Graph 01

บทท 5ทฤษฎกราฟ

โดย วาสนา สนตธรากล

ทฤษฎกราฟ

• กราฟเปนแบบจาลองทางคณตศาสตร ซงใชสาหรบจาลองปญหาบางอยางดวยแผนภาพทประกอบดวยจด และเสนทเชอมระหวางจด 2 จด

• ตวอยางเชน - แผนภาพทแสดงเสนทางของรถไฟฟา BTS - แผนภาพทแสดงถนนทเชอมเมองตาง ๆ - แผนภาพแสดงโครงสรางทางเคมของสารประกอบไฮโดรคารบอน

- วงจรไฟฟา- แผนภาพเครอขายคอมพวเตอร- แผนภาพแสดงเสนทางการบน

จดกาเนดของทฤษฎกราฟ

• ทฤษฎกราฟ เกดขนเมอ ค.ศ. 1736 โดยนกคณตศาสตรชาวสวสเซอรแลนด ชอ เลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler)

• ออยเลอร ไดสรางทฤษฎทเรยกวา “ทฤษฎออยเลอร” (ทฤษฎกราฟ) ขนมาเพอแกปญหาสะพานเคอนกสเบอรก “Konigsberg Bridge

Problem” ไดเปนผลสาเรจ

• ดงนน เลออนฮารด ออยเลอร จงไดชอวาเปนบดาของทฤษฎกราฟ


• ปญหาสะพานเคอนกสเบอรก

มเกาะ 2 เกาะ อยกลางแมนาพรเกล (Pregel) ในเมองเคอนกสเบอรก (ปจจบนเปลยนชอเปน คาลนการด: Kalinigrad) มสะพาน 7 สะพาน เชอมระหวางเกาะกบแผนดน ดงรป

เกาะ A เกาะ B

ฝง C

ฝง D


• ปญหาสะพานเคอนกสเบอรก (ตอ)

เปนไปไดหรอไมทชาวเมองเคอนกสเบอรกจะทองเทยวเมองนโดยเรมตนจาก

เกาะหรอฝงอนใดอนหนงแลวขามสะพานแตละแหงเพยงครงเดยวเทานนจนครบ

ทกสะพาน และเมอขามสะพานสดทายแลวจะตองกลบมาอยทบรเวณเรมตน

• ออยเลอรไดไขปรศนานโดยแปลงปญหาดงกลาวเปนกราฟโดยใหพนดน

แทนจดยอด และสะพานแทนดวยเสนเชอม ดงรป

A B

C

D


• ออยเลอรสามารถพสจนยนยนคาตอบวาเปนไปไมไดทจะหาเสนทาง ดงกลาว

• จะมเสนทางดงกลาวไดกตอเมอกราฟนนจะตองตอเนองและมจานวนเสน

ของแตละจดเปนจานวนค

นยามเกยวกบกราฟ

• ขอตกลง

– family จะหมายถงกลมของสมาชก โดยทแตละสมาชกอาจซากนได เชน {a,a,a,b,c,c}

–สญลกษณ (a,b) แทนคลาดบของ a และ b

–สญลกษณ {a,b} แทนคไมลาดบของ a และ b


• นยาม 1 กราฟ G คอคลาดบ (V(G) , E(G)) โดยท V(G) เปนเซตจากดทไมเปนเซตวางของสมาชกทเรยกวา จดยอด (vertex) และ E(G) เปนแฟมลจากดของคไมลาดบของสมาชกใน V(G) เรยกสมาชกของ E(G) วาเสนเชอม (edge)

• ตวอยาง 1 ให G เปนกราฟกาหนดโดย V(G) = {u, v, w, z} และ E(G) = {{u,v},{v,w},{v,w},{u,w},{w,z},{u,u}} จะไดกราฟ G ดงรป

นยามเกยวกบกราฟ• หมายเหต

– เพอความสะดวกจะเขยนเสน {u,v} แทนดวย “uv” ดงนน E(G) = {{u,v},{v,w},{v,w},{u,w},{w,z},{u,u}} สามารถเขยนแทนไดดวย E(G) = {uv, vw, vw, uw, wz, uu}

– ในการเขยนแผนภาพของกราฟนน จะกาหนดตาแหนงของจดยอด ณ ตาแหนงใดกได และจะลากเสนเชอมของกราฟเปนเสนตรงหรอเสนโคงทมความยาวเปนเทาใดกได เชน กาหนด เสนเชอม ab ดงรป (1) เราอาจเขยนเสนเชอม ab เปนเสนโคง ดงรป (2) ได


• หมายเหต (ตอ)

– เสนเชอมสองเสนของกราฟ อาจลากตดกนไดโดยทจดตดของเสนเชอมทงสองไมถอวาเปนจดยอดของกราฟ เชน กาหนดกราฟ ดงรป


• หมายเหต (ตอ)

– สามารถเขยนแผนภาพของกราฟไดหลายแบบ เชน กาหนดกราฟ G เมอ V(G) = {a, b, c} E(G) = {ab, ac, bc} สามารถเขยนแผนภาพของกราฟ G ไดดงรป (1), (2) หรอ (3)


