleada.Ítem 6: resolver un problema que involucra una potencia de base y exponente natural.



¿Cuánto sabes?Ítems 1 y 2: representar.Ítem 3: representar y calcular.Ítem 4: analizar e identificar.Ítem 5: analizar, resolver problemas, calcular y justificar.Ítem 6: analizar y calcular.


• En los ítems 1, 2 y 3, pueden confundir la base con el exponente. Es recomendablerecordar que el exponente indica la cantidad de veces que se repite el factor.

• En el ítem 4, la incógnita está en el exponente. Es conveniente que escriban el valorde la potencia, como potencia, pues de este modo encontrarán el exponente que

falta. Es una aproximación intuitiva a las ecuaciones exponenciales, que se estudia-rán en cursos posteriores.

• En el ítem 5, se pide la justificación de la estrategia empleada, lo que podría sercomplejo para el alumno o la alumna. Para ello, se recomienda que continua-mente justifiquen sus respuestas, como una forma de verificar que comprendenlo que están realizando y desarrollar en ellos habilidades comunicativas para argu-mentar, exponer ideas y opiniones bien fundamentadas.

• En el ítem 6, el número de personas podría ser un distractor para los y las estu-diantes. Si es necesario, sugiera que empleen diversas estrategias, como dibujos,o bien, un diagrama de árbol.

• Se sugiere corregir en conjunto con los y las estudiantes la sección ¿CUÁNTOSABES? y analizar los errores cometidos para corregirlos. De este modo, podrá evi-denciar los aprendizajes ya adquiridos por los alumnos y alumnas y los que aúnno se adquieren.




1Escribe correctamente las potenciascorrespondientes, agregando otrosejemplos pertinentes.

Escribe correctamente las potenciascorrespondientes, aplicando su definición.

Escribe erróneamente algunas de laspotencias, confundiendo la base con el exponente.

Escribe erróneamente todas laspotencias, confundiendo la base con el exponente.

2Escribe correctamente el desarrollo delas potencias, agregando otros ejemplos pertinentes.

Escribe correctamente el desarrollo delas potencias, aplicando la definiciónde potencia.

Escribe erróneamente el desarrollo dealgunas de las potencias, confundiendola base con el exponente.

Escribe erróneamente el desarrollo de todas las potencias, confundiendo la base con el exponente.

3

Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula correcta-mente las potencias, empleando unaestrategia mental.

Escribe como multiplicación de factoresiguales y calcula correctamente laspotencias, aplicando la definición de potencia.

Escribe como multiplicación de factoresiguales y calcula erróneamente algunade las potencias, confundiendo la basecon el exponente.

Escribe como multiplicación de factoresiguales y calcula erróneamente todas las potencias, confundiendo la base conel exponente.

4Identifica correctamente los expo-nentes, usando una estrategia mental.

Identifica correctamente losexponentes, aplicando la definiciónde potencia.

Identifica correctamente algunos delos exponentes, aplicando la definiciónde potencia.

Identifica erróneamente todos losexponentes, aplicando la definición de potencia.

5

Resuelve correctamente los problemasdados, indicando de forma detalladacada uno de sus pasos y justificando laestrategia empleada.

Resuelve correctamente los problemasdados, indicando de forma detalladacada uno de sus pasos sin justificar laestrategia empleada.

Resuelve erróneamente uno de losproblemas dados, calculando de formaincorrecta y sin responder todas laspreguntas planteadas en cada uno de ellos.

Resuelve erróneamente cada uno de losproblemas dados, calculando de formaincorrecta, sin responder todas las pre-guntas planteadas en cada uno de ellos,y no justifica la estrategia empleada.

6Resuelve correctamente el problema,indicando detalladamente los pasos de resolución.

Resuelve correctamente el problema;no indica todos los pasos de resolución.

Resuelve erróneamente el problema,calculando de forma incorrecta la potencia.

Resuelve erróneamente el problema,confundiendo la base con el exponenteal calcular.


Para discutir

40 Unidad 2

• ¿Cuántos menús diferentes se pueden escoger?; ¿cómo lo calculaste?• Para determinar cuántas alternativas de menús hay, se puede

calcular el producto de 3 • 3 • 3 • 3 • 3, ¿por qué?, ¿cómo se escribeen forma abreviada?, ¿cuál es la base?, ¿y el exponente?

• Si en una multiplicación de factores iguales el factor que se repitees un número negativo, ¿cómo lo escribirías en forma de potencia?,¿por qué?

• ¿Cómo escribirías en forma abreviada (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3)?;¿cuál es el resultado?, ¿por qué?

En la situación anterior, cada una de las 5 partes que conforman elmenú tiene 3 opciones. Una forma de determinar cuántos menúsdiferentes se pueden escoger es calculando: 3 • 3 • 3 • 3 • 3.

Como 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243, entonces hay 243 opciones para escoger.Verifica con un diagrama de árbol.

Observa que la multiplicación anterior tiene 5 factores iguales, loque se puede escribir en forma abreviada como 35.

Luego, 35 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243.

En una multiplicación de factores iguales, si estos son negativos,como (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3), que tiene 5 factores iguales, alescribir como potencia, queda (–3)5.

Al calcular (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3), obtenemos: (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3) = –243.

Como (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3) = (–3)5, tenemos que (–3)5 = –243.

Potencias de base entera y exponentenatural

En un restaurante se ofrece un menú a elección a la hora dealmuerzo, que incluye: entrada, plato de fondo, agregado, postre y algo para beber. Las alternativas para la selección del menú semuestran en la carta.

• Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales; en ella se reconocen la base y el exponente.

No olvides que...

Potencias 41

Actividades

1. Escribe como potencia los siguientes enunciados.

a) Tres al cuadrado. d) Diez elevado a once.b) Menos cinco elevado a cuatro. e) Menos quince elevado a ocho.c) Menos seis al cubo. f) Tres elevado a tres.

2. Escribe como multiplicación de factores iguales cada potencia y calcula su valor.

a) 54 b) (–6)5 c) (–10)6 d) 73 e) (–14)3 f) (–2)8

3. Completa con el exponente que falta para que la igualdad sea verdadera.

a) (–4) = 256 c) 8 = 512 e) (–2) = –32

b) (–1) = –1 d) (–10) = 1 000 000 f) 9 = 81



a) ¿obtienes los mismos resultados al calcular (a + b)2 y a2 + b2?, ¿por qué?b) ¿obtienes los mismos resultados al calcular (a – b)2 y a2 – b2?, ¿por qué?c) ¿crees que siempre ocurre lo mismo?, ¿existirán casos en que los resultados sean iguales? Explica.

Unidad 2

a b (a + b)2 a2 + b2 (a – b)2 a2 – b2

2 2

–2 3

–4 –6

2 5

• El valor de la potencia se obtiene de la siguiente manera:

an = a • a • a • … • a = b

Ejemplo: 73 = 7 • 7 • 7 = 343 (–7)3 = (–7) • (–7) • (–7) = –343La potencia del ejemplo, (–7)3, se lee: “menos siete elevado a tres” o “menos siete al cubo”.

n factores valor de la potencia




• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de poten-cias de base entera y exponente natural […].


Para discutirÍtem 1: calcular y justificar.Ítem 2: representar y analizar.Ítem 3: analizar, representar y justificar.Ítem 4: representar, calcular y justificar.


Se lee PotenciaMultiplicación defactores iguales

Valor de lapotencia

Menos cuatro elevado a tres

–32

(–7) • (–7) • (–7) • (–7) • (–7)

27

a b (a + b)2 a2 + b2 (a – b)2 a2 – b2

3 –2

–4 3

–2 –5

1 –1

ActividadesÍtem 1: representar.Ítem 2: representar y calcular.Ítem 3: analizar e identificar.Ítem 4: evaluar, calcular, analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a ampliar el concepto de potencia a los números negativos, es decir,a las potencias de base entera y exponente natural. Esta actividad pretende que elalumno o alumna relacione sus conocimientos previos, asociados a las potencias debase y exponente natural, y los utilice para calcular y escribir potencias de base enteray exponente natural. Además, aplicarán lo aprendido en la Unidad 1 sobre multipli-cación de números enteros.


• Antes de comenzar el ítem 1, pregunte a los alumnos y alumnas cómo se escribiríanen forma de potencia algunas multiplicaciones de factores iguales y, luego, pídales quelas resuelvan. Las multiplicaciones podrían ser: 2 • 2 • 2 y 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5. Permítalesque comparen las respuestas obtenidas.

• En el ítem 2, puede pedir a los y las estudiantes que comparen los valores de las po-tencias con el resto de sus compañeros y compañeras y, luego, determinar cuál es lasolución correcta en cada caso.

• En el ítem 3, al no tratarse de un cálculo de potencias propiamente tal, sino que,deben encontrar el exponente, podrían confundirse. Es conveniente que es-criban el valor de la potencia, como potencia, para encontrar el exponente quefalta. Es una aproximación intuitiva a las ecuaciones exponenciales, que se es-tudiarán en cursos posteriores.

• En el ítem 4, guíe a los alumnos y alumnas para que puedan dar respuesta a las pre-guntas planteadas mostrando, si es necesario, algunos ejemplos concretos. Luego,comparen las respuestas en conjunto para llegar a una puesta en común.


• Recuerde a los y las estudiantes el diagrama de árbol, pues les servirá para resolverla situación inicial propuesta u otras similares; incluso su utilidad va más allá delas potencias; servirá para las probabilidades, más adelante.

Podría hacer una parte del diagrama de árbol en la pizarra, para que los alum-nos y alumnas lo terminen en sus cuadernos. Por ejemplo:


Menú

• Destaque la diferencia entre casos como: –42 y (–4)2, pues –42 = –16 y (–4)2 = 16.Para generalizar, puede escribir: Si a es un número natural y b es un número natu-ral y par, entonces:

–ab ≠ (–a)b


De refuerzo


(Habilidades que desarrolla: interpretar, representar, aplicar y calcular).

De profundización


(Habilidades que desarrolla: evaluar y calcular).


crema

consomé

ensalada

pescadocarne pollo

pescadocarne pollo

pescadocarne pollo


42 Unidad 2

Valor de la potencia

Observa los cálculos realizados por Felipe para cada potencia:

32 = 3 • 3 = 9 (–3)2 = (–3) • (–3) = 9

33 = 3 • 3 • 3 = 27 (–3)3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27

En la situación anterior, podemos observar que el resultado puedeser positivo o negativo, dependiendo de la base y exponente de la potencia.

Si la base es positiva, el resultado siempre será positivo, pues losfactores que se multiplican son positivos (e iguales), como:

32 = 3 • 3 = 9 ó 33 = 3 • 3 • 3 = 27

Si la base es negativa, el resultado puede ser positivo o negativo,dependiendo del exponente:

Cuando es par, el resultado será positivo, pues la cantidad defactores es par, como:

(–3)2 = (–3) • (–3) = 9(dos números negativos)

Cuando es impar, el resultado será negativo, pues la cantidad defactores es impar, como:

(–3)3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27(tres números negativos)

Para discutir

• ¿Por qué uno de los resultados obtenidos por Felipe esnegativo?, ¿qué relación tiene con la base y el exponente?

• Si la base de la potencia es negativa, ¿por qué los resultadospueden ser positivos o negativos?, ¿de qué depende?

• Si el exponente de una potencia es impar, ¿el resultado esnegativo?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué?

• Si la base de la potencia es positiva, ¿el resultado puede sernegativo?, ¿por qué?

Potencias 43

Unidad 2

Actividades

1. Calcula mentalmente el valor de cada potencia y escribe el resultado.

a) (–4)2 = c) 33 = e) (–10)9 = g) (–1)15 =b) (–5)3 = d) 24 = f) 122 = h) (–12)2 =


a) Los valores de las potencias de exponente par son siempre positivos.b) Si el valor de la potencia es un número natural, el exponente de la potencia es siempre impar.c) Si la base de una potencia es un número negativo, el valor de la potencia también lo es.d) Los valores de las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

3. Compara los resultados en cada caso y completa con <, > o =, según corresponda.

a) 23 (–2)2 c) (–1)10 70 e) (–1)6 (–2)1

b) 54 (–5)4 d) (–4)3 (–4)2 f) (–100)4 100

En las calculadoras científicas la tecla o la tecla , dependiendo de la calculadora, se usan

para elevar un número a cualquier exponente. Si la base es un número negativo, utiliza paréntesis

y la tecla . Ejemplo:

(–4)6 4096 o

(–4)6 4096

Utiliza la calculadora para verificar tus respuestas de los ítems 1 y 3.


• En una potencia que tiene como base un número entero positivo y como exponente unnúmero natural, el resultado es siempre positivo. Ejemplo: 23 = 2 • 2 • 2 = 8.

• En una potencia que tiene como base un número entero negativo, el resultado es:– positivo, si el exponente es un número natural par. Ejemplo: (–2)2 = (–2) • (–2) = 4– negativo, si el exponente es un número natural impar. Ejemplo: (–2)3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8

No olvides que...

xy

xy

�

�

�

�

(–)

(–) 4 6 =

^� �(–) 4 6 =

^




• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de poten-cias de base entera y exponente natural […].


Para discutirÍtems 1 y 2: analizar y justificar.Ítem 3: analizar, generalizar y justificar.Ítem 4: analizar y justificar.


ActividadesÍtem 1: calcular.Ítem 2: analizar y justificar.Ítem 3: calcular y clasificar.

Herramientas tecnológicasUsar herramientas y verificar.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter explorato-rio y están orientadas a emplear estrategias de cálculo mental y escrito en el uso depotencias de base entera y exponente natural. Esta actividad pretende que el alumnoo alumna generalice respecto de la relación del exponente con el signo del valor dela potencia, cuando estas tienen base entera.


• En el ítem 1, si algunos alumnos o alumnas no pueden realizar el cálculo mental,permítales que escriban las potencias como multiplicaciones de factores igualesy, luego, calculen.

• En el ítem 2, puede perdirles a los y las estudiantes que expliquen sus estrategiasempleadas al resto del curso; cómo determinaron si las expresiones son o no ver-daderas, promueva el debate entre los alumnos y alumnas. Si es necesario, sugie-ra que evalúen casos particulares, por ejemplo, en la primera afirmación, podríananalizar a partir de: 24 = 16 y (–2)4 = 16.

• En el ítem 3, pregunte a los alumnos y alumnas si pueden comparar las potenciassin calcular su valor, solo analizando cada una, para favorecer el cálculo mental.Luego, pregunte cómo lo hicieron y, si es necesario, escriba más ejercicios de estetipo en la pizarra.


Recuerde a los alumnos y alumnas la diferencia entre adición de sumandos iguales(estudiada en la Unidad 1) y multiplicación de factores iguales. Puede utilizar lossiguientes ejemplos:

a) 2 + 2 + 2 + 2 = 2 • 4 = 8 b) 2 • 2 • 2 • 2 = 24 = 16

Para gereralizar en estos casos, puede mencionar que, si a es un número entero y bun número natural, entonces:

a • b ≠ ab


(–3)2

33

(–3)3

34

(–2)3

–8

9

–27

81

27

Base Exponente Potencia Valor de la potencia

–2 64

2 121

5 –243

–4 256

–5 –125


De refuerzo

1. Calcula el valor de cada potencia y, luego, ordena los valores obtenidos enorden creciente.

a) 42 =b) (–1)10 =c) (–2)7 =d) (–2)2 =e) (–11)3 =f) 1003 =

2. Une cada potencia con el valor correcto.

(Habilidades que desarrollan: calcular, ordenar y relacionar).

De profundización


(Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y calcular).


44 Unidad 2

Multiplicación de potencias de igual base

Carolina desea calcular el área del rectángulo de la figura. Observa:

En la situación anterior, para calcular el área del rectángulo semultiplica el largo por el ancho, es decir: 8 • 16 = 128. Entonces, el área del rectángulo es 128 cm2.

Como 8 = 23, 16 = 24 y 128 = 27, podemos escribir el cálculo anteriorutilizando potencias, es decir:

23 • 24 = (2 • 2 • 2) • (2 • 2 • 2 • 2) = 27 = 128

Al observar lo anterior, podemos notar que al multiplicarpotencias de igual base (positiva), se puede conservar la base ysumar los exponentes.

¿Sucederá lo mismo si la base de las potencias es negativa, como(–2)3 • (–2)4?Realizamos la multiplicación de las potencias:

= (–2)7 = –128

Luego, al multiplicar potencias de igual base (negativa), se puedeconservar la base y sumar los exponentes.

Para discutir

• ¿Cómo calcularías el área del rectángulo?, ¿por qué?• Carolina calcula el área de la siguiente manera: 23 • 24 = 27.

¿Consideras correcto el cálculo realizado?, ¿por qué?• ¿Se relacionan los exponentes de los factores y el exponente del

resultado?, ¿cuál es la relación?• Si las bases de los factores fueran números negativos, ¿los

exponentes se relacionarán de la misma forma anterior?, ¿por qué?

16 cm

8 cm

3 factores 4 factores 7 factores

( –2)3 • (–2)4 = (–2 • –2 • –2) • (–2 • –2 • –2 • –2) = –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2


Ayuda

En algunas ocasiones losnúmeros negativos aparecenescritos entre paréntesis, sinembargo, también se puedenescribir sin estos. Ejemplo:(–2) • (–2) = –2 • –2

Pero al trabajar con potenciasde base negativa, siempreconviene escribir los númerosnegativos entre paréntesis. De este modo podemosdistinguir si el signo negativocorresponde a la base o bien,al valor de la potencia.

Unidad 2

Actividades

1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor.

a) 4 • 42 • 43 = c) (–5)3 • (–5�2 = e) (–1)2 • (–1)3 • (–1)5 =b) 103 • 106 = d) 2 • 2 • 2 • 22 = f) (–6)2 • (–6)5 • (–6) =

2. Encuentra el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades.

a) (–3) • (–3)4 = (–3)9 c) 113 • 11 = 1112

b) (–2�2 • (–2) • (–2)5 = (–2)10 d) (–10) • (–10) • (–10)2 = (–10)4

3. Transforma a potencias de igual base y, luego, expresa el resultado como una sola potencia.Guíate por el siguiente ejemplo: 9 • (–27) = (–3)2 • (–3)3 = (–3)5

a) 25 • (–125) = b) 8 • 16 • 64 = c) 64 • (–8) • 16 =

4. Aplica la propiedad de las potencias que corresponde y resuelve.

a) 24 • 23 – 5 • 52 = b) (–3)2 • (–3)3 + 2 • 22 = c) (–2)3 • (–2)2 + (–1)5 • (–1)4 =

5. Lee y resuelve usando las potencias.

a) Una empresa inmobiliaria construirá 4 edificios. Cada edificio tendrá 16 pisos y cada piso tendrá 8 departamentos. ¿Cuántos departamentos habrá en total?

b) Las bailarinas de un grupo folclórico deben elegir la tenida para una de sus presentaciones.Las alternativas son: 3 pañuelos, 9 zapatos de distintos colores, 9 faldas y 27 blusas.¿Cuántas tenidas distintas pueden escoger?

Potencias 45

• Para multiplicar potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual base, se puedeconservar la base y sumar los exponentes.

Ejemplo: (–3)2 • (–3)4 = (–3)2 + 4 = (–3)6 = 729

En general: Si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces:

an• am = (a • a • … • a) • (a • a • … • a) = a • a • a • … • a = an + m

• Esta propiedad también es aplicable al producto de tres o más potencias de igual base.Ejemplo: 22 • 23 • 24 = 22 + 3 + 4 = 29 = 512

No olvides que...

n factores m factores n + m factores




• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de poten-cias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedadesrelativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y expo-nente natural, […].


Para discutirÍtem 1: formular y justificar.Ítems 2 y 3: analizar y justificar.Ítem 4: representar, analizar y justificar.


ActividadesÍtem 1: aplicar y calcular.Ítem 2: reconocer.Ítem 3: representar y aplicar.Ítem 4: aplicar y calcular.Ítem 5: analizar, aplicar y calcular.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; cuando semultiplican potencias de igual base. Esta actividad pretende que el alumno o alumnaaplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, queanalice si se puede ampliar a potencias de base entera negativa y exponente natural.


• Antes de comenzar el ítem 1, se sugiere que plantee a los y las estudiantes expre-siones con potencias de base y exponente natural, pues, a partir de susconocimientos previos, podrán integrar el conocimiento nuevo.

• En el ítem 2, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos, losalumnos y las alumnas pueden utilizar calculadora científica para calcular el valorde cada potencia.

• En el ítem 3, recuerde que si el valor de la potencia es positivo, la base puede serpositiva o negativa; si se trata de este último caso, el exponente es par, como en:25 • (–125) = (–5)2 • (–5)3 = (–5)5.

• En el ítem 4, mencione a los alumnos y alumnas que la propiedad de potenciasestudiada se aplica en la multiplicación de potencias de igual base, y no en laadición de potencias de igual base. Por ejemplo: 22 + 23 ≠ 22 • 23, pues22 + 23 = 4 + 8 = 12 y 22 • 23 = 25 = 32.

• En el ítem 5, mencione a los alumnos y alumnas que las situaciones se podríanresolver empleando otros procedimientos, como el diagrama de árbol, pero queen casos como estos, es más conveniente usar potencias y sus propiedades parafacilitar los cálculos.


Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desa-rrolle casos particulares en la pizarrra, paso a paso, con potencias de igual base paraexplicar dicha propiedad. Por ejemplo:

52 • 53 = (5 • 5) • (5 • 5 • 5) = 55 = 52 + 3

(–7)4 • (–7)2 = (–7 • –7 • –7 • –7) • (–7 • –7) = (–7)6 = (–7)4 + 2


De refuerzo

1. Escribe cada multiplicación como una sola potencia.

a) 3 • 35 • 33 =

b) (–10)3 • (–10)5 • (–10)4 =

c) (–9)6 • (–9)9 • (–9)5 =

d) 114 • 119 =

2. Transforma a potencias de igual base y, luego, expresa el resultado como unasola potencia.

a) 64 • (–512) =

b) 10 • 100 • 10 000 =

c) 64 • (–32) • 16 =

d) (–216) • 36 =

(Habilidades que desarrollan: representar, aplicar y calcular).

De profundización

1. Determina el valor de x para se cumpla cada igualdad.

a) 4x • 42 = 4096

b) 5 • 5x • 52 = 3125

c) (–2)3 • (–2)x = –128

d) (–3)x • (–3)3 = 729

e) (–2)4 • (–2)3 • (–2)x = 256

f) (–6)x • (–6) = –216

(Habilidades que desarrolla: aplicar, identificar y calcular).



46 Unidad 2

División de potencias de igual base

Un agricultor desea cultivar lechugas en un terreno rectangular de área 4096 m2 y ancho 128 m. Para organizar el cultivo, necesita saber el largo del terreno.

Para discutir

• ¿Es adecuado calcular el largo del terreno de la siguiente manera:4096 : 128 = 32?, ¿por qué?

• Si escribes los números de la división anterior como potencias debases iguales, ¿cómo se relacionan los exponentes?

• Si las bases de las potencias fueran números negativos, ¿cómo serelacionarían los exponentes?

Ayuda

• Las fracciones se puedenrepresentar de diversasformas. Una de ellas esescribir la expresiónfraccionaria como unadivisión.

Por ejemplo: se puede

escribir como 2 : 3.

• Simplificar una fracciónconsiste en dividir elnumerador y denominadorpor un mismo número. Por ejemplo:

Para saber cuánto mide el largo del terreno, podemos calcular 4096 : 128 = 32. Por lo tanto, el largo mide 32 m.

Como 4096 = 212, 128 = 27 y 32 = 25, podemos escribir la divisiónanterior utilizando potencias de igual base, esto es:

212 : 27 = =

= 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25 = 32

Al observar lo anterior, podemos notar que al dividir potencias de igual base (positiva), se puede conservar la base y restar los exponentes.

¿Sucederá lo mismo en (–2)12 : (–2)7? Al escribir la expresión como fracción, obtenemos:

=

= –2 • –2 • –2 • –2 • –2 = (–2)5 = –32

Luego, al dividir potencias de igual base (negativa), se puedeconservar la base y restar los exponentes.

212

27

23

1236

13

2 • 2 • 32 • 2 • 3 • 3

2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 22 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2

–2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2–2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2

= =

12 factores

12 factores

7 factores

5 factores

7 factores

5 factores

(–2)12

(–2)7

4096 dividido en 128,resulta 32.

Potencias 47

Unidad 2

1. Resuelve las siguientes divisiones de potencias. Guíate por el ejemplo.

(–4)5 : (–4)3 = (–4)2 = 16

a) (–10)8 : (–10)2 = c) 66 : 65 = e) (–81)12 : (–81)12 =b) (–5)4 : (–5) = d) (–12)20 : (–12)18 = f) 73 : 7 =

• Calcula cada potencia usando calculadora científica, luego divide y comprueba los resultadosobtenidos anteriormente.

2. Completa con el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades.

a) 7 : 74 = 76 b) 87 : 8 = 82 c) (–2)5 : (–2) = (–2)2

3. Transforma a potencias de igual base y expresa el resultado como una única potencia.

a) (–125) : 25 b) 216 : 36 c) 64 : (–8)

4. Si ambos rectángulos, el amarillo y el azul tienen la misma área, ¿cuánto mide el largo (x) del rectángulo amarillo?

• Para dividir potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual base, se puedeconservar la base y restar los exponentes.

Ejemplo: (–5)4 : (–5)2 = (–5)4 – 2 = (–5)2 = 25

En general:

Si a es un número entero distinto de cero, n y m son números naturales y n > m, se tiene:

an : am = = = an – m

• Si n = m y a es distinto de cero, entonces: an : am = = = an – n = a0 = 1Por ejemplo: 23 : 23 = 23 – 3 = 20 = 1

No olvides que...

an

am

an

aman

an

a • a • ... • a • a • ... • aa • a • ... • a

Actividades

23 cm22 cm

24 cmx cm

m factores

m factores

n – m factores






Para discutirÍtem 1: calcular y justificar.Ítem 2: representar y relacionar.Ítem 3: analizar y justificar.


para explicar dicha propiedad. Además, destaque que una división también puedeescribirse como fracción. Por ejemplo:

55 : 52 = 53 = 55 – 2

• Mencione que en este curso aplicarán la propiedad solo cuando el exponente deldividendo es mayor que el exponente del divisor. La ampliación a potencias debase racional y exponente entero la estudiarán en 1º Medio. Por ejemplo:


De refuerzo


a) 37 : 33 =

b) (–11)7 : (–11)4 =

c) 125 : 125 =

d) (–8)10 : (–8)8 =

2. Resuelve las siguientes divisiones, usando las potencias y la propiedad aprendida.

a) 1000 : 102 =

b) 64 : (–32) =

c) 81 : (–9) =

d) (–216) : 36 =

(Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular).

De profundización

1. Determina el valor de x, en cada caso, para que se cumplan las igualdades.

a) 54 : 5x = 25

b) (–2)8 : (–2)x = –32

c) (–10)x : (–10)4 = 1000 000

d) 83 : 8x = 64

e) (–2)x : (–2)5 = –8

f) (–2)x : (–2)5 = 16

(Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular).

5

5

5 5 5 5 55 5

5

2 = =i i i i

i


ActividadesÍtem 1: aplicar, calcular y usar herramientas.Ítem 2: analizar e identificar.Ítem 3: representar y aplicar.Ítem 4: interpretar, aplicar y calcular.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; cuando sedividen potencias de igual base. Esta actividad pretende que el alumno o alumnaaplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, queanalice si se puede ampliar a potencias de base entera negativa y exponente natural.


• En el ítem 1, los y las estudiantes deben comprobar los resultados obtenidos usando calculadora científica. Para calcular usando dicha herramienta teconoló-gica, deben calcular el valor de cada potencia con la calculadora y, luego, dividirestos valores.

• En el ítem 2, los alumnos y alumnas pueden verificar usando calculadora cientí-fica; puede enseñarles a ingresar la expresión completa en la calculadora, en vezde calcular el valor de cada potencia una a una. Debe ingresar la expresión de lasiguiente forma:

No olvide que si la potencia tiene base negativa, debe usar los paréntesis de la calculadora.

• En el ítem 3, es conveniente que recuerde a los y las estudiantes que si el valor dela potencia es positivo, la potencia puede ser de base negativa con exponente par.Por ejemplo: 25 = (–5)2.

• En el ítem 4, deben calcular el área de los rectángulos; para ello, recuerde que elárea de un rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho. Además, paracalcular el área del rectángulo azul debe aplicar la propiedad estudiada anterior-mente, es decir:

24 • 23 = 27


• Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que de-sarrolle casos particulares en la pizarrra, paso a paso, con potencias de igual base

7 ∧ 10 ÷ 7 ∧ 4 =

� �2

: � �4

= � �2 – 4

= � �–21

212

12

12


48 Unidad 2

Ayuda

Recuerda que un paralelepípedoes un prisma que tiene sus caras basales cuadradas orectangulares.

Para discutir

• ¿Cómo calcularías el volumen del paralelepípedo?• Si escribes las medidas como potencias, ¿puedes calcular el

volumen de otra manera?, ¿cómo lo harías?• Al calcular (2 • 3 • 4)3, ¿obtienes el mismo resultado que

calculaste al principio?, ¿por qué?• Si en la multiplicación de potencias una de las bases fuera un

número negativo, por ejemplo (–2)3 • 33 • 43, ¿obtienes el mismoresultado que al calcular �(–2) • 3 • 4� 3?, ¿por qué?

Multiplicación de potencias de igualexponente

El paralelepípedo de la figura tiene las siguientes medidas: 8 cm de ancho, 27 cm de largo y 64 cm de alto.

Para saber cuál es el volumen del paralelepípedo de la figura,debemos multiplicar el ancho por el largo por el alto, es decir, 8 • 27 • 64 = 13 824. Por lo tanto, el volumen es 13 824 cm3.

Como 8 = 23, 27 = 33, 64 = 43 y 13 824 = 243, podemos realizar elcálculo anterior usando potencias, esto es:

23 • 33 • 43 = (2 • 2 • 2) • (3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4)

= (2 • 3 • 4) • (2 • 3 • 4) • (2 • 3 • 4) = (2 • 3 • 4)3 = 243

Luego: 23 • 33 • 43 = (2 • 3 • 4)3 = 243 = 13 824.

¿Qué sucederá en la multiplicación de potencias con igual exponentesi alguna de las bases es un número negativo?

Consideremos el siguiente caso:

(–2)3 • 33 • 43 = �(–2) • (–2) • (–2)� • (3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4)= �(–2) • 3 • 4� • � (–2) • 3 • 4� • �(–2) • 3 • 4� = �(–2) • 3 • 4� 3 = (–24)3

Luego: (–2)3 • 33 • 43 = �(–2) • 3 • 4� 3 = (–24)3 = –13 824.

Si observas lo realizado anteriormente, podemos concluir que, almultiplicar potencias con igual exponente, podemos multiplicar lasbases y conservar el exponente.

3 factores

3 factores

3 factores

3 factores

3 factores 3 factores


Potencias 49

Unidad 2

Actividades

1. Escribe cada expresión como una sola potencia.

a) 34 • 44 = c) 26 • (–5)6 = e) (–6)7 • 117 =b) (–2)8 • (–7)8 = d) 43 • 53 • 63 = f) (–3)2 • (–4)2 • (–2)2 =

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo.

(–3)2 • 52 = �(–3) • 5� 2 = (–15)2 = 225

a) 54 • (–2)4 = b) (–10)5 • (–2)5 = c) 22 • 22 • 32 = d) (–25)3 • 43 =

3. Al calcular: (–5)3 • (–5)3, ¿obtienes los mismos resultados si lo resuelves de la siguiente manera:(–5)3 + 3, o bien: �(–5) • (–5)� 3?, ¿por qué?

4. Completa y resuelve en cada caso.

a) b)

Área = • = = cm2 Volumen = • • = = cm3

• Para multiplicar potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual exponente, se pueden multiplicar las bases y conservar el exponente.

Ejemplo: (–2)2 • 52 = �(–2) • 5� 2 = (–10)2 = 100

En general:

Si a y b son números enteros y n es un número natural, entonces:

an• bn = (a • a • … • a) • (b • b • … • b) = (a • b) • (a • b) • … • (a • b) = (a • b)n

• Como vimos al inicio, esta propiedad también es aplicable al producto de tres o máspotencias de igual exponente.

Ejemplo: (–2)3 • (–4)3 • (–5)3 = �(–2) • (–4) • (–5)� 3 = (–40)3 = –64 000

No olvides que...

42 cm

43 cm

53 cm

32 cm

22 cm

n factores n factores n factores






Para discutirÍtem 1: analizar. Ítem 2: representar y conectar.Ítem 3: calcular y conectar.Ítem 4: calcular, reconocer y justificar.


ActividadesÍtem 1: aplicar.Ítem 2: aplicar y calcular.Ítem 3: calcular y analizar.Ítem 4: interpretar, aplicar y calcular.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; cuando semultiplican potencias de igual exponente. Esta actividad pretende que el alumno oalumna aplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego,que analice si se puede ampliar a potencias de base entera y exponente natural.

Es conveniente que antes de analizar la actividad inicial, recuerde que para calcular elvolumen de un paralelepípedo se multiplica el ancho por el largo por el alto. Por otrolado, recuerde que la multiplicación entre dos números enteros es conmutativa, esdecir, (2 • 2) • (3 • 3) = (2 • 3) • (2 • 3).


• En el ítem 1, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos al aplicarla propiedad estudiada, pídales a los y las estudiantes que resuelvan paso a pasocada expresión, sin aplicar la propiedad. Por ejemplo:

34 • 44 = (3 • 3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4 • 4) = (3 • 4) • (3 • 4) • (3 • 4) • (3 • 4) = (3 • 4)4 = 124

• En el ítem 2, sería conveniente que los y las estudiantes verifiquen que losresultados obtenidos son correctos, usando calculadora científica. Para calcular,usando dicha herramienta teconológica, deben calcular el valor de cada poten-cia con la calculadora y, luego, multiplicar los valores obtenidos.

• En el ítem 3, pregunte a los alumnos y alumnas la estrategia empleada para res-ponder; discutan al respecto para hacer una puesta en común. En los casos en que las bases son iguales y los exponentes también lo son, sepueden aplicar ambas propiedades, pues, si a es un número entero y n un númeronatural, entonces:

ab • ab = ab + b = a2b (multiplicación de potencias de igual base)

ab • ab = (a • a)b = (a2)b

= a2b (multiplicación de potencias de igual exponente)

• En el ítem 4, deben calcular el área y volumen del rectángulo y prisma recto, res-pectivamente; para ello, recuerde que el área de un rectángulo se calcula multi-plicando el largo por el ancho y el volumen multiplicando el ancho por el largopor el alto.


• Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desarro-lle casos particulares en la pizarra, paso a paso, con potencias de igual exponente paraexplicar dicha propiedad. Por ejemplo:

a) 72 • 52 = (7 • 7) • (5 • 5) = (7 • 5) • (7 • 5) = (7 • 5)2 = 352

b) (–2)3 • (–5)3 = (–2 • –2 • –2) • (–5 • –5 • –5)= (–2 • –5) • (–2 • –5) • (–2 • –5) = (–2 • –5)3 = 103

• Es importante recordar que un prisma es un poliedro que tiene dos caras basalesparalelas e iguales y sus caras laterales son paralelógramos. La línea que se formaal intersectarse dos caras es una arista. Los puntos donde concurren tres aristasse llaman vértices. Los prismas rectos son aquellos en que sus caras basales sonperpendiculares a sus caras laterales.


De refuerzo


a) 27 • 37 =

b) (–11)5 • (–10)5 =

c) 125 • 125 =

d) (–10)10 • (–1)10 =

2. Resuelve las siguientes multiplicaciones usando las potencias y la propiedad aprendida.

a) 1000 • 53 =

b) 64 • 36 =

c) 92 • 16 =

d) (–216) • (–2)3 =


De profundización

1. Determina el valor de x en cada caso, para que se cumplan las igualdades.

a) 54 • x4 = 10 000

b) (–2)3 • x3 = –216

c) x2 • (–6)2 = 3600

d) 23 • x3 = 64




50 Unidad 2

División de potencias de igualexponente

Don Luis, un jardinero, desea poner pasto en un parque de formarectangular, cuyo ancho mide 49 m. Para ello, calculó el área delterreno, obteniendo 3136 m2.

(–56)2 : 72 = = = � � • � � = � �2

= (–56 : 7)2 = (–8)2

Para discutir

• ¿Cuánto mide el largo del parque?, ¿cómo lo calculaste?• Si escribes los números como potencias, ¿cómo calcularías?• ¿Qué relación tiene (56 : 7)2 con lo del principio?• Si en la división de potencias anterior una de las bases fuera un

número negativo, por ejemplo (–56)2 : 72, ¿obtienes el mismoresultado que al calcular �(–56) : 7�2

?, ¿por qué?

En la situación anterior, el área es 3136 m2 y el ancho mide 49 m,entonces para calcular el largo podemos realizar la siguiente división:3136 : 49 = 64. Por lo tanto, el largo mide 64 m.

Al escribir los números como potencias de igual exponente, tenemos:49 = 72, 3136 = 562 y 64 = 82. Luego, podemos realizar el cálculoanterior de la siguiente manera:

562 : 72 = = = � � • � � = � �2

= (56 : 7)2 = 82

Luego: 562 : 72 = (56 : 7)2 = 82 = 64.

¿Qué sucederá en la división de potencias de igual exponente si unade las potencias tiene como base un número negativo?Calculemos (–56)2 : 72, utilizando el mismo procedimiento anterior:

Entonces: (–56)2 : 72 = (–56 : 7)2 = (–8)2 = 64.

Si observas los cálculos anteriores, podemos concluir que, al dividirpotencias con igual exponente, podemos dividir las bases y conservarel exponente.

562

72567

567

567

56 • 56 7 • 7

(–56)2

72

–567

–567

–567

(–56) • (–56)7 • 7

2 factores

2 factores



¿49 • = 3136?

Potencias 51

Unidad 2

• Para dividir potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual exponente, se pueden dividir las bases y conservar el exponente.

Ejemplo: (–20)3 : (–5)3 = �(–20) : (–5)�3 = 43 = 64

En general:

Si a y b son números enteros, b es distinto de cero y n es un número natural, entonces:

an : bn = = = � � • � � • ... • � � = � �n

= (a : b)n

No olvides que...

a • a • ... • ab • b • ... • b

ab

ab

ab

ab

an

bn

Actividades

1. Escribe cada expresión como una sola potencia.

a) 1004 : (–25)4 = c) 816 : 96 = e) (–21)11 : 311 =b) (–36)9 : (–4)9 = d) (–96)3 : 123 = f) 487 : 67 =

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo.

(–18)3 : 93 = �(–18) : 9�3= (–2)3 = –8

a) 2252 : (–25)2 = c) (–200)5 : (–2)5 =b) (–24)3 : 33 = d) 154 : 54 =

3. Calcula aplicando lo aprendido hasta ahora y ten en cuenta la prioridad de las operaciones.

a) 162 : (–8)2 + �–2)3 = b) 42 : 42 – 153 : 53 = c) (–36)2 : 92 + 32 • 42 =

4. En un restaurante se ofrece, a la hora de colación, un menú con plato de fondo y postre. Si hay 4 opciones de postre y en total se pueden escoger 36 menús diferentes, ¿cuántos platos de fondo hay para escoger? Usa potencias para resolver.

5. El equipo de básquetbol de un colegio debe elegir su tenida deportiva para el próximo año. Como propuesta tienen 64 combinaciones, que pueden formar con 16 poleras y una cantidad de pantalones. ¿Cuántos pantalones tienen para escoger? Usa potencias para resolver.

n factores

n factoresn factores




• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de poten-cias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedadesrelativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponentenatural, […].


Para discutirÍtem 1: calcular y justificar.Ítem 2: representar y calcular.Ítem 3: calcular y conectar.Ítem 4: calcular, reconocer y justificar.


ActividadesÍtem 1: aplicar.Ítems 2 y 3: aplicar y calcular.Ítems 4 y 5: resolver problemas, analizar, aplicar y calcular.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; cuando sedividen potencias de igual exponente. Esta actividad pretende que el alumno o alumnaaplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, queanalice si se puede ampliar a potencias de base entera y exponente natural.


• En el ítem 1, para verificar que la potencia obtenida es correcta al aplicar lapropiedad, pida a los alumnos y alumnas que resuelvan paso a paso las expresiones,sin aplicar la propiedad.

• En el ítem 2, sería conveniente que los y las estudiantes verifiquen que losresultados obtenidos son correctos usando calculadora científica. Para calcular usan-do dicha herramienta teconológica, deben determinar el valor de cada potenciacon la calculadora y, luego, dividir los valores obtenidos.

• En el ítem 3, se sugiere recordar a los y las estudiantes la prioridad de las ope-raciones, es decir, primero paréntesis, luego, multiplicación y división y, finalmente,adición y sustracción.

• En los ítems 4 y 5, una vez resueltos los problemas, pida a los alumnos y alumnasque verifiquen las soluciones obtenidas; para ello deberán aplicar una de laspropiedades de potencias estudiada en las páginas anteriores (multiplicación de po-tencias de igual exponente), o bien, las pueden verificar usando un diagrama de árbol.


• Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desarro-lle casos particulares en la pizarra, paso a paso, con potencias de igual exponentepara explicar dicha propiedad. Por ejemplo:

202 : 52 = = (20 : 5)2 = 42

(–12)3 : (–3)3 = = 43

20

5

20 205 5

205

205

205

2

2

2= = = ( )i

i i

−( )−( )

= − − −− − − = −12

312 12 12

3 3 3123

3i ii i −−

−−

−− = −

−( )3123

123

123

3i i


De refuerzo


a) 126 : 36 =

b) 1105 : (–10)5 =

c) 125 : 125 =

d) (–10)6 : (–1)6 =

2. Resuelve las siguientes divisiones usando las potencias y la propiedad aprendida.

a) 1000 : 53 =

b) –216 : 23 =

c) (–16)2 : 4 =

d) (–100 000) : (–2)5 =


De profundización


a) 104 : x4 = 625

b) (–12)3 : x3 = –27

c) x6 : 26 = 1 000 000

d) (–20)3 : x3 = –64




52 Unidad 2

Potencia de una potencia

Marcela y Patricio quieren calcular el volumen del cubo representadoen la imagen, cuya arista mide 25 cm. Observa el procedimientorealizado por cada uno:

Al calcular 1252 = 125 • 125 = 15 625 y 56 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 15 625.Por lo tanto, ambos procedimientos son correctos.

Consideremos el procedimiento de Marcela, que escribió (5 • 5 • 5)2,lo cual se puede escribir como (53)2, ya que hay 3 factores 5 elevadosa 2. Entonces, al calcular, tenemos:

(53)2 = (5 • 5 • 5�2 = �5 • 5 • 5� • �5 • 5 • 5� = 56

Luego, (53)2 = 56. Esta es otra forma de calcular el volumen.

Notemos que la expresión (53)2 es la potencia de una potencia, ya que su base corresponde a una potencia, en este caso 53.

Para calcular el valor de dicha potencia, podemos mantener la basey multiplicar los exponentes, es decir: (53)2 = 53 • 2 = 56.

En el caso de que la base sea negativa, tenemos:

�(–5)3�2 = �(–5) • (–5) • (–5)�2

= �(–5) • (–5) • (–5)� • �(–5) • (–5) • (–5)� = (–5)6

Por lo tanto: �(–5)3�2 = (–5)6 = 15 625.

Marcela Patricio

25 • 25 • 25 = 52 • 52 • 52

= (5 • 5 • 5)2 = 1252

V = 1252 cm3

25 • 25 • 25 = 52 • 52 • 52

= 52+2+2 = 56

V = 56 cm3

Para discutir

• ¿Son correctos ambos procedimientos?, ¿obtienes los mismosresultados en cada caso?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Podrías utilizar otro procedimiento usando potencias?, ¿cómo lo harías?

• Si encontraste otro procedimiento, ¿lo puedes aplicar parapotencias de base negativa?, ¿por qué?

3 factores

3 factores

6 factores

6 factores

Potencias 53

Unidad 2

• Para calcular el valor de la potencia de una potencia, basta con mantener la base ymultiplicar los exponentes.

Ejemplo: �(–2)3�3 = (–2)3 • 3 = (–2)9 = –512

En general:

Si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces:

(an)m = (a • a • … • a)m = (a • a • … • a) • (a • a • … • a) • … • (a • a • … • a) = an • m

• Esta propiedad también es aplicable a la potencia de una potencia de una potencia,

y así sucesivamente. Ejemplo: �(22)2�3

= 22 • 2 • 3 = 212

No olvides que...

Actividades

1. Si la arista de un cubo mide 9 cm, expresa como potencia:

a) el área de cada cara del cubo.b) el área total del cubo.c) el volumen del cubo.

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a) (32)4

= c) �(–3)2�2= e) �(22)

2�2

=

b) �(–2)3�3= d) ��(–1)35�2

= f) �(–5)2�4=

3. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad.

a) (35)3

= 3 c) �(22) �5 = 220

b) �(–7) �2

= (–7)10 d) �(–7)9�3 = (–7�

4. Escribe cada expresión como una sola potencia de base 2 ó (–2), según el caso, aplicando loaprendido. Guíate por el ejemplo.

(82 : 22)3

= (42)3

= 46 = (22)6

= 212

a) (163 : 23)4

= b) �(–12)5 : 65�3

= c) �(–2)2 • (–2)5�3

= d) �46 : 44�4

=

5. Si b es un número entero, x e y son números naturales, las expresiones (bx)y

y (by)x, ¿tienen el

mismo valor?, ¿por qué? Da dos ejemplos.

n factores a (n • m) factores a






Para discutirÍtem 1: evaluar y comprobar.Ítem 2: analizar y seleccionar.Ítem 3: calcular y conectar.


ActividadesÍtem 1: representar y aplicar.Ítem 2: aplicar y calcular.Ítem 3: aplicar e identificar.Ítem 4: aplicar y representar.Ítem 5: analizar, justificar y verificar.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorioy están orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; la poten-cia de una potencia. Esta actividad pretende que el alumno o alumna aplique dichapropiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, que analice si sepuede ampliar a potencias de base entera y exponente natural.


• Antes de comenzar el ítem 1, es conveniente recordar que un cubo es un prismaformado por 6 caras cuadradas e iguales. Dibuje un cubo en la pizarra y preguntea los y las estudiantes cuántos vértices y aristas tiene e identifíquelos.

• En el ítem 2, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos, permítalesa los alumnos y alumnas utilizar calculadora científica, calculando como multiplicación de factores iguales, por ejemplo, en la expresión (32)

4, calcular

3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3.

• En el ítem 3, para verificar que el exponente encontrado es correcto, pídales a losy las estudiantes que resuelvan paso a paso cada expresión y, luego, comparen elvalor obtenido al multiplicar los factores iguales con el valor de la potencia usandocalculadora científica.

• En el ítem 4, para comprobar los resultados obtenidos, es conveniente que los alum-nos y alumnas usen calculadora científica. Pueden calcular cada expresión sin aplicarlas propiedades de las potencias y, luego, calcular el valor de la potencia obtenida,por ejemplo: (82 : 22)

3= (64 : 4)3 = 163 = 4096 y 212 = 4096.

• En el ítem 5, pida a los y las estudiantes que expliquen al resto del curso la estrate-gia empleada para responder la pregunta. Escoja a algunos alumnos y alumnaspara que escriban sus ejemplos en la pizarra.


• Para evitar confusiones en los y las estudiantes, recuerde que un poliedro es uncuerpo geométrico cuyas caras son figuras planas. Un prisma es un poliedro quetiene dos caras basales paralelas e iguales y sus caras laterales son paralelogramos.El cubo es un prima recto.

• Sobre los prismas rectos es importante tener presente lo siguiente: si la base tienen lados, entonces el número de caras del prima es n + 2, el de aristas es 3n y elnúmero de vértices es 2n.

• El volumen de un cuerpo indica la medida que ocupa dicho cuerpo en el espacio.

• Recuerde que se deben igualar las unidades de medida antes de resolver un ejer-cicio o problema.

• El área de cada cara de un cubo cuya arista mide a, es igual a2.

• El área total de un cubo cuya arista mide a, es igual es 6 • a2.

• El volumen de un cubo cuya arista mide a, es igual a3.


De refuerzo


a) (42)4

= d) (–2)5�

2

=

b) [(–3)3]2

= e) �(–1)6 2�3

=

c) [(–7)2]3

= f) �(–4)2 3�2

=

2. Escribe como potencia de una potencia de base 2, (–2), 3 ó (–3), segúncorresponda.

a) 93 =

b) 163 =

c) (–8)4 =

d) (–27)3 =


De profundización


a) (36)3

= (32)x

b) [(–6)x]4

= (–6)24

c) (42)x�

6= 436

d) [(–16)2]x

= (–16)22




Mi progreso

Para calcular en forma rápida el valor de una potencia que tiene como base un número en quela cifra de las unidades es 5 y el exponente es 2 (comenzando por 152, luego, 252, 352, …),multiplica el número de la base que se forma sin la cifra de la unidad (sin el 5) por su sucesor. El valor de la potencia será el número formado por el resultado de la multiplicación anterior,seguido por 25. Observa los ejemplos:

• Para 152, multiplicamos 1 por su sucesor, es decir por 2, esto es 2. Luego el resultado es 225.• Para 1052, multiplicamos 10 por su sucesor, es decir por 11, esto es 110. Luego el resultado

es 11 025.• Si la base es negativa, utiliza el mismo procedimiento anterior (como si fuera de base

positiva), pues al tener exponente 2, el resultado queda siempre positivo.


a) 252 = g) (–85)2 =

b) (–65)2 = h) 552 =

c) 452 = i) 2052 =

d) (–35)2 = j) (–95)2 =

e) 952 = k) 10052 =

f) 9952 = l) (–125)2 =

Estrategia mental

54 Unidad 2


1. El valor de la potencia (–2)8 es:

A. 16 B. 64 C. 128 D. 256

2. La relación incorrecta es:

A. = ( )n C. an + bn = (a + b)n

B. an• bn = (a • b)n D. an

• bm = a(n + m)

3. La expresión 32 • 42 • 52 corresponde a:

A. 6 • 8 • 10 B. 3 • 4 • 5 • 2 C. (3 • 4 • 5)2 D. (3 + 4 + 5)2

an

bnab

Potencias 55


Reconocer y aplicar propiedades relativas a la multiplicación ydivisión de potencias de base entera y exponente natural.

2 y 4

Analizar una situación asociada a una potencia de base entera yexponente natural.

5

Aplicar propiedades relativas a la multiplicación de potencias debase entera y exponente natural.

3 y 6

Calcular potencias de base entera y exponente natural. 1 y 7

Resolver un problema que requiere aplicar propiedades depotencias de base entera y exponente natural.

8 y 9

4. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

A. (612 : 62)2

= 620 C. �(–9)3 • (–93)�2

= (–9)12

B. 64 : 34 = 24 D. (–2)2 • 42 = (–8)4

5. Para hacer su árbol familiar, Carlos parte por él, luego sus padres, sus abuelos, bisabuelos ytatarabuelos. ¿Qué potencia representa la cantidad de tatarabuelos de Carlos?

A. 24 B. 25 C. 44 D. 23

6. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo largo es 44 cm y su ancho 24 cm?

A. 88 cm2 B. 27 cm2 C. 212 cm2 D. 64 cm2

7. ¿En cuál de las siguientes potencias se obtiene el número mayor?

A. (–2)3 B. (–3)2 C. (–2)2 D. (–4)3

8. Paula tiene 2 pares de zapatos, 4 pantalones y un número desconocido de poleras. Si puede formar64 tenidas diferentes combinando su vestuario, ¿cuántas poleras tiene? Usa potencias para resolver.

9. La arista de un cubo mide 16 cm. Si se duplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresadocomo potencia de base 2?

Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.


Unidad 2





• Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […],potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, en-fatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resulta-dos obtenidos.



Estrategia mentalConectar y calcular.

En equipoÍtems 1 y 2: representar.Ítem 3: integrar, analizar y calcular.Ítem 4: analizar y aplicar.


• En la sección ESTRATEGIA MENTAL, guíe a los alumnos y alumnas para que puedanaplicar la estrategia presentada. Mencione que la estrategia es muy útil para deter-minar con mayor rapidez los valores de las potencias de base entera y exponente 2.

• En la sección EN EQUIPO, es conveniente que constate que en los cubos construi-dos por los y las estudiantes la arista efectivamente mide 4 cm, pues si necesitanmedir para completar la tabla, las medidas de los cubos deben ser las indicadas.


De refuerzo

1. Calcula mentalmente aplicando la estrategia aprendida.

a) (–10 005)2 = b) (–195)2 = c) (–2005)2 = d) 1152 =

(Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular).

De profundización

1. Si tienes 64 cubos de arista 8 cm, y con ellos forman un cubo grande, responde:

a) ¿Cuál es la medida de la arista del cubo grande?b) ¿Cuál es el área de cada cara del cubo grande?, ¿cuál es su área total?

c) ¿Cuál es el volumen del cubo grande?d) Si elevas a 3 el volumen del cubo grande, ¿cómo lo expresarías en forma de

una sola potencia de base 2?

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar, representar y calcular).


Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, sepresenta la evaluación formativa MI PROGRESO.


Mi progresoÍtem 1: aplicar.Ítem 2: analizar y representar.Ítem 3: analizar y aplicar.


• En los ítems 1, 2, 3 y 4, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta;esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomen-dable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente allado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrate-gias empleadas.

• En el ítem 5, es posible que los y las estudiantes no distingan qué operacionesdeben realizar. Para guiarlos, puede construir un diagrama de árbol en la pizarra,en el cual sea posible deducir el número de poleras para poder formar 64 tenidas.

• En el ítem 6, recuerde a los alumnos y alumnas que la arista se duplica y, luego,deben expresar la arista como potencia de base 2, para calcular el volumen.




5Analiza y aplica correctamente lapropiedad de potencias en el problema,empleando más de una estrategia.

Analiza y aplica correctamente lapropiedad de potencias en el problema.

Analiza y calcula correctamente partesdel problema, sin usar potencias para resolver.

Analiza y calcula erróneamente elproblema, confundiendo las potencias ysus propiedades.

6Analiza y aplica correctamente lapropiedad de potencias en el problema,empleando más de una estrategia.

Analiza y aplica correctamentela propiedad de potencias en el problema.

Analiza y calcula correctamente partesdel problema, sin expresar el resultadocomo potencia de base 2.

Analiza y calcula erróneamente elproblema, sin expresar el resultadocomo potencia de base 2.

Ítem 4: calcular.Ítem 5: analizar, aplicar y calcular.Ítem 6: analizar y aplicar.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 5 y 6.



5. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a) 62 : (–2)2 + (–3)3 = i) (–3)3 • (–2)3 =

b) 52 : 52 – 113 : 113 = j) 43 • (–1)3 • 33 =

c) (–30)2 : 32 + 32 • 22 = k) (–25)3 • (–25)3 =

d) 253 : (–5)3 = l) 3 • 32 – 4 • 42 =

e) (–14)8 : (–14)5 = m)(–5)2 • (–1)2 + 4 • 42 =

f) (–100)3 : 253 = n) 62 : 62 – 112 : 11 =

g) 324 : 84 = ñ) [(–10)2]4

– 10052 =

h) 72 • (–3)2 = o) (22)2�

2– �(–2)2�2

2=

6. Resuelve los siguientes problemas, usando potencias para resolver.

a) En un edificio de 32 pisos, cada piso tiene 8 departamentos y en cada depar-tamento hay 2 baños. ¿Cuántos baños hay en total?

b) En una tienda de ropa hay 25 zapatos de distinto tipo, 125 diseños de blusasy 25 tipos de pantalones. Si se quiere escoger una tenida cualquiera, ¿cuán-tas opciones hay?

c) La arista de un cubo mide 27 cm. Si se triplica, ¿cuál es el volumen del nuevocubo expresado como potencia de base 3?

d) El área de un rectángulo es 216 cm2. Si el ancho mide 8 cm, ¿cuánto mideel largo?

e) El volumen de un paralelepípedo es 602 cm3. Si el ancho mide 32 cm, el largomide 42 cm, ¿cuánto mide el alto?

De profundización


1. La expresión (–5)3 • (–5)3 equivale a:

A. 256

B. 253

C. (–25)3

D. 259

a b c a6 : a2 a3 • b3 • c3 (c2)3

a4 : b4

8 2 –4

25 5 10

27 27 3

–64 8 –4

–1000 –100 –10

–1 1 1

50 –2 10


De refuerzo


1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

I. Al dividir potencias de igual exponente (natural), se conserva la base (entera)y se restan los exponentes.

II. Al multiplicar potencias de igual base (entera), se conserva la base y los expo-nentes (naturales) se suman.

III. Al dividir potencias de igual exponente (natural), las bases (enteras) se divideny se conserva el exponente.


2. Para que la igualdad: [(–2)x]3

= –512, sea verdadera, el valor de x es:

A. 6 C. 3 B. 9 D. 2

3. La expresión (–14)6 : 26, equivale a:

A. (–7)6

B. –76

C. (–7)12

D. 1

4. Completa la siguiente tabla, escribiendo cada expresión como una sola potencia.





I. (–12)4 : (–12)4 = 1II. (–6)5 • (–6)5 = 3610

III. 22 • 23 – (–10)2 : 52 = 28

A. Solo IB. Solo IIC. I y IIID. II y III

3. Completa la siguiente tabla escribiendo cada expresión como una sola potenciade base 2, (–2), 3 ó (–3), según corresponda.

4. Una gelatería ofrece una promoción especial en sus copas de helado: un sabormás una salsa por $ 500. ¿Cuántas combinaciones de helado distintas ofrece lagelatería en la promoción, si los sabores de helado y las salsas son las siguientes?Usa potencias para resolver.

Sabor de helado Salsa - chocolate - chocolate- coco - manjar- frutilla - frutilla- vainilla - mora- manjar - piña - frambuesa - lúcuma

a b c a6 : a2 a3 • b3 • c3 (c2)3

a4 : b4

8 2 –4 84 (–64)3 (–4)6 44

25 5 10 254 12503 106 54

27 27 3 274 21873 36 14

–64 8 –4 (–64)4 20483 (–4)6 (–8)4

–1000 –100 –10 (–1000)4 1 000 0003 (–10)6 104

–1 1 1 (–1)4 (–1)3 16 (–1)4

50 –2 10 504 (–1000)3 106 (–25)4

a b c a8 : a5 a2 • b2 • c2 (b2)4

–8 2 –4 (–2)9 212 28

16 2 4 212 214 28

–27 –3 9 (–3)9 312 (–3)8

3 3 3 33 36 38

81 9 –3 312 (–3)14 316

–2 –2 –2 (–2)3 (–2)6 (–2)8

9 3 3 36 38 38

a b c a8 : a5 a2 • b2 • c2 (b2)4

–8 2 –4

16 2 4

–27 –3 9

3 3 3

81 9 –3

–2 –2 –2

9 3 3


De refuerzo

1. D 2. C 3. A

4.

5. a) –18 e) –2744 i) 216 m) 89b) 0 f) –64 j) –1728 n) –10c) 136 g) 256 k) 244 140 625 ñ) 98 989 975d) –125 h) 441 l) –37 o) 0

6. a) 512 b) 78125 c) 312 d) 27 cm e) 25 cm

De profundización

1. B 2. C

3.

4. 25 opciones.


56 Unidad 2

Potencias de base fraccionaria positivay exponente natural

Observa las siguientes expresiones:

a) � �5

: � �2

b) � �2

• � �2

c) � �2

�3

En las expresiones anteriores, observamos que la primera (a) es unadivisión de potencias de igual base; la segunda (b) es unamultiplicación de potencias de igual exponente y, la tercera (c) es lapotencia de una potencia.

Al calcular la primera expresión, obtenemos:

� �5

: � �2= = � � • � � • � � = � �

3

Luego: � �5: � �

2= � �

3= = . Si observamos lo realizado

anteriormente, podemos notar que, en la división de potencias de igual base (en este caso fraccionaria), se conserva la base y se restanlos exponentes.

Si calculamos la segunda expresión, obtenemos:

� �2

• � �2= � • � • � • � = � • � • � • � = � • �

2

12

35

27

23

12

Para discutir

• ¿Podrías escribir como una sola potencia cada expresión?, ¿cómolo harías?

• ¿Qué resultados obtienes al calcular cada expresión?• Las propiedades estudiadas en las páginas anteriores, ¿se pueden

aplicar en estos casos?, ¿por qué?

12

12

12

12

12

12

12

12

13

2318

12

35

35

35

27

27

35

27

35

27

35

27

27

5 factores

2 factores


3 factores

� � • � � • � � • � � • � �� • � �

12

12

12

12

12

12

12

Potencias 57

Unidad 2

Luego: � �2

• � �2= � • �

2= � �

2= = . En este caso,

observamos, que en la multiplicación de potencias de igual exponente se multiplican las bases (en este caso fraccionarias)y se conserva el exponente.

Al calcular la tercera expresión, obtenemos:

� �2

�3

= • �3= • � • • � • • � = � �

6

Por lo tanto: � �2

�3

= � �6

= = . En este caso, podemos notar

que, en la potencia de una potencia, se mantiene la base (en este caso fraccionaria) y se multiplican los exponentes.

35

35

27

635

62

35236

122527

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

26

3664729

Por lo realizado y estudiado anteriormente, podemos concluir que las propiedades de laspotencias que tienen base entera y exponente natural se pueden aplicar a potencias de basefraccionaria positiva o negativa, y exponente natural.

En general: Si a, b, c, d, n y m son números naturales y n�m, entonces:

• � �n

• � �m

= � �n + m

• � �n

: � �m

= � �n – m

• � �n

�m

= � �n • m

• � �n

• � �n

= � • �n

• � �n

: � �n

= � : �n

No olvides que...

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ab

cd

cd

ab

ab

cd

cd

ab

ab

Actividades

1. Escribe en forma de una sola potencia y calcula su valor.

a) � �3

• � � = c) � �10

: � �7= e) � �

3• � � =

b) � �2: � �

2= d) � �

3

�3

= f) � �3: � �

3=

2. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad.

a) � � �6

= � �18

b) � � : � �3= � �

7c) � � : � �

9= � �

9

23

49

29

14

1011

1011

213

213

213

14

23

38

37

1217

1217

14

827

47

47





• […], determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y divisiónde potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias debase fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.


Para discutirÍtem 1: analizar y conectar.Ítem 2: aplicar y calcular.Ítem 3: conectar y justificar.

ActividadesÍtem 1: identificar, aplicar y calcular.Ítem 2: aplicar e identificar.


ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorioy están orientadas a extender las propiedades relativas a la multiplicación y divisiónde potencias que tienen base entera y exponente natural a potencias de base frac-cionaria positiva y exponente natural.


• Antes de comenzar el ítem 1, sería conveniente que recuerde en la pizarra laspropiedades estudiadas anteriormente de potencias, cuya base es un número enteroy el exponente es un número natural, pues es parte de los conocimientos previosnecesarios para desarrollar las actividades. Si es necesario, escriba más ejercicios deeste tipo en la pizarra.

• En el ítem 2, para comprobar que el exponente encontrado es correcto, pida alos y las estudiantes que calculen el valor de la potencia y, luego, que calculenpaso a paso las expresiones, sin aplicar propiedades, para que comparen los valo-res obtenidos.


• Para aplicar las propiedades que involucran multiplicación o división de potenciasde igual exponente, los alumnos y alumnas deben multiplicar o dividir fracciones.Es por ello que sería conveniente que recuerde dichas operaciones con fracciones.

• El producto de dos o más fracciones es una fracción cuyo denominador corres-ponde al producto de los denominadores, y el numerador es el producto de sus

numeradores. Por ejemplo: • =

• Dividir un número natural por una fracción es multiplicar el número natural por

el recíproco de la fracción. Por ejemplo: 7 : = 7 • = =

• Dividir una fracción por otra fracción es multiplicar la primera fracción por el

recíproco de la segunda. Por ejemplo: : = • = = 3 • 54 • 2

52

34

158

25

34

352

7 • 52

52

25

635

37

25

• Al aplicar la propiedad en la división de potencias de igual exponente, resulta:

� �3

: � �3

= � : �3

= � • �3

= � �3

= =


De refuerzo

1. Aplica la propiedad correspondiente de las potencias, escribe en forma de unasola potencia y calcula su valor.

a) � �5

: � �3

= f) � �2

• � �2

=

b) � �3

• � �4

= g) � �2

�3

=

c) � �4

: � �4

= h) � �10

: � �8

=

d) � �3

: � �3

= i) � �2

• � �2

=

e) � �6

: � �2

= j) � �4

�2

=


De profundización

1. Determina el valor de x para que se cumpla cada igualdad.

a) � �x

• � �2

= d) � �x

• � �3

=

b) � �x

�2

= e) � �x

: � �8

=

c) � �2

: � �x

= f) � �x

• =


23

12

23

12

23

21

43

43

336427

12

23

162 401

27

16625

25

25

25900

35

110

35

27125

35

27512

34

436

12

1112

23

1112

910

25

13

16

16

15

15

23

89

14

27

37

37

23

23


En general: si a, b, c, d son números naturales, entonces: • = a • cb • d

cd

ab

En general: si a, b, c son números naturales, entonces: a : = a • = a • cb

cb

bc

En general: si a, b, c, d son números naturales, entonces: : = • = ab

ab

a • db • c

dc

cd


58 Unidad 2

Para discutir

• ¿Cómo escribirías cada expresión como una sola potencia?• Pedro escribió la primera expresión como �0,3�6 y Macarena

como �0,09�3, ¿cuál consideras correcta?, ¿por qué?• De lo estudiado hasta ahora, ¿con qué puedes relacionar lo

realizado por Pedro y por Macarena?• ¿Las propiedades estudiadas anteriormente se pueden aplicar

en potencias de base decimal positiva?

Potencias de base decimal positiva y exponente natural

Pedro y Macarena quieren escribir como una sola potencia lassiguientes expresiones:

(0,3)3 • (0,3)3 �(1,2)3�3

Sabemos, que en matemática, muchas veces hay más de un caminopara resolver problemas. En este caso, Pedro y Macarena utilizaron dos caminos diferentes para escribir como una sola potencia la primeraexpresión. Analicemos el procedimiento de cada uno y, luego,calcularemos ambos resultados para ver cuál es el correcto.

Pedro observó que las bases eran iguales; entonces, conservó la base y sumó los exponentes, es decir: (0,3)3 • (0,3)3 = (0,3)3 + 3 = (0,3)6.Macarena observó que los exponentes eran iguales; entonces,multiplicó las bases y conservó el exponente, es decir:

(0,3)3 • (0,3)3 = (0,3 • 0,3)3 = (0,09)3

Al calcular la potencia obtenida por cada uno, obtenemos: (0,3)6 = 0,000729 y (0,09)3 = 0,000729. Por lo tanto, ambos, Pedro y Macarena, llegaron al mismo resultado empleandocaminos diferentes.

Calcularemos la segunda expresión:

�(1,2)3�3 = �1,2 • 1,2 • 1,2�3 = �1,2 • 1,2 • 1,2� • �1,2 • 1,2 • 1,2� • �1,2 • 1,2 • 1,2�

Luego: �(1,2)3�3 = (1,2)9.

Como vimos, en este caso, al ser la potencia de una potencia, se mantiene la base (decimal) y se multiplican los exponentes.


Potencias 59

Unidad 2

Actividades

1. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como una sola potencia.

• ¿En qué caso puedes utilizar otra propiedad para resolver?, ¿por qué?

2. Escribe cada expresión como una sola potencia y completa con los signos <, > o =, según corresponda.

a) (0,2)3 : (0,2)3 (0,5)4 : (0,5)3 c) (0,1)5 • 65 �(0,6)2�2

b) 53 • (0,5)3 (2,5)5 : (2,5)2 d) (5,5)8 : (5,5)6 (11)3 • (0,5)3

3. Completa la siguiente tabla, escribiendo el valor de cada potencia.

a) Los resultados obtenidos en las filas 1 y 2, ¿representan el mismo número?, ¿por qué?, ¿y los de las filas 3 y 4?

b) Si escribes un número decimal como fracción o viceversa y elevas ambos al cuadrado, ¿los resultados obtenidos siempre representan el mismo número?, ¿por qué?

Por lo realizado y estudiado anteriormente, podemos concluir que las propiedades de laspotencias que tienen base entera y exponente natural también se pueden aplicar a potencias de base decimal positiva y negativa, y exponente natural. Por ejemplo:

(1,5)5 : (1,5)3 = (1,5)5 – 3 = (1,5)2 = 1,5 • 1,5 = 2,25

No olvides que...

a b a a • b a : b (a : b)4

0,027 0,3

4 (2,5)2

0,0625 (0,5)4

0,0001 (0,1)3

Nº fila a a2 a5 : a2 (a2)2

1 0,5

2

3 0,25

4

12

14




• […], determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación ydivisión de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión apotencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.


Para discutirÍtem 1: analizar y conectar.Ítem 2: analizar, evaluar y justificar.Ítem 3: conectar.Ítem 4: conectar y justificar.


ActividadesÍtem 1: aplicar, analizar y justificar.Ítem 2: identificar, aplicar y clasificar.Ítem 3: aplicar, calcular, generalizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorioy están orientadas a extender las propiedades relativas a la multiplicación y divisiónde potencias que tienen base entera y exponente natural a potencias de base deci-mal positiva y exponente natural.


• Antes de comenzar a desarrollar los ítems, sería conveniente que recuerde en lapizarra las propiedades estudiadas anteriormente de potencias, cuya base es unnúmero entero y el exponente es un número natural. Además, mencione que laspropiedades se extienden a las potencias de base fraccionaria positiva y exponentenatural y pregunte: ¿ocurrirá lo mismo si la base es decimal positiva?

• En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deberán reconocer cuál propiedaddeben aplicar; es por esto que las propiedades anteriormente estudiadas debenser parte de sus conocimientos previos.

• En el ítem 3, guíe a los alumnos y alumnas para que puedan deducir que losnúmeros, a pesar de estar escritos en distintos registros de representación (frac-ción y número decimal), en algunos casos, representan el mismo valor; por lotanto, las potencias con dichas bases también representarán el mismo valor.

Por ejemplo: (0,5)2 = � �2

.

Es conveniente que les recuerde cómo escribir un número decimal (finito) enforma de fracción y viceversa.


• Para aplicar las propiedades que involucran multiplicación o división de potenciasde igual exponente, los alumnos y alumnas deben multiplicar o dividir númerosdecimales. Es por ello que sería conveniente que les recuerde dichas operacionescon estos números.

• Para multiplicar dos números decimales se pueden multiplicar como si fuerannúmeros naturales y en el producto escribir la coma según la cantidad de cifrasdecimales que tengan en total ambos factores. Por ejemplo: 2,24 • 1,3 = 2,912.

12

• Para dividir dos números decimales o un número decimal por un entero o viceversa,se puede multiplicar el dividendo y divisor por una potencia de base 10 (10, 100,1000, etc.), de tal forma que los números obtenidos sean enteros. Por ejemplo:14 : 0,2 = ? / se multiplica por 10, pues 0,2 tiene una cifra decimal140 : 2 = 70 → 14 : 0,2 = 70


De refuerzo

1. Aplica la propiedad correspondiente de las potencias, escribe en forma de unasola potencia y calcula su valor.

a) (0,2)3 • (0,2)2 = f) 1,1 • (1,1)3 =

b) (0,4)2 • (0,3)2 = g) (2,5)7 : (2,5)4 =

c) (0,3)10 : (0,3)8 = h) 1002 • 0,62 =

d) 104 : (0,5)4 = i) (0,2)3 : (0,5)3 =

e) [(0,4)3]2 = j) (1,2)2 • (0,3)2 =


De profundización

1. Une el valor correspondiente a cada expresión, expresado como fracción.

[(0,4)3]2

(2,5)2 : (0,2)2

(0,5)2 • 0,5

(0,3)3 • (0,1)3

(0,1)8 : (0,1)2

(Habilidades que desarrolla: identificar, generalizar, aplicar y calcular).

271 000 000

11 000 000

6254

6415 625

18



60 Unidad 2

Para discutir

• Si en un comienzo hay una bacteria por mm2, ¿en cuántas horasla hortaliza ya no podrá ser consumida?, ¿cómo lo supiste?

• Si parten el estudio a las 8:30 h; ¿a qué hora la hortaliza no servirápara el consumo?, ¿y a qué hora habrá 64 bacterias por mm2?

• ¿Podrías explicar la reproducción de las bacterias utilizandopotencias?, ¿por qué?

• ¿Cómo graficarías el comportamiento de las bacterias?

Crecimiento exponencial

Un grupo de estudiantes está analizando la pudrición de unahortaliza. Ellos consideran que la infección es extensa, es decir, la hortaliza no puede ser consumida cuando tiene 1024 o másbacterias por milímetro cuadrado (mm2). Además, observaron quelas bacterias que producen la pudrición de la hortaliza se duplican cada una hora.

Tiempo transcurrido Número de bacteriasNúmero de bacterias

como potencia

0 1 20

1 hora 2 21

2 horas 4 22

3 horas 8 23

4 horas 16 24

5 horas 32 25

6 horas 64 26

7 horas 128 27

8 horas 256 28

9 horas 512 29

10 horas 1024 210

La situación anterior se puede resumir en la siguiente tabla:

Si observamos la tabla, hay 64 bacterias por mm2 en la hortalizatranscurridas 6 horas, es decir, si comenzaron el estudio a las 8:30 horas, dicha cantidad está presente a las 14:30 horas.

Por otra parte, la hortaliza no podrá ser consumida transcurridas 10 horas, es decir, a las 18:30 horas la infección será consideradaextensa por los estudiantes.

Unidad 2

Actividades

1. Luisa llama a cuatro compañeras y les informa sobre una campaña de recolección de alimentos. Cada una de estas amigas llama a otras cuatro amigas para contarles sobre la campaña, y así, una a una, van contando a 4 nuevas amigas. Completa la tabla, el gráfico y responde.

a) ¿Cuántas personas son informadas en el nivel 4?b) ¿Cuál es la variable dependiente de la otra?,

¿por qué?

Potencias 61

Como las bacterias se duplican cada una hora,cada vez se multiplica por dos. Entonces, si queremos expresar como potencia, la baseserá 2 y el exponente corresponde a las horas transcurridas.

Además, en este caso observamos dos variables,una dependiente de la otra, ya que el númerode bacterias depende de las horas transcurridas;dicho de otro modo, a medida que el tiempotranscurre, la cantidad de bacterias aumenta.Para analizar la relación entre las variables,observa el gráfico:

Este tipo de relación entre las variables se llama crecimiento exponencial, o se dice que crecenexponencialmente. Este tema lo estudiarás con más profundidad en cursos posteriores.

No olvides que...

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Crecimiento de una población de bacterias

No de bacterias

Tiempo transcurrido (h)

0 1 2 3 4 5

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

No de personas

Nivel

Nivel dellamados

Personasinformadas en

el nivel

Potenciarelacionada

0 1 40

1 4

2

3

4






Para discutirÍtem 1: analizar, calcular y justificar.Ítem 2: analizar y calcular.Ítem 3: conectar y justificar.Ítem 4: analizar y representar.



Díastranscurridos

Númerode personas

Número de personascomo potencia

Cantidad de dinerorecaudado por día

0 1 30 100 • 30

1

ActividadesÍtem 1: analizar, resolver problemas, calcular y representar.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a resolver un problema que involucra potencias de base entera y ex-ponente natural. Esta situación está relacionada con el crecimiento exponencial, enparticular, el crecimiento de una población de bacterias en una hortaliza infectada.


• Antes de comenzar el ítem 1, sería conveniente que analicen en conjunto el grá-fico del crecimiento de una población de bacterias, propuesto en la página 61 delTexto del Estudiante. De este modo, podrán construir por sí mismos en gráfico dela actividad.

Destaque que esta actividad se puede representar con diversos registros de repre-sentación: con una tabla, con gráfico, con un diagrama de árbol, con funciones.Esta última se estudiará más adelante, por lo que no es necesario que se repre-sente. Pida a sus alumnos y alumnas que construyan el diagrama de árbol querepresenta la situación.

• Para responder la segunda pregunta del ítem 1, el concepto de variable dependientee independiente aún no se ha formalizado. Los alumnos y alumnas deberán respon-der de acuerdo a su intuición y experiencia.


Mencione a los y las estudiantes que el crecimiento exponencial es una función en laque se utilizan potencias con base mayor que uno, que estudiarán en cursos poste-riores y que es usada para describir el crecimiento de una población de animales obacterias. Algunos ejemplos de situaciones que pueden representar crecimientoexponencial son:

• El aumento de la población del mundo, la cual crece a una determinada tasa.

• Un cultivo de bacterias que crece bajo condiciones favorables.

• Una población de ranas que crecen en un estanque.


De refuerzo

1. Pedro organiza una campaña solidaria con el fin de recaudar dinero para unaprotectora de animales; el primer día, le informa a 3 amigos: cada uno dona $ 100y, a su vez, se comprometen a que cada uno pedirá $ 100 a otras 3 amistadesdiferentes el segundo día, y que cada una de estas personas les pedirán $ 100 aotras 3 personas diferentes el tercer día, y así, sucesivamente, los siguientes días.

Completa la siguiente tabla y responde.

a) ¿Cuánto dinero juntaron el tercer día?, ¿y el sexto?b) ¿Qué variable depende de la otra?, ¿por qué?

(Habilidades que desarrolla: analizar, resolver problemas, calculary representar).

De profundización

1. Considerando la situación de la actividad de reforzamiento:

a) construye el gráfico que relaciona los días transcurridos con el número de personas.

b) construye el diagrama de árbol correspondiente.

2. ¿Cuánto dinero juntaron en total al finalizar el quinto día?, ¿y el sexto?, ¿cómolo supiste?

(Habilidades que desarrollan: conectar, analizar, calcular y representar).



62 Unidad 2

Decrecimiento exponencial

Científicos de diversos países se han reunido con el fin de inventar una vacuna para combatir un virus respiratorio. Esperan que, almomento de vacunar a la población, la cantidad de contagiadosdisminuya a un tercio de la población cada día.

Para discutir

• Si se vacunara a la población, ¿en cuánto disminuirían loscontagiados luego de 3 días?, ¿y luego de 6 días?, ¿por qué?

• ¿Podrías explicar la disminución de los contagiados utilizandopotencias?, ¿cómo lo harías?

• Si inicialmente hubiera 19 683 contagiados al momento devacunar a la población, ¿cuál sería el número de contagiadosluego de 2 y 5 días?; ¿cuál es el gráfico que representa lacantidad de contagiados por día?

• Considerando la información de la pregunta anterior, ¿al cabo decuántos días se contagiará solo una persona?

Suponiendo que se vacunara a la población e inicialmente hubiera19 683 contagiados, la información se resume en la siguiente tabla:

Si observamos la tabla, en tres días los contagiados disminuirían

en � �3de su población y en 6 días � �

6.

Días transcurridosFactor de

decrecimientoCantidad

de contagiados

0 � �0

19 683 • � �0

= 19 683

1 � �1

19 683 • � �1

= 6561

2 � �2

19 683 • � �2

= 2187

3 � �3

19 683 • � �3

= 729

4 � �4

19 683 • � �4

= 243

5 � �5

19 683 • � �5

= 81

6 � �6

19 683 • � �6

= 27

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

Potencias 63

Unidad 2

Si inicialmente hubiera 19 683 contagiados al momento de vacunar a la población, lacantidad de contagiados del segundo día sería2187; del quinto día, 81 contagiados y elnoveno día se contagiaría solo una persona.

En esta situación, observamos la relación entredos variables y, al igual que en el crecimientoexponencial, una depende de la otra. En estecaso, la cantidad de contagiados depende de los días transcurridos, pues, a medida que pasan los días, la cantidad de contagiadosdisminuye. Para analizar la relación entrelas variables, observa el gráfico:

1. Una población de aproximadamente 262 144 insectos decrece por acción de un depredador naturala la mitad de su población cada año. Completa la tabla, grafica y responde.

a) ¿En qué año la población es de 32 768?b) ¿Cuántos insectos hay el 4º año?c) ¿Se extinguirá este tipo de insecto?, ¿después de cuántos años?

0 1 2 3 4 5 6 7

2000

4000

6000

8000

10 000

12 000

14 000

16 000

18 000

20 000

Decrecimiento de una población de contagiados

No de contagiados

Tiempotranscurrido (días)

Actividades

Este tipo de relación entre las variables se llama decrecimiento exponencial, o se dice quedecrecen exponencialmente, porque se usa en ellas una potencia con base mayor que 0 y menorque 1. Este tema también lo estudiarás con más profundidad en cursos posteriores.

No olvides que...

Años transcurridos

Añostranscurridos

Factor dedecrecimiento

Tamaño de población

0 � �0

262 144 • � �0

= 262 144

1

2

3

4

12

12

Población en miles de individuos

0 1 2 3 4 5

50

100

150

200

250

300






Para discutirÍtem 1: analizar, calcular y justificar.Ítem 2: conectar y justificar.Ítem 3: calcular, analizar y representar.Ítem 4: calcular.


Añostranscurridos

Factor dedecrecimiento

Masa de la sustancia

0


16 777 216 • � �0

= 16 777 21614

ActividadesÍtem 1: analizar, resolver problemas, calcular y representar.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorioy están orientadas a resolver un problema que involucra potencias de fraccionariapositiva y exponente natural. Esta situación está relacionada con el decrecimientoexponencial, en particular, el decrecimiento de los contagiados por un virus respira-torio al ser vacunada la población.


• Antes de comenzar el ítem 1, sería conveniente que analicen en conjunto el grá-fico del decrecimiento de una población de contagiados, propuesto en la página 63del Texto del Estudiante. De este modo, podrán construir por sí mismos el gráficode la actividad.

Destaque que esta actividad se puede representar con diversos registros de repre-sentación: con una tabla, con gráfico, con funciones. Esta última se estudiarámás adelante, por lo que no es necesario que se represente.

• Para responder la última pregunta del ítem 1, es necesario que los y las estudiantessigan calculando el tamaño de la población; para ello, sugiera que extiendan la tabla.


Mencione a los y las estudiantes que el decrecimiento exponencial es una funciónque utiliza potencias con base mayor que 0 y menor que 1 y que estudiarán encursos posteriores. Un ejemplo de ello lo podemos observar en las sustancias radiac-tivas que se desintegran a medida que pasa el tiempo.


De refuerzo

1. Una sustancia que tiene una masa de 16 777 216 mg se desintegra a un cuartode su masa cada un año. Completa la siguiente tabla y responde.

a) ¿Cuánto tardará para que la sustancia se desintegre hasta tener una masa de65 536 mg?

b) Determine la masa que queda después de 7 años.

(Habilidades que desarrolla: analizar, resolver problemas, calcular y representar).

De profundización

1. Considerando la situación de la actividad de reforzamiento:

a) construye el gráfico correspondiente.b) ¿después de cuantos años se desintegrará este tipo de sustancia?

(Habilidades que desarrolla: conectar, analizar, calcular y representar).



64 Unidad 2

Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para construir un gráfico:

1º En la columna A escribe el valor de la potencia de base 3 y exponente, partiendo desde 0hasta 10, en orden creciente, es decir, en A1 escribe el valor de la potencia 30, en la celda A2el valor de 31, en A3 el valor de 32, y así sucesivamente.

2º Selecciona los todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”, como se observa en la siguiente imagen:

4º En las opciones de gráficos, selecciona “XY Dispersión”.5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la

planilla. Además, puedes poner el siguiente título al gráfico:Exponentes de la potencia de base 3 y sus respectivos valores.

Finalmente, observa el gráfico y responde:

a) ¿A qué gráfico se parece?, ¿por qué?b) Los valores: 0, 1, 2, 3, … del eje horizontal, ¿qué representan?, ¿y los valores del eje vertical?c) ¿Por qué este gráfico es con puntos y no con líneas?d) ¿Cómo será el gráfico si la potencia es de base 4?, ¿qué tiene en común con el gráfico

que acabas de hacer?e) ¿Cómo será el gráfico si la potencia es de base � �?, ¿tiene algo en común con el gráfico que

acabas de hacer?, ¿por qué?f) Sigue los pasos anteriores para graficar la potencia de base 5. Luego, responde las preguntas

a y b.


14

Mi progreso


Aplicar propiedades de potencias que tienen base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

1, 2 y 3

Resolver un problema sobre crecimiento exponencial. 4

Resolver un problema, aplicando propiedades de potencias de baseentera y fraccionaria positiva y exponente natural.

5

Potencias 65


1. La expresión: 0,3 • 0,09 • 0,027, escrita como un sola potencia es:

A. 36 B. 0,36 C. 0,35 D. 0,095

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. � � • � � = � �4

C. � �5

• � �5= � �

10

B. � �6

�2

= � �12

D. � � : � � = � �2

3. Para que la igualdad: �0,2�x : �0,2�2 = �0,2�4, sea verdadera, el valor de x, es:

A. 2 B. 4 C. 8 D. 6

4. Las bacterias se reproducen dividiéndose en 2. En un determinado ambiente, la división se produce cada un minuto.

a) ¿Qué tipo de crecimiento representa la relación entre los minutos transcurridos y la cantidad de bacterias?, ¿por qué?

b) ¿Cuál es la potencia que representa la cantidad de bacterias al término de 12 minutos,considerando que el ciclo de reproducción comienza con una bacteria?

5. Jorge y Mario inventaron un juego en el que cada jugador parte con un punto y, cada vez quegana, su puntaje se duplica, y si pierde, su puntaje será la mitad de lo que tenía. Jorge ganó 6 vecesy Mario perdió 5 veces. ¿Cuántos puntos obtuvo Jorge?, ¿y Mario? Expresa cada resultado comouna sola potencia.



18

12

12

49

49

1681

64125

56

56

45

45

Unidad 2






Herramientas tecnológicasUsar herramientas, analizar, conectar y justificar.



• Al utilizar la planilla de cálculo, debe considerar que los valores de las potencias quedeben escribir son aquellos cuya base es 3 y el exponente, 0, 1, 2, 3, ..., 10.Los valores se escriben sin puntos ni espacios en la planilla.

• Para seleccionar los valores debe partir desde 1, y sin dejar de presionar el botónizquierdo del mouse hasta el útimo valor, es decir, hasta 59 049.

• La función graficada es 3x, con x ∈ �0.• Es conveniente que supervice permanentemente a los alumnos y alumnas en el de-

sarrollo de la actividad, pues podrían aparecer diversas dificultades que requierande su ayuda y orientación.

• Se recomienda que, una vez desarrollada la actividad, discutan y compartan lasrespuestas obtenidas para hacer una puesta en común.


De refuerzo

1. Sigue los pasos anteriores para graficar la potencia de base 6 y exponente, par-tiendo desde 0 hasta 10. Luego, responde las preguntas a y b.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, analizar, conectar y justificar).

De profundización

1. Una sustancia que tiene una masa de 16 777 216 mg se desintegra a un cuartode su masa cada un año.

a) En la columna A escribe la masa que queda hasta el 6º año, partiendo por16 777 216 (considera los valores de la tabla de la página 115).

b) Luego, repite los pasos de la página 64 del Texto del Estudiante y responde laspreguntas a y b.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, analizar, conectar y justificar).




Mi progresoÍtem 1, 2 y 3: identificar y aplicar.Ítem 4: resolver problemas, analizar, conectar y justificar.Ítem 5: resolver problemas, analizar, aplicar y representar.


• En los ítems 1, 2 y 3, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta,esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomen-dable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente allado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrate-gias empleadas.

• En el ítem 4, es posible que los y las estudiantes no relacionen la situación con elcrecimiento exponencial, para evitarlo, sugiérales que construyan una tabla paraanalizar qué sucede con las bacterias, o bien, un diagrama de árbol.

• En el ítem 5, es posible que los alumnos y alumnas no puedan determinar el pun-taje obtenido por Mario expresándolo como potencia, para ello mencione que

dividir por 2, es equivalente a multiplicar por .


12



4

Analiza y conecta adecuadamente lasituación con el crecimiento exponencial.Responde cada pregunta correctamente.

Analiza y conecta adecuadamente lasituación con el crecimiento exponen-cial. Responde cada pregunta sin justificar la a).

Analiza y conecta adecuadamente lasituación con el crecimiento exponencial.Responde correctamente una de las preguntas.

No conecta la situación con elcrecimiento exponencial. Respondeerróneamente las preguntas.

5Aplica las propiedades de potencias yresponde correctamente el problema,empleando más de una estrategia.

Aplica las propiedades de potencias y responde correctamente el problema.

Aplica las propiedades de potencias y responde el problema expresando erróneamente la potencia de la solución.

No aplica las propiedades de potencias y responde el problema erróneamente.



3. La población en una ciudad el año 1960 era de 100 000 habitantes. Si a partirde esa fecha el ritmo de crecimiento de la población se ha duplicado cada 20 años, determina:

a) la cantidad de habitantes 40 años después. b) la cantidad de habitantes que se espera hayan en el año 2020.c) ¿qué tipo de crecimiento representa la relación entre los años transcurridos y

la cantidad de habitantes?

4. Una población de aproximadamente 9 765 625 peces decrece por la contami-nación de las aguas a un quinto de su población anualmente.

a) ¿Cuántos peces hay el tercer año?b) ¿Después de cuántos años la población es de 15 625 peces?c) ¿Cómo se relacionan las variables involucradas?, ¿cuál depende de la otra?

De profundización

1. Une cada expresión con la potencia correspondiente expresada como fracción onúmero decimal.

(0,75)2 • (0,75)3 � �11

: � �9

� �2

: � �2

(0,7)4 • 34

(1,5)2 � �4

(0,25)2 � �5

2. Responde observando el gráfico de la imagen.

a) ¿Qué tipo de crecimiento observas?, ¿por qué?b) ¿Con qué potencia lo relacionas?, ¿cuál es la base?, ¿y el exponente?c) ¿Cómo se relacionan las variables?, ¿cuál depende de la otra?, ¿por qué?

34

2110

14

14

12

34


a b b(con base a)

a2 • b(con base a)

b2 : a2

(con base a)b5

(con base a)

0,1 0,001

0,4 0,0256

1,3 1,69

12

116

35

81625

45

1625


De refuerzo

1. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como unasola potencia.

