_____________________________________________________

Diplomska naloga

GRAVITACIJA

Anton Žumbar

Mentor: redni prof. dr. Samo Kralj

Maribor, 2009

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO ODDELEK ZA FIZIKO

2

ZAHVALA

Diplomska naloga je relativno velik projekt v celotni fazi študija. Morda

dobi glorifikacijo tudi zaradi tega, ker je to vrh gore, na katero smo se vzpenjali

več let, morda celo življenje.

Nihče ne hodi sam. Tisti, ki to poskušajo, pa sladkosti osvojitve vrha gore

nikoli ne izkusijo. Če pa jo že, pa te radosti nimajo s kom deliti.

Tudi jaz na tej poti na srečo nisem bil sam. Ne samo zato, ker sem jaz tako

želel. Še bolj zato, ker so drugi tako hoteli.

Hvala vsem, ki ste mi pomagali. Hvala moji družini za razumevanje in

vzpodbujanje. Hvala ženi in hčerkama za njihove mlade oči, ki so mi jih občasno

posodile pri branju miniaturnih pisav v leksikonih in podobnih ekskluzivno

strokovnih člankih.

Zahvaljujem se profesorju Samu Kralju, da sem se smel sprehoditi skozi

njegov svet znanja in izkušenj.

Hvala vsem in vsakemu posebej.

Anton Žumbar

3

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

IZJAVA

Podpisani Anton Žumbar, roj. 04. 08. 1960 na Ptuju, študent Fakultete za

naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, smer fizika - dvopredmetna,

izjavljam, da je diplomska naloga z naslovom

Gravitacija

pri mentorju rednem prof. dr. Samu Kralju, avtorsko delo. V diplomski nalogi so

uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso prepisani brez

navedbe avtorjev.

_______________

(podpis študenta/-ke)

Maribor, junij 2009

III

4

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

IZJAVA

Podpisani Anton Žumbar, roj. 04. 08. 1960 na Ptuju, študent Fakultete za

naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, smer fizika-dvopredmetna

DOVOLJUJEM

Oddelku za fiziko, da diplomsko nalogo z naslovom

Gravitacija

Objavi na spletnih straneh Oddelka za fiziko v odprti obliki.

_______________

podpis študenta/-ke)

Maribor, junij 2009

I V

5

KAZALO

1. UVOD ....................................................................................................... 9

2. ZGODOVINA GRAVITACIJE...........................................................12

3. TEORIJE GRAVITACIJE .................................................................21

3.1. Zakoni padanja......................................................................21

3.2. Splošni gravitacijski zakon....................................................22

3.3 Splošna teorija gravitacije....................................................25

3.3.1 Lorentzova transformacija..................................................27

3.3.2 Podaljšanje časa...................................................................28

3.3.3 Skrajšanje dolžin..................................................................31

3.4 Kaluz – Kleinova teorija gravitacije...................................40

3.5 Brans – Dickeova teorija gravitacije...................................42

3.6 Teorija superstrun..................................................................44

4. PREGLED GRAVITACIJSKIH POJAVOV................ ...................49

4.1 Gravitacija in vesolje..............................................................49

4.2 Gravitacija in galaksije...........................................................53

4.3 Gravitacija in Osončje ............................................................56

4.4 Gravitacija in Sonce................................................................58

4.5 Gravitacija in Luna .................................................................60

4.5.1 Gibanje Lune po tirnici okoli Zemlje.................................61

4.5.2 Plima in oseka na Zemlji.....................................................62

4.6 Kozmične hitrosti ....................................................................63

5. NAVPIČNICA.......................................................................................67

5.1 Odklon navpičnice zaradi vrtenja Zemlje............................67

5.2 Odklon navpičnice zaradi sploščenosti Zemlje....................72

6. SKLEP....................................................................................................77

DODATKI..................................................................................................78

6

1. Galileo Galiei in poševni stolp v Pizzi.....................................78

2. Newton in gravitacijska konstanta..........................................80

3. Merjenje gravitacijske konstante............................................80

4. Ali Newtonov gravitacijski zakon velja?................................82

5. Ali morda gravitacijska konstanta pojema s časom?............82

6. Ali je Osončje stabilno?............................................................83

7. Črna luknja ...............................................................................84

8. Od kod ime Mlečna cesta?........................................................87

9. Planet Malega princa................................................................88

10. V mehaniki si odkritja sledijo na 101 leto............................89

11. Zmanjšana težnost..................................................................89

12. Russel-Einsteinov manifest.....................................................90

13. Global Positioning System – GPS sistem..............................91

14. Newtonovo jabolko in jablana...............................................91

8. VIRI:.......................................................................................................93

7

POVZETEK:

V diplomski seminarski nalogi se ukvarjam z vprašanjem gravitacije. V ta

namen se najprej sprehodimo skozi zgodovino te teorije s poudarkom na

pomembnejših znanstvenikih iz bližnje in pretekle zgodovine, ki so se zelo

intenzivno in uspešno ukvarjali z raziskovanjem tega področja fizike in narave

nasploh.

V naslednjem poglavju predstavim grobi presek nekaterih pojavov, ki so

povezani z gravitacijo, oziroma so neposredna posledica delovanja gravitacijske

sile.

V osrednjem delu naloge prikažem novejši izračun odklona navpičnice

(t.j. črte, ki povezuje točko na površini Zemlje z njenim središčem), ki vključuje

tudi učinek zemeljske sploščenosti. Do sedaj znana enačba za odklon navpičnice

od radialne črte zanemarja učinek zemeljske sploščenosti in je nepravilna skoraj

za faktor 2.

V dodatku predstavljam nekaj zanimivih informacij in zgodbic povezanih

s to temo.

Ali je naloga uporabna za učitelje fizike ter učence in dijake? S pojmom

gravitacija se učenci bolj podrobno prvič ukvarjajo pri fiziki v devetem razredu

osnovne šole. To temo nadaljujejo pozneje v srednji šoli. V tej nalogi imajo

učitelji na enem mestu zbrano zgodovino, teorijo, uporabo in zanimivosti s tega

področja. Naloga je torej uporabna za učitelje fizike v osnovni in srednji šoli. Ker

učitelji svoje znanje posredujejo naprej, pa je naloga posredno uporabna tudi za

učence in dijake.

8

ABSTRACT

In my diploma seminar paper I am dealing with gravity. As to that, I

firstly present the history of this theory – with the emphasis on significant

scientists from near and distant past who have very intensively and successfully

studied this field of physics as well as nature in general.

The next chapter gives a brief overview of some phenomena that are

related to gravity or are a direct result of the gravitational force effect.

The central part of the assignment shows the new calculation of the

vertical declination (the vertical is the line which connects a point on Earth’s

surface to the centre of the planet), which also considers the effect of Earth’s

oblateness. The present known equation, which calculates the declination of the

vertical from the radial line, ignores the effect of Earth’s oblateness and is

incorrect by almost factor 2.

In the supplement, I present some interesting information and stories

linked with this topic. Can this assignment be helpful to physics teachers and

pupils? Yes. The latter gather their first wide experience with the term gravity in

the ninth grade of the primary school at physics and later resume their knowledge

in the secondary school. In this paper, teachers can find useful information

regarding the field gravity – including history, use, theory and interesting details

– in one place. By this means, this seminar paper can be of considerable

assistance to physics teachers in primary and secondary schools. And since

teachers pass their knowledge on, the paper is indirectly useful also for pupils.

9

1. UVOD

V nalogi se ukvarjam z naravnim pojavom, ki ga srečamo povsod in na

vsakem koraku. Pa ne samo na Zemlji, kot drobcenem delu vesolja, pač pa tudi v

vsem širnem vesolju. To je gravitacija. Gravitacija oblikuje strukturo vesolja in

prav zato buri duhove že iz pradavnine vse do danes. Kljub temu, da živimo v

dobi računalnikov in potujemo v vesolje, ostaja na področju gravitacije še veliko

odprtih vprašanj. Namen te naloge je, da bralca na enem mestu strnjeno obvesti o

mnogih odgovorih, ki jih je znanost skozi stoletja o tem problemu že dala. Hkrati

pa ga opozori na mnoga odprta vprašanja in dvome.

Pri svojem delu sem uporabljal veliko strokovne literature. Med

pomembnejše spadajo razne strokovne knjige s področja fizike, dr. Janeza

Strnada, priznanega slovenskega strokovnjaka s področja astronomije, dr.

Tomaža Zwittra, ki ta predmet tudi predava na FNM v Mariboru in tudi drugih

slovenskih avtorjev. Med tujimi avtorji omenjam znanega angleškega avtorja

knjig s tega področja, Simona Singha, nemškega svobodnega pisca Gerharda

Staguhna, Jean-Pierre Mauryja, profesorja fizike na VII. pariški univerzi, ki je

napisal več učbenikov za fiziko in izdal številna poljudnoznanstvena dela ter

znanega ameriškega fizika in soavtorja moderne teorije strun, Michaela

Greenea. Pomagal sem si tudi z osnovnošolskimi in s srednješolskimi učbeniki za

fiziko. Posegel sem po novejših učbenikih in tudi po takšnih, ki so jih uporabljali

v zadnjih petindvajsetih letih. Pri delu sem uporabljal tudi razne strokovne

revije, tako domače kot tuje. Med tujimi sem največ povzel po ameriški reviji

American Journal of Physics, med domačimi pa sem prelistaval reviji Presek in

Fizika v šoli ter bilten Astronomskega društva Kmica.

Problema gravitacije sem se lotil na več načinov. Znanstvena dognanja o

problemu gravitacije predstavim najprej diahrono, torej zgodovinsko. Pri

zgodovinskem pregledu predstavim nekaj znanstvenikov, ki so se ukvarjali s

problemom gravitacije in so drug za drugim prispevali droben kamenček v

mozaiku novih spoznanj.

Naslednje poglavje govori o gravitacijskih teorijah. V prvem delu tega

poglavja govorim o zakonih padanja, v drugem delu o splošnem gravitacijskem

10

zakonu, ki ga poznamo že od Newtona in nadaljujem z Einsteinovo posebno in

splošno teorijo gravitacije. Danes obstaja zelo veliko novejših gravitacijskih

teorij. Omenim samo tri, ki so se mi zdele zanimive zaradi različnih pristopov.

Poglavje, ki govori o gravitacijskih pojavih, začnemo daleč v vesolju in se

korak za korakom približujemo Zemlji.

Osrednje poglavje govori o navpičnici. Navpičnica je črta, ki povezuje

točko na površini Zemlje z njenim središčem. V tem poglavju dokazujem, da

težni pospešek dejansko ne kaže proti središču Zemlje. Zaradi vrtenja Zemlje

namreč pride do odklona navpičnice od radialne črte, ki povezuje točko na

površini Zemlje z njenim središčem. Vendar izkaže se, da za pravilen izračun

odklona navpičnice ni dovolj, če upoštevamo samo učinek vrtenja Zemlje. Da

dobimo pravilen odklonski kot navpičnice, moramo upoštevati tudi sploščenost

Zemlje.

Nalogo zaključim z nizom zanimivih podrobnosti, ki so povezana s

pojavom gravitacije. Izbrskal sem jih iz številnih strokovnih knjig, revij s

področja fizike in tudi iz svetovnega spleta. Nekatere so ozko strokovne, spet

druge so bolj poljudne.

Naj nas v svet gravitacije popeljejo besede znamenitega ameriškega fizika

Roberta Andrewsa Millikana (slika 1), ki je za delo o osnovnem naboju elektrike

in fotoelektričnem pojavu leta 1923 prejel Nobelovo nagrado za fiziko.

Slika 1: Robert Andrews Millikan (1868-1953)

(Vir: http://sl.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan)

11

Leta 1924 je Andrew Millikan na Nobelovem predavanju dejal: »Naravoslovje

hodi po dveh nogah, teoriji in poskusu … Zdaj postavi naprej eno, zdaj drugo

nogo. Nenehen napredek je mogoč samo z uporabo obeh – s teoretskim

razmišljanjem in potem s preskušanjem ali odkrivanjem novih zvez pri poskusih

in potem s tem, da pristavimo teorijsko nogo in jo porinemo naprej in tako dalje

izmenoma …«

12

2. ZGODOVINA GRAVITACIJE

Ljudi je že od pradavnine sem fasciniral in k raziskovanju privabljal temen

in neskončen prostor nad nami, ki ga poznamo pod pojmom vesolje (slika 2).

Tudi gravitacija, ki oblikuje vesolje, je bila že od nekdaj predmet zanimanja

ljudi. Navadne ljudi je od nekdaj zanimalo, zakaj vse pada proti Zemlji in zakaj

ptica vendarle lahko leti.

.jpg

Slika 2: Vesolje

Vir: http://www.futurehi.net/images/deepfield.jpg

Preden so ljudje razumeli pojem gravitacije, so pretekla dolga stoletja.

Razumevanje gravitacije je namreč neločljivo povezano s poznavanjem in

razumevanjem vesolja. Zato najprej na kratko poglejmo zgodovinski razvoj

spoznavanja in razumevanja vesolja.

Začetki te poti nas popeljejo do prvih pisanih virov. Stara ljudstva so

opazovala nebo predvsem za določanje koledarja. Najstarejše kronike so nam

zapustili Kitajci. Najstarejši zapis o opazovanju sončevega mrka najdemo v

kitajskem tekstu Šu čing. To je bil mrk 22. oktobra 2137 pr.n.št., torej 1400 let

pred opazovanji kateregakoli drugega naroda [3]. Kitajci so tesno povezovali

dogodke na Zemlji in na nebu, in če je šlo kaj narobe, so za to krivili vladarja.

Naslednji pomemben mejnik so Babilonci. Dogodke na nebu so

povezovali s tistimi na Zemlji. Bogove so enačili s telesi Osončja. Za

napovedovanje dogodkov na Zemlji so natančno opazovali nebo in to zapisovali

13

na glinaste tablice. Iz astrologov, kar so bili na začetku, so se počasi spreminjali

v astronome. Astronomija kot znanost ima zato korenine v Babilonu. Babilonci

so zapisali vse sončeve mrke po letu 747 pr.n.št. Odkrili so periodo Sarosa, ki je

odločilna za napovedovanje Sončevih mrkov. Medsebojni položaji Zemlje, Lune

in Sonca se ponovijo po 18 letih, 10 dneh in 8 urah, torej bo vsakemu mrku čez

18 let sledil naslednji. Za Sončevim mrkom 11. avgusta 1999 bo naslednji mrk

iste Sarusove družine tako nastopil 21. avgusta 2017. Osem dodatnih ur pa

pomeni, da ga ne bomo videli iz Evrope, ampak iz Združenih držav Amerike.

Znanje Babiloncev so pozneje prevzeli Grki, ti pa so ga posredovali

aleksandrijski šoli in Rimljanom. Pomembno je, da Babilonci sicer niso poznali

gravitacijskega zakona ali nebesne mehanike, a mrke so napovedovali empirično,

z analizo kronološko natančnih zapisov preteklih pojavov.

Naslednji pomemben korak so naredili stari Grki. Razvoj geometrije jim je

omogočal postaviti temelje sodobnega razumevanja Osončja. Eratosten iz Kirene

je že v 3. stol. pr.n.št. ugotovil Zemljino dejansko velikost. Aristarhu pripisujejo

določitev razmerja razdalj do Sonca in Lune. Sicer se je zmotil, ker je trdil, da je

Sonce le 27-krat, ne pa 380-krat dlje od Zemlje kot Luna, vendar to ne zmanjša

njegovega prispevka.

Raziskovanje gravitacije je bilo najtesneje povezano z nastankom

mehanike. O gravitaciji so razmišljala že vsa stara ljudstva, o katerih smo

govorili na začetku in najbrž o nobeni stvari v fiziki, z izjemo atomov, ni bilo

toliko spekulacij, kot o njej. Za to, kar res vemo o njej, se moramo zahvaliti

možem, ki so se omejili na vprašanje, kako kaj deluje. Najdlje je šel Galileo

Galilei (1564 – 1642), ki se je preprosto sprijaznil z dejstvom, da v bližini

zemeljskega površja telesa padajo navzdol s konstantnim pospeškom [8]. To mu

je zadostovalo, da je izpeljal zakone za prosti pad. Od leta 1589 do leta 1592,

torej tri leta, je predaval na Univerzi v Pizzi. Vendar je tedaj še priznaval

Aristotelov pogled na svet. Iz zgodovinskega stališča je zanimivo dejstvo, da

Galileo Galilei ni spuščal kamnov iz znamenitega poševnega stolpa v Pizzi,

kakor je trdil njegov učenec Vincenco Viviani dvanajst let po njegovi smrti. Na

koncu naloge bom, v dodatku o zanimivostih s področja gravitacije, matematično

14

dokazal zakaj to ni možno. Do enačb prostega padanja je Galilei prišel šele okoli

leta 1604 v Padovi.

Misel, da gravitacija ni omejena samo na bližino Zemlje, ampak je splošna

lastnost snovi in deluje tudi med vesoljskimi telesi, je prav tako dokaj stara.

Slutila sta jo že Nikolaj Kopernik (1473-1543) in Robert Hooke. Kopernik je leta

1543 v delu De revolutionibus Orbium Coelestium namesto geocentrične

Aristotelove teorije uvedel heliocentrični sistem [3].

V zvezi z zgodovino gravitacije moramo omeniti še dva moža [8]. Prvi je

Tycho Brahe (1546-1601), ki je zelo natančno in dosledno opazoval lego

planetov, drugi je Johannes Kepler (1571-1630), ki je iz tega izluščil svoje tri

zakone za gibanje planetov in že slutil, da je privlačna sila obratno sorazmerna s

kvadratom razdalje. Omenimo še znanega francoskega filozofa Renéja

Descartesa (slika 3), ki je skušal podati naravno razlago za gibanje nebesnih

teles.

Slika 3: René Descartes (1596 – 1650)

Vir: http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Descartes.html

Ker je tako kakor vsi njegovi sodobniki zavračal misel o delovanju na

daljavo, si je za zapolnitev praznine med nebesnimi telesi zamislil »vrtince« iz

nevidne snovi, ki lahko planete in satelite vlečejo s seboj, vse v isti smeri (slika

4).

15

Slika 4: Rene Descartes si je za zapolnitev praznine med nebesnimi telesi

zamislil »vrtince« iz nevidne snovi, ki lahko planete in satelite vlečejo s seboj,

vse v isti smeri.

Vir: J. P. Maury, Newton in nebesna mehanika, str. 26

Johannesu Keplerju je sledil Isaac Newton, ki je ta zakon dokazal, ko je iz

pospeška na Zemlji izračunal pospešek Lune in ko je potem iz svojih zakonov

gibanja izpeljal Keplerjeve zakone. Leta 1687 je v svoji knjigi Philosophiae

Naturalis Principia Mathematica (slika 5) (Matematična načela prirodne

filozofije – tedaj so imenovali fiziko »prirodna filozofija« [6]) postavil

gravitacijski zakon, ki velja še danes.

16

Slika 5: Naslovnica prve izdaje Knjige Isaaca Newtona Philosophiae Naturalis

Principia Mathematica iz leta 1687

(vir: http://sl.wikipedia.org)

Newton je bil rojen v tragičnih okoliščinah na božič leta 1642, tri mesece

po smrti svojega očeta [2]. Ko je bil Issac še otrok, se je mati poročila s

triinšestdesetletnim pastorjem Barnabasom Smithom, ki Issaca ni hotel sprejeti v

svoj dom. Zato je bil Issac prepuščen skrbi starih staršev. Ni presenetljivo, da je

Newton zrasel v zagrenjenega, osamljenega in včasih okrutnega človeka. Ko je

bil leta 1696 imenovan na mesto upravnika kraljeve kovnice denarja, je

neusmiljeno preganjal ponarejevalce.