• นยาม 2 วงวน (loop) คอเสนเชอมทอยในรป {u,u} หรอ uu หรอเสน

ทมจดปลายทงสองเปนจดเดยวกน • นยาม 3 เสนขนาน (parallel edges) หรอ เสนหลายชน (multiple

edges) คอเสนเชอมทมมากกวา 1 เสนทเชอมจดคเดยวกน

จากรปจะไดวา uu เปนวงวน vw เปนเสนขนาน


• นยาม 4 กราฟทไมมเสนขนานและไมมวงวน เราเรยกวา กราฟเชงเดยว (Simple graph)

เรยกกราฟเชงเดยวทม p จด และ q เสนวา (p,q) กราฟ

เรยกวา (5,5) กราฟ


• นยาม 5 เรยกกราฟ G ใดๆทมเสนขนานและไมมวงวนวา กราฟผสม

(Multigraph)

*หมายเหต กราฟทมวงวนเรยกวา กราฟเทยม (Pseudograph)


• นยาม 6 กาหนด G เปนกราฟเชงเดยว จะเรยกกราฟ G วาเปนกราฟ

สมบรณ (Complete Graph) กตอเมอทกๆจด u และ v ใดๆ ของกราฟมเสน

uv และใชสญลกษณ kp แทนกราฟสมบรณทม p จด

K4 K5

( )2

1−=

ppkpจานวนเสนของกราฟ


• นยาม 7 เรยกจด u และ v ของกราฟ G ใดๆ วาเปน จดประชด(Adjacent Vertices) กตอเมอมเสนเชอมระหวางจด u และ v

• นยาม 8 ระดบขน หรอ ดกร (degree) ของ v คอจานวนเสนใน E(G) ทตกกระทบกบจด v เราเขยน deg(v) แทนระดบขนของ v

*หมายเหต ถาจด v มเสนวงวนแลว ดกรของจด v ทเกดจากวงวนจะมคา

เทากบ 2

• นยาม 9 ถา deg(v) เปนจานวนค เราเรยก v วา จดค (even vertex)

ถา deg(v) เปนจานวนค เราเรยก v วา จดค (odd vertex)


• แบบฝกหด 1 จงเขยนแผนภาพของกราฟตอไปน

1.1 กราฟ G1 เมอ V(G1) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7} และ deg(v1) = 7

deg(v2) = 6 deg(v3) = 3 deg(v4) = 2 deg(v5) = 2 deg(v6) = 0 deg(v7) = 0

1.2 กราฟ G2 เมอ V(G2) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} และ deg(v1) = 5

deg(v2) = 4 deg(v3) = 3 deg(v4) = 3 deg(v5) = 4 deg(v6) = 3


• ทฤษฎบท 1 (Handshaking Lemma)

สาหรบกราฟ G ใดๆ ผลบวกของดกรของจดทงหมดใน G จะเทากบ 2

เทาของจานวนเสน นนคอ ถากราฟ G ม p จด และ q เสนแลว

( )∑=

=p

iqvi

12deg


• จงพจารณาผลบวกของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ วามความสมพนธ

กบจานวนเสนเชอมในกราฟอยางไร เมอกาหนดกราฟ G1, G2, G3 และ

G4 ดงรป


242010G4

32168G3

0221G2

1000G1

จานวน

จดยอดค

จานวน

จดยอดค

ผลบวกของดกรของจด

ยอดทกจดของกราฟ

จานวน

เสนเชอม

กราฟ


• ตวอยาง 2 กราฟม 6 จดและ 8 เสน

deg(v1) = 4 deg(v2) = 2deg(v3) = 3deg(v4) = 3deg(v5) = 3deg(v6) = 1

( )∑=

=6

116deg

ivi


• ทฤษฎบท 2

กราฟทกกราฟจะบรรจจดคเปนจานวนค *** จากตวอยางกราฟทผานมาทงหมด จะสงเกตไดวาทกกราฟมจานวนจดคเปนจานวนคทงหมด


• ตวอยาง 3 ผลการสารวจขอมลการใชโทรศพทมอถอของพนกงานในบรษทแหงหนงซงมพนกงาน 20 คน ในเดอนทผานมาพบวา มพนกงาน 15 คน แตละคนคยโทรศพทมอถอกบเพอนในบรษท 5 ครง มพนกงาน 5 คน แตละคนคยโทรศพทมอถอกบเพอนในบรษท 3 ครง จงหาจานวนการใชโทรศพทมอถอของพนกงานบรษทน


• วธทา แปลงปญหาเปนกราฟ โดยให จดยอด แทนพนกงาน เสนเชอม แทนการคยโทรศพทมอถอของพนกงานจะไดวา กราฟมจดยอดทมดกรเทากบ 5 มจานวน 15 จด และจดยอดทมดกรเทากบ 3 มจานวน 5 จด จานวนการใชโทรศพทมอถอของพนกงานในบรษท กคอจานวนเสนทงหมดของกราฟ สมมตวากราฟมเสนเชอม n เสน จากทฤษฎบท 1 ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเทากบสองเทาของจานวนเสนเชอมในกราฟ ดงนน 5(15) + 3(5) = 2n