2. Une cada expresión con el valor de la potencia correspondiente.

(0,5)5 • 45

� �7

: � �5

32

(0,26)3 : (1,3)3 0,000001

(0,8)14 : (0,8)11 0,008

[(0,1)2]3 256

2 401

19

19

181


� �2

• � �2

0,51247

47

1 2 3 4

50

100

150


b(con base a)

a2 • b(con base a)

b2 : a2

(con base a)b5

(con base a)

(0,1)3 (0,1)5 (0,1)4 (0,1)15

(0,4)4 (0,4)6 (0,4)6 (0,4)20

(1,3)2 (1,3)4 (1,3)2 (1,3)10



De refuerzo

1.

2. (0,5)5 • 45 = 32

� �7

: � �5

=

(0,26)3 : (1,3)3 = 0,008

(0,8)14 : (0,8)11 = 0,512

[(0,1)2]3

= 0,000001

3. a) 400 000 habitantes.

b) 800 000 habitantes.

c) Crecimiento exponencial.

4. a) 78 125 peces.

b) 4 años.

c) La cantidad de peces disminuye exponencialmente a medida que pasan los años. La cantidad de peces depende de los años.

181

19

19

De profundización

1. (0,75)2 • (0,75)3 = � �5

� �2

: � �2

= (1,5)2

2. a) Crecimiento exponencial, pues a medida que aumenta una variable, la otra aumenta exponencialmente.

b) Con la potencia de base 5 y exponente �0.

c) El valor de la potencia (eje Y) depende del exponente (eje X) de la potencia cuya base es 5.

12

34

34


� �43

5 � �63

5 � �63

5 � �203

5

� �41

2 � �61

2 � �61

2 � �201

2

� �24

5 � �44

5 � �24

5 � �104

5

� �2

• � �2

= 2562 401

47

47

� �11

: � �9

= (0,25)214

14

(0,7)4 • 34 = � �421

10



Considera la potencia 415, el valor de esta potencia tiene 10 cifras. ¿Cuál es el último dígito deeste número?, ¿y de 448?


415 = 4 • 4 • 4 • … • 4 448 = 4 • 4 • 4 • 4 • … • 4 • 4


• ¿Qué debes encontrar?El valor del último dígito de las potencias anteriores.


En el caso de 415 podríamos utilizar la calculadora científica para saber cuál es el últimodígito del valor de la potencia, pero en 448 la calculadora no puede dar respuesta, ya que lamayoría no tiene tanta capacidad. Sin embargo, podemos comenzar resolviendo los primeros8 casos y, luego, observaremos la cifra de las unidades para encontrar alguna regularidad.

Resolver• Calculamos los valores de las potencias de base 4 y exponente desde 1 hasta 8:

41 = 4 43 = 64 45 = 1024 47 = 16 38442 = 16 44 = 256 46 = 4096 48 = 65 536

Luego, observamos que en las potencias de base 4 y exponente:a) par, la última cifra del resultado es 6. b) impar, la última cifra del resultado es 4.

Responder• Como en 415 el exponente es impar, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 4.• Como en 448 el exponente es par, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 6.

Revisar• Para comprobar cada resultado, puedes utilizar las propiedades de las potencias, luego,

calcular cada expresión (utilizando calculadora si es necesario) y, finalmente, multiplicar lasúltimas cifras:

Utilizando propiedades de potencias, tenemos: 415 = 47 • 48 = 16 384 • 65 536. Entonces, almultiplicar las últimas cifras de los factores, obtenemos: 4 • 6 = 24. Luego, la última cifra es 4.

En el segundo caso, tenemos que: 448 = 410 • 410 • 410 • 415 • 43 = 1 048 576 • 1 048 576 • 1 048 576 • 1 073 741 824 • 64.

Luego, multiplicamos las últimas cifras de los factores, es decir: 6 • 6 • 6 • 4 • 4 = 3456.Entonces, la última cifra es 6.

66 Unidad 2

Unidad 2

1. Aplica la estrategia aprendida para calcular la cifra de las unidades de los valores de lassiguientes potencias.

a) 4289 d) 286 g) 385

b) 4274 e) 2104 h) 352

c) 229 f) 319 i) 3222

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.Explica, paso a paso, cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tuscompañeros y compañeras.

3. Calcula la cifra de las unidades de los valores de las siguientes potencias, utilizando la estrategiaaprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero ocompañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?

a) 547 c) 733 e) 919

b) 622 d) 840 f) 10521

4. Imagina que tienes una hoja de papel rectangular muy grande, y que comienzas a doblarla por lamitad, una y otra vez. Si la abres, observarás que se forman rectángulos iguales.

a) ¿Qué relación tiene esta situación con las potencias?, ¿cuál es la base?, ¿qué representa elexponente en este caso?

b) Si doblas el papel 3 veces por la mitad, ¿cuántos rectángulos se forman al abrir el papel?Utiliza potencias para responder.

c) Y si doblaras 5 veces el papel por la mitad, ¿cuántos rectángulos se formarían? Utiliza potencias para responder.

d) Comprueba los resultados obtenidos utilizando una hoja tamaño carta.e) Sin utilizar papel para comprobar, ¿cuál es la cifra de las unidades equivalente a la cantidad

de rectángulos que se forman al doblar un papel rectangular 15 veces por la mitad?, ¿cómo lo supiste?

Potencias 67




• Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […]potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, en-fatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resulta-dos obtenidos.


Buscando estrategiasÍtem 1: analizar, aplicar y calcular.Ítems 2 y 3: seleccionar, analizar y evaluar.Ítem 4: resolver problemas, analizar, conectar, comprobar y calcular.


La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en la Unidad; sin em-bargo, en estas páginas se presenta una estrategia específica para que los alumnosy alumnas la aprendan, la apliquen en otros problemas y, luego, busquen otras es-trategias de resolución, considerando los siguientes pasos: comprender, planificar,resolver y revisar.


Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resueltode distintas formas. La estrategia presentada en el Texto del Estudiante es solo una formade dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema podríaser la siguiente: Agrupar las potencias (usando una propiedad) de tal forma que permitacalcular fácilmente su valor y, finalmente, multiplicar dichos números. Así, encontramosel último dígito, por ejemplo:

415 = 44 • 44 • 44 • 43 = 256 • 256 • 256 • 64 = 1 073 741 824


De refuerzo

1. Considera las potencias 421 y 456, ¿cuál es el último dígito de la expresión(421 + 456)?

2. Considera las potencias 229 y 478, ¿cuál es el último dígito de la expresión(229 • 478)?Utiliza la estrategia propuesta en la página 66 (del Texto del Estudiante).

(Habilidades que desarrollan: analizar, aplicar y calcular).

De profundización

1. Crea un problema similar a los vistos en el libro y, luego, utiliza la estrategia quetú quieras, explicando los pasos de ella. No olvides responder a la pregunta del problema.

(Habilidades que desarrolla: formular, aplicar y calcular).




• Puede expresar en sus propias palabras einterpretar coherentemente el problema.

• Identifica la información necesaria.

• Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Copia el problema.

• Identifica palabras clave.

• Puede que interprete mal parte del problema.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No entiende el problema.

• Entiende mal el problema.

• Como rutina pide explicaciones.



• Conecta cómo y por qué.

• Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas.

• Hace y explica conexiones.

• Realiza lo pedido y va más allá.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio.• Puede demostrar y explicar usando una variedad

de modos.• Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y




• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.




• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.


no razonable.





Para finalizar

68 Unidad 2

Cone

xion

es NACIONAL

El alcohol es un depresor del sistema nervioso

central. Sus efectos en el organismo son a corto y largo

plazo. Algunos efectos inmediatos son: afección a la

frecuencia cardiaca, al habla, al entendimiento, al juicio

y, al llegar a la intoxicación alcohólica, puede provocarse

un estado de coma e, incluso, la muerte. Algunos riesgos

a largo plazo son: daño al corazón, al hígado y su abuso

puede generar trastornos mentales.

En Chile, el alcohol es la droga más consumida,

de hecho, un 68,5% de los encuestados, en un estudio

realizado por el Conace, declaró haber consumido alcohol

el año 2008. Su uso genera graves problemas sociales,

entre otros, causando accidentes automovilísticos.

Los efectos del alcohol en el organismo

Fuentes: Ministerio del Interior, www.conacedrogas.cl, septiembre 2009. Octavo Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile, 2008. Informe de principales resultados, Conace, Chile.







1. Un profesor universitario encontró una fórmula para calcular el porcentaje de riesgo de tenerun accidente si se conduce bajo los efectos del alcohol. La fórmula es igual a: 6 • (1,14)x,donde x es el porcentaje de alcohol en la sangre.

• Si una persona tiene un 4% de alcohol en la sangre, ¿cuál es el porcentaje de riesgo detener accidente?, ¿y si tiene un 20% de alcohol en la sangre?

2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser lasolución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.

Potencias 69

Unidad 2

A continuación, se presenta un mapa conceptual que relaciona los principales conceptosestudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.

1. ¿Crees qué faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.

2. ¿Cómo calculas una potencia de base entera y exponente natural?

3. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de potencias de igual base?,¿y qué diferencias?

4. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de potencias de igual exponente?, ¿y qué diferencias?

5. ¿Cómo calculas la potencia de una potencia de base entera y exponente natural?, ¿y de basedecimal positiva? Da tres ejemplos.

6. Si w, x, y, z son números naturales, ¿podrías afirmar que �� z

�w

= � �z •w

?, ¿por qué? Da 2 ejemplos.

7. ¿Qué caracteriza al crecimiento exponencial?, ¿y al decrecimiento exponencial?


MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE

POTENCIAS DE IGUAL BASE

POTENCIAS DE BASE FRACCIONARIA

Y EXPONENTE NATURAL

POTENCIAS DE BASE DECIMAL

Y EXPONENTE NATURAL

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE

POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTEPOTENCIA DE UNA POTENCIA

POTENCIAS DE BASE ENTERA

Y EXPONENTE NATURAL

Síntesis

xy

xy




ConexionesÍtem 1: analizar y calcular.Ítem 2: evaluar, analizar y justificar.



La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular las potenciascon una situación recurrente en nuestro país: el consumo de alcohol, sus efectos yel riesgo de sufrir accidentes por conducir bajo sus efectos.

El alcohol es la droga más consumida en nuestro país, por lo tanto, durante el desa-rrollo de esta actividad, sería conveniente conversarlo con sus estudiantes respecto delas afecciones producidas por el consumo de alcohol y contrástelo con los beneficiosde hacer deporte para nuestro organismo.

Más información sobre drogas y prevención en: www.conacedrogas.cl


De refuerzo

1. En relación al consumo de alcohol y su prevención:

a) ¿Qué puedes hacer para prevenir el consumo de alcohol en la juventud?b) ¿Qué beneficios produce el deporte en nuestro organismo?c) Haz un listado de las afecciones producidas por el consumo de alcohol y otro,

con los beneficios del deporte.

(Habilidades que desarrolla: conectar y justificar).


Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alum-nas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados.

Esta manera de sintetizar es una técnica de estudio, pues los estudiantes consolidan,organizan y clasifican sus aprendizajes.

TÉCNICAS DE ESTUDIO

Sintetizar un tema por medio de un esquema es una forma efectiva de resumir y es-tudiar sobre los principales tópicos de una Unidad; sin embargo, existen muchasotras. A continuación, presentamos una de ellas: fichas de resumen.

Las fichas de resumen consisten en distinguir la información más relevante de cadatema trabajado y escribirlo en fichas o tarjetas. Para confeccionarlas y, posterior-mente utilizarlas, se deben considerar los siguientes puntos:

• La creación de las fichas debe ser realizada en forma individual y en clases, para quepueda orientar y guiar el trabajo de los y las estudiantes.

• Se deben confeccionar fichas para cada uno de los temas incluidos en la Unidady en cada uno de estos se deben ocupar como máximo dos fichas, procurandoque logren determinar los aspectos más importantes de cada tema.

• Se sugiere que los y las estudiantes incluyan en cada una de las fichas un título,la descripción del tema, ejemplos numéricos resueltos, un problema relacionadocon el tema abordado en la ficha y conclusiones.

• Es fundamental que la forma de abordar los contenidos de las fichas sea lo sufi-cientemente claro, de tal modo que pueda ser comprendido por cualquier per-sona, conocedora o no del tema.

Sería interesante complementar el trabajo con las fichas pidiendo la opinión deotros compañeros y compañeras del curso, y de esta forma mejorar el trabajo decada estudiante con la ayuda de sus pares y, además, fomentar en el curso eltrabajo colaborativo.


De refuerzo

1. Construye un cuadro resumen sobre los principales temas de esta Unidad.

2. ¿Qué estrategias conoces para resolver problemas? Menciona sus pasos.

3. Inventa un ejercicio que involucre potencias de igual base y, luego, resuélvelo.

4. Menciona dos estrategias para calcular: (0,3)2 • (0,3)5.

5. ¿Cómo justificarías que (–4)5 : (–4)2 = (–4)3?

6. ¿Cómo justificarías que � �3

�4

= � �12

?

(Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, aplicar y calcular).

34

34



¿Qué aprendí?

70 Unidad 2


A. (–15)11 :(–15�8 = –3375

B. � �2

�3

=

C. (0,5)2 • (0,8)2 = (0,4)4

D. �(–2)2�3= �(–2)3�2

2. Una profesora compró lápices de colores pararegalar a sus alumnos y alumnas. Si compró 8 cajas que contienen 16 estuches cada una y cada estuche tiene 4 lápices, ¿cuántos lápicestiene para regalar?

A. 26

B. 29

C. 228

D. 22 • 7

3. Si a, b, c son números naturales mayores que1 y b > c, entonces, es cierto que:

A. aa : aa = aa

B. � �b

�c

= � �b •c

C. � �b

: � �c= � �

b +c

D. ab• cb = (a • c)2

4. El volumen de un cubo cuya arista mide 216 cm, es:

A. 66 cm3

B. 63 cm3

C. 65 cm3

D. 69 cm3

5. La directiva de un curso quiere hacer un diariomural rectangular para su sala de clases. Si solo saben que el área disponible es de 19 683 cm2 y el ancho mide 81 cm, ¿cuánto mide el largo?

A. 35 cmB. 39 cmC. 34 cmD. 53 cm

6. El valor de (0,5)13 : (0,5)11, escrito comofracción, es:

A.

B.

C.

D.

7. Un grupo de 78 125 bacterias decrecenexponencialmente a un quinto de su poblacióncada día. ¿Cuántas bacterias quedarán al cabode 5 días?

A. 55

B. 54

C. 52

D. 53

8. Para que la igualdad: (1,3)x • (0,1)9 = (0,13)9,sea verdadera, el valor de x es:

A. 9B. 1C. 0D. 18


ab

ab

ab

ab

ab

14

12

116

14

125

14096

Unidad 2

Potencias 71

9. Una cuerda tiene 16 384 m de longitud y se corta sucesivamente un cuarto de su longitud.

a) ¿Cuánto queda después de 3 cortes?, ¿y después de 6?b) Construye en tu cuaderno, un gráfico para esta situación.

10. Se sabe que el volumen de un paralelepípedo es 729 cm3. Si su ancho mide 3 cm,su largo 9 cm, ¿cuánto mide el alto? Usa potencias para resolver.




a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?c) Vuelve a la página 37 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”;


No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Concepto de potencia.

Potencia de base entera y exponente natural.

Multiplicación y división de potencias de igual base.

Multiplicación y división de potencias de igualexponente.

Potencia de una potencia.

Potencias de base fraccionaria y exponente natural.

Potencias de base decimal y exponente natural.

Crecimiento y decrecimiento exponencial.

Resolución de problemas.




¿Qué aprendí?Ítem 1: identificar y aplicar.Ítem 2: analizar y aplicar.Ítem 3: analizar y generalizar.Ítem 4: aplicar.

Ítem 5: analizar y aplicar.Ítem 6: representar, aplicar y calcular.Ítem 7: analizar, calcular y representar.Ítem 8: analizar y aplicar.Ítems 9 y 10: analizar, aplicar, representar y calcular.



En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿Quéaprendí? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido losalumnos y alumnas en la Unidad de Potencias, y con esta información seguir deter-minadas líneas de acción, por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar unaactividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendíancon el desarrollo de esta Unidad.

Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas.Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.


• En los ítems 1 al 8, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta;esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomen-dable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente allado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrate-gias empleadas.

• En los problemas de los ítems 9 y 10, es conveniente pedirles a los y las estudiantesque una vez comprendido el problema y planificada la estrategia a utilizar, sean ordenados en el desarrollo de este. De este modo, pueden ayudar a sus compañerosy compañeras que tienen más dificultad, o bien, en caso de cometer errores, facili-tará su detección y corrección.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar oprofundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las activi-dades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en laevaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.


La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9 y 10.


9

Resuelve correctamente cuánto quedadespués de los cortes, utilizando diversasrepresentaciones, entre otras, un gráfico,que permitan realizar un trabajo más eficientemente.

Resuelve correctamente cuántoqueda después de los cortes yconstruye adecuadamente el gráfico.

Resuelve correctamente cuánto quedadespués de los cortes y confundeel gráfico.

Resuelve erróneamente cuántoqueda después de los cortes y confunde el gráfico.

10Resuelve correctamente aplicando lapropiedad adecuada, usando potenciaspara resolver y para responder.

Resuelve correctamente, expresando lasolución como potencia.

Resuelve erróneamente, ya que,confunde la propiedad depotencias utilizada.

Resuelve erróneamente, no usapotencias para resolver.



De refuerzo


1. El resultado de (–6)2 • (–6)5 • –6, es:

A. –68 C. (–6)7

B. (–6)8 D. 66

2. Para que la igualdad: [(0,2)x]2

= 0,0016, sea verdadera, el valor de x es:

A. 4 C. 1B. 3 D. 2

3. ¿Cuál es el valor de y para que se cumpla la igualdad?

� �7

: � �y

=

A. 3 C. 7B. 4 D. 10

4. El resultado de � �3

: � �3

, es:

A. C.

B. D. 1

5. ¿En cuál o cuáles de las siguientes expresiones el resultado es 1?

I. (–4)4 • (–4)4

II. (0,2)2 • 52

III. � �10

: � �10

A. Solo I C. I y IIIB. Solo II D. II y III

59

59

18

51227

27512

23

14

8125

25

25


6. La expresión {[(–10)3]5}

3escrita como una sola potencia es:

A. (–10)45

B. 1045

C. (–10)11

D. (–10)18

7. Calcula mentalmente el valor de cada potencia y escribe el resultado.

a) (–2)7 = e) (–45)2 =

b) (–3)4 = f) � �2

• 62

d) (0,1)2 • 0,1 = h) 1052 =

8. Completa con el exponente que falta para que la igualdad sea verdadera.

a) (–8) • 53 = –64 000 g) (–7)2 • (–7) = 2401

b) (0,5)3 • (0,6) = 0,027 h) (–5) • (–5)4 = –78 125

d) (1,1)2 • (0,2) = 0,0484 j) � � �2

=

e) �(–2)2� 2

= 256 k) (0,1) �3 = 0,000000001

f) � �2

� = l) (–12) : (–12)22 = 144181

13

6415 625

25

12


c) � �2

�4

= g) (–5)3 =12

c) � �9

: � � = i) 33 • 0,4 = 1,7288125

25

25



a b a3 • b3 a2 • 32 a3 : b3 b12 : b10

0,9 2

11 11

0,7 0,1

14 –2

–50 10

91014

15

12

9. Remplaza los valores de a y b en cada caso; realiza los cálculos correspondientesy completa la tabla con los valores de las potencias.

10. Calcula el área de las siguientes figuras. Usa potencias para resolver.

a) b)

De profundización


1. ¿En cuál o cuáles de las siguientes expresiones el resultado es mayor que 1?

I. [(0,1)3 • 103] • 2 II. (–2)4 • (–2)2 III. � �8

: � �2

A. Solo I C. I y IIB. Solo II D. II y III


I. (–8)12 : (–8)5 = (–8)7 II. (0,5)3 : 23 = 23 III. {[(–5)4]3}7 = (–5)14

A. Solo I C. I y IIIB. Solo II D. II y III

86

12

3. Para que la igualdad: 614 : 6x = 62, sea verdadera, el valor de x es:

A. 16 C. 2B. 12 D. 7

4. ¿Cuál es el valor de z para que se cumpla la igualdad?

(–27) • 9 • (–3) • 81 • (–243) = (–3)z

A. 13 C. 15B. 14 D. 16

5. Calcula el valor de las siguientes expresiones, aplicando las propiedades delas potencias.

a) 25 : 22 – 72 • 42 = e) (–100)5 : 105 + [(–10)3]2

=

b) [(–3)2]2

– 203 : 23 = f) � �8

: � �5

+ � �4

• � �4

=

c) (0,2)5 : (0,2)2 + 0,12 = g) (42)2

+ (–3)5 =

d) � �2

: � �2

– � �2

�2

= h) 53 • (0,1)3 – (0,5)3 =

6. Calcula el volumen de los siguientes cubos. Usa potencias para resolver.

a) b)

7. Una empresa que fabrica cajas de cartón de distintos tamaños, ha sacado al mercado una caja cuyo volumen es 1 728 000 cm3. Si su ancho mide 64 cm, sualto 216 cm, ¿cuánto mide el largo? Usa potencias para resolver.

8. Un grupo de investigadores estudia un tipo de bacteria que produce una enfermedad.Para ello, usaron un cultivo de bacterias que se inició con 3000 microorganismos. Sisu número se duplica cada una hora, responde:

a) ¿cuántas bacterias hay al cabo de 5 horas?, ¿y al cabo de 7 horas?b) ¿después de cuántas horas hay 3 072 000 bacterias?c) ¿qué tipo de crecimiento observas en este caso?, ¿por qué?

94

49

27

27

15

35

12


32 cm

32 cm

72 cm

52 cm

24 cm 32 cm


a3 • b3 a2 • 32 a3 : b3 b12 : b10

5,832 7,29 0,091125 4

1 771 561 1089 1 121

0,000343 4,41 343 0,01

–21 952 1 764 –343 4

–125 000 000 22 500 –125 100

De profundización

1. C 2. A 3. B 4. C

5. a) –776 d) g) 13

b) –919 e) 900 000 h) 0

c) 0,018 f)

6. a) 212 cm3 b) 36 cm3

7. 53 cm

8. a) 96 000 en 5 horas y 384 000 en 7 horas.

b) 10 horas.

c) Crecimiento exponencial, pues, a medida que pasa el tiempo, lasbacterias aumentan exponencialmente.

351343

7144



De refuerzo

1. B 2. D 3. B 4. A 5. D 6. A

7. a) –128 e) 2025

b) 81 f) 9

c) g) –125

d) 0,001 h) 11 025

8. a) 3 g) 2

b) 3 h) 3

c) 6 i) 3

d) 2 j) 3

e) 2 k) 3

f) 2 l) 24

9.

10. a) 34 cm2 b) 352 cm2

1256

18000

916

125

12564

729100

729125

14

7298000



IAnalizar, aplicar, representar y calcular.


IIAnalizar, representar, aplicary calcular.


Puntaje total de la evaluación: 40 puntos.Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados porsus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.

Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.

Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas.

Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.


1. B 2. C 3. A 4. A 5. C 6. D 7. B 8. B

9. a) 4096 ranas. b) 4 años. c) A partir del 6° año, aproximadamente.

10. 27 opciones.

11. Volumen = (0,2)6 cm3

12. 33 lápices.


EVALUACIÓN FINAL

En las páginas 130 y 131, se presenta una evaluación fotocopiable que usted puedeutilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son losconocimientos que han adquirido los y las estudiantes en la Unidad de Potencias, ycon esta información determinar líneas de acción; por ejemplo, volver a enseñar uncontenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los apren-dizajes que se esperaba lograr en esta Unidad.

El tiempo estimado para la realización de la evaluación es 40 minutos. Este tiempopuede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus alumnos y alumnas, se sugiere uti-lizar la siguiente pauta:

A continuación, se representa una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9, 10, 11 y 12.


9

Analiza y calcula correctamente sobre lacantidad de ranas, utilizando representa-ciones que permiten realizar un trabajomás eficientemente.

Analiza y calcula correctamente sobrela cantidad de ranas, utilizando una estrategia.

Analiza y calcula erróneamente algunode los problemas.

Analiza y calcula erróneamente los problemas.


Resuelve correctamente, expresandola solución como potencia.

Resuelve erróneamente, ya que confunde la propiedad de potencias utilizada.


11Resuelve correctamente aplicando lapropiedad adecuada, expresando larespuesta con la base indicada.

Resuelve correctamente, expresandola respuesta con base distinta a 0,2.

Resuelve erróneamente confundiendola propiedad de potencias utilizada.

Resuelve erróneamente, no consideraque la arista se duplica y no usapotencias para resolver.


Resuelve correctamente, expresandola solución como potencia.

Resuelve erróneamente, ya queconfunde la propiedad de potencias utilizada.



EVALUACIÓNPotencias


Puntaje: Nota:



I. Las potencias que tienen exponente par tienen el mismo signode la base.

II. Si la base de la potencia es negativa, el valor de la potenciapuede ser positivo.

III. Las potencias de exponente impar son siempre negativas.


2. La expresión: 25 • (–125) • 625 • (–5), escrita como una sola potenciaes igual a:

A. 511

B. 59

C. (–5)10

D. (–5)9


A. (0,4)2 • 4 = (1,6)2 C. � �2

• � �2

= � �2

B. (–60)3 : 123 = –125 D. [(–3)2]4

= 6561

164

18

18

4. El volumen de un paralelepípedo cuyas medidas son: 22 cm deancho, 24 cm de largo y 26 cm de alto es:

A. 212 cm3

B. 236 cm3

C. 23 cm3

D. 248 cm3

5. Para que la igualdad: (0,5)x : (0,5)9 = 0,25, sea verdadera, el valorde x es:

A. 9 B. 7 C. 11 D. 2

6. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista mide 0,09 m?

A. (0,3)5 m3

B. (0,09)2 m3

C. (0,3)3 m3

D. (0,3)6 m3

7. El valor de la expresión: (–45)3 : 53, es:

A. 729 B. –729 C. –9 D. –1

8. La expresión: • • , escrita como una sola potencia, es:

A. � �10

C. � �3

B. � �10

D. � �92

7

27

27

449

3216 807

8343

449



II. Resuelve los siguientes ejercicios mostrando su desarrollo.

9. Una población de aproximadamente 1 048 576 ranas que habitanuna laguna decrece por la acción de un depredador a un cuarto desu población semestralmente.

a) ¿Cuántas ranas hay al finalizar el 2º año?

b) ¿Después de cuántos años la población es de 16 ranas?

c) ¿Al cabo de cuánto tiempo se extinguirán las ranas de la laguna?

10. En el casino de una empresa se ofrece a la hora de almuerzoun menú con plato de fondo, postre y algo para beber. Si hay4 opciones de bebidas, 8 platos de fondo distintos y 4 postres,¿cuántos menús diferentes se pueden escoger? Usa potenciaspara resolver.

11. La arista de un cubo mide 0,02 m. Si se duplica, ¿cuál es el volumendel nuevo cubo expresado como potencia de base 0,2?

12. El centro de alumnos de un colegio ha decidido regalar a los y lasestudiantes lápices de distintos colores. Compraron 3 cajas quecontienen 34 estuches cada una y cada estuche tiene una cantidadde lápices. Si en total hay 38 lápices, ¿cuántos lápices vienen encada estuche? Usa potencias para resolver.



132 Unidad 3 – Geometría y medición Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


Esta Unidad está orientada al estudio de la circunferencia, el círculo y sus elementos, yalgunos cuerpos geométricos. Se pretende que los y las estudiantes utilicen susconocimientos previos y la propia experiencia para calcular la longitud de una circunfe-rencia, el área del círculo, por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia,y el área total y volumen del cilindro y cono.

También se espera que los y las estudiantes sean capaces de resolver problemas ensituaciones y contextos significativos que involucren los contenidos mencionados anteriormente.

Durante el desarrollo de esta Unidad, se realizarán actividades exploratorias y se uti-lizará la calculadora. Además, se emplearán dos procesadores geométricos, uno paracalcular área y perímetro de figuras planas, y otro para calcular área total y volumendel cilindro y cono.


Geometría y mediciónUnidad3

Arco

Área total

Volumen

Cuerda

Secante

Tangente

Radio

Diámetro

Círculo Cuerposgeométricos

Cuerposredondos

Área

Polígonosregulares

Geometría y medición

se relaciona con

pueden ser

como

estudio de

sus elementos

sonCircunferencia

Longitud

Número π

se relaciona con

cálculo de cálculo de

por medio de

Cono Cilindro

cálculo de



7º básico

Verificación, en casos particulares, en formamanual o mediante el uso de un proce-sador geométrico del teorema de Pitágoras,del teorema recíproco de Pitágoras y suaplicación en contextos diversos.

8º básico

Caracterización de la circunferencia y elcírculo como lugares geométricos y surepresentación mediante lenguaje con-juntista e identificación de sus elementos:arco, cuerda, secante y tangente.

Definición del número pi y su relacióncon el diámetro y la longitud de una cir-cunferencia. Cálculo de la longitud deuna circunferencia y estimación del áreadel círculo por medio de polígonos regu-lares inscritos en la circunferencia.

1º medio

Relación del concepto de congruencia defiguras planas con las transformacionesisométricas, formulación y verificación deconjeturas, en casos particulares, acercade criterios de congruencia en triángulos yutilización de estos criterios en la resolu-ción de problemas y en la demostraciónde propiedades en polígonos.

2º medio

Aplicación de la noción de semejanza a lademostración de relaciones entre segmen-tos en cuerdas y secantes en una circunfe-rencia y a la homotecia de figuras planas.

Identificación de ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia,demostración del teorema que relacionala medida del ángulo del centro con ladel correspondiente ángulo inscrito.

Establecimiento de estrategias para la ob-tención del volumen de prismas rectos debase rectangular o triangular y depirámides, cálculo del volumen en dichoscuerpos expresando el resultado enmilímetros, centímetros y metros cúbicosy aplicación a situaciones significativas.

Formulación de conjeturas relativas a loscambios en el perímetro de polígonos yvolumen de cuerpos geométricos, alvariar la medida de uno o más de sus elementos lineales, y verificación, encasos particulares, mediante el uso de unprocesador geométrico.

Formulación de conjeturas relacionadascon el cálculo del volumen del cilindro ycono; cálculo del área de la superficie delcilindro y cono, y verificación, en casosparticulares, mediante el uso de unprocesador geométrico.

Resolución de problemas en situacionessignificativas que involucran el cálculo dela longitud de la circunferencia, el áreadel círculo, la superficie del cilindro, conoy pirámide y el volumen del cilindro y cono.











Caracterización de la circunferencia y elcírculo como lugaresgeométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco,cuerda, secante y tangente.

Definición del númeropi y su relación con eldiámetro y la longitudde una circunferencia.Cálculo de la longitudde una circunferencia y estimación del áreadel círculo por mediode polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

• Circunferencia y círculo como lugar geométrico.

• Elementos de la circunferencia.

• Número π y surelación con la circunferencia.

• Longitud de la circunferencia.

• Área del círculo.

• Identificar la circunferencia y el círculocomo lugar geométrico yrepresentarlos conlenguaje conjuntista.

• Identificar el arco, cuerda,secante y tangente enuna circunferencia.

• Relacionar el número πcon el diámetro y la longitud de la circunferencia.

• Calcular la longitud de una circunferencia.

• Estimar el área del círculo mediante el cálculodel área de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.


De construcción deconceptos: páginas 77 y 79.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas141, 145 y 147.

De profundización:páginas 141, 145 y 147.


De construcción deconceptos: páginas 81,83 y 85.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas149, 151, 153, 155 y 156.

De profundización:páginas 149, 151, 153,156 y 157.

• Reconocen la circunferen-cia y el círculo como lugar geométrico.

• Representan la circunferencia y el círculocon lenguaje conjuntista.

• Identifican el arco,cuerda, secante y tangente en una circunferencia.

• Relacionan el número πcon el diámetro y la longitud de la circunferencia.

• Calculan la longitud deuna circunferencia.

• Estiman el área del círculo mediante el cálculodel área de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

Diagnóstica:páginas 74 y 75del Texto delEstudiante.


Sumativa:páginas 100 y101 del Textodel Estudiante, y178 y 179 de laGuía Didácticadel Docente.

• Regla.• Compás.• Transportador.• Calculadora.• Computador

con conexióna Internet.

• Lana.• Tijeras.• Cartulina.• Pegamento.• Arena.








Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumendel cilindro y cono; cálculo del área de lasuperficie del cilindro y cono, y verificación,en casos particulares,mediante el uso de un procesador geométrico.

Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculode la longitud de la circunferencia, él áreadel círculo, la superfi-cie del cilindro, cono ypirámides y el volumendel cilindro y cono.

• Área del cilindro y cono.

• Volumen del cilindro y cono.

• Buscando estrategias.

• Conjeturar respectodel volumen del cilindro y cono.

• Calcular el área delcilindro y cono.

• Verificar el área total y volumen del cilindroy cono usando unprocesador geométrico.

• Resolver problemas encontextos diversos queinvolucran el cálculodel área total y volumen del cilindro,cono y pirámide.


De construcción deconceptos: páginas 90 y91, 93 y 94.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas159, 161, 165 y 166.


En el TextoDe exploración:páginas 96.



En la Guía DidácticaDe refuerzo: página 169.

De profundización:página 169.

• Calculan el volumen delcilindro y cono.

• Calculan el área del cilindro y cono.

• Calculan elementos delcilindro y cono, talescomo base y altura, a partir de su área total y volumen.

• Resuelven problemas queimplican el cálculo delárea total y volumen delcilindro, cono y pirámide.



ERRORES FRECUENTES


Si los conocimientos previos sobre elementos básicos de geometría, como puntos,rectas, ángulos y polígonos, son insuficientes, se pueden presentar dificultades en elaprendizaje del círculo, la circunferencia y sus elementos.

• Por medio de la evaluación diagnóstica, podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, para prevenir dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la Unidad.

• Se sugiere que después de la evaluación diagnóstica realice un repaso de loscontenidos donde detectó errores o confusiones en sus alumnos y alumnas.

En las actividades que involucran el cálculo del área de diversos polígonos regulares,es posible encontrar los siguientes inconvenientes:

• No recuerdan cómo realizar dichos procedimientos.• Confunden la apotema de un polígono regular con los lados de este, o bien, con

el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

• Para evitar errores y/o confusiones, es conveniente repasar el cálculo de áreas depolígonos regulares, ya que son necesarios para estimar el área de un círculo y elvolumen de algunos cuerpos geométricos.

Al calcular el área total y volumen del cono, puede ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden cómo aplicar el teorema de Pitágoras.

• Para evitar este inconveniente, es recomendable recordar el teorema de Pitágoras y su recíproco, ya que será utilizado en el estudio del área total y volumen del cono.

Si los conocimientos previos de los y las estudiantes sobre números decimales y su operatoria no son suficientes, o bien, no los recuerdan, es posible que tengan dificultades al realizar diversos cálculos empleando estos números.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente realizar unrepaso de las cuatro operaciones básicas con números decimales.


A continuación, le entregamos información complementaria actualizada para undesarrollo conceptual más profundo o amplio de los temas tratados en la Unidad.

CÍRCULO Y SUS REGIONES

• El círculo es la región del plano delimitada por una circunferencia.El área del círculo está dada por la expresión:

Á = π • r 2; donde r es el radio.

• El semicírculo corresponde a la parte del círculo delimitado por un diámetro y unade las semicircunferencias definidas por él. Dos semicírculos forman un círculo completo.

• Un sector circular es la región del círculo delimitada por dos radios y uno de losarcos comprendidos entre ellos.

El perímetro del sector circular de la figura se puede calcular con la expresión:

P = 2 • r +

El área del sector circular de la figura se puede calcular con la expresión:

Á =

• Una corona circular es la región del plano delimitada por dos círculos concéntricos.

El perímetro de la corona circular de la figura se puede calcular con la expresión:

P = 2 • π • (R + r)

El área de la corona circular de la figura se puede calcular con la expresión:

Á = (R2 – r 2) • π

POLÍGONOS INSCRITOS

• Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices pertenecen a ella.

• Si un polígono regular está inscrito en una circunferencia, entonces:

– El radio de la circunferencia (r) se llama también radio del polígono regular.

– El segmento trazado desde el centro al punto medio de un lado se llamaapotema (ρ) del polígono regular.

– El ángulo formado por dos radios consecutivos de un polígono regular se llamaángulo central del polígono.

– Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes (de igualmedida) y suman 360º.

• Un polígono se dice inscriptible si se puede inscribir en una circunferencia.

• Un cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia si sus ángulos opuestos sonsuplementarios (suman 180º).

• En todo triángulo inscrito, el centro de la circunferencia coincide con el circuncentro(punto de intersección de las simetrales del triángulo).


REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONESSOBRE ALGUNOS CONTENIDOS

O

Oα

r

O

O

O

F

G

H

A

B C

D

E

F

G

r

ρ

r

R

2 • r • π • a360°

r2 • π • a360°


Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Formado por 4 triángulosequiláteros.

Formado por 6 cuadradoscongruentes.

Formado por 8 triángulosequiláteros.

Formado por12 pentágonosregulares.

Formado por20 triángulosequiláteros.


POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS

• Un polígono está circunscrito en una circunferencia si todos sus lados son tangentesa la circunferencia.

• Un polígono se dice circunscriptible si se puede circunscribir en una circunferencia.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS INSCRITOS

Usando regla, compás y transportador, es posible inscribir cualquier polígono regularen una circunferencia. A continuación, realizaremos el procedimiento para inscribir unoctágono regular.

Para inscribir un octágono regular en una circunferencia, podemos seguir los siguientes pasos:

1. Con el compás, dibujamos una circunferencia de cualquier radio.2. Para determinar la medida del ángulo central, divide 360º por el número de lados

del polígono, es decir, 360º : 8 = 45º. 3. Usando un transportador y con vértice en el centro, dibuja los ocho ángulos del

centro, que miden 45º cada uno. 4. Prolonga los lados de los ángulos, de tal forma que intersequen a la circunferen-

cia, determinando los puntos A, B, C, D, E, F, G y H.5. Finalmente, une los puntos, obteniendo el octágono regular.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

• Los cuerpos geométricos están limitados por superficies planas o curvas y, a diferenciade las figuras geométricas, poseen volumen.Ejemplo:

• Los cuerpos geométricos pueden clasificarse en: poliedros regulares o no regularesy cuerpos redondos.

• En un cuerpo poliedro se pueden distinguir los siguientes elementos: caras, aris-tas y vértices.

Las caras son figuras planas que delimitan el cuerpo geométrico.Las aristas son segmentos de rectas comunes entre dos caras.Los vértices son puntos en los que se unen tres o más aristas.

• Los poliedros regulares están delimitados por polígonos regulares congruentesentre sí. También son conocidos como sólidos platónicos. Existen cinco poliedrosregulares, estos son:

• Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas y congruentes llamadasbases, y sus otras caras son paralelogramos. Para nombrar un prisma se utilizanlos polígonos que forman sus bases.Ejemplo:

Cuerpo geométrico(tres dimensiones)

Figura plana(dos dimensiones)

Prisma triangular Prisma pentagonal

O

DE

F

A B

C

C

D

EF

G

H

A B

45º

45º

45º45º

45º

45º

45º45º


En los prismas se pueden distinguir los siguientes elementos: caras laterales, carasbasales, aristas basales, aristas laterales y altura (distancia entre los planos quecontienen a las bases).

Si las aristas laterales son perpendiculares a las caras basales, se dice que el prismaes recto. En caso contrario, es oblicuo.

• Las pirámides son poliedros que tienen como base un polígono cualquiera y suscaras laterales son triángulos que concurren en un vértice común, llamado cúspide.

Ejemplo:

En las pirámides se pueden distinguir los siguientes elementos: caras laterales,cara basal, cúspide, aristas basales, aristas laterales y altura (distancia entre lacúspide y el plano que contiene a la base).

Si todas las caras laterales de una pirámide son triángulos isósceles o equiláteros,la pirámide es recta. En caso contrario, es oblicua.

• Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos delimitados por superficies curvaso superficies planas y curvas. Los cuerpos redondos más conocidos son: el cilindro,el cono y la esfera.

BIBLIOGRAFÍA

• Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental.Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.

• Manual esencial. (2008). Capítulo 2, Geometría Elemental. Geometría y Trigono-metría. (pp. 30–158). Santiago: Santillana.

• Rencoret M., (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de enseñanza.Santiago: Andrés Bello.


Pirámide triangular Pirámide hexagonal


La imagen inicial presentada en el texto muestra diversos envases de hojalata, losque son familiares para sus estudiantes. Su propósito es motivarlos en el estudio dela Geometría, especialmente activar sus conocimientos sobre el círculo, la circunferen-cia y sus elementos, conos y cilindros, y algunos cálculos importantes, como longitud,área y volumen, aplicados a la resolución de diversos problemas en contextos variadosy significativos.

Geometría ymedición

Unidad

3

72 Unidad 3

• Identificar la circunferencia y círculo como lugar geométrico y representarlosmediante lenguaje conjuntista.

• Identificar el arco, cuerda, secante y tangente en una circunferencia.• Relacionar el número con el diámetro y la longitud de la circunferencia.• Calcular la longitud de una circunferencia.• Estimar el área del círculo mediante el cálculo del área de polígonos regulares

inscritos en la circunferencia.• Conjeturar respecto del volumen del cilindro y cono.• Calcular el área del cilindro, cono y pirámide y verificarlas, usando un

procesador geométrico.


Para preservar de mejor forma los alimentos durante un largo período detiempo, se realiza un proceso de manipulación de estos, llamada conservaalimenticia.

El objetivo de la conserva es proteger a los alimentos de microorganismos quepodrían modificar sus condiciones sanitarias y su sabor. Las conservas se puedenencontrar en envases de vidrio o de hojalata.

El envase de hojalata conserva por más tiempo los alimentos y evita los efectos de la luz, que deteriora su contenido vitamínico.

La fotografía muestra distintas conservas en envases de hojalata de una empresa.Si desean modificar las dimensiones de los tarros, responde las siguientespreguntas.

1. ¿Qué variará si desean agrandar los envases sin modificar su altura?2. ¿Qué sucederá con el volumen del envase si modifican la altura al doble?,

¿cómo lo supiste?3. ¿Con qué forma geométrica asocias estos tarros de conservas?4. ¿Has consumido algún alimento en conserva?, ¿cuál?

Conversemos de...

Geometría y medición 73



Con la introducción y actividad inicial podrá activar los conocimientos y experienciasprevias de sus estudiantes, ya que algunos de los contenidos fueron trabajados enaños anteriores.


Producto u objeto Cuerpo geométricoasociado Sus caras son

Cilindro Planas y curvas

141 Unidad 3 – Geometría y medición


Conversemos de...Ítems 1 y 2: analizar y conjeturar.Ítem 3: recordar.Ítem 4: conectar.


En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se es-pera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lean en vozalta y, luego, puede preguntarles lo siguiente:

• ¿Qué diferencias hay entre círculo y circunferencia?, ¿y qué semejanzas?• ¿Han escuchado hablar de arco, cuerda, secante o tangente?, ¿cómo relacionarías

estos conceptos con la circunferencia?• ¿Qué diferencias observan entre el radio y el diámetro de una circunferencia?,

¿cómo se relacionan?• ¿Qué semejanzas hay entre el cono y el cilindro?, ¿y qué diferencias?

Con estas preguntas y con las respuestas de sus alumnos y alumnas puede realizarun esquema que vincule los contenidos de la Unidad, y de esta forma podrá obtenerinformación sobre las experiencias y conocimientos previos de sus alumnos y alumnas,y partir de ellos guiar el trabajo de la Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL

Para motivar el desarrollo de la actividad inicial y la Unidad, podría llevar a la clase latasde conservas de distintas dimensiones, o bien pedir a sus alumnos y alumnas (en laclase anterior) que traigan envases que tengan forma de cono o cilindro. A partir dela observación que hagan de ellas podría plantear a sus estudiantes preguntas comolas siguientes:

• ¿Qué formas geométricas observan en cada envase?• ¿Cómo son las caras laterales de las conservas o de los envases que trajeron?• ¿Con qué figura geométrica relacionas la base del envase?• ¿Qué otros cuerpos geométricos conoces?

Estas preguntas y las respuestas que obtenga de sus estudiantes le permitirán motivarlos e introducir el estudio de la Unidad. Además, están relacionadas con lacircunferencia, el círculo, el cilindro y el cono.

La actividad inicial presentada en el Texto está relacionada con contenidos trabaja-dos en años anteriores, tales como figuras geométricas, cuerpos geométricos y cálculo del volumen.


La actividad inicial presentada en el Texto está relacionada con los alimentos y susformas de conservación. Para evitar la descomposición de ellos, y también para im-pedir la pérdida de vitaminas, se utilizan los envases de hojalata.

En muchos países, debido a diversos factores, por ejemplo climáticos, es común queno sea posible producir algunos alimentos. Por esto la población acostumbra con-sumir alimentos en envases de hojalata o conservas, traídos de otras cuidades opaíses del mundo.

Podría aprovechar este tema para conversar con sus estudiantes sobre la importanciade tener una alimentación equilibrada y saludable. El INTA (Instituto de Nutrición yTecnología de los Alimentos) es un centro de investigación que depende de laUniversidad de Chile, se encarga de investigar y dar solución a los problemas alimen-tario-nutricionales del país, desde lo molecular hasta lo poblacional.

Interesante información sobre los alimentos y nutrición en general puede encontraren el sitio web del INTA: www.inta.cl.



De refuerzo

1. Completa la siguiente tabla. Guíate por el ejemplo

(Habilidades que desarrolla: analizar y reconocer).



¿Cuánto sabes?

1. Calcula el perímetro de los siguientes polígonos y explica el procedimientoque utilizaste.

a) ABCD cuadrado c) LMNO romboide

b) HGFE trapecio isósceles d) IJK equilátero

2. Calcula el área de los siguientes polígonos y explica el procedimiento que utilizaste.

a) c) EFG isósceles de base EF

b) d)

3. Calcula el área total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a) b)

4. El perímetro de un triángulo equilátero es 24 cm. Si la medida de uno de sus lados aumenta en 3 cm, ¿cuánto mide ahora el perímetro del triángulo?,¿sigue siendo equilátero?, ¿por qué?

74 Unidad 3

D C O

K

N

MLA B

JIG

FE

H

5 cm

5 cm

6 cm

3,5 cm9 cm

5 cm

4 cm

8 cm

A B

H K L

M NI J

D C G

FE

2,6 cm

2,6 cm

10 cm

12 cm

5 cm12 cm

17,5 cm 4 cm

3 m

5 m4 cm

5,5 cm

5 m

4 cm

Unidad 3

5. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm, ¿cuánto midesu perímetro?; ¿y su área?, ¿y si los catetos se duplican?

6. Si el área de un terreno cuadrado es 100 m2, ¿cuántos metros de alambre senecesitan para cercar el terreno con una vuelta?

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.

• Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectosconsecutivos no alineados, llamados lados. Según el número de sus lados, se clasifican en:triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), etc.

• Los polígonos que tienen todos sus ángulos de igual medida, al igual que la medida de suslados, reciben el nombre de polígono regular.

• La apotema de un polígono regular es la distancia perpendicularentre el centro y cualquiera de sus lados.

• El perímetro de un polígono es la medida de la longitud de su frontera o contorno, expresada como unidad de longitud.

• El área es la medida de la superficie de una figura. • Para calcular el área de un cuadrado de lado a, se puede utilizar la fórmula a2.• Para calcular el área de un rectángulo de lados a y b, se puede utilizar la fórmula a • b.

• Para calcular el área de un triángulo de base b y altura h, se puede utilizar la fórmula .

• En un triángulo rectángulo, las medidas de los catetos se pueden considerar como su base y su altura, ya que son perpendiculares entre sí.

• En un triángulo ABC rectángulo en C se cumple que:

• Un prisma recto es aquel poliedro que tiene dos caras paralelas que son polígonos igualesllamados bases. El resto de las caras son rectángulos perpendiculares a las bases y se llamancaras laterales.

• Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos, que concurren en un punto llamado cúspide. Las pirámides rectas son aquellas cuyas caraslaterales son triángulos isósceles. De lo contrario, se denominan oblicuas. Las pirámidesregulares son aquellas cuya base es un polígono regular.



apotema del pentágono

b • h2

C

B

A

ac

b

a2 + b2 = c2

(Teorema de Pitágoras)




Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una eva-luación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: calcular el perímetro de los polígonos dados.Ítem 2: calcular el área de los polígonos dados.

Ítem 3: calcular el área total y volumen de los cuerpos geométricos dados. Ítem 4: calcular el perímetro de un triángulo y determinar si sigue siendo equilátero al

variar la medida de uno de los lados del triángulo inicial.Ítem 5: calcular área y perímetro de un triángulo rectángulo.Ítem 6: determinar la cantidad de metros necesarios para cercar un terreno cuadrado,

sabiendo su área.



¿Cuánto sabes?Ítems 1 y 2: calcular y justificar. Ítem 3: calcular.Ítem 4: analizar, calcular y justificar.Ítems 5 y 6: analizar, aplicar y calcular.


• En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes hayan olvidado cómo calcular el perímetro de los polígonos dados. Recuérdeles que el perímetro es la medidade la longitud del contorno de una figura, y se obtiene sumando las medidas desus lados.

• En el ítem 2, si tienen dudas respecto a cómo calcular el área de algunos de los polí-gonos dados, recuérdeles que el área corresponde a la medida de la superficie deuna figura. Por otro lado, podrían tener problemas para determinar la medida del

cateto faltante en el triángulo rectángulo. Si ocurre esto, presénteles un ejemplo endonde deban encontrar la medida de algún cateto o de la hipotenusa.

• En el ítem 3, puede que los alumnos y alumnas presenten dificultad para determinarel área total y el volumen del prisma y de la pirámide, debido a que no recuerdancómo hacerlo. Para ayudarlos, explique en la pizarra cómo hacer los cálculos enambos casos.

• En el ítem 4, los alumnos y alumnas se podrían confundir al pensar que cada ladodel triángulo equilátero se aumenta en 3 cm. En este caso, enfatice a sus estudiantesque solo aumenta en 3 cm un lado.

• En el ítem 5, podría ocurrir que sus alumnos se confundan y determinen prelimi-narmente que el área del triángulo rectángulo se duplica si se duplican las medidasde los catetos. Para corregir este error, pídales que hagan el ejercicio y, luego, con-cluyan, a partir de los resultados obtenidos, que el área se cuadriplica.

• En el ítem 6, podrían dividir el área por 2 en vez de calcular la raíz cuadrada. Paraevitarlo recuérdeles el proceso inverso y pregunte ¿qué operación deben hacerpara obtener el área de un cuadrado?



1 y 2

Calcula correctamente todos losperímetros y áreas de los polígonos pedidos, justificando de forma detallada cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente todos losperímetros y áreas de los polígonos pedidos, sin justificar cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente dos o tres de los perímetros o áreas de los polígonospedidos, sin justificar sus pasos.

Calcula erróneamente más de tres delos perímetros o áreas de los polígonospedidos, sin justificar sus pasos.

3

Calcula correctamente todas las áreas yvolúmenes de los cuerpos geométricospedidos, indicando de forma detalladasus pasos.

Calcula correctamente todas las áreas yvolúmenes de los cuerpos geométricospedidos, sin indicar sus pasos.

Calcula erróneamente una o dos de lasáreas o volúmenes de los cuerpos geo-métricos pedidos, sin indicar sus pasos.

Calcula erróneamente más de dos delas áreas o volúmenes de los cuerposgeométricos pedidos, sin indicar sus pasos.

4

Calcula correctamente el perímetro del triángulo, justificando por qué nocorresponde a un triángulo equilátero.

Calcula correctamente el perímetro del triángulo, indicando que no corresponde a un triángulo equiláterosin justificar por qué.

Calcula erróneamente el perímetro del triángulo, indicando que no corresponde a un triángulo equilátero,sin justificar por qué.

Calcula erróneamente el perímetro del triángulo, indicando que sí corresponde a un triángulo equilátero.

5

Calcula correctamente el perímetro yárea pedidos, aplicando el teorema dePitágoras, indicando cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el perímetro y área pedidos, aplicando el teoremade Pitágoras, sin indicar cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente el perímetro o área, aplicando el teorema dePitágoras, sin indicar cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente el perímetro yárea, aplicando de forma incorrecta elteorema de Pitágoras, sin indicar cadauno de sus pasos.

6

Calcula correctamente el perímetro delcuadrado, indicando detalladamentecada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el perímetro delcuadrado, sin indicar cada uno desus pasos.

Determina la medida del lado pero calcula erróneamente su perímetro.

Calcula erróneamente el perímetro delcuadrado, sin indicar cada uno de sus pasos.



76 Unidad 3

Para discutir

• ¿Cuántos metros hay desde el dispositivo hasta E?, ¿y hasta B y H?,¿cómo lo supiste?

• ¿Qué sucede con los estudiantes que están a menor distancia que 500 m del dispositivo?, ¿y los que están a más de 500 m a la redonda?, ¿cómo lo expresarías geométricamente?

• Si los estudiantes que están ubicados a menos de 500 m deldispositivo se ubicaran justo a 500 m de este, ¿dónde seencontrarían geométricamente?, ¿por qué?

• ¿Con qué conceptos geométricos puedes relacionar a las personasque están a menor distancia de 500 m a la redonda del dispositivo?,¿y los que están a 500 m?, ¿por qué?

En la situación anterior, los puntos que se encuentran a 500 metrosdel dispositivo emisor son H, B y E. Estos puntos y todos aquellosque están a 500 metros del dispositivo emisor O, pertenecen a la circunferencia. El dispositivo corresponde al centro de lacircunferencia; la distancia desde el centro O a la circunferencia se denomina radio; en este caso, el radio es de 500 metros.

El conjunto de todos los puntos que están en el interior de lacircunferencia de centro O, como C, F, G y D, pertenecen al círculo.Luego, la circunferencia es el contorno del círculo.

Los puntos S y T se encuentran a más de 500 m del centro O de lacircunferencia, por lo tanto, no pertenecen a ella (ni al círculo).

Esto quiere decir que Sara y Tomás no pueden acceder a la web.

Circunferencia y círculo como lugargeométrico

En el patio de una universidad se ha instalado un dispositivo emisorde Internet, para que los y las estudiantes que dispongan de tarjetasreceptoras en sus computadores personales puedan acceder a laWeb. El dispositivo receptor tiene un alcance hasta los 500 metros a la redonda. Observa la imagen que muestra el punto del patiodonde se instaló el dispositivo emisor y a los y las estudiantes que,en ese momento, estaban con sus computadores usando internet.

Glosario conjunto: es toda agrupación deobjetos. Los objetos agrupadostoman el nombre de elementos del conjunto.pertenece: corresponde a todoslos elementos que forman parte deun conjunto dado. Se simboliza �.no pertenece: corresponde atodos los elementos que noforman parte de un conjunto dado.Se simboliza �.

SaraDaniela

Eduardo

Gabriel

TomásHernán

Carolina

Dispositivo

Francisca

Bernardo

Límite de la señal

H

C

F

BS

DEO

G

T


Unidad 3

Actividades

1. Observa la siguiente circunferencia de centro O y el círculo de centro C, respectivamente y, luego, responde.

a) ¿En qué se parecen ambas figuras?, ¿en qué se diferencian?b) ¿Qué aspectos caracterizan a cada figura?c) ¿Cuándo un punto pertenece al círculo?, ¿y a la circunferencia?

Da 2 ejemplos para cada caso.

2. Observando la figura, completa cada una de las siguientes expresiones con:

• pertenecen • radio • no pertenecen• no pertenece • pertenecen • pertenece

a) El de la circunferencia de centro O mide 1 cm.b) El punto C al círculo.c) Los puntos D y E al círculo.d) Los puntos D y E a la circunferencia.e) Los puntos B y F a la circunferencia.f) El punto E al círculo.

• Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.

• Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distanciade un punto fijo, llamado centro; dicha distancia se denomina radio.

Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a unacircunferencia de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:

C = �p � P / d (p, O) = r �

• El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.

Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a un círculo de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:

C = �p � P / d (p, O)�r �

La notación d(p, O) representa la distancia desde cualquier punto p del plano P al centro O.

No olvides que...

O C

ED

OB

F

C




• Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su re-presentación mediante lenguaje conjuntista […].


Para discutirÍtem 1: analizar y justificar.Ítems 2 y 3: analizar, conectar y justificar.Ítem 4: analizar, conectar, reconocer y justificar.


Nombre Dibujo Definición

Circunferencia

Círculo

ActividadesÍtem 1: analizar y reconocer.Ítem 2: analizar e identificar.

ACTIVIDAD INICIAL

La situación presentada en el Texto es muy familiar para sus estudiantes, pues estárelacionada con conexiones a Internet, tema muy actual. A partir de la contextuali-zación y de las preguntas exploratorias planteadas en la sección PARA DISCUTIR, sepretende que los alumnos y alumnas descubran las características de la circunferenciay del círculo.

Para complementar la situación presentada, podría dibujar en la pizarra algo simi-lar al dibujo de la página y sacar a algunos o algunas de sus estudiantes al pizarrónpara que realicen la actividad en conjunto. A otros estudiantes podría pedirles quelean las preguntas, procurando la participación del resto de los alumnos y alumnasy, luego, respondan las preguntas entre todos.

Para complementar el tema y la información, podría plantear preguntas como las siguientes:

• ¿Sabes qué es un círculo?, ¿y qué es una circunferencia? • ¿La circunferencia y el círculo corresponden a la misma figura?, ¿por qué?• ¿Conoces los elementos de una circunferencia?, ¿cuáles son?


• En el ítem 1, podría pedir a sus alumnos y alumnas que, usando sus cuadernos, es-criban las características de un círculo y de una circunferencia, para que respondancon más facilidad las preguntas planteadas. Al finalizar esta actividad, pregunte alos y las estudiantes qué respondieron y si están de acuerdo, para que finalmente,puedan llegar a una puesta en común.

• En el ítem 2, para evitar confusiones, puede pedirles que lean cada una de las ora-ciones dadas y, luego, las opciones. De esta forma podrán completar con menosdificultad las expresiones. Además, si es necesario, permítales que utilicen reglapara medir el radio.


• Muchos objetos que utilizamos tienen forma circular. Como tarea, podría pedirlesa sus estudiantes que observen qué objetos que nos rodean tienen dicha forma.De este modo, podrá conectar un contenido matemático con la realidad.

En el arte es posible observar circunferencias y círculos en maravillosas creaciones,como pinturas, esculturas, construcciones, etc. Podría pedir, como tarea, quebusquen en Internet obras de arte, esculturas o construcciones con estas formas.


La próxima clase (después de la tarea), invítelos a que expongan al resto del cursolos resultados obtenidos de la observación y de la exploración en Internet.

• Es importante que sus estudiantes noten la diferencia entre círculo y circunferencia,ya que, en muchos casos, suelen pensar que ambos conceptos son equivalentes.Podría aclarar, en términos simples, la diferencia entre cada figura.

• Es posible que los alumnos y alumnas no estén muy familiarizados con el tipo denotación matemática en lenguaje conjuntista. Por ello es importante mencionarlo que representa cada símbolo, por ejemplo:

<: menor que >: mayor que ∈: pertenece

≤: menor o igual que ≥: mayor o igual que ∉: no pertenece

De esta forma se familiarizarán con este tipo de lenguaje matemático. La idea esintroducirlo de manera progresiva, para que los y las estudiantes noten que esposible usar otra notación sin que se transforme en una dificultad.


De refuerzo


(Habilidades que desarrolla: reconocer y recordar).

De profundización

1. Responde verdadero (V) o falso (F), según corresponda. Justifica tus respuestas.

a) Círculo y circunferencia son conceptos equivalentes.

b) La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano

que están a igual distancia del centro.

c) El círculo es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya

distancia al centro es menor que el radio.

d) El radio se puede medir considerando dos puntos de la circunferencia.

(Habilidades que desarrolla: recordar y analizar).



78 Unidad 3

Para discutir

• Si mides con una regla OE y OI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué?• ¿Qué diferencias observas entre la parte de la circunferencia

comprendida entre los puntos F y G y el trazo FG?, ¿cómo lo supiste?• Si mides con una regla OE y HI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué?• ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre GF y AB ?,

¿y entre AB y CD ?• ¿Cuánto miden los ángulos OED y CEO? Usa transportador.• ¿Ocurrirá siempre lo mismo con las medidas de los ángulos

formados entre el radio y la recta que interseca a la circunferenciaen un solo punto?, ¿cómo lo supiste?

En la circunferencia anterior, tenemos que OE y OI corresponden asegmentos que unen un punto de la circunferencia con su centro O;estos segmentos corresponden al radio de la circunferencia.

La parte de la circunferencia comprendida entre los puntos F y Gse denomina arco (FG�), es decir, corresponde a todos los puntospertenecientes a la circunferencia entre dichos puntos, a diferenciade FG, que contiene solo a dos puntos de la circunferencia. Estesegmento se denomina cuerda.

Por otra parte, HI mide el doble del radio; este segmento que unedos puntos de la circunferencia y, además, pasa por el centro de ellase llama diámetro.

Al observar AB y CD , podemos notar que la primera recta corta a la circunferencia en dos puntos, a diferencia de CD , que toca a la circunferencia en un solo punto (E ). En el caso de AB , la recta se llama secante a la circunferencia, y en el caso de CD , tangentea la circunferencia. Además, el ángulo formado entre la tangente y el radio, en el punto de intersección (E ) es recto (mide 90º).

Elementos de la circunferencia

Observa la siguiente circunferencia de centro O y los elementos marcados en ella.

Glosario En Matemática puedes utilizar la siguiente notación:Segmento HI: HI �

Recta AB: ABArco FG: FG�

Ayuda

El arco de una circunferenciase lee en sentido inverso algiro de los punteros del reloj.

C

D

FE

IO

H

G

A

B


Actividades

1. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno una circunferencia de centro O y radio 3 cm. Luego, sigue las instrucciones y responde las preguntas.

a) Traza un diámetro: ¿cuánto mide?b) Traza una recta secante y marca con distintos colores los arcos determinados por ella.c) Traza un radio OA y, luego, una tangente a la circunferencia que pase por A. Para esto,

utiliza escuadra.d) Traza una cuerda de menor longitud que el diámetro, ¿qué sucede si son de igual longitud?

2. Considera la circunferencia de centro O y completa la siguiente tabla.


a) Las cuerdas que contienen al centro de la circunferencia se denominan arcos.b) El diámetro de una circunferencia mide la mitad del radio.c) Toda recta secante a una circunferencia determina dos arcos.d) Toda recta tangente a una circunferencia interseca al menos en un punto a la circunferencia.e) El diámetro de una circunferencia determina dos arcos de igual medida.

En una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos:

• Radio: segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.

• Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

• Diámetro: cuerda que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Es la cuerdade mayor longitud en la circunferencia. En toda circunferencia se tiene que la medida deldiámetro corresponde al doble de la medida del radio.

• Arco: parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

• Secante a una circunferencia: recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.

• Tangente a una circunferencia: recta que interseca en un único punto a la circunferencia.

No olvides que...

Unidad 3

Cuerda(s)

Diámetro(s)

Radio(s)

Secante(s)

Tangente(s)

Arco(s)

A

B

O

D

C

F

E




• Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos […] eidentificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.


Para discutirÍtem 1: usar herramientas y analizar.Ítem 2: analizar y justificar.Ítem 3: usar herramientas, analizar y justificar.

Ítem 4: analizar.Ítem 5: usar herramientas.Ítem 6: analizar y justificar.


Elemento de lacircunferencia (rojo) Nombre Característica

ActividadesÍtem 1: usar herramientas y analizar.Ítem 2: reconocer.Ítem 3: analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de esta actividad es mostrar a los y las estudiantes los elementos de lacircunferencia y las propiedades de cada uno de ellos. La idea es que midan los seg-mentos pedidos y respondan las preguntas planteadas y, a partir de esto, puedan deducir las características de cada elemento.

Sería conveniente que analicen las preguntas de la sección PARA DISCUTIR en conjuntoy, luego, hagan una puesta en común.


• En el ítem 1, los alumnos y alumnas deben dibujar los ele-mentos de una circunferencia. Por ello, es recomendableque lean cuidadosamente las instrucciones de lo que debenrealizar para evitar confusiones. Además, en la actividadc), deben dibujar una recta tangente; en este caso puedeguiarlos al momento de usar la escuadra. Entonces,pueden hacer algo similar a la imagen del lado derecho.

• En el ítem 2, mencione a sus estudiantes que deben colocar las nomenclaturasmatemáticas correspondientes de segmentos, rectas y arcos, y con las letras ade-

cuadas. Por ejemplo, recta AB: ; radio OA: OA; arco CF: .• En el ítem 3, recuerde a sus estudiantes que deben justificar por escrito aquellas

oraciones que consideren falsas. Se sugiere que revisen esta actividad leyendo envoz alta cada expresión y determinando en conjunto si son verdaderas o falsas,incluyendo las justificaciones.


• Algunos elementos de la circunferencia (radio y diámetro), que ya se han estudia-do en cursos anteriores, en este semestre se formalizan. Con respecto a losnuevos elementos (arcos, cuerdas, rectas secantes y rectas tangentes), es impor-tante que queden consolidados, pues en niveles posteriores estudiarán relacionesentre cuerdas y rectas en la circunferencia, entre otras cosas.

• Es importante que tenga en consideración la siguientepropiedad: toda recta tangente a una circunferencia es per-pendicular al radio trazado desde el punto de tangencia (T).



De refuerzo


(Habilidades que desarrolla: reconocer y recordar).

De profundización

1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica.

a) El radio y la tangente forman un ángulo de 90º en el punto de tangencia.

b) El diámetro de una circunferencia siempre pasa por el centro de esta.

c) Una recta secante corta a la circunferencia en dos puntos.

d) Una recta tangente no interseca a la circunferencia.

e) El diámetro es la mayor cuerda de una circunferencia.

2. Dibuja, usando regla y escuadra, en la siguiente circunferencia:

– el centro (O).– un radio (OA).– una cuerda (AB).– una recta tangente (que pase por B).– una recta secante (BC).– un diámetro (CD).

(Habilidades que desarrollan: recordar, analizar, reconocer y usar herramientas).

AB� ��

CF�

O

O

T

W

U

P

R


80 Unidad 3

Número y su relación con lacircunferencia

En la actividad anterior, podemos notar que el cociente obtenido en la última columna de la actividad experimental esaproximadamente 3,14 en todos los casos. Si realizáramos el mismoexperimento con circunferencias cuyo radio fuera diferente,observaríamos que dicho valor se mantiene constante. Este valor se representa con la letra griega , y se pronuncia número pi.

Para discutir

• ¿Cómo calculaste la medida del diámetro?, ¿y la longitud de cada circunferencia?

• Los valores obtenidos en la última columna, ¿tienen algo en común?,¿por qué?

• Si dibujaras otras circunferencias, con distintos radios, ¿qué valoresobtendrías al calcular el cociente entre su longitud y el diámetro?,¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué?

• ¿Reconoces los valores obtenidos en la última columna con algúnnúmero especial?, ¿cuál?

En esta actividad deberán utilizar 1 metro y medio (aprox.) de lana, regla, compás y calculadora paramedir la longitud y el diámetro de circunferencias y calcular el cociente entre dichas medidas. Formengrupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. Dibujen en sus cuadernos circunferencias cuyos radios midan 2 cm, 3 cm, 5 cm y 10 cm.2. Pongan la lana sobre cada circunferencia, cortándola de tal modo que mida exactamente

lo mismo que cada una de estas figuras.3. Después que han cortado los trozos de lana, estírenlos y mídanlos con regla, para calcular la

longitud de las circunferencias. 4. Completen la tabla.

En equipo

CircunferenciaMedida del diámetro

(cm)Medida de la longitud

(cm)Valor de la razón entre

la longitud y el diámetro

1

2

3

4

Ayuda

Recuerda que el valor de larazón es el cociente entre dos cantidades.


Actividades

1. Usando calculadora, determina cuál de las siguientes expresiones corresponde a una mejoraproximación al número .

a) c) e)

b) d) f)

2. Agustín dice que para calcular la longitud de una circunferencia basta con multiplicar por el diámetro de esta. ¿Consideras correcto lo que afirma?, ¿por qué?

3. ¿Puedes obtener la longitud de una circunferencia si conoces la medida de su radio?, ¿cómo lo harías?

4. Utilizando calculadora, completa la siguiente tabla. Considera el número , redondeado a los centésimos ( = 3,14).

La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es un número constante quellamamos número . Este número es decimal infinito no periódico, que truncado a sus primerascifras es:

� 3,1415926535…

No olvides que...

Unidad 3Unidad 3

355113

227

258

25681

39271250

377120

Circunferencia Medida del radio (cm) Medida del diámetro (cm) Medida de la longitud (cm)

1 37,68

2 62,8

3 31,4

4 15

5 10,5

6 314

7 6,5

8 125,6




• Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circun-ferencia […].


En equipoÍtems 1, 2 y 3: usar herramientas.Ítem 4: clasificar.

Para discutirÍtem 1: justificar.Ítems 2 y 3: analizar y justificar.Ítem 4: reconocer.


Circunferencia Radio (m) Diámetro (m) Longitud (m)

1 4

2 12

3 94,2

4 157

ActividadesÍtem 1: usar herramientas y reconocer.Ítems 2 y 3: analizar y justificar.Ítem 4: calcular y usar herramientas.

ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de la actividad EN EQUIPO es que los alumnos y alumnas, por medio dela exploración, puedan establecer que el valor de la razón entre la longitud y eldiámetro de una circunferencia es aproximadamente 3,14. De este modo, se darápaso a un valor constante, que se denomina número π.

Es importante que todos los alumnos y alumnas tengan los materiales necesariospara el desarrollo de la actividad, supervise que en los grupos todos la realicen.

Además, procure que trabajen con precisión, pues de esta manera lograrán resulta-dos esperados. Al final de la actividad, podría realizar una revisión general con elcurso sobre los resultados obtenidos, para luego hacer una puesta en común.


• En el ítem 1, si es necesario, recuerde a sus estudiantes que la mejor aproximaciónal número π debe ser verificada con las cifras que coinciden en la misma posición,partiendo desde la parte entera hasta las cifras decimales.

• En el ítem 2, podría sugerir a sus estudiantes que verifiquen la afirmación deAgustín utilizando los datos de la tabla de la actividad inicial.

• En el ítem 3, si es necesario, puede recordarles la relación entre el radio y eldiámetro de una circunferencia. De esta forma, será más sencillo analizar la relaciónentre la longitud de una circunferencia y el radio. Además, sugiera analizar la tablade la actividad inicial.

• En el ítem 4, si lo estima conveniente, realice, a modo de ejemplo, algunos de losejercicios planteados en el Texto.


• Es importante que mencione a sus estudiantes que el número π es un número irracional. Es decir, no se puede expresar como fracción y tiene infinitas cifrasdecimales no periódicas. Sus primeras cifras son:

π = 3,14159265358979…

• En las calculadoras científicas existe una tecla destinada a entregar una aproxi-mación al número π, sin embargo, en el texto utilizaremos la aproximación 3,14.

• Para obtener el valor del número π en una calculadora científica, se deben presionarlas teclas:


De refuerzo

1. Usando calculadora, completa la siguiente tabla. Considera π = 3,14.

(Habilidad que desarrolla: calcular y usar herramientas).

De profundización

1. Usando calculadora, responde las siguientes preguntas. Escribe, paso a paso,cómo llegaste a la solución. Considera π = 3,14.

a) ¿Cuál es el diámetro de una circunferencia si su longitud es 314 cm?

b) ¿Cuál es el radio de una circunferencia si su longitud es 62,8 m?

c) ¿Cuál es la longitud de una circunferencia si su diámetro es 23 mm?

d) ¿Cuál es la longitud de una circunferencia si su radio es 17 cm?

e) ¿Cuál es el radio de una circunferencia si su diámetro es 19 cm?

f) ¿Cuál es el radio de una circunferencia si su longitud es 34,54 cm?

g) ¿Cuál es el diámetro de una circunferencia si su longitud es 78,5 cm?

(Habilidades que desarrolla: calcular y justificar).


Shift π =


82 Unidad 3

Para discutir

• ¿Con qué elemento de la circunferencia puedes igualar los ladosdel hexágono?, ¿por qué?

• Observa el perímetro del hexágono y la longitud de lacircunferencia, ¿cuál es mayor?, ¿cómo lo supiste?

• Según lo estudiado hasta ahora, ¿cómo relacionarías la longitudde la circunferencia con el diámetro y el número ?

En la situación anterior, el hexágono regular inscrito en lacircunferencia con centro en O se ha dividido en 6 triángulosequiláteros y cada lado de los 6 triángulos coincide con el radio de la circunferencia.

Los arcos que se forman con los lados del hexágono tienen medidaun poco mayor que dichos lados y, por lo tanto, es un poco mayorque el radio. Luego, si comparamos la longitud de la circunferencia,que es igual a la suma de todos los arcos; con el perímetro delhexágono, que es igual a 6 veces el radio, tenemos que:

longitud de la circunferencia > perímetro del hexágonolongitud de la circunferencia > 6 veces la medida del radio

longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro

Por otro lado, estudiamos en la actividad experimental de la página80 que el número es igual a la razón entre la longitud de una

circunferencia (l ) y su diámetro (d ), es decir, = . Entonces:

= / multiplicamos por d

• d = • d

Por lo tanto, l = • d

Longitud de la circunferencia

La siguiente figura muestra un hexágono regular que está inscrito en una circunferencia. El hexágono regular está dividido en 6 triángulos equiláteros, que tienen un vértice común en elcentro de la circunferencia.

ld

ld

O

E D

CF

BA

ld


Actividades

1. Calcula la longitud de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r). Considera = 3,14.

a) r = 4 cm c) r = 4,7 cm e) r = cm g) r = 1000 cm

b) r = 0,5 m d) r = 1,7 km f) r = 9 cm h) r = 10 000 cm

2. Calcula el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de la longitud (l ). Considera = 3,14.

a) l = 28,26 cm c) l = 1256 km e) l = 3,14 m g) l = 31,4 cmb) l = 11,304 m d) l = 6,28 cm f) l = 188,4 cm h) l = 50,24 m

3. Calcula la longitud de cada circunferencia. Considera = 3,14.

a) b) c)

Luego, si consideramos lo anterior y, además, que el diámetro esigual a 2 veces el radio (2 • r ), verificamos que:

longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro

• d > 3 • d• (2 • r ) > 3 • (2 • r )

Por lo tanto, 2 • • r > 2 • 3 • r

Lo anterior se confirma con que > 3.

La longitud de una circunferencia (l ) es igual al producto de 2 por por su radio (r ). Es decir,l = 2 • • r

No olvides que...

Unidad 3

72

G

L

K

5 cm

15 cm

3 cm




• […]. Cálculo de la longitud de una circunferencia […]


Para discutirÍtems 1 y 2: reconocer y justificar.Ítem 3: analizar.


la función del software que calcula perímetros, determine los perímetros de lascircunferencias y de los polígonos para que observen que, efectivamente, losperímetros se aproximan mientras más lados tiene el polígono regular.

Esta manera de probar lo mencionado anteriormente respecto de los polígonos,es una instancia que puede aprovechar para mostrarles a sus estudiantes cómofunciona GeoGebra, ya que tendrán que trabajar con él en la página 86.

• Es conveniente reforzar la multiplicación y división con números decimales antesde comenzar a estudiar la longitud de la circunferencia. Por otro lado, también esimportante que permita a sus alumnos y alumnas trabajar con calculadora. Lo im-portante es no centrarse en una sola forma de resolver, sino que combinar ambas.


De refuerzo

1. Determina la longitud de las siguientes circunferencias. Considera π = 3,14.

a) b)

(Habilidades que desarrolla: calcular).

De profundización

1. Determina la longitud de la circunferenciainscrita en el cuadrado, considerando que elperímetro del cuadrado es 60 cm. Consideraπ = 3,14.

2. El perímetro de la siguiente figura es 41,12 cm. Determina la medida del diámetro EG. Considera π = 3,14.

(Habilidades que desarrollan: analizar y calcular).


ActividadesÍtems 1, 2 y 3: calcular.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto es presentar el estudio del cálculode la longitud de una circunferencia, a partir de un hexágono regular inscrito en ella. Laidea es que sus estudiantes relacionen el perímetro de este polígono con la longitud dela circunferencia.

De acuerdo con el ejemplo mostrado en la actividad inicial, se concluye que la longitudde la circunferencia es tres veces mayor que la medida del diámetro.

Luego de responder las preguntas, podría plantear lo siguiente, para complementarlas:

• Si inscribimos en una circunferencia un pentágono regular, ¿qué sucederá con lalongitud de la circunferencia y la de este polígono regular?, ¿sus valores serán mássimilares?, ¿y si inscribimos un octágono regular?


• En el ítem 1, pida a sus estudiantes que revisen las respuestas obtenidas, utilizandocalculadora. Además, podrían chequearlas en conjunto, para que los alumnos oalumnas que tengan algún error lo corrijan inmediatamente.

• En el ítem 2, pídales que planteen la ecuación que permite encontrar el radio; porejemplo, en la actividad a), sería:

2 • 3,14 • r = 28,266,28 • r = 28,26 / : 6,28

∴ r = 4,5

Pregunte si existe otra forma de resolver, para que la compartan y discutan conlos demás.

• En el ítem 3, propóngales que realicen los cálculos de forma manual, para quepractiquen la multiplicación con números decimales y, luego, comprueben con la calculadora.


• Es importante destacar que un polígono está inscrito en una circunferencia sitodos sus vértices pertenecen a ella.

• Es importante mencionar a sus estudiantes que a medida que aumenta el númerode lados del polígono regular, el perímetro de este se aproxima a la longitud de lacircunferencia circunscrita. Si dispone de un proyector y un procesador geométrico(como GeoGebra), podría dibujar tres circunferencias con radios de igual medida einscribir un polígono regular en cada una, que sean distintos entre sí. Luego, con

O

E G

3,5 cm

5 cm


84 Unidad 3

Para discutir

• ¿Cómo son entre sí el área del círculo y el área de cada polígonoregular?, ¿qué sucede con estas áreas a medida que aumenta lacantidad de lados del polígono regular?

• ¿Con qué elemento del círculo relacionas la apotema?, ¿quérelación tiene con el número de lados del polígono regular?

• ¿Puedes aproximar el área del círculo conociendo la medida de laapotema y de uno de sus lados?, ¿cómo?

Como puedes observar en las figuras de la situación anterior,mientras más lados tenga el polígono regular, su área será unamejor aproximación al área del círculo. Por otra parte, la medida de la apotema del polígono se aproxima cada vez más al radio del círculo.

Para aproximar el área del círculo, podemos calcular el área de unpolígono regular inscrito en la circunferencia y, mientras más ladostenga el polígono, la aproximación será mejor. Por ejemplo, elpolígono regular de la siguiente figura tiene 10 lados, si cada ladomide 2,5 cm y su apotema mide 3,85 cm, entonces:

Área polígono regular = = 48,125 cm2

Por lo tanto, el área del círculo se aproxima a 48,125 cm2.

Luego, como la longitud de la circunferencia es igual a 2 • • r , y elárea del círculo (Á) se aproxima a la de un polígono regular demuchos lados, entonces:

Á = = = • r 2

Área del círculo

Observa los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia.

Ayuda

Recuerda que la fórmula paracalcular el área de un polígonoregular es:

perímetro • apotema2

(10 • 2,5) • 3,852

perímetro • apotema2

(2 • • r ) • r2

O


Actividades

El área de un círculo (Á) es igual al producto de por su radio al cuadrado (r2). Es decir, Á = • r2

No olvides que...

Unidad 3

1. Dados los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia, usa escuadra para dibujar la apotema, y con una regla mide uno de los lados y la apotema dibujada. Luego, aproxima el área de cada círculo.

a) b) c)

¿Cuál de las aproximaciones es más cercana al área del círculo correspondiente? Justifica.

2. Observa los siguientes círculos cuyos radios miden lo mismo y los polígonos inscritos en ellos.Utilizando regla, escuadra y calculadora, completa la tabla. Considera el número , redondeado a los centésimos ( = 3,14).

3. Utiliza la fórmula: Área = • r 2, para calcular el área de los círculos de la pregunta 1 y, luego, compara los valores obtenidos con las aproximaciones. Considera � 3,14.

4. Dado un círculo cuyo radio mide 3 cm, ¿qué sucede con su área si duplicas el radio?, ¿y si lo triplicas? Calcula el área en cada caso. Considera � 3,14.

Nº lados delpolígono

Medida de la apotema (cm)

Medida del radio (cm) Área polígono (cm2) Área círculo (cm2)

6 1,5 3,14 • 1,52 = 7,065

O C G




• […] estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos enla circunferencia.


Para discutirÍtems 1 y 2: analizar.Ítem 3: analizar y justificar.


ActividadesÍtem 1: usar herramientas, calcular, analizar y justificar.Ítem 2: usar herramientas y calcular.Ítem 3: calcular.Ítem 4: calcular y analizar.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial es presentar a los y las estudiantes el cálculo del áreadel círculo, a partir de diversos polígonos regulares inscritos en una circunferencia.La idea es que sus estudiantes relacionen el área de cada polígono regular con el áreadel círculo, en donde la apotema de cada polígono regular se aproxima al radio dela circunferencia a medida que aumenta el número de lados del polígono. La inten-ción de esta actividad es que descubran que mientras más lados tenga el polígonoregular inscrito, su área será una mejor aproximación del área del círculo.

Luego de realizar la actividad, podría plantear la siguiente pregunta:

• Si inscribimos un pentágono regular y un octágono regular en una circunferencia,¿qué sucederá con el área del círculo y la de cada polígono regular?, ¿sus valoresserán similares?, ¿cuál de las áreas de los polígonos será una estimación mejor delárea del círculo?, ¿por qué?


• En los ítems 1 y 2, es conveniente recordarles a los y las estudiantes que laapotema es perpendicular al lado del polígono en su punto medio.

• En los ítems 1, 2 y 3, si considera necesario reforzar la multiplicación con númerosdecimales, pida a sus estudiantes que resuelvan algunos de los ejercicios sin calcu-ladora y que la utilicen para revisar sus resultados.

• En el ítem 3, pregúnteles cuáles fueron sus conclusiones. De este modo, podránllegar a una puesta en común.

• En el ítem 4, solicite que realicen los cálculos, en sus cuadernos, cuando el radiose duplica y cuando se triplica, pues, en muchos casos, suelen creer a priori queel área se duplica y triplica también.


• Es importante que recuerde a sus estudiantes que la apotema de un polígonoregular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados; además, es perpen-dicular a dicho lado.

• Para evitar futuras confusiones, es conveniente que al finalizar el estudio de estecontenido, mencione que la obtención del área de un círculo estudiada es a travésde polígonos regulares inscritos en la circunferencia; por lo tanto, se trata de unaestimación del área real. Luego, el área del círculo se calcula con la fórmula πr 2.

• Si bien es importante que los alumnos y alumnas trabajen con calculadora, no esconveniente centrarse en una sola forma de resolver; también permítales realizarlos cálculos mentalmente.


De refuerzo

1. Utilizando escuadra, dibuja el apotema de cada polígono. Mide los lados y elapotema dibujado. Luego, aproxima el área de cada círculo. Considera π = 3,14.

a) b)

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas y calcular).

De profundización

1. Calcula el área de las siguientes figuras, usando la fórmula área = πr 2. Consideraπ = 3,14.

a) c)

b) d)



apotema del pentágono

T U

A

J G

C

7 cm11 cm

6 cm8,2 cm


86 Unidad 3

Usando Geogebra puedes calcular la longitud de una circunferencia y área de un círculo, entreotras cosas. Para descargar este software ingresa a: www.geogebra.at; en el menú de laizquierda selecciona Webstart-TeleInicio, luego, el botón Webstart y sigue las instrucciones.

Longitud de la circunferencia y área del círculo

1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes. 2º En las herramientas del software, selecciona Polígono regular . Haz dos clic en puntos

distintos del plano; luego, indica la cantidad de vértices del polígono (menor que 16) y,finalmente, presiona OK; aparecerá el polígono regular.

3º Selecciona Circunferencia dados tres de sus puntos . Haz clic en tres vértices del polígono regular; aparecerá la circunferencia circunscrita en el polígono.

4º Repite los pasos 2º y 3º (en el mismo plano); pero, en este caso, el polígono debe tener 20 lados.

5º Selecciona Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su perímetro. Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá su longitud.

6º Selecciona Área . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su área. Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo.

Luego de realizar los pasos anteriores, responde.

a) ¿En cuál de los casos el perímetro del polígono se aproxima más a la longitud de lacircunferencia?, ¿y en el caso del área?, ¿por qué?

b) Verifica en una nueva aplicación de Geogebra para otros polígonos. Compara los resultadosobtenidos con tus compañeros y compañeras.

Corona circular

1º En una nueva aplicación de Geogebra, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. 2º En las herramientas del software, selecciona Circunferencia dado su centro y uno de

sus puntos . Haz dos clic en lugares distintos del plano; aparecerá una circunferencia.3º Usando la misma herramienta anterior, haz un clic sobre el centro de la circunferencia

y, luego, un clic que esté contenido en la circunferencia (no debe pertenecer a ella), como se observa en la figura.La parte de la superficie que hay entre ambos círculos corresponde a lacorona circular.

4º Selecciona Distancia o Longitud. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerásu longitud.

5º Selecciona Área. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo.

Luego responde: ¿cuál es el área de la corona circular?, ¿y el perímetro?, ¿cómo lo hiciste?


AC

B

d

c

Mi progreso

Unidad 3



Analizar afirmaciones asociadas a la circunferencia, círculo y . 1

Calcular la longitud de circunferencias. 2

Calcular el área de una corona circular. 3

Resolver problemas que involucran área de círculo y longitud de circunferencia.

4 y 5



I. La circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.II. El número se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.III. Una recta tangente es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

A. Solo I B. Solo II C. I y II D. I, II y III

2. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes de dos circunferencias de diámetros 18 cm y 4 cm?(Considera = 3,14)

A. 56,52 cm B. 43,96 cm C. 12,56 cm D. 87,92 cm

3. El área de la corona circular es (considera = 3,14):

A. 28,26 cm2

B. 172,7 cm2

C. 69,08 cm2

D. 229,22 cm2

4. El área del cuadrado de la figura es 16 cm2, ¿cuál es el área del círculo inscrito? (Considera = 3,14).

5. Para una presentación de gimnasia de un colegio se necesita elaborar 15 argollas de diámetro 80 cm,¿cuántos metros de tubo plástico se debe comprar para su elaboración? (Considera = 3,14).



5 cm3 cm

O




• Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circun-ferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del cír-culo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.


Herramientas tecnológicasUsar herramientas y analizar.



• Esta actividad debe ser desarrollada con el software GeoGebra, por lo cual sesugiere que la realice antes de trabajar con sus estudiantes.

• Para el correcto desarrollo de la actividad, solicíteles que trabajen de manera indivi-dual; solo en caso de que no cuente con la cantidad de computadores necesarios,propóngales trabajar en grupos.

• La primera parte de la actividad, sobre longitud de la circunferencia y área del círculo,como se trata de contenidos que fueron trabajados en las páginas anteriores delTexto, es una buena instancia para consolidar los aprendizajes y aclarar posibles dudas.

• En la segunda parte se muestra a los alumnos y alumnas cómo construir una coronacircular usando GeoGebra y, luego, determinar su área y perímetro. Es convenienteque, en este caso, comenten sus conclusiones y puedan llegar a una puesta encomún. Además, sería interesante que les planteara un ejemplo en la pizarra, dondedeban determinar dichos cálculos, sin usar el software computacional.


De refuerzo

1. Determina el área y perímetro de la siguientecorona circular, AB = 18 cm y DB = 3 cm(considera π = 3,14). Explica cómo lo hiciste.

2. ¿Es posible escribir una fórmula para determinar el área y otra para el perímetrode una corona circular?, ¿cuál?

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, calcular y generalizar).




Mi progresoÍtem 1: analizar.Ítems 2, 3 y 4: analizar y calcular.Ítem 5: analizar, aplicar y calcular.


• En los ítems 1, 2 y 3, deben marcar la alternativa correcta; sin embargo, pídalesque realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, ya que estole facilitará detectar si hay o no errores en la estrategia empleada.

• En el ítem 4, puede que sus estudiantes se confundan y dividan el área delcuadrado en 2, en vez de sacar la raíz cuadrada. Para evitar este inconveniente,recuérdeles que deben aplicar la operación inversa de elevar al cuadrado.

• En el ítem 5, puede que tengan problemas para abordar el problema. Si es nece-sario, oriéntelos diciéndoles que calculen la cantidad de metros de tubo plásticopara una argolla y, luego, que calculen el total pedido.

• Es posible que no recuerden aspectos específicos de los contenidos aprendidoshasta acá. Para superarlo, podría pedirles que realicen un mapa conceptual ocuadro resumen con los principales contenidos estudiados hasta este momento.También se sugiere una revisión general en la pizarra, para que sus estudiantesconozcan las respuestas correctas y una forma de resolución.




4

Calcula correctamente el área pedida,justificando detalladamente cada unode sus pasos.

Calcula correctamente el área pedida,pero no justifica de manera adecuadalos pasos de resolución.

Calcula erróneamente el área pedida,confundiendo el radio como el lado del cuadrado.

Calcula erróneamente el área pedida,confundiendo el radio como el lado delcuadrado y no calcula correctamente laraíz cuadrada de 16.

5

Calcula correctamente los metrosde tubo plástico, justificando detalladamente cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente los metros detubo plástico, pero no justifica de manera adecuada los pasos de resolución.

Calcula erróneamente los metros detubo plástico, confundiendo eldiámetro con el radio.

Calcula erróneamente los metros detubo plástico, confundiendo eldiámetro con el radio, y no consideraque son quince argollas.


