Guía 1 - Cálculos Básicos

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1800 a

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La INTELIGENCIA como primera opción Colegios TRILCE

I Bim. / ARITMÉTICA / 1ER. AÑO San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó

56

Cálculos Básicos I

CIENCIA

CIENCIA

CÁLCULOS BÁSICOS

1 + (- 5) = - 4

•8 + (-7) + 15 ÷(-3)

- 45 + - 4 = - 49

•9 x (-5) + 28 ÷(-7)

16 x 3 + 270 - 27

• (128 ÷8)x(24 ÷8 )+(18 x 15)-33 =

23 + 9 - 1 + 32

•27 ÷ 24 + 32 - 30 + 16 x 2

48 + 270 - 27 =291 17 + 31 = 48

80 ÷ 10 + 75 ÷ 15 - 4

• (16 x 5) ÷ (30 ÷3 ) + (25 x 3) ÷ (75 ÷5 ) - 22

8 + 5 - 4 = 9

1. OPERACIONES COMBINADAS

Operaciones combinadas con números racionales.

Resolución de ecuaciones de primer grado.

Objetivos

Adiestrar en el cálculo y en el razonamiento matemático, y resolver

ecuaciones de primer grado.

Ejemplo: Ejemplo:

Ejemplo: Ejemplo:

Ejemplo:

Historia:

Se considera que la aritmética es casi contemporánea del hombre a quien la necesidad obligó a contar, primero con los dedos de las manos, base sin duda del sistema decimal que hoy prevalece, luego con ábacos y posteriormente usando símbolos, cuyo origen se remonta unos 3 mil años a.C., en la aritmética comercial sumeria y en la geometría caldea utilizada en mediciones agrarias.En la medida que las relaciones de producción evolucionaban, se plantearon nuevos problemas que implicaban nuevos métodos de solución. Así se pudo prever las crecidas del río Nilo y por tanto establecer los periodos favorables del año para la siembra y la recolección. Por otro lado, el problema de medir tierras cultivables hizo que los egipcios fueran los primeros matemáticos.

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San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó I Bim. / ARITMÉTICA / 1ER. AÑO

57

Entérate:

L a A r i t m é t i c a , q u e etimológicamente proviene de la voz griega aritmós, que significa número, es parte de la matemática que estudia los conceptos y correspondientes métodos de cálculo. Los griegos distinguían en realidad, entre la Aritmética, que era más o menos la Teoría de Números, y la Logística, que era algo así como una aritmética aplicada o técnicas de cálculo.

2. POTENCIACIÓN

an = a x a x a x .... x an factores

a ≠ 0; n ∈ Z+

Propiedades

am x an = am+n1.

•32 x 33 = 32+3 = 35 = 243

2.

• = 23-1 = 22 = 4

= am-n

3.

•3-1 =

a-n =

4.

• (23)2 = 23.2 = 26 = 64

(am)n = am.n

Ejemplo:

Ejemplo:

am

an

23

21

1an

13

Ejemplo:

Ejemplo:

5.

• (2 x 3)2 = 22 x 33 = 36

(ab)n = an x bn

•

3. FACTORIZACIÓN DE NÚMEROS

6. = ∈∈

∈∈

n

Si n(n+1) = 90,calcula n si n ∈ Z+.

90451551

2335

Será: 9 x 10

Luego: n = 9

Si 210 es el producto de 3 números consecutivos, calcula el menor.

2101053571

2357

Será: 5 x 6 x 7

El menor será 5

6

9 10

= ∈∈

3∈∈

=

Ejemplo:

ab

an

bn

Ejemplo:

34

33

432764

Ejemplo:

Resolución

Ejemplo:

Resolución

4. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Si = , calcula ‘‘x’’.

En aspa: 10x = 20x = 2

Si = 3 , calcula ‘‘x’’.

En aspa: x +5 = 3(x - 3)x +5 = 3x - 9 14 = 2x 7 = x

Si al triple de la edad que tengo le restas mi edad, tendrías 60. ¿Qué edad tuve hace 7 años?

Edad : xTriple de la edad : 3xLe restas mi edad : 3x - xTendrías 60 : 3x - x = 60

Luego:

∴ Hace 7 años tuve: 30-7=23 años

2x = 60 x = 30

Tres números enteros positivos consecutivos suman 90. Calcula el mayor.

Sean los números x - 1 ; x ; x + 1 cuya suma es:

x - 1 + x + x + 1 = 903x = 90x = 30

∴ El mayor es: 30 + 1 = 31

Ejemplo:

x5

410

Resolución

Ejemplo:

x + 5x - 3

Resolución

Ejemplo:

Resolución

Ejemplo:

Resolución



58

Nivel I

¿A qué es igual?

