Embed Size (px)
Citation preview
Faculteit Wetenschappen
Vakgroep Toegepaste Wiskunde
Het rentevoetmodel van Heath, Jarrow, Morton en hetprijzen van inflatiegelinkte afgeleide producten
Veerle VERBELEN
Promotor: Prof. dr. M. Vanmaele
Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in dewiskunde, afstudeerrichting toegepaste wiskunde.
Academiejaar 2010-2011
Voorwoord
Als student toegepaste wiskunde met een sterke economische interesse was de keuze voor mijnmasterproef snel gemaakt, het zou een onderwerp uit de financiele wiskunde worden. De keuzevoor het onderwerp rentevoetmodellen was eerder intuıtief, ik kan niet zeggen dat ik specifiekgeınteresseerd was in het Heath-Jarrow-Morton model, het onderwerp van het basisartikel datvooropgesteld werd voor deze masterproef. Toen mijn promotor, professor Vanmaele mij eenartikel doorgaf over datzelfde HJM model dat gebruikt werd voor het prijzen van inflatiegelinktederivaten had ik wel een idee over hoe deze masterproef er zou uitzien. Inflatie is de laatstejaren een zeer actueel thema. Het is zeker niet onbelangrijk om hiermee rekening te houden bijhet prijzen van afgeleide producten. Er bestaan reeds afgeleide producten die het inflatierisicoincalculeren bij uitgifte. In deze masterproef wou ik uitleggen hoe deze producten kunnengeprijsd worden.
Bij deze wil ik mijn promotor professor M. Vanmaele bedanken voor het veelvuldig nalezen encorrigeren van mijn masterproef. Eveneens wil ik haar bedanken voor de hulp naar het zoekenvan geschikte literatuur en om me op weg te helpen wanneer ik ergens vast zat. Ik wil ookiedereen bedanken die mij de voorbije jaren de steun heeft geboden die ik nodig had en vooralheel veel geduld met mij gehad heeft tijdens mijn studie. In het bijzonder dank ik hierbij mijnvriend en mijn ouders.
Veerle Verbelen, juni 2011.
i
Toelating tot bruikleen
“De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen endelen van de masterproef te kopieren voor persoonlijk gebruik.Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met be-trekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultatenuit deze masterproef.”
Veerle Verbelen, juni 2011.
ii
Inhoudsopgave
Voorwoord i
Toelating tot bruikleen ii
Inhoudsopgave iii
Inleiding v
1 Terminologie en notatie 11.1 Terminologie en notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Gebruikte stellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Het rentevoetmodel van Heath, Jarrow, Morton: een methode voor deprijsbepaling van afgeleide producten 52.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Termijnstructuur van rentevoeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Prijzen van obligaties zonder arbitrage en bewegingen van termijnstructuur . 112.4 Prijsbepaling van afgeleide producten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6 Een klasse van stochastische differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . 392.7 De evenwichtsprijszetting versus de arbitrage prijszettingsmethode . . . . . . 44
3 Prijzen van TIPS en gerelateerde derivaten, gebruik makend van een HJMmodel 493.1 inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Het model, uitgebreide terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Empirisch onderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1 Data-beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.2 Strippen van nominale en reele prijzen van de marktprijzen . . . . . . 593.3.3 Schatten van de termijnstructuur van de evolutieparameters . . . . . . 59
3.4 Prijzen van opties op de inflatie-index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Een marktmodel voor inflatiegelinkte derivaten 634.1 Markt voor inflatiegelinkte derivaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.1 TIPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.2 ZCIIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.3 YYIIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
iii
4.1.4 Inflatiecaps en -floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.5 Inflatieswaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Het marktmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.1 Verdisconteerde obligaties geassocieerd met de inflatievoet . . . . . . . 674.2.2 Marktmodel voor inflatiederivaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.3 Het uitgebreide model van Heath, Jarrow en Morton . . . . . . . . . . 77
4.3 Prijzen van YYIIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.4 Prijzen van Inflatiecaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5 Prijzen van Inflatiegeındexeerde Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Besluit 89
Bibliografie 90
iv
Inleiding
Inflatie wordt gedefinieerd als de stijging van het algemeen prijspeil uitgedrukt in procent.Meestal wordt dit algemeen prijspeil gemeten aan de hand van de consumentenprijsindex(CPI), dit is de gemiddelde prijs voor een representatieve mand met goederen en dienstenvoor een gemiddelde consument. Deze CPI verschilt van land tot land en wordt vastgelegddoor de centrale overheidsdiensten van een land.
In Europa zorgt de Europese Centrale Bank ervoor dat de inflatie laag en stabiel blijft. Eenhoge inflatie leidt echter tot een lage koopkracht, doordat de prijzen stijgen bij een gelijkblij-vend loon. Een instabiele inflatie afkomstig van sterke schommelingen in vraag en aanbodzorgt voor onzekerheid. De kosten van leningen gaan als gevolg omhoog en bedrijven gaangrote investeringen uitstellen. Een van de belangrijkste doelstellingen van de Europese Cen-trale Bank is de inflatie rond 2% houden, door de rentetarieven te verhogen of te verlagenen zo de geldhoeveelheid in de economie te bepalen. Sinds de invoering van de euro is deinflatie inderdaad gestabiliseerd rond 2% in de Eurozone. Na de financiele en economischecrisis steeg de inflatie in 2008 in Belgie echter opnieuw, tot 4,49%, als gevolg van een stijgingvan de energieprijzen, gevolgd door zelfs een lichte deflatie in 2009. Sindsdien is de inflatievoortdurend blijven stijgen tot een jaarlijks gemiddelde inflatie van 2,2% voor Belgie in 2010en een geraamde jaarlijks gemiddelde inflatie van 3,5% in 2011.
Tesamen met de stijgende inflatie groeit de interesse van beleggers naar financiele productendie rekening houden met deze inflatie. Beleggers zien met de stijgende inflatie de nominalewaarde van hun financiele producten op het einde van de looptijd dalen. Er bestaan echter af-geleide producten die gelinkt zijn aan inflatie. Hierbij wordt overeengekomen dat een productaangehouden tot maturiteit een bepaalde reele waarde zal opleveren. Een inflatiegeındexeerdenulcouponobligatie betaalt zo op maturiteit niet 1 euro uit, maar wel 1 eenheid van de CPI,dit wil zeggen de hoeveelheid euro nodig om 1 eenheid van de representatieve mand goederenen diensten te kunnen kopen.
Voor de waardebepaling van zo’n inflatiegelinkte afgeleide producten kan een Heath-Jarrow-Morton (HJM) model gebruikt worden, zoals gedaan wordt door Jarrow en Yildirim (2003)voor het prijzen van Treasury Inflation-Protected Swaps (TIPS).
Heath, Jarrow en Morton nemen in hun model de initiele voorwaartse rentevoetcurve alsgegeven. Ze bepalen dan een algemeen continu stochastisch proces voor de evolutie van devoorwaartse rentevoeten over de tijd. Om te verzekeren dat het proces consistent is met eenarbitragevrije economie karateriseren ze de voorwaarden op de voorwaartse rentevoetproces-sen zodat er een unieke equivalente risiconeutrale maat bestaat. Onder deze voorwaarden isde markt compleet en is de waardering van afgeleide producten een toepassing van de risico-neutrale prijsbepalingsformule.
v
Hoewel een model van Heath, Jarrow en Morton elegant lijkt in theorie is het echter nietgeschikt voor het prijzen van afgeleide producten in praktijk. Het model neemt de ogenblik-kelijke voorwaartse rentevoeten als toestandsvariabelen, die niet observeerbaar zijn, hierdooris het model moeilijk te kalibreren. In het geval van inflatiegelinkte derivaten neemt het HJMmodel reele rentevoeten als toestandsvariabelen, doch de payoffs van de meeste derivatenworden op de CPI geschreven of op eenvoudig samengestelde inflatievoeten.
Leung en Wu (2011) beschrijven het marktmodel dat in de praktijk gebruikt wordt, metbehulp van een aangepast HJM model. Aan de hand hiervan prijzen ze verscheidene inflatie-gelinkte afgeleide producten zoals inflatiecaps en inflatieswaptions.
De indeling van deze masterproef is als volgt. In Hoofdstuk 1 verduidelijken we de termi-nologie en notaties die gebruikt worden, evenals enkele stellingen waarvan in de masterproefgebruik gemaakt wordt. Deze stellingen werden gehaald uit het boek Shreve (2004) en Impens(2006).
Hoofdstuk 2 is gebaseerd op Heath, Jarrow en Morton (1992). Het beschrijft zeer nauwkeurigde opstelling van het HJM model voor het prijzen van afgeleide producten. Eerst wordt determijnstructuur voorgesteld van de voorwaartse rentevoeten. Er worden voorwaarden gesteldopdat het model consistent is met een arbitragevrije markt. De prijsbepaling van afgeleideproducten wordt nauwkeurig besproken en geıllustreerd aan de hand van enkele voorbeelden.Tenslotte wordt de benadering van Heath, Jarrow en Morton vergeleken met de evenwichts-benadering van Cox, Ingersoll en Ross (1992).
In Hoofdstuk 3 bespreken we het prijzen van TIPS, gebaseerd op Jarrow en Yildirim (2003).We stellen hun HJM model met drie factoren voor, steunend op de vreemde-muntanalogie.We bespreken kort het empirisch onderzoek van Jarrow en Yildirim om deze theorie te illu-streren. Als laatste passen we het HJM model toe om een optie op de CPI te prijzen en zode nuttigheid van het model aan te tonen.
Hoofdstuk 4 tenslotte baseert zich op Leung en Wu (2011) om enkele andere inflatiegevoeligeeffecten te prijzen aan de hand van een praktisch marktmodel in de plaats van een modelgebaseerd op de vreemde-muntanalogie. We stellen enkele inflatiegelinkte afgeleide produc-ten voor en introduceren de voorwaartse inflatievoeten. Hiermee stellen we een uitgebreidmarktmodel op. Onder dit uitgebreid marktmodel prijzen we de voorgestelde inflatiegelinktederivaten. We bespreken ook het HJM model als limietgeval.
vi
Hoofdstuk 1
Terminologie en notatie
1.1 Terminologie en notatie
We beschouwen in deze masterproef een continue handelseconomie over een tijdsinterval [0, τ ]voor een vast tijdstip τ > 0. De onzekerheid in de economie wordt gekenmerkt door dekansruimte (Ω,F ,P) met Ω de toestandsruimte, F de σ-algebra van alle meetbare gebeurte-nissen en P een kansmaat. De informatie ontwikkelt zich over het handelsinterval volgens derechtscontinue, complete filtratie F(t) | t ∈ [0, τ ] voortgebracht door n ≥ 1 onafhankelijkeBrownse bewegingen W1(t),W2(t), . . . ,Wn(t) | t ∈ [0, τ ] beginnend bij nul. De verwach-tingswaarde onder de kansmaat P noteren we met E[·].Beschouw een reeks van opeenvolgende verhandelingen van nulcouponobligaties met verschil-lende maturiteiten, een voor elke handelsdatum T ∈ [0, τ ]. Stel B(t, T ) de prijs van eenobligatie met maturiteit T op tijdstip t, voor alle t ∈ [0, T ] en T ∈ [0, τ ].We vereisen dat
• B(T, T ) = 1 voor alle T ∈ [0, τ ],
• B(t, T ) > 0 voor alle T ∈ [0, τ ] en t ∈ [0, T ],
• ∂ lnB(t,T )∂T bestaat voor alle T ∈ [0, τ ] en t ∈ [0, T ].
De eerste voorwaarde zorgt ervoor dat de payoff van de obligatie een zekere waarde een heeftop maturiteit T . De tweede voorwaarde sluit de triviale arbitragemogelijkheid uit waarbijeen bepaalde waarde kan worden bekomen vanuit niets. Arbitrage wil namelijk zeggen datwanneer we vertrekken van B(0, T ) = 0 we een strikt positieve kans hebben dat B(t, T ) > 0,voor t > 0 en dat de kans op verlies B(t, T ) < 0 gelijk is aan nul. Dit wordt uitgesloten doordatwe eisen dat B(t, T ) nooit waarde nul kan aannnemen. De laatste voorwaarde tenslottegarandeert dat de voorwaartse rentevoeten goed gedefinieerd zijn.De ogenblikkelijke voorwaartse rentevoet op tijd t voor een maturiteit T > t wordt gedefinieerddoor:
f(t, T ) = −∂ lnB(t, T )
∂Tvoor alle T ∈ [0, τ ], t ∈ [0, T ]. (1.1)
Dit is de rentevoet die we kunnen vastleggen op tijdstip t voor een risicoloze belegging diebegint op tijdstip T en waarvan een ogenblik later het rendement verkregen wordt. Als we
1
de differentiaalvergelijking (1.1) oplossen, dan bekomen we:
ˆ T
tf(t, y) dy = −
ˆ T
t
∂ lnB(t, y)
∂ydy
= −[lnB(t, T )− lnB(t, t)]
= − lnB(t, T ) + ln 1
= − lnB(t, T )
en dus
B(t, T ) = exp
(−ˆ T
tf(t, y) dy
)voor alle T ∈ [0, τ ], t ∈ [0, T ]. (1.2)
De ogenblikkelijke rentevoet op tijd t, r(t), is de ogenblikkelijke voorwaartse rentevoet op tijdt voor maturiteit t:
r(t) = f(t, t) voor alle t ∈ [0, τ ]. (1.3)
Dit is equivalent met
r(t) = limh→0
[1−B(t, t+ h)]
B(t, t+ h)h= f(t, t).
1.2 Gebruikte stellingen
Doorheen de masterproef zullen we gebruik maken van de volgende stellingen, lemma’s, voor-waarden en definities.
Stelling 1 (Girsanov). Zij T een vast positief tijdstip en zij θ(t), 0 ≤ t ≤ T met θ(t) =(θ1(t), . . . , θn(t)) een n-dimensionaal aangepast proces. Definieer
Q(t) = exp
−
n∑i=1
ˆ t
0θi(u)dWi(u)− 1
2
n∑i=1
ˆ t
0θ2i (u) du
,
Wi(t) = Wi(t) +
ˆ t
0θi(u) du, voor i = 1, . . . , n,
en onderstel dat E[∑n
i=1
´ T0 θ2
i (u)Q2(u) du]< +∞. Stel Q = Q(T ). Dan is E[Q] = 1 en
onder de kansmaat P gegeven door
P(A) =
ˆAQ(ω) dP(ω), voor alle A ∈ F ,
is het proces W (t), 0 ≤ t ≤ T een n-dimensionale Brownse beweging.
Stelling 2 (Eerste Fundamentele Stelling voor het prijzen van aandelen). Als eenmarktmodel een risiconeutrale maat heeft, dan laat het geen arbitrage toe.
Stelling 3 (Tweede Fundamentele Stelling voor het prijzen van aandelen). Be-schouw een marktmodel dat een risiconeutrale maat heeft. Het model is compleet als en slechtsals de risiconeutrale maat uniek is.
2
Lemma 1 (Regel van Bayes). Zij s en t met 0 ≤ s ≤ t ≤ T gegeven en zij Y een F(t)-meetbare stochastische veranderlijke, dan geldt er
E[Y |F(s)] =1
Q(s)E[Y Q(t)|F(s)],
waarbij Q(t) de Radon-Nikodymafgeleide van P naar P voorstelt.
Stelling 4 (Fubini). Onderstel (X,A, µ) en (Y,B, ν) volledige maatruimten en f : X×Y →R (µ× ν)-integreerbaar. Dan hebben weˆX×Y
f(x, y) d(µ× ν)(x, y) =
ˆXdµ(x)
ˆYf(x, y) dν(y) =
ˆYdν(y)
ˆXf(x, y) dµ(x).
Voorwaarde 1 (Kwadratische integreerbaarheidsvoorwaarde). Voor een aangepastproces ∆(t), t ≥ 0 aan de filtratie F(t), t ≥ 0:
E[ˆ T
0∆2(t) dt
]< +∞.
Stelling 5 (Ito-isometrie). Zij T een positieve constante en zij ∆(t), t ≥ 0 een aange-past stochastisch proces dat kwadratisch integreerbaar is. Dan heeft de Ito-integraal I(t) =´ t
0 ∆(u) dW (u) de volgende eigenschap:
Var(I(t)) = E[I2(t)] = E
[(ˆ t
0∆(u) dW (u)
)2]
= E[ˆ t
0∆2(u) du
].
Stelling 6 (Ito-formule voor Brownse beweging). Zij f(t, x) een functie waarvoor departiele afgeleiden ft(t, x), fx(t, x) en fxx(t, x) gedefinieerd en continu zijn, en zij W (t), t ≥0 een Brownse beweging. Dan geldt er voor elke T ≥ 0
f(T,W (T )) = f(0,W (0)) +
ˆ T
0ft(t,W (t)) dt+
ˆ T
0fx(t,W (t)) dW (t) +
1
2
ˆ T
0fxx(t,W (t)) dt,
of in differentiaalvorm
df(t,W (t)) = ft(t,W (t)) dt+ fx(t,W (t)) dW (t) +1
2fxx(t,W (t)) dt
Stelling 7 (Ito-formule voor Ito-proces). Zij X(t), t ≥ 0 een Ito-proces en zij f(t, x)een functie waarvoor de partiele afgeleiden ft(t, x), fx(t, x) en fxx(t, x) gedefinieerd en continuzijn. Dan geldt voor elke T ≥ 0 in differentiaalvorm:
df(t,X(t)) = ft(t,X(t)) dt+ fx(t,W (t)) dX(t) +1
2fxx(t,X(t)) dX(t)dX(t).
Stelling 8 (Ito-productregel). Zijn X(t), t ≥ 0 en Y (t), t ≥ 0 Ito-processen, dan geldt
d(XY )(t) = X(t)dY (t) + Y (t)dX(t) + dX(t)dY (t).
Stelling 9 (Ongelijkheid van Chebyshev). Voor X een stochastische variabele en a eenpositieve constante geldt
P (|X − E[X]| > a) ≤ V ar(X)
a2.
3
Stelling 10 (Toreneigenschap). Zij (Ω,F ,P) een kansruimte en zij G een sub-σ-algebravan F . Als H een sub-σ-algebra is van G en X een integreerbare stochastische veranderlijke,dan
E [E[X|G]|H] = E[X|H].
Definitie 1 (Markovproces). Zij (Ω,F ,P) een kansruimte, zij T een vast positief getal,en zij F(t), t ≥ 0 een filtratie van sub-σ-algebra’s van F . Beschouw verder een aangepaststochastisch proces X(t), 0 ≤ t ≤ T. Onderstel dat voor alle 0 ≤ s ≤ t ≤ T en voor elkeniet-negatieve, Borelmeetbare functie f , er een andere Borelmeetbare functie g bestaat zo dat
E[f(X(t))|F(s)] = g(X(s)),
dan is X een Markovproces.
4
Hoofdstuk 2
Het rentevoetmodel van Heath,Jarrow, Morton: een methode voorde prijsbepaling van afgeleideproducten
2.1 Inleiding
Heath, Jarrow en Morton hebben in 1992 hun marktmodel opgesteld voor het prijzen vanafgeleide financiele producten. Bijzonder aan dit model was dat zij als eersten de voorwaartserentevoeten gebruikten als toestandsvariabelen voor het model.
Beschouwen we arbitrageprijszetting in het algemeen dan onderscheiden we twee grote stap-pen. Als eerste worden alle nulcouponobligaties met varierende maturiteiten geprijsd vanuiteen eindig aantal toestandsvariabelen. Als tweede worden dan alle intrestgevoelige afgeleideproducten geprijsd door de prijzen van de nulcouponobligaties als gegeven te nemen. Dezetweestappenprocedure vereist vaak een inversie van de termijnstructuur om de marktprijzenvoor risico te verwijderen bij het prijzen van afgeleide producten. De eerste stap brengtimmers de expliciete afhankelijkheid van de marktprijzen voor risico met zich mee in dewaarderingsformule. Deze inversie van de termijnstructuur kan echter zeer complex zijn eneveneens leiden tot een inconsistent model daar het rentevoetproces en de obligatieprijspro-cessen niet onafhankelijk zijn van de marktprijzen voor risico.
Ho en Lee (1986) vermijden de tweestappenprocedure door de initiele obligatieprijzen en obli-gatieprijsprocessen exogeen te nemen. Ze beschouwen een discrete handelseconomie waarinde obligatieprijscurve fluctueert over de tijd volgens een binomiaal proces. Helaas gaat hethier om een eenfactormodel, dus de obligaties met verschillende maturiteiten zijn perfect ge-correleerd.
Heath, Jarrow en Morton (1992) veralgemenen dit model van Ho en Lee (1986) tot een con-tinue handelseconomie met meervoudige factoren. In tegenstelling tot Ho en Lee stellen zeechter de stochastische structuur van de voorwaartse rentevoeten exogeen op en niet de prij-zen van de nulcouponobligaties. Deze aanpassing maakt de wiskundige analyse eenvoudiger,bovendien is er net zoals bij Ho en Lee geen inversie van de termijnstructuur meer vereist
5
en het zou ook de empirische schatting van het model moeten vereenvoudigen in vergelijkingmet Ho en Lee.
Zoals eerder gesteld neemt het HJM model een initiele voorwaartse rentevoetcurve als gegevenen wordt het stochastisch proces voor de voorwaartse rentevoeten bepaald. Onder de opge-legde voorwaarden is het model consistent met een arbitragevrije economie. De prijzen vanafgeleide producten kunnen dan berekend worden door het toepassen van de risiconeutraleprijsbepalingsformule. We illustreren dit aan de hand van enkele voorbeelden die door Heath,Jarrow en Morton (1992) besproken werden.
2.2 Termijnstructuur van rentevoeten
We beginnen met de familie van stochastiche processen voor te stellen die de voorwaartserentevoetbewegingen beschrijven. Voorwaarde 2 beschrijft de evolutie van voorwaartse ren-tevoeten en bepaalt aldus het ogenblikkelijke rentevoetproces evenals het obligatieprijsprocesop unieke wijze. De bijkomende voorwaarden 3 en 4 in verband met de begrensdheid van deoptredende functies zijn nodig om te garanderen dat het rentevoet- en het obligatieprijsprocesgoed gedefinieerd zijn.
Voorwaarde 2 (Een familie van voorwaartse rentevoetprocessen). Voor een vaste,maar willekeurige T ∈ [0, τ ], voldoet f(t, T ) aan de volgende vergelijking:
f(t, T )− f(0, T ) =
ˆ t
0α(ν, T, ω) dν +
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, T, ω) dWi(ν) voor alle 0 ≤ t ≤ T (2.1)
waarbij
1. f(0, T ) |T ∈ [0, τ ] een vaste niet-stochastische initiele voorwaartse rentevoetcurve isdie meetbaar is als een afbeelding
f(0, .) : ([0, τ ],B[0, τ ])→ (R,B),
waarbij B[0, τ ] de Borel σ-algebra van [0, τ ] is;
2. de driftfuncties α : (t, s) | 0 ≤ t ≤ s ≤ T × Ω → R gezamenlijk meetbaar zijn m.b.t.B(t, s) | 0 ≤ t ≤ s ≤ T × F → B en aangepast, met
ˆ T
0|α(t, T, ω)| dt < +∞ b.z. P;
3. de volatiliteiten σi : (t, s) | 0 ≤ t ≤ s ≤ T × Ω → R gezamenlijk meetbaar zijn m.b.t.B(t, s) | 0 ≤ t ≤ s ≤ T × F → B, aangepast en voldoen aan
ˆ T
0σ2i (t, T, ω) dt < +∞ b.z. P voor i = 1, . . . , n.
In dit stochastisch proces bepalen n onafhankelijke Brownse bewegingen de stochasti-sche fluctuatie van de volledige voorwaartse rentevoetcurve, beginnend van een vaste initielecurve f(0, T ) |T ∈ [0, τ ]. De gevoeligheid van een bepaalde verandering in maturiteit
6
van de voorwaartse rentevoet m.b.t. elke Brownse beweging wordt weergegeven door ver-schillende volatiliteitscoefficienten. De volatiliteitscoefficienten σi(t, T, ω) |T ∈ [0, τ ] voori = 1, . . . , n kunnen afhangen van het volledige verleden van de Brownse bewegingen. Ze wor-den niet gespecificeerd, behalve de zwakke meetbaarheid- en integreerbaarheidsvoorwaarden.Verschillende specificaties voor deze volatiliteitscoefficienten brengen significant verschillendekwalitatieve kenmerken van de voorwaartse rentevoetprocessen voort. De familie van drift-functies α(·, T ) |T ∈ [0, τ ] is ook zonder restricties, behalve de zwakke meetbaarheid- enintegreerbaarheidsvoorwaarden.Het is belangrijk om te benadrukken dat de enige wezenlijke economische beperkingen, diewerden opgelegd op de voorwaartse rentevoetprocessen, zijn dat ze continue paden hebbenen dat ze afhangen van een eindig aantal willekeurige schokken (langs de gehele voorwaartserentevoetcurve).Gegeven Voorwaarde 2 kunnen we de dynamiek van het ogenblikkelijke rentevoetproces be-palen:
r(t) = f(t, t) = f(0, t) +
ˆ t
0α(ν, t, ω) dν +
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, t, ω) dWi(ν) voor alle t ∈ [0, T ].
(2.2)Het ogenblikkelijke rentevoetproces is gelijkaardig met het voorwaarts rentevoetproces, be-halve dat de tijd en de maturiteit simultaan varieren.Voor de hierop volgende analyse is het nuttig om een vermeerderingsfactor R(t) te definieren,overeenkomstig met de prijs van een eenheid van de geldmarktrekening op tijdstip t (metrentevoet r(t)) beginnend bij tijdstip 0 waarop 1 euro geınvesteerd wordt, i.e.
R(t) = exp
(ˆ t
0r(y) dy
)voor alle t ∈ [0, τ ]. (2.3)
Gegeven de dynamiek van het ogenblikkelijke rentevoetproces, moeten we er zeker van zijndat de waarde van de geldmarktrekening voldoet aan:
0 < R(t, ω) < +∞ b.z. P voor alle t ∈ [0, τ ]. (2.4)
Dit wordt gegarandeerd door de hierna volgende Voorwaarde 3.
Voorwaarde 3 (Regularitet van de geldmarktrekening).ˆ τ
0|f(0, ν)| dν < +∞ en
ˆ τ
0
(ˆ t
0|α(ν, t, ω)| dν
)dt < +∞ b.z. P.
Wegens de definitie van R(t) geldt de uitdrukking (2.4) als en slechts als
0 < exp
(ˆ t
0r(y) dy
)< +∞ b.z. P voor alle t ∈ [0, τ ].
De exponentiele functie is strikt groter dan 0, dus de eerste ongelijkheid is altijd voldaan.Voor x naar oneindig gaat ook expx naar oneindig. Wegens de uitdrukking (2.2) voor r(t)geldt dan de tweede ongelijkheid als en slechts als
ˆ t
0f(0, y) dy +
ˆ t
0
ˆ y
0α(ν, y, ω) dν dy +
n∑i=1
ˆ t
0
ˆ y
0σi(ν, y, ω) dWi(ν) dy < +∞
b.z. P voor alle t ∈ [0, τ ].
7
Voorwaarde 3 garandeert dat de eerste term en de tweede term eindig zijn bijna zeker P, wantt ∈ [0, τ ]. De laatste term is een som van Lebesgueintegralen van een stochastische integraal
ˆ t
0σi(ν, t, ω) dWi(ν), voor i = 1, . . . , n.
Uit Voorwaarde 2 halen we dat´ t
0 σ2i (ν, t, ω) dν < +∞ b.z. P, dus is
E[ˆ t
0σ2i (ν, t, ω) dν
]< +∞ voor i = 1, . . . , n
waarmee de kwadratische integreerbaarheidsvoorwaarde (Voorwaarde 1) voldaan is en destochastische integraal
ˆ t
0σi(ν, t, ω) dWi(ν) < +∞, voor i = 1, . . . , n.
Hierdoor is ook de laatste term eindig als de som van Lebesgueintegralen met eindige inte-granda en eindige integratietermen.Vervolgens zijn we geınteresseerd in de dynamiek van het obligatieprijsproces. De volgendevoorwaarde legt voldoende regulariteitsvoorwaarden op zodat dat proces goed gedefinieerd is.
Voorwaarde 4 (Regulariteit van het obligatieprijsproces).
ˆ t
0
(ˆ t
νσi(ν, y, ω) dy
)2
dν < +∞ b.z. P voor alle t ∈ [0, τ ] en i = 1, . . . , n;
ˆ t
0
(ˆ T
tσi(ν, y, ω) dy
)2
dν < +∞ b.z. P voor alle t ∈ [0, T ], T ∈ [0, τ ], i = 1, . . . , n;
en
t→ˆ T
t
(ˆ t
0σi(ν, y, ω) dWi(ν)
)dy is continu b.z. P voor alle T ∈ [0, τ ], i = 1, . . . , n.
Onder Voorwaarde 3 en Voorwaarde 4 geldt voor de dynamiek van de obligatieprijspro-cessen (we negeren de notationele afhankelijkheid van ω) dat
lnB(t, T ) = lnB(0, T ) +
ˆ t
0[r(ν) + b(ν, T )] dν − 1
2
n∑i=1
ˆ t
0a2i (ν, T ) dν
+
n∑i=1
ˆ t
0ai(ν, T ) dWi(ν) b.z. P,
(2.5)
waarbij
ai(t, T, ω) = −ˆ T
tσi(t, ν, ω) dν voor i = 1, . . . , n, (2.6)
b(t, T, ω) = −ˆ T
tα(t, ν, ω) dν +
1
2
n∑i=1
a2i (t, T, ω). (2.7)
Om deze uitdrukking aan te tonen hebben we de volgende veralgemeende vorm van de stel-ling van Fubini voor stochastische integralen nodig. Het bewijs van deze stelling volgt zeernauwkeurig Ikeda en Watanabe (1981, p.116).
8
Lemma 2. Stel dat (Ω,F ,P) een kansruimte is. Stel F(t), t ≥ 0 de filtratie voortgebrachtdoor een Brownse beweging W (t), t ∈ [0, τ ] en Φ(t, y, ω) | (t, y) ∈ [0, τ ]× [0, τ ] een familievan reele stochastische variabelen zodat:
((t, ω), y) ∈ ([0, τ ]× Ω)× [0, τ ] → Φ(t, y, ω)
is L× B[0, τ ]-meetbaar waarbij L het voorspelbare σ-veld is.
ˆ t
0Φ2(ν, y, ω) dν < +∞ b.z. P voor alle t ∈ [0, τ ],
ˆ t
0
(ˆ τ
0Φ(ν, y, ω) dy
)2
dν < +∞ b.z. P voor alle t ∈ [0, τ ].
Als t→´ τ
0
(´ t0 Φ(ν, y, ω) dW (ν)
)dy b.z. P continu is, dan
ˆ t
0
(ˆ τ
0Φ(ν, y, ω) dy
)dW (ν) =
ˆ τ
0
(ˆ t
0Φ(ν, y, ω) dW (ν)
)dy voor alle t ∈ [0, τ ].
