Osnovni geometrijski objekti

ПРИПРЕМЕ НАСТАВНИКА

Разред: V

Назив предмета: математика (редовна настава)

Датум: 1

Наставна тема: Основни геометријски објекти

Наставна јединица: Тачка и линија

Тип часа: Час стицања нових знања

Облик рада: Фронтални

Наставна средства: Табла, фломастери, лењир

Исходи наставног рада:

По завршетку овог часа ученик треба да: правилно обележава тачке и линије правилно записује да ли тачка припада или не

припада некој линији закључи да свака линија садржи безброј тачака, као

и да се између било које две тачке које припадају некој линији такође налази безброј тачака.

Могући ток часа Коментар

1. Уводни део часа

У уводном делу часа покушати кратко подсећање на геометријске објекте који су уведени у претходним разредима ( дуж, права, квадрат, правоугаоник,...).

Уводни део часа не треба да траје дуже од 4–5 минута

Један од могућих почетака часа је питање: „Када посматрамо аутомобил који се удаљава, видимо га све мањег, а да ли се он заиста смањио?“.

Циљ овог питања је да ученици уоче да тачка не поседује ни ширину н идужину нити икакав облик.

Користећи реч тачка ми изражавамо само њено постојање. Да бисмо означили тачку, у геометрији, користимо врх оловке у свесци, односно врх фломастера ( креде ) на табли. Траг оловке изгледа као кружић, а поред њега записујемо име тачке. Тачке се обележавају великим штампаним словима латинице.

Циљ овог дела часа је да ученици стекну правилне навике означавања и обележавања основног геометријског објекта.

Ако желимо да повежемо две тачке канапом имамо неограничено могућности. Само једна могућност је да канап буде затегнут. Тад кажемо да је линија која спаја те две тачке права. Осталих могућности, када је канап незатегнут, је неограничено. Тад кажемо да је линија која спаја те две тачке крива. У оба случаја се ради о отвореним линијама. Њих

Циљ овог корака је разликовање правих и кривих линија.

обележавамо малим писаним словима латинице.

У следећем кораку захтевати да ученици самостално у својим свескама нацртају: линију која означава контуре њихове собе, затим контуре фудбалског игралишта и атлетске стазе око њега, па да уоче разлику између тих линија и облика канапа у претходном кораку. Именовати да се овде ради о затвореним линијама. Њих, такође, обележавамо малимписаним словима латинице.

Циљ овог корака је разликовање отворених и затворених линија.

2. Главни део часа

Захтевати да ученици самостално у свескама илуструју следећи пример:Тачкама V и Š треба да означе градове Ваљево и Шабац, отвореном линијом пут који их спаја, тачком К место Коцељеву која се налази на том путу, и тачком B Београд ван тог пута.Истаћи припадност тачака отвореној линији.

Циљ корака који следи је покушај да ученици уоче положај тачке у односу на отворену линију и да знају то да обележе употребом ознака и .

Захтевати и да наредну ситуацију ученици самостално илуструју:Затвореном кривом линијом к представити језеро, а словома А Ану која се купа у њему, М Мишу који се спрема да ускочи и Т Тому који се сунча на обали.Истаћи припадност тачака затвореној линији.

Циљ овог корака је истоветан претходном.

Закључити да тачка може да припада или да не припада линији.Ако тачка припада линији она је њен најситнији део па се зато и каже да се линија састоји од тачака.

Циљ овог корака је истицање да је свака линија састављена од тачака.

Ако су тачке А и B на линији l, између њих произвољно можемо изабрати тачку C1 која такође припада л. Затим, између А и C1 можемо произвољно изабрати тачку C2 која такође припада л, и наставити овакав одабир тачака у недоглед. Како број овако изабраних тачака неограничено расте и неће постојати последњи корак, закључити да линија АB има безброј тачака.

Циљ овог примера је да се закључи да свака линија садржи безброј тачака, као и да се између било које две тачке које припадају некој линији такође налази безброј тачака.

3. Завршни део часа

У завршном делу часа се врши петоминутно проверавање са следећим садржајем: 1. Представи тачкама данашњи распоред часова.2. Нацртај две отворене линије које се секу у 4 тачке.

Циљ овог подухвата је да се направи увид у оствареност предвиђених исхода, тј. степен овладаности помињаним појмовима. Напомена: ово проверавање се реализује уколико то време дозволи, а ако не дати ове задатке за домаћи рад.


