GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN · Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN 1 GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN Bài 1 Xột nền kinh tế cú 2 ngành với

Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

1

GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Bài 1 Xột nền kinh tế cú 2 ngành với ma trận hệ số chi phớ trực tiếp dạng giỏ trị:

1. Giải thớch ý nghĩa kinh tế của phần tử ; tổng cỏc phần tử của dũng 1; tổng cỏc phần tử của

cột 2.

2. Tỡm ma trận và giải thớch ý nghĩa kinh tế của cỏc phần tử của ma trận này.

3. Lập bảng I/O nếu ma trận tổng cầu là: .

4. Lập bảng I/O nếu cầu cuối cựng của về sản phẩm của ngành 1 là 120 và tổng cầu về sản phẩm

của ngành 2 là 400.

5. Xác định ma trận tổng cầu nếu ma trận cầu cuối cùng là .

6. Cho biết muốn tăng cầu cuối cùng về sản phẩm của ngành 1 lên 1 đơn vị thỡ tổng cung của

ngành 2 phải tăng bao nhiêu?

Giải

Cõu 1

+ Phần tử a12 = 0,15 là lượng giá trị sản phẩm ngành 1 cần thiết để làm ra một đơn vị giá trị sản

phẩm ngành 2.

+ Tổng cỏc phần tử dũng 1: a11 + a12 = 0,25 là lượng giá trị sản phẩm ngành 1 cần thiết để ngành 1

và ngành 2 mỗi ngành làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm.

+ Tổng cỏc phần tử cột 2: a12 + a22 = 0,25 là lượng giá trị sản phẩm của 2 ngành cần thiết để ngành

2 làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm.

Cõu 2 Ta cú:

9,02,0

15,09,0)(

1,02,0

15,01,0AEA

Khi đó: và

9,02,0

15,09,0)( AE

Ta lại cú: CAEAE

AE

153,1256,0

192,0153,1

9,02,0

15,09,0

78,0

11)( 1

Xột phần tử 192,012 c : Để NKT tăng thêm một đơn vị giá trị cầu cuối cùng về sản phẩm 2 thỡ

tổng cầu về sản phẩm 1 phải tăng một lượng giá trị là 192,012 c .

Cõu 3 Áp dụng cụng thức: cú:

Tương tự tính: x12 = 60; x22 = 40. Ta nhận được bảng I/O sau:

Tổng cầu Cầu trung gian

1 2

Cầu cuối cựng

200

400

20 60

40 40

120

320

1,02,0

15,01,0A

12a

1)( AEC

400200X

1010x

78,0 AE

)(ijXax jijij

40200.2,0;20200.1,0 1212111111 XaxXax


2

Cõu 4 Ta có hệ phương trỡnh:

320

200120

400.1,0

400.15,0

2,0

1,0

400 2

1

21

11

2

1

222

212

121

111

2

1

x

X

xX

XX

x

x

Xa

Xa

Xa

Xa

X

X gt

Bảng I/O nhận được trùng với bảng đó cú ở cõu 3.

Cõu 5 Ta sử dụng cụng thức:

Thay vào (*) cú:

10,14

46,13

10

10

9,02,0

15,09,0

78,0

1

2

1

X

XX là ma trận tổng cầu cần tỡm.

Cõu 6 Đây là câu hỏi về ý nghĩa kinh tế của phần tử c21 trong ma trận hệ số chi phớ toàn bộ

. Ta cú: . Để NKT tăng cầu cuối cùng sản phẩm 1 lên 1 đơn vị

giá trị đơn vị thỡ tổng cầu về sản phẩm 2 (hay tổng cung của ngành 2) phải tăng lên 0,256 đơn vị

giá trị.

Bài 2 Cho mụ hỡnh thị trường 2 hàng hoá:

1. Hai mặt hàng trong mụ hỡnh là cỏc mặt hàng thay thế hay bổ sung? vỡ sao?

2. Xác định trạng thái cân bằng của thị trường khi m = 90.

3. Xác định số % biến động của lượng cân bằng hàng hoá thứ nhất khi m tăng 1% tại m=90.

Giải

Cõu 1 05,05,02482

1211

p

QppQ d

d có nghĩa là khi giá hàng thứ 1 không đổi giá hàng

2 tăng lên thỡ cầu hàng 1 tăng; như vậy 2 hàng hoá trong mô hỡnh là cỏc hàng hoỏ thay thế nhau.

Ta cũng nhận được kết quả tương tự nếu sử dụng hàm cầu của hàng 2.

Cõu 2 ĐKCB:

2035,0

605,04

21

21

22

11

mpp

pp

QQ

QQ

sd

sd

Theo qui tắc Cramer cú:

75,11

5,01901

mp

;

75,11

11042

mp ( 0, 21

pp thỡ: 5,27m ).

Ta cú: 75,11

158;

75,11

23921

mQ

mQ )8/150,( 21

mQQ

Thay m = 90 vào kết quả trờn cú: 60;28&40;20 2121

QQpp .

Cõu 3 Ta cú: 75,11

1

75,11

239

1

1

1/1

1

Q

m

m

Q

Q

mmQ

mQ

Khi m = 90 cú: 273,0/1

mQ

.

Bài 3 Cho mụ hỡnh thị trường một hàng hoá:

)()( 1 xAEX

1)( AEC 256,078,0

2,021 c

22

212

11

211

220

5,0&

212

5,0248

pQ

ppmQ

pQ

ppQ

s

d

s

d


3

Trong đó: M0 – thu nhập, I0 – đầu tư với M0, I0 > 0.

1. Xác định trạng thái cân bằng thị trường bằng qui tắc Cramer.

2. Cú ý kiến cho rằng khi I0 = M0 = 10 và cả hai đại lượng này cùng tăng 1% thỡ giỏ cõn bằng

khụng đổi; ý kiến này có đúng không?

Giải

Cõu 1 Đặt: QS = QD = Q; khi đó có hệ:

0

0

1,093

3,0322

IpQ

MpQ

Áp dụng qui tắc Cramer cú: 5

782,09,0 00 IM

Q ; 5

411,03,0 00 IM

p với điều kiện

0411,03,0 00 IM .

Cõu 2 Ta cú: ),( 00 IMpp và nếu M0 và I0 đều tăng 1% thỡ số % biến động của giá cân bằng

p là: 00 // IpMp (*)

Khi M0 = I0 =10 thỡ p 8,6; 02,0;06,000

I

p

M

p. Cỏc hệ số co gión là:

024,0;070,000 //

IpMp . Thay kết quả vào (*) cú:

046,0024,0070,0

Như vậy, tại mức M0 = I0 = 10 và M0, I0 cùng tăng 1% thỡ giỏ cõn bằng p tăng 0,046%. Túm lại,

nhận định giá cân bằng p không đổi là nhận định sai.

Bài 4 Cho mụ hỡnh:

Trong đó: Y-thu nhập; C-tiêu dùng; T0-thuế; I0- đầu tư; G-chi tiêu chính phủ.

1. Giải thớch ý nghĩa kinh tế của a, b, g.

2. Xác định trạng thỏi cõn bằng (Y*, C*, G*) bằng qui tắc Cramer.

3. Cú ý kiến cho rằng nếu thuế T0 tăng thỡ thu nhập cõn bằng giảm, nhưng chi tiêu chính phủ ở

trạng thái cân bằng tăng; ý kiến đó có thoả đáng?

4. Cho b = 0,7; a = 50, g = 0,1; I0 = 500; T0 = 50. Hóy cho biết nếu chỉ có thuế tăng 1% thỡ thu

nhập cõn bằng giảm bao nhiờu %?

Giải

Cõu 1 Ta cú a là mức tiờu dựng khi thu nhập sau thuế: Y-T0 = 0; b là MPC(Y-T0); g- suất chi tiêu

chính phủ - hay mức tăng lên của chi tiêu chính phủ khi thu nhập quốc dân Y tăng 1 đơn vị.

Cõu 2 Áp dụng qui tắc Cramer ta cú kết quả:

0

0

1,039

3,0232

IPQ

MPQ

QQ

S

D

SD

1&)10(

);10:0()( 00

0

gbggYG

abTbaTYbaC

GICY


4

)(

)1)((

1

00

00

00

bTaIgD

bTgbTaD

bTaID

bgD

G

C

Y

Khi đó:

),,,,(1

0000 TIgbaf

gb

bTaIY

),,,,(1

)(00

00 TIgbaggb

bTaIgG

Cõu 3 Ta cú: 010

gb

b

T

Y hay khi thuế tăng thu nhập cân bằng giảm là nhận định đúng. Ta

lại có: 010

gb

gb

T

G hay khi thuế tăng thỡ chi tiờu chớnh phủ tăng là nhận định sai.

Cõu 4 Thay cỏc số liệu trong giả thiết vào biểu thức thu nhập cõn bằng cú:

5,3;25750

T

YY .

Khi đó: 068,0)5,3(2575

50

0

0

/ 0

T

Y

Y

TTY

- thu nhập cõn bằng giảm 0,068%.

Bài 5 Cho mụ hỡnh thu nhập quốc dõn:

Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tiêu dùng; I0-đầu tư; X0-xuất khẩu; M-nhập khẩu; Yd-thu nhập

sau thuế.

1. Giải thớch ý nghĩa kinh tế của t?

2. Xác định thu nhập ở trạng thái cân bằng.

3. Cho Cho biết nền kinh tế có thặng dư hay

thâm hụt thương mại; có thặng dư hay thâm hụt ngân sách?

Giải

Cõu 1 Ta cú: tYTYtTYYd )1( - như vậy t là mức tăng lên của thuế khi thu nhập Y

tăng 1 đơn vị hay t là thuế suất.

Cõu 2 Thay Yd vào cỏc biểu thức của C và M ta cú:

)3(

)2(

)1(

)1(

)1(

000

YtM

YtC

MXGICY

Ta có thể thay (2),(3) vào (1) để có:

)1()1(1

000

tt

XGIY

(4)

)10()1(

)10(

)10(

000

tYtY

YM

YC

MXGICY

d

d

d

.1,0;250;400;250;2,0;8,0 000 tXGI


5

Cõu 3 Thay cỏc số liệu trong giả thiết vào (4) cú:

52,1956* Y .Ta lại cú: 17,35252,1956)1,01(2,0)1(* YtM . Tương tự:

65,19552,19561,0* tYT . Khi đó: 017,3522500 MX - nền kinh tế có thâm hụt

thương mại; 040065,1950

* GT -nền kinh tế cú thõm hụt ngõn sỏch.

Bài 6 Cho mụ hỡnh nền kinh tế:

Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tiêu dùng; I-đầu tư; X0-xuất khẩu; M-nhập khẩu; L-cầu tiền; r-

lói xuất, Ms-cung tiền, Yd-thu nhập sau thuế.

1. Hóy xỏc định thu nhập và lói suất cõn bằng .

2. Cho G0 = 400; I0 = 20; X0 = 150; t = 0,1; Ms = 400; cho biết hiện trạng của cán cân thương mại

và tỡnh trạng ngõn sỏch chớnh phủ. Tỡm hệ số co gión của Y* theo Ms, giải thớch ý nghĩa kinh tế

của hệ số này?

Giải

Cõu 1 Điều kiện cân bằng trên thị trường tiền tệ:

)1(12004,0 ss MrYML

Thay Yd vào C, M; tiếp đó thay I, C, M vào phương trỡnh của Y ta cú:

)2(2000)7,03,0(

)1(1,02000)1(8,0

000

000

XGIrYt

YtXGrIYtY

Ghộp (1) và (2) ta cú hệ:

)3(2000)7,03,0(

12004,0

000

XGIrYt

MrY s

Áp dụng qui tắc Cramer với (3) ta cú:

t

MXGIY s

8401160

2000)(1200 000

t

MtXGIr s

8401160

)7,03,0()(4,0 000

Cõu 2 Thay giả thiết vào kết quả trên nhận được:

064,0;93,1192 rY

Nhập khẩu cõn bằng: 015036,107.9,0.1,0 XYM -Nền kinh tế có thặng dư thương mại.

Thuế cõn bằng: 0400293,1191,0 GYT -Nền kinh tế cú thõm hụt ngõn sỏch.


s

d

d

d

ML

rYL

rII

YtY

YM

YC

MXGICY

12004,0

2000

)1(

1,0

8,0

0

00

),( rY


6

1. Trong mụ hỡnh trờn cỏc biến kinh tế nào là cỏc biến nội sinh, cỏc biến nào là cỏc biến ngoại

sinh?

2. Tỡm Y*, r* cõn bằng. Dựng lý thuyết hệ hàm ẩn phân tích tác động của Ms, G0 tới thu nhập và

lói suất cõn bằng.