A

B

D


Conceptomatemático Definición

1. Circunferencia

2. Círculo

3. Radio

4. Cuerda

5. Diámetro

6. Arco

7. Secante

8. Tangente

9. Número π


2. Determina la longitud de las siguientes circunferencias. Considera π = 3,14.

a) c)

b) d)

3. Determina el área de los siguientes círculos. Considera π = 3,14.

a) c)

b) d)


Recta que interseca en un único punto a la circunferencia.

Segmento que une dos puntos de la circunferencia,pasando por el centro.

Razón entre la longitud de una circunferencia ysu diámetro.

Parte de la circunferencia comprendida entredos puntos de ella.

Segmento que une cualquier punto de la circunferenciacon el centro.

Lugar geométrico de los puntos del plano que estána igual distancia de un punto fijo llamado centro.

Segmento que une dos puntos cualesquiera dela circunferencia.

Recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.

Lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distanciaa otro punto fijo, llamado centro, es menor o igualque la longitud del radio.

A C

6 cm

O4,8 cm

O6,7 cm

8 cm

A C

11 cm12 cm

O23 cm

O

17 cm


De refuerzo

1. En cada línea de la columna “definición” escribe el número correspondiente,según el concepto matemático relacionado.



4. Una circunferencia tiene una longitud de 106,76 m. ¿Cuánto mide su radio?Considera π = 3,14.

5. Un círculo tiene un área de 1133,54 m2. ¿Cuánto mide su radio? Consideraπ = 3,14.

De profundización

1. Determina la longitud y el área de las siguientes figuras. Considera π = 3,14.

a) b)

2. Determina el perímetro y el área de la siguiente corona circular, sabiendo que ladiferencia entre el radio del círculo mayor y el menor es 1 cm, y el diámetro delcírculo menor mide 9 cm. Considera π = 3,14.

3. El radio del círculo de la figura mide 7 cm. Si el círculo está inscrito en el cuadrado,¿cuál es el área sombreada? Considera π = 3,14.


De refuerzo

1. Los números (ordenados) son: 8, 5, 9, 6, 3, 1, 4, 7, 2.

2. a) l = 37,68 cmb) l = 30,14 cm c) l = 25,12 cm d) l = 53,38 cm

3. a) Á = 379,94 cm2

b) Á = 140,95 cm2

c) Á = 113,04 cm2

d) Á = 415,27 cm2

4. r = 17 m

5. r = 19 m

De profundización

1. a) l = 12,495 cm Á = 9,62 cm2

b) l = 33,41 cm Á = 66,33 cm2

2. l = 62,8 cm Á = 31,4 cm2

3. El área sombreada es 42,14 cm2.

E

K

3,5 cm

13 cm


88 Unidad 3

Para discutir

• Si armas estas redes, ¿qué cuerpos geométricos obtendrías?• Si armas las redes, ¿qué diferencias y semejanzas observas en

cada cuerpo geométrico?• Si rotaras un rectángulo en torno a uno de sus lados, ¿cuál de

estos cuerpos geométricos obtienes?, ¿y si rotaras un triángulorectángulo en torno a uno de sus catetos?

• ¿Es necesario conocer algunos elementos para construir cada una de las redes?, ¿cuáles?

• ¿Cómo calcularías el área total de cada cuerpo geométrico?,¿puedes apoyarte en las redes?, ¿cómo lo harías?

Las redes de la situación anterior se obtienen al desarmar doscuerpos geométricos. Con la primera red es posible construir uncilindro recto y, con la segunda red, se puede construir un cono recto.

Si armamos las redes para construir los cuerpos correspondientes,observamos que el cilindro y el cono están compuestos por almenos una cara curva; estos cuerpos se denominan redondos. En cambio, aquellos cuerpos formados solamente por figurasgeométricas planas, como la pirámide, se denominan poliedros.

Un cilindro se obtiene al rotar un rectángulo de lados r y h alrededorde uno de sus lados. Los lados no paralelos al eje de giro determinancírculos llamados bases.

Área del cilindro y del cono

Pedro y Lorena elaboraronlas redes que se muestran acontinuación, para construirdos cuerpos geométricosdiferentes. Observa.

Glosario cilindro recto: cuerpo geométricoobtenido al rotar un rectángulo entorno a uno de sus lados.cono recto: cuerpo geométricoobtenido al rotar un triángulorectángulo en torno a un cateto.

h

r


Unidad 3

El cono se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos r y halrededor de uno de sus catetos. El otro cateto determina un círculollamado base.

Si quieres dibujar una red para construir un cilindro recto, debesconocer el radio del círculo de la base para dibujar un rectángulo enel que el lado a de este coincide con la longitud de lascircunferencias y, luego, dibujas los círculos con el radio conocido.

Para calcular el área total del cilindro, sumamos el área delrectángulo y el área de las bases circulares, es decir:

Á = área rectángulo + 2 • área círculo = (2 • • r • h) + (2 • • r2)

Si quieres dibujar una red para construir un cono recto, conociendoel radio r de la base y la generatriz g (radio del sector circular)podemos calcular el ángulo del sector circular, para estoutilizamos la siguiente fórmula:

=

Con esta información, construyes una circunferencia de radio gy marcas un ángulo en el centro, de esta forma obtienes el sectorcircular; luego, dibuja la circunferencia de radio r, como se observaa continuación en la figura.

Para calcular el área del cono, sumamos el área de la base y el áreadel sector circular.

Si r es el radio de la base, su área es: Áb = • r 2

Si g es la generatriz, el área del sector circular es: Ásc = • r • g

h: altura

g: generatriz

r : radio

a

r : radio

r

ah: altura h

b: base

cara lateral

r • 360ºg

Unidad 3

g: generatriz




• […]; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, […].


Para discutirÍtem 1: analizar y justificar. Ítem 4: analizar y reconocer.Ítem 2: analizar e identificar. Ítem 5: analizar y justificar.Ítem 3: analizar y conjeturar.


ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad propuesta en la sección PARA DISCUTIR es que los alum-nos y alumnas observen y analicen las redes del cilindro y cono, y que sean capacesde deducir qué cuerpos geométricos se forman con las redes. Además, se espera quesean capaces de imaginar qué sucede si se hace rotar un rectángulo y un triángulorectángulo en torno a uno de sus lados y catetos, respectivamente. Para motivaresta actividad, podría proponer a sus estudiantes que la realicen con rectángulos ytriángulos rectángulos de papel o cartulina y, luego, que escriban sus conclusionesen sus cuadernos.

A partir de este trabajo inicial se pretende lograr que los alumnos y alumnas descubrancómo calcular el área total de conos y cilindros, utilizando contenidos previamenteaprendidos en esta Unidad y en años anteriores.


• Puede mostrar a sus estudiantes distintas redes asociadas al cono y al cilindro, paraque, por medio de la observación e imaginación, analicen algunas características deestos cuerpos. Además, podrán visualizar la relación entre las fórmulas para calcularlas áreas totales de dichos cuerpos y las redes.

• Esta forma de iniciar el contenido, permitirá que las alumnas y los alumnos anali-cen y reflexionen respecto de cómo deducir fórmulas y no simplemente memo-rizarlas; asimismo, estará facilitando en ellos el razonamiento matemático y elaprendizaje significativo.


De refuerzo

1. Dados los siguientes polígonos, indica:

a) ¿Con qué figuras es posible generar cilindros o conos rectos, si los hicierasrotar en torno a uno de sus lados?

b) Alrededor de qué lado rotarías la figura seleccionada. ¿Hay más de una posi-bilidad para formar con ese polígono un cilindro o un cono?, ¿por qué?

c) Esboza, en tu cuaderno, cómo quedaría cada cuerpo geométrico.

(Habilidades que desarrolla: analizar, reconocer y representar).



• Si r es el radio de la base y h la altura, el área total de un cilindro está dada por:

Ácilindro = (2 • • r • h) + (2 • • r 2)

• Si g es la generatriz y r el radio de un cono, el área total del cono está dada por:

Ácono = ( • r 2) + ( • r • g)

No olvides que...

90 Unidad 3

Actividades

1. Calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos rectos (considera � 3,14).

a) c)

b) d)

Luego, el área total del cono es:

Á = área base + área sector circular = ( • r 2) + ( • r • g)

h

r

g

sector circular

g: generatriz b: base

r: radio

arista de la base = 10 cmaltura = 12 cm

radio de base = 7 cmgeneratriz = 20 cm

radio de la base = 6 cmgeneratriz = 10 cm

altura = 24 cmgeneratriz = 26 cm

Ayuda

Recuerda que el área de unapirámide se obtiene al sumarel área de todas sus caras y elárea de la base.


2. El ancho del rectángulo que gira mide 30 cm y su largo mide 45 cm, calcula (considera � 3,14):

a) el área de la base del cilindro que se genera.b) el área total del cilindro.

3. Calcula el área lateral de un cilindro recto, cuya base es un círculo de 452,16 cm2 de área y cuya altura es igual al diámetro de la base (considera � 3,14).

4. Calcula el área total de un cono recto donde r = 3 cm y g = 10 cm (considera � 3,14).

5. Si el radio de la base de un cono recto mide 4 cm y el ángulo del sector circular mide 60º, ¿cuál es el área total del cono? (Considera � 3,14).

6. Un recipiente tiene forma de cilindro circular recto. El área de cada base es de 1256 cm2

y la altura del cilindro mide 15 cm (considera � 3,14).

a) ¿Cuánto mide el diámetro de la base?b) ¿Cuál es el área lateral del recipiente?c) ¿Cuánto mide el área total?

7. El área total de un cilindro recto es 565,2 cm2, su radio mide 5 cm y su generatriz mide 13 cm. Si su radio aumentara en 2 cm (considera � 3,14):

a) ¿cuál es el área total del nuevo cilindro?b) ¿en cuántos cm2 aumenta su área?

8. El perímetro de la base de la pirámide recta cuya base es un polígono regular mide 36 cm, la apotema lateral mide 20 cm. Calcula:

a) la apotema de la base.b) el área de la base.c) el área total.

9. La longitud de la circunferencia de la base de un cilindro recto mide 62,8 cm y su altura mide 18 cm (considera � 3,14).

a) ¿Cuál es su área lateral? b) ¿Cuál es el área total del cilindro?

10. El radio de un cono recto mide 5 cm y su altura mide 12 cm, calcula: (Considera � 3,14)

a) la medida de la generatriz. b) ¿cuál es su área total?

Unidad 3

h

r




• […]; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, […].


ActividadesÍtems 1 y 2: calcular. Ítem 5: aplicar y calcular.Ítem 3: analizar y calcular. Ítems 6, 7, 8 y 9: analizar y calcular.Ítem 4: calcular. Ítem 10: aplicar y calcular.



• Para que sus estudiantes continúen practicando la operatoria con números decimales,pídales, en algunos ejercicios, que los resuelvan sin calculadora y que utilicen estaherramienta para revisar sus soluciones.

• Es importante que los alumnos y alumnas realicen un desarrollo completo y or-denado de los procedimientos que aplican en cada ejercicio. De esta forma com-prenderán mejor lo que están realizando y, además, será más sencillo detectarposibles errores.

• Es importante que recuerde a sus alumnos y alumnas el teorema de Pitágoras,pues en esta Unidad es fundamental para el cálculo de áreas y volúmenes de loscuerpos geométricos. Si es necesario, podría recordarlo en la pizarra y realizar al-gunas aplicaciones. Por ejemplo:

• En el ítem 1, puede que sus alumnos y alumnas no recuerden cómo calcular elárea total de una pirámide. Ayúdelos pidiendo que hagan un bosquejo de la redde este cuerpo, así podrán deducir cómo calcular esta área. Señale que la basede dicha pirámide es cuadrada.

• En el ítem 2, sus estudiantes deben tener cuidado al asignar los valores de r y h;en este caso r es el ancho y h es su largo.

• En el ítem 3, es posible que tengan dificultades para abordar el problema. Oriéntelosdiciendo que a partir del área del círculo pueden obtener el radio, luego el diámetroy finalmente la altura (que es igual al diámetro). Situación similar ocurre en el ítem 6,con el área de cada base de un cilindro circular recto. En el ítem 3, si sus alumnos yalumnas tienen dificultad para obtener el radio (r) de la base del cilindro, propón-gales que resuelvan la siguiente ecuación: π • r 2 = 452,16.Al resolverla, se obtiene:

3,14 • r 2 = 452,16 / : 3,14

r 2 = 144 /

r = 12• En el ítem 4, para evitar errores o confusiones, pídales que realicen los procedi-

mientos, paso a paso, y de manera ordenada.

• En el ítem 5, al saber la medida del ángulo del sector circular (60º), pueden

obtener la generatriz resolviendo la ecuación: .604 360

ºº

=ig

• En los ítems 6 y 9, puede suceder que sus estudiantes no comprendan qué es elárea lateral de un cuerpo geométrico. Explique que en este caso no se contem-plan las áreas de las bases, es decir, es el área total menos el área de las bases.

• En el ítem 7, los alumnos y alumnas se podrían confundir, ya que el ejercicio tratade un cilindro y uno de los datos es la medida de la generatriz. Aclare que en uncilindro recto la generatriz es igual a la altura.

• En el ítem 8, si tienen problemas para calcular él área de la base, recuérdeles que,al ser un polígono regular, su área (Á) se calcula multiplicando su perímetro (P)por su apotema (a) y, luego, se divide por dos, es decir:

• En el ítem 10, para facilitarles el cálculo de la generatriz del cono, recuérdeles queun cono se genera el girar un triángulo rectángulo con respecto a uno de suscatetos; por lo tanto, la generatriz es la hipotenusa de este triángulo rectánguloy se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras, donde el radio y la altura son loscorrespondientes catetos.


De refuerzo

1. Calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos rectos. Considera π = 3,14.



radio = 9 cmaltura = 16 cm

altura = 36 cmgeneratriz = 39 cm



122 + 162 = x 2 / T. de Pitágoras144 + 256 = x 2

400 = x 2 / 20 = x

ÁP a

=i2

A

B C

x

16 cm

12 cm


92 Unidad 3

Para discutir

• ¿Podrían establecer una fórmula para calcular el volumen delcilindro?, ¿cuál?

• ¿Cuál es el volumen del cilindro construido?, ¿cómo lo calculaste?• ¿Cuánto mide la altura del cono?, ¿cómo la calculaste?• ¿Cuántas veces puedes vaciar la arena que contiene el cono en

el cilindro?, ¿por qué?• Usando la información anterior, ¿puedes encontrar una fórmula

para calcular el volumen del cono?, ¿cuál?

Después de realizar la actividad anterior, se debe considerar que elárea de un círculo se puede aproximar por medio del cálculo delárea de polígonos regulares inscritos en una circunferencia y,además, que dicha aproximación será mejor mientras mayor sea el número de lados del polígono inscrito. Entonces, para calcular el volumen del cilindro podemos utilizar la fórmula:

área base • altura

Luego, el volumen del cilindro construido es (considerando = 3,14):

V = 3,14 • 62 • 8 = 904,32 cm3

Por otra parte, notemos que la cantidad de arena que puedecontener el cilindro es exactamente 3 veces lo que puede contenerel cono. Entonces, para calcular el volumen del cono, podemosdividir por 3 el volumen del cilindro calculado anteriormente.

Es decir, el volumen del cono es 904,32 : 3 = 301,44 cm3.

Notemos que ambos cuerpos redondos tienen la misma altura (8 cm).

Volumen del cilindro y cono

En esta actividad deberán utilizar cartulina, pegamento, tijeras, regla, transportador y arena para dibujar redes de cilindro y cono y, luego, con los cuerpos geométricos que construyeron y la arena, realizarán una actividad exploratoria. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

a) Dibujen sobre la cartulina dos redes, una para armar un cilindro recto y otra para un cono recto. El radio de la base del cilindro mide 6 cm y su altura mide 8 cm. El radio de la base del cono mide 6 cm y su generatriz mide 10 cm; con esta información pueden calcular el ángulo del sector circular.

b) Llenen el cono con arena y, luego, vacíenla en el cilindro. Repitan este procedimiento hasta que elcilindro quede completamente lleno.

En equipo

Ayuda

Recuerda que, cuandohablamos de volumen, nosreferimos a la medida delespacio que ocupa un cuerpo.Para calcular el volumen de unprisma recto, puedes utilizarla fórmula:

Volumen = área base • altura


• El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura. Es decir, en un cilindro de radio r y altura h, el volumen se calcula:

Vcilindro = área base • altura = • r 2 • h

• El volumen del cono es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura. Es decir, en un cono de radio r y altura h, el volumen se calcula:

Vcono = • área base • altura = • • r 2 • h

No olvides que...

Actividades

Considera = 3,14 en cada caso.

1. El radio de un cilindro mide 3,5 cm y su altura mide 10 cm, calcula su volumen.

2. Considera un cilindro cuya base es un círculo de 4 cm de radio y su altura mide 11 cm. Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es su volumen?b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se duplica?, ¿y si se triplica?

3. Considera un cono cuya base tiene 5 cm de radio y su altura mide 12 cm. Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es su volumen?b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su radio se duplica?, ¿y si se triplica?

4. Considera un cono cuya altura mide 24 cm y su generatriz mide 26 cm. Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es su volumen?b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se reduce a la mitad?, ¿y si se reduce al tercio?

5. El volumen de un cilindro es 240,21 cm3 y el radio de su base mide 3 cm; ¿cuánto mide su altura?Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.

6. El volumen de un cono es 1017,36 cm3 y el área de su base es 254,34 cm2; ¿cuánto mide su altura?, ¿y el radio de su base? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.

Unidad 3

13

13




• Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; […] y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.


Para discutirÍtem 1: conjeturar.Ítems 2, 3 y 4: calcular y justificar.Ítem 5: conjeturar.



ActividadesÍtem 1: calcular.Ítems 2, 3 y 4: calcular y predecir.Ítems 5 y 6: analizar, calcular y justificar

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial, EN EQUIPO, propuesta en el Texto, es que los alum-nos y alumnas observen la relación entre el volumen del cilindro y cono (el volumende un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro, con el radio de la base yaltura de igual medida que el cilindro). Adicionalmente, basándose en contenidosaprendidos previamente en la Unidad y en cursos anteriores con respecto al volumende otros cuerpos geométricos, se pretende que los alumnos y alumnas, por mediode la experimentación y sus conocimientos previos, sean capaces de deducir y en-tender las fórmulas.

Es importante que todos sus estudiantes participen en la actividad, formen gruposde trabajo, para que compartan ideas y experiencias, respeten opiniones, y el trabajosea colaborativo.


• Permítales a sus estudiantes que utilicen calculadora en algunos casos; así podránahorrar tiempo e invertirlo en otras actividades o nuevos contenidos.

• Es importante que los alumnos y alumnas realicen un desarrollo, paso a paso, yordenado de los procedimientos en cada ejercicio. De este modo, comprenderánde mejor forma lo que están realizando y será más fácil detectar posibles erroresy corregirlos.

• En el ítem 1, si sus alumnos y alumnas tienen dificultad para esta actividad, pídalesque hagan el dibujo del cilindro, en sus cuadernos, asignándole las medidas indi-cadas. Para algunos, es más fácil realizar los cálculos correspondientes visualizandola figura.

• En los ítems 2, 3 y 4, es posible que sus alumnos y alumnas tengan dificultad parapredecir qué sucede con el volumen si alguna de las medidas del cono o cilindroaumenta o disminuye. Si esto ocurre, pídales que calculen dichos volúmenes conlos valores numéricos correspondientes y, a partir de los resultados obtenidos,saquen conclusiones.

• En el ítem 5, según el volumen del cilindro y del radio de la base deben determinarla medida de su altura. Como es el proceso inverso, deben tener especial cuidadoen las operaciones que realizan para obtener la respuesta correcta. Si es necesario,oriéntelos diciendo que pueden plantear una ecuación, como la siguiente:3,14 • 32

• h = 240,21.

• En el ítem 6, a partir del volumen del cono y del área de la base deben determi-nar la medida de la altura y del radio de la base. Como es el proceso inverso,deben tener especial cuidado en las operaciones que realizan para obtener la res-puesta correcta. En este caso, pueden plantear dos ecuaciones, una para determinar

la altura, y la otra para el radio, como las siguientes: y

3,14 • r 2 = 254,34, respectivamente.

Solo si es necesario, muéstreles las ecuaciones anteriores, ya que la idea es quesurjan de sus propios estudiantes.


• Sabemos que el volumen de un cuerpo es la medida que este ocupa en el espacio.Mostrar a sus estudiantes el volumen de conos y cilindros a través de la cantidadde arena que puede contener cada uno de ellos, clarifica este contenido. La ideade la actividad exploratoria, es que puedan llegar a la conclusión:

y, luego, mediante sus conocimientos previos, puedan llegar a la fórmula:

Vcilindro = área base • altura

Por lo tanto, si el radio de la base y la altura del cono miden lo mismo que elradio de la base y altura del cilindro:

Vcono = • área base • altura

• Podría aprovechar esta instancia para recordar a sus estudiantes que los prismasy las pirámides también se relacionan respecto a su volumen. El volumen de unapirámide es igual a la tercera parte del volumen de un prisma con base y alturade igual medida.

Volumen pirámide = • Volumen prisma

Por lo tanto:Vprisma = área base • altura

Vpirámide = • área base • altura13

13

13


13

254 34 1017 36, ,i i h =

Volumen conoVolumen cilindro

=3


7. Calcula el área total y volumen de los siguientes cilindros y conos rectos (considera = 3,14).

a) f)

b) g)

c) h)

d) i)

e) j)

94 Unidad 3

Usando el programa Limix Geometric puedes representar gráficamente distintos cuerposgeométricos y calcular su área y volumen. Para descargar este programa ingresa a:www.limix.net. Luego, descarga Limix Geometric 1.2.16, haciendo clic sobre este link.

Sigue los siguientes pasos para verificar con el software que tus resultados obtenidos en el ítem 7son correctos:

a) Después de abrir el programa, selecciona figura 3D ; aparecerá una lista de cuerposgeométricos. Selecciona cilindro y cono, según corresponda.

b) Luego, debes ingresar los datos solicitados, como se muestra en el ejemplo .c) Presiona Calcular y obtendrás los resultados respectivos. d) Repite los pasos anteriores en una nueva aplicación cada vez, para verificar tus resultados.


15 cm

3,6 cm

4 cm

7 cm

10 cm7,6 cm

7,3 cm

9 cm

15 cm

15 cm

4,5 cm

11,2 cm

39 cm

2,5 cm

8,5 cm

16,3 cm

2 cm

7 cm

15 cm

15 cm

Mi progreso

Unidad 3


12 cm

20 cm


Calcular el área lateral de un cilindro recto. 1

Calcular el volumen de un cono recto. 2

Determinar la altura de un cono, dado el volumen y área basal. 3

Resolver problemas sobre el área y volumen del cilindro y cono. 4 y 5

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. Considera = 3,14 en todos los casos.

1. ¿Cuál es el área lateral del cilindro recto cuya base es un círculo de 3,5 m de radio y su altura mide 12 m?

A. 340,69 m2 B. 76,93 m2 C. 461,58 m2 D. 263,76 m2

2. Si en un cono recto la altura mide 4 cm y su generatriz mide 5 cm, ¿cuál es su volumen si su radiose triplica?

A. 1017,36 cm3 B. 37,68 cm3 C. 339,12 cm3 D. 942 cm3

3. El volumen de un cono recto es 1004,8 cm3 y su área basal es 200,96 cm2, ¿cuánto mide su altura?

A. 15 cm B. 5 cm C. 1,7 cm D. 45 cm

4. La red dibujada es la de un cono recto. Calcula:

a) el área total.b) el volumen.

5. En una empresa de conservas están haciendo una revisión de sus envases para modificar sus dimensiones, si fuese necesario. Los tipos de envases actuales se muestran a continuación:

a) ¿Cuánto material más necesitan si la altura del envase tipo A aumenta al doble?b) ¿Cuál es la capacidad del envase tipo B, si su radio se modifica a la mitad y su altura se triplica?



4 cm5 cm

8 cm10 cm

Tipo B

Tipo A




• Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro ycono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casosparticulares, mediante el uso de un procesador geométrico.


ActividadesÍtem 7: usar herramientas.

Herramientas tecnológicasUsar herramientas y verificar.


Cuerpo Radio Altura Área Volumen

Cilindro 7 m 9 m

Cono 5 cm 12 cm

Cilindro 8 m 11 m

Cono 9 cm 12 cm



• Para realizar la actividad del ítem 7, recuerde que, para obtener el valor delnúmero π en una calculadora científica, se deben presionar las teclas:

• Es conveniente que sus estudiantes realicen individualmente la sección HERRAMIEN-TAS TENOLÓGICAS. Si no cuenta con los computadores suficientes, formen gruposde no mas de tres integrantes. Procure la participación de cada uno, para que todosaprendan a utilizar este nuevo software.

• Esta actividad computacional permitirá a sus estudiantes verificar las respuestasobtenidas en el ítem 7 del Texto del Estudiante. A futuro podrá trabajar con este pro-grama para calcular áreas y volúmenes de variadas figuras y cuerpos geométricos.


De refuerzo

1. Usando el software Limix Goemetric 1.2.16, calcula el área y el volumen de lossiguientes cuerpos, considerando los datos entregados. Completa la tabla conlos resultados obtenidos.

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, aplicar y calcular).




Mi progresoÍtems 1 y 2: calcular.Ítems 3 y 4: analizar y calcular.Ítem 5: resolver problemas y calcular.


• Indique que los resultados se deben redondear a los centésimos (dos cifras decimales).• En los ítems 1 al 3, deben seleccionar la alternativa correcta, por lo tanto, pídales

que escriban los desarrollos al lado de cada pregunta.• En el ítem 4, sus estudiantes podrían pensar que la medida 20 cm, que aparece en

la red, corresponde a la altura. Para evitar este tipo de errores, si es necesario, podríadibujar en la pizarra un cono recto indicando cuál es la altura, la generatriz y el radio.

• En el ítem 5, los alumnos y alumnas podrían tener dificultades al calcular el áreaen el envase A, pues deben calcular solo el área lateral. Mencione, en este caso,que para cubrir un envase de conservas, solo se cubre la parte lateral, y no lasbases. Además, destaque que se pide determinar cuánto material más se nece-sita, es decir, deben calcular la diferencia entre ambas áreas.

• Al término de la evaluación formativa es fundamental que realice una revisiónindividual para que conozca las realidades de cada estudiante y puedan corre-girlas. También es aconsejable una revisión general en la pizarra, para que susestudiantes conozcan las respuestas correctas y una forma de resolución.



Shift π =


4

Calcula correctamente el área y volumen pedido, indicando detalladamente cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área y volumen pedido, pero no indica deforma adecuada cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente en uno de losdos casos (área total o volumen),confundiendo los pasos de resolución.

Calcula erróneamente el área y volumenpedido, confundiendo la generatriz conla altura, y los procedimientos paraobtener el área y volumen.

5Resuelve correctamente ambos problemas, indicando detalladamentecada uno de sus pasos.

Resuelve correctamente ambos problemas, pero no indica de maneraadecuada cada uno de sus pasos.

Resuelve correctamente solo uno de los problemas, confundiendo lospasos de resolución.

Resuelve erróneamente, en ambos casos,confundiendo los pasos de resolución

A continuación, se presenta una rúbrica para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 4 y 5.


Radio Altura GeneratrizÁrea sector

circularÁrea total Volumen

4 cm 5 cm7,6 mm 9 mm

4 m 5 m12 cm 753,6 cm3

4,57 mm 31,57 mm2

8 mm 301,44 mm3

3 cm 7 cm12 cm 314 cm3

3,8 m 10 m30 cm 40 cm

Radio Altura Área lateral Área total Volumen

4 cm 86 cm2

5 mm 7,6 mm8 cm 144 cm2

6 cm 500 cm2

3 mm 5 mm26,5 cm 16 309,16 cm3

10 cm 3000 cm3

6,5 cm 10 cm13 cm 734,76 cm2

2,2 m 3,5 m



De refuerzo

Considera π = 3,14 en cada caso, y aproxima tus resultados a los centésimos.

1. Calcula el área total de los siguientes cilindros rectos, sabiendo que:

a) r = 4 cm y h = 12 cmb) r = 11 m y h = 8 mc) d = 10 mm y h = 9,5 mmd) d = 8 cm y h = 4,6 cm

2. Calcula el área total de los siguientes conos rectos, sabiendo que:

a) r = 8 cm y g = 10 cmb) r = 30 mm y h = 40 mmc) r = 5 m y h = 12 md) r = 7 cm y h = 9 cm

3. Calcula el volumen de los siguientes cilindros rectos, sabiendo que:

a) r = 4 cm y h = 8 cmb) r = 7 m y h = 9 mc) d = 10 mm y h = 10 mmd) d = 12 cm y h = 5 cm

4. Calcula el volumen de los siguientes conos rectos, sabiendo que:

a) r = 6 cm y h = 7 cmb) r = 8 mm y h = 9 mmc) r = 13,6 m y g = 20 md) r = 10,5 cm y h = 13 cm

De profundización

Considera π = 3,14 en cada caso, y aproxima tus resultados a los centésimos.

1. Completa la siguiente tabla asociada al cilindro recto.

2. Completa la siguiente tabla asociada al cono recto.



Radio Altura Área lateral Área total Volumen

4 cm 3,42 cm 86 cm2 186,48 cm2 171,82 cm3

5 mm 7,6 mm 238,64 mm2 395,64 mm2 596,6 mm3

8 cm 2,87 cm 144 cm2 545,92 cm2 576,76 cm3

6 cm 7,27 cm 273,92 cm2 500 cm2 821,8 cm3

3 mm 5 mm 94,2 mm2 150,72 mm2 141,3 mm3

14 cm 26,5 cm 2329,88 cm2 3560,76 cm2 16 309,16 cm3

10 cm 9,55 cm 599,74 cm2 1227,74 cm2 3000 cm3

6,5 cm 10 cm 408,2 cm2 673,53 cm2 1326,65 cm3

9 cm 13 cm 734,76 cm2 1243,44 cm2 3306,42 cm3

2,2 m 3,5 m 48,36 m2 78,75 m2 53,19 m3


3. Determina la medida de la altura de un cilindro cuyo radio mide 2 m y el áreatot al es 38 m2.

4. Determina la medida de la generatriz de un cono, cuya área del sector circulares 20 cm2 y su radio mide 3 cm.

5. Determina la medida del radio de un cono, cuyo volumen es 700 m3 y su alturamide 7 m.

6. Determina la medida de la altura de un cilindro, si su volumen es 300 cm3 y suradio mide 3 cm.

7. Determina la medida del radio de un cilindro, si su volumen es 120 mm3 y sualtura mide 7 mm.

8. Determinar la medida de la altura de un cono cuyo volumen es 250 m3, y suradio mide 5 m.

9. El volumen de un cilindro es 452,16 cm3, y el diámetro de la base mide 12 cm.¿Cuál es su área total?

10. La altura de un cilindro mide 8 m y su radio 6 m. Si se quiere pintar el cilindrocompleto, ¿cuál es su costo, si el metro cuadrado tiene un valor de $ 1100?

Radio Altura GeneratrizÁrea sector

circularÁrea total Volumen

4 cm 5 cm 6,4 cm 80,38 cm2 130,62 cm2 83,73 cm3

4,82 mm 7,6 mm 9 mm 136,21 mm2 209,16 mm2 184,86 mm3

4 m 3 m 5 m 62,8 m2 113,04 m2 50,24 m3

12 cm 5 cm 13 cm 489,84 cm2 942 cm2 753,6 cm3

2,2 mm 4 mm 4,57 mm 31,57 mm2 46,77 mm2 20,26 mm3

6 mm 8 mm 10 mm 188,4 mm2 301,44 mm2 301,44 mm3

3 cm 7 cm 7,62 cm 71,78 cm2 100,04 cm2 65,94 cm3

5 cm 12 cm 13 cm 204,1 cm2 282,6 cm2 314 cm3

3,8 m 9,25 m 10 m 119,32 m2 164,66 m2 139,8 m3

30 cm 40 cm 50 cm 4710 cm2 7536 cm2 37 690 cm3

SOLUCIONARIO DE LA PÁGINA 166 Y 167 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De refuerzo

1. a) 401,92 cm2 b) 1312,52 m2 c) 455,3 mm2 d) 216,03 cm2

2. a) 452,16 cm2 b) 7536 mm2 c) 282,6 m2 d) 404,43 cm2

3. a) 401, 92 cm3 b) 1384,74 m3 c) 785 mm3 d) 565,2 cm3

4. a) 263,76 cm3 b) 602,88 mm3 c) 2838,05 m3 d) 1500,14 cm3

De profundización

1.

2.

3. h = 1,03 m 5. r = 9,77 m 7. r = 2,34 mm 9. Á = 376,8 cm2

4. g = 2,12 cm 6. h = 10, 62 cm 8. h = 9,55 m 10. $ 580 272



Sobre la base superior de un cilindro recto de 6 cm de radio de la base y 12 cm de altura, se construye un cono circular recto cuya altura es el triple que el cilindro y el radio es el mismo. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? (Considera = 3,14).


Que el cono se encuentra en la base superior del cilindro. Ambos cuerpos tienen el mismo radio y la altura del cono es el triple que la altura del cilindro.

• ¿Qué debes encontrar?El volumen del cuerpo formado por el cilindro y el cono.


Podemos calcular el volumen del cilindro y el del cono. Luego, sumamos ambos valoresobtenidos para obtener el volumen del cuerpo que se forma.

Resolver• Calculamos los volúmenes de cada cuerpo redondo:

El volumen del cilindro es • 62 • 12 = 3,14 • 36 • 12 = 1356,48 cm3.

El volumen del cono es = = 1356,48 cm3.

Luego, sumamos los valores obtenidos: 1356,48 + 1356,48 = 2712,96 cm3.

Responder• El volumen del cuerpo formado es 2712,96 cm3.

Revisar• Para comprobar el resultado, puedes realizar la adición algebraicamente y, luego,

remplazar los datos correspondientes.

El volumen del cuerpo generado, considerando que la altura del cono (hco) es el triple dela altura del cilindro (hci), es decir, hco = 3 • hci , entonces:

• r2 • hci + =

=

= = 2 • • r2 • hci

Remplazando, 2 • 3,14 • 36 • 12 = 2712,96 cm3

96 Unidad 3

• 62 • 363

• r2 • hco

3

3 • • r2 • hci + • r2 • hco

3

3 • • r2 • hci + • r2 • (3 • hci)

3

6 • • r2 • hci

3

3,14 • 36 • 363

6 cm

12 cm

Unidad 3

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones, donde los radios basalesse mantienen en cada caso (considera = 3,14).

a) Sobre cada base de un cilindro recto de 8 cm de radio de la base y 15 cm de altura, seconstruye un cono recto, uno de altura 20 cm y el otro de altura el doble que el cilindro.¿Cuál es el volumen del cuerpo formado?

b) Sobre la base de un cono recto de 6 cm de radio de la base y 10 cm de generatriz, seconstruye un cono recto cuya altura es la mitad del otro cono. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado?

c) Sobre la base superior de un cilindro recto de 5 cm de radio de la base y 4 cm de altura, se construye un cono recto cuya altura es el triple que el cilindro. ¿Cuál es el área total del cono?

d) Dentro de un cubo de arista 6 cm, se construye una pirámide recta de base cuadrada lacual coincide con una de las caras del cubo. ¿Cuál es el área total de la pirámide recta si sualtura es 6 cm?


3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?

a) ¿Cuál es el volumen del cuerpo redondo que se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos 10 cm y 24 cm, alrededor del vértice que se observa en la figura?

b) Si la arista del cubo mide 14 cm, ¿cuál es el volumen del espacio limitado entre la pirámide recta y el cubo?


10 cm

24 cm

14 cm




• Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo dela longitud de la circunferencia, él área del círculo, la superficie del cilindro, cono ypirámides y el volumen del cilindro y cono.


Buscando estrategiasAnalizar, aplicar y calcular.




El problema presentado en el Texto pretende que sus estudiantes apliquen parte delos contenidos aprendidos en la Unidad y, además, desarrollen habilidades propiasde la resolución de problemas.

Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser re-suelto de distintas maneras. La estrategia presentada en el Texto es solo una formade dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema po-dría ser usando el software Limix Goemetric 1.2.16, para calcular el volumen delcilindro y del cono y, luego, sumarlos. Además, podría cambiar las medidas delradio y altura del cilindro (por ende, variarán las del cono) para calcular el volumende este nuevo cuerpo geométrico.

Monitoree constantemente a sus estudiantes para que realicen un trabajo orde-nado, escribiendo, paso a paso, los procedimientos. Esto les permitirá detectar ycorregir errores, si los tuvieran.


De refuerzo

1. Determina el volumen y el área total de la siguiente figura.

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar y calcular).

De profundización

1. Inventen un problema que integre uno o más de los contenidos de la Unidad.Intercámbienlo con algún compañero o compañera y resuélvanlo, utilizando lasestrategias para la resolución de problemas que conozcan, u otra.Revisen ambos problemas en conjunto y discutan sobre los resultados obtenidos.

(Habilidades que desarrolla: formular, seleccionar, aplicar, calcular y verificar).












• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio.• Puede demostrar y explicar usando una variedad de

modos.• Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y










no razonable.




4 cm

4 cm

6 cm


Para finalizar

98 Unidad 3

Cone

xion

es NACIONAL

Existe una técnica para dibujar objetos de forma sencilla y

rápida; esta técnica consiste en “envolver” el objeto con alguna

figura o cuerpo geométrico, la cual se denomina encaje.

En nuestro alrededor existen muchos objetos que

podemos encajar en cubos, cilindros, conos y esferas, o bien,

por combinaciones de ellas. En la imagen podemos observar

que el árbol de Navidad es, básicamente, la combinación de un

cilindro y un cono.

Utilizando esta técnica podemos aproximar la medida

que ocupa un cuerpo en el espacio, calculando el volumen de

el o los cuerpos asociados al objeto.

Una técnica para obtener dibujos

Fuente: www.purpuraplastika.org/libros/10.pdf (consultado en noviembre de 2009,biblioteca on line Púrpura Plástica (PPK), libros para consulta).



1. Si el radio del cilindro que envuelve a la base del árbol navideño mide 20 cm y su altura mide10 cm y, el radio del cono que envuelve al árbol mide 35 cm y su altura mide 1,5 m, ¿cuántomide aproximadamente el volumen del árbol de Navidad?

2. Escojan un objeto (por persona) de su entorno que se pueda encajar en un cilindro, cono o cubo, o la combinación de estos. Dibújenlo y calculen su volumen aproximado.

3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser lasolución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.

4. ¿Cuál o cuáles cuerpos geométricos escogerían para dibujarse?, ¿por qué? Utilicen estatécnica para calcular el volumen de cada uno.






Unidad 3




2. ¿Qué diferencias existen entre la circunferencia y el círculo?, ¿y qué semejanzas?

3. ¿Cuáles son los elementos de una circunferencia?, ¿qué características tienen?

4. ¿Qué relación tiene el número con la circunferencia? Da 3 ejemplos.

5. ¿Cómo calculas la longitud de una circunferencia?, ¿qué otra forma conoces?

6. ¿Cómo calculas la el área del círculo?, ¿qué otra forma conoces?

7. Explica cómo calcular el área de un cono y un cilindro.

8. ¿Qué datos necesitas para calcular el volumen de un cono recto?, ¿y de un cilindro recto?


FIGURAS PLANAS

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

PERÍMETRO

• ARCO

• CUERDA

• SECANTE

• TANGENTE

ÁREA

CUERPOS GEOMÉTRICOS

CILINDRO, CONO Y PIRÁMIDE

VOLUMEN

MEDICIONES

Síntesis




ConexionesConectar, analizar y aplicar.



INFORMACIÓN RESPECTO DEL CONTENIDO

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular los cuerposgeométricos estudiados en esta Unidad, y otros ya conocidos, como el cubo, conuna técnica que se usa para dibujar objetos, llamada encaje. Además, con esta téc-nica se puede aproximar la medida que ocupa el objeto en el espacio.

La técnica de encaje permite dibujar cualquier objeto, ya sea una figura plana otridimensional, pues se puede encerrar dentro de una figura o cuerpo geométrico,o bien combinaciones de varias formas.

Antes de encajar el objeto, debemos observarlo atentamente para escoger las figuraso cuerpos geométricos adecuados.

En el ejemplo, podemos observar que la estructurageométrica de la hoja es análoga a un triángulo.

Más información sobre dibujos, búsquela en el manual Forma, Encaje y Perspectivas,del sitio web sugerido a continuación.

Un interesante archivo bibliográfico online, donde se pueden encontrar libros, manualesy talleres (de consulta) centrados en la cultura y el arte, está disponible en el sitio web:www.purpuraplastika.org/eventos/biblioteca.html


De refuerzo

1. En relación con la técnica para dibujar llamada encaje, responde las siguientespreguntas:

a) ¿Consideras que la técnica aprendida es una forma sencilla de dibujar figuras?,¿por qué?

b) Escoge tres figuras de tu entorno y, luego, utiliza la técnica de encaje paradibujarlas en tu cuaderno.

c) Usando una huincha para medir, determina el volumen aproximado de cada una.

(Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar, usar herramientas y justificar).


Los mapas conceptuales son un recurso visual muy atractivo y efectivo para los alumnosy alumnas, ya que les permite organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los con-ceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pueslos y las estudiantes consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes.


A continuación, proponemos otra forma de estudiar los contenidos trabajados enesta Unidad: el resumen.

Para que el resumen de la Unidad esté completo sería apropiado que indique cuálesson los contenidos que deben incluir. Asimismo, podría presentar al curso uno rea-lizado por usted y revisarlo en conjunto con el curso, guiados por preguntas comolas siguientes:

• ¿Es correcta la definición dada?, ¿está completa?• ¿Son correctas las características dadas?, ¿falta alguna?• ¿Es adecuado el ejemplo propuesto?• ¿Es adecuado el problema de aplicación?


De refuerzo

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad, responde las siguientes preguntas:

1. ¿En qué objetos de la realidad podemos encontrar círculos, circunferencias, conosy cilindros?

2. Construye en tu cuaderno un cuadro resumen con los principales temas de esta Unidad.

3. Inventa un problema que involucre cálculo de la longitud de la circunferencia y,luego, resuélvelo.

4. Inventa un problema que incluya el área del círculo; luego, resuélvelo.5. Inventa un problema referido al volumen del cilindro y cono; luego, resuélvelo.6. ¿Cómo justificarías que la fórmula para calcular el área total de un cilindro es

(2 • π • r • h) + (2 • π • r 2)?7. ¿Cómo calcularías el área total de un cono cuya altura mide 13 cm y el radio de

la base mide la mitad?

(Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, justificar y calcular).

De profundización

1. Construye un cuadro resumen sobre: la circunferencia, su longitud y sus elemen-tos; el círculo y la estimación de su área. Da tres ejemplos.

2. Construye un cuadro resumen sobre el cono y cilindro, su área total y volumen.Da tres ejemplos.

3. Inventa un problema que implique calcular el volumen de un cuerpo formado pordos o más cuerpos geométricos; luego, resuélvelo, indicando la estrategia utilizada.

(Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, formular y calcular).



¿Qué aprendí?

100 Unidad 3

1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmacionesson correctas?

I. Toda recta secante a una circunferenciadetermina una cuerda.

II. Toda cuerda determina dos arcos de igualmedida.

III. En una circunferencia, si el radio mide 6 m,entonces, su diámetro mide 12 m.

A. Solo I C. I y IIIB. Solo II D. I, II y III

2. El número se define como:

A. la razón entre la longitud de unacircunferencia y su diámetro.

B. la razón entre la longitud de unacircunferencia y su radio.

C. la razón entre el diámetro de unacircunferencia y su longitud.

D. la razón entre el radio de unacircunferencia y su diámetro.

3. Si la longitud de una circunferencia es 53,38 m,entonces, su diámetro mide:

A. 8,5 mB. 26,69 mC. 6,28 mD. 17 m

4. Los polígono regulares de la figura estáninscritos en la circunferencia de centro O. La mejor aproximación para el área del círculo es:

A. 45,4 cm2

B. 50 cm2

C. 46,8 cm2

D. 52 cm2

5. Si BC = 7 cm y AC = 11 cm, entonces, el áreade la corona circular es:

A. 153,86 cm2

B. 329,7 cm2

C. 50,24 cm2

D. 379,94 cm2

6. En el rectángulo ABCD, AD = 5 cm, DC = 2 cm,entonces, el área total del cilindro generado alrotar el rectángulo respecto de AD es:

A. 10 cm2

B. 87,92 cm2

C. 75,36 cm2

D. 157 cm2

7. ¿Cuál es el volumen del cono generado al rotarel triángulo rectángulo RST respecto de SR?

A. 12,56 m3

B. 47,1 m3

C. 37,68 m3

D. 113,04 m3

8. Si el radio del cilindro recto mide 10 cm y sualtura mide 24 cm, ¿cuánto mide el área totaldel cono recto?

A. 1130,4 cm2

B. 2135,2 cm2

C. 816,4 cm2

D. 62,8 cm2

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Considera = 3,14, en todos los casos.

O

A B C

4 cm

4,2 cm2,6 cm

3,6 cm

A B

D C

R

TS

4 m 5 m

Unidad 3

9. Laura necesita forrar un envase cilíndrico recto cuyo radio mide 6 cm y su alturamide 21 cm. Si solo forrara su cara lateral, ¿cuánto papel necesitará?

10. Tres albañiles pintarán el exterior de un estanque de almacenamiento de aguaque tiene forma de cilindro, cuyas medidas son 20 m de diámetro y 15 m de altura.

a) ¿Cuál es el área que pintarán?b) Si cobran $ 860 por m2, ¿cuánto cobrarán por el trabajo completo?

11. La base de una pirámide regular es un hexágono cuyo perímetro es 60 cm, laapotema lateral mide 28 cm. Calcula el área de la base y el área total.

12. Si los radios de dos circunferencias están en la razón 1 : 3 y el radio menor mide4 cm, responde:

a) ¿cuál es la longitud de cada circunferencia?b) ¿cuál es el área de cada círculo?, ¿cuál es la razón entre sus áreas?






No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Circunferencia y círculo como lugar geométrico.

Elementos de la circunferencia.

Número y su relación con la circunferencia.

Longitud de la circunferencia.

Área del círculo.

Área del cilindro y cono.

Volumen del cilindro y cono.





¿Qué aprendí?Ítems 1 y 2: recordar y analizar.Ítems 3, 4, 5, 6, 7 y 8: analizar y calcular.Ítems 9, 10, 11 y 12: analizar, aplicar y calcular.



En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉAPRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquiridolos alumnos y alumnas en la Unidad de Geometría y medición, y con esta informaciónseguir determinadas líneas de acción, por ejemplo, volver a enseñar un contenido orealizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pre-tendían con el desarrollo de esta Unidad.




• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las alumnas eslimitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen,que pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa,entre otras. Para evitar este inconveniente, en los ítems de selección múltiple, se

sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, pues de estemodo podemos detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar losaprendizajes que se espera que logren.

• En el ítem 9, sus estudiantes podrían confundirse al determinar cuánto papel se nece-sita, ya que no se pide explícitamente el área o volumen. Con este problema podráapreciar quiénes comprenden dichos conceptos y sus aplicaciones en situaciones sig-nificativas. Si es necesario, muestre con un envase cilíndrico qué deben calcular.

• En los ítems 10 y 11, si sus alumnos y alumnas tienen dificultades para responder,es conveniente pedirles que dibujen los cuerpos geométricos en sus cuadernos y,además, que sean ordenados en el desarrollo de su estrategia, pues, si cometen errores, será más fácil corregirlos y detectarlos.

• En el ítem 12, podrían tener dificultades para determinar la medida del radio de lacircunferencia mayor, considerando la razón entre ellos. Puede guiarlos pidiendoque determinen el término que falta en la proporción 1 : 3 = 4 : x, para determi-nar el radio desconocido.



La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9, 10, 11 y 12.


9

Calcula correctamente el área de lacara lateral, indicando adecuadamentecada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área de lacara lateral, pero no indica de maneraadecuada cada uno de sus pasos.

Calcula solo el área total del cilindro;además, no indica de manera adecuadacada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente el área solicitada;además, no indica de manera adecuadacada uno de sus pasos.

10

Calcula correctamente el área y cobropedido, indicando adecuadamentecada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área y cobropedido, pero no indica de manera adecuada cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área a pintar yerróneamente el cobro pedido; además,confunde algunos de sus pasos.

Calcula erróneamente el área y cobropedido, confundiendo procedimientospara obtener el área.

11

Calcula correctamente las áreas pedidas, indicando adecuadamentecada uno de sus pasos.

Calcula correctamente las áreas pedidas, pero no indica de maneraadecuada cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente alguna de lasáreas pedidas, ya sea el área de la baseo el área total; además, confunde algunos de sus pasos.

Calcula erróneamente las áreas pedidas, confundiendo los procedimientos para obtener ambas.

12

Calcula correctamente la longitud, el área y la razón pedidas, indicandoadecuadamente cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente la longitud, el área y la razón pedidas, pero no indica de manera adecuada cada unode sus pasos.

Calcula erróneamente ya sea la longitud, el área o la razón pedidas;además, confunde algunos de sus pasos.

Calcula erróneamente la longitud, el área y la razón pedidas, confundiendolos procedimientos para obtener los resultados.



De refuerzo


a) Una recta tangente interseca en un único punto a la circunferencia.

b) El radio es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasandopor el centro.

c) Una cuerda es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la cir-cunferencia.

d) Un arco es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntosde ella.

e) El área de un círculo es la razón entre la longitud de una circunferenciay su diámetro.

f) El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distanciaa otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.

2. Completa la siguiente tabla, redondeando tus resultados a los centésimos.Considera π = 3,14.


3. Aproxima el área de cada círculo por medio de los polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

a) c)

b) d)

4. Determina la longitud y el área de las siguientes figuras. Considera π = 3,14.

a) c)

b) d)


Radio Longitud de la circunferencia Área del círculo

7 cm

5,4 m

3 mm

4,3 cm

6 m

O O

O

C E

E

C

O

2 cm

3,08 cm

14 cm 9 cm

4 cm

3,7 cm

1,73 cm

2 cm1,54 cm

2,12 cm

1,54 cm

1 cm



5. Calcula el área total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos rectos.Considera π = 3,14.

a) c)

b) d)

De profundización

Resuelve los siguientes problemas considerando π = 3,14.

1. Determina el área y el perímetro de la siguiente corona circular, sabiendo que lacircunferencia menor tiene un diámetro que mide 7 cm, y el diámetro de la mayormide el doble que el diámetro de la menor.

2. El radio de la circunferencia que se muestra a continuación mide 19 cm. Si estáinscrita en el cuadrado, ¿cuál es el valor del área sombreada?

3. Determina la longitud de la circunferencia inscrita en el cuadrado, si el perímetrode dicho polígono es 80 cm.

4. La longitud de una semicircunferencia es 131,88 m. ¿Cuánto mide su radio?

5. La longitud de una circunferencia es 28,26 cm. Determina la medida de su diámetro.

6. ¿Qué condición debe cumplir el radio y la altura de un cilindro recto para que suárea lateral sea equivalente a la suma de las áreas basales?

7. Hallar la altura de un cono recto si el área lateral mide 62,8 cm2 y el radio basalmide 4 cm.

8. Calcula el área total de un cono recto cuya generatriz mide 25 cm y el radio basalmide 15 cm.

9. Para la fiesta de cumpleaños de Luisa, sus padres quieren fabricar gorros de car-tulina con forma de cono. Estimaron que el diámetro de estos debe medir 20 cmy la altura 25 cm. Si en total serán 30 personas, ¿cuántos metros cuadrados decartulina necesitan, aproximadamente?

10. Un comerciante vende helados bañados en chocolate. Si el diámetro de la basedel cono mide 5 cm y la altura del cono mide 12 cm, ¿cuál es el volumen delcono de helado?


radio = 60 mgeneratriz = 100 m



altura = 24 mmradio = 10 mm

O

W

P


Radio Longitud de la circunferencia Área del círculo

7 cm 43,96 cm 153,86 cm2

5,4 m 33,91 m 91,56 m2

3 mm 18,84 mm 28,26 mm2

4,3 cm 27 cm 58,06 cm2

6 m 37,68 m 113,04 m2

De profundización

1. P = 65,94 cm; Á = 115,4 cm2

2. Á = 310,46 cm2

3. L = 62,8 cm

4. r = 42 m

5. d = 9 cm

6. Deben ser de igual medida.

7. h = 3 cm

8. Á = 1884 cm2

9. Se necesitan 25 368,06 cm2, aproximadamente.

10. V = 78,5 cm3



De refuerzo

1. a) Verdadero.b) Falso.c) Verdadero.d) Verdadero.e) Falso.f) Verdadero.

2.

3. a) Á = 10,38 cm2

b) Á = 30,8 cm2

c) Á = 14,69 cm2

d) Á = 7,7 cm2

4. a) L = 71,96 cm; Á = 307,72 cm2

b) L = 19,02 cm; Á = 21,49 cm2

c) L = 32,13 cm; Á = 63,59 cm2

d) L = 26,84 cm; Á = 37,68 cm2

5. a) Á = 30 144 m2; V = 301 440 m3

b) Á = 2486,88 cm2; V = 9498,5 cm3

c) Á = 3108,6 cm2; V = 12 717 cm3

d) Á = 1130,4 mm2; V = 2512 mm3



IIdentificar, analizar, recordar ycalcular.


IIResolver problemas, aplicar y calcular.


entre otras). Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, sesugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues deeste modo se podrá detectar en qué se están equivocando, y ayudarlos a alcan-zar los aprendizajes que se espera que logren.

• En los ítems de desarrollo, monitoree constantemente el trabajo de los y las alumnas,con la finalidad de que trabajen según las instrucciones. Pídales a sus estudiantesque lean detalladamente cada problema, para evitar confusiones.

Después de que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evalua-ción, se recomienda que revise junto con ellos cada una de las preguntas presentadasen esta evaluación, con el fin de detectar los errores que cometieron y aclarar las dudasque tengan.

Si considera que sus estudiantes requieren apoyo adicional, vuelva a enseñar aque-llos contenidos que no alcanzaron un nivel de logro apropiado.


I.1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. B 7. D 8. C

II.9. 6437 cm2 10. 56 viajes 11. 314 m 12. 490,625 m2

13. a) 20 cm y 26 cm, respectivamente.

b) 816,4 cm2


EVALUACIÓN FINAL

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizarcomo evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son losconocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad Geometría ymedición. El tiempo estimado para la realización de la prueba es 40 minutos. Estetiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.


Puntaje total de la evaluación: 52 puntos.

Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados porsus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:



• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las estudianteses limitada, ya que sin el desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que come-ten (pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa,

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem II.


IIResuelve correctamente ambos problemas, indicando de forma adecuada cada uno de sus pasos.

Resuelve correctamente ambos problemas, pero no indica de formaadecuada cada uno de sus pasos.

Resuelve correctamente uno de losdos problemas; además, no indica deforma adecuada todos sus pasos.

Resuelve erróneamente ambosproblemas, y no indica de forma adecuada cada uno de sus pasos.


EVALUACIÓNPotencias


Puntaje: Nota:

I. Marca la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza eldesarrollo al lado de cada pregunta. Considera π = 3,14.

1. El lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual dis-tancia de un punto fijo, llamado centro, corresponde a:

A. cuerda.B. círculo.C. radio.D. circunferencia.

2. El área sombreada de la figura es:

A. 28,26 cm2

B. 19,74 cm2

C. 12,8 cm2

D. 9,42 cm2

3. Si la altura del cilindro recto de la figura mide 15 m y su radio 5 m,¿cuál es su volumen?

A. 1157 m3

B. 1175 m3

C. 1177,5 m3

D. 177,5 m3

4. Si el radio del cono recto de la figura mide 3 cm y su altura es eltriple del radio, ¿cuál es su volumen?

A. 18,84 cm3

B. 28,26 cm3

C. 84,78 cm3

D. 254,34 cm3

5. La longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide 24 mm es:

A. L = 75,36 mmB. L = 37,68 mmC. L = 150,72 mmD. L = 452,16 mm

6. Si el perímetro del polígono regular verde de la figura es 36 cm y suapotema mide 5,5 cm, y el perímetro del polígono regular naranjo es36,3 cm y su apotema mide 5,7 cm, entonces la mejor estimacióndel área del círculo de centro O es:

A. 99 cm2

B. 103,46 cm2

C. 198 cm2

D. 206,91 cm2


3 cm6 cm

8 cm

O


7. El área total del cono recto de la figura, de altura 3 cm y radio 4 cm es:

A. 62,8 cm2

B. 50,24 cm2

C. 87,92 cm2

D. 113,04 cm2

8. El área total del cilindro recto de la figura, de altura 10 cm y radio7 cm es:

A. 439,6 cm2

B. 307,72 cm2

C. 747,32 cm2

D. 1067,6 cm2

II. Resuelve los siguientes problemas. Considera π = 3,14.

9. ¿Cuál es el área total de un tubo de acero con forma cilíndrica, sisu radio basal mide 5 cm y su largo 2 m?

10. En una planta de salitre almacenan el mineral formando cerros conforma de cono recto cuyo radio mide 40 m y su altura 10 m. Si elsalitre acumulado debe ser transportado en un camión con capaci-dad de carga de 300 m3, ¿cuántos viajes deberá realizar el camiónpara transportar el mineral de un cerro?

11. Don Luis quiere cercar con alambre un terreno de forma circular,como se observa en la imagen. Si requiere que el alambre dé 4 vueltas y el terreno tiene un diámetro de 25 m, ¿cuántos metrosde alambre necesita?

12. Considerando la pregunta anterior: Si Don Luis quiere sembrarlechugas en el terreno circular, ¿de cuántos metros cuadradosdispone, aproximadamente?

13. El gorro que usó Andrés para su cumpleaños tiene forma de conorecto. Si su altura mide 24 cm y el volumen es 2512 cm3, responde:

a) ¿Cuánto mide su diámetro?, ¿y su generatriz?b) ¿Cuál es su área lateral?


25 m


Ampliación Reducción

como

180 Unidad 4 – Movimientos en el plano Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


Esta Unidad está orientada al estudio de transformaciones isométricas de figurasgeométricas planas y a la aplicación de dichas transformaciones en contextos diversos.Se pretende que los y las estudiantes utilicen sus conocimientos previos sobre puntos,rectas, ángulos, polígonos y construcciones para la realización de transformacionesisométricas (traslaciones, rotaciones, y reflexiones) de diferentes polígonos (regularese irregulares), así como también, que sean capaces de reconocer y discutir respecto delos aspectos que se mantienen y de los que varían luego de la aplicación de una trans-formación isométrica en el plano.

En la segunda parte de la Unidad son presentadas las teselaciones regulares y semi-rregulares, como una aplicación concreta de las transformaciones isométricas.

El objetivo de esta Unidad es que los alumnos y alumnas caractericen y efectúentransformaciones isométricas de figuras geométricas planas con regla y compás, empleando un procesador geométrico; además, que construyan algunas teselacionesy argumenten respecto de las transformaciones isométricas involucradas en ellas.


Movimientos en el planoUnidad4

Transformacionesde polígonos

Isométricas No isométricas

Traslación

Vector detraslación

Eje desimetría

Polígonoregular

Reflexión

Teselaciones

Regulares Semirregulares

Rotación

pueden ser

tipos

respecto de

pueden ser

contienendos o más

contienenun

según un

se p

uede

n cr

ear

respecto de

Centro derotación

Ángulo derotación



7º básico

Transporte de segmentos y ángulos, construcción de ángulos y bisectrices deángulos, construcción de rectas paralelasy perpendiculares, mediante regla y com-pás o un procesador geométrico.

8º básico

Realización de traslaciones, reflexiones yrotaciones de figuras geométricas planasa través de construcciones con regla ycompás y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las in-variantes que se generan al realizarestas transformaciones.

Construcción de teselaciones regulares ysemirregulares y argumentación acercade las transformaciones isométricas uti-lizadas en dichas teselaciones.

1º medio

Identificación del plano cartesiano y su usopara representar puntos y figuras geométri-cas manualmente y haciendo uso de unprocesador geométrico.

Notación y representación gráfica de vec-tores en el plano cartesiano y aplicaciónde la suma de vectores para describirtraslaciones de figuras geométricas.

Formulación de conjeturas respecto delos efectos de la aplicación de trasla-ciones, reflexiones y rotaciones sobre fi-guras geométricas en el plano cartesianoy verificación, en casos particulares, dedichas conjeturas mediante el uso de unprocesador geométrico o manualmente.

Aplicación de la noción de semejanza a lademostración de relaciones entre segmen-tos en cuerdas y secantes en una circunfe-rencia y a la homotecia de figuras planas.

Relación del concepto de congruencia defiguras planas con las transformacionesisométricas, formulación y verificación deconjeturas, en casos particulares, acercade criterios de congruencia en triángulosy utilización de estos criterios en la reso-lución de problemas y en la demostraciónde propiedades en polígonos.

2º medio

Exploración de diversas situaciones queinvolucran el concepto de semejanza y su relación con formas presentes en el entorno.

Identificación y utilización de criterios desemejanza de triángulos para el análisis dela semejanza en diferentes figuras planas.











Realización de traslaciones, reflexio-nes y rotaciones de figuras geométricasplanas a través de construcciones conregla y compás y empleando un proce-sador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizarestas transformaciones.

Construcción deteselaciones regularesy semirregulares y argumentación acerca de las transfor-maciones isométricasutilizadas en dichas teselaciones.

• Transformaciones defiguras y objetos.

• Traslaciones de figuras planas.

• Reflexiones de figuras planas.

• Rotaciones de figuras planas.

• Teselaciones.• Teselaciones regulares

y semirregulares.

• Efectuar traslaciones,reflexiones y rotacionesde figuras geométricasplanas por medio deconstrucciones conregla y compás.

• Realizar traslaciones,reflexiones y rotacionesde figuras geométricasplanas por medio de un procesador geométrico.

• Reconocer los aspectosque se mantienen alrealizar transforma-ciones isométricas.

• Construir teselaciones regulares y semirregulares.

• Reconocer y argumen-tar respecto de lastransformacionesisométricas utilizadasen teselaciones regu-lares y semirregulares.

En el TextoDe exploración:páginas 106, 108, 110 y 112.

De construcción deconceptos: páginas 107,109, 111, 113, 114, 115 y 116.

De consolidación:páginas 126 y 127.

En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas193, 195, 197, 199, 201,204 y 205.

De profundización:páginas 193, 195, 197 y 199.

En el TextoDe exploración:páginas 154 y 156.De construcción deconceptos: páginas 155,157 y 158.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas207, 209, 211, 212y 213.

De profundización:207, 209, 212 y 213.

• Identifican característicasde figuras que represen-tan una transformaciónisométrica.

• Determinan si ciertas figuras se pueden obteneraplicando una transfor-mación isométrica.

• Construyen con regla ycompás la imagen de unafigura al aplicar una trans-formación isométrica.

• Realizan transformacionesisométricas empleando unprocesador geométrico.

• Determinan los elemen-tos que no varían, alaplicar una transforma-ción isométrica a unafigura plana.

• Construyen teselacionesregulares.

• Construyen teselacionessemirregulares.

• Distinguen las transfor-maciones isométricas involucradas en una teselación.

Diagnóstica:páginas 104 y 105 del Textodel Estudiante.

Formativa: páginas 117 y 123 del Textodel Estudiante.


• Regla.• Compás.• Transportador.• Computador

con softwareGeogebra.

• Cartón piedrade 40 cm x30 cm.

• Pegamento.• Tijeras.• Papeles de

colores.








Realización de trasla-ciones, reflexiones yrotaciones de figurasgeométricas planas através de construc-ciones con regla ycompás […].

• Buscando estrategias. • Resolver problemas encontextos diversos queinvolucran la aplicaciónde transformacionesisométricas.

• Analizar la validez delos procedimientos utilizados y de losresultados obtenidos.






• Resuelven problemas queinvolucran traslaciones,reflexiones o rotaciones.



ERRORES FRECUENTES


Si los conocimientos sobre puntos, rectas, ángulos, polígonos y sus característicasson insuficientes, se pueden producir complicaciones en el aprendizaje de los polígonos y sus transformaciones en el plano.

• Por medio de la evaluación diagnóstica, podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante recordar los conceptos necesarios, clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, ya que pueden provocar dificultades en elaprendizaje de los contenidos de la Unidad.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad es conveniente que, después de la evaluación diagnóstica, realice un repaso de los contenidos dondedetectó errores o confusiones en sus alumnos y alumnas.

En las construcciones con regla y compás es posible encontrar los siguientes Inconvenientes:

• Realización incorrecta de la copia de trazos y ángulos.• Construcción incorrecta de rectas paralelas y perpendiculares.

• Para aclarar cómo se transportan segmentos y ángulos, sería conveniente que recuerde en la pizarra cómo se realizan estas construcciones geométricas.

• Para que los alumnos y alumnas construyan rectas paralelas al vector detraslación, es aconsejable que recuerde en la pizarra o usando un procesador geométrico esta construcción. De forma similar, recuerde la construcción de rec-tas perpendiculares en la reflexión. Además, puede pedir a sus estudiantes que describan en sus cuadernos, paso a paso, los procedimientos empleados.

En la construcción de teselaciones regulares y semirregulares, se pueden presentar los siguientes inconvenientes:

• Dificultades para identificar qué polígonos regulares teselan el plano.• Problemas para argumentar respecto de las transformaciones isométricas

utilizadas en algunas teselaciones.

• Para ayudar a que los y las estudiantes identifiquen cuándo es posible teselar el plano usando uno o más polígonos regulares, es conveniente recordar quela suma de los ángulos de las figuras que concurren a un vértice es 360º, y constatarlo calculando la suma de dichos ángulos.

• Para que los alumnos y alumnas distingan correctamente las transformacionesisométricas empleadas en una teselación, es conveniente que muestre en la pizarra, a partir de la figura inicial, cómo se construye una teselación, identificando con distintos colores las traslaciones, rotaciones y reflexiones presentes en ella.


A continuación, le entregamos información complementaria actualizada para un de-sarrollo conceptual más amplio de los temas tratados en la Unidad.

POLÍGONOS Y SUS ELEMENTOS BÁSICOS

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentosrectos consecutivos no alineados, llamados lados.

Los elementos básicos de un polígono son:

• Lados: segmentos que delimitan el polígono. Si están trazados uno a continua-ción del otro son lados consecutivos.

• Vértices: puntos de intersección entre dos lados consecutivos de un polígono.

• Ángulos: estos pueden ser interiores o exteriores.

• Diagonales: segmentos que unen cada uno de los vértices no consecutivos.

Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados. Por ejemplo:

Polígonos cóncavos y convexos

Un polígono se denomina cóncavo, si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º; se denomina convexo, si cada uno de sus ángulos interiores mide menosde 180º.

Polígono cóncavo Polígono convexo

Ángulos interiores y exteriores de un polígonoLa suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n lados, estádada por la expresión:

180º • (n – 2)

La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono cualquiera essiempre igual a 360º.

Polígonos regulares e irregulares

Un polígono regular es aquel que tiene todos sus ángulos y lados de igual medida;de lo contrario, es un polígono irregular.

La expresión que permite obtener la medida de un ángulo interior de un polígonoregular de n lados está dada por:

α: medida de cada ángulo interior

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICASPrevio a la construcción con regla y compás de rectas paralelas y perpendiculares,copiaremos un segmento y un ángulo dados.

• Copiar un segmento AB dado

1° Se dibuja una recta L y se elige unpunto A sobre ella.

2° Se mide con el compás el segmentoy, luego, con centro en A y esta medida, se construye un arco quecorte a la recta L. El punto de intersección corresponde al punto B.

• Copiar un ángulo AOB dado

1° Se copia el segmento OB sobre unarecta L.

2° Con centro en O, se dibuja un arcocon el mismo radio de medida OA.

3° Con centro en B, se dibuja un arcocon radio de medida AB.

4° Donde se intersecan ambos arcos estará el punto A. Se une O con A,para obtener el ángulo pedido.

α = ° −( )180 2i nn


REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONESSOBRE ALGUNOS CONTENIDOS

Nº de lados 3 4 5 6 7

Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono

A B

A B L

O

A

B

O B L

O B

A

L



A continuación, veremos cómo se construyen, paso a paso, rectas paralelas y perpendiculares.

• Construir una recta paralela a una recta L dada, que pasa por un punto Pque no pertenece a dicha recta.

1° Se dibuja un punto P, que no pertenezca a la recta L.

2° Se dibuja un punto O cualquiera en la recta L.

3° Con centro en O y radio OP se dibuja una circunferencia. A y B son los puntosde intersección entre la recta L y la circunferencia de centro O.

4° Se mide AP con el compás y, luego, se dibuja un arco con centro en B y radioAP que interseque a la circunferencia de centro O, determinando el punto Q.

5° Se une P con Q, obteniendo la recta PQ paralela a la recta L, como se observa en la imagen.

Construir la perpendicular a una recta L dada, desde un punto P que no pertenecea dicha recta.

1° Se dibuja un punto P, que no pertenezca a la recta L.

2° Se dibuja un arco con centro en P que interseque a la recta L en dos puntos,que denominaremos A y B (AP ≅ PB).

3° Con la misma abertura del compás y con centro en A y, luego, en B, se dibujandos arcos que se intersequen en un punto (distinto de P) que denominaremos C.

4° Se une P con C, obteniendo la recta PC perpendicular a la recta L.

TESELACIONES

Una teselación es un patrón de figuras que cubre una superficie sin dejar espaciosni sobreponer figuras.

Las teselaciones se obtienen a partir de la aplicación de transformaciones isométri-cas sucesivas sobre una figura inicial.

En una teselación con figuras planas, la suma de todos los ángulos que concurrena un vértice es 360º.

Teselaciones regulares

Las teselaciones regulares son aquellas que cubren una superficie utilizando solo unpolígono regular.

Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana sonel triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono. Por ejemplo:

Teselación utilizando cuadrados

O B LA

O B LA

P

P

B LA

P

B LA

P

C

Q


Teselaciones semirregularesUna teselación semirregular es aquella que está formada por 2 o más polígonos regu-lares. Algunas teselaciones semirregulares se pueden realizar utilizando:

• Octágonos y cuadrados (como la imagen)

• Cuadrados y triángulos equiláteros

• Hexágonos y triángulos equiláteros

• Hexágonos, cuadrados y triángulos equiláteros

Teselación no regular

Una teselación no regular es aquella que está formada por polígonos irregulares.Por ejemplo:

Teselación usando romboides

Construcción de una teselación

A partir de cualquier polígono que permita teselar una superficie, se pueden formarplantillas de diseño para realizar distintos modelos. Los pasos para crear unateselación son:

1° Elegir un polígono

2° Determinar el diseño

3° Determinar las transformaciones isométricas a utilizar.

Rotación de arco Teselación

Bibliografía

• Artigue, M. (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. México:Grupo Editorial Iberoamérica.


• Manual esencial. (2008). Composición de isometrías. Geometría y Trigonometría.(pp. 130 y 131). Santiago: Santillana.

• Manual esencial. (2008). Composición de isometrías. Geometría y Trigonometría (pp. 30–51). Santiago: Santillana.

• Rencoret, M. (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de ense-ñanza. Santiago: Andrés Bello.

Sitios webs

• Construcciones de rectas y trazos:www.fisica.usach.cl/~ctoledo/licfismat/guia1geom.doc

• Transformaciones Isométricas en la Educación General Básica. XIII JornadasNacionales de Educación Matemática, SOCHIEM:www.sochiem.cl/jornadas2006/talleres_nacionales/06.pdf

• Teselaciones del artista M. C. Escher (página en inglés). Disponible en:www.mcescher.com/




La imagen inicial de la Unidad está destinada a motivar a sus estudiantes en el es-tudio de la Geometría, específicamente en las transformaciones isométricas y tesela-ciones. Para muchos de sus alumnos y alumnas, puede parecer extraño que laMatemática esté vinculada con el arte; sin embargo, el autor de esta obra es un granexponente de la relación entre estas dos distintas áreas del saber. Por años, muchosartistas y matemáticos se han inspirado en los maravillosos trabajos de M. C. Escher.

Unidad

4

102 Unidad 4

Movimientosen el plano

• Efectuar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planaspor medio de construcciones con regla y compás.

• Realizar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planaspor medio de un procesador geométrico.

• Reconocer las invariantes que se generan al realizar transformaciones isométricas.• Construir teselaciones regulares y semirregulares.• Reconocer y argumentar respecto de las transformaciones isométricas utilizadas

en teselaciones regulares y semirregulares.


Maurits Cornelis Escher (1898-1972), artista holandés, es uno de los artistasgráficos más grandes del siglo XX. Sus trabajos han sido del interés de muchosmatemáticos, porque utiliza patrones de figuras que cubren una superficieplana sin superponer las figuras ni dejar espacios libres entre ellas.

Escher trabaja principalmente con figuras obtenidas a partir de cuadriláteros y triángulos, las que modifica para crear un patrón que, al repetirlo, encaja conlos demás, embaldosando una superficie plana.

La imagen corresponde a una de las obras de Escher. Observa y responde.

1. ¿Observas alguna regularidad o patrón?, ¿cuál?2. ¿Qué figuras observas en la imagen?, ¿se repite alguna?, ¿cuál? Comenta con tus

compañeros y compañeras de qué manera se va repitiendo la imagen.3. ¿Te imaginas esta imagen girando alrededor de un punto?, ¿de cuál?

Conversemos de...


Sym

met

ry d

raw

ing

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Conversemos de...Ítems 1 y 2: reconocer. Ítem 3: analizar e identificar.


Escher fue un observador del mundo, siendo este su fuente de inspiración. Sus obrastratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos imaginarios de 2 ó 3 dimen-siones. Es por esto que su trabajo ha sido del interés de muchos matemáticos.

Actualmente sus trabajos se pueden encontrar en diversos sitios web:

• www.mcescher.com/ (página en inglés)

• www.uv.es/buso/escher/escher.html


De refuerzo

1. Observa la siguiente imagen y, luego, responde.

a) ¿Observas alguna regularidad?b) ¿Cuál es el movimiento de las figuras?c) ¿A partir de qué figura geométrica crees que se formó la imagen anterior?,

¿por qué?

(Habilidades que desarrolla: analizar, reconocer y justificar).

189 Unidad 4 – Movimientos en el plano


En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que seespera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lean envoz alta y, luego, puede preguntarles lo siguiente:

• ¿Qué es una transformación?, ¿observas ejemplos presentes en la naturaleza?• ¿Han escuchado hablar de traslación, rotación o reflexión?• ¿Qué tipo de embaldosamientos han visto a su alrededor?

Con estas preguntas, y las ideas que vayan surgiendo por parte de sus alumnos yalumnas, puede hacer un mapa semántico en la pizarra, que le permitirá obtener información acerca de las experiencias y conocimientos previos de sus alumnos yalumnas; a partir de ellos, podrá guiar de mejor forma el trabajo de la Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL

Es recomendable comentar con los y las estudiantes la imagen inicial presentada enel Texto. Puede complementar la conversación con preguntas como las siguientes:

• ¿Hay figuras que no se repiten?, ¿cuáles?• ¿Las imágenes repetidas están a igual distancia?• ¿Hay espacios sin cubrir en la imagen?• ¿Hay algunas figuras superpuestas (una sobre otra)?• ¿Tiene algún nombre especial este tipo de imagen?

Estas preguntas están relacionadas con la obra del artista Escher y la geometría. Laobra que aparece corresponde a una teselación.

Pida a sus estudiantes que copien algunas mariposas y en una hoja blanca laspeguen para que descubran cuál es la regularidad de la obra y, además, constatenempíricamente que las figuras no se sobreponen. De esta forma podrán responderpor medio de la experiencia las preguntas del primer y segundo punto.

La actividad inicial está relacionada con contenidos trabajados en años anteriores,tales como las figuras geométricas y sus características.


Maurits Cornelis Escher (1898-1972) ha sido uno de los artistas gráficos más rele-vantes del mundo, y hoy, a casi cuatro décadas de su muerte, continúa maravillandoa miles de personas con su arte.

Escher no fue un estudiante brillante en la escuela. Posteriormente, al estudiar artegráfico, motivado por un profesor, explotó todo su potencial, convirtiéndose en unartista reconocido.



¿Cuánto sabes?

104 Unidad 4

1. Calcula las medidas de los ángulos x e y. En cada caso L1 // L2.

a) b)

2. Completa la siguiente tabla. Utiliza regla y transportador para efectuar lasmediciones de lados y ángulos, respectivamente.

3. Sigue las siguientes instrucciones. Usa regla y compás para realizar las construcciones en tu cuaderno.a) Copia los segmentos y el ángulo que aparecen a continuación

para construir un triángulo.b) Construye la circunferencia circunscrita al triángulo.

• ¿Cómo lo hiciste?, ¿cuál es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo?

x 140º

y72º

L1

L2

yx

L1 L2

Figura NombreMedida

de ángulosMedida de lados

R

J

G

E

D

C

BF

A

I

H

M N

a

Unidad 4


• Dos rectas son paralelas, cuando no se intersecan en ningún punto o cuando son coincidentes.• Dos rectas son secantes, cuando se cortan en un único punto.• Dos rectas son perpendiculares, cuando al intersecarse forman 4 ángulos rectos.• Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados,

que tienen un origen común, llamado vértice. • Un ángulo como el de la figura se puede nombrar utilizando la

notación �BOA, siendo O el vértice del ángulo. La medida de este ángulo es .

• Los ángulos se pueden clasificar según sus medidas en: agudo (mide más de 0º y menos de 90º), recto (mide 90º), obtuso (mide más de 90º y menos de 180º), extendido (mide 180º) y completo (mide 360º).

• Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90º, y suplementariossi la suma de sus medidas es igual a 180º.

• Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectosconsecutivos no alineados, llamados lados.

En el polígono ABCD:� , � ,� , y � son ángulos interiores.

� , � ,� , y � son ángulos exteriores.

• Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados en: triángulos (3 lados),cuadriláteros (4 lados), pentágonos (5 lados), hexágonos (6 lados), etc.

• Si un polígono tiene todos sus lados de igual medida y todos sus ángulos son congruentes, se llama polígono regular.

• Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores que 180º.• La suma de todos los ángulos interiores de un polígono de n lados se puede calcular con la

siguiente fórmula: (n – 2) • 180º.• La suma de todos los ángulos exteriores de un polígono convexo es 360º.


4. Copia la siguiente recta L en tu cuaderno y construye usando regla y compás:

a) una recta paralela a la recta L. b) una recta perpendicular a la recta L.


O

A

B

L

D C

A B




Para identificar los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una eva-luación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: calcular medidas de ángulos entre rectas paralelas cortadas por una transversal.Ítem 2: recordar el nombre de figuras geométricas planas, y medir sus ángulos y lados

con regla y transportador.

Ítem 3: construir con regla y compás un triángulo, dados dos ángulos, un lado y unacircunferencia circunscrita al triángulo.

Ítem 4: construir con regla y compás una recta paralela a la recta L dada, y una per-pendicular a la recta L.



¿Cuánto sabes?Ítem 1: analizar y calcular.Ítem 2: recordar y usar herramientas.Ítems 3 y 4: usar herramientas y representar.


• En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes no recuerden las igualdades de me-didas de los ángulos entre paralelas cortados por una transversal. Para corregir estaposible dificultad, presente un esquema general que ilustre cuáles ángulos tienenigual medida y cuáles son suplementarios. Es recomendable no presentar ejemplosnuméricos, pues con esto se perdería la intencionalidad del ítem.

• En el ítem 2, es posible que los alumnos y alumnas no recuerden el nombre delpolígono de seis lados (hexágono) o el nombre específico del cuadrilátero (rectán-gulo). En cuanto a los triángulos, puede que los alumnos y alumnas no recuerden




1

Calcula correctamente los valores de losángulos incógnitos por medio de lasigualdades de medidas de los ángulos entre paralelas cortados poruna transversal.

Calcula correctamente los valores delos ángulos incógnitos, utilizando el suplemento de un ángulo.

Calcula erróneamente uno de los valores de los ángulos incógnitos, confundiendo la relación entre los ángulos.

Calcula erróneamente todos los valoresde los ángulos incógnitos, confundiendola relación entre los ángulos.

2

Utiliza correctamente las herramientasgeométricas, obteniendo las medidas de los lados y ángulos, así como también recuerda los nombres de las figuras involucradas.

Utiliza correctamente las herramientasgeométricas, obteniendo las medidasde los lados y ángulos, pero no recuerda todos los nombres de las figuras involucradas.

Utiliza erróneamente alguna de las herramientas geométricas, obteniendolas medidas incorrectas de uno o dos delos lados o ángulos; no recuerda todoslos nombres de las figuras involucradas.

Utiliza erróneamente las herramientasgeométricas, obteniendo todas las medidas incorrectas de los lados y ángulos, y no recuerda los nombres de las figuras involucradas.

3

Utiliza correctamente las herramientas geométricas, copiando el segmento y ángulos para construir el triángulo y, luego,la circunferencia circunscrita al triángulo,justificando cada uno de sus pasos.

Utiliza correctamente las herramientasgeométricas, copiando el segmento yángulos para construir el triángulo y,luego, la circunferencia circunscrita altriángulo, sin justificar sus pasos.

Utiliza erróneamente las herramientasgeométricas, copiando de formaincorrecta el trazo, o bien, los ángulos,sin poder construir la circunferencia circunscrita al triángulo.

Utiliza erróneamente las herramientasgeométricas, copiando de formaincorrecta el trazo, y también losángulos, sin poder construir la circunferencia circunscrita al triángulo.

4

Utiliza correctamente las herramientasgeométricas y construye de forma correcta la recta paralela y la recta perpendicular, justificando cada uno de sus pasos.

Utiliza correctamente las herramientasgeométricas y construye de forma correcta la recta paralela y la recta perpendicular, sin justificar sus pasos.

Utiliza erróneamente las herramientasgeométricas y construye de forma incorrecta la recta paralela, o bien, la recta perpendicular, sin justificar sus pasos.

Utiliza erróneamente las herramientasgeométricas y construye de forma incorrecta ambas rectas, sin justificarsus pasos.

el nombre específico del triángulo, considerando su clasificación según sus lados ysus ángulos. Por ejemplo: triángulo escaleno obtusángulo, triángulo isóscelesacutángulo, triángulo isósceles rectángulo. Para ayudar a sus estudiantes, podríapresentar una breve clasificación general o mapa conceptual de los polígonos y delos tipos de triángulos y cuadriláteros. Es conveniente que no presente ejemplosnuméricos, pues se podría perder la intención del ítem.

• En los ítems 3 y 4, puede que los alumnos y alumnas presenten dificultad para cons-truir rectas paralelas, rectas perpendiculares, triángulos y circunferencias circunscritas,utilizando regla y compás, ya que estas construcciones involucran conocimientos pre-vios y práctica. Podría ocurrir que los alumnos y alumnas construyan mecánicamente,sin justificar o entender los procedimientos empleados. Para solucionar este inconve-niente, y verificar si los y las estudiantes logran o no construir las figuras solicitadas,se recomienda mostrar en la pizarra un ejemplo para cada tipo de construcción, y unabreve argumentación de cada una. Es conveniente que destaque que en las cons-trucciones realizadas son más importantes las propiedades o definiciones puestas enjuego que la precisión de la representación.



Para discutir

106 Unidad 4

• ¿Qué cambió en la figura 1 para obtener la figura 2?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Qué cambió en la figura 3 para obtener la figura 4?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Podrías decir que los cambios corresponden a transformacionesen cada caso?, ¿por qué?, ¿de qué tipo?

• ¿Qué sucede con las medidas de los lados y ángulos en cada caso?

Comúnmente utilizamos la palabra transformación para referirnosa algún cambio, ya sea en el tamaño, en la forma o en la posiciónde un objeto o un cuerpo. En matemática, hablamos de unatransformación cuando un conjunto de puntos se ha movidosiguiendo una regla o condición dada.

Como puedes observar, para obtener la figura 2 a partir de la figura1, fue necesario aplicar una transformación. En este caso, cambió suposición, pero no su tamaño ni su forma, pues las medidas de suslados y ángulos son iguales (congruentes). Esta transformación sedenomina reflexión y corresponde a una transformación isométricaporque los puntos de la figura 1 se han movido de manera tal quese conservan todas sus medidas.

Observa que también se aplicó una transformación a la figura 3para obtener la figura 4; sin embargo, no corresponde a unatransformación isométrica, porque cambia el tamaño de la figura,aunque no su forma. En este caso, las medidas de los lados de lafigura 4 son el doble de los de la figura 3 y las medidas de losángulos correspondientes son las mismas.

Transformaciones de figuras y objetos

A partir de la figura 1 y 3 se obtuvieron las figuras 2 y 4,respectivamente. Obsérvalas.

Glosario isometría: La palabra isometríaes de origen griego y significa“igual medida” (iso = igual o mismo, metría = medir).

Figura 1 Figura 2

Figura 3

Figura 4


Actividades

1. Observa las imágenes de cada recuadro y, luego, responde.

• ¿Podrías decir que corresponden a transformaciones isométricas?, ¿por qué?

2. En cada caso, determina si las siguientes figuras pueden obtenerse a partir de la aplicación deuna transformación isométrica. Justifica.

a) c)

b) d)

Unidad 4

• Cuando se aplica una transformación a una figura u objeto, modificando su posición, sin alterar su tamaño ni su forma, se habla de que se le ha aplicado una transformación isométrica.

• Al aplicar una transformación isométrica a una figura, se obtiene otra figura, que se denomina imagen de la figura inicial. En general, usaremos la misma letra con un apóstrofo para señalar el vértice obtenido luego de una transformación.Por ejemplo: El AB C es la imagen del ABC

No olvides que...

A y A; B y B ; C y C son vérticescorrespondientes entre sí.

Figura inicial Imagen

B

CA

C

B

A




• […], discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transforma-ciones.


Para discutirÍtems 1 y 2: analizar y justificar.Ítem 3: analizar, justificar y reconocer.Ítem 4: analizar y justificar.


Figura original ¿Qué cambió?¿Qué se

mantuvo?

¿Es unatransformación

isométrica?

ActividadesÍtem 1: reconocer, analizar y justificar.Ítem 2: analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR es de carácterexploratorio y tiene por objetivo que los alumnos y alumnas analicen figuras y reconoz-can cuáles de ellas corresponden a la aplicación de una transformación isométrica.Para motivar a sus estudiantes, sería interesante tener distintas figuras geométricas,semejantes y congruentes, pegarlas en la pizarra y hacer preguntas en relación aellas. Además, podría anotar las observaciones que van aportando y, luego, discu-tir respecto de ellas. De esta forma mostraría y analizaría las transformacionesisométricas y no isométricas.

Para complementar el tema y la información del Texto, plantee preguntas como las siguientes:

• ¿Ampliar o reducir una imagen es una transformación isométrica?, ¿por qué?• ¿Mover un objeto de un lugar a otro, sin que varíen sus medidas, es una trans-

formación isométrica?, ¿por qué?, ¿qué cambió?, ¿qué se mantuvo igual?


• En el ítem 1, complemente la pregunta del Texto con otras como las siguientes:¿cambió la posición?, ¿y el tamaño? Al contestar estas preguntas les podría resul-tar más fácil identificar si cada fotografía corresponde o no a una transformaciónisométrica. En el caso de las imágenes de los palafitos y la mariposa, sugiera a susestudiantes que constaten que se trata de una transformación isométrica, do-blando la hoja por un eje imaginario justo en la mitad.

• En el ítem 2, es importante recordar a sus estudiantes las características de unatransformación isométrica: la imagen mantiene la forma y el tamaño de la figuraoriginal. De este modo, los alumnos y alumnas podrán identificar con mayor facili-dad cuáles imágenes se obtuvieron a partir de una transformación isométrica.

• Permita que los y las estudiantes compartan sus ideas, razonamientos y procedi-mientos al finalizar la actividad, pues esto les permitirá ampliar sus conocimientos,al conocer otros puntos de vista y métodos de resolución.


• Es fundamental que sus estudiantes comprendan la diferencia entre transforma-ciones isométricas y no isométricas, así como los elementos que se mantienen ylos que cambian luego de aplicar cada transformación, ya que estos conocimien-tos serán la base para los temas que se tratarán en la Unidad.


• En el caso de las figuras 3 y 4 de la actividad inicial se trata de una homotecia,concepto que estudiarán en cursos posteriores.Una homotecia es una transformación geométrica que permite obtener un polí-gono semejante a otro dado. En cambio, una transformación isométrica permiteobtener un polígono congruente a otro dado.

• Es importante considerar que una transformación geométrica asocia cada puntodel plano con otro punto del mismo plano, de modo que una figura, siendo unconjunto de puntos, queda asociada a su figura imagen.


De refuerzo

1. Completa el siguiente cuadro.

(Habilidades que desarrolla: analizar y reconocer).

De profundización

1. Dibuja un polígono en tu cuaderno usando regla y, luego, una imagen que podríasobtener al aplicar una transformación isométrica a la figura. Explica cómo lo hiciste.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, aplicar y justificar).



108 Unidad 4

Traslaciones de figuras planas

Observa el cuadrilátero A B C D que se obtuvo al aplicar unatransformación isométrica al cuadrilátero ABCD.

En la situación presentada, cada uno de los puntos de la figurainicial (ABCD) se desplazó en la misma magnitud, dirección y sentido para obtener su imagen (A B C D ), además, al medir los lados y ángulos correspondientes de ambas figuras, podrásconstatar que dichas medidas se mantienen; esto ocurre cuando la transformación isométrica que se aplica a la figura inicialcorresponde a una traslación.

Para representar gráficamente el movimiento realizado, podemos utilizar una flecha, que se llama vector de traslación.

En las figuras presentadas, al unir sus vértices correspondientes,obtenemos los vectores de traslación que miden lo mismo, tienen el mismo sentido y son paralelos entre sí.

Observa ahora cómo podemos realizar, con regla y compás, latraslación de una figura dada conociendo el vector de traslación (EF ).

1º Realizamos la construcción geométrica de rectas paralelas alvector dado que pasen por cada vértice (A, B, C y D). En estecaso, tenemos que construir 4 rectas paralelas al vector EF, como se observa en la figura 1.

Para discutir

• ¿Cómo describirías la transformación isométrica que se le aplicó?,¿qué cambió?, ¿y qué se mantuvo?