Gevolg 1. Veronderstel dat de veronderstellingen uit Lemma 2 gelden. Definieer
Φ(ν, y, ω) =
0 voor (ν, y) /∈ [0, t]× [t, τ ],σ(ν, y, ω) voor (ν, y) ∈ [0, t]× [t, τ ].
Dan isˆ s
0
(ˆ T
tσ(ν, y, ω) dy
)dW (ν) =
ˆ T
t
(ˆ s
0σ(ν, y, ω) dW (ν)
)dy voor alle s ∈ [0, t].
Gevolg 2. Veronderstel dat de veronderstellingen uit Lemma 2 gelden. Definieer
Φ(ν, y, ω) =
0 voor (ν, y) /∈ [0, t]× [0, t],σ(ν, y, ω) voor (ν, y) ∈ [0, t]× [0, t].
Dan isˆ s
0
(ˆ t
νσ(ν, y, ω) dy
)dW (ν) =
ˆ t
0
(ˆ y∧s
0σ(ν, y, ω) dW (ν)
)dy voor alle s ∈ [0, t].
Bewijs van relatie (2.5). Uit de definitie van B(t, T ) (1.2) en deze voor f(t, T ) (2.1) volgt dat
lnB(t, T ) = −ˆ T
tf(0, y) dy −
ˆ T
t
(ˆ t
0α(ν, y) dν
)dy −
n∑i=1
ˆ T
t
(ˆ t
0σi(ν, y) dWi(ν)
)dy.
(2.8)Merk op dat de integralen goed gedefinieerd zijn door Voorwaarden 2 t.e.m. 4.Door Voorwaarde 3 kunnen we de standaardstelling van Fubini (Stelling 4) toepassen. DoorVoorwaarden 2 t.e.m. 4 kunnen we Gevolg 1 toepassen met s = t, zodat we alle integralenmogen omwisselen:
lnB(t, T ) = −ˆ T
tf(0, y) dy −
ˆ t
0
(ˆ T
tα(ν, y) dy
)dν −
n∑i=1
ˆ t
0
(ˆ T
tσi(ν, y) dy
)dWi(ν).
9
We kunnen de integralen opsplitsen
lnB(t, T ) = −ˆ T
0f(0, y) dy −
ˆ t
0
(ˆ T
να(ν, y) dy
)dν −
n∑i=1
ˆ t
0
(ˆ T
νσi(ν, y) dy
)dWi(ν)
+
ˆ t
0f(0, y) dy +
ˆ t
0
(ˆ t
να(ν, y) dy
)dν +
n∑i=1
ˆ t
0
(ˆ t
νσi(ν, y) dy
)dWi(ν).
Onder Voorwaarden 2 t.e.m. 4 mogen we Gevolg 2 toepassen met s = t zodat we de laatsteintegraal kunnen herschrijven alsˆ t
0
(ˆ t
νσi(ν, y) dy
)dWi(ν) =
ˆ t
0
(ˆ y
0σi(ν, y) dWi(ν)
)dy
en de derde term als ˆ t
0
(ˆ t
να(ν, y) dy
)dν =
ˆ t
0
(ˆ y
0α(ν, y) dν
)dy.
Integratie van de uitdrukking (2.2) leidt totˆ t
0f(0, y) dy +
ˆ t
0
(ˆ y
0α(ν, y) dν
)dy +
ˆ t
0
n∑i=1
(ˆ y
0σi(ν, y) dWi(ν)
)dy =
ˆ t
0r(y) dy
en wegens de definitie (1.2) is
−ˆ T
0f(0, y) dy = lnB(0, T ).
Samen geeft dit
lnB(t, T ) = lnB(0, T )+
ˆ t
0r(y) dy−
ˆ t
0
(ˆ T
να(ν, y) dy
)dν−
n∑i=1
ˆ t
0
(ˆ T
νσi(ν, y) dy
)dWi(ν).
Waarmee we, gelet op (2.6)-(2.7), de uitdrukking (2.5) hebben aangetoond.
We passen het lemma van Ito (Stelling 7) toe op elnB(t,T ), waarbij lnB(t, T ) voldoet aan(2.5). De uitdrukking (2.5) in differentiaalvorm is:
d lnB(t, T ) = [r(t) + b(t, T )]dt− 1
2
n∑i=1
a2i (t, T )dt+
n∑i=1
ai(t, T )dWi(t).
Aldus bekomen we
dB(t, T ) = delnB(t,T )
= elnB(t,T )d lnB(t, T ) +1
2elnB(t,T )d lnB(t, T )d lnB(t, T )
= B(t, T )[r(t) + b(t, T )]dt− 1
2B(t, T )
n∑i=1
a2i (t, T )dt+B(t, T )
n∑i=1
ai(t, T )dWi(t)
+1
2B(t, T )
n∑i=1
a2i (t, T )dt
= [r(t) + b(t, T )]B(t, T )dt+n∑i=1
ai(t, T )B(t, T )dWi(t).
10
Dit geeft dan B(t, T ) als de sterke oplossing van de stochastische differentiaalvergelijking:
dB(t, T ) = [r(t) + b(t, T )]B(t, T ) dt+
n∑i=1
ai(t, T )B(t, T ) dWi(t). (2.9)
Over het algemeen is het obligatieprijsproces geen Markovproces omdat de driftterm (r(t, ω)+b(t, T, ω)) en de volatiliteitscoefficienten ai(t, T, ω) voor i = 1, . . . , n kunnen afhangen van hetvolledige verleden van de Brownse bewegingen. De vorm van een obligatieprijsproces zoalswordt voorgesteld in (2.9) is gelijkaardig aan deze die voorkomt in Brennan en Schwartz(1979), maar is meer algemeen, omdat het minder regulariteitsvoorwaarden vereist en hetniet Markov moet zijn.We definieren de relatieve obligatieprijs voor een obligatie met maturiteit T als de verdiscon-teerde obligatieprijs:
Z(t, T ) =B(t, T )
R(t)voor T ∈ [0, τ ] en t ∈ [0, T ]. (2.10)
Dit is de waarde van de obligatie uitgedrukt in eenheden van de geldmarktrekening in plaatsvan in euro. Deze transformatie verwijdert het deel van de drift als gevolg van het ogenblik-kelijk rentevoetproces. Dit is bijzonder nuttig voor een analysestudie. Een uitdrukking voorlnZ(t, T ) bekomen we, steunend op (2.3) en (2.5) als volgt:
lnZ(t, T ) = lnB(t, T )− lnR(t)
= lnB(0, T ) +
ˆ t
0[r(ν) + b(ν, T )] dν − 1
2
n∑i=1
ˆ t
0a2i (ν, T ) dν
+
n∑i=1
ˆ t
0ai(ν, T ) dWi(ν)−
ˆ t
0r(y) dy
en
Z(0, T ) =B(0, T )
R(0)= B(0, T ), want R(0) = 1.
Hieruit volgt dat
lnZ(t, T ) = lnZ(0, T )+
ˆ t
0b(ν, T ) dν− 1
2
n∑i=1
ˆ t
0a2i (ν, T ) dν+
n∑i=1
ˆ t
0ai(ν, T ) dWi(ν), (2.11)
met ai, i=1,. . . ,n, en b gedefinieerd in (2.6)-(2.7). Opnieuw kan de verdisconteerde obliga-tieprijs op tijdstip t afhangen van het gevolgde pad van Brownse bewegingen door de voor-waartse drifttermen en volatiliteiten. In het algemeen kan Z(t, T ) niet geschreven worden alseen functie die enkel afhangt van de huidige waarden van de Brownse beweging.
2.3 Prijzen van obligaties zonder arbitrage en bewegingen vantermijnstructuur
We willen nodige en voldoende voorwaarden karakteriseren voor voorwaartse rentevoetpro-cessen opdat er een unieke equivalente risiconeutrale maat bestaat. Beschouw Voorwaarden2 t.e.m. 4 als gegeven.
11
Voorwaarde 5 (Het bestaan van marktprijzen voor risico). Neem S1,. . .,Sn ∈ [0, τ ]vast zodat 0 < S1 < S2 < · · · < Sn ≤ τ . Veronderstel dat er oplossingen
γi(·, ·;S1, . . . , Sn) : Ω× [0, S1]→ R voor i = 1, . . . , n b.z. P en b.o. λ,
bestaan voor het volgend stelsel van vergelijkingen: b(t, S1)...
b(t, Sn)
+
a1(t, S1) · · · an(t, S1)...
...a1(t, Sn) · · · an(t, Sn)
γ1(t;S1, . . . , Sn)
...γn(t;S1, . . . , Sn)
=
0...0
(2.12)
met ai, i = 1, . . . , n en b gegeven in de formules (2.6) en (2.7), die voldoen aan
ˆ S1
0γ2i (ν;S1, . . . , Sn) dν < +∞ b.z. P voor i = 1, . . . , n,
E
[exp
n∑i=1
ˆ S1
0γi(ν;S1, . . . , Sn) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S1
0γ2i (ν;S1, . . . , Sn) dν
]= 1,
E
[exp
n∑i=1
ˆ S1
0[ai(ν, y) + γi(ν;S1, . . . , Sn)] dWi(ν)
−1
2
n∑i=1
ˆ S1
0[ai(ν, y) + γi(ν;S1, . . . , Sn)]2 dν
]= 1 voor y ∈ S1, . . . , Sn
(2.13)
waarbij λ een Lebesguemaat is.
Het stelsel van vergelijkingen in de uitdrukking (2.12) interpreteert γi(t;S1, . . . , Sn) als demarktprijzen voor risico geassocieerd met de stochastische factoren Wi(t) voor i = 1, . . . , nrespectievelijk. Om dit te zien kunnen we (2.12) herschrijven voor een obligatie met maturiteitT als
b(t, T ) =
n∑i=1
ai(t, T )(−γi(t;S1, . . . , Sn)). (2.14)
De linkerzijde van de vergelijking (2.14) is het ogenblikkelijke rendement dat extra verwachtwordt bovenop de risicoloze intrestvoet, zie de driftterm in (2.9). De rechterzijde is de somvan de marktprijs voor risico voor factor i maal de ogenblikkelijke covariantie tussen het ren-dement van de obligatie met maturiteit T en de ide stochastische factor, voor i = 1 tot n.Het is belangrijk om te benadrukken dat de oplossingen van de vergelijkingen (2.14) over hetalgemeen afhangen van de vector van gekozen obligaties met maturiteiten S1, . . . , Sn.De volgende Propositie 1 toont aan dat Voorwaarde 5 het bestaan van een equivalente mar-tingaalmaat garandeert.
Propositie 1 (Het bestaan van een equivalente martingaalmaat). Neem S1,. . .,Sn∈ [0, τ ] vast zo dat 0 < S1 < S2 < · · · < Sn ≤ τ . Gegeven een vector van voorwaartsedriften α(·, S1), . . . , α(·, Sn) en een vector van volatiliteiten σi(·, S1), . . . , σi(·, Sn) voori = 1, . . . , n. Veronderstel dat Voorwaarden 2 t.e.m. 4 voldaan zijn, dan geldt Voorwaarde 5 alsen slechts als er een equivalente kansmaat PS1,··· ,Sn bestaat waaronder (Z(t, S1), . . . , Z(t, Sn))martingalen zijn met betrekking tot F(t), t ∈ [0, S1].
12
De propositie kan bewezen worden door middel van de volgende twee lemma’s.
Lemma 3. Veronderstel dat Voorwaarden 2 t.e.m. 4 voldaan zijn voor vaste S1, . . . , Sn ∈[0, τ ] zodat 0 < S1 < · · · < Sn ≤ τ . Definieer
X(t, y) =
ˆ t
0b(ν, y) dν +
n∑i=1
ˆ t
0ai(ν, y) dWi(ν) (2.15)
voor alle t ∈ [0, y] en y ∈ S1, . . . , Sn, met ai, i = 1, . . . , n en b gegeven in (2.6) en (2.7)Dan voldoet γi : Ω× [0, τ ]→ R voor i = 1, . . . , n aan:
1. b(t, S1)...
b(t, Sn)
+
a1(t, S1) . . . an(t, S1)...
...a1(t, Sn) . . . an(t, Sn)
γ1(t)
...γn(t)
=
0...0
b.z. P en b.o. λ,
2. ˆ S1
0γ2i (ν) dν < +∞ b.z. P voor i = 1, . . . , n,
3.
E
[exp
n∑i=1
ˆ S1
0γi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S1
0γ2i (ν) dν
]= 1,
4.
E
[exp
n∑i=1
ˆ S1
0[ai(ν, y) + γi(ν)] dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S1
0[ai(ν, y) + γi(ν)]2 dν
]= 1
voor y ∈ S1, . . . , Sn als een slechts als er een kansmaat PS1,...,Sn bestaat zodat:
(a)
dPS1,...,Sn
dP= exp
n∑i=1
ˆ S1
0γi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S1
0γ2i (ν) dν
,
(b) WS1...Sni (t) = Wi(t)−
´ t0 γi(ν) dν zijn Brownse bewegingen op
(Ω,F , PS1,...,Sn), F(t), t ∈ [0, S1]
voor i = 1, . . . , n,
(c) dX(t, S1)...
dX(t, Sn)
=
a1(t, S1) . . . an(t, S1)...
...a1(t, Sn) . . . an(t, Sn)
dWS1...Sn
1 (t)...
dWS1...Snn (t)
voor t ∈ [0, S1] en
(d) Z(t, Si) zijn martingalen op
(Ω,F , PS1...Sn), F(t), t ∈ [0, S1]
voor i = 1, . . . , n.
13
Bewijs. Veronderstel dat γi(t), voor i = 1, . . . , n voldoen aan Voorwaarden 2 t.e.m. 5. Wepassen de stelling van Girsanov toe. (−γ1(t), . . . ,−γn(t)) is een aangepast n-dimensionaalproces. We definieren
Q(t) = exp
n∑i=1
ˆ t
0γi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ t
0γ2i (ν) dν
, (2.16)
in de veronderstelling dat E[∑n
i=1
´ S1
0 γ2i (ν)Q2(ν) dν] < +∞ en definieren
WS1...Sni (t) = Wi(t)−
ˆ t
0γi(ν) dν, voor i = 1, . . . , n.
Stellen we vervolgens Q = Q(S1) dan volgt volgens de stelling van Girsanov dat E[Q] = 1(wat ook volgt uit punt (3)) en dat er een kansmaat PS1...Sn bestaat:
dPS1...Sn
dP= Q(S1) = exp
n∑i=1
ˆ S1
0γi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S1
0γ2i (ν) dν
,
dit is (a), waaronder WS1...Sni , i = 1, . . . , n, onafhankelijke Brownse bewegingen zijn. Hiermee
is ook (b) aangetoond.Herschrijven we de uitdrukking voor X(t, y) (2.15) voor y = Si, i = 1, . . . , n in differentiaal-vorm en de uitdrukking in (1) dan krijgen we:
dX(t, Si) = b(t, Si)dt+n∑j=1
aj(t, Si)dWj(t) voor i = 1, . . . , n (2.17)
en
b(t, Si) +n∑j=1
aj(t, Si)γj(t) = 0, voor i = 1, . . . , n.
Samen met de uitdrukking voor WS1...Sn in differentiaalvorm
dWS1...Sni (t) = dWi(t)− γi(t)dt,
geeft dit:
dX(t, Si) =
n∑j=1
aj(t, Si)dWS1...Snj (t).
Wat hetzelfde is als de uitdrukking (c).Om aan te tonen dat Z(t, Si) martingalen zijn onder de kansmaat PS1...Sn zoeken we dedynamiek van Z(t, Si) onder PS1...Sn . Hiertoe passen we de productregel van Ito (Stelling 8)toe op de definitie van Z(t, T ) (2.10):
dZ(t, Si) = d
(B(t, Si)
R(t)
)= B(t, Si)d
(1
R(t)
)+
1
R(t)dB(t, Si) + d
(1
R(t)
)dB(t, Si)
= B(t, Si)
(− 1
R2(t)dR(t)
)+
1
R(t)dB(t, Si) + d
(1
R(t)
)dB(t, Si)
14
Gebruik makend van de uitdrukking (2.9) voor het obligatieprijsproces en toepassing van deproductregel op R(t) (2.3),
R(t) = exp
(ˆ t
0r(y) dy
)= eX(t),
met X(t) =´ t
0 r(y) dy,
dR(t) = deX(t)
= eX(t)dX(t)
= R(t)r(t)dt,
bekomen we
dZ(t, Si) = −B(t, Si)1
R2(t)R(t)r(t)dt+
1
R(t)[r(t)B(t, Si)dt+ b(t, Si)B(t, Si)dt+
n∑j=1
aj(t, Si)B(t, Si)dWj(t)
+ 0
= −B(t, Si)1
R(t)r(t)dt+
1
R(t)r(t)B(t, Si)dt+ b(t, Si)
B(t, Si)
R(t)dt
+
n∑j=1
aj(t, Si)B(t, Si)
R(t)dWi(t)
= b(t, Si)Z(t, Si)dt+
n∑j=1
aj(t, Si)Z(t, Si)dWi(t)
= Z(t, Si)
b(t, Si)dt+n∑j=1
aj(t, Si)dWi(t)
= Z(t, Si) dX(t, Si) (2.18)
Hierbij hebben we de uitdrukking (2.17) voor X in de differentiaalvorm gebruikt. Roepen wenu de uitdrukking (c) in dan krijgen we:
dZ(t, Si) = Z(t, Si)n∑j=1
aj(t, Si)dWS1...Snj (t). (2.19)
Hieruit blijkt dat de driftterm nul is en dat Z(t, Si) dus een martingaal is onder de kansmaatPS1...Sn , waarmee (d) is aangetoond.Omgekeerd, veronderstel nu dat er een kansmaat PS1...Sn bestaat zodat (a), (b), (c) en (d)gelden. De uitdrukking van X(t, y) in differentiaalvorm is:
dX(t, y) = b(t, y)dt+
n∑i=1
ai(t, y) dWi(t).
Uit (c) volgt dat
dX(t, Sj) =n∑i=1
ai(t, Sj) dWi(t) voor j = 1, . . . , n
15
samen met de formule uit (b) geeft dit
dX(t, Sj) =n∑i=1
ai(t, Sj) (dWi(t)− γi(t) dt)
=n∑i=1
ai(t, Sj) dWi(t)−n∑i=1
ai(t, Sj)γi(t) dt
voor j = 1, . . . , n. Daaruit halen we, als we y = Sj stellen, dat
b(t, Sj) +n∑i=1
ai(t, Sj)γi(t) = 0 voor j = 1, . . . , n
moet zijn. Wat hetzelfde is als het stelsel vergelijkingen in (1).We weten dat
b(t, T ) +
n∑i=1
ai(t, T )γi(t) = 0, voor alle T ∈ S1, . . . , Sn en b.o. λ,
dus voor T = S1 ˆ S1
0b(ν, S1) dν +
n∑i=1
ˆ S1
0ai(ν, S1)γi(ν) dν = 0.
PS1...Sn bestaat en (a) is gegeven, met daarin de Radon-Nikodymafgeleide gedefinieerd door
exp
n∑i=1
ˆ S1
0γi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S1
0γ2i (ν) dν
.
´ S1
0 γi(ν) dWi(ν) bestaat slechts als de integreerbaarheidsvoorwaarde voldaan is, dit wil zeggen
dat´ S1
0 γ2i (ν) dν < +∞ moet zijn. Daarom geldt punt (2).
We passen opnieuw de stelling van Girsanov toe met het aangepast proces (−γ1(t), . . . ,−γn(t))en Q(t) gegeven door (2.16). Punt (2) geldt, dus is volgens de stelling van Girsanov
E[Q] = E
[dPS1...Sn
dP
]= 1
Daaruit volgt dan, gelet op (a), de uitdrukking (3).We passen andermaal de stelling van Girsanov toe met (−(γ1(t) + a1(t, y)), . . . ,−(γn(t) +an(t, y)) als n-dimensionaal aangepast proces.
ˆ S1
0(γi(ν) + ai(ν, y))2 dν ≤ 2
ˆ S1
0γ2i (ν) dν + 2
ˆ S1
0a2i (ν, y) dν < +∞.
De eindigheid van de eerste term volgt uit punt (2) en de eindigheid van de tweede term komtvoort uit de definitie van ai, i = 1, . . . , n (2.6) en Voorwaarde 4, met S1 ≤ τ :
ˆ S1
0
(ˆ y
νσi(ν, u, ω) du
)2
dν < +∞.
16
Definieer
Q∗(t) = exp
n∑i=1
ˆ t
0[γi(ν) + ai(ν, y)] dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ t
0[γi(ν) + ai(ν, y)]2 dν
als Radon-Nikodymafgeleide in de veronderstelling dat E[∑n
i=1
´ S1
0 (γi(ν)+ai(ν, y))2Q∗2(ν) dν] <+∞. Dan is E[Q∗(S1)] = 1, dit bewijst uitdrukking (4).
Lemma 4. Veronderstel dat Voorwaarden 2 t.e.m. 4 gelden voor vaste S1, . . . , Sn ∈ [0, τ ]zo dat 0 < S1 < · · · < Sn ≤ τ . Definieer
X(t, y) =
ˆ t
0b(ν, y) dν +
n∑i=1
ˆ t
0ai(ν, y) dWi(ν)
voor alle t ∈ [0, y] en y ∈ S1 . . . Sn. Dan bestaat er een kansmaat P die equivalent is met Pzodat Z(t, Si) martingalen zijn op (Ω,F , P), F(t), t ∈ [0, S1] voor alle i = 1, . . . , n als enslechts als er γi : Ω× [0, τ ]→ R bestaan voor i = 1, . . . , n en een kansmaat PS1...Sn zodat (a),(b) en (c) van Lemma 3 gelden.
Bewijs. Stel dat er een equivalente kansmaat P bestaat die van Z(t, Si), i = 1, . . . , n martin-galen maakt. Dan bestaat er een
Q(t) = exp
n∑i=1
ˆ t
0θi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ t
0θ2i (ν) dν
met E[Q(S1)] = 1. Onderstel
Wj(t) = Wj(t)−ˆ t
0θj(ν) dν, voor j = 1, . . . , n.
De dynamiek van X in differentiaalvorm wordt dan
dX(t, y) = b(t, y)dt+n∑i=1
ai(t, y)dWi(t)
= b(t, y)dt+n∑i=1
ai(t, y)θi(t)dt+n∑i=1
ai(t, y)dWi(t)
Wegens (2.18) is Z een martingaal als X een martingaal is, dus moet X een martingaal zijnonder P. Dit wil zeggen dat de dt-term nul moet zijn of dat
b(t, y) +n∑i=1
ai(t, y)θi(t) = 0
De γi’s voldoen aan deze vergelijking. Als we θi(t) = γi(t) nemen voor i = 1, . . . , n danbestaan er γi’s waarvoor (a), (b) en (c) van Lemma 3 gelden.Omgekeerd is de kansmaat PS1,...Sn waarvoor (a), (b) en (c) uit Lemma 3 gelden, de kansmaatdie gedefinieerd wordt met behulp van de stelling van Girsanov, dus deze is equivalent metde originele kansmaat P. Bovendien maakt deze martingalen van Z(t, Si), i = 1, . . . , n.
17
Propositie 1 stelt dat, onder Voorwaarden 2 t.e.m. 4, Voorwaarde 5 zowel nodig als vol-doende is voor het bestaan van een equivalente martingaalmaat PS1,...,Sn . Het belangrijksteargument in het bewijs is de stelling van Girsanov en die identificeert deze kansmaat als:
dPS1,...,Sn
dP= exp
n∑i=1
ˆ S1
0γi(ν;S1, . . . , Sn) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S1
0γ2i (ν;S1, . . . , Sn) dν
.
(2.20)Verder hebben we ook aangetoond dat
WS1,...,Sni (t) = Wi(t)−
ˆ t
0γi(ν;S1, . . . , Sn) dν voor i = 1, . . . , n (2.21)
onafhankelijke Brownse bewegingen zijn op (Ω,F , PS1,...,Sn) met F(t), t ∈ [0, S1].De martingaalmaat waarbij de risicoloze rente R(t) als numeraire werd genomen, noemen wede risiconeutrale maat. Hoewel Voorwaarde 5 het bestaan van een equivalente risiconeutralemaat garandeert, garandeert deze niet dat ze uniek is. De volgende voorwaarde doet dit wel.
Voorwaarde 6 (Uniciteit van de equivalente martingaalmaat). Neem S1,. . .,Sn ∈[0, τ ] zodat 0 < S1 < S2 < · · · < Sn ≤ τ . Veronderstel dat a1(t, S1) . . . an(t, S1)
......
a1(t, Sn) . . . an(t, Sn)
niet-singulier is bijna zeker P, bijna overal λ.
De volgende propositie toont aan dat Voorwaarde 6 zowel nodig als voldoende is voor deuniciteit van de equivalente risiconeutrale maat.
Propositie 2 (Karakterisatie van de uniciteit van de equivalente martingaalmaat).Neem S1,. . .,Sn ∈ [0, τ ] zodat 0 < S1 < S2 < · · · < Sn ≤ τ . Gegeven een vector vanvoorwaartse drifttermen α(·, S1), . . . , α(·, Sn) en volatiliteiten σi(·, S1), . . . , σi(·, Sn) voori = 1, . . . , n, die voldoen aan Voorwaarden 2 t.e.m. 5, dan geldt Voorwaarde 6 als en slechtsals de martingaalmaat uniek is.
Voor het bewijs van deze propositie gebruiken we de volgende twee lemma’s.
Lemma 5. Neem S < τ vast. Stel βi : Ω× [0, τ ]→ R voor i = 1, . . . , n zo dat´ S
0 β2i (ν) dν <
+∞ b.z. P. Definieer
Tm ≡ inf
t ∈ [0, S]
∣∣∣∣∣E[
exp
1
2
n∑i=1
ˆ t
0β2i (ν) dν
]≥ m
,
Mm(t) ≡ exp
n∑i=1
ˆ min(Tm,t)
0βi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ min(Tm,t)
0β2i (ν) dν
.
Dan is
E
[exp
n∑i=1
ˆ S
0βi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S
0β2i (ν) dν
]= 1
als en slechts als Mm(S)+∞m=1 uniform integreerbaar zijn.
18
Bewijs. Definier βmi (ν) ≡ βi(ν)Iν≤Tm. Dan is
Mm(t) = exp
n∑i=1
ˆ t
0βmi (ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ t
0(βmi )2(ν) dν
.
Lemma 13.17 uit Elliott (1982, p.165) stelt dat voor een lokale martingaalX, met ∆X(s) > −1b.z. voor alle s,
expX(t)− 1
2[X,X]tΠ0≤s≤t(1 + ∆X(s))e−∆X(s)
een supermartingaal is. In dit geval is X(t) =∑n
i=1
´ t0 β
mi (ν) dWi(ν), de som van Ito-
integralen, dus een martingaal. Elke martingaal is een lokale martingaal, bijgevolg is Xeen lokale martingaal. Daar een Brownse beweging geen jumps vertoont is ∆X(s) = 0 vooralle s. Dus is Mm een supermartingaal.Wegens de definitie van βmi geldt:
E
[exp
1
2
n∑i=1
ˆ Tm
0β2i (ν) dν
]= E
[exp
1
2
n∑i=1
ˆ S
0(βmi )2(ν) dν
]
Veronderstel dat E[exp
12
∑ni=1
´ Tm0 β2
i (ν) dν]
> m, dan bestaat er een t ≤ Tm waarvoor
E[exp
12
∑ni=1
´ t0 β
2i (ν) dν
]≥ m, daar het een stijgende functie is. Dit is in strijd met de
definitie van Tm als infimum. Dus moet
E
[exp
1
2
n∑i=1
ˆ Tm
0β2i (ν) dν
]= E
[exp
1
2
n∑i=1
ˆ S
0(βmi )2(ν) dν
]≤ m < +∞.
βmi : Ω × [0, τ ] → R en W1, . . . ,Wn is een n-dimensionale Brownse beweging. VolgensStelling 13.35 uit Elliott (1982, p.178) is dan E[Mm(S)] = 1. Samen met feit dat Mm eensupermartingaal is, dus geen tendens heeft om te stijgen, toont dit aan dat Mm een martingaalmoet zijn, zie Lemma 13.17 uit Elliott (1982, p.165).Merk op dat
limm→+∞
Mm(S) = exp
n∑i=1
ˆ S
0βi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S
0β2i (ν) dν
met kans gelijk aan een, want Tm → S met kans een voor m→ +∞.We willen nu aantonen dat Mm(S)+∞m=1 eveneens een martingaal is met betrekking totm = 1, 2, . . ..
supm
E[Mm(S)] = 1 < +∞
en volgens het Optional Stopping Theorem uit Elliott (1982, p.17) is
E[Mm+1(S) | F(minS, Tm)] = Mm+1(minS, Tm),
daar Tm ≤ S en Mm(t) een F(t)-meetbare martingaal is. Wegens de definitie van Mm(t)
19
kunnen we dit rechterlid schrijven als
Mm+1(minS, Tm) = Mm+1(Tm)
= exp
n∑i=1
ˆ min(Tm+1,Tm)
0βi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ min(Tm+1,Tm)
0β2i (ν) dν
= exp
n∑i=1
ˆ Tm
0βi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ Tm
0β2i (ν) dν
= exp
n∑i=1
ˆ min(Tm,S)
0βi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ min(Tm,S)
0β2i (ν) dν
= Mm(S).
• Veronderstel dat Mm(S)+∞m=1 uniform integreerbaar zijn. Gevolg 3.19 uit Elliott (1982,p.22) stelt dat een uniform integreerbare martingaal Xn een limiet heeft limn→+∞Xn =X+∞ die behoort tot L1. Bijgevolg behoort
limm→+∞
Mm(S) = exp
n∑i=1
ˆ S
0βi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S
0β2i (ν) dν
tot L1. Dit wil zeggen dat we limiet en integraal mogen omwisselen:
E
[exp
n∑i=1
ˆ S
0βi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S
0β2i (ν) dν
]= lim
m→+∞E[Mm(S)].
Bovendien weten we dat E[Mm(S)] = 1, dus dit vervolledigt een richting van het bewijs.
• Omgekeerd, veronderstel dat
E
[exp
n∑i=1
ˆ S
0βi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S
0β2i (ν) dν
]= 1.
We weten dat
E
[exp
n∑i=1
ˆ S
0βi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ S
0β2i (ν) dν
∣∣∣∣∣ F(Tm)
]= Mm(S),
dus moet Mm(S) uniform integreerbaar zijn (Elliott, 1982, stelling 3.20, p.22).
Lemma 6. Veronderstel dat Voorwaarden 2 t.e.m. 4 gelden voor vaste S1,. . .,Sn ∈ [0, τ ] zodat 0 < S1 < · · · < Sn ≤ τ . Veronderstel dat de voorwaarden (1), (2), (3) en (4) van Lemma3 gelden, dan zijn de γi(t) voor i = 1, . . . , n die voldoen aan (1), (2), (3) en (4) uniek (opλ× P-equivalentie na) als en slechts als
A(t) ≡
a1(t, S1) . . . an(t, S1)...
...a1(t, Sn) . . . an(t, Sn)
singulier is met (λ× P)-maat nul.