75 + 15 = 2n

n = 45

ดงนนจานวนการใชโทรศพทมอถอของพนกงานบรษทแหงน คอ 45 ครง


• ตวอยาง 4 จงหวดหนงมอาเภออย 17 อาเภอ ตองการสรางถนนเชอมอาเภอเหลาน โดยใหแตละอาเภอมถนนเชอมกบอาเภออนอก 3 สายพอด จงหาวาสามารถสรางถนนตามเงอนไขดงกลาวไดหรอไม

• วธทา แปลงปญหาเปนกราฟ โดยให จดยอด แทน อาเภอ เสนเชอม แทน ถนน กราฟมจดยอด 17 จด และแตละจดยอดมดกรเทากบ 3 จะไดวา กราฟมจดยอดค จานวน 17 จด ขดแยงกบทฤษฎบท 2 นนคอการสรางถนนตามเงอนไขดงกลาวไมสามารถแปลงเปนกราฟได

ดงนนการสรางถนนตามเงอนไขโจทยจงเปนไปไมได


• แบบฝกหด 2

2.1 อาจารยวนดใหผเรยนสงตวแทนออกมาหนาชนเรยน 2 กลมๆ ละ 5 คน แลวใหผเรยนภายในกลมจบมอกน ดงน

กลมท 1 นตยา นพนธ นภา นมต และ นยม แตละคนจบมอกบเพอนในกลมเปนจานวน 4, 3, 2, 2 และ 1 ครง ตามลาดบกลมท 2 อรจต อรทย อรนช อรพรรณ และ อรพน แตละคนจบมอกบเพอนในกลมเปนจานวน 4, 3, 2, 1 และ 1 ครง ตามลาดบ

จงพจารณาวาผเรยนทงสองกลมสามารถทาตามคาบอกของอาจารยวนดไดหรอไม ถาไดจงหาจานวนครงของการจบมอกนในกลมของผเรยน

2.2 การแขงขนฟตบอลมทมสมครแขงขน 10 ทม ในการจดแขงขนครงนจะจดการแขงขนเปนแบบพบกนหมด จงหาจานวนครงทจดการแขงขน


• นยาม 10 ให H = (V(H)), E(H)) และ G = (V(G)), E(G)) เปนกราฟใด ๆ

1. ถา V(H) ⊂ V(G) และ E(H) ⊂ E(G) เรากลาววา H

เปนสบกราฟ (subgraph) ของ G

2. ถา H เปนสบกราฟของ G และ V(H) = V(G) เรากลาววา

H เปนสบกราฟแผทวถง (spanning subgraph) ของ G

3. ถา V(H) = V(G) และ E(H) = E(G) เรากลาววา กราฟ H และกราฟ

G เปนกราฟเหมอนกน (identical) เขยนแทน H = G

แนวเดน

• นยาม 11 แนวเดน (Walk) W ในกราฟ G คอ ลาดบสลบของจดและเสน

ของกราฟ G ดงน

W: v0 , e1 , v1 , e2 , v2 , ....., vn-1 , en , vn

ซงเสน ei มจดปลาย คอ vi-1 และ vi สาหรบ 1 ≤ i ≤ n

แนวเดน

• ตวอยาง 5 ในอาเภอหนงมตาบลอย 5 ตาบล ไดแก ตาบล A, B, C, D และ E ระหวางตาบลตาง ๆ จะมถนนเชอมระหวางตาบล ซงแสดงแผนผงดวยกราฟโดยให จดยอด แทน ตาบล เสนเชอมแทน ถนน ดงรป

กาหนดเสนทาง ดงน

เสนทางท 1 ตาบล A ตาบล B ตาบล A ตาบล D ตาบล C ตาบล D ตาบล C

เสนทางท 2 ตาบล A ตาบล D ตาบล B

เราสามารถเขยนแตละเสนทางเปนแนวเดน โดยใหอยในรปลาดบของจดยอดและเสนเชอมสลบกนได ดงน

เสนทางท 1 มลาดบคอ A, AB, B, BA, A, AD, D, DC, C, CD, D, DC, C

เสนทางท 2 มลาดบคอ A, AD, D, DB, B

สาย 1 สาย 1 สาย 2 สาย 5 สาย 5 สาย 5

สาย 2 สาย 3

แนวเดน

• นยาม 12 ให u และ v เปนจดใด ๆ ในกราฟ G

เรากลาววา แนวเดน u – v เปน แนวเดนปด (closed walk) เมอ u = v

และ แนวเดน u – v เปน แนวเดนเปด (open walk) เมอ u ≠ v

• ตวอยาง 6 จากภาพดานบน

W1: A, AD, D, DC, C, CB, B, BA, A เปนแนวเดนปด

W2: A, AD, D, DE, E, EC, C, CB, B เปนแนวเดนเปด

แนวเดน

• นยาม 13 ให u และ v เปนจดใด ๆ ในกราฟ G

1. ถาเสนในแนวเดน u – v ไมซากน เรากลาววาแนวเดน u – v เปน

รอยเดน (trail)

