GR. C. MOISIL

Elemente de logic matematic

i de teoria mulimilor

J 00

---------

EDITURA TIINIFIC. BUCURETI 1968

Prefa

Evolutia tu lburtoare a stiintelor matematice n "\'remurile nostre are un prim spect straiu. Apari.ia unor tiine cu nume ca Logic matematic, Biologie matematic, Economie matematic, Psihologie matematic, Teoria matematic a nvrii i Lingvistic matematic arat c domeniul de aplicare al acestor tiine matematice s-a lrgit considerabil. nainte aveam o Fizi( matematic, creia i corespundea tehnica clasic. Noilor domenii matematizate le corespund noi domenii ale tehnicii, care toate ntrebuineaz calcul"atoarele digitale: programarea automat, bionica, automatele cu autoinstruire" traducerea automat.

n al doilea rnd matematica de azi se ridic la un grad de abstracie nentlnit nainte. Natura elementelor despre care se enunau teoremele puncte, drepte, sau cercuri, numere sau vectori, nu mal apare azi n matematic; elementele snt implicit caracterizate prin sistemul de axiome.

n al treilea rnd caracterul de cantitativ 81 matematicilor a evoluat ctre caracterul de structural.

n fine punctul de plecare al unei expuneri matematice e mai spre nceput dect cel al matematicilor clasice. Matematica nu evolueaz de la axiome la teoreme, de la acestea la aplicaii. Mersul ei este mult mai ntreesut cu rsfrngeri i cu anticipri.

Dou, trei secole analiza matematic a fundat descoperirile astronomiei, mecanicii corpurilor rigide i ale mecanicii corpurilor deformabile, ale opticii i electromag-

5

netismului. n acelai timp matematicienii meditau asupra fundamentelor acestei analize convergena seriilor, continuitatea functiilor, existenta ariei i cea a planului tangent, derivabilitatea integralelor i integrabilitatea derivatelor.

Normal, cursurile unei universiti pleac azi de la notiunea naiv de multime si de la notiunea naiv de nur natural. " ,

n volumul de fa plecm de la noiunea naiv de mulime, dar nu pentru a merge nainte: aritmetica transfinit, topologia, algebra, algebra topologic, analiza funcional, ci pentru a merge napoi.

Teoria naiv a mulimilor din capitolul I i IV, n care propriet.ile se citesc pe figuri e dublat n capitolul II de o teorie in c si mai naiv a reIa tii10r binare. Sper c cititorlll nu va fi dezorientat nici de abundena materiei nici de subtilitile ce apar n acest studiu i, de asemenea, sper c el i va pune problema: aceste proprieti nu trebuie ele oare s fie demonstrate?

Capitolul V arRt c nu trebuie s fie demonstrae dect unele din el " celelalte proprieti deducndu-se imediat; acestea snt axiomele algebreI)}' booleene.

C mulimile i relaiile formeaz algebre booleene, acest lucru e dovedit n Capitolul VI, presupunnd dovedite anume proprieti ale logicii predicatelor; acestea se pot demonstra cnd snt admise anume proprieti ale logicii propoziiilor. Acestea snt demonstrate n capitellll VII. Iat mersul napoi, ctre mai spre nceput.

Noliunea de funcie ar fi putut fi de la nceput subsumat celei de relaie. Am preferat, avnd n vedere importana pi, s-i dedirm un capitol special, capitolul III. ncadrm algebric mai spre sfrit, la pp. 167 sqq, teoria relaiilor binare n teoria matricelor cu elemente ntr-o algebr boolean iar la pp. 169 sqq n teoria grafurilor i (( mplexelor unidimensionale .

Logica matematic se ntrebuineaz . . Am yrut, n capitolul VIII, s dm cteva din aplicaiile ei.

Primul paragraf expune teoria clasificrii dichotomir,e, suh forma algebric .

6

Grupul din Bucureti a dat o mare dezvoltare cercetrilor de teoria algebric a circuitelor de comutaie. Pentru acest motiv, acestor cercetri le-am fcut loc n al doilea paragraf al acestui capitol VIII.

Al treilea paragraf arat cum un domeniu al Economiei matematice, mult studiat n ara noastr: programarea pseudo boolean, e legat de logica matematic.

Lingvistica matematic are o frumoas dezvoltare n Republica So _ ialist Romnia, graie lui Solomon Marcus ; n ultimul paragraf al capitolului se arat legturile ntre lingvistica matematic i logica matematic .

Cartea a fost scris din amintiri; de acum 34 ani am nceput s predau, uneori sistematic, deseori nesistematic capitole i paragrafe de logic matemati'c i de teoria mlllimilor. De atunci mi-au rmas n minte pagini pe (;1ir-e le-am transeris i din Fundamenta M athematicae si din volumele lui W. Siel'pinski, St. Banach i &. K.uratowski: ncieprtaii mei profesori. Din lecturile mele de atunci n-a rmas dect o singur dovad: propriot[jle datorate studentului meu de pe vremea aceea, C. Trufinesc'l*, date la pp. 95- 96 i 108-111 ale acestui volum.

Erau pe atunci i logica matematic i teoria mulimilor capitole nfricotoare de care oamenii de bine te ndemnau s nu te apropii. Azi public acest volum pentru tinerii matematicieni, pentru ingineri, pentru studeni, pentru profesorii de licee i elevii din ultimele clase. Cred c o s le foloseasc.

G 1u.lie 1967 Gr. C. M.

* Su.r le theoreme de iVI. Banach, in "Comp les rendus de l' Academie des sciences de Roumanie", t.I, 1936.

7

Algebra mulimilor

Ideea de multime o considerm ca nteleas de OrIcine ca i ideea e'xprimat prin propoziia ':

individul a este un element al multimii IX. Aceast propoziie o vom scrie '

a E a,

unde semnul "E" este semnul relaiei de apartenen. De asemenea, vom scrie

n loc de: individul a nu este element al multimii IX. Ideea de mulime se ntregete prin conceptul de mul

imi egale

IX =, adic de multimi care au aceleasi elemente. Aceasta este o definiie a' egalitii dintre mulimi.

Nu vom defini egalitatea ntre indivizi a = b,

a i b fiind indi.vizi, ci o vom lua ca idee primitiv. Vom observa c

dac a = b i a E a, atunci b E IX; dac a = i a E li. , atunci a E .

tNCLUZIUNEA

Dac li. , snt dou mulimi, spunem c mulimea (f. este cuprins n mulimea '" i scnem

a C, dac orice element al lui li. este i element al lui (fig.1).

Fig. 1

n loc de li. C , putem scrie i => li. , ceea ce se -citete "mulimea cuprinde mul.imea lI.", sau "mutimea este o supramulime a mulimii lI.".

Dac li. nu este submulime a lui '. scriem lI.ct sau 13 1J c

REUNIUNEA

Dac li. i snt dou mulimi, numim reuniunea lor i o notm IX U mulimea elementelor care aparin cel puin uneia din mulimile (x, ; n fig. 3, li. U este mul[imea haurat.

Fig. _1'-_.-

Este evident c IXU(3 =f3UlI.. (1 4)

Fig. 3

Aceasta este num it legea de comutatirz"tale a reuniunii. Dac 'avem t.rei mulimi (x, , y i formm mul

imea IX LJ ,apoi ( (X LJ ) U y i dac formm p Uy, apoi pe li. U (Uy), ubinem aceeaI multime (.U)LJy =

Fig. 4

d.U (/3UO')

11

= IXU (Uy) a elementelor ce aparin cel puin uneia din mulimile IX, , Y (fig. 4), deci putem scrie

(IX U ) U y = IX U ( U y). ( 1 .5) Aceasta este numit legea de asociatifJitate a reuniunii. Putem deci s nu mai ntrebuinm paranteze i

s scriem IX U U y n loc de l/. U ( U y) sau n loc de (IX U ) U y.

Dac avem patru mulimi, putem forma mulimile (fig. 5)

IX U )U)y U a, (l/. u ( u y)) u a, (l/. u ) U (y u a), IX LJ U y) U a), IX U ( U (y u a)).

(1.6)

Aceste cinci mulimi snt egale n virtutea legii de asociativItate, cci din legea asociativ se deduce c mulimile

snt egale

deci

deCI

(J = (IX U ) U y, 't" = IX U ( U y)

(J = 't",

(J U a = 1:' U a,

l/. U ) U y) U a = (IX U ( U y)) u a.

Fig. 5

12

Tot astfel dac

= O( u , atunci

A U (y U ) = (!. U y) U , dar

A U Y = {ac U ) U y = a,

deci.

A U (y U ) = cr U a = ((O( U ) U y) u a

.a.m.d. Vom putea deci suprima parantezele; cele cinci mul

imi (1.6) fiind identice, le vom nota

O( U U y U . Aceasta este multimea elementelor care aparin cel

puip uneia din muliile 0(, , y, . In general, dac

snt n mulimi, vom nota

mulimea elementelor ce aparin cel puin uneia din aceste multimi. Este vizibil c aceast multime este egal cu oicare din mulimile obinute grupn'd termenii.

r I"J. special putem, prin definiie, s lum

(1. 7)

13

In definirea lui aU nu trebuie s presupunem c a. i snt diferite; aU a. este mulimea elementelor ce aparin cel pu in une ia din mulimile a, a, deci este format din elementele mulimii a; putem scrie legea de idempo tent a reuniunii:

aUa=a. (1.8)

Fig. 6

Este vizibil , pe fig. 3, c

a Ca U ,

P Ca U . (1.9)

Dac aC "f, C "f, atunci orice element al lui aU este sali element al lui a, sau mcar element al lui i n amndou cazurile este element al lui "f, deci (fig. 6):

dac aC "f i C "f, atunci a W C y. (1.10)

De asemenea, vom o1:serva c:

a. C echiraleaz cu a U = . (1.11)

ntr-adevr, di n a C deducem c orice element al lui a U sau este element al lui , sau este element al lui a, deci este eleme nt al lui , deci a U C ; dar Ca U , deCI, dac a C , atunci a U = . Reciproc, dac (J. U = , deoa'e ce a C a U , deducem c a C .

14

INTERseCIA

Dac C< si snt dou multimi, numim intersectia lor i o notm' C< n mulimea frmat din elementle comune lui C< i ; C< n este ml'l!imea haurat din fig. 7.

Este evident c este valabil legea -de comutatiritate a interseciei

CI. n 13 = n c

Vom sup rima p arantezele, scri ind CI; n n y, n loc de (oc n ) n y sau n loc de CI; n ( n y).

Fig. 9

Dac avem patru mulimi, atunci, cum se vede pe fig. 9, muli mile

((CI; n ) n y) n o, ( C( n ( n y)) n o, (CI; n ) n (y n o), CI; n (( n y) n o),

( 1.14)

CI; n ( n (y n o)) / snt identi ce; n aceste cinci expresii vom suprima parantezele, scriindu-le

I, n genere, vom scrie (1.15

In formarea interseciei a dou mulimi nu este necesar s presupunem c ele sint diferit e; CI; n CI; este mulimea elementelor ce aparin i lui CI;, i lui CI;; ea est e deci CI;, deci este valabi l legea de idempoten a intersec iei:

Cl; n CI; = CI;. ( 1.16)

16

Este vizib il din fig. 7 c Cl;n C CI; ,

CI; n C. ( 1. 17)

Dac y C CI; i y C , atunci (fig. 10) orice element al

Fig. 10

lui y este element comun al lui CI; i al lui , este deci element al lui CI; n , deci:

dac y C CI; i y C , atunci y C CI; n

CI; C echi\!aleaz cu IX n = IX.

(1.18)

(1.19)

Intr- adevr, din CI; C deducem c ori ce element al lui CI; este i element al lui , deci este element al lui a n , deci Cl;clXn j dar IX n C:x, deci Cl;n = CI;. R eciproc, dac CI; n = IX, deoarece IX n C , deducem CI; C .

MULTIMEA VID. MUL TlMEA TOTAL, MULTIMI CU UN SINGUR ELEMENT

Mulimi disjuncte. Vom spune c: 1. 20 Dou mulimi snt disjuncte dac nu au ele

mente comune (fig. 11 ).

Fig. 11 (9 Q)

1. 21 Relaia de disjuncie este simetric: dac IX si snt disjuncte, atunci i IX snt disjuncte.

2 - 58S

.. 1.22 Dc fJ. i snt disjuncte, atunci

Vom ntrebuinta de aici nainte wvnllli multime (n sens matemati) pentru a desemna:

'

1. mulimile astfel numite n limba natural; 2. mulimea vid; 3. multimile cu un elemeet.

1.26 mulimea care nu are dect un elemen,, L anume pe a, o notm cu {a}.

Graie introdmel'ii mulimii vide, intersect,ia on se definete i pentru dOl md[imi disjuncte, ea fiind n acest caz mulimea \"id . .

A spune c

IX i snt disjuncte, IX n = 0

snt afirmatii echivalente. Formulal'ea de la p. 17 a relaj iei de disj uncie a dou

mulimi ca fiind relaia ntre dou mult,imi ce nu au elemente comune d

1. orice mulvime, este disjunct de 0'; 2. 0' i 0' snt disj uncte. Bineneles, formularea de la p. 15 a definiiei in

tersectiei a do!" mulimi i observaiile de mai sus j t18-tific' aser iunile

0' n 0' = 0', 0' nIX = 0', IX n 0' =0'.

(1.27)

S observm c {c} i IX sint disju11cte, l1al c 1111 aparine lui IX; dac c aparine lui IX, {c}nCl. = an {c} se reduce la {c}.