3. Cho Ms=1500; xác định mức chi tiêu chính phủ để cân đối được ngân sách.

4. Cho G0=94, Ms=1500; tỡm cỏc hệ số co gión của Y* theo G0, M0 và giải thớch ý nghĩa của kết

quả. Cho biết tỡnh trạng của ngõn sỏch chớnh phủ.

Giải

Cõu 1 Mụ hỡnh cú 6 phương trỡnh nờn cỏc biến nội sinh là 6 gồm: Y, C, I, T, L, T; cỏc biến ngoại

sinh là: G0, Ms.

Cõu 2 Ta cú kết quả: 25

)100(50 0 GM

Y s và 25

5004,05 0 sMG

r .

Phõn tớch tĩnh so sỏnh

Ta cú hệ: (*)1004,0

505

0

GrY

MrY s

Trong đó: ),();,( 00 GMrrGMYY ss

.

Lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo Ms ta cú:

(**)

04,0

1505

ss

ss

M

r

M

Y

M

r

M

Y

Hệ (**) cú nghiệm:

025

1

sM

Y- hay lượng cung tiền Ms tăng thỡ thu nhập cõn bằng tăng.

025

4,0

sM

r-hay lượng cung tiền Ms tăng thỡ lói suất cõn bằng giảm.

Tương tự lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo G0 ta sẽ tỡm được 00

&G

r

G

Y

.

Cõu 3 Ms = 1500 thỡ cú: 25

506500 0GY

. Điều kiện cân đối được ngân sách là:

.8025,025 000 GGYGT

Cõu 4 Khi G0 = 94, Ms = 1500 cú: Y* = 448; ta cú:

sML

rYL

rI

YT

TYC

GICY

505

65

25,025

)(8,015

0


7

42,0;13,00// GYMY s


Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tổng tiêu dùng; I-tổng đầu tư; Ms-lượng cung tiền; G0-chi tiờu

chớnh phủ, r-lói suất.

1. Xác định thu nhập, tiêu dùng và lói suất cõn bằng.

2. Cho biết khi b tăng lên, các yếu tố khác không đổi thỡ thu nhập cõn bằng tăng hay giảm vỡ sao?

3. Cho biết khi b giảm đi, các yếu tố khác không đổi thỡ lói suất cõn bằng tăng hay giảm, vỡ sao?

Giải

Cõu 1 Thay I, C vào biểu thức của thu nhập Y cú: 0)1(1 GealrYtb .

Ta cú hệ:

(*))1(1 0

sMhrkY

GealrYtb

Áp dụng quy tắc Cramer cú: lktbh

lMGeahY s

)1(1

)( 0

lktbh

tbMGeakr s

)1(1

)1(1)( 0

Y* > 0 theo giả thiết; r* > 0 nếu (**)0)1(1)( 0 tbMGeak s .

Cõu 2 Ta cú:

0

)1(1

)1()(2

0

lktbh

thlMGeah

b

Y s hay b tăng thỡ thu nhập cõn bằng tăng.

Cõu 3 Tương tự có:

0)1(1

)1()1(2

lktbh

tTShMStM

b

r s hay b tăng thỡ lói suất cõn bằng tăng.

Bài 9 Hàm doanh thu trung bỡnh của một hóng độc quyền dạng: AR=240-0,5Q

1. Tỡm hệ số co gión của cầu theo giỏ tại mức giỏ p = 190; giải thớch ý nghĩa kinh tế của hệ số

này?

2. Tỡm hàm doanh thu biờn; giải thớch ý nghĩa kinh tế của tỷ số khi Q=100.

3. Xác định mức biến động của TR(Q) khi doanh nghiệp tăng lượng hàng bán ra từ 80 lên 100 đơn

vị?

4. Cho hàm chi phớ . Điểm hoà vốn của hóng cú thuộc khoảng

(30,40) khụng? Vỡ sao?

Giải

Cõu 1 Do AR(Q) = p nên có hàm cầu ngược: p = 240-0,5Q. Khi p = 190 thỡ Q = 100; và hệ số co

gión của cầu theo giỏ: 8,3)5,0(

1

100

190

/

1/

dQdpQ

p

dp

dQ

Q

ppQ . Tại mức giá p = 190 nếu

giá tăng 1% cầu giảm 3,8%.

Cõu 2 Hàm TR(Q)=AR(Q).Q=240Q-0,5Q2

)0,(

)1;0,(

)1,0;0()1(

)0( 00

hkhrkYM

bllelreI

tbaYtbaC

GGICY

s

)(

)(

QAR

QMR

32 25,021240 QQQTC


8

khi đó hàm doanh thu biên QQRTQMR 240)()( .

Ta cú: 73,0190

140

5,0240

240)(

)(/)(

)(

)(

)( 100

/

Q

QTRQ

Q

dQ

QdTR

QTR

Q

QQTR

QRT

QAR

QMR - hay tại mức

sản lượng Q = 100 mà tăng Q lên 1% thỡ doanh thu tăng 0,73%.

Cõu 3 Mức tăng lên của tổng doanh thu là: 100

80

100

80

)240()( dQQdQQMRA

.3000|2

240 100

80

2

Q

Q

Cõu 4 Ta cú hàm lợi nhuận: 402285,125,0)()()( 23 QQQQTCQTRQ

54,19;54,150228375,0)( 21

2 QQQQQ

Bảng xét dấu:

Q -15,54 0 19,54

- 0 | + 0 -

)(Q | đồng biến | nghịch biến

Nhận thấy hàm )(Q nghịch biến khi Q > 19,54. Mặt khác lại có:

04520)40(

01400)30(

Kết hợp cả 3 ý trên thì ta kết luận phương trình 0)( Q có duy nhất một nghiệm )40,30(Q -

chính là điểm hoà vốn của hãng.

Bài 10 Cho mụ hỡnh thị trường hàng hoá:

Với: p-giá một đơn vị hàng hoỏ (p >0) .

Chứng minh rằng thị trường trên luôn tồn tại trạng thái cân bằng và giá cân bằng không thể lớn

hơn 1.

Giải Xét hàm dư cung: ppppf 152110)( là hàm liờn tục khi p > 0.

Giỏ cõn bằng nếu cú ký hiệu là p thỡ tại đó luôn có:

0)()()()()( pDpSpfpDpS

Như vậy, ta phải chứng minh phương trỡnh 0)( pf cú duy nhất một nghiệm )01( .

Ta đó cú: ppppf 152110)( là hàm liờn tục khi p > 0.

Mặt khỏc: 00152110)( 111 pppppf hay f(p) đồng biến.

Ta lại cú: 0152110)1( f

Và:

)(lim0

pfp

Từ 3 điều trên thỡ phương trỡnh 0)( pf cú duy nhất một nghiệm )01( hay giá cân bằng tồn

tại và không thể lớn hơn 1.

Bài 11 Cho mụ hỡnh thị trường hàng hoá A có dạng;

)(Q

)1,,(2110

15

ppS

pD


9

Trong đó: p-giá hàng A (p > 0), Y0 (Y0 > 0) là thu nhập.

1. Chứng minh rằng thị trường hàng A luôn tồn tại trạng thái cân bằng.

2. Dùng đạo hàm hàm ẩn phân tích biến động của giá cân bằng khi thu nhập Y0 thay đổi. Sử dụng

hàm cung, hóy phõn tớch biến động của lượng cân bằng khi Y0 thay đổi.

3. Sử dụng qui tắc tính đạo hàm của hệ hàm ẩn để phân tích biến động của trạng thái cân bằng khi

Y0 thay đổi.

Giải

Cõu 1 Hàm dư cung: 0

2

0

1,02,0 245,1)( YYpppf

+ Hàm dư cung xác định, liờn tục 0p .

+ Ta lại cú: 004,03,0)( 1,18,0 ppppf

khi đó hàm dư cung là hàm đồng biến 0p .

+ Mặt khỏc lại cú:

00245,1)1( 00

2

0 YYYf

)( pfLimp

Khi đó theo định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục phương trỡnh f(p) = 0 cú duy nhất một

nghiệm và nghiệm đó lớn hơn 1- nghiệm này chính là giá cân bằng.

Cõu 2 Ta luụn cú: 02)(4)(5,1),( 0

2

0

1,02,0

0 YYppYpF xác định ẩn hàm )( 0Ypp .

Theo qui tắc đạo hàm hàm ẩn có: 0)(4,0)(3,0

14

/

/1,18,0

00

0

pp

Y

pF

YF

dY

dp

Hay 0Y tăng thỡ giỏ cõn bằng p* tăng.

Ta lại cú:

)(

)(5,1)(

0

2,0

Ypp

ppSQ

Khi đó: 0)(3,00

8,0

00

dY

dpp

dY

dp

dp

dQ

dY

dQ- hay khi Y0 tăng thỡ lượng cân bằng Q* tăng.

Cõu 3 Sử dụng cả hai hàm cung và cầu ta cú hệ:

(*)02)(4

0)(5,1

0

2

0

1,0

2,0

YYpQ

pQ

xác định ẩn hai hàm số: )();( 00 YppYQQ .

Lấy đạo hàm toàn phần hệ (*) theo Y0 cú kết quả:

(**)

14)(4,0

0)(3,0

0

0

1,1

0

0

8,0

0

YdY

dpp

dY

dQ

dY

dpp

dY

dQ

Ta có định thức Jacobi dạng:

0

2

0

1,0

2,0

24

5,1

YYpD

pS


10

8,01,1

1,1

8,0

)(3,0)(4,0)(4,01

)(3,01

ppp

pJ


0)14()(3,0)(4,014

)(3,00

0

8,01,1

0

8,0

0

J

Yp

J

pY

p

dY

dQ

014141

01

00

0

J

Y

J

Y

dY

dp

Ta dễ nhận thấy các kết quả nhận được trùng với các kết quả đó cú ở phần trên. Như vậy, khi thu

nhập Y0 tăng thỡ cả giỏ cõn bằng và lượng cân bằng đều tăng.

Bài 12 Cho mụ hỡnh thị trường A dạng:

Trong đó: Y0-thu nhập; T0-thuế; p-giỏ; Y0,T0, p > 0.

1. Chứng minh rằng thị trường hàng A luôn tồn tại trạng thái cân bằng.

2. Dùng đạo hàm hàm ẩn phân tích biến động của giá cân bằng khi thu nhập Y0 thay đổi; khi T0

thay đổi.

3. Sử dụng hàm cung, hóy phõn tớch biến động của lượng cân bằng khi Y0 thay đổi; sử dụng hàm

cầu để phân tích sự biến động của lượng cân bằng khi T0 thay đổi.

4. Sử dụng qui tắc tính đạo hàm của hệ hàm ẩn để phân tích biến động của trạng thái cân bằng khi

Y0, T0 thay đổi.

Giải

Cõu 1 Trước hết ta đặt điều kiện để cung và cầu đều dương:

Ta giải hệ: (*)15,05060)0(60

15,050

0

00

0Yp

pdop

Yp

S

D

Ta có hàm dư cung:

0

0

2

3,021001

2,012)()()( Yp

T

ppDpSpf

với điều kiện (*).

Ta lại cú: 021

4,0)(

0

T

ppf - hàm dư cung là hàm đồng biến.

Mặt khỏc cú: 03,0602100)60()60( 0 YDf

01

)150225,02500(2,012)15,050()15,050(

0

0

2

000

T

YYYSYf

Khi đó theo định lý về giá trị trung bỡnh của hàm liờn tục phương trỡnh f(p) cú duy nhất một

nghiệm và nghiệm đó thoả món (*)- hay đó chính là giá cân bằng.

Cõu 2 Giỏ cõn bằng thoả món:

0

2

0

1

2,012

3,02100

T

pS

YpD


11

),,(03,0)(21001

)(2,012)()()( 000

0

2

TYpFYpT

ppDpSpf

(**)

Hệ thức (**) xác định ẩn hàm hai biến ),( 00 TYpp ; khi đó theo qui tắc tính đạo hàm hàm ẩn có

kết quả sau:

0

1

4,02

3,0

1

4,02

3,0

/

/

00

0

0

T

p

T

ppF

YF

Y

p-hay Y0 tăng thỡ giỏ cõn bằng

tăng.

Tương tự có: 0

1

4,02

)1(

)(2,012

/

/

0

2

0

2

0

0

T

p

T

p

pF

TF

T

p vỡ giỏ cõn bằng p* thoả món (*).

Cõu 3 Ta cú:

),(

1

)(2,012)(

00

0

2

TYpp

T

ppSQ

Khi đó có: 01

4,0

0000

Y

p

T

p

Y

p

p

Q

Y

Q- hay Y0 tăng thỡ Q* tăng (với điều kiện T0 không đổi).

