Grafurile

Graf orientat

Un graf orientat reprezinta o pereche ordonata de multimi G=(X,U), unde X este o multime finita si nevida, numita multimea nodurilor, si U este o multime formata din perechi ordonate de elemente ale lui X, numita multimea arcelor.

Exemplu

In graful din fig. 1 multimea nodurilor este X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} si multimea arcelor este U={u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10}={(1,2), (2,3), (3,4), (4,1), (3,5), (5,3), (5,6), (6,7), (7,6), (7,5)}.

Conexitate in grafuri orientate

Un graf G este conex, daca oricare ar fi doua varfuri ale sale, exista un lant care le leaga.Un lant intr-un graf orientat este un sir de arce {u1, u 2, u3 , …, un} cu proprietatea ca oricare doua arce consecutive au o extremitate comuna. Altfel spus, un lant este un traseu care uneste prin arce doua noduri numite extremitatile lantului, fara a tine cont de orientarea arcelor componente.

Exemplu

Graful este conex pentru ca oricum am lua doua noduri putem ajunge de la unul la celalalt pe un traseu de tip lant. De exemplu, de la nodul

4 la nodul 2 putem ajunge pe traseul de noduri (4,3,2) stabilind astfel lantul {u5, u3}, dar si pe traseul de noduri (4,1,2) stabilind lantul {u6, u2}

Acest graf nu este conex. Luand submultimea de noduri {1,2,3}, putem spune ca intre oricare doua noduri din aceasta submultime exista cel putin un lant., de exemplu lantul {u1, u2} sau {u3, u1}. La fel stau lucrurile cu submultimea de noduri {4,5,6}. Dar nu ptuem gasi un lant intre un nod din prima submultime si un nod din a doua submultime.Plecand dintr-un nod al primei submultimi si deplasandu-ne pe arce, nu avem cum sa trecem in a doua submultime pentru ca nu exista nici un arc direct care sa lege cele doua submultimi. De exemplu plecand din nodul 1 putem ajunge in nodul 2 pe traseul {u3, u2}, dar de aici nu putem ajunge mai departe in nodul 4, deci nu exista lant de la 2 la 4.

Componenta conexa

Componenta conexa a unui graf G=(X, U), reprezinta un subgraf G1=(X1, U1) conex, a lui G, cu proprietatea ca nu exista nici un lant care sa lege un nod din X 1 cu un nod din X-X 1 (pentru orice nod, nu exista un lant intre acel nod si nodurile care nu fac parte din subgraf).

De exemplu graful din fig. 3 nu este conex , insa in el distingem doua componente conexe: G1 =(X1, U1), unde X1={1,2,3} si U1={u1, u2, u3}; si G2=(X2, U2), unde X2={4,5,6} si U2={u4, u5}.

Graf tare conex

Graful tare conex este un graf orientat G=(X, U), daca pentru oricare doua noduri x si y apartin lui X, exista un drum de la x la y precum si un drum de la y la x.

Exemplu

Graful cu n=3 din fig. 4 este tare conex. Pentru a demonstra acest lucru, formam toate perechile posibile de noduri distincte (x, y) cu x, y apartin multimii {1,2,3}, si pentru fiecare astfel de pereche cautam un drum de la x la y si un drum de la y la x.

x=1, y=2De la 1 la 2 – drumul [1,3,2], pe arcele (1,3) si (3,2);De la 2 la 1 – drumul [2,3,1], pe arcele (2,3) si (3,1). x=1, y=3De la 1 la 3 – drumul [1,2,3], pe arcele (1,2) si (2,3);De la 3 la 1 – drumul [3,2,1], pe arcele (3,2) si (2,1). x=2, y=3De la 2 la 3 – drumul [2,1,3], pe arcele (2,1) si (1,3);De la 3 la 2 – drumul [3,1,2], pe arcele (3,1) si (1,2).

Componenta tare conexa

Un subgraf se obtine dintr-un graf G= (X, U) eliminand niste varfuri si pastrand doar acele muchii care au ambele extremitati in multimea varfurilor ramase.Fie un subgraf tare conex G1=(X1, U1) al grafului G=(X, U). Adaugam la subgraf un nod x care nu face parte din multimea nodurilor sale (x apartine X-X1). Obtinem astfel multimea de varfuri X1 reunit cu {x}. Subgraful indus pe multimea X1 reunit cu {x} se obtine luand si arcele care trec prin nodul x.