S relum definiia incluziunii CI. C , nseamn ( orice element al lui IX este element al lui .

1. Dac IX este mulimea {a } care mi are dect elementul a, {Ii} C nseamn c a este 1]fl element al lui .

2. Dac este mulimea {b}, IX C {b}, nseamn c orice element al lui a este b, deci nseamn c a, dac

19

are elemente, se compune numai din b, deci c O( = {b} sau IX = 0.

3. Dac IX = {a} i = {b} i dac IX C , deci dac {a} C {b}, atunci a = b.

4. Dac IX este mulimea vid, atuTci nici un x nu este element al lui IX , deci orice x dac ar fi el ement al lui 0(, ar fi i al lui * , deci avem

o C. (1.28)

Deci: m ulimea vid este o submulime a oricrei multimi. ,

5. Dac este mulimea vid i dac O( C, atunci orice element al lui IX ar fi element al lui , deci nu exist n ici un element al lui IX, deci IX este 0, deci: 0 nu are nici o submulime diferit de ea: dac IX C 0, atunci O( = 0.

6. Din cele spuse la punctul 5 putem deduce c

0C0, (1.29)

dar aceast propoziie este adevrat nu n virtutea proprietii de reflexivitate a incluziunii, cci atunci nu ne g ndeam i l a mulimea vid ca la o mulime, ci n virtutea faptului c ea traduce proprietatea: dac mulimea 0 ar avea un element, acel element ar fi i element al lui 0, care este adevrat, fiindc 0 nu are nici un element *.

S observm c orice mulime cu un singur element se bucur de proprietatea c ea m are dect dou submulimi : pe ea nsi i mulimea \!id.

Mulimile cu un singur element se numesc uneori mulimi atomice.

Lsm pe seama cititorului demonstrarea proprietilor reflexivitii, tranzitivi tii i anti simeriei relaiei de incluziune pentru cazul c nd unele din mulimi s nt atomice sau vide.

Vom observa c formularea definiiei reuniu ni i (dat la p. 11) ca fiind mulimea care are ca elemente elementp'le

* Vezi i p. 153.

20

ce apar i n cel puin uneia din cele dou muli mi, aplioatcuvnt cu cuvnt, d:

1. IX U 0 = a, (1.30)

2. IX U {c}, { c } U IX snt mulimi obinute adugnd elementelor mulimii O( elementul c (uneori se noteaz ,,0(; c" mulimea{c} U IX = O(U { c}).

Adeseori n loc de 0 se . scri e O ; uneori n loc de {a} se scri e a.

Multimea total. Vom considera multimea I a tuturor elementel or. Oricare ar fi x el este elemEmt al lui , deci ori care ar fi mulimea 0(, avem

IX C 1,

I U O( = O( U 1= I,

I n IX = O( n I = 0(.

(1.31 )

(1.32)

Vom prefera s desenm orice mulime ca o submulime a lui 1, ca n fig. 15.

Fig. 15 o:.. OI

Adeseori n loc de I se scrie 1.

Exercitii 1. a IX, dac i numai dac {a}CIX; 2. a IX, dac i numai dac {a}nlX = 0; 3. a = b, dac i numai dac {a} = {b} ; 4. a = bj dac i numai dac a{b}; 5. IX C {a}, dac i numai dac IX = {a} sau IX = 0; 6. {a} n {b} = 0, dac i numai dac a =1= b;.. ' 7. x {a} U {b}, dac i numai dac x = a sau x = b;

8. IX C, dac i numai dac, oricare ar fi y, din y C lX deducem y C ;

9. o: C (3, dac i numai dac, oricare ar fi y, din y::J (3 deducem y::J lx.

L 'EGI LE DE DISTRIBUTI VITATE I DE ABSORBTIE

Legile de d istributivitate . Figurile 16 i 17 ne dovedesc urmt.oarele formule

( x U ) n "'( = (7. n y) u ( n y), (7. n ) u y = (x U y) n ( u y)

'O' (d.. UjJ) nil' (d.n r) U (;JUl')

Fig. 16

Legile comutative arat c snt yalahile egalitile

CI. n ( u -() = (G( n ) u (7. n y), CI. U ( n y) = (7. U ) n (IX U y).

(cWfi) V'

( 1.33)

(1.34)

Fig 17

Aceste legi se numesc legile de distributi\!itate. Ele serycsc Ia desfacerea p arantezelor sau, inver s, la scoaterea de factor comun.

Legile de absorbie. Avem: a n (a U ) = IX, a U (a n ) = CI..

(1.35) (1.36)

--------

Fig. 18 J3 )

ntr-adev,r (fig. 18), elementele comune lui a i lui (7.U sn t cele care aparin n acelai timp lui (7. i moear uneia dintre oc, , deci sn t ele mente le lui oc, deci (1.35) este dovedit. Elementele care aparin i lui a, i lui , i cele ce aparin mcar lui a s nt toate el ementele lui a, i astfel (1.36) este dovedit.

COMPLEMENTARA UNEI MUL TIMI

Vom numi complementar a lui a i vom nota cu li sau oc', sau 1 - a, sau Coc mulimea tuturor eleme[ltelor ce nu aparin lui a (fig. 19). X E Ci nseamn xa.

Este vizibil c orice e lement aparine sau lui a sau lui Ci.:

Fig. 19

i nici unul nu aparine i lui a i lui Ci.: a' n Fi = 0.

(1.37)

( 1.38)

23

Formulele (1. 37) i (1.38) au o. mare importan i poart numele de principiuL excluderii tertiului (tertium non datur) i principiul contradiciei *.

Principiul contradicie i este enunat uneori sub forma: S nu poate fi P i non P n acelai ti mp . Se vede

c acesta este nelesul lui (1.38). Principiul teri ului exclus se enun uneori sub forma: S trebuie s f ie sau P sau non-P ; a treia posibili

tate este exclus. Se vede c acesta este nelesul lui (1.37). Este vizibil c rel aia ntre CI; i Ci este simetric, deci

Ci = CI;. (1. 39)

Aceast formul este uneori numit principiu l reci prociti i specii lor complementare; el corespunde principiului dublei negaii, uneori enunat sub forma: negaia negaiei echivaleaz cu afirmaia, cci a spune c un ele ment aparine lui Ci, nseamL a nega c el ar aparine lui CI;.

Legile lui M organ. Figura 20 ne arat c

ti UI3 -'- CI; n 13, & n l3>=Ciuj3

( 1.40)

(1.41)

Intr-adevr, mulimea haurat in amndou sensuri le este CI; U 13 i ea este mulimea intersecie a celei haurate ntr- un sens (Ci) i a celei haurate n cellal t sens (13) , deci (1.40).

Multimea hasurat ntr-unul mcar din sensuri este CI; n 13 i ea este

' format reunind cele dou mulimi haurate mcar ntr-un sens Ci i j3.

Daq CI; C , -atunci CI; U =, deci CI; U 13 = i3, deci Ci n j3 = i3, deci j3 c: ; am dovedit astfel legea de contrapoziie :

* Uneori numit "principiul necontradiciei".

24

Dac c: 13, atunci i3 c ii. ,. (1 .42) Aceast proprietate se citete pe fig. 21; comple

mentara lui este multimea hasurat n amndou sen-

Fig. 20

. cr fi a J.njJ=d..Uft Ifayurat lUj3=d..nj3

suri le i este cuprim n mulimea haurat ntr-un sens, care este complementara lui' (J., cu IX C ,

Fig. 21

ExercitII Paginile ce urmeaz conin exerCiii. Cititorul este ndemnat

s fac i calculul i figura.

Diferena. Se definete (fig. 22) diferena a dou mulimi IX - prin

IX = oc n i3 ; (1.43)

Fig. 22

'15

IZ - este mulimea elementelor care aparin lui IZ, dar nu lui . .

Este evident c: 1. a E cx, dac i numai dac [cx - {a}] U {a} = oc; 2. a oc, dac i numai dac IZ - {a} = oc; 3. a IX - {a}. Proprieti ale diferenei

(oc n ) - y = (IX - y) n ( -y ). (1.44) Soluie, ca exemplu,: .

(,; n ) - y = (IX n ) n Y din idempotena interseciei = ((1. n ) n Cr n y), din asociativitatea i comutativitatea interseciei:

= (IX n y) n ( n y), = ( IX - y) n ( - y).

r ntuitiv fig. 23 i 24.

26

(cx U ) -y = (IZ - y) U ( - y), (1.45) cx - ( n y) = (cx - ) U(cx - y), (1.46) cx - ( U y) = (IX - ) n (cx - y),

oc - IX = 0, (cx - ) - y = oc - ( U y),

Fig. 23

(oc - ) - y = (oc - y) - , (cx - ) U IX,

dac cx C Uy, atunci cx - p C Y

(1.47)

(1.48)

( 1.49)

/ Fig. 24

( 1.50) (1.51) (1.52 )

oc :J oc - , (1.53J dac oc ::J - y, atunci - oc C y - oc, (1.54)

dac oc C, atunci y - oc:J'Y - , (1.55)

Fig. 25

dactt oc C, atunci oc - y C - y, (1.56} (Ci. - ) U ( - y) :J rt. - y. (f.57)

Reziduaia. Se definetc (fig. 25) reziduaia :x prin oc : = oc u 13. (1.58)

Se SCrIe uneori

Proprieti ale reziduaiei 11. oc = 1,

ococ=I,

(oc n ) y = (CI. y) n .( y) , oc _( n y) "7 (oc -+ ) n (11. ;+ y) ,

(oc U) : y = (oc :Jy) U ( : y), 11. ( U y) = (oc ) U (oc y),

oc (.3 n y) = (oc ) 'u (11. y), ( CI. n ) -+ y = (oc y) U ( y),

oc (l,J y) = (a ) n (oc y) , (IX U ) y = ('1. y) n ( y),

( 1.59)

( 1.60)

(1.60*)

(1.61)

(1.61*)

(1.62)

(1.62*)

(1.63) (1.63 *)

( 1.64) (1.64*)

27

(oc :) y = oc (n y) , (1.65)

O( ( y) = (oc n ) y,

(O( ) : y = (O( : y) , O( ( --;. y) = (O( y),

(o: ) n c 0(, oc n (oc ) C

(1.65*)

( 1.66)

(1.66*)

( 1.67)

(1.67*)

dac o: n y, atunci oc y, (1.68)

dac o: n C y, atunci oc C y, (1.68 * )

O( C o: p, (1.69)

oc C 0(, (1.69*)

dac O( C y, atunci O( y O(, (1.70)

dac o: C y, atlinci oc C oc y, (1.70*)

dac oc C , atunci y oc y , (1.71)

dac O( C , atunci O( y y, (1.71*)

dac O( C , atunci oc:yC :y, (1.72)

dac oc C , atunci y C oc y, (1.72*)

(o: ) n ( : y) C oc y, (1.73)

(O( ) n ( y) C O( y. (1.73*)

Avem: .

28

(1.74)

(1. 75)

Suma (diferena simetric). Se definete (fig. 20) suma O( + (numit de obicei diferen simetric) prin *

oc + = (O( - ) U ( - O(). (1.76)

Fig. 26

Proprieti ale diferene i simetrice oc + f3 = (O( n ]) u (Ci n , O( + f3 = (O( U ) n (oc u )

oc + oc = 0, oc + 0 = 0(,

oc + ( + y) = ( O( + ) + y, oc n ( + y) = (O(n ) + (ocn y) ,

oc+oc=I. oc+I=oc

Fig. 27

(. 77) (1 .78) (1. 79) ( 1.80) ( 1.81) (1.82) ( 1.83) ( 1.84)

Suma dual sau echivalena. Se definete (fig. 28) echivalena sau suma dual a dou mulimi 0(, prin

(1.85)

* De obicei diferena simetric a + b este notat allb sau affib

29

sau 11. -+ = (O( -? ) n ( -? IX) (1.86 11 se scrIe uneori O( n loc de oc +", deci

oc = (11. ) n ( -? 0:). (1.87

Fig. 28

Proprieti ale umei duale oc -+= = (O( U ) n (Ci U ), ( 1.88) oc + = (O( n ) U (ii n 13), (1.89)

O( -+ oc = 1, (1.90) O( -=+- I = oc, (1. 91)

O( +- ( -+ y) = (oc +- ) +- y, ( 1.92) O( U ( +" y) (oc U ) -+ (O( U y) , (1.93)

oc + ii = 0. (1.94)

Avem:

O( +' = Cx + , (1.95 ) O( + = Ci ::;: , (1.96)

(J. -+ 13 = oc + . + 1, (1.97) oc + = oc -+ -+ 0. (1.98)

Funcia lui Sheffer. Se definete (fig. 29) funcia lui Sheffer O( 1.. (sau O( I) prin

30

CI: 1.. = ii U (}, (1.99)

ceea ce nseamn:

Fig. 29

care se mai poate eiti "IX implic non ", sau "IX exclude W', de unde numele e'e e:x;c.luziune rentru funcia 1-.

Proprieli ale funcie i lui Sheffer

IX 1- = .oc n, CI. 1- IX = OC,

(o: 1-) 1- (IX 1- ) = C/. n , (oc1-oc) 1-( 1-) = cx U,

cx 1- g = 1, cx 1- I = ii, cx Lcx i= 1.