Tương tự ta cũng cú:

),(

3,02100)(

00

0

TYpp

YppDQ

Khi đó có: 02000

T

p

T

p

p

Q

T

Q-hay thuế tăng lượng cân bằng giảm.

Ta dùng hàm cung để phân tích biến động của lượng cân bằng khi T0 tăng, dùng hàm cầu để phân

tích biến động của lượng cân bằng khi thu nhập Y0 thay đổi; tuy nhiên cách làm này thường không

thuận lợi bằng cách ta đó làm trờn.

Cõu 4 Ta cú hệ:

01

)(2,012

03,02100

1

)(2,012

3,02100

0

2

0

0

2

0

T

pQ

YpQ

T

pQ

YpQ

(*)

Hệ (*) xác định ẩn hai hàm số hai biến số là: ),( 00 TYQQ và ),( 00 TYpp .

Lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo Y0 ta cú:

01

4,0

3,02

01

4,0

03,02

000

00

000

00

Y

p

T

p

Y

Q

Y

p

Y

Q

Y

p

T

p

Y

Q

Y

p

Y

Q

(**)

Ta có định thức Jacobi:


12

0

0

1

4,02

1

4,01

21

T

p

T

pJ


01

12,0

1

4,00

23,0

00

0

J

T

p

J

T

p

Y

Q- hay khi Y0 tăng lên thỡ Q* tăng.

Tương tự có:

03.001

3,01

0

JJY

p-hay Y0 tăng thỡ giỏ p* tăng.

Các kết quả nhận được đều trùng với các kết quả đó cú. Tương tự nếu lấy đạo hàm riêng toàn phần

hệ trên theo T0 ta sẽ tính được các đạo hàm cũn lại.

Bài 13 Cho mụ hỡnh thị trường 1 hàng hoá:

1. Xác định trạng thái cân bằng.

2. Giả sử Chính phủ đánh một lượng thuế là t trên một đơn vị hàng bán ra; hỏi phải định t là bao

nhiêu thỡ tổng thuế thu được là cực đại.

3. Phải chăng khi thuế tăng 1% thỡ giỏ cõn bằng tăng 1%?

Giải

Cõu 1 Trạng thái cân bằng là nghiệm của hệ;

150

60

230

5,0180

2

2

p

Q

Qp

Qp

Cõu 2 Khi có thuế t thì trạng thái cân bằng mới là nghiệm của hệ:

0;

230

5,0180

2

2

tp

Qp

Qtp

s

s

s

Ta có lượng cân bằng: )1500(5,2

150~

t

tQ

Tổng thuế thu được: max5,2

150~

ttQtT

Nhận thấy T đạt lớn nhất cùng với 2,5T3 hay xét: max)150()( 2 tttf

Ta luôn có: 0

100033000)(

t

ttttf

0)100( f

2

2

230

5,0180

s

d

Qp

Qp


13

Vậy lượng thuế thu được đạt cực đại tại t*=100.

Câu 3 Khi có thuế giá cân bằng thị trường là giá người mua:

5

1505

4150~ t

tttpp s

có: 1750

~

~/~

t

t

dt

pd

p

ttp - vậy khi tăng t lên 1% thì p~ tăng chưa tới 1%.

Bài 14 Cho hàm: ; với Q là sản lượng (Q 0).

1. Tỡm hàm VC(Q); AVC(Q). Xỏc định FC.

2. Tỡm hệ số co gión của tổng chi phớ theo Q tại mức Q = 10 và giải thớch ý nghĩa kinh tế của nú.

3*. Tỡm cỏc hàm MC(Q) và AC(Q); chứng minh rằng MC cắt AC tại điểm mà AC(Q) đạt cực tiểu.

Giải

Câu 1 Ta có: 75)0( TCFC ; QQQFCQTCQVC 145)()( 23 .

Khi đó có: 145)(

)( 2 QQQ

QVCQAVC

Câu 2 Ta có TC(10) = 715; lại có: 214)10(14103)()( 2 MCQQQCTQMC

Khi đó: 99,2214.715

10)(.

)(

10

/ Q

QTC QMCQTC

Q

Ý nghĩa kinh tế: Tại mức Q = 10 mà ta tăng Q lên 1% thì tổng chi phí tăng lên xấp xỉ 2,99%.

Câu 3 Ta có: Q

QQQ

QTCQAC

75145

)()( 2

075

52)(2

QQQCA (1)

Vế trái của (1) là hàm số liên tục khi Q > 0 và có:

00150

2)(3

QQ

QCA - vế trái của (1) đồng biến khi Q>0

Mặt khác lại có:

Q

QCLimA

CA

)(

0)1(

Từ các kết quả trên ta kết luận hàm AC(Q) đạt cực tiểu tại một điểm Q* > 0 thoả mãn:

0)(

7552

2

QQ (2)

Xét: 075

521410375

145)()( 222

QQQQQ

QQQQMCQAC

075

520)75

52(22

QQ

QQQ (3)

Để ý đến (2) thì (3) có nghiệm là Q* hay MC(Q) cắt AC(Q) tại điểm mà AC(Q) đạt cực tiểu.

(Ta cũng có thể dùng máy tính để tính gần đúng Q*).

Bài 15 (Quan hệ giữa hàm tổng và cỏc hàm suy dẫn)

Cho hàm tổng T(x) (chẳng hạn đó là hàm tổng chi phớ, hàm tổng doanh thu,…)

75145)( 23 QQQQTC


14

1. Hóy viết hàm cận biờn M(x); hàm trung bỡnh A(x).

2. Giải thớch ý nghĩa của tỷ số: .

3. Chứng tỏ rằng, khi A(x) đạt cực trị tại x* thỡ M(x*)=A(x*).

4. Hóy nờu qui tắc chung để vẽ các đường A(x) và M(x) lên cùng một hệ trục toạ độ khi A(x) có

cực trị.

5. Cú kết luận gỡ về hệ số co gión của T theo x tại điểm mà A(x) đạt cực trị.

Giải

Câu 1 Hàm cận biên )()( xTxM ; hàm trung bình )0()(

)( xx

xTxA .

Câu 2 Ta có: xTdx

xdT

xT

x

xA

xM/

)(

)()(

)( - hệ số co giãn của hàm T(x).

Câu 3 và 4 Ta có: )0()(

)( xx

xTxA

2

)().()(

x

xTxxTxA

Khi A(x) đạt cực trị tại x* thì:

)()()()(

0)()(0)(

xMxAxT

x

xTxTxxTxA

a. Nếu A(x) đạt cực tiểu tại x* thì:

+ Khi xx có: )()()(

)(0)()(0)( xAxMx

xTxTxTxxTxA (1)

Hệ thức (1) chứng tỏ khi xx thì đồ thị của đường M(x) thấp hơn đồ thị của A(x).

+ Khi xx có: )()()(

)(0)()(0)( xAxMx

xTxTxTxxTxA (2)

Hệ thức (2) chứng tỏ khi xx thì đồ thị của đường M(x) cao hơn đồ thị của A(x).

b. Nếu A(x) đạt cực đại tại x* thì:

+ Khi xx có: )()()(

)(0)()(0)( xAxMx

xTxTxTxxTxA (3)


+ Khi xx có: )()()(

)(0)()(0)( xAxMx

xTxTxTxxTxA (4)


Câu 5 Ta có: 1)(

)()(

)(/

xA

xMxT

xT

x

xT

Bài 16 Lượng cầu về hàng hoá A phụ thuộc vào giá p dạng:

1. Hệ số co gión của DA cú phụ thuộc vào giỏ p hay khụng?

)(

)(

xA

xM

)0,( nkp

kD

nA


15

2. Với n = 1; hóy tớnh và giải thớch ý nghĩa kinh tế của cỏc kết quả đạt được.

Giải

Câu 1 Ta có: 0/

/

nkppk

p

dp

dD

D

p nn

A

ApAD - hệ số co giãn không phụ thuộc giá.

Câu 2 Khi n = 1 có: 0020)1( 321 pkpDkpDkpD AAA

Đây là tình huống kinh tế mà giá tăng lên cầu giảm và tốc độ giảm của cầu theo giá tăng khi giá

tăng (hoặc nói đơn giản: giá tăng cầu giảm với nhịp tăng).

Bài 17 Dõn số của một quốc gia là: ; tổng tiờu dựng của quốc gia này là:

; trong đó t là biến thời gian.

1. Giải thớch ý nghĩa của H0, C0.

2. Tỡm nhịp tăng trưởng của tiêu dùng tính trên đầu người của quốc gia trên.

Giải

Câu 1 Xét 02)0(2)( 00.

00 HHHHtH aat - vậy H0 là dân số vào thời điểm gốc.

Tương tự xét: 0)0()( 00.

00 CeCCeCtC bbt - Vậy C0 là tiêu dùng vào thời điểm gốc.

Câu 2 Từ 2ln2ln...2.2

112)( 0

00 aaH

Hdt

dH

HrHtH at

atHat

Tương tự có: brC . Tiêu dùng tính trên đầu ngưòi là C/H; khi đó áp dụng công thức nhịp tăng

trưởng của một thương có:

2ln/ abrrr HCHC

Bài 18 Cho G = G(t), S = S(t) lần lượt là các hàm xuất khẩu hàng hoá và dịch vụ của Việt nam;

biết nhịp tăng trưởng của xuất khẩu hàng hoá rG = a (a > 0), nhịp tăng trưởng của xuất khẩu dịch

vụ rS = b (b > 0). Hóy viết biểu thức của nhịp tăng trưởng của tổng xuất khẩu X(t) = G(t) + S(t).

Giải

Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng của một tổng có:

btStG

tSa

tStG

tGr

tStG

tSr

tStG

tGr SGX

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)(

Bài 19 Cho xuất khẩu của Việt nam là: ; nhập khẩu của Việt nam là:

.

1. Giải thớch ý nghĩa kinh tế của X0, M0, a, b.

2. Tỡm nhịp tăng trưởng của xuất khẩu rũng NX(t) = X(t) - M(t).

3*. Giả sử vào thời điểm gốc có thâm hụt thương mại; hóy cho biết diễn biến của cỏn cõn thương

mại trong tương lai.

Giải

Câu 1 Lập luận tương tự các bài tập đã có thì:

X0 - xuất khẩu vào thời điểm gốc; M0 - nhập khẩu vào thời điểm gốc; và có: brar MX , .

Câu 2 Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng của một hiệu có:

2

2

dp

DdD A

A

)0,(2 00 aHHH at

)0,( 00 bCeCC bt

)0,()( 00 aXeXtX at

)0,( 00 bMeMM bt


16

btMtX

tMa

tMtX

tXr

tMtX

tMr

tMtX

tXr MXEX

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)(

Câu 3 Theo giả thiết có thâm hụt thương mại vào thời điểm gốc nên có: M0 > X0 (1). Khi đó có 2

tình huống xảy ra:

a. Nếu nhịp tăng trưởng của xuất khẩu không vượt quá nhịp tăng trưởng của nhập khẩu thì thâm

hụt thương mại duy trì vĩnh viễn. Thật vậy:

0

00)2(

)1(00

000000teXeM

te

X

e

M

tat

X

bt

M

a

X

b

M atbtatbt

b. Nếu nhịp tăng trưởng của xuất khẩu lớn hơn nhịp tăng trưởng của nhập khẩu thì sẽ có một thời

điểm EX = 0 và sau thời điểm đó EX > 0. Thật vậy:

0

0)(

00)()(X

MeeMeXtMtX tbabtat (3)

Do có giả thiết (1) và a > b nên phương trình (3) có 1 nghiệm dương duy nhất:

ba

XMt

)/ln( 00

Dễ thấy khi 0)()()( tEXtMtXtt .

Bài 20 Một hóng độc quyền có hàm sản xuất ngắn hạn là: ; hàm cầu ngược đối với sản

phẩm của hóng là: . Hóng cú thể thuờ lao động với mức lương cố định là 8$/1 đơn

vị.

1. Xác định số đơn vị lao động L cần thuê để lợi nhuận của hóng đạt cực đại.

2. Tỡm hệ số co gión của lợi nhuận theo L tại mức L = 25; giải thớch ý nghĩa kinh tế của hệ số

này?

3. Cho biết hàm thu hút lao động của hóng cú dạng với t là biến thời gian. Hóy tớnh

nhịp tăng trưởng của sản lượng Q.

Giải

Cõu 1 Ta cú: 16

42

5,0 QLLQ ;

28

16

22 QQLpTC ; QQpQTR )2200( . Khi đó:

)0(2005,2 2 QMaxQQ

4002005 QQ

05 ; hàm lợi nhuận là hàm lừm, nờn mức sản lượng cực đại lợi nhuận là 40Q .

Mức sử dụng lao động tối ưu là: 100L .

