TEORI GRAPHTEORI GRAPH

Graph GraphGraph Graph

Graph digunakan untuk Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.objek tersebut.

Gambar berikut ini sebuah graph Gambar berikut ini sebuah graph yang menyatakan peta jaringan jalan yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah.kota di Provinsi Jawa Tengah.

Graph

Brebes Tegal

Slawi

Pemalang

Purwokerto

Cilacap

Banjarnegara

Wonosobo

Kebumen

Purworejo

KendalSemarang

Pekalongan

Purbalingga

Magelang

Salatiga

Klaten

Solo

Purwodadi

DemakKudus

Rembang

Blora

Sukoharjo

Wonogiri

SragenBoyolali

Kroya

Temanggung

Latar BelakangLatar Belakang

Topik Teori Graph pertama kali Topik Teori Graph pertama kali dikemukakan pada tahun 1937 oleh dikemukakan pada tahun 1937 oleh seorang matematikawan bernama seorang matematikawan bernama Leonhard Euler. Masalah ini muncul Leonhard Euler. Masalah ini muncul dilatarbelakangi adanya dilatarbelakangi adanya permasalahan yang timbul di daerah permasalahan yang timbul di daerah asalnya yang dikenal dengan "Tujuh asalnya yang dikenal dengan "Tujuh Jembatan Konigsberg". Jembatan Konigsberg".

GraphGraph

Sejarah Graph: masalah jembatan Sejarah Graph: masalah jembatan KKÖÖnigsberg (tahun 1736)nigsberg (tahun 1736)

C

A

B

D

Graph yang merepresentasikan Graph yang merepresentasikan jembatan Kjembatan KÖÖnigsberg:nigsberg:

Simpul (Simpul (vertexvertex) ) menyatakan menyatakan daratandaratan

Sisi (Sisi (edgeedge)) menyatakan menyatakan jembatanjembatanBisakah melalui setiap jembatan tepat Bisakah melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat sekali dan kembali lagi ke tempat semula?semula?

DEFINISI GRAPHDEFINISI GRAPHSebuah graph G(V(G),E(G)) berisikan dua Sebuah graph G(V(G),E(G)) berisikan dua himpunan yaitu himpunan yaitu Himpunan hingga tak kosong V(G). Himpunan hingga tak kosong V(G). Elemen-elemen V(G) disebut titik sehingga V(G) Elemen-elemen V(G) disebut titik sehingga V(G)

merupakan himpunan titik-titik di graph G merupakan himpunan titik-titik di graph G Himpunan hingga (mungkin kosong) E(G) Himpunan hingga (mungkin kosong) E(G) Elemen-elemen E(G) disebut sisi sehingga E(G) Elemen-elemen E(G) disebut sisi sehingga E(G)

merupakan himpunan sisi-sisi di graph Gmerupakan himpunan sisi-sisi di graph G Setiap elemen e dalam E(G) merupakan sebuah Setiap elemen e dalam E(G) merupakan sebuah

pasangan tak berurutan dari titik-titik di V(G).pasangan tak berurutan dari titik-titik di V(G).

Loop Loop

sebuah sisi yang berawal dan sebuah sisi yang berawal dan berakhir pada titik yang sama berakhir pada titik yang sama

Sisi rangkap (Sisi rangkap (multiple edgemultiple edge))

dua sisi yang mempunyai ujung-dua sisi yang mempunyai ujung-ujung yang sama ujung yang sama

Titik TerisolasiTitik Terisolasi

Suatu titik yang bukan merupakan Suatu titik yang bukan merupakan titik ujung dari sisi manapun titik ujung dari sisi manapun

Terhubung (Terhubung (AdjancentAdjancent))

Dua buah titik pada sebuah graph Dua buah titik pada sebuah graph dikatakan berhubungan langsung dikatakan berhubungan langsung ((adjacentadjacent) jika kedua titik tersebut ) jika kedua titik tersebut dihubungkan oleh sebuah sisi dihubungkan oleh sebuah sisi