E = ( 16 ÷ 2) - (35 ÷33) +1

¿A qué es igual

Luego:

Ejemplo:

Resolución

E = ( 16 ÷ 2) - (35 ÷33) +1

(2 ÷ 2) - (35-3) +1

1 - (32) + 1

1 - 9 +1

- 8 +1

- 7

Ejemplo:

8 ÷

?3

1+1/8

Resolución

8 ÷

8 ÷

8 ÷

= =98

3 2499

8

31

8 ÷

=

= =

= 3

249 24

9249

818 72

24

1) Si: A = -15 +((18 - 16)+ 19) - 3 (15 - 4) B = - 91 - (16 - 17 - 17) -2 (-18), halla A + B.

a) 69 d) - 69b) - 27 e) - 8c) - 64

2) Si: M = -35 -5 (8 - 16) +(16 - 19) + 26 N = 45 - 35 (17 - 23) - (15 + 16), halla M - N.

a) -194 d) 198b) - 196 e) 196c) - 198

3) Si: A = - 25 - 17 - 5(6 - 7) - 3 (-5) B = - 15 +19 - 6(8 - 7) - 2 (-3), halla A x B.

a) 88 d) - 26b) - 88 e) - 22c) 22

4) Si: M = 4 - 15 + 19 - 2 (16 - 23) N = - 19 - 35 - 3 (5 - 7) - (- 8), halla M x N.

a) 880 d) - 88b) - 22 e) 88c) - 880

5) Calcula: -(-2 ) - (-3) (-5) - (-30) ÷ (-2)

a) 28 d) - 28b) - 27 e) 39c) - 64

6) Calcula:

- 2 (3 - 5) - (-2) (- 7 + 9) - (-1)

a) - 7 d) - 9b) 9 e) 7c) - 8

7) Calcula: 5 - 7 (- 2) - (3 - 4) ÷ (- 1 ) - (-5)

a) 23 d) - 26b) - 23 e) - 22c) 22

8) Efectúa: (- 7) (17) - (15 - 14) - 2 (13 - 5)

a) 136 d) - 88b) - 22 e) 88c) - 136

9) Halla el valor de ‘‘x’’ en cada caso:

I. 5x + 3 = 6x - 9 II. 2x - 17 = 3 (x + 5) III. 5(x - 7) - 4(x - 3)= 6

a) I. -9 ; II. 22 ; III. 39b) I. 6 ; II. 32 ; III. 19c) I. 12 ; II. - 32 ; III. 29d) I. 9 ; II. 22 ; III. 19e) I. 12 ; II. 32 ; III. - 29

10) Halla el valor de ‘‘x’’ en cada caso:

I. 8x - 11 = 7x + 19 II. 3x - 16 = 4(x - 16) III. 2(x - 13) - 3(x - 5) = 11

a) I. 8 ; II. 32 ; III. 44 b) I. 30 ; II. 48 ; III. - 22 c) I. 30 ; II. 48 ; III. 22 d) I. 8 ; II. 32 ; III. - 44 e) I. - 8 ; II. 64 ; III. 33



59

Nivel II

11) Halla el valor de ‘‘x’’ en cada caso y relaciona correctamente.

I. A) 6

II. B) 15

III. C) 1

a) IC ; IIB ; IIIA

b) IB ; IIC ; IIIA

c) IB ; IIA; IIIC

d) IC ; IIA ; IIIB

e) IA ; IIC ; IIIB

4x5

2025

=

2x5

4820

=

x6

52

=

12) Halla el valor de ‘‘x’’ en cada caso y relaciona correctamente:

I. A) 12

II. B) 6

III. C) 9

a) IC ; IIA ; IIIBb) IC; IIB ; IIIAc) IB; IIA ; IIICd) IA ; IIC ; IIIBe) IA ; IIB ; IIIC

x6

8456

=

x3

6015

=

3x13

1565

=

13) Relaciona correctamente. I. 736 A. 28(28+7) II. 756 B. 21 x 36 III. 980 C. 23 x 32

a) IA ; IIB ; IIIC

b) IC; IIA ; IIIB

c) IC; IIB ; IIIA

d) IB ; IIA ; IIIC

e) IB ; IIC ; IIIA

14) Relaciona correctamente. I. 600 A. 21(21 + 3) II. 960 B. 4 x 5 x 6 x 8 III. 504 C. 24 x 25

a) IA ; IIB ; IIICb) IB ; IIA ; IIICc) IC ; IIA ; IIIBd) IC ; IIB ; IIIAe) IB ; IIC ; IIIA

15) Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

I. 24 = 16

II. (-3)2 = 9

III. 23 x 25 = 28

IV. = 33

a) FFFV d) VVVFb) FFVV e) VVVVc) FVVV

35

32

3

16) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

I. 64 = 16 ( )

II. 212 = 212/6 ( )

III. 16 = 2 ( )

IV. 81 = 81 ( )

a) VVFF d) FFVVb) VFFF e) VVVVc) FVVV

6

4

4

17) Si: M = 8 x (- 6)2 - (-5)3 (3) y N = (-2)3 x (-2)2 - (-3)3 (3)2 - 4, halla M - N.