Daca acest subgrafnu mai este tare conex, atunci el se numeste componenta tare conexa.

Exemplu

Acesta este graful G=(X,U) tare conex.Din el eliminam nodul 4.

Am obtinut astfel subgraful tare conex G1=(X1, U1).Acestui graf ii adaugam un nod x care nu face parte din multimea nodurilor subgrafului G1.Graful obtinut este componenta tare conexa.

ProblemaStabiliti daca graful de mai jos este sau nu conex.

X= {1, 2, 3, 4, 5};U= {u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10, u11, u12, u13, u14, u15, u16}={(1,2), (2,1), (3,2), (2,3), (4,3), (3,4), (1,4), (4,1), (2,5), (5,2), (3,5), (5,3), (4,5), (5,4), (1,5), (5,1)}.

De la 1 la 2 – pe drumul [1,5,2] sau [1,5,4,3,2], etc.De la 1 la 3 – pe drumul [1,5,3] sau [1,5,2,3], etc.De la 1 la 4 – pe drumul [1,5,4] sau [1,5,2,3,4], etc.De la 1 la 5 – pe drumul [1,2,5] sau [1,4,5], etc.

De la 2 la 3 – pe drumul [2,5,3] sau [2,1,5,3],etc.De la 2 la 4 – pe drumul [2,5,4] sau [2,3,5,4], etc.De la 2 la 5 – pe drumul [2,1,5] sau [2,3,5], etc.

De la 3 la 4 – pe drumul [ 3,5,4] sau [3,2,5,4], etc.De la 3 la 5 – pe drumul [3,2,5] sau [3,4,5], etc.De la 4 la 5 – pe drumul [4,1,5] sau [4,3,5], etc.

Grafuri neorientate

 Graf = orice mulţime finită V prevăzută cu o relaţie binară internă E. Notăm graful cu G=(V, E).  Graf neorientat = un graf G=(V, E) în care relaţia binară este simetrică: (v,w)ÎE atunci (w,v) ÎE. Nod = element al mulţimii V, unde G=(V, E) este un graf neorientat. Muchie = element al mulţimii E ce descrie o relaţie existentă între două vârfuri din V, unde G=(V, E) este un graf neorientat;

In figura alaturata:V={1,2,3,4,5,6} sunt noduriE={[1,2], [1,4], [2,3],[3,4],[3,5]} sunt muchiiG=(V, E)=({1,2,3,4,5,6}, {[1,2], [1,4], [2,3],[3,4],

[3,5]})

Adiacenta: Într-un graf neorientat existenţa muchiei (v,w) presupune că w este adiacent cu v şi v adiacent cu w.

În exemplul din figura de mai sus vârful 1 este adiacent cu 4 dar 1 şi 3 nu reprezintă o pereche de vârfuri adiacente. Incidenţă = o muchie este incidentă cu un nod dacă îl are pe acesta ca extremitate. Muchia (v,w) este incidentă în nodul v respectiv w. Grad = Gradul unui nod v, dintr-un graf neorientat, este un număr natural ce reprezintă numărul de noduri adiacente cu acesta (sau numarul de muchii incidente cu nodul respectiv) Nod izolat = Un nod cu gradul 0.  Nod terminal= un nod cu gradul 1

5

1

2

4 3

6

5

1

2

43

6 Nodul 5 este terminal (gradul 1). Nodul 6 este izolat (gradul 0) Nodurile 1, 2, 4 au gradele egale cu 2.

Lanţ = este o secvenţă de noduri ale unui graf neorientat G=(V,E), cu proprietatea că oricare două noduri consecutive din lant sunt adiacente: L=[w1, w2, w3,. . ,wn] cu proprietatea că (wi, wi+1)ÎE pentru 1£i<n. Lungimea unui lanţ = numărul de muchii din care este format.  Lanţ simplu = lanţul care conţine numai muchii distincte Lanţ compus= lanţul care nu este format numai din muchii distincte Lanţ elementar = lanţul care conţine numai noduri distincte Ciclu = Un lanţ în care primul nod coincide cu ultimul.  Ciclul este elementar dacă este format doar din noduri distincte, excepţie făcând primul şi ultimul. Lungimea unui ciclu nu poate fi 2.