20
Bewijs. Veronderstel dat A(t) singulier is met (λ × P)-maat nul. Dan heeft het stelsel vann vergelijkingen in n onbekenden uit de voorwaarde (1) van Lemma 3 een unieke oplossingγi(t) voor i = 1, . . . , n (op λ× P-equivalentie na).Omgekeerd, veronderstel dat voor
Σ ≡ (t, ω) ∈ [0, S]× Ω : A(t) is singulier
maat (λ × P)(Σ) > 0, met S < τ . We willen aantonen dat de functies die voldoen aan devoorwaarden (1), (2), (3) en (4) uit Lemma 3 niet uniek zijn. We veronderstellen eerst dateen vector (γ1(t), . . . , γn(t)) van functies γi(t) gegeven is die voldoen aan de voorwaarden (1),(2), (3) en (4).
• We zullen aantonen dat er een begrensde, aangepaste, meetbare vector van functies(δ1, . . . , δn) verschillend van nul bestaat op Σ zodat:
1.
A(t)
δ1(t)...
δn(t)
=
0...0
en
2.
g(t) ≡ exp
n∑i=1
ˆ t
0δi(ν) dWi(ν)−
n∑i=1
ˆ t
0δi(ν)γi(ν) dν − 1
2
n∑i=1
ˆ t
0δ2i (ν) dν
begrensd is b.z. P, b.o. λ.
Stel Σr = (t, ω) : A(t) heeft rang r. Σr is een meetbare verzameling. Dan is Σ =⋃n−1r=1 Σr en Σr ∩ Σs = ∅ voor r 6= s. Neem η > 0 vast. Zet, voor elke verzameling Σr,
δηi (t) voor i = 1, . . . , n gelijk aan een oplossing van
A(t)
δ1(t)...
δn(t)
=
0...0
en
zodat δηi (t) begrensd worden door min(η, 1γi(t)
; i = 1, . . . , n). Tenslotte stellen we δηi = 0op Σc voor i = 1, . . . , n. Merk op dat we de superscripts op δ interpreteren als bo-vengrens van het proces en niet als exponent. Door de constructie zijn δηi aangepast,meetbaar en begrensd door η en∣∣∣∣∣
n∑i=1
ˆ τ
0δηi (ν) γi(ν) dν +
1
2
n∑i=1
ˆ τ
0(δηi )2(ν) dν
∣∣∣∣∣≤
∣∣∣∣∣n∑i=1
ˆ τ
0δηi (ν)γi(ν) dν
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣12n∑i=1
ˆ τ
0(δηi )2(ν) dν
∣∣∣∣∣≤
∣∣∣∣∣n∑i=1
ˆ τ
0
1
γi(ν)γi(ν) dν
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣12n∑i=1
ˆ τ
0η2 dν
∣∣∣∣∣= nτ +
1
2nτη2
= n1
2(2 + η2)τ b.z. P. (2.22)
21
Stel α = infj∈1,2,3,...
(12
)2jS < 1
. Definieer de volgende stoptijden:
τj = inft∈[0,S]
n∑i=1
ˆ t
τj−1
δ( 1
2)2j+α
i (ν) dWi(ν) ≥(
1
2
)jvoor j = 1, . . . . (2.23)
We herinneren eraan dat de superscripts op δ dienen geınterpreteerd te worden alsbovengrenzen, niet als exponenten. We tonen aan dat P(limj→+∞ τj = S) = 1:
P(τj < S | F(τj−1)) ≤ P
(∣∣∣∣∣n∑i=1
ˆ S
τj−1
δ( 1
2)2j+α
i (ν) dWi(ν)
∣∣∣∣∣ ≥(
1
2
)j| F(τj−1)
)wegens de ongelijkheid van Chebyshev (Stelling 9)
≤ 1(12
)2j Var
(n∑i=1
ˆ S
τj−1
δ( 1
2)2j+α
i (ν) dWi(ν)
)wegens de Ito-isometrie (Stelling 5)
≤ 1(12
)2jE[
n∑i=1
ˆ S
τj−1
(δ( 1
2)2j+α
i (ν)
)2
dν
]
omdat δηi begrensd wordt door η =
(1
2
)2j+α
≤ 1(12
)2j n∑i=1
ˆ S
τj−1
((1
2
)2j+α)2
dν
≤ n 1(12
)2j((
1
2
)2j+α)2
S
= n
(1
2
)2j (1
2
)2α
S
< n
(1
2
)2j
door de keuze van α.
Wegens de toreneigenschap is
E[P(τj < S | Fτj−1)] = E[E[Iτj<S | Fτj−1 ]]
= E[Iτj<S ]
= P(τj < S).
Uit het voorgaande volgt dan dat E[P(τj < S | Fτj−1)] = P(τj < S) < n(
12
)2j.
P(
limj→+∞
τj = S
)= 1− P
(lim
j→+∞τj < S
)en
P(
limj→+∞
τj < S
)< P
+∞⋂j=1
(τj < S)
≤ infP(τj < S) : j = 1, 2, . . .
< infn(
1
2
)2j
: j = 1, 2, . . . = 0,
22
dus
P(
limj→+∞
τj < S
)= 0,
dit bewijst het gestelde.Stel
δi(t) =+∞∑j=0
1[τj ,τj+1](t)δ( 1
2)2(j+1)+α
i (t) voor i = 1, . . . , n. (2.24)
δi(t) is begrensd, aangepast en meetbaar en voldoet aan
A(t)
δ1(t)...
δn(t)
=
0...0
b.z. P b.o. λ. (2.25)
Merk op dat, gelet op de definitie van de stoptijden τj (2.23), voor alle t ∈ [0, S]∣∣∣∣∣n∑i=1
ˆ t
0δi(ν) dWi(ν)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣n∑i=1
ˆ t
0
+∞∑j=0
I[τj ,τj+1](ν)δ( 1
2)2(j+1)+α
i (ν) dWi(ν)
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣+∞∑j=0
n∑i=1
ˆ τj+1
τj
δ( 1
2)2(j+1)+α
i (ν) dWi(ν)
∣∣∣∣∣∣≤
+∞∑j=0
(1
2
)(j+1)
=
+∞∑j=1
(1
2
)j= 1, (2.26)
dus
g(t) = exp
n∑i=1
ˆ t
0δi(ν) dWi(ν)−
n∑i=1
ˆ t
0δi(ν)γi(ν) dν − 1
2
n∑i=1
ˆ t
0δ2i (ν) dν
is begrensd b.z. P, b.o. λ.
• We tonen nu aan dat (γ1(t) + δ1(t), . . . , γn(t) + δn(t)) voldoet aan de voorwaarden (1),(2), (3) en (4) van Lemma 3.3. De voorwaarde (1) stelt dat
b(t, Si) +n∑j=1
aj(t, Si)(γj(t) + δj(t)) = 0
moet gelden, ofwel
b(t, Si) +n∑j=1
aj(t, Si)γj(t) +n∑j=1
aj(t, Si)δj(t) = 0.
Omdat γi(t) voldoet aan (1) uit Lemma 3 is ook b(t, Si) +∑n
j=1 aj(t, Si)γj(t) = 0.Wegens (2.25) is ook
∑nj=1 aj(t, Si)δj(t) = 0.
De voorwaarde (2) ˆ S1
0(γi(ν) + δi(ν))2 dν < +∞
23
geldt wanneer
2
ˆ S1
0γ2i (ν) dν + 2
ˆ S1
0δ2i (ν) dν < +∞.
De eerste term is eindig, daar γi(t) voldoet aan (2) uit Lemma 3. Veronderstel dat delaatste term oneindig zou zijn dan zou ook
E[δ2i (t)] > +∞.
Wegens (2.26) is
E
( n∑i=1
ˆ t
0δi(ν) dWi(ν)
)2 ≤ 1
⇒n∑i=1
E[ˆ t
0δ2i (ν) dν
]≤ 1
wegens de Ito-isometrie (Stelling 5)
⇒n∑i=1
ˆ t
0E[δ2
i (ν)] dν ≤ 1 < +∞
⇒E[δ2i (ν)] < +∞
We bekomen hier een strijdigheid, waaruit we mogen afleiden dat ook de laatste termeindig is.Om (3) en (4) aan te tonen maken we gebruik van Lemma 5. Definieer
Tm = inft∈[0,T ]
E
[exp
1
2
n∑i=1
ˆ t
0(γi(ν) + δi(ν))2 dν
]≥ m
,
Mm(t) = exp
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0(γi(ν) + δi(ν)) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0(γi(ν) + δi(ν))2 dν
.
Uit Lemma 5 weten we dat we moeten aantonen dat Mm(S) uniform integreerbaar is.Maar
Mm(S) = exp
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0γi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0γ2i (ν) dν
× exp
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0δi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0[2γi(ν)δi(ν) + δ2
i (ν)] dν
.
Daar
exp
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0δi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0[2γi(ν)δi(ν) + δ2
i (ν)] dν
= g(min(S, Tm))
begrensd is, geldt
0 ≤Mm(S) ≤ K exp
n∑i=1
ˆ min(S,Tm)
0γi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ min(S,Tm)
0γ2i (ν) dν
24
voor een K > 0. Volgens Lemma 5 en omdat γi(t) voldoet aan (3) uit Lemma 3 is hetrechterlid uniform integreerbaar. Kopp (1984, p.29) heeft aangetoond dat Mm(S) danuniform integreerbaar is. Een analoog argument kan aangehaald worden om te bewijzendat ook (4) uit Lemma 3 geldt. Definieer
Mm(t) = exp
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0(ai(t, y) + γi(ν) + δi(ν)) dWi(ν)
−1
2
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0(ai(t, y) + γi(ν) + δi(ν))2 dν
= exp
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0(ai(t, y) + γi(ν)) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0(ai(t, y) + γi(ν))2 dν
× exp
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0δi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0(2(ai(t, y) + γi(ν))δi(ν) + δ2
i (ν)) dν
= exp
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0(ai(t, y) + γi(ν)) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0(ai(t, y) + γi(ν))2 dν
× exp
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0δi(ν) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ Tm∧t
0(γi(ν)δi(ν) + δ2
i (ν)) dν
−n∑i=1
ˆ Tm∧t
0ai(ν, y)δi(ν) dν
voor y ∈ S1, . . . , Sn.∑n
i=1
´ min(Tm,t)0 ai(ν, y)δi(ν) dν = 0 wegens (2.25). De verdere
redenering verloopt identiek als voor (3) uit Lemma 3.
Voorwaarden 2 t.e.m. 6 leggen via de functies γi(t;S1, . . . , Sn) voor i = 1, . . . , n beper-kingen op op de drifttermen voor de voorwaarste rentevoetprocessen α(·, S1), . . . , α(·, Sn).Hieruit volgen juist genoeg beperkingen zodat er een unieke equivalente martingaalmaat be-staat voor de obligaties Z(t, S1), . . . , Z(t, Sn) met 0 < S1 < . . . < Sn ≤ τ of dus een uniekerisiconeutrale maat. Zowel de marktprijzen voor risico als de risiconeutrale maat hangen ech-ter wel af van de specifiek gekozen maturiteiten S1, . . . , Sn. Om te garanderen dat er eenunieke risiconeutrale maat bestaat die van alle relatieve obligatieprijzen martingalen maakt,bewijzen we volgende propositie.
Propositie 3 (Uniciteit van de risiconeutrale maat over alle obligaties). Gegeveneen familie van voorwaartse drifttermen α(·, T ) |T ∈ [0, τ ] en een familie van volatiliteitenσi(·, T )T ∈ [0, τ ] voor i = 1, . . . , n die voldoen aan Voorwaarden 2 t.e.m. 6, dan zijn devolgende uitspraken equivalent:
• P, gedefinieerd door P = PS1,...,Sn voor willekeurige S1, . . . , Sn ∈ (0, τ ] is de uniekeequivalente kansmaat waaronder Z(t, T ) een martingaal is voor alle T ∈ [0, τ ] en t ∈[0, S1].
• γi(t;S1, . . . , Sn) = γi(t, T1, . . . , Tn) voor i = 1, . . . , n en alle S1, . . . , Sn, T1, . . . , Tn ∈[0, τ ], t ∈ [0, τ ] zo dat 0 ≤ t < S1 < . . . < Sn ≤ τ en 0 ≤ t < T1 < . . . < Tn ≤ τ .
25
• α(t, T ) = −∑n
i=1 σi(t, T )(φi(t)−´ Tt σi(t, ν) dν) voor alle T ∈ [0, τ ] en t ∈ [0, T ] waar
voor i = 1, . . . , n, φi(t) = γi(t;S1, . . . , Sn) voor alle S1, . . . , Sn ∈ (t, τ ] en t ∈ [0, S1].
Bewijs. Voorwaarde 6 geldt dus uit Propositie 2 weten we dat voor elke vector (S1, . . . , Sn)met S1 < S2 < · · · < Sn ≤ τ , PS1,...,Sn de unieke equivalente kansmaat is die Z(t, Si) een mar-tingaal maakt over t ≤ S1 voor i = 1, . . . , n. Bovendien zijn de γi’s die aan de voorwaardenuit Lemma 3 voldoen uniek. Met elk van deze γi’s komt een equivalente kansmaat overeen dievan de Z(t, T ) martingalen maakt. Deze kansmaten zijn allemaal gelijk aan P als en slechtsals γi(t;S1, . . . , Sn) = γi(t;T1, . . . , Tn) voor i = 1, . . . , n en alle S1, . . . , Sn, T1, . . . , Tn ∈ [0, τ ]en t ∈ [0, τ ] zodat 0 ≤ t < S1 < . . . < Sn ≤ τ en 0 ≤ t < T1 < . . . < Tn ≤ τ .Om de derde voorwaarde te bekomen gebruiken we uitdrukking (2.14) en het feit dat (φ1(t),. . .,φn(t))onafhankelijk is van T omdat we veronderstellen dat γi(t;S1, . . . , Sn) = γi(t;T1, . . . , Tn) =φi(t) voor i = 1, . . . , n en alle S1, . . . , Sn, T1, . . . , Tn ∈ [0, τ ] en t ∈ [0, τ ] zodat 0 ≤ t < S1 <. . . < Sn ≤ τ en 0 ≤ t < T1 < . . . < Tn ≤ τ . We bekomen dat
b(t, T ) = −n∑i=1
ai(t, T )φi(t).
Substitutie hierin van b(t, T ), zie (2.7) en ai(t, T ), zie (2.6) voor i = 1, . . . , n geeft
−ˆ T
tα(t, ν) dν +
1
2
n∑i=1
(ˆ T
tσi(t, ν) dν
)2
=n∑i=1
φi(t)
ˆ T
tσi(t, ν) dν.
We nemen de partiele afgeleide naar T :
α(t, T ) =
n∑i=1
σi(t, T )
ˆ T
tσi(t, ν) dν −
n∑i=1
σi(t, T )φi(t)
= −n∑i=1
σi(t, T )
(φi(t)−
ˆ T
tσi(t, ν) dν
).
Dit geeft de derde voorwaarde.
Deze propositie verzekert dat het bestaan van een unieke equivalente kansmaat, P, dievan relatieve obligatieprijzen martingalen maakt (eerste voorwaarde), equivalent is met devoorwaarde dat de marktprijzen voor risico onafhankelijk zijn van de vector van gekozen obli-gaties met maturiteiten S1, . . . , Sn (tweede voorwaarde). Verder is de tweede voorwaardeook equivalent met een beperking op de driftterm van de voorwaartse rentevoetprocessen(derde voorwaarde). We bespreken elk van deze drie voorwaarden afzonderlijk.Uit de eerste martingaalvoorwaarde volgt dat:
E [Z(T, T )|F(t)] = Z(t, T ).
Dus
E[B(T, T )
R(T )|F(t)
]=B(t, T )
R(t)
en
B(t, T ) = R(t)E[
1
R(T )|F(t)
].
26
Wat niets anders is dan de risiconeutrale prijsbepalingsformule voor B(t, T ), met B(T, T ) = 1.We gebruiken de regel van Bayes (Stelling 1) om over te gaan van maat: 0 ≤ t ≤ T en 1
R(T )
is F(T )-meetbaar, de Radon-Nikodymafgeleide werd gedefinieerd in (2.20), zie ook (2.16) enφi(t) = γi(t, S1, . . . , Sn) voor alle S1, . . . , Sn. Er geldt
B(t, T ) =R(t)
Q(t)E[Q(T )
R(T )
∣∣∣∣F(t)
]=
R(t)
exp∑n
i=1
´ t0 φi(ν) dWi(ν)− 1
2
∑ni=1
´ t0 φ
2i (ν) dν
×E
exp∑n
i=1
´ T0 φi(ν) dWi(ν)− 1
2
∑ni=1
´ T0 φ2
i (ν) dν
R(T )
∣∣∣∣∣∣F(t)
= R(t)E
exp∑n
i=1
´ Tt φi(ν) dWi(ν)− 1
2
∑ni=1
´ Tt φ2
i (ν) dν
R(T )
∣∣∣∣∣∣F(t)
.(2.27)
De uitdrukking (2.27) toont aan dat de obligatieprijzen afhangen van de voorwaartse drift-termen α(·, T ) |T ∈ [0, τ ], de initiele voorwaartse rentevoetcurve f(0, T ) |T ∈ [0, τ ] en devoorwaartse volatiliteiten σi(·, T ) |T ∈ [0, τ ] voor i = 1, . . . , n. Elke van deze parameterszitten impliciet in de uitdrukking in φi(t) voor i = 1, . . . , n, de marktprijzen voor risico enR(T ), de geldmarkteenheid, (2.3).De tweede voorwaarde wordt de standaard financiele voorwaarde genoemd voor prijszettingvrij van arbitrage. Dit is de nodige voorwaarde voor de afwezigheid van arbitrage die gebruiktwordt om de fundamentele partiele differentievergelijking op te stellen voor het prijzen vanafgeleide producten.De derde voorwaarde zal het nuttigst zijn voor de prijsbepaling van derivaten. Deze voor-waarde wordt de restrictie op de drift van de voorwaartse rentevoet genoemd. Het toont aanwelke beperking nodig is op de familie van driftprocessen α(·, T ) |T ∈ [0, τ ] om het bestaanvan een unieke equivalente risiconeutrale maat te garanderen. Zoals we verder zullen zienvoldoen niet alle potentiele voorwaartse rentevoetprocessen aan deze beperking.
2.4 Prijsbepaling van afgeleide producten
Deze paragraaf demonstreert hoe we afgeleide producten moeten waarderen in de vooraf-gaande economie.Stel dat Voorwaarden 2 t.e.m. 6 voldaan zijn. Neem een willekeurige vector van maturiteitenS1, . . . , Sn ∈ [0, τ ] vast waarbij 0 < S1 < S2 < · · · < Sn ≤ τ . Door Propositie 2 bestaater een unieke PS1,...,Sn die van alle Z(t, Si) martingalen maakt voor i = 1, . . . , n. Wegens detweede fundamentele stelling van het prijzen van aandelen (Stelling 3) impliceert de uniciteitvan PS1,...,Sn dat de markt compleet is. Dit wil zeggen, gegeven een willekeurige variabeleX : Ω→ R die niet-negatief is, F(S1)-meetbaar met E[ X
R(S1) ] < +∞ waarbij E[·] de verwach-
tingswaarde voorstelt met betrekking tot PS1,...,Sn , dat er een toelaatbare zelffinancierendehandelsstrategie ∆0(t),∆S1(t), . . . ,∆Sn(t) : t ∈ [0, S1] bestaat zodat de waarde van de
27
portefeuille voldoet aan:
∆0(S1)R(S1) +n∑i=1
∆Si(S1)B(S1, Si) = X, b.z. P. (2.28)
De stochastische variabele X kan geınterpreteerd worden als de uitbetaling van een afgeleidproduct op tijd S1. In afwezigheid van arbitrage wordt de prijs op tijdstip t van het derivaatvan X op tijd S1 gegeven door de risiconeutrale prijsbepalingsformule:
R(t)E[
X
R(S1)|F(t)
]. (2.29)
Substitutie van de uitdrukking (2.28) in (2.29) geeft:
E
[∆0(S1) +
∆S1(S1)
R(S1)+
n∑i=2
∆Si(S1)Z(S1, Si)
∣∣∣∣∣F(t)
]R(t). (2.30)
Uit uitdrukking (2.30) blijkt dat we de dynamiek van r(t) en Z(t, Si) moeten kennen voori = 1, . . . , n onder de risiconeutrale maat om dit afgeleid product te waarderen. Deze wordengegeven door vergelijking (2.2), rekening houdend met de relatie (2.21):
r(t) = f(0, t) +
ˆ t
0α(ν, t) dν +
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, t) dWi(ν)
= f(0, t) +
ˆ t
0α(ν, t) dν +
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, t) dW
S1,...,Sni (ν)
+n∑i=1
ˆ t
0γi(ν;S1, . . . , Sn)σi(ν, t) dν b.z. P, (2.31)
en afgeleid uit de vergelijking (2.11), eveneens rekening houdend met de relatie (2.21), krijgenwe
lnZ(t, u) = lnZ(0, u) +
ˆ t
0b(ν, u) dν − 1
2
n∑i=1
ˆ t
0a2i (ν, u) dν +
n∑i=1
ˆ t
0ai(ν, u) dWi(ν)
= lnZ(0, u)−ˆ t
0
n∑i=1
ai(ν, u)γi(ν) dν − 1
2
n∑i=1
ˆ t
0a2i (ν, u) dν
+
n∑i=1
ˆ t
0ai(ν, u) dWi(ν) zie (2.12) of (2.14)
= lnZ(0, u) +n∑i=1
ˆ t
0ai(ν, u) dWS1...Sn
i (ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ t
0a2i (ν, u) dν
⇒ Z(t, u) = Z(0, u) exp
n∑i=1
ˆ t
0ai(ν, u) dWS1,...,Sn
i (ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ t
0a2i (ν, u) dν
(2.32)
voor u ∈ S1, . . . , Sn. Daarvoor moeten we de marktprijzen voor risico γi(ν;S1, . . . , Sn)kennen. Deze komen voor in uitdrukking (2.31). Dit geldt ondanks dat de evaluatie gebeurt
28
in een risiconeutrale economie onder de risiconeutrale maat.Alle andere obligaties met verschillende maturiteiten u ∈ [0, τ ] worden verondersteld omwaarden te hebben op tijd S1, gegeven door uitdrukking (2.5), die F(S1)-meetbaar zijn.
Daar E[B(S1,u)R(S1)
]< +∞ voor alle u ∈ [0, τ ] en de markt compleet is kan elke andere obli-
gatie nagebootst worden met een toelaatbare zelffinancierende handelsstrategie die enkel den obligaties met maturiteiten S1, . . . , Sn bevat en de geldmarkteenheid. Dus kan men alleoverige obligaties prijzen en alle afgeleide producten.Zoals de uitdrukkingen (2.31) en (2.32) duidelijk maken kunnen de dynamieken voor de obli-gatieprijsprocessen, ogenblikkelijke rentevoetprocessen en de marktprijzen voor risico nietonafhankelijk gekozen worden. Deze processen onafhankelijk maken zal in het algemeen lei-den tot inconsistente prijsmodellen.Het model van Heath, Jarrow en Morton, zoals hierboven voorgesteld, legt de essentie vanalle voorgaande arbitrage prijszettingsmodellen vast. Om dit te illustreren beschouwen wehet model van Brennan en Schwartz (1979) voor n = 2. In plaats van de twee obligatieproces-sen voor S1, S2 direct te bepalen zoals in de uitdrukking (2.32), leiden ze deze uitdrukkingaf uit andere veronderstellingen. Vooreerst bepalen ze exogeen een rentevoetproces en eenogenblikkelijk rentevoetproces. Vervolgens veronderstellen ze dat alle obligatieprijzen op tijdt kunnen geschreven worden als tweemaal continu afleidbare functies van de huidige waar-den van deze lange en korte rentevoeten. Samen impliceren deze veronderstellingen, doortoepassing van het lemma van Ito, de uitdrukking (2.32). De analyse kan dan voortgezetworden zoals hierboven, afgeleide producten voortbrengend afhankelijk van de marktprijzenvoor risico.We breiden de bovenstaande analyse uit om de marktprijzen voor risico te kunnen eliminerenuit de waardebepalingsformules. Intuıtief gesproken doen we dit door gebruik te maken vande resterende informatie bevat in de obligatieprijszettingsprocessen om de marktprijzen voorrisico hieruit te halen. Hiervoor voeren we de volgende voorwaarde in.
Voorwaarde 7 (Gemeenschappelijke equivalente risiconeutrale maten). GegevenVoorwaarden 2 t.e.m. 4, laat Voorwaarden 5 en 6 gelden voor alle obligaties met maturi-teiten S1, . . . , Sn ∈ [0, τ ] met 0 < S1 < · · · < Sn ≤ τ . Stel verder P = PS1,...,Sn (op hungemeenschappelijk domein).
Om de marktprijzen voor risico te verwijderen uit de uitdrukking (2.31) veronderstellenwe Voorwaarde 7. Uit Propositie 3 geeft de niet-arbitrage voorwaarde
ˆ t
0α(ν, t) dν = −
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, t)φi(ν) dν +
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, t)
ˆ t
νσi(ν, y) dy dν. (2.33)
Substitueren we deze uitdrukking in de uitdrukking (2.31) voor het ogenblikkelijk rentevoet-proces, dan krijgen we:
r(t) = f(0, t) +
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, t)
ˆ t
νσi(ν, y) dy dν +
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, t) dWi(ν). (2.34)
De marktprijzen voor risico vallen weg uit de uitdrukking (2.31) en ze worden vervangen dooreen uitdrukking voor de volatiliteiten over verschillende maturiteiten van de voorwaartse ren-tevoeten, dit is een ‘termijnstructuur van volatiliteiten’. Dus de afgeleide producten kunnenonafhankelijk berekend worden van de marktprijzen voor risico. We illustreren deze abstracteprocedure verder met enkele concrete voorbeelden.
29
2.5 Voorbeelden
Dit deel bevat twee voorbeelden om de analyse in de vorige paragraaf te illustreren en toe telichten. Het eerste voorbeeld, een continue versie van het model van Ho en Lee, kan nuttigzijn in praktische toepassingen omwille van zijn rekenkundige eenvoud.We veronderstellen dat de voorwaartse rentevoeten voldoen aan de stochastische processen vanVoorwaarde 2 met een enkelvoudige Brownse beweging en de volatiliteit σ1(t, T, ω) ≡ σ > 0,een positieve constante. We stellen de initiele voorwaartse rentevoetcurve f(0, T ) : T ∈[0, τ ] meetbaar en absoluut integreerbaar (zoals in Voorwaarde 3). Gegeven een bepaald,maar willekeurig stochastisch proces voor de marktprijs voor risico, φ : [0, τ ] × Ω → R datvoorspelbaar en begrensd is. We veronderstellen ook dat de driftvoorwaarde van de voor-waartse rentevoet voldaan is (zie Propositie 3):
α(t, T ) = −σφ(t) + σ2(T − t) voor alle T ∈ [0, τ ] en t ∈ [0, T ]. (2.35)
Het is gemakkelijk om na te gaan dat Voorwaarden 2 t.e.m. 7 voldaan zijn. De Voorwaarden 2en 3 gelden wegens het veronderstelde en gelet op het feit dat σ een strikt postitieve constanteis. De Voorwaarde 5 en 6 gelden eveneens doordat σ een constante is. Voor Voorwaarde 5 zijnde γi(t) = φ(t), dus deze bestaan. Voorwaarde 6 is voldaan omdat a(t, T ) = −σ(T − t) 6= 0,daar σ > 0 en Voorwaarde 7 tenslotte is eveneens voldaan daar we α(t, T ) gedefinieerd hebbenzoasl in de driftvoorwaarde in Propositie 3.De waardebepaling van de afgeleide producten kan als gevolg gebeuren zoals in paragraaf 2.4.Eerst analyseren we het voorwaartse rentevoetproces, het ogenblikkelijke rentevoetproces ende obligatieprijsprocessen in detail.Onder de equivalente martingaalmaat en in termen van zijn Brownse beweging (2.12), is hetstochastisch proces voor de voorwaartse rentevoet
f(t, T ) = f(0, T ) +
ˆ t
0α(ν, T ) dν +
n∑i=1
ˆ t
0σ dW (ν) zie (2.1)
= f(0, T ) +
ˆ t
0α(ν, T ) dν + σW (t)
= f(0, T ) +
ˆ t
0α(ν, T ) dν + σ
(W (t) +
ˆ t
0φ(ν) dν
)zie Lemma 3(b)
= f(0, T )− σˆ t
0φ(ν) dν + σ2
ˆ t
0(T − ν) dν + σW (t) + σ
ˆ t
0φ(ν) dν
= f(0, T ) + σ2t(T − t
2) + σW (t). (2.36)
Onder deze voorwaarde kunnen de voorwaartse rentevoeten negatief zijn met positieve kans.Het stochastische ogenblikkelijke rentevoetproces onder de equivalente martingaalmaat is
r(t) = f(t, t) = f(0, t) + σW (t) +1
2σ2t2. (2.37)
De ogenblikkelijke rentevoeten kunnen ook negatief zijn met positieve kans.De dynamiek van de prijs van de obligaties over de tijd wordt bekomen door de uitdrukking
30
(2.36) te substitueren in de uitdrukking (1.2):
B(t, T ) = exp
−ˆ T
tf(t, y) dy
= exp
−ˆ T
t[f(0, y) + σ2t(y − t
2) + σW (t)] dy
= exp
(−ˆ T
tf(0, y) dy
)exp
(−σ2t
ˆ T
t(y − t
2) dy
)exp
(−σW (t)(T − t)
)= exp
(−ˆ T
0f(0, y) dy
)exp
(ˆ t
0f(0, y) dy
)× exp
(−σ
2
2t
[(T − t
2
)2
−(t
2
)2])
exp(−σW (t)(T − t)
)=
B(0, T )
B(0, t)exp
−σ
2
2Tt(T − t)− σ(T − t)W (t)
. (2.38)
Vervolgens beschouwen we een Europese calloptie op de obligatie B(t, T ) met een uitoefenprijsK en maturiteit t∗ waarbij 0 ≤ t ≤ t∗ ≤ T . Stel dat C(t) de waarde is van deze calloptie optijd t. De cash flow van de calloptie op maturiteit t∗ is:
C(t∗) = max(B(t∗, T )−K, 0) = (B(t∗, T )−K)+ . (2.39)
Uit paragraaf 2.4 weten we dat de waarde van de calloptie op tijd t gegeven wordt door derisiconeutrale prijsbepalingsformule:
C(t) = R(t)E[
(B(t∗, T )−K)+
R(t∗)|F(t)
](2.40)
Een expliciete berekening, gebruik makend van normaalverdeelde stochastische veranderlijken,toont aan dat de uitdrukking (2.40) te vereenvoudigen is.We gaan tweemaal over van de martingaalmaat P naar een andere gepaste maat. Eerstdrukken we de waarde van de obligatie B(t, T ) uit in eenheden van B(t, t∗). We werken dusmet de t∗-voorwaartse maat PB(t,t∗):
PB(t,t∗)(A) =1
B(0, t∗)
ˆA
1
R(t∗)dP, met A ∈ F .