Terkait (Terkait (IncidentIncident))

Sisi e dikatakan terkait (Sisi e dikatakan terkait (incidentincident) ) pada titik u dan titik v jika titik u dan pada titik u dan titik v jika titik u dan titik v berhubungan langsung, titik v berhubungan langsung, sehingga u dan v merupakan titik sehingga u dan v merupakan titik ujung/titik akhir dari sisi eujung/titik akhir dari sisi e

LEMBAR LEMBAR KEGIATANKEGIATAN

Graph SederhanaGraph Sederhana

Graph G(V,E) disebut graph Graph G(V,E) disebut graph sederhana jika graph G tersebut sederhana jika graph G tersebut tidak memiliki loop atau sisi rangkap tidak memiliki loop atau sisi rangkap

Graph G(V,E) disebut graph rangkap Graph G(V,E) disebut graph rangkap jika graph tersebut memiliki sisi jika graph tersebut memiliki sisi rangkap tetapi tidak memiliki loop rangkap tetapi tidak memiliki loop

Graph Rangkap (Graph Rangkap (multi multi graphgraph))

Graph G(V,E) disebut graph kosong Graph G(V,E) disebut graph kosong jika graph tersebut tidak memiliki jika graph tersebut tidak memiliki sisi. sisi.

Graph KosongGraph Kosong

Graph G(V,E) disebut graph komplit Graph G(V,E) disebut graph komplit jika graph G tersebut graph jika graph G tersebut graph sederhana dan setiap dua titik pada sederhana dan setiap dua titik pada graph G tersebut dihubungkan oleh graph G tersebut dihubungkan oleh sebuah sisi. sebuah sisi.

Graph komplit dengan n titik Graph komplit dengan n titik dilambangkan dengan Kdilambangkan dengan Knn..

Graph KomplitGraph Komplit

LEMBAR LEMBAR KEGIATANKEGIATAN

Graph G(V.E) adalah graph bipartisi. Jika V(G) Graph G(V.E) adalah graph bipartisi. Jika V(G)

dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan X dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan X dan dan

Y yang saling asing Y yang saling asing

(X Y = V(G) dan X Y= ) sedemikian (X Y = V(G) dan X Y= ) sedemikian

rupa sehingga setiap sisi pada G mempunyai rupa sehingga setiap sisi pada G mempunyai

satu titik ujung di X dan satu titik ujung di Y. satu titik ujung di X dan satu titik ujung di Y.

Graph BipartisiGraph Bipartisi

Pada graph bipartisi apabila setiap Pada graph bipartisi apabila setiap titik di X terhubung dengan setiap titik di X terhubung dengan setiap titik di Y begitu pula sebaliknya maka titik di Y begitu pula sebaliknya maka graph tersebut disebut graph tersebut disebut graph graph bipartisi komplitbipartisi komplit. .

Graph bipartisi komplitGraph bipartisi komplit yang titik- yang titik-titiknya terpartisi dalam titiknya terpartisi dalam subhimpunan X beranggotakan m subhimpunan X beranggotakan m titik dan Y beranggotakan n titik titik dan Y beranggotakan n titik dilambangkan dengan Kdilambangkan dengan Km,nm,n atau K atau Kn,mn,m. .

Graph Bipartisi KomplitGraph Bipartisi Komplit

Sebuah graph H disebut graph Sebuah graph H disebut graph bagian dari bagian dari

graph G ( ) jika graph G ( ) jika

dan dan

Graph Bagian (Graph Bagian (subgraphsubgraph))

GH V(G)V(H) E(G)E(H)

Graph Bagian Rentang Graph Bagian Rentang ((spanning subgraphspanning subgraph))

Jika dan maka H disebut Jika dan maka H disebut graph bagian rentang (graph bagian rentang (spanning spanning subgraphsubgraph) dari graph G. ) dari graph G.