• ¿Cuánto miden los lados y ángulos correspondientes en las figuras?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?

• Si unes los vértices correspondientes (A con A , B con B , etc.)con una línea y, luego, las mides, ¿cómo son entre sí?, ¿qué otracaracterística observas?

• Si tuvieras solo la figura inicial y la flecha que representa elmovimiento de A hasta A , ¿cómo podrías obtener la imagenusando regla y compás?

Ayuda

Para realizar la construccióngeométrica de una rectaparalela a una recta L quepasa por un punto D, exteriora L, podemos dibujar unacircunferencia con centro encualquier punto de la recta L que contenga a D.

Luego, llamamos F y G a lospuntos de intersección entre L y la circunferencia. Con elcompás, medimos el trazo FDy, luego, dibujamos un arcocon centro en G y radio FDque interseque a lacircunferencia, determinandoel punto J. Finalmente, se uneD con J, obteniendo la rectaDJ, paralela a la recta L.

A

B

C

D

D

AB

C

AB

C

D

Figura 1

FE


Unidad 4

2º Copiamos la medida del vector en cada recta construida, a partir del vértice en el sentido que indica el vector. De estemodo, obtenemos los vértices de la imagen, como se observa en la figura 2.

3º Unimos los vértices de la imagen, determinando el cuadriláterotrasladado, según el vector dado, como se observa en la figura 3.

Actividades

1. Construye un triángulo isósceles en tu cuaderno y dibuja un vector con la magnitud, dirección y sentido que tú quieras. Luego, usando regla y compás, trasládalo según el vector.

2. Usando regla y compás, traslada el ABCsegún el vector DT y, luego, a la imagen obtenida, trasládala según el vector FK.

3. ¿Podrías trasladar el ABC del ítem anterior, según un solo vector, obteniendo la segunda imagen?,¿cuál es el vector?, ¿cómo lo construirías manteniendo la magnitud, dirección y sentido?Construye la traslación en tu cuaderno, usando regla y compás.

Una traslación es una transformación isométrica que desplaza todos los puntos de una figura en una misma magnitud, dirección y sentido.

No olvides que...

AA

B

CC

D

B

D

FE

AA

B

CC

D

B

D

FE

Figura 2

Figura 3

A

BD

C

T F

K




• Realización de traslaciones […] de figuras geométricas planas a través de construc-ciones con regla y compás […], discusión acerca de las invariantes que se generanal realizar estas transformaciones.


Para discutirÍtem 1: analizar.Ítems 2, 3 y 4: usar herramientas y analizar.


ActividadesÍtems 1 y 2: usar herramientas, aplicar y representar.Ítem 3: analizar, usar herramientas, aplicar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de la actividad inicial propuesta en el Texto es mostrar a los y las estudian-tes las características que presenta una traslación de figuras planas. Esto se realiza através de preguntas que permiten explorar y analizar lo que sucede cuando se realizantraslaciones. Para ello, se presenta un cuadrilátero y su imagen, luego de aplicar unatraslación. Para reforzar la comprensión del tema por los alumnos y alumnas con másdificultades, podría presentarles una nueva figura (que no sea cuadrilátero) con su corres-pondiente imagen, y pedirles que identifiquen los elementos que varían y los que noal aplicar una traslación, y también que midan la distancia entre cada vértice y su imagen respectiva.

Para analizar las características de la traslación presentada, es de gran ayuda quecada alumno y alumna utilice una regla para realizar las mediciones respectivas.


• Antes de comenzar los ítems 1 y 2, es conveniente que recuerde a sus estudiantesla construcción de una recta paralela a una recta L dada, que pasa por un puntoP exterior a la recta L que encontrará en la página 186 de esta Guía. Si algúnalumno o alumna no recuerda dicha construcción, esto no le permitirá alcanzarcompletamente los objetivos de la Unidad.

• En el ítem 3, es importante que los alumnos y alumnas concluyan que al trasladaruna figura según un vector y, luego, la imagen obtenida según otro vector, es posi-ble trasladar la figura inicial y obtener la segunda imagen aplicando una traslaciónsegún un solo vector. La dificultad es determinar cuál es ese vector de traslación. Acontinuación, se muestra una posibilidad (gráfica) para determinar el vector:

1° Se dibujan ambos vectores, de manera que

el origen de b→

coincida con el extremo de

a→

, obteniendo el vector c→

.

2° La suma de los vectores a→

y b→

será el vector

c→

, cuyo origen coincide con el origen de a→

y cuyo extremo coincide con el extremo de b→

.

• Es importante que una vez finalizada la actividad, los y las estudiantes comparenlos resultados obtenidos, como una forma de corregir y detectar errores.



• Para una mejor comprensión de la realización de la traslación de una figura conregla y compás es recomendable que cada alumno y alumna copie en su cuadernoun cuadrilátero como el que aparece en el Texto y que los guíe en la realización decada uno de los pasos que se proponen en él.

• Es importante supervisar el trabajo de cada uno de los y las estudiantes para deter-minar si trasladan y realizan las construcciones geométricas correctamente.Recuerde que los conceptos de transformaciones isométricas y de traslación sonimportantes para que los alumnos y alumnas los apliquen al momento de realizarlas actividades. De no ser así, las construcciones con regla y compás serán solo procedimientos mecánicos.

• Es fundamental tener presente que para trasladar una figura, basta con trasladarlos vértices de la figura, en la dirección, sentido y magnitud que indica la flechao vector de traslación y, luego, unir estos vértices.

• Para los alumnos y alumnas que tienen dificultad alrealizar las traslaciones con regla y compás, seríaconveniente que previamente trabajen concuadrículas para contar cuántos cuadraditos setraslada la figura según un determinado vector. Porejemplo: traslada el cuadrado una unidad a laderecha y, luego, tres unidades hacia arriba. Dibujael vector de traslación.


De refuerzo

1. Realiza la traslación de la siguiente figura, usando regla y compás, según el vector MN.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, aplicar y representar).

De profundización

1. Construye en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 5 cm y 6 cm ytrasládalo usando regla y compás, según un vector que escojas.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, representar y aplicar).

c→

b→

a→

A

BM

N

C

D


110 Unidad 4

Reflexiones de figuras planas

Observa la figura inicial y suimagen obtenida al aplicarleuna transformación isométrica.

En la situación anterior, el pentágono A B C D E es la imagen delpentágono ABCDE. Si dobláramos la hoja por la recta L, los vérticesy lados de la figura inicial coinciden con los de la imagen. Además,al unir cada par de puntos correspondientes, podrás verificar que la recta L es perpendicular a estos trazos (AA L, BB L, etc.) y que los vértices correspondientes se ubican a igual distancia de larecta L. Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicadase llama reflexión.

En esta transformación isométrica, todos los puntos se reflejanrespecto de una línea recta, llamada eje de simetría, ubicándose a la misma distancia del eje, pero al lado contrario. En el ejemploanterior, el eje de simetría es la recta L.

Observa ahora cómo podemos realizar, con regla y compás lareflexión de una figura dada respecto de un eje de simetría (recta L).

1º Dibujamos un arco con centro en uno de los vértices (D) de lafigura inicial que interseque al eje de simetría en dos puntos, que denominaremos P y Q, como se observa en la figura 1.

Para discutir

• ¿Qué ocurriría con las figuras si doblaras la hoja por la recta L?• Si se le aplicó una transformación isométrica a la figura inicial,

¿qué se mantiene?, ¿y qué cambia?• Une con una línea recta los puntos correspondientes (A con A ,

B con B , etc.). ¿Cómo son estas líneas en relación a la recta L?• Mide la distancia entre el punto A y la recta y, luego, la distancia

entre el punto A y la recta. ¿Cómo son entre sí?• Haz lo mismo con las medidas de los demás puntos.

¿Se cumple siempre?

Ayuda

Recuerda que, la simetral omediatriz de un segmento esuna recta perpendicular alsegmento que pasa por elpunto medio del segmento.

Todos los puntos de unasimetral están a igual distanciade los extremos del segmento.

A

C

B

E D

L

P

Q

A A

C C

B BE ED D

L

Figura 1

Unidad 4

2º Con centro en P y el mismo radio anterior dibujamos unacircunferencia y con centro en Q dibujamos otra circunferenciacon el mismo radio. El vértice D y su imagen D corresponden a laintersección de las circunferencias con centros P y Q; como seobserva en la figura 2.

La recta DD corresponde a la simetral del trazo PQ.

3º Finalmente, realizamos la misma construcción para cadavértice de la figura inicial; de este modo, obtenemos laimagen de cada vértice, los cuales unimos determinandola imagen, como se observa en la figura 3.

Actividades

1. Construye un cuadrilátero en tu cuaderno y dibuja una recta que no interseque al cuadrilátero.Luego, usando regla y compás, aplícale una reflexión con respecto a la recta.

2. Usando regla y compás, aplica una reflexión al triángulo isósceles MNR (de base MN) respecto de la recta MN.

3. ¿Qué tipo de cuadrilátero se formó al reflejar el MNR del ítem anterior respecto de la recta MN?, ¿por qué?, ¿qué otro triángulo podrías reflejar para obtener el cuadrilátero?


Una reflexión es una transformación isométrica en la cual a cada punto de una figura se le asociaotro punto, llamado imagen, de modo que:

• El punto y su imagen están a igual distancia del eje de simetría.

• El segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría.

No olvides que...

A

C

B

E D D

L

P

Q

A A

C C

B BE ED D

L

Figura 2

Figura 3

R

NM




• Realización de […] reflexiones […] de figuras geométricas planas a través de construc-ciones con regla y compás […], discusión acerca de las invariantes que se generan alrealizar estas transformaciones.


Para discutirÍtems 1, 2 y 3: analizar.Ítems 4 y 5: usar herramientas y analizar.



ACTIVIDAD INICIAL

La actividad inicial tiene como propósito introducir los conceptos referentes a unatransformación isométrica: las reflexiones. En esta actividad se plantean diversas pre-guntas para que los alumnos y alumnas puedan concluir sobre las características deesta transformación y, además, analizar qué aspectos cambian y cuáles se mantienenen la imagen de la figura inicial. En el Texto del Estudiante se realiza y explica, paso apaso, la reflexión de uno de los vértices de un pentágono, usando regla y compás.

Para comenzar el estudio de este contenido, es de gran ayuda que doblen la hoja porla recta o eje de simetría para que verifiquen que en una reflexión las figuras coin-ciden al realizar este procedimiento y, además, que las medidas de lados y ángulosse mantienen. Por otro lado, es conveniente que copien la figura 1 (ubicada al ladoinferior izquierdo de la página) en sus cuadernos y, paso a paso, reflejen el vértice D,como se muestra en el Texto del Estudiante. Luego, cada alumno y alumna podría re-flejar los otros vértices siguiendo los mismos pasos anteriores, para que sean ellosquienes apliquen reflexión a la figura usando regla y compás.


• Antes de realizar los ítems 1 y 2, es conveniente que recuerde a sus estudiantesla construcción de una recta perpendicular a una recta dada que pasa por unpunto P exterior a la recta L que se muestra en la página 186 de esta Guía. Sialgún alumno o alumna no recuerda dicha construcción, esto será un impedi-mento para alcanzar completamente los objetivos de la Unidad.

• En el ítem 2, al reflejar el triángulo respecto de la recta MN, los alumnos y alum-nas deberán reflejar solamente el vértice R, obteniendo como imagen el ΔMNR .

• En el ítem 3, los alumnos y alumnas deben generalizar respecto del cuadriláteroque se formó en el ítem anterior; este es un rombo, pues el ΔMNR es isóscelesde base MN. Sería conveniente que pregunte a sus estudiantes las característicasde un rombo y que las relacionen con la figura inicial y la imagen obtenida.

• Es importante que una vez finalizada la actividad los y las estudiantes comparenlos resultados obtenidos, como una forma de corregir y detectar errores.


• Podría mostrar a sus estudiantes que una forma de observar la reflexión es usandoun espejo. Para ello pídales que dibujen un polígono en sus cuadernos y, luego,que pongan el espejo como eje de simetría. Además, puede mencionar que paraconstatar que una figura es el reflejo de la otra, al doblar la hoja por el eje desimetría, estas debiesen coincidir.


De refuerzo

1. Dada la siguiente figura, dibuja su eje de simetría. Explica cómo lo hiciste.

2. Realiza la reflexión de la siguiente figura, usando regla y compás, según la recta L.

(Habilidades que desarrollan: reconocer, usar herramientas, aplicar y representar).

De profundización

1. Construye en tu cuaderno un triángulo que tenga dos lados de medidas 6 cm y4 cm y que el ángulo formado por ellos mida 36º. Luego, aplícale una reflexión, us-ando regla y compás, respecto del lado cuya medida es 6 cm.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, representar y aplicar).

197 Unidad 2 – Potencias – Guía Didáctica del Docente – Matemática 8 Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

O

P

A

D

C

B

L

N N’

O’

P’

Eje de simetría

2,5 cm

2,5 cm


112 Unidad 4

Rotaciones de figuras planas

A la siguiente pieza de un rompecabezas, se le aplicó la mismatransformación isométrica 2 veces. Observa lo que se obtuvo cada vez.

Para discutir

• ¿Cómo describirías cada movimiento de la pieza?, ¿por qué?• Según los movimientos realizados por la figura, ¿cuántas veces

debes aplicar la misma transformación isométrica para que quedecomo la figura del principio?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Existe algún punto de esta pieza que quede siempre fijo al realizarlos movimientos anteriores?, ¿cuál?

Si observas los movimientos de la pieza de rompecabezas de lasituación anterior, en el siguiente movimiento, la pieza volverá a suposición inicial, siempre y cuando el movimiento realizado sea iguala los anteriores. En esta transformación, todos los puntos de lafigura se mueven en torno a un punto fijo, llamado centro derotación, en un ángulo determinado, que es el ángulo de rotación.

Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicada sellama rotación.

El centro de rotación puede estar dentro o fuera de la figura.

El ángulo de rotación puede tener sentido positivo (en sentidocontrario a los punteros del reloj) o negativo (en el sentido de lospunteros del reloj).

En el ejemplo anterior, el centro de rotación está dentro de lafigura y el ángulo de rotación es de 90º cada vez que rota (ensentido positivo).

Observa ahora cómo realizar, con regla y compás, la rotación del ABC respecto del centro O y en un ángulo de rotación = 75º(en sentido positivo), como se observa en la figura 1

1º Dibujamos una circunferencia con centro O y radio OCy copiamos el ángulo (o usamos transportador) en sentidopositivo, respecto al radio OC y con vértice O. Marcar la imagenC en la circunferencia, como se observa en la figura 2.

Ayuda

Recuerda que, para copiar unángulo AOB dado, copiamos el trazo OB sobre una recta L.Con centro en O, dibujar unacircunferencia con radio OA.

Luego, con centro en B,dibujar una circunferencia conradio AB. La intersección deambas circunferenciasdetermina el punto A.

Finalmente, unir O con A paraobtener el ángulo requerido.

A

B

C

O

I

K

J

A

B

C

C

O

I

K

J

Figura 1

Figura 2


Unidad 4

2º Repetimos el mismo procedimiento para los demás vértices y,luego, unimos los puntos, obteniendo la imagen del triángulo,como se observa en la figura 3.

1. Construye un triángulo escaleno en tu cuaderno. Luego, usando regla y compás, rótalo respecto de uno de sus vértices en un ángulo que tú escojas.

2. Usando regla y compás (si es necesario transportador), aplícale una rotación al

PQR en torno al punto Oen el ángulo = 70º y, luego, a la imagen obtenida aplícale otra rotación respecto del mismo punto Oen el ángulo = 110º.

3. En el ítem anterior, ¿puedes obtener la imagen final mediante una sola rotación de la figura inicialrespecto del punto O?, ¿cómo? Realiza la rotación en tu cuaderno utilizando regla, compás y transportador.

Actividades

Una rotación es una transformación isométrica, en la cual todos los puntos se mueven respecto a un punto fijo llamado centro de rotación, en un determinado ángulo, llamadoángulo de rotación.

No olvides que...

A

B

C

C’

O

I

K

J

B’ A’

Q

R

P

O

E

D

F C

B

A

Figura 3




• Realización de […] rotaciones de figuras geométricas planas a través de construc-ciones con regla y compás […], discusión acerca de las invariantes que se generanal realizar estas transformaciones.


Para discutirÍtems 1 y 2: analizar y justificar.Ítem 3: analizar, identificar y justificar.


• En importante que una vez finalizada esta actividad, los y las estudiantes com-paren las respuestas y puedan llegar a concluir que la imagen final se puedeobtener mediante una rotación a la figura inicial de centro O y ángulo α + β, queen este caso mide 180º.


• Para cualquier transformación, es recomendable asignar letras a los vértices y asu correspondiente imagen (con los apóstrofos) para evitar confusiones. Si unafigura no tiene asignada letras, etiquete cada vértice antes de comenzar a aplicarcualquier transformación isométrica.

• Es conveniente que monitoree constantemente los procedimientos y resultadosobtenidos por sus estudiantes. Si lo considera necesario, podría trabajar concuadrículas en las primeras rotaciones y con ángulos sencillos como 90º, 180º,45º, 270º y, posteriormente, utilizando regla y compás, sobre todo, para aque-llos estudiantes que tienen mayor dificultad.

• Sería conveniente que trabaje con sus alumnos y alumnas algunas rotacionespara que concluyan lo siguiente (como actividad de refuerzo):

– Al rotar una figura en 360º en sentido positivo o negativo se obtiene la misma imagen.

– Una rotación en 270º en sentido positivo es equivalente a una rotación en 90ºen sentido negativo.

– Una rotación en 270º en sentido negativo es equivalente a una rotación en 90ºen sentido positivo.


De refuerzo

1. Realiza la rotación de la siguiente figura, usando regla y compás, respecto del centro O en 180º.

2. Rota el cuadrilátero del ítem anterior en 180º pero en sentido negativo (sentidohorario). ¿Qué puedes concluir al rotar una figura en 180º en sentido horario yantihorario?

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, aplicar, analizar y conjeturar).

De profundización

1. Construye en tu cuaderno un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 6 cm y8 cm. Luego, aplícale una rotación, usando regla y compás, respecto del vérticedel ángulo recto.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas y representar).



ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto es introducir el estudio de rota-ciones de figuras planas y su realización a través de construcciones con regla y com-pás. Antes de trabajar en esta actividad, podría motivar a sus alumnos y alumnasmostrando distintas figuras sencillas y su imagen rotada con distintos ángulos derotación y respecto de centros distintos. Luego, preguntar qué características obser-van entre la figura inicial y su imagen. De este modo podrá observar si los alumnosy alumnas identifican las características de una rotación y, además, los aspectos quevarían y los que se mantienen.

Luego de realizar las preguntas de la sección PARA DISCUTIR presentada en el Texto,podría plantear las siguientes preguntas: Al rotar una figura, ¿se mantiene la medidade los ángulos de la figura?, ¿se mantiene la medida de los lados de la figura?,¿cómo lo supieron?

En el Texto del Estudiante se realiza y explica, paso a paso, la rotación de uno de los vér-tices de un triángulo usando regla y compás. Por lo tanto, es conveniente que copienla figura 1 (ubicada al lado inferior izquierdo de la página) en sus cuadernos y, paso apaso, roten el vértice C, como se muestra en el Texto del Estudiante. Luego, cadaalumno y alumna podría rotar los otros vértices siguiendo los mismos pasos anteriores,para que sean ellos quienes apliquen la rotación a la figura usando regla y compás.


• Antes de realizar el ítem 1, es conveniente que recuerde a sus estudiantes cómocopiar ángulos, como se muestra en la página 185 de la Guía, pues si algún alumnoo alumna no recuerda cómo se realiza, será un impedimento para alcanzar comple-tamente los objetivos de la Unidad.

• En el ítem 1, pida a sus estudiantes verificar que la rotación de cada vértice estácorrectamente realizada, midiendo con un transportador los ángulos formadospor cada vértice, el centro de rotación y sus imágenes. Por ejemplo, si rotó untriángulo ABC respecto del vértice B en 120º; pídales que midan los ángulosABA y CBC y verifiquen que miden 120º.

• En el ítem 2, no se especifica que el sentido de la rotación es positivo; por lotanto, es conveniente que mencione a sus estudiantes que en estos casos debe-mos asumir que el sentido es positivo (antihorario).

• En el ítem 3, sería interesante plantear a los alumnos y alumnas que roten primerocon centro en O y ángulo β‚ y, luego, la imagen obtenida rotarla con centro O y án-gulo α y preguntar: ¿Se obtiene la misma imagen que en el orden propuesto en elTexto en el ítem 2?, ¿siempre ocurrirá lo mismo?, ¿por qué?

OB

CD

A


114 Unidad 4

Traslaciones, reflexiones y rotaciones usando software geométrico

Usando el programa Geogebra puedes construir transformaciones isométricas, siguiendo lospasos que se dan a continuación. Para descargar este programa ingresa a: www.geogebra.at yen el menú de la izquierda, selecciona Webstart-TeleInicio y, luego, el botón Webstart.

Traslación de un triángulo

1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el botón derecho yselecciona Cuadrícula.

2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja untriángulo haciendo tres clic en distintos puntos; el cuarto clic lo debes hacer sobre el vérticedel primer clic del triángulo.

3º Selecciona la herramienta Vector entre Dos Puntos . En la cuadrícula, haz dos clic endistintos puntos para dibujar el vector de traslación, con la magnitud y sentido que quieras.

4º Selecciona la herramienta Traslada objeto por un Vector . Haz clic sobre el triángulo y luego, sobre el vector; aparecerá el triángulo trasladado.

5º Selecciona la herramienta Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada uno de los triángulos.

6º Selecciona la herramienta Área . Haz clic sobre cada uno de los triángulos.

Luego de realizar los pasos anteriores, responde:

a) ¿Cuánto mide el perímetro y área de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan?b) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier traslación de figuras?, ¿cómo lo supiste?c) En una nueva aplicación de Geogebra, dibuja otro polígono (que no sea un triángulo), realiza

los mismos pasos anteriores y responde las preguntas a y b.

Reflexión de un cuadrilátero

1º Utiliza una hoja nueva, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el botón derecho y selecciona Cuadrícula.

2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja un cuadrilátero haciendo cuatro clic en distintos puntos, el quinto clic lo debes hacer sobre elvértice del primer clic del cuadrilátero.

3º Selecciona la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos . En la cuadrícula, haz dos clic en distintos puntos para dibujar el eje de simetría.

4º Selecciona la herramienta Refleja objeto en recta . Haz clic sobre el cuadrilátero y, luego, sobre la recta, aparecerá la imagen.

5º Selecciona la herramienta Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada lado de la figura inicial y, luego, sobre cada lado de la imagen; aparecerán las medidas de todos los lados.



Unidad 4


a) ¿Cuánto mide cada lado de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan?b) Calcula el perímetro y área de ambas figuras, usando las herramientas del software.c) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier polígono que apliques una reflexión?, ¿cómo lo supiste?d) En una nueva aplicación de Geogebra, dibuja otro polígono (que no sea cuadrilátero), realiza

los mismos pasos anteriores y responde las preguntas a, b y c.

Rotación de un triángulo

1º Utiliza una hoja nueva, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente elbotón derecho y seleccionar Cuadrícula.

2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja untriángulo haciendo tres clic en distintos puntos; el cuarto clic lo debes hacer sobre el vérticedel primer clic del triángulo.

3º Selecciona la herramienta Nuevo Punto . Haz clic en cualquier parte de la cuadrículapara dibujar el centro de rotación.

4º Selecciona la herramienta Rota Objeto en torno a un Punto,

el Ángulo indicado . Haz clic sobre el triángulo y, luego, sobre el centro de rotación. Aparecerá una tabla en la cual debes ingresar el ángulo de rotación, puede ser 70º (o el que tú quieras). Para escribir el símbolo º,selecciónalo en las opciones que aparecen en la tabla que se muestra en la figura. Una vezingresado el ángulo de rotación, presiona OK; aparecerá la imagen rotada en sentido positivo.

5º Selecciona la herramienta Ángulo . Haz clic sobre cada vértice correspondiente al ángulo interior que deseas medir del triángulo de la figura inicial, en sentido antihorario; aparecerán las medidas de los ángulos interiores del triángulo como se muestra en lafigura. Luego, repite el mismo procedimiento para medir losángulos interiores de la imagen.


a) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan?b) Calcula el perímetro, área y medidas de cada lado de ambas figuras, usando las herramientas

del software, ¿qué observas?c) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier transformación isométrica?, ¿por qué?

C

A

B

a

b

c

= 85.54º

= 36.51º

= 57.95º




• Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas[…] empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes quese generan al realizar estas transformaciones.


Herramientas tecnológicasUsar herramientas, analizar y justificar.



• La actividad propuesta debe desarrollarse usando el software geométricoGeoGebra. Para ello, los computadores deben contar con conexión a Internet.Para descargar el programa, pueden ingresar a www.geogebra.at y en el menúde la izquierda, seleccionar Webstar-TeleInicio y, luego, el botón Webstar.

• Si no conoce el programa, es fundamental que practique y realice la actividadpreviamente, para que al momento de la clase pueda ayudar a sus estudiantes.

• Cada vez que utilice el software, es conveniente que seleccione la herramienta ,pues permitirá que mueva las figuras o textos de su archivo.

• Para que la actividad se realice de manera correcta, se sugiere que sus estudiantestrabajen de manera individual o en parejas si no cuentan con la cantidad suficientede computadores. Lo importante es que todos los alumnos y alumnas puedan trabajar en la actividad propuesta.

• Si considera conveniente, no seleccione la cuadrícula, pues así la pantalla estaráen blanco.

• La primera parte de la actividad consiste en trasladar un triángulo. Al finalizaresta parte, pida a los alumnos y las alumnas que realicen lo siguiente:

– mueve un vértice del triángulo original, ¿qué sucedió con la imagen del trián-gulo?, ¿qué ocurrió con las áreas y los perímetros de ambos triángulos?, ¿porqué crees que sucede eso?

• La segunda parte de la actividad consiste en reflejar un cuadrilátero con respectoa una recta (eje de simetría). Al término de esta parte podría pedir a los alumnosy las alumnas que realicen lo siguiente:

– mueve un punto del cuadrilátero original, ¿qué sucedió con la imagen delcuadrilátero?, ¿qué ocurrió con las áreas y los perímetros de amboscuadriláteros?, ¿por qué crees que sucede eso?

– mueve la recta o eje de simetría, ¿qué sucedió con la imagen del cuadrilátero?,¿por qué crees que sucede eso?

• La tercera parte de la actividad consiste en rotar un triángulo con respecto a unpunto. Al finalizar esta parte, podría pedir a los alumnos y las alumnas que reali-cen lo siguiente:

– mueve el centro de rotación, ¿qué sucedió con la imagen del triángulo?, ¿el trián-gulo sigue rotado según el mismo ángulo?, ¿por qué crees que sucede eso?


De refuerzo

1. Dibuja en la cuadrícula un cuadrado usando la herramienta Polígono Regulary un vector usando Vector entre Dos Puntos .

a) Traslada el cuadrado en el vector indicado.

b) ¿Qué sucede con la imagen, si se mueven uno o más vértices del cuadrado?

c) ¿Qué sucede con la imagen si se modifica el vector, ya sea en magnitud o sentido?

2. Dibuja en la cuadrícula un triángulo usando la herramienta Polígono y unarecta usando Recta que pasa por Dos Puntos .

a) Refleja el triángulo con respecto a la recta.

b) Si se mueven uno o más vértices del triángulo original, ¿qué sucede con la imagen?

c) ¿Qué sucede con la imagen si se mueve la recta?

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas y analizar).

De profundización

1. Dibuja en la cuadrícula un cuadrilátero usando la herramienta Polígono ydos vectores de traslación distintos en cualquier parte de la cuadrícula, usandoVector entre Dos Puntos .

a) Traslada el cuadrilátero con respecto a uno de los vectores.

b) Traslada la imagen obtenida en a respecto del segundo vector.

c) Si quisieras trasladar el cuadrilátero en un solo vector y obtener la misma imagen

de b), ¿cuál sería ese vector? Dibújalo en la cuadrícula y comprueba tu respuesta.

d) ¿Qué sucede si se invierte el orden de los vectores para trasladar?, ¿se obtiene

la misma imagen final? Haz la prueba y explica.

2. Dibuja en la cuadrícula un pentágono usando la herramienta Polígono , y

una recta (eje de simetría) usando Recta que pasa por Dos Puntos .

a) Refleja el pentágono con respecto al eje de simetría.

b) Modifica la figura inicial moviendo alguno de sus vértices, ¿qué sucedió con

la imagen?

c) Mueve el eje de simetría, ¿qué sucede con la figura inicial y su imagen?

d) ¿Qué ocurre si el eje de simetría coincide con uno de los lados del pentágono?

3. Dibuja en la cuadrícula un cuadrilátero usando la herramienta Polígono , y unpunto usando Nuevo Punto .

a) Rota el cuadrilátero en un ángulo de 90º, selecciona la opción Sentido Antihorario.

b) Rota el cuadrilátero con un ángulo de 270º, selecciona la opción Sentido Horario.

c) ¿Qué puedes concluir sobre las imágenes obtenidas en a) y b)?

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, representar y conjeturar).



116 Unidad 4

En esta actividad deberán usar el software Geogebra. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. Presionen el botón derecho y seleccionen Ejes. Presionen nuevamente el botón derecho y seleccionen Cuadrícula.

2. En las herramientas del software, seleccionen Polígono . Dibujen un triángulo escalenoobtusángulo haciendo tres clic en distintos puntos, luego, hagan un clic sobre el vértice del primerclic del triángulo.

3. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos . En la cuadrícula, hagan dos clicen distintos puntos para dibujar el eje de simetría.

4. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta . Hagan clic sobre el triángulo y, luego,sobre la recta; aparecerá la imagen.

5. Seleccionen la herramienta Recta Paralela . En la cuadrícula, hacer un clic por donde deseenque pase la recta paralela al eje de simetría y, luego, hagan clic sobre dicho eje; aparecerá la rectaparalela al eje de simetría.

6. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen la imagen obtenidaanteriormente según la segunda recta dibujada; aparecerá la imagen de la primera imagen.

7. Luego de realizar los pasos anteriores, comenten y respondan: ¿qué transformación isométrica esequivalente a las dos transformaciones sucesivas aplicadas anteriormente?, ¿por qué? Verifiquensus respuestas utilizando el software.

8. En una hoja nueva, presionen el botón derecho y seleccionen Ejes. Presionen nuevamente el botónderecho y seleccionen Cuadrícula.

9. En las herramientas del software, seleccionen Polígono . Luego, dibujen el polígono queustedes quieran.

10. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y hagan una recta vertical.

11. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen el polígono respecto de la recta.

12. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y hagan una recta horizontal, perpendicular a la otra recta como se observa en la figura 1.

13. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen la imagen obtenida respecto de la recta horizontal.

14. Luego de realizar los pasos anteriores, comenten y respondan: ¿qué transformación isométrica es equivalente a las dos transformaciones sucesivas aplicadas anteriormente?, ¿por qué? Verifiquensus respuestas utilizando el software.

En equipo

B

C

G

D Ad

FA

D

B

CH

b

ca a

db

c

Figura 1

Mi progreso

Unidad 5Unidad 4



Identificar una traslación según un vector. 1

Identificar una reflexión según una recta dada. 2

Analizar expresiones asociadas a la rotación de una figura. 3

Realizar transformaciones isométricas usando regla y compás. 4


1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una traslación según un determinado vector?

A. B. C. D.

2. ¿En cuál de los siguientes casos se representa mejor una reflexión según la recta dada?

A. B. C. D.

3. Al aplicar una rotación a una figura con el centro de rotación en uno de los vértices de ella, siemprese cumple que:

A. un punto de la figura queda fijo.B. ningún punto de la figura queda fijo.C. todos los puntos de la figura cambian de posición.D. los vértices de la figura no cambian de posición.

4. Construye en tu cuaderno un triángulo ( MNT ), además, dibuja un vector(DE ) y una recta (L), como se observa en la figura. Luego, usando regla ycompás, aplica una traslación al triángulo, según el vector. A la imagenobtenida, aplícale una reflexión según la recta. A esta última imagen, rotar concentro de rotación en uno de sus vértices y en un ángulo de rotación de 100º.



L

TM

N E

D




• Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas através de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico,discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.


En equipoUsar herramientas, analizar y justificar.



• Esta actividad debe ser desarrollada con el software computacional GeoGebra,por lo cual se sugiere que realice la actividad antes de trabajar con sus estudiantes.

• Para el correcto desarrollo de la actividad se sugiere que trabajen en grupos detres integrantes como máximo; solo en caso que no cuente con la cantidad decomputadores necesarios, se sugiere que trabajen en grupos de más integranteso por turnos. En este caso, asegúrese de que todos los alumnos y alumnas ten-gan la posibilidad de realizar la actividad y que no ocurra que un integrante decada grupo utiliza el computador y el resto solo mira.

• Si algún estudiante aún no comprende alguno de estos temas, es un buen mo-mento para reforzar y así lograr adquirir los aprendizajes esperados. El uso deGeoGebra ayudará bastante, ya que facilita el trabajo en Geometría. También puedeapoyarse en la actividad complementaria que se presenta a continuación.

• Es importante que una vez finalizada la actividad, los y las estudiantes comparenlos resultados obtenidos, como una forma de corregir y detectar errores.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA

De refuerzo

1. Realiza las mismas reflexiones que hiciste con el programa computacionalGeoGebra con regla y compás en tu cuaderno. Verifica la respuesta de la pre-gunta 14, usando regla y compás.

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, representar y verificar).




Mi progresoÍtem 1: analizar e identificar.

Ítem 2: analizar, conjeturar e identificar.Ítem 3: analizar.Ítem 4: usar herramientas, aplicar y representar.


• En los ítems 1, 2 y 3, es posible que sus estudiantes no recuerden, no relacionen oconfundan las características de una traslación, reflexión y rotación, respectiva-mente. Para superarlo, podría pedirles que realicen un mapa conceptual o un cuadroresumen con los principales contenidos estudiados hasta este momento.

En estos casos deben marcar la alternativa correcta; sin embargo, pídales que reali-cen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, ya que esto les facilitarádetectar si hay o no errores en la estrategia empleada.

• En el ítem 4, podría ocurrir que los alumnos y alumnas se confundan al tener querealizar una composición de transformaciones isométricas (es la aplicación suce-siva de transformaciones isométricas sobre una misma figura). Para ayudarlos,sugiérales que lean con detención las instrucciones, fijándose en cada una de lastransformaciones que deben realizar. Además, es importante enfatizar en la im-portancia de poner las letras con los apóstrofos a los vértices de las imágenesobtenidas, para evitar confusiones.

• Al término de la evaluación formativa, es fundamental que realice una revisión in-dividual para que conozca las realidades de cada estudiante y puedan corregirlas.También es aconsejable una revisión general en la pizarra, para que sus estudiantesconozcan las respuestas correctas y una forma de resolución. Además, con esta instancia de revisión los alumnos y alumnas pueden realizar aportes significativosal desarrollo de la corrección de la evaluación, y así pueden reforzar y potenciar susconocimientos. Luego de la revisión, pida que reflexionen acerca de los contenidosque han aprendido, y que realicen un listado con los conceptos que entendieron,que escriban y aclaren las dudas, si aún las tienen.




4

Utiliza la regla y compás, aplicando deforma correcta la traslación, rotación yreflexión a la figura dada, justificandosus pasos de construcción.

Utiliza la regla y compás, aplicando deforma correcta la traslación, rotación yreflexión a la figura dada, pero no justi-fica de manera adecuada los pasos dela construcción.

Utiliza la regla y compás, aplicando, deforma incorrecta, ya sea la traslación,rotación o reflexión a la figura dada.

Utiliza la regla y compás, aplicando deforma incorrecta las 3 transforma-ciones isométricas a la figura dada.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem 4.



De refuerzo


a) Al aplicar una transformación isométrica a una figura, puede cambiar eltamaño de la figura, pero no su forma.

b) Para reflejar una figura es necesario conocer el vector que determina la reflexión.c) Para trasladar una figura, es necesario conocer el vector de traslación.d) La distancia desde cualquier punto de una figura al eje de simetría es igual a

la distancia desde cualquier punto de su imagen al eje.e) Para rotar un triángulo, solo es necesario conocer el ángulo de rotación. f) Rotar una figura en 180º en sentido positivo es equivalente a rotar la misma

figura en 180º en sentido negativo.

2. En cada caso, identifica qué trasformación isométrica se aplicó a las siguientes figurasy, luego, dibuja el vector de traslación o el eje de simetría o el centro y ángulo derotación, según corresponda.

a) d)

b) e)

c) f)


3. Usando regla y compás, traslada el cuadrilátero RSTU según el vector AB.

4. Usando regla y compás, aplica unareflexión al triángulo ABC respectode la recta DE.

5. Usando regla y compás, aplica una rotación al pentágono ABCDEen torno al punto O en el ángulo α = 115º.

De profundización

1. Usando regla y compás, aplica una reflexión al triángulo rectángulo HIJ respecto de la recta HI.

• ¿Qué tipo de triángulo es el ΔJ JH?, ¿por qué?


I J

H

U

T

S

R

A

B

C

B

A

D

E

EB

A

D

CO

α



2. Usando regla y compás, aplica una rotación al cuadrilátero ABCD en torno al vértice C en el ángulo β = 90º.

3. Usando regla y compás, refleja el ΔTVW respecto de la recta TV. Luego, a la imagen obtenida, traslada según el vector AB y, finalmente, a esta última imagen,rota en torno al vértice T en el ángulo α = 80º.


De refuerzo

1. a) Falsa. c) Verdadera. e) Falsa.

b) Falsa. d) Falsa. f) Verdadera.

2. a) Reflexión, rotación y traslación. d) Traslación.

b) Traslación. e) Reflexión.

c) Dos reflexiones. f) Reflexión y rotación en 180°.

3. 5.

4.

De profundización

1. El ΔJ’JH es isósceles, pues HJ’ ≅ HJ.

2. 3.

A D

C

W

A B

W

T V

JJ

H

I

A

T TV

VW

W W

V

WB

C

D

B

A

D

β

α

E`

A`

A`

C`

B`

D

B

A

C

S´

T´

U´

R

U

T

B

A

R´

E

B`

C`

D` B

CD

E

A

O

115º


118 Unidad 4

Teselaciones

Observa el siguiente diseño.

El polígono que se repite en el diseño anterior es un triánguloequilátero, el cual puede cubrir o pavimentar una superficie plana de modo que no queden espacios y no se sobrepongan las figuras.

Esta regularidad de las figuras se llama teselación, técnica utilizadapor diversas culturas para pavimentar o formar un mosaico.

Las teselaciones se construyen realizando traslaciones, reflexiones o rotaciones sobre una figura inicial. En el diseño anterior, para cubrirla superficie, se pueden aplicar sucesivas traslaciones, según el mismovector, como se observa a continuación:

Luego, cada triángulo obtenido se puede reflejar con respecto allado de la base, es decir:

Los triángulos obtenidos se pueden trasladar con vectores de igualmagnitud, y sentido contrario. De este modo, la imagen de cadatriángulo, será la pintada del mismo color, como se observa:

Aplicando estas transformaciones se obtiene el diseño inicial.

Para discutir

• ¿Qué características observas en el diseño anterior?, ¿qué tipo de polígono se repite?, ¿es posible realizar un diseño similar concuadrados?, ¿y con círculos?

• ¿Puedes cubrir una superficie plana con otros polígonos?,¿cuáles?, ¿cómo lo harías?, ¿qué condiciones se deben cumplir?

• ¿Es posible que queden espacios al cubrir una superficie planamuy grande con el diseño anterior?, ¿por qué?

• ¿Se utilizaron transformaciones isométricas para realizar eldiseño anterior?, ¿cuáles?

Glosario mosaico: corresponde a una obrarealizada con fracciones diversasempleando materiales como rocas,vidrios o madera. Diversas culturashan decorado paredes o hanpavimentado pisos incursionandoen este arte. Figura inicial

Unidad 4


Así, se deben seguir aplicando transformaciones isométricas paracubrir completamente una superficie plana.

Si observas la teselación anterior, los ángulos que concurren a unvértice suman 360º, pues concurren 6 ángulos que miden 60º cada uno.

• Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimentacompletamente una superficie plana y que cumple con dos requisitos: que no quedenespacios y que no se sobrepongan o traslapen las figuras.

• Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una o varias figuras iniciales.

• Para construir una teselación, se debe considerar que la suma de los ángulos de las figurasque concurren a un vértice es 360º.

No olvides que...

Actividades

1. Señala si los siguientes diseños pueden ser parte de una teselación. Explica tu decisión.

a) b) c) d)

2. Indica con cuál de las siguientes figuras es posible teselar el plano. Justifica tu respuesta.

a) b) c) d)

3. Construye teselaciones en tu cuaderno, a partir de las figuras seleccionadas del ítem anterior.Indica las transformaciones isométricas que utilizaste para teselar.




• Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acercade las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.


Para discutirÍtems 1, 2 y 3: analizar y justificar.Ítem 4: analizar, reconocer y justificar.


ActividadesÍtems 1 y 2: analizar, identificar y justificar.Ítem 3: usar herramientas, analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de esta actividad es que los alumnos y alumnas comprendan qué es unateselación, estudien sus características, analicen y argumenten respecto de las trans-formaciones isométricas que se pueden utilizar en ellas y, además, que descubrancon qué polígonos es posible teselar el plano.

Es importante que en esta actividad sus estudiantes observen que, a partir de un trián-gulo equilátero, es posible teselar el plano al aplicar transformaciones isométricas.Sería conveniente que realice en la pizarra, o bien que les pida que dibujen en suscuadernos las transformaciones isométricas que permiten teselar. Podría preguntarles:

• ¿Es posible teselar el plano con triángulos equiláteros, pero aplicando otras trans-formaciones isométricas?, ¿cómo lo harías?

Además, se pretende que analicen y verifiquen que, para construir teselaciones, lasuma de los ángulos interiores que concurren en un vértice es 360º. En este caso lasuma es: 60º + 60º + 60º + 60º + 60º + 60º, pues se trata de triángulos equiláteros.

Luego, podría preguntarles:

• ¿Es posible teselar con un hexágono regular?, ¿cómo lo harías?, ¿qué transfor-maciones isométricas utilizarían?

• ¿Cuánto suman los ángulos interiores que concurren en un vértice?, ¿ocurrirásiempre lo mismo?


• En el ítem 1, es importante que los alumnos y alumnas expliquen cada una de susrespuestas, argumentando, por ejemplo, en la primera (letra a), que no se tratade una teselación, ya que quedan espacios con esa figura. Pídales que midan suslados para que verifiquen que el pentágono utilizado es regular, pues así podrán

calcular cuánto mide cada ángulo interior con la fórmula: = 108º

y, luego, sumar los ángulos interiores que concurren en un vértice, esto es: 108º + 108º + 108º = 324º.

Permítales que compartan las respuestas obtenidas y los procedimientos utilizados;de esta forma, podrán ver distintas estrategias de resolución y, además, fomentaráel trabajo en equipo.

• De manera similar, en el ítem 2, es importante que sus estudiantes justifiquen cadauna de sus respuestas. Pídales que calculen la suma de los ángulos interiores queconcurren en un vértice para determinar si es posible o no teselar el plano.

5 1805

−( ) °2 i

• En el ítem 3, podría pedirle a los y las estudiantes que presenten más dificultades quecalquen las figuras de cada ejercicio en papeles de distintos colores, para que tengan,por ejemplo, cuadrados de distintos colores y, luego, realicen las teselaciones pegandolas figuras en sus cuadernos, como la que se muestra a continuación:


Si sus estudiantes cometen algún error al determinar con qué figuras es posible tese-lar el plano, o si un diseño es o no una teselación, es importante que lo detecten eidentifiquen cuál fue el error, de modo que puedan corregirlo. Considérela como unainstancia de reflexión y construcción del conocimiento.


De refuerzo

1. ¿Con cuál de las siguientes figuras se puede teselar el plano? Justifica tus respuestas.

(Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y justificar).

De profundización

1. Construye teselaciones a partir de las figuras seleccionadas del ítem anterior y,luego, indica las transformaciones isométricas que usaste.

2. Diseña en tu cuaderno, baldosas cuadradas para algún lugar de su casa, con-siderando el tamaño de la superficie que quieren embaldosar y el tamaño decada baldosa. Presenta tu trabajo en clases, elijan los tres mejores, justificando laelección, y expongan en el diario mural de su sala de clases, indicando las tesela-ciones utilizadas en cada caso.

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, reconocer y representar).



120 Unidad 4

Teselaciones regulares y semirregulares

Observa las siguientes teselaciones.

En las teselaciones anteriores puedes observar que ambas estánconstruidas con polígonos regulares. La primera está construidausando solo un polígono regular (hexágono), por lo que se llamateselación regular. La segunda, en cambio, se construyó usandocombinaciones de polígonos regulares (hexágono y triánguloequilátero), por lo que se llama teselación semirregular.

En una teselación, la suma de los ángulos que concurren a un vértice es 360º. En las teselaciones anteriores, podemos verificarlo:

Ayuda

Recuerda que un polígonoregular tiene todos sus lados de igual medida y todos susángulos son congruentes.

Cada ángulo interior de unpolígono regular de n lados está dado por:

Para discutir

• ¿Qué diferencias observas en cada teselación?, ¿qué semejanzas?• ¿Qué polígonos se utilizaron para construir cada teselación?,

¿son polígonos regulares?• ¿Con qué polígono regular es posible construir teselaciones?,

¿cómo lo supiste?• ¿Es posible construir teselaciones combinando otros polígonos

regulares?, ¿cuáles?

(n – 2) • 180n

• Una teselación es regular cuando se construye usando solo un polígono regular.

• Una teselación es semirregular cuando se construye usando combinaciones de polígonosregulares. Llamaremos base a la combinación de polígonos que generan dicha teselación.

No olvides que...

120º

120º120º 60º60º120º

120º

Unidad 4


Actividades

1. Si las bases en las teselaciones de la página anterior, son las que están pintadas, indica lastransformaciones isométricas involucradas en cada una de ellas.

a) b)

2. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno un cuadrado y, a partir de esta figura, construyeuna teselación regular. Indica las transformaciones isométricas involucradas.

3. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 3 cm por lado y, a partir deesta figura, construye una teselación regular. Indica las transformaciones isométricas involucradas.

4. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular para cada caso y,luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con cada combinación de polígonos regulares. Indica las transformaciones isométricas involucradas.

a) b)

5. Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Es posible construir teselaciones con pentágonos regulares?, ¿y con heptágonos?, ¿por qué?

b) ¿Es posible construir teselaciones semirregulares con pentágonos regulares y triángulosequiláteros?, ¿cómo?

c) ¿Es posible construir teselaciones semirregulares con dodecágonos regulares y triángulosequiláteros?, ¿cómo?






Para discutirÍtems 1 y 2: analizar e identificar.Ítems 3 y 4: analizar, identificar y justificar.


ActividadesÍtem 1: identificar.Ítems 2, 3 y 4: aplicar, usar herramientas e identificar.Ítem 5: analizar, identificar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de esta actividad es que los y las estudiantes sean capaces de: diferenciarentre teselaciones regulares y semirregulares; que puedan construirlas; que descubrancon qué tipo de polígonos es posible realizar cada tipo de teselaciones, considerandoque la suma de los ángulos que concurren en un vértice sea 360º; y, además, queidentifiquen las transformaciones isométricas utilizadas en cada caso.

Para guiar el análisis de sus alumnos y alumnas en esta actividad, podría plantear lassiguientes preguntas:

• ¿Cuántas figuras distintas tiene la primera teselación?, ¿y la segunda?• ¿Cuántos ángulos interiores concurren en un vértice en la primera teselación?,

¿cuánto mide cada uno?, ¿cuánto suman estos los ángulos?• ¿Cuántos ángulos interiores concurren en un vértice en la segunda teselación?,

¿cuánto mide cada uno?, ¿cuánto suman los ángulos?


• En el ítem 1, es importante que aclare a sus estudiantes que deben indicar lastransformaciones usadas en cada teselación (traslaciones, reflexiones o rotaciones)y no construirlas o indicar aspectos más específicos, como eje de simetría, vectorde traslación o ángulo y centro de rotación.

• En los ítems 2 y 3, es fundamental que trabajen aplicando lo aprendido en pági-nas anteriores: uso de regla y compás; realización de construcciones geométricaspara trasladar, rotar o reflejar figuras geométricas planas; construir las tesela-ciones regulares.

• En el ítem 4, si es necesario, oriente a sus estudiantes para que puedan formarlas bases de las teselaciones. En el caso del ejercicio b), es posible formar dosteselaciones diferentes a partir de los mismos polígonos; guíelos para que surjanambos casos y los muestren al resto del curso.

• En el ítem 5, para orientar a sus alumnos y alumnas, puede recordar que los ángu-los interiores que concurren en un vértice deben sumar 360º. Es conveniente queconcluya junto con sus estudiantes que es posible construir teselaciones regularessolo con cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos regulares y, en el caso deteselaciones semirregulares, existen solo ocho tipos.


• Al estudiar las teselaciones regulares y semirregulares, es conveniente que enfaticeque no todos los polígonos teselan el plano. Por ejemplo, no es posible teselar el

plano solo con pentágonos regulares, pues los ángulos que concurren en un vér-tice no suman 360º.

• Las teselaciones semirregulares son aquellas que se construyen usando combina-ciones de dos o más polígonos regulares. Es importante destacar que existenocho teselaciones semirregulares. Estas son:

• Para construir teselaciones regulares y semirregulares, puede realizar una activi-dad que involucre el uso del software geométrico GeoGebra y sus herramientaspara realizar transformaciones isométricas: Refleja Objeto en Recta, Refleja Objetopor Punto (rotación en 180º), Rota Objeto en torno a punto, el Ángulo Indicadoy Traslada Objeto por un Vector.


De refuerzo

1. Determina el tipo de teselación en cada caso. Justifica tu respuesta.

a) d)

b) e)


De profundización

1. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con hexágonos regu-lares. Justifica por qué se puede realizar esta teselación.

2. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con dodecágonos regu-lares y triángulos equiláteros. Justifica por qué se puede realizar esta teselación.

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, analizar y justificar).



122 Unidad 4

En esta actividad deberán utilizar un trozo de cartón piedra de 40 cm por 30 cm, pegamento, tijeras,papeles de colores, regla y compás. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones.

1. Algunas teselaciones se pueden obtener realizando algunas transformaciones sobre unafigura. Observa.

2. Escojan alguna de las teselaciones anteriores o construyan otra usando la misma técnica (para triángulo equilátero o cuadrado), para teselar sobre el cartón utilizando los papeles de colores.

3. Identifiquen y describan las transformaciones isométricas involucradas en su teselación.4. Expongan al resto del curso el trabajo realizado y expliquen acerca de las transformaciones

isométricas utilizadas.

En equipo

M. C. Escher es un artista clave en el tema de las teselaciones. Legó gran cantidad de obras dearte en las cuales se observa la aplicación de teselaciones.

En la página que se sugiere a continuación, podrás observar algunas de las obras de este artista:http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/escher.htm

Usando la página web anterior, sigue las instrucciones y responde las preguntas.

a) Selecciona una de las teselaciones de Escher, haciendo un clic en el número correspondiente.b) Mueve el deslizador hacia abajo. ¿A partir de qué polígono se genera la teselación?c) ¿Qué transformaciones se aplicaron al polígono para obtener la figura de la teselación?d) ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan en la teselación?e) Selecciona otra teselación, repite los pasos anteriores y responde las preguntas.


cuadrado rotación de semicircunferencia teselación

triángulo equilátero rotación de arco teselación

Mi progreso

Unidad 4



Reconocer con qué polígonos se pueden construir teselacionessemirregulares y regulares.

1 y 2

Identificar las transformaciones isométricas en una teselación. 3

Construir una teselación semirregular y argumentar acerca de lastransformaciones isométricas involucradas.

4


1. Se puede teselar el plano combinando:

A. pentágonos regulares y cuadrados.B. octágonos regulares y cuadrados.C. hexágonos y pentágonos regulares.D. Todas las anteriores.

2. ¿Qué polígono no tesela el plano?

A. Cuadrado. B. Rectángulo. C. Pentágono. D. Hexágono regular.

3. Identifica con cuál o cuáles transformaciones isométricas se realizaron las siguientes teselaciones.

a) b)

4. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego, usando regla y compás construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas involucradas.








En equipoAplicar, usar herramientas, identificar y justificar.

Herramientas tecnológicasUsar herramientas y analizar.

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 210


3

Analiza e identifica correctamente la olas transformaciones isométricas que seutilizaron, justificando su respuesta.

Analiza e identifica correctamente la o las transformaciones isométricasque se utilizaron, pero no justificatodas sus respuestas.

Analiza e identifica erróneamente alguna de las transformacionesisométricas que se utilizaron.

Analiza e identifica erróneamente lastransformaciones isométricas que se utilizaron.

4

Utiliza herramientas geométricas eidentifica las transformacionesisométricas involucradas en la construc-ción, justificando su respuesta.

Utiliza herramientas geométricas e iden-tifica las transformaciones isométricasinvolucradas en la construcción, pero nojustifica todas sus respuestas.

Utiliza herramientas geométricas eidentifica de forma incorrecta algunade las transformaciones isométricas involucradas en la construcción.

Utiliza herramientas geométricas eidentifica de forma incorrecta las transformaciones isométricas involu-cradas en la construcción.



• La actividad EN EQUIPO propuesta debe desarrollarse usando diversos materiales(cartón, pegamento, tijeras, papeles de colores, regla y compás). Para el correctodesarrollo de la actividad, asegúrese de que sus estudiantes cuentan con los ma-teriales necesarios. Es importante que supervise que todos los integrantes de cadagrupo trabajen. Por otro lado, es importante que no todos los grupos trabajen conla misma teselación, pues, en caso contrario, el ítem 4, en el cual deben exponer;solo bastaría con que un grupo muestre el trabajo al resto del curso y, la idea esque compartan sus trabajos.

• La actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS debe desarrollarse en computadoresque tengan conexión a Internet. Para el correcto desarrollo de la actividad, se su-giere que trabajen individualmente o en parejas. En caso que no cuente con loscomputadores necesarios, puede realizar el trabajo por turnos. Si es así, asegúreseque todos sus estudiantes tengan la posibilidad de realizar la actividad. Además, esuna instancia para que discutan y analicen algunas obras del artista Escher.


De refuerzo

1. Utiliza la misma técnica (sacar una parte del polígono, moverla y ponerla enotro lado) de la actividad EN EQUIPO para teselar utilizando un hexágono regu-lar. Puedes guiarte por las teselaciones de Escher vistas en la actividad HE-RRAMIENTAS TECNOLÓGICAS.

Luego, identifiquen y describan las transformaciones isométricas utilizadas en la teselación.

(Habilidades que desarrolla: aplicar, usar herramientas e identificar).





Mi progresoÍtem 1, 2 y 3: analizar e identificar.Ítem 4: aplicar, usar herramientas e identificar.


• En los ítems 1 y 2, es posible que los estudiantes no reconozcan con qué tipo depolígonos regulares se puede teselar el plano. Para ayudarlos, puede sugerirlesque hagan un pequeño bosquejo de cada opción. Con ello podrán respondercon mayor claridad.

• En el ítem 3, es posible que sus estudiantes presenten dificultades para determinarlas transformaciones isométricas involucradas en las teselaciones dadas. Para facil-itar el trabajo de sus alumnos y alumnas, sugiérales observar aquellas figuras quetienen igual color para encontrar la figura inicial. De esta manera será más fácil verlos movimientos realizados. Por ejemplo, en la pregunta a) la figura inicial puede serla que se observa al lado derecho, y, a partir de ella, se aplican traslaciones.

• En el ítem 4, deben encontrar la figura base para luego teselar con ella. Podríamencionar que es posible formar una combinación de polígonos para teselar conlas figuras dadas (en el caso semirregular). Además, es importante que los alum-nos y alumnas constaten que no quedan espacios o figuras superpuestas. Paraello supervise que las teselaciones estén bien construidas.






De refuerzo

1. Identifica con cuál de los siguientes polígonos es posible teselar el plano. Justificatu respuesta.

a) b) c) d)

2. Copia cada figura en tu cuaderno y realiza una teselación con ellas. Explica porqué es posible teselar con cada figura.

a) b) c)

3. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego,usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Explicapor qué es posible teselar con estas figuras.

4. En la casa de Luis, el patio es un terreno de forma rectangular de 10 m de anchoy 12 m de largo. Si quiere cubrir la superficie con baldosas cuadradas de 25 cmpor lado, responde:

a) ¿en este caso se trata de una teselación?, ¿es regular o semirregular?, ¿por qué?b) ¿cuántas baldosas necesita en total?, ¿por qué?c) ¿y si las baldosas cuadradas miden 20 cm por lado?, ¿cuántas necesitaría?

5. Indica las transformaciones isométricas involucradas en cada teselación. En elcaso de que la teselación sea semirregular, identifica su base.

a) b)

c) d)

De profundización

1. Usando regla y compás, dibuja un hexágono regular de 1,5 cm por lado y, a par-tir de esta figura, construye una teselación regular. Indica las transformacionesisométricas utilizadas.

2. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular. Luego,usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Explicapor qué es posible teselar con estas figuras.

3. Usando regla y compás, dibuja un hexágono regular de 2 cm por lado y un trián-gulo equilátero de 2 cm por lado. Con estas figuras, forma la base de unateselación semirregular y construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indicalas transformaciones isométricas utilizadas.

4. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con triángulos equi-láteros. Justifica por qué se puede realizar esta teselación.

5. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con hexágonos regu-lares y triángulos equiláteros. Justifica por qué se puede realizar esta teselación.

6. La sala de clases del 8º básico de un colegio de Rancagua es un terreno cuadradode 10 m por lado. Si se quiere cubrir la superficie con baldosas cuadradas de 20 cmpor lado, responde:

a) ¿la teselación en este caso es regular o semirregular?, ¿por qué?b) ¿cuántas baldosas se necesitan en total?, ¿por qué?c) si las baldosas fueran rectangulares de 10 cm de ancho y 20 cm de largo, ¿la

teselación sería regular o semirregular?, ¿por qué?, ¿cuántas baldosas necesitarían?




De refuerzo

1. a) Es posible.b) Es posible.c) Es posible.d) No es posible.

2. En cada caso es posible teselar, porque los ángulos interiores que concurren enun mismo vértice suman 360º.

3. En este caso, se pueden formar dos teselaciones diferentes a partir de los mismospolígonos regulares; estas son:

En ambos casos, es posible teselar porque los ángulos interiores que concurrenen un mismo vértice suman 360º: en el primer caso 120º + 60º + 120º + 60º y,el segundo caso 60º + 60º + 60º + 60º + 120º.

4. a) Corresponde a una teselación regular, ya que todas las baldosas son cuadradas.b) Se necesitan 1920 baldosas.c) 3000 baldosas.

5. a) Una posibilidad es: traslación y reflexión.b) Una posibilidad es: traslación.c) Una posibilidad es: traslación y rotación.d) Una posibilidad es: traslación y reflexión.

De profundización

1. Se puede utilizar: traslación o reflexión.

2. La teselación es:

En este caso es posible teselar, ya que la suma de los ángulos interiores que con-curren en un vértice es 150º + 120º + 90º = 360º.

3. Se puede utilizar traslación.

4. Es posible construir una teselación, ya que los ángulos interiores que concurrenen un mismo vértice suman 360º (60º + 60º + 60º + 60º + 60º + 60º).

5. Es posible construir una teselación, ya que los ángulos interiores que concurrenen un mismo vértice suman 360º (60º + 60º + 60º + 60º + 120º o también, 120º + 60º + 120º + 60º).

6. a) Una teselación regular, ya que todas las baldosas son cuadradas.b) 2500 baldosas.c) Ninguna de las dos, ya que el rectángulo no es un polígono regular.

Necesitarían 5000 baldosas.



Un grupo de amigos y amigas organizó un juego, que consiste en partir desde un lugar y llegar a otro,pasando a buscar agua al río. Gana la persona queescoge el camino de menor longitud.

Si llamaron punto A al lugar inicial, punto B al lugar de llegada y recta L al río, ¿qué estrategia permiteganar el juego?, ¿por qué?


Que cada jugador estará ubicado en un punto, denominado punto A y debe llegar a otropunto denominado B, pasando a buscar agua a un río, denominado recta L.

• ¿Qué debes encontrar?El camino de menor longitud justificando la estrategia empleada.


Para resolver el problema aplicaremos una reflexión y, luego, justificaremos la estrategiaempleada con la desigualdad triangular.

Resolver• Debemos encontrar un punto C en el río, de

manera que la distancia desde A hasta C y, luego,desde C hasta B, sea la mínima. Para ello, reflejamos el punto A en la recta L, determinandoA . Unimos con una recta A con B. El trazo A Bcorta a la recta L en C. De este modo, el caminodesde A hasta C y, luego, desde C hasta B, es el más corto.

Para justificar la estrategia empleada, consideremos que el trazo A C es el reflejo deltrazo AC, entonces dichos trazos (x) tienen igual medida.

Consideremos cualquier otro camino que vaya de A a B y que recoja agua en un punto D del río.

Por la desigualdad triangular, sabemos que la sumade las longitudes de dos lados de un triángulo essiempre mayor que la longitud del tercer lado,además, A B = x + y, y A D = AD = d. Por lo tanto: x + y < d + e.

Finalmente, podemos concluir que el punto C determina el menor camino.

124 Unidad 4

C 1 C 2

A

B

L

A

C L

B

B

LDC

d

eyx

x

A

A

A

Unidad 4

Responder• Al aplicar una reflexión al punto A, según la recta L, determinamos el punto A .

Luego, unimos A con B, la intersección entre el segmento A B con la recta L es C, que corresponde al punto del río que determina el menor camino.

Revisar• Para comprobar que el punto C determina el menor camino marcamos distintos puntos en

la recta L y, luego, medimos la distancia desde A hasta cada punto y desde el punto(incluido C) hasta B. De este modo verificamos que el punto C determina el menor camino.


a) Luis, Marcela y Paula están jugando en el gimnasio de su colegio, el cual tiene forma rectangular. El juego consiste en partir desde unpunto del gimnasio, tocar una de sus paredes, llegar a otro punto,tocar nuevamente la pared y, finalmente, llegar a otro punto delgimnasio. Gana quien escoge el camino más corto; para ello, Paula es la que determina quién ganó, midiendo con una huincha el camino de cada competidor. ¿Cuál es la estrategia que permite ganar el juego?Justifica tu respuesta.

b) El billar es un juego que se practica en una mesa, generalmente rectangular, rodeada de bandas. El juego se basa en choques de bolas entre sí y con las bandas, impulsadas con un taco.Camilo y Loreto, están jugando billar. Al poco tiempo de jugar, las bolas A y B quedan en la ubicación que se observa en la figura.

Si Loreto está planeando golpear la bola A para dar a la bola B después de tocar en dosbandas, ¿qué recorrido tendrá que hacer la bola A? Justifica tu respuesta.


3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es el más simple?,¿por qué?

El Tetris es un video juego inventado en 1984, en el cual se deben aplicarrepetidas veces transformaciones isométricas a 4 figuras diferentes parahacerlas encajar. Considerando la jugada que aparece a la derecha, ¿qué transformaciones isométricas debes realizar para hacer encajarcorrectamente la figura 1 en A?, ¿y para encajar la figura 2 en B?

Puedes jugar Tetris online en: www.juegostetris.com/juegos/tetris-ii/


EG

Fpartidallegada

A

B

2

1

BA




• Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planasa través de construcciones con regla y compás […].


Buscando estrategiasÍtem 1: analizar, usar herramientas, formular, aplicar y verificar.Ítems 2 y 3: analizar, seleccionar, usar herramientas y evaluar.



De refuerzo

1. Lorena tiene una hoja blanca con dos puntos, A y B. Ella quiere rotar el punto Aen 180º respecto del punto B, pero no cuenta con ningún material para hacerlo.¿Es posible realizar esa rotación?, ¿cómo lo harías?

(Habilidades que desarrolla: seleccionar, analizar y aplicar).

De profundización

1. Inventen un problema que involucre uno o más de los contenidos de la Unidad.Intercámbienlo con algún compañero o compañera y resuélvanlo utilizando las estrategias para la resolución de problemas que conozcan, u otra.

(Habilidades que desarrolla: formular, seleccionar, aplicar y verificar).




• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema.









de modos.• Está listo para hacer conexiones acerca de cómo

y por qué.• Relaciona el concepto con conocimiento y





• Chequea la racionalidad de los resultados.• Reconoce sin dar argumentos.



no razonable.

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en la Unidad; sin embargo,en estas páginas se presenta una estrategia específica para que los alumnos y alum-nas la aprendan, la apliquen en otros problemas y, luego, busquen otras estrategiasde resolución.

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTOEs importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser re-

suelto de distintas formas. La estrategia presentada en el Texto es solo una forma de

dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema podría ser

usando el software geométrico GeoGebra para encontrar el punto que determina el

camino más corto (C) reflejando el punto A en la recta. Luego, unir A con B y con la

herramienta Intersección de Dos Objetos se puede determinar el punto C.

Además, podría verificar que el camino es más corto

ubicando un punto cualquiera en la recta (D) y usando

las herramientas del software para medir trazos

Distancia o Longitud . Puede pedirle a sus estu-

diantes que muevan el punto D para que constaten que

C determina el camino más corto.

cm


INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASA continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados.


Para finalizar

126 Unidad 4

Cone

xion

es NACIONAL

El viernes 23 de enero de 2009 se realizó la 19ª versión de

la iniciativa que reúne a varios museos y centros culturales de la

capital, que abrieron de 18:00 a 24:00 horas.

Algunos museos y centros culturales que participaron fueron:

el Museo de Artes Visuales (MAVI), el Museo Arqueológico de

Santiago (MAS), el Museo de Arte Contemporáneo (MAC), el

Museo de la Solidaridad Salvador Allende, el Centro de Extensión

de la Universidad Católica, el Centro Cultural Palacio de la

Moneda (CCPLM), la sede de la Sociedad Nacional de Bellas

Artes, que es el palacio La Alhambra, entre otros.

El palacio La Alhambra fue encargado en 1860 por Francisco Ignacio Ossa Mercado al

arquitecto Manuel Aldunate Avaria, quien viajó a España a tomar apuntes para realizar la obra.

En 1940 el palacio fue donado a la Sociedad Nacional de Bellas Artes por Julio Garrido Falcón.

Museos de medianoche

Fuentes: www.portaldearte.cl/agenda/actividades/2009/19_version.htmlwww.snba.cl/paginas/palacio.htm, consultado en febrero de 2010.







1. Busquen fotografías del palacio La Alhambra de Santiago u otro edificio de arquitecturamorisca, como el casino Español de Iquique.

2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería serla solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.a) ¿Qué caracteriza a estos diseños?, ¿qué tipo de transformaciones isométricas es

posible identificar?b) ¿En qué se parecen?, ¿en qué se diferencian?

3. Busquen imágenes de la obra de Matilde Pérez, pintora y escultora chilena. Averigüen y comenten qué relación tiene su obra con la Geometría.

Museo Nacional de Bellas Artes,Santiago.


Unidad 4




2. Cuando se efectúa la transformación isométrica a una figura geométrica plana, ¿qué características observas en su imagen?

3. ¿Cómo trasladas un triángulo con regla y compás?, ¿cómo lo rotas?

4. ¿Qué características tiene la imagen de una figura, luego de aplicar una reflexión?, ¿cómo confirmas que se aplicó dicha transformación?

5. ¿Qué caracteriza a una teselación?, ¿cómo se construye?

6. ¿Qué diferencias observas en las teselaciones regulares y semirregulares?, ¿y qué semejanzas?

7. ¿Con qué polígonos puedes construir una teselación regular?, ¿y una semirregular?


TRASLACIONES

DE FIGURAS PLANAS

REGULARES SEMIRREGULARES

REFLEXIONES

DE FIGURAS PLANAS

TESELACIONES

ROTACIONES

DE FIGURAS PLANAS

TRANSFORMACIONES

ISOMÉTRICAS

Síntesis




ConexionesConectar, analizar y aplicar.



Para que la tabla incluya todos los contenidos necesarios, sería apropiado que les in-dique cuáles son los contenidos que deben ubicar en la primera columna.

A continuación, se presenta un ejemplo para el contenido de traslación trabajadoen la Unidad:


De refuerzo

1. Piensa y responde.

a) ¿En qué situaciones cotidianas podemos encontrar transformaciones isométricas?

b) ¿Qué transformaciones aprendiste en esta Unidad?

c) ¿Se puede realizar más de una transformación a una figura?

d) ¿Qué datos necesitas para trasladar una figura?

e) ¿Qué datos necesitas para rotar una figura?

f) ¿Qué datos necesitas para reflejar una figura?

g) ¿Qué es una teselación?

h) ¿Qué tipos de teselaciones existen?, ¿cuáles son la características de cada una?

i) ¿Todos los polígonos regulares se pueden utilizar para realizar una teselación?Justifica y da algunos ejemplos.

j) ¿Qué condición deben cumplir los polígonos regulares para que formen unateselación regular?

k) ¿Se puede realizar una teselación con más de un polígono regular? Da unejemplo.

(Habilidades que se desarrollan: recordar, conectar y justificar).



La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular las transfor-maciones isométricas y las teselaciones con el arte, en particular con la arquitectura,pintura y escultura de los museos.

En nuestro país existen diversos museos. En el Palacio de La Alhambra de Santiagoes posible observar algunas teselaciones de distinto tipo, donde nos podemosdeleitar con la maravilla que se produce al combinar arte y geometría.

La artista Matilde Pérez es una reconocida pintora y escultora chilena. Su trabajo sedestaca por sólidas estructuras, rigor de composición y control racional del color yla línea.

Interesante información sobre la artista; su vida, trayectoria, entrevistas y obras,disponible en el sitio web: www.portaldearte.cl/autores/perez_matilde.htm.


De refuerzo

1. En relación a la arquitectura morisca presente en el Palacio de La Alhambra deSantiago, busca imágenes del palacio y, luego, responde las siguientes preguntas:

a) ¿te gustó su arquitectura?, ¿por qué?b) ¿qué figuras geométricas observaste en su arquitectura?c) ¿encontraste transformaciones isométricas en la arquitectura?, ¿cuáles?

(Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar y justificar).


Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alum-nas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados.Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los y las estu-diantes consolidan, organizan y clasifican sus aprendizajes.


La tabla es otra técnica de estudio que le puede enseñar a sus alumnos y alumnas.Consiste en organizar los contenidos que hemos visto en la Unidad de la siguiente forma:

• Hacer una tabla con cuatro columnas y el número de filas, según la cantidad decontenidos que quiera ubicar en ella.

• Las columnas deben incluir los contenidos, definición, datos y un ejemplo decada contenido.

Contenido Definición Datos Ejemplo

Traslación Una traslación es el desplazamientode todos los puntos de unafigura en la mismamagnitud, dirección y sentido.

Para realizar una traslaciónnecesitamos lafigura que queremos trasladary el vector detraslación.


¿Qué aprendí?

128 Unidad 4

1. ¿En cuál de las siguientes opciones las figurascorresponden a una reflexión?

A. R y SB. S y VC. S y TD. R y V

2. En la transformación de la imagen se aplicó una rotación con centro en O y ángulo derotación de:

A. 60ºB. 360ºC. 90ºD. 180º

3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la estrella de David?

A. 8B. 2C. 4D. 6

4. ¿Por qué es posible teselar con triángulos equiláteros?

A. Porque la suma de los ángulos queconcurren a un vértice es 180º.

B. Porque la suma de los ángulos queconcurren a un vértice es 360º.

C. Porque la suma de sus ángulos interioreses 180º.

D. Porque la suma de sus ángulos exterioreses 360º.

5. ¿Con cuál de los siguientes polígonos sepuede construir una teselación regular?

A. Cuadrado. C. Rombo.B. Rectángulo. D. Romboide.

6. Para trasladar una circunferencia según un vector dado, con regla y compás, basta con trasladar:

A. el centro de la circunferencia, según dicho vector.

B. dos puntos de la circunferencia, segúndicho vector.

C. un punto cualquiera de la circunferencia,según dicho vector.

D. el centro y un punto cualquiera de lacircunferemcia, según dicho vector.


A. No es posible teselar una superficie planacon romboide.

B. El eje de simetría es perpendicular a lostrazos que unen cada par de puntoscorrespondientes.

C. Al aplicar una rotación, todos los puntosde la figura se mueven en torno a unpunto fijo.

D. Al aplicar una traslación, todos los puntosde la figura se mueven según una flecha.

8. Al aplicar una transformación isométrica seobtiene una figura:

A. que mantiene la posición de la figura original.

B. que mantiene la forma, tamaño y posición original.

C. que mantiene la forma y tamaño original,solo varía su posición.

D. que mantiene el tamaño original y varía suforma y posición.


R S

O

T V

Unidad 4


9. Usando regla y compás, aplica una reflexión al ABC respecto de la recta L.Luego, a la imagen obtenida, rotar respecto del vértice C y ángulo de rotación de 60º (usa transportador).

10. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas involucradas.






No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Transformaciones de objetos

Traslaciones de figuras planas

Reflexiones de figuras planas

Rotaciones de figuras planas

Teselaciones

Teselaciones regulares y semirregulares


A

B

C

L




¿Qué aprendí?Ítems 1, 2, 3, 5 y 7: analizar.Ítems 4, 6 y 8: recordar.Ítems 9 y 10: aplicar, usar herramientas e identificar.



En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉAPRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido losalumnos y alumnas en la Unidad de Movimientos en el plano, y, con esta información,seguir determinadas líneas de acción. Por ejemplo, volver a enseñar un contenido o rea-lizar una actividad adicional, con el objetivo de aprender los contenidos de esta Unidad.




• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las alumnas eslimitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen,que pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa,entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, se

sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, así se podrá de-tectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que seespera que logren.

• En el ítem 9, sus estudiantes se podrían confundir debido a que no se especificael sentido de orientación de la rotación. Mencione que siempre que ocurra estose entiende que es en sentido positivo; es decir, contrario a los punteros del reloj.

• En el ítem 10, podría ocurrir que los alumnos y alumnas se equivoquen al realizarla teselación, porque no construyen la base que utilizarán de forma adecuada. Paraevitarlo, es recomendable que no la realicen de inmediato; primero pueden hacerel bosquejo de la teselación; y, luego, hacerla en el cuaderno. Además, pídales quecubran toda la plana del cuaderno para que puedan apreciar la teselación.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzaro profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles lasactividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obten-gan en la evaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.




9

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma correcta la rotacióny reflexión a la figura dada, justificandosus pasos.

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma correcta la rotacióny reflexión a la figura dada, sin justificartodos sus pasos.

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma incorrecta, ya seala rotación o reflexión a la figura dada.

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma incorrecta larotación y reflexión a la figura dada.

10

Construye correctamente la teselaciónsemirregular, identificando lasisometrías involucradas y justificandosus pasos.

Construye correctamente la teselaciónsemirregular, identificando lasisometrías involucradas, sin justificartodos sus pasos.

Construye de forma incorrecta lateselación semirregular, identificandoalguna de las isometrías involucradas.

Construye de forma incorrecta lateselación semirregular, sin identificarlas isometrías involucradas. Además,no justifica los pasos.



De refuerzo


1. Una transformación isométrica se caracteriza por:

A. cambiar el tamaño y posición de la figura.B. cambiar el tamaño y forma de la figura.C. conservar el tamaño y forma de la figura.D. conservar el tamaño y cambiar la forma de la figura.

2. La imagen de una circunferencia coincide exactamente con la circunferencia original al aplicar:

A. una traslación cuyo vector de traslación tiene la misma magnitud que un radio.B. una reflexión cuyo eje de simetría no pase por el centro de la circunferencia.C. una rotación cuyo centro de rotación coincida con el centro de la circunferencia.D. todas las anteriores.

3. Al aplicar una rotación la imagen puede coincidir exactamente con la figura original si se rota en:

A. 180º B. 90º C. 270º D. 360º

4. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

A. El eje de simetría es perpendicular a los trazos que unen cada punto y su imagen. B. Al aplicar dos rotaciones sucesivas a una figura, siempre se obtiene la

figura original.C. Al aplicar una rotación, todos los puntos se mueven en torno a un punto fijo.D. Al aplicar una reflexión a una figura sobre una recta L y, luego, reflejar la

imagen sobre una recta paralela a la recta L, equivale a la traslación de la figura geométrica.

5. Es posible teselar un plano usando:

A. hexágonos regulares.B. octágonos regulares.C. pentágonos y cuadrados.D. hexágonos y cuadrados.


6. ¿Cuál de las siguientes teselaciones es semirregular?

A. C.

B. D.

7. ¿Cuál de las siguientes opciones no representa una transformación isométrica?

A. C.

B. D.




8. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una rotación en 180º respecto del vértice B?

A. C.

B. D.

9. Usando regla y compás, dibuja la base de una teselación semirregular y, luego,construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformacionesisométricas utilizadas y explica por qué es posible realizar la teselación.

10. Usando regla y compás, traslada el siguiente cuadrilátero según el vector EF.Luego, rota la imagen obtenida respecto del vértice C en el ángulo α = 125º(utiliza transportador).

De profundización


1. Una teselación es regular cuando:

A. se construye usando solo un tipo de polígono.B. se construye usando combinaciones de polígonos regulares.C. se construye usando uno o dos polígonos regulares.D. se construye usando solo un polígono regular.

2. En una traslación:

A. se desplazan todos los puntos de una figura respecto de un eje de simetría.B. se mueven todos los puntos de una figura en un ángulo determinado.C. se desplazan todos los puntos de una figura según un vector de traslación.D. cambia la posición y forma de la figura inicial.

3. ¿Cuál de las siguientes teselaciones es regular?

A. C.

B. D.

4. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una reflexión respecto de la recta AB?

A

AB

C

AB

CA

B

C

AB

CC

C

C

C

A

A

A

B

C

D

EF


SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 220, 221 Y 222 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De refuerzo

1. C 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. B 8. D9. Puede ser cualquiera de los ocho tipos de teselaciones semirregulares.10.

De profundización

1. D2. C3. A4. A

5.

6. a) Sí es posible, se traslada el centro y un punto cualquiera de la circunferencia, según un vector de traslación.

b) Dos puntos, el centro y un punto cualquiera de la circunferencia.


A. C.

B. D.

5. Usando regla y compás, refleja el cuadradoABCD respecto de la recta E.

6. Observa la circunferencia de centro O que se observa a continuación y responde.

a) ¿Es posible trasladar una circunferencia?, ¿cómo lo harías?

b) ¿Cuántos puntos de la circunferencia debes trasladar para obtener la imagen?, ¿cuáles son?

c) Traslada la circunferencia de centro O según el vector TV.

A

A B

C

AB B

C

C

BA

A B

A

E

O

T

V

O

O

T

V

B

CD

A E BA

B

C

CD D

B

B

C

C C

A

A

B

B

D

A

C

D

B

C

D

EF


múltiple, se sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta,pues de este modo se podrá detectar en qué se están equivocando, y ayudarlos aalcanzar los aprendizajes que se espera que logren.

• En los ítems de desarrollo, podría ocurrir que sus estudiantes trabajen sin regla ycompás. Para evitarlo, recuérdeles, una clase antes de la evaluación, que traigandichos materiales. Además, durante el desarrollo de la evaluación monitoree cons-tantemente el trabajo de los y las alumnas, con la finalidad que trabajen segúnlas instrucciones.La importancia de las construcciones geométricas radica en las definiciones ypropiedades puestas en juego al efectuarlas.

Después de que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evalua-ción, se recomienda que revise junto con ellos cada una de las preguntas presentadasen esta evaluación, con el fin de detectar los errores que cometieron y aclarar las dudasque tengan.

Si considera que sus estudiantes requieren apoyo adicional, vuelva a enseñar aquelloscontenidos que no alcanzaron un nivel de logro apropiado.


I.1. B 2. D 3. A 4. B 5. C 6. B 7. D 8. A

II.9. Las respuestas para a) y b) es que las rotaciones conservan

las distancias y las medidas de los ángulos.10. No se obtiene la misma imagen final en a) y b).11. La transformaciones isométricas involucradas

pueden ser traslaciones.


EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizarcomo evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son losconocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad deMovimientos en el plano. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de40 minutos, que puede ser modificado según las características de sus estudiantes.



Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanza-dos por sus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1a 8), considere:



• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las estudianteses limitada, ya que sin el desarrollo es difícil saber cuáles son los errores quecometen (pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la al-ternativa, entre otras). Para evitar este inconveniente en los ítems de selección

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus alumnos y alumnas en el ítem II.


I Analizar e identificar. 2 puntos cada una 16 puntos

IIUsar herramientas, aplicar,analizar y justificar.



III

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma correcta las trans-formaciones isométricas a las figurasdadas, justifica sus pasos y respondecorrectamente las preguntas.

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma correcta las trans-formaciones isométricas a las figurasdadas y, responde correctamente las preguntas.

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma incorrecta algunastransformaciones isométricas a las figuras dadas, y responde correcta-mente algunas de las preguntas.

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma incorrecta lastransformaciones isométricas a las figuras dadas, y responde incorrecta-mente las preguntas.


EVALUACIÓNMovimientos en el plano


Puntaje: Nota:


1. ¿Cuáles de estas figuras corresponden a una traslación?

A. F1 y F2 B. F2 y F4 C. F1 y F3 D. F2 y F3

2. La figura base de la siguiente teselación es:

A. C.

B. D.

3. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una rotación de lafigura en 45º con centro en O?

A. B. C. D.

4. Dado el eje R y el punto M de la figura, ¿qué transformaciónisométrica hay que aplicar en la mitad izquierda para obtener lamitad derecha del dibujo?

A. Una rotación en 90º y centro M.B. Una reflexión con respecto al eje R.C. Una rotación en 180º y centro M.D. Una traslación.

5. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas?

I. Es posible teselar solo con rectángulos.II. Los círculos no permiten construir teselaciones.II. En una teselación con heptágonos regulares los ángulos que

concurren en un mismo vértice suman 360º.

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. I, II y III


F1 F2 F3 F4

O

O’ O’

O’

O’

M

R


6. En la figura, la imagen reflexivadel punto E, con respecto al ejede simetría T, es el punto:

A. CB. KC. MD. I

7. Las teselaciones regulares son aquellas que:

A. están compuestas por cualquier polígono regular.B. son deformaciones del triángulo equilátero.C. están formadas por hexágonos y cuadrados.D. están formadas solo por un polígono regular.

8. El ángulo de rotación usado para pasar de T a T es:

A. 270ºB. 180ºC. 45ºD. 90º

II. Resuelve los siguientes ejercicios usando regla y compás, en cada caso.

9. Aplica una rotación al cuadriláteroIJKL con centro en O y en un ángulo β = 95º. Luego, respondelas preguntas.

a) ¿Qué sucede con las distancias de cada vértice al centro derotación?, ¿se conservan o varían?

b) ¿Qué sucede con los ángulos interiores de las figuras?

10. Realiza las siguientes transformaciones isométricas con regla y compás y,luego, responde la pregunta c).

a) Refleja el triángulo FHG respecto de la recta R. Luego, traslada laimagen obtenida según el vector LK.

b) Repite el proceso anterior pero en forma inversa sobre el triángulo FHG.

c) ¿Obtienes la misma imagen final en a) y b)? Justifica tu respuesta.

11. A partir de la técnica presentada, aplicada alcuadrado de la figura (eliminando partes delados del cuadrado para añadirlas en otro),construye una teselación con ella. Indica lastransformaciones isométricas utilizadas.


O

T

T’

O

C

D J

K

L

M

N

E

F

G

H

I

T

I J

R

F

G

H

L

K

KL


Experimentosaleatorios

Espaciomuestral

Principiomultiplicativo

estudio de

seusa

se identifica

se determina

se usa

en

226 Unidad 5 – Datos y azar Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


Esta Unidad está orientada al análisis e interpretación de datos provenientes de diver-sas fuentes y en contextos diversos; a comprender el concepto de aleatoriedad enel uso de muestras; a determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia deeventos, usando el modelo de Laplace.

En el desarrollo de esta Unidad los alumnos y alumnas observarán y analizarán infor-mación obtenida del Censo 2002, así como también extraída de otros contextos, comoeducación, medios de comunicación, cultura, entre otros.

El objetivo de esta Unidad es que los y las estudiantes utilicen los conocimientosadquiridos en años anteriores para la comprensión y el aprendizaje de los nuevos con-tenidos que serán enseñados, por ejemplo tablas de frecuencia, cálculo de medidas detendencia central y cálculo de probabilidades, conocimientos que son ampliados y profundizados en este nivel. Además, se realizan actividades en las que son utilizadasherramientas tecnológicas.

En esta Unidad los alumnos y alumnas aprenderán, entre otras cosas, a construire interpretar tablas de frecuencias para datos agrupados en intervalos. Además,aprenderán a calcular medidas de tendencia central, como la moda y la media arit-mética, en dichos casos. Por otro lado, determinarán la probabilidad de ocurrencia deeventos en experimentos aleatorios, para resultados finitos y equiprobables, aplicandoel modelo de Laplace.


Datos y azarUnidad5

Población Encuesta

Probabilidad

Datos Azar

estudio de

Muestra

Tablas defrecuencia

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

Sucesosequiprobables

Regla deLaplace

Sucesos noequiprobables

Medidas de tendencia central

se selecciona

se construyen

para

y

Datos noagrupados

Datos agrupados

Mediaaritmética

Moda Mediana

se determinan

son

serealiza



7º básico 8º básico

Resolución de problemas en los cuales es nece-sario interpretar información a partir de tablasde frecuencia con datos agrupados en interva-los, tomados de diversas fuentes o recolectadosmediante experimentos o encuestas.

1º medio 2º medio

Establecimiento y aplicación de crite-rios para la selección del tipo de tablaso gráficos a emplear para organizar ycomunicar información, obtenida desdediversas fuentes, y construcción de dichas representaciones mediante herramientas tecnológicas. Construcción de tablas de frecuencia con datos

agrupados en intervalos, en forma manual ymediante herramientas tecnológicas, a partir dediversos contextos y determinación de la mediaaritmética y la moda en estos casos.

Determinación del rango, varianza ydesviación estándar, aplicando criteriosreferidos al tipo de datos que se estánutilizando, en forma manual y medianteel uso de herramientas tecnológicas.

Análisis de las características de dos omás muestras de datos, haciendo uso deindicadores de tendencia central, posi-ción y dispersión.

Caracterización de la representatividadde una muestra, a partir del tamaño ylos criterios en que ésta ha sido selec-cionada desde una población. Discusiónacerca de cómo la forma de escogeruna muestra afecta las conclusiones re-lativas a la población.

Discusión respecto de la importancia de tomarmuestras al azar en algunos experimentosaleatorios para inferir sobre las característicasde poblaciones, ejemplificación de casos.

Análisis de una muestra de datos agru-pados en intervalos, mediante el cál-culo de medidas de tendencia central(media, moda y mediana) y medidas deposición (percentiles y cuartiles), en di-versos contextos y situaciones.

Empleo de elementos básicos del mues-treo aleatorio simple, en diversos experi-mentos, para inferir sobre la media deuna población finita a partir de muestras extraídas.

Discusión acerca de la manera en que lanaturaleza de la muestra, el método deselección, y el tamaño de ella, afectanlos datos recolectados y las conclusionesrelativas a la población.

Análisis del comportamiento de una muestrade datos, en diversos contextos, usando me-didas de tendencia central y argumentaciónacerca de la información que ellas entregan.

Uso de técnicas de combinatorias pararesolver diversos problemas que involu-cren el cálculo de probabilidades.

Análisis de ejemplos en diversas situacionesdonde los resultados son equiprobables, a par-tir de la simulación de experimentos aleatoriosmediante el uso de herramientas tecnológicas.

Identificación del conjunto de los resultadosposibles en experimentos aleatorios simples(espacio muestral) y de los eventos o sucesoscomo subconjuntos de aquél, uso del principiomultiplicativo para obtener la cardinalidad delespacio muestral y de los sucesos o eventos.

Asignación en forma teórica de la probabilidadde ocurrencia de un evento en un experimentoaleatorio, con un número finito de resultadosposibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.

Utilización y establecimiento de estrate-gias para determinar el número demuestras de un tamaño dado, que sepueden extraer desde una población detamaño finito, con y sin reemplazo.

Formulación y verificación de conje-turas, en casos particulares, acerca dela relación que existe entre la mediaaritmética de una población de tamañofinito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamañoextraídas de dicha población, con y sin remplazo.

Resolución de problemas en contextosde incerteza, aplicando el cálculo deprobabilidades mediante el modelo deLaplace o frecuencias relativas, depen-diendo de las condiciones del problema.

Aplicación del concepto de variablealeatoria en diferentes situaciones que in-volucran azar e identificación de éstacomo una función.

Predicción respecto a la probabilidad deocurrencia de un evento en un experi-mento aleatorio simple y contrastaciónde ella mediante el cálculo de la fre-cuencia relativa asociada a dicho eventoe interpretación de dicha frecuencia apartir de sus formatos decimal, comofracción y porcentual.

Exploración de la Ley de los GrandesNúmeros, a partir de la repetición de ex-perimentos aleatorios, con apoyo de her-ramientas tecnológicas y su aplicación ala asignación de probabilidades.

Resolución de problemas de cálculo deprobabilidades aplicando las técnicas delcálculo combinatorio, diagramas deárbol, lenguaje conjuntista, operatoriabásica con conjuntos, propiedades de lasuma y producto de probabilidades.











Resolución de problemas en loscuales es necesariointerpretar informacióna partir de tablas defrecuencia con datosagrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes orecolectados medianteexperimentos o encuestas.

Interpretación de tablasde frecuencia.

• Analizar información a partir de tablas de frecuencia, condatos agrupados en intervalos.


De construcción deconceptos: página135.



• Interpretan informacióna partir de tablas de frecuencia, con datosagrupados en intervalos.

Construcción de tablasde frecuencia condatos agrupados en intervalos, en formamanual y medianteherramientas tecnoló-gicas, a partir de diversos contextos ydeterminación de lamedia aritmética y lamoda en estos casos.