Cõu 2 Ta cú quan hệ:

)(

)(

LQQ

Q

Nờn theo qui tắc tớnh hệ số co gión của hàm hợp cú: (*)/// LQQL

Khi L = 25 thỡ 20254 Q ; 3000)20( .

5,04LQ

Qp 2200

teL 03.02,1


17

3

2)2005(

3000

20/

QQ Q

Q

dQ

dQ; Ta lại cú: 5,0/

dL

dQ

Q

LLQ . Thay các kết quả

nhận được vào (*) có: 33,03

1/ L . Ý nghĩa kinh tế: nếu doanh nghiệp tăng 1% lao động thỡ

lợi nhuận tăng xấp xỉ 0,33%.

Cõu 3 Ta cú quan hệ:

(**))(

)(/ LLQQ rr

tLL

LQQ

Khi thỡ 03,0Lr ; và ta đó cú 5,0/ LQ nên từ (**) xác định được: 015,0Qr - có

nghĩa là nhịp tăng trưởng của sản lượng là 1,5% năm (khi đơn vị thời gian là năm).

Bài 21 Cho hàm lợi nhuận bậc hai:

Hóy cho biết cỏc điều kiện đối với các hệ số h, j, k để hàm lợi nhuận trên thoả món đồng thời các

điều kiện kinh tế sau:

1. Khi sản lượng bán ra Q = 0 thỡ lợi nhuận õm

2. Hàm lợi nhuận là hàm lồi ngặt (thực lồi)

3. Lợi nhuận đạt cực đại tại Q* > 0

Giải

Câu 1 Ta phải có: 00)0( k (1)

Câu 2 Mặt khác: 02)( jhQQ và do theo giả thiết h khác không nên có nghiệm:

02

h

jQ khi jh < 0 (2). Để hàm lợi nhuận đạt cực đại tại Q* phải có 0)( Q . Ta có:

002 hh (3); kết hợp với (2) thì có: j > 0.

Câu 3 Hơn nữa về mặt kinh tế thì lợi nhuận cực đại phải dương:

0402

4)( 2

)3(2

hkjh

hkjQ (4)

Tóm lại các hệ số j, h, k thoả mãn cụm điều kiện sau:

04

0

0

0

2 hkj

h

j

k

Bài 22 Cho hàm số:

1. Tỡm ; xác định giao của y với oy; khảo sát tính tăng giảm ; tính lồi lừm của y; vẽ đồ thị

của y.

2. Nếu ta dùng hàm số trên làm hàm chi tiêu (a consumption function) với x là thu nhập; y là lượng

tiêu dựng, thỡ cỏc hệ số a, b, c phải thoả món thờm điều kiện gỡ để có được tính hợp lý về mặt

kinh tế?

Giải

teL 03.02,1

)0()( 2 QkjQhQQ

)(Q

)0;0,,(

xcbaxc

bay

x

Limy


18

Câu 1 Ta có: axc

bay

xx

)(limlim - hay y = a là tiệm cận ngang của đường cong trên khi

x . Ta lại có: c

bay )0( là tung độ giao điểm của đường cong đã cho với trục tung. Mặt

khác:

00)( 2

xcx

by hàm số luôn đồng biến

00

)(

23

xxc

by hàm đã cho lồi

(Tự vẽ đồ thị)

Câu 2 Để hàm số trên có thể dùng làm hàm tiêu dùng ta cần có điều kiện là: 0c

ba (*). Khi đó

tính hợp lý về mặt kinh tế được giải thích như sau:

+ Điều kiện (*) chỉ ra tiêu dùng tự định (tiêu dùng khi thu nhập x = 0 luôn dương)

+ 0y - hàm số đồng biến theo x, hay thu nhập x tăng thì tiêu dùng tăng. Thêm vào đó có 0y

thì tốc độ tăng của y theo x giảm- có nghĩa là thu nhập tăng thì tiêu dùng tăng nhưng tốc độ tăng

này giảm dần khi x tăng. Hơn nữa, từ axc

bay

xx

)(limlim ta thấy khi thu nhập x ở mức

rất rất cao thì tiêu dùng có xu thế bão hoà.

Bài 23 Tỡm hàm tổng chi phớ trong các trường hợp sau:

1. .

2. .

3.

Giải

Câu 1 Họ hàm tổng chi phí có dạng:

CQQQdQQQdQQMCQTC 345)3815()()( 232 (1)

Mặt khác có:

100)0(100)1(

CCTCFC -hay hàm chi phí thoả mãn đầu bài có dạng:

100345)( 23 QQQQTC


dQeQdQQMCQTC Q5,0.3)()( (1)

Áp dụng công thức tích phân từng phần: vduuvudv với:

QQ edQevdQduQu 5,05,0 2;33 khi đó họ hàm chi phí có dạng:

CeQedQeQeQTC QQQQ 5,05,05,05,0 12666)( (2)

Thay Q = 0 vào (2) có:

30 = TC(0) = -12 + C, vậy có C = 42 – hay hàm chi phí thoả mãn đầu bài là:

42126)( 5,05,0 QQ eQeQTC


100;3815)()( 2 FCQQQMCQC

30;3 5,0 FCQeMC Q

90;2 2,0 FCeMC Q


19

CeQdedQedQQMCQTC QQQ 2,02,02,0 10)2,0(102)()( (1)


8010)0(90 CCTCFC

Hàm chi phí thoả mãn đầu bài có dạng:

8010)( 2,0 QeQTC

Bài 24 Cho khuynh hướng tiết kiệm biên:

1. Hóy tỡm hàm tiết kiệm nếu biết tiết kiệm bằng khụng khi thu nhập Y = 81 $.

2. Cho biết mức tăng lên của tổng tiết kiệm nếu thu nhập tăng từ Y = 100 lờn Y = 200?

Giải

Câu 1 Họ hàm tiết kiệm có dạng:

CYYdYYdYYSYS 2/15,0 2,03,0)1,03,0()()( (1)

Thay Y = 81 vào (1) có:

5,22812,081.3,0)81(0 CCS

Hàm tiết kiệm thoả mãn đầu bài có dạng:

5,222,03,0)( 2/1 YYYS

Câu 2 Mức tăng lên của tổng tiết kiệm là:

2232)2,03,0()1,03,0()()()100()200(200

100

2/1

200

100

5,0

200

100

200

100

YYdYYdYYMPSYSSS

Bài 25 Tỡm các hàm tổng doanh thu R(Q) trong các trường hợp sau:

1.

2.

Giải (Ta luôn thừa nhận điều kiện biên là TR(0)=0)

Câu 1 Họ hàm tổng doanh thu có dạng:

CeQdQeQdQQMRQTR QQ 3,023,0

3

1014)28()()( (1)


3

10

3

10)0(0 CCTR

Hàm tổng doanh thu thoả mãn đầu bài là:

3

10

3

1014)( 3,02 QeQQTR

Câu 2 Họ hàm tổng doanh thu có dạng:

CQQdQdQQMRQTR 12 )1(10)1()1(10)()( (1)


1010)0(0 CCTR

Hàm tổng doanh thu thoả mãn đầu bài là:

5,01,03,0)()( YYMPSYS

QeQQR 3,028)( 2)1(10)( QQR


20

101

10)(

QQTR

Bài 26 Tỡm hàm tổng nhập khẩu M(Y) với Y là thu nhập quốc dõn nếu khuynh hướng nhập khẩu

biên là và M = 20 khi Y = 0. Xác định mức gia tăng của tổng nhập khẩu nếu thu

nhập quốc dân Y tăng từ Y = 2000 lên Y = 2500?

Giải

Họ hàm nhập khẩu có dạng:

CYdYdYYMYM 1,01,0)()( (1)


20 = M(0) = C hay hàm nhập khẩu thoả mãn đầu bài có dạng:

M(Y)=0,1Y+20

Mức tăng lên của nhập khẩu là:

501,01,0)()()2000()2500(2500

2000

2500

2000

2500

2000

2500

2000 YdYdYYMYMMM

Bài 27 Biết tiêu dùng C bằng thu nhập Y khi Y=100 $ và khuynh hướng tiờu dựng biờn là:

.

1.Tỡm hàm tiờu dựng.

2. Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tăng từ 100 $ lên 200 $.

3. Tớnh hệ số co gión của tiờu dựng tại mức thu nhập Y = 200 $, giải thớch ý nghĩa kinh tế của nú.

Giải

Câu 1 Họ hàm tiêu dùng có dạng:

CYYdYYdYYMPCYC 2/15,0 2,08,0)1,08,0()()( (1)


18280)100(100 CCC

Hàm tiêu dùng thoả mãn đầu bài có dạng:

182,08,0)( 2/1 YYYC

Câu 2 Mức tăng lên của tiêu dùng là:

200

100

5,0

200

100

2260)1,08,0()(100

200)()100()200( dYYdYYMPCYCCC

Câu 3 Khi Y = 200 có 22178)200( C và 22

1,08,0)200( C

Ta có: dY

dC

C

YYC / , tại Y=200 có: 924,0/ YC

Tại mức thu nhập Y = 200 nếu thu nhập tăng 1% thì tiêu dùng tăng xấp xỉ 0,924%.

Bài 28 Một hóng cú hàm chi phớ biờn . Hàm doanh thu trung bỡnh

.

1. Hóy xỏc định mức tăng lên của tổng chi phí khi sản lượng tăng từ 10 sản phẩm lên 20 sản phẩm.

1,0)( YM

5,01,08,0)()( YYMPCYC

70023 2 QQMC

QAR 1900


21

2. Cho FC = 30; hóy xỏc định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận của hóng. Cú ý kiến cho rằng tại

mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận của hóng thỡ TC đạt cực tiểu, đồng thời TR đạt cực đại; ý kiến

này có đúng hay không?

3. Cho FC = 30; chứng tỏ rằng đường AC đạt giá trị bé nhất tại

Giải

Cõu 1 Mức tăng lên của tổng chi phí là:

13700700)70023()()()10()20(20

10

23

20

10

2

20

10

20

10 QQQdQQQdQQMCQTCTCTC

Cõu 2 Ta cú: 30700)( 23 QQQQTC ; 21900)()( QQQARQQTR ; khi đó:

)0(max301200)( 3 QQQQ

20012003)(0

2

QQQQ

006)( QQQ ; do vậy lợi nhuận đạt cực đại tại mức sản lượng Q*=20.

Rừ ràng ý kiến đó là sai vỡ hàm TC(Q) khụng cú cực tiểu; hàm TR(Q) đạt cực đại tại Q**=950.

Cõu 3 Ta cú: )0(30

700)(

)( 2 QQ

QQQ

QTCQAC

(*)030

12)()(2

QQQgQCA

0060

2)()(3

QQ

QgQCA (**)

Dễ nhận thấy:

+ )()( QgQCA là hàm liờn tục khi Q > 0.

+ Do cú (**) thỡ g(Q) là hàm đồng biến khi Q > 0

+ Ta lại cú: .025

305)3(;03012)1( gg

Ta khẳng định phương trỡnh (*) cú một nghiệm duy nhất )3,1(Q ; đồng thời tại Q* hàm

AC(Q) đạt cực tiểu vỡ (**) chứng tỏ nú là hàm lồi khi Q > 0.

Bài 29 Một công ty độc quyền có hàm cầu ngược: ; hàm chi phớ biờn:

.

1. Tỡm cỏc giỏ trị Q dương để đảm bảo khi công ty tăng sản lượng thỡ doanh thu tăng.

2. Cú ý kiến cho rằng mức sản lượng tối đa hóa doanh thu của công ty cũng sẽ tối đa hóa lợi nhuận.

Hóy nhận xột ý kiến này.

Giải

Cõu 1 Ta cú: QQMRQQPQQTR 6,0400)(3,0400)( 2

Để khi công ty tăng sản lượng doanh thu tăng ta phải có MR(Q) > 0; ta có hệ:

6,0

4000

06,0400

0

0)(

0

Q

Q

Q

QMR

Q

Cõu 2 Ta cú: QQMRQQPQQTR 6,0400)(3,0400)( 2

).3,1(Q

QP 3,0400

100;3,0 FCQMC


22

3

20000)( QQMR

QQRTQRM 06,0)()(

Hàm TR(Q) đạt giá trị lớn nhất tại 3

2000Q .

Từ giả thiết ta cú: 10015,0)( 2 QQTC ; khi đó hàm lợi nhuận dạng:

10040045,0)( 2 QQQ

Dễ chỉ ra được hàm lợi nhuận đạt cực đại tại 9

4000ˆ Q . Tóm lại ý kiến của đầu bài là ý kiến sai.

Bài 30 Một công ty độc quyền có hàm doanh thu trung bỡnh ; hàm chi phớ biờn:

và chi phí cố định là FC.

