Geometrijski niz

Primjer:Nastavi niz:

a) 1, 2, 4, 8,…

b) 1,1

2,

1

4,

1

8,…

c) 1,−5,25,−125,…

a) 1, 2, 4, 8,…

Prvi član niza je 1, količnik svakog člana i njegovog prethodnog člana je 2 (svaki

član je dva puta veći od prethodnog), odnosno peti član je 8 ∙ 2 = 16 .

Rješenje je 16.

b) 1,1

2,

1

4,

1

8,…

Prvi član niza je 1, količnik svakog člana i njegovog prethodnog člana je 1

2, speti

član je 1

8∙

1

2 , odnosno član koji nedostaje je

1

16.

Rješenje je 1

16.

c) 1,−5,25,−125,…

Prvi član niza je 1, količnik svakog člana i njegovog prethodnog člana je −5, peti

član je −125 ∙ (−5), odnosno član koji nedostaje je 625.

Rješenje je 625.

Definicija: Geometrijski niz( geometrijska progresija) je niz brojeva

takav da je količnik( q) svakog člana i njegovog prethodnog

člana stalna.

𝒃𝟏 - prvi član

𝒃𝒏 - n-ti ili opšti član

q - količnik

𝑞 =𝑏2

𝑏1=

𝑏3

𝑏2 =

𝑏4

𝑏3= ⋯ =

𝑏𝑛

𝑏𝑛−1 - količnik svakog člana i njegovog prethodnog

člana je ista

Neka je dat geometrijski niz: 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3,… , 𝑏𝑛 .

𝑏1 𝑏2 = 𝑏1𝑞 𝑏3 = 𝑏1𝑞2 𝑏4 = 𝑏1𝑞

3

Uopšteno: 𝒃𝒏 = 𝒃𝟏𝒒𝒏−𝟏 𝑛 ≥ 2

𝑏𝑛2 = 𝑏𝑛−1 ∙ 𝑏𝑛+1 veza između tri uzastopna člana

geometrijskog niza (geometrijska sredina)

-zbir prvih n članova geometrijskog niza

𝑆𝑛 = 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 + ⋯+ 𝑏𝑛

možemo izračunati pomoću:

𝑺𝒏 = 𝒃𝟏𝟏−𝒒𝒏

𝟏−𝒒 𝑞 ≠ 1

𝑆𝑛 = 𝑛𝑏1 𝑞 = 1

Ako je 𝑞 > 1, geometrijski niz je rastući

Ako je 0 < 𝑞 < 1, geometrijski niz je opadajući

Primjer 2:Odredi q za nizove:

a) 1, 2, 4, 8,…

𝑞 =𝑏2

𝑏1=

2

1= 2 (niz je rastući)

b) 1,1

2,

1

4,

1

8,…

𝑞 =𝑏2

𝑏1=

1

2

1=

1

2 (niz je opadajući)

c) 1,−5,25,−125,…

𝑞 =𝑏2

𝑏1=

−5

1= −5

Primjer 3: Napisati geometrijski niz čiji je prvi član 𝒃𝟏 = 𝟒 i količnik 𝒒 =𝟏

𝟐.

𝑏1 = 4

𝑏2 = 𝑏1𝑞 = 4 ∙1

2= 2

𝑏3 = 𝑏1𝑞2 = 4 ∙

1

2

2

= 1

𝑏4 = 𝑏1𝑞3 = 4 ∙

1

2

3

=1

2

... ... ... ...

𝑏𝑛 = 𝑏1𝑞𝑛−1 = 4 ∙

1

2 𝑛−1

Niz: 𝟐,𝟏,𝟏

𝟐,… . ,𝟒 ∙

𝟏

𝟐 𝒏−𝟏

Primjer 4: Broj 486 je član geometrijskog niza 𝟐,𝟔,𝟏𝟖,𝟓𝟒, . .. Izračunati indeks tog

niza.

