Guía de Homotecia y Teorema de Thales. Nombre: Curso

Complejo Educacional Alberto Widmer

Departamento de Matemática

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Guía de Homotecia y Teorema de Thales.

Nombre: Curso: Fecha:

Unidad de Aprendizaje: Geometría Objetivo de la guía:

• Determinar una homotecia en el plano y de forma vectorial en el plano cartesiano.

• Aplicar el Teorema de Thales

Homotecia La homotecia es un cambio geométrico en el plano donde, a partir de un punto fijo llamado centro (O), se multiplican las distancias por un factor común. De esta forma, cada punto P corresponde a otro punto P’ producto de la transformación, y estos se encuentran alineados con el punto O. Ejemplo: Entonces, la homotecia se trata de una correspondencia entre dos figuras geométricas, donde los puntos transformados son llamados homotéticos, y estos se encuentran alineados con un punto fijo y con segmentos paralelos entre sí. Homotecia en el plano. La homotecia es una transformación que no tiene una imagen congruente, porque a partir de una figura se van a obtener una o más figuras de mayor o menor tamaño que la figura original; es decir, que la homotecia transforma un polígono en otro semejante. Para que la homotecia se cumpla deben corresponder punto a punto y recta a recta, de forma que las parejas de puntos homólogos estén alineadas con un tercer punto fijo, que es el centro de la homotecia. Así mismo, las parejas de rectas que los unen deben ser paralelas. La relación entre tales segmentos es una constante llamada razón de la homotecia (k); de tal forma que la homotecia puede ser definida como:

𝑘 =𝑂𝑃´̅̅ ̅̅ ̅

𝑂𝑃

Para hacer este tipo de transformación se comienza escogiendo un punto arbitrario, que será el centro de la homotecia. A partir de este punto se trazan segmentos de recta para cada vértice de la figura que se va a transformar. La escala en la que se hace la reproducción de la nueva figura es dada por la razón de la homotecia (k).

O



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Ejemplo:

PROPIEDADES. Dependiendo del valor de la razón de homotecia (𝑘 ≠ 0), se tiene lo siguiente:

4 cm

2 cm

Entonces:

𝑘 =𝑂𝐶´

𝑂𝐶=

4 𝑐𝑚

2 𝑐𝑚

𝑘 = 2 𝑐𝑚

Esto quiere decir que la figura

resultante es el doble de la

original.



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Ejemplo: Aplicar una homotecia al polígono dado de centro (O), ubicado a 5

cm del punto A y cuya razón es k = 0,7. Pasos: 1° se trazan rectas desde el centro de homotecia O y los vértices del polígono. 2° se sabe que OA= 5cm, con esta se puede determinar la distancia de uno de los puntos homotéticos (OA’) sabiendo también que k = 0,7: 𝑂𝐴´ = 𝑘 ∙ 𝑂𝐴

𝑂𝐴´ = 0,7 ∙ 5𝑐𝑚 𝑂𝐴´ = 3,5 𝑐𝑚

3° se mide la distancia (3,5 cm) desde el centro de homotecia por la recta que pasa por el vértice A, y se marca el nuevo vértice A’.

4° se debe realizar el mismo procedimiento con cada vértice del polígono. Dando como resultado:

O

Es una homotecia directa y

como 0 < k < 1, es una

reducción de la figura

original.



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Ejercicios.

1. Realizar una homotecia al siguiente triángulo ABC con centro O y una constante de homotecia 𝑘 = 2

2. Realizar una homotecia al siguiente polígono con centro en O y una constante de homotecia 𝑘 = −1,5

O

A B

C

O



5

3. Realizar una homotecia al siguiente polígono con centro en O y una constante de homotecia 𝑘 = 0,4

4. Realizar una homotecia a la siguiente circunferencia de radio 3 cm con centro de homotecia P y una constante 𝑘 = −0,7

O

O



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Homotecia de forma vectorial.

• Homotecia con centro en el origen Ejemplo: Sea el triángulo ABC, con coordenadas A( 2, 4), B( 2, 1) y C( 5, 1). Aplicar homotecia con respecto al punto de homotecia D( 1, 1) y un k= 2

• Para realizar la homotecia en el plano cartesiano se debe considerar lo siguiente

𝐴´ = 𝑘 ∙ 𝐴

Desarrollo: 1° Aplicar la fórmula para cada vértice del triángulo: 𝐴´ = 2 ∙ (2,4). 𝑨´ = (𝟒, 𝟖). 𝐵´ = 2 ∙ (2,1). 𝑩´ = (𝟒, 𝟐). 𝐶´ = 2 ∙ (5,1). 𝑪´ = (𝟏𝟎, 𝟐). 2° Luego ubicar los puntos en el plano cartesiano. Resultando:



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Actividad: Realiza los siguientes ejercicios en hoja cuadriculada.

1) Dado el cuadrilátero ABCD con coordenadas A (0, 3), B (3, 3), C (3, 0) y D (0, 0), realiza una homotecia con centro en el origen y k = - 3

2) Dado un triángulo ABC con coordenadas A (5, 3), B (2, 7) y C (-1, 4), realiza una homotecia con centro en el origen y k= 0,5

3) Dado un triángulo ABC con coordenadas A (-3, -5), B (2, -4) y C (0, 5), realiza una homotecia con centro en el origen y k= -1,5

Teorema de Thales.



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Ejercicios.

1) En la siguiente figura L1//L2.

Calcular:

a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?

b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas de

a y c.

c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.

d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?



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2) En la figura, para que L1 // L2 // L3, el valor de x debe ser:

a) – 2

b) 2

c) 3

d) 4

3) En la figura, L1 // L2 // L3, si AB=6 cm, AC= 10 cm y EF= 5 cm, entonces el valor de DE es:

a) 10

3 cm

b) 20

3 cm

c) 7 cm

d) 15

2 cm



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Ejercicios:

1) En la siguiente figura L1//L2.

Calcular:

a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?

b) AP = (x + 13), BP = 10 cm., PC = 4 cm., PD = (x + 4), AP = ?

c) BP = 16 cm., CP = 14 cm., DP = 12 cm., AD = ?

d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x+5) cm., CD = 4 cm.

Determina las medidas de BC, AP, BP, CP, DP y AD.

2) Los segmentos DC y BE se intersectan en el punto A. Si DE // BC, entonces el valor de x es:

a) 1,5 b) 3 c) 2 d) 4

3) En la figura, L1 // L2 // L3. ¿Cuánto mide el segmento x?

a) 3,5 b) 4,5 c) 5,5 d) 6,5



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4) En la figura, L1 // L2 // L3. Los valores de x e y son, respectivamente: a) 2 y 5 b) 5 y 8 c) 8 y 11 d) 11 y 14



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Ejercicios: 1) En la figura, BC // DE. Si AB = 2, BD = 6 y BC = 2. Entonces ¿cuál es el valor de DE?

a) 3

b) 4

c) 5

d) 8

2) En la figura, BC // DE. Entonces el valor de x es:

a) 2

3

b) 3

2

c) 2

d) 3



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3) Observa la imagen de un poste, un hombre y sus sombras:

¿Cuánto mide la altura del poste?

a) 4,5 cm b) 6,5 cm c) 8 cm d) 9 cm

4) En la figura, L // M ¿Cuánto mide el trazo x? a) 24 b) 8 c) 4 d) 18

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