Graph bagian rentang dari G yang Graph bagian rentang dari G yang dibangun oleh Vdibangun oleh V11 (= G[V (= G[V11]) adalah ]) adalah sebuah graph bagian dari G yang sebuah graph bagian dari G yang himpunan titik-titiknya adalah Vhimpunan titik-titiknya adalah V11 dan dan himpunan sisinya beranggotakan semua himpunan sisinya beranggotakan semua sisi G yang mempunyai titik akhir di Vsisi G yang mempunyai titik akhir di V11. .

GH V(G)V(H)

IsomorfikIsomorfik Graph G dan graph H disebut isomorfik Graph G dan graph H disebut isomorfik

jika jika terdapat korespondensi satu-satu antara terdapat korespondensi satu-satu antara

V(G) dan V(H)V(G) dan V(H) banyak sisi yang menghubungkan titik u banyak sisi yang menghubungkan titik u

dan v di V(G) sama dengan banyaknya sisi dan v di V(G) sama dengan banyaknya sisi yang menghubungkan dua titik di V(H) yang menghubungkan dua titik di V(H) yang berkorespondensi satu-satu dengan yang berkorespondensi satu-satu dengan titik-titik u dan vtitik-titik u dan v

Sebagai akibat: jika graph G dan H Sebagai akibat: jika graph G dan H isomorfik maka |V(G)| = |V(H)| dan |isomorfik maka |V(G)| = |V(H)| dan |E(G)| = |E(H)| (tidak berlaku E(G)| = |E(H)| (tidak berlaku sebaliknya). sebaliknya).

Latihan Latihan

Jika G graph bipartisi sederhana Jika G graph bipartisi sederhana dengan n dengan n

titik dan m sisi, buktikan bahwa mtitik dan m sisi, buktikan bahwa m4

2n

LEMBAR LEMBAR KEGIATANKEGIATAN

Jalan (Jalan (WalkWalk))

Sebuah jalan di graph G adalah Sebuah jalan di graph G adalah sebuah barisan berhingga dan tak sebuah barisan berhingga dan tak kosong yang suku- sukunya kosong yang suku- sukunya bergantian titik dan sisi sedemikian bergantian titik dan sisi sedemikian sehingga vsehingga vi-1i-1 dan v dan vii adalah titik-titik adalah titik-titik akhir sisi eakhir sisi eii

Misalkan Misalkan

W = vW = v0 0 ee1 1 vv1 1 ee2 2 vv2 2 ee3 3 vv33 … e … ek k vvkk untuk untuk

Maka W disebut jalan dari vMaka W disebut jalan dari v00 ke v ke vkk atau atau

jalan-(vjalan-(v00,v,vkk))

vv00 disebut titik awal dari W disebut titik awal dari W

vvkk disebut titik akhir dari W disebut titik akhir dari W

vv11, v, v22, v, v33, …, v, …, vk-1k-1 disebut titik –titik disebut titik –titik

internalinternal

k disebut panjang dari Wk disebut panjang dari W

Jejak (Jejak (TrailTrail))Jejak adalah sebuah jalan apabila semuaJejak adalah sebuah jalan apabila semua

sisinya berbeda sisinya berbeda

Jejak Tutup (Sirkit)Jejak Tutup (Sirkit)

sirkit adalah sebuah jalan tertutup sirkit adalah sebuah jalan tertutup yang semua sisinya berbeda. yang semua sisinya berbeda.