Разред: V


Датум: 2


Наставна јединица: Тачка и линија

Тип часа: Час увежбавања стечених знања

Облик рада: Диференцирани



По завршетку овог часа ученик треба да: правилно обележава тачке и линије правилно записује да ли тачка припада или не

припада некој линији закључи да свака линија садржи безброј тачака, као

и да се између било које две тачке које припадају некој линији такође налази безброј тачака.



У уводном делу часа обавезно прегледати и анализирати домаћи задатак. Ученици који су успешно решили задатке презентују их на табли онима којима су ти задаци представљали проблем .

Уводни део часа не треба да траје дуже од 10 минута


Диференцирани приступ вежбању има идеју да основни захтев ( под а) буде доминантан и обавезан за све ученике, док су остали делови приступачни за оне ученике који брже савладавају градиво.

Задаци се ученицима презентују коришћењем наставних листића, како би неурађени задаци могли послужити за домаћи задатак. Нагласити да се задаци раде по реду јер је

негде додатни захтев нерешив без основног.

Даљи ток часа се реализује кроз примере:1.а) Напиши ћирилицом велико штампано слово А. Колико правих линија уочаваш? б) Напиши ћирилицом велико штампано слово В. Колико правих, а колико кривих линија уочаваш?2. а) Нацртај градове А и М и 4 пута који их спајају од којих је један прав. б) Додај цртежу и град К ког са М спајају 2 крива пута. в) На колико се различитих начина стиже из А у К ако се мора проћи кроз М? г) На колико се различитих начина може стићи из А у К ако се мора проћи кроз М, а једини прав пут је затворен због радова на путу?3. а) Нацртај отворену криву линију к и тачке А, О и Е које јој припадају. б) Нацртај затворену криву линију l која к сече у тачкама А и О. в) Нацртај праву линију p која к сече у Е, а са l нема заједничких тачака.4. Може ли пресек две криве отворене линије бити ( илуструј примером ) : а) тачка б) 2 тачке в) 10 тачака г) празан скуп д) права линија ђ) отворена линија е) затворена линија ж) прва крива линија?

На левом делу табле се могу излагати основни задаци и то раде просечни ученици, а након њих, на десном делу изложити додатне захтеве и то раде они ученици који су то успешно савладали у својим свескама. Решења основних захтева обавезно продискутовати.


Израда задатака се завршава 5 минута пре краја часа, уз претпоставку да су сви основни захтеви реализовани. Нереализовано остаје за домаћи задатак Ако је све планирано и реализовано за домаћи задати из Збирке са старне 15 задатке 2, 3 и 4.

Циљ оваквог домаћег задатка је обезбеђивање самосталног рада ученика.


Разред: V


Датум: 3


Наставна јединица: Права, полуправа, дуж





По завршетку овог часа ученик треба да: правилно обележава: праве, полуправе и дужи правилно записује да ли тачка припада или не

припада некој правој, полуправој, дужи уочава колинеарност пребројава: дужи, праве и полуправе



У уводном делу часа обавезно прегледати и анализирати домаћи задатак. Ученици који су успешно решили задатке презентују их на табли онима којима су ти задаци представљали проблем .

Довољно је да уводни део часа траје 5 минута.


Започети час питањем:„Да ли се слободном руком може нацртати права линија или ће она увек бити мало крива?“Инсистирати да се за цртање праве линије увек користи лењир.

Циљ овог дела часа је утемељити навику употребе прибора за геометрију.

Ако се на лењиром нацртаној правој линији не означе крајеви, то значи да се она може произвољно продужавати на обе стране. Таква линија се назива права. Цртамо увек само њен део и обележавамо га малим писаним словом латинице.

Сврха овог корака је правилно обележавање и означавање праве, као и разликовање исте од дужи.

Као што смо закључили да нека тачка може да припада или не припада линији, тако истакнемо да нека тачка или припада или не припада некој правој. Као и то да: две тачке увек припадају тачно једној правој.

Циљ овог корака је покушај да ученици уоче положај тачке у односу на праву и да знају то да обележе употребом ознака и .

Ако замислимо праву линију са почетком у тачки А коју можемо произвољно продужавати на ону страну где није та тачка, добићемо линију која са назива полуправа, а обележава Аp. Уколико тачка А припада правој p , она на њој одређује две полуправе. Обележаваћемо их Аp1 и Аp2.