𝑏1 = 2

𝑞 =𝑏2𝑏1

=6

2= 3

𝑏𝑛 = 486

𝑛 =?

Formula za određvanje opšteg člana geometrijskog niza je 𝑏𝑛 = 𝑏1𝑞𝑛−1

𝑏𝑛 = 𝑏1𝑞𝑛−1

486=2 ⋅ 3𝑛−1

3𝑛−1 =486

2

3𝑛−1 = 243

3𝑛−1 = 35

𝑛 − 1 = 5

𝒏 = 𝟔

Primjer 5: Izračunati prvi i peti član geometrijski niza, ako je 𝒃𝟒 = 𝟓 i 𝒃𝟔 = 𝟐𝟎.

Formula za određvanje opšteg člana geometrijskog niza je 𝑏𝑛 = 𝑏1𝑞𝑛−1

𝑏4 = 𝑏1𝑞4−1 𝑏6 = 𝑏1𝑞

6−1

𝑏4 = 𝑏1𝑞3 𝑏6 = 𝑏1𝑞

5

5 = 𝑏1𝑞3 20 = 𝑏1𝑞

5

Podijeliti ove dvije jednakosti:

5

20=

𝑏1𝑞3

𝑏1𝑞5

1

4=

1

𝑞2

𝑞2 = 4

𝑞 = 2 ∨ 𝑞 = −2

Za 𝑞 = 2 : 5 = 𝑏1𝑞3 𝑏5 = 𝑏1𝑞

5−1

5 = 𝑏123 𝑏5 =

5

8∙ 24

5 = 𝑏18 𝑏5 =5

8∙ 16

𝒃𝟏 =𝟓

𝟖 𝒃𝟓 = 𝟏𝟎

Za 𝑞 = −2 : 5 = 𝑏1𝑞3 𝑏5 = 𝑏1𝑞

5−1

5 = 𝑏1(−2)3 𝑏5 = −

5

8∙ −2 4

5 = −𝑏18 𝑏5 = −5

8∙ 16

𝒃𝟏 = −𝟓

𝟖 𝒃𝟓 = −𝟏𝟎

Primjer6: Naći 8.član geometrijskog niza 𝟑,𝟗,𝟐𝟕,𝟖𝟏, . .. i zbir prvih 10 članova.

Formula za određvanje opšteg člana geometrijskog niza je: 𝒃𝒏 = 𝒃𝟏𝒒𝒏−𝟏

Ako tražimo 8.član onda je 𝑛 = 8 , odnosno tražimo 𝑏8

Treba odrediti prvi član ( 𝑏1) i razliku (𝑞)

𝑏1 = 3

𝑞 = 3 ( 𝑏2

𝑏1=

9

3 )

𝒃𝒏 = 𝒃𝟏𝒒𝒏−𝟏

𝑏8 = 𝑏1𝑞8−1

𝑏8 = 3 ∙ 37

𝑏8 = 38

𝒃𝟖 = 𝟔𝟓𝟔𝟏 ( ne morate računati, ukoliko vam ne treba za nastavak zadatka, ostaviti 38 )

Formula za određvanje zbira prvih n članova geometrijskog niza je: 𝑺𝒏 = 𝒃𝟏𝟏−𝒒𝒏

𝟏−𝒒

Ako tražimo zbir prvih 10.članova onda je 𝑛 = 10 , odnosno tražimo 𝑆10 ,

Već smo odredili prvi član ( 𝑏1 = 3) i razliku (𝑞 = 3)

𝑺𝒏 = 𝒃𝟏𝟏−𝒒𝒏

𝟏−𝒒

𝑆10 = 31−310 1

1−3

𝑆10 = 3 ∙1−59 049

3−1

𝑆10 = 3 ∙−59 048

−2

𝑺𝟏𝟎 = 𝟖𝟖 𝟓𝟕𝟐

Primjer7: Izračunati prvi član G.N. ako je zbir njegovih prvih 12 članova 8190, a

količnik 2.

𝑆12 = 8190

𝑞 = 2

𝑏1 =?