a) - 684 d) 694b) 524 e) 240c) - 240

3

18) Si: A= 125 - 64 (-2)3 - (-5)3 y B = - 144 - 121 x (-3)3 - (-3)2 (-2)2, halla A + B.

a) 441 d) 444b) 442 e) 445c) 443

3


I. 960 = 2 (320) + 1 (320)

II. 480 = 20(20 + 4) III. 14400 = 122 x 102

a) FFF d) VVVb) FVF e) VFFc) VFV


I. 560 = 2 0 x (20 + 7) ( ) II. 22500 = 52 x 102 ( ) III. 250 = 4(50) + 1 (50) ( )

a) FVF d) VVVb) FFV e) FVVc) VVF

21) Relaciona correctamente. I. 2 A. (-50)2 - (-2) II. -1 B. (-1)0 - 1 (-1) III. 3 C. -( -1)0

a) IA ; IIB ; IIIC b) IC ; IIA ; IIIBc) IC ; IIB ; IIIA d) IB ; IIA ; IIICe) IB ; IIC ; IIIA

22) Relaciona correctamente. I. 1 A. 5(-1) - (-6)

II. 2 B. -(-5)0 - (- 4)

III. 3 C. ( -1)0 - (- 1)

a) IA ; IIB ; IIIC b) IB ; IIA ; IIICc) IC ;IIA ; IIIB d) IC ; IIB ; IIIAe) IA ; IIC ; IIIB



60


I. 240 = 160 ( )

II. (-3)20 = 90 ( )

III. 230 x 250

= 24 ( )

a) FFF d) VVVb) FFV e) VVFc) FVV

0


I. 640 = 160

II. 212 = 1

III. 16 = 2

a) VVF d) FFVb) VFF e) VVVc) FVV

3

3

4

25) Si:

A = 8 0 x (- 6)20

- (-5)30 y

B = (- 2)30x(- 2)20

-(-3)30(3)20

- 40,

halla A . B.

a) - 1 d) - 12b) 1 e) 10c) 12

3

26) Si:

P = 125 - (- 2)3 - (-5) y

Q = - 144 0 - (- 3)3 - (- 3)2 ,

halla P + Q.

a) 35 d) 38b) 36 e) 39c) 37

3

27) Halla A + B si:

A = 8 + (-7) + 15 ÷ (-3)

B = (24÷8)x(160÷10)+(18x15)-33

a) 304 d) 432b) 287 e) 329c) 300

28) Halla P + Q si: P = 9 x - 5 + 28 ÷- 7 Q = (800 ÷10) ÷(30 ÷3) +

75 ÷15 - 22

a) 40 d) 49b) - 40 e) 9c) - 49

29) Calcula:

a) 33 d) 34

b) 32 e) 35

c) 36

÷32 x 33

31 x 3033 x 31

30 x 32

30) Calcula:

a) 52 d) 51

b) 53 e) 50

c) 54

÷53 x 52

50 x 5154 x 59

58 x 53

Nivel III

31) Si:

A = y

B = 69 x 6-7 ÷68 x 6- 8, halla A/B.

a) 65 d) 6-3

b) 6-1 e) 60

c) 6

÷63 x 69

67 x 6367 x 611

68 x 69

32) Si: A = y B = ,

halla P x Q.

a) 51 d) 50

b) 53 e) 54

c) 55

÷54 x 59

53 x 5857 x 513

520

÷535

53052

56

33) Descomponer 420 en: I. El producto de 2 factores

enteros positivos consecu-tivos:

_______________________ _______________________ _______________________

34) Descomponer 1260 en: I. El producto de 2 factores

enteros positivos consecu-tivos:

_______________________ _______________________ _______________________

35) Si: 3x + 2 = 5 + 3 (x + 1) + 2x 4(y + 3) = 8 - 5 (y - 31) - 16 halla x + y.

a) 18 d) - 15b) - 18 e) 12c) 15



61

15(x - 6)5

36) Si: 4(x - 5) + 4 = 6 + y 4 (-5 + a) - 38 = 15 (a + 2) - 33, halla x - a.