 

5

1

2

43

6

Succesiunea de vârfuri 2, 3, 5, 6 reprezintă un lanţ simplu şi elementar de lungime 3.Lanţul 5 3 4 5 6 este simplu dar nu este elementar.Lanţul 5 3 4 5 3 2 este compus şi nu este elementar.Lanţul 3 4 5 3 reprezintă un ciclu elementar

Graf partial = Dacă dintr-un graf G=(V,E) se suprimă cel puţin o muchie atunci noul graf G’=(V,E’), E’Ì E se numeşte graf parţial al lui G.

G G1 este graf partial al lui G

Subgraf = Dacă dintr-un graf G=(V,E) se suprimă cel puţin un nod împreună cu muchiile incidente lui, atunci noul graf G’=(V’,E’), E’Ì E si V’ÌV se numeşte subgraf al lui G.

G G1 este graf partial al lui G

Graf regulat = graf neorientat în care toate nodurile au acelaşi grad;

5

1

2

4 3

6

Graf complet = graf neorientat G=(V,E) în care există muchie între oricare două noduri. Numărul de muchii ale unui graf complet este: nr*(nr-1)/2.Unde nr este numarul de noduri

5

1

2

4 3

6

5

1

2

4 3

6

5

1

2

4 3

6

5 2

3

6

1

2

4 3 graf complet. Nr de noduri: 4x(4-1)/2 = 6

Graf conex = graf neorientat G=(V,E) în care pentru orice pereche de noduri (v,w) există un lanţ care le uneşte.

5

1

2

43

6

graf conex

5

1

2

4 3

6

nu este graf conexComponentă conexă = subgraf al grafului de referinţă, maximal în raport cu proprietatea de conexitate (între oricare două vârfuri există lanţ); 

5

1

2

4 3

6

graful nu este conex. Are 2 componente conexe:

1, 2 si 3, 4, 5, 6Lanţ hamiltonian = un lanţ elementar care conţine toate nodurile unui graf  

5

1

2

4 3

6

L=[2 ,1, 6, 5, 4, 3] este lant hamiltonianCiclu hamiltonian = un ciclu elementar care conţine toate nodurile grafului

5

1

2

4 3

6

C=[1,2,3,4,5,6,1] este ciclu hamiltonian Graf hamiltonian = un graf G care conţine un ciclu hamiltonian Graful anterior este graf Hamiltonian. Lanţ eulerian = un lanţ simplu care conţine toate muchiile unui graf  

5

1

2

4 3

6

Lantul: L=[1.2.3.4.5.3.6.2.5.6] este lant eulerian Ciclu eulerian = un ciclu simplu care conţine toate muchiile grafului Ciclul: C=[1.2.3.4.5.3.6.2.5.6.1] este ciclu eulerian  Graf eulerian = un graf care conţine un ciclu eulerian.  Condiţie necesară şi suficientă: Un graf este eulerian dacă şi numai dacă oricare vârf al său are gradul par.

Reprezentarea grafurilor neorientate 

Fie G=(V, E) un graf neorientat. 

Exista mai multe modalitati de reprezentare pentru un graf neorientat, folosind diverse tipuri de structuri de date. Reprezentarile vor fi 

utilizate in diversi algoritmi si in programele care implementeaza pe calculator acesti algoritmi. 

 

Matricea de adiacentã matricea booleanã Matricea de adiacentã asociatã unui graf neorientat cu n noduri se defineste astfel: A = (ai j) n x n cu 

1, daca [i,j]ÎEa[i,j]=

0, altfel Observatii: - -         Matricea de adiacenta asociatã unui graf neorientat

este o matrice simetricã- -         Suma elementelor de pe linia k reprezintã gradul

nodului k- -         Suma elementelor de pe coloana k reprezintã gradul

nodului k Fie graful din figura urmatoare: 

0 1 0 1 0 0 nodul 1 are gradul 21 0 1 0 0 0 nodul 2 are gradul 2

A= 0 1 0 1 1 0 nodul 3 are gradul 31 0 1 0 0 0 nodul 4 are gradul 2

0 0 1 0 0 0 nodul 5 are gradul 1 0 0 0 0 0 0 nodul

6 are gradul 0Numarul de noduri este 6 si numarul de muchii este 4Matricea este simetrica si patratica avand 6 linii si 6 coloaneDiagonala principala contine numai valori nule 

