Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Grupper
Definition grupp
En grupp (G, ∙) är en mängd G med en binär operator ∙ : G × G → G somuppfyller följande vilkor:
Definition grupp
En grupp (G, ∙) är en mängd G med en binär operator ∙ : G × G → G somuppfyller följande vilkor:
En grupp (G, •) är abelsk eller kommutativ, om den dessutom uppfyller följande villkor:
Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ∙) med identitet e och invers g-1 till g?
Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ∙) med identitet e och invers g-1 till g?
√
√√
√
Hitta alla delgrupper av (Z6, mod 6)
• Z6 = {0,1,2,3,4,5}
Hitta alla delgrupper av (Z6, mod 6)
• Z6 = {0,1,2,3,4,5}• {0}• {0,2,4}• {0,3}
Symmetrisk grupp
• Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.
Symmetrisk grupp
• Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.
• De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa
→ Symmetriska gruppen på n element: Sn
Symmetrisk grupp
• Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.
• De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa
→ Symmetriska gruppen på n element: Sn• S1: M = {1} bara en permutation s (identitetet)
Symmetrisk grupp
• Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.
• De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa
→ Symmetriska gruppen på n element: Sn• S1: M = {1} bara en permutation s (identitetet)• S2: M = {2} två permutationer
Symmetrisk grupp
• Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.
• De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa
→ Symmetriska gruppen på n element: Sn• S1: M = {1} bara en permutation s (identitetet)• S2: M = {2} två permutationer
• Tabell notation: 𝑥𝑥1 ... 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑓𝑓 𝑥𝑥1 … 𝑓𝑓 𝑥𝑥1
Symmetrisk grupp
• Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.
• De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa
→ Symmetriska gruppen på n element: Sn• S1: M = {1} bara en permutation s (identitetet)• S2: M = {2} två permutationer
• Tabell notation: 𝑥𝑥1 ... 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑓𝑓 𝑥𝑥1 … 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 S2: 1 21 2 och
1 22 1
Symmetrisk grupp
• Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.
• De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa
→ Symmetriska gruppen på n element: Sn• S1: M = {1} bara en permutation s (identitetet)• S2: M = {2} två permutationer
• Tabell notation: 𝑥𝑥1 ... 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑓𝑓 𝑥𝑥1 … 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 S2: 1 21 2 och
1 22 1
• Cykliska notation: skriv varje element som en product av cycler:(x s(x) s2(x) … sm-1(x)) där sm(x) = x
Symmetrisk grupp
• Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.
• De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa
→ Symmetriska gruppen på n element: Sn• S1: M = {1} bara en permutation s (identitetet)• S2: M = {2} två permutationer
• Tabell notation: 𝑥𝑥1 ... 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑓𝑓 𝑥𝑥1 … 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 S2: 1 21 2 och
1 22 1
• Cykliska notation: skriv varje element som en product av cycler:(x s(x) s2(x) … sm-1(x)) där sm(x) = x S2: (1)(2) och (1 2)cyklar av längd ett brukar utelämnas som underförstådda
Lista alla element i S3 i båda notationerna!
Skriv 1 2 3 4 5 61 3 5 6 2 4 i cyklisk notation!
Hur manga element har Sn?
Är Sn abelsk?
Lista alla delgrupper av S3!
Transposition: (ij)
• 1≤i
Transposition: (ij)
• 1≤i
Transposition: (ij)
• 1≤i
Transposition: (ij)
• 1≤i
Paritet av en permutation (tecken)
• sign(s) =(-1) 𝑁𝑁(𝑠𝑠) N(s) = antalet inversioner i s• Eller sign(s) =(−1) 𝑚𝑚 m = antal transpositioner i sammansättningen• + “jämt” och – “udda”
Paritet av en permutation (tecken)
• sign(s) =(-1) 𝑁𝑁(𝑠𝑠) N(s) = antalet inversioner i s• Eller sign(s) =(−1) 𝑚𝑚 m = antal transpositioner i sammansättningen• + “jämt” och – “udda”
Till exempel: s = 1 2 3 4 53 4 5 2 1 = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24)N(s): (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) → 7sign(s) = (−1) 7= -1 “udda”
Paritet av en permutation (tecken)
• sign(s) =(-1) 𝑁𝑁(𝑠𝑠) N(s) = antalet inversioner i s• Eller sign(s) =(−1) 𝑚𝑚 m = antal transpositioner i sammansättningen• + “jämt” och – “udda”
Till exempel: s = 1 2 3 4 53 4 5 2 1 = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24)N(s): (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) → 7sign(s) = (−1) 7= -1 “udda”
• sign(s*t) = sign(s)*sign(t)• cyklar med jämt längt har udda paritet• cyklar med udda längt har jämt paritet
• Hitta sign(π1) och sign(π2)• Beräkna:
15 puzzle
Sam Loyd (1870): 1000 $ till den som kan lösa puzzlet med 14 ↔ 15
Tentaproblem: Diedergruppen D3
Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning
Tentaproblem: Diedergruppen D3
Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning
a) Hur manga element har D3?Beskriv hur elementen i D3 verkar på en liksidig triangle!
Tentaproblem: Diedergruppen D3
Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning
b) Ordningen av ett element g i en grupp är det minsta heltalet n sådant att gn = e (e är enhetselementet). Vilka ordningar harelementen i D3?
Tentaproblem: Diedergruppen D3
Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning
c) Cayleys teorem: “Varje ändlig grupp av ordning n är isomorph med en delgrupp till permutationsgruppen Sn”
Identifiera den delgrupp till D3 som är isomof med en delgrupptill S3
GrupperDefinition gruppDefinition gruppVad gäller för alla/abelska grupper (G, ∙) med identitet e och invers g-1 till g? Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ∙) med identitet e och invers g-1 till g? Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ∙) med identitet e och invers g-1 till g? Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ∙) med identitet e och invers g-1 till g? Hitta alla delgrupper av (Z6, mod 6)Hitta alla delgrupper av (Z6, mod 6)Symmetrisk gruppSymmetrisk gruppSymmetrisk gruppSymmetrisk gruppSymmetrisk gruppSymmetrisk gruppSymmetrisk gruppSymmetrisk gruppLista alla element i S3 i båda notationerna!Slide Number 19Transposition: (ij)Transposition: (ij)Transposition: (ij)Transposition: (ij)Paritet av en permutation (tecken)Paritet av en permutation (tecken)Paritet av en permutation (tecken)Slide Number 27Slide Number 2815 puzzleTentaproblem: Diedergruppen D3Tentaproblem: Diedergruppen D3Slide Number 32Tentaproblem: Diedergruppen D3Slide Number 34Tentaproblem: Diedergruppen D3Slide Number 36black2.pdfSlide Number 1Slide Number 2
Blank Pageblack2.pdfSlide Number 1Slide Number 2
black2.pdfSlide Number 1Slide Number 2