We zoeken, met behulp van de stelling van Girsanov, een Brownse beweging onder dezekansmaat PB(t,t∗). Uit de definitie van de kansmaat weten we dat de Radon-Nikodymafgeleidegelijk moet zijn aan:
Q = Q(t∗) =1
B(0, t∗)R(t∗)=
1
B(0, t∗)
B(t∗, t∗)
R(t∗)=
1
B(0, t∗)Z(t∗, t∗).
Stel dan voor 0 ≤ t ≤ t∗ ≤ T :
Q(t) =1
B(0, t∗)Z(t, t∗).
Volgens de stelling van Girsanov moet
dQ(t) = −θ(t)Q(t)dW (t)
31
met θ(t) een aangepast proces, zodat WB(t,t∗)(t) = W (t) +´ t
0 θ(ν) dν een Brownse bewegingis. Uit het bewijs van Lemma 3 weten we dat
dZ(t, t∗) = Z(t, t∗)a(t, t∗) dW (t),
met
a(t, t∗) = −ˆ t∗
tσ dν = −σ(t∗ − t).
Dus
dQ(t) = d
(1
B(0, t∗)Z(t, t∗)
)=
1
B(0, t∗)dZ(t, t∗)
= − 1
B(0, t∗)σ(t∗ − t)Z(t, t∗)dW (t)
= −σ(t∗ − t)Q(t)dW (t).
Anders gezegd is
d lnQ(t) =1
Q(t)dQ(t)− 1
2
1
Q2(t)dQ(t)dQ(t)
= −σ(t∗ − t)dW (t)− 1
2σ2(t∗ − t)dt, en
Q(t) = Q(0) exp
−σˆ t
0(t∗ − ν) dW (ν)− 1
2σ2
ˆ t
0(t∗ − ν) dν
.
Hieruit volgt dat θ(t) = −σ(t∗ − t) en dus dat
WB(t,t∗)(t) = W (t) +
ˆ t
0σ(t∗ − ν) dν
= W (t) + σt(t∗ − t
2)
een Brownse beweging is onder PB(t,t∗).We drukken de obligatieprijs B(t, T ) uit in eenheden van B(t, t∗):
32
B(t, T )
B(t, t∗)=
B(0,T )B(0,t) exp
−σ2
2 Tt(T − t)− σ(T − t)W (t)
B(0,t∗)B(0,t) exp
−σ2
2 t∗t(t∗ − t)− σ(t∗ − t)W (t)
=
B(0, T )
B(0, t∗)exp
−σ
2
2[Tt(T − t)− t∗t(t∗ − t)]− σ(T − t∗)W (t)
=
B(0, T )
B(0, t∗)exp
−σ
2
2[Tt(T − t)− t∗t(t∗ − t)]− σ(T − t∗)[WB(t,t∗)(t)− σt(t∗ − t
2)]
=
B(0, T )
B(0, t∗)exp
−σ
2
2[Tt(T − t)− t∗t(t∗ − t)] + σ2(T − t∗)t(t∗ − t
2)
−σ(T − t∗)WB(t,t∗)(t)
=B(0, T )
B(0, t∗)exp
−σ
2
2[Tt(T − t)− t∗t(t∗ − t)− 2(T − t∗)t(t∗ − t
2)]
−σ(T − t∗)WB(t,t∗)(t)
=B(0, T )
B(0, t∗)exp
−1
2σ2(T − t∗)2t− σ(T − t∗)WB(t,t∗)(t)
. (2.41)
Deze heeft een lognormale verdeling onder PB(t,t∗) voor alle t.We nemen nu de obligatie B(t, T ) als numeraire, dan wordt de risiconeutrale maat voor dezenumeraire gegeven door
PB(t,T )(A) =1
B(0, T )
ˆA
1
R(T )dP, met A ∈ F .
De redenering is analoog aan de eerste maatovergang waarbij we nu t∗ vervangen door T . Webekomen
B(t, t∗)
B(t, T )=B(0, t∗)
B(0, T )exp
σ(T − t∗)WB(t,T )(t)− 1
2σ2(T − t∗)2t
. (2.42)
Deze heeft eveneens een lognormale verdeling, maar nu onder PB(t,T ), de maat waaronderWB(t,T )(t) een Brownse beweging is. De waarde van de calloptie gegeven door de risiconeu-traleprijsbepalingsformule voor t ∈ [0, t∗] is:
33
C(t) = R(t)E[
(B(t∗, T )−K)+
R(t∗)|F(t)
]= R(t)E
[B(t∗, T )
R(t∗)IB(t∗,T )>K|F(t)
]−KR(t)E
[1
R(t∗)IB(t∗,T )>K|F(t)
]= R(t)
B(t, T )
R(t)EB(t,T )
[IB(t∗,T )>K|F(t)
]−KR(t)E
[B(t∗, t∗)
R(t∗)IB(t∗,T )>K|F(t)
]Wegens de regel van Bayes voor conditionele verwachtingswaarden bij
overgang op een nieuwe maat (Stelling 1)
= B(t, T )EB(t,T )[IB(t∗,T )>K|F(t)
]−KR(t)
B(t, t∗)
R(t)EB(t,t∗)
[IB(t∗,T )>K|F(t)
]Opnieuw wegens de regel van Bayes (Stelling 1)
= B(t, T )EB(t,T )[IB(t∗,T )>K|F(t)
]−KB(t, t∗)EB(t,t∗)
[IB(t∗,T )>K|F(t)
]= B(t, T )PB(t,T )B(t∗, T ) > K|F(t) −KB(t, t∗)PB(t,t∗)B(t∗, T ) > K|F(t)
= B(t, T )PB(t,T )
B(t∗, T )
B(t∗, t∗)> K|F(t)
−KB(t, t∗)PB(t,t∗)
B(t∗, T )
B(t∗, t∗)> K|F(t)
= B(t, T )PB(t,T )
B(t∗, t∗)
B(t∗, T )<
1
K|F(t)
−KB(t, t∗)PB(t,t∗)
B(t∗, T )
B(t∗, t∗)> K|F(t)
.
(2.43)
We berekenen deze kansen. Vooreerst vinden we, gelet op (2.42)
PB(t,T )
B(t∗, t∗)
B(t∗, T )<
1
K|F(t)
= PB(t,T )
B(0, t∗)
B(0, T )exp
σ(T − t∗)WB(t,T )(t∗)− 1
2σ2(T − t∗)2t∗
<
1
K|F(t)
,
waarbij opnieuw wegens (2.42)
B(0, t∗)
B(0, T )=B(t, t∗)
B(t, T )exp
−σ(T − t∗)WB(t,T )(t) +
1
2σ2(T − t∗)2t
.
Dus
PB(t,T )
B(t∗, t∗)
B(t∗, T )<
1
K|F(t)
= PB(t,T )
B(t, t∗)
B(t, T )exp
σ(T − t∗)[WB(t,T )(t∗)− WB(t,T )(t)]− 1
2σ2(T − t∗)2[t∗ − t]
<
1
K|F(t)
B(t,t∗)B(t,T ) is F(t)-meetbaar en exp
σ(T − t∗)[WB(t,T )(t∗)− WB(t,T )(t)]− 1
2σ2(T − t∗)2[t∗ − t]
is onafhankelijk van F(t) daar de toekomstige toenames van Brownse bewegingen WB(t,T )(t∗)−WB(t,T )(t) F(t)-onafhankelijk zijn. Bijgevolg geldt
34
PB(t,T )
B(t∗, t∗)
B(t∗, T )<
1
K|F(t)
= PB(t,T )
B(t, t∗)
B(t, T )exp
σ(T − t∗)[WB(t,T )(t∗)− WB(t,T )(t)]− 1
2σ2(T − t∗)2[t∗ − t]
<
1
K
= PB(t,T )
σ(T − t∗)[WB(t,T )(t∗)− WB(t,T )(t)]− 1
2σ2(T − t∗)2[t∗ − t] < ln
B(t, T )
B(t, t∗)K
= PB(t,T )
WB(t,T )(t∗)− WB(t,T )(t)√t∗ − t
<ln B(t,T )
B(t,t∗)K + 12σ
2(T − t∗)2(t∗ − t)σ(T − t∗)
√t∗ − t
= PB(t,T )
WB(t,T )(t∗)− WB(t,T )(t)√
t∗ − t< h
= Φ(h).
Hierbij is Φ(·) de cumulatieve standaardnormale verdeling en
h =ln B(t,T )
B(t,t∗)K + 12σ
2(T − t∗)2(t∗ − t)σ(T − t∗)
√t∗ − t
,
aangezien WB(t,T )(t∗)− WB(t,T )(t), als toename van Brownse bewegingen, normaal verdeeldis met gemiddelde nul en variantie t∗ − t.De andere kans berekenen we analoog, nu gebruik makend van (2.41)
PB(t,t∗)
B(t∗, T )
B(t∗, t∗)> K|F(t)
= PB(t,t∗)
B(0, T )
B(0, t∗)exp
−σ(T − t∗)WB(t,t∗)(t∗)− 1
2σ2(T − t∗)2t∗
> K|F(t)
,
waarbij opnieuw wegens (2.41)
B(0, T )
B(0, t∗)=B(t, T )
B(t, t∗)exp
σ(T − t∗)WB(t,t∗)(t) +
1
2σ2(T − t∗)2t
.
Dus
PB(t,t∗)
B(t∗, T )
B(t∗, t∗)> K|F(t)
= PB(t,t∗)
B(t, T )
B(t, t∗)exp
−σ(T − t∗)[WB(t,t∗)(t∗)− WB(t,t∗)(t)]− 1
2σ2(T − t∗)2[t∗ − t]
> K|F(t)
B(t,T )B(t,t∗) is F(t)-meetbaar en exp
−σ(T − t∗)[WB(t,t∗)(t∗)− WB(t,t∗)(t)]− 1
2σ2(T − t∗)2[t∗ − t]
is onafhankelijk van F(t) daar de toekomstige toenames van Brownse bewegingen WB(t,t∗)(t∗)−WB(t,t∗)(t) F(t)-onafhankelijk zijn. Bijgevolg geldt
35
PB(t,t∗)
B(t∗, T )
B(t∗, t∗)> K|F(t)
= PB(t,t∗)
B(t, T )
B(t, t∗)exp
−σ(T − t∗)[WB(t,t∗)(t∗)− WB(t,t∗)(t)]− 1
2σ2(T − t∗)2[t∗ − t]
> K
= PB(t,t∗)
−σ(T − t∗)[WB(t,t∗)(t∗)− WB(t,t∗)(t)]− 1
2σ2(T − t∗)2(t∗ − t) > ln
B(t, t∗)K
B(t, T )
= PB(t,t∗)
σ(T − t∗)[WB(t,t∗)(t∗)− WB(t,t∗)(t)] +
1
2σ2(T − t∗)2(t∗ − t) < ln
B(t, T )
B(t, t∗)K
= PB(t,t∗)
WB(t,t∗)(t∗)− WB(t,t∗)(t)√t∗ − t
<ln B(t,T )
B(t,t∗)K −12σ
2(T − t∗)2(t∗ − t)σ(T − t∗)
√t∗ − t
= PB(t,t∗)
WB(t,t∗)(t∗)− WB(t,t∗)(t)√
t∗ − t< h− σ(T − t∗)
√t∗ − t
= Φ
(h− σ(T − t∗)
√t∗ − t
).
Ook hier is WB(t,t∗)(t∗)−WB(t,t∗)(t) normaal verdeeld met gemiddelde nul en variantie t∗− t.Substitueren we de bekomen kansen in (2.43), dan bekomen we de vereenvoudigde uitdrukkingvoor (2.40)
C(t) = B(t, T )Φ(h)−KB(t, t∗)Φ(h− σ(T − t∗)
√t∗ − t
)(2.44)
met
h =ln(
B(t,T )B(t,t∗)K
)+ 1
2σ2(T − t∗)2(t∗ − t)
σ(T − t∗)√t∗ − t
(2.45)
en Φ(·) de cumulatieve standaardnormale verdeling.Of meer algemeen:
C(t) = B(t, T )Φ(h)−KB(t, t∗)Φ(h− q), (2.46)
met
h =1
q
[ln
(B(t, T )
KB(t, t∗)
)+
1
2q2
](2.47)
enq2 = σ2(T − t∗)2(t∗ − t).
De waarde van de obligatieoptie wordt dus gegeven door een aangepaste Black-Scholes for-mule. De parameter σ(T −t∗) is niet gelijk aan de variantie van het ogenblikkelijke rendementop de obligatie met maturiteit T , maar is equivalent met de variantie van het ogenblikkelijkerendement op de t∗-voorwaartse prijs van een obligatie met maturiteit T : B(t,T )
B(t,t∗) . Als we q2 na-
der bekijken dan zien we dat deze uitdrukking gelijk is aan de variantie van ln(B(t,T )B(t,t∗)
B(t∗,t∗)B(t∗,T )
).
Dit feit gebruiken we in het volgende voorbeeld.
Voor het tweede voorbeeld veronderstellen we dat de voorwaartse rentevoeten voldoen aanVoorwaarde 2 met de volatiliteiten σ1(t, T, ω) ≡ σ1 > 0 en σ2(t, T, ω) ≡ σ2 exp
(−λ
2 (T − t))>
0 waarbij σ1, σ2, λ strikt positieve constanten zijn, dit wil zeggen
df(t, T ) = α(t, T ) dt+ σ1 dW1(t) + σ2 exp
(−λ
2(T − t)
)dW2(t)
voor alle T ∈ [0, τ ] en t ∈ [0, T ].
(2.48)
36
Hier worden de ogenblikkelijke veranderingen in voorwaartse rentevoeten veroorzaakt doortwee stochastische bronnen. De eerste, W1(t)| t ∈ [0, τ ], kan geınterpreteerd worden alsde ‘lange termijn’ factor, daar hij alle voorwaartse rentevoeten uniform gelijk verdeelt. Detweede, W2(t)| t ∈ [0, τ ], beınvloedt de voorwaartse rentevoeten met korte maturiteit meerdan lange termijn rentevoeten en kunnen geınterpreteerd worden als een spread tussen een‘korte’ en ‘lange termijn’ factor.De volatiliteitsfuncties zijn strikt positief en begrensd. Gelet op (2.6) is
ai(t, T ) = −ˆ T
tσi(t, ν) dν voor i = 1, . . . , n
en is de matrix [a1(t, S) a2(t, S)a1(t, T ) a2(t, T )
]=
[−σ1(S − t) 2
λσ2(e−λ2
(S−t) − 1)
−σ1(T − t) 2λσ2(e−
λ2
(T−t) − 1)
](2.49)
niet-singulier voor alle t, S, T ∈ [0, τ ] waarvoor t ≤ S < T .We nemen willekeurig twee begrensde, voorspelbare processen vast voor de marktprijzen voorrisico, φi : [0, τ ] × Ω → R voor i = 1, 2. Om te verzekeren dat de processen vrij zijn vanarbitrage stellen we (cfr. Propositie 3):
α(t, T ) = −σ1φ1(t)− σ2e−λ
2(T−t)φ2(t) + σ2
1(T − t)− 2σ2
2
λe−
λ2
(T−t)(e−
λ2
(T−t) − 1). (2.50)
Het bovenstaande voorwaartse rentevoetproces voldoet aan Voorwaarde 2 t.e.m. 7. Onder demartingaalmaat P en zijn Brownse bewegingen W1(t), W2(t)| t ∈ [0, τ ], is het voorwaartserentevoetproces gelijk aan (zie (2.48) gecombineerd met (2.21)) :
f(t, T ) = f(0, T ) +
ˆ t
0α(ν, T ) dν +
ˆ t
0σ1 dW1(ν) +
ˆ t
0σ1φ1(ν) dν
+
ˆ t
0σ2e−λ
2(T−ν) dW2(ν) +
ˆ t
0σ2e−λ
2(T−ν)φ2(ν) dν
= f(0, T )− σ1
ˆ t
0φ1(ν) dν − σ2
ˆ t
0e−
λ2
(T−ν)φ2(ν) dν + σ21
ˆ t
0(T − ν) dν
−2σ2
2
λ
ˆ t
0e−
λ2
(T−ν)(e−
λ2
(T−ν) − 1)dν + σ1W1(t) + σ1
ˆ t
0φ1(ν) dν
+σ2
ˆ t
0e−
λ2
(T−ν) dW2(ν) + σ2
ˆ t
0e−
λ2
(T−ν)φ2(ν) dν
= f(0, T ) + σ21t(T −
t
2)− 2
(σ2
λ
)2[e−λT (eλt − 1)− 2e−
λ2T (e
λ2t − 1)]
+σ1W1(t) + σ2
ˆ t
0e−
λ2
(T−ν) dW2(ν). (2.51)
Deze uitdrukking toont aan dat de voorwaartse rentevoeten negatief kunnen zijn met positievekans. Het ogenblikkelijk rentevoetproces volgt een eenvoudiger proces:
r(t) = f(t, t)
= f(0, t) +1
2σ2
1t2 − 2
(σ2
λ
)2[(1− e−λt)− 2(1− e−
λ2t)] + σ1W1(t)
+σ2
ˆ t
0e−
λ2
(t−ν) dW2(ν). (2.52)
37
De dynamiek van de obligatieprijs wordt gegeven door (2.51) te substitueren in (1.2):
B(t, T ) = exp
−ˆ T
tf(t, y) dy
= exp
−ˆ T
tf(0, y) dy − σ2
1t
ˆ T
t(y − t
2) dy + 2
σ22
λ2
ˆ T
te−λy(eλt − 1) dy
−4σ2
2
λ2
ˆ T
te−
λ2y(e
λ2t − 1) dy − σ1W1(t)(T − t)− σ2
ˆ T
t
ˆ t
0e−
λ2
(y−ν) dW2(ν) dy
=
B(0, T )
B(0, t)exp
−1
2σ2
1tT (T − t) + 2σ2
2
λ2(eλt − 1)
ˆ T
te−λy dy
−4σ2
2
λ2(e
λ2t − 1)
ˆ T
te−
λ2y dy − σ1W1(t)(T − t)− σ2
ˆ T
te−
λ2y dy
ˆ t
0eλ2ν dW2(ν)
=
B(0, T )
B(0, t)exp
−1
2σ2
1tT (T − t)− 2σ2
2
λ3(eλt − 1)(e−λT − e−λt)
+8σ2
2
λ3(e
λ2t − 1)(e−
λ2T − e−
λ2t)− σ1W1(t)(T − t) + 2
σ2
λ(e−
λ2T − e−
λ2t)
ˆ t
0eλ2ν dW2(ν)
.(2.53)
Ananloog aan het eerste voorbeeld kunnen we de waarde van een Europese calloptie berekenenop de obligatie B(t, T ) met een uitoefenprijs K en een maturiteit t∗ waarbij 0 ≤ t ≤ t∗ ≤T . Stel C(t) de waarde van deze calloptie op tijd t. De waarde is via de risiconeutraleprijsbepalingsformule gelijk aan
C(t) = R(t)E[
(B(t∗, T )−K)+
R(t∗)|F(t)
]Deze uitdrukking valt, door maatovergangen analoog aan het eerste voorbeeld, te vereenvou-digen tot
C(t) = B(t, T )Φ(h)−KB(t, t∗)Φ(h− q),
met
h =1
q
[ln
(B(t, T )
KB(t, t∗)
)+
1
2q2
]en Φ(·) de cumulatieve standaardnormale verdeling.
Om de waarde van q2 in deze uitdrukking te bepalen zoeken we de variantie van ln(B(t,T )B(t,t∗)
B(t∗,t∗)B(t∗,T )
).
Hiervoor hoeven we enkel de termen met de Brownse bewegingen in beschouwing te nemen.De coefficienten van deze Brownse bewegingen wijzigen niet door overgang naar een anderemaat dus beschouwen we de risiconeutrale maat. Gelet op (2.53) bekomen we de volgendeuitdrukkingen:
B(t, T )
B(t, t∗)=B(0, T )
B(0, t∗)exp
(. . .)dt− σ1(T − t∗)W1(t) + 2
σ2
λ(e−
λ2T − e−
λ2t∗)
ˆ t
0eλ2ν dW2(ν)
en
B(t, T )
B(t, t∗)
B(t∗, t∗)
B(t∗, T )
= exp
(. . .)dt+ σ1(T − t∗)[W1(t∗)− W1(t)]− 2
σ2
λ(e−
λ2T − e−
λ2t∗)
ˆ t∗
teλ2ν dW2(ν)
.
38
Nemen we nu de variantie, dan bekomen we het volgende, gebruik makend van het feit datW1(t∗)− W1(t) normaal verdeeld is met gemidddelde 0 en variantie t∗− t en de Ito-isometrie(Stelling 5).
Var ln
(B(t, T )
B(t, t∗)
B(t∗, t∗)
B(t∗, T )
)= σ2
1(T − t∗)2(t∗ − t) + 4σ2
2
λ2(e−
λ2T − e−
λ2t∗)2E
[ˆ t∗
teλν dν
]
= σ21(T − t∗)2(t∗ − t) + 4
σ22
λ3(e−
λ2T − e−
λ2t∗)2(eλt
∗ − eλt).
Hiermee hebben we de uitdrukking voor q2 aangetoond. De waarde van de calloptie is dusgelijk aan
C(t) = B(t, T )Φ(h)−KB(t, t∗)Φ(h− q),
met
h =1
q
[ln
(B(t, T )
KB(t, t∗)
)+
1
2q2
]q2 = σ2
1(T − t∗)2(t∗ − t) + 4σ2
2
λ3(e−
λ2T − e−
λ2t∗)2(eλt
∗ − eλt)
en Φ(·) de cumulatieve standaardnormale verdeling.
2.6 Een klasse van stochastische differentiaalvergelijkingen
De vorige paragraaf 2.5 bevat enkele voorbeelden van voorwaartse rentevoetprocessen dievoldoen aan Voorwaarden 2 t.e.m. 7. Deze processen hebben deterministische volatiliteiten dieonafhankelijk zijn van de toestand ω ∈ Ω. Deze paragraaf stelt een klasse voor van processenmet de volatiliteiten afhankelijk van ω ∈ Ω. Deze klasse van processen kan beschreven wordenals de oplossingen (als deze bestaan) van de volgende stochastische integraalvergelijking metbeperkte drift:
f(t, T )− f(0, T ) =
ˆ t
0α(ν, T, ω) dν +
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, T, f(ν, T )) dWi(ν) voor alle 0 ≤ t ≤ T
(2.54)waarbij
α(ν, T, ω) ≡ −n∑i=1
σi(ν, T, f(ν, T ))
(φi(ν)−
ˆ T
νσi(ν, y, f(ν, y)) dy
)voor alle T ∈ [0, τ ],
σi : (t, S) : 0 ≤ t ≤ S ≤ T × R→ R gezamelijk meetbaar is en voldoet aan
ˆ T
0σ2i (t, T, f(t, T )) dt < +∞ b.z. P voor i = 1, . . . , n
en φi : Ω× [0, τ ]→ R is een begrensd voorspelbaar proces voor i = 1, . . . , n.We bestuderen nu de voldoende voorwaarden op de volatiliteitsfuncties zodat er sterke op-lossingen voor deze klasse van stochastische differentiaalvergelijkingen bestaan. Het continuetijd analogon van het model van Ho en Lee (1986) zoals gegeven wordt in (2.36) is een bij-zonder geval van deze stelling. Verder geven we ook het voorbeeld van een proportionele
39
volatiliteitsfunctie om aan te tonen dat bijkomende veronderstellingen nodig zijn.Een belangrijke stap in het bewijzen van de existentiestelling is het volgende lemma, datzegt dat het bestaan van een klasse van voorwaartse rentevoetprocessen in de initiele econo-mie gegarandeerd is als en slechts als het gegarandeerd is in een equivalente risiconeutraleeconomie.
Lemma 7 (Het bestaan in een risiconeutrale economie). De processen f(t, T ) : T ∈[0, τ ] voldoen aan (2.54) met γi(t;S1, . . . , Sn) = φi(t) voor alle 0 ≤ t < S1 < . . . < Sn ≤ τen i=1,. . . ,n.
als en slechts als
Het proces α(·, T ) : T ∈ [0, τ ], gedefinieerd door
α(t, T ) =
n∑i=1
σi(t, T, f(t, T ))
ˆ T
tσi(t, ν, f(t, ν)) dν
voor alle T ∈ [0, τ ], voldoet aan (2.51) met α(t, T ) in de plaats van α(t, T ), Wi(t) in de
plaats van Wi(t), waarbij(Wi(t)
)t≥0≡(Wi(t)−
´ t0 φi(ν) dν
)t≥0
een Brownse beweging is
met betrekking tot
(Ω,F , P), F(t) : t ∈ [0, τ ]
en P in de plaats van P, waarbij
dPdP
= exp
n∑i=1
ˆ T
0φi(t) dWi(t)−
1
2
n∑i=1
ˆ T
0φ2i (t) dt
.
Bewijs. Dit is een rechtstreekse toepassing van de stelling van Girsanov met (−φ1(t), . . . ,−φn(t))als n-dimensionaal aangepast proces. Dan zijn onder de kansmaat P, gedefinieerd door
dPdP
= exp
n∑i=1
ˆ T
0φi(t) dWi(t)−
1
2
n∑i=1
ˆ T
0φ2i (t) dt
,
(Wi(t) = Wi(t)−
´ t0 φi(ν) dν
)t≥0
onafhankelijke Brownse bewegingen voor i = 1, . . . , n. Bo-
vendien geldt
f(t,T )− f(0, T )
=
ˆ t
0α(ν, T, ω) dν +
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, T, f(ν, T )) dWi(ν)
= −n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, T, f(ν, T ))φ(ν) dν +
ˆ t
0
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, T, f(ν, T ))
ˆ T
νσi(ν, y, f(ν, y)) dy dν
+
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, T, f(ν, T )) dWi(ν) +
ˆ t
0σi(ν, T, f(ν, T ))φi(ν) dν
=
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, T, f(ν, T ))
ˆ T
νσi(ν, y, f(ν, y)) dy dν +
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, T, f(ν, T )) dWi(ν)
=
ˆ t
0α(ν, T, f(ν, T )) dν +
n∑i=1
ˆ t
0σi(ν, T, f(ν, T )) dWi(ν),
40
met
α(t, T ) =n∑i=1
σi(t, T, f(t, T ))
ˆ T
tσi(t, ν, f(t, ν)) dν
en
Wi(t) = Wi(t)−ˆ t
0φi(ν) dν.
Samen hiermee brengt het volgende lemma de existentiestelling voort, die gegeven wordtin Propositie 4.
Lemma 8 (Het bestaan van voorwaartse rentevoeten). Stel σi : (t, s) : 0 ≤ t ≤s ≤ T × R → R voor i = 1, . . . , n Lipschitz-continu in het laatste argument, niet-negatiefen begrensd. Zij (Ω,F , P) een equivalente kansruimte met W1(t), . . . , Wn(t) : t ∈ [0, τ ]onafhankelijke Brownse bewegingen. Dan bestaat er een gezamenlijk continue functie f(·, ·)die voldoet aan (2.54) met Wi(t) in plaats van Wi(t) en
α(t, T ) =
n∑i=1
σi(t, T, f(t, T ))
ˆ T
tσi(t, ν, f(t, ν)) dν voor alle T ∈ [0, τ ]
in plaats van α(t, T ).
Bewijs. Het bewijs van dit lemma vindt men in Morton (1988).
De veronderstellingen in Lemma 8 verschillen van de standaardveronderstellingen die hetbestaan van sterke oplossingen voor differentiaalvergelijkingen garanderen, door de voor-waarde dat de volatiliteitsfuncties begrensd moeten zijn.
Propositie 4 (Het bestaan van driftprocessen voor arbitragevrije voorwaartse ren-tevoeten). Stel dat φi : [0, τ ]×Ω→ R begrensde, voorspelbare processen zijn voor i = 1, . . . , n.Stel dat σi : (t, s) : 0 ≤ t ≤ s ≤ T × R→ R voor i = 1, . . . , n Lispschitz-continu zijn in hetlaatste argument, niet-negatief en begrensd. Dan bestaat een gezamenlijk coninu voorwaartsrentevoetproces dat voldoet aan de voorwaarde (2.54).
Samen met Voorwaarde 6 over niet-singulariteit bepaalt deze propositie voldoende voor-waarden opdat er een klasse van voorwaartse rentevoetprocessen bestaat die voldoen aanVoorwaarden 2 t.e.m. 7. Deze voldoende voorwaarden zijn eenvoudig te controleren in toe-passingen.Om na te gaan of de nodige begrensdheid in Propositie 4 niet kan worden afgezwakt beschou-wen we het bijzondere geval van een enkelvoudige Brownse beweging met σ1(t, T, f(t, T )) ≡σ · f(t, T ) voor een vaste constante σ > 0. Deze volatiliteitsfunctie is positief en Lipschitz-continu, maar niet begrensd. Voor deze volatiliteitsfunctie impliceert de niet-abitragevoorwaardeuit Propositie 4 met φi(t) ≡ 0 dat het voorwaartse rentevoetproces moet voldoen aan:
f(t, T ) = f(0, T ) exp
σ2
ˆ t
0
ˆ T
νf(ν, y) dydν
exp
−σ
2t
2+ σW (t)
voor alle T ∈ [0, τ ] en t ∈ [0, T ].
(2.55)
41
Bewijs van (2.55). Voor φi(t) = 0 en σ1(t, T, f(t, T )) = σ · f(t, T ) geldt
α(ν, T, ω) = σf(ν, T )
ˆ T
νσf(ν, y) dy = σ2f(ν, T )
ˆ T
νf(ν, y) dy
en vergelijking (2.54) wordt
f(t, T )− f(0, T ) = σ2
ˆ t
0f(ν, T )
ˆ T
νf(ν, y) dy dν + σ
ˆ t
0f(ν, T ) dW (ν).
In differentiaalvorm wordt dit
df(t, T ) = σ2f(t, T )
ˆ T
tf(t, y) dy + σf(t, T )dW (t).
We passen het lemma van Ito toe op ln f(t, T ):
d ln f(t, T ) =1
f(t, T )df(t, T )− 1
2
1
f2(t, T )df(t, T )df(t, T )
= σ2
ˆ T
tf(t, y) dy + σdW (t)− 1
2σ2dt.
We integreren van 0 tot t
ˆ t
0d ln f(ν, T ) = σ2
ˆ t
0
ˆ T
νf(ν, y) dy dν + σ
ˆ t
0dW (ν)− σ2
2
ˆ t
0dν
ln f(t, T )− ln(0, T ) = σ2
ˆ t
0
ˆ T
νf(ν, y) dy dν + σW (t)− σ2
2t,
en nemen tenslotte de exponenteniele hiervan
f(t, T ) = f(0, T ) exp
σ2
ˆ t
0
ˆ T
νf(ν, y) dy dν
exp
−σ
2
2t+ σW (t)
.
