GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐÀN HỒI HAI CHIỀU BẰNG PHƯƠNG

PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER CỦA NURBS

ISOGEOMETRIC ANALYSIS APPLIED TO 2D ELASTIC PROBLEMS

BASED ON BEZIER EXTRACTION OF NURBSDo Van Hien

Falcuty of Mechanical EngineeringHo Chi Minh City University of Technology and Education

TÓM TẮT

Phương pháp đẳng hình học lần đầu tiên được giới thiệu bởi giáo sư Hughes và cộng

sự vào năm 2005. Phương pháp này cho phép kết nối giữa phân tích và thiết kế với sự trợ

giúp của máy tính thành một quá trình sử lý hợp nhất. Mục đích của bài báo này nghiên

cứu tích hợp phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier của Nurbs có thể lập trình

tích hợp vào chương trình tính toán phần tử hữu hạn cho bài toán đàn hồi hai chiều.

Từ khóa: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp đẳng hình học

ABSTRACT

Isogeometric analysis (IA) was firstly introduced by Hughes et al. (2005). This

method offers the possibility of integrating methods for analysis and Computer Aided

Design (CAD) into a single, unied process. The purpose of this paper is to study and

demonstrate how isogeometric finite element analysis based on Bezier Extraction of

NURBS can be implemented into a standard finite element code for 2D elasticity problems.

Keywords: Finite Element Method(FEM), Isogeometric Analysis(IGA)

1. Giới thiệuPhương pháp phân tích phần tử hữu hạn (FEA - Finite Element Analysis) và thiết

kế dưới sự trợ giúp của máy tính (CAD) được xây dựng và phát triển độc lập nhau, do vậy

chúng không thật sự tương thích nhau trong việc mô tả hình học. Điều này dẫn đến một số

lượng lớn công việc trùng lắp, đầu tiên mô hình CAD, sau đó lại mô hình lại trong phương

pháp phần tử hữu hạn (FEM). Phương pháp đẳng hình học ra đời trong việc kết nối giữa

CAD và FEM, cho phép mô hình CAD được sử dụng trong mô hình FEM.

IA được giới thiệu lần đầu tiên bởi Giáo sư Hughes [7]. Mô hình IA này xây dựng

cho phép phân tích dùng chung cơ sở với mô hình hóa hình học. Điều này trái ngược với

phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống. NURBS được sử dụng trong các phần mềm

CAD cho phép mô hình hóa hình học một cách chính xác và những hàm này được sử dụng

là hàm cơ sở trong phân tích tính toán.

IA được nghiên cứu rộng rãi và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau: phân tích

cấu trúc [7], nhiệt [7], tương tác rắn – lỏng[7],...

2. Các khái niệm cơ bản trong biểu diễn trong đồ họa CAD[7, 20, 8]

2.1 Đa thức Bernstein và đường cong Bezier

Đường cong Bezier bậc p được xác định bằng cách kết hợp tuyến tính của p+1 hàm

cơ sở của đa thức Bernstein. Phương trình đường cong Bezier được tạo từ P điểm điều

khiển có thể viết như sau:1

,1

( ) ( ) [0,1]p

i p ii

C B P

(1)

Đa thức Bernstein có thể được định nghĩa

, , 1 1, 1( ) (1 ) ( ) ( )i p i p i pB B B (2)

Trong đó:

1,0( ) 1B (3)

và

, ( ) 0i pB nếu i < 1 hoặc i > p+1 (4)2.2 Knot véc tơ và B-Splines

Hàm cơ sở B-Splines được định nghĩa bởi véctơ nút. Véc tơ nút là tập hợp bởi các

điểm nút được viết 1 2 1, ,..., n p với i là véc tơ nút thứ i, p là bậc đa thức của hàm

cơ sở B-Spline và n là số hàm cơ sở. Hàm cơ sở B-Spline được định nghĩa như sau

Nếu p = 0

11,0

1

1( )

0i i

i i

N

(5)

Nếu p > 0 thì hàm cơ sở được định nghĩa dựa vào giải thuật đệ qui Cox-de Boor

1, , 1 1, 1

1

( ) ( ) ( ).i pii p i p i p

i p i p i p

N N N

(6)

Đường cong B-Spline bậc p được xác định từ tập hợp các hàm cơ sơ và điểm điều

khiển

n

iipi PNC

1, )()( (7)

2.3 Chèn nút vào knot véctơ

Các điểm nút có thể chèn vào véc tơ nút mà không làm thay đổi hình dáng và hoặc

tính chất tham số của đường cong. Cho véctơ nút 1 2 1, ,..., n p , chèn vào các điểm

nút mới 1,k k với k > p. Véc tơ nút trở thành 1 2 1 1, ,..., , , ,...,k k n p , sẽ

tạo n+1 hàm cơ sở mới và m=n+1 điểm điều khiển mới từ tập điểm điều khiển cũ.

