Giai Tich II Dai Hoc Bach Khoa Ha Noi 2013 2014

Trng i hc Bch Khoa H Ni Vin Ton ng dng v Tin hc - 2014

1

BI TP GII TCH 2 Kim tra gia k : T lun, vo tun hc th 9

Thi cui k : T lun

CHNG 1 Hnh hc vi phn

ng dng trong hnh hc phng 1. Vit phng trnh tip tuyn v php tuyn vi ng cong:

a) 3 22 4 3y x x x ti im ( 2;5) .

b) 21 xy e ti giao im ca ng cong vi ng thng 1y .

c) 3

3

1

3 1

22

tx

t

ytt

ti im (2;2)A .

d) 2 2

3 3 5x y ti im (8;1)M . 2. Tnh cong ca:

a) 3y x ti im c honh 1

2x .

b) ( sin )

(1 cos )

x a t t

y a t

( 0)a ti im bt k.

c) 2 2 2

3 3 3x y a ti im ( , )x y bt k ( 0)a .

d) br ae , ( , 0)a b ti im bt k. 3. Tm hnh bao ca h cc ng cong sau:

a) 2x

y cc

b) 2 2 1cx c y c) 2 2( )y c x c .

ng dng trong hnh hc khng gian 1. Gi s ( )p t

, ( )q t

, ( )t l cc hm kh vi. Chng minh rng:

a) ( ) ( )( ) ( )d d p t d q tp t q tdt dt dt

.

b) )()(')(

)())()(( tptdt

tpdttpt

dt

d .

c) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )d dq t d p tp t q t p t q tdt dt dt

.


2

d) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )d d q t d p tp t q t p t q tdt dt dt

.

2. Vit phng trnh tip tuyn v php din ca ng:

a)

2

2

sin

sin cos

cos

x a t

y b t t

z c t

ti im ng vi 4

t

, ( , , 0)a b c .

b)

sin

21

cos

2

t

t

e tx

y

e tz

ti im ng vi 0t .

3. Vit phng trnh php tuyn v tip din ca mt cong:

a) 2 2 24 2 6x y z ti im (2;2;3) .

b) 2 22 4z x y ti im (2;1;12) . c) ln(2 )z x y ti im ( 1;3;0) . 4. Vit phng trnh tip tuyn v php din ca ng:

a) 2 2

2 2

10

25

x y

y z

ti im (1;3;4)A .

b) 2 2 2

2 2

2 3 47

2

x y z

x y z

ti im ( 2;1;6)B .

CHNG 2 Tch phn bi

Tch phn kp 1. Thay i th t ly tch phn ca cc tch phn sau

a) 2

2

1 1

1 1

( , )x

x

dx f x y dy

b) 21 11

0 2

( , )y

y

dy f x y dx

c) 2

2 2

0 2

( , )x

x x

dx f x y dy

d) 212

0 sin

( , )y

y

dy f x y dx

e)

2. Tnh cc tch phn sau a) sin( )

D

x x y dxdy vi .


3

b)

2 ( )D

x y x dxdy vi D l min gii hn bi cc ng cong 2x y v 2y x .

c) | |D

x y dxdy vi .

d) 2| |D

y x dxdy , vi .

e) 2 3| |D

y x dxdy , vi .

f) 2D

xydxdy vi D gii hn bi cc ng 2 ; 1; 0x y x y v 1y .

g) | | | | 1

| | | |x y

x y dxdy

.

h) ( )D

x y dxdy vi D gii hn bi cc ng 2 2 1; 1x y x y .

3. Tm cn ly tch phn trong ta cc ca ( , )D

f x y dxdy trong D l

min xc nh nh sau: a) . b) .

c) .