Construcción de tablaspara datos agrupados.

• Construir tablas de frecuencia con datosagrupados en intervalos, en formamanual y medianteuna planilla de cálculo.

• Interpretar la información que entregan las tablas.




En la Guía DidácticaDe refuerzo: página 249.De profundización:página 249.

• Construyen tablas defrecuencia con datosagrupados en intervalos,en forma manual y mediante herramientastecnológicas.

Diagnóstica:páginas 132 y133 del Textodel Estudiante.

Formativa: páginas 149 y157 del Textodel Estudiante.


• Calculadora.• Computador

con planillade cálculo yconexión aInternet.

• Bolsa• Hojas blancas.• Regla.• Tijeras.• Lápices de

colores.

Discusión respecto de laimportancia de tomarmuestras al azar en algunos experimentosaleatorios para inferirsobre las característicasde poblaciones, ejemplificación de casos.

Censo y muestreo. • Analizar situacionesdonde es necesariotomar muestras al azar en experimen-tos aleatorios.

• Determinar el comportamiento de una población,usando medidas detendencia central.






• Discuten respecto de laimportancia de tomarmuestras al azar en experimentos aleatorios.

• Analizan el comportamiento de una población, usando medidas de tendencia central.








Construcción de tablasde frecuencia condatos agrupados enintervalos, en formamanual y medianteherramientas tecnoló-gicas, a partir de diversos contextos ydeterminación de lamedia aritmética y lamoda en estos casos.

Análisis del compor-tamiento de unamuestra de datos, endiversos contextos, usando medidas detendencia central y argumentación acercade la información queellas entregan.

Media aritmética paradatos agrupados.

Moda para datos agrupados.

Análisis de encuestas.

• Analizar muestras dedatos, determinar lamedia aritmética ymoda en estos casospara estudiar su comportamiento.


De construcción deconceptos: páginas 139,141, 145, 146, 147 y 148.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 251,253, 257, 259 y 261.


• Analizan muestras dedatos en experimentosaleatorios, y estudian su comportamiento, determinando la mediaaritmética y la moda.

Análisis de ejemplos endiversas situacionesdonde los resultadosson equiprobables, apartir de la simulaciónde experimentosaleatorios mediante eluso de herramientastecnológicas.

Sucesos equiprobables. • Analizar situacionesdonde los resultadosson equiprobablesen experimentosaleatorios, en diversassituaciones y medianteel uso de herramientastecnológicas.






• Analizan situacionesdonde los sucesos sonequiprobables, en diversas situacionesy mediante el uso de herramientas tecnológicas.








Identificación del con-junto de los resultadosposibles en experimen-tos aleatorios simples(espacio muestral) y delos eventos o sucesoscomo subconjuntosde aquél, uso del principio multiplicativopara obtener la cardinalidad del espa-cio muestral y de lossucesos o eventos.

Espacio muestral y principio multiplicativo.

• Identificar el espaciomuestral en experi-mentos aleatorios, yusar el principio multi-plicativo para obtenersu cardinalidad.

En el TextoDe exploración:página 150.De construcción deconceptos: página 151.De consolidación:páginas 160 y 161.


• Identifican el espaciomuestral en experimentosaleatorios, y usan el principio multiplicativopara obtener su cardinalidad.

Asignación en formateórica de la probabili-dad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio,con un número finitode resultados posiblesy equiprobables, usando el modelo de Laplace.

Regla de Laplace. • Asignar la probabilidadde un evento en un experimento aleatorio,usando la Regla de Laplace.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 269y 271.De profundización:página 269.

• Asignan la probabilidadteórica de un evento enun experimento aleatorio.

Discusión respecto dela importancia detomar muestras al azaren algunos experimen-tos aleatorios para inferir sobre las características depoblaciones, ejemplifi-cación de casos.

Buscando estrategias. • Analizar informaciónproveniente de diversasencuestas, para inferirsobre las característicasde una población.

• Aplicar habilidadesbásicas del proceso de resolución de pro-blemas en contextosdiversos y significativos.





• Resuelven problemas queimplican el análisis dedatos e interpretación dediversos gráficos estadísti-cos, provenientes de diversas fuentes.



ERRORES FRECUENTES


Es posible que sus estudiantes tengan problemas para:

• Expresar números decimales como fracción, porcentaje, y viceversa.• Amplificar o simplificar una fracción.• Calcular porcentajes.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente que después de la evaluación diagnóstica, realice un repaso de los temas que provocan confusiones o errores en sus estudiantes.

Puede que sus estudiantes tengan dificultades para realizar el análisis e interpretación de información proveniente de diversos medios y fuentes.

• Para desarrollar estas habilidades, es importante que continuamente los alumnosy alumnas se vean enfrentados a situaciones en donde tengan que analizar, inferir, interpretar y concluir. De este modo, se acostumbrarán a desarrollar estas habilidades y en situaciones futuras, este tipo de trabajo no provocará complicaciones.


• Determinar la media aritmética en datos que se encuentran agrupados en intervalos, pues piensan que la media se calcula de igual forma que para datosno agrupados, es decir, suman todas las frecuencias absolutas y dividen el resultado por el total de observaciones.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente que men-cione este error y destine un tiempo adecuado para enseñar cómo se calcula lamedia aritmética correctamente en datos agrupados en intervalos. Si lo estimaconveniente, puede pedirles que utilicen calculadora, para facilitar los cálculos.


• Determinar la moda en datos que se encuentran agrupados en intervalos, pues piensan que la moda en estos casos corresponde a la marca de clase de la categoría con mayor frecuencia.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente que men-cione este error y destine un tiempo adecuado para enseñar cómo se calcula lamoda correctamente en datos agrupados en intervalos.

Es posible que los alumnos y alumnas tengan problemas para:

• Calcular la probabilidad de eventos simples, debido a que determinan de formaincorrecta el espacio muestral y la cantidad de resultados posibles.

• Para ayudar a sus estudiantes, permita que organicen la información en tablas, obien, que usen diagramas de árbol, ya que esta forma visual permite clarificar lasituación y les ayuda a obtener las probabilidades correctamente.

En la resolución de problemas se pueden presentar los siguientes inconvenientes:

• Dificultades en la comprensión lectora, impidiendo una buena interpretación yposterior resolución.

• Utilización incorrecta de los datos que entrega un problema.• Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir la respuesta asociada.• Aplicación incorrecta de las estrategias utilizadas y soluciones encontradas.

• Para evitar este tipo de inconvenientes es fundamental que los contenidos de laUnidad estén relacionados con una situación problemática apropiada, para quesus estudiantes se familiaricen con la resolución de problemas.

• Incentivar la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar,resolver y revisar. Con esto sus estudiantes identificarán los datos disponibles, loque deben encontrar, la estrategia a utilizar, ejecutar la estrategia de resolución,dar solución al problema y analizar la solución.




ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Conceptos básicos

La estadística consiste en un conjunto de técnicas y procedimientos que permitenrecoger datos, presentarlos, ordenarlos y analizarlos, de manera que, a partir deellos, se puedan inferir conclusiones.

Población y muestra

La población es un conjunto de objetos o de individuos que se desea estudiar y que,a su vez, presentan una característica que interesa medir. Generalmente, el tamañode la población se denota con la letra N.

Se llama muestra a un subconjunto representativo de la población que se desea es-tudiar. Generalmente, el tamaño de la muestra se denota con la letra n.

Variables estadísticas

Una variable estadística corresponde a la o las características que se miden en lamuestra. Las variables pueden ser cuantitativas o cualitativas.

• Variables cualitativas: son aquellas que no se pueden medir numéricamente,están relacionadas con características. Los valores que toma este tipo de variableson etiquetas que representan una categoría o cualidades.Una variable cualitativa puede ser nominal u ordinal.

Las variables nominales corresponden a aquellas en las cuales no existe ninguna ordenación.

Por ejemplo: estado civil.

Las variables ordinales son aquellas en las cuales existe un orden intuitivo.Por ejemplo: nivel educacional (básico, medio, superior).

• Variables cuantitativas son aquellas que se pueden medir numéricamente, esdecir, los valores que toma este tipo de variables son números.

Una variable cuantitativa puede ser discreta o continua.

Las variables discretas son aquellas en las cuales los posibles valores surgen fre-cuentemente de un conteo. En cada tramo o intervalo la variable solo puedetomar un número determinado de valores (enteros).

Por ejemplo: número de hijos, número de páginas de un libro.

Las variables continuas son aquellas en las cuales los posibles valores surgenfrecuentemente de una medición. Estas variables pueden tomar tanto valoresreales como sea posible en un intervalo.

Por ejemplo: la estatura de una persona, la masa de alguien.En resumen:

PROBABILIDAD Y AZAR

Conceptos básicos

• Experimentos determinísticos: en este tipo de experimentos, se conoce de an-temano el resultado.

• Experimentos aleatorios: este tipo de experimentos, repetidos una cierta canti-dad de veces, en condiciones similares, pueden presentar resultados diferentes.En los experimentos aleatorios no se conocen los resultados de antemano.

Espacio muestral y eventos

• El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento se llamaespacio muestral (Ω) y cada uno de estos resultados es conocido como sucesoo evento elemental.

• Un evento puede ser:

Evento seguro: está formado por todos los resultados posibles del experimento.Coincide con el espacio muestral y siempre ocurre.

Evento imposible: nunca ocurre. No se presenta al realizar un experimento aleatorio. Se denota por el símbolo ∅.

Eventos mutuamente excluyentes: dos eventos que no pueden suceder simultáneamente.

Por ejemplo: si se lanza un dado, se puede obtener cualquier número enteroentre 1 y 6. Entonces, el experimento es aleatorio, su espacio muestral es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y los sucesos elementales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Un eventoseguro sería obtener un número entre 1 y 6, y un evento imposible, obtener unnúmero mayor que 6.


Variable estadística

Nominal

Ordinal

Discreta

Continua

Cuantitativa

Cualitativa


Probabilidad de un suceso

Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones, la probabilidad deque el evento A ocurra se denota por P(A) y corresponde a un valor comprendidoentre 0 y 1.

Eventos equiprobables

Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, sedice que los sucesos son equiprobables.

Si en un experimento aleatorio los sucesos son equiprobables, entonces, la proba-bilidad de que el evento A ocurra está dado por la expresión:

Este modelo es conocido como la Regla de Laplace.

Ley de los grandes números

Se refiere a que a medida que aumenta el número de repeticiones de un experi-mento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso A se aproxima cada vez más asu probabilidad.

Bibliografía

• Iglesias Z., P., Del Pino M., G., y Aravena C., R. (2003). Análisis estadístico:Interpretando problemas de la vida cotidiana. Santiago: Ministerio de Educación.


• Rencoret B., M. (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de enseñanza.Santiago: Editorial Andrés Bello.

• Manual esencial. (2008). Capítulo 2: Estadística. Estadística, probabilidad y precálculo.(pp. 34–45). Santiago: Santillana.

• Manual esencial. (2008). Capítulo 3: Probabilidad y combinatoria. Estadística,probabilidad y precálculo. (pp. 86–89). Santiago: Santillana.

• Morris, K.(1992). Matemáticas para los estudiantes de humanidades. México:Fondo de Cultura Económica.

• Gardner, M. (1985). Carnaval Matemático. España: Alianza Editorial.

• Guzmán, M. (1992). Tendencias innovadoras en Educación Matemática. BuenosAires: Red Olímpica.

• Matemáticas y Olimpíadas (1994). Santiago: Sociedad de Matemáticas de Chile.

• Perero, M. (1994). Historia e historias de matemáticas. México: Grupo EditorialIberoamérica.

Sitios webs

En los siguientes sitios web puede encontrar distintos resultados de estudios públi-cos que puede utilizar en sus clases:

• www.ine.cl

• www.cepchile.cl

• www.sernam.gov.cl

• www.fundacionfuturo.cl



P(A) = número de casos favorables al suceso Anúmero de casos posibles


La imagen inicial presentada en la Unidad está destinada a introducir a sus alumnos y alum-nas en un estudio muy común en la sociedad: el Censo. Además, se muestra una tabla querelaciona el nivel de instrucción alcanzado hasta el año 2002 por los habitantes de laProvincia de Valdivia, según su edad.

El censo es una encuesta nacional que se realiza cada 10 años y su objetivo es obtener in-formación de toda la población en relación con diversas variables, como por ejemplo: edad,

Datos y azarUnidad

5

130 Unidad 5

• Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, con datos agrupadosen intervalos.

• Construir tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en formamanual y mediante herramientas tecnológicas, y determinar la mediaaritmética y moda en estos casos.

• Discutir respecto de la importancia de tomar muestras al azar en experimentosaleatorios, y analizar su comportamiento usando medidas de tendencia central.

• Analizar situaciones donde los resultados son equiprobables en experimentosaleatorios, mediante el uso de herramientas tecnológicas.

• Identificar el espacio muestral en experimentos aleatorios, y usar el principiomultiplicativo para obtener su cardinalidad.

• Asignar la probabilidad de un evento en un experimento aleatorio, usando elmodelo de Laplace.


En Chile, los censos se realizan cada diez años, aproximadamente. El últimose realizó en el año 2002 y el próximo se efectuará en el año 2012.Los siguientes datos corresponden a los resultados del Censo 2002. Observa.

Población de cinco años o más por grupos de edad, según región, provincia, sexo, su nivel de instrucción y el último curso aprobado

Provincia de Valdivia / ambos sexos

1. En Valdivia, ¿cuántas personas terminaron la Educación Media hasta el año 2002?2. ¿Cuál es nivel de Educación Media promedio alcanzado por los jóvenes entre 20

y 29 años?, ¿cómo lo supiste?3. ¿Cuál es la moda en este caso?, ¿cómo la interpretarías?

Conversemos de...

Datos y azar 131

Grupos de edad

Enseñanza Media común

6 a 14años

15 a 19años

20 a 29años

30 a 49años

50 años omás

1 año 1825 4436 3173 6170 1237

2 años 565 3841 2552 4818 986

3 años 0 3465 1486 3095 709

4 años 0 4323 9529 14 536 3183

Fuente: www.ine.cl/cd2002/index.php, consultado en febrero de 2010.



estado civil, integrantes del grupo familiar, tipo de vivienda, años de escolaridad, etc. Esta actividad introductoria permitirá activar los conocimientos y experiencias previas desus estudiantes relacionados con este tema, y además podrá aproximarse al estudio de losnuevos contenidos de la Unidad.



Conversemos de...Ítems 1 y 2: analizar y calcular.Ítem 3: recordar y conectar.


En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se es-pera que los alumnos y alumnas logren. Se sugiere que los lean en voz alta y, luego,podría plantear preguntas como las siguientes:

• ¿Qué es una tabla de frecuencias?• ¿Qué es la moda?, ¿cómo la determinas?• ¿Qué es la media aritmética?, ¿cómo la determinas?• ¿Qué es un experimento aleatorio? Cita dos ejemplos.• ¿Qué diferencias existen entre población y muestra?

Con estas preguntas, y con las respuestas de sus alumnos y alumnas, puede realizarun esquema que vincule los contenidos de la Unidad, y de esta forma podrá obtenerinformación sobre sus experiencias y conocimientos previos. A partir de ellos, podráguiar de mejor forma el trabajo que se realizará.

ACTIVIDAD INICIAL

Para motivar el desarrollo de la actividad inicial, puede complementar las preguntasdel texto con las siguientes:

• ¿Qué es un censo?• ¿Cada cuántos años se realiza en Chile?, ¿por qué no se realiza cada año?• ¿Cuál es el objetivo de un censo?• ¿Cuántas personas entre 30 y 49 años terminaron la Educación Media?• ¿Cuántas personas tienen 2 años de Educación Media?• ¿Por qué crees que terminaron la Educación Media más personas entre 20 y 29

años que entre 50 años y más?• La tabla presentada, ¿corresponde a una muestra o a la población de Valdivia?,

¿cómo lo supiste?

Estas preguntas y las respuestas que obtenga de sus estudiantes, le permitirán moti-varlos e introducirlos en el estudio de la Unidad de manera más profunda.


El Instituto Nacional de Estadísticas (INE) es el organismo encargado de las estadís-ticas públicas del país en el área económica, social, demográfica, medioambiental ycensal. Por ejemplo, el INE se encarga de los Indicadores de Empleo y también del

Índice de Precios al Consumidor (IPC), entre otros.

El INE cuenta con más de 600 encuestadores que aumentan a 400 000 para losCensos de Población y Vivienda. Ellos recorren el territorio nacional en busca dedatos relevantes, que luego serán procesados, analizados y difundidos para las políti-cas públicas y los proyectos privados.

El INE trabaja con las más modernas tecnologías y metodologías disponibles. En elaño 2012 tendrá estándares de calidad y transparencia comparables a las mejoresprácticas de los países miembros de la Organización para la Cooperación y elDesarrollo Económico (OCDE), tanto en el desarrollo de su capital humano como enla cobertura de sus productos y servicios.

Para más información, visita el sitio web del INE en: www.ine.cl.


De refuerzo

1. Según el Censo de 2002, la población con discapacidad por sexo y tipo de dis-capacidad fue resumida en la siguiente tabla:

a) ¿Cuántas personas presentan sordera total?b) ¿Cuántas personas presentan mudez o deficiencia mental?c) ¿Cuántos hombres presentan ceguera o sordera?d) ¿Cuántas mujeres presentan deficiencia mental o ceguera?e) Si se elige una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea ciega?f) Si se elige una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga

más de una discapacidad?g) Si se elige un hombre al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mudo?h) ¿Cuál es la moda en este caso?, ¿qué puedes concluir?

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, recordar y conectar).


Tipo de discapacidad Hombre Mujer

Ceguera total 20 341 22 590

Sordera total 35 280 31 244

Mudez 6037 5053

Lisiado / parálisis 73 988 61 041

Deficiencia mental 53 041 45 108

Con más de 1 discapacidad 178 563 155 814

Total 367 250 320 850


¿Cuánto sabes?

132 Unidad 5

1. En una ciudad del norte del país, durante el mes de enero, se han registradolas siguientes temperaturas máximas en grados Celsius:

32, 31, 28, 30, 28, 30, 31, 33, 29, 30, 30, 32, 28, 31, 29, 29, 32, 30, 29, 33, 30, 31, 30, 29, 30, 33, 34, 28, 30, 30, 29

a) Completa la tabla de frecuencias.

b) ¿Cuántos días hubo con temperatura máxima de 29 ºC?c) ¿Qué porcentaje del mes hubo 31 ºC?d) Calcula la media aritmética, la mediana y la moda. ¿Cómo interpretarías

los resultados obtenidos en cada caso?

2. El siguiente gráfico circular representa la cantidad de horas semanales quelos 40 estudiantes del 8ºA de un colegio de Arica destinan a hacer deportes.


b) ¿Cuántos alumnos y alumnas dedican 4 horas semanales a hacerdeportes?, ¿y una hora semanal?

c) ¿Cuántas horas semanales, en promedio, destinan los y las estudiantesa hacer deportes?, ¿cómo lo calculaste?

d) Calcula e interpreta la mediana y moda, en cada caso.

Temperatura(ºC)

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

Frecuencia relativaporcentual

28

29

30

31

32

33

34

Nº dehoras

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

Frecuencia relativaporcentual

1 2 5%

2

3

4

5

6

5%15%

10%

20%

10%

1 hora2 horas3 horas

4 horas5 horas6 horas

40%

Unidad 5

Datos y azar 133

3. Antonia necesita averiguar la cantidad de horas diarias que los alumnos yalumnas de su colegio destinan a ver televisión. Si tuvieras que realizar lamisma investigación que Antonia:

a) ¿Cuál sería la población?, ¿qué muestra escogerías?, ¿por qué?b) ¿Cuál sería la variable de estudio?, ¿de qué tipo es? Explica tu decisión.

4. Se lanza 50 veces un dado con las caras numeradas del 1 al 6, y se obtiene10 veces uno, 3 veces dos, 6 el tres, 12 el cuatro, 9 el cinco y 10 el seis.

a) Construye en tu cuaderno una tabla de frecuencias.b) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de que se obtenga 2?, ¿y 4?c) ¿Cuál es la frecuencia relativa de que se obtenga 3?, ¿y 5?d) ¿Cuáles son las probabilidades de que salga cada una de las caras?

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.

• En una encuesta, el conjunto total de individuos que son objeto de estudio y que poseen almenos una característica en común se denomina población. Una muestra es una parte osubconjunto de la población.

• Una variable estadística corresponde a la característica que se observa en cada uno de loselementos de la población, y que se mide en la muestra. Las variables pueden sercuantitativas (pueden tomar valores numéricos) o cualitativas (clasifica a los individuos encategorías que no se pueden expresar con números).

• La frecuencia absoluta es el número de repeticiones de cada dato de una muestra. La razónentre la frecuencia absoluta y el número total de datos de la muestra es la frecuencia relativa.

• Las medidas que permiten analizar los datos en torno a un valor central se denominanmedidas de tendencia central. Generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos. Estas son: la media aritmética (x ), la mediana y la moda (Mo).

• Una forma de calcular la media aritmética o promedio es sumar todos los datos y dividir elresultado por el número total de observaciones.

• La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto dedatos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente. Si la cantidad dedatos es impar, la mediana es justo el valor del centro. En el caso de tener una cantidad parde datos, se debe calcular el promedio entre los valores centrales.

• La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. En caso de existir dos valores de la variable que tengan lamayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.

• El número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de un resultado, a medida queaumenta el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio, se llamaprobabilidad. La probabilidad se puede expresar como un número entre 0 y 1.





Para medir los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evalua-ción diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: completar tabla de frecuencias y analizar la información que entrega, deter-minar las medidas de tendencia central e interpretar los resultados.

Ítem 2: analizar la información de un gráfico circular y completar la tabla de frecuencias,determinar e interpretar las medidas de tendencia central.

Ítem 3: determinar la población de interés para un estudio y la muestra apropiadapara este caso. Determinar variable de estudio y su tipo.

Ítem 4: realizar un experimento aleatorio y construir una tabla de frecuencias para losresultados obtenidos.



¿Cuánto sabes?Ítems 1 y 2: representar, interpretar, calcular y analizar.Ítem 3: analizar y reconocer.Ítem 4: representar, interpretar y calcular.


• En los ítems 1 y 2, es posible que los y las estudiantes no recuerden la frecuenciaabsoluta, relativa y porcentual, y que por ello no puedan completar la tabla de fre-cuencias y contestar de manera adecuada las preguntas planteadas en la evaluación.Para evitar este posible inconveniente recuérdeles cada uno de estos conceptos.Podría hacerlo con un ejemplo sencillo, pero no con los ejercicios planteados en laevaluación, porque de esa forma no podría determinar correctamente el nivel deconocimientos previos de los alumnos y alumnas.

• En el ítem 3, es posible que los y las estudiantes no recuerden qué significa poblacióny qué muestra, y la diferencia entre ambas. Para evitar este posible inconveniente re-cuérdeles que la población se refiere a los objetos en estudio, y la muestra se refierea tomar una parte de la población para analizarla y extraer conclusiones de toda lapoblación. Si es necesario, muestre algunos ejemplos.

• En el ítem 4, los alumnos y alumnas podrían calcular las frecuencias relativas decada uno de los resultados posibles al lanzar un dado, o bien, la probabilidadteórica de que salga un número al lanzar un dado. Si es necesario, explique ladiferencia entre ambos casos.

• Es importante que después realice una revisión individual de cada evaluación diag-nóstica, para detectar las debilidades y fortalezas de cada estudiante. Del mismomodo, también es conveniente realizar la pauta de la evaluación en la pizarra, paraque sus alumnos y alumnas conozcan las respuestas y procedimientos correctos, demodo que puedan detectar y corregir sus errores. Con estas instancias podrá deter-minar las áreas más débiles de sus estudiantes, y preparar un plan de reforzamientopara corregirlas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8237 Unidad 5 – Datos y azar



1 y 2

Interpreta correctamente los valores dela tabla, los porcentajes y las medidasde tendencia central, justificando cadauno de sus pasos.

Interpreta correctamente los valores dela tabla, los porcentajes y las medidasde tendencia central, sin justificartodos sus pasos.

Interpreta erróneamente uno o dos valores de la tabla, confundiendo losporcentajes y/o las medidas de tendencia central.

Interpreta erróneamente todos los valores de la tabla, confundiendo los porcentajes y las medidas de tendencia central.

3

Reconoce correctamente la población,muestra y variable de estudio, justificando cada uno de sus pasos.

Reconoce correctamente la población,muestra y variable de estudio, sin justificar todos sus pasos.

Reconoce erróneamente la población y muestra, o bien la variable de estudio, sin justificar sus pasos.

Reconoce erróneamente la población,la muestra y variable de estudio.

4

Representa correctamente la tabla defrecuencias e interpreta la informaciónque entrega, justificando cada uno desus pasos.

Representa correctamente la tabla de frecuencias e interpreta la información que entrega, sin justificartodos sus pasos.

Representa erróneamente alguno de los elementos de la tabla de frecuencias, confundiendo la soluciónen una o dos preguntas.

Representa erróneamente la tabla defrecuencias, confundiendo la soluciónen todas las preguntas.


134 Unidad 5

Para discutir

• ¿Qué puedes deducir del intervalo 2 (5 - 8)?• ¿Cuántos alumnos o alumnas tienen 12 primos o menos?, ¿por qué?• Si le preguntas a un o una estudiante cualquiera, ¿cuál es la

probabilidad de que tenga entre 25 y 28 primos?, ¿y de que tenga8 primos, o menos?

En la situación anterior, se puede deducir del intervalo 2, que existen6 estudiantes que tienen entre 5 y 8 primos.

También, es posible observar que si sumamos el número deestudiantes de los intervalos 1, 2 y 3, hay 28 alumnos o alumnas quetienen 12 primos o menos. Este valor corresponde a la frecuenciaabsoluta acumulada hasta ese intervalo.

Por otro lado, si preguntamos a un alumno o alumna cualquiera deese colegio que cursa 8º Básico, cuál es la probabilidad de que tengaentre 25 y 28 primos, esta se puede obtener calculando la razónentre su frecuencia absoluta por el total de observaciones, es decir:

� 0,04

Esta razón es la frecuencia relativa. Otra manera de representar estevalor es con porcentajes: si multiplicamos el resultado anterior por100, se obtiene que la probabilidad de tener entre 25 y 28 primos esigual a un 4%.

Interpretación de tablas de frecuencias

Completa la tabla que muestra el número de primos que tienen losy las estudiantes de los 8º Básico de un colegio.

Intervalo(i)

Nº de primos

Frecuenciaabsoluta

F. absoluta acumulada

Frecuencia relativa

F. relativa acumulada

1 1 - 4 4 4 � 0,06

2 5 - 8 6 10 � 0,09

3 9 - 12 18

4 13 - 16 20

5 17 - 20 12

6 21 - 24 5

7 25 - 28 3

8 29 - 32 2

470

670

370

Unidad 5

Actividades

Ahora, la probabilidad de tener 8 primos o menos, es igual a lasuma de frecuencias relativas hasta 8, es decir, 0,06 + 0,09 = 0,15.

Luego, un 15% de los alumnos y las alumnas tiene 8 primos, omenos. Llamamos a ese valor frecuencia relativa acumulada.

1. Responde la siguientes preguntas observando la tabla de la página anterior.

a) ¿Cuántos estudiantes tienen a lo más 20 primos?, ¿cómo lo calculaste?b) ¿Cuántos estudiantes tienen 25 primos o más?, ¿por qué?c) Si le preguntas a un o una estudiante cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre

9 y 12 primos?, ¿y 16 primos o menos?

2. Una encuesta referida al día en que 60 personas eligen para ir al cine, dio los siguientesresultados. Completa la tabla.

• La frecuencia absoluta acumulada en el intervalo i es la suma de las frecuencias absolutasobservadas hasta el intervalo i. Se escribe Fi.

• La frecuencia relativa de la categoría i corresponde a la probabilidad de pertenecer a esacategoría. Lo calculamos dividiendo la frecuencia absoluta (f i) por el total de datos de lamuestra. Denotamos este valor por hi.

• La frecuencia relativa acumulada en la categoría i, es la probabilidad de observar un valormenor o igual al mayor valor que toma la variable en estudio en ese intervalo. Lo calculamosdividiendo Fi por el total de datos de la muestra. Denotamos este valor por Hi.

No olvides que...

Datos y azar 135

DíaFrecuencia

absoluta (f i)Frecuencia absoluta

acumulada (Fi)Frecuencia

relativa (hi)Frecuencia relativa

acumulada (Hi)Lunes 5

Martes 7

Miércoles 10

Jueves 3

Viernes 13

Sábado 14

Domingo 8




• Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partirde tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversasfuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas.


Para discutirÍtem 1: analizar.Ítems 2, 3 y 4: calcular

ActividadesÍtem 1: analizar y calcular.Ítem 2: analizar e interpretar.



Las tablas de frecuencias se utilizan para resumir la información de un conjunto dedatos. Las frecuencias incluidas en esta tabla son:

• La frecuencia absoluta, que corresponde al número de observaciones de unadeterminada clase. La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamañode la muestra.

• La frecuencia relativa, que corresponde a la razón entre la frecuencia absolutade una clase y el tamaño muestral. La suma de todas las frecuencias relativas esigual a 1.

• La frecuencia absoluta acumulada, que corresponde al número de datos cuyovalor es menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamentelas frecuencias absolutas.

• La frecuencia relativa acumulada, que corresponde a la razón entre la frecuenciaabsoluta acumulada y el número total de datos.

• En algunas tablas también se incluye la frecuencia relativa porcentual, que corres-ponde a la frecuencia relativa de un evento, expresada en porcentaje. Se calculamultiplicando la frecuencia relativa por 100. La suma de las frecuencias relativasporcentuales da como resultado 100%.

• El hecho de que en cualquier conjunto de datos la suma de las frecuencias relati-vas es 1 y que la suma de las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la mues-tra, es un indicador para verificar si los cálculos que han realizado son correctos.


De refuerzo

1. Los datos que aparecen a continuación corresponden a las estaturas (en m) de losy las estudiantes de Segundo Medio de un colegio de Santiago.

1,62 1,59 1,70 1,57 1,64 1,50 1,48 1,68 1,621,50 1,72 1,83 1,71 1,62 1,79 1,57 1,70 1,651,78 1,64 1,67 1,78 1,68 1,76 1,72 1,51 1,73

a) Organiza estos datos en una tabla de distribución de frecuencias.

b) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?

c) ¿En cuál intervalo hay más personas?

d) ¿Cuántas personas miden 1,74 cm o menos?

(Habilidad que desarrolla: analizar, representar, interpretar y calcular).

ACTIVIDAD INICIAL

La preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorioy tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen la información presen-tada en la tabla de frecuencias, para luego interpretarla. A partir de esta situación,se inicia el estudio de las tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos.

Para motivarlos, podría pedirles que realicen una encuesta a sus compañeras y com-pañeros de curso, sobre el número de hermanos que tienen. A partir de estos datos,mostrarles cómo se construye una tabla de frecuencias, explicando qué significan ycómo se calculan cada una de las frecuencias que ahí se incluyen. Debe notar que susestudiantes deben tener una tabla con los mismos resultados, ya que todos estántrabajando con datos del mismo curso. Es interesante que haga el paralelo con elejemplo que presenta el texto sobre el número de primos y el uso de intervalos, yexplicar por qué en el caso de la cantidad de hermanos no es necesario formar inter-valos en la tabla de frecuencia.

Para complementar la actividad inicial del Texto podría plantear preguntas comolas siguientes:

• ¿Qué cantidad de primos es más frecuente?, ¿a qué intervalo corresponde?• Al sumar todas las frecuencias absolutas, ¿qué se obtiene?, ¿siempre ocurre lo mismo?• Al sumar todas las frecuencias relativas, ¿qué se obtiene?, ¿siempre ocurre lo mismo?• ¿Cuál es el valor de la frecuencia absoluta acumulada en la última categoría?,

¿siempre ocurre lo mismo?• ¿Cuál es el valor de la frecuencia relativa acumulada en la última categoría?,

¿siempre ocurre lo mismo?


• En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultad para responder correctamente,recuerde que pueden utilizar la frecuencia absoluta acumulada, en estos casos.Por otro lado, recuerde que pueden simplificar las fracciones obtenidas de lasprobabilidades solicitadas. Además, mencione que esta probabilidad es empírica,pues corresponde a la frecuencia relativa de la categoría pedida.

• En el ítem 2, recuérdeles que para verificar que su tabla está completada correc-tamente, deben fijarse que la suma de las frecuencias absolutas sea igual al tamañode la muestra, que la suma de las frecuencias relativas sea igual a 1 y también, quela suma de todas las frecuencias relativas acumuladas hasta la última categoríasean iguales a 1. Si es necesario, pueden comparar las tablas con las de otros com-pañeros, para detectar errores y corregirlos de inmediato.



136 Unidad 5

Para discutir

• ¿Es posible agrupar los datos en intervalos o clases?, ¿cómo?• ¿Cuántos pacientes tienen mediciones menores o iguales que

150 mg/dl?• Si consideramos a las personas que tienen una concentración de

colesterol en la sangre de 200 mg/dl o menos, con bajo riesgocardiovascular y las que tienen colesterol mayor, con riesgo,¿cuántas personas podrían sufrir un evento cardiovascular?

En la situación anterior, el conjunto de datos es numeroso y, además,el rango es amplio (296 – 51 = 245). En este caso y en todos aquelloscon similares características, es conveniente agruparlos y ordenarlosen intervalos o clases.

El tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valordel rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener. Si agrupamos los datos en 5 intervalos, resulta:

= = 49

Luego, cada intervalo es de amplitud 49 (tamaño del intervalo).La tabla de frecuencias correspondiente es:

Construcción de tablas para datosagrupados

Un grupo de 40 pacientes, entre 25 y 50 años, se realizaron unexamen para medir su nivel de colesterol (en mg/dl). Losresultados obtenidos fueron los siguientes:

184 115 53 174 222 156 185 78

98 80 60 177 228 189 181 194

120 78 100 258 190 166 207 200

184 198 191 175 214 211 206 199

199 206 218 51 296 155 195 96

Glosario rango: diferencia entre el mayory menor valor de una variable.

296 – 515

2455

Nivel decolesterol

F. absoluta (f i)

F. absoluta acumulada(Fi)

F. relativa (hi)

51 - 100 9 9 9 : 40 = 0,225

101 - 150 2 11 2 : 40 = 0,05

151 - 200 19 30 19 : 40 = 0,475

201 - 250 8 38 8 : 40 = 0,2

251 - 300 2 40 2 : 40 = 0,05

Datos y azar 137

Actividades

1. En un centro comercial, se consultó la edad a todas las personas que entrabanentre las 12:00 h y 12:30 h. Los resultadosobtenidos fueron los siguientes:

a) Construye una tabla de frecuenciascuyos datos estén agrupados en ocho intervalos.

b) Del total de personas encuestadas, ¿cuántas personas tienen entre 31 y 40 años?c) Del total de personas encuestadas, ¿cuántas personas tienen 60 o menos años?d) ¿Cuál es la probabilidad de, que al elegir al azar a una persona consultada, esta tenga entre

11 y 20 años?

2. Los datos que a continuación se presentan corresponden al número de llamadas telefónicas queun grupo de personas realiza durante el día.

0, 1, 2, 4, 3, 5, 10, 6, 13, 9, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 6, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 12, 7, 11, 3, 20

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cuatro intervalos.b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?c) ¿Cuántas personas hicieron entre 0 y 5 llamadas?d) ¿Cuántas personas hicieron 17 llamadas o menos?e) ¿Cuál es la probabilidad que una persona realice más de 17 llamadas diarias?

• Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango es muy amplio,es usual presentarlos agrupados y ordenados en intervalos o clases.

• La amplitud o tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener.

No olvides que...

Unidad 5

Después de construir la tabla, observamos que 11 pacientes tienenmediciones iguales o menores que 150 mg/dl. En este caso, usamosla frecuencia absoluta acumulada.

Por otro lado, 10 personas tienen más de 200 mg/dl, es decir, un25% de los pacientes examinados tiene riesgo de sufrir un eventocardiovascular. En este caso, usamos la frecuencia relativa.

15 73 1 65 16 3 42

36 42 3 61 19 36 47

30 45 29 73 69 34 23

22 21 33 27 55 58 17

4 17 48 25 36 11 4

54 70 51 3 34 26 10




• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en formamanual […] a partir de diversos contextos […].


Para discutir ActividadesÍtems 1 y 2: analizar. Ítems 1 y 2: analizar, representar, interpretar Ítem 3: analizar y calcular. y calcular.


ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de la actividad inicial propuesta en el Texto es mostrar a los y las estudiantes,que en determinados casos resulta necesario agrupar los datos en intervalos para poderresumirlos y analizarlos de una manera óptima, debido a la cantidad de datos que tienela muestra, o porque el rango de los datos es muy amplio.

Sería conveniente que junto con sus estudiantes, confeccionen una tabla similar a la pre-sentada en el Texto, definiendo una cantidad de intervalos distinta a la allí propuesta.

De esta forma, los alumnos y alumnas observarán que para un mismo caso es posibleobtener distintas soluciones.


• En los ítems 1 y 2, recuerde a sus estudiantes que deben ser cuidadosos en el con-teo de datos correspondientes a cada categoría, pues errores de este tipo provocaránresultados incorrectos en toda la tabla.

• En los ítems 1 y 2, podría ocurrir que sus estudiantes formen intervalos de distintaamplitud, indíqueles que la cantidad de intervalos está propuesta en el Texto (8 y4, respectivamente). Además, es posible que sus alumnos y alumnas incluyan datosen dos categorías, límites de los intervalos. Para evitar este tipo de inconvenientesrecuerde a sus estudiantes que los intervalos deben ser de igual magnitud, a excep-ción de los datos extremos en algunas situaciones especiales.

Por otro lado, para evitar confusiones, procure que sus alumnos y alumnas nodefinan intervalos del tipo a - b, b - c, c - d, por ejemplo.


Para evitar confusiones, es conveniente que considere lo siguiente:

• El rango de un conjunto de datos corresponde a la diferencia numérica entre eldato de mayor valor y el de menor valor.

• La amplitud de un intervalo se obtiene dividiendo el rango por el número de in-tervalos que se quieren.

• En una tabla de frecuencias, la amplitud de los intervalos debe ser igual. En al-gunos casos, el primer y último intervalo tienen una amplitud diferente.

• De una tabla de frecuencias también se puede obtener otro tipo de información,como las medidas de tendencia central, que se estudiarán en páginas siguientes.


De refuerzo

1. La profesora jefe del 8º Básico de un colegio de Calama hizo un estudio sobre la edadde las mamás de sus alumnos y alumnas, obteniendo los siguientes resultados:

a) Construye una tabla de frecuencia cuyos datos estén agrupados en 5 intervalos,partiendo del intervalo 28 – 32.

b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?, ¿cómo lo obtuviste?c) ¿Cuántas mamás tienen entre 33 y 37 años?d) ¿Cuántas mamás tienen entre 43 o más años?e) ¿Qué porcentaje de mamás tienen entre 33 y 42 años?f) Si escoges a una mamá al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga 37 años

o menos?

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, interpretar y calcular).

De profundización

1. Los siguientes datos corresponden a un estudio realizado por una compañía detelefonía móvil entre los trabajadores de una empresa, sobre la cantidad de minu-tos que ocupan mensualmente en sus teléfonos móviles.

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en 8 interva-los, partiendo de 50 min.

b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?, ¿cómo lo supiste?c) ¿Cuántas personas hablaron menos de 300 min mensuales?d) ¿Qué porcentaje de personas habló entre 200 min y 249 min?e) Si escoges una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que hable entre 400

min y 449 min mensuales?

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, interpretar y calcular).


107 120 279 125 446 305 256204 115 120 446 347 276 324169 118 135 440 412 235 388100 224 116 401 375 321 10582 325 227 237 386 125 57

109 209 308 238 392 170 115108 206 421 431 291 402 260210 310 407 302 178 274 449

46 31 36 41 4930 45 46 29 3631 36 48 36 3632 45 46 42 4647 49 47 45 4548 44 49 44 36


138 Unidad 5

Para discutir

• ¿Es posible determinar un puntaje “representante” de cadaintervalo?, ¿cuál es ese valor?

• Utilizando el “representante” de cada intervalo, ¿puedes calcularel promedio de puntaje obtenido en el cuestionario por los y lasestudiantes?, ¿cómo lo harías?

• ¿En qué categoría se encuentra el promedio obtenido?

Media aritmética para datos agrupados

La siguiente tabla de distribución de frecuencias muestra lapuntuación obtenida por 1500 estudiantes de 5º a 8º Básico enuna encuesta de 65 preguntas acerca de su desempeño duranteel año.

Como podemos observar en la situación anterior, los datos estánagrupados en intervalos. Para calcular el promedio en estos casos,primero, se busca un representante de cada intervalo o clase. Esterepresentante es el promedio de los extremos del intervalo, y seconoce como marca de clase. Observa y verifica los valores obtenidos:

Luego, el promedio se calcula sumando los productos de cadamarca de clase por su frecuencia absoluta respectiva (cantidad dealumnos y alumnas), y dividiendo por el total de estudiantes, es decir:

= = 22,67

Entonces, el promedio es 22,67. Esto significa que, en promedio, los alumnos y las alumnas consideran que su nivel de desempeño es “regular”.

Categoría Muy bajo Bajo Regular Bueno Muy bueno Sobresaliente

Puntaje 0 - 10 11 - 21 22 - 32 33 - 43 44 - 54 55 - 65

Frecuenciaabsoluta

350 400 420 200 80 50

Categoría Muy bajo Bajo Regular Bueno Muy bueno Sobresaliente

Puntaje 0 - 10 11 - 21 22 - 32 33 - 43 44 - 54 55 - 65

Marca de clase 5 16 27 38 49 60

Frecuenciaabsoluta

350 400 420 200 80 50

5 • 350 + 16 • 400 + 27 • 420 + 38 • 200 + 49 • 80 + 60 • 501500

34 0101500

Datos y azar 139

Actividades

• La marca de clase de una tabla para datos agrupados en intervalos corresponde al promediode los extremos del intervalo.

• Podemos calcular la media aritmética (x ) para datos agrupados, sumando todos los productosde marca de clase con la frecuencia absoluta respectiva y su resultado dividirlo por el númerototal de datos, es decir:

x =

• Para datos agrupados la media aritmética que se obtiene al calcular corresponde a unaestimación de la media aritmética real.

No olvides que...

1. Los datos que se muestran a continuación corresponden a la cantidad de horas diarias que ungrupo de personas utiliza Internet.

4, 2, 5, 7, 6, 6, 4, 3, 5, 10, 7, 8, 8, 4, 2, 4, 12, 13, 3, 111, 12, 8, 10, 9, 13, 2, 2, 1, 4, 5, 8, 9, 4, 2, 10, 12, 13, 5, 8

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en tres intervalos.b) ¿Cuántas personas usan Internet 10 horas diarias, o menos?c) ¿En promedio cuántas horas usan Internet al día?

2. Los alumnos y las alumnas de 8º Básico realizaron una prueba de 24 preguntas. En la siguientetabla aparece el número de respuestas correctas obtenidas.

a) Completa la tabla de frecuencias.b) ¿Cuántos alumnos y alumnas tuvieron 14 o menos respuestas correctas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno o alumna tenga 20 o más respuestas correctas?d) Calcula e interpreta la media aritmética.

Unidad 5

suma (marca de clase • frecuencia absoluta)total de datos

Nº de respuestascorrectas

Marca de clase

(f i) (Fi) (hi) (Hi)

0 - 4 3

5 - 9 8

10 - 14 15

15 - 19 15

20 - 24 4

Total estudiantes:




• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en formamanual […] a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética […]en estos casos.

• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando me-didas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan.


Para discutirÍtem 1: analizar y calcular.Ítem 2: recordar, analizar y justificar.Ítem 3: analizar.


ActividadesÍtems 1 y 2: analizar, representar, interpretar y calcular.

ACTIVIDAD INICIAL

La actividad inicial presentada en el Texto tiene como propósito introducir a los y lasestudiantes en el concepto y cálculo de la media aritmética para datos agrupadosen intervalos. El cálculo de la media aritmética es familiar para los estudiantes, puesya han lo han visto en cursos anteriores, para datos no agrupados, además, conti-nuamente suelen calcular su promedio de notas en las distintas asignaturas.

En esta parte de la Unidad ampliarán sus conocimientos previos, aprendiendo a cal-cular la media aritmética en este tipo de casos.

Para iniciar este tema, podría mostrarles un ejemplo simple del cálculo e inter-pretación de la media aritmética en datos que no estén agrupados en intervalos.


• En el ítem 1, recuerde a sus estudiantes que deben ser cuidadosos en el conteo dedatos que realizarán para cada categoría, pues errores de este tipo producen resul-tados incorrectos en el cálculo de la media y en la construcción de la tabla de fre-cuencias. Además, podrían formar intervalos de diferente amplitud, obteniendotambién resultados erróneos. Para evitar este tipo de inconvenientes, recuerde a susestudiantes que los intervalos deben ser de igual magnitud en los casos planteados,y verifique que cada uno de sus estudiantes haya definido bien cada uno de estos.

• En el ítem 2, los alumnos y alumnas se podrían confundir y calcular la media aritméticacon la frecuencia absoluta acumulada, en vez de la frecuencia absoluta. Evite esteposible inconveniente, recordando que esta medida de tendencia central se obtienecon las frecuencias absolutas. Por otro lado, puede que sus estudiantes se compliquenal momento de analizar el resultado obtenido. Ayúdelos con algunos ejemplos de in-terpretación relacionados con la situación presentada en la actividad.


Una forma de analizar la información que nos entrega un conjunto de datos es uti-lizando las medidas de tendencia central. Ellas son media aritmética, moda y mediana.

• La media aritmética es el promedio entre todos los valores de la variable y se calculasumando todos estos y dividiendo por el número total de ellos.

• Si los datos están organizados en una tabla de frecuencias, la media aritméticase calcula sumando los productos de la variable por la frecuencia correspondiente,y dividiendo por el tamaño de la muestra. Si además los datos están agrupadosen intervalos, el promedio se calcula sumando los resultados de la multiplicaciónentre cada marca de clase y su correspondiente frecuencia absoluta y dividiendo

por el total de datos, en donde la marca de clase de un intervalo es el promediode los extremos del intervalo.

• La media aritmética tiene diversos comportamientos, dependiendo de los datosde la muestra o población de estudio. Estas características las pueden visualizarfácil y rápidamente con una planilla de cálculos como Excel, ya que pueden variaralgunos datos de un conjunto y verán cómo se altera la media aritmética.

• La media aritmética solo puede determinarse en datos cuantitativos, ya que noes posible determinar un valor numérico a categorías o atributos.


De refuerzo

1. En una librería se hizo un estudio sobre la cantidad de libros de ciencia ficción quese venden durante 25 días.

4 17 12 23 4223 53 24 56 3935 45 36 44 4847 37 8 36 4551 26 58 24 16


b) ¿Qué porcentaje de personas compraron menos de 20 libros?c) Calcula e interpreta la media aritmética.

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar, analizar y calcular).


Cantidadde libros

Marcade clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

0 - 9

10 - 19

20 - 29

30 - 39

40 - 49

50 - 59


140 Unidad 5

Para discutir

• ¿Cuál es el intervalo que agrupa la menor cantidad de personal?• ¿En qué intervalo está la mayor frecuencia absoluta?• ¿Podrías estimar la edad que más se repite o representar la moda

en esta situación?, ¿cómo lo harías?

En la situación anterior, observamos que la cantidad menor depersonas tiene entre 20 a 25 años.

Por otra parte, el intervalo que presenta la mayor frecuenciaabsoluta o intervalo modal, corresponde a 32 - 37.

Para obtener la moda para datos agrupados, podemos seguir lossiguientes pasos:

1º Identificar el intervalo modal, en este caso es 32 - 37, con unafrecuencia de 45 personas.

2º Identificar las frecuencias absolutas del intervalo anterior yposterior al intervalo modal. En este caso, el intervalo anteriorcorresponde a 26 - 31, con una frecuencia de 30 personas; y elintervalo posterior a 38 - 43, con una frecuencia de 40 personas.

3º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y lafrecuencia del intervalo anterior (d1). Entonces, tenemos que, 45 – 30 = 15.

4º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y lafrecuencia del intervalo posterior (d2). Entonces, tenemos que,45 – 40 = 5.

5º Obtener el tamaño de los intervalos (t ; debe ser constante).La amplitud de los intervalos es 5.

Moda para datos agrupados

En una empresa, las edades del personal se resumen en lasiguiente tabla. Observa y completa.

Edades (en años) Marca de clase Frecuencia absoluta

20 - 25 25

26 - 31 30

32 - 37 45

38 - 43 40

44 - 49 35

50 - 55 30

Datos y azar 141

Unidad 5

• Para obtener la moda (Mo) para datos agrupados, podemos utilizar la expresión:

Mo = Li + • t

Li: extremo inferior del intervalo modal.d1: diferencia de las frecuencias del intervalo modal y del intervalo anterior.d2: diferencia de las frecuencias del intervalo modal y del intervalo posterior.t: amplitud de los intervalos.

• Para datos agrupados la moda que se obtiene al calcular corresponde a una estimación de la moda real.

No olvides que...

6º Obtener el número que representa el extremo inferior delintervalo modal (Li ). En el ejemplo es 32.

Luego, el cálculo de la moda (Mo) se puede obtener por mediode la expresión:

Mo = Li + • t

En la situación anterior, el valor aproximado de la modacorresponde a 36, ya que:

Mo = 32 + • 5 = 35,75

Esto significa que una estimación de la edad más repetida por elpersonal de la empresa es de 36 años.

Actividades

1. A continuación, se muestra el promedio obtenido en Matemática por los alumnos y las alumnasde un curso: 4,4 5,5 5,0 4,9 5,9 6,0 4,2 6,8 7,0 6,1 7,0 3,7 4,5 4,8 6,3 4,1, 3,45,3 5,0 6,0 2,6 3,8 4,0 2,0 5,6 6,7 6,0 4,9 3,3 7,0 6,3 5,0

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cinco intervalos. b) Determina la media aritmética y moda. Interpreta los valores obtenidos.

2. Las estaturas de los y las estudiantes de un 8º Básico se resumen en la siguiente tabla. Complétala.

• Calcula e interpreta la media aritmética y la moda.

d1

d1 + d2

d1

d1 + d2

1515 + 5

Estatura (m) Frecuencia absoluta Marca de clase1,40 - 1,47 3

1,48 - 1,55 12

1,56 - 1,63 22

1,64 - 1,71 6

1,72 - 1,79 2




• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma ma-nual […] a partir de diversos contextos y determinación de la […] moda en estos casos.

• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usandomedidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan.


Para discutir ActividadesÍtems 1 y 2: analizar. Ítem 1: analizar, representar, interpretarÍtem 3: recordar, interpretar y justificar. y calcular.

Ítem 2: calcular e interpretar.


ACTIVIDAD INICIAL

La actividad inicial presentada en el Texto tiene como propósito introducir a los y lasestudiantes en el cálculo e interpretación de la moda para datos agrupados en intervalos. El cálculo de la moda es familiar para los estudiantes, ya que en años anteriores han calculado la moda para conjuntos de datos que no están agrupadosen intervalos.

En esta parte de la Unidad ampliarán sus conocimientos previos, aprendiendo a cal-cular la moda en este tipo de datos.

Para introducir a los alumnos y alumnas en este tema, podría mostrarles un ejemplosimple del cálculo de la moda en datos que no estén agrupados en intervalos.


• En los ítems 1 y 2, podría ocurrir que los alumnos y alumnas calculen la moda deforma incorrecta, porque no comprenden la fórmula de esta. Para evitar este tipode inconvenientes, antes de la actividad recuérdeles a qué corresponde cada valorde dicha fórmula. Si es preciso, anote la fórmula en la pizarra para que sus estu-diantes la visualicen y no se confundan. Además, se podrían confundir con las pri-oridades de las operaciones. Para evitar esta dificultad, indíqueles cuáles son estasprioridades y, en particular, cuál es el orden de los procedimientos que debenaplicar para calcular la moda. Luego, sería conveniente que ejemplifique con otrosdatos numéricos cómo obtener la moda, cuál es el orden que deben seguir, y porotro lado, qué procedimientos son incorrectos.


Una forma de analizar la información que nos entrega un conjunto de datos, es uti-lizando las medidas de tendencia central. Ellas son media aritmética, moda y mediana.

• La moda, como medida de tendencia central, corresponde al valor de una variableque se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Cuando se trabajacon datos agrupados en intervalos, la moda que se obtiene es una estimación de la moda real, la cual se consigue directamente del conjunto de datos sin agru-par en intervalos.

• Es posible que en datos sin agrupar en intervalos se presenten dos modas (bi-modal) o más (multimodal). En el caso de datos agrupados en intervalos, esto noocurre, ya que solo es una estimación de la moda real.

• Para que la media aritmética y la moda sean representativas del conjunto de datosque se está estudiando, es fundamental que estas se obtengan utilizando unbuen método de muestreo. Más sobre esto aparece en las próximas páginas.


De refuerzo

1. La siguiente tabla resume la cantidad de reclamos que recibe una empresa detelefonía fija durante 316 días.


b) Calcula e interpreta la moda. c) Calcula e interpreta la media aritmética.d) ¿Cuántos días se recibieron 16 o más reclamos?e) ¿Cuántos días se recibieron menos de 26 reclamos?f) ¿Qué porcentaje de los días se realizaron entre 21 y 25 reclamos?

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar, calcular y analizar).

De profundización

1. Los siguientes datos corresponden a los puntajes obtenidos por 50 personas enun test de habilidades.

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en 6 intervalos.b) Calcula e interpreta la media aritmética y la moda. c) ¿Cuántas personas se encuentran en el intervalo con mayor puntaje?, ¿a qué

porcentaje corresponde?

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar, calcular y analizar).


102 110 130 140 132 128 126 112 106 144104 112 136 106 144 132 142 132 116 146106 114 106 116 146 150 142 148 118 128108 116 108 118 128 142 144 106 106 114110 118 110 112 120 152 150 108 108 116

Cantidadde reclamos

Marcade clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

1 - 5 32

6 - 10 44

11 - 15 51

16 - 20 89

21 - 25 70

26 - 30 30


142 Unidad 5

Para discutir

• ¿Qué información se necesita en este caso?• ¿Existe una forma de obtener la información necesaria?, ¿cuál?• Si se realizara una investigación respecto de los efectos

posvacunación, ¿es posible estudiar a toda la población vacunada?,¿por qué?

En el caso anterior, para pedir las vacunas se necesita saber lacantidad total de población que hay en Chile, entre los 0 y 4 años, y mayor que 65 años.

Existe un estudio a través del cual podemos obtener estainformación: el Censo.

En Estadística, se conoce como Censo al recuento de todos losindividuos que conforman una población. Un caso particular es elCenso de población y vivienda, cuyo objetivo es determinar elnúmero de personas que componen un grupo (normalmente todoel país). En él se realiza la enumeración de los habitantes de un paíspor sexo, edad, distribución geográfica y características socio-económicas. En Chile, se realiza aproximadamente cada 10 años.

A su vez, hay otros tipos de situaciones que necesitan deinformación que no es entregada por el Censo. En ciertos casos, noes necesario, o bien, no es posible estudiar a toda la población encuestión, pues sería muy costoso. En estos casos se toma unamuestra de la población para llevar a cabo el estudio y, a partir desus características, se deduce el comportamiento de la población.

Censo y muestreo

El Ministerio de Salud está planificando unacampaña de vacunación contra un virusrespiratorio. Debe pedir vacunas allaboratorio, pero no sabe cuántas encargar.Se considera que la población de mayorriesgo son los niños entre 0 y 4 años, y losadultos mayores de 65 años.

Datos y azar 143

Actividades

1. Pía controla dos máquinas embotelladoras (A y B), en una fábrica de bebidas. Los estándares decalidad establecen que cada botella debe contener 660 cc de bebida, con una desviación de 5 cc.Cada día se envasan 2160 botellas, organizadas en lotes de 40 botellas, cada uno.

a) ¿Cómo puede Pía garantizar que se están cumpliendo los estándares de calidad?, ¿es conveniente analizar diariamente las 2160 botellas?, ¿por qué?

b) Pía decide que, para validar que se estén cumpliendo los estándares de calidad, seleccionaráuna muestra de dos botellas de cada lote producido. Observa:

• Calcula la media aritmética y moda de las muestras de cada máquina. Interpreta losresultados obtenidos en cada caso. ¿Qué le recomendarías a Pía?

• El Censo es un estudio que permite conocer la cantidad de habitantes que pertenece a unapoblación, y sus características.

• Cuando las poblaciones son muy grandes y se quieren estudiar solo algunas de suscaracterísticas, se selecciona una muestra y, a partir de sus características, se deduce elcomportamiento de la población. Dicha muestra debe ser representativa de la población.

• La representatividad de una muestra no tiene que ver, necesariamente, con el tamaño deesta, sino con la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.

No olvides que...

Unidad 5

Tabla de frecuencias Máquina A Tabla de frecuencias Máquina B

cc 650 652 658 660 658 659 660 661

Frecuencia absoluta 17 27 6 4 1 19 23 11

En esta actividad, deberán utilizar Internet para averiguar información respecto del Censo 2002.Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. Investiguen acerca de la información que pueden obtener a partir del Censo 2002. Para ello,ingresen a la página web del INE: www.ine.cl y en Microdatos, Censos de Población, Censo 2002,Datos Tabulados, allí pueden acceder a los datos del estudio. Identifiquen tres variablesobservadas y comenten situaciones donde podría ser de utilidad manejar dicha información.

2. Seleccionen una muestra representativa para calcular e interpretar la media aritmética y la moda,respecto del nivel de instrucción de la población y el último curso aprobado.

3. Propongan un plan para los casos donde la información no se puede obtener del Censo.

En equipo




• Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experi-mentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificaciónde casos.


Para discutir ActividadesÍtems 1 y 2: analizar. Ítem 1: analizar, calcular e interpretar.Ítem 3: analizar y justificar.


A 32 31 29 30 31

B 28 30 28 31 27

C 25 23 23 23 26

D 32 30 32 31 32

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto, es introducir a los y las estudian-tes en el estudio del censo y muestreo. Para ello se presenta una situación que escomún para sus estudiantes, ya que continuamente escuchamos en los medios de co-municación sobre campañas de vacunación para prevenir diversas enfermedades. Porejemplo, en invierno el Ministerio de Salud realiza campañas de vacunación contra lainfluenza estacionaria, en donde la población de riesgo, niños y los adultos mayores,es vacunada gratuitamente.

Para motivar a sus alumnos y alumnas, converse sobre las características y objetivosde un censo poblacional, cuáles son sus ventajas y desventajas, cómo se realiza elcenso, cada cuánto tiempo se realiza, para qué sirve, entre otros.

Puede acceder a más información en: www.ine.cl/cd2002/index.php


• En el ítem 1, es posible que sus estudiantes se confundan con la estructura de latabla de frecuencias, ya que estas aparecían anteriormente por columnas, y eneste caso aparecen por fila. Acláreles que se tomó una muestra de 54 botellas decada máquina. Las frecuencias absolutas presentadas corresponden a la cantidadde botellas que tienen cierta capacidad (en centímetros cúbicos), para cada una delas máquinas. Por otro lado, enfatice en que el cálculo de la media aritmética y lamoda se debe realizar a cada máquina por separado, y no a la tabla completa.

• En la actividad en equipo, verifique que sus estudiantes accedan a la página websolicitada; es la que aparece más arriba (www.ine.cl/cd2002/index.php). Luego,deben seleccionar: una Región, Provincia, Comuna, Población y, finalmente, hacerclic en “Abrir”.


Es importante que tenga presente lo siguiente:

• Una muestra se toma cuando la población es muy grande y no es posible realizar unestudio con todos los integrantes de esta. Es importante que la muestra se escojacorrectamente, pues de lo contrario, las conclusiones obtenidas no serán represen-tativas de la población.

• Puede comentarles a sus estudiantes los siguientes aspectos históricos relaciona-dos con la Estadística: en el año 2000 a. C., en China ya se realizaban estudios es-tadísticos relacionados con el censo de la población. Por otro lado, los romanos,cada cinco años, realizaban un recuento de la población, que consideraba canti-dad de nacimientos, defunciones, ganado, entre otros datos.


De refuerzo

1. Se quiere determinar el porcentaje de calcio presente en 4 marcas de yogur. Paraesto se tomó una muestra de 5 cajas de cada marca. Se supone que el porcentajepromedio de calcio es 31,6%. Los resultados de la muestra son:

a) Determina la moda de cada marca. Explica los resultados obtenidos.b) Determina la media aritmética de cada marca. Explica los resultados obtenidos.c) Según los resultados y conclusiones obtenidas, ¿qué marca de yogur

comprarías?

(Habilidades que desarrolla: interpretar, calcular y analizar).

De profundización

1. Utiliza Internet para averiguar información sobre el Censo 2002, ingresando a lapágina web del Instituto Nacional de Estadísticas (INE): www.ine.cl/cd2002/index.php.

a) Selecciona información sobre Viviendas, indicando la Región, la Provincia, laComuna, el tipo de información, para una comuna.

b) Indica el tipo de variable que se estudia.c) Realiza un resumen de la información que aparece y coméntala con el resto

del curso.

(Habilidades que desarrolla: representar, seleccionar y analizar).



144 Unidad 5

Para discutir

• ¿Cómo representarías la información en gráficos?• ¿Cómo interpretarías la información que los gráficos entregan?• ¿Qué pasos crees que debes seguir para realizar una encuesta que

te permita obtener conclusiones?

Análisis de encuestas

Los profesores de educación física de un colegio, que tiene un totalde 1200 estudiantes, decidieron realizar un sondeo sobre loshábitos deportivos de sus alumnos y alumnas. Elaboraron una pautapara diseñar la encuesta y sacar conclusiones de ella.

Se encuestó a 120 alumnos y alumnas escogidos al azar. Observa losresultados que se muestran en las tablas y complétalas.

Edad (años) Marca de clase (f i) (Fi) (hi) (Hi)

5 - 8 22

9 - 12 17

13 - 16 39

17 - 20 42

Distribución de los alumnos y alumnas por edad

Horas Marca de clase (f i) (Fi) (hi) (Hi)

2 - 6 56

7 - 11 29

12 - 16 23

17 - 21 12

Cantidad de horas semanales que destinan a hacer ejercicios

Actividad (f i) (Fi) (hi) (Hi)

Andar en bicicleta 48

Jugar fútbol 21

Trotar 24

Nadar 12

Otro 15

Actividad deportiva preferida

Datos y azar 145

Unidad 5

La información recolectada en las tablas anteriores se puederepresentar en los siguientes gráficos. Observa:

De los gráficos anteriores, podemos interpretar que: la mayor partede los alumnos y alumnas encuestados es mayor de 12 años; lamayoría de los y las estudiantes dedica 11 horas o menos a laactividad deportiva, y solo el 10% realiza por lo menos 17 horas deejercicios; la actividad preferida por los alumnos y alumnas es andaren bicicleta.

Para diseñar una encuesta que te permita recolectar información,interpretarla y sacar conclusiones, en primer lugar, debes establecerlos objetivos de estudio y la población a quien está dirigida; luego,seleccionar una muestra representativa de la población. En segundolugar, plantear un cuestionario que responda a los objetivos deestudio y recolectar la información en tablas. En tercer lugar,representar en gráficos la información obtenida e interpretarlos.

Por último, presentar las conclusiones del estudio.

10

20

30

40

50

5 - 8 9 - 12 13 - 16 17 - 20Años

Nº de estudiantes

10

20

30

40

50

60

2 - 6 7 - 11 12 - 16 17 - 21Horas

Nº de estudiantes

Tiempo en horas que dedicansemanalmente al deporte

Edad de los y las estudiantes

• Las encuestas aplicadas a una muestra son una manera útil de obtener información cuandono podemos acceder a ella desde el total de la población.

• Los pasos que se recomiendan para realizar una encuesta son:

1º Establecer objetivos, población y muestra.2º Plantear un cuestionario que responda a los objetivos de estudio y agrupar los datos en

tablas de frecuencias.3º Representar la información en gráficos e interpretarlos.4º Presentar las conclusiones.

No olvides que...

Actividad deportiva preferida

4821

2412

15

Bicicleta

OtrosNadarTrotar

Fútbol




• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la informaciónque ella entrega.


Para discutirÍtem 1: representar.Ítem 2: interpretar.Ítem 3: analizar.


ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto es mostrar a los y las estudiantescómo se analiza una encuesta y la información que podemos extraer de ella. Para ello,se presenta una situación relacionada con los hábitos deportivos de una muestra de120 estudiantes de un colegio, donde la población es 1200 estudiantes. La informa-ción se agrupa en tres tablas de frecuencias: edad de los alumnos y alumnas, horas se-manales que destinan a hacer ejercicios y su actividad deportiva favorita. Además, lainformación recopilada es resumida en dos gráficos de barras y uno circular.

Es importante que sus alumnos y alumnas completen las tablas de frecuencias queaparecen en el texto, también que expliquen los diversos gráficos presentados, la in-formación que proporcionan y establezcan en conjunto, las principales conclusionesdel estudio estadístico planteado.

Para complementar la información que aparece en el Texto, plantee a sus estudianteslo siguiente:

• ¿Qué otros aspectos relacionados con el deporte podrías preguntar en una en-cuesta?, ¿cómo lo harías?

• Construyan, en sus cuadernos, para las dos primeras tablas, gráficos circulares ypara la tercera tabla, un gráfico de barras.


• Los gráficos nos permiten obtener información de forma ordenada y resumidasobre las variables en estudio. Los gráficos más utilizados son:

Gráfico de barras: es un diagrama con barras rectangulares, cuya altura de cadabarra indica la frecuencia absoluta de cada valor de la variable. Las barras puedenestar orientadas de forma horizontal o vertical. Estos gráficos se usan para com-parar dos o más valores. Este gráfico sirve para representar variables cualitativasy cuantitativas.

Gráfico circular: es un gráfico formado por un círculo dividido en sectores. Se uti-liza para representar cualquier tipo de frecuencia aunque, generalmente, se uti-liza para frecuencias relativas porcentuales. Este gráfico sirve para representarvariables cualitativas y cuantitativas.

Histograma: es un gráfico cuya altura es proporcional a la frecuencia absoluta,frecuencia relativa o frecuencia porcentual, y la base está formada por segmen-tos cuyos extremos representan los extremos de cada intervalo. Este gráfico sirvepara representar variables cuantitativas.

Polígono de frecuencias: se obtiene al unir los puntos medios de los intervalosrepresentados por cada barra en un histograma, es decir, al unir la marca de clasede cada intervalo mediante una línea poligonal.

• La elección del gráfico más adecuado para representar cierto tipo de variable,dependerá de si esta es cualitativa o cuantitativa. Generalmente:

• Para analizar e interpretar información debemos tener presente el contexto en elque se desarrolla determinada situación, ya que de ello dependerá si nuestrosanálisis y conclusiones son acertadas y coherentes.

• Es importante obtener información de medios de comunicación confiables, puesellos permitirán encontrar datos verdaderos en distintos contextos. En Internetpodemos encontrar mucha información, pero debemos ser cuidadosos con ella,ya que muchos sitios la entregan en forma imprecisa o errónea.


De refuerzo

1. Realiza una encuesta en tu curso sobre los lugares favoritos para vacacionar(playa, campo, lago, montaña, etc.) y las actividades que realizan durante esteperíodo (nadar, andar en bicicleta, visitar lugares turísticos, leer, hacer excursiones,etc.). Luego, sigan las siguientes instrucciones:

a) Diseñen un cuestionario que responda a los objetivos del estudio.b) Recopilen la información en tablas de frecuencias.c) Representen la información en gráficos e interprétenlos.d) Presenten las conclusiones al resto del curso.

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar y analizar).

De profundización

1. Realiza una encuesta a 50 personas sobre su fruta favorita y la cantidad de estasque consumen al día. Luego, sigue las siguientes instrucciones:

a) Diseña un cuestionario que responda los objetivos del estudio.b) Recopila la información en tablas de frecuencias.c) Representa la información en gráficos e interprétalos.d) Presenta las conclusiones al resto del curso.

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar y analizar).


Variable Cualitativa Cuantitativa discreta Cuantitativa continua

GráficoCircular

Gráfico de barras

Circular

Polígono de frecuencias

Histograma

Polígono de frecuencias


Actividades

1. Los siguientes resultados fueron obtenidos de la Sexta Encuesta Nacional de Juventud, 2009(Instituto de la Juventud, Gobierno de Chile) y se refieren a la realidad juvenil del país. Observalas tablas y responde las preguntas relacionadas.

A.

B.

a) ¿Qué tramo etario tiene mayor presencia entre los jóvenes que estudian?, ¿por qué?b) ¿Existe una brecha entre la juventud urbana y rural que estudia?, ¿por qué?c) ¿Quién tiene mayor nivel de endeudamiento entre los jóvenes? Justifica tu respuesta.d) ¿Entre qué edades se encuentran los jóvenes con mayor endeudamiento?, ¿por qué crees

que puede ocurrir?

146 Unidad 5

Grupos de edad(años)

% de jóvenes que estudian

15 – 19 79,9%

20 – 24 44,5%

25 – 29 19,8%

Zona % de jóvenes que estudian

Urbano 51,5%

Rural 36,4%

Jóvenes que hoy estudian, según edad y localidad

Sexo

Hombre Mujer

Sí 48,5% 54,2%

No 48,2% 40,6%

No responde 3,3% 5,2%

Situación de endeudamiento, según sexo y edad

Edad

15 - 19 20 - 24 25 - 29

Sí 16,7% 50,8% 57,6%

No 69,9% 45,7% 40,0%

No responde 13,3% 3,5% 2,4%

Fuente: www.fundacionfuturo.cl, consultado en enero de 2010.

En esta actividad deberán investigar sobre las actividades realizadas durante el tiempo libre y eltiempo dedicado a ello. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. Inventen un nombre para su encuesta. Luego, establezcan los objetivos de esta.2. Determinen a quiénes está dirigido el estudio. Seleccionen una muestra de, al menos

40 personas. Indiquen la fecha en que se realizó la encuesta.3. Diseñen un cuestionario que responda los objetivos del estudio. Este puede considerar aspectos

como: edad, sexo, días que dedica para ocio, etc. Previo a su aplicación, se deben mencionarlas posibles respuestas. Indiquen cómo se llevó a cabo: por teléfono, Internet o cara a cara.

4. Recolecten y ordenen la información obtenida en tablas de frecuencias, indicando el nombre decada una.

5. Representen la información en gráficos, interpretando la información que ellos entregan.6. Presenten las conclusiones al resto del curso.

En equipo

Datos y azar 147

Unidad 5

En esta actividad deberás usar una planilla de cálculo para construir tablas de frecuencias con datosagrupados en intervalos. Sigue las instrucciones.

1º Escribe en A1 Datos, en B1 Intervalos, en C1 Marca de clase, en D1 Frecuencia Acumulada,en E1 Frecuencia absoluta y en F1 Frecuencia relativa.

2º Ingresa los siguientes datos en la columna Datos, que corresponden al número de pasajerosque en los últimos días tomó un bus de Santiago a Puerto Montt.

3º Selecciona todos los datos desde A2 hasta A43; ordénalos de menor a mayor, haciendo

clic en . 4º Observa que el dato menor es 48, y el mayor es 102. Por lo tanto, el rango es 54. Agrupa los

datos en 6 intervalos. Cada intervalo es de amplitud 9. Escribe en la columna Intervalos, lasclases correspondientes partiendo por 45 - 54; en la columna Marca de clase, escribe lainformación correspondiente.

5º Con la ayuda de una función, determinaremos la frecuencia absoluta acumulada de cadaintervalo. Para el intervalo 45 - 54, haz un clic en la celda D2 y escribe la función:=CONTAR.SI(A2:A43; “<55”), luego, presiona enter. Para el intervalo 55 - 64, haz clic en lacelda D3 y escribe la función: =CONTAR.SI(A2:A43; “<65”), luego, presiona enter. Repite elprocedimiento hasta el último intervalo.

6º La frecuencia absoluta de cada clase se puede calcular restando las frecuencias acumuladasconsecutivas. Por ejemplo, la frecuencia del intervalo 95 - 104 es igual a la frecuenciaacumulada de dicho intervalo, menos la frecuencia acumulada del intervalo anterior; es decir:42 – 39 = 3. Así, hasta obtener la frecuencia de cada intervalo.

7º Para calcular la frecuencia relativa de cada intervalo, haz clic en F2 y escribe la función: =E2/42, luego, presiona enter. Selecciona la celda F2, anda a su vértice inferior derecho, y cuando aparezca una cruz negrita, arrastra hasta la celda F7. Así, deberían aparecer todos los resultados correspondientes. Deberías obtener:


68 71 77 83 79 80 48

72 74 57 67 69 84 102

50 60 75 66 76 91 80

70 84 59 75 94 101 63

65 72 85 79 71 86 69

83 84 74 82 97 51 78




• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando me-didas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ella entrega.

• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, […] medianteherramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la mediaaritmética y la moda en estos casos.


Actividades En equipoÍtem 1: analizar, justificar e interpretar. Representar, identificar, analizar

e interpretar.



• En el ítem 1, es conveniente que analicen en conjunto las tablas y puedan sacarconclusiones de ellas. Si lo estima conveniente, puede buscar otro tipo de en-cuestas en la página web: www.fundacionfuturo.cl, en la opción Banco deEncuestas y, luego, en Buscador de Encuestas, seleccione la encuesta que es desu interés para trabajar con sus estudiantes.

• En la actividad En equipo, es importante que los y las estudiantes tengan algunosdías para realizarla, podría darles como plazo de entrega una semana. Esta activi-dad podrían desarrollarla en forma de ensayo. Finalmente, pueden presentar lasconclusiones al resto del curso.

• La actividad Herramientas tecnológicas, es conveniente que la realice antes dela clase que trabajará con sus estudiantes, de este modo, estará más preparado/apara las preguntas que puedan surgir. Recuerde que al digitar cada función, esfundamental que aparezca el signo “=” para que se ejecute; por ejemplo, paradeterminar el promedio de los datos que se encuentran desde la celda A2 hastala celda A43 debe digitar:

=PROMEDIO(A2,A43)


En Excel se puede calcular el promedio, la moda y la mediana. Para mostrar cómose aplican estas funciones estadísticas, se utilizarán como ejemplo las estaturas de10 personas.

Antes de comenzar, escriba en B1 “Altura” y, luego, ingrese las siguientes alturas:1,54; 1,86; 1,74; 1,86; 1,66; 1,70; 1,88; 1,59; 1,63; 1,77.

1. Para calcular el promedio, ubicarse en B12y pulsar sobre el comando Insertar fun-ción. Seleccionar la categoría Estadísticasy la función Promedio. Luego, pulsar enAceptar. Seleccionar los datos correspon-dientes a las celdas B2 a B11 y, luego,Aceptar. En la celda B12 aparecerá elpromedio de las alturas.

2. Para calcular la moda, ubicarse en B13 y pulsar sobre el comando Insertar fun-ción. Seleccionar la categoría Estadísticas y la función Moda. Luego, pulsar enAceptar. Seleccionar los datos correspondientes a las celdas B2 a B11 y, luego,Aceptar. En la celda B13 aparecerá la moda de las alturas.

3. Para calcular la mediana, ubicarse en B14 y pulsar sobre el comando Insertarfunción. Seleccionar la categoría Estadísticas y la función Mediana. Luego, pul-sar en Aceptar. Seleccionar los datos correspondientes a las celdas B2 a B11 y,luego, Aceptar. En la celda B14 aparecerá la mediana de las alturas.

En la imagen se encuentran los resultados obtenidos para este caso.


De refuerzo

1. Utiliza una planilla de cálculo para la siguiente actividad:Las estaturas (en metros) de los 25 integrantes de un equipo de básquetbol son:

a) Construye una tabla de frecuencias dividiendo la información en 3 intervalosy sigue las instrucciones dadas en las páginas 147 y 148 del Texto.

b) Calcula la moda y la media aritmética del conjunto de datos. Luego, interpretalos valores obtenidos.

c) ¿Cuál es la estatura mínima?, ¿y cuál es la máxima?

(Habilidades que desarrollan: aplicar, usar herramientas, calcular, interpretary analizar).


1,78 1,82 1,79 1,84 1,96

1,81 1,91 1,94 1,90 1,88

1,80 1,87 1,92 1,89 1,89

1,81 1,92 1,89 1,86 1,91

1,83 1,85 1,88 1,79 1,86


148 Unidad 5

8º Para determinar el promedio, haz clic en una celda que esté en blanco, por ejemplo en G1 yescribe la función: =PROMEDIO(A2:A43). Luego, presiona enter.

9º Para determinar la moda, haz clic en una celda que esté en blanco, por ejemplo en G2 yescribe la función: =MODA(A2:A43). Luego, presiona enter.

Luego de realizar los pasos anteriores, haz la siguiente actividad en una nueva planilla de cálculo.

1. Los siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 60 alumnos y alumnas de un colegiode Concepción:

2. Escribe en A1 Datos, en B1 Intervalos, en C1 Marca de clase, en D1 Frecuencia Acumulada,en E1 Frecuencia absoluta y en F1 Frecuencia relativa.

3. Ingresa la información en la columna Datos. Luego, selecciónalos desde A2 hasta A61 y

ordénalos de menor a mayor, haciendo clic en .4. Calcula el rango para agrupar los datos en 7 intervalos. Escribe en la columna Intervalos, las

clases correspondientes. En la columna Marca de clase, escribe la información correspondiente.5. Determina la frecuencia absoluta acumulada de cada intervalo. Por ejemplo, si el primer

intervalo es 34 - 41, debes ingresar, en la celda D2, la función: =CONTAR.SI(A2:A43; “<42”) y presionar enter. Repite el procedimiento hasta el último intervalo.

6. Calcula la frecuencia absoluta de cada intervalo, restando las frecuencias acumuladas decada clase y la anterior, salvo la primera.

7. Calcula la frecuencia relativa de cada intervalo, haciendo clic en F2 y escribiendo la función:=E2/60, luego, presiona enter. Selecciona la celda F2, anda a su vértice inferior derecho ycuando aparezca una cruz negrita, arrastra hasta la celda F7. Así, deberían aparecer lasfrecuencias relativas correspondientes.

8. Determina el promedio haciendo clic en la celda G1 y escribe la función:=PROMEDIO(A2:A61). Luego, presiona enter.

9. Finalmente, determina la moda haciendo clic en la celda G2 y escribe la función:=MODA(A2:A61). Luego, presiona enter.

10. En tu cuaderno, interpreta los resultados obtenidos en los puntos 8 y 9. Determina einterpreta la frecuencia relativa porcentual de cada intervalo.

45 74 81 49 56 50 59 80 75 60

51 36 66 52 67 54 56 44 63 85

40 85 59 50 60 41 52 57 64 79

38 72 48 62 70 39 50 67 50 59

55 70 39 55 73 80 65 77 55 56

69 65 38 54 82 50 63 74 54 43

Mi progreso

Unidad 5

Datos y azar 149


Analizar una tabla de frecuencias con datos agrupados. 1

Determinar la media aritmética de una tabla con datos agrupados. 2

Determinar la moda de una tabla con datos agrupados. 3

Construir una tabla con datos agrupados y analizarla. 4


1. En una clase de Educación Física, los alumnos y las alumnas del 8ºA, 8ºB y 8ºC realizaron una carreradesde el colegio hasta una plaza cercana, ida y vuelta. Los profesores de la asignatura registraron eltiempo de llegada de cada estudiante, y organizaron la información en la siguiente tabla:

• ¿Qué porcentaje de los y las estudiantes tardó 31 minutos o menos en llegar?

A. 20% C. 53%B. 27% D. 73%

2. En la situación anterior, ¿en promedio, cuántos minutos tardaron en llegar a la meta?

A. 27 min aprox. B. 47 min aprox. C. 25 min aprox. D. 37 min aprox.

3. En la tabla presentada en el ítem 1, el valor aproximado de la moda corresponde a:

A. 28,6 min B. 25,3 min C. 26,6 min D. 26 min

4. En una empresa hay 280 trabajadores. Para realizar un estudio respecto del nivel de satisfacción delpersonal, se consideró una muestra que es igual al 10% de la población. Los resultados de laencuesta se expresan y se muestran a continuación:

4, 12, 15, 20, 25, 2, 6, 18, 20, 23, 11, 5, 16, 232, 9, 13, 19, 25, 24, 15, 3, 6, 6, 10, 20, 21, 30

a) Construye una tabla de frecuencias, agrupando los datos en cuatro intervalos.b) Si las categorías de los intervalos son: “No conforme”, “Medianamente conforme”,

“Conforme” y “Muy conforme”, ¿qué porcentaje de trabajadores se encuentra “Muy conforme”?c) Determina e interpreta la media aritmética y la moda.



Tiempo de llegada(minutos)

Nº alumnos yalumnas

10 - 20 28

21 - 31 74

32 - 42 38




• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, us-ando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información queella entrega.

• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, […] mediante

herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y la moda en estos casos.


Herramientas tecnológicasAplicar, usar herramientas, calcular, interpretar y analizar.




• Se sugiere que esta actividad se realice en forma individual, o en parejas, segúnla disponibilidad de computadores que tenga su colegio. Además, es importanteque el primer ejemplo que presenta el Texto se realice en forma simultánea portodo el curso junto con su ayuda, y que el segundo ejercicio sea realizado demanera autónoma, pero permitiendo la realización de preguntas al profesor y elapoyo entre los alumnos y alumnas.

• Por otro lado, es importante que los alumnos y alumnas sean cuidadosos y orde-nados en el desarrollo de esta actividad, ya que ubicar o seleccionar mal los datos,produce resultados incorrectos.

• Permita que sus estudiantes exploren la planilla de cálculo y descubran nuevasfunciones que les permiten obtener los mismos resultados, utilizando un métodoalternativo. Es conveniente que compartan sus procedimientos y respuestas conel curso. Al final de la actividad, es fundamental que realicen una revisión indi-vidual y colectiva del trabajo realizado.


De refuerzo

1. Utiliza una planilla de cálculo para realizar la siguiente actividad.En una academia de ballet están preocupados por el Índice de Masa Corporal(IMC) de sus bailarinas. Los rangos normales van desde 18,5 hasta 24,9. Porello, se calculó el IMC a las 60 bailarinas de la academia. Los resultados son lossiguientes:

a) Construye una tabla de frecuencias dividiendo la información en 4 intervalos;luego, sigue las instrucciones dadas en las páginas 147 y 148 del Texto.

b) Calcula la moda y la media aritmética del conjunto de datos. Luego, interpretalos valores obtenidos.

c) ¿Qué puedes concluir sobre el IMC de estas bailarinas?

(Habilidades que desarrollan: aplicar, usar herramientas, calcular, interpretary analizar).




Mi progresoÍtems 1, 2, 3: analizar y calcular.Ítem 4: aplicar, representar, calcular, interpretar y analizar.


• En los ítems 1, 2 y 3, sus estudiantes deben marcar la alternativa correcta, estodificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es convenienteque les pida que realicen los pasos al lado de cada pregunta, ya que si hay erroresen el desarrollo, será más sencillo detectarlos y corregirlos.

• En el ítem 2, para evitar confusiones entre sus estudiantes, recuerde que debencalcular la media aritmética de datos agrupados en intervalos, y no sumar las fre-cuencias absolutas y dividir por el total.

• En el ítem 3, para evitar confusiones entre sus estudiantes, recuerde que debencalcular la moda de datos agrupados en intervalos y no buscar la categoría quetiene mayor frecuencia.

• En el ítem 4, es importante que sus estudiantes noten que cada intervalo tieneuna categoría asignada dependiendo del puntaje obtenido. Si lo estima conve-niente, permítales utilizar calculadora para facilitar los cálculos.

En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podráplantear a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

253 Unidad 5 – Datos y azar


4

Representa e interpreta correctamentela tabla de frecuencias, y calcula lamedia aritmética y la moda, justificacada uno de sus pasos.

Representa e interpreta correctamentela tabla de frecuencias, y calcula lamedia aritmética y la moda, sin justificar todos sus pasos.

Representa e interpreta erróneamentealguna de las frecuencias, confundiendo la media aritmética o la moda.

Representa e interpreta erróneamentealguna de las frecuencias, confundiendo la media aritmética ytambién la moda.


19,5 18,3 17,7 18,8 18,1 19,5 18,3 17,7 18,8 18,1 19,5 18,3

20,3 19,1 16,9 18,4 17,9 18,4 19,1 16,9 18,4 17,9 20,3 19,1

17,3 17,9 16,7 18,6 18,3 17,3 17,9 16,3 18,1 18,3 17,3 17,9

19,1 18,4 17,3 18,4 17,7 19,1 18,4 17,3 18,4 17,7 18,6 18,4

18,8 19,3 18,6 17,7 18,2 18,8 19,3 18,6 17,7 18,2 18,8 19,3


Usos deInternet

Entretención Trabajo ComprasBúsquedas deinformación

Frecuencia 200 360 300 140


a) ¿Cuál es la mínima edad observada?

b) ¿Cuál es la máxima edad observada?

c) Organiza la información en la siguiente tabla de frecuencias.

d) ¿Cuántas personas tienen más de 32 años?e) ¿Qué porcentaje de personas tienen más de 42 años?f) Determina e interpreta la moda de este conjunto de datos.g) Calcula e interpreta la media aritmética del conjunto de datos.

De profundización

1. Una empresa salmonera del sur de Chile está interesada en conocer la masa (enkg) de sus salmones. Para ello tomó una muestra de 50 salmones obteniendolos siguientes resultados:

a) ¿Cuál es la mínima masa observada?, ¿y cuál es la máxima?

44 36 34 38 3240 37 38 37 4232 39 33 39 3033 38 30 39 3335 45 39 37 3132 29 39 38 36

Edad(años)

Marcade clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

porcentual

28 - 32

33 - 37

38 - 42

43 - 47

TOTAL

3,9 3,2 4,5 4,1 4,22,7 2,8 3,8 3,6 3,53,3 3,3 3,3 3,7 4,23,8 2,8 3,2 2,9 3,92,8 3,1 2,7 3,8 3,63,8 3,6 3,4 4,0 3,23,9 3,2 3,2 3,8 4,03,3 3,4 2,8 3,2 2,83,6 3,5 3,2 2,8 3,34,3 3,1 4,1 3,1 4,5


De refuerzo

1. La siguiente tabla entrega los resultados de una encuesta realizada sobre los usosde Internet a un grupo de personas de entre 15 y 30 años.

Según los datos obtenidos, responde las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?b) ¿Cuál es el uso más frecuente de Internet?c) ¿Cuál es el uso menos frecuente de Internet?d) Si una de las personas encuestadas se escoge al azar, ¿cuál es la probabilidad

de que use Internet para trabajar?

2. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de personas que asisten a unbanco durante 30 días.

113 108 104 103 110

92 85 88 92 98

80 94 90 96 83

98 84 94 86 96

87 92 89 77 86

90 78 101 88 98

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en 4 interva-los, partiendo del intervalo 75 - 84.

b) Calcula e interpreta la media aritmética y la moda.

3. Una salsoteca está interesada en obtener información de la edad de sus clientespara organizar nuevas actividades y promociones. Para ello encuestaron a 30 per-sonas, obteniendo los siguientes resultados:



Edad(años)

Marcade clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

porcentual

2,6 - 3,2 2,9 19 19 0,38 38%

3,3 - 3,9 3,6 22 41 0,44 44%

4,0 - 4,6 4,3 9 50 0,18 18%

TOTAL 50 1


b) Organiza la información en la siguiente tabla de frecuencias.

c) ¿Qué porcentaje de los salmones tiene una masa menor a 4,0 kg?

d) Si escogieras uno de estos salmones al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sumasa esté entre 2,6 kg y 3,2 kg?

e) Determina e interpreta la media aritmética y la moda de este conjunto de datos.


De refuerzo

1. a) 1000 personas. c) Búsqueda de información.b) Trabajo. d) 36%

2. a)

b) x– = 92,5; Mo = 90,4

3. a) 29 años. b) 45 años.

c)

d) 23 personas. e) 7% f) Mo = 38,4 g) x– = 36,33

De profundización

1. a) 2,7 kg y 4,5 kgb)

c) 82% d) 38% e) x– = 3,476 ; Mo = 3,2

Edad(años)

Marcade clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

porcentual

2,6 - 3,2

3,3 - 3,9

4,0 - 4,6

TOTAL

Cantidad depersonas

Marca de claseFrecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

porcentual

75 - 84 79,5 5 0,17 17%

85 - 94 89,5 14 0,47 47%

95 - 104 99,5 8 0,27 27%

105 - 114 109,5 3 0,1 10%

Edad(años)

Marcade clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

porcentual28 - 32 30 7 7 0,23 23%

33 - 37 35 10 17 0,33 37%

38 - 42 40 11 28 0,37 37%

43 - 47 45 2 30 0,07 7%

TOTAL


150 Unidad 5

Para discutir

• La situación anterior, ¿es un experimento aleatorio?, ¿por qué?• Si clasificaras los autos por color, ¿cuántas categorías existirán?• Si clasificaras los autos por el número de puertas, ¿cuántas

categorías existirán?• Si quisiera clasificar los autos por color y número de puertas,

¿cuántas categorías existirán?

Efectivamente, la situación que observó Camila corresponde a unexperimento aleatorio, pues si bien sabe cuál puede ser el color delauto que pasará o su número de puertas, no sabe con exactitudcómo será el auto.

Si solo observa el color, el conjunto de posibles resultados o espaciomuestral es = �rojo, azul, verde, gris�. En consecuencia, el tamañodel espacio muestral es 4.

Si solo observa el número de puertas, el espacio muestral es = �3, 4, 5�. En consecuencia, el tamaño del espacio muestral es 3.

Si observa color y número de puertas, conviene realizar undiagrama de árbol, para determinar el tamaño muestral, como semuestra a continuación:

Si contamos el total de ramas, vemos que hay 12, es decir, hay 12 maneras de clasificar un auto por color y por número de puertas.

Entonces, el tamaño del espacio muestral en ese caso es 12.