1

1

khi i=1(1 ) khi 1 < i < m

khi i=mi i i i i

n

PP P P

P

(8)

Trong đó

1 khi 1 i k-p

khi k - p + 1 i k

khi i k+1

ii

p i i

nP

(9)

2.4 Nurbs

Cách xây dựng đường cong Nurbs cũng tương tự như cách xây dựng đường congB-Spline.

,1

( ) ( )n

Ti p i

iC R P P R

(10)

Tuy nhiên, hàm cơ sở Nurbs được sử dụng

i

n

ipi

ipiipipi

wN

wNW

wNR

)(

)()()(

)(

1,

,,,

(11)

2.5 Trích Bezier của Nurbs[20]

Để tính toán phần tử Bezier của Nurbs, chúng ta sử dụng kỹ thuật phân tích Bezier.

Về cơ bản lặp các véctơ nút bên trong cho đến khi bằng bậc của đường cong Nurbs. Giả

sử có một đường cong Nurbs bậc 3 hình 3.1 có knot véctơ 0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4 .

Phân tích đường cong trên thành các phần tử Bezier ta thực hiện như sau: lặp các

nút phía bên trong knot vec tơ bằng số bậc đường cong bằng cách chèn các nút{1, 1,2, 2, 3, 3, 4, 4} vào knot véc tơ. Hình 3.2 trình bày kết quả của hàm cơ sở và điểm

điều khiển khi ta chèn các nút vào theo trình tự.

Hình 1: Đường cong Nurbs bậc 3.(a) Đường cong và điểm điều khiển. (b) Hàm cơ sở của đường cong

Hình 2: Trình tự thay đổi hàm cơ sở và điểm điều khiển khi chèn {1, 1,2, 2, 3, 3, 4, 4} vào.Hình (f) là kết quả cuối cùng sau khi chèn và đánh số các hàm cơ sở Bezier.

- Tính toán toán tử trích Bezier của Nurbs (Bezier extraction operator)Giả sử chúng ta có một đường cong B-Splines có tập hợp các điểm điều khiển

1

ni iP P

và knot vec tơ 1 2 1 1, ,..., , , ,...,k k n p . Các nút 1 2, ,..., m chèn

vào knot vector để phân tích thành Bezier . Ứng với mỗi giá trị nút j với j=1, 2,... , m.

Chúng ta định nghĩa ji , 1,2,...,i n j

1 2

2 3

3 4

(n j 1) (n j)

1 0 00 1 0 00 0 1 0 0

0 0 1 1

jC

(12)

Chúng ta có thể viết (8) dưới dạng ma trận đại diện cho tập hợp các biến của các

điểm điều khiển tạo thành trong quá trình chèn điểm nút.1

(C ) .j jj TP P với

1P P (13)

Tập hợp điểm điều khiển cuối cùng1

.m bP P Định nghĩa

1 1(C ) (C ) ...(C ) .T m T m T TC (14)Mối quan hệ giữa điểm điều khiển Bezier và điểm điều khiển của đường cong B-

Splines ban đầu như sau:

C P.b TP (15)Chú ý: Trong trường hợp không gian 2 chiều thì ma trận P có kích thước n x 2, trong

khi đó cỡ của bP là (n+m) x 2. Với n là số hàm cơ sở hoặc của điểm điều khiển trước khi

phân tích Bezier, m là số điểm nút được chèn

Phương trình đường cong B-Spline trước khi phân tích Bezier dạng ma trận

,1

( ) ( ) ( )n

Ti p i

iC N P P N

(16)

Phương trình đường cong Bezier sau khi phân tích Bezier1

,1

( ) ( ) (P ) ( )p

b b Ti p i

iC B P B

(17)

Đường cong không thay đổi hình dáng và tính chất, do vậy vế phải của (16) và (17)

bằng nhau. Thay (15) vào (17)

(P ) ( ) (C P) ( ) ( ) ( )b T T T T TB B P CB P N (18)

C được gọi là toán tử Bezier trích từ Nurbs. Để tạo ra toán tử này, thông số đầu vào

duy nhất là véc tơ nút.

Xây dựng hàm dạng cơ sở Nurbs.

Hàm trọng số được viết lại như sau:

,1

( ) ( ) ( ) ( ) ( w) ( ) (w ) ( ) W ( )n

T T T T b T bi p i

iW N w w N w CB C B B

(19)

Hàm cơ sở Nurbs trở thành:

1( ) ( )( )bR WCB

W

(20)

Trong đó W là trọng số của Nurbs. Thay hàm cơ sở (20) vào (10), ta được

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

T T T b bb b bP R P WCB C WP B W P B

W W W

(21)

3. Phương pháp đẳng hình học

Phần tử trong phân tích phần tử hữu hạn được đại diện bằng cách dùng miền chủ và

miền vật lý. Miền hình học và bậc tự do được xác định thông qua giá trị nút. Đồng thời,

hàm cơ sở là hàm nội suy có giá trị âm cũng như dương. Trái lại trong phương pháp đẳng

hình học dùng hàm NURBS làm hàm cơ sở nội suy và hai khái niệm về lưới số đó là điểm

điều khiển và lưới vật lý. Điểm điều khiển dùng để điều khiển hình học và không tuân

theo hình học thực. Miền hình học và bậc tự do được xác định thông qua điểm điều khiển.