4. Dng php i bin trong ta cc, hy tnh cc tch phn sau

a)

22

0

22

0

)1ln(xRR

dyyxdx , )0( R .

b)

2

2

22

0

xRx

xRx

R

dyyxRxdx , )0( R .

c) D

xydxdy , vi

1) D l mt trn 1)2( 22 yx

2) D l na mt trn 1)2( 22 yx , 0y .

d) D

dxdyxy2 , vi D l min gii hn bi cc ng trn 1)1( 22 yx v

0422 yyx . 5. Chuyn tch phn sau theo hai bin u v v :

a)

x

x

dyyxfdx ),(1

0

, nu t

yxv

yxu

b) p dng tnh vi 2)2(),( yxyxf . 6. Tnh cc tch phn sau


4

a) D yxdxdy

222 )(, trong

xyx

yyxyD

3

84:

22

b)

D

dxdyyx

yx22

22

1

1 , trong 1: 22 yxD .

c) Ddxdy

yx

xy22

, trong

0,0

32

2

12

:22

22

22

yx

yyx

xyx

yx

D

d) D

dxdyyx |49| 22 , trong 194

:22

yx

D

e) D

dxdyyx )24( 22 , trong

xyx

xyD

4

41:

Tch phn bi 3 Tnh cc tch phn bi ba sau

1. V

zdxdydz , trong min V c xc nh bi: 1

04

x , 2x y x ,

2 20 1z x y .

2. 2 2( )V

x y dxdydz , trong V xc nh bi: 2 2 2 1x y z ,

2 2 2 0x y z .

3. 2 2( )V

x y zdxdydz , trong V xc nh bi: 2 2 1x y , 1 2z .

4. 2 2

V

z x y dxdydz , trong

a) V l min gii hn bi mt tr: 2 2 2x y x v cc mt phng: 0y , 0z , z a , ( 0)a .

b) V l na ca hnh cu 2 2 2 2x y z a , 0z , ( 0)a .

c) V l na ca khi elipxit 2 2 2

2 21

x y z

a b

, 0z , ( , 0)a b .

5. V

ydxdydz , trong V l min gii hn bi mt nn: 2 2y x z v mt

phng y h , ( 0)h .


5

6. 22 22 2 2yx za b cV

dxdydz , trong V l min gii hn bi 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c ,

( , , 0)a b c .

7. 2 2 2( )V

x y z dxdydz , trong V : 2 2 21 4x y z , 2 2 2x y z .

8. 2 2

V

x y dxdydz , trong V l min xc nh bi 2 2 2x y z , 1z .

9. D zyxdxdydz

2222 ))2((, trong V : 2 2 1x y , | | 1z .

10. 2 2 2

V

x y z dxdydz , trong V l min gii hn bi 2 2 2x y z z .

ng dng ca tch phn bi

1. Tnh din tch ca min D gii hn bi cc ng 2xy , 2 xy , 4y . 2. Tnh din tch ca min D gii hn bi cc ng

2y x , 2 2y x , 2x y , 2 2x y . 3. Tnh din tch ca min D gii hn bi

0y , 2 4y ax , 3x y a , 0y , ( 0)a . 4. Tnh din tch ca min D gii hn bi

xyxx 42 22 , xy 0 .

5. Tnh din tch ca min D gii hn bi cc ng trn 1r ; cos3

2r .

6. Tnh din tch ca min D gii hn bi cc ng

a) 2 2 2 2( ) 2x y a xy , ( 0)a .

b) 3 3x y axy , ( 0)a . c) (1 cos )r a , ( 0)a .

7. Chng minh rng din tch min D gii hn bi 2 2( ) 1x x y khng i . 8. Tnh th tch ca min gii hn bi cc mt

3 1x y , 3 2 2x y , 0y , 0 1z x y .

9. Tnh th tch ca min gii hn bi cc mt 2 24z x y , 2 22 2z x y .

10. Tnh th tch ca min gii hn bi 2 20 1z x y , y x , 3y x . 11. Tnh th tch ca min V gii hn bi mt cu 2222 4azyx v mt tr

0222 ayyx , 0y , ( 0)a .


6

12. Tnh th tch ca min gii hn bi cc mt 0z , 2 2

2 2

x yz

a b ,

2 2

2 2

2x y x

aa b , ( , 0)a b .

13. Tnh th tch ca min gii hn bi cc mt 2 2az x y , 2 2z x y , ( 0)a .

CHNG 3 Tch phn ph thuc tham s

1. Kho st s lin tc ca tch phn 1

2 20

( )( )

yf xI y dx

x y

vi ( )f x l hm s

dng, lin tc trn on [0,1] . 2. Tnh cc tch phn sau

a) 1

0

ln nx x dx , n l s nguyn dng.

b) 2

2

0

ln(1 sin )y x dx

, vi 1y .