5

1

2

4 3

6

Pentru a prelucra graful se citesc:6- reprezentand n, numarul de noduri4- reprezentand m, numarul de muchii4 perechi x-y reprezentand extremitatile celor 4 muchii:1-2 => a[1,2]=a[2,1]=11-4 => a[1,4]=a[4,1]=12-3 => a[2,3]=a[3,2]=13-4=> a[3,4]=a[4,3]=13-5 => a[3,5]=a[5,3]=1 Probleme propuse:

Problema 1Se citeste un graf din fisierul graf.txt: numarul de noduri, numarul de muchii si muchiile.a) sa se afiseze matricea de adiacenteb) Sa se determine gradul unui nod citit c) Sa se afiseze pentru un nod citit nodurile adiacented) sa se afiseze nodurile incidente cu cea de a x muchie din matricee) sa se afiseze pentru fiecare nod gradulf) sa se afiseze nodul (nodurile) avand cei mai multi vecinig) sa se afiseze nodurile izolate Problema 2Sa se det daca o matrice citita dintr-un fisier poate fi matricea unui graf neorientat. In caz afirmativ se va determina cate muchii are graful Problema 3Sa se genereze un graf avand maxim n noduri si maxim m muchii. Sa se afiseze matricea atasata Observatie: graful nu poate fi decat cel mult complet

Listele de adiacenta a nodurilor 

Reprezentarea in calculator a unui graf se poate face utilizand listele de adiacenta a varfurilor, adica pentru fiecare varf se alcatuieste lista varfurilor adiacente cu el. Fie graful din figura urmatoare:

5

1

2

43

6

Lista vecinilor nodului 3: 2, 4, 5 (noduri adiacente)

5

1

2

4 3

6

Nodul 6 nu are vecini (este izolat)Pentru intreg graful vom avea mai multe liste :Nodul 1 : Nodul 2 : Nodul 3 : Nodul 4 : Nodul 5 : Ordinea nodurilor in cadrul unei liste nu este importanta Pentru a genera o astfel de lista vom defini tipul nod :

struct nod {int nd; nod *next;};

Toate listele se vor memora utilizand un vector de liste :

nod *L[20];

Datele de intrare : numarul de noduri si muchiile se vor citi din fisier :

2 4

1 3

2 4 5

1 3

3

O solutie de implementare este urmatoarea :

#include<conio.h>#include<fstream.h>struct nod {int nd; nod *next;}; nod *L[20]; void afisare(int nr_nod) //afiseaza lista vecinilor nodului nr_nod{nod *p=L[nr_nod];if(p==0) cout<<nr_nod<<" este izolat "<<endl;else {cout<<"lista vecinilor lui "<<nr_nod<<endl; nod *c=p; while(c) {cout<<c->nd<<" "; c=c->next;} cout<<endl;}} void main(){fstream f;int i,j,n; nod *p,*q; f.open("graf.txt",ios::in); //citirea datelor din fisierclrscr();f>>n;while(f>>i>>j) {p=new nod; //se adauga j in lista vecinilor lui i p->nd=j; p->next=L[i]; L[i]=p; q=new nod; //se adauga i in lista vecinilor lui j q->nd=i; q->next=L[j]; L[j]=q; }

f.close(); cout<<endl<<"listele de adiacente "; for(i=1;i<=n;i++) afisare(i); getch();} Observatie : In exemplul anterior adaugarea unui nou element in lista se face inainte celorlalte din lista corespunzatoare.

Aceste doua moduri de reprezentare (prin matrice de adiacenta si prin liste de vecini) se folosesc dupa natura problemei. Adica, daca in problema se doreste un acces frecvent la muchii, atunci se va folosi matricea de adiacenta; daca numarul de muchii care se reprezinta este mult mai mic dect nxn, este de preferat sa se folosesca listele de adiacenta, pentru a se face economie de memorie.