2. ถาจดในแนวเดน u – v ไมซากน เรากลาววาแนวเดน u – v เปน

วถ (path)

• นยาม 14

แนวเดนทมเสนเชอมแตกตางกน โดยมจดเรมตนและจดสดทายเปนจดเดยวกน เรยกวา วงจร หรอ วฏจกร (cycle)

แนวเดน

• ตวอยาง 7 กาหนดกราฟ G ดงรป จงหาวาแนวเดนในขอใดเปนวงจร

1) v5, e6, v4, e3, v3, e2, v2, e5, v5, e5, v2

2) v2, e2, v3, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e6, v4, e4, v2

3) v1, e7, v5, e6, v4, e4, v2, e1, v1, e7, v5, e8, v1

4) v1, e1, v2, e2, v3, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e8, v1

5) v1, e1, v2, e2, v3, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e8, v1, e9, v4 , e6, v5, e7, v1

แนวเดน

• วธทา จากภาพจะเหนวาแนวเดนในขอ 1) ไมเปนวงจร เพราะในแนวเดนมเสนเชอม e5 ซากน

และมจดเรมตนและจดสดทายเปนจดยอดทตางกน

แนวเดนในขอ 2) และ 3) ไมเปนวงจร เพราะในแนวเดนมเสนเชอม e4

และ e7 ซากนตามลาดบ

แนวเดนในขอ 4) และ 5) เปนวงจร เพราะเปนไปตามนยามของวงจร

กราฟเชอมโยง กราฟไมเชอมโยง• นยาม 15 ให u และ v เปนจดใด ๆ ในกราฟ G เรากลาววา u และ v

เชอมโยงกนได (connect) เมอมวถ u – v

1. ถามวถระหวางจดสองจดใดๆ แลวกราฟ G เปน กราฟเชอมโยง

(connected graph)

2. ถาไมมวถระหวางจดสองจดใดๆ แลวกราฟ G เปน กราฟไม

เชอมโยง (disconnected graph)

กราฟเชอมโยง กราฟไมเชอมโยง• ตวอยาง 8 กาหนดแผนผงของสวนสาธารณะ 2 แหง ดงรป จงพจารณา

วาสวนสาธารณะแหงใดสามารถเดนเทยวชมบรเวณสวนสาธารณะไดทก

บรเวณ

กราฟเชอมโยง กราฟไมเชอมโยง

• วธทา เขยนแผนภาพของกราฟ G1 และ G2 แทนแผนผงของสวนสาธารณะ แหงท 1 และแหงท 2 โดยให จดยอดแทน เกาะ หรอ ฝง เสนเชอม แทน สะพานตามลาดบ จะไดกราฟ ดงรป

จากภาพจะเหนวา

กราฟ G1 เปนกราฟเชอมโยง ดงนนจงมวถไปยงทกจดในกราฟได ดงนนสวนสาธารณะแหงท 1 สามารถเทยวชมไดทกบรเวณ

กราฟ G2 เปนกราฟไมเชอมโยง ทจด C ดงนนจงไมมวถทไปยงจด C ได ดงนนสวนสาธารณะแหงท 2 ไมสามารถเทยวชมไดทกบรเวณ (ไมสามารถเทยวชมฝง C ได)

กราฟเชอมโยง กราฟไมเชอมโยง• ตวอยาง 9 กาหนดขายงานการเชอมโยงระหวางเสาโทรศพท และ

สายโทรศพท ดงรป ถาเกดเหตการณเสาโทรศพทตนหนงลมแลว จงหาวาเสาโทรศพทตนใดเมอลมแลวจะทาใหการเชอมโยงของขายงาน

เสยหายมากทสด

กราฟเชอมโยง กราฟไมเชอมโยง• วธทา แปลงปญหาขางตนเปนกราฟโดยใหจดยอด แทน เสาโทรศพท เสนเชอม

แทน สายโทรศพท ดงรป

จากกราฟ จะพบวา ถาลบจดยอด 3 ออก เสนทเกดกบจดยอด 3 จะถกลบออกดวยดงนน กราฟทเกดจากการลบจดยอด 3 ออกจะไมเปนกราฟเชอมโยง ดงรป

ถาลบจดยอดแตละจด เชน 1 หรอ 2 หรอ 4 หรอ 5 หรอ 6 ออกจากกราฟ กราฟทเกดจากการลบจดยอดดงกลาวยงคงเปนกราฟเชอมโยง ดงนนเสา 3 จงเปนเสาโทรศพททสาคญทสดเพราะถาเสา 3 ลมจะทาความเสยหายมากกวาเสาโทรศพทตนอน