Er kan echter worden aangetoond dat er geen eindige oplossing bestaat voor de uitdruk-king (2.55) (Morton, 1988). Er kan worden aangetoond dat onder (2.55), in eindige tijd, devoorwaartse rentevoeten exploderen met positieve kans voor de martingaalmaat, en dus ookvoor elke equivalente kansmaat. Oneindige voorwaartse rentevoeten brengen prijzen voortvan obligaties met prijs 0 die op maturiteit 1 opleveren en dus mogelijkheden tot arbitrage.Het voorwaartse rentevoetproces dat gegeven wordt in (2.55) is in bepaalde opzichten hetmeest eenvoudige model dat consistent is met niet-negatieve voorwaartse rentevoeten. Hetfeit dat dit proces in strijd is met de arbitragevrije obligatieprijzen doet de vraag rijzen naarhet algemene bestaan van een driftproces α(·, T ) : T ∈ [0, τ ] dat voldoet aan Voorwaarden2 t.e.m. 7 en met niet-negatieve voorwaartse rentevoeten. Het bestaansprobleem wordt op-gelost via een voorbeeld.Denk aan een combinatie van de twee vorige voorbeelden. Wanneer de voorwaartse rente-voeten klein zijn, heeft het proces een proportionele volatiliteit en wanneer de voorwaartserentevoeten groot zijn, heeft het proces een constante volatiliteit. Zoals we hiervoor heb-ben aangetoond gaan we ervan uit dat ook deze rentevoeten niet negatief kunnen worden of
42
naar oneindig gaan. Beschouw een enkelvoudige Brownse beweging met σ1(t, T, f(t, T )) =σmin(f(t, T ), λ) voor σ, λ > 0 positieve constanten. Deze volatiliteitsfunctie is positief,Lipschitz-continu en begrensd. Dus voor een willekeurige initiele voorwaartse rentevoetcurveverzekert Prospositie 4 het bestaan van een gezamelijk continue functie f(t, T ) die oplossingis van
df(t, T ) = α(t, T, f(t, T )) dt+ σ1(t, T, f(t, T )) dW (t)
met
α(t, T, f(t, T )) = −σmin(f(t, T ), λ)
ˆ T
tσmin(f(t, s), λ) ds,
enφi(t) = 0.
Dus van
df(t, T ) = σmin(f(t, T ), λ)
(ˆ T
tσmin(f(t, s), λ) ds
)dt+ σmin(f(t, T ), λ) dW (t). (2.56)
De volgende propositie garandeert dat dit voorwaarts rentevoetproces steeds positief blijftvoor elke strikt positieve initiele voorwaartse rentecurve.
Propositie 5 (Een niet-negatief voorwaarts rentevoetproces). Gegeven dat f(t, T )een oplossing is van de vergelijking (2.56) en gegeven een willekeurige initiele voorwaartserentevoetcurve f(0, t) > 0 voor alle t ∈ [0, τ ]. Dan is f(t, T ) ≥ 0 voor alle T ∈ [0, τ ] ent ∈ [0, τ ] met kans een.
Bewijs. Neem T0 vast. Beschouw
η(t) ≡ −σmin(f(t, T0), λ)
´ T0
t σmin(f(t, s), λ) ds
σmin(f(t, T0), λ)
= −ˆ T0
tσmin(f(t, s), λ) ds.
Daar σmin(f(t, T0), λ) begrensd is, is η(t) begrensd. Bijgevolg
E[exp
1
2
ˆ T0
0η2(t) dt
]< +∞.
Uit de stelling van Girsanov weten we dat er een equivalente kansmaat P bestaat, met
dPdP
= exp
ˆ T0
0η(ν) dW (ν)− 1
2
ˆ T0
0η2(ν) dν
en een Brownse beweging W gegeven door W (t) = W (t)−
´ t0 η(ν) dν zodat
df(t, T0) = σmin(f(t, T0), λ)
[ˆ T0
tσmin(f(t, s), λ) ds dt+ dW (t)
]= σmin(f(t, T0), λ) [dW (t)− η(t) dt]
= σmin(f(t, T0), λ) dW (t).
43
Hieruit volgt dat f(t, T0) een martingaal is onder P, met andere woorden
E[f(t, T0)] = f(0, T0) > 0, ∀t.
We hebben de initiele voorwaartse rentevoetcurve f(0, T0) strikt positief verondersteld.Definieer t0 = inft ∈ [0, T0] : f(t, T0) = 0. Als t0 ∈ [0, T0] dan is f(t0, T0) = 0. Er geldtimmers ook
E[f(t, T0)|F(t0)] = f(t0, T0) = 0, voor t ≥ t0.
Passen we hierop de toreneigenschap toe:
E[f(t, T0)] = E[E[f(t, T0)|F(t0)]
]= 0,
dan bekomen we een strijdigheid, want we hadden E[f(t, T0)] > 0 voor alle t. Nul is dus eenonbereikbare grens, volgens Karlin en Taylor (1981, Lemma 15.6.2) is dit equivalent met
P(t0 ≤ T0) = P(t0 ≤ T0) = 0.
Bovendien heeft f(t, T0) continue paden, dus moet f(t, T0) > 0 (b.o.). Stel dat Ti : i = 1, 2, 3, . . .de rationale getallen in [0, τ ] voorstellen:
P (f(t, Ti) = 0 voor een Ti en een t ∈ [0, Ti]) = P(∪+∞i=1 f(t, Ti) = 0 voor een t ∈ [0, Ti]
)≤
+∞∑i=1
P (f(t, Ti) = 0 voor een t ∈ [0, Ti])
= 0.
Door de gezamenlijke continuıteit van f(t, T ) is
P (f(t, T ) ≥ 0 voor alle T ∈ [0, τ ] en alle t ∈ [0, T ]) = 1.
Dit voorwaarts rentevoetproces is een mix van constante volatiliteit- en proportionele vo-latiliteitsmodellen. Door gebruik te maken van de uitdrukking (2.54) kunnen we gemakkelijkzien dat de voorwaartse driften α(·, T ) : T ∈ [0, τ ] zullen afhangen van het pad gevolgddoor de Brownse beweging. In de volgende paragraaf 2.7 wordt een ander voorwaarts rente-voetproces, consistent met niet-negatieve voorwaartse rentevoeten, voorgesteld.
2.7 De evenwichtsprijszetting versus de arbitrage prijszettings-methode
Het belangrijke verschil tussen de methode van Heath, Jarrow en Morton voor het waarderenvan afgeleide producten op de termijnstructuur van rentevoeten en die van Cox, Ingersoll enRoss (1992) is het verschil tussen, respectievelijk, de prijszettingsmethode vrij van arbitrageen die van evenwichtprijszetting. Om de relatie tussen deze twee benaderingen te verduide-lijken illustreren we hoe we het evenwicht, bekomen in het CIR-model, kunnen beschrijvenin het model van Heath, Jarrow en Morton. Het CIR-model is gebaseerd op een enkele
44
toestandsvariabele, voorgesteld door de ogenblikkelijke rentevoet r(t) voor t ∈ [0, τ ]. Dezerentevoet wordt verondersteld een vierkantswortelproces te volgen:
dr(t) = K(θ(t)− r(t)) dt+ σ√r(t) dW (t) (2.57)
waarbij r(0),K, σ strikt positieve constanten zijn, θ : [0, τ ]→ (0,+∞) is een continue functievan de tijd, W (t) : t ∈ [0, τ ] is een Brownse beweging beginnend bij 0 en 2Kθ(t) ≥ σ2 vooralle t ∈ [0, τ ].Een onderzoek van de grensvoorwaarden toont aan dat r(t) = 0 kan worden als σ2 > 2Kθ(t).Als 2Kθ(t) ≥ σ2 is de driftterm voldoende groot, zodat r(t) naar boven geduwd wordt, wegvan de oorsprong naar het evenwicht. Met als gevolg dat r(t) niet negatief kan worden. Devoorwaarde 2Kθ(t) ≥ σ2 voor alle t ∈ [0, τ ] garandeert dat nul een onbereikbare grens is voorde ogenblikkelijke rentevoeten. Alhoewel de stochastische differentiaalvergelijking (2.57) eenoplossing heeft, zie Feller (1951), heeft deze geen expliciete voorstelling. Cox, Ingersol enRoss tonen aan dat de dynamieken van de obligatieprijzen in evenwicht gelijk zijn aan:
dB(t, T ) = r(t) (1− λX(t, T ))B(t, T ) dt−X(t, T )B(t, T )σ√r(t) dW (t) (2.58)
waarbij λ een constante is,
X(t, T ) =2(eγ(T−t) − 1)
(γ +K + λ)(eγ(T−t) − 1) + 2γ(2.59)
enγ =
√(K + λ)2 + 2σ2.
De parameter λ is verbonden met de marktprijs voor risico, hier φ(t) = −λ√r(t)
σ . De markt-prijs voor risico moet van deze bepaalde vorm zijn. CIR geven de prijsprocessen voor deobligatie
B(t, T ) = exp
−Kˆ T
tθ(s)X(s, T ) ds
exp−X(t, T )r(t).
Hieruit kan men het voorwaarts rentevoetproces afleiden:
f(t, T ) = −∂ lnB(t, T )
∂T
= −∂[−K´ Tt θ(s)X(s, T ) ds−X(t, T )r(t)
]∂T
= Kθ(T )X(T, T ) +K
ˆ T
tθ(s)
∂X
∂T(s, T ) ds+ r(t)
∂X
∂T(t, T )
= r(t)∂X
∂T(t, T ) +K
ˆ T
tθ(s)
∂X
∂T(s, T ) ds. (2.60)
Voor t = T geldt immers
X(T, T ) =2(eγ(T−T ) − 1)
(γ +K + λ)(eγ(T−T ) − 1) + 2γ= 0. (2.61)
Met deze parameters gegeven heeft het CIR-model een voorgedefinieerde functionele vormvoor het voorwaarts rentevoetproces op tijd 0 gegeven door de uitdrukking (2.60). Om een
45
willekeurige maar gegeven initiele voorwaartse rentevoetcurve te matchen, suggereren CIRom de uitdrukking (2.60) te inverteren, wanneer t = 0 voor θ(t) : t ∈ [0, τ ] om zo deparameters uit het ogenblikkelijk rentevoetproces impliciet te bepalen door middel van deinitiele voorwaartse rentevoetcurve, zie Cox, Ingersoll en Ross (1992, p.395).CIR hebben nooit bewezen dat zo een omkering mogelijk is, met andere woorden dat er eenunieke oplossing θ(t) : t ∈ [0, τ ] bestaat van de uitdrukking (2.60) met t = 0.
Lemma 9. Als ∂f∂T (0, T )) : T ∈ [0, τ ] bestaat en continu is, dan bestaat er een unieke,continue oplossing van de uitdrukking (2.60).
Bewijs. Veronderstel dat f(0, T ) : T ∈ [0, τ ] twee maal continu afleidbaar is. Merk op dat
XT (t, T ) ≡ ∂X
∂T(t, T )
≡ 2γeγ(T−t)
(γ +K + λ)(eγ(T−t) − 1) + 2γ− 2(eγ(T−t) − 1)(γ +K + λ)γeγ(T−t)[
(γ +K + λ)(eγ(T−t) − 1) + 2γ]2
en
XTT (t, T ) ≡ ∂2X
∂T 2(t, T )
continu zijn op 0 ≤ t < T ≤ τ .Het geval t = T bekijken we afzonderlijk:
X(T, T ) = 0, zie (2.61)
en
XT (T, T ) =2γeγ(T−T )
2γ− 0 = 1.
De uitdrukking (2.60) met t = 0 is
f(0, T ) = r(0)XT (0, T ) +K
ˆ T
0θ(s)XT (s, T ) ds.
Afleiden naar T geeft
∂f
∂T(0, T ) = r(0)XTT (0, T ) +Kθ(T )XT (T, T ) +K
ˆ T
0θ(s)XTT (s, T )ds
⇒ 1
K
[∂f
∂T(0, T )− r(0)XTT (0, T )
]= θ(T ) +
ˆ T
0θ(s)XTT (s, T ) ds.
Dit is een Volterrra-integraalvergelijking van de tweede soort met een unieke continue oplos-sing θ(·) op [0, τ ], zie Taylor en Lay (1980, p.200).
Door gebruik te maken van benaderingsmethoden kunnen we aantonen dat de oplossingθ(s) : s ∈ [0, τ ] van de vergelijking (2.60) met t = 0 kan benaderd worden tot op elkegewenste orde van nauwkeurigheid, Taylor en Lay (1980, p.196-201). Toch is het CIR-modelniet consistent met alle initiele voorwaartse rentevoetcurven. Dit komt doordat 2Kθ(t) ≥ σ2
46
moet zijn voor alle t ∈ [0, τ ]. Inderdaad, beschouw de uitdrukking (2.60) beginnend bij t = 0.Substitutie hierin van de onbereikbare grensvoorwaarde en vereenvoudiging leidt tot
f(0, T ) = r(0)∂X
∂T(0, T ) +K
ˆ T
0θ(s)
∂X
∂T(s, T ) ds
≥ r(0)∂X
∂T(0, T )− 1
2σ2
ˆ T
0
∂X
∂s(s, T ) ds
want∂X
∂s=∂X
∂T
= r(0)∂X
∂T(0, T )− 1
2σ2[X(T, T )−X(0, T )]
= r(0)∂X
∂T(0, T ) +
1
2σ2X(0, T ). (2.62)
Niet alle voorwaartse rentevoetcurven zullen voldoen aan deze uitdrukking.In het kader van Heath, Jarrow en Morton kan het CIR termijnstructuurmodel geschrevenworden als
df(t, T ) = r(t)∂2X
∂T∂t(t, T ) dt+
∂X
∂T(t, T ) dr(t)−Kθ(t)∂X
∂T(t, T ) dt
= r(t)∂2X
∂T∂t(t, T ) dt+Kθ(t)
∂X
∂T(t, T ) dt−Kr(t)∂X
∂T(t, T ) dt
+σ√r(t)
∂X
∂T(t, T ) dW (t)−Kθ(t)∂X
∂T(t, T ) dt
= r(t)
(∂2X
∂t∂T(t, T )−K∂X
∂T(t, T )
)dt+
∂X
∂T(t, T )σ
√r(t) dW (t), (2.63)
waarbij, gelet op (2.60),
r(t) =f(t, T )−K
´ Tt θ(s)∂X∂T (s, T ) ds
∂X∂T (t, T )
,
f(0, T ) : T ∈ [0, τ ] een continu afleidbare, vaste, initiele voorwaartse rentevoetcurve is enθ : [0, τ ]→ (0,+∞) de unieke continue oplossing van (2.60) met t = 0 is.Om deze analyse te kunnen toepassen, moeten we zorgen dat Voorwaarden 2 t.e.m. 7 voldaanzijn. De Voorwaarden 2 t.e.m. 4 zorgen ervoor dat het obligatieprijsproces voldoet aan devergelijking (2.5). Gegeven deze vergelijking, garanderen Voorwaarden 5 en 6 dat voor elkevector van obligaties met maturiteiten S1, . . . , Sn er een equivalente martingaalkansmaatbestaat en uniek is. Voorwaarde 7 tenslotte garandeert dat de martingaalmaat dezelfde isvoor alle vectoren van obligaties. Deze voorwaarden zijn voldoende om alle afgeleide produc-ten te waarderen wanneer we vertrekken van voorwaartse rentevoeten.Als alternatief bepalen CIR het ogenblikkelijk rentevoetproces exogeen. Bijgevolg zijn ze instaat om ervoor te zorgen dat het obligatieprijsproces voldoet aan de vergelijking (2.5) doorgebruik te maken van verscheidene methodes. We hoeven dus de voldoende Voorwaarden 2t.e.m. 4 niet meer te controleren daar de vergelijking het uitgangspunt is van onze analyse.Gegeven dat de obligatieprijzen voortgebracht worden door een evenwichtspunt met een en-kelvoudige Brownse beweging, zijn Voorwaarden 5, 6 en 7 gemakkelijk na te gaan. Om, inhet bijzonder, Voorwaarde 7 te controleren moet men enkel nagaan dat de laatste voorwaarde
47
uit Propositie 3 voldaan is.Gebruiken we de vorm van het CIR-model zoals gegeven in de uitdrukking (2.63), dan kunnenwe zoals in Paragraaf 2.4 de prijs bepalen van derivaten. Deze analyse zal waarden van deri-vaten voortbrengen gelijk aan deze in CIR afhankelijk van de bepaling van θ(s) : s ∈ [0, τ ].Merk op dat de kwadratische variatie van de voorwaartse rentevoeten gelijk is aan
df(t, T )df(t, T ) =
(∂X
∂T(t, T )
)2
σ2r(t) dt
of
[f(t, T ), f(t, T )] (t) =
ˆ t
0
(∂X
∂T(s, T )σ
√r(s)
)2
ds
en afhangt van de parameters λ, σ,K, r(0) en f(0, T ) : T ∈ [0, τ ]. De parameter λ isfunctioneel gerelateerd met de marktprijs voor risico. Dit wil zeggen dat de waardebepalingvan de afgeleide producten ook expliciet afhangt van deze parameter, zie Cox, Ingersoll enRoss (1992, uitdrukking (32), p.396).Het verschil tussen deze twee benaderingen ligt in het feit dat bij het CIR-model een bepaaldemarktprijs voor risico vast genomen wordt en het stochastisch proces voor de voorwaartserentevoeten endogeen afgeleid wordt. In tegenstelling hiermee wordt bij het HJM-modelhet stochastisch proces voor de voorwaartse rentevoeten als gegeven genomen en afgeleideproducten hiermee geprijsd.
48
Hoofdstuk 3
Prijzen van TIPS en gerelateerdederivaten, gebruik makend van eenHJM model
3.1 inleiding
De markt voor effecten die gelinkt zijn aan de inflatie bestaat reeds sinds de jaren ’80. Inhet Verenigd Koninkrijk werden de eerste inflatiegelinkte effecten uitgegeven en later volgdenook Australie, Canada en Zweden. De markt heeft zich de laatste decenia geleidelijk verderontwikkeld en is nog steeds volop in ontwikkeling. Inflatiegelinkte derivaten worden ook onderandere in de Europese Unie verhandeld. Sedert 1997 geeft de Amerikaanse overheid naast degewone staatsobligaties inflatiegelinkte staatsobligaties uit, nl. Treasury Inflation-ProtectedSwaps (TIPS). Bij TIPS wordt het kapitaal voortdurend aangepast aan de inflatie.Merk op dat de CPI wordt gemeten met een vertraging van twee maanden. Deze twee maan-den zijn nodig voor de dataverzameling en het in tabellen opnemen van de verzamelde data.De CPI is vertraagd, maar speelt toch de rol van de huidige index voor de kapitaalaanpas-singen bij TIPS en berekeningen van de payoffs van inflatiegelinkte derivaten. Het kapitaalverandert dagelijks gebaseerd op de CPI.De coupons van TIPS worden halfjaarlijks uitbetaald en worden berekend als een vast per-centage van het aangepaste kapitaal op de datum van uitbetaling. Het aangepaste kapitaalis de nominale waarde vermenigvuldigd met het CPI-niveau van twee maanden terug. Opmaturiteit krijgen de investeerders dus bij benadering het kapitaal aangepast aan inflatie,wegens de vertraging van twee maanden. Er zit een putoptie verborgen in de payoff van deTIPS. Wanneer het aangepaste kapitaal lager is dan de nominale waarde op maturiteitsda-tum, dan ontvangen ze de nominale waarde in de plaats. Echter, daar de inflatieindex overhet algemeen stijgt, heeft deze inbegrepen putoptie weinig tot geen waarde en wordt dezegenegeerd in de volgende waardebepaling.Jarrow en Yildirim (2003) hebben, steunend op de vreemde-muntanalogie, een driefactorenHJM model ontwikkeld om deze TIPS te prijzen. Ze gebruiken dezelfde techniek voor model-lering als in Amin en Jarrow (1991), waarin afgeleide producten in vreemde-munteenhedengeprijsd worden in een HJM context. Jarrow en Yildirim hebben hun bevindingen empi-risch onderbouwd door de marktprijzen van TIPS en gewone Amerikaanse staatsobligaties tegebruiken en te implementeren in het HJM model.
49
3.2 Het model, uitgebreide terminologie
Gebruik makend van een vreemde-muntanalogie beschouwen we een hypothetische wisselkoers-economie waarbij de reele prijzen corresponderen met de buitenlandse prijzen, de nominaleprijzen met de binnenlandse prijzen en de CPI met de ogenblikkelijke wisselkoers. We zullende volgende notaties gebruiken in dit hoofdstuk, deze zijn conform met Hoofdstuk 2, maarmeer uitgebreid.
• r staat voor reeel, n staat voor nominaal.
• Bn(t, T ) is de prijs op tijdstip t van een nominale nulcouponobligatie met maturiteit Tuitgedrukt in dollar.
• I(t) stelt de CPI inflatieindex voor op tijdstip t, i.e. aantal dollar per CPI (vertraagdmet twee maanden).
• Br(t, T ) is de prijs op tijdstip t van een reele nulcouponobligatie met maturiteit T ineenheden van de CPI.
• fk(t, T ) is de voorwaartse rentevoet op tijdstip t voor datum T , waarbij k ∈ r, n, i.e.
Bk(t, T ) = exp
−ˆ T
tfk(t, y) dy
. (3.1)
• rk(t) = fk(t, t) is de ogenblikkelijke rentevoet op tijdstip t, met k ∈ r, n.
• Rk(t) = exp´ t
0 rk(ν) dν
is dan de waarde van de geldmarktrekening op tijdstip t voor
k ∈ r, n.
• Bn(0) is de prijs op tijdstip 0 van een gewone coupondragende staatsobligatie in dollarwaarbij de couponbetaling C bedraagt per periode, de maturiteit T en de nominalewaarde bedraagt F dollar, m.a.w.
Bn(0) =T∑t=1
CBn(0, t) + FBn(0, T ). (3.2)
De uitdrukking (3.2) is de no-arbitrage voorwaarde die geldig is onder de standaardhypo-these van een frictieloze en competitieve markt. In het bijzonder wordt er veronderstelddat er geen transactiekosten zijn, geen beperkingen op verhandelingen en geen verschilin taxen op coupons met andere winsten.
• BTIPS(0) is de prijs op tijdstip 0 van een TIPS coupondragende obligatie in dollar,uitgegeven op tijdstip t0 ≤ 0 met een couponbetaling van C eenheden van de CPI, metmaturiteit T en een nominale waarde van F eenheden van de CPI,
BTIPS(0) =1
I(t0)
T∑t=1
CI(0)Br(0, t) + FI(0)Br(0, T ). (3.3)
50
In de uitdrukking (3.3) worden de TIPS enkel gecompenseerd voor de inflatievoet na de uit-
giftedatum, vandaar de ratio I(0)I(t0) .
We definieren de prijs in dollar van een reele nulcouponobligatie zonder een uitgiftedatum-aanpassing als
BTIPS(t, T ) = I(t)Br(t, T ). (3.4)
We beschouwen nog steeds een continue handelseconomie met handelsinterval [0, τ ]. De on-zekerheid in de economie wordt gekenmerkt door een kansruimte (Ω,F ,P) waarbij Ω eentoestandsruimte is, F de verzameling van mogelijke gebeurtenissen (een σ-algebra op Ω)en P de kansmaat op (Ω,F). Laat verder F(t) : t ∈ [0, T ] de standaardfiltratie zijnvoortgebracht door de drie Brownse bewegingen Wn(t),Wr(t),WI(t) : t ∈ [0, T ]. DezeBrownse bewegingen beginnen bij nul met correlaties gegeven door dWn(t)dWr(t) = ρnrdt,dWn(t)dWI(t) = ρnIdt en dWr(t)dWI(t) = ρrIdt. We bestuderen hier dus een model met driefactoren.Gegeven de initiele voorwaartse rentevoetcurve fn(0, T ) veronderstellen we dat de nominalevoorwaartse rentevoet met maturiteit T als volgt evolueert:
dfn(t, T ) = αn(t, T )dt+ σn(t, T )dWn(t), (3.5)
waarbij αn(ν, T ) een willekeurige functie is en σn(ν, T ) een deterministische functie is van detijd, die voldoen aan volgende gladheid- en begrensdheidsvoorwaarden.
• αn(ν, T ) is F(t)-meetbaar, aangepast en gezamelijk meetbaar met
ˆ T
0|αn(ν, T )| dν < +∞ b.z. P,
• σn(ν, T ) voldoet aan ˆ T
0σ2n(ν, T ) dν < +∞ b.z. P.
De deterministische volatiliteit in uitdrukking (3.5) zorgt ervoor dat de nominale termijn-structuur van intrestvoeten een Gaussische economie voortbrengen.Gelijkaardig veronderstellen we, gegeven een initiele voorwaartse rentevoetcurve fr(0, T ), datde reele voorwaartse rentevoet met maturiteit T evolueert als
dfr(t, T ) = αr(t, T )dt+ σr(t, T )dWr(t), (3.6)
waarbij αr(t, T ) en σr(t, T ) voldoen aan dezelfde voorwaarden als αn(t, T ) en σn(t, T ) inuitdrukking (3.5).De evolutie van de inflatieindex wordt gegeven door
dI(t)
I(t)= µI(t)dt+ σI(t)dWI(t), (3.7)
waarbij µI(t) een willekeurige functie is en σI(t) een deterministische functie van de tijd dievoldoen aan volgende gladheid- en begrensdheidsvoorwaarden
• µI(t) is F(t)-meetbaar en aangepast met
E[ˆ τ
0|µI(t)|2dt
]< +∞,
51
• σI(t) is een determinisische functie van de tijd met
ˆ τ
0σ2I (ν) dν < +∞ b.z. P.
De deterministische volatiliteit in uitdrukking (3.7) impliceert dat de inflatieindex een ge-ometrische Brownse beweging volgt zodat de logaritme van de inflatieindexproces normaalverdeeld is. Deze veronderstelling vervolledigt de Gaussische economie, eerder verondersteld.Deze evoluties zijn arbitragevrij en de markt is compleet (Amin en Jarrow, 1991) als er eenunieke equivalente kansmaat P bestaat zodat
Bn(t, T )
Rn(t),I(t)Br(t, T )
Rn(t)en
I(t)Rr(t)
Rn(t)P-martingalen zijn. (3.8)
Gegeven dat Wn(t),Wr(t),WI(t) : t ∈ [0, T ] een P-Brownse beweging is en dat P eenkansmaat is equivalent met P, dan bestaan er volgens de stelling van Girsanov marktprijzenvoor risico (γn(t), γr(t), γI(t) : t ∈ [0, T ]) zodat
Wk(t) = Wk(t)−ˆ t
0γk(ν) dν voor k ∈ n, r, I (3.9)
P-Brownse bewegingen zijn. Deze Brownse bewegingen zijn over het algemeen niet onafhan-kelijk.De marktprijzen voor risico zijn F(t)-voorspelbaar. Bovendien is de Radon-Nikodymafgeleidevan P naar P op tijd T gelijk aan
dPdP
= exp
∑k∈r,n,I
ˆ T
0γk(ν)dWk(ν)− 1
2
ˆ T
0<
∑k∈n,r,I
γk(ν)dWk(ν),∑
k∈n,r,I
γk(ν)dWk(ν) >
,
waarbij < ·, · > de kwadratische variatie voorstelt.De stochastische processen (γn(t), γr(t), γI(t) : t ∈ [0, T ]) zijn de marktprijzen voor risico voorde drie risciofactoren in de economie.We stellen nu een propositie op die de nodig en voldoende voorwaarden op de obligatieprijs-evoluties bepaalt opdat de economie arbitragevrij zou zijn.
Propositie 6 (Arbitragevrije termijnstructuren).(Bn(t,T )Rn(t)
)t,(I(t)Br(t,T )Rn(t)
)t
en(I(t)Rr(t)Rn(t)
)t
zijn P-martingalen als en slechts als de volgende voorwaarden voldaan zijn.
αn(t, T ) = σn(t, T )
(ˆ T
tσn(t, ν) dν − γn(t)
), (3.10)
αr(t, T ) = σr(t, T )
(ˆ T
tσr(t, ν) dν − σI(t)ρrI − γr(t)
), (3.11)
µI(t) = rn(t)− rr(t)− σI(t)γI(t). (3.12)
Bewijs. We berekenen de dynamiek van Bn(t,T )Rn(t) . Dit is de dynamiek van Z(t, T ) uit Hoofdstuk
52
2 (2.18), rekening houdend met (2.6) en (2.7).
d
(Bn(t, T )
Rn(t)
)=
Bn(t, T )
Rn(t)
[−ˆ T
tαn(t, ν) dν dt− 1
2
(ˆ T
tσn(t, ν) dν
)2
dt
−ˆ T
tσn(t, ν) dν dWn(t)
]=
Bn(t, T )
Rn(t)
[−ˆ T
tαn(t, ν) dν dt− 1
2
(ˆ T
tσn(t, ν) dν
)2
dt
−γn(t)
ˆ T
tσn(t, ν) dν −
ˆ T
tσn(t, ν) dν dWn(t)
]wegens (3.9).
Bn(t,T )Rn(t) is een P-martingaal als en slechts als
−ˆ T
tαn(t, ν) dν +
1
2
(ˆ T
tσn(t, ν) dν
)2
− γn(t)
ˆ T
tσn(t, ν) dν = 0
⇔ −ˆ T
tαn(t, ν) dν +
ˆ T
tσn(t, ν)
ˆ ν
tσn(t, y) dydν − γn(t)
ˆ T
tσn(t, ν) dν = 0
waarbij
(ˆ T
tσn(t, ν) dν
)2
= 2
ˆ T
tσn(t, ν)
ˆ ν
tσn(t, y) dydν
⇔ αn(t, T ) = σn(t, T )
ˆ T
tσn(t, y)dy − γn(t)σn(t, T )
⇔ αn(t, T ) = σn(t, T )
(ˆ T
tσn(t, y)dy − γn(t)
).
Vervolgens berekenen we de dynamiek van I(t)Rr(t)Rn(t) opnieuw door toepassing van het lemma
van Ito.
d
(I(t)Rr(t)
Rn(t)
)= I(t)Rr(t)d
(1
Rn(t)
)+
1
Rn(t)d (I(t)Rr(t)) + d (I(t)Rr(t)) d
(1
Rr(t)
)= I(t)Rr(t)d
(1
Rn(t)
)+
1
Rn(t)I(t)dRr(t) +
1
Rn(t)Rr(t)dI(t) +
1
Rn(t)dI(t)dRr(t)
+I(t)dRr(t)d
(1
Rn(t)
)+Rr(t)dI(t)d
(1
Rn(t)
)+ dI(t)dRr(t)d
(1
Rn(t)
),
met dI(t) = µI(t)I(t)dt+ σI(t)I(t)dWI(t)dRr(t) = Rr(t)rr(t)dt
d(
1Rn(t)
)= − 1
Rn(t)rn(t)dt
dI(t)dRr(t) = 0
dRr(t)d(
1Rn(t)
)= 0
dI(t)d(
1Rn(t)
)= 0
dI(t)dRr(t) d(
1Rn(t)
)= 0
53
Dus
d
(I(t)Rr(t)
Rn(t)
)=
I(t)Rr(t)
Rn(t)[−rn(t)dt+ rr(t)dt+ µI(t)dt+ σI(t)dWI(t)]
=I(t)Rr(t)
Rn(t)
[(−rn(t) + rr(t) + µI(t) + γI(t)σI(t)) dt+ σI(t)dWI(t)
]wegens (3.9).