Kot otrok je bil slaboten in so ga poslali v šole menda samo zato, ker se ni zdel

zmnožen kmečkega dela. Leta 1665 je dosegel v Cambridgu naslov magistra in

se namenil ostati na univerzi. Ker pa je izbruhnila kuga, so za več kot eno leto

univerzo zaprli. Ta čas je Newton preživel na domači kmetiji in je osamljen

veliko razmišljal [22]. Knjigo Principi1 je začel pisati po letu 1684, ko sta ga na

Cambridgeu obiskala matematik in arhitekt Christoper Wren in astronom

Edmund Halley, člana akademije znanosti, katere član je bil tudi Newton.

_____________________________________________________________________________________ 1 Principi – Skrajšano ime za Newtonovo knjigo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

iz leta 1687

17

Svetovala sta mu, naj svoja dognanja zapiše in objavi. Knjiga je izšla sredi

leta 1687. Za to ima velike zasluge prav Newtonov edini pravi prijatelj Edmund

Halley (Slika 6), ki je po pooblastilu kraljeve družbe dal knjigo natisniti na svoje

stroške.

Slika 6: Edmund Halley (1656 – 1742)

Vir: http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Halley.html

Za zgodovino je zanimivo dejstvo, da je tega leta bilo natisnjenih le 300

izvodov te knjige v latinskem originalu. V štirih letih so vsi izvodi pošli. Leta

1713 je izšla druga izdaja s popravki in z dopolnili. To izdajo so naslednjega leta

in leta 1723 ponatisnili v Amsterdamu. Tretjo izdajo je izdal Newton leta 1726.

Leta 1729, dve leti po Newtonovi smrti, je Andrew Motte prevedel knjigo iz

latinščine in izdal angleški prevod z naslovom The Mathematical Principles of

Natural Philosophy. Večina Newtonovih navedkov v knjigah in člankih izvira iz

Mottovega prevoda, ki je natančen, dober in gladko teče. Tedanje strokovne

izraze pa pogosto zamenjamo z današnjimi. Ker je branje Principov za

navadnega bralca zelo težavno, je znani astrofizik in Nobelov nagrajenec

Subrahmanyan Chandrasekhar del izpeljav povezanih z gravitacijskim zakonom

predelal za današnjo rabo in jih leta 1995 izdal kot Newtonove Principe za

navadnega bralca.

Zasnova Principov se nekoliko zgleduje pri Evklidu. Na začetku postavi

Newton propozicijo, formalno trditev in si jo v nadaljevanju poskuša potrditi;

18

včasih kot izrek, drugič kot problem. Principi so zbudili veliko pozornost in na

evropski celini izzvali hud odpor. Predvsem Descartes in Leibnitz in njuni

privrženci so s poudarkom zavrnili Newtonovo misel, da Sonce deluje na planete

po praznem prostoru. Trdili so, da je taka misel nefizikalna in celo okultna.

Menili so, da lahko delujeta drugo na drugo le telesi, ki se dotikata. Vztrajali so

pri Descartesovih etrskih vrtincih (slika 4).

V svojem annusu mirabilisu2 je Newton ključno prispeval k

diferencialnemu računu in optiki, najbolj slaven pa je zaradi svojih odkritij na

področju gravitacije. Newton je poleg gravitacijskega zakona napovedal ali

pojasnil še več drugih pojavov. Napovedal je, da je Zemlja na polih sploščena.

Pojasnil je precesijo njene osi zaradi gravitacijske sile Sonca in Lune na

odebelino na ekvatorju. Os, ki kaže zdaj proti Severnici, v slabih 26 tisoč letih

opiše plašč stožca. Opisal je tudi nutacijo, pojav, da zemeljska os kima s periodo

18,6 leta, ker je ravnina gibanja Lune nagnjena proti ravnini gibanja Zemlje.

Newton je pojasnil tudi plimo in oseko. Več o tem v poglavju 4.5.

Od Newtona naprej je pojem gravitacije predmet proučevanja številnih

posameznikov. Zlata doba razsvetljenstva, ki je obljubljala razrešitev skrivnosti

človeškega uma, je dala veliko znanstvenikov. Pa vendar se niti med

razsvetljenci, niti med znanstveniki v začetku 18. stoletja ni pojavil nihče, ki bi

se uspešneje kosal z Newtonovo teorijo gravitacije.

Omenimo lahko samo Josepha Louisa Lagrangea (1736-1813), ki je leta

1777 vpeljal potencial, katerega gradient da gravitacijsko silo in Pierre Simon de

Laplacea (1749-1824), ki je za to funkcijo koordinat leta 1782 postavil po njem

imenovano Laplaceovo enačbo:

_____________________________________________________________________________________ 2 Annus mirabilis – Je latinska fraza in pomeni »čudovito leto« ali »leto čudežev«. Junija leta

1665 je Univerza v Cambridgeu zaradi kuge, ki se je čedalje bolj širila, zaprla vrata in poslala

študente in profesorje domov. Med njimi je bil triindvajset letni mladenič, ki je prav tedaj

diplomiral, Isaac Newton. Naslednje leto 1666 je preživel v mirni rojstni vasi; to leto je bilo

tako bogato z odkritji, da so ga znanstveniki pozneje poimenovali »annus mirabilis«, čudežno

leto.

19

02

2

2

2

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂

zyx

φφφ (1)

Pomembnejši znanstveniki, ki so nadaljevali z reševanjem matematičnih

skrivnosti gravitacije, so se pojavili šele s koncem 19. stoletja. Prave rezultate pa

smo dobili šele v začetku 20. stoletja.

Prvi in najpomembnejši med njimi je vsekakor Albert Einstein, ki se je na

področju gravitacije prvi enakovredno kosal z Newtonom. Newtonov

gravitacijski zakon namreč ne velja čisto natančno. Prav Albert Einstein je prvi

ugotovil, da zgodba z gravitacijo še ni končana. Po svojem lastnem annusu

mirabilisu leta 1905, ko je objavil več člankov, se je osredotočil na razširitev

svoje posebne teorije relativnosti v splošno teorijo. V ta namen je korenito

spremenil interpretacijo gravitacije in temeljno razumevanje medsebojne

privlačnosti planetov, lun in “jabolk”.

Ameriška revija Time vsako leto razglasi osebo leta [38]. Ob prehodu

stoletja pa je uredništvo izbralo tudi osebo stoletja. To je postal prav Alberet

Einstein. Bralci Timea so ga postavili na peto mesto, saj je na njihovi lestvici

osebnost stoletja postal ameriški pevec Elvis Presley. Uredništvo mednarodne

revije Physics World iz Anglije, pa je s pomočjo več kot sto fizikov sestavilo

lestvico fizikov za “vse večne čase”, kjer je Albert Einstein zasedel prvo mesto,

Isaac Newton drugo in James Clark Maxwell tretje. Vsi trije so tako ali drugače

povezani z gravitacijo. Einstein je leta 1921 dobil Nobelovo nagrado, vendar ne

za svojo relativistično ali gravitacisjko teorijo, pač pa za odkritje fotoefekta.

Einsteina radi povezujemo tudi z jedrskim orožjem. Einstein seveda ni izumil,

niti izdelal atomske bombe. Pri tej zadevi je imel samo toliko, kolikor ga je leta

1939 skupina beguncev iz Evrope, med katerimi sta bila Leo Szilard in Enrico

Fermi, nagovorila, da je predsednika Roosevelta opozoril na možnost, da bi

razcep uranovega jedra uporabili v vojne namene. Pozneje se je zavzemal proti

vojni, leta 1950 je na televiziji nastopil kot nasprotnik izdelave vodikove bombe.

20

Einstein je spustil duha iz steklenice, saj sta splošna teorija relativnosti3 in

še posebej posebna teorija relativnosti4 ali posebna teorija gravitacije, kot jo tudi

imenujemo, povzročila do danes še nedokončan val raziskovanja teorije

gravitacije. Že Einsteinovi sodobniki so nadaljevali z raziskovanjem gravitacije.

V dvajsetem stoletju se je raziskovanje tega področja razmahnilo v neverjetne

širine. Leta 1921 je Theodor Kaluza razširil Einsteinovo splošno teorijo

relativnosti na petrazsežni prostor-čas. Skupaj z Oskarjem Kleinom je postavil

gravitacijsko teorijo, ki je danes znana pod imenom Kaluz-Kleinova gravitacijska

teorija 5.

Carl Henry Brans in Robert Henry Dieckens sta leta 1961 postavila

gravitacijsko teorijo, v kateri se gravitacijska konstanta spreminja s časom.

Znana je pod imenom Brans-Dickeova gravitacijska teorija 6.

Znanstvenikov, ki so se posredno ali neposredno ukvarjali z

raziskovanjem tega področja je veliko, zato ne moremo našteti vseh. Nekatere

med njimi pa bomo kljub temu predstavili v nadaljevanju te naloge v povezavi z

vprašanji, ki jih bomo obravnavali.

_________________________________________________________________ 3 Splošna teorija relativnosti – Splošna teorija relativnosti ali imenovana tudi Splošna teorija

gravitacije je fizikalna teorija gravitacije, ki razlaga gravitacijsko silo kot posledico

ukrivljenosti prostora-časa.

4 Posebna teorija relativnosti – Posebna teorija relativnosti opisuje gibanje teles izven

gravitacijskega polja.

5 Kaluz-Kleinova gravitacijska teorija – Je teorija, ki poskuša združiti osnovni sili gravitacije

in elektromagnetne sile in obravnava splošni primer petrazsežnega ukrivljenega prostora-časa.

6 Brans-Dickeova gravitacijska teorija – gravitacijska teorija, v kateri se gravitacijska

konstanta spreminja s časom.

21

3. TEORIJE GRAVITACIJE

V klasični in moderni fiziki obstaja precej teorij in poskusov oblikovanja

teorij gravitacije. V nadaljevanju bomo omenili samo nekatere in jih tudi na

kratko opisali.

1. Klasične teorije gravitacije

• Splošni gravitacijski zakon

• Splošna teorija gravitacije

2. Večrazsežnostne splošne teorije gravitacije

• Kaluz - Kleinova teorija

3. Skalarno-tenzorske teorije gravitacije

• Brans – Dickeova teorija

4. Teorije poenotenega polja

• Teorija strun

Preden bomo začeli s predstavitvijo nekaterih gravitacijskih teorij, se za

trenutek ustavimo še pri zakonih padanja.

3.1. Zakoni padanja

Dejali smo že, da je bil prvi, ki je postavil zakone padanja, italijanski

znanstvenik Galileo Galilei (slika 7).

Slika 7: Galileo Galilei (1564 – 1642) upodobljen na italijanskem bankovcu

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

Galileo Galilei, ki mu upravičeno pravimo oče znanosti, se je rodil 15.

februarja leta 1564 v Pisi. Galilejev uspeh ni temeljil le na njegovem nespornem

22

umu, pač pa tudi na neusahljivi radovednosti o vsetu. Nekoč je sam vzkliknil [2]:

”Kdaj se bom nehal spraševati o vsem okoli mene?”

Do tedaj je veljalo prepričanje, da težja telesa padajo hitreje. Galilei je s

svojimi poskusi dokazal, da omenjena trditev ne velja. V svojih poskusih je

hkrati spuščal enako veliki železno in leseno kroglo. Če je svoji krogli spustil

sočasno, sta padli na tla istočasno. Ker sta krogli bili sorazmerno majhni, je bil

vpliv upora zraka zanemarljiv.

Legenda pravi, da je Galilei svoji krogli spuščal tudi iz 55 m visokega

poševnega stolpa v Pizzi ( slika 8). Vendar tega skoraj ne moremo verjeti. Zakaj

smo glede tega skeptični, bomo lahko prebrali v dodatku med zanimivostmi na

koncu naloge.

Slika 8: Poševni stolp v Pizzi

(Vir: http://www.mladinska.com)

3.2. Splošni gravitacijski zakon

Odkritje, da telesa z različno maso padajo z enakim pospeškom,

pripisujemo torej Galileiu. Pospešek, s katerim telesa padajo, imenujemo težni

pospešek. Nekaj desetletij pozneje je Kepler odkril, da se planeti gibljejo po

elipsah, tako, da je Sonce v enem izmed gorišč elipse. Več kot sto let pozneje pa

je Newton (slika 9) vse to povezal in postavil zakon gravitacije.

23

Slika 9: sir Isaac Newton ( Knellerjev portret iz leta 1689)

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

Pogosta je trditev, da je Newton odkril gravitacijski zakon že v njegovem

»annusu mirabilisu« leta 1666. Po Newtonovi pripovedi naj bi ga na gravitacijo

napeljal naslednji dogodek. Ko je med prisilnimi počitnicami sedel in razmišljal

na domačem vrtu, je z jablane padlo jabolko. Tedaj naj bi se bil vprašal [6]:

«Zakaj pade jabolko vedno navpično na tla? Ali je gravitacija omejena samo na

določeno razdaljo ali sega zelo daleč, do Lune in še dlje?«

Gravitacijski zakon je Newton obdelal šele v svoji tretji knjigi leta 1726,

torej le eno leto pred svojo smrtjo. Na začetku te knjige je zapisal [6]: «Vsa

telesa težijo k vsakemu planetu in teže teles v enakih razdaljah od središča

planeta so sorazmerne s količinami snovi, ki jih vsebujejo. Če je snov dveh

krogel, ki težita druga k drugi, na krajih na vseh straneh naokoli v enakih

razdaljah od središč podobna, je teža katerekoli od krogel proti drugi obratno

sorazmerna s kvadratom razdalj med njunima središčema.«

Bistvo Newtonovega zakona gravitacije je, da vsako telo v vesolju privlači

drugo telo [2]. Newton je definiral silo privlačnosti med dvema telesoma kot :

221

R

mmGFg = , (2)

24

kjer je gF gravitacijska sila med dvema telesoma, 1m masa prvega telesa,

2m masa drugega telesa, R razdalja med telesoma in G gravitacijska konstanta.

V gravitacijskem zakonu je Newton torej postavil silo sorazmerno z maso enega

in z maso drugega telesa in obratno sorazmerno s kvadratom razdalje.

Gravitacijsko konstanto 2

211-10 6,7G

kg

Nm⋅= je s torzijsko tehtnico prvi izmeril

Henry Cavendish šele leta 1798 [29]. Gravitacijska konstanta odraža velikost

gravitacije v primerjavi z drugimi silami. Več o meritvi gravitacijske konstante

pišem v dodatku. Newton še ni znal izmeriti gravitacijske konstante.

Formula (2) zajema vse, kar so poskušali pojasniti Kopernik, Kepler in

Galilei [2]. Jabolko na primer ne pade na tla, ker bi ga privlačilo središče

vesolja, pač pa preprosto zato, ker imata tako Zemlja kot jabolko masi in zato

gravitacija povzroči, da se naravno privlačita med seboj. Jabolko pospeši proti

Zemlji in istočasno Zemlja pospeši navzgor proti jabolku, čeprav je učinek pri

zemlji nezaznaven, ker je Zemlja veliko masivnejša od jabolka. Newtonovo

enačbo lahko uporabimo tudi, če želimo pojasniti, kako Zemlja kroži okoli

Sonca, kajti obe telesi imata maso in zato med njima vlada medsebojna

privlačnost. Razlog, da Zemlja kroži okoli Sonca in ne obratno, je v tem, da je

Sonce veliko bolj masivno od Zemlje.

Z upoštevanjem znanih podatkov za maso Zemlje kg106 24⋅=zm in

polmera Zemlje m104,6 6⋅=R , lahko iz gravitacijskega zakona izračunamo težni

pospešek na površini Zemlje, v primeru, če bi bila Zemlja idealna krogla [1] :

22 sm

81,9 ==R

mGg z . (3)

Težni pospešek z oddaljenostjo od zemeljske površine pada. Pada tudi s

približevanjem k središču Zemlje. Težni pospešek je torej največji na površini

Zemlje. Zemlja ima eliptično obliko. Ekvatorialni polmer Zemlje je Re=6378137

m, polarni polmer pa Rp= 6356752 m. Zaradi tega je težni pospešek na ekvatorju

manjši kot na polu. Ali smer težnega pospeška kaže proti središču Zemlje? Več o

tem v poglavju 5.

25

Splošni gravitacijski zakon imenujemo tudi Newtonov gravitacijski zakon

ali zakon težnosti. Newton seveda ni odkril gravitacije. Je pa prvi zapisal enačbo

za gravitacijsko silo, kar pomeni, da je gravitacijo zapisal matematično. Vse to je

obdelal v knjigi Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. O tej knjigi pa

smo že veliko povedali v poglavju o zgodovini gravitacije.

Newtonovi zakoni gravitacije so vladali kozmosu še več stoletij po

njegovi smrti. Znanstveniki so predpostavljali, da je problem gravitacije rešen, a

Newton sam je sumil, da je njegovo razumevanje vesolja nepopolno. Ob neki

priložnosti je o sebi dejal [2]: ”Ne vem kako me vidi svet, a sam sebi se zdim le

fantič, ki se igra na obali in od časa do časa najde bolj gladek kamenček ali lepšo

školjko od navadnih, medtem ko pred njim neraziskan leži veliki ocean resnice.”

3.3 Splošna teorija gravitacije

Splošna teorija gravitacije ali imenovana tudi Splošna teorija relativnosti

(STR) je fizikalna teorija gravitacije, ki jo je leta 1916 objavil Albert Einstein

(slika 10). Albert Einstein se je rodil leta 1879 v Ulmu v nemški zvezni

republiki Württemberg. Umrl je leta 1955 v Princetonu, v ameriški zvezni državi

New Jersey. Prav Albert Einstein je prvi ugotovil, da zgodba z gravitacijo še ni

končana [2].

Slika 10: Albert Einstein

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

26

Da bi lažje razumeli splošno teorijo relativnosti, se z nekaj besedami

dotaknimo še posebne teorije relativnosti. Posebna teorija relativnosti opisuje

gibanje teles izven gravitacijskega polja in sloni na dveh osnovnih načelih. Prvo

je načelo relativnosti, drugo pa načelo o hitrosti svetlobe. Načelo relativnosti

pravi, da imajo zakoni v vseh inercialnih opazovanih sistemih enako obliko [10].

Vsi inercialni opazovalni sistemi so med seboj enakovredni. Načelo o hitrosti

svetlobe pa pravi, da je hitrost svetlobe oziroma hitrost elektromagnetnega

valovanja7 v praznem prostoru v vseh inercialnih sistemih konstantna in enaka

s

kmc 3000000 = [10]. Iz posebne teorije relativnosti, oziroma neposredno iz

načela hitrosti, je Einstein prišel do spoznanja, da fizikalne zakonitosti ne morejo

biti odvisne od lege in gibanja opazovalca, spreminjajo se le enačbe, ki te

zakonitosti opisujejo.

Posebna teorija relativnosti privzema še načelo o homogenosti časa in o

homogenosti in izotropnosti prostora [10], ki ga Einstein ni navedel posebej kot

osnovno načelo. Čas je homogen, zdaj ima enake značilnosti, kot jih je imel v

preteklosti in kot jih bo imel v prihodnosti. Prostor je homogen. V izbrani točki

ima enake lastnosti, kot jih ima v drugih točkah. Prostor je izotropen. V izbrani

smeri ima enake lastnosti, kot jih ima v drugih smereh. Pojavi potekajo enako

zdaj, kot so v enakih okoliščinah potekali v preteklosti ali bodo v enakih

okoliščinah potekali v prihodnosti.

S posebno teorijo relativnosti ter z njo povezanim podaljšanjem časa in

skrajšanjem dolžin, se dijaki srečajo že v v srednjih šolah, predvsem v

gimnazijah in tehniških usmeritvah. Preden bomo pogledali na kakšen način

dijaki prvič spoznavajo osnovna postulata Einsteinove posebne teorije

relativnosti iz leta 1905, to sta podaljšanje časa in skrajšanje dolžin, pa moramo

za našo uporabo omeniti še Lorentzovo transformacijo.

_____________________________________________________________________________ 7 Elektromagnetno valovanje – Elektromagnetno valovanje (EM) je valovanje električnega in

magnetnega polja.