Циљ овог корака је усвајање појма и начина обележавања полуправе.

Даљи ток часа реализовати кроз пример:Дата је права p и тачке А и B које јој припадају. Колико полуправих оне одређују?

Циљ израде овог примера је да ученик научи да исправно уочава и пребројава полуправе.

Искористити претходни пример да се истакне да две разне тачке неке праве увек ограничавају један њен део. А затим именовати да: део праве између двеју тачака укључујући и те две тачке називамо дуж. Те две тачке називамо крајњим тачкама дужи. Оне дају назив те дужи.Редослед читања крајњих тачака је небитан, па је, стога, свеједно рећи дуж АB или дуж BA.

Циљ овог корака је усвајање појма и начина обележавања дужи.

Даљи ток часа реализовати кроз пример:Дата је права p и тачке А, B и C које јој припадају. Колико је полуправих, а колико дужи њима одређено? Именуј све полуправе и све дужи.

Циљ израде овог примера је да ученик убежба да исправно уочава и именује полуправе као и да научи да пребројава и именује дужи.

Следећи корак наставити питањем:“Колико се кроз дату тачку А може нацртати различитих правих линија?“А затим и следећим:“Колико се кроз две различите тачке А и B може нацртати различитих правих линија?“

Циљ овог корака је да ученик закључи да две различите тачке одређују тачно једну праву.


У завршном делу часа задати ученицима да самостално у свескама одреде у ком све положају могу стајати 4 различите тачке (пример 7 из уџбеника), захтевати да се уочи кад три и више тачака припадају истој правој, али не инсистирати на појму килинеаран и тражити да се преброје одређене праве, полуправе и дужи у сваком од примера понаособ.

Циљ овог подухвата је да се направи увид у оствареност предвиђених исхода, тј. степен овладаности помињаним појмовима и коришћеним процедурама.


Разред: V


Датум: 4


Наставна јединица: Права, полуправа, дуж


Облик рада: Индивидуализирана настава



По завршетку овог часа ученик треба да: правилно обележава: праве, полуправе и дужи правилно записује да ли тачка припада или не

припада некој правој, полуправој, дужи уочава колинеарност пребројава: дужи, праве и полуправе



У уводном делу часа укратко поновити садржаје који су реализовани на претходним часовима.


Један од могућих почетака часа је питање: „Шта све може бити пресек две полуправе?“Захтевати да се открију сви пресеци, а могу их представљати на табли ученици, један по један, оним редоследом којим су их откривали.

Циљ овог задатка је утврђивање следећих појмова: празан скуп тачака, тачка, дуж, полуправа.


Даљи ток часа наставити примерима:1.Дата је права p, тачке А и B на њој и тачка C ван ње. Одредити:а) број дужи одређен датим тачкама.б) број полуправих одређен датим тачкамав) шта је заједничко за праву p и полуправу Ap1 ( истаћи да ћемо то убудуће називати

Поред пребројавања и одређивања пресека одређених скупова тачака, циљ овог корака је и да се ученицима стави до знања да ако нека дуж припада правој не можемо користити симболе као за припадност тачака ( и ), већ морамо користити симболе за подскупове( и ).

пресеком )г) шта је пресек полуправих Аp1 и Bp1

д) шта је пресек полуправих Аp1 и Bp2

ђ) шта је пресек полуправих Аp2 и Bp1

е) шта је пресек дужи АC са Bp1, а шта са Bp2.

2.Нацртај и означи 5 тачака тако да оне одређују:а) једну правуб) четири правев) шест правихг) десет правих.Именуј све праве у сваком од захтева и утврди могу ли се те тачке поставити у положај да одреде више од 10 правих

Циљ овог примера је увежбавање пребројавања али у тежем смеру. Овде је потребна и креативност

3. Нацртај дужи АB и CDтако да важи AB CD. Одреди пресек дужи AB и CD.

Овде се утврђује усвојеност појма и обележавања припадности.

4. Може ли пресек две полуправе које не припадају истој правој бити:а) празан скупб) тачкав) дужг) полуправад) права?5. Дате су три неколинеарне тачке А, В и С. Нацртај: а) праву р тако да А, Врб) праву а тако да Са и а׀׀рв) праву с тако да је Ас и с нормална на р.г) У ком су положају праве а и с?

Сваки потврдан одговор илустровати адекватним цртежом.