กราฟถวงนาหนก

• นยาม 16

คานาหนก (weight) ของเสนเชอม e ในกราฟ คอ จานวนทไมเปนลบทกาหนดไวบนเสนเชอม e

กราฟถวงนาหนก (weight graph) คอ กราฟทเสนเชอมทกเสนมคานาหนก

• ตวอยาง 10 กราฟตอไปนเปนกราฟถวงนาหนก

กราฟออยเลอร

• นยาม 17 ให G เปนกราฟเชอมโยง

เรากลาววา G เปน กราฟออยเลอร (Eulerian graph) เมอ G มรอยเดนปด

ซงผานเสนทกเสนใน G และเรยกรอยเดนปดดงกลาวนวา รอยเดนออย

เลอรหรอ วงออยเลอร (Eulerian circuit)

หรอกลาวไดวา

กราฟออยเลอร เปนวงจรทประกอบดวยจดยอดทกจด และเสนเชอมทกเสนของกราฟ


• กจกรรม จงหาวารปใดสามารถใชดนสอวาดรปไดครบทกเสน โดยไมลากซาเสนเดม แลวกลบมาทจดเรมตนโดยไมยกดนสอได เมอกาหนดรป ดงน


• ตวอยาง 11 กาหนดกราฟ G1 ถง G5 ดงรป กราฟใดเปนกราฟออยเลอร

กราฟออยเลอร• วธทา จากภาพจะไดวา

กราฟ G1 สามารถหาวงจรทประกอบดวยเสนเชอมทงหมดของกราฟได วงจรหนงทเปนไปได มลาดบคอ v1, e1, v2, e2, v3, e3, v1

กราฟ G2 ไมสามารถหาวงจรทประกอบดวยเสนเชอมทงหมดของกราฟได เพราะมเสนเชอม e1 ซากน

กราฟ G3 สามารถหาวงจรทประกอบดวยเสนเชอมทงหมดของกราฟได วงจรหนงทเปนไปได มลาดบคอ v1, e1, v2, e2, v1

กราฟ G4 ไมสามารถหาวงจรทประกอบดวยเสนเชอมทงหมดของกราฟได เพราะมเสนเชอมเสนใดเสนหนงในกราฟซากน

กราฟ G5 สามารถหาวงจรทประกอบดวยเสนเชอมทงหมดของกราฟได วงจรหนงทเปนไปได มลาดบคอ v1, e1, v5, e2, v2, e3, v3, e4, v5, e5, v4, e6, v1

จากนยามของกราฟออยเลอร

จะเหนไดวากราฟ G3 และ กราฟ G5 เปนกราฟออยเลอร เพราะสามารถหาวงจรออยเลอรได


• ทฤษฎบท 3 ให G เปนกราฟเชอมโยง และ | E(G) | ≥ 1

จะไดวา G เปนกราฟออยเลอร กตอเมอ จดทกจดใน G เปนจดค

*** หมายเหต | E(G) | หมายถง จานวนสมาชกใน E(G)


• ตวอยาง 12 กาหนดกราฟแสดงเสนทาง ทตารวจสายตรวจคนหนงตอง

ขบรถตรวจดความเรยบรอยบนถนนทกสาย โดยให จดยอด แทน แยก

ของถนน เสนเชอม แทน ถนนดงรป จงหาเสนทางทตารวจคนนขบรถ

ผานถนนทกสายเพยงครงเดยว แลวกลบมา ณ จดเรมตนดงเดม เมอ

กาหนดใหตารวจคนนเรมตนทจด A


• วธทา การหาเสนทางทตารวจคนนขบรถผานถนนทกสายเพยงครงเดยว แลวกลบมา ณ จดเรมตนดงเดม คอการหาวงจรออยเลอรของกราฟวงจรออยเลอรของกราฟทสามารถหาได คอ

A, e1, B, e2, C, e3, D, e4, E, e5, B, e6, F, e7, E, e8, A

ดงนน เสนทางหนงทเปนไปไดทตารวจคนนจะขบรถโดยผานถนนทกสายเพยงครงเดยวแลวกลบมาทจดเรมตนดงเดม คอ ขบรถตามลาดบของวงจรออยเลอรทหาได


• แบบฝกหด 3

ชางทาสคนหนงอยทฝง A เขาตองการทาสสะพานทง 12 สะพาน ดงรป ใหเสรจภายใน 1

วน แลวกลบมาทฝง A ตามเดม โดยเขาวางแผนจะใชเวลาในการเดนทางระหวางสะพาน

และทาสสะพานประมาณ 8 ชวโมง แตสทใชทาสะพานจะแหงเมอทาไปแลวประมาณ 3

ชวโมง ถาผเรยนเปนชางทาสจะมวธการทาสสะพานอยางไรเพอใหงานแลวเสรจภายใน 1

วน แลวกลบไปทฝง A ตามเดม (กาหนดใหชวงเวลาทางาน 1 วนของชางทาส คอ 08.00 –

17.00 น.)