a) - 1 d) - 9 b) 9 e) 8c) 1

37) Halla ‘‘x + y’’ si: = 2(x+1)+1 = 3(y + 2)

a) - 1 d) - 9 b) 9 e) 8 c) 1

4x - 37

5x + 6

3+

9(y-3)

2

y+4

5+


I. A) 6 II. B) 5 III. C) 1

a) IC ; IIB ; IIIA b) IB ; IIC ; IIIA c) IB ; IIA ; IIIC d) IC ; IIA ; IIIB e) IA ; IIC ; IIIB

8 20

2x 5 =

6 x

x 6 =

20 x

4x 5 =

16 x

x 4 =

5 15

x 3 =

15 20

3x 8 =


I. A) 2 II. B) 8 III. C) 1 a) IC ; IIA ; IIIB b) IC ; IIB ; IIIA c) IB ; IIC ; IIIA d) IA ; IIC ; IIIB e) IA ; IIB ; IIIC

40) Calcula y en: - 4 (y + 3 ) = 8 - 5 (y - 31) a) 172 d) 174 b) 173 e) 175 c) - 173

41) Halla x si: 2 - x = x - 2 a) - 2 d) - 9 b) 2 e) 8 c) 1

n

4

n

6- +

3n

5= 82

42) Halla ‘‘n’’ si:

a) 120 d) 126 b) 122 e) 128 c) 124

44) S i la suma de 3 números consecutivos impares es igual a 69, halla el número mayor.

a) 25 d) 21 b) 27 e) 23 c) 29

45) L a s u m a d e 3 n ú m e r o s consecutivos es igual a 18. Halla el número mayor.

a) 5 d) 8 b) 7 e) 9 c) 4

46) Si un alumno puede resolver 48 problemas en una hora, ¿cuántos problemas resolverá en 35 minutos?

a) 25 d) 28 b) 26 e) 30 c) 27

43) L a s u m a d e 3 n ú m e r o s consecutivos pares es igual a 78. Halla el número mayor.

a) 22 d) 28 b) 24 e) 30 c) 26

47) Calcula el 40% del 25% del 10% de 70 000.

a) 500 d)700 b) 100 e)120 c) 150

48) ¿Qué porcentaje de 30 000 es 7500?

a) 10% d) 25% b) 15% e) 50% c) 30%

49) ¿Qué porcentaje de 45 000 es 9 000?

a) 10% d) 25% b) 15% e) 30% c) 20%

50) El producto de dos números impares positivos consecutivos es 323. Halla el menor.

a) 17 d) 23 b) 13 e) 21 c) 19



62

5) Si = calcula ‘‘x’’. a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

3) Calcula:

a) 24 d) 54 b) 36 e) 72 c) 48

4) Si n(n+1) = 72, calcula n + 2.

a) 8 d) 11 b) 9 e) 12 c) 10

1) ¿A qué es igual 2 - 3 + 4 - 7 - 9 - 6?

a) -10 d) 19 b) 10 e) - 12 c) -19

2) Simplifica:

a) - 11 d) - 8 b) 11 e) 1 c) 8

(3 - 6 ) ÷ 3 + (22 x 3)

÷

Lo dijo ......ARISTÓTELES

«El todo es más que la suma de sus partes»

43

22

12

x+ 2x - 2

32



63

SEGUNDA PARTE

1) Si se sabe que la suma de 3 números enteros consecutivos es igual a 30, halla el número mayor.

a) 9 b) 10 c) 8d) 11 e) 7

2) a) Si ‘‘n’’ es entero positivo y además n(n+ 2) = 80, halla ‘‘n’’.

b) De lo anterior, halla ‘‘n’’ si n(n+1) = 210.

a) 8 y 14 b) 8 y 15 c)10 y 14d) 10 y 15 e) 6 y 14

3) El producto de 2 números naturales consecutivos es 56, halla el número menor.

a) 7 b) 8 c) 5d) 6 e) 9

4) Halla un número cuyo cuadrado, disminuido en 119 es igual a 25.

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 5

5) ¿Cuál es el número cuyo cuadrado aumentado en 30 es igual a 430?

a) 10 b) 20 c) 5d) 15 e) 30

6) Para ensamblar 50 vehículos entre bicicletas, motocicletas y automóviles, se utilizaron entre otros elementos 38 motores y 148 llantas. ¿Cuántas motocicletas se ensamblaron?