3. Tm 1

2 20lim

1

y

yy

dx

x y

.

4. Xt tnh lin tc ca hm s 1 2 2

2 2 20

( )( )

y xI y dx

x y

.

5. Chng minh rng tch phn ph thuc tham s

dxx

yxyI

21

)arctan()( l

mt hm s lin tc, kh vi i vi bin y . Tnh '( )I y ri suy ra biu thc ca ( )I y .

6. Tnh cc tch phn sau

a) 1

0ln

b ax xdx

x

, (0 )a b . b)

0

x xe edx

x

, ( 0, 0) .

c)

2 2

20

x xe edx

x

, ( 0, 0) . d) 2 1

0 ( )n

dx

x y

.


7

e) 0

sin( ) sin( )ax bx cxe dxx

, ( , , 0)a b c . f)

2

0

cos( )xe yx dx

.

7. Biu th 0

sin cosm nx xdx

qua hm ( , )B m n , ( , ; , 1)m n m n .

8. Tnh cc tch phn sau

a) 2

6 4

0

sin cosx xdx

. b) 2 2 20

anx a x dx , ( 0)a , (Gi t x a t )

c) 210

0

xx e dx

. d) 2 20 (1 )

xdx

x

. e)

30

1

1dx

x

.

f)1

20 (1 )

n

n

xdx

x

, 2 n . g)

1

0

1

1n ndx

x , *( )n .

CHNG 4

Tch phn ng Tch phn ng loi 1 Tnh cc tch phn sau:

1. ( )C

x y ds , C l ng trn 2 2 2x y x .

2. 2

C

y ds , C l ng c phng trnh ( sin )

(1 cos )

x a t t

y a t

(0 2 , 0)t a .

3. 2 2

C

x y ds , C l ng cong (cos sin )

(sin cos )

x a t t t

y a t t t

(0 2 , 0)t a .

Tnh phn ng loi 2 Tnh cc tch phn sau:

1. 2 2( 2 ) (2 )AB

x xy dx xy y dy , trong AB l cung parabol 2y x t

(1;1)A n (2;4)B .

2. (2 )C

x y dx xdy , trong C l ng cong ( sin )

(1 cos )

x a t t

y a t

theo chiu

tng ca t , (0 2 , 0)t a .


8

3. 2 22( ) (4 3)ABCA

x y dx x y dy , trong ABCA l ng gp khc i qua

(0;0)A , (1;1)B , (0;2)C .

4. | | | |

ABCDA

dx dy

x y

, trong ABCDA l ng gp khc i qua (1;0)A , (0;1)B ,

( 1;0)C , (0; 1)D .

5. 2 24

2C

x y dxdy

, trong C l ng cong

sin

cos

x t t

y t t

theo chiu tng

ca 4

02

t .

6. Tnh tch phn sau

( ) ( )C

xy x y dx xy x y dy

bng hai cch: tnh trc tip, tnh nh cng thc Green ri so snh cc kt qu, vi C l ng:

a) 2 2 2x y R .

b) 2 2 2x y x .

c) 2 2

2 21

x y

a b , ( , 0)a b .

7. 2 2

2 2

24 4

x y x

x yx y dy y x dx

.

8. [(1 cos ) ( sin ) ]x

OABO

e y dx y y dy , trong OABO l ng gp khc qua (0;0)O , (1;1)A , (0;2)B .

9. 2 2 2

( sin ) ( sin )x y

x y x

xy e x x y dx xy e x y dy

.

10. 3

4 2 2( cos( )) ( cos( ))3

C

xxy x y xy dx xy x x xy dy , trong C l

ng cong cos

sin

x a t

y a t

( 0)a .

11. Dng tch phn ng loi 2 tnh din tch ca min gii hn bi mt nhp xycloit: ( sin )x a t t ; (1 cos )y a t v trc Ox, ( 0)a .

12. (3;0)

4 3 2 2 4

( 2; 1)

( 4 ) (6 5 )x xy dx x y y dy

.


9

13. (2;2 ) 2

2(1; )

(1 cos ) (sin cos )y y y y y

dx dyx x x xx

.

14. Tm hng s tch phn sau khng ph thuc vo ng i trong min xc nh

2 2(1 ) (1 )

(1 )AB

y dx x dy

xy

.