(1.100) (1.101) (1.102) (1.103) ( 1.104) (1.105) ( 1.106)

Funcia "nici".* Se definete (fig. 30) funcia "nici": oc T prin

oc T = ii n . Propriet i ale funcie i "nici"

cx T = IX U , cx T cx = ii,

(cx T ) T (IX T ) = r:t. U , * sau funcia lui Peire",.

(1.107)

(1.108). (1.109) (1.HO)

31

'i

(ocToc) T (T) = oc n,

oc TI = @, oc T @ = Ci, O( T Ci == 0.

Fig. 30

(1.111)

{1.112)

(1.1.13)

(1.114)

Funcia majoritar. Se definete (fig. 31) funcia majoritar

3'2

O( # # y = (oc n ) u ( n y) u (y n oc). (1.115)

Proprieti ale funciei majoritare oc # # y e simetric n oc,, y. (1.116)

oc # # 0 = IX n , (1.117)

oc # # y = (oc U ) n ( LI y) n (y LI oc), (1.118)

Fig. 31

oc # # I = IX U , oc # # = oc.

( 1.119)

(1.120)

Disjuncia condiionat. Se definete (fig. 32) funcia (IX, , y) pr in

(IX , , y) = (IX n ) u ( n y).

Fig. 32

Proprieti ale disj unciei condiionate

(IX, , y) = ( -') cx) n ( -') y) , (cx, , y) = (CI. f:..J ]) n (y u ).

fORMA ARISTOTELiC A lUDECTILOR

( 1 . 121 )

( 1. 122) ( 1 .123)

Te o r e mal. Urmtoarele condi'ii snt echi()alente 1 . 1 IXC 1 . 2Ci::Jji

Fig. 33

* Sau funcia lui Church.

3 - SBS 33

1.3 O( n = (1., 1.4 (1. U = p, I.5 O( n = 0, 1.6 ii U = 1, 1.7 O( - = 0,

1.8 (1.= 1, I.9 oc = 1,

1.10 oc T P = 0,

1.11 O( -L B = 1. 1.1 se enun:

A. to.i O( snt . Acesta este tipul de propoziie universal (fiindc O( este luat n universalitatea lui) afirmativ.

Evident, propoziia universal-negativ:

E. nici un oc nu este B

Fig. 34

spune c O( I snt disjuncte O( n = 0,

deci este de tipul I.5, (3 fiind nlocuit cu , deci cu TI;

34

deci ea este echiva lent cu

Fig. 35

cx. c, ii :J , CI. n = IX,

CI. U =, oc U = 1, CI. - = O, CI. = 1, f3 a==J, ii T = 0, CI. _L = 1.

Teorema IL Urm(:toarele condiii si nt echi'alente: ILi oc n =1= 0, 1 1.2 tiU =1= I, 1 1.3 CY. ct, 1 1.4 ctCY. 1 1.5 (Xn=I=CI. 1 1.6 CI. U =f= , 11.7 CI. - =f= 0, ILS cx.=I=I,

35

11.9 oc =1= 1,

11.10 oc T j3 =1= 0,

11.11 oc 1- =1= 1.

Am notat oc c. i D oc pentru: fi. nu e c upri ns n . Acesta est e tipul de pr opozi ie particular-afirmativ 1

1. Exist unii fi. care .s fi e i , sau, cum se spune uneOrI: Unii fi. snt .

E \'ident, prop oziia .particular-negativ ; O. Exist unii IX care s nu fie i (3,

sau, cum se mai spune uneori:

se scne

deci:

36

Unii oc nu snt [:l

7. n B =1= 0,

a U =1= 1, oc ct. ,

i3 ct. , fi. n =1= oc' oc U =1= , oc - =1= 0, OC4 13 =1= 1

ii T =I=g oc 1-=I=I.

II

Algebra relaiilor

RELATI I BINARE

Ideea de relatie binar este ntrebuintat de cititori nc de la nceptul studiilor lor; exeml)le de relaii

=, =1= , < -,< , > , :;P,E , C,,ct.,:b, li (e paralel cu), I (divide). . n mod obinuit, dac R este o relaie, aRb "nseamn

c: indi(.lidul a este n relaia R cu indi(.l idul b . , Implicaia relaiilor irul de semne

nseamn: ori de cte ori aRb avem I: aSb.

Exemple: = => -. :;p, < => -. => >, < => =f=., > =) =1= , = => C (egalitatea claselor imp lic incluziunea lor).

Se deduce c implicaia relati ilor este refle};ir (2.1 )

i tranzitir, dac R => S i S => T , atunci R => T. (2.2 ) Conjuncia relaiilor Dac S i T snt dou rela ii, numim conjunci a lor

i notm cu S&T

relaia dintre a I b, definit prm: a(8&T)b,

nseamn a 8 b i a T b.

Exemple rentl'u numere = este -< & >- ; > este >- & =1= ; < este -< & =1= ; pentru mulimi = este C &:J.

Este vizibil c 8&T =) 8, 8&T =) T,

(2.3)

cci dac avem i a8 T i a Tb, atunci avem a8b I la fel avem aTb,

dac R => 8 i R =9 T, atunci R 8&T, (2.4) cci din aRb deducem a81! I a 1'b.

Echivalena relaiilor Dac avem

R 8 i 89 R, spuorm c al'e loc echivalenta reIat iilor R i 8 (sau Il i ,"; snt echivalente) i notm

Il (=) 8. Este \'izibil c c,hivnle!l!a 1 e1.:liilor este re(le:x:i(!:

R (=) R, (2.5 ) simrtric

dac R (=) S, alunci 8 (=) R (2.6) I lranti(!

daci'i R (=) S .)"i S (=) T, atunci R (=) T. (2.7) Demonstra iile (a exerciill. Avnd cefinit echi\'alen/a, pl'tem pune n eviden

unr:e proprieti nle conjunc iei.

38

Proprieti ale conjunc/:ci. Conjuncia relaiilor este idempolenlcl:

R &R (=) R, (2.8) comuiati", :

R&S S&R i asociati"'tl:

R&(S&T) (=) (R&S)&7'. Demonstratiile ca exercqu; de exemplu,

a[R.&(S&T)]b,

nseamn aHb i a(S & T)b,

(2.9)

(2.10)

Dar a(S & T)b lnscamJli'i aSb i a Tb, deci ar H &(8-& T)Jb nseamn aRb i aSb i aTb. Deoarece a.[(R&S)&TJI! nseamn a( H &S)b i a Tii, ial' a (R &S)b inseamn aRh i aSb, deducem c I/[(H &8) & Tjb inseamn aRb i aSb, i aTb. Deci a[R&(S&T)Jb i a[(R&S)&T]b inseamn am ndou acelai lucru, i an l l me aHb i aSb i a 'l'b.

De(i dac a[ll&(S&T)]b, aLunei a[(R&S)&T]b, deri R&(S&T) => (R&S)&T i (R&S) &1' R&(S&T), cleei teorema.

Negaia. unei reia ii l'\llInim n egaia liii Il i not,)m el] J'( (sali It) relaia

dilltre a i b defiJliLii aLfel a H. li

nseamn a nu esle n rela ( i n 11. ClI b. E:"J.:emple :

negaia reIat ir,i :::::: est c >- , nega! ia rflaiei :;.... esLe -< , negatia relatiei -< esle > negaia relatiei:::> este < . negatia relatiei E esLe nega! ia re la t i ei c,,;Le E

34

negaia relaiei = este =1= ,

negaia relaiei =1= este = Disjuncia relaiilor Fiind date relaiile S, T numim disj uncia lor i notm cu

SV T relaia dintre a i b definit astfel:

a(S V T)b, nseamn:

mcar una din relaiile aSb sau aTb este adevrat.

Exemple: - este > V

Propriet i ale disfunciei S => SV T, T:::;:. SV T,

(2. 1 1 )

dac S => R i T R, atmci S V T => R, (2. 12) R V R (=). R, (2 .13) S V T (=) T V S, (2. 14 )

R V (S V T) (=) ( R V S ) V T (2 .15 ) 2.13, 2. 14 , 2 .15 snt legile de idempoten, de comiItativitate i de asociativitate ale disjunciei.

40

Proprieti ale d isjunciei i conjunciei R & (R V S) (=) R, (2.16) R V (R &S) (=) R, (2.17)

R &(S V T) (=) ( R &S) V ( R& T) , (2. 18) R V (S & T )

2.16, 2.17 snt legile de absorbie, '2. 18, 2. 19 legile de distributivitate.

Demonstraiile ca exerciiu. Ca exemplu s demonstrm 2.18. Dac a[R&(S V T)Jb, atunci aRb i a(S V T)b, deci aRb i: sau aSb, sau. mcar a Tb j deci sau aRb i aSb, sau mcar aRb i aTb. In primul caz, a(R&S)b, iar n al doilea, a(R&T)bj deci R&(SVT) =9 (R&S) V (R&T).

Dac a[(R &S) V(R & T)Jb, atunci sau a(R &S)b, sau m-car a(R &T)b, deci mcar unul din cazurile urmtoare:

1) i aRb i aSb; 2) i aRb i a Tb. In amndou cazurile aRb I, In primul caz, aSb, iar

n al doilea, aTb, deci a(S V T)b, deci aRb i a(S V T)b. Deci a[R &(S V T)Jb, deci (R&S) V (R&T) => R &(SV T) Deci 2.18 este dovedit.

Produsul relaiilor Produsul S. T a doua relaii S, T este definit astfel:

a(S. T)b

nseamn c exist un ;:, astfel ca aSz i z Tb.

Exemple: 1. = E (=) E

cci dac exist un z cu a = z i z E IX, atunci.a E IX, dec = . E => E ; dac a E IX, exist un z (i anume a); astfe}; ca a = z i z E 0:, deci E =) = E ;

2. E = (=) E Demonstraia ca exerciiu.

3. = = = Dac exist un z cu a = z i z = b, atunci u = b, deci = . = =) = Dac a. = b, exist un z, i anume acest z este a,. cu a = z i z = b, deci = =) =

4 . C C C, 5. = C (=) C

41

(). c = (=) C, 7. = ' > , 10. < < =) < , 11. 1) II II, 12. I I => I Demonstraiile ca exerciiu. Proprietile produsului*

(R.S) . T (=)R .(S. T), (2.19)

cci a[(R . S) TJb nseamn cI exist un y cu a(R.S)y i yTb, deci c1 exist un x cu aRx i xSy, deci c exist x i y cu aRx, xSy, y Tb, deci c exist un x cu aRx i x(S. T)b, deci a[R.(S. T)Jb, deci

(R.S) T =) R.(S.T). Analog ar Ulm c:

R.(S. T) =) (R.S). T, R.(S V T) (=) (R.S) V (R. T). (2.20)

Dac a[R.(S V T)Jb, atunci exist un x CI aRx i .x(S V T)b, deci xSb sau m,sC1r xTb.

Deci se prezint unul mcar din urmtoarele cazuri: sau 1) aRx i xSb san mC9r 2) aRx i .xTb. Deci: 1) a(R.S)b sau mcar 2) a(R. T)b deci R.(S V T) (R.S) V (R. T). Analoga[(R. S)V (R.T)]b d: 1) a(R.S)b, deci exist un x w aRx i xSb sau mcar 2) a (R. T)b, dECi exist un y cu aRy I y Tb, deci n f'mndou cazurile exist un Z .care d in acelai timp aRz prEclm i uDul din caznrile zSb sau mcarzTb, deci ziS V T)b, deci a[R. (S V T)]b, deci (R.S) V (R. T) =) R(S V T)

42

(R V S). T (=) (R. T) V (S. T), (2.21) R.(S&T) =) (R.S)&(R. T), (2.22) (R&S). T =) (R.T)&(S.T). (2.23)

* Vezi p. 197.

Transpusa unei relaii R este relaia R - adeseori notat R - defi nit prin:

xRy nseamn yRx. Propr ieti ale transpusei

i (=) R, R&s (=) ii &8,

---- - -RVS (=) R V S,

dac S (=) R, atunci S (=) R, RS (=) S El

Demonstraiile ca exerciill.

ExercItII

(2.2/1)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

1. Care est.e transpusa relaiei:< , , :;;;,. , = , '::, C. j, !I ,1 2. Care sint analoele proprieti\tilor -1.1-1. [9, 1.33-1.36

1.37-1.41, 1.43-1.123 penl.ru relaii. 3. Se noteazii

R' (=) R, R"+l(=) RR". S se arate c Rm R" (=) Rm+".

Obserpaii 1. Analoga mulimii vide este relaia vid, care este relaia R

pentl'u care, oricare ar fi x,y nu avem xRy; analo!!il mulimii totale este relaia total R, aslfel c;1 xRy este valabil, oricare ar fi x i y. .

2. O relatie R este definit:i 1"lr,' elementele a dOll multimi 0:, (3; Cll alte c'uvin le relaia a NI! are sens cnd a E CI. i b E (3 dar nu are sens nici dac a(3, nici dacii b(3. De pild;l relaia a < b are sens cnd a si b snt numere reale dar nu ar-e sens cind a c un numr complex' sau cnd b e un vector. .

Vom n Ilmi pe o: domeninl relaiei R i pe codomeniul acestei relaii; relaia aRb nn va avea sens dect dac a E o: i b E. In cazul relaiei" < " domeniul o: i codomeniul sint identice, o: =, i anume si nt mulimea numerelor reale. n cazul relaiilor" E" i " " propcziia a E p. nu are sens dect dac a este un individ i fL este o mulime (vezi i C ap. IV) deci dOfI).eniile relaliilor "E" i " " snt mu lim ea 1 a tLlturor indivizilor, in timp ce codomeniile lor snt mulimea tuturor submulimilor lui I.