I(t)Rr(t)Rn(t) is dus een P-martingaal als en slechts als
−rn(t) + rr(t) + µI(t) + γI(t)σI(t) = 0
⇔ µI(t) = rn(t)− rr(t)− γI(t)σI(t).
Tenslotte berekenen we ook de dynamiek van I(t)Br(t,T )Rn(t) door toepassing van het lemma van
Ito.
d
(I(t)Br(t, T )
Rn(t)
)= I(t)Br(t, T )d
(1
Rn(t)
)+
1
Rn(t)d (I(t)Br(t, T )) + d (I(t)Br(t, T )) d
(1
Rn(t)
)= I(t)Br(t, T )d
(1
Rn(t)
)+
1
Rn(t)I(t)dBr(t, T ) +
1
Rn(t)Br(t, T )dI(t) +
1
Rn(t)dI(t)dBr(t, T )
+ I(t)dBr(t, T )d
(1
Rn(t)
)+Br(t, T )dI(t)d
(1
Rn(t)
)+ dI(t)dBr(t, T )d
(1
Rn(t)
),
metdBr(t, T ) =
[rr(t)−
´ Tt αr(t, ν) dν + 1
2
(´ Tt σr(t, ν) dν
)2]Br(t, T )dt
−´ Tt σr(t, ν) dνBr(t, T )dWr(t), wegens (2.9), samen met (2.6) en (2.7)
dI(t) = µI(t)I(t)dt+ σI(t)I(t)dWI(t)
d(
1Rn(t)
)= − 1
Rn(t)rn(t)dt
en
dI(t)dBr(t, T ) = −I(t)Br(t, T )ρrIσI(t)´ Tt σr(t, ν) dν dt
dBr(t, T )d(
1Rn(t)
)= 0
dI(t)d(
1Rn(t)
)= 0
dI(t)dBr(t, T ) d(
1Rn(t)
)= 0
54
Dus
d
(I(t)Br(t, T )
Rn(t)
)=
I(t)Br(t, T )
Rn(t)
[−rn(t)dt+ rr(t)dt−
ˆ T
tαr(t, ν) dν dt+
1
2
(ˆ T
tσr(tν) dν
)2
dt
−ˆ T
tσr(t, ν) dν dWr(t) + µI(t)dt+ σI(t)dWI(t)− ρrIσI(t)
ˆ T
tσr(t, ν) dν dt
]=
I(t)Br(t, T )
Rn(t)
[(−rn(t) + rr(t)−
ˆ T
tαr(t, ν) dν +
1
2
(ˆ T
tσr(tν) dν
)2
−γr(t)ˆ T
tσr(t, ν) dν + µI(t) + γI(t)σI(t)− ρrIσI(t)
ˆ T
tσr(t, ν) dν
)dt
−ˆ T
tσr(t, ν) dν dWr(t) + σI(t)dWI(t)
]wegens (3.9).
I(t)Br(t,T )Rn(t) is een P-martingaal als en slechts als
−rn(t) + rr(t)−ˆ T
tαr(t, ν) dν +
1
2
(ˆ T
tσr(tν) dν
)2
− γr(t)ˆ T
tσr(t, ν) dν
+ µI(t) + γI(t)σI(t)− ρrIσI(t)ˆ T
tσr(t, ν) dν = 0
⇔ −ˆ T
tαr(t, ν) dν +
1
2
(ˆ T
tσr(tν) dν
)2
− γr(t)ˆ T
tσr(t, ν) dν − ρrIσI(t)
ˆ T
tσr(t, ν) dν = 0
⇔ αr(t, T ) = σr(t, T )
ˆ T
tσr(t, y) dy + σr(t, T ) + σI(t)ρrIσr(t, T )
⇔ αr(t, T ) = σr(t, T )
(ˆ T
tσr(t, y) dy + σI(t)ρrI
).
De uitdrukking (3.10) is de arbitragevrije beperking op de voorwaartse rentevoetdrift zoalsin het originele HJM model. De uitdrukking (3.11) is de analoge arbitragevrije beperkingop de voorwaartse rentevoetdrift voor de reele voorwaartse rentevoeten. Merk op dat devolatiliteit van de inflatievoet en zijn correlatie in deze uitdrukking voorkomen. Uitdrukking(3.12) tenslotte is de Fishervergelijking die de relatie weergeeft tussen de nominale intrestvoet,de reele intrestvoet en de verwachte inflatievoet. Het verschil tussen de twee ogenblikkelijkerentevoeten is de welgekende aanpassing voor een inflatieafhankelijke risicotoelage.
55
Propositie 7 (De evoluties van de termijnstructuren onder de risiconeutrale maat).De volgende prijsprocessen gelden onder de martingaalmaat:
dfn(t, T ) = σn(t, T )
ˆ T
tσn(t, ν) dν + σn(t, T ) dWn(t), (3.13)
dfr(t, T ) = σr(t, T )
[ˆ T
tσr(t, ν) dν − ρrIσI(t)
]dt+ σr(t, T ) dWr(t), (3.14)
dI(t)
I(t)= [rn(t)− rr(t)] dt+ σI(t) dWI(t), (3.15)
dBn(t, T )
Bn(t, T )= rn(t) dt−
ˆ T
tσn(t, ν) dν dWn(t), (3.16)
dBTIPS(t, T )
BTIPS(t, T )= rn(t) dt+ σI(t) dWI(t)−
ˆ T
tσr(t, ν) dν dWr(t), (3.17)
dBr(t, T )
Br(t, T )=
[rr(t)− ρrIσI(t)
ˆ T
tσr(t, ν)dν
]dt−
ˆ T
tσr(t, ν) dν dWr(t). (3.18)
Bewijs. We gebruiken de resultaten uit Propositie 6 en het lemma van Ito om de prijsprocessenaan te tonen.
dfn(t, T ) = αn(t, T ) dt+ σn(t, T ) dWn(t) wegens (3.5)
= σn(t, T )
(ˆ T
tσn(t, ν) dν − γn(t)
)dt+ σn(t, T ) dWn(t) + σn(t, T )γn(t) dt
wegens (3.10) in Propositie 6 en (3.9)
= σn(t, T )
ˆ T
tσn(t, ν) dν dt+ σn(t, T ) dWn(t).
dfr(t, T ) = αr(t, T ) dt+ σr(t, T ) dWr(t) wegens (3.6)
= σr(t, T )
(ˆ T
tσr(t, ν) dν − σI(t)ρrI − γr(t)
)dt+ σr(t, T ) dWr(t) + σr(t, T )γr(t) dt
wegens (3.11) in Propositie 6 en (3.9)
= σr(t, T )
[ˆ T
tσr(t, ν) dν − ρrIσI(t)
]dt+ σr(t, T ) dWr(t).
dI(t)
I(t)= µI(t) dt+ σI(t) dWI(t) wegens (3.7)
= rn(t) dt− rr(t) dt− σI(t)γI(t) dt+ σI(t) dWI(t) + σI(t)γI(t) dt
wegens (3.12) in Propositie 6 en (3.9)
= [rn(t)− rr(t)] dt+ σI(t) dWI(t).
56
dBn(t, T )
Bn(t, T )= rn(t) dt−
ˆ T
tαn(t, ν) dν dt+
1
2
(ˆ T
tσn(t, ν) dν
)2
dt−ˆ T
tσn(t, ν) dν dWn(t)
wegens (2.9)
= rn(t) dt−ˆ T
tσn(t, ν)
(ˆ ν
tσn(t, y) dy − γn(t)
)dν dt
+
[ˆ T
tσn(t, ν)
ˆ ν
tσn(t, y) dy dν
]dt−
ˆ T
tσn(t, ν) dν dWn(t)
−γn(t)
ˆ T
tσn(t, ν) dν dt
wegens (3.10) in Propositie 6 en (3.9)
= rn(t) dt−ˆ T
tσn(t, ν) dν dWn(t).
dBTIPS(t, T )
BTIPS(t, T )=
d(I(t)Br(t, T ))
I(t)Br(t, T )wegens (3.4)
=1
I(t)Br(t, T )(I(t)dBr(t, T ) +Br(t, T )dI(t) + dI(t)dBr(t, T ))
=
[rr(t)−
ˆ T
tαr(t, ν) dν +
1
2
(ˆ T
tσr(t, ν) dν
)2]dt−
ˆ T
tσr(t, ν) dν dWr(t)
+µI(t)dt+ σI(t)dWI(t) + ρrIσI(t)
ˆ T
tσr(t, ν) dν dt
wegens (2.9) en (3.7)
= rr(t) dt−ˆ T
tσr(t, ν)
(ˆ ν
tσr(t, y) dy − σI(t)ρrI − γr(t)
)dν dt
+
[ˆ T
tσr(t, ν)
ˆ ν
tσr(t, y) dydν
]dt−
ˆ T
tσr(t, ν) dν dWr(t)
−γr(t)ˆ T
tσr(t, ν) dν dt+ rn(t) dt− rr(t) dt− σI(t)γI(t) dt
+σI(t) dWI(t) + σI(t)γI(t) dt+ ρrIσI(t)
ˆ T
tσr(t, ν) dν dt
wegens (3.11) en (3.12) uit Propositie 6 en (3.9)
= rn(t) dt+ σI(t) dWI(t)−ˆ T
tσr(t, ν) dν dWr(t).
57
dBr(t, T )
Br(t, T )=
[rr(t)−
ˆ T
tαr(t, ν) dν +
1
2
(ˆ T
tσr(t, ν) dν
)2]dt
−ˆ T
tσr(t, ν) dν dWr(t)
wegens (2.9)
= rr(t) dt−ˆ T
tσr(t, ν)
(ˆ ν
tσr(t, y) dy − σI(t)ρrI − γr(t)
)dν dt
+
[ˆ T
tσr(t, ν)
ˆ ν
tσr(t, y) dy dν
]dt−
ˆ T
tσr(t, ν) dν dWr(t)
−γr(t)ˆ T
tσr(t, ν) dν dt
wegens (3.11) uit Propositie 6 en (3.9)
=
[rr(t)− ρrIσI(t)
ˆ T
tσr(t, ν) dν
]dt−
ˆ T
tσr(t, ν) dν dWr(t).
Deze uitdrukkingen voor de evolutie van de reele en nominale voorwaartse rentevoeten ende reele en nominale prijzen van nulcouponobligaties (in dollar) zullen nuttig zijn bij het prij-zen van derivaten geschreven op de inflatievoet of op de reele of nominale termijnstructuren.Merk op dat onder deze uitdrukkingen zowel de reele als de nominale voorwaartse rentevoetennormaal verdeeld zijn en de inflatieindex een geometrische Brownse beweging volgt.
3.3 Empirisch onderzoek
3.3.1 Data-beschrijving
Jarrow en Yildirim (2003) hebben empirisch onderzoek gevoerd naar het prijzen van TIPSen andere gerelateerde afgeleide producten met behulp van een HJM model. Ze gebruiktenhiervoor de geobserveerde marktprijzen van TIPS en gewone staatseffecten van de V.S. gedu-rende ruim twee jaar.Ze verkregen dagelijks de prijzen van alle beschikbare Amerikaanse staatseffecten van 28 april1999 tot 31 juli 2001. Hiervan werden enkel de on-the-run obligaties gebruikt, waardoor erzo’n 27 tot 29 obligaties per dag overbleven. De on-the-run obligaties in de dataset werdengedefinieerd als deze obligaties met een bepaalde maturiteit waarvan de tijd tot uitgifte hetkleinst is. Uit de overblijvende obligaties werden dan nogmaals de ongewone eruitgehaaldmet behulp van een eenvoudige outlierprocedure. Voor de dataset van Jarrow en Yildirimheeft dit algoritme niet veel obligaties verwijderd.De prijzen van TIPS werden verkregen via Datastream, de analyse werd gericht van 15 april1999 tot 31 juli 2001. Ze gebruikten enkel de TIPS met een maturiteit die meer dan 1 jaarna het einde van de proefperiode lag en die reeds uitgegeven waren voor de proefperiode.Hierdoor bleven er vijf soorten TIPS over. De TIPS worden geındexeerd door de vertraagdeCPI. Deze vertraging heeft echter geen invloed op de onderliggende wiskundige waarderings-formules. Het beınvloedt enkel de economische interpretatie van het rendement van de TIPS.De TIPS geven geen exacte reeel rendement, maar een benaderd reeel rendement.
58
De CPI-data is maandelijks beschikbaar (eveneens via Datastream). Ze gebruikten echter dedagelijkse obligatieprijzen, dus moesten ze de inflatieindex aanpassen door middel van lineaireinterpollatie.
3.3.2 Strippen van nominale en reele prijzen van de marktprijzen
De eerste stap in het implementeren van een HJM model was het strippen van de reele ennominale prijzen van nulcouponobligaties van de marktprijzen van de gewone Amerikaansestaatsobligatie en TIPS respectievelijk. Voor de eenvoud werden hier stuksgewijs lineairevoorwaartse rentevoetcurven gebruikt. De best passende voorwaartse rentevoetcurve werdbekomen door gebruik te maken van een niet-lineair kleinste kwadratenmethode om de somvan de gekwadrateerde fouten tussen markt- en modelprijzen te minimaliseren.
3.3.3 Schatten van de termijnstructuur van de evolutieparameters
De tweede stap is om het driefactoren HJM model op de tijdsevoluties van de CPI, de reeleen de nominale prijzen van nulcouponobligaties te fitten. Jarrow en Yildirim bepalen voorafeen eenfactor volatiliteitsfunctie en schatten zijn parameters door niet-lineaire regressie toete passen. In dit opzicht beschouwen we een eenfactormodel met een exponentiele afnemendevolatiliteit van de volgende vorm
σr(t, T ) = σre−ar(T−t), (3.19)
waar σr en ar constanten zijn. Dit model wordt het Vasicek model genoemd.Uit de uitdrukkingen (3.17) en (3.18) voor de evolutie van de reele en nominale prijzen vannulcouponobligaties zijn de cruciale parameters die we moeten schatten voor het prijzen vanderivaten de volatiliteit van de inflatievoet σi, welke we constant veronderstellen en de corre-laties tussen de inflatieindex en de reele ogenblikkelijke rentevoet ρrI , tussen de inflatieindexen de nominale ogenblikkelijke rentevoet ρnI en tussen de reele en nominale ogenblikkelijkerentevoet ρrn. We gebruiken de steekproefmomenten om de schatters van deze parameters teberekenen
σI =
√1
∆Var
(∆I(t)
I(t)
), (3.20)
ρri = Cor
(∆rr(t),
∆I(t)
I(t)
), (3.21)
ˆρnI = Cor
(∆rn(t),
∆I(t)
I(t)
), (3.22)
ˆρrn = Cor(∆rr(t),∆rn(t)). (3.23)
Hierbij maken we gebruik van de historische CPI-data, de reele intrestvoeten en de nominaleintrestvoeten hiervoor berekend. Jarrow en Yildirim gebuiken maandelijkse data, i.e. ∆ =112 , omdat ze geen lineair geınterpoleerde dagelijkse CPI-waarden kunnen gebruiken. Dereden hiervoor is dat de lineaire interpolatie voor het creeren van dagelijkse indexwaardendeterministisch is en het zou een verkeerde schatting geven van volatiliteit van dagelijkseinflatievoet. Ze houden dus 28 maandelijkse observaties over uit onze steekproefperiode.
59
De geschatte volatiliteit voor inflatievoet bedraagt 0,00874 en zijn correlatie met de reeleintrestvoet is negatief en bedraagt -0,06084. De nominale en reele ogenblikkelijke rentevoetzijn positief gecorreleerd met een correltatiecoefficient van 0,01482.
3.4 Prijzen van opties op de inflatie-index
Gegeven dat het HJM model compleet is, met drie factoren en vijf TIPS samen met eenaantal verhandelbare staatsobligaties kunnen afgeleide producten op ofwel de nominale, reeleof op de inflatieindex geprijsd worden via de gekende procedures. Om het model te illustrerenwordt in deze paragraaf de waarde van een Europese calloptie op de inflatieindex afgeleid.Beschouw een Europese calloptie op de inflatieindex met een uitoefenprijs van K indexeen-heden en een maturiteit T . Merk op dat de index niet uitgedrukt wordt in dollar, maar inCPI-eenheid. Om de payoff van de optie om te zetten naar dollar moeten we veronderstellendat elke eenheid van de optie geschreven wordt op een CPI-eenheid. De payoff op tijd T vande optie in dollar is dus gelijk aan
CT = (I(T )−K)+ . (3.24)
De risiconeutrale prijsbepalingsformule geeft dan volgende waarde van de optie
C(t) = R(t)E[
(I(T )−K)+
R(T )
∣∣∣∣F(t)
]. (3.25)
We gebruiken dezelfde procedure als in Hoofdstuk 2 om deze uitdrukking te schrijven als
C(t) = I(t)Br(t, T )Φ
ln(I(t)Br(t,T )KBn(t,T )
)+ 1
2q2
q
−KBn(t, T )Φ
ln(I(t)Br(t,T )KBn(t,T )
)− 1
2q2
q
,
(3.26)met Φ(·) de cumulatieve standaardnormale verdelingsfunctie,
σBk (t, T ) =
ˆ T
tσk(t, ν) dν voor k = n, r
en
q2 =
ˆ T
t
(σBn (u, T )
)2du− 2ρnr
ˆ T
tσBn (u, T )σBr (u, T ) du+
ˆ T
t(σBr (u, T ))2 du
+ 2ρnIσI
ˆ T
tσBn (u, T ) du− 2ρrIσI
ˆ T
tσBr (u, T ) du+ σ2
I (T − t).
60
C(t) = R(t)E[
(I(T )−K)+
R(T )
∣∣∣∣F(t)
]= R(t)E
[I(T )
R(T )II(T )>K
∣∣∣∣F(t)
]−KR(t)E
[1
R(T )II(T )>K
∣∣∣∣F(t)
]= R(t)E
[I(T )Br(T, T )
R(T )II(T )>K
∣∣∣∣F(t)
]−KR(t)E
[Bn(T, T )
R(T )II(T )>K
∣∣∣∣F(t)
]= R(t)
I(t)Br(t, T )
R(t)EBTIPS(t,T )
[II(T )>K|F(t)
]−KR(t)
Bn(t, T )
R(t)EBn(t,T )
[II(T )>K|F(t)
].
We kunnen de uitdrukking voor q2 bepalen op een analoge manier als in Hoofdstuk 2, pa-
ragraaf 2.5. Hiervoor berekenen we de variantie van ln(BTIPS(t,T )Bn(t,T )
Bn(T,T )BTIPS(T,T )
). We zoeken
hiervoor eerst de uitdrukking van BTIPS(t,T )Bn(t,T ) , waarbij we enkel de termen met Brownse be-
wegingen beschouwen. Hierdoor hoeven we evenmin over te gaan op een nieuwe maat. UitPropositie 7 halen we de dynamieken van BTIPS(t, T ) en Bn(t, T ).We maken gebruik van de vereenvoudigde notatie
σBk (t, T ) =
ˆ T
tσk(t, ν) dν voor k = n, r
en we herinneren eraan dat we σI constant veronderstellen. Steunend op de productregel, hetlemma van Ito en de dynamieken (3.16) en (3.17)
d
(BTIPS(t, T )
Bn(t, T )
)= BTIPS(t, T )d
(1
Bn(t, T )
)+
1
Bn(t, T )dBTIPS(t, T ) + dBTIPS(t, T )d
(1
Bn(t, T )
)= −BTIPS(t, T )
B2n(t, T )
dBn(t, T ) +BTIPS(t, T )
B3n(t, T )
dBn(t, T )dBn(t, T ) +1
Bn(t, T )dBTIPS(t, T )
− 1
B2n(t, T )
dBTIPS(t, T )dBn(t, T ) +1
B3n(t, T )
dBTIPS(t, T )dBn(t, T )dBn(t, T )
= −BTIPS(t, T )
Bn(t, T )
[rn(t)−
ˆ T
tσn(t, ν) dν dWn(t)
]+BTIPS(t, T )
Bn(t, T )
(ˆ T
tσn(t, ν) dν
)2
dt
+BTIPS(t, T )
Bn(t, T )
[rn(t) + σI dWI(t)−
ˆ T
tσr(t, ν) dν dWr(t)
]+BTIPS(t, T )
Bn(t, T )[. . . dt]
=BTIPS(t, T )
Bn(t, T )
[σBn (t, T ) dWn(t) + σI dWI(t)− σBr (t, T ) dWr(t) + (. . .)dt
]
61
⇒ d ln
(BTIPS(t, T )
Bn(t, T )
)=
Bn(t, T )
BTIPS(t, T )d
(BTIPS(t, T )
Bn(t, T )
)− 1
2
(Bn(t, T )
BTIPS(t, T )
)2
d
(BTIPS(t, T )
Bn(t, T )
)d
(BTIPS(t, T )
Bn(t, T )
)= σBn (t, T ) dWn(t) + σI dWI(t)− σBr (t, T ) dWr(t) + (. . .)dt
⇒ ln
(BTIPS(t, T )
Bn(t, T )
)= ln
(BTIPS(0, T )
Bn(0, T )
)+
ˆ t
0σBn (s, T ) dWn(s) +
ˆ t
0σI dWI(s)
−ˆ t
0σBr (s, T ) dWr(s) +
ˆ t
0(. . .)ds
⇒ BTIPS(t, T )
Bn(t, T )
=BTIPS(0, T )
Bn(0, T )exp
ˆ t
0σBn (s, T ) dWn(s) +
ˆ t
0σI dWI(s)−
ˆ t
0σBr (s, T ) dWr(s) +
ˆ t
0(. . .)ds
.
We bekomen dat
ln
(BTIPS(t, T )
Bn(t, T )
Bn(T, T )
BTIPS(T, T )
)= −ˆ T
tσBn (s, T ) dWn(s)−
ˆ T
tσI dWI(s) +
ˆ T
tσBr (s, T ) dWr(s) +
ˆ T
t(. . .)ds.
De variantie hiervan is, wegens de Ito-isometrie, gelijk aan
ˆ T
t(σBn (s, T ))2ds+ σ2
I (T − t) +
ˆ T
t(σBr (s, T )2ds+ 2ρnIσI
ˆ T
tσBn (s, T ) ds
−2ρnr
ˆ T
tσBn (s, T )σBr (s, T ) ds− 2ρrIσI
ˆ T
tσBr (s, T ) ds,
waarmee we de uitdrukking voor q2 hebben aangetoond.
62
Hoofdstuk 4
Een marktmodel voorinflatiegelinkte derivaten
Inleiding
In dit hoofdstuk prijzen we een aantal specifieke afgeleide producten die gelinkt zijn aan in-flatie. We ontwikkelen hiervoor een marktmodel voor de termijnstructuur van voorwaartseinflatievoeten, met behulp van een HJM model.Vreemde-muntanalogie is vaak de standaardtechnologie geweest voor het modelleren van de-rivaten verbonden met inflatie (oa. Jarrow en Yildirim, 2003). Een handige oplossing voorhet modelleren van inflatiegelinkte derivaten is om zoals in Hoofdstuk 3 het kader van Heath,Jarrow en Morton (1992) te gebruiken voor beide rentevoeten en ze te verbinden met behulpvan een lognormaal wisselkoersproces.Zoals reeds vermeld in de algemene inleiding is het HJM model echter niet geschikt voor hetprijzen van afgeleide producten in praktijk. Het model is rekenkundig zeer eenvoudig, maarde toestandsvariabelen in het model zijn niet observeerbaar, waardoor het moeilijk wordt omhet model te kalibreren. Over de loop van de jaren werden een aantal alternatieve modellenontwikkeld met de bedoeling een meer gepaste prijsbepaling en hedging van inflatiegelinktederivaten te bekomen. Hoewel de meeste van deze modellen een goede prijsbepaling beko-men voor bepaalde derivaten, hebben zij verscheidene nadelen, van zeer complex tot geencorrect termijnstructuurmodel dat de co-evolutie van nominale rentevoeten en intrestvoetenbeschrijft. Ondertussen hebben beurshandelaars algemeen een eigen marktmodel aangeno-men, het zogenaamde model gebaseerd op verschoven diffusiedynamieken voor voorwaartseinflatievoeten.Leung en Wu (2011) beschrijven dit marktmodel zeer nauwkeurig. Ze nemen nominale nulcou-ponobligaties en reele nulcouponobligaties als primitieven in het model, definieren de termijn-structuur van voorwaartse inflatievoeten en stellen zo het marktmodel van de beurshandelaarsvoor, waarbij voorwaartse inflatievoeten de verschoven diffusieprocessen volgen. Onder ditmarktmodel kunnen we zowel inflatiecaplets als inflatieswaptions prijzen met een formule ge-lijkaardig aan de risiconeutrale prijzingsformule van Black-Scholes. Hiermee rechtvaardigenze de huidige marktbeoefening.Daarnaast stellen ze een consistentievoorwaarde op de volatiliteit op van reele nulcouponobli-gaties door gebruik te maken van arbitrage-argumenten en hiermee leiden ze het modelvan Jarrow en Yildirim (2003) met voorwaartse reele rentevoeten gebaseerd op vreemde-
63
muntanalogie opnieuw af.
4.1 Markt voor inflatiegelinkte derivaten
We gebruiken overeenkomstige notaties als in Hoofdstuk 3. I(t) stelt de CPI voor op tijd ten de inflatievoet over het tijdsinterval [t, T ] wordt gedefinieerd als de relatieve veranderingvan de index:
i(t, T ) =I(T )
I(t)− 1.
We zullen vaak de inflatievoet op jaarbasis gebruiken,
i(t, T ) =1
T − t
(I(T )
I(t)− 1
).
Veronderstel dat de limiet van de inflatievoet op jaarbasis bestaat voor T → t, dan bekomenwe de zogenaamde ogenblikkelijke inflatievoet, i(t), die voornamelijk gebruikt wordt voorwiskundige en financiele berekeningen en niet voor modellering. Een belangrijk kenmerk datinflatievoeten onderscheidt van rentevoeten is dat inflatievoeten zowel positief als negatiefkunnen zijn. Rentevoeten moeten steeds positief zijn, anders krijgen we een arbitragemoge-lijkheid.De inflatiegelinkte effecten gewaardeerd in dollar worden hoofdzakelijk voorgesteld door Tre-asury Inflation Protected Securities (TIPS), gevolgd door Zero-Coupon Inflation-IndexedSwaps (ZCIIS) en Year-on-Year Inflation-Indexed Swaps (YYIIS). De laatste jaren hebbenook caps, floors en swaptions op inflatievoeten aan populariteit gewonnen. De TIPS worden,zoals eerder vermeld, uitgegeven door het Treasury Department van de Verenigde Staten ende overheden van verscheidene grote industriele naties, terwijl de andere derivaten uitgege-ven en verhandeld worden in de Over-The-Counter markten (niet-gereglementeerde markten).We benadrukken dat, in tegenstelling tot het markmodel dat gewoonlijk gebruikt wordt, hierZCIIS genomen worden als de onderliggende producten van de markten voor inflatiederivatenen een grote rol spelen in deze modellering.De onzekere economie wordt opnieuw gemodelleerd op een kansruimte (Ω,F , F(t)t∈[0,τ ], P)
voor τ > 0, waarbij P de risiconeutrale kansmaat is in de onzekere economische omgeving.De filtratie F(t), t ∈ [0, τ ] wordt voortgebracht door een n-dimensionale Brownse bewegingW (t), t ≥ 0.
4.1.1 TIPS
TIPS zijn couponobligaties met een vaste couponrentevoet, maar met variabel kapitaal. Hetkapitaal wordt aangepast aan de inflatievoet over de groeiende periode van een couponbeta-ling, dus de rentevergoeding evolueert mee met de inflatie. Voor het nauwkeurig prijzen vanTIPS hebben we een model nodig, zoals gezien in Hoofdstuk 3.
4.1.2 ZCIIS
Een swap is een overeenkomst tussen twee partijen om cashflows uit te wisselen. De overeen-komst bepaalt de cashflows en de data van uitbetaling. De meest voorkomende types swapszijn de rentevoetswaps en valutaswaps, maar inflatiegeındexeerde swaps worden ook verhan-deld en worden steeds populairder. In een inflatiegeındexeerde swap is ten minste een van de
64
cashflows gelinkt aan de inflatievoet.Een Zero-Coupon Inflation-Indexed Swap (ZCIIS) is een swapcontract tussen twee partijenmet een enkele uitwisseling van betalingen. Veronderstel dat het contract aangegaan is optijdstip t en afloopt op T . Dan is de betaling van de ene partij gelijk aan het product vaneen bepaalde waarde N maal de inflatievoet over de periode van het contract, i.e.
N × i(t, T ),
terwijl de tegenpartij een vaste betaling doet van
N × ((1 +K(t, T ))T−t − 1).
Hierbij is N de nominale waarde van het contract en is K(t, T ) de koers van het contract opde beurs. Daar de waarde van het ZCIIS nul is bij het begin, geeft ZCIIS de prijs weer vande zogenaamde reele nulcouponobligatie die een kapitaal uitbetaalt aangepast aan inflatie:
Br(t, T ) = E[e−´ Tt rn(s) ds I(T )
I(t)|F(t)
]= Bn(t, T )(1 +K)T−t. (4.1)
Hier is Bn(t, T ) de nominale verdisconteringsfactor van T naar t. We merken op dat opmaturiteit T geldt
Br(T, T ) = 1.
Voor reele nulcouponobligaties met dezelfde maturiteit T maar met een eerdere uitgiftedatum,stel T0 < t, is de prijs
Br(t, T0, T ) = E[e−´ Tt rn(s) ds I(T )
I(T0)|F(t)
]=
I(t)
I(T0)Br(t, T ). (4.2)
Ook hier merken we op dat op maturiteit T geldt dat
Br(T, T0, T ) =I(T )
I(T0).
We benadrukken hier dat Br(t, T0, T ), en niet Br(t, T ), behandeld wordt als de prijs op tijdt van een verhandeld effect. Br(t, T ) is de initiele prijs van een nieuw uitgegeven effect.Om inflatiegelinkte derivaten te modelleren nemen we de termijnstructuur van de reele nul-couponobligaties Br(t, T0, T ), voor een vaste T0 ≤ t en voor alle T ≥ t, als primitieven in hetmodel. De prijs Br(t, T0, T ) omvat enkel informatie over de reele rentevoeten en niet over detoekomstige inflatievoeten. Namelijk, neem i(t) de ogenblikkelijke inflatievoet, dat wordt derelatie tot CPI gegeven door
I(T )
I(T0)= exp
(ˆ T
T0
i(t) dt
). (4.3)
65
We hebben namelijk
exp
(ˆ T
T0
i(t) dt
)= exp
(ˆ T
T0
limT→t
1
T − t
(I(T )
I(t)− 1
)dt
)= exp
(ˆ T
T0
limT→t
1
I(t)
∂I(T )
∂Tdt
)wegens de regel van l’Hopital
= exp
(ˆ T
T0
1
I(t)
∂I(t)
∂tdt
)= exp
(ˆ T
T0
1
I(t)dI(t)
)= exp (ln I(T )− ln I(T0))
=I(T )
I(T0).