27

3.3.1 Lorentzova transformacija

Lorentzova transformacija opisuje kako so pri meritvah opazovalcev v

različnih inercialnih opazovalnih sistemih8 povezane prostorske in časovne

koordinate. Transformacije je leta 1905 Poincare poimenoval po nizozemskem

fiziku Hendriku Antoonu Lorentzu (slika 11) in so temelj Einsteinove posebne in

pozneje splošne teorije relativnosti.

Slika 11: Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

Lorentzove transformacije za prehod iz inercialnega opazovalnega sistema S v

inercialni opazovalni sistem 'S so [10] :

kik xx λ='1 ( )3,2,1,0, =ki (4)

kjer je:

−−

=

1000

0100

00

00

0

0

γγβγβγ

λik (5)

_____________________________________________________________________________

8 Inercialni opazovalni sistem – Inercialni ali nepospešeni op. s. je v fiziki takšen op. s., kjer

na opazovalca ne delujejo nobene sistemske sile. Za inercialni op. s. lahko vzamemo vsak

takšen sistem, ki se giblje nepospešeno. To pomeni, da ne pospešuje in ne zavira in se ne vrti.

28

Za opazovalni sistem 'S velja:

( )

zz

yy

tvxx

xc

vtt

==

−=

−=

'

'

'

'

0

20

γ

γ

(6)

kjer je 0v konstantna hitrost, s katero se izhodišče 'O opazovalnega sistema 'S

giblje po osi x v opazovalnem sistemu S.

Pri tem se koordinatni osi x in 'x obeh sistemov pokrivata, osi y in 'y ter z in 'z

sta vzporedni, izhodišči obeh sistemov pa se pokrijeta v trenutku 0'== tt . Pri

tem je Lorentzov korekcijski faktor podan z enačbo:

2

2

1

1

c

v−=γ (7)

3.3.2 Podaljšanje časa

Mislimo si vlak, ki se giblje s konstantno hitrostjo v na ravni podlagi [7].

Govorimo o namišljenem poskusu ali miselnem poskusu, saj si predstavljamo, da

se vlak giblje s hitrostjo, ki ni dosti manjša od hitrosti svetlobe, tega pa v praksi

niti približno ne moremo uresničiti. Predstavljamo si dva opazovalca. Prvi

opazuje pojave na vlaku, drugi pa miruje na postaji. Opazovalec na vlaku opazi,

da svetilo v trenutku 01 =t navpično navzgor izseva svetlobni blisk. Blisk

potuje od zrcala v oddaljenosti l , se na njem odbije in vrne do sprejemnika ob

svetilu (slika 12).

Od izsevanja bliska do njegove vrnitve poteče časovni razmik c

ltt

21 =− , ki ga

izmeri ura, povezana s svetilom in sprejemnikom. Ta opazovalec in njegova

svetlobna ura z vsemi napravami, svetilom, zrcalom in sprejemnikom z uro,

miruje glede na vlak.

29

t1 t

Slika 12: Potovanje svetlobnega bliska v koordinatnem sistemu opazovalca na

vlaku, za katerega svetlobna ura miruje.

Drugi opazovalec, ki s svojima urama miruje na postaji, trenutek, ko

svetilo izseva blisk, izmeri s svojo uro. Ta ura kaže čas 0'1 =t , ko se mimo nje

giblje ura na vlaku, ki kaže čas 01 =t . Za opazovalca na postaji blisk od svetila

do zrcala in nazaj potuje po krakih enakokrakega trikotnika (slika 13).

Vrnitev bliska do sprejemnika na vlaku opazovalec na postaji izmeri s

svojo drugo uro. Ta ura kaže čas 't , ko se mimo nje giblje ura na vlaku, ki kaže

čas t . Opazovalec na postaji časovni razmik od izsevanja bliska do vrnitve

izračuna s Pitagorovim izrekom:

.'2

1'

2

12

22

∆=+

∆ tcltv (8 )

V enačbo (8) vstavimo tcl ∆=21

in jo predelamo v:

'tt ∆=∆ γ ( 9 )

( )12

1ttcl −=

30

Slika 13: Potovanje svetlobnega bliska v koordinatnem sistemu opazovalca na

postaji, za katerega se svetlobna ura giblje.

Opazovalec na vlaku in opazovalec na postaji hitrost svetlobe izmerita po času,

ki ga potrebuje svetloba, da prepotuje določeno razdaljo med telesi. Opazovalec

na postaji privzame, da blisk zanj po praznem prostoru potuje z enako hitrostjo c

kot za opazovalca na vlaku. To je mogoče le, če za opazovalca na postaji

potovanje bliska traja daljši časovni razmik kot za opazovalca na vlaku. Zanj

namreč svetloba opravi daljšo pot.

Naredimo računski zgled. Vzemimo, da vlak vozi s hitrostjo s

mcv 8104,2

5

4 ⋅== .

Z uporabo enačbe (11) sledi, da je 67,1=γ . Za ml 5,1= dolgo pot do zrcala blisk

porabi čas s8105,0 −⋅ , tako da se blisk do sprejemnika vrne po času .10 8st −=∆ Za

opazovalca na postaji traja potovanje bliska:

.1067,1' 8stt −⋅=∆⋅=∆ γ (13)

V tem primeru lastnemu časovnemu razmiku st 810−=∆ ustreza

koordinatni časovni razmik .1067,1' 8st −⋅=∆ Koordinatni časovni razmik je

( )''2

11ttvl −=

( )''2

11ttcl −=

'1t 't

31

znatno večji od lastnega časovnega razmika. Poskusa v opisani obliki ne moremo

narediti, saj hitrost teles na Zemlji ne preseže velikostne stopnje 10 km/s.

Podaljšanje časa je mogoče neposredno podpreti z merjenjem z delci, ki

radioaktivno razpadajo.

Dogodka, ki sta za kakšnega opazovalca sočasna, za drugega opazovalca v

splošnem nista sočasna. Za vse opazovalce sta sočasna edino dogodka, ki se

dogodita sočasno v isti točki. To je ena od bistvenih novosti posebne teorije

relativnosti, ki jo je objavil Albert Einstein leta 1905. Ena od bistvenih novosti te

teorije je sklep, da je tudi čas relativen, ne samo lega in hitrost.

3.3.3 Skrajšanje dolžin

Uri, ki mirujeta na železniški postaji, sta za opazovalca na postaji v

razmiku '.tv∆ [7] Med uri si lahko ta opazovalec misli postavljeno palico (slika

14), katere dolžina se ne spreminja in je enaka:

'.' tvx ∆=∆ (14)

Za opazovalca na vlaku sta uri v razdalji:

tvx ∆=∆ . (15)

Dolžina mirujoče palice za opazovalca na postaji 'x∆ je lastna dolžina.

Slika 14: Opazovalec na postaji si med svojima urama lahko misli postavljeno

palico.

Dolžina x∆ , ki jo za palico izmeri opazovalec na vlaku – ta se glede na palico

giblje – pa koordinatna dolžina. Iz enačbe za podaljšanje časa (12) dobimo

enačbo za koordinatno dolžino:

'.1 xx ∆⋅=∆ −γ (16)

'1t

( )'''' 11 ttvxx −⋅=−

32

Koordinatna dolžina je vselej krajša od lastne dolžine. To je skrčenje dolžin

(slika 15).

Slika 15: Za opazovalca na vlaku je dolžina palice skrčena.

Pri hitrosti vlaka, ki je majhna v primerjavi s hitrostjo svetlobe, se koordinatna

dolžina ne razlikuje od lastne.

V navedenem zgledu s hitrostjo vlaka s

mcv 8104,2

54 ⋅== je lastna dolžina palice,

ki si jo mislimo postavljeno med urama na postaji, enaka

mss

mtvx 41067,1104,2'' 88 =⋅⋅⋅=∆=∆ −

. (17)

Za ustrezno koordinatno dolžina x∆ pa z uporabo enačbe (16) dobimo:

.4,245

34

3

5'

11 mmmxx =⋅=⋅

=∆⋅=∆−

−γ (18)

Postavitev posebne teorije relativnosti je bilo veliko odkritje, vendar

Einstein se tu ni ustavil. Po svojem lastnem annusu mirabilisu leta 1905, ko je

objavil več člankov, se je osredotočil na razširitev svoje posebne teorije

relativnosti v splošno teorijo.V ta namen je korenito spremenil interpretacijo

gravitacije.

V srcu Einsteinovega novega pristopa je bilo odkritje, da sta tako razdalja

kot čas “prožna”, kot je narekovala njegova posebna teorija relativnosti. In ker

sta prostor in čas neločljivo povezana, je Einstein uvedel eno samo prožno

entiteto, tako imenovan prostor-čas. Nazadnje je ugotovil, da je prav ta prožen

prostor-čas temeljni vzrok gravitacije. To čudno prožnost je brez dvoma težko

razumeti, vendar poglejmo razmeroma preprosto ponazoritev Einsteinove

filozofije gravitacije, ki bi jo lahko razumeli tudi srednješolci.

( )11 ttvxx −⋅=−

33

Prostor-čas sestavljajo štiri dimenzije, tri prostorske in ena časovna [7].

Ker je to za večino smrtnikov težko predstavljivo, si raje predstavljajmo samo

dve dimenziji prostora. Ta prostor, ki dejansko predstavlja prostor-čas, je

nekoliko podoben kosu raztegljive tkanine. Slika 16 prikazuje, da je v praznem

prostoru ta “tkanina” ravna.

Slika 16: Diagram prikazuje ravno in gladko mrežo, ki predstavlja prazen

prostor.

(Vir: S. Singh: Veliki pok, Učila Inernational, Ljubljana 2007, str. 113)

Ta dvodimenzionalni prostor se močno spremeni, če vanj postavimo telo,

recimo težko kegljaško kroglo. Slika 17 ponazarja prostor, ki ga ukrivi masivna

krogla.

Slika 17: Diagram prikazuje prostor, ki ga je ukrivilo telo z maso. Globina

udrtine je odvisna od vrednosti mase.

(Vir: S. Singh: Veliki pok, Učila Inernational, Ljubljana 2007, str. 113)

34

Če krogla predstavlja Sonce, potem lahko teniško žogico, ki predstavlja

Zemljo, pošljemo v orbito okoli nje, kot prikazuje slika 18. Teniška žogica

ustvari svojo lastno majceno jamico v ponjavi. Če bi hoteli modelirati še Luno, bi

lahko zakotalili frnikolo v jamico teniške žogice in jo pripravili do tega, da kroži

okoli teniške žogice.

Slika 18: Diagram prikazuje planet v orbiti okoli udrtine, ki jo povzroči Sonce.

(Vir: S. Singh: Veliki pok, Učila Inernational, Ljubljana 2007, str. 113)

Če je Einstein hotel o pravilnosti svoje teorije prepričati preostali svet, je

potreboval enačbo, ki bi potrjevala njegova razmišljanja. Da je svojo intuicijo

lahko podprl s podrobnim in skladnim matematičnim argumentom, je potreboval

osem mučnih let teoretičnega raziskovanja. Intelektualno naprezanje je Einsteina

pripeljalo na rob živčnega zloma. V nekem pismu svojemu prijatelju je Einstein

med drugim zapisal: » V zvezi z gravitacijo sem spet zakrivil nekaj, kar me

izpostavlja nevarnosti, da me bodo zaprli v norišnico.« Vendar je vztrajal, trpel

muke in leta 1915 nazadnje dokončal svojo splošno teorijo relativnosti. Tako kot

Newton je Einstein nazadnje razvil matematično formulo, ki je pojasnjevala in

izračunavala silo gravitacije v katerikoli situaciji. Einstein je verjel, da ponuja

fiziki izboljšano teorijo gravitacije, ki je pravilnejša in bližje resničnosti. Sumil

je, da Newtonova gravitacijska teorija v nekaterih okoliščinah odpove, medtem

ko njegova deluje v vseh situacijah. Po njegovem mnenju bi Newtonova teorija

dala napačne rezultate pri napovedovanju pojavov v situacijah, ko je

gravitacijska sila skrajno velika. Ker je na Zemlji gravitacija premajhna, se je

35

ozrl v vesolje. Osemnajstega novembra leta 1915 je našel testni primer, ki ga je

potreboval: element Merkurjevega gibanja, ki je begal astronome že desetletja

(slika 19).

Slika 19: Sukanje Merkurjeve orbite

(Vir: S. Singh: Veliki pok, Učila Inernational, Ljubljana 2007, str. 118)

Leta 1859 je francoski astronom Urbain Le Verrier analiziral anomalijo v

Merkurjevi orbiti. Planet ima eliptično orbito, vendar ta elipsa ni nepremična, pač

pa se tudi sama suče okoli Sonca, kot prikazuje slika 19. Sukanje je neznatno in

meri le 574 ločnih sekund na stoletje. Astronomi so predpostavljali, da je vzrok

Merkurjevemu nenavadnemu vedenju gravitacijski privlak drugih planetov v

Osončju, a je Le Verrier s pomočjo Newtonove formule gravitacije ugotovil, da

skupen učinek vseh planetov zakrivi le 531 od 574 ločnih sekund. Nepojasnjenih

je tako ostalo še 43 ločnih sekund. Nekateri so bili mnenja, da obstaja še en,

neviden vpliv na Merkurjevo orbito, ki je povzročal teh 43 ločnih sekund, na

primer notranji asteroidni pas ali neznana Merkurjeva luna. Nekateri so celo

domnevali, da znotraj Merkurjeve orbite kroži še neodkrit planet, ki so ga

poimenovali Vulcan. Astronomi so torej predvidevali, da je Newtonova

gravitacijska formula pravilna in da je problem v pomanjkanju podatkov o

dodatnih dejavnikih. Pričakovali so, da bodo novi izračuni dali pravi odgovor,

torej 574 ločnih sekund, ko bi enkrat našli asteroidni pas, luno ali planet. Einstein

36

pa je bil prepričan, da asteroidni pas, luna ali planet ne obstajajo, pač pa se

problem skriva v Newtonovi gravitacijski formuli. S svojo novo formulo je

izvedel potrebne izračune in dobil rezultat 574 ločnih sekund, kar je v

natančnem soglasju z opazovanji.

Žal pa Einstein fizikov tedanjega časa s svojim izračunom ni prepričal. Če

je Einstein hotel dokazati, da ima prav, je moral s svojo teorijo napovedati dotlej

še neopazovan pojav. Seveda je moral biti ta pojav v okolju skrajne gravitacije,

sicer bi se Newtonove in njegove napovedi ujemale. Še preden je Einstein svojo

teorijo uporabil na gibanju Merkurja, je začel raziskovati medsebojno delovanje

svetlobe in gravitacije. Po njegovi prostor-časovni formulaciji gravitacije sila

gravitacije pritegne k zvezdi oziroma k planetu vsak žarek svetlobe, ki gre mimo

zvezde ali masivnega planeta, in svetloba se nekoliko odkloni od prvotne poti.

Einstein je sprva razmišljal, da bi izmeril odklon svetlobe, ki bi ga povzročil

Jupiter, kajti planet je dovolj masiven, da ustvari globoko udrtino v tkanini

prostor-časa. Pri izvedbi takšne meritve je že leta 1912 začel sodelovati z

Erwinom Freundlichom. Vendar sta ugotovila, da Jupiter povzroči premajhen

odklon, da bi ga lahko zaznali. Zato sta se osredotočila na Sonce, ki je tisočkrat

masivnejše od Jupitra. Če je zvezda za robom Sonca, je z Zemlje ne moremo

videti (slika 20).

Slika 20: Pogled na oddaljeno zvezdo z Zemlje zakriva Sonce, a njegova masa

popači prostor-čas in zvezdna svetloba se odkloni tako, da sledi ukrivljeni poti

proti Zemlji.

(Vir: S. Singh: Veliki pok, Učila Inernational, Ljubljana 2007, str. 122)

37

Vendar bi morala velikanska gravitacijska sila Sonca in ukrivljen prostor-

čas usmeriti žarek proti Zemlji, zaradi česar bi zvezda postala vidna. Zdelo bi se,

de je zvezda, ki je še vedno za Soncem, tik ob Soncu. Premik od dejanskega

položaja bi bil zelo majhen. Ta premik je s svojo gravitacijsko formulo

napovedal že Newton in je po njegovem izračunu znašala 0,87 ločne sekunde.

Prav toliko je najprej s svojo formulo izračunal tudi Einstein, ker je najprej

upošteval samo ukrivljenost časa [9]. Pri prehodu mimo Sonca je za odklon

žarka z oddaljene zvezde v ločni meri uporabil formulo:

rc

GM2

2=ϕ , (19)

kjer je G gravitacijska konstanta, M masa Sonca, c svetlobna hitrost in r polmer

Sonca. Če v formulo (19) vstavimo ustrezne podatke, dobimo:

( ) "87,0"3600180

102,4102,41096,6103

10988,11067,622 66

828

302

311

2 =⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅== −−

−

πϕ

mm

kgskg

m

rc

GM

Pozneje je Einstein svojo napoved popravil. Poleg »ukrivljenosti časa« je

upošteval še »ukrivljenost kraja«, ki je prinesel enako velik odklon. Tako je

Einstein s formulo iz svoje splošne teorije napovedal, da je ta premik večji skoraj

za faktor dva in znaša 1,71 ločne sekunde.

Za potrditev ene ali druge vrednosti je bilo potrebno izvesti konkretne

meritve. Te meritve pa je možno izmeriti samo v času sončevega mrka. Ko Luna

med mrkom zakrije Sonce, dan za nekaj časa postane noč in pokažejo se zvezde,

ki so samo delček sekunde vstran od roba Sonca. Naslednji sončni mrk je bil

viden 21. avgusta 1914 s Krima. Freundlich je organiziral odpravo v Rusijo,

vendar medtem se je pričela 1. svetovna vojna. Nemčija je Rusiji napovedala

vojno in odpravo so ruski vojaki zaprli. Tako so podobno slikanje ob sončnem

mrku izvedli šele leta 1919 pod vodstvom Arthurja Eddingtona (slika 21).

Odprava je odšla na pot osmega marca leta 1919 z ladjo HMS Anselm iz

Liverpoola in se usmerila proti otoku Madeira. Tam so se razdelili v dve skupini.

Ena skupina je nadaljevala pot v Brazilijo, da bi opazovala mrk iz Sobrala v

brazilski džungli. Eddingtonova skupina pa je odšla na otok Principe tik ob obali

Ekvatorialne Gvineje v zahodni Afriki. Dve skupini na različnih lokacijah bi

38

zaradi možnosti oblakov, ki bi utegnili zakriti Sonce, imeli več možnosti za

uspeh.

Slika 21: Arthur Stanley Eddington (1882-1944)

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

Šestega novembra istega leta je Eddington uradno predstavil rezultate na

skupnem srečanju Kraljevega astronomskega društva in Kraljeve družbe. Končna

ocena gravitacijskega odklona, ki ga povzroča Sonce, je bila 3,061,1 ± ločne

sekunde. Ti rezultati so potrdili Einsteinovo teorijo. Eddingtonove rezultate

opazovanja mrka iz leta 1919 je leta 1922 potrdila ekipa astronomov, ki je

opazovala Sončev mrk iz Avstralije. S potrditvijo njegove splošne teorije

relativnosti je Einstein postal ena najslavnejših svetovnih osebnosti. Noben fizik

pred in po Einsteinu ni dosegel tolikšne svetovne slave ali pritegnil tolikšnega

občudovanja. Čeprav je bila teorija splošne relativnosti v celoti njegovo delo, se

je Einstein dobro zavedal, da so bila Eddingtonova opazovanja ključnega pomena

za to revolucijo v fiziki. Einstein je razvil teorijo, Eddington pa je preveril ali se

sklada z resničnostjo. Še enkrat se je pokazalo, da so opazovanja in poskusi

dokončni razsodniki resnice. Splošna relativnost je ta izpit uspešno opravila.