RELATIA DE I DENT ITATE

Relaia de identitate

se bucur de urmtoarele prop rieti : a) reflexif'itatea : oricare ar fi x avem

x = x (3.1 ) ) simetria : ori care ar fi x i y,

dac x = y, atunci y = x ; (3.2) y) tranzitif'itatea : oricare ar fi x, y, z,

dac x = y i Y = z, atunci x = z ; (3.3) a) compatibilitatea : dac ,

x = x* , y = Y* L xRy (3.4 ) alunci

x* R y*. P roprietatea s e scri e :

rv (=) = Proprietatea y d:

= - = . Proprietatea a d pentru ori ce relaie

--'-- R =) R, R = =) R, = R = =) R,

cci a( = R)b nseamn c exist z cu a = z, zRb, deci nseamn aRb ; dac aRb, atunci a = a, aRb dec i R => = R. AnJog n celelalte cazuri.

Relaia de egalitate* ntre mulimi a fost defi nit la p. ' 9: a = nseamn c a i au aceleai elemente. Pentru aceast relaie proprief ile de reflexivitate (oc i a au aceleai elemente, ceea: ce este o tautologie), de simetri e (d ac a i au aceleai elemente, atunci i a. au acelea i elemente), de tranziti vitate (dac a i au aceleai elemente i dac 13 i y au ace lea i e lemente, atunci a i y au acelea i el emente) i de compatibilit ate (dac

'" Vezi p. 197 .

44

oc i IX * au aceleai elemente i dac i * au aceleai el emente, atunci orice relaie satisfcut de oc i este satisfcut de oc * i * ) snt consecine ale definiiei date.

Vom obs erva c echi valena rel ai ilor joac n algebra relaiilor ace lai rol pe care- l 'j oac e gali tate a mul timilor n algebra multi milor. , Proprietile de re fle'xivitate, de . simetrie: i de tranzitivitate ale re laiei (=) ntre relaii au fost puse n eviden la p . . 3 8.

O proprietate de compatibi-li tate ar fi enun at sub forma.:

Dac R (=) S, atunci ori ce proprietate a lui R es te . o propriette a lui S ; despre o astfel de propozii e v:om vorbi Ia p. '175.,

REL ATII' DE: P:REORDIHE

O re lai e R este numit reflexi' dac ori care ar fi x xRx,

deci, dac

= =9 R .

O relatie R es te numit tranziti(J dac din aRb i bRe deducem

'aRc. O relaie de preordine es te o re lai e refl exiv I tran

zi tiv; pe ntru o as tfel de relaie avem:

R2 (=) R, cci dac aR2b, atunci exist un z cu aRz i zRb i atunci din cauza tranzitivitii, aRb , deci R2 =) R.

Dar dac aRb din cauza reflexivi tii aRa, deci exis t un z i anume z = a cu aRz i zRb, deci R =) R2, deci R2 (=) R.

Reciproc, dac R2 (=) R, atunci R 2 =? R, deci dac aRb i bRe exi st un z, i anume z = b, astfel ca aRz i zRe, deci aRze, deci aRc, deci R este' tranzi tiv.

45

Deci relaiile de preordine R se pot caracteriza pnn = =9 R , (4. 1) R2 R, (4. 2)

Exemple : C , ::> , -- , I I , I

RELATI I DE ECH IVALENT

o relati e E este nu mi t re latie de ech iva lent dac este reflex'iv, simetri c i tranzitiv .

'

Exemple de relaii de echivalen II , == (mod m) pentru ntregii pozitivi , negativ i i nuli , relai a de egal i tate pentr'l triunghiuri, rel a ia de similitudine pent ru triunghiuri sau alte figuri , rel ati a de echivalen pent ru segmente (A B ---- CD nsea mn c ABCD este un paralel ogram, eventual degenerat, fig. 36 a ,b, c,d).

Relaia de e ch ivalen afin pentru tri unghi uri sau alte figuri plane este o relai e de e chivalen (fiecrui puncL A din planu l P i corespunde pu nctul A' din planul P, astfel ca A 'D' . . . s provin di n A B . . . printr- o transformare af i n).

Relat i i le de e chivalen t fi ind relatii de preordine si-metri ce, ' pot fi caracteriaLe prin

'

= "'> E , (4. 1)

E

-:- b echivaleaz cu , n b =1= 0. Dac = b, deoarece a E , avnd a E b, n "b con.ine pe a, deci n b =;i= 0. Dac n b =1= 0, atunci exist x E , x E l, deci xEa, xEb, dEci aEx, xEb , deci aEb , deci li = b.

= b sau n b = 0, cci n b = 0 sau n b =1= 0, n care caz = b.

Numim M! E (mulime ct) mul .imea claselor cu a E M.

Oricare ar fi a E M, e .xist a E 111 lE cu a E a ; este destul s lum ry; = .

Definiii prin abstracie. Formarea mulimii cn MIE constituie un puternic mijlcc de a defini noi idei 'matematice ; acest procedeu este numiL definiia prin abstracie. Iat cteva exemple

Ideea de direcie. Fie II relaia de paralelism a dou drepte I I este o relaie de fCll iyalen. Dac a este o dreapt, este mulimea tuturor dreptelor paralele cu a. Ceea ce au comun aceste drepte este dirEc ia lor. Aici cuvntul " direcie" nu este nc definit. Putem s prc. c2din astfel. Vom numi "direcii" clasele de ec hivalen n raport cu relaia de paralelism a dreptclor. A spune c direcia dreptei a este ry; nseamn a spune c a Ea, a fiind o astfel de clas de echivalen, deci a C .6., unde .6. este mulimea dreptelor.

Ideea de vector. Se numete "segment" mice pereche ordonat (A ,B) de punc e. Printre segmente se socotesc i segmentele nule cu A = B. Relaia de echipolen A B ,...., CD definit pr in "A BCD este un paralelogram propriu sau degenerat" mparte segmentele n clase de echi-

... -+ valen numite vectori. A spune A B E 10', CD E 1,1 nseamn a spune c A B _ CD. Clasa de echivalen ce con.ine

--+ segmentul AB va fi numi t vectorul A B.

Ideea de form a unei figuri. Fie lliI o figur, adic o mul ime de pnncte. Vom spune c dou figuri M i 111' snt asemenea, dac fiEcrui punc t A din 11! i corespunde un punct A ' din M' , astfel ca dou triunghi uri, i anume

47

triunghiul A BC, format din puncte din M, i A ' B'C', format cu punctele corespunztoare din M' s fie ntotdeauna asemenea.

Relaia de asemnare M ,....., M' a dou figuri este o relaie de echivalen cci :

C El

/ / Q

[=0 Fig. 36 A B

sau / sau A = C 8 = 0 A = 8 = CO A=/J

IX) orice figur este asemenea cu ea nsi ;

) dac' jJ1 ,...- jJ1' atunci I M' ,...- M ; y) dac M ,...- M' i M' ,....., M", atunci i M ,....., lW'

(demonstraia ea exerciiu). Clasele de echivalen snt formate din figuri care

au aceeai form (fr s aib neaprat aceeai mrime). Cuvntul "form'.' ntrebuinat n limba romn poate fi definit precis : numim form o clas de echivalen, n raport cu relaia de asemnare.

Ideea de clas de resturi. Se spune c doi ntregi a, b. snt congrueni fa de un ntreg m, ceea ce se scrie :

a = b (mod m), dac exist un ntreg k astfel ca

-q. -3 -2 -1 o

a - b = km

2 3 Fig. 37

ntregii se pot reprezenta prin puncte echidistante pe o dreapt.

Dac dreapta este nfurat n molii convenabil, for-

* Prin numere intregi se neleg numerele ntregi pozitive sau negative i zero.

48

mnd o elice pe un cilindru, numerele congruente se vor afla pe o aceeai generatoare, deci vor avea aceeai proiec,ie pe cercul baz al cilindrului.

O clas de echivalen pentru relaia " =- (mod m)" va fi format din punctele de pe o generatoare.

6

Fig. 3B

o

RELATI I DE ORDINE

O relatie se numeste antisimetric dac din a ii b si b R deducem a = b

5

, S

- 9 8

, 3

2

fi 3 ?

i se numete strict antisimetric dac nu avem niciodat a R b i b R a

deci, dac (a R b) i (b R a) nu e niciodat ade"rat. O relaie reflexiv, tranzitiv i antisimetric se nu

mete relaie de ordine parial ; deci condiiile necesare -i suficiente ca relaia R s fie o relaie de ordine parial snt :

= =) R, R2 (=) R,

( R &R) (=) = . O relaie s e numete ireflexi" dac

a R a nu e niciodat adevrat

4 - 585

(4. 1 ) (4.2 ) (4.4)

49

deci, dac R =) =1= ( 4. 5)

Dac R este o rela.ie vom numi R'" l RY relaiile RA (=) R V = RV (=) R & -+

Dac R este o rela ie de ordine parial, RV este ireflexir, tranzitifJ i strict antisimetrie, cci a R V b implicA a -+ b, a RV b i b RV c implic a R b i b R c deci, R fiind tranzitiv , a R e ; dar n acest caz a = c implic a R b i b R a, deci a R b deci a = b cQntrar lui a R V b (care implic a -+ b), deci a -+ c, deci a RV e, deci R este tranzitiv ; a RV b i b RV a dau, din cauza tranzitivit.ii, a RV a, deci a =1= a, ceea ce este absurd, deci RV este strict antisimetric.

O relaie ireflexiv, tranzitiv, strict antisimetric va fi numit relaie de ordine parial strict. Teorema de mai sus se enunt deci

Dac R e o rlaie de ordine parial, RV e o relaie ele ordine parial strict.

Dac R e o rela ie de ordine p arial, R /o e o relaie de ordine parial.

Intr-adevr, a = a deci a R" a ; R" e tranzitiv , cci (R'')2 (=> (R V = )2 (=) ( R V = ) ( R V = ) (=) R2 V (R = ) V (R = ) V ( = ) 2 (=) R 2 V R V R V = Dar R2 9 R, ieci (R"' ) 2 =) R V = =) R A . Artm c RA e

--- -antisimetric : (RA) (=) R V = = RV = (=) R V = (=)R V = (=) R A

Dac R e rela ia -< sau > , sau > ; dac R e relaia < sau >

50

Oricare ar fi relaia R, afJem R V A (=) RA , R " v (=) RV, R V V (=) RV R " A (=) RA,

atunci RV e relaia < R" e relaia -< sau >-

cci R V A (=) R V V = (=) ( R & -+ ) V = (=>(R V = ) & ( -+ V = ) (=) R V = (=) R A ; R A V (=) R A & =F (=)( R V = )

-+ (=) ( R & =F ) V ( = & -+ ) (=) R & -+ (=) R v ; R v v (=) R v & -+ (=) ( R & -+ ) & -+ (=) R & ( +- & -+ ) (=) (=) R & -+ (=) RV ; R"' "' (=> R" V = (=) (R V = ) V (=) (=) R V ( = V = )(=> R V = (=) R/' .

PRODUS CARTEZIAN

Fie CY.' ; CY." , dou mulimi i fie CY. mulimea perechilor (a',a") cu a' E CY.', a" E CY." Vom scrie

(X = (X' x (X"

i vom" spune c CI.: este produsul cartezIan al mul!milor . " CI. I CI. De exemplu (fig. 39)

avem

(x' = { a' , b ' , c' }

CY." = {h", le" }

CI. = { (a' , h") , (b' , h"), (c'h") , (a', k") , (b' , k"), (c' , k")}.

Fig. 39

rf.."{ k' fi'

, ,

(a', k") (tI', k") (e', k")

I (ii', fi ") ( b: n") I (c ', III) I -----, I

a l b' '" CI '--' ---.,-------' (/... '

. Tot astfel avem produse carteziene n fig. 40 i 41 . Prin definiie (a', b' ) = ( an , b" ) nseamn a' = a" i

h' = b" Prin definiie

(X 2 = CY. X CY..

51.

0:' F ig. qO

-- 7

fo" Fig. l jA.'xp"

/ )).' Proprieti ale produsului cartezian

IX X ( U y) = (rx. X ) U (rx. X y) ,

(rx. U ) X Y = (rx. X y) U ( X y) , rx. X ( n y) = (rx. X ) n ( rx. X y) ,

(rx. n ) X y = (rx. X y) n ( X y). Exerciii

l. ., X Clt = " 2. eL X 0 = 0 . 3 . Dac CIt :::/::. 0 i =/= " , atunci CIt x =/= 0 . 4. Este egalitatea CIt x = x CIt . adevrat ?

(2.29)

(2.30)

(2.31 )

(2.32)

Ce este o submulime a lui rx. X ? Ea este o mulime de perechi (a,b) cu a E rx. i b E .

Fie p C rx. X ; vom scrie a R b, dac i numai dac (a,b ) E p. In acest mod :

submulimile lui rx. X corespund relaiilor R ntre elementele lui CY. i ale lui .

5 2

Vom numi fLR submulimea fLR C cx X a tuturor perechilor (a,b ) E fLR care snt n relaia R a R b.

Exemple. 1. Mulimea !1 a elementelor lui cx X cx ce corespund relaiei = este format din perechile (a,a) cu a Ecx . .& este numit diagonala lui cx X cx ( fig. 42) ,

Il ----------

Fig. '2 a ---- (a. a) I I I I

a

(b, b) I I I I I I I I I I

b

2. Mulimea fLR C fLs , dac i numai dac R =) S, cci dac a R b, atunci (a,b) E fLR i dac fLR C fLs, atunci (a,b) E fLs, deci a S b.