Khái niệm đẳng tham số rất quan trọng trong phương pháp đẳng hình học bởi vì các hàm

cơ sở đặc trưng cho hình học chính xác.

Lưu đồ giải thuật cho các bài toán hình 3a và một số khái niệm minh họa hình 3b

Hình 3a: Lưu đồ giải thuật bài toán [7] cho trường hợp nhiều patch

Hình 3b: Một số khái niệm cơ bản trong phân tích đẳng hình học[7]

4. Ví dụ số

Tất cả các ví dụ được tính trong miền đàn hồi và chịu ứng suất phẳng được lập trình

bằng ngôn ngữ Matlab.

4.1 Bài toán Cook[9,14]

Mô hình bài toán như hình có các thông số như sau:

- Mô đun đàn hồi vật liệu 21 4E e MPa

- Hệ số poisson 0, 28

- Lực tác dụng cạnh bên phải với giá trị 1 / 16q N

Kết quả:So sánh chuyển vị giữa FEM và IA tại điểm C

Bảng 1: Chuyển vị theo phương đứng tại điểm C của bài toán Cook

Lời giải giải tích =23,966

FEM – Q4 IGA p=1 IGA p=2 IGA p=3

DOF Mesh vC Mesh vC Mesh vC Mesh vC

50 4x4 18,299 4x4 18.2885 2x2 23.2861 2x2 23.8547

162 8x8 22,079 8x8 22.0779 4x4 23.8397 4x4 23.9249

578 16x16 23,430 16x16 23.4303 8x8 23.9254 8x8 23.9482

2178 32x32 23,818 32x32 23.8176 16x16 23.9494 16x16

8450 64x64 23,925 64x64 32x32

4.2 Ống dày chịu ứng suất bên trong[1,9]

Mô hình bài toán như hình có các thông số như sau:

- Mô đun đàn hồi vật liệu 21 4E e MPa

- Hệ số poisson 0, 28

- Ứng suất bên trong thành ống 1p MPa

- Bán kính trong ống r =100 mm; R=2r.

Hình 4: Mô hình bài toán Hình 5: Lưới phần tử và lưới NURBS bậc p=2

Lời giải chính xác của bài toán tại thành trong của ống được xác định như sau:

Chuyển vị:2 2

2 2

.r

p r R ruE R r

(22)

Ứng suất2 2

2 2rR rpR r

(23)

Do bài toán đối xứng, vì vậy bài toán mô hình ¼ như hình 7:

Kết quả so sánh giữa lời giải chính xác, phần tử hữu hạn và đẳng hình học

Bảng 2: So sánh kết quả FEM và IA của ống dày chịu áp suất bên trong

(Chuyển vị tại thành trong của ống theo lời giải chính xác 0.926984e-3[8])

FEM – Q4 IA p=2 IA p=3

DOF Mesh r DOF Mesh r DOF Mesh r

162 8x8 0.9285e-3 72 4x4 0.9271e-3 50 2x2 0.9380e-3

578 16x16 0.9273e-3 200 8x8 0.9270e-3 98 4x4 0.9285e-3

2178 32x32 0.9271e-3 288 10x10 0.9269e-3 242 8x8 0.9269e-3

Dựa vào kết quả ta thấy, phương pháp đẳng hình học cho kết quả tốt hơn rất nhiều so

với FEM, hội tụ về lời giải chính xác ở số bậc tự do rất nhỏ (với bậc p=2 thì bậc tự do 288,

p = 3 thì bậc tự do 242) so với FEM (2178 bậc tư do). So sánh chuyển vị giữa lời giải

chính xác và phương pháp đẳng hình học theo bán kính r. Sự phân bố ứng suất như hình 10

Hình 6: Mô hình bài toán

Hình 8: Lưới phần tử vàlưới NURBS bậc p=3

Hình 7: Mô hình ¼ của bài toán

4.3 Tấm phẳng chịu kéo có lỗ ở giữa

Mô hình bài toán có các thông số như sau:

