Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 1

Gravitacija

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 2

• Njutnov zakon gravitacije (kada su tela malih dimenzija u odnosu na

međusobno rastojanje između njih):

• Gravitaciono ubrzanje:

• Rad pri pomeranju tela mase 𝑚1 u gravitacionom polju tela mase 𝑚2 iz

položaja 𝑟1 u položaj 𝑟2:

• Potencijalna energija:

Osnovni pojmovi

2

21

r

mmF

2r

mg

21

21

21 ,11

rrrr

mmA

1

21p

r

mmE

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 3

• Z1. Veštački Zemljin satelit kreće se po kružnoj putanji. Odrediti:

a) odnos kinetičke i potencijalne energije satelita,

b) odnos ukupne i potencijalne energije satelita.

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

r

M

r

Mm

r

m z2

2

z

2

2

1

2

2

z

2

z

2

p

k

M

r

r

Mm

m

E

E

r

2

11

p

k

p

kp

p

uk

E

E

E

EE

E

E

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 4

• Z2. Dve planete se okreću oko Sunca po orbitama za koje približno

možemo uzeti da su krugovi poluprečnika 𝑅1 = 150106 km (Zemlja) i

𝑅2 = 108106 km (Venera). Odrediti:

a) odnos njihovih brzina,

b) odnos njihovih perioda obilazaka oko Sunca.

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

85,01

2

v

z

2

s2

v

1

s2

z2

1

sz

1

2

zz

R

R

R

M

R

M

R

MM

R

M

63,12

22

z

v

2

1

v

z

v

2v

z

1

z

z

R

R

T

T

RT

RT

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 5

• Z3. Telo se nalazi na visini 𝐻 = 2𝑅𝑧 od površine Zemlje. Odrediti

vrednost ubrzanja slobodnog padanja na toj visini ukoliko je poznato

ubrzanje slobodnog padanja na površini Zemlje 𝑔0.

Rešenje:

Zadaci

2

z

z02

z

z0

R

Mg

R

Mmgm

99

0

2

z

z

2

z

z g

R

Mg

HR

Mmgm HH

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 6

• Z4. Zemljin veštački satelit se kreće na visini 𝐻 = 𝑅𝑧. Odrediti period

rotacije tog satelita u funkciji poluprečnika Zemlje i ubrzanja slobodnog

padanja na površini Zemlje 𝑔.

Rešenje:

Zadaci

2

z

z

2

z

z

R

Mg

R

Mmgm

g

R

RgR

HRT z

z

zz 8

22

422

22

z

z

z

z

z2

2

z

z

z

2 Rg

R

M

HR

M

HR

Mm

HR

m

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 7

• Z5. Ako se zna da je gustina supstancije od koje je načinjena Zemlja 𝜌,

a njen poluprečnik 𝑅, odrediti na kojoj visini će se kretati Zemljin satelit

čiji je period kretanja 𝑇. Gravitaciona konstanta je 𝛾. Putanju satelita

smatrati kružnom.

Rešenje:

Zadaci

1

33

2

TRH

T

HRHRT

222

HR

M

HR

Mm

HR

m

2

2

2

3

3

4RM

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 8

• Z6. Sa površine Zemlje, u vertikalnom pravcu, izbačeno je telo

početnom brzinom 0. Ako je poznat poluprečnik Zemlje 𝑅𝑧 i ubrzanje

slobodnog padanja 𝑔 na njenoj površini. Odrediti maksimalnu visinu do

koje će telo dospeti. Otpor vazduha zanemariti.

Rešenje:

Zadaci

2

0z

2

0z

2

Rg

RH

2

z

z

2

z

z

R

Mg

R

Mmgm

HR

Mm

R

MmmEEE

z

z

z

z

2

02p1p1k

2

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 9

• Z7. Kolika je prosečna gustina materije od koje je sačinjen Mesec ako

je njegova masa 𝑝 = 81 puta manja od mase Zemlje, a njegovo

gravitaciono ubrzanje na površini 𝑞 = 6 puta manje od Zemljinog.

Prosečna gustina Zemlje je 𝜌z = 5,5 g/cm3. Sva tela smatrati

homogenim kuglama.

Rešenje:

Zadaci

3z z z z z z z

z 2 2 2z z z

M M MM 2

M

2 2z z M M z

2 2M M Mz z

3z z z zM z

M M M M

4 4

33

4

3

13,37g/cm

M V R Rg

R R R

M Rg

R

g M R R R pq p

g M R qR R

g R p pq

g R q q q

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 10

• D1. Odrediti:

a) na kojoj visini u funkciji poluprečnika Zemlje 𝑅𝑧 je ubrzanje slobodnog

padanja jednako 1/16 vrednosti ubrzanja na površini Zemlje 𝑔0,

b) potencijalnu energiju tela mase 𝑚 na toj visini.

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

z3 RH

4

z0p

RgmE

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 11

• D2. Odrediti na kojoj visini u odnosu na Zemlju leti veštački satelit čiji je

period obilaska Zemlje 𝑇 = 3 h. Poluprečnik Zemlje iznosi

𝑅𝑧 = 6371 km, a ubrzanje slobodnog padanja na njenoj površini

𝑔0 = 10 m/s2.

Rešenje:

Zadaci

km4253H

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 12

• D3. Ako se zna da je srednja gustina supstancije od koje je obrazovana

Zemlja 𝜌 = 5500 kg/m3, a njen poluprečnik 𝑅 = 6400 km, izračunati:

a) visinu na kojoj će se kretati veštački Zemljin satelit čiji je period

kretanja 𝑇 = 4 h,

b) ubrzanje slobodnog padanja na toj visini.

𝛾 = 6,6710−11 Nm2/kg2

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

km6400H

21s

m46,2g

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 13

• D4. Prečnik Merkura je 𝐷 = 4840 km, a rastojanje do centra Sunca

iznosi 𝑅 = 5,79107 km. Srednja gustina Merkura je 𝜌 = 5430 kg/m3, a

period njegovog obilaska oko Sunca iznosi 𝑇 = 7,6106 s. Gravitaciona

konstanta ima vrednost 𝛾 = 6,6710−11 Nm2/kg2. Smatrati da se

Merkur kreće oko Sunca po kružnoj putanji. Odrediti:

a) masu Sunca,

b) privlačnu gravitacionu silu između Merkura i Sunca.

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

kg10989,1 30

s M

N1028,1 22

g F

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 14

• D5. Veštački satelit se kreće oko planete A sa periodom rotacije 𝑇1.

Odrediti:

a) period rotacije ovog satelita kada se kreće oko planete B koja ima

četiri puta manju gustinu i dva puta veći poluprečnik?

b) odnos potencijalnih energija satelita u ova dva slučaja?

Putanju satelita smatrati kružnom i na visini zanemarljivoj u odnosu na

poluprečnik planeta.

Rešenje:

Zadaci

2 1

1 2

2p2 1 1

2

p1 2 2

2

1

T

T

E R

E R