Einstein je svojo enačbo gravitacijskega polja v dolgih osmih letih,

kolikor je nastajala splošna teorija relativnosti ali splošna teorija gravitacije,

39

večkrat spreminjal. Končna oblika Einsteinove enačbe gravitacijskega polja [9]

se je glasila:

,21

−−= TgTR µνµν

µν κ 4

8c

Gπκ = (20)

Enačbo (20) lahko zapišemo tudi v enakovredni obliki:

µνµνµν κTRgR =−21

, (21)

kjer je µνR Riccijev tenzor, R Riccijev skalar, µνg metrični tenzor in µνT

napetostni tenzor [36]. V teh enačbah je na levi strani količina, povezana z

ukrivljenostjo prostor-časa, na desni pa količina, povezana s snovjo in energijo.

Pravilnost te teorije so pozneje potrdili številni testi. Njen pomen pa je predvsem

v tem, da pomeni popolnoma nov pogled na svet. Fizikalna slika in metode te

teorije so bistveno spremenile tedanjo teoretično fiziko.

Povejmo še, da je neodvisno od Einsteina enačbo gravitacijskega polja

odkril matematik David Hilbert (slika 22), ki je med fiziki znan predvsem po

svoji izjavi, da je fizika za fizike pretežka. Vendar ostaja Einstein edini tvorec

splošne teorije relativnosti, enačbo gravitacijskega polja pa sta odkrila neodvisno

drug od drugega on in Hilbert.

Slika 22: David Hilbert (1862-1943)

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

Raziskovalci pa ne počivajo, ampak tej Einsteinovi teoriji vedno znova

dodajajo nove poglede, zglede in izpeljave. Danes se s splošno teorijo relativnosti

40

ukvarja precej fizikov, astrofizikov in matematikov. Splošna teorija relativnosti

še ni postala za vsakogar del vsakdanjega življenja, daleč od tega pa tudi ni več.

Na tem mestu samo omenimo Global Positioning System, bolj znan po kratici

GPS sistem, ki za svoje delovanje mora upoštevati splošno teorijo relativnosti.

Več o sistemu GPS v dodatku.

3.4 Kaluz – Kleinova teorija gravitacije

Leta 1914 je Gunnar Nordström v sklopu svoje teorije gravitacije

Einsteinovo splošno teorijo relativnosti razširil na pet razsežni prostor-čas. Na to

njegovo teorijo so potem pozabili. Vzrok je bila najbrž 1. svetovna vojna, ki je

zajela ves svet in odvrnila pozornost od razvoja znanosti za potrebe in blaginjo

ljudi, k znanosti za potrebe vojne in za uničevanje ljudi. S proučevanjem te

teorije sta po vojni nadaljevala Theodor Kaluza in Oskar Klein.

Theodor Kaluza (slika 23) je bil rojen leta 1885 v mestu Opeln v Nemčiji

(današnji Opole na Poljskem) in umrl leta 1954 v Göttingenu v Nemčiji.

Slika 23: Theodor Kaluza

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

Oskar Klein (slika 24) se je rodil leta 1894 v mestu Mörby na Švedskem,

umrl pa je leta 1977 v Stockholmu.

Leta 1921 je Theodor Kaluza svojo različico te teorije tudi objavil.

Einsteinovo splošno teorijo relativnosti je razširil na pet razsežni prostor-čas.

41

Slika 24: Oskar Klein

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

V svoji raziskavi je enačbe razdelil [39]:

• na enačbe, ki ustrezajo Einsteinovim enačbam polja,

• na enačbe, ki ustrezajo Maxwelovim enačbam elektromagnetnega polja in

• na enačbe, ki vpeljejo dodatno skalarno polje, imenovano radion.

Tri dimenzije prostor-čas (dolžina, širina in višina) so seveda bile znane.

Leta 1926 pa je Oscar Klein predlagal, da je četrta prostorska razsežnost zvita v

krogu z zelo majhnim polmerom. Tako se delec, ki se za kratek čas giblje vzdolž

te osi, vrne v svojo začetno lego. Razdalja, ki jo lahko delec prepotuje preden

pride v svojo začetno lego, je velikost razsežnosti. To dodatno razsežnost je

imenoval kompaktna množica, pojav, da ima prostor-čas dodatne stisnjene

razsežnosti, pa kompaktifikacija9. Kot dodatno peto razsežnost pa je vpeljal

dimenzijo, ki je v sodobni geometriji znana pod imenom krožna grupa. Kaluz –

Kleinova teorija gravitacije poskuša združiti osnovni sili gravitacije in

elektromagnetne sile. Ta teorija obravnava splošni primer ukrivljenega prostora-

časa. Kaluz – Kleinova teorija je vplivala na Brans – Dickeovo teorijo, ki jo

bomo obravnavali v nadaljevanju.

_____________________________________________________________________________________ 9 Kompaktifikacija – Pojav, da ima prostor-čas dodatne stisnjene razsežnosti.

42

Bila pa je tudi predhodnica gravitacijske teorije, znane pod imenom teorija

strun. Tudi o tej teorijo bomo še rekli nekaj besed. Pristop poenotenja sil, ki je bil

pri Kaluz – Kleinovi teoriji nekoliko vprašljiv, je namreč v sodobni teoriji strun

mnogo bolj eksakten. Kaluz – Kleinova teorija pa vseeno ostaja ena temeljnih

med sodobnimi teorijami gravitacije in je velikokrat uporabljena v veliko bolj

zapletenih teorijah.

3.5 Brans – Dickeova teorija gravitacije

Teorija sta razvila Carl Henry Brans in Robert Henry Dicke na podlagi

raziskav in dognanj Ernsta Pascuala Jordana in Engelberta Schückinga. Zato se ta

teorija ponekod imenuje tudi Jordan – Brans - Dickeova teorija. Splošno pa je

znana pod imenom Brans - Dickeova teorija.

Carl Henry Brans (slika 25) je bil rojen leta 1935 v Dallasu v ameriški

zvezni državi Texas.

Slika 25: Carl Henry Brans

(vir: http://en.wikipedia.org)

Robert Henry Dicke (slika 26) je bil rojen leta 1916 v St. Loisu v

ameriški zvezni državi Missouri. Umrl je leta 1997 v Princetonu v ameriški

zvezni državi New Jersey.

43

Slika 26: Robert Henry Dicke (1916-1997)

(vir: http:/www.nap.edu/html/biomems/rdicke.html)

Gravitacijsko interakcijo10 posreduje tenzorsko in skalarno polje11 iz

splošne teorije relativnosti, zato ta teorija spada med skalarno – tenzorske teorije

[40]. V teh teorijah je prostor-čas opremljen z metričnim tenzorjem12,

gravitacijsko polje pa je v celoti ali delno podano z Riemannovim tenzorjem

ukrivljenosti, ki ga določa metrični tenzor. V Brans-Dickeovi teoriji obstaja

poleg metričnega tenzorja skalarno polje, ki spreminja dejansko gravitacijsko

konstanto od kraja do kraja. To pomeni, da se gravitacijska konstanta spreminja s

časom. Prav ta značilnost je bila ključna pri nastanku te teorije.

_____________________________________________________________________________________ 10 Interakcija – Interakcija pomeni medsebojno sodelovanje.

11 Skalarno polje – Skalarno polje (primeri: temperaturno polje, polje gostote …) je funkcija,

ki priredi vsaki točki prostora vrednost polja v tej točki.

12 Tenzor – Tenzor je v matematiki posplošena linearna količina, ki jo lahko izrazimo z

večrazsežno tabelo, oziroma matriko, relativno glede na izbiro baze. Masa, temperatura in druge

skalarne količine so tenzorji z redom 0. Sila, gibalna količina in druge vektorske količine so

tenzorji 1. reda.

44

3.6 Teorija superstrun

Razmišljujočim o vesolju je prispodobe vedno nudila glasba. Z odkritjem

teorije superstrun pa se glasbene prispodobe osupljivo dotikajo resničnosti, saj je

po tej teoriji mikroskopska pokrajina preplavljena z majcenimi strunami, katerih

zven narekuje razvoj kozmosa [15]. S teorijo superstrun je v vesolju zavel veter

sprememb. V nasprotju s tem standardni model pojmuje elementarne gradnike

vesolja kot točkaste sestavine, ki nimajo notranje strukture. Ta pristop je izjemno

prepričljiv, vendar standardni model ne more biti popolna oziroma končna

teorija, ker ne vključuje gravitacije. Nerazrešeno navzkrižje je vzpodbudilo

iskanje še globljega razumevanja narave. Leta 1984 sta Michael Green in John

Schwartz s kalifornijskega tehnološkega inštituta ponudila prvi prepričljiv dokaz,

da teorija superstrun (ali na kratko teorija strun) utegne ponuditi to razumevanje.

Po teoriji strun osnovne sestavine vesolja niso točkasti delci, pač pa

majcene, enodimenzionalne nitke, sklenjene v majcene zanke, ki nihajo sem in

tja [15]. A naj nas ime ne zavede: za razliko od navadnih strun, ki so tudi same

sestavljene iz molekul in atomov, strune te teorije tvorijo snov samo. Strune

(slika 27) so tiste ultramikroskopske sestavine, ki tvorijo delce, iz katerih so

narejeni atomi; so tako majhne – v povprečju velikosti Planckove dolžine13 – da

izgledajo točkaste tudi takrat, ko jih proučujemo z najzmogljivejšo opremo.

Michael Green, eden od obeh avtorjev teorije strun, je dejal [15]: »Ko spoznaš

teorijo strun in ugotoviš, da skoraj vsa večja odkritja v fiziki zadnjega stoletja

izhajajo – in to s kakšno eleganco - iz tako preprostega izhodišča, ugotoviš, da je

ta izjemno privlačna teorija razred zase.«

_____________________________________________________________________________________ 13

Planckova dolžina – Planckova dolžina spada med Planckove enote in znaša m351062,1 −⋅ .

Poleg Planckove mase ( )kg81017,2 −⋅ in Planckovega časa ( )s43104,5 −⋅ se uporablja kot

osnovna količina v teoriji osnovnih delcev in kozmologije [14].

45

Slika 27: Strune

(Vir: http://www.otiss.wordpress.com)

Teorija superstrun, ki je okrajšava za teorijo supersimetričnih strun, velja

za eno od najobetavnejših teorij kvantne gravitacije, ki sloni na tako imenovani

supersimetriji14. Teorija strun je sodobna fizikalna teorija, ki poskuša opisati vse

osnovne delce in osnovne sile15 narave z enotnim prijemom. Teorija superstrun

[35] ima za osnovne gradnike gravitacijske sile strune velikosti

m351062,1 −⋅ (Planckova dolžina), ki valovijo z resonančnimi frekvencami.

Napetost strune je N42109,8 ⋅ in je približno 4010 krat večja od napetosti

povprečne klavirske strune, ki je N735 .

Sredi devetdesetih je teoretik strun Edwars Witten iz univerze Maryland

ugotovil, da je pet različnih verzij teorije strun po vsej verjetnosti le pogled iz

različnih zornih kotov. Predlagal je združeno teorijo in jo poimenoval M-teorija,

kjer M sicer ni definiran, ampak se ga v glavnem razume kot “membrana”. To je

naredil tako, da je ugotovil, da so strune v bistvu enodimenzionalne rezine

dvodimenzionalnega prostora, ki vibrira v 11-dimenzionalnem svetu.

_____________________________________________________________________________________ 14

Supersimetrija – Supersimetrija je fizikalna teorija, ki se ukvarja z osnovnimi delci. Med

teoretičnimi fiziki je ljubkovalno imenovana tudi susy.

15 Osnovne sile – Osnovne sile so štiri: gravitacija, elektromegnetne sile, šibke jedrske sile in

močne jedrske sile.

46

Številni kozmologi so jo sprejeli, ker je preprosta in matematično pravilna.

Žal pa z današnjo tehnologijo nismo sposobni praktično dokazati njeno

pravilnost. Znanstveniki namreč govorijo o superstrunah kot o drobnih tvorbah,

ki imajo od deset do enajst dimenzij, ki jih ne bo mogoče dokazati niti z zelo

močnim LHC-pospeševalnikom [11]. Teoretično bi moral pospeševalnik, s

katerim bi želeli dokazati superstrune, imeti dolžino tisoč svetlobnih let.

Oziroma, če bi želeli neposredno pokazati, da struna ni točkast delec, bi

potrebovali pospeševalnik, v katerem bi delci trkali s približno pol milijard

višjimi energijami kot zdaj [15].

Naš empirični svet določajo tri prostorske dimenzije in ena časovna, torej

skupaj štiri. Po velikem poku, tako predvidevajo znanstveniki, ki raziskujejo te

strune, so se le štiri dimenzije razprle v vesoljno velikost, šest ali sedem drugih

dimenzij v notranjosti materije pa je ostalo skritih, zvitih v drobcene majhne

velikosti, tako da niso dostopne zaznavi [11].

Potemtakem bi vsaka točka v prostoru imela še šest ali sedem

dimenzionalno, nevidno, drobno, iz nitk oblikovano tvorbo. Te strune so v resnici

zelo kratke, in če si predstavljamo atom v velikosti galaksije, potem bi bile te

strune velike kot črka l. Različni osnovni delci so po tej teoriji le različne vrste

nihanj teh strun brez mase. Nihanje strun proizvaja materijo v obliki znanih

osnovnih delcev. Kolikor močneje struna niha, toliko večja sta masa in naboj

proizvedenega osnovnega delca.

Najbrž si vsak postavlja vprašanje iz česa sploh strune so? Na to vprašanje

teoretiki strun ponujajo dva odgovora [15]. Prvič, strune so zares temeljni

gradniki. Kot absolutno najmanjši sestavni delci vsega predstavljajo konec

zaporedja številnih plasti podstrukture mikroskopskega sveta. Če bi bile strune

narejene iz česa še manjšega, potem ne bi bile osnovna sestavina vesolja, pač pa

bi ta naziv pripadal snovi, ki bi strune tvorila. Za boljše razumevanje uporabimo

jezikovno primerjavo: odstavke sestavljajo stavki, stavki besede, besede pa črke.

Kaj pa sestavlja črko? Z jezikovnega stališča je tu zaporedja konec. Črke so črke.

To so osnovni gradniki pisanega jezika; nadaljnje strukture ni, zato vprašanje o

47

njihovi sestavi nima pomena. Podobno je struna pač struna – ker ni ničesar bolj

osnovnega, ne moremo reči, da jo sestavlja neka druga snov.

To je prvi odgovor. Drugi se naslanja na dejstvo, da danes še ne vemo, ali

je teorija strun pravilna oziroma končna teorija narave. Če strune niso dokončna

teorija, da so le še ena plast v kozmični čebuli, plast, ki sicer postane vidna šele

pri Planckovi dolžini, kljub temu pa ni zadnja. V tem primeru bi strune

sestavljala še manjša struktura. Teoretiki strun upoštevajo in sledijo tudi tej

možnosti.

Kako strune sploh delujejo, oziroma na kakšne način določajo sestavo

snovi? Da bi to razumeli, najprej razmislimo o bolj znanih strunah, tistih na

violini. Vsaka struna lahko izvede veliko število (pravzaprav neskončno)

različnih nihajnih vzorcev, ki so znani kot resonance16 .

Naša ušesa zaznavajo te različne resonančne nihajne vzorce kot različne

glasbene note. Strune v teoriji strun imajo podobne lastnosti. Obstajajo

resonančni nihajni vzorci, ki jih lahko zavzame struna prek enakomerno

razporejenih vrhov in dolin, ki se natančno prilegajo vzdolž njene prostorske

razsežnosti. Različni nihajni vzorci osnovne strune dajo različne mase in naboje

sil. Po teoriji strun torej lastnosti elementarnega delca – njegovo maso in različne

naboje sil – določa resonančni vzorec nihanj, ki jih izvaja njegova notranja

struna.

Zaradi eksperimentalne nedosegljivosti teorijo strun mnogi znanstveniki

odklanjajo. Predvsem pa ne bo najbrž nikoli mogoče s poskusom dokazati

veljavnosti te teorije. Dejanski prodor ali polom teorije strun je stvar prihodnosti.

Pri vsem tem bo odločilen prihodnji razvoj matematike, kajti z možnostmi, ki jih

matematika trenutno daje, strun ni mogoče zadovoljivo opisati [11].

_____________________________________________________________________________________ 16

Resonanca – Resonanca je eno izmed naravnih stanj nihanja fizikalnega sistema [15].

48

V zgodovini naravoslovja ne bi bilo prvič, da znanstveniki mislijo nekaj

temeljno novega, kar z danimi matematičnimi sredstvi še ni moč izračunati.

Morda pa je še preprosto prezgodaj za takšno teorijo, kajti teoretiki strun znova

in znova naletijo na velike ovire.

Teoretični fiziki se pri raziskavah nasploh mnogokrat soočijo z enačbami,

ki jih je pretežko razumeti ali analizirati. Največkrat jih v takih primerih rešijo

približno. Situacija s teorijo strun je še zapletenejša. Celo določitev enačb samih

je tako težavna, da so doslej izpeljali le njihove različice. Teoretiki strun so zato

omejeni na približno reševanje približnih enačb.

Ne glede na to, ali je teorija strun pravilna ali zgrešena, daje resnično

čudovito enoten teoretični okvir. Hkrati ta teorija obljublja en sam,

vseobsegajoči, poenoten opis fizikalnega vesolja: teorijo vsega ali Theorry Of

Everything - TOE.

49

4. PREGLED GRAVITACIJSKIH POJAVOV

V tem poglavju bom predstavil grobi presek nekaterih pojavov, ki so

povezani z gravitacijo, oziroma so neposredna posledica delovanja gravitacijske

sile. Teh pojavov je v širnem vesolju veliko. Tukaj se bomo ustavili samo pri

nekaterih, ki so tako ali drugače zanimivi ali pa posredno vplivajo na naše

vsakodnevno življenje. Začeli bomo daleč v vesolju, se nato približali naši

Mlečni cesti in se preko pojavov v Osončju preselili na pojave v sistemu Zemlja-

Sonce in Zemlja-Luna.

4.1 Gravitacija in vesolje

Vesolje ni omejen tridimenzionalni prostor nepredstavljive velikosti, prav

tako pa se ne razteza neskončno daleč. Ukrivljenost mu dovoljuje, da se tako

rekoč začne in konča na isti točki. Posledično je vesolje končno, čeprav je

končnost tako nepredstavljivo velika, da se nam zdi neskončna. Vendar je

končno, vendar neomejeno. To se sliši kot nasprotje, vendar ni. Vse skupaj bo

morda razumljivejše, če pomislimo, da ima tudi naš omejen svet na Zemlji

končne stvari, ki so kljub temu neomejene, torej brez začetka in konca, brez

središča in brez roba. Mišljena je površina krogle. Podobno kot prostor-čas je

tudi površina krogle ukrivljena, začne in konča se na isti točki [13]. Po tej

končni, a neomejeni površini bi se lahko pomikali naprej, ne da bi kdajkoli

naleteli na mejo. Pri premočrtnem premikanju naprej - ki bi bilo seveda krivo –

pa bi se vedno vrnili na prvotno točko. Kroglasto površino bi lahko primerjali s

sploščeno podobo vesolja.

Einsteinove matematične enačbe niso govorile samo o končnem,

neomejenem vesolju, ki se začne in konča v isti točki, pač pa tudi o vesolju, ki se

širi. Einstein pa je tako trdno verjel v nespremenljivo veliko vesolje, da je svoje

enačbe predelal. V enačbe je vpeljal konstanto, ki je širitev spet ukinila.