6. Ако су дате две дужи АB дужине 4cmи CD дужине 3cm, колику дужину може имати њихова пресечна дуж?

Уколико је овакав пример претежак, заменити питање питањима типа: „Може ли њихова пресечна дуж бити дугачка 1cm? А 2cm? А 3cm? А 4cm?“


У завршном делу часа наставник појединачно испитује ученике до ког су примера самостално стигли. Уколико није сигуран да ће добити меродавну информацију, анкету овог типа наставник може спровести анонимно тако што ће сваки ученик дати одговор на листићу. Затим задати за домаћи рад задатке 6, 7 и 8 из Збирке са страна 16 и 17.

Циљ овог домаћег задатка је да ученици самостално овладају пресецима скупова тачака.


Разред: V


Датум: 5


Наставна јединица: Раван





По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмом равни правилно представља и именује равни уочава припадност тачке равни разматра положај две праве у равни



У уводном делу часа покушати преко примера из природе ( равна површина језера кад нема ветра, нераван пут који је пун рупа ) повезати појам равни са стварним светом.Као модел равни користити: таблу, зид, лист свеске,...

Уводни део часа не треба да траје дуже од 3-4 минута


Раван замишљамо као много (безброј) правих које се све секу у истој тачки А (деца треба да их нацртају у свесци) које се простиру у свим правцима неограничено. Или је можемо

Задатак је да се правилно формирање појам равни у свести ученика.

замислити каоправоугаоник који ће се неограничено увећавати. Овде закључити како се равни не може утврдити ни дужина ни ширина, јер раван нема граница.

Раван ћемо увек представљати цртањем једног њеног дела, у виду правоугаоника или паралелограма, али ћемо замишљати да се он неограничено простире. За означавање равни ћемо користити слова грчог алафабета.

Циљ овог дела је да ученици стекну навику правилног обележавања и означавања равни.

Како се ученици први пут сусрећу са словима грчког алфабета (које ће ускоро користити и за означавање углова) треба им прецизно показати како се она записују, с обзиром да се далеко разликују од наших слова.

α – алфа β – бетаγ – гама δ –делтаπ – пи ρ – ро.

Подсетимо се да две разне тачке одређују тачно једну праву, па поставити питање: „Колико оне равни одређују?“ Закључити да таквих равни има безброј.

Циљ овог примера је да се покаже како раван није једнозначно одређена са две своје тачке.

Ако замислимо столицу округлог седла са две ногаре, сви ће се сложити да не делује стабилно. Али, уколико бисмо јој додали трећу ногару она се не би клатила. Дакле, три разне тачке које нису на истој правој одређују тачно једну раван. То записујемо нпр. α(А, B, C) а читамо: раван алфа је одређена тачкама A, B и C.

Циљ овог корака је утврдити одређеност праве.

Ако је тачка А у равни α, кажемо да јој она припада, а ако је тачка М ван равни α, кажемо да јој не припада. На исти начин се каже и за праву: ако је права р у равни π, кажемо да јој припада. За боље ученике истаћи и ово: ако две разне тачке које припдају правој р припадају и равни β, тада и права р припада равни β.

Сваки од ових примера илустровати посебним цртежом.Циљ овог корака је утврђивање припадности тачке односно праве некој равни.

Нацртајмо тачку А и две различите праве које је садрже. Рећи ћемо да се те две праве секу у тачки А.

Обавезан цртеж.

Захтевати да ученици сами покушају да нацртају две праве које немају заједничких тачака, водећи рачуна да се обе простиру неограничено.Ако две праве немају заједничких тачака кажемо да су паралелне, а то скраћено записујемо симболом ׀׀


Захтевати да ученици нацртају две различите тачке А и С и све праве којима обе од њих припадају.


Како су све тачке тим правама заједничке, рећи ћемо да се оне поклапају, а то скраћено записујемо симболом =.Сматраћемо да су праве које се поклапају паралелне.


У завршном делу часа поновити шта је раван, у ком положају тачка може бити у односу на њу и у ком положају права може бити у односу на њу. Захтевати да ученици понове у ком положају могу бити две праве у истој равни.

Циљ овог подухвата је да се направи увид у оствареност предвиђених исхода, тј. степен овладаности помињаним појмовима.


