Grafik i osobine sinusne trigonometrijske funkcije -

Grafik funkcije f(x) = sinx bice zadat skupom svih tacaka: { (x,sinx) | x   R}.On se predstavlja krivom linijom y = sinx koju zovemo sinusoida.

Primjer (vrijdnosti za sinx su zaokruzene na dvije decimale):

Spajanjem tacaka iz tabele dolazimo do grafika u intervalu [0,  /2].

Ostale tacke dobijamo koristeci se cinjenicama: - grafik je simetrican u odnosu na pravu x= /2, jer je sin( /2+x) = sin( /2-x); - grafik je simetrican u odnosu na tacku ( ,0), jer je sin( +x) = -sin( -x); - sinusna funkcija je periodicna sa periodom: sin(x+2k ) = sinx, za svako k   Z.

Ispitivanje sinusne funkcije:

1.) Definisanost:funkcija f(x) = sinx definisana je za svako realno x, sto sleduje iz definicije izraza sinx. Na grafiku to znaci da za svako a   R prava x = a (paralelna y-osi) sece grafik u jednoj i samo jednoj tacki ( kada bi sekla grafik u vise tacaka to bi znacilo da f(a) = sina ima vise od jedne vrednosti pa f(x) = sinx ne bi ni bila funkcija ).

2.) Periodicnost:Za svako x   R i svako k   Z vazice: sin(x+2k ) = sinx, te je funkcija f(x) = sinx periodicna sa periodom 2 . To znaci da se grafik funkcije sastoji od identicnih delova koji se ponavljaju na intervalima duzine 2  na x-osi. Ili drugacije receno, ako je poznat izgled grafika funkcije na intervalu [0,2 ], ostale delove grafika mozemo konstruisati translacijom ovog dela ulevo ili udesno.

3.) Nule funkcije:Kako je sinx = 0 ako i samo ako je x = k  (k   Z),

nule funkcije f(x) = sinx se nalaze u tackama k  (k   Z).U ovim tackama grafik funkcije f(x) = sinx sece x-osu.

4.) Maksimum i minimum funkcije:Ako pogledamo datu sinusoidu videcemo da funkcija f(x) = sinx dostize svoju maksimalnu vrednost f(x) = 1 u svim tackama x =  /2+2k  (k   Z),a minimalnu vrednost f(x) = -1 u svim tackama  x = 3 /2+2k  (k   Z).

5.) Ogranicenost:Obzirom da se sve vrednosti funkcije sinx nalaze u intervalu:[-1,1], 

tj. -1   sinx   1, funkcija f(x) = sinx je ogranicena.Njen grafik se nalazi izmedju pravih y = -1 i y = 1 paralelnih x-osi.

6.) Rast i opadanje sinusne funkcije:

Ako opet pogledamo prethodno datu sinusoidu videcemo da:kad x raste od 0 do  /2 sinx raste od 0 do 1;kada x raste od 3 /2 do 2  sinx raste od -1 do 0;

Zakljucujemo:kada x raste od - /2+2k  do  /2+2k  (k   Z), sinx raste od -1 do 1;kada x raste od  /2+2k  do 3 /2+2k  (k   Z), sinx opada od 1 do -1.

7.) Znak funkcije (funkcija je pozitivna/negativna na intervalu):sinx > 0 kada je 2k  < x < (2k+1) ,sinx < 0 kada je (2k+1)  < x < (2k+2) ,  (k   Z).

8.) Parnost:Funkcija f(x) = sinx je neparna, tj. vazi da je: sin(-x) = -sinx.Ovo znaci da je grafik sinusne funkcije simetrican u odnosu na koordinatni pocetak.

Trigonometrijske funkcije - formule

 =    =  

 =    =  

 =    =   =    = 

 =  ,   za      ,       

 =  ,   za      ,       

     =  ,   za      ,       

 +   = 

 =  

 =  

 =   = 

 =   = 

 =       =     

 =       =     

Trigonometrijske funkcije zbira uglova:

 =   + 

 =   - 

 =   = 

 =     

 =     

Trigonometrijske funkcije razlike uglova:

 =   - 

 =   + 

 =   = 

 =     

 =     

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla:

 = 

 = 

 =   = 

Trigonometrijske funkcije polovine ugla:

 =       =     

 =       =     

Grafik i osobenosti kosinusne trigonometrijske funkcije -

Kosinusna funkcija:  f(x) = cosx

Grafik kosinusne funkcije:

Ispitivanje funkcije:(ovde dajemo kratak pregled osobenosti kosinusne funkcije;opsirnija objasnjenja data za sinusnu funkciju, mogu se, analogno, primeniti i na kosinusnu funkciju.)