Als we dit in (4.2) substitueren, dan krijgen we door de vergelijking van Fisher (Fisher, 1930;zie ook Hoofdstuk 3 (3.14))
rn(t) = rr(t) + i(t), (4.4)
waarbij rn(t) de nominale rentevoet voorstelt en rr(t) de reele rentevoet,
Br(t, T0, T ) =I(t)
I(T0)E[e−´ Tt (rn(ν)−i(ν)) dν |F(t)
]=
I(t)
I(T0)E[e−´ Tt rr(ν) dν |F(t)
]. (4.5)
Volgens (4.5) stelt de reele nulcouponobligatie de verdisconteringsfactor voor geassocieerd metde reele intrestvoet.We benadrukken dat we de reele rentevoet niet nodig hebben voor het modelleren of prijzen,welke overigens niet observeerbaar is en dus ook geen goede kandidaat zou zijn als toestands-variabele.Deze ZCIIS vormen de onderliggende financiele producten van het marktmodel dat we verderopstellen.
4.1.3 YYIIS
Year-on-Year Inflation-Indexed Swaps zijn contracten die vastleggen om een annuıteit te ruilentegen een reeks van variabele betalingen geındexeerd aan de inflatievoeten over de toekom-stige periodes. De vaste betalingen van een YYIIS zijn gelijk aan N∆φiK, i = 1, . . . , Nfx
waarbij ∆φi de verdeling van een jaar is tussen twee opeenvolgende betalingen. De variabelebetalingen zijn van de vorm
N
(I(Tj)
I(Tj−1)− 1
),
en worden uitgevoerd op tijdstip Tj , j = 1, . . . , Nfl. Merk op dat de periodes tussen debetalingen ∆φi = φi − φi−1 en ∆Tj = Tj − Tj−1 kunnen verschillen, maar dat de termijn
voor betalingsuitwisselingen dezelfde is, i.e.,∑Nfx
i=1 ∆φi =∑Nfl
j=1 ∆Tj . De prijs van de YYIISis gelijk aan het verschil in waarde van de vaste en de variabele betalingen. De vaste betaling
66
kan berekend worden door te verdisconteren, in het berekenen van de variabale betalingenzit de evaluatie van een verwachtingswaarde. Volgens de risiconeutrale prijsbepalingsformulegeldt namelijk
V(j)float(t) = N E
[e−´ Tjt rn(s) ds
(I(Tj)
I(Tj−1)− 1
)∣∣∣∣F(t)
]. (4.6)
In tegenstelling tot de andere derivaten is de waardering van YYIIS niet modelafhankelijk,wat zal blijken uit het vervolg van dit hoofdstuk.
4.1.4 Inflatiecaps en -floors
Een cap is een derivaat waarbij de koper een betaling ontvangt op het einde van elke periodewaarin de rentevoet een voorafbepaalde uitoefenprijs heeft overschreden. Een inflatiecap isvergelijkbaar met een YYIIS met volgende opties: met dezelfde betalingsfrequentie wordende betalingen enkel uitgevoerd wanneer de netto verdiende cashflow van de betaler (van hetvaste deel) positief is, overeenkomstig met cash flows van de volgende vorm aan de caphouder
N∆Ti
(1
∆Ti
(I(Ti)
I(Ti−1)− 1
)−K
)+
, i = 1, . . . , Nfx. (4.7)
Een floor is gelijk aan een reeks putopties op een bepaalde referentierente waarbij de kopereen betaling ontvangt als op maturiteit de referentierente onder een bepaalde uitoefenprijsgedaald is. Overeenkomstig een inflatiecap is de cashflow van een inflatiefloor gelijk aan
N∆Ti
(K − 1
∆Ti
(I(Ti)
I(Ti−1)− 1
))+
, i = 1, . . . , Nfx.
Het prijzen van zowel caps als floors vereisen modellen.
4.1.5 Inflatieswaptions
Een swaption is een optie om in een swap te stappen op een vooraf bepaalde datum voor eenvooraf bepaalde swaprente. Een inflatieswaption is een optie om in een YYIIS te stappen in detoekomst. Op maturiteit van de optie moet de houder van de optie in de onderliggende YYIISstappen als de optie ‘in the money’ is. Voor het prijzen van inflatieswaptions is opnieuw eenmodel noig.
4.2 Het marktmodel
4.2.1 Verdisconteerde obligaties geassocieerd met de inflatievoet
We bouwen een model gebaseerd op de dynamieken van de termijnstructuren van nominaleen reele obligaties, Bn(t, T ), ∀T ≥ t en Br(t, T0, T ), ∀T ≥ t ≥ T0, twee reeksen vanverhandelbare effecten. Onder de risiconeutrale maat P wordt Bn(t, T ) verondersteld hetlognormale proces
dBn(t, T ) = Bn(t, T )
[rn(t)dt+
n∑i=1
σni (t, T )dWi(t)
], (4.8)
67
te volgen, waarbij rn(t) de risicovrije nominale rentevoet is en (σn1 (t, T ), . . . , σnn(t, T )) denominale volatiliteitsvector. We veronderstellen dat σni (t, T ), i = 1, . . . , n een voldoendereguliere deterministische functie is zodat de stochastische differentiaalvergelijking (4.8) eenunieke sterke oplossing heeft. Merk op dat σni (t, T ), voor i = 1, . . . , n een F(t)-aangepaststochastisch proces kan zijn. Verder veronderstellen we dat
∂σni (t, T )
∂T
bestaat en dat
E
[n∑i=1
ˆ T
0
(∂σni (s, T )
∂T
)2
ds
]< +∞.
Door gebruik te maken van het lemma van Ito bekomen we het proces voor lnBn(t, T ).
d lnBn(t, T ) =1
Bn(t, T )dBn(t, T )− 1
2
1
B2n(t, T )
dBn(t, T )dBn(t, T )
= rn(t)dt+n∑i=1
σni (t, T )dWi(t)−1
2
n∑i=1
(σni (t, T ))2 dt (4.9)
De vergelijking (4.9) afleiden naar maturiteit T geeft
dfn(t, T ) =n∑i=1
∂σni∂T
(t, T )σni (t, T )dt−n∑i=1
∂σni∂T
(t, T )dWi(t) (4.10)
waarbij fn(t, T ) = −∂ lnBn(t,T )∂T de nominale ogenblikkelijke voorwaartse rentevoet is. De ver-
gelijking (4.10) is de Heath-Jarrow-Morton-vergelijking voor termijnstructuur van nominalerentevoeten, die stelt dat onder de risiconeutrale maat P de driftterm van de voorwaartserentevoet een functie is van zijn volatiliteit.De dynamieken van Br(t, T0, T ) onder de risiconeutrale maat P worden verondersteld gelijkte zijn aan
dBr(t, T0, T ) = Br(t, T0, T )
[rn(t)dt+
n∑i=1
σri (t, T )dWi(t)
], (4.11)
waarbij σr(t, T ) = (σr1(t, T ), . . . , σrn(t, T )) de n-dimensionale volatiliteitsvector is vanBr(t, T0, T )en voldoet aan dezelfde regulariteitsvoorwaarden als (σn1 (t, T ), . . . , σnn(t, T )). Het is eenvoudigte zien dat, vanwege (4.1) en (4.2), σr(t, T ) onafhankelijk is van T0.Om de termijnstructuur van inflatievoeten te definieren, introduceren we eerst een verdis-conteerde obligatie geassocieerd met de inflatievoet, door gebruik te maken van Bn(t, T ) enBr(t, T ), de nominale en reele verdisconteerde obligatieprijzen.
Definitie 2. De verdisconteerde obligatie geassocieerd met inflatievoet wordt gedefinieerd als
BI(t, T ) =Bn(t, T )
Br(t, T ). (4.12)
Met behulp van Br(t, T ) en BI(t, T ) factoriseren we de nominale verdisconteringsfactor ineen reele en een inflatie verdisconteringsfactor
Bn(t, T ) = Br(t, T )BI(t, T ). (4.13)
68
Merk op dat noch BI(t, T ), noch Br(t, T ) een prijs is van een verhandelbaar effect, maar datze wel beide observeerbaar zijn. We noteren
BI(t, T0, T ) =Bn(t, T )
Br(t, T0, T ), (4.14)
dus is
BI(t, T ) =I(t)
I(T0)BI(t, T0, T ). (4.15)
We hebben immers
BI(t, T0, T ) =Bn(t, T )
Br(t, T0, T )
=Br(t, T )BI(t, T )
I(t)I(T0)Br(t, T )
wegens (4.2) en (4.13)
=I(T0)
I(t)BI(t, T ).
Merk eveneens op dat zowel BI(t, T0, T ) als BI(t, T ) ook gedefinieerd zijn voor t > T , dooreen constante extrapolatie
BI(t, T0, T ) = BI(T, T0, T ), voor t ≥ T. (4.16)
Dit geldt omdat BI(t, T0, T ) gelijk is aan de verhouding van Bn(t, T ) tot Br(t, T0, T ). Optijdstip T hebben beide producten hun maturiteit bereikt op de geldmarktrekening en deratio blijft vanaf dan onveranderd.
4.2.2 Marktmodel voor inflatiederivaten
De cashflows van verscheidene inflatiegeındexeerde effecten, zoals YYIIS, inflatiecaps en -floors, worden uitgedrukt in termen van voorwaartse termijninflatievoeten (of eenvoudigeinflatievoeten). We definieren een voorwaartse inflatievoet als het rendement bekomen doorde inflatie verdisconteringsfactor.
Definitie 3. De voorwaartse inflatievoet voor een toekomstige periode [T1, T2] gezien op tijd-stip t ≤ T2 wordt gedefinieerd door
fI(t, T1, T2) =1
T2 − T1
(BI(t, T1)
BI(t, T2)− 1
). (4.17)
Het is gemakkelijk te zien dat de definitie voor de voorwaartse inflatievoeten equivalentis met
fI(t, T1, T2) =1
T2 − T1
(BI(t, T0, T1)
BI(t, T0, T2)− 1
), (4.18)
want
BI(t, T1)
BI(t, T2)=
I(t)I(T0)BI(t, T0, T1)
I(t)I(T0)BI(t, T0, T2)
, wegens (4.15).
69
Op T2 zullen we de convergentie hebben van de voorwaartse inflatievoet naar de ogenblikkelijkeinflatievoet:
fI(T2, T1, T2) =1
T2 − T1
(I(T2)
I(T1)− 1
). (4.19)
We hebben namelijk
BI(T2, T1)
BI(T2, T2)=
I(T2)I(T0)BI(T2, T0, T1)
I(T2)I(T0)BI(T2, T0, T2)
wegens (4.15)
=BI(T1, T0, T1)
BI(T2, T0, T2)wegens (4.16), want T2 > T1
=I(T0)Bn(T1, T1)
I(T1)Br(T1, T1)
I(T2)Br(T2, T2)
I(T0)Bn(T2, T2)wegens (4.13) en (4.15)
Bn(T, T ) = 1 en Br(T, T ) = 1
=I(T2)
I(T1).
Als resultaat kunnen de payoff-functies van verscheidene afgeleide producten nu geschrevenworden in termen van voorwaartse inflatievoeten. Het prijzen van afgeleide producten wordtgemakkelijk op voorwaarde dat we een eenvoudig en analytisch handelbaar model hebbenvoor de voorwaartse inflatievoeten.We benadrukken hier dat de hierboven gedefinieerde voorwaartse inflatievoet de unieke reelerentevoet gezien op tijdstip t voor een T1-maturiteit forwardcontract op de inflatievoet overde toekomstige periode [T1, T2] is.
Propositie 8. De t-voorwaartse prijs van een reele obligatie met maturiteit T2 op tijd T1
zodat t ≤ T1 ≤ T2 is
Fr(t, T1, T2) =Br(t, T0, T2)
Br(t, T0, T1). (4.20)
Bewijs. Stel de voorwaartse prijs van een eenheid van een reele nulcouponobligatie op T1 vooreen payoff I(T2)
I(T1) op T2 gelijk aan Fr(t, T1, T2). Voer de volgende transacties uit.
1. Op tijdstip t:
• long een eenheid van een reele obligatie met maturiteit T1 en prijs Br(t, T0, T1),
• short BR(t,T0,T1)BR(t,T0,T2) eenheden van een reele obligatie met maturiteit T2 en prijsBr(t, T0, T2).
De waarde van onze portefeuille op tijdstip t is dan:
1×Br(t, T0, T1)− Br(t, T0, T1)
Br(t, T0, T2)×Br(t, T0, T2) = 0
2. Wend op tijdstip T1 al de opbrengst van de obligatie met maturiteit T1 aan om de obli-gaties met maturiteit T2 te kopen (die I(T2)
I(T1) uitbetalen). De waarde van onze portefeuilleop T1 is gelijk aan
1×Br(T1, T0, T1)− Br(T1, T0, T1)
Fr(t, T1, T2)× Fr(t, T1, T2)
=1× I(T1)
I(T0)− I(T1)
I(T0)Fr(t, T1, T2)× Fr(t, T1, T2)
=0
70
3. Vereffen alle transacties op tijdstip T2.
De winst of het verlies van deze transacties is gelijk aan
− Br(t, T0, T1)
Br(t, T0, T2)×Br(T2, T0, T2) +
I(T1)
I(T0)Fr(t, T1, T2)× Fr(T2, T1, T2)
=− Br(t, T0, T1)
Br(t, T0, T2)× I(T2)
I(T0)+
I(T1)
I(T0)Fr(t, T1, T2)× I(T2)
I(T1)
=
(1
Fr(t, T1, T2)− Br(t, T0, T1)
Br(t, T0, T2)
)I(T2)
I(T0).
Opdat er geen arbitrage mogelijk zou zijn moet de forwardprijs dus gelijk zijn aan (4.20).
Gebaseerd op de bovenstaande propositie kunnen we aantonen dat de voorwaartse infla-tievoet, die gedefinieerd wordt in (4.17), de enige arbitragevrije rentevoet is voor forwardcon-tracten. Stel f de uitoefenrente zonder arbitrage voor een forwardcontract op de inflatievoetover [T1, T2] dat (T2 − T1)(f (I)(T2, T1, T2) − f) uitbetaalt op T2 . We voeren de volgendetransacties uit.
1. Op tijdstip t:
• short het forwardcontract op f (I)(T2, T1, T2) dat afloopt op T2,
• long een forwardcontract dat afloopt op T1 met uitoefenprijs FR(t, T1, T2) op eeneenheid van de reele obligatie met T2 > T1,
• short de Treasury verdisconteerde obligatie met maturiteit T2 en long de Trea-sury verdisconteerde obligatie met maturiteit T1 met een gelijke dollarwaarde vanFR(t, T1, T2)B(t, T1)
2. Oefen op tijdstip T1 het forwardcontract uit dat afloopt op T1 door met de opbrengsthiervan de obligatie aan te kopen voor FR(t, T1, T2) euro.
3. Sluit alle posities af op T2.
Op tijdstip T2 eindigen we dan met de volgende nettowaarde van de opeenvolgende transacties:
−(T2 − T1)[f (I)(T2;T1, T2)− f ] +I(T2)
I(T1)− FR(t, T1, T2)B(t, T1)
B(t, T2)
= (T2 − T1)[f − f (I)(T2;T1, T2)] +I(T2)
I(T1)− BI(t, T0, T1)
BI(t, T0, T2)
= (T2 − T1)[f − f (I)(T2;T1, T2)].
Dus wanneer f 6= f (I)(t, T1, T2) doet zich arbitrage voor.Daar F (t, T1, T2) een T1-voorwaartse prijs is van een verhandelbaar effect, moet deze eenlognormale martingaal zijn onder de T1-voorwaartse maat met volatiliteit gelijk aan het ver-schil tussen de volatiliteiten van Br(t, T0, T2) en van Br(t, T0, T1), i.e.
dFr(t, T1, T2)
Fr(t, T1, T2)=
n∑i=1
(σri (t, T2)− σri (t, T1))(dWi(t)− σni (t, T1)dt). (4.21)
71
Merk op dat dWi(t)−σni (t, T )dt, i = 1, . . . , n de dynamiek van een Brownse beweging is onderde zogenaamde T1-voorwaartse maat PT1 , gedefinieerd door de Radon-Nikodymafgeleide
Q(t) =dPT1
dP
∣∣∣∣∣t
=Bn(t, T1)
Rn(t)Bn(0, T1),
waarbij
Rn(t) = exp
(ˆ t
0rn(s) ds
)de eenheid is van de geldmarktrekening. Volgens de stelling van Girsanov moet dQ(t) =−Q(t)
∑ni=1 θi(t)dWi(t).
dQ(t) = −Bn(t, T )
Bn(0, T )
1
R2n(t)
dRn(t) +1
Rn(t)Bn(0, T )dBn(t, T )
= −Q(t)rn(t)dt+Q(t)rn(t)dt+Q(t)n∑i=1
σni (t, T )dWi(t)
= Q(t)n∑i=1
σni (t, T )dWi(t).
Dus is
d lnQ(t) =1
Q(t)dQ(t)− 1
2
1
Q2(t)dQ(t)dQ(t)
=
n∑i=1
σni (t, T )dWi(t)−1
2
n∑i=1
(σni (t, T ))2 dt en
Q(t) = Q(0) exp
n∑i=1
ˆ t
0σni (ν, T ) dWi(ν)− 1
2
n∑i=1
ˆ t
0(σni (ν, T ))2 dν
.
Volgens de stelling van Girsanov is dan inderdaad Wi(t) −´ t
0 σni (ν, T )dν, voor i = 1, . . . , n
een Brownse beweging onder de T1-voorwaartse maat met Radon-Nikodymafgeleide Q(t).Berekenen we de dynamiek van Fr(t, T1, T2), gebaseerd op de risiconeutrale dynamieken vanBr(t, T0, T ) en het lemma van Ito, dan geldt er ook
dFr(t, T1, T2)
Fr(t, T1, T2)=
n∑i=1
(σri (t, T2)− σri (t, T1))(dWi(t)− σri (t, T1)dt). (4.22)
Wegens (4.11) hebben we
dBr(t, T0, T1) = Br(t, T0, T1)
(rn(t)dt+
n∑i=1
σri (t, T1)dWi(t)
),
dBr(t, T0, T2) = Br(t, T0, T2)
(rn(t)dt+
n∑i=1
σri (t, T2)dWi(t)
).
Stellen weX(t) = Br(t, T0, T2) en Y (t) = Br(t, T0, T1),
72
dan is
dFr(t, T1, T2) = d
(X(t)
Y (t)
)= X(t)d
(1
Y (t)
)+
1
Y (t)dX(t) + dX(t)d
(1
Y (t)
)= − X(t)
Y 2(t)dY (t) +
X(t)
Y 3(t)dY (t)dY (t) +
1
Y (t)dX(t)− 1
Y 2(t)dX(t)dY (t)
+1
Y 3(t)dX(t)dY (t)dY (t)
= −Fr(t, T1, T2)
[rn(t)dt+
n∑i=1
σri (t, T1)dWi(t)
]+ Fr(t, T1, T2)
n∑i=1
(σri (t, T1))2 dt
+ Fr(t, T1, T2)
[rn(t)dt+
n∑i=1
σri (t, T2)dWi(t)
]
− Fr(t, T1, T2)
n∑i=1
σri (t, T1)σri (t, T2)dt+ 0
= Fr(t, T1, T2)
[n∑i=1
(σri (t, T2)− σri (t, T1))(dWi(t)− σri (t, T1))
].
Het bestaan van zowel (4.21) als (4.22) legt een voorwaarde op de volatiliteitsfuncties van dereele obligaties.
Propositie 9 (Consistentievoorwaarde). Voor arbitrageprijszetting moeten de volatili-teitsfuncties van reele obligaties voldoen aan de volgende voorwaarde:
n∑i=1
(σri (t, T2)− σri (t, T1))(σni (t, T1)− σri (t, T1)) = 0. (4.23)
Deze consistentievoorwaarde is equivalent met zeggen dat
Cov
(d
(Br(t, T0, T2)
Br(t, T0, T1)
), d
(Bn(t, T1)
Br(t, T0, T1)
))= 0.
Een intuıtieve interpretatie is hier niet mogelijk, maar we kunnen aantonen dat de consisten-tievoorwaarde geldt wanneer de voorwaartse reele rentevoet en de inflatievoet ongecorreleerdzijn. Immers
Bn(t, T1)
Br(t, T0, T1)= E
[exp
(−ˆ T1
T0
i(s) ds
)∣∣∣∣F(t)
],
73
namelijk
Bn(t, T1)
Br(t, T0, T1)=
E[
exp(−´ T1
t rn(s) ds)∣∣∣F(t)
]I(t)I(T0) E
[exp
(−´ T1
t (rn(s)− i(s)) ds)∣∣∣F(t)
] wegens (4.5)
=I(T0)
I(t)E[
exp
(−ˆ T1
ti(s) ds
)∣∣∣∣F(t)
]= E
[exp
(ˆ T0
ti(s) ds
)exp
(−ˆ T1
ti(s) ds
)∣∣∣∣F(t)
]wegens (4.3)
= E[
exp
(−ˆ T1
T0
i(s) ds
)∣∣∣∣F(t)
]Anderzijds is de reele voorwaartse rentevoet gedefinieerd als
fr(t, T1, T2) =1
T2 − T1
(Br(t, T0, T1)
Br(t, T0, T2)− 1
).
We schrijven de consistentievoorwaarde nu in een andere vorm. Stel
σIi (t, T ) = σni (t, T )− σri (t, T ), voor i = 1, . . . , n
de volatiliteit van BI(t, T0, T ). Deel (4.23) door (T2−T1) en laat T2 → T1 = T , dan bekomenwe
limT2→T
1
T2 − T
n∑i=1
(σri (t, T2)− σri (t, T ))σIi (t, T ) = 0
Dit is niets anders dan de definitie van de afgeleide via het differentiequotient
⇔n∑i=1
∂σri∂T
(t, T )σIi (t, T ) = 0.
Deze versie van de consistentievoorwaarde,
n∑i=1
∂σri∂T
(t, T )σIi (t, T ) = 0, (4.24)
zal verder gebruikt worden om een HJM model af te leiden met ogenblikkelijke inflatievoeten.Door gebruik te maken van (4.8) en (4.21) kunnen we de dynamieken van de voorwaartseinflatievoet fI(t, T1, T2) afleiden.
Propositie 10. Onder de risiconeutrale maat P is de bepalende vergelijking voor de eenvou-dige voorwaartse inflatievoet
d
(fI(t, T −∆T, T ) +
1
∆T
)=
(fI(t, T −∆T, T ) +
1
∆T
)( n∑i=1
γIi (t, T )(dWi(t)− σni (t, T )dt)
),
(4.25)waarbij
γIi (t, T ) = σIi (t, T −∆T, T )− σIi (t, T ), voor i = 1, . . . , n
het volatiliteitspercentage is van de verschoven voorwaartse inflatievoet.
74
Bewijs. Voor de algemeenheid stellen we T = T2 en ∆T = T2 − T1, dan is (4.17) gelijk aan:
fI(t, T −∆T, T ) =1
∆T
(BI(t, T −∆T )
BI(t, T )− 1
)fI(t, T −∆T, T ) +
1
∆T=
1
∆T
Bn(t, T −∆T )
Br(t, T0, T −∆T )
Br(t, T0, T )
Bn(t, T )zie (4.14)
fI(t, T −∆T, T ) +1
∆T=
1
∆T
Bn(t, T −∆T )Fr(t, T −∆T, T )
Bn(t, T ).
We gebruiken de dynamieken van Fr(t, T1, T2), (4.21), en Bn(t, T ), (4.8) en passen het lemmavan Ito toe.
d
(fI(t, T −∆T, T ) +
1
∆T
)=
1
∆TFr(t, T −∆T, T )d
(Bn(t, T −∆T )
Bn(t, T )
)+
1
∆T
Bn(t, T −∆T )
Bn(t, T )dFr(t, T −∆T, T )
+1
∆TdFr(t, T −∆T, T )d
(Bn(t, T −∆T )
Bn(t, T )
),
met
d
(Bn(t, T −∆T )
Bn(t, T )
)= Bn(t, T −∆T )d
(1
Bn(t, T )
)+
1
Bn(t, T )dBn(t, T −∆T ) + dBn(t, T −∆T )d
1
Bn(t, T )
= −Bn(t, T −∆T )
B2n(t, T )
dBn(t, T ) +Bn(t, T −∆T )
B3n(t, T )
dBn(t, T )dBn(t, T )
+1
Bn(t, T )dBn(t, T −∆T )− 1
B2n(t, T )
dBn(t, T )dBn(t, T −∆T ) + 0
= −Bn(t, T −∆T )
Bn(t, T )
[rn(t)dt+
n∑i=1
σni (t, T )dWi(t)
]+Bn(t, T −∆T )
Bn(t, T )
n∑i=1
(σni (t, T ))2 dt
+Bn(t, T −∆T )
Bn(t, T )
[rn(t)dt+
n∑i=1
σni (t, T −∆T )dWi(t)
]
− Bn(t, T −∆T )
Bn(t, T )
n∑i=1
σni (t, T )σni (t, T −∆T )dt
=Bn(t, T −∆T )
Bn(t, T )
[n∑i=1
(σni (t, T −∆T )− σni (t, T ))(dWi(t)− σni (t, T )dt)
].
75
Dus
d
(fI(t, T −∆T, T ) +
1
∆T
)=
1
∆TFr(t, T −∆T, T )
Bn(t, T −∆T )
Bn(t, T )
[n∑i=1
(σni (t, T −∆T )− σni (t, T ))(dWi(t)− σni (t, T )dt)
]
+1
∆TFr(t, T −∆T, T )
Bn(t, T −∆T )
Bn(t, T )
×
[n∑i=1
(σri (t, T )− σri (t, T −∆T ))(dWi(t)− σni (t, T −∆T )dt)
]
+1
∆TFr(t, T −∆T, T )
Bn(t, T −∆T )
Bn(t, T )
×
[n∑i=1
(σni (t, T −∆T )− σni (t, T ))(σri (t, T )− σri (t, T −∆T ))dt
]
=
(fI(t, T −∆T, T ) +
1
∆T
)(
n∑i=1
[(σni (t, T −∆T )− σni (t, T )) + (σri (t, T )− σri (t, T −∆T ))] dWi(t)
+n∑i=1
[−σni (t, T −∆T )σni (t, T ) + (σni (t, T ))2 − σri (t, T )σni (t, T −∆T )
+σri (t, T −∆T )σni (t, T −∆T ) + σni (t, T −∆T )σri (t, T )
−σni (t, T −∆T )σri (t, T −∆T ) + σni (t, T )σri (t, T −∆T )
−σni (t, T )σri (t, T )] dt)
=
(fI(t, T −∆T, T ) +
1
∆T
)( n∑i=1
(σIi (t, T −∆T )− σIi (t, T ))dWi(t)
−n∑i=1
σni (t, T )(σIi (t, T −∆T )− σIi (t, T ))
).
Hiermee hebben we uitdrukking (4.25) aangetoond.
De verschoven dynamieken (4.25) voor de enkelvoudige inflatievoeten hebben ten minstetwee belangrijke kenmerken. Als eerste laten ze de inflatievoeten toe om positieve en nega-tieve waarden aan te nemen, waardoor zowel inflatie als deflatie van de economische omgevingkan worden voorgesteld. Er is een ondergrens, − 1
∆T , van de inflatievoet die de prijzen vangoederen effectief verhindert om negatief te worden.Als tweede zijn de dynamieken analytisch op te stellen voor het prijzen van derivaten. Omafgeleide producten te prijzen gebruiken we (4.25) samen met een termijnstructuurmodelvoor nominale rentevoeten, bij voorkeur een model met eenvoudige samengestelde nominalevoorwaartse rentevoeten. De keuze voor een termijnstructuur met eenvoudige nominale voor-waartse rentevoetpunten valt dan op het LIBOR marktmodel, wat het benchmarkmodel isvoor nominale rentevoeten en een aantal belangrijke kenmerken heeft voor een termijnstruc-tuurmodel.
76
We kunnen nu een uitgebreid marktmodel voorstellen voor inflatievoeten. De toestandsva-riabelen bestaan uit twee spanningsstromen voorwaartse rentevoeten en voorwaartse infla-tievoeten, fnj (t) = fn(t, Tj , Tj+1) en f Ij (t) = fI(t, Tj−1, Tj), j = 1, 2, . . . , N , die de volgendedynamieken volgen
dfnj (t) =
n∑i=1
fnj (t)γni (t, Tj)(dWi(t)− σni (t, Tj+1)dt),
d
(f Ij (t) +
1
∆Tj
)=
(f Ij (t) +
1
∆Tj
) n∑i=1
γIi (t, Tj)(dWi(t)− σni (t, Tj), (4.26)
waarbij
σni (t, Tj+1) = −j∑
k=ηt
∆Tk+1fnk (t)
1 + ∆Tk+1fnk (t)
γni (t, Tk),
enηt = min(i | Ti > t). (4.27)
Zoals we verder zullen zien met de lognormale processen voor nominale rentevoeten en voor-waartse inflatievoeten kan de prijszetting van inflatiegelinkte derivaten zeer gemakkelijk ge-maakt worden.
4.2.3 Het uitgebreide model van Heath, Jarrow en Morton
Analoog aan de introductie van de nominale voorwaartse rentevoeten introduceren we nu deogenblikkelijke voorwaartse inflatievoeten, fI(t, T ), door middel van
fI(t, T ) = −∂ lnBI(t, T )
∂T, ∀T ≥ t, (4.28)
of
BI(t, T ) = exp
−ˆ T
tfI(t, s) ds
.
Volgens (4.14) kunnen we de ogenblikkelijke voorwaartse rentevoet uitdrukken als
fI(t, T ) = −∂ lnBI(t, T0, T )
∂T=∂ ln
(Br(t,T0,T )Bn(t,T )
)∂T
, ∀T ≥ t.
De dynamieken van fI(t, T ) volgen dus uit deze van Bn(t, T ) en Br(t, T0, T ). Door gebruikte maken van het lemma van Ito bekomen we
−d lnBI(t, T0, T )
= d ln
(Br(t, T0, T )
Bn(t, T )
)=
Bn(t, T )
Br(t, T0, T )d
(Br(t, T0, T )
Bn(t, T )
)− 1
2
B2n(t, T )
B2r (t, T0, T )
d
(Br(t, T0, T )
Bn(t, T )
)d
(Br(t, T0, T )
Bn(t, T )
),
77
met
d
(Br(t, T0, T )
Bn(t, T )
)= Br(t, T0, T )d
(1
Bn(t, T )
)+
1
Bn(t, T )dBr(t, T0, T ) + dBr(t, T0, T )d
(1
Bn(t, T )
)= −Br(t, T0, T )
B2n(t, T )
dBn(t, T ) +Br(t, T0, T )
B3n(t, T )
dBn(t, T )dBn(t, T ) +1
Bn(t, T )dBr(t, T0, T )
− 1
B2n(t, T )
dBr(t, T0, T )dBn(t, T ) + 0
= −Br(t, T0, T )
Bn(t, T )
[rn(t)dt+
n∑i=1
σni (t, T )dWi(t)
]+Br(t, T0, T )
Bn(t, T )
n∑i=1
(σni (t, T ))2 dt
+Br(t, T0, T )
Bn(t, T )
[rn(t)dt+
n∑i=1
σri (t, T )dWi(t)
]− Br(t, T0, T )
Bn(t, T )
n∑i=1
σni (t, T )σri (t, T )dt
=Br(t, T0, T )
Bn(t, T )
[n∑i=1
(σri (t, T )− σni (t, T ))(dWi(t)− σni (t, T )dt)
].