3. Mulimile fLR = fLs, dac i numai dac R (=) S, cci fLR = fLs nseamn fLR C fLs i fis C fLR, deci R =9 S i S =) R, deci R (=) S.

4. fLR&S = fLR n lis , cci, (a,b) 6 fLR&S nseamn a(R &S)b, deci a R b i a S b, deci (a, b) E fLR i (a, b) E fLs, deci (a, b) E fLR n fLs

5. fLRVS = fLR U I!s, cci (a, b ) E fLRVS nseamn a(R V S)b, deci a R b sau mcar a S b, deci (a, b ) E fLR san mcar (a, b ) E [.Ls, deci (a, b) E fLR U fLs

6. fL;{ = fL:R'

Exercitii 1. Dac cx C i Y C 8, atunci

cx X Y C X 8.

2. (cx X ) - (y X 8) = ( (cx - y) X t3) U (cx X ([3 - 8) ).

53

RELATI I n .ARE

Toate elementele unei mulimi cx au o proprietate comun, i anume aceea de a aparine acelei mulimi ; propoziia a E cx este o proprietate A a lui a ; a spune

1. a aparine clasei cx, ceea ce se scrie a E cx ; 2. a are proprietatea A , ceea ce vom scrie A (a) ,

este acelasi lucru. Dac ,b snt n relaia R,a R b, vom scrie R(a,b ) . A (x) i R(x,y) snt funcii care au ca variabile pe

x i pe y, i care, dac a sau a i b snt indivizi, au ca valoare propoziiile

A(a), R(a,b ).

Putem concepe relaii ntre 3,4 . . . ,n indivizi , care vor fi numite relaii sau atribute sau predica te : tel'nare, quaternare , . . . , n-are. R(x,y) este un predicat sau o relaie binar, A (x) un predicat monar sau unar.

Exemple de relaii ternare. Relaia S(a,b,c), cnd a + b = = c, i relaia P(a,b,c) cnd a b = c.

Relaia de ordine ciolic, cnd a,b,c snt. n aceast ordine n sensul direct pe cerc (fig. 43)

Relaia de separaie liniar a este ntre b i c ( fig . 44) . Relaia a ::= b (mod. c) . Exemple de relaii cuaternare

prin bd =1= O :i ad = bc. Relai a = !:. definit

d

0., '"

o Fig. 43 /;

Relaia de echidistan ( fig. 45) a - b = c - d

Fig. 44 a c

Relaia de separaie ciclic (fig. 46) bd separ pe ac.

54

Proprietatea de compatibilitate (304) de la po 44 se extinde astfel

.. . 8 h

c d Figo 45

I " .i.

\

c

D ac R este o rela,i e n-ar I dac al = bl,

an = bn,

a Figo 46

atunci dac al' 0 0 0 ' an snt n relaia R, atunci I bl, 0 ' 0 ' b" vor fi n relaia Ro

I I I Funcii

DEFINITIA NOTIUN I I DE FUNC IE

Spunem c f' este o funcie cu argumentul n mulimea D i cu valorile n mulimea C l scriem

f' D C

dac f este o coresponden care face ca fiecrui x E D s-i corespund un y E C ; scriem aceast coresponden

sau

f(x} = y. Numim : D domeniul funciei f ; C - codomeniul funciei f; CD - multime a functiilor cu domeniul D I co

domeniul C ; este deci echivalent. a scrie

f E CD,

x variabila independent sau argumentul lui f; y variabila dependent. ; f(x) - valoarea func.iei f pentru valoarea x a argu

ment.ului : x f'(x) .

Vom lua ca primitiv ideea exprimat de propoziia : dm aloa/'ea c a/'iab ilei x ( * )

n care cE IX, IX fiind domeniul de yariaie al variabileqx.

S6

Se spune de obicei lum x = c ( * *)

d ar trebuie observat c aICI semnul " = nu are acelasi ineles ca n egalitatea 2 + 3 = 1 + 4. Intr-adev;, proprietatea de simetrie a egalitii ne permite ca, din 2 + 3 = 1 + 4 s deducem c 1 + 4 = 2 + 3 ; din con-o tra, din "dm lui x valoarea 3" nu putem deduce "dm lui 3 valoarea x " .

Uneori propoziia ( * ) este scris x = c ( * * *).

Vom sublinia faptul c nu intr n definiia noiunii de funcie procedeul prin care din c cptm pe {(c) .

Dac domeniul este finit atunci {(x) poate fi dat de un tabel sau de un desen. De pild, graful din figura 47" ne definete o funcie care este dat de tabloul

.cu domeniul x = (al' a2, aa, a4, a5, a6)

I codomeniul

a, a,. .6,

e,

( * ***),

57

Dac domeniul este irul numerelor naturale, un procedeu important de a defini o funcie este definiia re-curent {( x) esLe definit prin sis emul de egaliti

{(O) = a

fIn + 1 ) = y[n,f(n)] ( ** )

Dac domeniul este multimea numerelor reale sau complexe, un procedeu impo;tanL de a defini o funcie este de a o defini ca funcie generat de o expreSIe, cum .ar fi

]f x2 - i, sinx, : {(x)dx, (x) . o tabel, de exemplu o tabl de logaritmi, define t e

.() functie de o variabil ce ia un numr finit de valori (intrrile tabelei), care se extinde la o alt funcie de o variabil real prin diferite procedee de interpolare ; o .aceeai tabel definete mai multe func ii dup proce-deul de interpolare intrebuinat.

Dac o funcie ne este dat, ne sint date domeniul :i codomeniul su. De pild funcia { cu domeniul X = = (al' a2, a3, a4, a5, a6) , cu codomeniul (bl , b2, b,) , b4cb5) 'i cu corespondena dat de tabloul ( *** *) de la p . 57 este alt funcie dect funeia f* cu acelai domeniu X i cu codomeniul Y * = (bl , b2, b3) in care { * (ai) = {(a; ) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) ; { i ( * nu snt funcii identice, dar snt :funcii egale.

Aadar, avem douEl relaii ntre func.ii : IX) egalitatea f = g definit mai sus prin 7..' domeniul lui { = domeniul lui g (J.. " ((.re) = ger) pentru orice x n domeniul comun al

lui ( i g. ) identitatea definit prin

:58

W { = g W' codomeniul lui { = codomeniul lui g, deci prin ,z' ,

(X" i "

ExerclJiI (Y x Z)x = 'yx x Zx ,

(zy) x = ZX x Y.

Dac c e ste un element 'dat i dac C E C, func.ia {D.C D --? C

care oricrui :r E D face s-i corespund elementul dat c, este numit funcia constant c.

Evident, dac. D' =1= D"

{D'.c =1= {D". c Numim iD E DD sau

D D -4 D,

funcia care oricrui x ED face s-i corespund acelai x :

iD (x) = x,

lD este numit funcia identic.

Restricia i extensiunea unei funcii. Valoarea f(x) a funciei { este definit numai pentru x ED. Fie E C D ; numim restricia lui { la E - funcia definit pe E c D care pe E ia aceleai valori cu { ; o no tm fi E

este definit prin : (tE : E -4 C

pentru x E E, ft d.rc) = {(x) . Invers, dac g este o funcie definit pe mulimea E,

f{ : E --? C

59

i dac D :J E o funcie f D C

este numit extensinnea lui g, dac g este restricia lui f pe E

Funcia caracteristic a unei mulimi. Funcia caracteristic fA(X) a mulimii A este definit prin

f A( X) = J 1 dac x e A \ dac x A

Deoarece x E D, fA (X) are sens dac A C D. Funcia f D(X) este constanta 1 ; funcia f (lJ (x) este

constanta O.

1 . fAnB (x) = fA (x) f8 (x) cci fA(X) fB(X) = 1, dac i numai dac f.i(X) = fa(x) = = 1 , deci dac i numai dac :rE A i x E B, adic x E A n Bt adic fAna (x) = 1 .

2. fD-A (x) = 1 - fA (x) cci dac fD_A (x) = 1, atunci x E D - A , deci x A , deci f A(X) = 0, deci 1 - f A(X) = 1, i ar dac fD_ A (x) = O, atunci x D - A ; dar x este o valoare a variabilei independente a lui fD-A , deci x D i x E A , deci fA(X) = = 1 , deci 1 - fAx) = O.

3. fAua(x) = f A( 1::) + fa(x) - f A (x )fa( x) . Dac fAua(X) = 0, atunci x A U B, deci x A i x B, deci fA(X) = fa(x) = 0, deci fA(X) + fa (x) - fA (x) fa(x) = O. Dac fAUB(X) = 1 , atunci x E A U B ; trei cazuri snt posibile, deoarece * A U B = (A [1 B) U (A -B) U (E-A) . Dac

*Demonstraia Ga exerciiu : (A n B) U (AnB)U (BnA)= (An B) U (A n B) U (AnB) U (BnA) = (AnB)U (AnB) U ( BnA)U(BnA) =

= [An(BUB)] U [Bn (AU)] = AU B

60

.xEA n B, atunci xEA i X E B, deci fA(X) = fs(x) = 1, deci fA(X) + fs(x) - fA(X) fs(x) = 1. Dac x E A - B, atunci .T E A, i x B , deci fA(X) = 1 , fs(x) = 0, fA(X) + fB (x) - fA(X) fB (X) = 1 ; analog, dac x E B - A . Deci n toate cazurile fAUS (x) = fA(X) + fs(x) - fA.(x) fs(x) .

4. fAUB(X) == fA(X) + fB(X) + fA (X) fB(X) (mod. 2). 5. fA-S(X) = f A(X) - f A(x)fs(x) . 6. fA+s(x) = fA(X) + fs(.T) (mod. 2) . 7. fA+S(X) =fA.(x) + f(x) + 1 (mod. 2) . 8. fAT s(x) -= f A(X) fsex) !+ fA(X) + fs(x) + 1 (mod.2) . 9. fA I s(x) == f A (x)fs(x) + 1 (mod.2)

Deoarece fiecare submultime A a lui D este caracterizat de funcia ei caracteristic

fA : D ( 0, 1 ) mulimea (0,1 ) , avnd dou elemente, va fi notat aici cu 2 i mulimea submulimilor lui D cu 2D :

A E 2D echiiialeaz cu A C D. Extinderea unei functii la o functie de submulimile

domeniului . .

Fie f D C,

A vom defini funcia f

f : 2D 2c prin : dac A E 2D, deci A C D, atunci

((A ) = (;, {y I y = f(x) ,x E A } deci f (A ) este mulimea tuturor valorilor f(x) cnd xEA .

1 . f(A U B) = f (A ) U '{(B) cci y E; j (A U B) nseamn y = f(x) , x E A U B ; dac x E A , f(x) E f(A ) , deci f(x) Ef(A ) U f(B) ; analog,

A A A dac ,x E B, deci f (A U B) C f (A) U f(B).

61

Dac y E ((A) , atunci y = f(x) cu :r E A, deci x E A U B, deci y E flA U B) deci ((A ) C flA U B) ; analog pentru y E RE) ; deci {(A ) U {(B) C ((A U B).

2. Dac A C B, atunci ((A) C ;( B) . 3. ((A n B) C ((A ) n (( B) . 4. . hA - B) ((A) - ((B). 5. Dac X este domeniul lui f atunci mulimea f( X)

e cuprins n cpdomeniul oricrei funcl,ii g cu g = f.

SUR)ECTI I

n definiia funciei

f D -'? C

nu este inclns condiia ca f(.'E) sa parcurg ntreg codomeniul C ; este posibil ca pentru un anume element Yo E e ecuaia f (x) = Yo s nu aib soluie. Avem :

f(D) C C,

dar putem avea : f(D) =1= C.

Spunem c f este o surj ecie dac

f(D) = e,

deci dac oricare ar fi Yo E e, exist cel puin un Xo E D cu {(xc) = Yo'

Funcia iD este o swjecie. Funciile constante nu snt surjec ii dect dac codome

niul nu are dect un element. Funcia pseudoinvers. Dac vom considera ecua,i a

y = f(x), atunci vom numi f*(y) mulimea tuturor e18-

62

mentelOl' x cu fIx) = y. Funcia f * are ca domeniu pe f(D) i ca valori submulimi f * (Y) CD.

f * f(D) 2D Este natural s presupunem f(D) = e, deci s pre

supunem c f este o surj ecie i deci

f * : e 2D. Vom extinde pe f * la l *

f * 2c 2D, deci

x t:: r *( 111) nseamn c x E f * (y) cu Y E iVI, deci {(x) = y cu Y E 111, deci. {(x) E 111.

Exercilii 1. f* (M U N) = f * (M) U f * (N) ,

cci x E ? * (MUN) nseamn f(x) E M U N ; dac f(x) E M, atunci x E f * (M), deci x E f* (M) U f* (N), deci f* (M U N) C C f* (M) U f* (N) . Dac x E f * (M) U f* (N) fie x E f* (M), deci ((x) E M, deci f(x) E M U N, deci x E f* ( .IV U N) deci f * (M) C f*(M U N) ; analog' r " IN) C f * (MUN), deci f * (M) U U f * (N) C f * (M U N) , deci teorema.