- Mô đun đàn hồi vật liệu 1 5E e

- Tải phân bố đều 10q

- Hệ số Poison 0,3

- R=1; W=H=4R

Kết quả phân bố ứng suất như hình 14

Bán kính100 120 140 160 180 2006

7

8

9

10x 10

-4

Chu

yển

vịIGA Bezier p=3Exact

Hình 10:So sánh chuyển vị theo phương bán kínhHình 11:Phân bố ứng suất

R

X

E,

Y

0

Hình 13: Mô hình ¼ của bàitoán

ux=0

uy=0

W W

RX

E,

Y

Hình 12 : Mô hình bài toán

H

H

5. Kết luận và Hướng phát triển

- Ứng dụng lý thuyết phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier của

Nurbs, xây dựng chương trình tính toán phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier

để giải một số bài toán. Kết quả của hai bài toán so với kết quả tham khảo có sai số tương

đối tốt. Trong bài toán số 2, phương pháp đẳng hình học cho kết quả tốt hơn FEM với số

bậc tự do nhỏ.

- Ứng dụng trích Bezier cho bài toán 3D cần được tiếp tục nghiên cứu. Hiện nay

phương pháp này đã tích hợp vào một số phần mềm thương mại.

Acknowledgement - Bài báo này hoàn thành được sự tài trợ bởi đề tài cấp trường mã số

T2014-89 thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. HCM.

IGA

Hình 14: Trường ứng suất của IGA-Bezier và IGA-Nurbs[7]

IGA-Bezier

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. PGS.TS Đỗ Kiến Quốc, Đàn hồi Ứng dụng, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2004

[2]. GS.TS Nguyễn Văn Phái, Tính toán độ bền mỏi, NXB Khoa học & Kỹ Thuật,

2004

[3]. PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Phương

pháp Phần tử Hữu hạn trong Tính tóan Kết Cấu, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2008.

[4]. PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Ứng dụng

Phương pháp Phần tử Hữu hạn trong Kỹ thuật, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2007.

[5]. PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn với Matlab, NXB

ĐHQG Tp.HCM, 2001.

[6]. GS.TS Nguyễn Văn Phái, Nguyễn Văn Khiêm, Phương pháp phần tử hữu hạn

thực hành trong cơ học , NXB Giáo dục, 2000

[7]. J.A Cottrell, T.J.R. Hughes, and Y. Bazilevs. Isogeometric analysis toward

integration of CAD and FEA. Wiley, 2009.

[8]. Piegl, L. and W. Tiller (1997). The NURBS Book (2 ed.). Springer-Verlag, Berlin

Heidelberg.

[9]. Timoshenko, S. P. and J. N. Goodier (1970). Theory of Elasticity (3 ed.).

McGraw-Hill, New York.

[10]. Zienkiewicz, O. C., R. L. Taylor, and J. Z. Zhu (2005). The Finite Element

Method: Its Basis and Fundamentals (6 ed.). Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford.

[11]. Basis and Fundamentals (6 ed.). Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford.

[12]. Per Ståle Larsen. A comparison between the finite element method (FEM) and the

isogeometric analysis (IA). Master Thesis, Norwegian University of Science and

Technology, 2010

[13]. Alessandro Reali. An Isogeometric Analysis Approach for the Study of Structural

Vibrations. Master Thesis, Universit`a degli Studi di Pavia, 2005

[14]. Thanh Ngan Nguyen. Isogeometric Finite Element Analysis based on Bézier

Extraction of NURBS and T-Splines. Master Thesis, Norwegian University of Science

and Technology, 2012

[15]. H. Nguyen-Xuan, Chien H. Thai, T. Nguyen-Thoi, Isogeometric finite element

analysis of composite sandwich plates using a new higher order shear deformation

theory, Composite Part B, in press, doi.org/10.1016/j.compositesb.2013.06.044, 2013.

[16]. Loc V. Tran, Chien H. Thai, H. Nguyen-Xuan, An isogeometric finite element

formulation for thermal buckling analysis of functionally graded plates, Finite Element

in Analysis and Design, Vol. 73, p. 65-76, doi.org/10.1016/j.finel. 2013.05.003, 2013

[17]. Loc V. Tran, A. J. Ferreira, H. Nguyen-Xuan, Isogeometric approach for analysis

of functionally graded plates using higher-order shear deformation theory, Composite

Part B, Vol. 51, p. 368-383, doi.org/10.1016/j.compositesb. 2013.02.045, 2013

[18]. N. Nguyen-Thanh, H. Nguyen-Xuan, S. Bordas, T. Rabczuk, Isogeometric

analysis using polynimial splines over hierarchical for two-dimensional elastic solids,

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 200, p. 1892–1908,

2011, Doi:10.1016/j.cma.2011.01.018, 2011 (Top 25 hottest articles, June 2011).

[19]. Vinh Phu Nguyen, Isogeometric analysis: an overview and computer

implementation aspects. Elsevier . September 30, 2013

[20]. Michael J. Borden, Isogeometric Finite Element Data Structures based on Bezier

Extraction of NURBS. ICES report 10-08, March 2010