Observa que 12 es igual a 4 • 3, donde 4 es la cantidad de colores deautos y 3 la cantidad de categorías para el número de puertas.

Espacio muestral y principiomultiplicativo

Camila se encuentra en una plaza mirando el color de los autosque van pasando. Los colores que observa son: rojo, azul, verdey gris. También mira el número de puertas que cada auto tiene,y nota que pueden ser de 3, 4 ó 5 puertas.

3

4

5

3

4

5

3

4

5

3

4

5

Rojo Azul Verde Gris

Ayuda

Recuerda que aquellassituaciones en que no sepuede predecir con certezacierto resultado se denominanexperimentos aleatorios.

Datos y azar 151

Actividades

1. Describe los espacios muestrales de cada uno de estos experimentos e indica su tamaño.

a) Las patentes con letras TBPR, seguidas del dígito 5.b) Las patentes con letras TBPR, seguidas del dígito 2 ó 3.c) Lanzar dos dados, uno rojo y uno verde.d) Lanzar dos dados simultáneamente y sumar sus puntos.

2. Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que: puede levantar los cimientos deconcreto o block de cemento; las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo; el techopuede ser de concreto o lámina galvanizada; y por último, los acabados los puede realizar de unasola manera. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?, ¿cómo lo supiste?

3. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras dedoble sentido. ¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al C y de regreso al pueblo A?Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.

4. En el casino de una Universidad a la hora de almuerzo se ofrece un menú con plato de fondo,bebida o jugo y postre. Las opciones del plato de fondo son: arroz con carne, puré con pollo olegumbre. De postre puede ser: helado, jalea, flan o fruta.

a) ¿Cuántas opciones de menú se pueden escoger?b) ¿Cuáles son todas las posibilidades de menú? Anótalas en tu cuaderno.

• El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento se llama espaciomuestral ( ).

• La cardinalidad del espacio muestral corresponde a la cantidad de elementos contenidos en él.

• El principio multiplicativo señala que si un evento puede ocurrir de m maneras distintas y esseguido por otro que puede ocurrir de n maneras distintas, entonces hay m • n maneras deque puedan ocurrir ambos simultáneamente.

No olvides que...

El procedimiento realizado se denomina principio multiplicativo,el cual establece que si un evento puede ocurrir de m manerasdistintas (en este ejemplo, 4 colores) y es seguido por otro quepuede ocurrir de n maneras distintas (en este ejemplo 3, querepresenta la cantidad de puertas), entonces hay m • n manerasde que puedan ocurrir ambos simultáneamente (en el casoanterior, 12 categorías según color y cantidad de puertas).

Unidad 5




• Identificación del conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatoriossimples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél,uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral yde los sucesos o eventos.


Para discutir ActividadesÍtem 1: analizar y justificar. Ítem 1: reconocer y calcular.Ítems 2, 3 y 4: calcular. Ítems 2, 3 y 4: calcular y justificar.


ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto tiene como propósito que losalumnos y alumnas sean capaces de determinar el número de posibilidades en diver-sos experimentos aleatorios, a través del principio multiplicativo.

Para motivar a sus estudiantes en el estudio de esta parte de la Unidad y comple-mentar la actividad propuesta en el Texto, podría utilizar fichas de diversos coloresy colocarlas en un recipiente o en una bolsa, por ejemplo: 3 fichas rojas, 2 fichasamarillas y 4 azules, y realizar el experimento aleatorio de extraer una ficha. Luego,lanzar un dado y anotar en una tabla las combinaciones de color de ficha y númerode dado que van saliendo. Repita el experimento varias veces y permítales partici-par a distintos alumnos y alumnas, para que observen que se pueden obtener diver-sos resultados. A partir de esta experiencia, explíqueles los conceptos de experimentoaleatorio, espacio muestral, su cardinalidad y principio multiplicativo.


• En el ítem 1, para los ejercicios a) y b), aclare a sus estudiantes que las patentesdeben ser aquellas con esas letras y en ese orden. Para aclarar estas actividades,puede dibujar en la pizarra lo siguiente (para ejercicio b):

Usando el principio multiplicativo: 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 10 = 10 (maneras distintas).

• En el ítem 1, para los ejercicios c), d) y e) sugiérales a sus estudiantes realizar algunatabla o diagrama de árbol para determinar los espacios muestrales y los resultadosposibles; y a la vez, que utilicen el principio multiplicativo. Ambas formas de trabajoayudarán a aclarar y a consolidar los conceptos aprendidos en esta parte de laUnidad. Por ejemplo, en la d), para sumar los puntajes obtenidos al lanzar dosdados, pueden completar una tabla como la siguiente:

En este caso, no es necesario usar principio multiplicativo, pues los posiblesresultados son:

Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

• En el ítem 2, sugiérales a sus estudiantes traducir el enunciado del ejercicio a números,para que no se confundan con toda la información que entrega el problema yapliquen posteriormente, el principio multiplicativo.

• En el ítem 3, permítales a sus alumnos y alumnas realizar algún esquema paragraficar la situación presentada; esto les ayudará a ver con claridad el problema,para luego aplicar el principio multiplicativo.

• En el ítem 4, mencione a sus estudiantes que en el ejercicio a), los alumnos debendeterminar la cantidad de resultados posibles y en el ejercicio b), listar todos losresultados posibles. Si es necesario, sugiérales que utilicen diagrama de árbolpara visualizar las posibilidades de menú.


• Un experimento aleatorio es aquel experimento en cual no se puede predecir elresultado. Los juegos de azar son un tipo de experimento aleatorio.

• Una forma de organizar los resultados obtenidos en experimentos aleatorios esa través de un diagrama de árbol. Por ejemplo, el diagrama correspondiente allanzamiento de dos monedas es:


De refuerzo

1. Indica el espacio muestral (Ω) y la cardinalidad (#) de los siguientes experimentos.Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: Lanzar una moneda: Ω = {cara, sello}, # = 2

a) Lanzar dos monedas.b) Lanzar tres monedas.c) Lanzar un dado y una moneda.d) Lanzar dos monedas y un dado.

(Habilidades que desarrolla: reconocer y calcular).


Letra Letra Letra Letra Dígito Dígito

T B P R 5 0 al 9

Posibilidades 1 1 1 1 1 10

Moneda

Cara

Sello

Cara

Sello

Sello

Cara

+ 1 2 3 4 5 61 22 43 64 85 106 12


152 Unidad 5

Para discutir

• El sorteo realizado, ¿corresponde a un experimento aleatorio?,¿por qué?

• ¿Cuál es el espacio muestral en este caso?• ¿Todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos?

En este caso, se puede decir que el sorteo realizado es unexperimento aleatorio, pues al sacar el papel sin mirar, no sabemoscuál será el resultado.

El espacio muestral de este experimento corresponde a:= �Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto, Rosita�, ya que,

son todos los posibles resultados que se pueden obtener al realizarel sorteo.

Además, en este ejemplo podemos ver que todos tienen la mismaprobabilidad de salir, por lo que ninguno de ellos se verá favorecidoo desfavorecido con el sorteo.

Cuando sucesos elementales tienen la misma probabilidad deocurrir, los llamaremos sucesos equiprobables.

Sucesos equiprobables

Seis amigos y amigas (Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto yRosita) salieron de excursión al campo, para investigar acerca dealgunos insectos. Decidieron que uno de ellos escribiría todo loobservado; para escogerlo realizaron un sorteo, que consistía enanotar el nombre de cada uno en un papel y, luego, sacar uno,sin mirar, que indicaría quién escribiría el informe.

Glosario sucesos elementales:corresponden a cada uno de losresultados de un espacio muestral.

• Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que lossucesos son equiprobables.

No olvides que...

Datos y azar 153

Unidad 3Actividades

1. Dados los siguientes experimentos, escribe el espacio muestral de cada uno y, luego, determina si sus resultados son equiprobables. Explica tu decisión.

a) Extraer, sin mirar, una bolita de una caja que contiene tres blancas y dos rojas y observar su color.

b) Lanzar una moneda.c) Escoger una persona al azar, de un curso de 20 niñas y 15 niños.d) Extraer, sin mirar, una carta de un naipe inglés y observar su pinta.e) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 3 números pares y 3 impares.

2. Romina dice: si en un experimento los sucesos elementales están en igualdad de condiciones,entonces hablamos de sucesos equiprobables. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué?

3. Carlos dice: si un experimento no es aleatorio, entonces los sucesos no tienen la mismaprobabilidad de ocurrir. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué?

Unidad 5

En esta actividad, deberán utilizar una bolsa, hojas blancas, regla, tijeras y lápices rojo, azul y amarillo.Junto a un compañero o compañera, realicen el siguiente experimento.

1. Recorten 9 rectángulos de papel de 3 cm por 5 cm.2. Pinten 3 papeles de color rojo, 2 de color azul y 4 de color amarillo. Luego, deposítenlos en la

bolsa doblados de igual forma.3. Extraigan un papelito, sin mirar. Registren en una tabla (en sus cuadernos) el color del papelito

que sacaron y obtengan su frecuencia absoluta. Vuelvan a meter el papelito en la bolsa.4. Realicen la misma extracción 50 veces, registrando los resultados obtenidos en la tabla.5. Repitan lo mismo para 100 extracciones y, luego, respondan las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?b) ¿Son equiprobables los resultados de este experimento? Expliquen.

En equipo




• Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables,a partir de la simulación de experimentos aleatorios […].


Para discutir ActividadesÍtem 1: analizar y justificar. Ítem 1: reconocer, analizar y justificar.Ítem 2: reconocer. Ítems 2 y 3: analizar y justificar.Ítem 3: analizar.


En equipoAplicar, usar herramientas, calcular, reconocer, analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial presentada en el Texto para el Estudiante, es intro-ducir el estudio de los sucesos equiprobables. Para ello, se presenta una situaciónproblemática que ilustra este tipo de eventos.

Para motivar a sus estudiantes en el estudio de esta parte de la Unidad y complemen-tar la actividad propuesta en el Texto, podría hacer papelitos con los nombres de susalumnos y alumnas, echarlos en una bolsa, y preguntarles quién creen que saldrá,quién tiene más posibilidades etc. De esta forma podrá introducirlos en el conceptode sucesos equiprobables, al concluir que todos tienen la misma probabilidad de salir.


• En el ítem 1, sugiérales a sus estudiantes realizar alguna tabla o esquema en loscasos que considere necesario, para determinar los espacios muestrales y sus resul-tados posibles y, luego, que utilicen el principio multiplicativo. Esta forma de trabajoayudará a aclarar y consolidar los conceptos aprendidos.

• En los ítems 2 y 3, pídales que busquen ejemplos para ilustrar las situacionesplanteadas, de este modo podrán obtener sus conclusiones con mayor facilidad.

• En la actividad EN EQUIPO, sus estudiantes necesitarán diversos materiales, es porello que se los debe pedir anticipadamente, para que el día de la actividad todosdispongan de los materiales y puedan realizar la experiencia sin dificultades.


• Los experimentos determinísticos son aquellos en que se conoce de antemanoel resultado.

Por ejemplo, en un laboratorio se mezclan en proporciones adecuadas hidrógenoy oxígeno, resultando agua. Se sabe de antemano el resultado, por lo tanto, esun experimento determinístico.

• Los experimentos aleatorios son aquellos que, repetidos una cierta cantidad deveces, en condiciones similares, pueden presentar resultados diferentes. En losexperimentos aleatorios no se conocen de antemano los resultados.

Por ejemplo, si se introducen bolitas en una tómbola y se extrae una, no se sabede antemano cuál va a salir, por lo tanto, este tipo de experimentos es aleatorio.


De refuerzo

1. En los siguientes experimentos, indica el espacio muestral (Ω) y si sus resultadosson equiprobables. Explica tu decisión.

a) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 10 fichas blancas, 10 fichasnegras y 10 amarillas.

b) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 9 fichas blancas y 10fichas negras.

c) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 2 fichas blancas, 2 fichasnegras, 2 azules y dos amarillas.

d) Extraer, sin mirar, una carta de un naipe inglés.e) Lanzar dos monedas.f) Lanzar tres monedas.g) Lanzar un dado y una moneda, simultáneamente.h) Lanzar dos monedas y un dado, simultáneamente.i) Lanzar dos monedas y dos dados simultáneamente.

(Habilidades que desarrolla: reconocer, analizar y justificar).

De profundización

1. Menciona 3 experimentos en que sus resultados sean equiprobables. Indica elespacio muestral.

2. Menciona 3 experimentos en que sus resultados no sean equiprobables. Justificaen cada caso.

(Habilidades que desarrollan: formular, identificar y justificar).



154 Unidad 5

Para discutir

• ¿Los resultados de la elección corresponden a sucesosequiprobables?, ¿por qué?

• ¿Podrías calcular la probabilidad de escoger a Daniela comopresidenta?, ¿cómo lo harías?

• ¿La probabilidad de que una mujer sea presidenta es de 60%?, ¿o es de 0,6?, ¿cuál es la correcta?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Cómo obtienes la probabilidad de que ocurra un suceso?, ¿sepuede expresar de diversas formas?, ¿cómo?

Como puedes observar, en la situación anterior, todos los candidatostienen la misma probabilidad de salir electos, por lo que podemosdecir que los resultados corresponden a sucesos equiprobables.

Cuando esto sucede, la probabilidad se puede obtener medianteuna fracción, donde su numerador representa el número de casosfavorables, mientras que el denominador representa a todos losposibles resultados. Por ejemplo:

• La probabilidad de escoger a Daniela de presidenta es , puescorresponde a un candidato de un total de 5.

• La probabilidad de escoger a una mujer presidenta corresponde

a , pues son 3 las mujeres, de un total de 5 candidatos.

• También podemos decir que, la probabilidad de que una mujer sea presidenta es 0,6 ó 60%, ya que entregan la mismainformación, mediante distintas representaciones: fracción,número decimal y porcentaje, respectivamente.

Regla de Laplace

En un curso se realizará la elección de presidente, entre lossiguientes candidatos:

Cada estudiante del curso puede votar por un solo candidato.

15

35

Ayuda

Una fracción se puederepresentar como númerodecimal y como porcentaje. Por ejemplo:

= 0,25 = 25%14

Datos y azar 155

Actividades

1. Dado el siguiente experimento: “poner en una caja las letras de la palabra PARALELEPÍPEDO, y sacar una”. Escribe el número de resultados favorables y el de casos totales, en cada caso.Calcula su probabilidad expresándola como fracción, número decimal y porcentaje.

a) Obtener una vocal. b) Obtener una consonante. c) Obtener una P.

2. Dado el siguiente experimento; “lanzar un dado de seis caras”. Escribe el número de resultadosfavorables y el de casos totales, en cada situación. Calcula su probabilidad, expresándola comofracción, número decimal y porcentaje.

a) Obtener un número impar.b) Obtener un número menor o igual a 5.c) Obtener un número mayor que 5.

3. De una urna donde hay 7 bolitas verdes, 5 bolitas azules y 3 bolitas rojas, extraer, sin mirar, una bolita. Calcula la probabilidad de:

a) extraer una bolita de color verde.b) extraer una bolita que no sea de color verde.c) extraer una bolita que no sea de color rojo.d) extraer una bolita que no sea de color azul.

• La probabilidad de un suceso A, se denota por P(A).

• Regla de Laplace: si en un experimento aleatorio los sucesos tienen la misma probabilidad deocurrir, es decir, son equiprobables, la probabilidad de que un suceso A ocurra se puedecalcular utilizando:

P(A) =

Ejemplo:

Al lanzar un dado de seis caras, la probabilidad de que el número sea primo es deó 0,5 ó 50%, ya que,Suceso A: obtener un número que sea primoCasos favorables: �2, 3, 5� 3 casos favorablesCasos totales: �1, 2, 3, 4, 5, 6� 6 casos totales

P(A) = = ó 0,5 ó 50%

No olvides que...

Unidad 5

número de casos favorables al suceso Anúmero de casos totales

12

36

12




• Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en unexperimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables,usando el modelo de Laplace.


Para discutir ActividadesÍtem 1: analizar y justificar. Ítems 1 y 2: analizar, calcular y representar.Ítem 2: calcular y justificar. Ítem 3: analizar y calcular.Ítem 3: analizar y justificar.Ítem 4: analizar, calcular, representar y justificar.


Carolina Jorge Isabel Felipe

18 9 8 10

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial presentada en el Texto para el Estudiante es introducira los alumnos y alumnas en el concepto de probabilidad usando el modelo de Laplace.Para ello, se presenta una situación que ilustra cómo obtener probabilidades de even-tos equiprobables.

Para complementar esta actividad, podría considerar a 2 mujeres del curso y a 2 hom-bres, anotar sus nombres en una tabla en la pizarra y preguntarles a quién escogeríancomo presidente, e ir registrando los resultados. Después de que todo el curso hayaparticipado, pregúnteles:

• Si se escoge uno de los candidatos del curso al azar, ¿cuál es la probabilidad quesea hombre?

Finalmente, haga una confrontación entre la probabilidad empírica obtenida de losresultados experimentales y la probabilidad teórica empleando el modelo de Laplace.

Por ejemplo:

Este caso, la probabilidad empírica es 40%, mientras que la probabilidad teórica es 25%.


• En el ítem 1, mencióneles a sus estudiantes que deben considerar todas las letrasde la palabra PARALELEPíPEDO, incluyendo las que se repiten.

• En el ítem 2, recuérdeles a sus alumnos y alumnas, qué es un número par y dé al-gunos ejemplos si es necesario, ya que pueden haber olvidado este concepto.

• En el ítem 3, recuérdeles a sus estudiantes que deben considerar la cantidad de boli-tas de cada color, y con esto determinar la cantidad de casos favorables y totales,ya que pueden confundirse y considerar solamente que son 3 colores, y asignar

la probabilidad de a que sea de un color determinado y a que no sea de un

color determinado.


• La probabilidad de cualquier suceso puede tomar un valor entre 0 y 1.• La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es 0.• La probabilidad de que ocurra un suceso seguro es 1.• La probabilidad de que ocurra un suceso incierto es mayor que cero y menor que 1.

23

13

• Una probabilidad se puede expresar como número decimal, fracción o porcentaje;por ejemplo, si la probabilidad de un evento es 0,3, también podemos decir que

es ó 30%.

• La Regla de Laplace se debe al científico Pierre Simon Marqués de Laplace(1749 - 1827). Su primer trabajo fue sobre la aplicación de las matemáticas en lamecánica celeste. Posteriormente, realizó investigaciones sobre la naturaleza y eluniverso. En 1812 publicó su famosa obra Teoría analítica de las probabilidades.

Laplace fue admirado por sus conocimientos, pero también fue despreciado porsu oportunismo político. Laplace dijo: “El azar no se deriva de la realidad sino dela ignorancia acerca de esa realidad y la probabilidad, su extensión matemática”.


De refuerzo

1. Una caja contiene 6 botones azules, 5 botones verdes y 4 botones amarillos. Sise extrae un botón al azar, calcula la probabilidad de:

a) obtener un botón verde.b) obtener un botón amarillo.c) obtener un botón azul.

2. Una letra de la palabra MATEMATICA es elegida al azar. Determina la probabili-dad de seleccionar:

a) una A.b) una E.c) una C.

(Habilidad que desarrollan: calcular).

De profundización

1. Se escriben los números del 1 al 15 en tarjetas. Las 15 tarjetas se mezclan ycolocan hacia abajo. Se elige una tarjeta al azar. Determina la probabilidad de quela tarjeta elegida sea:

a) par.b) mayor que 8.c) menor que 10.d) divisor de 20.e) primo.

(Habilidad que desarrolla: calcular).

310



156 Unidad 5

En esta actividad deberán usar una planilla de cálculo para simular el lanzamiento de un dado. Sigue lassiguientes instrucciones.

1º Seleccionar la secuencia Herramientas - Complementos -Herramientas para análisis; haz clic en Aceptar.

2º Selecciona nuevamente Herramientas y, luego, en lasecuencia , Análisis de datos - Generación de númerosaleatorios, haz clic en Aceptar. Aparecerá una tabla en la que simularemos el lanzamiento de un dado.

3º En Número de variables debes poner 1, al igual que enCantidad de números aleatorios, pues estamos simulando el lanzamiento de un dado.

4º En Distribución debes seleccionar Uniforme; esto significaque los sucesos son equiprobables.

5º En Parámetros, anota entre 1 y 6, pues son los valores que se pueden obtener al lanzar el dado.6º En Opciones de salida, selecciona Rango de salida y escribe A1 (como se observa a

continuación), que corresponde a la celda de la planilla donde quedará el dato.7º Finalmente, haz clic en Aceptar. Observa que el número obtenido no es entero, por lo tanto

debemos utilizar una función que redondee el número, de tal forma que aparezca 1, 2, 3, 4,5 ó 6. Escribe la siguiente función en la celda B1: =REDONDEAR(A1;0). A1 corresponde a lacelda donde está el número que queremos redondear, y 0 es la cantidad de decimales queconsideramos; en nuestro caso, necesitamos solo números enteros. Luego, presiona enter.Aparecerá el número equivalente al lanzamiento de un dado. Por ejemplo:

8º Repite el mismo procedimiento para simular más lanzamientos, pero en Rango de salida escribe A2, A3, …, hasta A20. Además, redondea cada número obtenido, cambiando la celda donde está el número a redondear. Por ejemplo: =REDONDEAR(A2;0), hasta B20.Obtendrás algo similar a la imagen de la derecha.

Luego de realizar los pasos anteriores, construye, en tu cuaderno, una tabla de frecuencias paraesta situación y responde:

a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es 3?, ¿cuál es la probabilidad deque salga 3?, ¿se relacionan ambos valores?

b) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?, ¿los resultados son equiprobables?, ¿por qué?c) En una nueva planilla repite el mismo procedimiento hasta las celdas A50 y B50. ¿Qué sucede

con la frecuencia relativa y la probabilidad en cada caso?

Herramientas tecnológicas Mi progreso

Unidad 5


Identificar el espacio muestral en un experimento aleatorio. 1

Determinar la cardinalidad de un espacio muestral. 2

Analizar situaciones donde los resultados pueden o no serequiprobables.

3

Identificar el espacio muestral, su cardinalidad y calcular laprobabilidad de una situación.

4


1. El espacio muestral del experimento aleatorio: “lanzar una moneda (C: cara, S: sello) y un dado deseis caras”, es:

A. = �C1, S2, C3, S4, C5, S6�B. = �C, S, 1, 2, 3, 4, 5, 6�C. = �C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6�D. = �C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6, C, S�

2. Considera el experimento: “lanzar un dado dos veces”. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?

A. 4 B. 11 C. 12 D. 36

3. Determina si en cada experimento los sucesos son equiprobables. Explica tu decisión.

a) Lanzar un dado dos veces y sumar los resultados.b) Lanzar una moneda al aire.c) Sacar, sin mirar, una bola de una urna que tiene 2 bolas rojas, 2 azules y 2 blancas.d) Escoger una persona al azar, de un curso con 15 niños y 15 niñas.

4. Eduardo tiene 5 poleras de distintos colores (amarilla, azul, blanca, negra y roja) y tres pantalones:uno negro, uno café y uno gris. El fin de semana asistirá a una fiesta y no sabe qué ropa elegir.

a) ¿Cuántas tenidas puede escoger?, ¿cuáles son?b) Si escoge una tenida al azar, ¿cuál es la probabilidad que salga polera blanca y pantalón gris?,

¿cómo lo supiste?



Datos y azar 157




• Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables,a partir de la simulación de experimentos aleatorios mediante el uso de herramien-tas tecnológicas.

HABILIDADES QUE DESARROLLAN CON:

Herramientas tecnológicasAplicar, usar herramientas, identificar, calcular y justificar.


Puntuación 1 2 3 4 5 6

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa


• Se sugiere que esta actividad se realice en forma individual o en parejas, según ladisponibilidad de computadores que tenga su colegio. Además, es importante queel primer ejemplo que presenta el texto sea realizado en forma simultánea por todoel curso con su ayuda, y que el segundo ejercicio sea realizado de manera másautónoma, pero permitiendo la realización de preguntas al profesor y el apoyo entrelos alumnos y alumnas.

• Es conveniente que realice esta actividad, a modo de prueba, antes de llevarla acabo con sus alumnos y alumnas.

• Es importante que los alumnos y alumnas comprendan que los números aleatorioscambian cada vez que se abre el archivo; además sus estudiantes obtendrán resul-tados diferentes, por lo tanto sus frecuencias relativas también serán distintas.

• Permita que sus estudiantes exploren la planilla de cálculo y descubran nuevasfunciones que les permitan obtener los mismos resultados, utilizando un métodoalternativo. Además, es bueno que compartan sus descubrimientos con el curso. Al final de la actividad, es fundamental que realicen una revisión individual ycolectiva del trabajo realizado.


De refuerzo

1. Utiliza una planilla de cálculo para realizar el lanzamiento de un dado 40 veces.Luego, completa la tabla y responde:

a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es 6?, ¿cuál es laprobabilidad de que salga 6?, ¿se relacionan ambos valores?

b) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es par?, ¿cuál es la probabilidad de que salga par?, ¿se relacionan ambos valores?

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, calcular e identificar).




Mi progresoÍtem 1: reconocer. Ítem 3: analizar, identificar y justificar.Ítem 2: calcular. Ítem 4: calcular, identificar y justificar.


• En el ítem 1 y 2, podría ocurrir que sus estudiantes no distingan todos los elementosdel espacio muestral. Para ayudarlos, sugiérales que realicen un esquema o una tablade doble entrada para representar todos los resultados posibles, o bien, con un dia-grama de árbol. De esta forma podrán responder correctamente con mayor facilidad.

• En el ítem 3, para evitar confusiones entre sus estudiantes, recuerde qué significaque los sucesos sean equiprobables.

• En el ítem 4, recuérdeles a sus estudiantes el principio multiplicativo para determinartodos los casos posibles y con esto puede determinar la probabilidad pedida. Para de-terminar las posibles tenidas, pueden dibujar un diagrama de árbol en sus cuadernos.

Al término de la evaluación formativa es fundamental que realice una revisión indi-vidual para que conozca las realidades de cada estudiante, y pueda corregirlas.




3Identifica correctamente los sucesosequiprobables, justificando cada unode sus pasos.

Identifica correctamente los sucesosequiprobables, sin justificar todos sus pasos.

Identifica erróneamente uno de los sucesos equiprobables, sin justificartodos sus pasos.

Identifica erróneamente dos o mássucesos equiprobables, sin justificar sus pasos.

4Identifica y calcula correctamente lastenidas y la probabilidad, justificandocada uno de sus pasos.

Identifica y calcula correctamente lastenidas y la probabilidad, sin justificartodos sus pasos.

Calcula correctamente el número detenidas, pero confunde la probabilidad.

Calcula erróneamente todas las tenidas y confunde la probabilidad.



5. Se lanzan 3 monedas simultáneamente.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?, ¿cuál es su tamaño?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo sellos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras?

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más un sello?

f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos?

6. Alicia tiene una caja con 15 dulces de chocolate, 12 dulces de miel y 18 dulcesde anís. Si Alicia elige un dulce al azar, determina la probabilidad de que saque:

a) un dulce de anís.

b) un dulce de chocolate.

c) un dulce de miel.

d) un dulce que no sea de chocolate.

e) un dulce que no sea de miel.

f) un dulce que no sea de anís.

g) un dulce que sea de miel o chocolate.

h) un dulce que sea de anís o chocolate.

De profundización

1. Se lanzan 4 monedas simultáneamente.


b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de una cara?

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro sellos?

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más tres sellos?

f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras?

g) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y dos sellos?



De refuerzo

1. Describe los espacios muestrales en cada caso e indica su tamaño.

a) Vania quiere ir al cine con un amigo y una amiga. Si tiene 4 amigos (Luis, Pablo,Hernán y José) y 3 amigas (Ana, Pía, Marta), ¿de cuántas formas puede ir acompañada?

b) Carolina tiene una fiesta y quiere elegir con qué ropa irá. Si tiene 5 poleras (P1,P2, P3, P4, P5), 3 pantalones (T1, T2, T3) y 2 pares de zapatillas (Z1, Z2), ¿decuántas maneras diferentes se podría vestir?

c) Un equipo de fútbol debe elegir su ropa deportiva para el próximo año. Unaempresa ofrece 4 marcas distintas de zapatos de fútbol (Z1, Z2, Z3, Z4), 2 po-leras (P1, P2) y 3 pantalones (T1, T2, T3). ¿Cuántas combinaciones de ropa sepueden formar?

d) Para mejorar la alimentación de niños y niñas, un jardín infantil ofrece para elalmuerzo 2 platos distintos (A1, A2), 2 postres diferentes (P1, P2) y 2 tipos dejugos (J1, J2). ¿De cuántas maneras se puede formar un almuerzo en estejardín infantil?

2. Un dado de seis caras es lanzado. Calcula las siguientes probabilidades:

a) obtener un número impar.

b) obtener un número mayor que 2.

c) obtener un 3 ó 6.

3. Dos monedas son lanzadas simultáneamente. Lista todos los resultados posiblesy determina la probabilidad de obtener:

a) dos sellos.

b) un sello y una cara.

c) ningún sello.

d) al menos un sello.

4. Una letra de la palabra DEMOCRACIA es elegida al azar. Determina la probabilidadde seleccionar:

a) una M. d) una R. g) una D o E o M.

b) una O. e) una A. h) una S.

c) una C. f) una I.



2. Se lanzan dos dados simultáneamente, uno rojo y otro verde, y se multiplicansus puntuaciones.


b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo?

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 3?

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar?

f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 18?

g) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número al cuadrado?

3. Se lanza un dado y una moneda.


b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar en el dado?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello?

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara en la moneda y un número par en el dado?

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello en la moneda y un número mayor que 2 en el dado?


De refuerzo

1. a) Ω = {Luis Ana, Luis Pía, Luis Marta, Pablo Ana, Pablo Pía, Pablo Marta, Hernán Ana, Hernán Pía, Hernán Marta, José Ana, José Pía, José Marta}. Tamaño 12.

b) Ω = {P1 T1 Z1, P1 T1 Z2, P1 T2 Z1, P1 T2 Z2, P1 T3 Z1, P1 T3 Z2, P2 T1 Z1, P2T1 Z2, P2 T2 Z1, P2 T2 Z2, P2 T3 Z1, P2 T3 Z2, P3 T1 Z1, P3 T1 Z2, P3 T2 Z1,P3 T2 Z2, P3 T3 Z1, P3 T3 Z2, P4 T1 Z1, P4 T1 Z2, P4 T2 Z1, P4 T2 Z2, P4 T3Z1, P4 T3 Z2, P5 T1 Z1, P5 T1 Z2, P5 T2 Z1, P5 T2 Z2, P5 T3 Z1, P5 T3 Z2,}.Tamaño 30.

c) Ω = {Z1 P1 T1, Z1 P1 T2, Z1 P1 T3, Z1 P2 T1, Z1 P2 T2, Z1 P2 T3, Z2 P1 T1, Z2P1 T2, Z2 P1 T3, Z2 P2 T1, Z2 P2 T2, Z2 P2 T3, Z3 P1 T1, Z3 P1 T2, Z3 P1 T3,Z3 P2 T1, Z3 P2 T2, Z3 P2 T3, Z4 P1 T1, Z4 P1 T2, Z4 P1 T3, Z4 P2 T1, Z4 P2T2, Z4 P2 T3}. Tamaño 24.


d) Ω = {A1 P1 J1, A1 P1 J2, A1 P2 J1, A1 P2 J2, A2 P1 J1, A2 P1 J2, A2 P2 J1, A2P2 J2}. Tamaño 8.

2. a) b) c)

3. Cara: C, Sello: S. Ω = {CS, CC, SC, SS}a) 0,25 b) 0,5 c) 0,25 d) 0,75

4. a) 10% b) 10% c) 20% d) 10% e) 20% f) 10% g) 30% h) 0%

5. Cara: C, Sello: S.a) Ω = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}. Tamaño 8.

b) c) d) e) f)

6. a) 40% b) 33,3% c) 27% d) 67% e) 73,3% f) 60% g) 60% h) 73,3%

De profundización

1. Cara: C, Sello: S.a) Ω = {CCCC, CCCS, CCSC, CCSS, CSCC, CSCS, CSSC, CSSS, SCCC, SCCS,

SCSC, SCSS, SSCC, SSCS, SSSC, SSSS}. Tamaño 16.

b) 0,38 c) 0,69 d) 0,06 e) 0,94 f) 0,25 g) 0,38

2. a) Ω = {1 • 1, 1 • 2, 1 • 3, 1 • 4, 1 • 5, 1 • 6, 2 • 1, 2 • 2, 2 • 3, 2 • 4, 2 • 5, 2 • 6, 3 • 1, 3 • 2, 3 • 3, 3 • 4, 3 • 5, 3 • 6, 4 • 1, 4 • 2, 4 • 3, 4 • 4, 4 • 5, 4 • 6, 5 • 1,5 • 2, 5 • 3, 5 • 4, 5 • 5, 5 • 6, 6 • 1, 6 • 2, 6 • 3, 6 • 4, 6 • 5, 6 • 6}. Tamaño: 36.

b) 75% c) 17% d) 56% e) 25% f) 22% g) 22%

3. Cara: C, Sello: S.a) Ω = {C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6}. Tamaño 12.

38

12

18

78

18

13

23

12

b) c) d) 25% e)13

12

12



Loreto se está preparando para correr en una competencia anual de su colegio. Para ello,investigó sobre la vida de Felipe, el ganador del último año. La información que obtuvo es la siguiente:

¿Cuál o cuáles de estos gráficos le sirven a Loreto para su preparación física?


Los gráficos corresponden a aspectos de la vida de Felipe.

• ¿Qué debes encontrar?Seleccionar aquellos gráficos cuya información le sirva a Loreto.


Debemos interpretar cada gráfico y sacar conclusiones de ello.

Resolver• Interpretamos cada uno de los gráficos.

En el gráfico 1, observamos que cada lunes, Felipe entrena 1 hora 40 minutos. Los martes, 2 horas con 5 minutos; los miércoles 2 horas y media; los jueves 3 horas con 20 minutos, y los viernes, 2 horas y media.El gráfico 2, nos dice que el 57% de los días de una semana, es decir 4 días, Felipe duerme 8 horas; el 29% de los días duerme 10 horas, que equivale a dos días; y un 14% de los díasduerme 7 horas, es decir un día de la semana.El gráfico 3, nos dice que Felipe tiene 2 hermanos, uno de 10 y otro de 8 años, y unahermana de 5 años.

Responder• Los gráficos 1 y 2 le sirven a Loreto para imitar a Felipe y comenzar a entrenar. En cambio,

la información obtenida del gráfico 3 no es relevante para su preparación.

158 Unidad 5

Tiempo en minutos que entrenadiariamente

Horas que duerme diariamente

Edad de sus hermanos

50

108

5100

150

200

Tiempo (minutos)

Día

10 horas (29% de los días)

Lune

s

Martes

Miércol

esJue

ves

Vierne

s

7 horas (14% de los días)

57% de los díasduerme 8 horas

Edad

Hermanos

Unidad 5

Revisar• Para comprobar las interpretaciones de los gráficos 1 y 2, puedes utilizar calculadora

cuando sea necesario.

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver la siguiente situación.

Álvaro necesita información sobre la frecuencia con la que leemos los chilenos. Para obtenerla,recurre a la “Encuesta de Consumo Cultural”, realizada a 600 personas mayores de 18 añospor El Mercurio / Opina, en diciembre de 2009. De allí obtuvo la siguiente información:

• ¿Cuál o cuáles gráficos le sirven a Álvaro para conocer cada cuánto leemos los chilenos?


3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimientoque utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es el más simple?, ¿por qué?

Ana está realizando un estudio comparativo sobre la deserción escolar en Chile a través de losaños. Recurrió al estudio “Estadísticas de Educación, Cultura y Medios de Comunicación”,realizado por el Ministerio de Educación en el año 2008. Allí encontró lo siguiente:

• ¿Cuál gráfico le sirve a Ana para averiguar sobre la deserción escolar?

Datos y azar 159

¿Usted lee libros?¿Usted asiste a obras de teatro?

Alumnos matriculados en la educaciónregular (Incluye educación de adultos)

Alumnos matriculados en la educación regularpor sexo en el año 2007

Asistencia al teatro(Nº veces)

No ha asistido en los últimos12 meses

No recuerda en los últimos12 meses

1 vez

De 2 a 5 veces

6 o más vecesNº de personas

100

200

300

400

500

Frecuencia (Nº)

Nº de personas

Período mayor

Una vez al mes

Una vez por semana

Casi todos los días

Todos los días

30

60

90

120

150

4 250 0004 300 0004 350 0004 400 0004 450 0004 500 0004 550 000

20032004 2006

2005 2007

Nº de alumnos

Año

Nº de alumnos

Región

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII R.M.

100 000200 000

0

300 000400 000500 000600 000700 000800 000

1 000 000900 000

Hombres Mujeres




• Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experi-mentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificaciónde casos.


Buscando estrategiasÍtem 1: analizar, aplicar y seleccionar.Ítems 2 y 3: analizar, aplicar, seleccionar y justificar.




A través del problema presentado en el Texto se pretende que sus estudiantesapliquen parte de los contenidos aprendidos en la Unidad y, además, desarrollenhabilidades propias de la resolución de problemas.

El problema planteado en el Texto tiene como objetivo que los alumnos y alumnasaprendan a leer e interpretar información proveniente de diversos tipos de gráficos.Para ello, se muestra la información que proporciona cada uno de los gráficos y se de-termina de cuáles se pueden extraer conclusiones relevantes, según el problemaplanteado, en este caso, obtener información sobre la vida de Felipe, en cuanto a susactividades cotidianas, dado que fue el ganador de la última competencia del colegiodonde también está Loreto. Con este análisis se puede determinar que son relevanteslos gráficos que están relacionados con el tiempo de entrenamiento diario y las horas que duerme diariamente. Sin embargo, el gráfico sobre las edades de loshermanos de Felipe no proporciona información relevante para que Loreto se preparepara correr en la competencia de su colegio.

Es importante que mencione a sus estudiantes que un mismo problema puede serresuelto de distintas maneras. La estrategia presentada en el Texto es solo una formade dar solución a las preguntas planteadas. El procedimiento detallado y ordenadoes fundamental en la resolución de problemas, ya que permite razonar sobre lo queestamos realizando y además es menos probable cometer errores.


De refuerzo

1. Los robos en un supermercado del país se han triplicado entre los años 2008 y2009. ¿Cuál de los siguientes gráficos permite extraer información al respecto?

(Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y verificar).






• Copia el problema.• Identifica palabras clave.• Interpreta mal parte del problema.• Tiene alguna idea acerca de la respuesta.








por qué.• Relaciona conceptos con conocimiento y









no razonable.




Robos en supermercado entre el2008 y 2009

2008

5000

4000

3000

2000

1000

0

25%

75%200825%

200975%

2009

Robos en supermercado entre el2008 y 2009


Para finalizar

160 Unidad 5

Cone

xion

es NACIONAL

Internet tiene cada vez más presencia en la vida de todos.

Considerando esto, fue que la empresa AyerViernes realizó el

estudio “Soy Digital 2010”, sobre el consumo de Internet en el

país y cómo este ha cambiado.

El reporte concluyó que los usuarios se conectan principal-

mente por entretención, siendo sus principales actividades revisar

correos electrónicos (93%), buscar información (91%) y leer noticias

(81%).

Otra tendencia, es que el 80,2% de los usuarios ha realizado una compra online, lo que

confirma que es un medio válido para adquirir algo, en su mayoría un artículo tecnológico (65,4%).

También se destaca que el 41,4% cree que la publicidad es invasiva.

Un desafío pendiente para las empresas que prestan servicios online tiene relación con

crear espacios donde se pueda escuchar a los clientes para saber qué ofrecer, cómo y cuándo.

Algunas de las principales tendencias de Internet en Chile

Fuente: Adaptado de www.emol.com/noticias/tecnologia/detalle/detallenoticias.asp?idnoticia=392589Publicado el miércoles 6 de enero de 2010.



1. Hagan un listado de las 5 actividades que consideran principales a la hora de conectarse aInternet. Luego, realicen una encuesta considerando una muestra de 30 personas, querespondan: ¿cuál de estas 5 actividades son las que más utilizas cuando te conectas aInternet?

2. Organicen los resultados obtenidos en una tabla, construyan un gráfico y confronten susresultados con los del estudio “Soy Digital 2010”.

3. ¿Piensan que el estudio “Soy Digital 2010” se realizó mediante censo o muestreo?Justifiquen sus respuestas.





Datos y azar 161

Unidad 5




2. ¿Cómo calculas la media aritmética para datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo.

3. ¿Cómo determinas la moda para datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo.

4. ¿Qué diferencias observas entre el Censo y el muestreo?, ¿qué utilidad tienen?

5. ¿Qué aspectos debes considerar para el diseño de una encuesta? Realiza una encuesta, entu cuaderno, sobre el tema que tú quieras.

6. ¿Cuándo los sucesos son equiprobables? Da un ejemplo.

7. ¿Cómo puedes obtener la cantidad de elementos de un espacio muestral? Da un ejemplo.

8. ¿Cómo determinas la probabilidad de ocurrencia del evento?, ¿de qué formas se puederepresentar? Da un ejemplo.

9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tucurso e intenten aclararla en conjunto.

TABLAS DE

FRECUENCIA

MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA

DATOS NO

AGRUPADOS

DATOS

AGRUPADOS

ESPACIO

MUESTRAL

PROBABILIDAD

SUCESOS

EQUIPROBABLES

REGLA DE

LAPLACE

PRINCIPIO

MULTIPLICATIVO

DATOS AZAR

Síntesis




ConexionesConectar, aplicar y analizar.



CONEXIONES es una sección del Texto que tiene como objetivo relacionar los contenidosaprendidos en la Unidad con su aplicación real. Para ello se presenta una actividad rela-cionada con una encuesta que se realizó sobre los principales usos de Internet en Chile.

Internet hoy en día es un medio que tiene innumerables utilidades, que hace unosaños atrás eran impensadas. Podemos comprar, informarnos de lo que sucede entodo el mundo, escuchar música, ver videos, comunicarnos con otras personas, etc.

Sin embargo, en Internet también es posible encontrarse con sitios poco confiablesque entregan información errónea, o sitios peligrosos que se encargan de realizaractividades ilícitas y muy reprochables. Esta instancia es una buena oportunidad paraconversar con sus estudiantes sobre los usos de Internet y los cuidados que debentener cuando la utilicen.


De refuerzo

1. Con relación a Internet y los usos que le damos:

a) ¿Cuáles son las actividades que comúnmente haces?b) ¿Utilizas Internet para tus tareas escolares?, ¿para cuáles?c) ¿Cuáles son los sitios que sueles visitar frecuentemente para tus tareas? d) ¿Cómo podrías incentivar el uso seguro de Internet?e) ¿Realizas actividades de ocio usando Internet?, ¿cuáles?, ¿cuántas horas

le dedicas diariamente?f) ¿Cuáles crees que son las ventajas y desventajas de Internet?



Los mapas conceptuales son un recurso visual muy atractivo y efectivo para los alumnosy alumnas, ya que les permite organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los con-ceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pueslos y las estudiantes consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes.


A continuación, proponemos otra forma de sintetizar los conocimientos trabajadosen esta Unidad: el esquema.

Para verificar que el esquema realizado por sus estudiantes sobre la Unidad estácompleto, haga usted uno y revísenlo en conjunto. Luego, pídales que analicen lassiguientes preguntas:

• ¿Es correcta la idea principal?• ¿Son correctas las ideas secundarias?, ¿falta alguna?• ¿Las definiciones son correctas?, ¿están completas?, ¿qué falta?• ¿Son correctas las características dadas?, ¿falta alguna?• ¿Los ejemplos son adecuados?


De refuerzo

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad, responde las siguientes preguntas:

1. ¿Para qué sirven los gráficos y las tablas de frecuencias?2. ¿Qué sucede si la cantidad de datos obtenidos en un estudio son muchos o tienen

un rango muy amplio?, ¿qué conviene en esos casos? Da un ejemplo.3. ¿Cómo puedes registrar la información recopilada de una muestra de datos?4. ¿Qué frecuencias conoces? Explica cada una de ellas.5. ¿Cómo se calcula la moda y la media aritmética con datos agrupados en inter-

valos? Da un ejemplo para cada caso.6. ¿En qué consiste el principio multiplicativo?, ¿para qué sirve?7. ¿Qué diferencia existe entre frecuencia relativa y probabilidad?8. ¿Qué significa que los sucesos sean equiprobables? Da un ejemplo.9. ¿En qué consiste la regla de Laplace?, ¿para qué sirve? Da un ejemplo.

(Habilidades que se desarrollan: recordar, conectar y justificar).



¿Qué aprendí?

162 Unidad 5

1. La cardinalidad del espacio muestral delexperimento “lanzar cuatro monedassimultáneamente” es:

A. 2B. 6C. 8D. 16

2. En una caja hay 7 bolitas rojas, 10 negras, 9amarillas y 4 azules. Si se extrae una bolita, sinmirar, la probabilidad de que sea amarilla es:

A. 30%B. 70%C. 3%D. 9%

3. Se ha determinado la masa de 100 estudiantesde un colegio, obteniéndose la tabla adjunta.¿Qué porcentaje de estudiantes tiene unamasa menor de 71 kg?

A. 7%B. 20%C. 70%D. 93%

4. De la situación anterior, ¿qué porcentaje deestudiantes pesa más de 60 kg?

A. 28%B. 45%C. 55%D. 93%

5. De la tabla del ítem 3, la frecuencia absolutaacumulada en el intervalo 56 - 60, corresponde a:A. 45B. 30C. 15D. 19

6. De tabla del ítem 3, ¿qué clase tiene laprobabilidad 0,2?

A. 51 - 55B. 66 - 70C. 71 - 75D. 76 - 80

7. De la tabla del ítem 3, el valor aproximado de la moda corresponde a:

A. 58 kgB. 59,6 kgC. 61,6 kgD. 60,5 kg

8. De la tabla del ítem 3, la media aritmética es:

A. 4,11 kgB. 63 kgC. 58 kgD. 61,6 kg


Masas (kg)Nº de

estudiantes

46 - 50 4

51 - 55 11

56 - 60 30

61 - 65 28

66 - 70 20

71 - 75 5

76 - 80 2

Unidad 5

Datos y azar 163

9. El siguiente gráfico, corresponde a una encuesta realizada por el Consejo Nacionalde Televisión, en el año 2009.

• ¿Cuántas personas ven TV abierta 5 días a la semana, o más?, ¿y los que ventodos los días?, ¿qué puedes concluir?






No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Construcción e interpretación de tablas de frecuenciapara datos agrupados

Media aritmética y moda para datos agrupados

Censo y muestreo

Análisis de encuestas

Espacio muestral y principio multiplicativo

Sucesos equiprobables y regla de Laplace


¿Con qué frecuencia ve TV abierta chilena?

Porcentaje

Frecuencia (TV)10,00%20,00%30,00%40,00%50,00%60,00%70,00%80,00% Todos los días

5-6 días a la semana3-4 días a la semana

1-2 días a la semanaMenos de 1 vez a la semana

Nunca o casi nuncaNo sabe / no contesta

Hombres (2419 en total)

Mujeres (2589 en total)




¿Qué aprendí?Ítem 1: calcular.Ítem 2: identificar.Ítem 3: analizar.Ítems 4 y 5: analizar e identificar.

Ítem 6: analizar e identificar.Ítems 7 y 8: calcular. Ítem 9: analizar, interpretar y calcular.



En estas páginas se presenta la evaluación sumativa ¿QUÉ APRENDÍ? Su objetivo esanalizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas enla Unidad de Datos y Azar, y con esta información seguir determinadas líneas de ac-ción; por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional,para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo deesta Unidad.




• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las alumnas eslimitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen,que pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa,entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, sesugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, así se podrá de-tectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que seespera que logren.

• En el ítem 9, podría ocurrir que algunos de sus alumnos y alumnas presentendificultades para interpretar la información que entrega el gráfico. Si es necesarioresuelva sus dudas de manera individual, para que puedan responder correcta-mente las preguntas planteadas.

• Una vez terminada la actividad, permítales que revisen sus respuestas con dos otres compañeros o compañeras y, luego, que lleguen a una puesta en común. Podríapreguntarles qué información adicional pueden extraer del gráfico del ítem 9 y quelo discutan en conjunto.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar oprofundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las activi-dades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en laevaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.


La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem 9.


9

Interpreta correctamente la informaciónque entrega el gráfico, justificando cadauno de sus pasos.

Interpreta correctamente la información que entrega el gráfico, sin justificar cada uno de sus pasos.

Interpreta erróneamente la informaciónque entrega el gráfico en una de las preguntas, sin justificar cada uno de sus pasos.

Interpreta erróneamente la información que entrega el gráfico encada una de las preguntas, sin justificarsus pasos.


Número de amigos

Marca de clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

acumulada



De refuerzo

1. La siguiente tabla entrega los resultados de una encuesta realizada a un grupo depersonas de distintos lugares del país sobre los noticieros en la televisión abierta. Lasrespuestas a la pregunta ¿qué noticiero ve a las 21.00 horas?, son las siguientes:

a) Organiza la información anterior en la siguiente tabla de frecuencias.

b) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?c) ¿Cuál es el noticiero con mayor audiencia?, ¿cuál es el noticiero menos visto?d) Si una de las personas encuestadas es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad

de que vea Informa TV?e) Si una de las personas encuestadas es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad

de que vea Noticias TV?

2. Daniela debe elegir bocadillos dulces para ofrecer el día de su matrimonio. Si unaempresa de banquetes le ofrece 5 tipos de postres, 6 tipos de torta y 8 tipos defruta, ¿cuántas opciones tiene de menú dulce?

3. Una letra de la palabra ALEATORIO es elegida al azar. Determina la probabilidadde seleccionar:

a) una A. e) una T.b) una E. f) una I.c) una O. g) una L.d) una R.

4. Si se lanzan dos dados simultáneamente y se suman sus puntuaciones:

a) ¿cuál el espacio muestral?b) ¿cuál es la probabilidad de obtener suma impar?c) ¿cuál es la probabilidad de obtener suma mayor que 10?d) ¿cuál es la probabilidad de obtener suma menor que 6?e) ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea un cuadrado perfecto?

5. Una caja contiene 7 tarjetas verdes, 8 tarjetas azules y 9 tarjetas amarillas. Si seextrae una tarjeta al azar, calcula la probabilidad de:

a) obtener una tarjeta azul.b) obtener una tarjeta amarilla.c) obtener una tarjeta verde.

6. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de amigos que cada integrantede Primero Medio de un colegio declaró tener:

a) Organiza los datos en la siguiente tabla de frecuencias. Agrúpalos en 3 intervalos,partiendo de 1 - 10.

b) ¿Cuántas personas tienen menos de 21 amigos?

c) ¿Qué porcentaje de personas tiene entre 11 y 20 amigos?

d) Calcula e interpreta la media aritmética y la moda.


28 12 15 20 12 7 1 3 5 616 18 5 6 8 11 13 14 21 1527 22 28 1 26 2 3 5 4 1116 17 18 14 13 20 10 9 1 27

NoticieroFrecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

Noticias TV

Informa TV

Al día TV

Hoy TV

Noticieros Noticias TV Informa TV Al día TV Hoy TV

Frecuencia 480 600 360 960


2. Patricia tiene un bautizo y debe elegir con qué ropa irá. Si tiene 4 vestidos, 6 pañuelos, 5 pares de zapatos y 3 carteras, ¿de cuántas maneras diferentes sepodría vestir?

3. Los números del 1 al 30 son escritos en tarjetas. Las 30 tarjetas son mezcladas ycolocadas hacia abajo. Una tarjeta es elegida al azar. Determina la probabilidadde que la tarjeta elegida sea:

a) impar. b) mayor que 22.c) menor que 14.d) divisor de 30.e) primo.f) cuadrado perfecto.


De profundización

1. En una fábrica de productos congelados, el tamaño de los camarones se divide entres categorías: small, medium y large. Se registró el tamaño (en cm) de algunoscamarones. Los resultados obtenidos aparecen a continuación.

35 39 37 23 31 40 21 39 44 26

36 40 38 25 33 41 20 30 45 28

37 41 35 27 35 42 22 31 46 29

38 42 32 29 37 43 24 32 47 22

42 30 44 34 47 36 41 28 32 26

45 31 45 32 43 37 42 29 33 24

47 32 46 33 35 31 46 27 34 26

40 33 47 34 36 38 43 22 35 29

33 47 21 37 42 35 40 24 39 44

34 47 23 38 43 36 41 25 30 45

a) Organiza estos datos en la siguiente tabla de distribución de frecuencias.

b) ¿Cuántos camarones fueron testeados?

c) ¿Cuántos camarones miden más de 29 cm?

d) ¿Cuántos camarones miden entre 20 y 39 cm?

e) Calcula e interpreta la media aritmética de los datos agrupados.

f) Calcula la moda de los datos agrupados.

g) Si se elige un camarón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida entre30 cm y 39 cm?

h) Si se elige un camarón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida entre 30 cm y 49 cm?


CategoríaTamaño

(cm)Marca

de claseFrecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

Small 20 - 29

Medium 30 - 39

Large 40 - 49


Número de amigos

Marca de clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

acumulada1 - 10 5,5 16 16 0,4 0,4

11 - 20 15,5 17 33 0,425 0,825

21 - 30 25,5 7 40 0,175 1


12

112

518

736

CategoríaTamaño

(cm)Marca

de claseFrecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

Small 20 - 29 24,5 24 24 0,24 0,24

Medium 30 - 39 34,5 43 67 0,43 0,67

Large 40 - 49 44,5 33 100 0,33 1

5. a) 0,33 b) 0,38 c) 0,29

6. a)

b) 33 c) 42,5% d) x– = 12,75; Mo = 1

De profundización

1. a)

b) 100 camarones.c) 76 camarones.d) 67 camarones.e) 35,4 cm f) 35,9 cmg) 43%h) 76%

2. 360 maneras.

3. a) 0,5 d) 0,27b) 0,266 e) 0,333c) 0,433 f) 0,17

NoticieroFrecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

Noticias TV 480 480 0,20 0,20

Informa TV 600 1080 0,25 0,45

Al día TV 360 1440 0,15 0,60

Hoy TV 960 2400 0,40 1


De refuerzo

1. a)

b) 2400 personas. c) Hoy TV y Al día TV, respectivamente.d) 25%e) 20%

2. 240 opciones.

3. a) 22,2% e) 11,1%b) 11,1% f) 11,1%c) 22,2% g) 11,1%d) 11,1%

4. a) Ω = {1 + 1, 1 + 2, 1 + 3, 1 + 4, 1 + 5, 1 + 6, 2 + 1, 2 + 2, 2 + 3, 2 + 4, 2 + 5,2 + 6, 3 + 1, 3 + 2, 3 + 3, 3 + 4, 3 + 5, 3 + 6, 4 + 1, 4 + 2, 4 + 3, 4 + 4, 4 + 5, 4 + 6, 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3, 5 + 4, 5 + 5, 5 + 6, 6 + 1, 6 + 2, 6 + 3, 6 + 4, 6 + 5, 6 + 6}

b)

c)

d)

e)




I

Representa e interpreta correctamentelas tablas y las preguntas, justificandocada uno de sus pasos.

Representa e interpreta correctamentelas tablas y las preguntas, sin justificartodos sus pasos.

Representa e interpreta erróneamenteuna de las tablas y responde incorrec-tamente dos o tres preguntas. Además,no justifica todos sus pasos.

Representa e interpreta erróneamentelas dos tablas y responde incorrecta-mente las preguntas. Además, no justifica sus pasos.

EVALUACIÓN FINAL

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizarcomo evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es determinar cuáles son losconocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad Datos y azar.

El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 40 minutos. Usted puedevariarlo de acuerdo al ritmo de trabajo de sus estudiantes.

Para facilitar la evaluación se sugiere aplicar la siguiente pauta:

Puntaje total de la evaluación: 46 puntos

Los ejercicios presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus es-tudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas.No logrado, si contesta correctamente menos de seis preguntas.


• En los ítems 1 a 8, la información que entregan las respuestas de los y las estudianteses limitada, ya que sin el desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que come-ten (pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa,entre otras). Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, se


sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues deeste modo se podrá detectar en qué se están equivocando, y ayudarlos a alcanzarlos aprendizajes que se espera que logren.

• En la segunda parte se podrán presentar las siguientes dificultades:

Para completar la tabla con las frecuencias relativas y frecuencias relativas acumu-ladas, permita que sus estudiantes trabajen con números decimales o fracciones,según lo que les resulte más fácil.

Aclare a sus estudiantes que deben responder las preguntas planteadas con base enlos datos agrupados en intervalos en la tabla de frecuencias. Enfatice esto, especial-mente para el cálculo de la moda y la media aritmética.


I.1. B 2. A 3. D 4. B 5. A 6. C 7. C 8. D

II.9. a)

b) 32 c) 32 d) 18% e) 32% f) 74,9 h g) 83,1 h

10. Actividad exploratoria.


IAnalizar, identificar, recordar ycalcular.


IIAplicar, interpretar, representar,calcular y analizar.

15 puntos cada una

30 puntos

Horasde estudio

Marcade clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

60 - 64 62 17 17 0,17 0,1765 - 69 67 15 32 0,15 0,3270 - 74 72 17 49 0,17 0,4975 - 79 77 13 62 0,13 0,6280 - 84 82 20 82 0,20 0,8285 - 90 87 18 100 0,18 1


EVALUACIÓNDatos y azar


Puntaje: Nota:


1. Se ha lanzado un dado 120 veces obteniéndose 18 veces 4. ¿Cuáles la frecuencia relativa de las veces que salió 4?

A. 0,17B. 0,15C. 0,22D. 0,03

2. La suma de todas las frecuencias relativas de cualquier conjunto dedatos es igual a:

A. 1

B. El número total de observaciones.

C.

D. 100%

3. La probabilidad de que salga un 6 al lanzar un dado es:

A. B. C. D.

4. Una caja contiene 10 fichas blancas, 20 fichas azules y 30 fichas rojas.Si se saca una ficha al azar de esta caja, ¿cuál es la probabilidad deque no sea azul?

A. 17% C. 33,3%B. 67% D. 50%

5. Se elige al azar una letra de la palabra EXPERIMENTO, ¿cuál es laprobabilidad de que sea E?

A. B. C. D.

6. La siguiente tabla muestra la cantidad de horas que los estudiantes de8º Básico de un colegio de Valdivia dedican a estudiar semanalmente.¿Qué porcentaje de estudiantes estudia menos de 10 horas semanales?

A. 15%B. 30%C. 47,5%D. 85%

7. Según la tabla de la pregunta anterior, ¿cuál es la moda?

A. 15 hB. 11,5 hC. 10,75 hD. 9,5 h

8. Según la tabla de la pregunta anterior, ¿cuál es la media aritmética?

A. 11,5 hB. 10,75 hC. 10 hD. 9,5 h


1100

56

311

13

19

911

136

12

16

Horas Frecuencia absoluta

2 - 5 7

6 - 9 12

10 - 13 15

14 - 17 6


II. Resuelve los siguientes ejercicios, anotando los pasos de resoluciónen cada caso.

9. Una universidad está interesada en conocer cuántas horas al meslos alumnos de medicina destinan a estudiar. Para ello tomaron unamuestra de 100 estudiantes de la carrera. Las respuestas obtenidasse encuentran en la siguiente tabla.

a) Completa la siguiente tabla.

b) ¿Cuántas personas estudian entre 65 y 74 horas al mes?

c) ¿Cuántas personas estudian menos de 70 horas al mes?

d) Si una persona es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de queestudie entre 85 y 90 horas al mes?

e) Si una persona es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de queestudie menos de 70 horas al mes?

f) Calcula e interpreta la media aritmética de los datos agrupadosen intervalos.

g) Calcula e interpreta la moda de los datos agrupados en intervalos.

10. Utiliza dos dados para realizar lanzamientos de estos simultáneamente50 veces y, luego, suma las puntuaciones. Completa la tabla y responde.

a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando los números de ambos dadossuman 10?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea 10?

c) ¿Qué relación tiene la frecuencia relativa cuando la suma de laspuntuaciones es 6, y la probabilidad de que la suma sea 6?, ¿yqué diferencias?


Horasde estudio

Marcade clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

60 - 64

65 - 69

70 - 74

75 - 79

80 - 84

85 - 90

63 70 65 89 60 81 75 72 60 6789 84 89 61 73 64 84 71 83 6778 72 83 88 68 70 86 72 73 7071 67 64 64 78 68 80 60 82 7777 62 84 66 84 86 87 85 87 9068 79 83 86 80 63 67 83 86 8963 67 82 73 68 78 66 86 83 8178 61 77 73 70 76 83 72 84 7270 64 60 60 84 85 61 61 68 6979 86 67 86 86 72 75 80 79 84

Resultado de la suma

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa


278 Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


Esta Unidad está orientada al estudio de las funciones en diversos contextos y al reco-nocimiento de sus elementos constituyentes. Se pretende que los y las estudiantesutilicen sus conocimientos previos sobre lenguaje algebraico, ecuaciones y su repre-sentación en situaciones diversas y significativas, así como también, en actividadesque involucran los conceptos de razón y proporción.

En la segunda parte de la Unidad se estudian situaciones que incluyen magnitudesproporcionales y no proporcionales, y relaciones de proporcionalidad directa e inversacomo una función.

El objetivo de esta Unidad es que los y las estudiantes planteen y analicen algunasfunciones sencillas, comparen variables relacionadas en forma proporcional y noproporcional, y que representen como una función relaciones de proporcionalidaddirecta e inversa mediante tablas, gráficos, algebraicamente, o bien usando un software gráfico.


Funciones y relaciones proporcionalesUnidad6

Relaciones entredos variables

Funciones

Dominio

Ecuaciones

representan

pueden ser

pueden ser

se distinguen

susvalores

son

susvalores

son

Variablesindependientes (x)

Variablesdependientes (y) Recorrido

Variacionesproporcionales

Proporcionalidad directa

Función y = kx

Proporcionalidad inversa

Variacionesno proporcionales

pueden ser

se representa

Función y =

se representa

kx



7º básico

Traducción de expresiones algebraicasen lenguaje natural a lenguaje simbólicoy viceversa.

8º básico

Planteamiento de ecuaciones que repre-sentan la relación entre dos variables ensituaciones o fenómenos de la vida coti-diana y análisis del comportamiento dedichos fenómenos a través de tablas y gráficos.

Reconocimiento de funciones en diversoscontextos, distinción entre variables de-pendientes e independientes en ellas eidentificación de sus elementos consti-tuyentes: dominio, recorrido, uso e inter-pretación de la notación de funciones.

1º medio

Resolución de problemas cuyo mode-lamiento involucre ecuaciones literales deprimer grado.

Análisis de las distintas representacionesde la función lineal, su aplicación en laresolución de diversas situaciones pro-blema y su relación con la proporcionali-dad directa.

Resolución de problemas asociados a sis-temas de ecuaciones lineales con dos incóg-nitas, en contextos variados, representaciónen el plano cartesiano usando un softwaregráfico y discusión de la existencia y perti-nencia de las soluciones.

2º medio

Reconocimiento de sistemas de ecua-ciones lineales como modelos que surgende diversas situaciones o fenómenos.

Resolución de problemas que implican elplanteamiento de una ecuación deprimer grado con una incógnita, inter-pretación de la ecuación como la repre-sentación matemática del problema y dela solución en términos del contexto.

Reconocimiento y representación comouna función de las relaciones de propor-cionalidad directa e inversa entre dosvariables, en contextos significativos.Comparación con variables relacionadasen forma no proporcional y argumen-tación acerca de la diferencia con elcaso proporcional.

Análisis de diversas situaciones que repre-sentan tanto magnitudes proporcionalescomo no proporcionales, mediante el usode software gráfico.

Resolución de problemas en diversoscontextos que implican el uso de la rela-ción de proporcionalidad como modelo matemático.

Uso de un software gráfico en la inter-pretación de la función afín; análisis delas situaciones que modela y estudio delas variaciones que se producen por lamodificación de sus parámetros.

Estudio de la composición de funciones,análisis de sus propiedades y aplicación alas transformaciones isométricas.

Uso de software gráfico en la inter-pretación de funciones exponenciales,logarítmicas y raíz cuadrada, análisis delas situaciones que modela y estudio delas variaciones que se producen por lamodificación de sus parámetros.











Planteamiento deecuaciones querepresentan la relaciónentre dos variables en situaciones o fenómenos de la vidacotidiana y análisis delcomportamiento de dichos fenómenosa través de tablas y gráficos.

• Situaciones con dos variables.

• Plantear ecuacionesque representan larelación entre dos variables en diversoscontextos.

• Analizar situacionesa través de tablas y gráficos.


De construcción deconceptos: páginas 169,170 y 171.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas299 y 301.


• Plantean ecuaciones querepresentan diversassituaciones o fenómenosde la vida cotidiana.

• Resuelven ecuacionesque representan la relación entre dosvariables.

• Analizan situaciones cotidianas a través detablas y gráficos.

Diagnóstica:páginas 166 y167 del Textodel Estudiante.

Formativa: páginas 181 y193 del Textodel Estudiante.


• Palitos de fósforo.

• Computadorcon acceso aInternet.

• Regla.• Computador

con programaExcel.

Reconocimiento defunciones en diversoscontextos, distinciónentre variables dependientes e independientes enellas e identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido,uso e interpretación de la notación de funciones.

• Noción de Función.• Variables

dependientes e independientes.

• Dominio y recorrido.

• Reconocer y representar funcionesen diversos contextos.

• Distinguir entre variables dependientese independientes enuna función.

• Identificar dominio y recorrido de una función.

• Utilizar notación de funciones.


De construcción deconceptos: páginas 173,175, 176, 177, 179 y 180.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 303,305, 307 y 309.

De profundización:páginas 305, 307 y 309.

• Reconocen funciones encontextos diversos y significativos.

• Distinguen entre variables dependientes e independientes en funciones.

• Identifican el dominio y recorrido de una función.

• Usan e interpretan la notación de funciones.

Reconocimiento yrepresentación comouna función de lasrelaciones de propor-cionalidad directa e inversa entre dos

• Variaciones proporcionales y noproporcionales.

• Relación de proporcionalidad directa.

• Identificar variablesrelacionadas en formaproporcional y enforma no proporcional.

• Reconocer y representar,como una función,


De construcción deconceptos: páginas 183,185, 186, 187, 189, 190,

• Diferencian y analizanvariables relacionadas enforma proporcional y noproporcional.

• Analizan, usando unsoftware gráfico,








variables, en contextossignificativos.

Comparación con variables relacionadasen forma no proporcional y argumentación acercade la diferencia con elcaso proporcional.

Análisis de diversassituaciones que representan tantomagnitudes proporcionales comono proporcionales, mediante el uso desoftware gráfico.

Resolución de problemas en diversoscontextos que implicanel uso de la relación deproporcionalidad comomodelo matemático.

Reconocimiento defunciones en diversoscontextos, […].

• Relación de proporcionalidad inversa.

situaciones que involucran relacionesde proporcionalidad directa e inversa.

• Analizar situaciones,sus gráficos o tablas,asociadas a variacionesproporcionales y no proporcionales, utilizando un software gráfico en algunos casos.

• Resolver problemasque involucranplanteamiento y análisis de funciones.

• Buscando estrategias.

191 y 192.De consolidación:páginas 196 y 197.

En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas315, 317, 319, 321 y 323.

De profundización:páginas 317, 319, 321 y 323.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: página 329. De profundización:página 329.

situaciones que representan magnitudesproporcionales y no proporcionales.

• Representan como unafunción relaciones deproporcionalidad directae inversa.

• Representan, en gráficosy tablas, relaciones deproporcionalidad directae inversa entre dos variables.

• Resuelven problemasque involucran larelación de proporcionalidad directa e inversa.

• Resuelven problemasque involucran elplanteamiento de fun-ciones y su análisis.



ERRORES FRECUENTES


Si los conocimientos sobre lenguaje algebraico, planteamiento y resolución de ecuaciones son insuficientes, pueden producir complicaciones en el aprendizaje de las funciones y relaciones proporcionales.

• Por medio de la evaluación diagnóstica podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, ya que pueden provocar dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la Unidad.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad es conveniente que, después de la evaluación diagnóstica, realice un repaso de los contenidos donde detectó errores o confusiones en sus alumnos y alumnas.

En la representación algebraica de situaciones de la vida cotidiana y en la resoluciónde ecuaciones pueden aparecer los siguientes inconvenientes:

• No se identifica la incógnita o término desconocido, planteando de forma incorrecta la ecuación correspondiente.

• Suman, restan, multiplican o dividen expresiones solo a un lado de la igualdad,obteniedo un resultado erróneo.

• Se sugiere que junto con sus alumnos y alumnas analicen, paso a paso, lasituación, realizando una lectura atenta del enunciado, para determinar cuálesson los datos y cuál sería la incógnita o pregunta del problema.

• Para que sus estudiantes con más dificultades puedan plantear y resolver ecuaciones, es conveniente que comience con problemas sencillos y, luego, aumente la dificultad gradualmente.

• Es aconsejable que recuerde a sus estudiantes lo siguiente: si a ambos lados deuna igualdad se suma, resta, multiplica o divide un mismo número, la igualdad se mantiene. Por ejemplo:

2x + 15 = 25 / – 152x + 15 – 15 = 25 – 15

2x = 10 / : 2

=

x = 5

En el reconocimiento de una función y en la distinción de sus variables, es posible que surjan los siguientes errores:

• Identificación incorrecta de la función que modela una situción.• Confusión entre las variables; la dependiente, con la independiente y viceversa.

• Es importante explicar el concepto de función, analizar ejemplos y las variables involucradas, comenzando con situaciones sencillas y, luego, con las más complejas.

• Se sugiere que para reconocer la variable dependiente e independiente en unafunción, pídales que anoten los valores en una tabla y, luego, puede hacer preguntas como: ¿qué variables están en juego?, ¿qué datos tengo?, ¿qué valores puede tomar x e y?, ¿qué caracteriza a estos valores?, ¿de qué dependeel valor de la variable y?

En la identificación del dominio y recorrido es posible que los y las estudiantes confundan el dominio con el recorrido de una función, y viceversa.

• Para que los alumnos y alumnas identifiquen y diferencien entre el dominio y recorrido de una función, es conveniente analizar junto con sus estudiantesprimero la variable independiente y la dependiente de funciones concretas sencillasy, a partir del análisis, determinar el dominio y recorrido en estas funciones.

2x2

102


Término algebraico Coeficiente numérico Parte literal Grado

a3b2c 1 a3b2c 3 + 2 + 1 = 6

πr5 π r5 5

6x2y6 6 x2y6 2 + 6 = 8

57

57

Monomios Binomios Trinomios Polinomios

x4 2x + y 2x + y – z x + y + z + 3p

5a5b2 4a – 2b 9x2 – 12xyz + 4y2 4x7 – xy + y2

rn + 2 4x2 – y2 27a3 + bc + d5 21x2 + – s + 2t


Conceptos algebraicos básicos• Un término algebraico es el producto de un factor numérico por una o más varia-

bles literales.

• En cada término algebraico se distinguen el coeficiente numérico (que incluye elsigno y constantes matemáticas) y la parte literal (que incorpora variables).

• Se define el grado como la suma de los exponentes de cada factor de la parte literal.

Ejemplos:

Expresiones algebraicas• Una expresión algebraica es la suma de dos o más términos algebraicos.

• De acuerdo con el número de términos que componen una expresión algebraica,estas se clasifican en: monomios (un término) y multinomios. A los multinomioscon dos términos se les llama binomios, y a los de tres términos, trinomios.

• Si los exponentes de la parte literal son todos positivos, llamaremos a la expresiónalgebraica polinomio.

Ejemplos:

• El grado de una expresión algebraica corresponde al mayor de los grados delos términos que la componen.

Ejemplo: el grado del trinomio 3x4 + 5x4y6 – y9 es 10, ya que los términos tienengrados 4, 10 y 9, respectivamente.

Valoración de expresiones algebraicasValorar una expresión algebraica consiste en asignar un valor numérico a cada variableque aparece en la expresión y resolver las operaciones aritméticas que correspondanpara obtener el valor numérico final de la expresión.

Ejemplo:

Al remplazar x = –2, en 5x2 + 3x3 – 4x4 – x5, resulta:

5x2 + 3x3 – 4x4 – x5 = 5 • (–2)2 + 3 • (–2)3 – 4 • (–2)4 – (–2)5= 5 • 4 + 3 • (–8) – 4 • 16 – (–32)= 20 – 24 – 64 + 32= –36

Luego, el valor numérico de 5x2 + 3x3 – 4x4 – x5 para x = –2 es –36.



En las situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, es posible que surjan los siguientes errores:

• No se relaciona que en las variaciones proporcionales el valor de la razón entre las variables sea un número constante.

• En ejemplos relacionados con la visualización, es posible que se guíen por la percepción en vez de analizar matemáticamente las imágenes.

• Es conveniente que guíe a sus estudiantes para que escriban las razones sincometer errores y, luego, calculen el valor de la razón correspondiente.

• Si es necesario, permítales utilizar instrumentos, como la regla, para que midanlas figuras en cuestión y, a partir de los resultados obtenidos, analicen si repre-sentan magnitudes proporcionales o no.

37

a3

2


Ecuación Incógnita Grado de una ecuación

3x + 2 = 5x x 1er grado

y3 + 2y – 1 = 3y2 y 3er grado


Ecuaciones de primer grado• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que hay una o más

variables desconocidas, llamadas incógnitas.

Ejemplos: 2x + 6 = 1 (una incógnita) x + 2y = –3 (dos incógnitas)

• El grado de una ecuación con una incógnita corresponde al mayor exponente dela incógnita.

Ejemplos:

• Resolver una ecuación es determinar los valores de la incógnita para los cuales secumple la igualdad. A estos valores se les llama soluciones de la ecuación.

Para resolver una ecuación se puede despejar la incógnita utilizando laspropiedades de la igualdad.

Ejemplo:

Resolver la ecuación 3x – 8 = 16.Usando las propiedades de la igualdad, se tiene:

3x – 8 = 16 / + 8

3x – 8 + 8 = 16 + 8

3x = 24 / : 3

=

x = 8

Para verificar que la solución encontrada es correcta, basta con remplazar x = 8en la ecuación original. Es decir: 3 • 8 – 8 = 24 – 8 = 16. Como la igualdad secumple, la solución obtenida es correcta.

• Para resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios se puede transformarla ecuación en una con coeficientes enteros, multiplicando cada miembro de ella por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las expresiones fraccionarias.

Ejemplo:Al resolver la ecuación – = 2, se tiene:

15

x3

– = 2 / multiplicar por el m.c.m. (3,5) que es 15

5x – 3 = 30 / + 3

5x – 3 + 3 = 30 + 3

5x = 33 / : 5

• Para resolver ecuaciones literales se utilizan los mismos procedimientos de reso-lución para ecuaciones comunes, pero es fundamental identificar claramente quévariables son las incógnitas de la ecuación.

Ejemplo:

Al resolver la ecuación 4x + 2b = 3a, considerando x como la incógnita, se tiene:

4x + 2b = 3a / – 2b

4x + 2b – 2b = 3a – 2b

4x = 3a – 2b / : 4

Funciones• Una función f es una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto A

un único elemento, llamado f(x), de un conjunto B.

• Si x es un elemento de A relacionado con un elemento y de B bajo la función f,se escribe y = f(x).

Como en la expresión y = f(x) el valor de y depende del valor de x, se dice quey está “en función de x”, y se denomina a la variable x variable independiente,y a la variable y, variable dependiente.

Ejemplo: la función real que relaciona cada número con su doble más una unidadse puede representar por: f(x) = 2x + 1.

• Evaluar una función y = f(x) es obtener el valor que la función le asocia a un valordeterminado de x.

Ejemplo:

Sea f una función real definida por la expresión f(x) = 6x – 9. Evaluar la funciónpara x = 5 es equivalente a calcular f(5). Es decir: f(5) = 6 • 5 – 9 = 30 – 9 = 21.Por lo tanto, f(5) = 21.

• Se llama dominio de una función (Dom (f )) al conjunto de todos los elementospara los que la función está definida, o sea, valores que la variable independiente(x) puede tomar.

Ejemplos:

1. Dada la función f(x) = x + 7, su dominio está definido por el conjunto de todoslos números reales. Se expresa por: Dom (f ) = �.

15

x3

3x3

243


2. Para la función f(x) = , su dominio está dado por todos los números reales

menos el 4, ya que para x = 4, la función se indetermina (4 – 4 = 0). Este se

denota por: Dom (f ) = {x ∈ � / x ≠ 4}.

• Se llama recorrido de una función (Rec (f )) al conjunto de los valores que tomala variable dependiente (y), es decir, todos los valores que son imagen de algúnvalor de la variable independiente.

Una forma de obtener el recorrido es despejar, en la expresión algebraica de lafunción, la variable independiente (x) “en función” de la variable independiente (y).

Y luego evaluar para qué valores reales está definida esta expresión.

Ejemplo:

El recorrido de f(x) = x – 4 corresponde a todos los reales, ya que al despejar lavariable x, en función de y, se obtiene:

y = x – 4 ⇒ x = y + 4, y para esta expresión, la variable dependiente está definidapara cualquier valor real. Luego, Rec (f ) = �.

Representación gráfica de una funciónSi a cada pareja de valores x e y relacionados bajo una función f se le asocia el parordenado (x,y) del plano cartesiano, obtenemos el gráfico de la función f.

En el eje de las abscisas (horizontal) se representan los valores de x, y en el eje delas ordenadas (vertical), los valores de y.

Ejemplo: la representación gráfica de la función f(x) = 3x + 1 está en la imagen acontinuación.

2xx – 4

Algunas funciones

• Función lineal: su representación gráfica es una recta que pasa por el origen delplano cartesiano, cuya expresión está dada por f(x) = mx, con m un valor real.

En una función lineal, f(x) y x son directamente proporcionales, ya que = m

para cualquier valor de x.

Ejemplos:

1. f(x) = 2x 2. f(x) = x

• Función afín: su representación gráfica es una recta que no pasa por el origen,cuya expresión está dada por g(x) = mx + n, con m y n números reales, y n distintode cero.

Ejemplos:

1. f(x) = 3x + 1 2. g(x) = –x – 2

• Función constante: si en una función afín f(x) = mx + n, m = 0 y n ≠ 0, se obtienef(x) = n, siendo esta la función constante. La gráfica de esta función es una rectaparalela al eje X.

Ejemplos:

1. g(x) = 6 2. f(x) = –3

BIBLIOGRAFÍA


• Manual esencial. (2008). Capítulo 4: Álgebra. Aritmética y Álgebra. (pp. 182–241).Santiago: Santillana.

• Manual esencial. (2008). Capítulo 4: Funciones. Aritmética y Álgebra. (pp. 286–372).Santiago: Santillana.

• Rencoret B., M. (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de en-señanza. Santiago: Andrés Bello.

15

f(x)x



La imagen inicial de la Unidad está destinada a motivar a sus alumnos y alumnas en el estudio del Álgebra, específicamente el planteamiento de ecuaciones, análisis de fenó-menos que representan la relación entre dos variables y la representación algebraica de unafunción. Actualmente, un número importante de la población es sedentaria. En el caso dela gente que trabaja, muchos de ellos permanecen gran parte del día sentados, ya sea enoficinas o bien en automóviles. La población joven no es la excepción, pues muchos privi-legian la televisión o el computador en desmedro de la actividad física.

Funciones y relacionesproporcionales

Unidad

6

164 Unidad 6 Funciones y relaciones proporcionales 165

• Plantear ecuaciones que representan situaciones de la vida cotidiana, y analizarlasa través de tablas y gráficos.

• Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y utilizarlospara representar variadas situaciones.

• Distinguir entre variables dependientes e independientes en las funciones, e identificar el dominio y recorrido de estas.

• Identificar variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional.• Reconocer y representar funciones de proporcionalidad directa e inversa.• Analizar y comparar situaciones que representan variaciones proporcionales

y no proporcionales; uso de software gráfico en estos casos.• Resolver problemas que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad.


En la actualidad, el sedentarismo afecta a un gran porcentaje de lapoblación, a pesar de que se ha demostrado que hacer deporteregularmente produce numerosos beneficios para la salud, tanto físicoscomo psicológicos: fortalece los huesos, previene la obesidad y lahipertensión arterial, ayuda a liberar tensiones, entre muchos otros. Incluso,se ha probado que las personas que practican ejercicio físico de formaregular, suelen vivir más que aquellas que no lo realizan.

La fotografía muestra a Carlos; él se moviliza en bicicleta diariamente.Considerando que avanza en promedio a 21 km/h, piensa y responde.

1. Después de cinco horas, ¿cuál es la distancia aproximada que puede recorrerCarlos, si no se detiene y mantiene el mismo ritmo?

2. Si el trabajo de Carlos está a 31,5 km de su casa, y va en bicicleta, ¿cuánto demoraaproximadamente en llegar al trabajo si no se detiene en ningún momento?

3. El fin de semana visitará a su hermana que vive a 84 km de su casa. Si va enbicicleta, ¿cuántas horas tardaría en llegar si no realiza detenciones?, ¿a qué horallegaría a destino si comienza el viaje a las seis de la mañana?

4. ¿Existe alguna ecuación que permita representar la distancia que recorre Carlos en un determinado período de tiempo?, ¿cuál?

Conversemos de...




Conversemos de...Ítems 1, 2 y 3: analizar y calcular.Ítem 4: analizar y representar.



En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se es-pera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lean en vozalta y, luego, puede preguntarles lo siguiente:

• ¿Qué estrategia usaron para determinar la distancia que puede recorrer Carlos?• ¿Qué estrategia consideran más adecuada para definir el tiempo que tardará en lle-

gar a un lugar cualquiera?• Comparen la ecuación que permite representar la distancia que Carlos recorre en un

determinado período con la ecuación que permite definir el tiempo que se demoraen recorrer cierta distancia: ¿son iguales?, ¿tienen algo en común?, ¿representanlo mismo?, ¿por qué?

Con estas preguntas, y las ideas que vayan surgiendo por parte de sus alumnos y alum-nas, puede hacer un mapa semántico en la pizarra, que le permitirá obtener informaciónacerca de las experiencias y conocimientos previos de sus alumnos y alumnas; a partir deellos, podrá guiar de mejor forma el trabajo de la Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL

Es recomendable comentar con los y las estudiantes la imagen inicial presentada enel Texto. Puede complementar la conversación con preguntas como las siguientes:• Después de dos horas, ¿cuál es la distancia aproximada que puede recorrer Carlos

si no se detiene y mantiene el mismo ritmo?• Si la casa de sus padres está a 52,5 km, y va en bicicleta, ¿cuánto demora aproxi-

madamente en llegar a la casa de sus padres si no se detiene en ningún momento?

En el caso de la primera pregunta, puede guiar a sus estudiantes para que reconoz-can las variables en juego. Luego, si es necesario, puede mostrarles y analizar quela ecuación (función) que permite saber la distancia recorrida (y) cada cierto tiempo(x) es: y = 21 • x. Es decir, después de dos horas, la distancia recorrida se puede cal-cular: y = 21 • 2 = 42. Entonces, recorrerá 42 km/h en dos horas.

En el segundo caso, puede resolver 52,5 = 21 • x, esto es, x = 52,5 : 21 = 2,5. O sea,tardará dos horas y media en recorrer 52,5 km/h.La actividad inicial está relacionada con contenidos trabajados en años anteriores, talescomo planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Además, antes de comenzar con esta actividad, podría preguntarles lo siguiente:

• ¿Eres una persona sedentaria?, ¿por qué?• ¿Realizas alguna actividad deportiva?, ¿cuál?• Organiza un horario semanal que te permita incluir una o más actividades rela-

cionadas con el deporte de al menos 30 minutos, tres veces a la semana. Puedesagregar caminatas.

Estas preguntas están orientadas a trabajar con la propia experiencia y conocimientosprevios de sus estudiantes para motivarlos y discutir sobre la salud, los beneficios deldeporte y de tener una vida sana.


El sedentarismo, según la Real Academia Española, se define como un modo de vida conpoca agitación o movimiento. Según la Organización Mundial de la Salud (OMS), algunosde los factores que influyen en la propagación de estilos de vida sedentarios son:

• Dedicar demasiado tiempo a mirar la televisión, jugar con juegos informáticos yutilizar computadores.

• No practicar regularmente actividad física, debido a la falta de tiempo y de motivación,a los sentimientos de vergüenza o incompetencia, a la falta de instalaciones y localesseguros para la actividad física y a la ignorancia de las ventajas que proporciona.

Es muy importante promover la actividad física en los niños y en los jóvenes, pues tienemuchos beneficios, tales como:

• Beneficiar la salud física y mental y la integración social de los jóvenes. La prácticaregular de actividad física ayuda a los niños y a los jóvenes a desarrollar y a man-tener en buena salud los huesos, los músculos y las articulaciones, a controlar elpeso corporal, a reducir las grasas y al buen funcionamiento del corazón y de lospulmones. Contribuye, asimismo, al desarrollo del movimiento y de la coordinación,y ayuda a prevenir y a controlar los sentimientos de ansiedad y la depresión.

• La participación en actividades físicas y la práctica de deportes ayudan a no consumirtabaco, alcohol, drogas y los comportamientos violentos. Puede propiciar ademásuna dieta sana, un descanso adecuado y estilos de vida más seguros.

Para una mayor información sobre el sedentarismo y sus consecuencias en nuestrasalud, puede visitar los siguientes sitios web:

• Organización Mundial de la Salud: www.who.int/topics/physical_activity/es/

• Estrategia Global contra la Obesidad EGO-Chile: www.ego-chile.cl/index.html


De refuerzo

1. Fernando recorre en su vehículo un tramo de 360 km en una carretera de nortea sur a una velocidad promedio de 90 km/h.

a) ¿Cuánto demora aproximadamente en recorrer dicha distancia si no se detieneen ningún momento?

b) Después de tres horas ¿qué distancia recorre aproximadamente si no se detieney mantiene el ritmo?

(Habilidades que desarrolla: analizar y calcular).



¿Cuánto sabes?

166 Unidad 6

1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases.

a) El triple de un número.b) El doble de la suma de 3 y –8c) La tercera parte del doble de un número.d) La suma del cuarto de un número y el triple de otro número.e) El valor de n paltas a t pesos cada una.f) El valor de quince latas de bebida a x pesos cada una.g) El valor de y kg de pan a $ 750 cada uno.h) El valor de un huevo si la docena cuesta x pesos.

2. Escribe una expresión algebraica que represente el área y perímetro de lassiguientes figuras.

a) b) c)

3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.

a) 4 + 10y – 8 = 2y + 12 d) z + 2 = 62

b) 3x – 6 = x + 2 e) 1,4a – 0,72 = 11,28 – 0,6a

c) 0,8x – 3 = 12 – 2,2x f) – 3 = 5 + x

4. Plantea una ecuación y encuentra en cada caso, el o los números desconocidos.

a) Si a un número le quito 27 se obtiene 77.b) La suma de un número y su antecesor es 49.c) La suma de tres números impares consecutivos es 177. d) Si al cuádruple de un número le quitamos 3, nos resulta el triple del

número aumentado en 12.

5. En un curso de cuarenta estudiantes, el 20% obtuvo nota igual o superior a 6,0 en una prueba; el 30% entre 5,0 y 5,9; el 35% entre 4,0 y 4,9, y el restodel curso obtuvo nota inferior a 4,0.

a) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota mayor o igual a 6,0?b) ¿Cuántos estudiantes no aprobaron la prueba?c) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota entre 4,0 y 5,9?

37

23

25

s

r

ta + 3

a + 3

y

x

Unidad 6

• Una razón es una comparación entre dos cantidades que se realiza por medio de una división.

Ejemplo:

• El valor de la razón es el cociente entre las cantidades. Dos razones son equivalentes si su

valor es el mismo. Ejemplo: es equivalente a , ya que = 0,5 y = 0,5.

• Una proporción es una igualdad entre dos o más razones. La proporción entre las cantidades

a, b, c y d se puede expresar a : b = c : d, o bien = y se lee “a es a b, como c es a d”.

• En toda proporción se cumple que = , si y solo si a • d = b • c.

• Un porcentaje se escribe, por ejemplo, 15%, y se lee “quince por ciento”. El porcentaje esuna razón cuyo consecuente es 100.

• Para transformar una razón en porcentaje, basta con multiplicar la razón por 100 y, luego,calcular el cociente.

Ejemplo: • 100 = = 80% “4 representa el 80% de 5”.

• En el lenguaje algebraico se utilizan letras para representar variables. Para variables diferentes se asignan letras distintas. Por ejemplo: “el doble de un número aumentado en el triple de otro número” se puede representar por la expresión algebraica: 2x + 3y.

• Una ecuación de primer grado es una igualdad que contiene al menos un valor desconocidollamado incógnita. Resolver una ecuación equivale a encontrar el o los valores desconocidospara los cuales se cumple la igualdad.


6. Resuelve los siguientes problemas. Explica el procedimiento utilizado.

a) Un padre tiene veintitrés años menos que su madre, y su hijo tiene 35 años menos que él. Si la suma de las tres edades es 168 años, ¿qué edad tiene cada uno?

b) En un negocio, Matías y Josefa ganaron $ 155 000. Como no trabajaronde igual forma, el dinero será repartido en la razón 2 : 3. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno por el trabajo realizado?

c) En un supermercado, todos los lunes se efectúa un descuento de 3%sobre la compra total. Si Carmen compró el lunes pasado la mercaderíapara el mes y pagó $ 44 232, ¿cuánto habría pagado sin el descuento?



ab

antecedenteconsecuente

510

ab

cd

510

48

48

ab

cd

45

4005




Esta evaluación diagnóstica es una herramienta útil para determinar los conocimientosprevios de los alumnos y alumnas; tiene como título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye lossiguientes criterios:Ítem 1: representar en lenguaje algebraico diferentes expresiones en lenguaje natural.Ítem 2: representar en lenguaje algebraico el área y el perímetro de figuras geométricas.

Ítem 3: calcular el valor de la incógnita en diversas ecuaciones de primer grado conuna incógnita, explicando los procedimientos utilizados.