Imenoval jo je kozmološka konstanta [2]. Kozmološka konstanta je bila

nekakšna antigravitacija, katere velikost je bila odvisna od vrednosti te konstante,

ki teoretično lahko zavzame katerokoli vrednost. Mnogi kozmologi so bili z

50

Einsteinovo kozmološko konstanto zadovoljni, kajti zdelo se je, da lepo usklajuje

splošno relativnost s statičnim večnim vesoljem. Kot se je izkazalo pozneje, je

bila le ad hoc zvijača, ki je rezultat priredila domnevni resničnosti. Celo Einstein

je ponižno priznal, da to drži. Kozmološka konstanta je bila samo mašilo, ki ga je

Einstein uporabil, da je dobil pričakovan rezultat, torej stabilno in večno vesolje.

Einstein torej tukaj svoje genialne teorije ni jemal čisto zares. Njegova religiozna

slika sveta je ustavila in popačila njegovo znanstveno delo. Pozneje je

spreminjanje svojih prvotnih enačb označil kot največjo napako svojega

življenja.

Leta 1929 je ameriški astronom Edwin O. Hubble (slika 28) namreč

odkril, da se galaksije, ki ne spadajo k naši galaktični jati, od nas zelo hitro

oddaljujejo.

Slika 28: Edwin O. Hubble (1889-1953) je leta 1929 izdelal vesoljski teleskop, ki

je dobil ime po njem in se imenuje Hubblov vesoljski teleskop

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

Postavil je danes znameniti Hubblov zakon, ki pravi, da je hitrost

oddaljevanja galaksije sorazmerna z njeno oddaljenostjo [2]. Hubblov zakon je

predstavljen na sliki 29. Na grafu so narisane valovne dolžine iste spektralne črte

v različnih oddaljenih galaksijah. Ker se galaksije oddaljujejo od nas, je črta

51

premaknjena proti rdečim (daljšim) valovnim dolžinam. Hubble je z neodvisnim

merjenjem oddaljenosti galaksij ugotovil, da je relativni prirast valovne dolžine,

to je rdeči premik (z), sorazmeren z oddaljenostjo.

Slika 29: Hubblov zakon

(Vir:dr. Tomaž Zwitter, Pot skozi vesolje, str. 90)

Leta 1929 je izmeril hitrosti osemnajstih galaksij in ugotovil, da se, z

izjemo galaksije v Andromedi, vse oddaljujejo od nas. Pri tem si je pomagal z

Dopplerjevim premikom. Če opazimo spektralne črte na enakih mestih kot v

plinu v laboratoriju, vemo, da je radialna hitrost enaka nič. Če so črte

pomaknjene proti krajšim valovnim dolžinam in višjim frekvencam, to je proti

modri barvi, se nam izvor približuje. Če pa so črte pomaknjene proti daljšim

valovnim dolžinam, v vidni svetlobi je to proti rdeči barvi, se izvor od nas

oddaljuje. Ta pojav imenujemo tudi rdeči premik. Dopplerjev pojav pri svetlobi

lahko primerjamo s tistim pri zvoku. Pisk bližajoče se lokomotive je višji od tiste,

ki se oddaljuje.

Odkritje, da se galaksije oddaljujejo, nas sili k vznemirljivemu obratnemu

sklepu: kar leti narazen, je nekoč moralo biti čisto blizu skupaj. To pomeni, da je

morala davno tega razdalja med galaksijami biti nič. Vse galaksije vesolja so

morale biti v časovni točki nič zgoščene na enem mestu. Vesolje se je

najverjetneje začelo širiti iz točke. Trdimo, da je bila oblikovalna sila vesolja

ravno gravitacija. Za takšen razmislek moramo na čisti začetek sveta [13]. Ni še

zvezd in galaksij, pač pa vesolje, ki je sestavljeno iz izredno vroče mešanice

plinov, namreč iz vodika in helija. Tekočin in trdnih snovi še ni. Preden lahko

52

nastanejo, mora začeti delovati najšibkejša od vseh naravnih sil, gravitacijska

sila. Zaradi nenehnega širjenja vesolja je gostota plinske materije čedalje manjša,

vendar dovolj velika, da lahko gravitacijska sila med vodikovimi in helijevimi

atomi začne delovati. Prej to ni bilo mogoče. Dokler sta delovali močna jedrska

sila in elektromagnetna sila, da sta najprej zgradili atomska jedra in nato atome,

se gravitacijska sila ni mogla uveljaviti. Je namreč neskončno šibkejša od obeh

drugih osnovnih sil narave. Močna jedrska sila je namreč 1040-krat močnejša od

gravitacije. Elektromagnetna sila je 1038-krat močnejša od gravitacije.

Gravitacijska sila se zdaj nadaljnji širitvi in posledičnemu redčenju kozmične

plinaste snovi lahko postavi po robu. Plin se čedalje bolj kopiči v velikih oblakih.

Znotraj gruč nastaja čedalje močnejše zgoščevanje. Medtem ko se vesolje kot

celota še naprej ohlaja, temperatura v plinastih oblakih, ki postajajo čedalje

gostejši, spet narašča. Do tega prihaja preprosto zato, ker postajajo razdalje med

atomi čedalje krajše, tako da se čedalje pogosteje zaletavajo. Atomi se drug proti

drugemu gibljejo čedalje močneje, trki pa povzročajo elektromagnetno sevanje.

Od določene stopnje zgoščenosti začno plinasti oblaki oddajati svetlobo.

Podrobneje bomo ta pojav opisali na primeru Sonca v točki 4.4.

Širjenje vesolja je v štiri dimenzionalnem prostoru-času težko

predstavljivo. Zato se zatecimo k preprosti vzporednici in prostor opeharimo za

tretjo dimenzijo. V dveh razsežnostih postane prostor običajna ploskev, denimo

ploskev balona [3]. Na njej naj bodo narisane pike, vsaka pika tu predstavlja

položaj ene galaksije. Zdaj balon napihujmo. Razdalje med pikami se večajo.

Naraščanje razdalje do posamezne druge pike, to je druge galaksije, merjena po

površini balona, je sorazmerna z oddaljenostjo te pike. Predstava z napihovanjem

balona ovrže še eno na videz smiselno trditev. Če vse jate galaksij bežijo od nas

in je hitrost oddaljevanja sorazmerna z njihovo oddaljenostjo, kar pravi tudi

Hubblov zakon, bi si lahko predstavljali, da smo mi na miru in v središču tega

širjenja. Taka predstava je močno napačna, saj nas postavlja v središče vesolja.

To napako je človeštvo naredilo že večkrat. Dolgo je bila Zemlja v središču

vesolja, potem smo mislili, da je v središču Sonce, ker pa gre v tretje rado, smo

53

se pri galaksijah le nekaj naučili. Paralela z balonom pokaže, da so vse pike, torej

vse galaksije v vesolju, enakovredne.

4.2 Gravitacija in galaksije

Zemlja je, skupaj s Soncem in ostalimi planeti našega Osončja, sestavni

del velike skupine zvezd, ki jo imenujemo Galaksija.

Kako je galaksija sploh nastala? Prevladujoča razlaga je naslednja [34].

Ob rojstvu vesolja je obstajal kot element praktično le vodik, poleg njega pa še

nekaj delov helija in nekaj malega litija. Vesoljski prah se je pričel zbirati v

velike »globule«, ki so se pod vplivom gravitacijske privlačne sile sesedale. Zato

se je v notranjosti povečal pritisk, ki je omogočil zlivanje jeder vodika v helij.

Prižgale so se prve zvezde, velikanke. Ko so dosegle konec svoje poti, so

eksplodirale kot supernove. Iz njihovih ostankov so se tvorili novi medzvezdni

oblaki. Iz njih so se oblikovale nove zvezde in v določenem obdobju tudi planeti.

Zvezde so krožile okrog skupnega gravitacijskega središča. Tam so se večinoma

oblikovale črne luknje (o črnih luknjah več v dodatku na koncu naloge), ki so

povzročile tvorjenje manjših galaksij. Te so se zlivale v vedno večje sisteme.

Pred 10 do 14 milijardami let ni bilo zvezd in bodoča Mlečna cesta je bila

samo zvijajoči se oblak vodika in helija. Znotraj oblaka so se tvorile prve kepice,

ki so pričele s svojo gravitacijo vedno bolj vsrkavati material iz okolice in pridno

rasti. Sčasoma so se razvile prve zvezde. Ker so to običajno velike zvezde,

eksplodirajo kot supernova. Njihov material je spet gradivo za izdelavo novih

zvezd.

Galaksija (slika 30) nam daje dokaj urejeno podobo. Razčlenimo jo lahko

na tri osnovne sestavne dele: disk, sferični halo in osrednja zgostitev [3]. V

disku najdemo ves plin in prah ter zvezde različnih starosti, med katerimi je tudi

naše Sonce. Sferični halo je domovanje kroglastih kopic, to je združb starih

zvezd. Take zvezde najdemo tudi v osrednji zgostitvi, prav v središču pa

sklepamo na obstoj črne luknje. V središču Galaksije namreč hitrost zvezd ne

pade na nič, kot bi pričakovali. Nasprotno, tam opazimo plinast disk, ki se na

54

razdaljah od pet do trideset svetlobnih let od središča vrti s hitrostjo do 100

km/s.

Slika 30: Prečni prerez naše galaksije

(Vir: http://www.andros.si/vesolje/mlecna-cesta.html)

Tako velike hitrosti v tako majhnih razdaljah lahko razložimo le s

prisotnostjo objekta z maso vsaj štirih milijonov Sonc. To ne morejo biti zvezde,

saj na tako majhnem prostoru ne bi mogle obstati. Edina smiselna razlaga je

prisotnost črne luknje, ki srka snov, ta pa pred padcem oblikuje hitro se vrteči

disk. Galaksija je gravitacijsko vezan sistem, v katerem se vsa snov giblje okoli

galaktičnega središča, podobno kot planeti okoli Sonca. Sonce se giblje okoli

središča Galaksije po skoraj krožnem tiru s hitrostjo 5 km/s.

V vesolju je na desetine galaksij. Ime naše galaksije je Mlečna cesta (slika

31). Sestavlja jo med 300 do 400 milijard zvezd. Spada med spiralne galaksije in

ima obliko vrtečega se diska. Debelina diska je okrog 2.000 svetlobnih let,

premer diska pa je 100.000 svetlobnih let [34]. Sonce leži v disku naše galaksije

in je oddaljeno okrog 35.000 svetlobnih let od središča [3]. Središče tvori velika

črna luknja, ki s svojo rotacijo povzroča spiralno obliko. Gravitacija v središču je

izjemno velika. Tako velika je, da ji ne more pobegniti niti svetloba.

Gravitacijska privlačnost črne luknje z razdaljo pada s kvadratom razdalje in

Sonce utirja v spiralnem kraku okrog središča. Več o črnih luknjah pa v dodatku.

55

Slika 31: Slika izdelana na podlagi dosedanjih spoznanj o obliki in tvorjenju naše

galaksije Mlečne ceste.

(Vir: http://www.andros.si/vesolje/mlecna-cesta.html)

Razdalje do galaksij so ogromne, vendar so te relativno gledano, blizu

skupaj. Če bi našo Galaksijo pomanjšali na velikost pomaranče, bi bila sosednja

galaksija primerljive velikosti, to je Andromeda (slika 32), dva metra daleč.

Slika 32: Galaksija Andromeda, ki je podobna naši galaksiji

(Vir: http://www.andros.si/vesolje/mlecna-cesta.html)

56

To je precej drugače kot pri zvezdah. Spomnimo se, da bi bila ob Soncu,

pomanjšanem na velikost pomaranče, najbližja zvezda Proksima Kentavra,

oziroma njena pomaranča, šele na Kanarskih otokih. V nasprotju z zvezdami, ki

nikoli ne trčijo, galaksije lahko doživijo bližnja srečanja.

Enako bi se naj po nekaterih podatkih zgodilo z našo Mlečno cesto in

Andromedo [34]. Razdalja med središčema je trenutno okrog 2,5 milijona

svetlobnih let. Andromeda ima večji premer in številčno več zvezd kot Mlečna

cesta. Vendar je naša galaksija gostejša in je po teži približno enakovredna.

Zadnje raziskave kažejo, da so bosta Mlečna cesta in Andromeda zlili čez 3-5

milijard let. Skupaj bosta tvorili zelo veliko spiralno galaksijo.

4.3 Gravitacija in Osončje

Za lažje predstavljanje bomo neznanske velikosti vesoljskih teles in

razdalj med njimi pomanjšali na mere, ki so nam domače iz vsakdanjega

življenja. Če bi Zemljo pomanjšali na dober milimeter veliko zrno, bi bila Luna

prašen drobec, ki bi krožil okrog nje na razdalji 4 cm. V tem merilu bi bilo Sonce

15 metrov oddaljena pomaranča [3]. Vseh 15 metrov med zrnom Zemlje in

Sončevo pomarančo bi bilo praznih, če pozabimo na zrnci Venere in Merkurja.

Onkraj Zemljinega tira je praznega prostora še več. Jupiter bi bil enak frnikoli 80

metrov od Sonca. Planeti so torej zrnca, ki krožijo na razdaljah več deset metrov

od Sonca, velikega za pomarančo.

Glede mase so planeti nepomemben del našega Osončja, saj je več kot 99

odstotkov mase Osončja v Soncu. Najmasivnejši planet, Jupiter, ima komaj

tisočino Sončeve mase. Drugače je z vrtilno količino. Sonce se vrti zelo počasi.

En obhod naredi v petindvajsetih dneh. Planeti se gibljejo mnogo hitreje, in to po

razsežnih krožnih tirih. Zato je v kroženju planetov kljub majhni masi kar 99

odstotkov vrtilne količine našega Osončja. Nastajajoče Sonce je torej problem

odvečne vrtilne količine rešilo z nastankom planetov.

Kako je naše Osončje nastalo? Dr. Tomaž Zwitter, predavatelj predmeta

Astronomija na naši fakulteti, je v knjigi Pot skozi vesolje, takole orisal nastanek

našega Osončja [3]. Globula, ki se je zgoščevala v Sonce, se je krčila. Polovica

57

sproščene gravitacijske energije se je porabila za gretje; notranjost neprozorne

Sončeve krogle je postajala vedno bolj vroča. Druga polovica sproščene energije

je ušla v prostor v obliki svetlobe, pretežno infrardečih valovnih dolžin. O

jedrskih reakcijah v Soncu še ni bilo sledu. Svetilo je zaradi krčenja. Tej razvojni

fazi pravimo protozvezda. Sesedanje Sončeve globule je bilo precej burno.

Večina snovi se je krčila, del snovi pa je vrglo navzven. Ob sesedanju se je

globula Sonca obdala z diskom snovi, ki je prevzel odvečno vrtilno količino. Iz

tega diska so pozneje nastali planeti. Ob nastanku je disk zaradi preteklega

krčenja oblaka vroč, nato pa se hladi, najprej v zunanjih predelih, ki so daleč od

vroče osrednje protozvezde. V zunanjem delu diska se najprej strdijo

najobstojnejše spojine, to so kovine in silikati. Disk se še naprej hladi, tako da se

kondenzacija silikatov in kovin lahko začne tudi v notranjih delih, ki so bliže

vroči osrednji protozvezdi. Zunanji deli so medtem že tako hladni, da se lahko

začne kondenzacija lažje hlapljivih spojin, kot so voda, amonijak, metan in

ogljikov dioksid. Tako se zunanji planeti lahko obdajajo z obsežnimi plinskimi

ovojnicami. Notranji planeti so manjši in pretežno iz kovin in silikatov. Nato se

sproži Sončev veter. To je tok nabitih delcev, predvsem protonov in elektronov,

ki z velikimi hitrostmi zapuščajo Sončevo površino. Ta veter, ki je prisoten še

danes, pomete plinski disk. Nedotaknjeni ostanejo le večji kosi, današnji planeti,

njihove lune in asteroidi. Tako je nastal planetni sistem z manjšimi, pretežno

kamnitimi notranjimi planeti od Merkurja do Marsa in zunanjimi plinskimi

velikani Jupitrom, Saturnom, Uranom in Neptunom. Scenarij nastanka našega

Osončja imenujemo meglična hipoteza o njegovem nastanku. V osnovah gotovo

velja, podrobnosti pa so še precej nedorečene.

Na planetih našega Osončja so izmerjeni različni gravitacijski pospeški.

Na večini planetov so ti gravitacijski pospeški večji, kot je težni pospešek

Zemlje. Le na treh je manjši, kot je na Zemlji.

Največji gravitacijski pospešek v našem Osončju ima seveda Sonce, kjer

je težni pospešek skoraj 28-kratnik zemeljskega težnega pospeška. Med planeti

»vodi« Jupiter, »zadnje mesto« med planeti pa si delita Merkur in Mars.

Številčne vrednosti so prikazane v tabeli 1. Planeti so razvrščeni po velikosti

58

težnega pospeška in si sledijo od najvišjega proti najmanjšemu. Na koncu tabele

sta podatka za Sonce in Luno.

Planet Težni pospešek v

2s

m

Jupiter 26,0

Neptun 12,0

Uran 11,7

Saturn 11,6

Zemlja 9,8

Venera 9,0

Merkur 3,8

Mars 3,8

Sonce 270

Luna 1,6

Tabela 1: Težni pospeški planetov

4.4 Gravitacija in Sonce

Zemlja potuje okrog Sonca po tiru, ki ima obliko elipse (slika 33). Na tem

tiru jo drži privlačna gravitacijska sila med Soncem in Zemljo.

Slika 33: Model Sonce – Zemlja.

(Vir: Keith Johnson, Fizika, str. 158)

To silo lahko izračunamo z uporabo formule (2). Za G vstavimo vrednost

2

311-10 6,7

kgs

m⋅ , za maso Sonca kg30100,2 ⋅ , za maso Zemlje kg24100,6 ⋅ , razdalja

med Soncem in Zemljo pa je m11105,1 ⋅ . Tako dobimo enačbo:

59

( ) Nm

kgkg

kgs

m

R

mmGFg

22211

2430

2

311-

221 106,3

105,1

100,6100,210 6,7 ⋅=

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅== ( 22 )

Privlačna gravitacijska sila med Soncem in Zemljo torej znaša N22106,3 ⋅ .

Slika 34: Fotografija Sonca v ultravijoličnem območju. Lepo je viden velik

izbruh, ukrivljen v Sončevem magnetnem polju. [12]

(Vir: Keith Johnson, Fizika, str. 163)

Sonce, ogromna plinasta krogla vodika in helija (slika 34), daje osnovo za

življenje na Zemlji. Vendar se zlitje protonov dogaja pod ekstremnimi pogoji v

notranjosti Sonca, pri temperaturah več milijonov stopinj kelvinov [11]. Le pri

takšni temperaturi vodikovi atomi oddajo edini elektron in postanejo »gola«

jedra. Jedra se v tej vročini gibljejo s takšno silo, da kljub močnim odbojnim

silam – imajo pozitivni naboj - trčijo. Kinetična energija protonov je namreč pri

ekstremnih temperaturah veliko večja, kot je električna energija, s katero se med

seboj odbijajo. Postopek zlitja fiziki imenujejo fuzija. Pri samo enem zlitju štirih

protonov v helijevo jedro se sprosti 26 MeV energije v obliki sevanja. Ta

količina energije izhaja iz preprostega računa: vodikovo jedro (=proton) ima

atomsko maso 1,008, helijevo jedro 4,004, pri čemer masa štirih vodikovih jeder

( )032,4008,14 =⋅ helijevo jedro preseže za 0,028 enot atomske mase. Masa se je

pri spajanju kot izguba pretvorila v energijo sevanja, ustrezno Einsteinovi enačbi

2cmE ⋅= . ( 23 )

60

Na Zemlji živimo tako rekoč od “milosti izgubljene energije” , saj se v

Soncu zlije 597 milijonov ton vodika v 593 milijonov ton helija v sekundi, kar

pomeni, da se v vsaki sekundi pretvori 4 milijone ton jedrske mase v svetlobo,

toploto in drugo sevanje, in se razblini v ledeno mrzlem vesolju. Do našega

planeta prispe samo zanemarljiva količina in omogoča življenje. Zaloge goriva v

Soncu so tako nepredstavljivo velike, da bodo kljub visoki stopnji pretvorbe

zadostovale še naslednjih 5 milijard let, pa čeprav Sonce to počne že najmanj 4,5

milijarde let. In v vsem tem neskončno dolgem času je Sonce izgubilo šele

približno tri tisočinke svoje celotne mase.