2. Dac M C N, ah.rl\;' { "" (M) C f * (N) .

3. f *(M n N) = f * (M) n f * (N) . ntr-adevr x E f* (M n N) nseamn fIx) E M n N, deci f(x) E E M, f (x) E N, deci x E f * (M) i x E f* (N) , deci x E f*(M) n n f * (N) , deci f * (M n N) Cf* (M) n f* (N) . Dac x E r* (M)n

A A A n f * (N) , atunci x E f * (M) , deci ((x) E M i x E t * (N) , deci ( (x) E N, deci ( (x) E M n N, deci x Ef * (M n N) , deci f * (M) n f * (N) Cf * ( iU n N), deci teorema.

63

4. Dac f : X Y

A C X, B C Y ,

i = flA, :atunci

g (B) = A n r o (B) .

II N)ECT I I

Vom spune c { D -'? C

,este o injecie, dac pentru x =1= y avem {(x) =1= t(y),deci ,dac din {(x) = {(y) se deduce x = y.

Deci ecuaia {(x) = Yo are cel mult o soluie. D ac { este o inj ecie, atunci incluziunile 3 , 4 de la

p. 62 se pot ntri :

3. ? (A n B) = ? (A ) n f (B)

4. ? (A - B) = ? (A ) - f (B)

ntr-adevr, dac y E ? (A )" n ? (B) , atunci y E ? (A ), deci y = {(x') , x' E A i y E ? ( B), deci y = {(x " ) , x" E E B, deci {(x' ) = {(x") , deci x' = x" E A n B, deci y E

A A A A E { (A n B), deci { (A ) n { (B) C { (A n B). Tot astfel, dac y E f (A - B), atunci y = {(x' ) , x ' E A - B, deci x' E A , x' It: B, deci y E ? (A ) ; dac y E f (B), Y = {(x") cu x" E B ; dar {(x') = {(x"), deci x' = x" E A n B contrar lui x' Jt: B, deci y It: ? (B) , deci y E ( (A ) - ? (B), deci ? (A - B) C f (A.) - ? (B) . 64

Functia identic este o injectie. Functil:le constante nu snt iljectii dect dac domeniul

are un ;ngur element. '

Exercitii Dac ( este o inj ecie, atunci : Din ((A) C ((B) deducem A C B.

Incluziunea ca funcie. Fie A c B. Vom defini funcia

i'A : A -7 .B

prm 1 . domeniul lui ,A este A ; 2. i'A (x) = x.

Bineneles, dac A = B atunci (-1 este funcie identic. Dac ns A C B, dar A +- E, atunci il A este restricia funciei identice.

Vom considera pe il A ca o funcie cu domeniul A i codomeniul B.

iJA este o injecie. Adeseori i,.4. va fi numit injecia canonic a lui A

n B -::J A .

III)Eql l

o funcie { : D -7 C

este o bijec,ie, d ac este o injecie i o surj ecie in acelai timp.

Deoarece { este o surjecie, ecuaia {(x) = y are cel pu in o soluie pentru orice y E C, deci { *(y) =1= 0 pentru orice y E C ; dac .'C' E{ *(y) , X" E{ *(y), avem ((x') = {(x" ) = y, deci, deoarece { este i o inj ecie, x' = x" ; deci f* (y) are cel mult un element, deci dac { este o bijecie f *(y) are un singur element ( * (y) = {x }. Vom defini

< - 585 65

astfel o funcie x = f-1 (y) prin x E f*(y) . Deci y = f(x) i x = f-I (y) snt echi:'alente. Deci, dac

f : D C

este o bijecie, atunci exist o funcie f-1 C D,

astfel ca y = f(x) L X = f-1 (y) s fie echivalente.

Se deduce c

1. (f-1tI = f, 2. f-l este o bijecie.

Bij eciile se mai numesc i corespondene b iuniCJoce. Dac exist o coresponden biunivoc ntre dou

mulimi X i Y atunci spunem c X i Y snt cardinal echivalente i scriem

x -z y

SUPRAPUNEREA A DOU FUNCTI I

Fie f : X Y, g Y Z.

f - J! \

9 Fig. 48

t 66

Vom defini o funcie

s X Z

as tfel fie x E X ; Y = f(x) Y ; z = g(y) E Z ; z este o funcie de x, z = s(x) Scriem z = g(f(x)) .

Se spune c diagrama e comutatil! (Y. p. 197 ). Se scrie i

s = g o f, Operaia "o" este numit compunerea sau suprapune

rea funciilor.

T e o r e m a 1 . fo ix = iy of = f.

ntr-adevr y ="' ix (x) = x, z = (foix) (x) nseamn z = f(y) = f(x) , iar w = ( iy o f) (x) nseamn w = iy (f(x) = f(x) .

T e o r e m a I I . (legea de asociativitate a suprapunerii).

h o (g 0 f) = (h o g) 0 f. Intr-adevr, dac y = f(x), z = g(y), w = h(z) , ,atunci

z = (g o f) (x) i w = [h o (g 0f)] (x), iar w = (h og) (y) . (hog) (f(tE = [(h o g) o f] (x) .

Aceste dou teoreme se enun astfel * Mulimile formeaz o categorie dac pentru mulimea morfisme-

lor Hom (X, Y) se ia mulimea yX.

T e o r e fi a I I 1. Dac f i g snt surjecii, atunci go f este o surjecie.

Intr-adevr, dac se d Zo E Z atunci g(y) = Zo are cel puin o soluie Yo E Y cu g(yo) = Zo ; dar f(x) = Yo are cel puin o soluie Xo cu f(xo) = Yo, deci s(xo ) = (g f) (xg) = g(f(xo) ) = g(yo) = zo' deci s(x) = z'() are cel puin soluia Xo'

Vezi p. 176.

61

T e o r e m a l V. Dac f i g snt injecii, atunci i K o f este injecie.

Intr-adevr, dac s(x/ ) = s(x") , atunci g(f(x' ) ) = g(f (x") ), dar g fiind o inj ecie, f(x/) = f(x") i f fiind o inj ecie x' = x" deci s este o injecie.

T e o re m a V. Dac fi g snt bijeciigof este o bijecie. T e o r e m a V 1. Condiia necesar i suficient ca

funcia f A --7 B s fie o injecie este ca din f o h = fok

s se dedlc h = k.

Intr-adevr, dac f este o inj ecie pentru orice x, relaia

f(h(x)) = f(k(x)) d

h(x) = k (x) . Dac f nu este o inj ecie, exist a =1= b cu

f(a) = f(b ). D ac X = {c } i

snt definite de

atunci dar

h : X --7 A, k : X --7 A

h( c) = a k( c) = b, h =l= k

f(h(c)) = f(a) = f(b) = f(k(c)). T e o r e m a V I I . Condiia necesar i suficient ca

funcia f :A --7 B s fie o surjecie este ca din h o f = k o f

s se deduc h = k.

68

Intr-adevr, dac { este o surjecie, pentru orice y E B ecuaia ((x) = y are o soluie cel puin, deci h(f(x) ) = k (((.T)) d h(y) = k(y), deci h = k.

Dac { nu este o surjecie adic exist YoE B astfel ca {(x) =1= Yo pentru orice x E A, atunci exist h i k as tfel nct h o { = k o ( i h =1= k ; ntr-adevr, dac h(yo) =1= k(yo) dar h(y) = k(y) pentru y E{(A) , h =1= k, dar h({(x )) = k(f(x) ).

Exercitii 1. Dac se dau funciile

f : X --+ Y

g : Y --+ Z i dac

h = g o f,

atunci pentru extinderile lor A

2X -+ 2Y f A

2Y -+ 22. g A

2X -+ 2z h a vem

2. f*(f(A) :J A. 3. f(f * (B = B. 4. f*(A - B) = f*(A) - f*(B). 5. f*(f ((*(B) ) = f*(BL 6. Fie

f : X -+ Y, g : X --+ Z.

Pentru ca s existe o funcie 'i' Y ..... Z,

cu g( x) = cp(f (x

69

este. necesar i suficient ca pentrn or ice pereche x' ,x" s avem implicaa : dac f(x') = f(x") atunci g(x' ) = g(.r ") . Este evident c condiia este necesar. Reciproc, dac con di-

ia este ndeplinit, g({*(y))) sau este vid, dac (*(y)) este vid, sau are un element, cci dac ar avea dou elemen te : z' E g(f*( y ) ) ) , z " E g(f*(y) ) , atunci z' = g(x' ) , z " = g(x") cu x' E f* (y) , x " E f* (y ) , deci y = f(x') = ((x") , deci g(x') = g(x" ) , deci z' = z" ; s numim cp(y) unicul element al lui g(f* y ) ) ) '" 0 ; dac f*(y ) ) = 0 , s lum pe CP{y ) arbitrar n Z C f' * [ (y ) ) .:i= 0 cnd y E Y-f[X) , cci din y E f(X) deducem y = f(x ) , deci x E f *(y) ) :k 0 .

Fie y = f(x) , deci x E f'* ( (y) ) , deci g(x) E g(f'* [y ) ) , deci g(x) = = cp(f(x) .

7. Dac

dac f(X U Y) = f'(X) U (( Y ) , f[f(X) = X,

atunci f transform submulimile cu un element ale lui E n mulimi cu un element, deci exist g : E -+ E cu f = g' i g este biunivoc,l.

oc) f(0 ) = 0 , cci f( 0 ) U 0 = f'(0 ) , fUr ,?') U 0) = f'(f[0 ) Uf( 0 ) = = f(f( 0 ) , deci 0 U f( 0 ) = 0 , deci f( 0 ) = 0 ;

) dac X =/:: 0 , atunci f(X) *- 0 , cci fiX) = 0 d X = = f(!(X)) = f( 0 ) = 0 ;

y) dac x E E, f({ x}) =1= 0 ; 8) fix) = y EE, cci dac' fix) este o mulime cu mai mult

de un element f(x) = A U B cu A A U B, B -* A U B i x = = f(f(x) = f(A ) U f(B) , deci ((A) U f(B) are un element (pe x) , deci sau f(A) U f(E) = f(A) , sau f(A) U f(E) = f(B) ; n primul caz : A = f(f(A )) = f(f(A) U f(B)) = A U B, n al doilea caz : B = f(f(B) = f(f(A ) U fiE) = A U B, contrar celor de mai sus ;

e:) f este biunivoc, deoarece fix) = f(y) d x = ((f(x) = f(f(y)) = y ; ) ((X) e mulimea lui f(xl cu x E X, cci din x E X deduc { x} C::X, deci { x} U X = X, deci (f(x)) U f(X) , = f.(X) , deci f(x) C C f(X) i din f(x) E f(X) deducem (f(x) ) C f(X) deci { x} C (f(f(x) ) ) = = X deci x E X.

A L TE PROPR' ETr' ALE FUNCTI I L O R

Vom defini suma direct a dou multimi A si B ca fiind mulimea S compus din elementle care 'apal'in lui A sau mcar lui B, elementele comune fi ind consi-

70

derate de dou ori : o dat ca elemente ale lui A i alt dat ca elemente ale lui B. Cu alte cuvine,

S = Ao U Bol cu

T e o r e m :

Dac S este suma direct a mulimilor A i B, exist dou funcii f i g

f : A S, g : B S,

astfel nct, date fiind funciile

s existe o funcie

care s dea

u : A -7 X, v B --7 X,

h S -+ X

u = h o f, v = h o g,

A

f

Fig. 49 s

g

B

fi .. x

71

I ntr-adevr, deoarece A . Ao, B ,--J Bo exist bi-e c

j ecii f, g f A Ao g B Bo

Dac z E S, deoarece S = Ao U Bo i Ao n Bo = 0, definim pe h(z) prin dac Z E Ao atunci z = f(x) cu x E A i vom lua h(z) = n(x) ; dac z E Bo atunci z = g(y) cu Y E B i vom lua h(z) = v(y) ; deci h(z) E X i h(f(x) ) = n(x), h(g(y)) = v(y) .

din

Funcia h este unic, adic, dac h S X, k S X,

h o f = k o f, h o g = k o g

deducem h = k

Intr-adevr, f, g fiind bij ecii, au inverse f-l : Ao A , g-l : Bo B,

i avem pentru z E Ao : h(zf = h(f(f-l(Z))) = k(f(f-l (Z) ) ) = k(z)

i pentru z E Bo : h(z) = h(g(g-l (Z) ) ) = k(g(g-l(Z) ) ) = k(z) ,

deci pentru z E S h(z) = k(z).

Fie f o funcie f : A B ;

72

s numim A It mul imea claselor de echivalen ale elementelor lui A echivalente prin relai a

f(a' ) = f(a" ) . Fie

g : Alt -4 B .

functia definit pentru x E A 1/ prin g( .T) = ((a) dac a E ; fie

h A -4 A lt

funcia care oricrui aE A face s-i corespund h(a)= E Al! . g este o injecie cci g(x' ) = g(x") cu a' E x', a" E x"

d f(a') = g(x' ) = g(x ") = f(a") deci a' , a " snt echivalente, deci x ' = x "

h este o surjecie cci oricare ar fi x E A IJ, x este o clas de echivalent, deci exist. a E A cu a E x, deci cu h(a) = x.

.

Am artat deci c : Orice funcie f este suprapunerea

f = g o h

uneL w)ecii g i a unei surjecii h. Pentru funcia f, desenat n figura 47, al' a4, a5, snt

echivalente i formeaz clasa l, a2, a6 snt echivalente i formeaz clasa 2, aa formeaz clasa a i g (l ) = bl , g(2) = b2, g (a) = ba deci g este o injecie iar h(al )= = h(a4) = h(a5) = l, h(a) = h(aa) = 2, h(aa ) = 3, deci h este o surj ecie.