Ítem 4: formular y calcular ecuaciones de primer grado con una incógnita.Ítem 5: analizar una situación que involucra el cálculo de porcentajes.Ítem 6: resolver problemas enmarcados en contextos de la vida cotidiana.



¿Cuánto sabes?Ítems 1 y 2: representar.Ítem 3: calcular y justificar.Ítem 4: formular y calcular.Ítem 5: analizar y calcular.Ítem 6: resolver problemas, formular y calcular.


• En el ítem 1, es posible que confudan las expresiones en lenguaje natural y su repre-sentación en lenguaje algebraico. Es recomendable dar ejemplos sencillos antesde efectuar esta actividad, como “la mitad de un número”, “el doble de unnúmero”, etcétera.

• En el ítem 2, sus alumnas y alumnos pueden olvidar los procedimientos para determi-nar el área y el perímetro de las figuras dadas; si es necesario, recuerde cómo hacerlo.

• En el ítem 3, las y los estudiantes pueden realizar incorrectamente los pasos para de-terminar el valor de la incógnita. Es conveniente recordar cómo resolver ecuaciones

con un ejemplo concreto y sencillo. Se les solicita la justificación de cada procedi-miento; es aconsejable que pida continuamente que expliquen sus pasos.

• En el ítem 4, la dificultad está en plantear la ecuación correcta, o bien en los pro-cedimientos para su resolución. Es recomendable que exponga ejemplos sencillosen la pizarra para recordar el planteamiento y resolución de ecuaciones de primergrado con una incógnita.

• En el ítem 5, es posible que no recuerden los porcentajes. Si es necesario, recuerdecómo calcular el tanto por ciento de una cantidad dada y cómo determinar quéporcentaje es una cantidad de otra.

• En el ítem 6, pídales a sus estudiantes que revisen las soluciones con sus compañeroso compañeras. Si surgen estrategias diversas para un problema, solicíteles que lascompartan y expliquen al resto del curso.

• Es importante que después realice una revisión individual de cada evaluación conel fin de detectar las debilidades y fortalezas de cada estudiante. Del mismo modo,es conveniente resolver en conjunto la evaluación en la pizarra para que conozcanlas respuestas y procedimientos correctos, y puedan detectar y corregir sus errores.Así podrá detectar las áreas más débiles de sus estudiantes y podrá preparar unplan para corregirlas.




1Representa correctamente todas lasfrases en lenguaje algebraico.

Representa correctamente siete frasesen lenguaje algebraico.

Representa erróneamente cuatro omenos frases en lenguaje algebraico.

Representa erróneamente más de cuatro frases en lenguaje algebraico.

2Representa correctamente todas lasáreas y perímetros.

Representa correctamente las áreas y perímetros, confundiendo solo unade ellas.

Representa erróneamente dos o tresáreas o perímetros.

Representa erróneamente todas lasáreas y perímetros.

3Calcula correctamente el valor de lasincógnitas, justificando cada uno desus pasos.

Calcula correctamente el valor de lasincógnitas; no justifica todos sus pasos.

Calcula erróneamente uno o dos valores de las incógnitas sin justificarsus pasos.

Calcula erróneamente más de dos valores de las incógnitas sin justificarsus pasos.

4Formula correctamente las ecuacionesy calcula los números, justificando cadauno de sus pasos.

Formula correctamente las ecuacionesy calcula los números; no justificatodos sus pasos.

Formula, erróneamente una o dosecuaciones, confundiendo los resultados en estos casos.

Formula erróneamente todas las ecuaciones, confundiendo los resultados en estos casos.

5

Analiza y calcula correctamente la cantidad de estudiantes, justificandocada uno de sus pasos.

Analiza y calcula correctamente la cantidad de estudiantes; no justificatodos sus pasos.

Analiza y calcula erróneamente uno de los problemas, confundiendo el cálculo de porcentaje; justifica algunosde sus pasos.

Analiza y calcula erróneamente todoslos problemas, confundiendo el cálculode porcentajes; no justifica sus pasos.

6Resuelve correctamente cada uno delos problemas, justificando cada unode sus pasos.

Resuelve correctamente cada uno delos problemas, justificando algunos desus pasos.

Resuelve erróneamente uno de losproblemas, justificando algunos de sus pasos.

Resuelve erróneamente dos o tresproblemas sin justificar sus pasos.


168 Unidad 6

En esta situación, si representamos con x cada kilogramo demandarinas, una ecuación que permitiría determinar la cantidad dekilogramos de mandarinas que Tomás compró es:

650x + 500 = 4400

Luego, resolvemos la ecuación y obtenemos:

650x + 500 = 4400 / – 500650x = 3900 / : 650

x = 6

Por lo tanto, Tomás compró 6 kg de mandarinas.

Por otro lado, si queremos saber cuánto costarán 9 kg demandarinas, podemos multiplicar el valor de cada kilogramo demandarinas por 9, es decir, 650 • 9 = 5850, lo que significa que 9 kgde mandarinas costarán $ 5850. Para saber el valor de 13 kg demandarinas calculamos 650 • 13 = 8450, entonces, costarán $ 8450.

Otra forma de resolver la situación presentada es registrar los datosen una tabla o representarlos en un gráfico.

Ayuda

• En una ecuación se debeverificar que la soluciónobtenida sea correcta. Por ejemplo:

5x + 5 = 2x + 20 / – 2x3x + 5 = 20 / – 5

3x = 15 / : 3x = 5

Verificamos que la solución x = 5 es correctaremplazando:

5 • 5 + 5 = 2 • 5 + 2030 = 30

• Si se trata de un problema,además se debe verificar sila solución es pertinente.

kilogramo demandarinas

gasto total

pimentón

Situaciones con dos variables

Tomás compró mandarinas y un pimentón, y gastó $ 4400. El kilogramo de mandarinas costó $ 650 y el pimentón $ 500.

Para discutir

• ¿Cuántos kilogramos de mandarinas compró Tomás?, ¿cómo lo calculaste?

• ¿Cuál es la ecuación que permite calcular esta situación?• ¿Cuánto costarán 9 kg de mandarinas?, ¿y 13 kg?, ¿por qué?• ¿Podrías representar en una tabla o gráfico la relación entre los

kilogramos de mandarinas comprados y su costo?, ¿cómo?


Unidad 6

Actividades

1. Resuelve las siguientes situaciones planteando una ecuación, que en cada caso, permita resolver el problema. Luego, encuentra el valor de la incógnita.

a) Manuel tiene x cantidad de dinero en un bolsillo, y el triple en el otro. Si en total tiene $ 6000, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo?

b) Marcela compró un ramo de flores por $ 8900 y 4 jarrones. Si el valor total de la compra es $ 14 700, ¿cuánto costó cada jarrón?

c) En un rectángulo, el largo mide el doble del ancho. Si el perímetro es 72 cm, ¿cuánto midecada lado?, ¿cuánto mide su área?

• Una situación que involucra encontrar un valor desconocido o incógnita se puede representarplanteando la ecuación que, al resolverla, dará solución al problema en cuestión.

• Si la situación relaciona dos variables, podemos analizar su comportamiento por medio dediversos registros, como una tabla o un gráfico.

No olvides que...

Observa, en cada caso, la relación entre los kilogramos demandarinas y su precio.

Para saber cuánto costarán 7 kg de mandarinas, podemos ver latabla y conocer de inmediato el valor. En el caso del gráfico, paradeterminar cuánto costarán 5 kg de mandarinas, debemos ubicaren el eje de las abscisas el número 5, luego, en el punto que tieneen dicho eje observamos qué valor le corresponde en el eje de lasordenadas. En este caso es 3250.

Glosario eje de las abscisas: correspondeal eje horizontal o eje X.eje de las ordenadas:corresponde al eje vertical o eje Y.

Kilogramos demandarinas

Precio($)

1 650 • 1 = 650

2 650 • 2 = 1300

3 650 • 3 = 1950

4 650 • 4 = 2600

5 650 • 5 = 3250

6 650 • 6 = 3900

7 650 • 7 = 4550

8 650 • 8 = 5200

Precio ($)

Kilogramos de mandarinas1 2 3 4 5 6 7 8

650

0

1300

1950

2600

3250

3900

4550

5200




• Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situa-ciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichosfenómenos a través de tablas y gráficos.


Para discutirÍtem 1: calcular.Ítem 2: formular.Ítem 3: calcular y justificar.Ítem 4: representar y justificar.

ActividadesÍtem 1: formular y calcular.


Frase Expresión algebraica

El triple de un número más cinco. 3x + 5

La suma de dos números consecutivos es 70. a + (a + 1) = 70

Cinco pasajes de bus desde Santiago a San Antoniotienen un costo de $17 500.

5 • x = 17 500

sintética y global del fenómeno observado y de las relaciones entre sus diversascaracterísticas o variables.

• Un gráfico se refiriere generalmente a las representaciones numéricas mediantesu equivalencia en relaciones en el plano o espacio. Entre las funciones quecumple un gráfico están: hacer más visibles los datos, evidenciar las relacionesentre dos o más variables y aclarar y complementar las tablas. En el caso de estaUnidad, se utilizarán gráficos como una forma de representar diversas funciones.


De refuerzo

1. Plantea las ecuaciones y resuélvelas.

a) En un bolsillo, Mariana guarda p cantidad de dinero y en el otro, el doble. Si en total tiene $ 45 000, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo?

b) Isidora compró una caja de bombones por $ 3800 y 4 bebidas en lata. El valortotal de la compra es $ 6400. ¿Cuál fue el costo de cada bebida?

c) En un rectángulo, el largo mide el triple del ancho. Si el perímetro es 64 cm,¿cuánto mide cada lado?, ¿y su área?

d) Un bus viaja de norte a sur a velocidad constante. Si en seis horas recorre 510 km,¿a qué velocidad viaja?

e) En un triángulo isósceles, la medida de los lados no basales es el triple de labase, cada uno. Si el perímetro es 35 cm, ¿cuánto mide cada lado?

f) Un grupo de 14 amigos compró entradas para un concierto de rock chileno,que se realizará en una ciudad del sur del país. Si en total gastaron $ 95 200,y todas las entradas tenían el mismo valor, ¿cuánto les costó cada entrada?

(Habilidades que desarrolla: analizar, formular y calcular).

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio,y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una actividad que repre-senta una relación entre dos variables, planteen una ecuación y sean capaces de construir y analizar la situación mediante tablas y gráficos. Es importante que losalumnos y alumnas manejen el lenguaje algebraico previamente, así como tambiénla resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Para complementar el tema y la información presentada en el Texto, así como tambiéniniciar a sus alumnos y alumnas en el reconocimiento y representación de funciones,plantee preguntas como las siguientes:

• ¿Cuánto costarán 15 kg de mandarinas?, ¿y 26 kg?

• ¿Es posible encontrar una expresión algebraica que permita determinar el precio(y) de x kg de mandarinas?, ¿cuál?


• Antes de desarrollar el ítem 1, si es necesario, escriba en la pizarra una tabla condos columnas en que aparezcan expresiones escritas en lenguaje natural en unacolumna y en la otra la expresión algebraica. Además, podría incluir expresionesque involucren el planteo de ecuaciones sencillas que los y las estudiantes com-pleten en sus cuadernos. Por ejemplo:

• Si sus alumnos y alumnas tienen dificultades relacionadas con las expresiones algebraicas, sería conveniente que recuerde qué es un término algebraico y,luego, presente términos semejantes para reducirlas, considerando la eliminaciónde paréntesis y las propiedades de las operaciones.


Es fundamental que sus estudiantes recuerden y comprendan qué es una tabla yqué es un gráfico.

• Una tabla es un cuadro que organiza la información en filas y columnas. Lastablas sistematizan los resultados cuantitativos y ofrecen una visión numérica,



170 Unidad 6

2. En uno de sus planes, una compañía de teléfonos celulares cobra $ 2,5 por segundo al realizarllamadas a cualquier compañía nacional y en cualquier horario. Camila, que tiene este plan, hablócon su amiga Francisca (que tiene un celular de otra compañía) y gastó $ 900 en esa llamada.

a) ¿Cuál es la ecuación que permite saber cuántos minutos habló Camila con su amiga? Resuélvela.b) Si una llamada le costó $ 300, ¿cuántos minutos habló? c) Si Camila llama nuevamente a su amiga Francisca, ¿cuánto gastará si habla 3 minutos?,

¿y si habla 5 minutos?d) Completa la tabla que relaciona la cantidad de segundos hablados, y su respectivo costo.

e) Si a fin de mes habló 65 minutos a compañías nacionales, ¿cuánto pagará en total ese mes?f) Completa el siguiente gráfico, que relaciona los minutos hablados con el valor mensual del plan.

g) Si Camila hablara 4 minutos y 12 segundos, ¿cuánto dinero gastaría? h) Francisca tiene un plan de otra compañía de teléfonos celulares. Los costos de su plan

aparecen en la siguiente tabla:

Si en un mes habla 200 minutos, ¿cuánto debería pagar?i) Si cada mes hablaras 180 minutos por teléfono celular, ¿qué plan sería más conveniente,

el de Camila o el de Francisca?, ¿por qué?

Minutos hablados (Nº)

Precio ($)

5 10 15 20 25 30 35

1000

2000

3000

4000

5000

Segundos Precio ($)

1 2,5

10

60

90

180

300

Cargo fijo ($) Minutos incluidos Valor del segundo adicional ($)

14 490 100 2


Unidad 6

3. Sandra se encarga de los pedidos en una empresa de decoración. En una de las compras gastó $ 27 250, al adquirir un florero a $ 1250 y claveles rojos y blancos. Los primeros tienen un costode $ 140, los segundos de $ 120. Compró la misma cantidad de claveles de cada color.

a) ¿Cuántos claveles compró en total?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución?

b) ¿Cuánto gastaría si comprara treinta claveles en total?, ¿y cuarenta?c) ¿Cuánto gastaría, incluyendo el florero, si comprara ochenta y seis claveles en total?d) Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de claveles y el gasto asociado.

e) Observa la tabla: ¿podría Sandra comprar siete claveles en el pedido realizado?, ¿y quince?,¿cuánto gastaría?

f) Completa el siguiente gráfico.

g) ¿Cuánto gastará Sandra en total si compra doce claveles y un florero que cuesta $ 1450 másque el anterior?

Cantidad de claveles (Nº)

Precio ($)

2 4 6 8 10 12

250

500

750

1000

1250

1500

Cantidad de claveles Precio ($)

2 260

4

12

20

30

50

80

114




• Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situa-ciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichosfenómenos a través de tablas y gráficos.


ActividadesÍtems 2 y 3: analizar, formular, representar y calcular.


b) ¿Cuánto obtiene, en promedio, en cinco horas y media?, ¿cuál es la ecuaciónque permite encontrar la solución?

c) ¿Cuántas horas necesita trabajar para ganar $ 24 750?d) Construye el gráfico que relaciona la cantidad de horas que trabaja Luis con

el dinero que obtiene.

(Habilidades que desarrolla: analizar, formular, representar y calcular).

De profundización

1. Esteban compra los siguientes útiles escolares: 8 cuadernos a $ 800 cada uno, unatémpera a $ 1200, una acuarela a $ 600, y 4 cajas de lápices de colores iguales,gastando un total de $12 000.

a) ¿Cuánto cuesta cada caja de lápices de colores?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución?

b) ¿Cuánto gastaría si solo comprara 6 cuadernos, 2 témperas, una acuarela y 6 cajas de lápices de colores iguales?

c) Construye una tabla y un gráfico que relacionen la cantidad de cuadernoscomprados y su precio.

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, representar y formular).



• En los ítems 2 y 3, es conveniente que sugiera a sus estudiantes hacer una se-gunda tabla con los valores de x (segundos y cantidad de claveles, respectiva-mente) que aparecen en el eje de las abscisas, para que puedan construirlas demanera más sencilla.

• Los planes de compañías de teléfonos celulares considerados en el ítem 2 corres-ponden a los de dos compañías chilenas, con fecha diciembre de 2009.


De refuerzo

1. Carmen es una escritora de cuentos infantiles que redacta en su computador, enpromedio, una página cada cuatro minutos.

a) Completa la siguiente tabla que relaciona cantidad de páginas con los minutos.b) ¿Cuántos minutos se demora en escribir 13 páginas?, ¿cuál es la ecuación que

permite encontrar la solución?c) ¿Cuántas páginas redacta en 68 minutos?, ¿cómo lo supiste?d) Construye el gráfico que relaciona la cantidad de páginas con los minutos.

2. Luis es un taxista que en promedio gana $ 2750 por hora.

a) Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de horas que trabajaLuis con el dinero que gana.

Cantidad de páginas Minutos

1

2

7

10

26

101

Horas Dinero ($)


172 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles duranteun mes?, ¿y si vende dieciséis?, ¿por qué?

• Si durante un mes vendió x automóviles y recibió un sueldo de y pesos, ¿qué expresión algebraica permitiría calcular su sueldo?,¿cuántas variables tiene?

• ¿Cuántos automóviles vendió en un mes que ganó $ 530 000?,¿cómo lo supiste?

Si analizamos la tabla, podemos observar que para determinar cuálserá el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles, podemoscalcular 180 000 + 35 000 • 8 = 460 000, es decir, este será de $ 460 000 y, si vendiera dieciséis, calculamos 180 000 + 35 000 • 16 = 740 000, entonces, recibiría $ 740 000.

Si representamos con una y el sueldo recibido por Miguel al venderx automóviles, la situación anterior se puede modelar por la expresióny = 180 000 + 35 000x. Esta expresión, que relaciona dos variables x e yde manera que a cada valor de x (nº autos vendidos) le correspondeun único valor de y (sueldo), recibe el nombre de función.

Luego, para saber cuántos autos vendió en un mes que recibió $ 530 000 de sueldo, podemos resolver la ecuación:

530 000 = 180 000 + 35 000x / – 180 000350 000 = 35 000 • x / : 35 000

10 = x

Por lo tanto, ese mes vendió diez automóviles.

Noción de función

Miguel vende automóviles. Su sueldo fijo mensual es de $ 180 000, y por cada unidad vendida durante el mes, recibe una comisión de $ 35 000.

Observa la tabla de valores:

Ayuda

Recuerda que la expresiónalgebraica 35 000x tambiénpuede escribirse como 35 000 • x.

Cantidad de automóviles vendidos Sueldo recibido ($)

1 180 000 + 35 000 • 1 = 215 000

2 180 000 + 35 000 • 2 = 250 000

3 180 000 + 35 000 • 3 = 285 000

4 180 000 + 35 000 • 4 = 320 000


Actividades

1. Construye, en tu cuaderno, un gráfico que represente la situación descrita en la página anterior.

2. Determina, en cada caso, si la relación entre las variables corresponde o no a una función.Justifica tus respuestas.

a) Un número natural y su opuesto aditivo.b) Los sabores preferidos de helado por los integrantes de un curso. c) La longitud del lado de un cuadrado y su área.d) La cantidad de respuestas correctas en una prueba y la nota final obtenida.

3. Andrea compara los planes que le ofrece una compañía de telefonía celular.

a) Completa la tabla con los valores que debería pagar en cada caso, según la cantidad deminutos que va a utilizar.

b) Si Andrea hablara 80 minutos, ¿qué plan le convendría?, ¿y si hablara 120?, ¿por qué?c) Si x representa la cantidad de minutos no incluidos en el plan, ¿qué función representa

el monto y de la cuenta de telefonía celular en cada caso?

Unidad 6

• Una función es una relación entre dos variables x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

• Una función se puede representar o modelar de diversas formas; por ejemplo, con unaecuación, una tabla de valores o un gráfico.

No olvides que...

Tarifas Cargo fijo Minutos incluidos en el plan Valor minuto adicional

Plan A 9490 60 220

Plan B 12 990 80 160

Plan C 14 490 100 120

Minutos 60 80 100 120 150

Costo plan A 9490

Costo plan B 12 990

Costo plan C 14 490




• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, […] uso e interpretación de lanotación de funciones.


Para discutir ActividadesÍtems 1 y 3: calcular y justificar. Ítem 1: representar.Ítem 2: representar y formular. Ítem 2: analizar, evaluar y justificar.Ítem 4: analizar, calcular y justificar. Ítem 3: analizar, calcular y representar.


PizzeríaValor pizza napolitana

($)Valor ingrediente

adicional ($)

A 3590 540

B 3990 450

C 4490 400

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, ytienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación que presente larelación entre dos variables, de manera que a cada valor de x (cantidad de automóvilesvendidos) le corresponde un único valor de y (sueldo recibido), es decir, esta relación esuna función. Dada esta función, los alumnos y alumnas pueden representarla y analizarlapor medio de tablas o gráficos, los que facilitan su comprensión y análisis.

Para complementar el tema y la información del Texto, plantee preguntas comolas siguientes:

• ¿Cuánto ganará Miguel si no vende automóviles en un mes?, ¿por qué?• ¿Cuántos automóviles vendió si su sueldo fue de $ 985 000?, ¿cómo lo calculaste?


• Antes de comenzar el ítem 1, es conveniente destacarles a sus estudiantes que unafunción puede ser representada mediante diversos registros, en nuestro caso, estu-diamos la representación algebraica, la tabla y el gráfico. Si sus estudiantes tienendificultades para construir el gráfico, solicíteles que agreguen filas a la tabla de lapágina 170. Podría preguntar lo siguiente: ¿qué forma tiene el gráfico?, ¿qué carac-terísticas observas en él?

• En el ítem 2 es importante que los alumnos y alumnas comprendan que en unafunción la relación entre las variables x e y se da de tal manera que a cada valorde x le corresponde un único valor de y. Por ejemplo, la relación b) no es función,pues puede ocurrir que una persona tenga más de un sabor preferido de helado.

• En el ítem 3 sería conveniente solicitarles a sus estudiantes que construyan en unmismo gráfico las funciones correspodientes a cada plan y, luego, que las com-paren y analicen. Podrían utilizar colores distintos para que las diferencien.


Es importante que comprenda que una función no es sino un tipo especial de relación.Además, destaque que para expresar funciones podemos usar otros nombres, distin-tos de f, como g, h. Por ejemplo, la función g(x) = 2x + 5.

A continuación, presentamos algunos conceptos importantes relacionados, que permitenampliar el concepto de función.

Producto cartesianoEl conjunto producto cartesiano de A y B se denota A x B, y está constituido por:

A x B = {(x,y) / x ∈A ∧ y ∈B}

Ejemplo:

Sean: A = {1,3,4}, B = {a,b}, entonces: A x B = {(1,a), (1,b), (3,a), (3,b), (4,a), (4,b)}

Definición: sean A, B conjuntos no vacíos. Un conjunto R se dice que es una relaciónde A en B si R es subconjunto de A x B. Es decir:

R ⊆ A x B ⇔ R es relación de A en B

• Si el par (x,y) pertenece a una relación R, se dice que x está en relación R con y.Se escribe x R y ; es decir:

(x,y) ∈R ⇔ x R y

Funciones

Definición: Dados dos conjuntos A y B no vacíos, una relación f ⊆ A x B se dice quees una función de A en B, si y solo si:

(i) Dom f = A(ii) ∀ x ∈A, ∀ y ∈B (x f y ∧ x f z ⇒ y = z)

Por ejemplo:La relación f(x) = , donde x ≥ 0, no es una función, pues f (9) = 3 y f (9) = –3,es decir, x = 9 tiene dos imágenes diferentes, 3 y –3.

Fuente: Orellana A. (1998). Apuntes Álgebra I. (p. 35, 36 y 56).Santiago: Universidad de Santiago de Chile.


De refuerzo

1. Felipe compara las promociones de una pizza napolitana individual en difer-entes lugares.

a) ¿Cuánto costarán 3 pizzas en cada lugar?, ¿y 7 pizzas?b) ¿Cuál es la función que modela el precio de x pizzas para cada lugar?c) Si se quieren incluir 3 ingredientes adicionales, ¿cuánto costarán 5 pizzas en

cada lugar?, ¿dónde es más conveniente?d) ¿Cuál es la función que representa el precio con 3 ingredientes incluidos de

x pizzas para cada lugar?


± x



174 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuánto costarán seis empanadas?, ¿y diecinueve?, ¿y treinta y dos?,¿cómo lo calculaste?

• ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿qué representa lavariable x y la variable y, en este caso?

• ¿Cuál es el gráfico que representa esta situación?, ¿cómo lo hiciste?• ¿De qué depende el precio final a pagar por las empanadas?

Después de completar la tabla de la situación presentada, podemos observar que para seis empanadas se cancelan $ 5100, ya que 850 • 6 = 5100. En este caso, la expresión algebraica quemodela esta situación es:

y = 850x, o bien f (x) = 850x

donde x representa la cantidad de empanadas por comprar e yrepresenta el valor total a pagar por las empanadas compradas.

Luego, para diecinueve empanadas se cancelan $ 16 150, ya que,para x = 19, se tiene que y = 850 • 19 = 16 150, o bien f (19) = 850 • 19 = 16 150.

Para treinta y dos empanadas se cancelan $ 27 200, ya que, para x = 32, se tiene que y = 850 • 32 = 27 200, o bien f (32) = 850 • 32 = 27 200.

Variables dependientes eindependientes

En una amasandería se venden empanadas a $ 850 cada una.Observa y completa la siguiente tabla.

Cantidad de empanadas Precio ($)

1 850 • 1 = 850

2

3

4

5

6


Actividades

1. Determina, en cada función, las variables dependiente e independiente.

a) El volumen de un cubo y su arista.b) Un número y su sucesor.c) La cantidad de kilogramos de pan y el precio total.

Observa el gráfico que relaciona la cantidad de empanadas y su precio.

En este caso, para distintos valores de x (cantidad de empanadas) se obtendrán distintos valores para y (precio de las empanadas).

Además, el valor total de las empanadas compradas depende de lacantidad que se compren, es decir, el valor de la variable y dependedel valor de la variable x.

Unidad 6

• Una relación entre dos variables x e y se puede representar o modelar por una ecuación talque a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Como el valor de y depende delvalor x, se dice que y es la variable dependiente y x la variable independiente.

• Para representar una función en un gráfico, los valores de la variable independiente serepresentan sobre el eje horizontal o de las abscisas, y los valores de la variable dependientese representan sobre el eje vertical o de las ordenadas.

• La variable y puede también escribirse como f (x) donde x es la otra variable, y se lee “f de x”.Por ejemplo, la función y = 150 000 + 25 000x, también se puede escribir como f �x� = 150 000 + 25 000x.

No olvides que...

Precio ($)

Cantidad deempanadas (Nº)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1000

2000

30004000

5000

6000

7000

80009000




• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables depen-dientes e independientes en ellas [...], uso e interpretación de la notación de funciones.


Para discutir ActividadesÍtem 1: calcular y justificar. Ítem 1: identificar.Ítem 2: representar y formular.Ítem 3: representar y justificar.Ítem 4: analizar.


ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio,y tienen por objetivo que los y las estudiantes analicen información presentada en unatabla y, luego, diferencien entre una variable independiente y dependiente de dichasituación, las que son representadas por medio de una función que relaciona la cantidad de empanadas y el precio. En esta actividad, asocian sus conocimientos pre-vios y los estudiados recientemente. La idea es que conecten lo aprendido con estosconceptos nuevos y que completar la tabla y analizarla contribuya a la comprensiónde los conceptos en cuestión.

Podría ayudar a sus estudiantes con más dificultad para identificar la función quemodela la situación, pidiéndoles que agreguen más filas a la tabla de la página 176y, luego, las completen. Para reforzar el concepto de función, podría preguntar:

• Si una persona gasta $ 19 550 en empanadas, ¿cuántas compró?, ¿cómo lo supiste?


• En el ítem 1, si sus alumnos y alumnas tienen dificultades para identificar las varia-bles dependiente e independiente, pídales que escriban las funciones asociadas.Esto les permitirá reconocer las variables x e y.


Para ampliar los conceptos estudiados en el Texto para el Estudiante es importantetener en consideración lo siguiente:

• Evaluar una función y = f(x) es obtener el valor que la función le asocia a un valordeterminado de x.Podría pedirles a sus estudiantes que evalúen algunas funciones en casos particu-lares. Puede escribir en la pizarra una función como f(x) = 2x + 2, y explicar que alevaluar la función en x = 3, resulta: f (3) = 2 • 3 + 2 = 6 + 2 = 8. Luego, f (3) = 8.

• En una función, la imagen de un número equivale al resultado de evaluar elnúmero en la función.

• La preimagen de un número es el valor que se evaluó en la función para obtenerdicho número.


De refuerzo

1. Determina en cada función las variables dependiente e independiente.

a) Un número y su antecesor.b) El número de lados de un polígono y la cantidad de ángulos interiores.c) Un número y su triple.d) Los kilogramos de pan comprados diariamente y el valor total de la semana.

2. Eduardo compra x empanadas de pino y la misma cantidad de empanadas de queso.Las empanadas de pino tienen un costo de $ 860 cada una y las de queso $ 750.

¿Cuál es la función que permite determinar el precio final al comprar x empanadas depino y de queso?, ¿cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente en este caso?

(Habilidades que desarrolla: identificar, representar, formular y analizar).

De profundización

1. Determina en cada caso la función que modela la situación y, luego, identifica lasvariables dependiente e independiente.

a) El área total de un cubo y su arista.b) Un número y su inverso aditivo.c) El número de lados de un polígono regular y la cantidad de diagonales.d) La cantidad de kilogramos de pan y el total a pagar (a $ 760 el kg).e) La longitud del radio de una circunferencia y la longitud de la circunferencia.f) Un número y la suma de este con su sucesor.

(Habilidades que desarrolla: identificar, representar y formular).



2. Las entradas para asistir a un concierto de hip hop tienen un valor general de $ 10 500.

a) ¿Cuál es el precio de siete entradas?, ¿y de doce?b) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?d) Completa la siguiente tabla según corresponda.

e) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

3. Observa los valores de la siguiente tabla y complétala.

a) Si el lado del cuadrado mide 9 cm, ¿cuánto mide su perímetro?, ¿y si mide 15 cm?b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?

4. El maestro Camilo pinta todo tipo de muros. Él cobra $ 5000 por metro cuadrado pintado y $ 6800 por la evaluación en terreno del trabajo antes de realizarlo.

a) Completa la siguiente tabla que relaciona los metros cuadrados por pintar y el costocompleto del trabajo.

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?, ¿por qué?d) Si el maestro Camilo no cobrara por la evaluación y pidiera $ 6000 por metro cuadrado

pintado, ¿cuál es la función que representa esta situación? Muéstrala en un gráfico.

5. Observa en el siguiente gráfico, la relación entre la longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.

a) ¿Cuál es la variable dependiente? ¿y la independiente?

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?

c) Si el perímetro de un triángulo equilátero es 42 cm, ¿cuánto mide cada uno de sus lados?, ¿por qué?

176 Unidad 6

x 1 Z3 7 10 12 20

y

m2 1 2 3 4 5 6Total a pagar

Lado del cuadrado (cm) 2 3 4 5 6

Perímetro del cuadrado (cm) 8

Lado triánguloequilátero (cm)

Perímetro (cm)

1 2 3 4 5

5

10

15

20


Unidad 6

6. Consuelo hace clases particulares a domicilio. Completa la siguiente tabla con el dinero queConsuelo puede reunir durante un mes.

a) ¿Cuánto dinero reúne Consuelo en seis clases?, ¿y en dieciséis?b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?d) Construye en tu cuaderno el gráfico correspondiente.

Cantidad declases

1 4 6 16

Dineroreunido ($)

4500 40 500 54 000

En esta actividad deberán utilizar palitos de fósforo para formar triángulos. Formen grupos decuatro integrantes y sigan las instrucciones.

1. Formen un triángulo con tres palitos de fósforo.2. Luego, con dos palitos más formen dos triángulos, como se observa en la figura.

3. Con dos palitos más formen tres triángulos, con dos más cuatro triángulos y así, vayanagregando dos palitos más para formar un triángulo más cada vez.

4. Según lo obtenido, comenten y respondan:

a) ¿Qué tipo de triángulos son los que se forman?, ¿por qué?b) En una tabla anoten la cantidad de triángulos que se forman y la cantidad de palitos

utilizados en cada caso, ¿qué observan?c) ¿Cuántos palitos son necesarios para formar siete triángulos?, ¿y veinte?, ¿y ciento tres?,

¿por qué?d) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?e) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?

En equipo

Dos triángulosUn triángulo




• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas […], uso e interpretación de la notación de funciones.

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:ActividadesÍtem 2: calcular, representar e identificar.Ítem 3: calcular, saber e identificar.Ítem 4: formular, identificar y representar.Ítem 5: identificar, representar, calcular y saber.Ítem 6: calcular, formular, identificar y representar.


Cantidad de bebidas 1 2 3 5 9 11

Costo ($)

Kilogramos de pan 8 24 30 32

Precio ($) 8160 20 400

En equipoAnalizar, representar e identificar.


• En el ítem 2, si es necesario, agregue valores adicionales a la tabla para que sea mássencillo graficar. Al finalizar esta actividad, pregunte a sus estudiantes: ¿cómo es elgráfico construido?, ¿qué forma tiene?, ¿qué sucedería con el gráfico si las en-tradas bajaran a mitad de precio?

• En el ítem 3, si tienen dificultades para determinar cuál es la variable dependientey cuál es la independiente, podría preguntarles: ¿de qué depende que el perímetrodel triángulo aumente o disminuya?Además, para continuar trabajando con este ejercicio, pregunte: ¿qué sucedecon la función que permite determinar el perímetro si la figura es un rectángulodonde el largo mide el doble del ancho?, ¿cuál será? Responde las preguntas by c para este caso.

• En el ítem 4, puede que sus estudiantes confundan la expresión que modela estasituación, pues a diferencia de la anterior, esta considera un valor fijo ($ 6800) quese suma al valor de los metros cuadrados pintados, es decir, la expresión algebraicaque representa el costo del trabajo completo al pintar x metros cuadrados pintadoses: f(x) = 5000x + 6800. Si es necesario, pídales que grafiquen la función en suscuadernos y, luego, la comparen con el gráfico del ítem 5.

• En el ítem 5, para determinar con mayor facilidad la expresión que modela estasituación, pídales que hagan una tabla similar a la del ítem 3, y que además com-paren este gráfico con el del ítem anterior. Esta es una buena instancia para referirse a las funciones lineal y afín.

• En el ítem 6, para completar, podría preguntarles qué técnica o estrategia utilizaron. Además, pídales que revisen con dos compañeros o compañeras sus resultadosobtenidos, pues de este modo pueden corregir errores si los tuvieran.

• En la actividad EN EQUIPO, supervice que todos dispongan de los materiales nece-sarios para trabajar. Si no cuentan con ellos, pueden dibujar, en sus cuadernos,los triángulos que se forman con los palitos de fósforo.

299 Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales


De refuerzo

1. Determina, en cada función, las variables dependiente e independiente.

a) El número de lados de un polígono y la cantidad de ángulos exteriores.b) Un número y su mitad.c) La cantidad de boletos de bus comprados y su costo.d) Un número y su quinta parte.

2. En una botillería se venden a $ 1200 las bebidas desechables de 3 litros.

a) Completa la siguiente tabla.

b) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?c) ¿Cuál es el precio de 9 litros?, ¿de 18 litros?, ¿y de 5 bebidas?d) ¿Cuál es la función que modela esta situación?e) ¿Cuántas botellas se pueden comprar con $ 8400?, ¿a cuántos litros corresponde?f) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

(Habilidades que desarrolla: identificar, calcular, analizar, representar y formular).

De profundización

1. En una panadería se vende diariamente cierta cantidad de pan. Completa la siguientetabla que representa la relación entre los kilogramos de pan y su costo.

a) ¿Cuál es el precio de un kilogramo de pan?, ¿cómo lo supiste?b) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?d) ¿Cuántos kilogramos de pan se pueden comprar con $ 10 880?e) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

(Habilidades que desarrolla: identificar, analizar, calcular, representar y formular).



178 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuántas cajas necesita para distribuir los alfajores?, ¿por qué?• ¿Cuál es la función que modela esta situación?• ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?• ¿Qué valores puede tomar en este caso la variable x?, ¿y la

variable y?, ¿por qué?

Daniel quiere envasar todos los alfajores y repartirlos equitativamenteen las cajas. Por lo tanto, si observamos la tabla anterior, notamosque no podría usar doce cajas, tampoco treinta, ya que tendría quepartir los alfajores, o las cajas no tendrían la misma cantidad.

Luego, la función que modela esta situación es y = , donde la

variable independiente x es la cantidad de cajas y la variable dependiente y es la cantidad de alfajores por caja. En este caso, los valores de x y los de y deben ser números enteros positivos.

Como 160 debe ser divisible por x, los valores que puede tomar lavariable x en este caso son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160.

El conjunto de valores mencionados corresponden al dominio de lafunción y son todos aquellos valores que la variable independientex puede tomar.

En el caso de los valores resultantes, al remplazar los valores deldominio son: 160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1.

Estos valores corresponden al recorrido de la función y son todosaquellos valores que toma la variable dependiente y.

Finalmente, los conjuntos dominio y recorrido de la función

f (x) = son:

Dom ( f ) = �1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160�Rec ( f ) = {160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1}

Dominio y recorrido

Daniel hizo ciento sesenta alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. Observa la siguiente tabla.

Cantidad de cajas 8 10 12 16 20 30

Cantidad dealfajores por caja

20 16 13,3 10 8 5,3

160x

160x


Actividades

1. Entre dos ciudades hay una distancia de 360 km. Construye una tabla de valores que relacione larapidez constante y el tiempo que emplearían diversos automóviles en recorrer esta distancia,considerando que la rapidez máxima es de 120 km/h. A partir de la tabla, determina el dominio y el recorrido de la función.

2. El valor general de las entradas para asistir a un teatro es de $ 4500 y su capacidad máxima espara ciento cincuenta personas.

a) ¿Cuánto dinero se recauda si asisten ochenta y seis personas?, ¿y si van ciento treinta y tres?b) ¿Cuál es la función que determina esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? d) Determina el dominio y recorrido de esta función.

3. Romina tiene trescientos caramelos que reparte entre los niños del barrio, entregándoles lamisma cantidad de dulces a cada uno.

a) ¿Cuántos caramelos les regala a cada niño si son quince?, ¿y a veinticinco?b) Determina la expresión algebraica que representa esta situación.c) Si uno de los niños recibe cinco dulces, ¿a cuántos niños les repartió los caramelos?d) Determina el dominio y recorrido de esta función.

4. En un triángulo rectángulo la medida de uno de los ángulos agudos se puede representar por lafunción y = 90 – x.

a) ¿Qué representa la variable independiente x en este caso?b) ¿Qué valores puede tomar la variable x?, ¿y la variable y?, ¿por qué?c) ¿Qué sucede con el ángulo x si el triángulo es isósceles?d) Construye en tu cuaderno una tabla que represente esta situación.

• Se llama dominio de una función, y se expresa por Dom ( f ), al conjunto de valores que lavariable independiente x puede tomar en la función f .

• Se llama recorrido de una función, y se expresa por Rec ( f ), al conjunto de valores que toma la variable dependiente y, es decir, todos los valores que resultan al remplazar losvalores del dominio en la función f .

No olvides que...

Unidad 6




• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, […] identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notaciónde funciones.


Para discutirÍtem 1: analizar, calcular y justificar.Ítem 2: representar y formular.Ítem 3: identificar y justificar.Ítem 4: analizar y justificar.


ActividadesÍtem 1: calcular, representar e identificar.Ítems 2 y 3: calcular, identificar, formular y representar.Ítem 4: analizar, identificar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, ytienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen la información presentada enuna tabla, la que les permite comprender qué es el dominio y recorrido de una función.

Si sus alumnos y alumnas presentan dificultades para comprender estos conceptos,plantee otras funciones contextualizadas; por ejemplo: el valor de una bebida en lata es$ 600, la función que representa el valor (y) de una cierta cantidad de bebidas (x) es:

y = 600x, o bien f(x) = 600x, donde Dom (f) = �0 y Rec (f) = {600 • n / n ∈�0}.


• En el ítem 1, si es necesario, pídales a sus estudiantes que confeccionen una tablapara facilitar la identificación del dominio y recorrido de la función.

• En los ítems 2 y 3, es fundamental que hayan comprendido lo de las páginas ante-riores sobre funciones, pues se solicita determinar la función, identificar la variabledependiente y la independiente, además del dominio y recorrido. Al finalizar estasactividades, es conveniente que las revisen en conjunto para detectar y corregirposibles errores.

• En el ítem 4, si sus estudiantes tienen dificultades para responder, pídales quecomiencen por construir la tabla que representa la situación, pues al observar losvalores puede resultarles más sencillo analizar y responder las preguntas.


Para ampliar los conceptos estudiados en el Texto para el Estudiante es importantetener en consideración lo siguiente:

• En una función de A en B, cada elemento de A tiene una y solo una imagen enB. Por comprensión, lo anterior se escribe:

∀ x ∈A, ∃! y ∈B / f(x) = y

• Si f es una función de A en B, entonces f describe un proceso en donde los elementos de A se transforman en elementos del conjunto B. Luego, la expresiónf : A → B traduce dicha idea. Además, y = f(x) significa que y es el resultado de“procesar” al elemento x mediante la función f.

• Por definición de dominio de una función se tiene:

Dom (f) = {x ∈A / ∃ y ∈B : y = f(x)}

• Por definición de recorrido de una función se tiene:

Rec (f) = {y ∈B / ∃ x ∈A : y = f(x)}

Fuente: Orellana A. (1998). Apuntes Álgebra I. (p. 35, 36 y 56).Santiago: Universidad de Santiago de Chile.


De refuerzo

1. Una abuelita repartirá 120 caramelos entre los nietos que vayan a verla el sábadoa su casa. Todos recibirán la misma cantidad de caramelos.

a) Si la visitan tres de sus nietos, ¿cuántos caramelos les toca cada uno?b) Determina la expresión algebraica que modela esta situación.c) Determina el dominio y recorrido de esta función.

2. Roberto quiere repartir sus 150 cartas de mitos entre sus amigos presentes.Cuando las reparte, decide que todos recibirán la misma cantidad.

a) ¿Cuántas cartas les toca a cada uno si son 10 sus amigos presentes?b) ¿Cuál es la función que determina esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?d) Determina el dominio y recorrido de esta función.

(Habilidades que desarrolla: identificar, calcular, representar y formular).

De profundización

1. Observa la función que representa el área de un cuadrado dado su lado.

a) ¿Qué valor toma la variable y si la variable x es 3 cm?, ¿y si x es 7 cm?b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a esta función?c) ¿Cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?

(Habilidades que desarrolla: interpretar, identificar, representar y formular).


Área (cm2)

Lado (cm)


180 Unidad 6

Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones, determinar laexpresión algebraica asociada y observar su dominio y recorrido.

Gráfico de una función en Excel

1º En la columna A escribe el doble de los siete primeros números naturales, en orden creciente, es decir, en la celda A1 escribe el doble de 1, en A2 el doble de 2, en A3 el doble de 3, así sucesivamente, hasta A7.

2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”. 4º En las opciones de gráficos selecciona “XY Dispersión”.5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la planilla, como el que

aparece a continuación:

6º Además, puedes poner el siguiente título al gráfico: Relación entre un número natural y su doble.

Luego de desarrollar los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades.

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa al gráfico anterior?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?

b) En una nueva planilla de cálculo, escribe el área de seis cuadrados, cada uno tiene comomedida de sus lados un número natural (en cm), partiendo desde 1 hasta 6, en ordencreciente. Luego, sigue nuevamente los seis pasos y responde las preguntas anteriores.

c) En el almacén de don Luis se venden masticables a $ 40 cada uno.

• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?• Sigue los seis pasos anteriores para graficar esta función, en una nueva planilla de cálculo.• ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?• ¿Cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?• ¿Cuánto costarán diecisiete masticables?, ¿por qué?


1614121086420

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Mi progreso

Unidad 6


x 1 2 3 4 5 6 7

y 5 7 9 11 13 15 17

1200x


Reconocer la función que representa una situación dada. 1

Analizar la veracidad de afirmaciones asociadas a funciones. 2

Resolver un problema que requiere analizar una función. 3

Analizar una función escrita en tabla y escribirla algebraicamente. 4


1. En una florería, cada rosa vale $ 1200. Si x representa la cantidad de rosas de un ramo e ysu costo, ¿cuál es la función que representa el precio de un ramo de rosas?

A. y = 1200 B. y = 1200 + x C. y = 1200x D. y =

2. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta?

A. El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variabledependiente.

B. Si el dominio de la función y = 3x corresponde al conjunto de los números naturales, el recorrido está compuesto por los divisores de tres.

C. El recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.D. La relación entre un número natural y su doble es una función que algebraicamente se

representa como y = 2x.

3. La función y = 130x representa el dinero (y) que se recauda en un día según la cantidad (x) desopaipillas vendidas en una panadería.

a) Si un día contabilizaron $ 12 610, ¿cuántas sopaipillas se vendieron?b) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?c) ¿Cuál es el dominio de esta función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste.d) Grafica esta función en tu cuaderno.

4. ¿Puedes determinar una expresión algebraica que modela los valores de la siguiente tabla?






• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables de-pendientes e independientes en ellas e identificación de sus elementos consti-tuyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones.


Herramientas tecnológicasUsar herramientas, identificar, formular, representar, calcular y justificar.



• Para realizar las actividades con sus estudiantes, es conveniente que realice todaslas actividades propuestas previamente. Además, es fundamental que identifiquelas funciones que se solicitan, pues no todas las representaciones gráficas sonuna recta. Por ejemplo, la primera función es f(x) = 2x, donde x ∈�, la segundaes g(x) = x2, donde x ∈�; y la tercera función es p(x) = 40x, donde x ∈�.

• Durante el desarrollo de la actividad, supervise permanentemente a sus alumnosy alumnas, pues podrían aparecer diversas dificultades que requieran de su ayuday orientación.

• Es conveniente que una vez que terminen la actividad, discutan y comenten losresultados obtenidos para hacer una puesta en común.


De refuerzo

1. Resuelve los mismos problemas de la actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICASen tu cuaderno, graficando las funciones de forma manual. Luego, justifica cadauno de tus pasos.

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, formular, calcular, justificar yrepresentar).

De profundización

1. Utiliza una planilla de cálculo para graficar el problema 2 de la página 181, indicandocada uno de los pasos.

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, conectar, recordar, formular, representar y justificar).


Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.


Mi progresoÍtem 1: analizar, representar y formular.Ítem 2: analizar y distinguir.Ítem 3: analizar, calcular, identificar, representar y justificar.Ítem 4: analizar y formular.


• En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta, loque dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es conve-niente que les pida que realicen los pasos al lado de cada pregunta, ya que si hayerrores en el desarrollo, será más sencillo detectarlos y corregirlos.

• En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultades para identificar la función correcta,pídales que reconozcan primero las variables dependiente e independiente.

• En el ítem 2 es importante que les solicite que justifiquen aquellas afirmaciones queconsideran incorrectas; es decir, mencionar por qué cierta afirmación es falsa.

• En el ítem 3, cada pregunta está orientada a recordar y aplicar lo aprendido hastaahora, es por ello que debe monitorear las soluciones obtenidas, pues podrá de-tectar a aquellos alumnos y alumnas que tienen más dificultades. Se sugiere querevisen en la pizarra el desarrollo de las preguntas.

• En el ítem 4, si sus alumnos y alumnas tienen dificultad para reconocer la funciónque representa la situación, pídales que sigan completando la tabla, a fin de reco-nocer la regularidad.




3

Responde correctamente cada una delas preguntas, justificando sus pasos.

Responde correctamente cada unade las preguntas sin justificar todossus pasos.

Responde erróneamente una o dospreguntas; no justifica todos sus pasos.

Responde erróneamente más de dospreguntas; no justifica sus pasos.

4

Formula correctamente la función asociada de forma mental.

Formula correctamente la funciónasociada, recurriendo a la visualización de algún diagramapara obtenerla.

Identifica el comportamiento de la función, pero no identifica la expresiónalgebraica asociada.

No identifica el comportamiento de la función ni la expresión algebraica asociada.



Revista Precio unitario ($) Valor por ficha adicional ($)

A 2890 1000

B 3690 900

C 4790 500

Revista 4 5 6

A

B

C

3. Observa el siguiente gráfico, completa la tabla y responde.

a) ¿Qué expresión algebraica representan el gráfico y la tabla anteriores?

b) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el recorrido?

c) Si x = 4, ¿cuál es el valor de y?

4. En un kiosco se venden diferentes revistas de “ciencias”, las que traen diversasfichas anexas.

a) Completa la siguiente tabla con los valores que se pagarían por cada revista,según si traen 4, 5 ó 6 fichas.

b) ¿Qué revista conviene (por precio) si se compran 4, 5 ó 6 fichas?c) ¿Qué funciones representan el precio de cada revista si se compran x fichas?



De refuerzo

1. Claudio recorre en su bicicleta un tramo de 45 km, desde su casa al parque, a unavelocidad promedio de 10 km/h.

a) ¿Cuánto demora aproximadamente en recorrer dicha distancia si no se detieneen ningún momento?, ¿por qué?

b) Después de 3 horas, ¿qué distancia recorre aproximadamente si no se detieney mantiene el ritmo?, ¿alcanza a llegar al parque?

c) ¿Qué expresión algebraica representa la distancia recorrida (y) por hora (x) transcurrida?

d) ¿Cuál es la variable independiente?, ¿y la dependiente?, ¿por qué?

e) Si Claudio recorrió 62,5 km sin realizar detenciones y a velocidad constante,¿cuánto tiempo tardó?

f) ¿Cuál es el dominio de esta función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste.

g) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

2. Una persona, en promedio, quema 130 calorías por bailar durante media hora (sin parar).

a) Completa la tabla.

b) ¿Cuántas calorías quema si baila una hora y media?, ¿y dos horas con quince minutos?

c) ¿Cuál es la función que permite calcular la cantidad de calorías quemadas por hora?

d) ¿Cuál es la variable independiente?, ¿y la dependiente?, ¿por qué?

e) Si una persona quema 325 calorías bailando, ¿cuántos minutos bailó?


Minutos Calorías quemadas

30

60

90

120

150

180

x y = f(x)

1

2

2,5

3

3,5

4


Revista 4 5 6A 6890 7890 8890B 7290 8190 9090C 6790 7290 7790

Minutos Calorías quemadas30 130

60 260

90 390

120 520

150 650

180 780



De refuerzo

1. a) 4 h 30 minb) 30 kmc) y = 10xd) Variable independiente: horas; variable dependiente: distancia recorrida.e) 6 h 15 minf) El Dom (f) son los números positivos (�+) y el Rec (f) son los números positivos (�+).

2. a)

3. a) f(x) = xb) El Dom (f) son todos los números positivos y negativos, incluido el cero (�), y el

Rec (f) = �.c) y = 4

4. a)

De profundización

1. a) $ 13 500, x =

N° de blusas Precio ($)

1 5400

2

3

4

7

9

11

N° de blusas Precio ($)1 5400

2 10 800

3 16 200

4 21 600

7 37 800

9 48 600

11 59 400

b) 390 calorías y 585 calorías,respectivamente.

c) f(x) = 260x

d) Variable independiente: horas;variable dependiente: caloríasquemadas.

e) 1 h 15 min

5400 • 10040

2. a) 13

b) Variable independiente: cantidad de pollos; variable dependiente: dinero recaudado.

c) Dom (f) = �0 y

Rec (f) = {3790 • n / n ∈ �0}.

b) La revista C.c) A: f(x) = 2890 + 1000x

B: g(x) = 3690 + 900xC: p(x) = 4790 + 500x

b)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

55 000

50 000

45 000

40 000

35 000

30 000

25 000

20 000

15 000

10 000

5000

Precio ($)

Cantidad de blusas

De profundización

1. Andrea compra una blusa en $ 5400, la que estaba rebajada en 60%.

a) ¿Cuánto costaba la blusa inicialmente?, ¿cuál es la ecuación que permite en-contrar la solución?

b) Completa la siguiente tabla y el gráfico que relaciona la cantidad de blusas, condescuento incluido, con el gasto asociado.

2. La función y = 3790x representa el dinero que se recauda en un día, según lacantidad de pollos asados vendidos en un local de comida rápida.

a) Si un día contabilizaron $ 49 270, ¿cuántos pollos asados vendieron?b) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?c) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste.d) Construye en tu cuaderno el gráfico de esta función.


182 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuál es el valor de la razón en cada caso?• ¿Cuáles de las razones entre las medidas de los lados de las

fotografías forman una proporción?, ¿por qué?• ¿Cuál es la fotografía “distorsionada”?, ¿por qué?

En la situación presentada, al calcular el valor de la razón de lafotografía original, de la fotografía 2 y de la fotografía 3,obtenemos 2, 3 y 2, respectivamente. Notemos que en la fotografíaoriginal y en la fotografía 3 el valor de la razón se mantieneconstante, por lo tanto, la fotografía 3 está correctamenteampliada; en este caso, diremos que las fotografías 1 y 3 sonproporcionales, mientras que las fotografías 1 y 2 no sonproporcionales, ya que sus razones no forman una proporción, es decir, la fotografía 2 es la que se ve distorsionada.

Variaciones proporcionales y noproporcionales

Marisol amplió unas fotografías de su hija, al verlas se dio cuentade que una de ellas está “distorsionada”, es decir, la imagen no seve igual que la fotografía original.

Completa la tabla.

Glosario constante: es un valor de tipopermanente, que no se modifica,en una situación dada.

Fotografía 2

Largo (cm) Ancho (cm)Razón entrelargo y ancho

Fotografía (1) 4 2

Fotografía (2) 6 2

Fotografía (3) 6 3

Fotografía 3

Fotografía original (1)


Actividades

• Si el valor de la razón entre dos variables se mantiene constante (no cambia) estas variablesson proporcionales.

No olvides que...

1. Mide el largo y ancho de las siguientes fotografías y determina si son proporcionales a la fotografía original.

a) c)

b)

2. Un padre tiene 40 años de edad y su hijo, 20 años. Completa la siguiente tabla y, luego, responde.

• ¿La edad del padre y la del hijo son proporcionales a medida que transcurren los años?, ¿por qué?

3. Observa los datos respecto de la temperatura de un paciente en un día cualquiera.

a) ¿Cuáles son las variables que intervienen?b) Estas variables ¿son proporcionales o no proporcionales?, ¿por qué?c) Construye el gráfico correspondiente.

Unidad 6

Tiempo transcurrido en años

1 5 10 15

Padre 41

Hijo 21

Hora (h) 8 9 10 11 12 13 14

Temperatura (ºC) 37,5 37 38 38,5 39 37,5 38

Fotografía original




• […] Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argu-mentación acerca de la diferencia con el caso proporcional.

• Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relaciónde proporcionalidad como modelo matemático.


Para discutirÍtem 1: calcular.Ítem 2: identificar y justificar.Ítem 3: analizar y justificar.


Días del mesde diciembre 14 15 16 17 18 19 20 21

Juguetes vendidos 8

ActividadesÍtem 1: usar herramientas, analizar e identificar.Ítem 2: analizar, calcular y justificar.Ítem 3: identificar, analizar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter explorato-rio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación de la vidadiaria en la que una de las fotografías está distorsionada con respecto a la original.Esto permite relacionar directamente la Matemática con actividades que realizamoshabitualmente y que muchas veces pasamos por alto.

Esta instancia es propicia para que comente sobre los dibujos a escala, que repre-sentan la realidad en un mapa o plano, es decir, relaciona las dimensiones reales ylas del dibujo; por ejemplo, la escala 1 : 5000 significa que 1 cm del plano equivalea 50 m en la realidad, pues el primer término (antecedente) indica el valor del plano,mientras que el segundo término (consecuente) señala el valor de la realidad.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE PROBLEMAS

• En el ítem 1, solicíteles a sus estudiantes que midan con regla y anoten las medidasrespectivas al lado del largo o ancho, según corresponda. Además, para determinarsi son proporcionales, monitoree que calculen el valor de la razón que corresponde,sin invertir los valores.

• En los ítems 2 y 3, pídales que justifiquen su decisión con ejemplos concretos.Mencione que para refutar una idea o afirmación, basta con dar un contraejemplo,mostrando que si no se cumple en uno de los casos, la afirmación no es cierta. Delo contrario, se debe probar si son verdaderas.


Es conveniente recordar y profundizar respecto de los conceptos de razón y proporción:• Se llama razón a la comparación por cociente entre dos cantidades a y b cualesquiera.

Una razón se puede expresar como:

a : b, o , ∀ a, b ∈�, b ≠ 0

Se lee “a es a b”.Toda razón tiene asociado un cociente llamado valor de la razón. Así:

= k, k ∈� donde k es el valor de la razón.

• Se llama proporción a la igualdad entre dos razones. Dada una proporción

a : b = c : d, o bien = , donde a, b, c, d ∈� y b ≠ 0, d ≠ 0.

Se lee “a es a b como c es a d”.

cd

ab

ab

ab

• Los términos a y d se denominan téminos extremos, y c y d, términos medios.• Teorema fundamental de las proporciones: En toda proporción, el producto de

los términos medios es igual al producto de los términos extremos. Es decir:

= ⇔ a • d = b • c, con b ≠ 0, d ≠ 0

Demostración:

Sean a, b, c, d ∈� y b ≠ 0, d ≠ 0, y tenemos que = .

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por “bd”, es decir:

= / • bd

a • d = c • b

∴ a • d = c • b ∀ a, b, c, d ∈� y b ≠ 0, d ≠ 0


De refuerzo

1. Don Manuel es un comerciante y vende juguetes en temporada de Navidad.Desde el 15 de diciembre, sus ventas aumentan en 4 juguetes más por cada día transcurrido, es decir, si un día normal vende 20, al otro, 24 y al siguiente, 28, etcétera.

a) Completa la siguiente tabla y responde:

¿Los días del mes de diciembre y los juguetes vendidos son proporcionales amedida que transcurren los días?, ¿por qué?

b) ¿Cuánto vendió el día 22 de diciembre?c) ¿Cuántos vendió en total hasta el 24 de diciembre?

(Habilidades que desarrolla: analizar, justificar, representar y calcular).

cd

ab

cd

ab

cd

ab


• bd = • bd / simplificandocd

ab


184 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuánto pagarías por cinco boletos?, ¿y por veinticuatro?• ¿Cuál es la función que modela esta situación?• ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?, ¿cuál es su

dominio y recorrido?• ¿Cuál es la razón entre el total a pagar y la cantidad de boletos

vendidos?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es siempre el mismo?

La situación presentada se puede modelar mediante la función f (x) = 430x. En este caso, el precio total (variable y) depende de lacantidad de boletos vendidos (variable x), por lo tanto, el totalcorresponde a la variable dependiente y la cantidad de boletos a lavariable independiente. Además, dado que se trata de cantidad deboletos, podemos notar que los valores que puede tomar lavariable x, son el conjunto de los números naturales, es decir, Dom ( f ) = � y los valores que resultan al remplazar los númerosnaturales en la función son múltiplos de 430, es decir, Rec ( f ) = �430, 860, 1290, 1720, …�.

Para saber cuánto se cancela por cinco boletos podemos calcular el valor de la función para x = 5, remplazando obtenemos: f (5) = 430 • 5 = 2150, lo que significa que se pagará $ 2150.

Si queremos saber cuánto se cancela por veinticuatro boletoscalculamos f (24) = 430 • 24 = 10 320, es decir, se pagará $ 10 320.

Relación de proporcionalidad directa

En una ciudad del país, el valor de un boleto de locomoción públicacuesta $ 430.

El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan la relación entre la cantidad de boletos vendidos y el precio.Completa la tabla.

Cantidad de boletos

Total por pagar($)

1 430 • 1 = 430

2 430 • 2 = 860

3

4

5

6

7

Cantidadde boletos(Nº)

Precio ($)

1 2 3 4 5

500

1000

1500

2000


Actividades

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional. Justifica tus respuestas.

a) El número de hojas de un libro y su peso.b) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.c) Las longitudes de los lados de un triángulo y su área.d) El precio de las entradas para ir al cine y la cantidad comprada.e) El número de trabajadores y los días que demoran en terminar su trabajo.f) La longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.

• Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, son directamente

proporcionales si el valor de la razón es constante, es decir, = k, donde k es la constante

de proporcionalidad.

• Esta relación de proporcionalidad directa se puede representar como una función de la forma y = kx. La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una mismarecta que pasa por el origen en un sistema de coordenadas cartesianas.

• En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra tambiénaumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra también disminuyeen un mismo factor.

No olvides que...

Unidad 6

En esta situación, el valor de la razón entre el total a pagar y lacantidad de boletos vendidos es constante, ya que,

= = = 430.

En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta

forma, es decir, si el valor de la razón es constante, las variables

son directamente proporcionales. Además, notemos que, en este ejemplo, mientras más boletos compramos, más dinero debemospagar. En general, en una relación de proporcionalidad directa siuna de las variables aumenta o disminuye, la otra también aumentao disminuye en la misma razón.

4301

8602

12903

yx

yx

yx




• Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de propor-cionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. […].



Para discutirÍtem 1: calcular.Ítem 2: representar.Ítem 3: identificar.Ítem 4: calcular y analizar.


x y

12 15

24 30

60 75

144 180

x y

5 6

10 14

55 65

500 600

x y

8 20

16 40

32 80

80 200

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio,y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación de su entornoque se relaciona con actividades cotidianas. Además, sus conocimientos y experienciasprevias les facilitarán la comprensión y asimilación de los nuevos conceptos involucra-dos y de los modelos matemáticos que les permitirán solucionar diversos problemas,como el que se les presenta en esta página.

Para complementar las preguntas de esta sección, podría plantear lo siguiente:

• En esta función, ¿la variable independiente puede tomar valores decimales?, ¿por qué?• ¿Qué sucede si el boleto aumenta en $ 20?, ¿cómo representarías la función en

este caso?• ¿Qué ocurre ahora con la razón entre el total que se debe pagar y la cantidad de

boletos vendidos?


• En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultades para identificar que las variablesse relacionan de manera directamente proporcional, pídales que les asignen valo-res en cada caso y completen una tabla para así analizar y calcular si la razónentre ellos es constante. Por ejemplo, para la actividad f, “la longitud del lado deun triángulo equilátero y su perímetro”, podemos darles los siguientes valores:

Comprobamos que el valor de la razón entre las variables en este caso es cons-

tante � = = = 3�. Por lo tanto, sí se relacionan de manera directamente

proporcional.


Es importante profundizar respecto de la representación gráfica de una relación deproporcionalidad directa:

Dadas dos variables, x e y, directamente proporcionales, con constante de propor-cionalidad k, se tiene que su gráfica está dada por y = k • x, es decir, el gráfico esuna línea recta que pasa por el origen.

3010

124

62

Ejemplo:

Un niño da un paseo en bicicleta a velocidad constante y, así, recorre8 kilómetros en una hora.

En este caso la constante de proporcionalidad es 8; por lo tanto, la gráfica que representa estasituación está dada por y = 8x.


De refuerzo

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente propor-cional. Justifica tu respuesta.

a) Lo que lee diariamente Carlos de un libro y lo que le falta para terminarlo.

b) El tiempo de encendido de un televisor y la energía que gasta.

c) La cantidad de harina que se necesita para hacer un número determinado de panes.

d) El total de artículos vendidos en una tienda y las ganancias adquiridas.


De profundización

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional.Determina la constante de proporcionalidad directa en los casos que lo sean.

a) b) c)

(Habilidades que desarrolla: analizar e identificar).


Longitud del lado (cm) Perímetro (cm)

2 6

4 12

10 30


2. En los días de calor, el dueño de un kiosco vende muchos helados, por eso diseña una tabla conlos posibles pedidos. Complétala.

a) ¿Cuál es la razón entre el precio y la cantidad de helados?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es constante?, ¿por qué?

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?c) ¿Cuánto costarán dieciocho helados?, ¿y treinta y cinco?, ¿por qué?d) Completa el gráfico de esta función.

3. Observa el rectángulo. Luego, completa la tabla y el gráfico correspondiente y responde.

a) ¿Qué sucede con el perímetro a medida que x aumenta?, ¿y si disminuye?b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? Explica cómo la encontraste.

186 Unidad 6

Cantidad de helados 1 2 5 8 12 17

Precio ($) 360

Cantidad de helados (Nº)

Precio ($)

1 2 3 4 5 6 7

400

800

1200

1600

2000

x 3x Perímetro rectángulo (y)

1

2

3

4

5

3x

x

Ancho (x)

Perímetro (y)

1 2 3 4 5

10

20

30

40

4. El siguiente gráfico indica la distancia recorrida por dos autos, uno rojo y uno verde, en untiempo determinado sin que cambien sus velocidades en el tiempo.

a) Completa las tablas según el gráfico.b) ¿Cuál de los dos autos va más rápido?, ¿por qué?c) ¿En cuánto tiempo el auto verde recorrerá 60 km?d) ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el auto rojo?, ¿y para el verde?e) ¿A qué distancia del punto inicial se encontrará el auto verde en 10 horas más?f) ¿Cuánto tiempo se demorará el auto rojo en recorrer 480 km?g) ¿Cuál es la función que representa la distancia recorrida por el auto rojo?, ¿y la del auto verde?


Unidad 6

120110

1009080

706050

403020

100

1 2 3Tiempo (h)

Distancia (km) Trayectoria de 2 autos

Tiempo (h) Distancia (km)

1 30

Tiempo (h) Distancia (km)

2 80

Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. En esta actividad deberán buscar información en diversas fuentes para completar y responder las siguientes preguntas.

a) Los trenes del Metro de Santiago viajan con una rapidez promedio de por hora entre cada estación.

b) Si la distancia desde Santiago a Talca es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro enllegar a esa ciudad si no realizara detenciones?

c) Si la distancia desde Valparaíso a Temuco es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro en llegar a esa ciudad si no realizara detenciones?

d) Si el Metro logró llegar a su destino en 2,8 horas, ¿cuántos kilómetros recorrióaproximadamente sin considerar las detenciones?

En equipo







ActividadesÍtems 2 y 3: analizar, identificar, calcular, representar y justificar.Ítem 4: analizar, interpretar, calcular, identificar, formular y justificar.En equipoConectar y calcular.


Sobre de jugo 1 3 5 12 14 15

Gramos de azúcar

De profundización

1. Una empresa de turismo aventura formó dos grupos por edades (A: niños,B: adultos) para efectuar un paseo. Para el grupo A, se asignan 2 kg de alimentopor persona; y para el grupo B, se asignan 3 kg de alimento por persona.

a) Grafica los kilogramos de alimento de los dos grupos de turistas, A y B, segúnel número de personas.

a) ¿Cuántos kilogramos de alimento en total se necesitan para 25 personas delgrupo A y 12 del grupo B?

b) ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el grupo A?, ¿y para elgrupo B?

c) ¿Cuántos turistas del grupo A necesitan 80 kilos?, ¿cómo lo supiste?

d) ¿Cuál es la función que representa los kilogramos de alimento del grupo A?,¿y del grupo B?

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, representar y formular).


• En el ítem 2, para facilitar el desarrollo de la actividad, es conveniente que sus es-tudiantes comiencen por llenar la tabla, para luego responder las preguntas. Unavez identificada la expresión algebraica que modela la situación, es aconsejableque hagan el gráfico.

• En el ítem 3, si tienen dificultades para responder, pídales que le agreguen más valo-res a la tabla para que observen el comportamiento de la función más ampliamente.

• En el ítem 4, es importante que analicen la información entregada en la repre-sentación gráfica para completar la tabla correctamente, lo que facilitará la obtenciónde las respuestas a las preguntas planteadas sin mayores dificultadades ni errores.x

• En la actividad EN EQUIPO es necesario que sus estudiantes cuenten con un com-putador con conexión a Internet para encontrar la información requerida.


De refuerzo

1. En cada sobre de jugo en polvo de una marca cualquiera hay 5 gramos de azúcar.Completa la siguiente tabla y responde:

a) ¿Cuál es la razón entre los gramos de azúcar y los sobres de jugo?, ¿cuál es elvalor de la razón?, ¿es constante?, ¿por qué?

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido?

c) ¿Cuántos gramos de azúcar tendrán 20 sobres?, ¿y 45 sobres?

d) Completa el gráfico de esta función.

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, identificar, formular y calcular).


70

60

50

40

30

20

10

2 4 6 8 10 12 14 16

Gramos de azúcar

Sobres de jugo

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

kg de alimento

Número de personas


188 Unidad 6

Para discutir

• ¿Qué sucedería si contrataran a 10 obreros más y trabajaran todosal mismo ritmo?, ¿se demorarían más o menos tiempo?, ¿y sicontratara a la mitad de obreros considerados inicialmente?

• ¿Cuál es el producto entre el número de obreros y los días quetardan en terminar el edificio?, ¿es constante?

• ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominioy su recorrido?

En la situación presentada anteriormente, si contrataran a veinteobreros, estos tardarían quince días en realizar la obra, pues alduplicarse el personal y si trabajan al mismo ritmo, tardarían lamitad del tiempo en terminar el trabajo. En cambio, si contratarana cinco obreros, estos se demorarían sesenta días en realizar eltrabajo, ya que como corresponden a la mitad de los consideradosinicialmente, tardarían el doble del tiempo en terminar el trabajo.

Notemos que la variable independiente x es el número de obreros y la variable dependiente y es el número de días.

Observa que, el producto entre el número de obreros y los días que tardan en terminar el edificio es constante, pues 5 • 60 = 10 • 30 = 20 • 15 = 300.

En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de estaforma, es decir, si su producto x • y es constante, las variables soninversamente proporcionales.

Relación de proporcionalidad inversa

Para terminar la construcción de un edificio, el ingeniero a cargo hacalculado que con diez obreros igualmente calificados y trabajandoen las mismas condiciones, termina la obra en treinta días.

El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan larelación entre el número de obreros y los días que tardan enterminar el edificio. Completa la tabla.

Número deobreros

5 10 20 30 50

Número dedías

30 6

Nº de días

Nº de obreros10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

70


• Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, están en proporción inversacuando el producto entre ellas se mantiene constante, es decir, x • y = k, donde k es laconstante de proporcionalidad.

• Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una función de la forma

y = . La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una curva,

llamada hipérbola.

• En una función de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otradisminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en unmismo factor.

No olvides que...

Actividades

1. Indica si las siguientes variables son inversamente proporcionales. Justifica tus respuestas.

a) La longitud de los lados de un triángulo equilátero y su perímetrob) El número de días que tardan en realizar un trabajo un cierto número de secretarias.c) El número de dulces del mismo tipo que compró y lo que pagó por ellos.d) La rapidez con la que se recorre un camino y el tiempo en que se recorre.e) Litros de bencina del estanque de un automóvil y los kilómetros que rinde.f) El caudal de una llave y el tiempo que se demora en llenar un estanque.

Unidad 6

Por otro lado, notemos que si aumenta la cantidad de obreros,disminuye la cantidad de días que demoran en realizar el trabajo enla misma razón y, si la cantidad de obreros disminuye, aumenta lacantidad de días que tardarán en realizar la obra en la misma razón.

Luego, la función que modela esta situación es y = , donde x

corresponde al número de obreros y son números naturales e ycorresponde a los días, por lo que son números naturales también.

Los valores que puede tomar la variable x son números naturalesdivisores de 300, es decir, Dom ( f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, …, 300� ylos valores que resultan al remplazar estos números correspondenal recorrido de la función, es decir, Rec ( f ) = �300, 150, 100, …, 2, 1�.

300x

kx







Actividades Para discutirÍtem 1: calcular. Ítem 1: analizar, identificar y justificar.Ítem 2: analizar y calcular.Ítem 3: representar e identificar.


x y

1 2

4 8

12 24

20 40

x y

1 36

2 18

4 9

30 120

x y

4 5

8 12

10 20

15 16

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio,y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación de su entornoque se relaciona con su diario vivir. Además, sus conocimientos y experiencias previasles facilitarán la comprensión y asimilación de los nuevos conceptos involucrados y delos modelos matemáticos que les permitirán solucionar diversos problemas como elque se les presenta en esta página.

Para complementar las preguntas de esta sección, podría plantear lo siguiente:

• En esta función, ¿la variable independiente puede tomar valores decimales?, ¿por qué?

• ¿Qué sucede con la cantidad de días que tardan si el número de obreros es 40?,¿y si es 60?


• En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultades para identificar que las variablesse relacionan de manera inversamente proporcional, pídales que les asignen valoresen cada caso y completen una tabla para así analizar y calcular si la razón entreellos es constante. Por ejemplo, la actividad k) “la rapidez con la que se recorre uncamino y el tiempo en que se recorre” podemos darles los siguientes valores, con-siderando que se recorre a rapidez constante una distancia de 450 km:

Así comprobamos que el valor de la razón entre las variables en este caso es cons-tante (50 • 90 = 90 • 5 = 150 • 3 = 450). Por lo tanto, sí se relacionan de manerainversamente proporcional.


Es importante profundizar respecto de la representación gráfica de una relación deproporcionalidad inversa:

Dadas dos variables, x e y, inversamente proporcionales con constante de propor-

cionalidad k, su gráfica está dada por la expresión y = o x • y = k; es decir, el

gráfico es una curva llamada hipérbola.

kx


Rapidez (km/h) Tiempo (horas)

50 9

90 5

150 3

Ejemplo:

En una fábrica de alimentos envasados se embala una producción mensual (que es constante) de aceitunas en 3000 cajas que pueden contener 24 latas cada una.

Se quiere variar el tamaño de las cajas para que su capacidad sea de: 8 latas,12 latas, 48 latas y 72 latas.

Como las variables se relacionan de manera inversamente proporcional, la cons-

tante de proporcionalidad se obtiene por el producto de sus variables, que es

72 000. Luego, la gráfica está dada por la función y = .


De refuerzo

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera inversamente propor-cional. Justifica tu respuesta.

a) La cantidad de lados de un polígono y la medida de sus ángulos interiores.b) El número de albañiles y el tiempo que demoran en terminar una obra.c) Los litros de bencina en el estanque de un automóvil y los kilómetros recorridos.d) La rapidez con que Carolina camina a su colegio y el tiempo que demora.


De profundización

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera inversamente proporcional.Determina la constante de proporcionalidad inversa en los casos que lo sean.

a) b) c)

(Habilidades que desarrolla: analizar e identificar).

72 000x


190 Unidad 6

2. El 8º A irá a una ciudad del sur de Chile como gira de estudios. Los apoderados quieren que ellugar de destino sea sorpresa y la única información que les dan es que si el bus va a 80 km/h,tardarían 6 horas en llegar al lugar.

a) ¿A qué distancia se encuentran de esta ciudad?b) Completa la siguiente tabla que indica la rapidez posible del vehículo y el tiempo que

tardarían con cada una de ellas para llegar a la ciudad. Completa el gráfico correspondiente.

c) ¿Cuál es la función que relaciona la rapidez y el tiempo, en este caso?, ¿cuál es su dominio?d) ¿A qué rapidez debe ir el vehículo para tardar 5 horas en llegar?e) Si el vehículo fuese a una rapidez de 50 km/h, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar a destino?f) Si la rapidez promedio de una persona al caminar es de 5 km/h, ¿cuánto demoraría una

persona en realizar el mismo viaje?g) Si unes los puntos del gráfico, ¿qué obtienes?

3. En cada caso, completa la tabla, explica por qué las variables están inversamente relacionadas,determina la función que las modela y construye el gráfico en tu cuaderno.

a) El área de un rectángulo es 6 cm2.

b) Un tren debe recorrer 600 kilómetros. ¿Cuánto tiempo tardará si lleva una rapidez constante?

c) Un panadero elaboró 144 alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la mismacantidad de unidades. ¿Cuántas cajas podría armar según la cantidad de alfajores que seindican en la tabla?

Tiempo (h)

Rapidez (km/h)

2 4 6 8 10 12 14 16

20

40

60

80

100

120

100

80

60

40

20

Tiempo (h) Rapidez (km/h)

4

6 80

60

10

12

Área 6 cm2base (cm) 1 1,5 2 3 4 6

altura (cm)

Rapidez constante (km/h) 40 50 60 100 120

Tiempo (h) 6

Cantidad de alfajores por caja 6 12 18 24

Cantidad de cajas

0

Unidad 6

4. Descubre qué tablas expresan funciones de proporcionalidad inversa y cuáles directa. En cadacaso, anota el valor de la constante de proporcionalidad (k) donde corresponde. Luego, escribe lafunción que modela los datos en cada tabla.

k = k = k = k =

5. Resuelve en tu cuaderno y, luego, completa la tabla.

ProblemaTipo de

proporcionalidadFunción que la

representaRespuesta al

problema

Quince máquinas iguales hacen sutrabajo en cinco días. ¿Cuántasmáquinas se necesitan para hacer el trabajo en un día?

Una persona acumula en promedio 1 kg de basura diaria. ¿Cuántoskilogramos juntará en diez días?

Si van doce niños a un campamento,los alimentos durarán seis días. Si todos comen la misma cantidad,¿cuántos días durará la comida si vanseis niños más?

Dos ciclistas demoran cuatro horas en llegar a la playa viajando con unarapidez de 30 km por hora. ¿Con quérapidez tendrían que viajar para tardartres horas?

La impresora de un colegio reproducecincuenta y cuatro informes de notas en tres minutos. ¿Cuántos informesimprime en cinco minutos?

x y

4 5

2 10

1 20

0,5 40

x y

7 21

2 6

10 30

0,5 1,5

x y

3 525

5 875

2 350

10 1750

x y

3 8

6 4

12 2

1 24








ActividadesÍtems 2 y 3: analizar, identificar, calcular, representar, formular y justificar.Ítems 4 y 5: analizar, identificar, calcular y formular.


x y

1

2 18

12

4

x y

1

2 60

3

20

x y

2

24

18

6 12

x y

9

12 30

15

20

x y

90

3 60

12

18Número de obreros 1 2 3 4 12

Tiempo que demoran (horas)


• En el ítem 2, es conveniente completar la tabla previamente para identificar la fun-ción, pues una vez planteada, es más sencillo construir el gráfico.

• En el ítem 3, si sus estudiantes tienen dificultades para completar las tablas, per-mítales trabajar con otro compañero o compañera, ya que así pueden discutir eintercambiar ideas. Al finalizar esta actividad, pregunte por los resultadosobtenidos y guíelos para que lleguen a una puesta en común.

• En el ítem 4, es conveniente recordar y comparar las relaciones de proporcionalidaddirecta e inversa; por ejemplo, identificar cómo se relacionan las variables en cadacaso al aumentar o disminuir, y, también, analizar la constante de proporcionalidad.

• En el ítem 5, es conveniente promover la lectura de los problemas planteados y crearun clima de concentración y discusión constructivo. Además, pídales que anoten ensus cuadernos la estrategia de solución. De este modo, al revisarlas en la pizarrapueden analizarlas y mostrarlas al resto del curso.


De refuerzo

1. Seis obreros cavan en dos horas una zanja. Completa la siguiente tabla y responde:

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo la obtuviste? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?c) ¿Cuánto tiempo demoran tres obreros trabajando en las mismas condiciones?,

¿y nueve obreros?d) Completa el gráfico de esta función.

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, identificar, formular y calcular).

De profundización

1. En una empresa de agua mineral se envasan 200 litros diariamente. Para ellodisponen de botellas con capacidad de medio litro, un litro, dos litros y 2,5 litros.

a) ¿Cuántas botellas de medio litro se necesitarían al día?, ¿y de 2,5 litros?

b) ¿Cuál es la variable dependiente (y)?, ¿y la independiente (x)?, ¿por qué?

c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo la obtuviste?

d) ¿Cuál es la función que modela esta situación?

e) Construye una tabla con los datos dados.

f) Construye en tu cuaderno el gráfico de esta función.

2. Las siguientes tablas muestran valores de x e y, que representan relaciones deproporcionalidad inversa. Determina los valores desconocidos de cada tabla.

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, identificar, representar y formular).


12

10

8

6

4

2

02 4 6 8 10 12

Tiempo (horas)

Número de obreros


192 Unidad 6

Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones de proporcionalidaddirecta e inversa.

Gráfico de funciones proporcionales y no proporcionales

1º Para graficar la función que representa la relación entre un número natural y su triple, en lacolumna A escribe los primeros seis valores del recorrido de la función, es decir: 3, 6, 9, 12,15 y 18.

2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego la opción “Gráfico”. En las opciones de gráficosselecciona “XY Dispersión”.

4º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que aparezca en la planilla un gráfico como el siguiente:

Luego de realizar los pasos anteriores:

a) Grafica la función que representa la relación entre un número natural y su sucesor.b) Grafica la función que representa la relación entre un grupo de amigos que están de

vacaciones y la cantidad de días que les alcanzará el alimento, considerando que para trespersonas el alimento alcanza cuatro días y todos los días consumen la misma cantidad.

c) Escribe función que modela cada situación. d) ¿Cuál es el dominio de cada función anterior?, ¿y su recorrido?e) En las funciones anteriores ¿las variables se relacionan en forma proporcional? Explica.f) ¿Qué semejanzas observas en los gráficos de cada función?, ¿y qué diferencias?g) ¿Alguna de las situaciones anteriores no representa una variación proporcional?, ¿cuál?, ¿por qué?


02468

101214161820

10 2 3 4 5 6 7

Mi progreso

Unidad 6

x200


200x


Analizar afirmaciones relacionadas con magnitudes proporcionalesy no proporcionales.

1

Analizar una situación de proporcionalidad inversa. 2

Reconocer una función de proporcionalidad inversa escrita enlenguaje algebraico.

3

Resolver un problema sobre función de proporcionalidad directa. 4



A. La cantidad de kilogramos de pan y su costo son proporcionales a medida que aumenta lacantidad de pan.

B. En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta la otra también aumenta.

C. La edad de Juan (12) y su hermano Luis (15) son proporcionales a medida que transcurren los años.

D. En una función de proporcionalidad inversa el producto entre las variables es constante.

2. Carlos viajó a la costa la semana pasada. Tardó dos horas en llegar al destino viajando a 100 km/hdurante todo el trayecto. ¿Cuánto hubiese demorado si fuera a 80 km/h durante todo el viaje?

A. 2 h y 5 m B. 4 h C. 2 h y 50 m D. 2 h y 30 m

3. La función que relaciona el tiempo y la rapidez en la pregunta anterior es:

A. y = B. y = C. y = 200x D. y = 2 • 100

4. Laura hará un queque para quince personas, usando una receta que necesita cinco huevos.

a) Si usa esta receta, ¿cuántos huevos necesitará para hacer un queque para veintiún personas?b) ¿Qué función representa esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?c) Construye el gráfico que representa esta situación.






• Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionalescomo no proporcionales, mediante el uso de software gráfico.


Herramientas tecnológicasUsar herramientas, identificar, formular, representar, calcular y justificar.



• Para efectuar la actividad con sus estudiantes, es conveniente que realicen todoslos ejercicios propuestos previamente. Además, es fundamental que identifiquenlas funciones que se solicitan, pues son de proporcionalidad directa e inversa. Porejemplo, la primera función es f(x) = 3x, donde Dom(f) = �, la segunda es

g(x) = x + 1, donde Dom(g) = �; y la tercera es p(x) = , donde

Dom(p) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

• Es importante que les indique a sus estudiantes que las funciones que aparecenen los ítems a y b se deben graficar usando la planilla de cálculo y siguiendo lospasos señalados en el Texto.

• Durante el desarrollo de la actividad, supervise permanentemente a sus alumnosy alumnas, pues podrían aparecer diversas dificultades que requieran de su ayuday orientación.

• Es conveniente que una vez que terminen la actividad, discutan y comenten losresultados obtenidos para hacer una puesta en común.


De refuerzo

1. Resuelve los mismos problemas de la actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICASen tu cuaderno, graficando las funciones de forma manual. Luego, justifica cadauno de tus pasos.

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, formular, calcular, justificar y representar).

De profundización

1. Utiliza una planilla de cálculo para graficar los problemas del ítem 5 de la página 191.Indica cada uno de los pasos.

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, conectar, recordar, formular, representar y justificar).

12x




Mi progresoÍtem 1: analizar e identificar.Ítem 2: distinguir y calcular.Ítem 3: analizar e identificar.Ítem 4: analizar, representar, formular y calcular.


• En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes identifiquen de manera incorrecta laafirmación que es falsa. Por ello, se recomienda analizar comprensivamente dichasafirmaciones utilizando, si es necesario, casos particulares.

• En el ítem 2, es posible que los y las estudiantes expresen la solución en horas y minu-tos, sin convertir la parte decimal a minutos. Por ello es conveniente recordar la conver-sión de horas a minutos, y viceversa. Por ejemplo, si el resultado es 3,6 horas, podemosmultiplicar 0,6 • 60 = 36. Entonces, el resultado se puede escribir como 3 h y 36 min.

• En el ítem 3, es posible que los y las estudiantes confundan el tipo de propor-cionalidad. Por ello, si es necesario, recuérdeles las relaciones de proporcionalidadestudiadas en esta Unidad.

• En el ítem 4, se sugiere que guíe a sus estudiantes para que lean y analicen cada pre-gunta de forma individual. Además, pídales que anoten las soluciones y los gráficosen sus cuadernos, pues si cometen errores, es más fácil detectarlos y corregirlos.




4Representa, formula y calcula correcta-mente cada una de las preguntas, justificando cada uno de sus pasos.

Representa, formula y calcula correc-tamente cada una de las preguntassin justificar todos sus pasos.

Representa, formula y calcula errónea-mente una de las preguntas y no justificatodos sus pasos.

Representa, formula y calcula errónea-mente dos o tres preguntas y no justificasus pasos.



Situaciones¿Es proporcional?

¿Por qué?La edad y la altura de las personas.

La cantidad de horas extras trabajadas y el pago de ellas.

La cantidad de llaves abiertas y el tiempo que demora en llenarse un estanque.

La cantidad de naranjas y su peso.

Los metros cuadrados de una sala y la altura de los muros.

La cantidad de litros de bencina y su precio.

La cantidad de dólares y su equivalente enmoneda nacional.

La altura de una persona y la sombra que proyecta a unadeterminada hora.

La estatura y el peso de las personas.

La cantidad de CD de un cantante y el precio de ellos.

La velocidad de un vehículo y el tiempo que demora en recorrer una distancia.

b) Relación de proporcionalidad .

k = f(x) =

c) Relación de proporcionalidad .

k = f(x) =

d) Relación de proporcionalidad .

k = f(x) =



De refuerzo

1. Completa cada una de las situaciones según si corresponden o no a una relación proporcional.

2. Completa las tablas que representan funciones de proporcionalidad directa o in-versa. En cada caso, anota el valor de la constante de proporcionalidad (k) dondecorresponda. Luego, escribe la función que modele los datos de la tabla y construyeel gráfico que representa dicha tabla.

a) Relación de proporcionalidad .

k = f(x) =


x y

2 12

18

6 36

9

x y

4 36

24

12 12

16

Y

X

Y

X

x y

5 20

28

8 32

12

Y

X

x y

42

2 21

3 14

7

Y

X


Nº de páginas 50 60 75 100

Nº de líneas por páginas 60 50 40 30

x y

2 12

3 18

6 36

9 54

x y

4 36

6 24

12 12

16 9

x y

5 20

7 28

8 32

12 48

Nº de páginas 50 60 75 100

Nº de líneas por páginas



De refuerzo

1.

2. a) Relación de proporcionalidaddirecta.

k = 6f(x) = 6x

b) Relación de proporcionalidad inversa.

k = 144

f(x) =

De profundización

1.

a) k = 3000

b) f(x) = , el dominio y recorrido de la función son todos los números

c) 40 páginas.

3000x

144x

20 40 60 80 100 120 140

No Sí Sí Sí No Sí Sí Sí No Sí Sí

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

Nº de líneas por página

Nº de páginas

c) Relación de proporcionalidaddirecta.

k = 4f(x) = 4x

d) Relación de proporcionalidadinversa.

k = 42

f(x) = 42x

naturales divisores de 3000.

x y

1 42

2 21

3 14

6 7

De profundización

1. Un libro tiene 75 páginas de 40 líneas cada una. Se quiere hacer una nueva edicióndel libro, con otra cantidad de páginas. Para ello se realizó el siguiente análisis:

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo la obtuviste?

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio y recorrido?

c) ¿Cuántas páginas tendrá un libro con 75 líneas por página?

d) Completa el gráfico de esta función.



En una distribuidora de productos al por mayor se venden cajas de galletas según lasiguiente regla: la primera caja cuesta $ 5000, la segunda cuesta $ 100 menos, la siguientecuesta $ 100 menos que la anterior, y así sucesivamente, con un límite de veinticinco cajas. SiDiego compra veinte cajas de galletas, ¿cuánto pagó por la última caja?


Que la primera caja cuesta $ 5000, la segunda $ 100 menos, la tercera $ 100 menos que laanterior, y así sucesivamente.

• ¿Qué debes encontrar?El costo de la vigésima caja, si se sigue la regla.


Para resolver el problema encontraremos la expresión algebraica que modela esta situación.Es conveniente construir una tabla de valores, a modo de observar el comportamiento de lafunción, para así encontrar una expresión algebraica que la represente y, finalmente, evaluar la función en el valor pedido (20) para responder a la pregunta.

Resolver• En la siguiente tabla se muestran algunos valores para cada caja de galletas y el monto

por pagar:

Luego, podemos escribir la función que representa el costo de una caja, considerandocuántas ya se han comprado:

y = 5000 – 100(x – 1)

donde x es la cantidad de cajas de galletas, e y es el costo de la caja.Finalmente, evaluamos la función en x = 20 y obtenemos:

y = 5000 – 100(20 – 1) = 5000 – 100 • 19 = 3100

Responder• El valor de la vigésima caja, si se sigue la regla, es de $ 3100.

Revisar• Para comprobar que la vigésima caja tiene un costo de $ 3100, podemos completar la

tabla hasta la caja número 20.