1. Tỡm hàm chi phớ bỡnh quõn của cụng ty trờn. Cho , chứng minh rằng hàm chi phớ

bỡnh quõn đạt giá trị bé nhất tại . Tỡm và cho biết ý nghĩa kinh tế của tỷ số

trờn.

2. Tỡm mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận khi FC thay đổi.

3. Cho biết nếu FC tác động tới mức cung tối ưu; tới lợi nhuận tối ưu của công ty như thế nào?

Giải

Cõu 1 Hàm tổng chi phớ:

)0(25)(25)( 223 QQ

FCQQQACFCQQQQTC

(*)012)()(2

Q

FCQQgQCA

002)()(3

QQ

FCQgQCA (**)

Dễ nhận thấy:

+ )()( QgQCA là hàm liờn tục khi Q > 0.

+ Do cú (**) thỡ g(Q) là hàm đồng biến khi Q > 0

+ Ta lại cú: 09

5)3(;01)1( FC

gFCg nếu .

Ta khẳng định phương trỡnh (*) cú một nghiệm duy nhất )3,1(Q ; đồng thời tại

Q* hàm AC(Q) đạt cực tiểu vỡ (**) chứng tỏ nú là hàm lồi khi Q > 0.

Xột hiệu: 0120)12(2)()(2

0

2

2

Q

FCQ

Q

FCQQ

Q

FCQQQACQMC

Q

. Để ý đến

(*) ta nhận thấy:

QTRdQ

QdTC

QTC

Q

QQTC

dQQdTC

QAC

QMCQACQMC /

)(

)(/)(

/)(1

)(

)()()(

Túm lại tỷ số chớnh là hệ số co gión của TC(Q) theo Q tớnh tại Q*- nó cho biết nếu tại

điểm Q* mà sản lượng tăng 1% thỡ tổng chi phớ tăng 1%.

100;3,0 FCQMC

QAR 325

2523 2 QQMC

455 FC

)3,1(Q)(

)(

QAC

QMC

455 FC

)(

)(

QAC

QMC


23

Cõu 2 Hàm lợi nhuận: max300)( 3 FCQQQ

1003003)(0

2

QQQQ

006)( QQQ

Vậy lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi 10Q .

Cõu 3 Sản lượng tối đa hoá lợi nhuận không phụ thuộc vào FC. Mặt khỏc ta lại cú:

FC 2000)10(

Khi đó: 01

dFC

d-hay FC tăng 1 đơn vị thỡ lợi nhuận tối ưu giảm 1 đơn vị.

Bài 31 Cho hàm đầu tư (trong đó t là biến thời gian).

1. Xác định hàm vốn K(t) khi K(0) = 25.

2. Xác định tổng lượng vốn tích luỹ được trong khoảng thời gian .

Giải

Câu 1 Ta có họ hàm vốn dạng:

CtdttdttItK 3/43/1 9)12()()( (1)

Thay t = 0 vào (1) có:

25)0(25 CCK

Hàm vốn thoả mãn đầu bài là: 259)( 3/4 ttK .

Câu 2 Lượng vốn tích luỹ được trong khoảng thời gian [1,10] là:

899,1841

109)(

1

10)()1()10( 3/4

10

1

tdttItKKK

Bài 32 Một doanh nghiệp cạnh tranh cú hàm chi phớ biờn:

với Q là sản lượng.

1. Xác định mức tăng lên của tổng chi phí khi doanh nghiệp quyết định tăng sản lượng từ Q=5 lên

Q = 10 đơn vị.

2. Cho giá thị trường của sản phẩm của doanh nghiệp là p = 39 và FC = 20. Hóy xỏc định lượng

cung cho lợi nhuận cực đại.

3*. Cho p tăng 1 đơn vị ; hóy xỏc định mức tăng của lượng cung tối ưu Q* và lợi nhuận tối ưu

.

4*. Cho p tăng 1%, hóy xỏc định số % biến động của Q* và .

Giải

Câu 1 Mức tăng của chi phí là:

33,258)25122()(5

10)()5()10(

10

5

2

10

5

dQQQdQQMCQTCTCTC

Câu 2 Với FC = 20 ta có hàm tổng chi phí có dạng:

202563

2)( 23 QQQQTC và QQTR 39)( ; khi đó:

max201463

2)( 23 QQQQ

3

1

12)( ttI

10,1t

25122)( 2 QQQMC


24

7014122)(0

2

QQQQQ

0)7(124)( QQ và hàm lợi nhuận là hàm lõm với mọi Q > 0.

Kết luận Lợi nhuận đạt lớn nhất khi Q* = 7 và khi đó 33,143)7( .

Câu 3 Đây là một câu khó, phải sử dụng lý thuyết hàm ẩn. Thí sinh đi thi được sử dụng các công

thức đã có. Sau đây là chứng minh cho trường hợp tổng quát cho trường hợp công ty cạnh tranh-

hay giá p = const. Khi đó:

max)()( QTCpQQ

Điều kiện cần: 0)()( QCTpQ (1)

Giả sử nghiệm của (1) là Q* hay có: 0)( QCTp (2)

Điều kiện đủ: 0)(0)()( QCTQCTQ (3)

Để phân tích tĩnh so sánh ta phải coi (2) xác định ẩn một hàm )( phQ hay có:

)(

0)(),(

phQ

QCTpQpF

Theo quy tắc lấy đạo hàm hàm ẩn:

0)(

1

)(

1

/

/

QCTQCTQF

pF

dp

dQ do có (3).

Như vậy, nếu giá thị trường p tăng lên thì người sản xuất quyết định cung một lượng lớn hơn.

Ta lại có:

)5(

)4(

)(

)(

phQ

QTCpQ

Lấy đạo hàm toàn phần (4) theo p có:

Qdp

dQ

dQ

dTCpQ

dp

dQ

dQ

dTCQ

dp

dQp

dp

dQ

dQ

d

dp

d)(

do có (2).

Trong bài này có: 16)7()( CTQCT ; nên có: 16

1

dp

dQ và 7

Qdp

d.

4. Ta có: 348,016

1

7

39

/

dp

dQ

Q

p

pQ

9,1733,143

39

/

dp

dp

p

Bài 33 Một doanh nghiệp cú hàm doanh thu biờn : . Hóy tỡm tổng doanh thu

nếu doanh nghiệp định giỏ bỏn sản phẩm p = 715.

Giải 232 05,0960)(05,0960)(15,0960)( QQARQQQTRQQMR ; khi đó hàm cầu

ngược của công ty là: 205,0960 Qp

Thay p = 715 vào hàm cầu ngược có: .7005,09607150

2

QQQ

Khi đó tổng doanh thu là: .5005070715 pQTR

215,0960 QMR


25

Bài 34 Công ty độc quyền cú hàm doanh thu biờn .

1. Xác định mức tăng lên của tổng doanh thu khi sản lượng tăng từ Q = 50 đơn vị lên Q = 60 đơn

vị.

2. Xác định doanh thu của công ty khi giá bán sản phẩm p = 70.

3. Cho hàm chi phớ biờn của cụng ty là: và FC = 75. Hóy xỏc định lượng

cung cho lợi nhuận cực đại.

Giải

Cõu 1 Mức tăng lên của tổng doanh thu là:

100120)2120()()50()60(60

50

2

60

50

60

50

QQdQQdQQMRTRTR .

Cõu 2 Ta cú: pQQARQQQTR 120)(120)( 2 (*). Thay p =70 vào (*) thỡ sản lượng

tương ứng Q = 50; hay tại mức giá đó cú: 35007050 TR .

Cõu 3 Từ giả thiết và FC = 75; sử dụng tích phân bất định tỡm được:

751102

11

3)(

23

QQQ

QTC

Hàm lợi nhuận: max75102

9

3)(

3

QQQ

Q

Dễ tỡm được mức sản lượng cực đại lợi nhuận là 10Q .

Bài 35 Xột mụ hỡnh thị trường một hàng hoá:

trong đó p là giá.

1. Với giỏ trị nào của p thỡ .

2. Tỡm trạng thỏi cõn bằng.

3. Viết hàm dư cung và hàm dư cầu; khảo sát tính đồng nghịch biến của các hàm này.

4. Xỏc định lượng dư cung và lượng dư cầu.

Giải

Cõu 1 Ta xột hệ:

)1(3930243

012

0

0

p

p

p

Q

Q

d

s

Cõu 2 Note Giá cân bằng là nghiệm của phương trỡnh: Qs = Qd; tuy vậy đây là phương trỡnh vụ

tỷ cú thể gõy khú khăn cho một số thí sinh không chắc toán sơ cấp. Ta có thể trỏnh rắc rối này bằng

cỏch tỡm hàm cung và hàm cầu ngược:

)3(394432

)2(3221

2

2

ddd

sss

QQppQ

QQppQ

Lượng cân bằng thoả món: 3394320

22

QQQQQQ

. Thay Q* = 3 vào (2) hoặc (3)

xác định được giá cân bằng p* = 18.

QMR 2120

11011)( 2 QQQMC

11011)( 2 QQQMC

243

12

pQ

pQ

d

s

0& ds QQ


26

Cõu 3 Hàm dư cung là: 1432)( ppQQpf ds với điều kiện (1)

ppp

pf

0432

1

22

1)( thoả món (1)

Hàm dư cung là hàm đồng biến; hàm dư cầu là )()( pfQQpg sd -nờn nú là hàm nghịch

biến.

Cõu 4 Lượng dư cung kí hiệu là PS(Producer, Surplus) tớnh theo cụng thức:

27)32(318)(

3

0

2

0

1

dQQQdQQSQpP

Q

S

Lượng dư cầu kớ hiệu là CS (Consumer, Surplus) tớnh theo cụng thức:

36318)394()(

3

0

2

0

1

dQQQQpdQQDC

Q

S

Bài 36 Một doanh nhân bỏ ra K $ vào thời điểm hiện tại mua tích trữ một loại rượu nho để bán

vào một thời điểm nào đó bất kỳ trong tương lai; biết giá trị của lô rượu này tăng theo qui luật

(t là biến thời gian); giả sử chi phí bảo quản không đáng kể (có thể bỏ qua).

1. Cho biết nhịp tăng trưởng của giá trị lô hàng trên.

2. Cho lói suất gộp liờn tục là r; hóy xỏc định thời điểm bán lô rượu có lợi nhất.

3. Chứng tỏ rằng, thời điểm bán có lợi nhất là thời điểm mà tại đó nhịp tăng trưởng của giá trị lô

rượu bằng lói suất gộp liờn tục trờn.

Giải

Câu 1 Ta có: tKetV )(

Khi đó: tt

KeKedt

dV

Vr t

tV

2

1

2

111

Câu 2 Ta có: max KKeKeKeNPV rttrtt

Để đơn giản ta có thể nhận xét rằng: NPV đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi .max)( rtttf

Điều kiện cần: 24

1

2

10

2

1)(

rtr

tr

ttf (1)

Điều kiện đủ: 004

1)(

2/3

r

rtf - hàm f(t) lõm nên nó đạt lớn nhất tại t*.

Câu 3 Rõ ràng tại t* ta luôn có: r

t

2

1- hay thời điểm bán có lợi nhất là thời điểm mà tại đó r

bằng nhịp tăng trưởng của lô hàng.

Bài 37 Hàm cung (S) và hàm cầu (D) của hàng A cú dạng:

Trong đó: p-giá hàng A, M thu nhập.

1. Cú ý kiến cho rằng lượng cân bằng khụng phụ thuộc thu nhập; ý kiến này đúng hay sai?

2. Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t; phân tích tác động của thuế tới mức giá cân

bằng.

tKetV )(

1205,03,0

1507,0

pMD

pS


27

Giải

Câu 1 Điều kiện cân bằng: DS

hay nếu ký hiệu giá cân bằng là p* thì có:

1205,03,01507,0 pMp

nhận thấy giá cân bằng là hàm của M nên lượng cân bằng phải là hàm của M. Tóm lại, ý kiến đưa

ra là ý kiến sai.

Câu 2 Thuế suất là t thì thu nhập khả dụng MtMd )1( với )1,0(t ; và điều kiện cân bằng là:

0270)1(3,02,1),,(1205,0)1(3,01507,0 MtptMpFpMtp (1)

Hệ thức (1) xác định ẩn hàm ),( tMgp , khi đó:

02,1

3,0

/

/

02,1

)1(3,0

/

/

M

pF

tF

t

p

t

pF

MF

M

p

Bài 38 Gọi p là giỏ hàng A; q là giỏ hàng B; M là thu nhập; T là thuế. Mụ hỡnh thị trường hàng A

có dạng:

1. Cho biết quan hệ giữa hai hàng hoỏ A và B.

2. Phân tích tác động của M, T tới giá cân bằng mặt hàng A.

3. Lượng cung SA thay đổi thế nào khi giá hàng A tăng 1% và thuế cũng tăng 1%?

Giải

Câu 1 Ta có: 0.8,0.1,0 9,05,04,0

qpMq

DA -hai mặt hàng thay thế nhau; vì khi giá hàng B

tăng mà giá hàng A không đổi thì cầu hàng A tăng.