Graph EulerGraph Euler Sirkit Euler adalah sebuah sirkit pada Sirkit Euler adalah sebuah sirkit pada

sebuah graph yang memuat semua sisi sebuah graph yang memuat semua sisi pada graph tersebut pada graph tersebut

Graph yang memuat sirkit euler disebut Graph yang memuat sirkit euler disebut graph Eulergraph Euler

Sikel (Sikel (CycleCycle))

Sikel adalah sebuah jejak Sikel adalah sebuah jejak tertutup/sirkit yang titik awal dan tertutup/sirkit yang titik awal dan semua titik internalnya berbeda semua titik internalnya berbeda

Sikel HamiltonSikel Hamilton Sikel Hamilton adalah sebuah sikel yang Sikel Hamilton adalah sebuah sikel yang

memuat semua titik pada sebuah graphmemuat semua titik pada sebuah graph Graph yang memuat sikel Hamilton Graph yang memuat sikel Hamilton

disebut Graph Hamiltondisebut Graph Hamilton

Lintasan (Lintasan (PathPath))

Sebuah lintasan pada sebuah graph Sebuah lintasan pada sebuah graph adalah sebuah jalan apabila semua adalah sebuah jalan apabila semua sisi dan semua titik berbedasisi dan semua titik berbeda

LEMBAR LEMBAR KEGIATANKEGIATAN

Graph TerhubungGraph Terhubung((Connected GraphConnected Graph))

Sebuah graf G dikatakan terhubung Sebuah graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap dua titik u dan v di jika untuk setiap dua titik u dan v di G terdapat lintasan di G yang G terdapat lintasan di G yang menghubungkan kedua titik menghubungkan kedua titik tersebut.tersebut.

Komponen GraphKomponen Graph Syarat sebuah graph dikatakan Syarat sebuah graph dikatakan

komponen dari graph G adalah komponen dari graph G adalah Sebuah graph bagianSebuah graph bagian Terhubung maksimal (titik dan sisi) dari Terhubung maksimal (titik dan sisi) dari

graph G. Terhubung maksimal: tidak ada graph G. Terhubung maksimal: tidak ada lagi graph bagian lain yang terhubung dan lagi graph bagian lain yang terhubung dan memuat diamemuat dia

Pohon (Pohon (TreeTree) dan ) dan Hutan (Hutan (ForesForest)t)

Sebuah graph dikatakan pohon apabila Sebuah graph dikatakan pohon apabila graph tersebut terhubung dan tidak graph tersebut terhubung dan tidak memiliki sikel. memiliki sikel.

Sebuah graph yang setiap komponennya Sebuah graph yang setiap komponennya berupa pohon disebut Hutan. berupa pohon disebut Hutan.

Komplemen GraphKomplemen Graph

Jika G graf sederhana maka komplemen Jika G graf sederhana maka komplemen graf G (= ) mempunyai ciri graf G (= ) mempunyai ciri Himpunan titik sama dengan Himpunan titik sama dengan

himpunan titik di Ghimpunan titik di G Dua titik u dan v di berhubungan Dua titik u dan v di berhubungan

langsung jika dan hanya jika dua titik langsung jika dan hanya jika dua titik u dan v tersebut tidak berhubungan u dan v tersebut tidak berhubungan langsung di Glangsung di G

GG

G

Derajat TitikDerajat Titik Derajat titik v di graph G (= dDerajat titik v di graph G (= dGG (v)) (v))

adalah banyaknya sisi G yang terkait di adalah banyaknya sisi G yang terkait di titik vtitik v

Derajat minimum dari G (= ) Derajat minimum dari G (= ) didefinisikan didefinisikan

Derajat maksimum dari G (= ) Derajat maksimum dari G (= ) didefinisikandidefinisikan

Gδ

GV v vd minimumGδ G

GVv vd maksimumG

Derajat TitikDerajat Titik Graph Beraturan k adalah sebuah Graph Beraturan k adalah sebuah

graph apabila derajat setiap titik pada graph apabila derajat setiap titik pada graph tersebut adalah kgraph tersebut adalah k

Teorema Jabat TanganTeorema Jabat Tangan

Akibat Teorema Jabat tanganAkibat Teorema Jabat tangan banyak titik yang berderajat ganjil dalam banyak titik yang berderajat ganjil dalam

suatu graph adalah genap suatu graph adalah genap

E(G) 2d(v) V(G)v

LEMBAR LEMBAR KEGIATANKEGIATAN