194 Unidad 6

Cajas de galletas 1 2 3 4 5 6

Costo de la caja ($) 5000 4900 4800 4700 4600 4500

Unidad 6


a) Claudia solicitó un crédito para comprar una camioneta para su taller. Si el monto total delcrédito es de $ 3 600 000, y lo cancelará en 36 cuotas iguales, ¿cuál es el monto por pagardespués de pagar la octava cuota?, ¿y la cuota número 25?, ¿cuál es la función querepresenta esta situación?

b) María Elena compró un saco de 20 kg de cebollas en la vega. Si cada día utiliza 400 g enlas distintas recetas que prepara, ¿cuánta cebolla le queda después de dos semanas?, ¿cuáles la función que representa esta situación?

c) Un veterinario cobra $ 7000 por realizar un aseo completo a un perro. Si se asean más perros, se efectúa el siguiente descuento: el segundo $ 350 menos, el tercero $ 350 menos que el anterior, y así se sigue esta regla sucesivamente hasta el décimo perro.Si Manuel llevó a asear a sus ocho perros:

• ¿cuánto pagó por el octavo perro?, ¿y cuánto pagó en total?

• ¿cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?

• ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido?

2. Ahora, resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.


a) Carolina tiene una deuda con su amiga Beatriz. Acordaron que Carolina le pagaría en docecuotas de la siguiente forma: el primer mes abonaría $ 9000, el segundo $ 700 más, eltercero $ 700 más que el mes anterior, y así sucesivamente hasta saldar la deuda completa.

• ¿Cuánto canceló Carolina el séptimo mes?, ¿y el décimo?• ¿Cuánto debe en total Carolina a su amiga?• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?

b) En una fábrica de empanadas compran 5 kg de aceitunas semanalmente para suelaboración. La semana pasada utilizaron 800 g diarios de aceitunas. ¿Cuántas aceitunasquedaron, si fabrican empanadas de lunes a sábado?







Buscando estrategiasÍtem 1: analizar, identificar, formular, aplicar y calcular.Ítems 2 y 3: analizar, seleccionar, formular y calcular.


La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en la Unidad; sin em-bargo, en estas páginas se presenta una estrategia específica para que los alum-nos y alumnas la aprendan, la apliquen en otros problemas y, luego, busquennuevas maneras de resolución.


Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser re-suelto de distintas formas. La estrategia presentada en el Texto es solo una manerade dar solución a las preguntas planteadas. Otro modo de abordar el problema po-dría ser planteando la función:

f(x) = 5000 – 100(x – 1). Luego aplicamos la propiedad distributiva, obteniendo:

f(x) = 5000 – 100(x – 1) / propiedad distributivaf(x) = 5000 – 100x + 100 / sumando se obtienef(x) = 5100 – 100x

Entonces, evaluamos la función f(x) = 5100 – 100x, en x = 20. Esto es:f (20) = 5100 – 100 • 20 = 5100 – 2000 = 3100.Finalmente, se obtiene el mismo resultado para la vigésima caja ($ 3100).


De refuerzo

1. En una tienda de mascotas se venden alimentos al por menor y al por mayor.Hasta 3 paquetes se venden al por menor, y si se compran más, al por mayor, con una rebaja de acuerdo al producto. Si el alimento para perros tiene un costode $ 2500 y al por mayor el primero cuesta $ 2400; el segundo, $ 50 menos queel anterior; el tercero, $ 50 menos que el anterior, y así sucesivamente, con unlímite de 20 paquetes:

a) ¿Cuánto paga Leticia por el último paquete si compra 20?

b) ¿Cuánto paga Fernanda en total si compra 7 paquetes?

(Habilidades que desarrolla: aplicar, verificar y calcular).

De profundización

1. Inventen un problema que involucre a uno o más de los contenidos de la Unidad.Intercámbienlo con algún compañero o compañera y resuélvanlo utilizando las estra-tegias para la resolución de problemas que conozcan u otra.

(Habilidades que desarrolla: formular, seleccionar, aplicar y verificar).




• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema.


• Copia el problema.

• Identifica palabras clave.

• Puede que interprete mal parte del problema.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No entiende el problema.

• Entiende mal el problema.

• Como rutina pide explicaciones.



• Conecta cómo y por qué.

• Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas.

• Hace y explica conexiones.

• Realiza lo pedido y va más allá.






• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.




• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos.• No reconoce si su respuesta es o no

razonable.





Para finalizar

196 Unidad 6

Cone

xion

es NACIONAL

La adicción al tabaco es una enfermedad crónica, considerada

por la Organización Mundial de la Salud (OMS) como la causa principal

de enfermedades, invalidez y mortalidad prematura a nivel mundial.

Además, no solo afecta a los fumadores, sino que a aquellas

personas que están cerca de un fumador y respiran el mismo aire (los

fumadores pasivos). En Chile, el 17% de las muertes que cada año

ocurren se atribuyen al consumo de tabaco.

La OMS ha establecido el 31 de mayo como el Día Mundial sin

Tabaco y nuestro país no está ajeno a esta cruzada, en la que se llama a

tomar conciencia para frenar su consumo, pues ha alcanzado niveles

alarmantes, situándonos como el país con la población más fumadora de

la región: en promedio ocho cigarrillos diarios (Estadísticas de consumo

de tabaco en Chile).

Día Mundial sin Tabaco

Fuentes: Ministerio de Salud, www.redsalud.gov.cl/noticias/noticias.php?id_n=449&show=5-2009 ,publicada el 29 de mayo de 2009.







1. Consideren la cantidad promedio de cigarrillos que fuma una persona chilena y, luego, respondan.a) ¿Cuántos cigarrillos fumará una persona en un año?, ¿y en ocho años?, ¿cuáles son las

consecuencias a corto y largo plazo de fumar?b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?, ¿cuál es su dominio y recorrido?

2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser lasolución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.

3. Averigüen qué programas o actividades se han realizado este año en nuestro país parapromover la vida sana libre del tabaquismo.

Gent

ileza

MIN

SAL.


Unidad 6

A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principalesconceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace.



2. ¿Cómo reconoces una función?, ¿cuáles son sus características?, ¿cómo se expresa unafunción en lenguaje algebraico?

3. ¿Qué diferencias hay entre variables dependientes e independientes?, ¿y qué semejanzas?

4. ¿Qué caracteriza al dominio de una función?, ¿y al recorrido?

5. ¿Cuándo las variables se relacionan proporcionalmente?, ¿y cuándo no son proporcionales?

6. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad directa? Da un ejemplo.

7. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad inversa? Da un ejemplo.


VARIABLES DEPENDIENTES

FUNCIONES

VARIABLES INDEPENDIENTES

VARIACIONES PROPORCIONALES

DIRECTA INVERSA

VARIACIONES NO

PROPORCIONALES

SITUACIONES CON

DOS VARIABLES

Síntesis




ConexionesConectar, analizar, formular y aplicar.



INFORMACIÓN RESPECTO DEL CONTENIDO

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito relacionar las funcionescon una enfermedad muy común por estos días, el tabaquismo, pues afecta a una granparte de la población, produciendo graves enfermedades.

El tabaquismo es el cuarto factor de riesgo más importante en el mundo. Chile pre-senta uno de los índices de consumo más altos de Latinoamérica, con un promedio de1150 cigarrillos anuales por cada adulto del país. Los estudios de CONACE muestranque el 43% de la población chilena de 12 a 64 años es fumadora, siendo mayor laprevalencia en este grupo etario en los hombres (47,8%) que en las mujeres (39,6%),a diferencia del grupo de escolares entre 8° Básico y 4° Medio, donde las mujeres su-peran a los hombres (45% versus 38,7%). Es necesario recordar que el tabaco es unadroga de inicio y suele ser la puerta de entrada al consumo de otras drogas. Eltabaquismo es una enfermedad crónica, y constituye uno de los problemas de saludque se presentan con mayor frecuencia en la Atención Primaria.

Información relevante sobre el consumo de tabaco y cómo este afecta nuestra saludpuede encontrar en el sitio web: www.redsalud.gov.cl/portal/url/page/minsalcl/g_proteccion/g_tabaco/prev_tabaco.html


De refuerzo

1. En relación con el tabaquismo y cómo esta enfermedad afecta nuestra salud:

a) ¿Qué enfermedades están asociadas a su consumo?, ¿cómo se pueden prevenir?b) Comenta con tus compañeros o compañeras. ¿Qué actividades o programas

implementarían para evitarlo?c) ¿Existen programas y acciones para proteger a la población de la exposición

al humo de tabaco?, ¿cuáles?



Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alum-nas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados.Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los y las estu-diantes consolidan, organizan y clasifican sus aprendizajes.


La lectura comprensiva es otra técnica de estudio que les puede enseñar a sus alumnosy alumnas. Para hacer una lectura eficiente es importante:

• Leer por frases y no palabra a palabra.• Distinguir los párrafos importantes, pues no todo lo que leemos tiene la

misma trascendencia.• Colocar mayor atención en los puntos más relevantes.• Subrayar las ideas principales de un párrafo. Para diferenciar niveles de impor-

tancia o temas se pueden utilizar lápices de distintos colores.• Si al leer hay un párrafo que no se entiende, no continuar, hasta comprenderlo.• Es necesario aumentar la velocidad de lectura, sin dejar de lado la comprensión.• Variar la forma de leer: voz alta, en silencio, sentado, de pie, etc. De esta manera

el estudio no será tan aburrido.


De refuerzo

1. Piensa y responde.

a) ¿En qué situaciones cotidianas podemos encontrar funciones proporcionales?,¿y no proporcionales?

b) ¿Qué aprendiste sobre funciones en esta Unidad?, ¿y sobre las relaciones deproporcionalidad directa e inversa?

c) ¿Cómo determinas el dominio de una función?, ¿es siempre el mismo?, ¿por qué?d) ¿Cómo determinas el recorrido de una función?, ¿es siempre el mismo?, ¿por qué?e) ¿En qué se diferencian las relaciones de proporcionalidad directa e inversa?f) ¿En qué se diferencian los gráficos de una relación directamente proporcional

de los de una inversamente proporcional? Da un ejemplo de cada una.g) ¿Qué caracteriza a las variables dependientes?, ¿y a las independientes?h) ¿Has escuchado hablar de funciones distintas a las estudiadas en esta

Unidad?, ¿cuáles?

(Habilidades que desarrolla: recordar, conectar y justificar).



¿Qué aprendí?

198 Unidad 6

1. En una librería, el precio de cada cuaderno esde $ 890. La función que relaciona la cantidadde cuadernos y su costo es:

A. y = 890 + x

B. y =

C. y = 890 – xD. y = 890x

2. ¿Cuál de las siguientes situaciones nocorresponde a una función?

A. Un número natural y su mitad.B. La cantidad de pasajes de metro

comprados y su costo.C. Los kilómetros recorridos por un automóvil

(va a velocidad constante) y el tiempo que tarda.

D. Los deportes que practican los integrantesde un curso.

3. Si cinco pintores logran pintar una casa en cuatro días, ¿cuántos días se demoran diez pintores, trabajando en las mismas condiciones?

A. Dos días.B. Veinte días.C. Cuarenta días.D. Ocho días.

4. En la función: “el doble de un número natural”,¿cuál es el recorrido?

A. Rec ( f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …�B. Rec ( f ) = �1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …�C. Rec ( f ) = �2, 4, 6, 8�D. Rec ( f ) = �2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …�

5. ¿Cuál de las siguientes relaciones no es proporcional?

A. Distancia recorrida y tiempo utilizado (a velocidad constante).

B. El peso de una mochila y la cantidad decuadernos que lleva dentro.

C. El lado de un cuadrado y su área.D. La velocidad de un automóvil y el tiempo

utilizado en un recorrido de 40 km.

6. En una chocolatería, el precio de un tipo debombón es de $ 220 la unidad. ¿Cuál es lavariable dependiente?

A. La cantidad de bombones.B. El precio a pagar por los bombones.C. El tipo de bombón.D. La cantidad de bombones y su costo.

7. El sueldo fijo mensual de un vendedor decomputadores es $ 150 000 más una comisiónde $ 9000 por unidad vendida. ¿Cuál de lassiguientes expresiones algebraicas representael sueldo del vendedor?

A. y = 150 000x + 9000B. y = 159 000 + xC. y = 9000x + 150 000D. y = 159 000x

8. Si 1200 g de mermelada se pueden envasar en seis frascos de 200 g. ¿Cuántos frascos de 150 g se necesitan para envasar 1200 g de mermelada?

A. Ocho frascos.B. Treinta y tres frascos.C. Cincuenta frascos.D. Trece frascos.


890x

Unidad 6


9. Los valores x e y de la tabla representan una función de proporcionalidad directa.Completa con los valores que faltan y construye en tu cuaderno un gráfico.

• ¿Cuál es la expresión algebraica querepresenta esta situación?

10. El gráfico representa la relación entre la cantidad de secretarias y el tiempo que se demoran en organizar un archivo (días), trabajando todas en igualdad de condicionesy la misma cantidad de tiempo.

a) ¿Qué tipo de función representa el gráfico?, ¿por qué?

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?






No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Análisis de relaciones entre variables.

Noción de función.

Variables dependientes e independientes.

Dominio y recorrido.

Variaciones proporcionales y no proporcionales.

Relación de proporcionalidad directa.

Relación de proporcionalidad inversa.

Resolución de problemas.

x 1 16 32

y 5 10 320

1 2 3 4 5 6

Tiempo (días)

20406080

100120

Cantidad desecretarias (Nº)




¿Qué aprendí?Ítems 1 y 2: analizar y formular.Ítems 2 y 5: analizar y distinguir.Ítems 3 y 8: calcular.

Ítems 4 y 6: analizar e identificar.Ítems 9 y 10: calcular, analizar, representar y formular.



En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉAPRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido losalumnos y alumnas en la Unidad de Funciones y relaciones proporcionales, y con estainformación, seguir determinadas líneas de acción. Por ejemplo, volver a enseñar uncontenido o realizar una actividad adicional para que aprendan los contenidos de estaUnidad.




• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los alumnos y alum-nas es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que come-ten, que pueden ser por falta de conocimiento o por equivocación al marcar laalternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítems de selecciónmúltiple se sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, yaque así podrá detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar losaprendizajes que se espera que logren.

• En el ítem 9, es posible que los y las estudiantes completen erróneamente la tabla alaplicar equivocadamente procedimientos de proporcionalidad inversa. Es impres-cindible que analicen la tabla y establezcan la constante de proporcionalidad (k = 5),la que les permitirá determinar la función que representa la situación (y = 5x), y quecompleten la tabla. Con esta información, podrán construir el gráfico.

• En el ítem 10, es posible que los y las estudiantes confundan el gráfico correspon-diente a una proporcionalidad inversa, o bien no interpreten correctamente la información que en él aparece, lo que les llevará a determinar erróneamente laconstante de proporcionalidad (k = 120) y la expresión algebraica que modela

necesario, construir una tabla que permita analizar la información mediante otroregistro para facilitar la solución del ítem.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzaro profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles lasactividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obten-gan en la evaluación sumativa, según los ritmos de aprendizaje de cada uno desus estudiantes.




9Calcula, formula y representa correcta-mente cada una de las preguntas, justificando cada uno de sus pasos.

Calcula, formula y representa correcta-mente cada una de las preguntas, sin justificar todos sus pasos.

Calcula, formula y representa erróneamente una de las preguntas,sin justificar todos sus pasos.

Calcula, formula y representa erróneamente dos o más preguntas,sin justificar sus pasos.

10

Analiza, formula y representa correcta-mente cada una de las preguntas,justificando cada uno de sus pasos.

Analiza, formula y representa correcta-mente cada una de las preguntas, sinjustificar todos sus pasos.

Analiza, formula y representa erróneamente una de las preguntas,sin justificar todos sus pasos.

Analiza, conecta, formula y representaerróneamente todas las preguntas,confundiendo la proporcionalidad querepresenta el gráfico y con ello la fun-ción asociada, la constante de propor-cionalidad y la expresión algebraica.

esta situación (y = ). Es por ello que se recomienda analizar el gráfico y, si es 120x


Cacao (kg) 20 30 60 90 130 150

Chocolate (kg)

Número de personas 2 3 6 8 12 18

Días

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8326 Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales – Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


De refuerzo


1. Una modista confecciona 6 blusas en 8 horas. ¿Cuántas horas tardará en con-feccionar 24 blusas?

A. 144 B. 32 C. 4 D. 3

2 Cinco llaves llenan un estanque en 4 horas. ¿En cuánto tiempo lo llenarían 8 llaves?

A. 2 h y 30 min. C. 2 h y 50 min.B. 2 h y 5 min. D. 25 horas.

3. La sombra de una persona que mide 1,60 m es de 40 cm a una hora determinada.¿De cuánto será la sombra a la misma hora de una persona que mide 1,80 m?

A. 45 cm B. 50 cm C. 35 cm D. 60 cm

4. Alejandra necesita comprar 15 metros de elástico. En la tienda venden a $ 400los 6 metros. ¿Cuánto deberá pagar por los 15 metros de elástico?

A. $ 1600 B. $ 500 C. $ 800 D. $ 1000

5. Para terminar una ampliación en 15 días, se necesitan 4 obreros. Si solo se puedencontratar a 3 obreros, ¿cuántos días se demorarán?

A. 10 B. 11 C. 20 D. 12

6. En una relación de proporcionalidad inversa:

A. el gráfico es siempre una línea recta.B. el cociente entre las variables no es constante.C. se puede representar como una función de la forma y = , donde k es la

constante de proporcionalidad.D. si una de las variables aumenta, la otra aumenta en un mismo factor; y si una

de las variables disminuye, la otra disminuye en un mismo factor.

7. En un plano aparece la plaza de la ciudad, con un largo de 16 cm y un ancho de10 cm; en la realidad la plaza mide 120 m de largo. ¿cuál sería el ancho?

A. 192 m B. 384 m C. 150 m D. 75 m

kx

8. En una tienda de artículos de oficina, el precio de un archivador es de $ 1200. La función que relaciona la cantidad de archivadores y su costo es:

A. y = 1200 + x C. y =

B. y = 1200 – x D. y = 1200x

9. En una excursión, las provisiones para 12 personas durarán 6 días. Si la cantidad depersonas varía y la cantidad de alimentos es la misma, completa la tabla y responde.

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo lo obtuviste?b) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?c) ¿Cuál es la función que modela esta situación? d) ¿Para cuántos días alcanza la provisión si son 9 personas?, ¿ y 24?e) Construye el gráfico de esta función.

10. Para fabricar 30 kg de chocolate se necesitan 10 kg de cacao. Completa la tablay responde.

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo lo obtuviste?b) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?c) ¿Cuál es la función que modela esta situación? d) ¿Cuánto chocolate tendré con 70 kg de cacao? ¿y con 110?e) Construye el gráfico de esta función.

De profundización


1. Si x e y son variables directamente proporcionales, entonces podemos afirmar que:

A. la constante de proporcionalidad es k = .

B. la constante de proporcionalidad es k = xy.

C. la constante de proporcionalidad cambia según los valores de las variables.

D. es siempre un valor entero positivo.

yx

1200x


Cantidad de zapatos 3 5 8 13 19

Precio ($) 37 680

x y

3,5

6 7

5. Si x e y son variables inversamente proporcionales, entonces el valor que falta enla tabla es:

A. 6B. 24C. 12D. 4

6. El dominio de una función corresponde a:

A. todos los valores que puede tomar la variable independiente.

B. todos los valores que toman las variables dependientes o independientes,según corresponda.

C. todos los valores que puede tomar la variable dependiente.

D. todos los valores que toman las variables.

7. Observa la siguiente tabla, complétala y responde.

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

b) ¿Cuál es la función que representa a esta situación?

c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?

d) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y su recorrido?

e) Construye el gráfico que representa a esta función.

8. Los valores de x e y de la tabla son inversamente proporcionales. Completa latabla con los datos que faltan y responde.


b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?

c) ¿Cuál es el valor de y si x = 4?, ¿y si x = 18?

d) Construye el gráfico que representa a esta función.


2. Dado el siguiente gráfico podemos afirmar que:

I. Representa una relación de proporcionalidad inversa.II. Mientras más llaves estén abiertas más tiempo tarda en llenarse el estanque.III.Se puede representar como y = 12x.

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. I y III

3. ¿Cuál de las siguientes situaciones representa a la función f(x) = ?

A. En un kiosco cada lápiz cuesta $ 140.B. Una piscina con veinte llaves se llena en 7 horas.C. En un almacén, cada paquete de papas fritas cuesta $ 140.D. Un ciclista recorre 140 m a 40 km/hr.

4. La sombra de un edificio que mide “a” metros es de “b” metros a una hora deter-minada. ¿De cuántos metros será la sombra de un poste que mide “c” metros a lamisma hora?

A.

B. abc

C.

D. Ninguna de las anteriores.

bac

140x

bca


x 2 6 9

y 72 36 27


x 2 3 6 8 9

y 108 72 36 27 24

Número de personas 2 3 6 8 12 18

Días 36 24 12 9 6 4


De profundización

1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. A

7.

a) k = 12 560

b) y = 12 560x

c) Variable independiente: cantidad de zapatos. Variable dependiente: precio.

d) Dom (f) = �0, Rec (f) = {12 560 • n / n ∈�0}.

8.

a) k = 216

b) f(x) =

c) 54 y 12, respectivamente.

216x


De refuerzo

1. B 2. A 3. A 4. D 5. C 6. C 7. D 8. D

9.

a) k = 72

b) Variable independiente: Nº de personas. Variable dependiente: Días.

c) f(x) =

d) 8 y 3 personas, respectivamente.

10.

a) k = 3

b) Variable independiente: kg de cacao. Variable dependiente: kg de chocolate.

c) y = 3x

d) 210 kg y 330 kg, respectivamente.

72x

Cantidad de zapatos 3 5 8 13 19

Precio ($) 37 680 62 800 100 480 163 280 238 640

Cacao (kg) 20 30 60 90 130 150

Chocolate (kg) 60 90 180 270 390 450



ICalcular, analizar, reconocer,identificar y formular


IIAnalizar, calcular, formular y representar

10 puntoscada una

30 puntos



II

Analiza, calcula, formula y representacorrectamente cada una de las preguntas, justificando cada uno desus pasos.

Analiza, calcula, formula y representacorrectamente cada una de las preguntas, sin justificar todos sus pasos.

Analiza, calcula, formula y representaerróneamente cuatro o menos de las preguntas, sin justificar todos sus pasos.

Analiza, conecta, formula y representaerróneamente más de cuatro preguntas y no justifica sus pasos.

EVALUACIÓN FINAL

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizarcomo evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son losconocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Funcionesy relaciones proporcionales. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de40 minutos, que puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus alumnos y alumnas, se sugiere utilizarla siguiente pauta:


Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados porsus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.

Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.

Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas.

Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.


• En los ítems 1 a 8, se sugiere pedirles a sus estudiantes que realicen algún tipo dedesarrollo en cada pregunta, pues de este modo se podrá detectar en qué se estánequivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren.

• En el ítem 9, es posible que los y las estudiantes completen erróneamente la tabla.Es importante que analicen la tabla y establezcan la constante de proporcionalidadque les permitirá determinar de forma correcta los elementos desconocidos de latabla, así como la representación algebraica y con ello la construcción adecuadadel gráfico según la tabla.


• En el ítem 10, es posible que los y las estudiantes confundan el gráfico correspon-diente a una proporcionalidad inversa, lo que les llevará a determinar erróneamentela constante de proporcionalidad y la expresión algebraica. Es por ello que se re-comienda analizar el gráfico detalladamente y, luego, responder las preguntas.

• En el ítem 11, es posible que los y las estudiantes confundan el tipo de propor-cionalidad de las variables y por ello completen erróneamente la tabla y todos losdemás aspectos. Es necesario que analicen la tabla y observen qué relación es laque se mantiene según los datos que entrega y lo que significan, para definir eltipo de proporcionalidad y sus características.

Después de que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evalu-ación se recomienda que revise junto con ellos cada una de las preguntas presentadas,con el fin de detectar los errores que cometieron y aclarar las dudas que tengan.Luego, puede utilizar como evaluación sumativa final la que le presentamos en laspáginas 332 a 335 de esta Guía.


I.1. B 2. B 3. D 4. C 5. C 6. B 7. B 8. C

II.9. a) k = 1,5

b) Variable independiente: comedores. Variable dependiente: días.c) y = 1,5x. Dom (f) = �0, Rec (f) = {1,5 • n / n ∈�0}.d) 21 y 24 días, respectivamente.

10. b) k = 450

c) Variable independiente: rapidez.Variable dependiente: tiempo.

11. a) Proporcionalidad inversa. b) k = 288 c) f(x) = d) x = 2,4288x

d) f(x) =

e) 4 h y 30 min; 3 h y 36 min.

450x


EVALUACIÓNFunciones y relaciones proporcionales


Puntaje: Nota:


1. En un día, Macarena bebe tres vasos de leche. ¿Cuántos vasos deleche se toma en 8 días?

A. 11B. 24C. 12D. 5

2. Para preparar en 8 horas las tortas para una fiesta hacen falta 6 cocineros. ¿Cuántos cocineros se necesitan para prepararlas en 4 horas, si trabajan al mismo ritmo?

A. 3B. 12C. 6D. 8

3. Un automóvil gasta 30 litros de bencina para recorrer 450 kilómetros.¿Cuántos litros gastará al recorrer 960 kilómetros?

A. 32B. 24C. 36D. 64

4. Un conductor de maquinaria pesada traslada 60 toneladas de ripio en 8 viajes. Si debe transportar 180 toneladas, ¿cuántosviajes debe realizar?

A. 18B. 32C. 24D. 28

5. En una construcción, 12 trabajadores terminan una obra en 10 días. Para concluirla en 6 días menos, ¿cuántos trabajadoresmás se necesitarán?

A. 18B. 32C. 30D. 48

6. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la relación entre dosvariables inversamente proporcionales?

A. C.

B. D.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8330 Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales


x 8 16 24 96

y 18 12 9

Comedores 2 4 6 8 10 12

Días

Cantidad de libros 5 7 10

Precio ($) 39 000 59 500 69 990

7. Un vendedor de calzado tiene un sueldo fijo mensual de $ 180 000más un bono de $ 1500 por par de calzado vendido. ¿Cuál es lafunción que representa el sueldo del vendedor?

A. y = + 180 000B. y = 1500x + 180 000C. y = 181 500 + xD. y = 181 500x

8. Dada la siguiente tabla, podemos afirmar que:

A. cada libro cuesta $ 6800.B. la cantidad de libros corresponde a la variable independiente,

y el precio a la dependiente.C. las variables no se relacionan proporcionalmente.D. las variables son inversamente proporcionales.

II. Resuelve los siguientes ejercicios, anotando los pasos de resolución,en cada caso.

9. En una empresa de muebles, al solicitar 4 comedores se demoran 6 días. Completa la tabla que relaciona los días que tarda la empresaen fabricar comedores y, luego, responde.


b) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?

c) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su do-minio?, ¿y su recorrido?

d) ¿Cuántos días se demorarán en hacer 14 comedores?, ¿y 16?

e) Construye el gráfico que representa esta función.

10. Observa el siguiente gráfico que relaciona la rapidez y el tiempo que unautomóvil tarda en llegar a un determinado lugar; luego, responde.

a) Construye la tabla correspondiente al gráfico.

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

c) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?

d) ¿Cuál es la función que modela esta situación?

e) ¿Cuánto tiempo demorará a 100 km/h?, ¿y a 125 km/h?

11. Los valores de x e y de la tabla tienen un relación de proporcionalidad.Completa la tabla con los valores que faltan y responde.

a) ¿Qué relación de proporcionalidad tienen las variables?

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

c) ¿Cuál es la función que modela esta situación?

d) ¿Cuál es el valor de x si y = 120?


10 20 30 40 50

50

40

30

20

10

Tiempo (min)

Rapidez (km/h)

9

25

1518

45


EVALUACIÓN FINAL


Puntaje: Nota:

Marca la opción correcta en las siguientes preguntas.

Unidad 1: Números enteros

1. La adición (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) se puede expresar como:

A. 5 • 4

B. 4 • (–4)

C. 5 • (–4)

D. (–5) • (–4)

2. El resultado de (–8) • 11 es:

A. 88 B. –88 C. –19 D. –11

3. En la expresión x • 4 = –20, el factor x es:

A. 5 B. –4 C. –80 D. –5

4. El resultado de (–12) • (–6) es:

A. 72 B. –72 C. –18 D. 18

5. El resultado de (–55) : 5 es:

A. –11 B. –275 C. 11 D. –60

6. El resultado de (–2) • [(–45) : 9 + 6] es igual a:

A. 2 B. –22 C. 22 D. –2

Unidad 2: Potencias

7. La expresión [(–2) + (–10)]2 es igual a:

A. –144 B. 144 C. 64 D. –64

8. En la expresión (–6)x

= –216 el valor de x es:

A. 3 B. –3 C. 2 D. 6

9. La expresión (–2) • (–2)2 • (–2) • (–2)5 escrita como una sola potencia es:

A. 29 B. (–2)8 C. (–2)7 D. (–2)9

10. La solución de (–5)2 • (–5) – (–3)2 • (–3)3 es:

A. 118 C. –368

B. –118 D. 368

11. La solución de (–7)12 : (–7)9 es:

A. 343 C. –49

B. –343 D. 49

12. La solución de (–2)7 • 57 es:

A. 10 000 000

B. –10 000 000

C. –100 000 000

D. –70 000 000

13. La expresión ((0,2)2)3

es igual a:

A. 0,00032

B. 0,00064

C. 0,000064

D. 64


Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 332

Unidad 3: Geometría y medición

14. El número π es igual a:

A. La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

B. La razón entre el diámetro de una circunferencia y su longitud.

C. La razón entre la longitud de una circunferencia y su radio.

D. La razón entre la longitud de una circunferencia y el área del círculo.

15. Si la longitud de una circunferencia es 59,66 cm, entonces, sudiámetro mide: (considera π = 3,14)

A. 9,5 cm B. 19 cm C. 38 cm D. 4,75 cm

16. El área de un círculo cuyo radio mide 3,5 cm es:(considera π = 3,14)

A. 21,98 cm2

B. 10,99 cm2

C. 19,23 cm2

D. 38,465 cm2

17. El volumen de un cono cuyo radio de la base mide 60 cm y su generatrizmide 100 cm, es: (considera π = 3,14)

A. 904 320 cm3

B. 452 160 cm3

C. 301 440 cm3

D. 376 800 cm3

18. El área total del cilindro de la figura es (considera π = 3,14):

A. 8138,88 cm2

B. 1582,56 cm2

C. 2260,8 cm2

D. 1808,64 cm2

19. El área pintada es (considera π = 3,14):

A. 7,74 cm2

B. 19,26 cm2

C. 28,26 cm2

D. 64,26 cm2

Unidad 4: Movimientos en el plano

20. ¿Cuál de las siguientes opciones representa la rotación del triánguloABC en 180º con centro en el vértice A?

A. C.

B. D.

21. ¿En cuál de las siguientes opciones las figuras corresponden a unatraslación?

A. R y S B. S y T C. R y T D. V y R


A

B

3 cm

12 cm

18 c

m

B’

B’

B

A

R S T V

A

A

B

B’

B’B

C’ C’

C’

C

C

C’

C


22. ¿Con cuál de las siguientes figuras es posible teselar el plano?

A. Círculo

B. Pentágono regular

C. Hexágono regular

D. Octágono regular

23. ¿Con cuál de las siguientes combinaciones de polígonos regulares esposible teselar el plano?

A. Hexágono y triángulo

B. Hexágono y cuadrado

C. Pentágono y triángulo

D. Octágono y cuadrado

24. ¿Cuál de las siguientes teselaciones es semirregular?

A. C.

B. D.

Unidad 5: Datos y azar

25. La siguiente tabla muestra el número de tíos que tienen los alumnos yalumnas de Primero Medio de un colegio de Arica. Complétala.

¿Qué porcentaje de estudiantes tiene menos de 16 tíos?

A. 26% B. 14% C. 69% D. 45%

26. De la situación anterior, la frecuencia absoluta acumulada en el intervalo21 - 25 corresponde a:

A. 61 B. 77 C. 16 D. 27

27. De la tabla del ítem 25, el valor aproximado de la media aritméticacorresponde a:

A. 16 B. 14,4 C. 16,6 D. 13,5

28. De la tabla del ítem 25, el valor aproximado de la moda corresponde a:

A. 14,4 B. 16,6 C. 13 D. 23

29. De la tabla del ítem 25, ¿cuántos estudiantes tienen 21 tíos o más?

A. 27 B. 16 C. 11 D. 61

30. La cardinalidad del espacio muestral del experimento “lanzar un dadoy una moneda simultáneamente” es:

A. 8 B. 12 C. 24 D. 6


N° de tíos Marca de claseFrecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

1 - 5 56 - 10 1211 - 15 2316 - 20 2121 - 25 1626 - 30 11


31. En una urna hay 12 bolitas rojas, 10 blancas y 15 azules. Si se extraeuna bolita, sin mirar, la probabilidad de que no sea roja es:

A. B. C. D.

Unidad 6: Funciones y relaciones proporcionales

32. En una tienda, el precio de cada polera es de $ 4560. Si x representala cantidad de poleras e y su costo, ¿cuál es la función que representael precio de una cantidad de poleras?

A. y = 4560

B. y = 4560 + x

C. y =

D. y = 4560x

33. Del ítem anterior, ¿cuál es el dominio?

A. Dom ( f ) = �

B. Dom ( f ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

C. Dom ( f ) = {4560, 9120, 13 680, 18 240 , …}

D. Dom ( f ) = �0

34. Luis demoró tres horas en llegar a la playa con una rapidez constantede 80 km/h. ¿Con qué rapidez tendría que viajar para llegar en 4horas?

A. 32 km/h

B. 120 km/h

C. 70 km/h

D. 60 km/h

1237

1037

2537

1537

4560x

35. La función que relaciona el tiempo (x) y la rapidez (y) en la preguntaanterior es:

A. y =

C. y = 240x

D. y = 80x

36. Los pasajes para viajar desde Santiago a Valparaíso en una línea debuses tienen un costo de $ 5600. ¿Cuántos pasajes se pueden comprarcon $ 128 800?

A. 20

B. 21

C. 23

D. 25

37. Del ítem anterior, la función que permite determinar el costo de xpasajes es:

A. f(x) = 5600 + x

B. f(x) = 5600x

C. f(x) =

D. f(x) = 5600x + x

Solucionario

240x

5600x


B. y = x

240

1. C 5. A 9. D 13. C 17. C 21. B 25. D 29. A 33. D 37. B

2. B 6. D 10. A 14. A 18. C 22. C 26. B 30. B 34. D

3. D 7. B 11. B 15. B 19. A 23. A 27. C 31. C 35. A

4. A 8. A 12. B 16. D 20. A 24. B 28. A 32. D 36. C



Solucionario

200 Matemática 8

Número Inverso Aditivo–6 6–4 47 –7

–5 5–1 13 –3

–2 2

Página 11

1. 12 km 2. 4 km 3. 8 km

Página 12

1. a) –7 < –5 d) 4 > –1b) �–8� > 5 e) �–3� = 3c) �–10 � < �–15� f) 8 > –8

2. a) –29 < –28 < –14 < 20 < 29 < 49 b) –5 < –4 < –1 < 1 < 3 < 5c) –111 < –1 < 5 < 18 < 101 < 111d) –18 < –16 < –10 < –7 < 0 < 1e) –23 < –19 < –14 < –5 < 10 < 22f) –40 < –20 < –18 < –6 < 2 < 6

3.

4. a) 6 c) –11 e) –8 g) –13b) –8 d) –7 f) –2 h) 5

5. a) –7 ºCb) $ 3200c) A 10 m bajo el nivel del mar.d) A 2 m bajo el nivel del mar.

Página 13

6. a) 5 c) 52 e) 60 g) 11b) 300 d) 30 f) 9 h) 60

Página 15

1. a) –15 c) –24 e) –8 g) –36b) 20 d) –30 f) –8 h) –52

2. Puede ser:

a) 1 • (–1) c) 2 • 4 e) 4 • (–9)b) 8 • (–2) d) 2 • (–5) f) 7 • (–1)

3. a) 14 • 4 c) 3 • (–21) e) 2 • (–5)b) 5 • (–1) d) 4 • (–4) f) 6 • (–6)

4. a) Verdaderob) Falso, el resultado de la multiplicación de un

número natural (positivo) por un númeroentero negativo siempre es un númeronegativo, por la regla de los signos.

c) Falso, ya que 1 • –1 = –1.d) Falso, porque el número puede ser negativo

y si se multiplica por dos el resultado es menorque el factor.

Página 17

1. a) –15 c) –33 e) 4 g) –14b) 0 d) 30 f) –7 h) 45

2. a) Puede ser –4 • 5. c) Puede ser –6 • 3.b) Puede ser 8 • –2. d) Puede ser 8 • 1.

3. a) –3 c) –8 e) –1b) –7 d) 3 f) 16

4.

Página 19

1. a) 60 d) –10 g) –60b) –41 e) –111 h) 9c) –45 f) 76 i) –60

2. Puede ser:

a) 96 : 2 b) –162 : 3 c) 4096 : (–4)

3. a) –20 c) –63 e) 126b) –10 d) 48 f) 120

Unidad 1 Números enteros 10

1080–12 –90

–2 6 –15–1 +2 3 –5

Solucionario 201

• 150 200 –250 300 –350 400–25 3750 –5000 6250 –7500 8750 –10 000–10 1500 –2000 2500 –3000 3500 –4000–5 750 –1000 1250 –1500 1750 –2000–1 150 –200 250 –300 350 –4002 –300 400 –500 600 –700 8005 –750 1000 –1250 1500 –1750 2000

: 150 200 –250 300 –350 400–25 6 –8 10 –12 14 –16–10 15 –20 25 –30 35 –40–5 30 –40 50 –60 70 –80–1 150 –200 250 –300 350 –4002 –75 100 –125 150 –175 2005 –30 40 –50 60 –70 80

x y–10 –5–8 –4–6 –3–4 –2–2 –1

3 –3 3 36 –6 6 6

–2 2 2 2– 7 7 7 7

4. a)

b) No, por ejemplo en la operación 6 : 5 = 1,2;el número 1,2 no es un número entero sinoque un racional.

Página 20

5.

6. a) No, porque uno es el inverso aditivo del otro.b) No, porque el valor absoluto de un número es

siempre positivo.c) Sí, porque ambas expresiones son siempre

positivas. Además, �b� • �a� = �b� • �a�.

7. –4

En equipo

Las posibilidades

Página 21

1. B 2. D

3.

a) Los signos del cociente y producto,respectivamente.

b) Sí, pues en ambos casos el resultado essiempre positivo.

4. Emilia 120 puntos y Carlos 20 puntos.

5. 5 horas y 4 horas, respectivamente.

Página 23

1.

2. a) Del dividendo y divisor.b) En algunos casos, pero según el algoritmo de

la división, el cociente y resto son únicos encada caso.

3. a) Si a : 0 = x, se tendría que a = 0 • x, pero no existe un número entero x que multiplicado por cero resulte a.

b) Si 0 : a = 0, se tiene que 0 = a • 0. Luego,todo número entero multiplicado por cero es cero.

400 –4 –100 4002304 –8 –288 2304

202 500 5 40 500 202 500

–6 –5 0 30 = (–6) • (–5) + 06 5 0 30 = 6 • 5 + 05 8 2 42 = 5 • 8 +2

–5 9 3 –42 = (–5) • 9 + 38 –2 4 –12 = 8 • (–2) + 48 1 4 12 = 8 • 1 + 4

–6 –4 3 27 = (–6) • (–4) + 3–6 5 3 –27 = (–6) • 5 + 36 4 3 27 = 6 • 4 + 34 –5 0 –20 = 4 • (–5) + 0

–4 –5 0 20 = (–4) • (–5) + 0





202 Matemática 8

96 –6 128–2 –6 –5

250 –6 –125

–

–18 –2 –648 –6484 1 324 324

–48 –3 –3072 –3072–100 –1 –2500 –2500–128 –2 –512 –512

Página 25

1. a) 6 d) 960 g) 0b) –9 e) 0 h) 12c) 6 f) –10 i) 1

2. a) –20 c) –10 e) 100b) –20 d) –42 f) –120

3. a) –11 c) 7 e) 35b) 19 d) –54 f) 11

4.

Página 26

5. a) $ 43 750 d) $ 258 750

6. a) $ 600 000b) $ 50 000c) $ 3 000 000

7. a) 690 – 12 • 8b) $ 594 y $ 510, respectivamente.

8. a) 20 – 2 • 18 b) –16 ºC

9.

10. a) No, serán iguales solo si a es 1 ó –1.b) Sí, pues se trata de la propiedad asociativa.

Página 27

11. a) 4 c) –2 e) –10 g) –10b) 15 d) –5 f) 45 h) –3

12. a) Pregunta: ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 11:00 h?Respuesta: La temperatura a las 11:00 h fue de 10 ºC

b) Pregunta: ¿Cuánto dinero retiró en agosto Patricio?Respuesta: Patricio retiró $ 32 500.

Estrategia mental

a) –32 g) –75b) 8 h) –180c) 10 000 000 000 i) –1d) 50 j) 2e) –2 k) –10f) 16 l) 1

Página 28


9. a) Ocurre siempre lo mismo ya que A2 • B2 = B2 • A2.

b) Ocurre lo mismo siempre que B2 sea unnúmero entero negativo.

c) Síd) No

Página 29

1. C 2. D

3.

¿Obtiene los mismos resultados en las columnas4 y 5? No, ¿y en las 6 y 7? Sí ¿Ocurrirá siempre los mismo en estos casos?Ocurre siempre lo mismo en las columnas 6 y 7,ya que en la columna 7 se aplica la propiedad distributiva.

4. –53

Página 31


1. a) $ 196 000b) $ 1 605 000c) 5 ºC y 3 ºC, respectivamente.

3. a) A 34 m bajo el nivel del mar.b) $ 377 000

Página 32

1. 2063

2. 3 y 2063, 2140, 2217

5. No coincide, ya que el cometa tiene comopromedio pasar cada 77 años, pero este rangopuede variar entre 74 y 79 años.

–

108 3 222 222–56 –14 266 266

Solucionario 203

16 8 0 01 13 25 –5

100 52 4 –2049 29 9 –21

Página 34

1. C 3. C 5. C 7. C2. A 4. A 6. A 8. D

Página 35

9. Aumenta 238 ºC por minuto.

10. a) Galería 5. c) Galería 10. e) Galería 4.

Página 37

1. 160 000 bacterias, 2 560 000 bacterias, 10 000 • 2n, donde n es el tiempo transcurrido.

2. 2 621 440 000 bacterias.

3. Después de 6 horas.

Página 38

1. a) 32 c) (0,4)4 ó � �4

e) 53

b) 76 d) � �2

f) � �5

2. a) 5 • 5

b)

c) 18 • 18 • 18d) 0,2 • 0,2 • 0,2 • 0,2 • 0,2 e) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2f) 1,3 • 1,3

3. a) 81 d) 0,16 g) 64

b) 3375 e) h) 625

c) 0,027 f) 1296 i)

4. a) 5 c) 0 e) 3b) 5 d) 4 f) 5

5. a) 100 000 personas.b) $ 500 000 y $ 5 000 000 000

Página 39

6. 64 árboles.

Página 41

1. a) 32 c) (–6)3 e) (–15)8

b) (–5)4 d) 1011 f) 33

2. a) 625 c) 1 000 000 e) –2744b) –7776 d) 343 f) 256

3. a) 4 c) 3 e) 5b) Puede ser 3 d) 6 f) 2

4.

a) Nob) No, solo cuando a = b.c) Existen casos en que los resultados son

iguales.

Página 43

1. a) 16 e) –1 000 000 000b) –125 f) 144c) 27 g) –1d) 16 h) 144

2. a) Verdadero c) Falsob) Falso d) Verdadero

3. a) 8 > 4 d) –64 < 16b) 625 = 625 e) 1 > –2c) 1 = 1 f) 100 000 000 > 100

Página 45

1. a) 46 = 4096b) 109 = 1 000 000 000c) (–5)5 = –3125d) 25 = 32e) (–1)10 = 1f) (–6)8 = 1 679 616

2. a) 5 b) 3 c) 9 d) 1

3. a) (–5)5 b) 213 c) (–2)13

4. a) 3 b) –235 c) –33

5. a) 512 departamentos.b) 6561 tenidas.

Unidad 2 Potencias 36

410

34

23

4 • 4 • 4 • 49 • 9 • 9 • 9

181

323125



204 Matemática 8

Página 47

1. a) 1 000 000 c) 6 e) 1b) –125 d) 144 f) 49

2. a) 10 b) 5 c) 3

3. a) (–5)1 b) 61 c) (–2)3

4. 25 cm

Página 49

1. a) 124 c) (–10)6 e) (–66)7

b) 148 d) 1203 f) (–24)2

2. a) 10 000 c) 144b) –3 200 000 d) –1 000 000

3. Sí, porque se pueden aplicar ambas propiedades.

4. a) Área = 8000 cm2

b) Volumen = 576 cm3

Página 51

1. a) (–4)4 c) 96 e) (–7)11

b) 99 d) (–8)3 f) 87

2. a) 81 c) 10 000 000 000b) –512 d) 81

3. a) –4 b) –26 c) 160

4. 32 platos de fondo. 5. 22 pantalones.

Página 53

1. a) 92 cm2 b) 6 • 92 cm2 c) 93 cm3

2. a) 6561 c) 81 e) 256b) –512 d) 1 f) 390 625

3. a) 15 b) 5 c) 2 d) 27

4. a) 236 b (–2)15 c) (–2)21 d) 216

5. Sí, porque x • y = y • x.

Página 54

Estrategia mental

a) 625 e) 9025 i) 42 025b) 4225 f) 990 025 j) 9025c) 2025 g) 7225 k) 1 010 025d) 1225 h) 3025 l) 15 625

Página 55

1. D2. C3. C4. D5. A6. C7. B8. 8 poleras.9. Volumen = 215 cm3

Página 57

1. a) c) e)

b) d) f) 1

2. a) 3 b) 10 c) 9

Página 59

1.

2. a) 1 > 0,5 c) (0,6)5 < (0,6)4

b) (2,5)3 = (2,5)3 d) (5,5)2 < (5,5)3

322436481

10001331

81728

19 68340 352 607

�0,33 0,34 0,32 0,38

22 52 0,82 0,88

0,54 0,58 ó 0,254 1 14

0,14 0,17 0,11 0,14

Solucionario 205

41

16 42

64 43

256 44

0 1 2 3 4 5

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

No de personas

Nivel

0 1 2 3 4 5

50

100

150

200

250

300

Población en miles de individuos

Años transcurridos

12

� �1

131 072

� �2

65 536

� �3

32 768

� �4

16 384

12

12

12

12

3.

a) Sí. b) Sí.

Página 61

1.

a) 256 personas.b) El número de personas depende del nivel de

llamados, porque a medida que aumentan losniveles, aumenta la cantidad de personasinformadas.

Página 63

1.

a) En el 3º año.b) 16 384c) En 19 años.

Página 65

1. B2. C3. D

4. a) El tipo de crecimiento es crecimiento exponencial, ya que a medida que transcurre el tiempo aumenta exponencialmente el número de bacterias.

b) 212

5. Jorge: 26 puntos; Mario: � �5

puntos.

0,25 0,125 0,0625

0,0625 0,015625 0,00390625

18

14

164

116

116

1256





206 Matemática 8

Página 67


1. a) 4 d) 4 g) 3b) 6 e) 6 h) 1c) 2 f) 7 i) 9

3. a) 5 b) 6 c) 7 d) 6 e) 9 f) 0

4. a) La base es 2 y el exponente representa la cantidad de veces que se dobla la hoja porla mitad. El valor de la potencia representala cantidad de rectángulos.

b) 23 = 8 rectángulosc) 25 = 32 rectángulose) 8

Página 68

1. El porcentaje de riesgo es de 10,13% y 82,46%,respectivamente.

Página 70

1. C 3. B 5. A 7. C2. B 4. D 6. C 8. A

Página 71

9. a) 256 m y 4 m, respectivamente.b)

10. 27 cm

Página 73

1. El radio de los envases.

2. Si la altura aumenta al doble, el volumen tambiénaumenta al doble.

3. Con los cilindros.

4. Sí, duraznos en conserva.

Página 74

1. a) 20 cm c) 28 cmb) 22 cm d) 10,5 cm

2. a) 6,76 cm2 b) 210 cm2 c) 48 cm2 d) 6 cm2

3. a) Área = 120 cm2, volumen = 88 cm3

b) Área = 64 cm2, volumen = 25 cm3

4. Perímetro = 27 cm. No sigue siendo equilátero,ya que al aumentar uno de sus lados, dos de ellosmedirán 8 cm y el otro 11 cm, por lo tanto eltriángulo es isósceles.

Página 75

5. Perímetro = 36 cm y su área = 54 cm2.Si sus catetos se duplican, cada uno medirá18 cm y 24 cm, su perímetro será de 72 cmy su área de 216 cm2.

6. 40 m

Página 77

1. a) En que ambas tienen el mismo perímetro. Se diferencian en que una tiene área y la otra no.

b) Que una considera el interior y la otra solo elcontorno. Ambas tienen un centro y radio.

c) Cuando el punto se encuentra en contornodel círculo, y cuando el punto se encuentra en el interior de la circunferencia.

2. a) Radio. d) No pertenecen.b) No pertenece. e) Pertenecen.c) Pertenecen. f) Pertenece.

Página 79

2.

3. a) F b) F c) V d) F e) V

0 1 2 3 4 5

2000

4000

6000

8000

10 000

12 000

14 000

16 000

18 000

20 000

Longitud de la cuerda (m)

Cortes de la cuerda

Unidad 3 Geometría y medición 72

Cuerda(s) FE, CD y ABDiámetro(s) CDRadio(s) OC, OD y OASecante(s) ABTangente(s) Recta EArco(s) BA, AC, CF, FE, ED y DB� � � � � �

Solucionario 207

Página 81

1. a) 3,1428b) 3,14159, es la mejor aproximación al número . c) 3,1604d) 3,125e) 3,1466f) 3,1416

2. Sí, ya que el perímetro se puede calcular usandola fórmula 2 • • r. Luego, 2 • r = d.

3. Sí es posible.

4.

Página 83

1. a) 25,12 cm e) 21,98 cmb) 3,14 m f) 56,52 cmc) 29,516 cm g) 6280 md) 10,676 km h) 62 800 cm

2. a) 4,5 cm c) 200 cm e) 0,5 cm g) 5 cmb) 1,8 cm d) 1 cm f) 30 cm h) 8 cm

3. a) 18,84 cm b) 47,1 cm c) 15,7 cm

Página 85

1. a) Apotema = 1,1 cm. Área = 3,79 cm2.b) Apotema = 0,8 cm. Área = 2,01 cm2.c) Apotema = 0,6 cm. Área = 1,3 cm2.

2.

4. Aumenta 4 veces (113,04 cm2).Aumenta 9 veces (254,34 cm2).

Página 87

1. C 2. B 3. B

4. 12,56 cm2 5. 3768 cm de plástico.

Página 90

1. a) 360 cm2 e) 1186,92 cm2

b) 301,44 cm2 f) 1130,4 cm2

Página 91

2. a) 2826 cm2 b) 14 130 cm

3. 1808,64 cm2

4. 122,46 cm2

5. 351,68 cm2

6. a) 40 cm b) 1884 cm2 c) 4396 cm2

7. a) 879,2 cm2 b) 314 cm2

8. a) 5,2 cm b) 93,6 cm2 c) 453,6 cm2

9. a) 1130,4 cm2 b) 1758,4 cm2

10. a) 13 cm b) 282,6 cm2

Página 93

1. 384,65 cm3

2. a) 552,64 cm3

b) El volumen también se duplicaría y si la alturase triplica el volumen también aumenta tres veces.

3. a) 314 cm3

b) Su volumen aumenta 4 veces y si el radio se triplica el volumen aumenta 9 veces.

4. a) 2512 cm3

b) El volumen también disminuye a la mitad y si su altura se reduce a un tercio el volumen disminuye un tercio.

6 1210 20

5 107,5 47,1

21 65,9450 100

13 40,8220 40

1,3 5,88 1,4 1,5 6,72 7,0654 1 1,5 4,47 7,065

10 1,4 1,5 7



Página 94

7. a) Área = 172,7 cm2 y Volumen = 166,81 cm3.b) Área = 129,67 cm2 y Volumen = 94,95 cm3.c) Área = 185,5 cm2 y Volumen = 167,47 cm3.d) Área = 229,85 cm2 y Volumen = 204,73 cm3.e) Área = 967,12 cm2 y Volumen = 2307,9 cm3.f) Área = 678,24 cm2 y Volumen = 1017,36 cm3.g) Área = 1022,32 cm2 y Volumen = 2509,96 cm3.h) Área = 2128,92 cm2 y Volumen = 5369,4 cm3.i) Área = 234,14 cm2 y Volumen = 237,38 cm3.j) Área = 2543,4 cm2 y Volumen = 8478 cm3.

Página 95

1. D 2. C 3. A

4. a) Á = 1205,76 cm2 b) V = 2411,52 cm3

5. a) Necesitaría el doble de material.b) La capacidad del envase es de 376,8 cm3.

Página 97


1. a) 6363,73 cm3 c) 282,6 cm2

b) 452,16 cm3 d) 116,4 cm2

3. a) 5024 cm3 b) 1829,3 cm3

Página 98

1. V = 589 535 cm3

Página 100

1. C 3. D 5. B 7. C2. A 4. D 6. B 8. A

Página 101

9. 791,28 cm2

10. a) 942 m2 b) 810 120

11. 259,81 cm2 y 1099,81, respectivamente.

12. a) 25,12 cm y 75,36 cmb) 50,24 cm2 y 452,16 cm2. La razón entre sus

áreas es 1 : 9.

Página 103

1. Sí, se puede observar un hexágono.

2. Mariposas, se repiten en toda la imagen.

3. La imagen gira alrededor del punto que seencuentra en un ala de la mariposa.

Página 104

1. a) x = 72º, y = 108º b) x = 140º, y = 40º

2.

3. El centro es el centro de las simetrales, es decir, elcircuncentro.

Página 107

1. • Sí, porque cambia la posición de las figuras,no su tamaño ni forma.

2. a) No b) Sí c) Sí d) No

Página 109

1. Por ejemplo:

2.

3. Si se puede trasladar con un solo vector.

208 Matemática 8

Unidad 4 Movimiento en el plano 103

C

A

B

B´

C´ B´

A´

C´

K

FT

D

A

Triángulo= 140º= 20º= 20º

NR = 4,8 cmMN = 2,5 cmRM = 2,6 cm

Rectángulo= = =

= 90ºJL = GH = 4,4 cmIH = JG = 1,5 cm

Hexágono= = =

= = = 120ºAB = BC = CD = DE= EF = FA = 1,1 cm

Página 111

1. Por ejemplo: 2.

3. Un rombo. Un triángulo equilátero.

Página 113

1. Por ejemplo:

2.

3. Sí, haciendo una rotación en torno al punto O enun ángulo de 180º.

Página 117

1. A 2. B 3. A

4.

Página 119

1. a) No b) Sí c) Sí d) No

2. a) Si es posible teselar. c) No es posible teselar.b) Sí es posible teselar. d) Sí es posible teselar.

3. a) Se puede construir aplicando traslación.

b) Se puede construir aplicando reflexión.

c) No se puede teselar el plano con esa figura.

d) Se puede construir aplicando simetría y traslación.

Página 121

1. a) Traslación. b) Traslación y reflexión.

2. Se puede construir aplicando traslación.

3. Se puede construir aplicando traslación y reflexión.

4. a) b)

5. a) No b) No c) Sí

Página 123

1. B 2. C

3. a) Traslación. b) Traslación y reflexión.

Solucionario 209

A

B

D

C

D´

C´

A´

B´

R

NM

R

A

O´

B´

A´B

OR´

Q´

P´ RQ

P

R´ Q´

P´

N´

T

T´M´

M

N

L

T´´

M´´

N´

T´

M´

D

E





–

4 13%

6 19%

10 32%

4 13%

3 10%

3 10%

1 3%

431

631

1031

431

331

331

131

4. Se puede construir aplicando traslación y rotación.

Página 125


1. a)

El reflejo de E en una de las paredes (E ) se une con F, obteniendo P1. El reflejo de F en lamisma pared (F ) se une con G, obteniendo P2.Entonces, se parte en E, luego ir a P1, luego aF, después a P2 y, finalmente, llega a G.

b)

El reflejo de la bola A en uno de los bordes se une con el reflejo de la bola B en la otra paredque es perpendicular a la pared anterior, obteniendo los puntos P1 y P2. Entonces, el recorrido de la bola A será a P1, luego a P2 y, finalmente, golpeará a B.

3. Para encajar la figura 1 en A, se debe realizartraslación y rotación y, para encajar 1 en B,también.

Página 128

1. C 3. D 5. A 7. A2. D 4. B 6. D 8. C

Página 129

9.

10. Traslación.

Página 131

1. 31 571 personas.

2. E años en promedio.

3. Una estimación del nivel de instrucción másrepetido es de 4 años (31 571 personas).

Página 132

1. a)

b) 6 días.c) 13%d) x = 30,29, mediana: 30, Moda: 30.

210 Matemática 8

E

F

G

P2P1

F´

E´

A

B

A´

B´

P2

P1

A´

B

A

C

C´ A

B

L

B´

Unidad 5 Datos y azar 131

HorasMarca

de claseF.

absolutaF. Absolutaacumulada

F. Relativa

F. relativaPorcentual

1 - 5 3 19 19 0,475 47,5%

6 - 10 8 14 33 0,35 35%

11 - 15 13 7 40 0,175 17,5%

Solucionario 211

65016

950

Nº decaras

F. absoluta F. RelativaF. relativaPorcentual

1 10 0,2 20%2 3 0,06 6%3 6 0,12 12%4 12 0,24 24%5 9 0,18 18%6 10 0,2 20%

LlamadasF.


F.Relativa


0 - 5 8 8 0,27 27%6 - 11 10 18 0,33 33%

12 - 17 9 27 0,3 30%

18 - 23 3 30 0,1 10%

2. a)

b) 8 alumnos y 2 alumnos, respectivamente.c) 4 h y 21 min.d) Mediana: 4,5; Moda: 6.

Página 133

3. a) Población: alumnos y alumnas del colegio.Muestra: pueden ser los compañeros de curso.

b) Variable cuantitativa: horas destinadas a ver TV.

4. a)

b) 3 y 12, respectivamente.

c) y , respectivamente.

d)

Página 135

1. a) 60b) 5c) 26% y 69%, respectivamente.

2.

Página 137

1. a)

b) 6 c) 36 d) 14,28%

2. a)

b) 5 c) 8 d) 27 e) 10%

Página 139

1. a)

b) 33 c) x = 6,5

–

2 5%

6 15%

4 10%

8 20%

4 10%

16 40%

240

640

440

840

440

1640 Edad

F.absoluta

F. Absolutaacumulada

F.Relativa


1 - 10 7 7 0,17 17%11 - 20 6 13 0,14 14%

21 - 30 8 21 0,19 19%

31 - 40 6 27 0,14 14%

41 - 50 5 32 0,12 12%51 - 60 4 36 0,1 10%61 - 70 4 40 0,1 10%71 - 80 2 42 0,05 5%

5 0,08 0,0812 0,12 0,222 0,17 0,3725 0,05 0,4238 0,22 0,6452 0,23 0,8760 0,13 1



1,40 - 1,47 3 1,4351,48 - 1,55 12 1,515

1,56 - 1,63 22 1,595

1,64 - 1,71 6 1,675

1,72 - 1,79 2 1,755

212 Matemática 8

NotasMarca

de claseF.


F. Relativa


2,0 -3,0 2,5 2 2 0,06 6%

3,1 -4,1 3,6 6 8 0,19 19%

4,2 -5,2 4,7 9 17 0,28 28%

5,3 -6,3 5,8 10 27 0,31 31%

6,4 -7,4 6,9 5 32 0,16 16%

Máquina A Máquina B

Mediaaritmética

652,63 659,81

Moda 652 660

2. a)

b) 26 c) 9% d) x = 13

Página 141

1. a)

b) x = 5,0 Mo = 5,5

2. •

x = 1,58 Mo = 1,59

Página 143

1. a) Seleccionando una muestra. No esconveniente analizar las 2160 botellas, ya quele tomaría demasiado tiempo y es unprocedimiento costoso.

b)

La máquina A está debajo del nivel de calidad,es recomendable revisarla.

Página 146

1. a) 15 a 19 años.b) Sí

c) Las mujeres jóvenes tienen mayor nivel deendeudamiento.

d) Entre 25 a 29 años.

Página 149

1. D 2. A 3. C

4. a)

b) 14% c) x = 14,07Mo = 5,5

Página 151

1. a) = �TBPR50, TBPR51, TBPR52, TBPR53, TBPR54, TBPR55, TBPR56, TBPR57, TBPR58, TBPR59�. Tamaño 10.

b) = �TBPR20, TBPR21, TBPR22, TBPR23, TBPR24, TBPR25, TBPR26, TBPR27, TBPR28, TBPR29, TBPR30, TBPR31, TBPR32, TBPR33, TBPR34, TBPR35, TBPR36, TBPR37, TBPR38, TBPR39�. Tamaño 20.

c) = �1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)�. Tamaño 36.

d) = �2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12�. Tamaño 11.

2. 12 maneras. 3. De 4 formas distintas.

4. a) 24 tipos de menú.

CategoríaMarca Clase

F. Absoluta

F. Absolutaacumulada

No conforme 0 - 7 3,5 8 8

Medianamenteconforme

8 - 15 11,5 7 15

Conforme 16 - 23 19,5 9 24

Muy conforme 24 - 31 27,5 4 28

F. relativa


0,29 29%

0,2525%

0,32 32%

0,14 14%

2 3 0,07 7%7 11 0,18 18%

12 26 0,33 33%

17 41 0,33 33%

22 45 0,09 9%

Solucionario 213

b) Las opciones de plato de fondo son: arroz concarne (A), puré con pollo (P), legumbre (L).Las opciones para beber son: bebida (B) ojugo (J). Las opciones de postre son: helado (1), jalea (2), flan (3) o fruta (4). Entonces, todaslas posibilidades de menú son:�AB1, AB2, AB3, AB4, AJ1, AJ2, AJ3, AJ4,PB1, PB2, PB3, PB4, PJ1, PJ2, PJ3, PJ4, LB1,LB2, LB3, LB4, LJ1, LJ2, LJ3, LJ4�

Página 153

1. a) = �Blanca, Roja�. No son equiprobables.b) = �Cara, Sello�. Sí son equiprobables.c) = �niña, niño�. No son equiprobables.d) = �13 cartas , 13 cartas , 13 cartas ,

13 cartas �. Sí son equiprobables.e) = �par, impar�. Sí son equiprobables.

2. Es correcto lo que dice Romina, ya que si estánen igualdad de condiciones, tienen la mismaprobabilidad de salir (son equiprobables).

3. Sí es correcto.

En equipo

1. a) = {Rojo, azul, amarillo}.b) No son equiprobables.

Página 155

1. a) b) c)

2. a) ó 0,5 ó 50% c) ó 0,17 ó 17%

b) ó 0,83 ó 83%

3. a) 47% b) 53% c) 80% d) 67%

Página 157

1. C 2. D

3. a) No. b) Sí. c) Sí. d) Sí.

4. a) 15 tenidas, estas son:Polera Amarilla, pantalón Negro.Polera Amarilla, pantalón Café.Polera Amarilla, pantalón Gris.Polera Azul, pantalón Negro.Polera Azul, pantalón Café.Polera Azul, pantalón Gris.

Polera Blanca, pantalón Negro.Polera Blanca, pantalón Café.Polera Blanca, pantalón Gris.Polera Negra, pantalón Negro.Polera Negra, pantalón Café.Polera Negra, pantalón Gris.Polera Roja, pantalón Negro.Polera Roja, pantalón Café.Polera Roja, pantalón Gris.

b) La probabilidad es 0,07.

Página 159


1. Le sirve el gráfico “¿Usted lee libros?”3. Ambos gráficos le permiten extraer la

información que necesita.

Página 162

1. D 3. D 5. A 7. B2. A 4. C 6. B 8. D

Página 163

9. • La mayoría de las personas encuestadas(hombres y mujeres) ven TV abierta 5 días a lasemana, o más.A pesar que son más mujeres que hombreslos que ven TV abierta todos los días, sonsimilares los porcentajes, pues la diferencia esde 3% aproximadamente.

Página 165

1. 105 km 2. 1 h y 30 min

3. Tardaría 4 h y llagaría a las 10 de la mañana.

4. Sí, y = 21 • x, donde x son horas.

Página 166

1. a) 3x e) t • nb) 2 • (3 + (–8)) f) 15 • x

c) g) 750 • y

d) + 3y h)

12

12

16

56

12

314

Unidad 6 Funciones y relaciones proporcionales 165

2x3

x4

x12





260

520

1560

2600

3900

6500

10 400

14 820

2,5

25

150

225

450

750

214 Matemática 8

2. a) P = t + r + s, A =

b) P = 4 • a + 12, A = (a + 3)2

c) P = 2x + 2y, A = x • y

3. a) y = 2 d) z = 140b) x = 4 e) a = 6

c) x = 5 f) a = –

4. a) x – 27 = 77, x = 104b) x + (x – 1) = 49, x = 25c) (2x – 1) + (2x + 1) + (2x + 3) = 177,

los números son: 57, 59, 61.d) 4x – 3 = 3x + 12, x = 15

5. a) 8 b) 6 c) 26

Página 167

6. a) Padre: 60 años, hijo: 25 años, madre: 83 años.

b) Matías: $ 62 000, Josefa: $ 93 000c) $ 45 600

Página 169

1. a) En un bolsillo hay $ 1500 y en el otro $ 4500.b) $ 1450 cada jarrón.c) 12 cm y 24 cm. Área = 288 cm2

Página 170

2. a) 2,5 • 60 • x = 900b) 2 minc) $ 450d)

e) $ 9750f)

g) $ 630h) $ 26 490i) El plan de Francisca es más conveniente,

porque Camila pagaría $ 27000 y Francisca$ 24 090.

Página 171

3. a) 200 claveles. La ecuación es: 1250 + 140x + 120x = 27250

b) $ 3900 y $ 5200c) $ 12 430d)

e) No, porque debe comprar la misma cantidadde claveles de cada color.

f)

g) $ 4260

Página 173

2. a) Sí es función.b) No es función.c) Sí es función.d) Sí es función.

t • r2

553

2000

3000

1000

0

4000

Precio ($)

Minutos hablados0 5 10 15 20 25 30 35

0

250

0 2 4 6 8 10 12

500

750

1000

1250

1500

1750

Precio

Cantidad de claveles

9 1218 000 27 000 72 000

11 800 16 800 21 800 26 800 31 800 36 800

10 500 31 500 73 500 105 000 126 000 210 000

13 890 18 290 22 690 29 290

12 990 16 190 19 390 24 190

14 490 14 490 16 890 20 490

Solucionario 215

3. a)

b) Para 80 min, el Plan B, y para 120 min, el Plan C.

c) Plan A y = 9460 + 220xPlan B y = 12 990 + 160xPlan C y = 14 490 + 120x

Página 175

1. a) Independiente: arista.Dependiente: volumen.

b) Independiente: número.Dependiente: sucesor.

c) Independiente: kilogramos de pan.Dependiente: precio total.

Página 176

2. a) $ 73 500 y $ 126 000, respectivamente.b) y = 10 500xc) Variable dependiente: precio total recaudado.

Variable independiente: número de entradas.d)

e)

3.

a) 36 cm y 60 cm, respectivamente.b) f (x) = 4xc) Variable dependiente: perímetro.

Variable independiente: lado del cuadrado.

4. a)

b) f (x) = 5000x + 6800c) Variable dependiente: total a pagar.

Variable independiente: m2.d) f (x) = 6000x

5. a) Variable dependiente: perímetro. Variable independiente: lado del triangulo.

b) f (x) = 3xc) Cada uno de sus lados mide 14 cm, porque

es equilátero.

Página 177

6.

a) $ 27 000 y $ 72 000, respectivamente.b) f (x) = 4500xc) Variable dependiente: dinero reunido.

Variable independiente: cantidad de clases.d)

y

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

00 1 2 3 4 5 6 7

x

12 16 20 24

40 00

35 000

30 000

25 000

20 000

15 000

10 000

5000

03 4210 5 6 7

Total a pagar

m2

00

10 00

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

Dinero reunido ($)

1 2 3 4 5 6 7Cantidad de clases

($)

(Nº)



Rapidez constante (km/h)

30 40 50 60 80 100 120

Tiempo (h) 12 9 7,2 6 7,2 3,6 3

TriángulosNúmero

de palitos

1 3

2 5

3 7

4 9

5 11

216 Matemática 8

300x

x (grados) y (grados)89 1

10 80

20 70

35 55

45 45

50 40

89 1

En equipo

4. a) Triángulos equiláteros, porque como lospalitos representan los lados, cada palito midelo mismo (aproximadamente).

b)

Se observa que cada triángulo nuevo, sesuman dos palitos.

c) 15 palitos, 41 palitos y 207 palitos,respectivamente.

d) f (x) = 2x + 1e) Variable dependiente: número de palitos.

Variable independiente: número de triángulos.

Página 179

1.

Dominio: números positivos entre 30 y 120.Recorrido: números positivos entre 3 y 12.

2. a) $ 387 000 y $ 598 500, respectivamente.b) f (x) = 4500xc) Variable dependiente: dinero recaudado.

Variable independiente: cantidad de personas.d) Dominio: desde 0 a 150 (personas).

Recorrido: �4500 • 1, 4500 • 2, 4500 • 3, …,4500 • 150�

3. a) 20 caramelos y 12 caramelos, respectivamente.

b) f (x) =

c) A 60 niños.d) Dom (f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25,

30, 50, 60, 75, 100, 150, 300�Rec (f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25,30, 50, 60, 75, 100, 150, 300�. En amboscasos, divisores de 300.

4. a) La medida de un ángulo agudo.b) 0º < x < 90º y el ángulo y es el complemento

de x.c) Mide 45º.

d)

Página 180


a) y = 2xDom (f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 7�Rec (f ) = �2, 4, 6, 8, 10, 12, 14�

b) y = x 2

Dom (f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6�Rec (f ) = �1, 4, 9, 16, 25, 36�

c) • y = 40x• Variable dependiente: precio.

Variable independiente: número de masticables.• Dom (f ) = �0

Rec (f ) = �40 • n /n �0�• $ 680

Página 181

1. C 2. D

3. a) 97 sopaipillas.b) Dependiente: dinero recaudado en un día.

Independiente: cantidad de sopaipillas.c) Dom (f ) = �0

Rec (f ) = �130 • n /n �0�d)

00 1 2 3 4 5 6 7

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Dinero recaudado ($)

Cantidad de sopaipillas(Nº)

45 50 5525 30 35

Solucionario 217

3 8

6 16

9 24

12 32

15 40

10

0

20

30

40

Perímetro (y)

Ancho (x)0 1 2 3 4 5

2 603 90

1 40

3 120

4. y = 2x + 3

Página 183

1. a) No b) No c) Sí

2.

• No son proporcionales, ya que la razón entrelas edades no se mantiene con el tiempo.

3. a) Las horas y la temperatura.b) No son proporcionales, ya que la razón entre

las variables no es constante.c)

Página 185

1. a) Sí c) No e) Nob) Sí d) Sí f) Sí

Página 186

2.

a) 360 : 1El valor de la razón es constante y su valor es 360.

b) f (x) = 360xc) $ 6480 y $ 12 600, respectivamente.d)

3.

a) Si aumenta x el perímetro aumenta, mientrasque si x disminuye el perímetro tambiéndisminuye.

b) f (x) = 8x

Página 187

4. a)

b) El auto rojo, porque recorre más distancia enmenos tiempo.

c) En 2 horas.d) 40 : 1 para el auto rojo y 30 : 1 para el auto

verde.e) A 300 km.f) 12 horas.g) f (x) = 40x y g (x) = 30x, respectivamente.

Página 189

1. a) No c) No e) Nob) Sí d) Sí f) Sí

Página 190

2. a) A 480 km.400

0

800

1200

1600

2000

2400

Precio ($)

10 2 3 4 5 6 7Cantidad de helados

360 720 1800 2880 4320 6120

(Nº)

0

37

3838,5

39

37,5

39,5

Temperatura (ºC)

Horas2 4 6 8 10 12 14 16





Tipo deproporcionalidad

Función que larepresenta

Respuesta alproblema

Inversa y = 75 máquinas

Directa y = x 10 kg

Inversa y = 4 días

Inversa y = 40 km/h

Directa y = 18x 90 informes

75x

72x

120x

6 4 3 2 1,5 1

84840

218 Matemática 8

b)

c) y = . El dominio son los números positivos

menores o iguales a 480.d) Debe ir a 96 km/h.e) Tardaría 9 h y 36 min en llegar.f) Demoraría 96 horas.g) Una hipérbola.

3. a) y =

b) y =

c) y =

Página 191

4. a) Proporcionalidad inversa. k = 20. f (x) =

b) Proporcionalidad directa. k = 3. f (x) = 3xc) Proporcionalidad directa. k = 175. f (x) = 175x

d) Proporcionalidad inversa. k = 24. f (x) =

5.

Página 192


c) f (x) = x + 1, g(x) =

d) En la primera función: Dom (f ) = � y

Rec (f ) = �2, 3, 4, 5, …� o Rec (f ) = � – {1}En la segunda función: Dom (f ) = �1, 2, 3, 4,6, 12� y Rec (f ) = �1, 2, 3, 4, 6, 12�

e) En la función f (x) = x + 1 no se relacionan en

forma proporcional, mientras que en g(x) = ,sí se relacionan proporcionalmente.

Página 193

1. C 2. D 3. A

4. a) 7 huevos.b) f (x) = 3x. Dom (f ) = �0 y

Rec (f ) = �3 • n /n �0�

00 2 4 6 8 10 12 14 16

20

40

60

100

80

120

Rapidez (km/h)

Tiempo(h)

480x

6x

600x

144x

Altura (cm)

76543210

0 1 2 3 4 5 6 7Base(cm)

15 12 10 6 5

24 12 8 6

Rapidez (km/h)

Tiempo(h)

140120100

80604020

00 2 4 86 10 12 14 16

30

Cantidad de cajas

Cantidad de alfajores

2520151050

0 5 10 15 20 25 30

20x

24x

12x

12x

(Nº)

(Nº)

Solucionario 219

Cantidad de personas

25

20

15

10

5

00 1 2 3 4 5 6 7 8

Cantidadde huevos

b)

Página 195


1. a) $ 2 800 000 y $ 1 100 000, respectivamente. La función es f (x) = 3 600 000 – 100 000x

b) 14 kg y 400 g. La función es: f (x) = 20 000 – 400x

c) • $ 4550 y $ 46 200, respectivamente.• f (x) = 7000 – 350(x – 1)• Dom f (x) �1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …, 19, 20�

y Rec f (x) = �7000, 6650, 6300, 5950,..., 700, 350�.

3. a) • $ 13 200 y $ 15 300, respectivamente.• $ 154 200• f (x) = 9000 + 700(x – 1)

b) Quedaron 200 gramos de aceitunas.

Página 198

1. D 3. A 5. C 7. C2. D 4. D 6. B 8. A

Página 199

9.

• f (x) = 5x

10. a) De proporcionalidad inversa, ya que el gráfico es una hipérbola.

b) k = 120

c) f (x) =

00

510

15

2025

30

3540

y

x1 2 3 4 5 6 7 8

120x

x 2 64y 80 160

(Nº)

(Nº)



220 Matemática 8

Índice temáticoA

Adición con números enteros, 13

Algoritmo de la división, 23

Amplitud - de un intervalo, 137- térmica, 24

Análisis de encuestas, 144, 145

Ángulo, 105- de rotación, 112- interior de un polígono regular, 120

Apotema de un polígono, 75

Arco de una circunferencia, 78, 79

Área, 75- del cilindro 88, 89, 90- del círculo, 84, 85- del cono 88, 89, 90- de un cuadrado, 75- de un polígono regular, 84- de un rectángulo, 75- de un triángulo, 75- de una pirámide, 90

B

Base de una potencia, 39

C

Cardinalidad del espacio muestral, 151

Centro- de una circunferencia, 76, 77- de rotación, 112

Censos, 131, 142, 143- Censo y muestreo, 142

Circunferencia y círculo como lugar geométrico,76, 77

Construcción geométrica- copiar un ángulo, 112- de rectas paralelas, 108- de simetral de un trazo, 111

Crecimiento exponencial, 60, 61

Cuerpos geométricos- cilindro recto, 88- cono recto, 88- paralelepípedo, 48- pirámides, 75- poliedros, 88- prisma recto, 75- redondos, 88

Cuerda, 78, 79

D

Datos y azar, 130

Decrecimiento exponencial, 62, 63

Diámetro de una circunferencia, 78, 79

División- de potencias de igual base, 46, 47- de potencias de igual exponente, 50, 51- exacta de números enteros, 18, 19- inexacta de números enteros, 22

Dominio de una función, 178, 179

E

Ecuación, 168- verificación, 168

Eje- de las abscisas, 169- de las ordenadas, 169- de simetría, 110

Elementos de una circunferencia, 78, 79

Encaje (técnica), 98

Encuestas, 145

Índice temático 221

Espacio muestral, 150, 151

Experimentos aleatorios, 150

Exponente de una potencia, 39

Expresión algebraica, 172

F

Fracciones (representación), 46, 154

Frecuencia- absoluta, 133, 134, 135- absoluta acumulada, 135- relativa, 133, 134, 135- relativa acumulada, 135

Funciones y relaciones proporcionales, 164- proporcionalidad directa, 184, 185- proporcionalidad inversa, 188, 189

G

Generatriz, 89, 90Geometría y medición, 72

H

Hipérbola, 189

I

Intervalos, 137

Intervalo modal, 140

Isometría, 106

L

Longitud de una circunferencia, 82, 83

Lugar geométrico, 77

M

Marca de clase, 139

Medidas de tendencia central- media aritmética, 133- media aritmética para datos agrupados,

138, 139- mediana, 133- moda, 133- moda para datos agrupados, 140, 141

Mosaico, 118

Movimientos en el plano, 102

Muestra, 133, 143

Multiplicación- de números enteros, 16, 17- de potencias de igual base, 44, 45- de potencias de igual exponente, 48, 49- de un número natural por un número entero

negativo, 14, 15

N

Noción de función, 172, 173

Número(s)- enteros, 10- y su relación con la circunferencia, 80, 81- positivo, 16

O

Operaciones combinadas, 24, 25

P

Perímetro de un polígono, 75

Población, 133

Polígono, 75, 105- regular, 75, 105

Porcentaje, 167

Potencia(s), 36, 39- de base decimal positiva y exponente natural,

58, 59




222 Matemática 8

- de base entera y exponente natural, 40, 42, 43

- de base fraccionaria positiva y exponentenatural, 56, 57

- de una potencia, 52, 53

Principio multiplicativo, 150, 151

Probabilidad, 133- regla de Laplace, 154, 155

Propiedad- conmutativa de la multiplicación, 15- distributiva de la multiplicación respecto de la

suma, 24

Proporción, 167

R

Radio de una circunferencia, 76, 77, 78, 79

Rango, 136, 137

Razón, 167

Recorrido de una función, 178, 179

Recta(s)- numérica, 13- paralelas, 105- perpendiculares, 105- secantes, 105- secante a una circunferencia, 78, 79- tangente a una circunferencia, 78, 79

Reflexiones de figuras planas, 110, 111

Regla de los signos, 17, 19

Representatividad de una muestra, 143

Resto, 18, 22

Rotaciones de figuras planas, 112, 113

S

Simetral de un segmento, 110

Simplificación de fracciones, 46

Situaciones con dos variables, 168, 169

Sucesos- elementales, 152- equiprobables, 152

Sustracción con números enteros, 13

T

Tablas de frecuencia, 134- construcción para datos agrupados, 136, 137- interpretación, 134, 135

Teselaciones, 118, 119- regulares y semirregulares, 120

Tetris (juego), 125

Transformaciones- de figuras y objetos, 106- isométricas, 106, 107

Traslaciones de figuras planas 108, 109

Triángulo rectángulo, 75

V

Valor- absoluto, 13- de la potencia, 39, 41, 54- de la razón, 80, 167

Variable- dependiente, 174, 175- independiente, 174, 175- estadística cuantitativa y cualitativa, 133

Variaciones proporcionales y no proporcionales,182, 183

Vector de traslación, 108

Volumen, 92- del cilindro 92, 93- del cono, 92, 93

Bibliografía 223

BibliografíaDOCUMENTOS OFICIALES

• Mineduc. Objetivos Fundamentales y ContenidosMínimos Obligatorios de la Educación Básica.Ministerio de Educación de Chile, 2001.

• Mineduc. Propuesta de Ajuste Curricular.Matemática, junio 2009. Ajuste promulgado porel Decreto N° 256 para la Educación Básica ypublicado en el Diario Oficial de la República deChile el 19 de agosto de 2009.

• Ministerio de Educación. Matemática. Programa deEstudio. Octavo Año Básico. Propuesta presentadaa resolución del Consejo Nacional de Educación.Ministerio de Educación de Chile, Unidad deCurrículum y Evaluación, diciembre 2009.

MATERIAL CRA

• Cedillo, Tenoch. Calculadoras: Introducción alÁlgebra. Grupo Editorial Iberoamérica, México,1997.1ª ed. [r. 1996]Las actividades propuestas están orientadas a laenseñanza del código algebraico comoherramienta para expresar generalizaciones yresolver problemas, e introducir la noción defunción a partir de la construcción einterpretación de gráficas.

• Guzmán, Miguel de. Para pensar mejor. EdicionesPirámide, España, 1995, 2ª ed.El objetivo de la obra es mostrar cómo laexploración de los propios métodos depensamiento es una tarea que puede mejorar lacalidad del pensar y los aportes de la Matemáticaen este ámbito.

• Hitt, Fernando. Investigaciones en MatemáticaEducativa. Grupo Editorial Iberoamérica, México,1996, 1ª ed.Reúne un conjunto de artículos sobre diversasinvestigaciones que tratan la problemática de laenseñanza y el aprendizaje de las matemáticasdesde el nivel básico hasta el universitario.

• Orobio, H. y Ortiz, M. Educación Matemática ydesarrollo del sujeto. Magisterio, Colombia,1997, 1ª ed.El autor propone una estrategia pedagógica queimplica la comprensión del desarrollo de los sujetos,el proceso de construcción y estructuración lógicade los conceptos y de los saberes específicosabordados con los alumnos y alumnas.

• Rodríguez, José y otros. Razonamientomatemático. International Thompson Editores,México, 1997, 1ª ed.Organizado en cinco capítulos, el texto trata elmodelo de Polya y presenta estrategias utilizadaspara resolver problemas, conceptos de álgebrarelacionados con ecuaciones de primer grado,interpretación gráfica y las matemáticas definanzas.

• Steen, Lynn. La enseñanza agradable de lasmatemáticas. Editorial Limusa, México, 1998, 1ª ed. Pretende mostrar que es posible desarrollar elpensamiento matemático mediante experienciasinformales a muy temprana edad, mucho antesde que los niños lleguen al punto de podercomprender fórmulas algebraicas.

• Varios autores. Enseñanza efectiva de lasMatemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica,México, 1995, 1ª ed.Guía básica que sugiere técnicas y habilidadespara la enseñanza de las matemáticas; incluyeaspectos que abarcan desde la preparación ydesarrollo de una clase hasta la elaboración yaplicación de pruebas y exámenes.

LIBROS

• Arenas Fernando y equipo. Geometría Elemental.Ediciones Universidad Católica de Chile,Santiago,1993.

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• Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de losnúmeros. Ediciones Siruela, España, 1998.




224 Matemática 8

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• Rencoret, María del Carmen. Iniciaciónmatemática - Un modelo de jerarquía deenseñanza. Editorial Andrés Bello, Santiago, 2002.

• Sternberg, R., Apear-Swerling L. Enseñar apensar. Aula XXI, Santillana, España, 1996.

• Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegosy matemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990.

• Vygotski, L. El desarrollo de los procesospsicológicos superiores. Libergraf, S.A.,Barcelona, 1995.

• Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividadespara implementar los Objetivos FundamentalesTransversales. Lom Ediciones, 2001.

RECURSOS TECNOLÓGICOS

• Software geométrico GeoGebra. En este sitioencontrará un programa geométrico libre, paradescargar, que le permitirá enseñar y trabajar consus alumnos y alumnas.http://www.geogebra.org

• Software geométrico Limix Geometric. En estesitio encontrará un programa gratuito que podrádescargar, permite obtener el área y volumen dedistintos cuerpos geométricos.http://www.limix.net

PÁGINAS WEBS

• Ministerio de Educación de Chilehttp://www.mineduc.cl

• Centro Comenius. Software educativos, enespecial de matemáticas, recursos y muchas cosasmás. Patrocinado por la USACH.http://www.comenius.usach.cl

• Recursos matemáticos Redemathttp://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

• Base de datos de documentos para Educación.http://www.cide.cl/campos/profes/setreduc.htm

• REDUC. Red Latinoamericana de información ydocumentación en educación. Contiene base dedatos sobre investigaciones, textos completos,recortes de prensa.http://www.reduc.cl

• Sociedad de Matemática de Chilehttp://www.sochiem.cl

• Recursos matemáticos Redemathttp://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

• Instituto Nacional de Estadísticas.http://www.ine.cl

• Ministerio de salud.http://www.redsalud.gov.cl

• Consejo Nacional para el Control deEstupefacientes (Conace).http://www.conacedrogas.cl

• Fundación Futuro.http://www.fundacionfuturo.cl/

BUSCADOR RECOMENDADO

• Sitio educativo con diversos recursos,planificaciones e información de todas las áreas.Incluye buscador.http://www.educarchile.cl/home/escritorio_docente

TEXTO DEL ESTUDIANTE 224


BIBLIOGRAFÍA DE LA GUÍA DIDÁCTICA

Documentos oficiales• Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la

Educación Básica. Ministerio de Educación de Chile, 2001.

• Mineduc. Propuesta de Ajuste Curricular. Matemática, junio 2009. Ajuste promulgado por el Decreto N° 256 para la Educación Básica y publicado en el Diario Oficial de la República de Chile el 19 de agosto de 2009.

• Ministerio de Educación. Matemática. Programa de Estudio. Octavo Año Básico.Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación. Ministeriode Educación de Chile, Unidad de Currículum y Evaluación, diciembre 2009.

Libros• Arenas, F., y otros. Geometría elemental. Ediciones Universidad Católica de Chile,

Santiago, 1993.

• Artigue, M. “Una introducción a la didáctica de la matemática”, en Enseñanza dela Matemática. Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE, 1994.

• Artigue, M., y otros. Ingeniería didáctica en educación matemática. GrupoEditorial Iberoamericana, México, 1ª edición, 1995.

• Arenas Fernando y equipo. Geometría Elemental. Ediciones Universidad Católicade Chile, Santiago,1993.

• Bermeosolo, J. Metacognición y estrategias de aprendizaje e instrucción.Documentos de apoyo a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767, Santiago, 1994.

• Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Graó,Barcelona, 1995.

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. Geometry Revisited. The Mathematical Associationof America, EE.UU., 1967.

• Chevallard Y. La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado.Aique, Buenos Aires, 1991.

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• Díaz, J. y otros. Azar y probabilidad. Ed. Síntesis, Madrid, 1987.

• Dickson, L. Brown, M. y Gibson, O. El aprendizaje de las Matemáticas. Ed. Labor,Barcelona, 1991.

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• E.T. Bell. Los grandes matemáticos. Editorial Losada S.A., Buenos Aires, 1948.

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• Jouette André. El secreto de los números. Ediciones Robinbook, Barcelona, 2000.

• Julius, Edgard. Matemáticas rápidas. Norma, Bogotá, 2002.

• Linares, Salvador. Fracciones, la relación parte-todo. Síntesis, Madrid, 1988.

• Mateos, Mar. Metacognición y educación. Aique, Buenos Aires, 2001.

• National Council of Teachers of Mathematics. Principios y Estándares para laEducación Matemática. Sociedad Andaluza, Sevilla, 2003.

• Novak, J. Aprendiendo a aprender. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1988.

• Ontoria A. Mapas conceptuales. Editorial Nancea, 2ª edición, España, 1993.

• Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Ediciones Martínez Roca S.A.,Barcelona, 1987.

• Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericana,México, 1994.

• Pozo, J. L. Teorías cognitivas del aprendizaje. Morata, Madrid, 1990.

• R. David Gustafson. Álgebra Intermedia. International Thomson Editores,México, 1997.

• Rencoret, M. Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de enseñanza.Editorial Andrés Bello, Santiago, 2002.

• Saavedra, E., y otros. Contenidos básicos de estadística y probabilidad. EditorialUniversidad de Santiago, colección ciencias, 2005.

• Sternberg, R., Apear-Swerling L. Enseñar a pensar. Aula XXI, Santillana,España, 1996.

• Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas. Gedisa,Barcelona, 1990.

• Vygotski, L. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Libergraf S.A.,Barcelona, 1995.

• Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividades para implementar los ObjetivosFundamentales Transversales. Lom Ediciones, 2001.



Recursos tecnológicos• Recursos educativos digitales.

http://www.catalogored.cl/recursos-educativos-digitales

• Software geométrico GeoGebra. http://www.geogebra.org

• Software geométrico Limix Geometric. http://www.limix.net

Páginas webs sugeridas• Ministerio de Educación de Chile.

http://www.mineduc.cl

• Centro Comenius. Patrocinado por la USACH.http://www.comenius.usach.cl

• Recursos matemáticos Redemat.http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

• Currículum Nacional del Ministerio de Educación de Chile.http://www.curriculum-mineduc.cl/

• Red Maestros de Maestros.http://www.rmm.cl

• Centro de perfeccionamiento, experimentación e investigaciones pedagógicas(CPEIP).http://www.cpeip.cl

• REDUC. Red Latinoamericana de información y documentación en educación. http://www.reduc.cl

• Sociedad de Matemática de Chile.http://www.sochiem.cl

• Servicio Europeo de Información Matemática (EMIS). http://www.emis.de

• Instituto Nacional de Estadísticas.http://www.ine.cl

• Fundación Futuro.http://www.fundacionfuturo.cl/

• Ministerio de salud.http://www.redsalud.gov.cl

• Consejo Nacional para el Control de Estupefacientes (Conace).http://www.conacedrogas.cl

• Dirección Metereorológica de Chile.http://www.meteochile.cl





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