Tlak sevanja ogromnih količin energije torej nasprotuje gravitacijski

privlačnosti in jo uravnoveša, da se Sonce zaradi lastne teže ne sesede samo vase

[12]. S staranjem se bo Sonce napihnilo, sevanje se bo zmanjšalo, Sonce bo

postalo rdeče barve. Takšno zvezdo imenujemo rdeča velikanka. Tedaj bo

gravitacija premagala tlak sevanja in Sonce se bo sesedlo samo vase. Takšno

zvezdo imenujemo bela pritlikavka.

4.5 Gravitacija in Luna

Luna je Zemljin edini naravni satelit (slika 35). Med njima deluje

privlačna ali gravitacijska sila. Z upoštevanjem enačbe (2) lahko izračunamo tudi

to silo. Za G vstavimo vrednost -1110 6,7 ⋅ 2

3

kgs

m, za maso Zemlje kg24100,6 ⋅ , za

maso Lune kg22103,7 ⋅ , razdalja med Zemljo in Luno pa je m8108,3 ⋅ . Dobimo

enačbo:

( ) Nm

kgkg

kgs

m

R

mmGFg

2028

2422

2

311-

221 100,2

108,3

100,6103,710 6,7 ⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ( 24)

Privlačna gravitacijska sila med Zemljo in Luno torej znaša N20100,2 ⋅ .

Luna ima precej manjšo maso kot Zemlja, kar pomeni, da je njeno

gravitacijsko polje dosti šibkejše. [12] Težni pospešek na površju Lune je

približno šest krat manjši, kot je težni pospešek na površju Zemlje. Lunin

61

gravitacijski pospešek torej znaša približno 26,1s

m. Posledica tako šibkega

gravitacijskega polja je tudi dejstvo, da je Luna pust in prazen svet (slika 35).

Življenje v takšnem okolju ni mogoče, saj Luna nima ozračja. Vsa voda in vsi

plini, če so seveda sploh kdaj bili tam, so že zdavnaj ubežali njeni šibki

privlačnosti.

Slika 35: Luna. V ozadju je viden vzhod Zemlje na Luni.

(Vir: Keith Johnson, Fizika, str. 159)

Upoštevajoč tretji Newtonov zakon, pa z enako veliko silo, kot Zemlja

privlači Luno, da kroži okoli nje, tudi Luna privlači Zemljo. Očitne posledice

privlačne sile med Luno in Zemljo so:

a) gibanje Lune po tirnici okoli Zemlje,

b) plima in oseka na Zemlji.

4.5.1 Gibanje Lune po tirnici okoli Zemlje

Luna se giblje po tirnici okoli Zemlje. Takšno gibanje je posledica

gravitacijske privlačnosti med obema telesoma. En obhod okoli Zemlje Luna

naredi v približno 27 dneh in 7 urah. Zaradi tega vrtenja vidimo Luno iz Zemlje v

različnih fazah. Rečemo jim lunine mene. Poznamo štiri lunine mene in sicer:

prvi krajec, ščip ali »polna Luna«, zadnji krajec in mlaj ali »prazna Luna«.

Lunine mene se ponovijo približno vsakih 29 dni in 12 ur.

62

4.5.2 Plima in oseka na Zemlji

Kot smo v tej nalogi že povedali, je plimo in oseko pojasnil že Newton. Deli

vode na gladini morja, ki so obrnjeni proti Luni, so bliže Luni kakor težišče

Zemlje in se zato gibljejo »prepočasi« ter silijo k manjši razdalji, se pravi proti

Luni. Nasprotno se deli vode na drugi strani Lune gibljejo »prehitro« in silijo od

Lune proč [6]. Rekli smo tudi že, da z enako veliko silo kot Zemlja privlači

Luno, tudi Luna privlači Zemljo. To silo smo tudi izračunali in je relativno

velika, saj znaša N20100,2 ⋅ . Luna privlači seveda tudi oceane na Zemlji, zato se

voda »pretaka« iz enega dela oceana na drugi del. Višji nivo vode imenujemo

plima, nižji nivo vode pa oseka. Plima je na tisti strani, ki je obrnjena proti Luni

in tudi na tisti strani, ki je obrnjena vstran od nje. Ker se Zemlja vrti okrog svoje

osi, dobimo dve plimi in dve oseki na dan.

Na plimovanje vpliva tudi privlačna sila Sonca. Včasih se zgodi, da je vpliv

gravitacije Lune in gravitacije Sonca sočasen. Takrat je plima še posebej izrazita.

To se ponavadi zgodi ob mlaju in ščipu. Ta pojav v istih krajih ni ravno pogost.

1.12.2008 je plima v slovenskem morju dosegla izjemno višino. Voda je

poplavila Tartinijev trg in tudi druge ulice v Piranu, pa tudi v Izoli (slika 36).

Slika 36: Nenavadno visoka plima v Izoli 1. decembra 2008

Vir: http://kamper.blog.siol.net

Včasih pa se zgodi, da si plimovanji zaradi Sonca in Lune nasprotujeta.

Takrat je razlika med plimo in oseko manjša, kot običajno.

63

4.6 Kozmične hitrosti

V tem razdelku nas zanima, s kolikšno hitrostjo bi morali vreči telo v

vodoravni smeri, da kljub padanju ne bi doseglo zemeljskega površja, ampak bi

se po krožnici gibalo okoli Zemlje, kot kaže slika 37. Zamislimo si, da s topom

ustreliš z vrha visoke gore [11]. Topovska krogla seveda pade na Zemljo, npr. v

točki A. Če bi izstrelili kroglo z večjo hitrostjo, bi padla na tla bolj vstran od nas

(v točki B ali C). Če bi lahko izstrelili kroglo z dovolj veliko hitrostjo, bi še

vedno padala proti Zemlji. Ker pa je površje Zemlje ukrivljeno, bi bila krogla ves

čas na isti višini nad površjem (točka D). Tako bi postala satelit. Centripetalna

sila, ki je za tako gibanje potrebna, je privlačna gravitacijska sila Zemlje.

Slika 37: S topom izstrelimo kroglo z različno velikimi hitrostmi.

(Vir: Keith Johnson, Fizika, str. 162)

Da torej telo kljub privlačni gravitacijski sili ne pade nazaj na Zemljo in

hkrati ne odleti vstran od Zemlje, je potrebna točno določena hitrost, ki ni niti

premajhna, niti prevelika. Imenujemo jo kozmična ali ubežna hitrost. Poznamo

štiri kozmične hitrosti glede na to, ali želimo, da telo kroži okoli Zemlje, zapusti

Zemljino orbito, zapusti Osončje ali celo Galaksijo. V nadaljevanju bomo

povedali vrednosti vseh štirih ter teoretično in računsko izpeljali vsaj prvi dve.

Pomagali si bomo s člankom profesorja na FNM v Mariboru Roberta

Repnika, ki ga je objavil v reviji astronomskega društva Kmica [29]. Če

64

odmislimo silo zračnega upora in podelimo atletu, ki meče kopje na površju

Zemlje zelo veliko moč, potem bi kopje poletelo izredno daleč (slika 38).

Slika 38: Kozmične hitrosti

(Vir: R. Repnik, Jurij Vega in balistika, Bilten AD Kmica št. 9, 9 (2006), stran 13)

V tem primeru moramo upoštevati planet Zemljo kot kroglo, kjer sila

gravitacije kaže proti središču planeta. Tir gibanja pri horizontalnem metu je v

tem primeru elipsa, le v enem posebnem primeru krožnica. Če izmetna hitrost ne

bi bila zadostna, bi se izstrelek pač zapičil na neki določeni dometni razdalji v

tla. Če bi hitrost imela neko prav posebno vrednost, bi v tem posebnem primeru

kopje obkrožilo Zemljo. Kot smo že povedali, to hitrost imenujemo prva

kozmična hitrost. Prvo kozmično hitrost za planet Zemlja izračunamo tako:

s

km

s

m

m

kgkg

Nm

R

GMv 9,710905,7

106378

109736,51067300,63

3

242

211

1 ≅⋅=⋅

⋅⋅⋅==

−

(25)

pri čemer je G gravitacijska konstanta, M masa Zemlje in R ekvatorski polmer

Zemlje. Pri tej hitrosti bi vodoravno izstreljen izstrelek na površju planeta brez

upoštevanja zračnega upora teoretično za vselej krožil okoli planeta po krožnici s

polmerom enakim ekvatorskemu polmeru planeta.

V kolikor pa bi bila hitrost še večja (a ne čisto prevelika), bi kopje morda

odletelo malce dlje stran od planeta, nato pa se vrnilo nazaj in bi ves čas letelo po

65

elipsi okoli Zemlje. V kolikor pa bi presegli neko drugo posebno vrednost

hitrosti, bi kopje za vedno zapustilo planet. Res je, da bi se od samega začetka

gibanja pričelo vse bolj upočasnjevati, vendar se nikoli ne bi ustavilo, kaj šele, da

bi pričelo padati nazaj proti Zemlji. To hitrost imenujemo druga kozmična

hitrost. Druga kozmična hitrost zadošča, da izstrelek za vedno zapusti

gravitacijski privlak planeta, če smo ga izstrelili s površja (brez upoštevanja

zračnega upora). In še nekaj, povsem nepomembno je, v kateri smeri smo

izstrelili izstrelek, če le nismo takoj po izstrelitvi zadeli ob površje planeta.

Drugo kozmično hitrost izračunamo tako:

s

km

R

GMv 2,11

22 == (26)

Opazimo, da je druga kozmična hitrost za 2 večja od 1. kozmične hitrosti.

Bolj kot zanimivost naj na koncu dodamo, da včasih navajamo tudi tretjo in

četrto kozmično hitrost. Tretja kozmična ali ubežna hitrost je hitrost, s katero se

mora gibati telo, da lahko zapusti Osončje. Če telo izstreljujemo iz Zemlje, ta

hitrost znaša s

km17 . Četrta kozmična ali ubežna hitrost pa je tista hitrost, s katero

se mora gibati telo, da lahko zapusti našo Galaksijo. Če ga izstreljujemo iz

Zemlje, znaša s

km129 .

Podobno bi lahko zgodbo nizanja kozmičnih hitrosti nadaljevali še za večje

skupine objektov vesolja, ki izstrelke privlačijo s svojo gravitacijo (lokalna jata

galaksij, nadjata…).

Telo, ki se giblje s prvo kozmično hitrostjo, vsako sekundo naredi 5 km v

tangentni smeri in hkrati zaradi vpliva gravitacije pade 5 m proti Zemlji. [17] Na

popolnoma identičen način se okoli Zemlje giblje tudi Luna, ki se vsako sekundo

pomakne za 1 km v tangentni smeri in za 1,4 mm proti Zemlji. Podobno velja

tudi za geostacionarni satelit (slika 39). Ta nad Zemljo kroži v višini 36 000 km

tako, da naredi en obhod v enem dnevu. Ker tudi Zemlja naredi en obrat v enem

dnevu, se opazovalcu na Zemlji zdi, da satelit miruje. Prav zaradi tega so

geostacionarni sateliti primerni za prenos raznih signalov (TV, telefon…).

66

Slika 39: Geostacionarni satelit

(vir: M. Ambrožič, et. al., Fizika 8, (DZS, Ljubljana, 1998, str. 82)

67

5. NAVPIČNICA

V tem poglavju dokazujem, da težni pospešek dejansko ne kaže proti

središču Zemlje. Zaradi vrtenja Zemlje namreč pride do odklona navpičnice od

radialne črte, ki povezuje točko na površini Zemlje z njenim središčem.

Navpičnica je črta, ki povezuje točko na površini Zemlje z njenim središčem. Ta

odklon je že izračunan. Vendar ta izračun ni čisto pravilen. Napačen je za faktor

2. Vzrok za napako je v tem, da ta izračun ne upošteva učinka sploščenosti

Zemlje. V nadaljevanju bom pokazal ta najnovejši izračun odklona navpičnice, ki

poleg vrtenja Zemlje vključuje tudi učinek zemeljske sploščenosti.

5.1 Odklon navpičnice zaradi vrtenja Zemlje

Izberimo poljubno točko na severni polobli (slika 40).

Slika 40: Odklon navpičnice od radialne smeri, kot rezultat rotacije sferične

Zemlje. Pravi gravitacijski pospešek je označen z 0gv . Smer gravitacijskega

pospeška, ki ga izmerimo, je označena s Tv.

68

Na viseče telo delujeta sila teže in sila nitke. Smer nitke, na kateri telo visi,

imenujemo navpičnica. Zaradi vrtenja Zemlje se navpičnica odkloni od smeri

vektorja težnega pospeška za kot cε . Pravi gravitacijski pospešek je označen z

0gv . Smer gravitacijskega pospeška, ki ga izmerimo, je označena s T

v.

Učinek vrtenja Zemlje na odklon navpičnice glede na radialno črto (to je

smer pravega gravitacijskega pospeška) je standardni problem pri začetnih

tekstih o mehaniki17 [4]. Pri izračunu odklona predpostavijo, da je dodatni

odklon zaradi sploščenosti zemlje zanemarljivo majhen. V nadaljevanju bom

pokazal, da se zmotimo skoraj za faktor 2, če pri izračunu odklona navpičnice ta

učinek zanemarimo.

Večina avtorjev odklon navpičnice izračuna v neinercialnem rotacijskem

koordinatnem sistemu [5]. Če računamo v neinercialnem opazovalnem

sistemu18, moramo vpeljati navidezne (sistemske) sile. Enak rezultat pa dobimo

tudi s preprosto raziskavo rotacije Zemlje v inercialnem sistemu [1]. To pomeni,

da se postavimo nekam v vesolje in opazujemo Zemljo iz te točke nekje v

vesolju.

Predstavljajmo si, da je navpično nihalo postavljeno na neki poljubni

zemljepisni širini nad ekvatorjem. Ko se nihalo skupaj z Zemljo vrti, ima

centripetalni pospešek v smeri, ki je vzporedna z ekvatorialno ravnino,

pravokotno na zemeljsko rotacijsko os (slika 40). Gravitacijska sila mg0, kaže v

radialni smeri. Da zagotovimo centripetalni pospešek, mora napetost v vrvici z

radialno smerjo oklepati kot cε .

_________________________________________________________________ 17

Mehanika – Veja fizike, ki obravnava mirovanje teles in gibanje pod vplivom sil.

18 Neinercialni opazovalni sistem – Neinercialni ali pospešeni opazovalni sistem je v fiziki

takšen opazovalni sistem, kjer deluje sistemska sila.

69

Sedaj si predstavljajmo tekočo sferično Zemljo, ki se naenkrat začne vrteti

okoli osi. Rezultanta sil deluje v smeri pravokotno na površino, dokler se masa

ne preuredi tako, da je tangencialna komponenta enaka 0. Ko rotacijski učinki

sploščajo Zemljo v elipsoidno obliko, pravi ali resnični gravitacijski pospešek 0gv

ni več usmerjen proti središču Zemlje, kot bi bil pri sferični Zemlji.

V sledečem tekstu bomo predstavili novejšo izpeljavo standardne

centripetalne enačbe za odklon navpičnice. Pokazali bomo, da iz te enačbe lahko

dobimo splošno obliko profila prereza Zemlje. Sploščenost, ki jo napovemo,

kadar odklon navpičnice izračunamo brez upoštevanja elipsoidne oblike, je

manjša od dejanske vrednosti za skoraj faktor 2. Končno pa bomo tudi pokazali,

da je ta razlika skoraj natanko razložena z upoštevanjem učinka, ki ga ima

sploščenost Zemlje na smer pravega gravitacijskega pospeška 0gv .

Najprej bomo izpeljali odklon navpičnice zaradi centripetalnega t.j.

radialnega pospeška19. Privzeli bomo, da je Zemlja idealna krogla [1].

Zamislimo si predmet z maso m, ki visi na vrvici blizu površine Zemlje na

zemljepisni širini λ, kot je predstavljeno na sliki 40. Ko se Zemlja vrti, predmet

potuje po krožnici s polmerom Rcosλ. Telo ne miruje, ampak se giblje s

centripetalnim pospeškom, ki kaže proti središču kroženja, torej proti zemeljski

osi. Centripetalni pospešek telesa na ekvatorju je 2sm

034,0=a , z večanjem

zemljepisne širine pa se centripetalni pospešek zmanjšuje. Vsota sil, ki delujejo

na telo, mora imeti rezultanto v smeri pravokotno na os kroženja, to je v smeri

osi x (slika 41).

Ta rezultanta je po 2. Newtonovem zakonu enaka produktu med maso telesa

in njegovim pospeškom (ra ):

( ) rc maTmg =+− ελλ coscos0 , ( 27 )

kjer je ra radialni pospešek.

______________________________________________________________ 19 Radialni pospešek – Radialni ali centripetalni ali tudi tangencialni pospešek je pospešek, ki

kaže v smeri osi kroženja.

70

Slika 41: Komponente sil pri kroženju.

Ker velja rar2ω= in λcosRr = dobimo:

( ) λωελλ coscoscos 20 RmTmg c =+− ( 28 )

Kroženje je enakomerno, zato je radialni pospešek enak nič. Tako v smeri

osi y velja:

( ) 0sinsin0 =++− cTmg ελλ ( 29 )

Enačbi (28) in (29) tvorita sistem dveh enačb, iz katerih dobimo sledečo

zvezo za cε :

( )αλελ

−=+

1

tgtg c . ( 30 )

Brezdimenzijski parameter α je podan z enačbo:

0

2

g

Rωα = . ( 31 )

Uporabimo podatke mR 61037,6 ⋅= , 20 81,9s

mg = , obhodni čas Zemlje

st 861640 = in izračunamo najprej kotno hitrost:

15

0

1029,72 −−⋅== st

πω ( 32 )

Z uporabo formule ( 31 ) izračunajmo še α :

71

( ) 3-

2

2156

0

2

103,45 81,9

1029,71037,6 ⋅=⋅⋅⋅==−−

s

msm

g

Rωα ( 33 )

Iz enačbe (30) z uporabo standardnih trigonometričnih in algebraičnih enakosti

izpeljemo enačbo za cε :

. t1

tgtg

2λαλαεg

c +−= (34)

Ker je parameter α << 1, ga lahko v imenovalcu izpustimo in enačbo (34)

zreduciramo na:

( )λαλ

λαε 2sin2

tg1

tgtg

2=

+=c . (35)

Ker je majhen tudi , cε pa lahko uporabimo še cc εε tg ≈ in končno pri

045=λ dobimo:

( ) . 0,0988 10725,1 2sin2

03 =⋅== −λαεc (36)

To je standarden rezultat, ki pravi, da odklon navpičnice od radialne linije pri

zemeljski širini 45° znaša 0,0989°.

Pri standardni izpeljavi smo predpostavili, da je Zemlja idealna krogla in

ob upoštevanju rotacije izračunali cε . Ker mora biti smer navpičnice Tv

pravokotna na površino, lahko sedaj ocenimo, kolikšna je sploščenost Zemlje.

Naj bo y = y (x) enačba profila polarnega prečnega prereza Zemlje.

Izhodišče koordinatnega sistema je postavljeno v središče Zemlje.