• นยาม 18 ให G เปนกราฟเชอมโยง เราเรยกรอยเดนเปดใน G วา รอย

เดนเปดออยเลอร (Eulerian trail) เมอรอยเดนดงกลาวนผานเสนทกเสน

ใน G

• ทฤษฎบท 4 ให G เปนกราฟเชอมโยง จะไดวา G เปนกราฟทมรอยเดน

เปดออยเลอร กตอเมอ G มจดยอดคไมเกน 2 จด ยงไปกวานนจดค

เหลานนจะเปนจดเรมตนและจดปลายของรอยเดนออยเลอร


• แบบฝกหด 4 จากกราฟตอไปน กราฟใดม Eulerian trail

4.1 4.34.2

4.4 4.64.5

การประยกตของกราฟ: วถทสนทสด• นยาม 19 วถทสนทสด จากจด A ถงจดยอด Z ในกราฟถวงนาหนก คอวถ A - Z ท

ผลรวมของคานาหนกของเสนเชอมทกเสนในวถ A-Z นอยทสด

• ตวอยาง 13 กราฟตอไปนเปนกราฟถวงนาหนก ซงจาลองจากแผนทเมองในประเทศไทย โดยใหจดยอดแทนเมอง เสนเชอมแทนถนน และคานาหนกเสนเชอมแทนระยะทางระหวางเมองสองเมอง

จะหาเสนทางจากเมอง A ไปยงเมอง E ทงหมดทไมผานเมองซากน

การประยกตของกราฟ: วถทสนทสด

• วธทา เสนทางจากเมอง A ไปยงเมอง E ทงหมดทไมผานเมองซากน มดงน

เสนทางท 1 A, B, D, E ระยะทางยาว 2 + 1 + 3 = 4 กโลเมตร

เสนทางท 2 A, B, D, F, E ระยะทางยาว 2 + 1 + 2 + 2 = 7 กโลเมตร

เสนทางท 3 A, B, D, C, F, E ระยะทางยาว 2 + 1 + 3 + 6 + 2 = 14 กโลเมตร

เสนทางท 4 A, C, F, E ระยะทางยาว 5 + 6 + 2 = 13 กโลเมตร

เสนทางท 5 A, C, F, D, E ระยะทางยาว 5 + 6 + 2 + 3 = 16 กโลเมตร เสนทางท 6 A, C, D, E ระยะทางยาว 5 + 3 + 3 = 11 กโลเมตร

เสนทางท 7 A, C, D, F, E ระยะทางยาว 5 + 3 + 2 + 2 = 12 กโลเมตร

จะเหนวาเสนทางท 1 A, B, D, E ระยะทางยาว 4 กโลเมตรเปนระยะทางทสนทสด

ดงนน วถ A, B, D, E เปนวถทสนทสด

การประยกตของกราฟ: ตนไมแผทวทนอยทสด

• สาหรบกราฟถวงนาหนกทมจดยอดและเสนเชอมเปนจานวนมาก การหาวถ A - Z ทสนทสดโดยการคนหาวถ A - Z ทงหมดแลวเลอกวถท

ผลรวมของคานาหนกนอยทสด ทาไดไมสะดวกและเสยเวลา ในการหา

วถ A - Z ทสนทสด มขนตอนวธทใชหาวถทสนทสด เชน ขนตอนวธ

ของ Dijkstra


• นยาม 20 ตนไม (tree) คอ กราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร • ตวอยาง14 พจารณากราฟตอไปน ขอใดเปนตนไม


• วธทา จากรปจะเหนวา กราฟในรป (A) และ (B) เปนตนไม เพราะเปนกราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร

กราฟในรป (C) ไมเปนตนไม เพราะมวฏจกรปรากฏอย

กราฟในรป (D) ไมเปนตนไม เพราะไมใชกราฟเชอมโยง


• ทฤษฎบท 5

1. ให T เปนกราฟทไมมวงวน กราฟ T เปนตนไม กตอเมอ จดยอด 2 จดใดๆ ใน T เชอมโยงกนไดดวยวถเพยงวถเดยว

2. ให T เปนกราฟทมจานวนจดยอดเปน n จด กราฟ T เปนตนไม กตอเมอ กราฟ T ไมมวฏจกร และมเสนเชอม n – 1 เสน

3. ให T เปนกราฟทมจานวนจดยอดเปน n จด กราฟ T เปนตนไม กตอเมอ กราฟ T เปนกราฟเชอมโยงและมเสนเชอม n – 1 เสน

4. ถา T เปนตนไมทมจานวนจดยอดอยางนอย 2 จด แลว กราฟ T จะมดกร 1

อยางนอย 2 จด


45

34

23

12

01

จานวนเสนเชอมจานวนจดยอดตนไม


• นยาม 21 กราฟยอย (subgraph) ของกราฟ G คอกราฟทประกอบดวยจด

ยอดและเสนเชอมใน G กลาวคอ กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G ถา

V(H) ⊂ V(G) และ E(H)⊂ E(G)