Câu 2 Giá cân bằng mặt hàng A là p* thoả mãn hệ thức:

),,,()(4,5)(8,0)(4,5)(8,0 *05.03,01,05,04,005.03,01,05,04,0 qTMpFTpqpMTpqpM (1)

Hệ thức (1) xác định ẩn hàm 3 biến số là: ),,( qTMpp (2).

Áp dụng qui tắc tính đạo hàm hàm ẩn ta có:

0)(62,1)(4,0

)(32,0

/

/05.07,01,05,14,0

1,05,06,0

TpqpM

qpM

pF

MF

M

p

hay khi M tăng, thuế và giá hàng B không đổi thì giá cân bằng hàng A tăng.

Tương tự có: 0)(62,1)(4,0

)(27,0

/

/05.07,01,05,14,0

005.13,0

TpqpM

Tp

pF

TF

T

p

hay khi T tăng, thu nhập và giá hàng B không đổi thì giá cân bằng hàng A tăng. Ta cũng có thể tính

thêm đạo hàm của p* theo q:

0)(62,1)(4,0

)(08,0

/

/05.07,01,05,14,0

9,05,04,0

TpqpM

qpM

pF

qF

q

p

05,03,0

1,05,04,0

4,5

8,0

TpS

qpMD

A

A


28

hay khi q tăng, thu nhập và thuế không đổi thì giá cân bằng hàng A tăng.

Câu 3 Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng của hàm hợp:

%75,1%7).05,0(%7.3,0.. // TTASppASAS rrr .

Bài 39 Cho mụ hỡnh thị trường hàng A dạng:

Trong đó: p-giá hàng A; Y0-thu nhập;T0-thuế.

1. Phân tích ảnh hưởng của Y0,T0 tới giá cân bằng; giải thích ý nghĩa kinh tế của các kết quả nhận

được.

2. Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng của Y0 tới lượng cân bằng; dùng hàm cầu phân tích ảnh

hưởng của T0 tới lượng cân bằng.

Giải

Câu 1 Đặt giá cân bằng là p* thì có:

0),(),(),,(),(),( 000000 TpSYpDTYpFTpSYpD (1)

Hệ thức (1) xác định ẩn hàm ),( 00 TYgp (2). Theo quy tắc đạo hàm của hàm ẩn:

0/

/

0/

/

0

0

0

0

0

0

pp

T

pp

Y

SD

S

pF

TF

T

p

SD

D

pF

YF

Y

p

Câu 2 Ta luôn có:

0),(

),(

0000

0

T

p

p

D

T

Q

TYgp

YpDQ

0),(

),(

0000

0

Y

p

p

S

Y

Q

TYgp

TpSQ

Bài 40 Cho mụ hỡnh thị trường một hàng hoá:

Trong đó: S,D là các hàm cung và hàm cầu của hàng A; p-giá hàng A, M là thu nhập khả dụng, q

giá hàng B.

1. Giải thớch ý nghĩa kinh tế của ?

2. Hai hàng hoỏ nờu trong mụ hỡnh cú quan hệ thay thế hay bổ sung?

3. Tỡm mối liờn hệ giữa để khi p, M, q thay đổi cùng một tỷ lệ thỡ cầu D khụng đổi.

4. Giả sử A và B là hai mặt hàng bổ sung nhau; phân tích ảnh hưởng của M, của q tới giỏ cõn bằng.

5. Phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng.

Giải

Câu 1 Ta có: dp

dS

S

ppS /

)0,0(),(

)0,0(),(

0

0

0

0

Tps

Ypd

SSTpSQ

DDYpDQ

)0;10;0(1,0

)10(3,0

qMpD

pS

,,


29

Câu 2 Xét hàm cầu: qMpD 1,0

Nhận thấy: )1,0( 1

qMpq

D cùng dấu với . Do vậy:

a. Khi đó: 00

p

D - A và B là hai mặt hàng thay thế nhau.

b. khi đó: 00

p

D -A và B là hai mặt hàng bổ sung nhau.

Câu 3 Giả sử tỷ lệ thay đổi của các biến là )1,0( , ta có:

01),,(),,( qMpDqMpD

Câu 4 (Ở đây dùng hàm ẩn là hợp lý hơn là tính trực tiếp)

Ta xét trường hợp 0 và ký hiệu giá cân bằng là p* thì có:

0)(1,0)(3,0),,()(1,0)(3,0 qMppqMpFqMpp (1)

Hệ thức (1) xác định ẩn hàm ),( qMgp ; áp dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn có:

0)(1,0)(3,0

)(1,0

/

/11

1

qMpp

qMp

pF

MF

M

p

Tương tự: 0/

/

pF

qF

q

p.

Câu 5 Lưu ý muốn phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng thì có thể dùng hàm cung

hoặc hàm cầu, nhưng ta thường dùng hàm cung là hàm không chứa M.

Ta có: )(3,0 pSQ ; trong đó: ),( qMgp . Khi đó đạo hàm riêng toàn phần:

0

M

p

p

S

M

Q - hay M tăng (p, q không đổi) thì Q* tăng.

Bài 41 Cho hàm sản xuất COBB-DOUGLAS: ; trong đó: Q-sản lượng,

K-vốn, L- lao động.

1. Tỡm và giải thớch ý nghĩa kinh tế của tại điểm K = 27 và L = 64.

2. Tỡm cỏc hệ số co gión riờng của Q theo K và L.

3. Nếu K và L cùng tăng 1% thỡ Q tăng bao nhiêu %?

4. Hàm sản xuất trờn cú phải là hàm thuần nhất khụng? Nếu thuần nhất thỡ bậc mấy? Nếu doanh

nghiệp tăng qui mô thỡ hiệu quả có tăng hay không?

5. Chứng minh rằng: ; cho biết phần đóng góp của vốn K , của lao động L trong

tổng sản lượng làm ra Q?

6. Hai yếu tố K và L trong hàm trờn cú quan hệ bổ sung hay thay thế nhau? Xác định tỷ lệ thay thế

K cho L tại mức k = 27; L = 64; núi rừ ý nghĩa kinh tế của tỷ lệ này? Nếu trong thực tế giỏ một

đơn vị vốn là 40 USD, giá một đơn vị lao động là 2 USD thỡ về mặt kinh tế cú nờn thực hiện tỷ lệ

thay thế trờn hay khụng?

7. Hàm số đó cho cú thoả món luật lợi ớch cận biờn giảm dần khụng?

)0,(30 3

1

3

2

LKLKQ

21; QQL

QQQ

K

QLK

1L

L

k

k

AP

MP

AP

MP


30

8. Giả sử vốn K có nhịp tăng 3% năm và lao động L có nhịp tăng 1% năm thỡ nhịp tăng của Q là

bao nhiêu %?

9. Tại mức sử dụng đầu vào K = 27, L = 64; giả sử dK = 0,1; dL = -0,3 là các mức biến động của

vốn và lao động. Tỡm cỏc mức thay đổi riờng dKQ và dLQ và giải thớch ý nghĩa kinh tế của cỏc

đại lượng đó? Tỡm và giải thớch ý nghĩa của vi phõn toàn phần dQ.

10. Đường đẳng lượng có mức sản lượng Q0 = 1080 có đi qua điểm có K= 27, L= 64 hay không?

Xác định độ dốc của đường đẳng lượng này? độ đốc này thay đổi thế nào khi vốn K tăng? giải thích

ý nghĩa kinh tế của hiện tượng trên?

Giải

Câu 1 Ta có:

3/1

3/13/1 2020

K

LLKMP

K

Qk

Khi K = 27; L = 64 thì 66,2627

6420

3/1

kMP - hay tại mức sử dụng đầu vào K = 27, L = 64 nếu

giữ nguyên lao động tăng L lên 1 đơn vị thì Q tăng xấp xỉ 26,66. Tương tự, ta cũng có: 3/2

10

L

KMPL

và tại k = 27, L = 64 thì: .625,5L

MP

Câu 2 Ta luôn có hệ số co giãn riêng:

3/22030

3/13/1

3/13/2/

LK

LK

K

K

Q

Q

KKQ

Tương tự có: .3/1/ LQ Hệ số co giãn 3/1/ LQ có nghĩa là khi giữ nguyên K và tăng L lên

1% thì Q tăng 2/3%.

Câu 3 Nếu K và L cùng tăng lên 1% thì số % tăng lên của Q là:

1// LQKQ (tức Q tăng 1%).

Câu 4 Hàm sản xuất đang xét là hàm thuần nhất bậc 1 và nú ứng với trường hợp tăng quy mô mà

hiệu quả không đổi vì:

1),(30)()(30),( 3/13/23/13/2 LKQLKLKLKQ

Cõu 5 Vỡ hàm sản xuất là hàm thuần nhất bậc nờn định lý Euler có dạng:

)1(QL

QL

K

QK

Trong (1) thỡ K

QK

là phần sản phẩm do vốn tạo ra, tương tự

L

QL

là phần sản phẩm do lao động

tạo ra; và đó cũng là các phần đóng góp tương ứng vào Q của vốn và lao động. Nếu chia cả hai vế

của (1) cho Q thỡ cú:

111/

/

/

/1)1( //

LQKQ

L

L

K

K

AP

MP

AP

MP

LQ

LQ

KQ

KQ

L

Q

Q

L

K

Q

Q

K


31

Câu 6 Ta xét: 0/

/

KQ

LQ

dL

dK-hai yếu tố thay thế nhau vì ta giảm L thì phải tăng K một lượng

dL

dK để Q không đổi. Về mặt toỏn học thỡ

dL

dK là độ dốc của đường đẳng lượng; khi độ dốc này

âm thỡ K và L biến thiờn ngược chiều nhau và đó là hai yếu tố thay thế nhau. Trong kinh tế học

thỡ dL

dK đó chính là MRTS-tỷ lệ thay thế kỹ thuật biên. Đương nhiên, tỷ lệ thay thế này thay đổi

vỡ độ dốc của đường đẳng lượng tại các điểm khác nhau của đường này khác nhau. Khi K = 27; L

= 64 thỡ cú:

21,066,26

625,5

K

L

MP

MP

dL

dK

Có nghĩa là tại mức sử dụng đầu vào trên nếu giảm một đơn vị L thỡ phải tăng K là 0,21 đơn vị thỡ

sản lượng Q sẽ không đổi. Tuy nhiên đó là tỷ lệ thay thế kỹ thuật. Bõy giờ ta xột về mặt kinh tế:

Theo giả thiết thỡ tiết kiệm một đơn vị lao động sẽ tiết kiệm được 2 USD chi phí; trong khi đó nếu

tăng 0,21 đơn vị vốn thỡ phải chi phớ thờm 0,21.40 = 8,4 USD. Như vậy, thay thế không có lợi về

mặt kinh tế.

Câu 7 Ta có: 0.03/2020 3/13/4

2

23/13/1

LKLKQK

QLK

K

QKK

Hoàn toàn tương tự có: 0LLQ . Vậy hàm số đã cho thoả mãn luật lợi ích cận biên giảm dần.

Câu 8 Áp dụng công thức: %.33.2%13/1%33/2// LLQKKQQ rrr

Câu 9 Ta tính các vi phân riêng:

666,21,066,26

dK

K

QQdK và 6875,1)3,0(625,5

dL

L

QQdL

Vi phân toàn phần: .9785,06875,1666,2 QdQddQ LK

Cõu 10 Thay K = 27, L = 64 vào hàm sản xuất cú:

1080642730 3/13/2 Q

Như vậy đường mức dạng: 108030 3/13/2 LK có đi qua điểm K = 27; L = 64. Độ dốc của đường

mức này là:

L

K

LK

LK

KQ

LQ

dL

dK

220

10

/

/3/13/1

3/23/2

.

Độ dốc nay là hàm của hai biến K, L; ta có: 02

1)(

LK

dL

dK

- cú nghĩa là khi vốn K tăng thỡ

dL

dK giảm do vậy lượng vốn phải bỏ ra để thay thế cho một đơn vị lao động giảm đi sẽ tăng lên.

Bài 42 Thu nhập của một cỏ nhõn (Y) là: trong đó L là số giờ lao động; R là lói

suất.

1. Do lói suất tăng 1% trong năm nên cá nhân đó giảm số giờ làm việc 1% và tin rằng thu nhập của

mỡnh sẽ tăng. Niềm tin đó có căn cứ hay không?