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 24

7) El cuadrado de la suma de las 2 cifras que componen un número es igual a 121. Si de este cuadrado se restan el cuadrado de la primera cifra y el doble del producto de las 2 cifras, se obtiene 81. ¿Cuál es el número?

a) 65 b) 56 c) 47d) 38 e) 29

8) Si al comprar una docena de lapiceros me regalan 1 lapicero, ¿cuántas docenas he comprado si recibo 338 lapiceros?

a) 21 b) 24 c) 26d) 28 e) 30

9) Se compra cierto número de relojes por S/. 5625. Sabiendo que es igual al precio de un reloj en soles, ¿cuántos relojes se han comprado?

a) 50 b) 65 c) 70d) 75 e) 80

10) José compra cierto número de libros por S/. 625. Sabiendo que el número de libros comprados es igual al precio de un libro en soles, ¿cuántos libros se han comprado?

a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 35

11) Si la suma de 2 números es 38 y su diferencia 12, halla el número menor.

a) 7 b) 18 c) 17d) 13 e) 15

16) Manuel t i ene S / . 50 000 y Francisco S/. 15 000. Si cada uno ahorra anualmente S/. 1000, ¿dentro de cuántos años la fortuna del primero será el doble del segundo?

a) 10 b) 15 c) 20d) 18 e) 10

15) Una persona tiene S/. 20 000 y otra S/. 7 500. Si cada una ahorra anualmente S/. 500, ¿dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda?

a) 5 b) 10 c) 8d) 7 e) 9

14) La suma de los cuadrados de 2 números es 125. Si uno de ellos es el doble del otro, halla el número menor.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

13) ¿Cuál es la edad actual de un padre que duplica la edad de su hijo si hace 24 años su edad era 10 veces la edad de su hijo?

a) 27 años b) 48 años c)54 añosd) 63 años e) 45 años

12) Si la diferencia de 2 números es 26 y la suma de ellos es 42, halla el menor.

a) 8 b) 6 c) 10d) 7 e) 9



64

17) Calcula el menor de tres números enteros positivos consecutivos cuyo producto sea 720.

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

18) Calcula el mayor de dos números enteros positivos consecutivos cuyo producto es un número de 2 cifras terminado en 6.

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 12

19) Calcula el menor de dos números enteros positivos consecutivos cuyo producto sea 156.

a) 5 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

20) El producto de dos números que difieren en 4 unidades es 140. Halla el doble del menor.

a) 10 b) 15 c) 20d) 26 e) 52

21) Calcula ‘‘n’’, sabiendo que es entero positivo.

n(n + 1) = 42

n (n + 1) = 90

n2+ n = 132

n (n+3) = 70

n2 + 3n = 208

22) Dos números están en la misma razón que 3 y 5. Si la suma de estos es 56, calcula el menor.

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 25

23) La edad de Alicia es a la edad de Beto como 6 es a 7. Halla la edad de Beto si la diferencia de sus edades es 4 años.

a) 25 años b) 28 años c) 30 añosd) 12 años e) 15 años

24) Juan gasta la cuarta parte de lo que no gasta. Si en total tenía $ 200, ¿cuál es la diferencia entre lo que no gastó y lo que gastó?

a)$ 100 b) $ 110 c) $ 120d)$ 130 e) $ 140

25) Las edades de A, B y C están en la relación de 6, 10 y 14, respectivamente. Si B tiene 25 años, ¿cuál es la diferencia de las edades de A y C?

a)10 años b) 15 años c)20 añosd)30 años e) 50 años

26) P y Q poseen juntos $ 6000 y P tiene el triple de dinero que Q. ¿Qué cantidad posee P?

a)$ 6000 b) $ 3000 c)$ 5000d)$ 4500 e) $ 2000

27) Si las edades de Alejandro y Beatriz suman 58 y Alejandro es mayor que Beatriz por 6 años, calcula la edad de Alejandro.

a)30 años b) 31 años c)32 añosd)33 años e) 34 años

28) El precio de la papa excede en S/. 1,20 al precio del queso. Halla el precio del queso si la suma de ambos es S/. 4, 60.

a)S/. 0,5 b) S/. 1,5 c)S/. 1,7d)S/. 2,0 e) S/. 2,3

29) Si se sabe que un kilogramo de arroz cuesta S/. 1,20; ¿cuál es el precio de 400 gramos?

a)S/. 0,30 b) S/. 0,50 c)S/. 0,36d)S/. 0,48 e) S/. 0,25

30) Si un atleta recorre un kilómetro en 7 minutos, ¿en cuántos minutos recorrerá 650 metros?

a) 3,5 d)6,3 b) 4,51 e) 6, 5 c) 4,55

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Guía 1 - Cálculos Básicos