1.) Definisanost:Definisana je za svako x   R.

2.) Periodicnost:Funkcija je periodicna sa osnovnim periodom 2 .

3.) Nule funkcije:f(x) = cosx = 0 ispunjeno je za svako x =  /2 + k   (k   Z).

4.) Maksimum i minimum funkcije:max: f(x) = cosx = 1 bice ispunjeno za x = 2k  (k   Z);min: f(x) = cosx = -1 bice ispunjeno za x = (2k+1)  (k   Z).

5.) Ogranicenost:Funkcija je ogranicena, tj moze uzimati samo vrednosti od -1 do 1:

-1   cosx   1.

6.) Rast i opadanje funkcije:rastuca je za x   ((2k+1) , (2k+2) ) (tj, od   do 2 ),opadajuca za x   (2k , (2k+1) ), k   Z (tj, od 0 do  ).

7.) Znak funkcije (funkcija je pozitivna/negativna na intervalu):

pozitivna, tj. cox > 0 za x   (- /2+2k ,  /2+2k ),

negativna, tj. cosx < 0, za  x   ( /2+2k , 3 /2+2k ), k   Z.

8.) Parnost:Kosinusna funkcija je parna, tj. za svako x vazi: cos(-x) = cosx.To znaci da je grafik funkcije cosx simetrican u odnosu na y-osu.

Grafici i osobenosti tangensne i kotangensne trigonometrijske funkcije f(x) = tgx i f(x) = ctgx

Grafik funkcij tangens f(x) = tgx:

Ispitivanje funkcije tgx:(ovde dajemo kratak pregled osobenosti tangensne funkcije;opsirnija objasnjenja data za sinusnu funkciju,mogu se, analogno, primeniti i na ostale trigonometrijske funkcije.)

1.) Oblast definisanosti:funkcija f(x) = tgx je definisana na svakom intervalu oblika: x   (- /2+k ,  /2+k ), k   Z,nije definisana za x =  /2+k   (k   Z).Drugim recima, za svako x =  /2+k   (k   Z), ne postoji odgovarajuca vrednost f(x) = tgx, za zadato x.

2.) Periodicnost (ponavljanje identicnog segmenta):funkcija je periodicna sa osnovnim periodom  .

3.) Nule funkcije:f(x) = tgx = 0 bice ispunjeno za svako x = k   (k   Z).

4.) Maksimum i minimum funkcije:funkcija nema ni max ni min, vrednost za f(x) = tgx ide od minus do plus beskonacno.

5.) Ogranicenost:shodno tacki 4.), funkcija nije ogranicena.

6.) Rast i opadanje:rastuca je na svakom intervalu oblika x   (- /2+k ,  /2+k ), k   Z;funkcija f(x) = tgx ne opada, ona je uvek rastuca (pogledaj grafik).

7.) Znak funkcije (funkcija je pozitivna/negativna na intervalu):

funkcija je pozitivna f(x) = tgx > 0 za x   (k ,  /2+k ), k   Z;funkcija je negativna f(x) = tgx < 0za x   (- /2+k , k ), k   Z.

8.) Parnost:funkcija f(x) = tgx je neparna, tj. za svako definisano x vazi: tg(-x) = -tgx,sto znaci da je grafik funkcije tgx simetrican u odnosu na koordinatni pocetak.

Grafik funkcij kotangens:

f(x) = ctgx:

Ispitivanje funkcije ctgx: analogno primeru za funkciju tgx.