Hierdoor is
−d lnBI(t, T0, T ) = −n∑i=1
σIi (t, T )dWi(t)+n∑i=1
σIi (t, T )σni (t, T )dt− 1
2
n∑i=1
(σIi (t, T ))2dt. (4.29)
Als we de bovenstaande vergelijking afleiden naar T en gebruik maken van de consistentie-voorwaarde (4.24), dan krijgen we
dfI(t, T ) = −n∑i=1
∂σIi∂T
(t, T )dWi(t) +n∑i=1
∂σIi∂T
(t, T )σni (t, T )dt+n∑i=1
σIi (t, T )∂σni∂T
(t, T )dt
−n∑i=1
σIi (t, T )∂σIi∂T
(t, T )dt
= −n∑i=1
∂σIi∂T
(t, T )(dWi(t)− σni (t, T )dt
)+
n∑i=1
σIi (t, T )
(∂σni∂T
(t, T )− σIi∂T
(t, T )
)dt
= −n∑i=1
∂σIi∂T
(t, T )(dWi(t)− σni (t, T )dt
)+
n∑i=1
σIi (t, T )∂σri∂T
(t, T )dt
= −n∑i=1
∂σIi∂T
(t, T )(dWi(t)− σni (t, T )dt
), wegens (4.24). (4.30)
Vergelijking (4.30) toont aan dat fI(t, T ) een martingaal is onder PT en dat zijn dynamiekenvolledig bepaald worden door de volatiliteiten van de voorwaatse nominale rente- en inflatie-voeten. De gezamelijke vergelijkingen (4.10) en (4.30) vormen het zogenaamde uitgebreideHeath-Jarrow-Morton model voor nominale intrest- en inflatievoeten.
dfn(t, T ) = −n∑i=1
∂σni∂T
(t, T )(dWi(t)− σni (t, T )dt
)dfI(t, T ) = −
n∑i=1
∂σIi∂T
(t, T )(dWi(t)− σni (t, T )dt
).
78
Voor toepassingen van het model zullen we eerst de volatitliteiten van de voorwaartse rente-voeten en voorwaartse inflatievoeten beschrijven, gedefinieerd door
σni (t, T ) = −∂σni
∂T(t, T )
σIi (t, T ) = −∂σIi
∂T(t, T ),
voor i = 1, . . . , n.In termen van σni (t, T ) en σIi (t, T ) kunnen we de volatiliteiten van nominale nulcouponobli-gaties uitdrukken als
σni (t, T ) = −ˆ T
tσni (t, s) ds, voor i = 1, . . . , n.
Het uitgebreide HJM-model met gezamelijke vergelijking voor de voorwaartse rente- en infla-tievoeten wordt dan
dfn(t, T ) =n∑i=1
σni (t, T )dWi(t) +n∑i=1
σni (t, T )
(ˆ T
tσni (t, s) ds
)dt
dfI(t, T ) =n∑i=1
σIi (t, T )dWi(t) +n∑i=1
σIi (t, T )
(ˆ T
tσni (t, s) ds
)dt
(4.31)
De initiele termijnstructuren van voorwaartse rentevoeten en inflatievoeten dienen als inputvoor deze vergelijkingen.We zetten nu het verband uiteen tussen dit model en het model van Jarrow en Yildirim(2003) gebaseerd op vreemde-muntanalogie. De ogenblikkelijke reele voorwaartse rentevoetenvoldoen aan
fr(t, T ) = fn(t, T )− fI(t, T ).
Er geldt immers dat
fr(t, T ) = −∂ lnBr(t, T0, T )
∂Ten
fn(t, T )− fI(t, T ) = −∂ lnBn(t, T )
∂T−∂ ln
(Br(t,T0,T )Bn(t,T )
)∂T
= −∂ lnBn(t, T )
∂T− ∂ lnBr(t, T0, T )
∂T+∂ lnBn(t, T )
∂T
= −∂ lnBr(t, T0, T )
∂T.
Stel
σri (t, T ) = −∂σri
∂T(t, T ) = σni (t, T )− σIi (t, T ), voor i = 1, . . . , n.
Dan geldt
σri (t, T ) = −ˆ T
tσri (t, s) ds+ σIi (t), voor alle i = 1, . . . , n
79
waarbij σI(t) de volatiliteitsvector is van de CPI I(t). Als we de twee vergelijkingen van(4.31) van elkaar aftrekken en de consistentievoorwaarde (4.24) toepassen dan verkrijgen weuiteindelijk
dfr(t, T ) =
n∑i=1
(σni (t, T )− σIi (t, T ))dWi(t)−n∑i=1
(σni (t, T )− σIi (t, T ))σni (t, T )dt
=
n∑i=1
σri (t, T )dWi(t)−n∑i=1
σri (t, T )(σri (t, T ) + σIi (t, T ))
=
n∑i=1
σri (t, T )dWi(t)−n∑i=1
σri (t, T )σri (t, T ) +
n∑i=1
σri (t, T )σIi (t, T ))
=
n∑i=1
σri (t, T )dWi(t) +
n∑i=1
σri (t, T )
(ˆ T
tσri (t, s) ds− σIi (t)
)dt. (4.32)
Deze vergelijking is identiek aan de dynamieken voor de reele voorwaartse rentevoeten diebekomen werden door Jarrow en Yildirim (2003), zie (3.14). Dit model is dus consistentmet het model van Jarrow en Yildirim (2003) dat bekomen werd door gebruik te maken vande vreemde-muntanalogie, nochtans een heel verschillende benadering. Met deze resultatentonen we aan dat dit model en het model van Jarrow en Yildirim twee varianten zijn vaneenzelfde model voor inflatiegelinkte derivaten.Leung en Wu (2011) staan echter weigerachtig tegenover de vreemde-muntanalogie omdatze σI(t) = 0 krijgen. De dynamiek van de CPI volgt uit de definitie van CPI (4.3) en devergelijking van Fisher
dI(t) = i(t)I(t)dt = (rn(t)− rr(t))I(t)dt, (4.33)
en dit eenvoudig feit werd volgens Leung en Wu (2011) lang over het hoofd gezien in deliteratuur over inflatiemodellering. Het gevolg is dat de CPI niet behandeld kan worden alseen wisselkoers tussen de nominale en de reele economien, tenzij deze volledig bepaald wordtdoor de rentevoeten van de twee economien zoals in (4.33).
4.3 Prijzen van YYIIS
De prijs van een YYIIS is het verschil in de waarde van de vaste en variabele betaling. Terwijlde vaste betaling geprijsd wordt als een annuıteit, wordt de variabele betaling geprijsd door
80
de verwachtingswaarde van elke betaling te verdisconteren als
V(j)float(t) = N E
[e−´ Tjt rn(s) ds
(I(Tj)
I(Tj−1)− 1
)∣∣∣∣F(t)
], zie (4.6)
= NBn(t, Tj)EPTj[(
I(Tj)
I(Tj−1)− 1
)∣∣∣∣F(t)
]wegens verandering van maat met Q(t) =
Bn(t, Tj)
Bn(0, Tj)Rn(t)
en de regel van Bayes (Stelling 1)
= N∆TjBn(t, Tj)EPTj [fI(Tj , Tj−1, Tj)|F(t)] , zie (4.19)
= N∆TjBn(t, Tj)EPTj [f Ij (Tj)|F(t)], notatie f Ij (t)
= N∆TjBn(t, Tj)fIj (t),
want f Ij (t) is een PTj -martingaal, zie Propositie 10
gevolgd door de som te nemen over alle j = 1, . . . , Nfl
Vfloat(t) = N
Nfl∑j=1
∆TjBn(t, Tj)fIj (t).
Het resultaat dat hiermee bekomen wordt verschilt enorm van de huidige praktijk die op demarkt gebruikt wordt, waarbij het prijzen van YYIIS geen gebruik maakt van de voorwaartseinflatievoeten bekomen door ZCIIS. In de bestaande literatuur gebeurt het prijzen van YYIIS,gebaseerd op ZCIIS, modelafhankelijk. Met dit resultaat weten we dat YYIIS kunnen en zou-den moeten geprijsd worden, consistent met ZCIIS, omdat er anders arbitragemogelijkhedenzullen optreden.
4.4 Prijzen van Inflatiecaps
Met het zicht op de verschoven processen voor eenvoudige voorwaartse inflatievoeten kun-nen we een caplet met een nominale waarde 1 rechtstreeks prijzen volgens de risiconeutraleprijszettingsformule als volgt:
∆TjE
[Rn(t)
Rn(Tj)
(1
∆Tj
(I(Tj)
I(Tj−1)− 1
)−K
)+∣∣∣∣∣F(t)
]zie (4.7)
= ∆TjRn(t)E
[(f Ij (Tj)−K)+
Rn(Tj)
∣∣∣∣∣F(t)
]zie (4.19) en notatie f Ij (t)
= ∆TjBn(t, Tj)EPTj[((
f Ij (Tj) +1
∆Tj
)−(K +
1
∆Tj
))+∣∣∣∣∣F(t)
]
wegens verandering van maat met Q(t) =Bn(t, Tj)
Bn(0, Tj)Rn(t)
en de regel van Bayes (Stelling 1)
81
= ∆TjBn(t, Tj)EPTj[(
f Ij (Tj) +1
∆Tj
)IfIj (Tj)+
1∆Tj
>K+ 1∆Tj
∣∣∣∣∣F(t)
]
−∆TjBn(t, Tj)
(K +
1
∆Tj
)EPTj
[IfIj (Tj)+
1∆Tj
>K+ 1∆Tj
∣∣∣∣∣F(t)
]
Analoog zoals in Hoofdstuk 2 kunnen we dit schrijven als
= ∆TjBn(t, Tj)
[(f Ij (t) +
1
∆Tj
)Φ(h)−
(K +
1
∆Tj
)Φ(h− q)
], (4.34)
waarbij Φ(·) de standaardnormale cummulatieve verdelingsfunctie is en
h =1
q
[ln
(f Ij (t) + 1
∆Tj
K + 1∆Tj
)+
1
2q2
],
met
q2 =n∑i=1
ˆ Tj
t
(γIi (s, Tj)
)2ds
de variantie van ln
(fIj (t)+ 1
∆Tj
)(fIj (Tj)+
1∆Tj
).
De inflatiegeındexeerde cap met maturiteit TN en uitoefenprijs K is de som van een reeksinflatiegeındexeerde caplets met de cashflows op Tj voor j = 1, . . . , N . We duiden de prijsvan de inflatiegeındexeerde cap op tijd t aan als IICap(t;N,K), waarbij T0 < t ≤ T1 metcashflow-data Tj , j = 1, . . . , n en uitoefenprijs K. Volgens (4.34) hebben we dan
IICap(t;N,K) =
N∑j=1
∆TjBn(t, Tj)
[(f Ij (t) +
1
∆Tj
)Φ(h)−
(K +
1
∆Tj
)Φ(h− q)
].
(4.35)Gegeven inflatiecaps met verschillende maturiteiten, dan kunnen we vervolgens σj(t), degeımpliceerde caplet-volatiliteiten, bepalen via bootstrapping op een parametrische of eenniet-parametrische wijze. Met bijkomende informatie over de correlaties tussen inflatievoeten
van verschillende maturiteiten kunnen we γ(I)j , de volatiliteit van de inflatievoeten, bepalen en
dus de verschoven dynamieken volledig bepalen voor voorwaartse inflatievoeten. We kunnen
ook de inflatieswaptionsprijzen erin substitueren om de γ(I)j ’s te bepalen.
4.5 Prijzen van Inflatiegeındexeerde Swaptions
Een Year-on-Year Inflation-Indexed Swaption (YYIISO) is een optie op het aangaan vaneen YYIIS op maturiteit van de optie. Gebaseerd op het voorgaande marktmodel (4.26)willen we aantonen dat een voorwaartse inflatie swap rentevoet met een verplaatsing eenmartingaal is onder een gewone voorwaartse nominale swapmaat. In plaats van aan te nemendat de inflatieswap rentevoet lognormaal verdeeld is zoals in Hinnerich (2008), bewijzen wedat de verschoven inflatie swap rentevoet een Gaussische martingaal is en waarvoor we eenlognormale dynamiek produceren door middel van ‘freezing coefficients’. Het prijzen van de
82
swaption in gesloten vorm volgt dan.We leiden vervolgens de uitdrukking voor inflatie swap rentevoet af. Zonder verlies vanalgemeenheid mogen we aannemen dat de frequentie van betaling dezelfde is voor beide vasteen variabele betalingen. De waarde van een YYIIS van een koper over de periode [Tm, Tn] optijd t ≤ Tm voor een swap met uitoefenprijs K wordt gegeven door
Ym,n(t,K) =n∑
i=m+1
∆TiBn(t, Ti)EPTi
[1
∆Ti
(I(Ti)
I(Ti−1)− 1
)−K
∣∣∣∣F(t)
]
=n∑
i=m+1
∆TiBn(t, Ti)EPTi [f Ii (Ti)−K|F(t)] (4.36)
=
n∑i=m+1
∆TiBn(t, Ti)(fIi (t)−K), (4.37)
daar f Ij (t) een PTj -martingaal is (Propositie 10).De voorwaartse swap rentevoet op tijdstip t, genoteerd als Sm,n(t), wordt gedefinieerd als dewaarde van K die ervoor zorgt dat de waarde van de swap Ym,n(t,K) gelijk is aan 0. Dus
Sm,n(t) =
∑ni=m+1 ∆TiBn(t, Ti)f
Ii (t)∑n
i=m+1 ∆TiBn(t, Ti), (4.38)
of anders gezegd
Sm,n(t) +1
∆Tm,n=
∑ni=m+1 ∆TiBn(t, Ti)
(f Ii (t) + 1
∆Ti
)∑n
i=m+1 ∆TiBn(t, Ti)
=n∑
i=m+1
ωi(t)
(f Ii (t) +
1
∆Ti
), (4.39)
waarbij
ωi(t) =∆TiBn(t, Ti)
Am,n(t)en Am,n(t) =
n∑i=m+1
∆TiBn(t, Ti), (4.40)
en1
∆Tm,n=
n∑i=m+1
ωi(t)1
∆Ti.
We hebben de volgende resultaten voor de dynamieken van de swap rentevoet.
Propositie 11. De verschoven voorwaartse swap rentevoet Sm,n + 1∆Tm,n
is een martingaal
onder de kansmaat Pm,n die correspondeert met de numeraire Am,n(t). Bovendien is
d
(Sm,n(t) +
1
∆Tm,n
)=
(Sm,n(t) +
1
∆Tm,n
) n∑j=1
n∑i=m+1
[αi(t)γ
Ij (t, Ti) + (αi(t)− ωi(t))σnj (t, Ti)
]dW
(m,n)j (t),
(4.41)
83
waarbij dW (m,n)(t) een Pm,n-Brownse beweging is en
αi(t) =ωi(t)
(f Ii (t) + 1
∆Ti
)∑n
k=m+1 ωk(t)(f Ik (t) + 1
∆Tk
) , voor i = 1, . . . , n (4.42)
Bewijs. De martingaaleigenschap is gemakkelijk te zien omdat het de relatieve waarde istussen de variabele betaling en een annuıteit, die beide verhandelbaar zijn. Volgens (4.39) is
Sm,n(t) +1
∆Tm,n=
n∑i=m+1
ωi(t)
(f Ii (t) +
1
∆Ti
),
dus de dynamieken van de verschoven swap rentevoet worden bekomen door het gebruik vanhet lemma van Ito:
d
(Sm,n(t) +
1
∆Tm,n
)=
n∑i=m+1
(f Ii (t) +
1
∆Ti
)dωi(t) + ωi(t)d
(f Ii (t) +
1
∆Ti
)+ dωi(t)d
(f Ii (t) +
1
∆Ti
).
84
Opnieuw door toepassing van het lemma van Ito, zien we dat
dωi(t) = d
(∆TiBn(t, Ti)
An,m(t)
)= − 1
A2m,n(t)
∆TiBn(t, Ti)dAm,n(t) +1
A3m,n(t)
∆TiBn(t, Ti)dAm,n(t)dAm,n(t)
+1
Am,n(t)∆TidBn(t, Ti)−
1
A2m,n(t)
∆TidBn(t, Ti)dAm,n(t)
+1
A3m,n(t)
∆TidBn(t, Ti)dAm,n(t)dAm,n(t)
wegens (4.40) en (4.8)
= − ωi(t)
Am,n(t)
n∑k=m+1
∆TkBn(t, Tk)
rn(t)dt+
n∑j=1
σnj (t, Tk)dWj(t)
+
ωi(t)
A2m,n(t)
n∑k=m+1
∆TkBn(t, Tk)
rn(t)dt+
n∑j=1
σnj (t, Tk)dWj(t)
2
+ωi(t)
rn(t)dt+n∑j=1
σnj (t, Ti)dWj(t)
− ωi(t)
Am,n(t)
rn(t)dt+n∑j=1
σnj (t, Ti)dWj(t)
×
n∑k=m+1
∆TkBn(t, Tk)
rn(t)dt+
n∑j=1
σnj (t, Tk)dWj(t)
+ 0
= −ωi(t)rn(t)dt− ωi(t)n∑
k=m+1
∆TkBn(t, Tk)
Am,n(t)
n∑j=1
σnj (t, Tk)dWj(t)
+ωi(t)
n∑k=m+1
∆TkBn(t, Tk)
Am,n(t)
rn(t)dt+n∑j=1
σnj (t, Tk)dWj(t)
2
+ ωi(t)rn(t)dt
+ωi(t)n∑j=1
σnj (t, Ti)dWj(t)− ωi(t)n∑j=1
n∑k=m+1
∆TkBn(t, Tk)
Am,n(t)σnj (t, Tk)σ
nj (t, Ti)dt
wegens ωi(t) =∆TiBn(t, Ti)
Am,n(t)
= −ωi(t)n∑j=1
n∑k=m+1
ωk(t)σnj (t, Tk)dWj(t) + ωi(t)
n∑j=1
n∑k=m+1
ωk(t)σnj (t, Tk)dWj(t)
2
+ωi(t)
n∑j=1
σnj (t, Ti)dWj(t)− ωi(t)n∑j=1
n∑k=m+1
ωk(t)σnj (t, Tk)σ
nj (t, Ti)dt
veronderstel σAj(t) =
n∑k=m+1
ωk(t)σnj (t, Tk), voor j = 1, . . . , n
=n∑j=1
ωi(t)[−σAj(t)dWj(t) + σ2
Aj(t)dt+ σnj (t, Ti)dWj(t)− σAj(t)σj(t, Ti)dt]
=
n∑j=1
ωi(t)(σnj (t, Ti)− σAj(t))(dWj(t)− σAj(t)dt).85
Substitueren we deze uitdrukking en (4.26) in de dynamiek van de verschoven swap rentevoet,dan bekomen we
d
(n∑
i=m+1
ωi(t)
(f Ii (t) +
1
∆Ti
))
=
n∑i=m+1
(f Ii (t) +
1
∆Ti
)dωi(t) + ωi(t)d
(f Ii (t) +
1
∆Ti
)+ dωi(t)d
(f Ii (t) +
1
∆Ti
)
=n∑j=1
n∑i=m+1
ωi(t)
(f Ii (t) +
1
∆Ti
)(σnj (t, Ti)− σAj(t))(dWj(t)− σAj(t)dt)
+
n∑j=1
n∑i=m+1
ωi(t)
(f Ii (t) +
1
∆Ti
)γIj (t, Ti)(dWj(t)− σnj (t, Ti)dt)
+
n∑j=1
n∑i=m+1
ωi(t)
(f Ii (t) +
1
∆Ti
)γIj (t, Ti)(σ
nj (t, Ti)− σAj(t))dt
=n∑j=1
n∑i=m+1
ωi(t)
(f Ii (t) +
1
∆Ti
)(σnj (t, Ti)− σAj(t) + γIj (t, Tj))(dWj(t)− σAj(t)dt)
=n∑j=1
(n∑
k=m+1
ωk(t)
(f Ik (t) +
1
∆Tk
))
×n∑
i=m+1
ωi(t)(f Ii (t) + 1
∆Ti
)∑n
k=m+1 ωk(t)(f Ik (t) + 1
∆Tk
)(γIj (t, Ti) + σnj (t, Ti)− σAj(t))(dWj(t)− σAj(t)dt)
wegens (4.42)
=n∑j=1
(n∑
k=m+1
ωk(t)
(f Ik (t) +
1
∆Tk
))
×n∑
i=m+1
αi(t)(γIj (t, Ti) + σnj (t, Ti)− σAj(t))(dWj(t)− σAj(t)dt)
wat gelijk is aan (4.41) met dW(m,n)j = dWj(t)− σAj(t), voor j = 1, . . . , n.
We drukken tenslotte uit dat dW (t)−σA(t)dt een Brownse beweging is onder de martingaal-maat corresponderend met de numeraire Am,n(t). Stel dat Pm,n deze maat aanduidt, danwordt deze bepaald door de Radon-Nikodymafgeleide met de risiconeutrale maat P:
dPm,ndP
∣∣∣∣∣t
=Am,n(t)
Am,n(0)Rn(t)= Q(t), voor t ≤ Tn,
waarbij R(t) de eenheid van de geldmarktrekening voorsteld onder discrete samenstelling:
R(t) =
ηt−2∏j=0
(1 + fnj (Tj)∆Tj)
[1 + fnηt−1(Tηt−1)(t− Tηt−1)].
86
Door het lemma van Ito geldt:
dQ(t) =Am,n(t)
Am,n(0)d
(1
Rn(t)
)+
1
Am,n(0)Rn(t)dAm,n(t) +
1
Am,n(0)dAm,n(t)d
(1
Rn(t)
)= − Q(t)
Rn(t)dRn(t) +
1
Am,n(0)Rn(t)dAm,n(t) + 0
= −Q(t)(1 + fηt−1(Tηt−1))dt+1
Am,n(0)Rn(t)
n∑i=m+1
∆TiBn(t, Ti)rn(t)dt
+1
Am,n(0)Rn(t)
n∑i=m+1
∆TiBn(t, Ti)
n∑j=1
σnj (t, Ti)dWj(t)
wegens (4.40) is ∆TiBn(t, Ti) = ωi(t)Am,n(t)
= Q(t)
n∑j=1
n∑i=m+1
ωi(t)σnj (t, Ti)dWj(t)
wegens (4.42)
=n∑j=1
Q(t)σAj(t)dWj(t).
Dus is
d lnQ(t) =
n∑j=1
σAj(t)dWj(t)−1
2
n∑j=1
σ2Aj(t)dt
Q(t) = Q(0) exp
n∑j=1
ˆ t
0σAj(ν) dWj(ν)− 1
2
n∑j=1
σ2Aj(ν) dν
.
De Pm,n-Brownse beweging corresponderend met dW (t) wordt volgens de stelling van Girsa-nov gedefinieerd door
dW(m,n)j (t) = dWj(t)− σAj(t)dt, voor j = 1, . . . , n.
Met vaste benaderingscoefficienten kunnen we (4.41) omzetten in een lognormaal proces.We doen dit als volgt. Voor s ≤ t zetten we (4.41), conditioneel op F(t):
d
(Sm,n(s) +
1
∆Tm,n
)=
(Sm,n(s) +
1
∆Tm,n
)γIm,n(s)dW (m,n)(s), (4.43)
waarbij
γIm,n(s) =n∑j=1
n∑i=m+1
[αi(t)γIj (s, Ti) + (αi(t)− ωi(t))σnj (s, Ti)],
σj(s, Ti) = −i∑
k=ηt
∆Tk+1fnk (t)
1 + ∆Tk+1fnk (t)
γnj (s, Tk),
ηt = min(i | Ti > t).
87
Als resultaat van het selectief vasthouden van coefficienten is de volatiliteitsfunctie γIm,n(s)nu deterministisch, wat nodig is voor het prijzen van swaptions in gesloten vorm.We kunnen nu swaptions prijzen. Beschouw een YYIISO die verstrijkt op Tm met een on-derliggende YYIIS over de periode [Tm, Tn] en uitoefenprijs K. De prijs noteren we alsY Y IISO(t;Tm, Tn,K) op tijdstip t ≤ Tm. Dan geldt:
Y Y IISO(t;Tm, Tn,K)
= E[exp
(−ˆ Tm
tr(s) ds
)Am,n(Tm)(Sm,n(Tm)−K)+|F(t)
]= Am,n(t)EPm,n [(Sm,n(Tm)−K)+|F(t)
]= Am,n(t)EPm,n
[((Sm,n(Tm) +
1
∆Tm,n
)−(K +
1
∆Tm,n
))+
|F(t)
].
Opnieuw analoog zoals in Hoofdstuk 2 schrijven we deze uitdrukking in de volgende vorm.
= Am,n(t)
[(Sm,n(t) +
1
∆Tm,n
)Φ(h)−
(K +
1
∆Tm,n
)Φ(h− q)
], (4.44)
waarbij
h =1
q
[ln
(Sm,n(t) + 1
∆Tm,n
K + 1∆Tm,n
)+
1
2q2
],
met
q2 =n∑i=1
ˆ Tm
t(γIm,ni)
2(s) ds,
de variantie van ln
(Sm,n(t)+ 1
∆Tm,n
Sm,n(Tm)+ 1∆Tm,n
), zie (4.43).
In (4.44) nemen we ωi(s) vast op s = t om 1∆Tm,n
te evalueren. De αj ’s worden uitgedrukt
in termen van(f Ij (t) + 1
∆Tj
), daarom moeten we eerst
(f Ij (t) + 1
∆Tj
)al bereikt hebben voor
we deze prijszettingsformule kunnen toepassen.Technieken waarbij coefficienten gefixeerd worden zoals we hierboven toegepast hebben op(4.41) zijn populair in de industrie, ze zijn vaak zeer nauwkeurig in vele toepassingen.We benadrukken dat de prijsformule (4.44) in deze paragraaf een hedgingstrategie voortbrengtvoor swaptions. Voor elk tijdstip t moet de hedger Φ(h) eenheden van de onderligendeinflatieswap kopen (long). Vervolgens belegt of leent hij de uitkomsten van het kopen ofverkopen van de swap op de geldmarkt.
88
Besluit
We hebben een methode voorgesteld voor het prijzen van afgeleide producten volgens Heath,Jarrow en Morton (1992). Gegeven een initiele voorwaartse rentevoetcurve en een stochas-tische termijnstructuur die de fluctuaties van de voorwaartse rentevoeten beschrijft hebbenwe een arbitrageprijszettingsmodel ontwikkeld voor het waarderen van derivaten, waarbij dewaarden niet expliciet afhangen van de marktprijzen van risico. Dit laatste geldt dankzijeen no-arbitragevoorwaarde op de familie van de stochastische processen voor de voorwaartserentevoeten. Deze methode werd geıllustreerd aan de hand van enkele voorbeelden.
Verder hebben we dit HJM model toegepast, gebruik makend van de vreemde-muntanalogieom TIPS en gerelateerde afgeleide producten te prijzen (Jarrow en Yildirim, 2003). We ma-ken gebruik van een driefactoren HJM model. Ter illustratie hebben we de waarde bepaaldvan een optie op de inflatie-index.
Door de reele prijzen van nulcouponobligaties, die verhandelbaar zijn door ZCIIS, als toe-standsvariabelen van ons model te nemen konden we de termijstructuur van de voorwaartseinflatievoeten definieren (Leung en Wu, 2011). Hiermee hebben we een marktmodel opge-bouwd, evenals een uitgebreid HJM model. We hebben aangetoond dat dit uitgebreide HJMmodel met de voorwaartse inflatievoeten consistent is met het HJM model met de reele voor-waartse rentevoeten dat we eerder ontwikkeld hadden via de vreemde-muntanalogie. Hetmarktmodel hebben we vervolgens aangewend voor het prijzen van inflatiecaps en inflaties-waptions. Het prijzen van YYIIS is in tegenstelling hiermee niet modelafhankelijke zoals weopgemerkt hebben.
In deze laatste uiteenzetting bekwamen we eveneens de martingaaleigenschap van de voor-waartse inflatievoeten onder de voorwaartse maat met uitoefendatum gelijk aan de maturiteitvan de voorwaartse inflatievoet. We hebben een consistentievoorwaarde opgesteld, een nodigevoorwaarde voor de afwezigheid van arbitrage met de volatiliteiten van de nominale en reelenulcouponobligaties en onder deze voorwaarde een model opgesteld consistent met dat vanJarrow en Yilirim (2003). Als laatste belangrijk resultaat hebben Leung en Wu (2003) verdui-delijkt dat de volatiliteit van de CPI nul zou moeten zijn en hiermee de vreemde-muntanalogieondermijnd.
89
Bibliografie
K. Amin and R. Jarrow. Pricing Foreign Currency Options under Stochastic Interest Rates.Journal of International Money and Finance, 10:310–329, 1991.
M.J. Brennan and E.S. Schwartz. A Continuous-Time Approach to the Pricing of Bonds.Journal of Banking and Finance, 3:135–155, 1979.
J.C. Cox, J.E. Ingersoll, and S.A. Ross. A Theory of the Term Structure if Interest Rates.Econometrica, 53:385–407, 1992.
R.J. Elliott. Stochastic Calculus and Applications. Springer-Verslag, New York, 1982.
W. Feller. Two Singular Diffusion Problems. Annals of Mathematics, 54:173–182, 1951.
I. Fisher. The Theory of Interest. The Macmillan Company, 1930.
D. Heath, R. Jarrow, and A. Morton. Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates:A New Methodology for Contingent Claims Valutation. Econometrica, 60:77–105, 1992.
M. Hinnerich. Inflation-Indexed Swaps and Swaptions. Journal of Banking and Finance, 32:2293–2306, 2008.
T.S. Ho and S. Lee. Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims.Journal of Finance, 41:1011–1028, 1986.
N. Ikeda and S. Watanabe. Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes. North-Holland, New York, 1981.
C. Impens. Wiskundige Analyse III. Cursus Bachelor in de Wiskunde, Univeriteit Gent, 2006.
R. Jarrow and Y. Yildirim. Pricing Treasury Inflation Protected Securities and RelatedDerivatives using an HJM model. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 38(2):409–430, 2003.
S. Karlin and H. Taylor. A second Course in Stochastic Processes. Academic Press, NewYork, 1981.
P.E. Kopp. Martingales and Stochastic Integrals. Cambridge University Press, New York,1984.
K.S. Leung and L. Wu. Inflation Derivatives: From Market Model to Foreign CurrencyAnalogy. Submitted for publication, january 2011.
90
A. Morton. A Class of Stochastic Differential Equations Arising in Models for the Evolution ofBond Prices. Technical Report, School of Operations Research and Industrial Engineering,Cornell University, 1988.
S.E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance; Volume II: Continuous-Time Models. Springer-Verslag, New York, 2004.
A. Taylor and D. Lay. Introduction to Functional Analysis. John Wiley and Sons, New York,second edition, 1980.
91