Ker mora biti navpičnica v vsaki točki pravokotna na površino Zemlje,

lahko zapišemo nagib tangente pri tem prečnem prerezu in dobimo :

. )(

1

ctgdx

dy

ελ +−= (37)

V ta izraz vstavimo enačbo (30) in dobimo:

. 1

λα

tgdx

dy −−= (38)

72

Ker velja, da je , tgλ=x

y se enačba (38) zreducira na:

( ) . 0 -1 =+ y dyx dxα (39)

Z integriranjem enačbe (39) dobimo eliptični profil prečnega prereza Zemlje:

( ) . 1 22 Cyx =+−α (40)

Integracijska konstanta C mora biti pozitivna. Iz enačbe (40) izpeljemo

ekvatorialni radij eR in polarni radij pR :

( ) , 1 α−

= CRe (41)

. CRp = (42)

Sploščenost Zemlje označimo z f in je splošno definirana kot:

.1035,36378137

63567526378137 3−⋅=−=−

=m

mm

R

RRf

e

pe (43)

Vrednost sploščenosti, ki jo dobimo iz enačb (41) in (42), pa je drugačna.

Izračunajmo:

. 101,722

11 3-⋅=≈−−= ααf (44)

Izračunana vrednost (44) je skoraj za faktor 2 manjša od prave vrednosti. Če

primerjamo izraz (44) z izrazom (36) za ,cε uvidimo, da se mora tudi izračunani

odklonski kot navpičnice od prave vrednosti razlikovati za skoraj faktor 2.

5.2 Odklon navpičnice zaradi sploščenosti Zemlje

Da dobimo pravilen odklonski kot navpičnice, moramo upoštevati tudi

sploščenost Zemlje [1]. Začeli bomo z enačbo eliptičnega profila prečnega

prereza Zemlje z izmerjenim ekvatorialnim in polarnim polmerom:

. 1

22

=

+

pe R

y

R

x (45)

73

To je dobra ocena, saj se dejanska oblika Zemlje zelo malo razlikuje od

naše oblike. Če diferenciramo enačbo (45) in upoštevamo še nekaj matematičnih

enakosti, dobimo

( ) , 2sin λεε ftg =≈ (46)

kjer je f podan z izrazom (43). Sploščenost Zemlje, ki jo dobimo iz te zveze, je

seveda pravilna, torej enaka f.

Razlika med pravilnim odklonskim kotom navpičnice in kotom,

napovedanim samo s centripetalnimi učinki, izhaja iz dejstva, da smer pravega

gravitacijskega pospeška 0gv

pri sploščeni Zemlji ne poteka skozi njeno središče

(slika 42).

tangenta

ϑϕ

r

tangentatangenta

ϑϕ

r

Slika 42: Zaradi centripetalnega pospeška in učinkov sploščenosti gravitacijska

sila ne kaže v smeri proti središču elipsoidne Zemlje.

(Vir: Pirooz Mohazzabi, Mark C. James, American Journal of Physics 68, 1038 (2000)).

74

V nadaljevanju bomo izpeljali, kolikšen je kot gε med smerjo pravega

gravitacijskega pospeška in zveznico med središčem Zemlje ter točko, kjer

gravitacijski pospešek merimo.

Vzemimo poljubno točko na površini Zemlje. Koordinate te točke podamo

v sferičnem koordinatnem sistemu20 s koordinatama r in ϑ . Gravitacijski

potencial 21 v tej točki je podan z enačbo:

( ) ( ) . 1cos32

, 23

2e

−

−−= θθr

Ra

r

R

R

GMrV e

egrav (47)

______________________________________________________________ 20 Sferični koordinatni sistem

21 Potencial – Količina, s katero opisujemo polja. V preprostih primerih (npr. pri

gravitacijskem in pri el. polju) dobimo potencial kot kvocient med potencialno energijo

preskusnega telesa in njegovo maso, oziroma nabojem [14].

75

Prvi člen v izrazu (47) ustreza sferični simetriji. Drugi člen je prvi red

popravka zaradi nesferičnosti Zemlje in opisuje ekvatorialno izboklino. Iz

podatkov, ki so jih pridobili z merjenji iz satelita, je vrednost 2a zelo natančno

določena in sicer znaša 1,082 635 ⋅ 10 –3 .

Izkaže se, da so popravki višjega reda mnogo manjši od navedenega

popravka in jih lahko zanemarimo. Jakost gravitacijskega polja (ali pravi

gravitacijski pospešek) 0gv je gradient 22 potenciala:

( ).,0 θrVg grav−∇=v (48)

Minus pomeni, da pospešek kaže v nasprotno smer naraščanja potencialne

energije.

V sferičnem koordinatnem sistemu izračunamo gradient skalarne funkcije

),,( ϕϑφ r kot:

∂∂

∂∂

∂∂=∇

ϕφ

ϑϑφφφ

sin

1,

1,

rrr . (49)

V našem primeru tretja koordinata odpade, ker imamo rotacijski elipsoid.

Gravitacijski pospešek je torej:

θθe

Ve

r

Vg ˆ

r

1 -ˆr0 ∂

∂∂∂−=v

, (50)

kjer sta re in θe enotska vektorja.

V enačbi (50) izračunamo prvi člen:

( ) . 1cos32

3 2

4

2

2

2

−

−

=∂∂ θ

r

Ra

r

R

R

GM

r

V ee

e

(51)

in nato še drugi člen:

( ) . 2sin2

3

14

22

−=∂∂ θ

θ r

Ra

R

GMV

re

e

(52)

_____________________________________________________________________________________ 22 Gradient – Gradient je diferencialna operacija, ki pove v kateri smeri se polje najbolj

spreminja. Je torej vektor, ki iz skalarja da vektor. Gradient označujemo z oznako »grad« ali

simbolom ∇ , ki mu rečemo nabla.

76

Tako dobimo:

( ) ( ) .ˆ2sin2

3 ˆ 1cos3

23

4

22r

24

2

2

20 θθθ er

Ra

R

GMe

r

Ra

r

R

R

GMg e

e

ee

e

+

−

−

−=v (53)

Kot gε med smerjo 0g in radialno linijo lahko dobimo iz komponent

gravitacijskega pospeška (52):

rg g

g

0

0tg θε = , (54)

od koder ob upoštevanju izraza (53) sledi:

( ).2sin2

3 tg 2 θε a

g = (55)

Pri tem smo upoštevali, da je drugi člen v radialni komponenti gravitacijskega

pospeška veliko manjši od prvega. Pri ostalih členih smo uporabili približek r ≈

R e . Razen tega je θ preko θ = π/2 - λ povezan z zemljepisno širino λ. Tako

dobimo:

( ) . 2sin2

3tg 2 λεε a

gg =≈ (56)

Ker odklon navpičnice zaradi centripetalnega pospeška merimo glede na

smer pravega gravitacijskega pospeška 0g , je celotni odklonski kot navpičnice

od radialne linije enak vsoti obeh odklonov cε (odklon zaradi vrtenja) in

gε (odklon zaradi sploščenosti):

( ) 032 192,01035,3 2sin2

3

2=⋅=

+=+= −λαεεε agc (57)

To se odlično ujema z dejansko sploščenostjo Zemlje, saj je tudi ta

vrednost enaka 31035,3 −⋅ ali 0192,0 . Ker so prejšnje izpeljave upoštevale le vrtenje

Zemlje, zanemarjale pa prispevek sploščenosti h koeficientu pred ( )λ2sin , so

podcenile odklonski kot navpičnice za skoraj faktor 2.

77

6. SKLEP

Med vsemi zakoni narave se nam zdi gravitacijski zakon najbolj domač.

Vsak, ki vsaj bežno pozna Newtonov gravitacijski zakon in je že slišal za

Einsteinovo teorijo gravitacije misli, da o gravitaciji ve skoraj vse. Vendar žal ni

tako. Pojem gravitacije je, kljub temu, da o njem vemo kar nekaj, še vedno eden

najbolj skrivnostnih in najmanj odkritih. Kajti gravitacija, kot smo že dejali,

domuje v vesolju. Človek pa kljub vsej tehniki po nekaterih podatkih pozna samo

4% vesolja. 96% tega prostranstva je še neodkritega. V tem neodkritem prostoru

pa se skriva še neskončno število vprašanj o gravitaciji, na katere še ne moremo

odgovoriti, saj ne poznamo niti vprašanj, kaj šele odgovorov. Nemški svobodni

pisec tovrstnih knjig Gerhard Staguhn, pisec knjig, kot so Božji smeh, Skrivnosti

vesolja in V iskanju najmanjšega delca, je zapisal [11]: «Človeška vednost ima

torej meje, ki jih je postavila narava. Lahko bi celo rekli, da si narava ne želi, da

bi o njej vedeli vse. Lahko domnevamo, da sveta ne bomo nikoli spoznali do

potankosti. In tako je tudi prav, kajti kdo pa si želi živeti v svetu, kjer ni vsaj

nekaj skrivnostnosti.« Človeška vednost ima torej meje. Tudi zaradi te svoje

skrivnostnosti je gravitacija tako zanimiva za številne znanstvenike. Upam, da

nam je v pričujoči nalogi uspelo približati vsaj delček tistega delčka, ki ga o tem

pojavu znamo razložiti.

Učitelji fizike se tako v osnovni kot v srednji šoli, večkrat srečajo s

pojmom gravitacije. Ne spuščajo se sicer v podrobnosti, vendar ta tema je za

učence vedno zanimiva. V sebi namreč nosi vonj po vesolju, zvezdno nebo pa je

za mlade izjemno privlačno. Zato sem k nalogi prilepil še dodatek, ki bo razkril

marsikatero zanimivost in bo v pomoč učiteljem pri bolj atraktivnem razlaganju

te teme. Tam, kjer se izvaja tudi dodatni pouk, ure dodatne strokovne pomoči

(DSP) ali celo izbirne vsebine, bodo predstavljene zanimivosti še posebej

uporabne.

78

DODATKI

Gravitacija je torej zelo širok pojem, ki ga srečamo skorajda na vseh

točkah znanstvenega raziskovanja in tudi povsem vsakdanjega življenja. Zato ni

čudno, da v zvezi s tem pojavom srečamo veliko zanimivosti. V nadaljevanju

bom predstavil nekatere od teh.

1. Galileo Galiei in poševni stolp v Pizzi

Legenda pravi, da je Galilei svoji krogli spuščal tudi iz 55 m visokega

poševnega stolpa v Pizzi (slika 4). Vendar tega skoraj ne moremo verjeti.

Poglejmo zakaj. Privzemimo, da je delal s kroglicama s polmerom 3 cm.

Prostornino kroglice izračunamo iz enačbe za prostornino krogle:

343

1013,13

4m

rV −⋅== π

. (58)

Specifična teža za železo je 3

78000m

N. Iz enačbe za specifično težo

V

Fg=σ (59)

izpeljemo in izračunamo težo kroglice:

=⋅= VFg σ 8,8N. (60)

Ker je specifična teža lesa približno 10 krat manjša, je ob enaki prostornini tudi

njena teža 10 krat manjša. Znaša torej približno 0,9 N. Če upoštevamo, da se

kroglici hitrost vsako sekundo poveča za s

m10 , bi pri vznožju stolpa dosegla

hitrost nekaj nad s

m30 . Upor zraka bi pri železni kroglici znašal N7,0 , kar

predstavlja samo 8 % teže kroglice. Hitrost se ji torej še naprej veča. Zračni upor

je pri železni kroglici pri tej hitrosti torej možno zanemariti. Drugače je pri leseni

kroglici. Zračni upor, ki je prav tako 0,7 N predstavlja že 78 % teže kroglice.

Lesena kroglica torej sploh ne more preseči hitrosti s

m30 .

Če je Galilei resnično eksperimentiral na poševnem stolpu v Pizzi, je

vsekakor opazil, da lesena kroglica pri tleh že krepko zaostaja za železno

79

kroglico. Predpostavimo, da je Galileo Galilei imel za klobuk zataknjeno kurje

pero. Če bi mu sočasno s kroglama padlo tudi kurje pero, bi le-to pri padanju

krepko zaostalo tako za železno, kot tudi za leseno kroglico. Upor zraka bi zaradi

večje površine kurjega peresca bil znatno višji.

Kako torej učence v osnovni šoli prepričati, da vsa telesa padajo z enakim

pospeškom? Čisto preprosto. Vzamemo dolgo stekleno cev, ki je skonstruirana

tako, da ima na eni strani vgrajen ventil, preko katerega je možno iz cevi izsesati

zrak (slika 43). V cevi je košček svinca, lesena trska, peresce in košček scefrane

vate [19]. Ko je v cevi zrak, padajo telesa različno hitro. Najhitrejši je košček

svinca, najpočasnejše je peresce. Na padanje vpliva upor zraka. Ko pa iz cevi

izsesamo zrak in poskus ponovimo, padajo vsa telesa z enako hitrostjo. Na ta

način smo torej dokazali zakone padanja, ki pravijo, da vsa telesa v bližini

Zemlje padajo enako hitro.

Slika 43: Padanje v zraku … … in v vakuumu

(Vir: J. Ferbar, F. Plevnik: Fizika za osmi razred, DZS, Ljubljana 1994, str. 21)

80

2. Newton in gravitacijska konstanta

Newton v svojem gravitacijskem zakonu ni določil gravitacijske

konstante, zato je neverjetno, koliko si je kljub temu pomagal s tem zakonom, ne

da bi ga poznal do podrobnosti [21]. Zato ni mogel uporabljati naravnost

gravitacijskega zakona, ampak se je moral zadovoljiti z računanjem razmerja

njunih razdalj:

2

2

1

1

2

=

r

r

F

F (61)

3. Merjenje gravitacijske konstante

V teoriji gravitacije je vedno burila domišljijo gravitacijska konstanta. Še

za časa Newtona so jo posamezniki poskušali izmeriti. Potrebno je bilo izmeriti

privlačno silo med telesoma na zemeljskem površju. Vendar ta sila je zelo

majhna. Danes vemo, da se krogli z masama po en kg v razdalji enega metra

privlačita s silo 67 bilijonin N.

Na začetku so poskusili izmeriti silo med drobnim telesom in goro. Telo

so obesili na vrvico in merili odklon vrvice od navpičnice. Ta zamisel se ni

obnesla. Privlačna sila med laboratorijskima telesoma je še manjša. Merili so jo

lahko šele potem, ko je francoski vojaški inženir Charles Augustin de Coulomb

(slika 44) izumil torzijsko tehtnico (slika 45), s katero je leta 1785 preveril zakon

za silo med naelektrenima telesoma, ki podobno kot Newtonov gravitacijski

zakon pravi, da je ta sila sorazmerna z nabojem enega in nabojem drugega telesa

in obratno sorazmerna s kvadratom njune razdalje. Razlika je samo v tem, da je

gravitacijska sila vedno privlačna, kar za silo med naelektrenima telesoma ne

velja.

81

Slika 44: Charles Augustin de Coulomb (1736 – 1806)

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

Slika 45: Torzijska tehtnica, s katero je Henry Cavendish izmeril grav. konstanto

(Vir:J. Strnad, Merjenje gravitacijske konstante, Presek 15 (2), 119 (1987-88))

Leta 1798 je s torzijsko tehtnico Anglež Henry Cavendish prvič izmeril

tudi gravitacijsko konstanto. Leta 1982 sta gravitacijsko konstanto ponovno

izmerila fizika Luther in Towler [25] in dobila vrednost -1110 6,6726 ⋅ 2

3

kgs

m, kar

se le malo razlikuje od do tedaj znane vrednosti -1110 6,7 ⋅ 2

3

kgs

m.

82

4. Ali Newtonov gravitacijski zakon velja?

Nekateri fiziki kritično preverjajo temeljne ugotovitve Newtonovega

gravitacijskega zakona. Postavili so si tudi vprašanje, ali Newtonov gravitacijski

zakon natančno velja. Ponudili so novo različico gravitacijskega zakona v obliki:

++⋅

=−

b

Rae

R

mmGF b

R

g 112

21. (62)

V dodatnem faktorju naj bi bil majhen številski koeficient 007,0=a , b pa

bi bila razdalja, mb 200= . Dodatni faktor izgubi svoj pomen, ko razdalja R med

telesoma doseže nekajkratno vrednost b -ja [25]. Gravitacijska sila bi tako bila

pri majhnih razdaljah nekaj manjša kot po Newtonovem gravitacijskem zakonu.

V razdaljah, s katerimi se srečujemo v vesolju, pa bi razlika bila minimalna.

Razprava o tem dodatku v fiziki še ni končana.

5. Ali morda gravitacijska konstanta pojema s časom?

Angleški fizik Dirac (slika 46) je leta 1937 primerjal kvociente nekaterih

fizikalnih količin, ki so gola števila in niso odvisna od izbire enot [24].

Slika 46: Paul Adrien Maurice Dirac (1902 – 1984)

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

83

Kvocient električne in gravitacijske privlačne sile med elektronom in

jedrom vodikovega atoma je 38103,2 ⋅ . Kvocient časa razširjanja vesolja 0t in za

atomski svet značilnega časa at pa je 38102,4 ⋅ . Dirac je trdil, da obe zelo veliki

števili nista po naključju približno enaki, ampak da se za tem skriva še neznani

zakon narave. Ni treba, da bi bili obe števili natančno enaki, saj bi s teorijo lahko

dodali še kak faktor, ki bi kvocient med zgornjima vrednostma naredil enak 1.

Ker starost vesolja s časom narašča, bi se morala s časom spreminjati vsaj še ena

osnovna konstanta, da bi kvocient ostal ves čas enak 1. Če bi bila to samo

gravitacijska konstanta, bi morala pojemati obratno sorazmerno s starostjo

vesolja. Izračun pokaže, da bi to zmanjševanje znašalo 11100,6 −⋅ na leto.

Po dolgotrajnem zasledovanju gibanja planetov z radarjem so ugotovili, da

se gravitacijska konstanta ne spreminja tako izdatno. Obstajajo dvomi, če je to

spreminjanje sploh prisotno. Večina fizikov meni, da drzno Diracovo sklepanje

nima zadostne eksperimentalne podpore in da v celoti povzroči več težav, kot pa

razreši odprtih vprašanj.

6. Ali je Osončje stabilno?

Naše Osončje sestavljajo Sonce in planeti. Trenutno v Osončje uvrščamo

8 planetov, še leta 2006 smo jih devet. Od tega leta namreč Pluton ni več na

seznamu. V prejšnjih stoletjih so jih poznali še manj. Toda kljub temu so se že v

zgodovini znanstveniki spraševali ali je Osončje stabilno. Na vsak planet namreč

poleg privlačne sile Sonca delujejo še sile drugih planetov. Ali te sile ne delujejo

kot majhne motnje, ki bi lahko porušile stabilnost Osončja? Na to vprašanje so

skušali odgovoriti že okoli leta 1800 francoski mehaniki Laplace, Lagrange in

Poisson [26]. Z matematičnimi izračuni so takrat dokazali, da je Osončje

stabilno. Toda v njihovih dokazih so pozneje odkrili vrzeli. Ker razprave o tem

niso pojenjale, je švedski kralj razpisal o tej temi nagradno nalogo. Nagrado je

leta 1889 dobil francoski matematik in fizik Henri Poincare (slika 47).

Njegova ugotovitev je bila, da stabilnosti Osončja ni mogoče dokazati.

Toda tudi Poincarejevi dokazi niso bili neoporečni. Leta 1962 sta jih dopolnila

84

ruska matematika Arnold in Moser. Toda kljub temu je Poincarejev sklep ostal v

veljavi.

Slika 47: Jules- Henri Poincaré (1854 – 1912)

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

Zanimivo je tudi to, da Poincaré velja za miselnega predhodnika

Einsteinove posebne teorije relativnosti in za zadnjega univerzalnega

matematika.

7. Črna luknja

Črne luknje (slika 48) so eden od astronomskih pojmov, ki se je udomačil

tudi v vsakdanji govorici. Običajno opisuje nek ponor stvari, kraj kamor stvari

izginejo in jih več ni mogoče najti ali dobiti nazaj [28]. To ustreza glavni

značilnosti črnih lukenj: tako pravimo območju vesolja, v katerem je privlačna

gravitacijska sila tako močna, da iz njega ne more pobegniti nič, tudi svetloba ne,

ki se giblje z največjo možno hitrostjo 300 000 s

km. Ker svetloba iz črne luknje

ne more do nas, ne moremo videti stvari, ki so padle vanjo, in tudi na splošno ne

izvedeti, kaj se v njej dogaja.