𝑆𝑛 = 𝑏1 ∙1−𝑞𝑛

1−𝑞

𝑆12 = 𝑏1 ∙1−𝑞12

1−𝑞

8190 = 𝑏1 ∙1−212

1−2

8190 = 𝑏1 ∙1−4096

−1

8190 = 𝑏1 ∙−4095

−1

8190 = 𝑏1 ∙ 4095

𝑏1 =8190

4095

𝒃𝟏 = 𝟐

Primjer8: Izračunati prvi član G.N. ako je 𝒃𝟓 − 𝒃𝟏 = 𝟏𝟓 , 𝒃𝟒 − 𝒃𝟐 = 𝟔

𝑏5 − 𝑏1 = 15 𝑏4 − 𝑏2 = 6

𝑏1𝑞4 − 𝑏1 = 15 𝑏1𝑞

3 − 𝑏1𝑞 = 6

𝑏1(𝑞4 − 1) = 15 𝑏1𝑞(𝑞

2 − 1) = 6

Podijelimo ove jednakosti:

𝑏1(𝑞4 − 1)

𝑏1𝑞(𝑞2 − 1)=

15

6

𝑏1 𝑞2 − 1 (𝑞2 + 1)

𝑏1𝑞(𝑞2 − 1)=

15

6

𝑏1 𝑞2 − 1 (𝑞2 + 1)

𝑏1𝑞(𝑞2 − 1)=

15

6

Skratimo:

𝑞2 + 1

𝑞=

5

2

2 𝑞2 + 1 = 5𝑞

2𝑞2 − 5𝑞 + 2 = 0

𝑞1,2 =5 ± (−5)2 − 4 ∙ 2 ∙ 2

22

𝑞1 =1

2 ∨ 𝑞2 = 2

𝑞1 =1

2 𝑞2 = 2

Zamijenimo u 𝑏1(𝑞4 − 1) = 15

𝑏1 1

2

4

− 1 = 15 𝑏1 24 − 1 = 15

𝑏1 1

16− 1 = 15 𝑏1 16 − 1 = 15

𝑏11−16

16= 15 𝑏1 ⋅ 15 = 15

𝑏1−15

16= 15 𝒃𝟏 = 𝟏

𝒃𝟏 = −𝟏𝟔

Primjer9: Izračunati 𝒃𝟏,𝒒,𝒏 kod koga je:

𝒃𝟕 − 𝒃𝟓 = 𝟒𝟖 𝒃𝟔 − 𝒃𝟒 = 𝟐𝟒 𝑺𝒏 = 𝟏𝟎𝟐𝟑

𝑏7 − 𝑏5 = 48 𝑏6 − 𝑏4 = 24

𝑏1𝑞6 − 𝑏1𝑞

4 = 48 𝑏1𝑞5 − 𝑏1𝑞

3 = 24

𝑏1𝑞4(𝑞2 − 1) = 48 𝑏1𝑞

3(𝑞2 − 1) = 24

Podijelimo:

𝑏1𝑞4(𝑞2 − 1)

𝑏1𝑞3(𝑞2 − 1)=

48

24

Skratimo:

𝑞 = 2

Izračunamo 𝑏1

𝑏1𝑞3(𝑞2 − 1) = 24

𝑏123(22 − 1) = 24

𝑏1 ⋅ 8 ⋅ (4 − 1) = 24

𝑏1 = 1

Iz 𝑆𝑛 odredimo 𝑛 :

𝑆𝑛 = 𝑏11−𝑞𝑛

1−𝑞

1023 = 1 ⋅1−2𝑛

1−2

1023 =1−2𝑛

−1

1023 = 2𝑛 − 1

1024 = 2𝑛

210 = 2𝑛

𝒏 = 𝟏𝟎

Za vježbu:

https://www.math10.com/problems/sr/zadaci-sa-geometrijskom-progresijom/easy/

https://www.math10.com/problems/sr/zadaci-sa-geometrijskom-progresijom/easy/

Primjeri geometrijskog niza:

Geometrijski niz opisuje eksponencijalni rast.