15. Tm cc hng s ,a b biu thc 2 2( sin( )) ( sin( ))y axy y xy dx x bxy x xy dy

l vi phn ton phn ca mt hm s ( , )u x y no . Hy tm hm s ( , )u x y . 16. Tm hm s ( )h x tch phn

2( )[(1 ) ( ) ]AB

h x xy dx xy x dy

khng ph thuc vo ng i trong min xc nh. Vi ( )h x va tm c,

hy tnh tch phn trn t )0;0(A n (1;2)B . 17. Tm hm s ( )h y tch phn

3 3( )[ (2 ) (2 ) ]AB

h y y x y dx x x y dy

khng ph thuc vo ng i trong min xc nh. Vi ( )h y va tm c, hy tnh tch phn trn t (0;1)A n ( 3;2)B . 18. Tm hm s ( )h xy tch phn

3 2 2 3( )[( ) ( ) ]AB

h xy y x y dx x x y dy

khng ph thuc vo ng i trong min xc nh. Vi ( )h xy va tm c, hy tnh tch phn trn t (1;1)A n (2;3)B .

CHNG 5

Tch phn mt

Tnh cc tch phn mt loi 1 sau y

1. 4

( 2 )3

S

yz x dS , trong {( , , ) : 1, 0, 0, 0}2 3 4

x y zS x y z x y z .

2. 2 2( )S

x y dS , trong 2 2{( , , ) : ,0 1}S x y z z x y z .

Tnh cc tch phn mt loi 2 sau y


10

3. 2 2( )S

z x y dxdy , trong S l na mt cu: 2 2 2 1x y z , 0z , hng

ca S l pha ngoi mt cu.

4. 2

S

ydzdx z dxdy , trong S l pha ngoi ca mt elipxoit:

22 2 1

4

yx z , 0x , 0y , 0z .

5. 2 2

S

x y zdxdy , trong S l mt trn ca na mt cu: 2 2 2 2x y z R ,

0z .

6. S

xdydz ydzdx zdxdy , trong S l pha ngoi ca mt cu:

2 2 2 2x y z a .

7. 3 3 3

S

x dydz y dzdx z dxdy , trong S l pha ngoi ca mt cu:

2 2 2 2x y z R .

8. 2 2

S

y zdxdy xzdydz x ydzdx , trong S l pha ngoi ca min: 0x ,

0y , 2 2 1x y , 2 20 z x y .

9. S

xdydz ydzdx zdxdy , trong S l pha ngoi ca min: 222)1( yxz , 1a z .

10. Gi S l phn mt cu 2 2 2 1x y z nm trong mt tr 2 2 0x x z , 0y , hng ca S l pha ngoi ca mt cu. Chng minh rng:

( ) ( ) ( ) 0S

x y dxdy y z dydz z x dzdx .


11

CHNG 6 L thuyt trng

1. Tnh o hm theo hng l

ca hm 3 3 32 3u x y z ti im (2;0;1)A

vi l AB

, (1;2; 1)B .

2. Tnh mun ca grad u

, vi 3 3 3 3u x y z xyz

ti (2;1;1)A . Khi no th grad u

vung gc vi Oz , khi no th 0grad u

?

3. Tnh grad u

, vi

2 1 lnu r rr

, 2 2 2r x y z .

4. Theo hng no th s bin thin ca hm s sin cosu x z y z t gc (0;0;0)O l ln nht?

5. Tnh gc gia hai vect grad z

ca cc hm s 2 2z x y v

3 3z x y xy ti (3;4) . 6. Trong cc trng sau y, trng no l trng th:

a) 2 25( 4 ) (3 2 )a x xy i x y j k

.

b) a yzi xzj xyk

.

c) ( ) ( ) ( )a x y i x z j z y k

.

7. Cho 2 2 2F xz i yx j zy k

. Tnh thng lng ca F

qua mt cu S : 2 2 2 1x y z , hng ra ngoi.

8. Cho ( ) ( ) ( )F x y z i y z x j z x y k

, L l giao tuyn ca mt tr 2 2 0x y y v na mt cu 2 2 2 2x y z , 0z . Chng minh rng lu

s ca F

dc theo L bng 0.

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