. Relaia de echivalen generat de o funcie. Fie f o funcie f X -4 Y. Relaia

definit prin

f'(x ' ) = f(x ")

este o relaie de echivalen, cci ea este reflexiv = cci f(x) = f(x) = simetric = din f(x') = f(x ") dedu-

73

..cem f(x") = f(x') - i tranzitiv - din {(x ' ) = f(x " ) i f(x") = f(x"' ) deducem ((x' ) = f(x"') . Se vede c

X/E ,..... f( X) , c

cci corespondena ntre z E X le i Y = f(x) pentru x Ez face ca fiecrui z E: X lE s-i corespund un singur y, cci dac x' Ez, x" E z, atunci .T'E/x " , deci f(x') = f(x ") i fie..crui Y E f(x) s-i corespund un singur z.

Clasele de echivalen relative la relaia de mai sus .se numesc uneori tranele generate de funcia, f, i ar X lE .e spaiul tranelor generat de func ia f * .

Fie E o relaie de echivalen ntre elementele Al I funcia

.defini l prin A

cp(.T) = .'r. cp este o surjecie

x'Ex" echivaleaz cu cr (x') = cp( .T" )

UNCI I C U DOMENIUL SAU C U CODOMENI U L FINIT

Funcii cu domeniul finit. Ca domeniu finit cu n elelmente vom alege mulimea

Nn = {1 , . . . , n } -o funcie

'fi N" A

* Adeseori se ntrebuineaz in loc de tran, expresia "mul "ime de nivel" sau scurt "nivel"

74

' face ca fiecrui i E Nn, deci i cu 1 -< i < n s-i corespund un element

ai = cp(i ) cu

ai E A, deci funclia e caracterizal prinlr-un ir finit de n elemente ale lui A

Funcii cu domeniul i codomeniul finit. O funcie

cp : Nn Nm face ca cele m obiecte

1 , . . . , 1n s fie aranjate cte n

il = cp( l ) " " , in = cp(n) , cu 1 -< il -< m, . . . ,l -< in

T e o r e m a I I. Nu exist o injecie cp : Nn NII_,

dect dac m > n. Intr-adevr, dac m < n, atunci cp(i) cu 1 -< cp(i)

-< m neputnd avea dect m < n valori diferite, se deduce c pentru dou valori diferite i' =f=. il! cu 1 -< i' -

in genere, numim ir multiplu (r-uplu) o funcie cp N" A

I notm aiI iT = cp(il " ' " iT)'

Mulimi indexate. Avem de-a face uneori cu a) O multime C1. de elemene, b) O mulime 1 a indicilor. c) O funcie

cp 1 C1., are face ca fiecrui indice i E I s-i corespund elementul i E Dt.

Scriem

Dac 1 este o mulime fini Nn, mul imea indexat {ei }iENn este un ir finit de n elemente din a ; dac 1 ste mulimea N a numerelor naturale, mulimea indexat {ei }iEN este un ir simplu, iar dac 1 = N2 , . . . 1 = N', nulimea indexat {eJiE w este un ir r-uplu. Vom pn;ea lua ca 1 o mulime oarecare.

ULATII FUNCI ONA LE

Relaia

y = {{x) ntre x i y va fi notat Fi> deci vom scrie

lau ca submulime a lui X X Y

(x,y) eFf C X X Y.

77

Aceast relaie se bucur de dou proprieti 1 . Dat fiind un x E X, exist un y E Y astfel ca xF,y. 2. Dac xF,y' i xF,y", atunci y' = y " Reciproc, dac o relaie R satisface aceste condiii :

1. Dat fiind x E X exist un y E Y cu xRy. 2. Dac xRy' i xRy", atunci y' = y "

atunci , dat fiind x exist u n y i unul singur astfel ca x R y, deci exist o funcie fR astfel ca x R y s echivaleze cu y = fR (x) .

O relaie funcional F, este caracterizat prin faptul c n reprezentarea ei printr-o submulime F, C X x Y a produsului cartezian, fiecare submulime P c,x, a tuturor perechilor (c,y) cu y E Y, c fiind dat, are cu F, un element comun i unul singur. Reprezentarea este cea clasic u diagramei unei funcii .

Dac f, g snt funcii cu domeniul X iar F" Fg snt relaiile funcionale asociate lui f, g atunci

1. f = g echivaleaz cu F, (=> F g 2, Codomeniul lui fccodomeniui iui g echivaleaz cu

F, =) Fg 3. Produsul Fg F, a dou relaii funcionale este o

rela ie funcional i anume este F gof 4. Transpusa unei relaii funcionale nu este n genere

o relaie funcional : F,(y,X) nseamn c y = f(x) deci ea este X E f *(y) , f* fiind funcia pseudoinvers a lui f.

5. Condiia necesar i suficient ca F,(y,x) s fie o relaie funcional, F g(Y,x) este ca f s fie o bijecie.

Pentru aceste motive se spune uneori c R este inversa lui R i se noteaz R-I.

PRODUSU L CARTEZIAN AL MAI MULTOR M U LTIMI

Date fiind trei mulimi, putem forma produsele cartezi.ene

78

A X (B X C) (A X B) x C

T e o r e m

A X ( B X C) -- (A X B) x C. c

ntr- adevr, elementele lui A X (B X C) snt pe-o rechile {a, {b, e } } , i ar cele ale lui (A X B) X C snt. perechile { { a, b }, c }. Funcia

A X (B X C) --')o (A X B) X C,

definit prin ( {a, {b, e } } ) = { {a, b } , e }

este o hij ecie. Dac am defini pe A X B X C ca fiind mulimea tri

pIetelor (a, b ,e) atunci A X (B X C) ,...., A X B X C

c

(A X B) X C -' A X B X C. c

Vom defini recurent X An = (Al X

Legea asociativ ne permite s grupm termenii n orice mod.

Prin definiie

deci

Exerc lfiu

A"+! = A" X A ,

A" = A X . . . X A -

n ori

Am X AH = A m+" .

Dae P este produsul cartezian P = A x B

7 9

snt funciile f(a, b) = a g(a, b ) = b

atunci oricare ar fi Inulin'Wa X i funcii i e u X _4. V X B

exist o funcie h x p,

astfel ca diagrama

A

li f

X " P ..

jg 8

s fie comutativ, deci ca f o h = u g o Iz = v.

Fig.

Intr- adevr, este destul s lum h(x) = (u(x), v(x) .

Dac am avea alt funcie k(:E) = (!X(x), (x),

ar trebui s avem

50

oc(x) = (f o k) (x) = (f o h) (x) = u(x) (x) = (g o k) (x) = (g o k) (.'E) = v(x)

deci h este unic determinat.

80

S se extind aceast teorem la produsul cartezian al mai multor multimi.

Cititorul este ndemnat s compare figurile 49 i 50.

Funcii de mai multe variabile

o funcie

asociaz fiec rui

un y y E. Y}

deci fiecrui sistem (Xl' . . . ) Xn) E Xl X Scriem

x X" un y E Y

y = {(Xl ' . . . , Xn)

f este o funcie de n-variabile

T e o r e m

Xl X X Xn {E. Y

YX1 X X Xn r-' ( . ( YXr) . . . ) Xn c

Vom dovedi nti c CA x B r-' ( CB) A .

c

Intr- adevr, fE CA x B nseamn c{ este o funcie{(x, y) E C cu x E A , Y E B. Dar {(x, y) = gy(x) cu

gy A CB, deci gy = h(y) cu yE B. In acest mod concepem o funcie de dou variabile ca o funcie de o variabil x, care fiecrui X E X face s-i corespund o funcie g y

6 - 585 81

o funcie de n variabile f definete o relaie n+ l -ar F( xl> . . . Xn, y), astfel ca :

1 . Dat fiind Xl E Xl' . . . , Xn E Xn , exist cel puin un yE. Y astfel ca F(xl, . , Xn, y).

2. Dac F(xl, . , Xn, y') i F( x1, , Xn, y") , atunci y'= = y ".

O funcie de dou variabile f : X X Y -+ Z

este o inj ecie ( a lui X X Y n Z) , dac din f(x' , y' ) = = f(x" , y") deducem x' = x", y' = y". O astfel de functie a mai fost numit functie cu valori distincte. ,

An alog n cazul mai mltor variabile. Analog o funcie de n variabile

f : Xl X X Xn Y este o injecie (a lui Xl X X Xn n Y), dac din

f(x, . . . , x) = f(x , . . . , x: ) deducem

x = x , . . . , x = x; .

Proprieti diverse

1. Dac fEZY i g E ZX, pentru ca s existe o !p E. yx cu f( !p( x = g( x) este necesar i sUficient ca

g('X) C f( Y). Fie f*(z) = Ez C Y. S lum { (z) arbitrar, dac z E Z - f( Y)

tP(z) E Ez, dac z E. f( Y), deci tP E YZ ; din z E f( Y) deducem f((z) = z. Lum cp(x) = (g(x , cci X E X, g(x) E. f(Y) , deci f((g(x ) = g(x), deci f(!p(x = g(x).

2. Dac f i g dau g(X) C f( Y) i dac f este o bijecie, soluia ecuaiei funcionale

f( !p(x = g(x) este unic !p = r-1og.

82

3. Condiia necesar i suficient ca, dat fiind funcia cp : X x Y Z

s existe, pentru fiece f f : X x y w,

o funcie g : Z w,

astfel ca : f(x, y) = g{ cp(x,y

este . ca cp s fie o injecie. Condiia este necesar : Fie x' =1= x", y' =1= y", ql(x' ,y')=

= cp(x", y"). Exist f(x, y) cu f(x' , y' ) 4 f(x", y").,De exemplu, f (x, y) = x. Dar f(x' , y' ) = g ( ql (x', y")) = = g(ql(x", y") = f"(x" , y") , contrar celor de mai sus.

Condiia e suficient : Fie cp-dat i f dat. Dac nu exist x i y cu cp (x, y) = z, s lum pe g(z) arbitrar n W. Dac exist x i y cu cp(x,y) = z, atunci exist un singur sistem, adic x i y snt unic determinte de z : x= = Ii:(z) , Y = (z) ; punem g(z) = f(li:(z), (z .

4. Dac cp : Y x Z U

este o nJecie, i numai n acest caz , oricrei funcii f(x, y, z) i putem asocia o funcie g(x, w) cu

f(x, y, z) = g(x, cp(y, z . Dac ecuaia este satisfcut, cp este cu valori dis

tincte. Dac cp este cu valori distinc le, fie f dat. Fie uv dou

el emente ; dac nu exist y,z cu v = cp(y, z) s lum pe g(u,\J) arbitrar n W ; dac exist, ele snt unic determinate y = Ii:(v ) , Z = (v ) ; s punem g(u, v) = f(u, Ii:(v), (v)).

5. Dac cp( x, y) este o injecie, pentru orice f( x, y, z, t) exist o g( u, v) cu

f(x, y, z, t) = g( cp(x, y), cp(z, t ,

83

Date fiind u,"', dac exist x,y,z, t cu (x,.y) = u, (z,t) = P, atunci ele snt unice : x = ct.( u),y = (u) , z = ct.(p) , t = (r) . Lum deci g(u,r) = = f(ct.(u) , [3(u), o:(p), (r , altfel lum g( u, p ) = O.

6. Dac (Xl" ' " Xn) este o injecie, dat fiind f(xo, xl" ' " . . ,xn) , exist g( u,r) cu

r( x o, " " XII ) = g (xo , (xl, , xn

FUNCT I I $1 RELATII N MU LIMEA CiT

Fie M, o mulime, = o relaie de echival en , R o relatie n-ar ntre elementele lui M.

Da :EI -== YI" ' " Xn ::-= Yn ; din faptul c XI , . . . ,X" satisfac relaia, nu se deduce c YI" ' " Yn o satisface. R(x1, , . . . , xn) nu are ca consecin pe R(Yl" " ,Yn) ' Vom spune c relaia R este compatibil cu - dac : din R(x1, . . . , xn) i Xl == YI" ' " X" Yn se deduce R(YI " " ,Yn)'

Orice rel aie R, es le compatibil cu relaia de' egal itate (v. p. 55).

Dac relaia R e compatibil cu = , atunci putem defini pe mulimea ct li = MI = o relaie l astfel :

R( ct.1, . . . ,ct.,,) e ralabil cu 0:\ c= M / == dac exist un sistem tje elemente Xi c= O:i astfel ca R(xt, . . . , x,,) s fie valab il. In acest caz oricare ar fi elem,entele Yi E ct.i relaia R(Yl , . . . , Yn) este "alabil.

Evident, putem extinde aceast idee p entru relaiile n-are R( .1.:1, , xn) cnd Xj parcurg anume mulimi Xi : Xi c= Xi, pe care se dau anume I'"elaii de echiva-len == Daca din Xl =: Yl , . . . , Xr :-= Yn, rezult c dac :

i 1 r: dac R(xl, . . . , xn ) e valabil, atunci i R(YI , . . . , y,,) e valabil, atunci putem defini o rel aie l(ct.I , . . . ,C7..n) pentru lY..i E Xd ,

i care e valabil dac R(x1 , . . . , xn ) e valabiJ pentru un sistem de elemente Xi E ct.j ; n acest caz, . oricare ar fi Yi E ct.i , R(YI ' ' ' ' 'Y'' ) este valabil.