05,01,06,0 RLY


32

2. Có ý kiến cho rằng thu nhập tăng cựng một nhịp với lói suất và số giờ làm việc. Nhận định đó

đúng hay sai?

Giải

Cõu 1 Ta cú cụng thức: )1(// RRYLLYY rrr

Theo giả thiết ta luụn cú: %1%;1;05,0;1,0 // RLRYLY rr ; thay cỏc kết quả này vào (1)

thỡ: %05,0%105,0%)1(1,0)1( Yr - hay thu nhập của cá nhân trên giảm 0,05%; vậy

niềm tin trên là không có căn cứ.

Cõu 2 Giả sử nhịp tăng của thu nhập và lói suất là )1( , khi đó có:

),(),(),( 11

15,0 RLYRLYRLY

-hay nhịp tăng của Y nhỏ hơn nhịp tăng của L và R;

nhận xét trong đầu bài là sai.

Bài 43

1. Cho hàm sản xuất: Q = Q(K,L,t) với K-vốn,L-lao động, t-biến thời gian. Giả sử K = K(t), L =

L(t). Hóy phõn tớch tốc độ biến thiên của Q theo t?

2. Trả lời câu hỏi trên cho trường hợp cụ thể sau:

và A(t) là hàm đồng biến theo t; A(t) > 0 với mọi

Giải

Câu 1 Tốc độ biến thiên của Q theo t chính là đạo hàm toàn phần của Q theo t:

dt

Q

dt

dL

L

Q

dt

dK

K

Q

dt

dQ

Câu 2 Trước hết do A(t) là hàm đồng biến theo t thì có 00)( ttA . Ta luôn có:

00)()()( 11 ttALKbLKtAaLKtAdt

dQ

Kết luận Sản lượng Q tăng theo thời gian.

Bài 44 Cho cầu về một loại hàng hoá (D) phụ thuộc vào giá của hàng hoá đó (p) và thu nhập (Y)

dạng:

1. Tớnh và giải thớch ý nghĩa kinh tế của cỏc hệ số co gión riờng của D theo p, theo Y.

2. Tại mức cầu D0 cho trước, giả sử giá p tăng 1 đơn vị thỡ thu nhập Y phải tăng bao nhiêu thỡ cầu

khụng đổi.

Giải

Câu 1 Ta có: 01

/

Dp

D

D

ppD

02

/

D

Y

Y

D

D

YYD

Câu 2 Mức tăng cần thiết của Y để duy trì cầu không đổi chính là hệ số thay thế Y cho p:

)1,0()( LKtAQ

)0,( 00 aKatKK

)0,( 00 bLbtLL

.0t

2ln4 5,0 pYD


33

02

1

/

/

YpYD

pD

dp

dY

Bài 45 Cầu về cà phờ nhập khẩu của Nhật (D) phụ thuộc vào giỏ cà phờ thế giới (p) và thu nhập

bỡnh quõn đầu người của Nhật (Y) dạng:

1. Tớnh và giải thớch ý nghĩa kinh tế của cỏc hệ số co gión riờng của D theo p, Y.

2. Giả sử tại mức nhập khẩu D0 cho trước, giá p tăng 1 đơn vị thỡ Y phải thay đổi như thế nào để

mức cầu này không đổi.

Giải

Câu 1 Ta có: 02

/ D

YYD

02

)2(2

/

D

pp

D

ppD

Câu 2 Ta có: 04

/

/3

p

Y

YD

pD

dp

dY (*)

Giả sử ta đang ở mức thu nhập 1000 $ và giá p = 10$ thì từ (*) có:

126,010

100043

dp

dY- là mức tăng của thu nhập Y đảm bảo cầu không đổi dù giá

tăng thêm một đơn vị.

Bài 46 Công ty cạnh tranh sản xuất hai sản phẩm với giá thị trường tương ứng p1 =15, p2=30; chi

phí cố định C0. Hàm chi phớ cú dạng: .

1. Xác định lượng cung các sản phẩm để lợi nhuận đạt cực đại.

2. Chi phí cố định C0 ảnh hưởng thế nào tới lượng cung và lợi nhuận tối ưu?

Giải

Cõu 1 Theo giả thiết thỡ cú: 21 3015)( QQQTR

Hàm lợi nhuận dạng: max3015105)( 021

2

221

2

1 CQQQQQQQ

Điều kiện cần: )1(030205

01552

212

211

QQ

QQ

Áp dụng quy tắc Cramer hoặc phương pháp ma trận nghich đảo hoặc bấm máy ta có điểm dừng là:

9;30 21

QQ .

Điều kiện đủ: Ma trận HESS cú dạng:

015;02205

5221

HHHH

Do ta có một điểm dừng duy nhất, điều kiện đủ thoả món với mọi giỏ trị của cỏc biến số; nờn lợi

nhuận đạt giá trị lớn nhất tại mức sản lượng 9;30 21

QQ .

Cõu 2 Mức sản lượng tối ưu không phụ thuộc chi phí cố định C0 là 9;30 21

QQ ; vỡ điều kiện

cần là hệ (1) khụng chứa C0. Ta lại có lợi nhuận tối ưu:

25,0 pYD

0

2

221

2

1 105)( CQQQQQTC


34

013600

0

dC

dC

Hay khi C0 tăng 1 đơn vị thỡ lợi nhuận tối ưu giảm 1 đơn vị.

Bài 47 Doanh nghiệp cú cỏc hàm cầu với hai mặt hàng là:

và hàm chi phớ kết hợp: (C0 > 0).

1. Tỡm cỏc hàm cầu ngược bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.

2. Với chi phí cố định C0 = 5000; hóy xỏc định lượng cung và giá bán các mặt hàng để lợi nhuận

đạt cực đại.

3. Phân tích ảnh hưởng của C0 tới lượng cung, giá bán và lợi nhuận cực đại. Tỡm hệ số co gión của

lợi nhuận cực đại theo C0 khi C0= 5000 và giải thớch ý nghĩa kinh tế của hệ số co gión này.

Giải

Cõu 1 Từ giả thiết cú:

)1(3402

340

221

121

Qpp

Qpp

Áp dụng phương pháp ma trận nghịch đảo dễ tỡm được các hàm cầu ngược là:

)2(680

21020

212

211

QQp

QQp

Ta xột hàm lợi nhuận tổng quỏt (cú chứa C0):

max600800423)( 02121

2

2

2

1 CQQQQQQQ

Điều kiện cần:

50

100)3(

060044

080046

2

1

212

211

Q

Q

QQ

QQ

Điều kiện đủ: Ma trận HESS cú dạng:

08;0644

4621

HHHH

Do ta có một điểm dừng duy nhất, điều kiện đủ thoả món với mọi giá trị của các biến số; nên lợi

nhuận đạt giá trị lớn nhất tại mức sản lượng 50;100 21

QQ .Thay cỏc lượng cầu tối ưu vào (2)

tỡm được giỏ tối ưu là 530;770 21

pp . Mức sản lượng tối ưu không phụ thuộc chi phí cố định

C0 vỡ điều kiện cần là hệ (3) khụng chứa tham số này; giỏ tối ưu cũng khụng phụ thuộc C0 vỡ hệ

(2) khụng chứa tham số này. Ta lại có lợi nhuận tối ưu:

055000 C

Cõu 2 Khi C0 = 5000 thỡ 50000500055000 ; mức sản lượng cực đại lợi nhuận là

50;100 21

QQ .

Cõu 3 Ta cú: 1,050000

500050000

0

0

/

0

0

C

C

C

dC

dC

-có nghĩa là tại mức chi phí cố định C0

= 5000, nếu chi phí này tăng 1% thỡ lợi nhuận tối ưu giảm đi 0,1%.

212

211

2340

340

ppQ

ppQ

021

2

221

2

1 802202)( CQQQQQQQTC


35

Bài 48 Một hóng độc quyền sản xuất một mặt hàng với hàm chi phí:

C = 2000 + 10Q

Sản phẩm được tiêu thụ ở hai thị trường với các hàm cầu tương ứng là:

1. Giả sử cụng ty cú chớnh sỏch phõn biệt giỏ thỡ phải chọn chiến lược nào thỡ lợi nhuận là cực

đại.

2. Trong trường hợp không được phân biệt giá (do hiệp định thương mại) thỡ lựa chọn chiến lược

nào?

Giải

Câu 1 Khi hàm TC là bậc nhất nên biểu diễn hàm doanh thu và lợi nhuận qua giá.

2

1

2

1

2

1

2

1

25

10

125

210

4,0

1,0

50

21

Q

Q

p

p

p

p

Q

Q

Khi đó hàm lợi nhuận:

max271054224,01,0 21

2

2

2

1 pppp

Điều kiện cần

)5,67;110(

0

0

54

22

8,0

2,0

2

1

2

1p

p

p

Điều kiện đủ

.016,0;02,08,00

02,021

HHH

Kết luận Lợi nhuận đạt cực đại khi .5,322);23,10();5,67;110( Qp

Câu 2 Khi không được phân biệt giá, ta đặt p1 = p2 = p thì:

max2710765,0 2 pp

Điều kiện cần 76076 ppdp

d

Điều kiện đủ 012

2

dp

d

Kết luận Lợi nhuận đạt cực đại khi 178);6,19;4,13(;7621 Qpp

Như vậy khi không được phân biệt giá thì lợi nhuận của công ty giảm đi đáng kể, trong khi tổng

lượng hàng bán trên hai thị trường không đổi.

Chú ý: Nếu biểu diễn hàm lợi nhuận qua sản lượng thì có:

20001152002510 21

2

2

2

1 QQQQ

Trong trường hợp không phân biệt giá thì có thêm điều kiện:

852510 2121 QQpp

Ta gặp bài toán cực trị có ràng buộc.

22

11

4,050

1,021

pQ

pQ


36

Bài 49 Cho hàm thoả dụng U = (x + 2)(y + 1); trong đó; x,y là số đơn vị hàng các loại được tiêu

dùng. Cho p1 = 4, p2 = 6 là giá tương ứng của cỏc loại hàng hoỏ; cho ngõn sỏch chi cho tiờu dựng

B = 130.

1. Hóy xỏc định hành vi tiêu dùng tối ưu. Cho biết nếu khi giá các mặt hàng p1,p2 không đổi nếu

ngân sách cho tiêu dùng tăng 1 đơn vị thỡ độ thoả dụng tối ưu U* tăng lên bao nhiêu?

2. Tỡm độ dốc của đường bàng quan và cho biết ý nghĩa kinh tế của độ dốc này. Giải thớch cụ thể

độ dốc này khi x = 16, y = 11.

3*. Giải bài toán với hàm thoả dụng đó cho và đường ngân sách tổng quát:

Giả sử phương án tiêu dùng tối ưu nhận được là (x*,y*); hóy tớnh và giải thớch ý nghĩa kinh tế của:

.

Giải

Câu 1 Bài toán có dạng:

0,

13064

max22

yx

yx

yxxyU

Hàm Lagrange: )64130(22),,( yxyxxyyxL với 0, yx (*)


3

11

16

064130

062

041

y

x

yxL

xL

yL

y

x

thoả mãn điều kiện (*).

Điều kiện đủ

Ma trận HESS biên có dạng:

048

016

104

6400

2

2

1

21

HH

LLg

LLg

gg

H

yyyx

xyxx

Kết luận Phương án tiêu dùng tối ưu: .11;16 yx Độ thoả dụng tối ưu .216U

Khi giá các mặt hàng không đổi, ngân sách tiêu dùng tăng 1 đơn vị thì độ thoả dụng tối ưu tăng

một lượng đúng bằng ; hay có:

3

B

U

(Người thi được phép sử dụng ngay công thức trên; không yêu cầu chứng minh).

Câu 2 Đây là câu hỏi về tỷ lệ thay thế của mặt hàng thứ 2 cho mặt hàng thứ nhất, ta áp dụng công

thức:

2

1

/

/

x

y

yU

xU

dx

dy (*)

)0,,( 2121 BppBypxp

B

x

p

x

p

x

;,21


37

Với 0, yx ; thì từ (*) ta chỉ có thể khẳng định 0dx

dy

nếu ta xét tại mức tiêu dùng tối ưu 11;16 yx thì có:

66,0dx

dy

có nghĩa là tại mức tiêu dùng trên mà ta giảm mặt hàng 1 một đơn vị thì để duy trì mức thoả dụng

216U thì phải tăng mức sử dụng hàng 2 lên 0,66 đơn vị.