Nule funkcije

Nule funkcije sin(θ) su sve vrednosti ugla θ za koje je sin(θ) jednak 0.Koje su to vrednosti?Iz lekcije o jediničnom krugu smo naučili da se vrednosti sinusa nalaze na y-osi. Zbog toga možemo primetiti da je prva vrednost ugla za koju je sin(θ)=0 vrednost θ=0.Druga vrednost je θ=π, zatim vrednost 2π ... i tako dalje nπ, pri čemu je n iz skupa celih brojeva.Dakle, sin(θ)=0 za θ= nπ, za n ∈ Z. Sa slike 1. možemo videti da nule funkcije sin(θ) su tačke u kojima grafik te funkcije seče x-osu.

Slika 1.

Prethodni zaključak važi za bilo koji argument funkcije sin(θ). Na primer:sin(2x) = 0 kada je 2x = nθ tj. kada je x = nθ/2, gde n ∈ Z. 

Minimalna i maksimalna vrednost

Poznavajući jedinični krug znamo da funkcija sin(θ) ima maksimalnu vrednost 1 i minimalnu vrednost i -1. Opet na osnovu jediničnog kruga sin(θ) = 1 za π/2 dok sin(θ) = -1 za 3π/2. Zaključak je da funkcija sin(θ) ima maksimalne vrednosti za (n+1)π/2, gde n ∈ Z i ima minimalne vrednosti za (2n+1)π/2 za n ∈ Z. Pogledajmo sliku 2.

Slika 2. I konačno grafik funkcije y = sin(x) izgleda ovako (slika 3.):

Slika 3.

Nezavisno promenljiva x može uzimati bilo koju realnu vrednost.

Periodičnost funkcije

Kada se vrednosti funkcije periodično ponavljaju onda kažemo da je ta funkcija periodična. Matematička definicija periodičnosti funkcije je sledeća:Definicija: Za funkciju f(x) kažemo da je periodična ako važi f(x + p) = f(x), gde p ∈ R. Vrednost p se naziva periodom funkcije. 

Funkcija sin(x) je periodična i njena vrednost se ponavlja za period 2π tj. važi jednakost sin (x + 2π) = sin(x) . Pogledajmo sledeću sliku 4.

Slika 4. Grafik funkcije y = sin(ax)

Ako trigonometrijska funkcija ima oblik y = sin(ax) tada konstanta a određuje broj perioda funkcije na intervalu dužine 2π. Drugim rečima, konstanta a određuje koliko često funkcija oscilira.

Primer1:

Za funkciju y = sin(ax) neka je a = 2. To znači da funkcija y = sin(2x) ima 2 perioda na intervalu dužine 2π. Pogledajmo grafik te funkcije na slici 6.

Slika 6. Primer2:

Neka je sada a = 3. To znači da funkcija y = sin(3x) ima 3 perioda na intervalu dužine 2π i da period funkcije iznosi 2π/3. Pogledajmo grafik te funkcije na slici 7.

Slika 7.

Primer3:

Pogledajmo sada slučaj kada a nije ceo broj. Neka je a = 1/2. Tada funkcija y = sin((1/2)x) ima samo pola perioda na intervalu dužine 2π i period funkcije iznosi 4π. Pogledajmo grafik te funkcije na slici 8.

Slika 8.

Grafik funkcije y = cos(x)

Grafik funkcije y=cos(x) se dobija iz grafika funkcije y = sin(x), kada se on pomeri levo za vrednost π/2. Ovo se može proveriti traženjem redom nula funkcije cos(x), zatim maksimalne i minimalne vrednosti kao kod funkcije sin(x). Grafik je dat na slici 5.

Slika 5.

Identitet sin (x + π/2 ) = cos x ćemo dokazati u nekoj od narednih oblasti. 

Grafik funkcije y = tg(x)

Na slici 9. pogledajmo kako se kreće vrednosti tangensa (duž DE) u I i IV kvadrantu.

Slika 9.

Možemo primetiti da kako se x kreće u intervalu (-π/2, π/2), tako tg(x) (čije vrednosti pripadaju duži DE) uzima bilo koju realnu vrednost tj. tg(x) pripada intervalu (-∞, +∞).Zato grafik funkcije za I i IV kvadrant izgleda ovako (slika 10):

Slika 10.

Što se tiče II i III kvadranta grafik funkcije y = tg(x) se u njima ponavlja tj. isti je kao i za I i IV i to ponavljanje se periodično nastavlja duž cele x-ose.Konačno, taj grafik izgleda kao na slici 11.

Slika 11.