IV

Mltimi de multimi

n figurile 1 - 32 apar cte dou, trei sau patru mulimi, tot astfel cum avem mulimi ca {a,b }, {a,b ,e, }, {a,b ,e,d } cu dou, trei sau patru elemente. Dup cum avem :

a E: {a,b,e, }, b E {a,b,e, } , c E: {a,b,e }, tot astfel cu mulimile IX, , Y putem forma mulimea {IX, , Y L care are trei elemeI)te i anume pe IX, pe i p e y ;

IX E: { O(, , 1' }, E: (IX, , y), l' E (0( , , 1') . Mulimea {IX, , y } este o mulime de mulimi.

Mulimea domeniilor circulare 1 r ;l', cu centrul n O

r,-

Fig. 5 1 @ i raza n, este o mulime de mulimi ; irul

r; c r; c r; . . .

Fig. 52

este un ir cresctor de mulimi ; mulimea {r;, r;, . . . } este o mulime infinit de mulimi. irul domeniilor

1 Domeniul circular cu centrul O i raza r este mulimea punctelor M cu OM < r.

85

circulare r, cu centrul n O I raza .! ( r; = rt) este n

un r descresctor

de mulimi, iar mulimea

{ro. r } 1 , 2 , este o alt multime infinit de multimi.

Dac considrm mulimea tutu'ror domeniilor circulare, avem un alt exemplu de mulime de mulimi.

In genere, o mulime de mulimi M este o mulime ale crei elemente IX : IX E: M snt ele nsele multimi. Mulimile de indivizi vor fi numite mulimi de dpul 1, iar mulimile de mulimi vor fi numite mulimi de tipul II

Vom introduce mulimi de tipul III, care vor fi mulimile de mulimi de tipul II, adic mulimile de mulimi de mulimi de tipul 1, adic mulimile de mulimi de mulimi de elemente i, in genere, p.rin recuren, mulimile de tipul N care snt mulimile de mulimi de tipul N- 1.

Fie M o mulime de tipul II. Dac M conine dou elemente 1X1, 0:2, deci M = {IX1, IX2, }, IX1 i IX2 fiind mulimi , IX1 U IX2 este mulimea tuturor elementelor x, astfel Ca una mcar din apartenenele

x E: IXl' X E: IX2 ( 1 )

s fie adevrat. Dac M = {0:1' IX2, IX3 }, atunci IX1 U IX2 U IX3 = IX1U (IX2 U IXa) = ( IX1 U IX2) U IXa este mulimea tuturor elementelor x, astfel ca mcar una din aparte'nenele

x E: IX1, X E: 1X2, X E: 1X3 (2 )

s fie adevrat. Dac M = {IX1, 1X2, ,IXn }, atunci IX1 U . , . U IXn = (1X1 U U IXn_1) U IXn este mulimea tuturor elementelor x, astfel ca una mcar din apartenenele

x E: IX1, X E: IX2 , , x E: IXn s fie adevrat.

86

(3 )

REUNIUNE I NFINIT

Vom introduce noiunea de reuniune infinit : "" U OI.i = 01.1 U U OI." U

1=1

a unei infiniti de mulimi, adic de reuniune a unei mulimi infinite

CD de mulimi astfel : x E U C1.. nseamn c mcar una din

i 1 apartenenele

x E al , . . . , x E a" , . . . ( ) s fie adevrat.

Altfel spus : Dup cum x E al U . . . U 01." nseamn c exist un i ast

fel ca pentru acel i s avem x E C1.j (bineneles, acest i este indicele uneia din mulimile 01.1' , 01.,,) deci exist o mulime C1.i E M, astfel ca X E ai , la fel n cazul infinit :

aC> x E U ai nseamn c exist un indice i, astfel ca pentru

i = 1 acel i s avem x E ai , deci c exist o mulime j E M astfel ca x E OI.i

Putem da acum o definiie general a ideii de reuniune a mulimilor unei mulimi de mulimi il!,

a = U Ol. "'EM

Vom defini pe a astfel : x E a nseamn c exist cel puin o mulime C1. E M a mulimii de mulimi M, astfel ca X E OI..

5.1 . Oricare ar fi OI. E M, avem C1.C U CX cci dac OI. E M "'EM

i x E OI., atnnci X E a. 5 .2 . Dac oricare ar fi C1. E M arem OI. C atnnci U OI. C A,

"'EM cci dac X E o, exist o a E M,astfel ca x E a ; dar de-oarece OI.E M, avem aCA, deci X E ; deci a C A.

87

Reciproc, fie a o mul,ime ce satisface condiiile teo-remelor 5 .1 si 5.2

5.3 * orice' a E M d aCa ; 5.3 * * dac orice a E M d aC },., atunci aC ).. ; 5.3 dac o mulime (j satisface condiiile 5.3* i 5.3* * ,

atunci (j = U a. "'EM

Intr-adevr, din 5 .3 * * , lund },. = o, deoarece din 5 .1 pentru orice Cl. E M avem cx c o, deducem a C o.

De asemenea, din 5.2 , lund },. = o, deoarece din 5.3 * pentru orice rx E M avem rxE!a, deducem aCa.

Deci aC a i o C a, deci a = (j. S considerm mul imile aij, i i j fiind numere na

turale, i reuniunile lor

precum I

adic

(ZI Oi = U aij

j = l

aC> CZI a = U U CXij '

; = 1 j d

a este mulimea tuturor x ce se bucur de proprietatea c exist un i cu x E o; , deci c exist un j astfel ca X E rxij .

Dar d ac considerm multimea de multimi M compus din toate mulimile aii i mulimea

'

U CXij , "'i iEM

pe care o vom numI

(ZI 00 (ZI este vizibil c cele dou mulimi U U rxii i U aii snt

/ ii egale, ele coninnd ca elemente toate elementele x

88

pentru care exist un i i un j cu .1; E O(ii , element.ele uneia mcar din mulimile O(ij :

Evident,

00 00 00 U Clij = U U IXij ' ij i 1 j = 1

co CD ac 00 U U lI.ij = U U 'lij '

i= 1 j 1 j= 1 ;= 1 Mai general, fie M o mulime de mulimi 0(. S gru

pm mulimile IX n grupuri A ,B, . . . . Fie 6 mulimea tuturor acestor grupuri . M este format din toate mulimile tuturor grupurilor 6 :

M = U A . AES

Dac xE U O(,

"'EM

aceasta nseamn c . exist cel puin o mulime O( E M cu x E 0( ; dar acea O( aparine unuia din grupurile A E 6. deci O( E A , A E 6, deci exist o A E 6 astfel ca

X E U O(.

Fie

deci exist o A E6 cu

deci :

deci, dac

X E u aA , AE6

x E U U lI., A E S "EA

M = U A , AE6

89

alunci

Dac

U O( = U U O(. aEM E IXEA

U A = U B, A E S B E st

M = U A = U B, E BE st

dac O( snt mulimile lui M, (5.6) d

deci,

dac

atunci

u U O( = U U , AES IXEA BEst EB

U A = U B, ES BE".t

U UCI: = U U . E S "E BE ".t {3EB

( 5 .6)

(5. 7)

(5 .8)

Relaia (5 .6) nseamn c mulimile O( ale lui M Ie-am grupat n dou moduri : n grupurile A , care formeaz mulimea 6 i n grupurile B, care formeaz mulimea ;ro Reunind mulimile 1/. nti n mulimile U 0(, reuniuni ale

acEA mul imi]or diferitelor grupuri A din 6 i reunind apoi mulimile O( n mulimile U O(, care snt reuniuni ale mul

aEB imilor diferitelor grupuri din ;r, i n fine reunind mulimile U CI: pentru toate grupurile A din 6, ceea ce ne

"E d reuniunea U U 1/., obinem aceeai mulime cu cea

AE3 "'EA

,obinut reunind n U U CI: reuniunile U O( pentru toate

grupurile B E;r. BE ".t IXE B IXEB

INTERSECIE INFINIT

Observaii an,aloge celor fcute privind reuniunea se pot face pentru intersecie.

Intersecia 0(1 n 0(2 este mulimea tuturor indivizilor x pentru care amndou apartenenele ( 1 ) snt adevrate, intersecia 0(1 n 0(2 n 0(3 este mulimea tuturor indivizilor" x pentru care cele trei apartenene (2) snt adevrate i n genere intersecia 0(1 n . . . 0(" este mulimea format din toi x pentru care toate cele n apartenene (3) sint ade-vrate. .

Vom defini intersecia infinit aC> n O(i = 0(1 n n 0(" i= 1

ca fiind mulimea acelor x pentru care toate apartenenele (4) snt adevrate.

Mai general definim mulimea

x = n O( aEM

ca fiind mulimea tuturor indivizilor x care aparin tuturor multimilor 1/. din multime a de multimi M.

5.9. Oriare ar fi 1/. E M, d"em n 1/. e r:.. uEM

ntr-adevr, dac x E n IX, atunci x E IX. pentru orice uEM

O( E M. 5 . 10. Dac oricare ar fi IX E M, avem [.t e 1/., atnnci

[.t e n 1/.. uEM

ntr-adevr, dac din x E f.L deducem x E IX pentru orice O( E M, atunci x E n O(.

aEM Reciproc, fie -r o mulime ce satisface condiiile teo-

remelor 5.9 si 5.10 adic : 5 .11 * oricare ar fi O( E M, avem -r e 0( ; 5 .11 * * dac orice O( E M d f.L e 0(, atunci [.t C 't ; 5 .11 dac o mnlime -r satisface condiiile 5.11 * i 5. 1 1 * *,

atunci 1" = n 0(. uEM

91

ntr-adevr, din 5 . 11 * * lund !.I. = 'x, deoarece din 5.9 pentru orice O( E M avem 1" C IX, deducem c x C 't'_

De asemenea, din 5. 10 lund !.I. = 't', deoarece din 5.11 * pentru orice O( E M avem 't' C IX, deducem 't' C x.

Deci x C 't', 't' C x, deci 't' = x. S considerm mulimile IXij, i, j fiind numere na

turale, i mulimile

precum i

pe care o scriem

dac numIm

mulimea

aC> Xi = n IXi;

{ l

CD aC> X n n IXi; ;

i= 1 j= 1

n O(i; D.ij E M

00 aC> este vizibil c cele dou mulimi n O(;i i n n 0(;; au

ij i= 1 j= 1 aceleasi elemente care snt elementele comune tuturor muliilor O(ij, deci

Este evident c 00 n

n IXij ij

CD n i = l j = l

92

O( . -I{ -

CD n

CD n

j = l i = 1

(5 . 12)

IX ' -II (5. 13)

Mai general s grupm, ca la p. 89, mulimile O( ale mul imii de mulimi M n grupuri A , B, . . . ; @) fiind mulimea tuturor acestor grupuri, deci :

D ac X = n

numind

( 5.14) d :

M = U A = U B, AE t: BEst

n n IX = n n oe. AE@5 (lEA BE st (lEB

(5.15)

(5.16)

Relaia (5. 16) nseamn c mulimile IX ale lui M Ie-am grupat n dou moduri : n grupurile A , care formeaz mulimea 6, i n grupurile B, care formeaz mulimea ;ro Intersectnd mulimile O( nti n mulimile n ix, in-

aEA tersecii ale mulimilor diferitelor grupuri A din 6 i apoi intersectnd mulimile XA = n O( pentru toate grupurile

aEA A din 6, rezultatul obinut nu depinde de felul cum mulimile IX din M au fost grupate n grupurile A .

ExercItii 1.

2 .

3 .

4.

5.

b 6.

b 7 .

b 8.

9.

94

M = U {x} ; xEM

M = UX ; XE2M

M = UX ; X c:M

(Uor.) X (U) = U (or. X ) ; ilEM I'>EN aEM

I'>EN

(nor.) X (n) = n (or. X ) ; ilEM I'>EN ilEM

I'>EN

A A f ( UOI:) = U f (or.) ; IXEM (lEM

A A f (nor.) c n f(or.) ; (lEM (lEM

A A f * ( Uor.) = U f *(or.) ; "

ilEM IXEM

f * (nOI:) = n f *(a:) . (lEM (lEM

'" f este funcia definit la p. 61 (extinderea lui f la o funcie de submulimile domeniului lui f).

10. Dac f este o injecie

'" -" f ( na) = n f (a) aEM aEM

LEG I LE LUI MORGAN pentru reuniunea I intersecia infinit :

n a = U aEM asM

U a = n aEM aEM

extind formulele 1 .40 i 1 .41 .

(5 .17)

(5. 18)

Demonstraia lui (5. 17 ) i (5.18) nu este grea : x E n oc aEM

nseamn c x n a, deci c x nu aparine tuturor mul-aEM

imilor a, deci c mcar uneia nu-i aparine, deci c exist mcar o a E M cu x e IX . Aceasta nseamn c exist mcar o a E M cu x E OC, deci c xE U . La fel pentru a

aEM demonstra pe (5. 18) observm c X E U a nseamn c

aEM X e U IX, deci c nu exist nici o a E M cu x E a, deci c

OIEM pentru orice IX E M avem x e oc, deci c pentru orice IX E M avem X E oc, deci c x E n .

aEM

Exerciii 1. Dac ,, == " e o relaie de echivalen a = U .

Ea/== 2. Dac 6 este un endomorfism al mulimii X :

6 : X -+ X, vom numi

... Ne (X) = n 6" (X).

n O Avem

2 . 1 . 6 (Ne (X) ) = Ne (X),

95

2.2. dac e e o surjecie a mulimii ACX, atunci ACNe(A). 2.3. Ne(A n B) = Ne(A) nNe (B) . 2.4. dac ACB, atunci Ne (AlCNo (B) .