• ตวอยาง15 กาหนดกราฟ G และกราฟ H ดงรป


• นยาม 22 ตนไมแผทว (spanning tree) คอตนไมซงเปนกราฟยอยของ

กราฟเชอมโยง G ทบรรจจดยอดทกจดยอด

• ตวอยาง16 กราฟ H1, H2, H3, H4 และ H5 กราฟใดเปนกราฟยอยของ

กราฟ G ทบรรจจดยอดทกจดของกราฟ G ทเปนตนไม


• วธทา จากรปจะเหนวา กราฟ H1 เปนกราฟยอยของ G ทบรรจจดยอดทกจดของ G แตไมเปนตนไม

เพราะมวฏจกร

กราฟ H2 เปนกราฟยอยของ G ทบรรจจดยอดทกจดของ G แตไมเปนตนไม

เพราะไมเปนกราฟเชอมโยง

กราฟ H3 เปนกราฟยอยของ G และเปนตนไม แตไมบรรจจดยอดทกจดของ G

กราฟ H4 และ H5 เปนกราฟยอยทบรรจจดยอดทกจดของ G และเปนตนไม

ดงนน บอกไดวากราฟ H4 และ H5 เปนตนไมแผทวของกราฟ G

การประยกตของกราฟ: ตนไมแผทวทนอยทสด• ตวอยาง17 ปญหาหาการวางสายโทรศพท

บรษทรบเหมาตดตงโทรศพทแหงหนง ตองการวางสายโทรศพทเชอมระหวางหมบาน A, B, C,D, E และ F โดยจะวางสายไปตามถนน ถาคาใชจายในการวางสายโทรศพทขนอยกบความยาวของสายโทรศพท บรษทนจะวางสายโทรศพทอยางไรใหเสยคาใชจายนอยทสด เมอกาหนดตารางแสดงระยะทาง (กโลเมตร) ของถนนเชอมระหวางหมบานดงน


• วธทา แปลงปญหาขางตนเปนกราฟถวงนาหนกโดยให จดยอด แทน หมบาน เสนเชอม แทน ถนน และคานาหนกของเสนเชอมคอระยะของถนนระหวางหมบาน ดงรป

เนองจากตนไมแผทวของกราฟจะประกอบดวยจดยอดทกจดของกราฟ และมวถระหวางทก ๆ คของจดยอดในตนไม ดงนนคาตอบของปญหาน คอการหาตนไมแผทวทนอยทสดของกราฟ


• วธทา (ตอ) พจารณาขนตอนในแตละขนตอนเสนทเลอกจะใชเสนสฟาขนท 1 จดลาดบของเสนเชอมโดยเรยงคานาหนกของเสนเชอมจากนอยไปมากจะได 10, 10, 20, 20, 20, 30, 30, 40, 50, 60

ขนท 2 เลอกเสนเชอมทมคานาหนกของเสนเชอมนอยทสด ดงรป (1)

การประยกตของกราฟ: ตนไมแผทวทนอยทสด• วธทา (ตอ)

ขนท 3 เลอกเสนทมคานาหนกของเสนเชอมนอยทสดจากเสนเชอมทเหลอ และไมทาใหเกดวฏจกรเมอรวมเสนเชอมนเขาเปนสวนหนงของตนไมแผทวทตองการ

ดงรป (2)

ขนท 4 ดาเนนการตามขนท 3 ดงรป (3)


ขนท 5 ดาเนนการตามขนท 3 ดงรป (4)

ขนท 6 ดาเนนการตามขนท 3 จะพบวาเสนเชอมทเหลอทมคานาหนกนอยทสด คอ

เสนเชอม BF ซงมคานาหนกของเสนเชอมเทากบ 20 ไมสามารถเลอกไดเพราะทาให

เกดวฏจกรดงนนจะตองเลอกเสนเชอมทมคานาหนกของเสนเชอมเทากบ 30 ซงม 2

เสน คอ เสนเชอม AB และ CE เสนเชอม CE ไมเลอกไดเพราะทาใหเกดวฏจกร

ดงนนเลอกเสนเชอม AB ดงรป (5)


จะเหนวาไมสามารถเลอกเสนเชอมทเหลอไดอกเนองจากทาใหเกดวฏจกรจงสนสด

ขนตอน ไดตนไมแผทวทนอยทสดทมผลรวมของคานาหนกของเสนเชอม เทากบ10 + 10 + 20 + 20 + 30 = 90 ดงรป (6)


ดงนนบรษทรบเหมาแหงนตองวางสายโทรศพทตามถนน ดงรป (6) ซงม

ระยะทาง 90 กโลเมตร จงจะเสยคาใชจายนอยทสด

ตนไมแผทวทนอยทสดของกราฟในตวอยางขางตนอาจมไดมากกวา 1 แบบ ดงน

การประยกตของกราฟ: ตนไมแผทวทนอยทสด• สรป

– ขนตอนการหาตนไมแผทวทนอยทสด มหลกการ คอการเลอกเสนเชอมทมคานาหนกนอยทสดจากกราฟถวงนาหนกทเปนกราฟเชอมโยงตดตอกนเพอ