Probleme propuse :

1. 1.      Sa se memoreze un graf neorientat utilizand liste de adiacente. Parcurgand listele de adiacenta rezolvati urmatoarele cerinte :

a. a.       Sa se determine daca graful contine noduri izolateb. b.      Sa se determine fradul unui nod citit de la tastaturac. c.       Sa se determine nodul cu cel mai mare gradd. d.      Sa se determine daca nodurile x si y sunt adiacentee. e.       Sa se verifice daca graful este regulatf. f.        Sa se determine daca graful este complet

Componente conexe Fie G=(V, E) un graf neorientat, unde V are n elemente (n noduri) si E are m elemente (m muchii).

Definitie: G1=(V1, E1)este o componenta conexa daca:- -         pentru orice pereche x,y de noduri din V1

exista un lant de la x la y (implicit si de la y la x)

- -         nu exista alt subgraf al lui G, G2=(V2, E2) care sa indeplineasca prima conditie si care sa-l contina pe G1

 

5

1

2

4 3

6 7 Graful alaturat are doua componente conexe:

- -         subgraful care contine nodurile:

1 2 3 4 5- -         subgraful care

contine nodurile:6 7

  Observatie: subgraful 1, 2, 3, 4 nu este componenta conexa pentru ( chiar daca pentru orice pereche x,y de noduri exista un lant de la x la y) deoarece exista subgraful 1, 2, 3, 4, 5 care il contine si indeplineste aceeasi conditie. Definitie: Un graf G=(V, E)este conex daca pentru orice pereche x,y de noduri din V exista un lant de la x la y (implicit si de la y la x).

Observatii:- -         Un graf este conex daca admite o singura componenta

conexa.- -         Graful anterior nu este conex pentru ca admite doua

componente conexeGraful urmator este conex:

5

1

2

4 3

6 7

 Probleme:

1. 1.      Fiind dat un graf memorat prin intermediul matricei de adiacenta sa se determine daca graful este conex.

2. 2.      Fiind dat un graf memorat prin intermediul matricei de adiacenta si un nod k sa se determine componenta conexa careia ii apartine nodul k

3. 3.      Sa se afiseze toate componentele conexe ale unui graf neorientat

Indicatii : 

-In vectorul viz se incarca numarul componentei conexe astfel pentru graful urmator, vectorul viz va retine:

viz=[1,1,1,1,2,1,2]. 

-Numarul de componente conexe este 2.

-Se afiseaza componentele cu numarul componentei conexe egal cu 1: 1,2,3,4,6

-Se afiseaza componentele cu numarul componentei conexe egal cu 2: 5, 7

 

6

1

2

4 3

5 7

-Incarcarea in viz se realizeaza prin parcurgere df pornind de la fiecare nod-se porneste de la 1, se parcurge df si se incarca in viz valoarea 1 pt nodurile 1, 2, 3, 4, 6. Viz devine:1,1,1,1,0,1,0-se porneste in continuare de la primul nod nevizitat, adica 5 si se incarca numarul celei de a doa componente, adica 2Viz devine: 1,1,1,1,2,1,2-Nu mai sunt noduri nevizitate si algoritmul se incheie.

Iata o solutie: #include<fstream.h>#include<conio.h>int a[20][20],n,m,viz[100],gasit;int nrc; //pastreaza numarul componentei conexe void dfmr(int nod)

{ viz[nod]=nrc; //se incarca numarul componentei for(int k=1;k<=n;k++) if(a[nod][k]==1&&viz[k]==0)

dfmr(k); } void main(){int x,y,j;fstream f;clrscr(); f.open("muchii.txt",ios::in); //memorare matrice de adiacenta if(f) cout<<"ok!"<<endl; else cout<<"eroare la deschidere de fisier!"; f>>n>>m; for(int i=1;i<=m;i++) {f>>x>>y; a[x][y]=a[y][x]=1;}cout<<endl<<"matricea de adiacente"<<endl;for(i=1;i<=n;i++)

{for(j=1;j<=n;j++) cout<<a[i][j]<<" "; cout<<endl;} for(int nod=1;nod<=n;nod++) if(viz[nod]==0) //se incearca parcurgerea numai daca un nod nu a fost deja parcurs {nrc++; dfmr(nod);} cout<<endl<<"vectorul viz "<<endl;for(i=1;i<=n;i++) cout<<viz[i]<<" "; cout<<endl<<"Componentele conexe :"<<endl;for(i=1;i<=nrc;i++) {cout<<endl<<"componenta "<<i<<endl; for(j=1;j<=n;j++)

if(viz[j]==i) cout<<j<<" "; }getch();}