Câu 3 Ta giải bài toán tổng quát:

0,

max22

21

yx

Bypxp

yxxyU

Hàm Lagrange: )(22),,( 21 ypxpByxxyyxL


0

02

01

21

2

1

ypxpBL

pxL

pyL

y

x

(1)

Giải hệ (1) bằng quy tắc Cramer; ta có:

2

1121

2

221221 2;2;2 pBpppDpppBpDppD yx

Ta nhận được các hàm cầu Marshall:

2

12

1

21

2

2;

2

2

p

pBpy

p

ppBx

Dễ chứng minh được điều kiện đủ luôn thoả mãn vì có: 02 21 ppH .

Do có: 1

21

2

2

p

ppBx

dễ chỉ ra được: 02

1;0

2

1;0

2

)(

112

2

1

2

1

pB

x

pp

x

p

pB

p

x

Từ kết quả trên có thể thấy mặt hàng 2 là mặt hàng thay thế mặt hàng 1; mặt hàng 1 là hàng hoá

bình thường.

Bài 50 Một nhóm dân cư có hàm thoả dụng giỏ cỏc mặt hàng tương ứng là p1=12;

P2=3.

1. Hóy xỏc định phương án tiêu dùng cho cụm dân cư trên để có thể đạt được độ thoả dụng U0=1250

với chi phớ bộ nhất.

2*. Giả sử chi tiêu cực tiểu là C*; phân tích sự biến động của C* khi p1, p2, U0 thay đổi.

Giải

Câu 1 Bài toán có dang:

125025

min312

5,05,0 yx

yxC

Hàm Lagrange: )251250(312),,( 5,05,0 yxyxyxL

;25 5,05,0 yxU


38


48,025/12

100

25

0251250

05,123

05,1212

5,05,0

5,05,0

5,05,0

y

x

yxL

yxL

xyL

y

x

Điều kiện đủ Ma trận HESS biên có dạng:

5,15,05,05,05,05,0

5,05,05,05,15,05,0

5,05,05,05,0

25,625,65,12

25,625,65,12

5,125,120

yxyxyx

yxyxyx

yxyx

H

Để chứng tỏ 0H thì không nên tính trực tiếp mà khai triển Laplas định thức trên theo các phần

tử của dòng 1.

Câu 2 Áp dụng các công thức đã có:

100

25

25/12

2

1

0

yp

C

xp

C

U

C

Bài 51 Một hóng cú hàm chi phớ TC = 35 + 40Q. Cầu về loại hàng này trong nước và ngoài nước

tương ứng là: Q1 = 24 - 0,2P1; Q2 = 10 - 0,05P2 trong đó: Q=Q1+Q2.

1. Phải lựa chọn giá như thế nào để lợi nhuận lớn nhất trong mỗi trường hợp sau:

a. Có thể phân biệt giá trong và ngoài nước.

b. Chỉ có thể đặt một giá thống nhất.

2. Lợi nhuận cực đại sẽ thay đổi thế nào trong mỗi trường hợp trên khi cầu tối đa trong nước thay

đổi?

Giải

Câu 1 Ta có hai trường hợp:

a. Phân biệt giá trên hai thị trường

Về nguyên tắc thì hàm lợi nhuận có thể biểu diễn là hàm của sản lượng hoặc là hàm của giá.

Trong bài này hàm tổng chi là hàm bậc nhất của sản lượng và các hàm cầu đều là các hàm cầu

xuôi thì biểu diễn lợi nhuận qua giá có lợi hơn.

Ta có: )05,02,034(403505,02,034 212121 PPTCPPQQQ

Khi đó có hàm lợi nhuận:

max1395123205,02,0 21

2

2

2

1 PPPP


120

80

0121,0

0324,0

2

1

21

11

P

P

P

P


39

Điều kiện đủ Ta có ma trận HESS:

004,0;04,01,00

04,021

HHHH

Kết luận Chiến lược tối ưu của hãng:

605);4,8();120,80( QP .

b. Hai thị trường chỉ áp dụng một giá thống nhất

Ta đặt P = P1 = P2 thì có hàm lợi nhuận:

max13954425,0)( 2 PPP

05,0)(

880445,0)(

P

PPP

Kết luận Chiến lược tối ưu của hãng:

541;6,5;4,6;88 21 QQP .

Câu 2 Ta có hàm cầu trong nước là: 11 2,0 PaQ ; nếu giá P1=0 thì cầu tối đa chính là a (a >0).

Theo giả thiết hàm cầu nước ngoài không đổi. Ta lại xét hai trường hợp.

a. Phân biệt giá trên hai thị trường

max4354012)8(05,02,0 21

2

2

2

1 aPPaPP


120

004,0

8

0121,0

084,0

2

1

22

11

P

aa

P

P

aP

Điều kiện đủ Ta có ma trận HESS:

004,0;04,01,00

04,021

HHHH

Kết luận

4;120

)8(2

8;

4,0

8

2

*

2

11

QP

aa

Qa

P

Khi đó: )8(28540)8(4

5 2 aaa

80202

5

akhiada

d

Hay lợi nhuận tối ưu trong trường hợp này tăng khi cầu tối đa trong nước tăng.

b. Hai thị trường chỉ áp dụng một giá thống nhất

Ta đặt P = P1 = P2 thì có hàm lợi nhuận:

max40435)20(25,0)( 2 aPaPP

05,0)(

004020205,0)(

P

aaPaPP

Khi đó có:


40

3

40086,01 akhiaQ

80081,02 akhiaQ

Ta có: 3540435)402)(20()402(25,0 22 aaaaa

80,3

400002 a

da

daa

da

d

Hay lợi nhuận tối ưu đồng biến theo a.

Bài 52 Hàm thoả dụng của một nhóm dân cư được xác định ẩn bởi hệ thức:

(*)

1. Tớnh khi x = 1,y = 2; giải thớch ý nghĩa của cỏc kết quả.

2. Tớnh khi x = 1,y = 2; giải thớch ý nghĩa của kết quả.

Giải

Cõu 1 Thay x = 1; y = 2 vào (*) ta cú: 10)3)(1((*) 2 uuuu

Ta lại cú: 0531;2;1

2

UyxyxU

U

F. Như vậy, hệ thức (*) xác định ẩn hàm U=U(x,y) tai

điểm M(1,2,1). Theo quy tắc lấy đạo hàm của hàm ẩn ta có:

)1(3

2

/

/2

3

1yxU

yUxy

F

F

UF

xFMU

x

U

U

x

Thay M(1,2,1) vào (1) ta cú: 5

141 MU - có nghĩa là tại mức tiêu dùng trên nếu tăng lượng tiêu

dùng mặt hàng thứ nhất 1 một đơn vị (giữ nguyên lượng tiêu dùng mặt hàng 2) thỡ độ thoả dụng

U tăng 14/5 đơn vị.

Tương tự có:

)2(3

3

/

/2

22

2yxU

xUxy

F

F

UF

yFMU

y

U

U

y

Thay M(1,2,1) vào (2) ta cú: 5

112 MU - có nghĩa là tại mức tiêu dùng trên nếu tăng lượng tiêu

dùng mặt hàng thứ 2 một đơn vị (giữ nguyên lượng tiêu dùng mặt hàng 1) thỡ độ thoả dụng U tăng

11/5 đơn vị.

Ta cú:

x

MU

x

x

U

x

U

)()(

1

2

2

Khi đó ta phải lấy đạo hàm riêng (1) theo x và phải lưu ý rằng U là hàm của x; thỡ cú kết quả sau:

)3()3(

)6)(2()3)(2(

3

222

323

2

3

2

2

yxU

yUUyUxyyxUyUy

yxU

yUxy

x

U xx

x

Thay x = 1, y = 2; U = 1; 5/14

xU vào (3) cú:

),( yxUU

05),,( 323 yxUUxyyxuF

2

2

2

2

21 ,;;,,y

U

x

UMUMU

y

U

x

U

dx

dy


41

0448,82

2

x

U

í nghĩa: cú nghĩa là tại mức tiờu thụ trờn nếu tăng thêm một đơn vị mặt hàng 1 (giữ nguyên lượng

tiêu dùng mặt hàng 2) thỡ độ thoả dụng biên mặt hàng 1 giảm đi 8,488 đơn vị.

Tương tự có: y

MU

y

y

U

y

U

)()(

2

2

2

(tự làm).

Cõu 2 Ta cú khi x =1; y = 2 thỡ U=1 cú nghĩa là phương án tiêu dùng trên nằm trên đường bàng

quan có phương trỡnh: )4(06),( 23 yxxyyxG

Lấy vi phõn toàn phần 2 vế của (4) cú:

)5(3

2

/

/0

22

3

xxy

yxy

yG

xG

dx

dydy

y

Gdx

x

G

Hệ thức (5) cho biết độ dốc của đường bàng quan trên; nếu thay x = 1; y = 2 vào (5) thỡ cú:

)6(011

14

dx

dy

Hệ thức (6) cho biết độ dốc của đường bàng quan trên tại x = 1; y =2; đó cũng chính là tỷ lệ thay

thế biờn của hàng hoỏ thứ 2 cho hàng hoỏ thứ 1. Hay núi rừ hơn là tại mức tiêu dùng trên nếu ta

tăng một đơn vị mặt hàng thứ nhất thỡ cú thể giảm 14/11 đơn vị hàng thứ 2 mà vẫn duy trỡ được

độ thoả dụng U = 1.

Bài 53 Cho mụ hỡnh cõn bằng thu nhập quốc dõn:

với giả thiết:

Trong đó: S(Y)-hàm tiết kiệm; T(Y)-hàm thuế; I(Y)-hàm đầu tư; G0- chi tiờu chớnh phủ.

1. Giải thớch ý nghĩa kinh tế của giả thiết .

2. Hóy phân tích ảnh hưởng của chi tiêu chớnh phủ tới thu nhập cõn bằng.

Giải

Câu 1 Giả thiết: 0,, YYY ITS - cho biết tốc độ tăng của tiết kiệm S, của thuế T, của đầu tư I theo

thu nhập Y. Giả thiết: YYY ITS đòi hỏi tốc độ tăng của nguồn đầu tư là S(Y)+T(Y) phải lớn

hơn tốc độ tăng của đầu tư I(Y) (vì một phần còn dành cho chi tiêu chính phủ).

Câu 2 Nếu thu nhập cân bằng là Y* thì có:

0)()()(),()()()( 000 GYIYTYSGYFGYIYTYS (1)

Hệ thức (1) xác định ẩn hàm )( 0GgY . Theo quy tắc đạo hàm hàm ẩn:

01

/

/ 0

0

YYY ITSYF

GF

dG

dY

hay G0 tăng thì Y* tăng.


với giả thiết: .

0)()()( GYIYTYS

)(;0,, YYYYYY

ITSITS

)(

0

0

)(

)()(

MrLkY

GrIYCY

0;0;0;10 rrY

LkIC


42

Trong đó: r-lói suất; C(Y)-hàm tiờu dựng; I(r)- hàm đầu tư, G0-chi tiờu chớnh phủ; M0-lượng cung

tiền.

1. Cho biết trong mụ hỡnh trờn thỡ hàm cầu tiền là hàm nào?

2. Phân tích ảnh hưởng của G0, M0 tới thu nhập cõn bằng.

Giải

Câu 1 Điều kiện cân bằng trong thị trường tiền tệ là cung tiền bằng cầu tiền; theo giả thiết cung

tiền là M0 nên hàm cầu tiền là: )(rLkY - hàm này gồm hai số hạng, một số hạng tỷ lệ thuận với

thu nhập quốc dân Y và một số hạng nghịch biến với lãi suất.

Câu 2 Gọi thu nhập cân bằng là (Y*,r*) thì ),();,( 0000 MGhrMGgY và có:

)2(

)1(

0)(),,,(

0)()(),,,(

0002

0001

MrLkYMGrYF

GrIYCYMGrYF

Lấy đạo hàm riêng toàn phần (1) và (2) theo G0:

0

1

00

000

G

rL

G

Yk

G

rI

G

YC

G

Y

r

rY

(3)

Ta có định thức Jacobi:

0)1()1(

rrY

r

rY IkLCLk

ICJ

000

1

0

1

J

L

G

YL

L

ID r

r

r

r -hay khi G0 tăng (các yếu tố khác không

đổi) thì Y* tăng.

000

1)1(

0

2

J

k

G

rk

k

CD Y - hay khi G0 tăng (các yếu tố khác

không đổi) thì r* tăng.

Tương tự, lấy đạo hàm riêng toàn phần (1) và (2) theo M0 sẽ tìm được hai đạo hàm phân tích tĩnh

so sánh còn lại. Theo lí thuyết kinh tế thì phải có: 0;000

M

r

M

Y (học sinh tự kiểm tra bằng

tính toán).

The end

Documents

GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN · Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN 1 GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN Bài 1 Xột nền kinh tế cú 2 ngành với