สรางตนไมแผทวทนอยทสดของกราฟ เสนเชอมทเลอกตองไมทาใหเกด วฏจกร

– ขนตอนวธสนสดเมอเลอกเสนเชอมครบ n – 1 เสน เมอ n เปนจานวนจดยอดของกราฟ

– ขนตอนวธในการหากราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอย

ทสดมอยดวยกนหลายวธ เชน วธของครสกาวล (Kruskal) และขนตอนวธของพรม (Prim)

เฉลยแบบฝกหด

• เฉลยแบบฝกหด 1

เฉลยแบบฝกหด• เฉลยแบบฝกหด 2

2.1 วธทา

พจารณากลมท 1 สมมตวาแปลงปญหาขางตนเปนกราฟไดโดยให จดยอด แทน ผเรยน เสนเชอม แทน การจบมอของผเรยนในกลมกราฟมจดยอด 5 จด และดกรของจดยอด 4, 3, 2, 2 และ 1 จะไดวากราฟมจดยอดคเปนจานวนค สอดคลองกบทฤษฎบท 2 นนคอ สามารถแปลงปญหาขางตนเปนกราฟไดดงนน ผเรยนกลมท 1 สามารถทาตามคาบอกของอาจารยวนดได

พจารณากลมท 2 สมมตวาแปลงปญหาขางตนเปนกราฟได โดยให จดยอด แทน ผเรยน เสนเชอม แทน การจบมอของผเรยนในกลม กราฟมจดยอด 5 จด และดกรของจดยอดเทากบ 4, 3, 2, 1 และ 1 จะไดวากราฟมจดยอดคเปนจานวนค ขดแยงกบทฤษฎบท 2 นนคอ ไมสามารถแปลงปญหาขางตนเปนกราฟไดดงนน ผเรยนกลมท 2 ไมสามารถทาตามคาบอกของอาจารยวนดได

จากคาตอบขางตนจงหาจานวนครงของการจบมอกนในกลมของผเรยนกลมท 1

จานวนครงของการจบมอกนในกลม คอ จานวนเสนในกราฟ สมมตวากราฟมเสนเชอม n เสน จากทฤษฎบท 1 ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ เทากบสองเทาของจานวนเสนเชอมในกราฟดงนน 4 + 3 + 2 + 2 + 1 = 2n

12 = 2nn = 6

ดงนน ผเรยนกลมท 1 มการจบมอกนในกลม 6 ครง

เฉลยแบบฝกหด• เฉลยแบบฝกหด 2 (ตอ)

2.2 วธทา

แปลงปญหาขางตนเปนกราฟ โดยให จดยอด แทน ทมฟตบอล เสนเชอม แทน การแขงขน ทมฟตบอล 10 ทม จดแขงขนเปนแบบพบกนหมด แสดงวาแตละทมตองแขงขนกบทมอน ๆ อก 9 ทม นนคอแตละจดยอดของกราฟมดกรเทากบ 9

จานวนครงทจดการแขงขน คอ จานวนเสนเชอมในกราฟสมมตวากราฟมเสนเชอม n เสนดงนน 9(10) = 2n

90 = 2nn = 45

ดงนน ตองจดการแขงขนฟตบอล 45 ครง หรอ 45 ค

เฉลยแบบฝกหด• เฉลยแบบฝกหด 3

วธทา เนองจากตองทาสสะพานทกสะพาน และเมอทาสสะพานแลวไมสามารถเดนขามสะพานททาสได ตองกลบไปทจดเรมตนดงเดมปญหานสามารถแกปญหาโดยการแปลงปญหาเปนกราฟ แลวหาวงจรออยเลอร โดยใหจดยอด แทนเกาะ หรอ ฝงเสนเชอม แทน สะพาน ดงรป

เนองจากจดยอดทกจดของกราฟเปนจดยอดค จงเปนกราฟออยเลอร นนคอสามารถหาวงจรออยเลอรของกราฟได

จะไดวงจรออยเลอรลาดบหนงทเปนไปได มลาดบคอ A, e1, C, e2, A, e3, B, e4, A, e5, B, e6, D,e7, C, e8, E, e9, D, e10, E, e11, F, e12, A

ดงนนชางทาสควรทาสโดยใชเสนทาง มลาดบคอ A, e1, C, e2, A, e3, B, e4, A, e5, B, e6, D, e7,C, e8, E, e9, D, e10, E, e11, F, e12, A

เฉลยแบบฝกหด

• เฉลยแบบฝกหด 4 กราฟทม Eulerian trail ตองมจานวนจดยอดคไม

เกน 2 จด

4.1 มรอยเดนเปดออยเลอร 4.3 ไมมรอยเดนเปดออยเลอร

เพราะมจดค มากกวา 2 จด (4 จด)

4.2 มรอยเดนเปดออยเลอร

4.4 มรอยเดนเปดออยเลอร 4.6 ไมมรอยเดนเปดออยเลอร

เพราะมจดคมากกวา 2 จด

4.5 มรอยเดนเปดออยเลอร

Documents

Graph 01