Tako o jednom geometrijskom nizu svaki dan govore epidemiolozi. Obratite pažnju dok

gledate vijesti.

A ja ću sad o nekim ljepšim:

U ekonomiji se geometriski niz često koristi, ali o toj primjeni ćemo više kada budemo

učili ekonomsku matematiku(uskoro).

Paradoks Zenoa, u kojem spretan Ahil ne može nadoknaditi sporu kornjaču, rješava se

korištenjem koncepta smanjenja beskonačnog niza brojeva.

Dječja igra Kule Hanoja: Potrebno je premjestiti diskove 2𝑛 − 1 puta, n je broj diskova.

I poznati primjer: priča o postanku šaha. Ispričali smo je prošle godine, a ako imate

vremena pročitajte je.

Kada je indijski car Sheram upoznao i naučio da igra šah, bio toliko oduševljen igrom, da je želio da dovedu čovjeka koji je izmislio šah kako bi ga lično nagradio. Pronalazač šaha je bio, skromno odjeven učenjak Seta. Car mu je rekao kako je oduševljen igom i želi ga bogato nagraditi. Rekao je kako može da bira bilo koju nagradu, jer je on car velikog carstva i toliko je moćan i bogat da mu može svaku želju ispuniti. Posle kratkog ćutanja, Seta mu je odgovorio kako će mu želju saopštiti sjutra.

Sjutradan, kada je Seta došao pred cara, odgovorio mu je kako bi želio žito. – Žito? – začuđujuće je pitao car – Koliko hoćeš žita? Koliko džakova, kola, ambara…

Seta mu je rekao da želi da mu se na prvo polje šahovske table stavi jedno zrno pšenice, na drugo 2 zrna, na treće 4 zrna, i tako dalje, da se na svako naredno šahovsko polje stavi dva puta veća količina nego na prethodnom polju i tako da se ispuni cijela šahovska tabla.

Car je shvatio kako je želja suviše skromna, i pomalo ljut, je odgovorio Seti kako će mu biti nagrada isporučena u toku dana. Seta se samo nasmješio i otišao. Kasnije tog dana, car je pitao sluge da li je isplaćeno žito Seti i dobio je odgovor kako dvorski matematičari još uvek računaju koliko žita treba isporučiti i da će to završiti tek rano ujutru.

Sledećeg dana kada su matematičari izračunali došli su pred cara i saopštili mu taj čaroban broj. Taj broj je toliko velik da nije u vašoj moći, gospodaru, isporučiti obećanu nagradu, reče matematičar. U svim vašim ambarima nema toliko zrna koliko treba isporučiti Seti. Nema ga dovoljno ni u žitnicama cijelog carstva. Nema ga toliko ni na svim prostranstvima zemlje.

Ako želite isporučiti obećanu nagradu, tada naredite da se sva zemlja pretvori u oranice, naredite da se isuše sva mora i okeani, naredite da se otopi sav led i snijeg koji pokriva daleke južne i sjeverne krajeve. Neka sva ta prostranstva budu zasijana pšenicom. I sve to, što rodi na tim poljima, naredite da daju Seti, tek tada bi on dobio svoju nagradu.

Car je zapanjeno pratio reči matematičara i upita ga koji je taj čudovišni broj. Matematičar mu reče: 18 446 744 073 709 551 615 (osamnaest kvadriliona četiri stotine četrdeset šest triliona sedam stotina četrdeset četiri biliona sedamdeset tri milijarde sedam stotina devet miliona pet stotina pedeset jedna hiljada šest stotina petnaest).

Ako u jednom kubnom metru pšenice staje približno 15.000.000 zrna žita. To znači, da bi Seta trebao dobiti 12.000 km3 žita, a sam ambar bi bio visine 300 000 000 km, što je jednako putu od Zemlje do Sunca i nazad.