Zamisel o telesih, ki bi bila tako masivna, da jim ne bi pobegnila niti

svetloba, je stara okrog 200 let. Dobrih 100 let po objavi Newtonovega

gravitacijskega zakona je John Michell omenjal nenavadna telesa v vesolju, v

85

katera bi se, če bi bila dovolj masivna in gosta kot 500 Sonc, druga telesa

zaletavala s hitrostjo, večjo od svetlobne.

Slika 48: Črna luknja

(Vir: (Bilten Astronomskega društva Kmica št. 9, 9 (2006))

Če bi takšna telesa sevala svetlobo, bi se ta na neki višini obrnila in padla

nazaj. Podobno in neodvisno od Michella je razmišljal Pierre Simon de Laplace

(slika 49) leta 1798:

»Svetla zvezda, enake gostote kot je Zemlja, in z dvestopetdesetkrat večjim

premerom od Sončevega, ne bi, zaradi svoje privlačnosti, dopustila nobenemu

svojemu žarku, da pride do nas; tako je torej možno, da so največja svetla telesa

v vesolju zaradi tega vzroka nevidna.« P. S. LAPLACE

Slika 49: Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827)

(Vir:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies)

86

Kljub temu so črne luknje na trdne teoretične temelje morale počakati na

20. stoletje in Einsteinovo splošno teorijo relativnosti. Kmalu po njeni objavi je

Karl Schwarzschild (slika 50) leta 1916 odkril rešitev Einsteinovih enačb polja,

za katero se je izkazalo, da opisuje singularnost v prostoru oziroma črno luknjo,

kot pravimo danes. Vendar se takrat ni zdelo verjetno, da bi ta matematična

rešitev imela tudi fizikalno vsebino in bi takšni objekti lahko zares obstajali v

vesolju.

Slika 50: Karl Schwarzschild (1873 – 1916)

(Vir: http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/)

Pomemben korak sta leta 1939 naredila Oppenheimer in Snyder, ko sta

pokazala, da je končno stanje zvezde odvisno od mase snovi, ki ostane v zvezdi

na koncu njenega življenja. Če je te za manj kot okrog 1,2 MS

(kjer je MS

masa

Sonca), zvezda konča kot bela pritlikavka. Če je ostane med 1,2 MS

in okrog 3

MS, nastane nevtronska zvezda. Če pa ostane v zvezdi več kot okrog 3 M

S,

notranji tlak v zvezdi izgubi boj z gravitacijo in zvezda se neizbežno sesede v

črno luknjo. Pravimo, da ta nastane v trenutku, ko se polmer zvezde zmanjša pod

Schwarzschildov radij:

2

2c

GMr = , (63)

87

kjer je M masa črne luknje, G gravitacijska konstanta in c svetlobna hitrost.

Območje pod Schwarzschildovim radijem je kot odrezano od ostalega dela

vesolja in nobena informacija ne more priti iz njega do nas.

V 60-tih letih 20. stol. se je začela zlata doba teoretičnega proučevanja

črnih lukenj. Eno njenih največjih uspehov je bilo odkritje, da črna luknja

zunanjemu opazovalcu ne razkriva nobenih svojih podrobnosti, kot npr. iz

kakšne snovi (ali celo antisnovi) je nastala, ampak lahko od zunaj ugotovimo le

tri njene lastnosti: maso, vrtilno količino23 in električni naboj.

Kako črne luknje nastanejo?

Dokazi zbrani v zadnjih nekaj letih kažejo, da so črne luknje v galaktičnih

jedrih povezane z nastankom in razvojem galaksij. Vendar zaenkrat še ni znano,

kako so te črne luknje nastale [28]. Ena možnost je, da so nastale kot že precej

masivne črne luknje ob samem nastanku galaksije in so se potem počasi večale,

ko so požirale okoliško snov. Druga razlaga pa pravi, da so nastale v razvoju

galaksije iz majhnih črnih lukenj, ki so se sesedle v središču galaksije in potem

začele hitro rasti ob intenzivnem črpanju plina in zvezd iz okolice. Nekatere

razlage pa pravijo, da je njihov nastanek povezan z burnimi trki ali vsaj bližnjimi

srečanji galaksij.

8. Od kod ime Mlečna cesta?

Zvezdna cesta na nebu je v grški mitologiji pot, po kateri duše najlaže

prispejo s planeta Zemlje na nebo. Med nesmrtne je lahko sprejeta le tista duša,

ki jo je dojila boginja Hera [34]. Ena od legend pripoveduje, da je Hermes na

Olimp prinesel malega Herakleja in ga je Zevs položil na prsi speče Here. Ta se

je zbudila in strgala tujega otroka s svojih prsi. Božje mleko se je v obliki

mlečnega pasu ali ceste razlilo preko neba.

_____________________________________________________________________________________ 23 Vrtilna koli čina – Vrtilno količino ima točkasto telo z maso m , ki se giblje s hitrostjo

vv

glede na referenčno točko T.

88

Po Herinem razlitem materinem mleku je v stari grščini in tudi sicer

zvezdna galaksija, ki jo prepoznamo kot medlo svetel pas na nebu, imenovan

Mlečna cesta. Ime smo sprejeli preko latinske besede Via lactea (torej Mlečna

cesta). Ta pa spet izhaja iz grške besede Galaxia (gala, galactos), kar pomeni

mleko.

9. Planet Malega princa

Kdo ne pozna prisrčne knjižice za otroke in odrasle, ki jo je napisal

francoski pisatelj in letalec Antoine de Saint-Exupery (1900-1944)? Lepoto te

knjižice vsakdo sprejema po svoje. Prav tako si vsak po svoje razlaga znamenite

besede: »Če hočemo videti, moramo gledati s srcem.« Iz zgodbe izvemo, da

Mali princ prihaja iz planeta, ki je komaj kaj večji od hiše. Pisatelj domneva, da

prihaja z asteroida B 612. Ta asteroid je leta 1909 s teleskopom zasledil neki

turški zvezdogled. Na tem mestu nas seveda ne zanima umetniška plat te

knjižice, ampak razmišljamo o gravitaciji. Ali bi sploh bilo mogoče prebivati na

tem planetu?

Poglejmo fizikalne dokaze [27]. Zaradi lažjega računanja privzemimo, da

ima planet Malega princa radij m64 , kar je sto tisočina zemeljskega radija. Če je

planet Malega princa enako gost kot Zemlja, je teža na njem sto tisoč krat manjša

kot na Zemlji. Mali princ z maso kg30 ima na svojem planetu težo samo N003,0 .

V enakem razmerju kot teža je zmanjšan tudi pospešek prostega pada. Na planetu

Malega princa znaša torej samo 21,0s

mm. Padanje je torej zelo počasno. V prvi

sekundi bi telo padlo samo mm05,0 . Kot vemo, na Zemlji v tem času pade m5

globoko. Tudi ubežna hitrost ali 2. kozmična hitrost, ki je na Zemlji s

km11 , je na

planetu Malega princa samo s

cm11 . Molekule plina pa se neurejeno gibljejo s

hitrostjo, ki je v povprečju veliko večja. Za molekule kisika pri temperaturi 300

K znaša s

m440 . Ta podatek nam pove, da na planetu Malega princa ni atmosfere.

Tudi premikanje na tem planetu je zelo oteženo. Če bi se Mali princ na svojem

89

planetu odrinil s hitrostjo s

cm11 ali več v smeri navpično navzgor, torej s

hitrostjo, ki je večja od ubežne, bi se moral za večno posloviti od svojega

planeta. Če seveda nad sabo ne bi imel strehe, ali pa če ne bi bil privezan.

Mali princ, podobno kot vesoljci, ki letijo okoli Zemlje na umetnih

satelitih, ne občuti skoraj nobene teže. Telo se temu prilagodi in zato bi prihod na

Zemljo, tudi iz medicinskega stališča, bil izjemno tvegan.

Veliko znanstvenih in fizikalnih dokazov torej kaže, da niti Mali princ niti

njegov planet ne obstajajo. Ker pa je Mali princ pravljična oseba, je seveda vse

mogoče. Še sreča, da fizikalni zakoni v pravljicah ne veljajo. Neobstoj pravljic bi

za otroke in tudi za starejše bila velika pomanjkljivost. Ljudje namreč odrastemo

tudi preko pravljic. Brez pravljic veliko ljudi nikoli ne bi odraslo.

10. V mehaniki si odkritja sledijo na 101 leto

Zanimivo je dejstvo, da so si do 20. stol. v mehaniki pomembna temeljna

odkritja sledila na 101 leto:

1687 - I. Newton: Principia mathematica philosophiae naturalis

1788 - J. L. Lagrange: Mecanique analitique (Analitična mehanika)

1889 - H. Poincare, Sur le probleme des trois corps et les equations de la

dynamique (O problemu treh teles in enačbah gibanja) [26]

V 20. stol. so seveda odkritja bolj pogosta.

11. Zmanjšana težnost

V učbeniku Fizika 8 iz leta 1998 najdemo zapisano naslednjo zanimivost v

povezavi z gravitacijo [17]: «Na dolge polete po vesolju se ljudje pripravljajo na

različne načine. Ruski kozmonavti so na vesoljski postaji Mir v orbiti preživeli

tudi več kot eno leto skupaj, torej dovolj časa za potovanje do Marsa in nazaj.

Imeli pa so težave predvsem zaradi vesoljskega sevanja (različnih žarkov), pred

katerim nas na zemeljskem površju ščiti atmosfera. Težave povzroča tudi

90

zmanjšana težnost, zaradi katere se telo odvadi zemeljske težnosti. Po povratku

so ugotovili, da so se astronavti podaljšali. Potrebovali so precej časa in vaje,

preden so bili zopet sposobni hoditi na Zemlji.«

12. Russel-Einsteinov manifest

Bertrand Russel (slika 51), borec za človekove pravice in Nobelov

nagrajenec za literaturo, je ob neki priložnosti dejal [2]: «Einsteinova teorija

relativnosti je verjetno največji dosežek človeškega uma doslej!«

Slika 51: Bertrand Arthur William Russell (1872 – 1970)

(Vir: http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/)

Skupaj z Einsteinom sta leta 1955 sestavila znameniti Russel-Einsteinov

manifest, ki ga je podpisalo še devet tedaj zelo priznanih znanstvenikov [37].

Manifest je poziv vsem znanstvenikom različnih političnih prepričanj, naj se

zberejo in skupaj razpravljajo o nevarnosti za človeško civilizacijo, ki jo prinaša

pojav jedrskega orožja. Manifest je bil javno razglašen 9. julija 1955. Albert

Einstein je umrl 18. aprila istega leta. Dejstvo, da je podpis Manifesta eno

zadnjih dejanj v Einsteinovem življenju, daje temu manifestu poseben pomen. Je

zadnje sporočilo človeka, ki je bil simbol veličine človeškega razuma.

Ena od posledic Manifesta je tudi začetek gibanja Pugwasch, katerega

namen je zbrati znanstvenike in vplivne ljudi iz vsega sveta, da bi iskali rešitve

91

globalnih problemov in zmanjšali vlogo jedrskega orožja v mednarodni politiki.

Leta 1995 je ustanovitelj gibanja Joseph Rotblat prejel Nobelovo nagrado za mir.

13. Global Positioning System – GPS sistem

Global Positioning System ali bolj znan s kratico GPS sistem je skupina

več kot 24 umetnih satelitov, ki na višini 20200 km krožijo okoli Zemlje in za

obhod potrebujejo približno 12 ur [9]. Oddajajo radijske valove, med njimi

valove s frekvenco 1575,42 1−s . Naprava, ki spominja na malo večji prenosni

telefon, lovi te valove z več satelitov in po zakasnitvi valovanj z njih določi

zemljepisno dolžino, zemljepisno širino in nadmorsko višino točke na površju

Zemlje. Sistem so za svoje namene začele sestavljati ameriške oborožene sile leta

1989 in ga končale leta 1995. Po letu 2000 so ga prenehale motiti, tako da je

mogoče določiti tri podatke na 15 metrov natančno. Zanimivo je, da ura na

satelitu v 24 urah zaradi višinske razlike prehiti uro na Zemlji za 45,6 milijoninke

sekunde in zaradi večje hitrosti zaostane za njo za 7,08 milijonine sekunde. V 24

urah bi zgrešili lego za približno 12 km, če ne bi tega upoštevali in ne bi ur na

satelitih naravnali tako, da v sekundi za uro na Zemlji zostanejo za

101046,4 −⋅ sekunde. Tistim, ki želijo natančno poznati svojo lego, bi se slabo

pisalo, če ne bi upoštevali splošne teorije relativnosti.

Clifford Will je zapisal [9]: «Nič bolje ne potrjuje nepredvidljive

koristnosti osnovnih raziskovanj kot zgodba o Albert Einsteinu in navigacijskem

sistemu GPS ..... Naslednjič, ko se bo v slabem vremenu vaše letalo bližalo

letališču in boste ravno razmišljali, čemu služi osnovno raziskovanje, pomislite

na Einsteina in sprejemnik GPS v kabini letala, ki omogoči varen pristanek.«

Edwin F. Taylor in John Archibald Wheeler sta dodala [9]: «Ta sistem bi bil

neuporaben brez popravkov, ki jih da splošna teorija relativnosti.«

14. Newtonovo jabolko in jablana

Jabolko ima brez dvoma v življenju ljudi pomembno vlogo: zaradi njega

sta se pregrešila Adam in Eva; ko ga je Paris podaril Efroditi, je to sprožilo

92

trojansko vojno; na glavi mladega Tella je prineslo Švici svobodo; jabolko ima

pomembno vlogo v pravljici o Sneguljčici… Takoj za Evinim je Newtonovo

jabolko nedvomno najbolj navduševalo slikarje (slika 52).

Slika 52: Na gravuri iz 19. stol. Newton premišljuje pred jabolkom na tleh.

(Vir: J. P. Maury, Newton in nebesna mehanika, str. 19)

Za konec še zanimivost o usodi jablane, s katere je padlo jabolko nekje

leta 1666. Po legendi bi naj Newton opazoval padanje jabolka s tega drevesa in bi

na tej ideji postavil gravitacijski zakon. Usodo prave jablane, v Woolsthorpu

(Newtonovem rojstnem kraju, kjer naj bi se pripetil prvotni dogodek) dobro

poznamo [30]. Brewster je videl drevo leta 1814 in opazil, da je v slabem stanju.

Leta 1820 so ga posekali. Pripravili so podtaknjence. Enega izmed poznejših

cepičev so leta 1944 poslali v ZDA v sadovnjak Pennsbury Manor v Morrisvillu

v zvezni državi Pennsilvaniji, rojstnem kraju Willijema Penna. Podtaknjenec

razraščajočega se drevesa so leta 1954 posadili ob dovozni cesti h knjižnici

Babsonovega inštituta v Wellesleyu v zvezni državi Massachusetts. Jabolka s

tega drevesa so določili kot Cvetlico Kenta. Jabolka s hruškasto obliko

uporabljajo za kuhanje in trdijo, da so brez okusa.

93

8. VIRI:

[1] P. Mohazzabi, M. C. James, American Journal of Physics 68, 1038 (2000).

[2] S. Singh, Veliki pok, (Učila International, Ljubljana, 2007)

[3] T. Zwitter: Pot skozi vesolje, (Modrijan, Ljubljana, 2002).

[4] G. R. Fowles in G. L. Cassiday, Analytical Mechanics, 6th ed. (Saunders,

New York, 1999), pp. 186-188.

[5] T.L.Chow, Classical Mechaniks (Wiley, New York, 1995), p. 374.

[6] J. P. Maury, Newton in nebesna mehanika (DZS, Ljubljana, 1997).

[7] J. Strnad, Učbenik za pouk fizike v gimnazijah in srednjih šolah Mala fizika 2

(DZS, Ljubljana, 2004).

[8] M. von Laue, Kratka zgodovina fizike (DMFA, Ljubljana, 1982).

[9] J. Strnad, Einstein. 2mcE = (Modrijan, Ljubljana, 2005).

[10] J. Strnad, Fizika, 3. del, Posebna teorija relativnosti, Kvantna fizika, Atomi

(DZS, Ljubljana, 1988).

[11] G. Staguhn, V iskanju najmanjšega delca sveta (Učila International, Tržič,

2002).

[12] K. in A. Johnson, Fizika: preproste razlage fizikalnih pojavov (Tehniška

založba Slovenije, Ljubljana, 1996).

[13] G. Staguhn, Skrivnosti vesolja (Učila International, Tržič, 2002).

[14] M. Štuhec, Fizika, prevod dela Die Physik (Učila International, Tržič,

2007).

[15] B. Greene, Čudovito vesolje (Učila International, Tržič, 2004).

[16] G. Adlešič … et al., Veliki slovar tujk, 1. izdaja, 1. natis (Cankarjeva

založba, Ljubljana, 2002).

[17] M. Ambrožič, E. Karič, S. Kralj, M. Slavinec, A. Zidanšek, Fizika 8, (DZS,

Ljubljana, 1998)

[18] J. Ferbar, F. Plevnik, Fizika 8, (DZS, Ljubljana, 1985)

[19] J. Ferbar, F. Plevnik, Fizika 8, (DZS, Ljubljana, 1994)

[20] B. Beznec, et.al., Moja prva fizika 2, (Modrijan, Ljubljana, 2005)

[21] J. Strnad, Merjenje gravitacijske konstante, Presek 15 (2), 119 (1987-88)

[22] J. Strnad, Do Newtonovih zakonov, Presek 14 (7), (1986-87)

94

[23] M. Pisanski, Osončje nekdaj in danes, Presek 10 (3), 136 (1982-83)

[24] J. Strnad, Ali morda gravitacijska konstanta pojema s časom?, Presek 15

(3), 142 (1987-88)

[25] J. Strnad, Ali Newtonov gravitacijski zakon natančno velja?, Presek 15 (3),

144 (1987-88)

[26] J. Strnad, Ali je Osončje stabilno?, Presek 15 (3), 144 (1987-88)

[27] J. Strnad, Planet Malega princa, Presek 15 (1), 14 (1987-88)

[28] A. Gomboc, Nastanek črnih lukenj, Bilten AD Kmica št. 9, 9 (2006)

[29] R. Repnik, Jurij Vega in balistika, Bilten AD Kmica št. 9, 9 (2006)

[30] J. Strnad, Newtonovo jabolko in jablana, Presek 19 (4), 233 (1991-92)

[31] Slika Robert Andrews Millikan. Pridobljeno 2.3.2009, iz

http://sl.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan

[32] Slike znanstvenikov, pridobljeno od 13.2. do 2.3. 2009.

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/

[33] J. Strnad, O padanju, Fizika v šoli 3 (2), 76 (1997)

[34] A. Ivanuša, Od kod ime Mlečna cesta. Pridobljeno 11.3. 2009, iz

http://www.andros.si/vesolje/mlecna-cesta.html

[35] Teorija superstrun. Pridobljeno 2.3. 2009, iz http://otiss.wordpress.com/5-

teorija-superstrun/

[36] Einsteinove enačbe gravitacijskega polja. Pridobljeno 18.4. 2009, iz

http://sl.wikipedia.org/wiki/Einsteinove_ena%C4%8Dbe_polja

[37] S. Dali, Russel-Einsteinov manifest. Pridobljeno 09.04.2009, iz

http://demos.si/agora/index.php?action=printpage;topic=16.0

[38] J. Strnad, Fiziki, 3. del (Modrijan, Ljubljana, 2000)

[39] Kaluz-Kleinova teorija gravitacije. Pridobljeno 09.02.2009, iz

http://sl.wikipedia.org/wiki/Kaluza-Kleinova_teorija

[40] Brans-Dickeova teorija gravitacije. Pridobljeno 09.02.2009, iz

http://sl.wikipedia.org/wiki/Brans-Dickeova_teorija