Разред: V


Датум: 6


Наставна јединица: Раван





По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмом равни правилно представља и именује равни уочава припадност тачке равни разматра положај две праве у равни



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на садржаје о свим до сада поменутим геометријским појмовима.


На табли исписати све задатке одједном, али нагласити да се морају радити по реду јер неке додатне захтеве није могуће рашити бз основних.

Задаци могу бити одштампани у виду наставних листића који остају код ученика, како би неурађени задаци могли остати за домаћи.


1. Нацртај праву р и на њој три тачке А, B и C, тим редоследом, а затим:

а) тачку ЕВСб) тачку КАС ( Којим полуправама она може припадати? )в) тачке Т и М са разних страна праве р, тако да заједно са А припадају истој правојг) пребројати колико дужи одређују тачке А, В, Е и Сд) пребројати колико правих одређују све дате тачке ( не заборавити и праву р )2. Нацртај три разне праве тако да се секу у :а) 0 тачакаб) 1 тачкив) 2 тачкег) 3 тачке3. Нацртај праву р и тачку А ван ње. Колико постоји правих које садрже тачку А и:а) секу праву рб) паралелне су правој рв) поклапају се са правом р? 4. На колико области је раван подељена:а) једном својом правомб) двема својим правама које се секув) двема својим паралелним правамаг) једном својом полуправом?5. Нацртај положај 3 праве које припадају истој равни када је деле на највећи могући број области.6. Шта је тачно:а) Ако су праве а и с паралелне, права р која сече праву а мора сећи и праву с.б) Ако су праве а и с паралелне, права р којаје паралелна са правом а паралелна је и са правом с.в) Постоји тачно једна права у равни која је паралелна са неком правом те равни.г) Две полуправе које немају заједничких тачака деле раван у којој леже на 4 области.д) Постоји више различитих правих које су нормалне на исту праву.ђ) Две праве које се секу имају тачно 2 заједничке тачке.

Истаћи појам колинеарност, али инсистирати да га запамте само бољи ученици.Циљ ових примераје да се и најслабији ученици укључе у рад. При оваквој изради задатака наставник има времена да погледа у свеску сваког ученика и оцени степен његовог ангажовања.


У завршном делу часа се може задати домаћи задатак – преостали задаци са наставног листића. Уколико су све задаци савладани задати из Збирке са стране 18 задатке 1, 4 и 6.

Циљ овог подухвата је да се ученик још једном врати на до сад објашњене геометријске појмове.


Разред: V


Датум: 7


Наставна јединица: Изломљене линије. Области





По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима изломљене и многоугаоне линије да разликује та два појма уочава области на које многоугаона линија дели

раван



У уводном делу часа подсетити ученике да две разне тачке у равни могу бити спојене са безброј линија. Једина права од њих се назива дуж и обележава се својим крајњим тачкама.



У равни можемо изабрати неколико тачака, на пример: А1, А2, А3, А4 и А5. Оне могу бити спојене на разне начине, али ако их спојимо дужима и то: А1 са А2, па А2 са А3, па А3 са А4 и А4 са А5, добићемо изломљену линију коју обележавамо са А1А2А3А4А5. Taчke А1, А2, А3, А4 и А5 су темена, дужи А1А2, А2А3, А3А4 и А4А5 старнице, а тачке А1 и А5 крајње тачке ове изломљене линије.

Овај корак је формирање појма изломљене линије.

Треба водити рачуна да две узастопне странице не могу бити на истој правој.

Ако су крајње тачке изломљене линије различите, кажемо да је та линија отворена. Ако се крајње тачке изломљене линије поклапају, кажемо да је та линија затворена.

Циљ овог дела је разликовање отворених изломљених линија од затворених.

Ако странице изломљене линије немају других заједничких тачака сем заједничког темена, за изломљену линију кажемо да је проста.Проста затворена изломљена линија се назива и многоугаона линија.

Овај корак је формирање појма многоугаоне линије.

Многоугаона линија дели раван којој припада на два дела. Те делове зовемо области. Једна од њих је ограничена и за њу кажемо да је унутрашња. Друга није ограничена и кажемо да је спољашња.

Циљ овог корака је уочавање унутрашње и спољашње области и разликовање њихове ограничености.

Ако је у равни дата многоугаона линија, за било коју тачку те равни важи да је или на самој многоугаоној линији или у унутрашњој или у спољашњој области.

Илуструј цртежом сва три положаја тачке према многоугаоној линији.

Даљи ток часа наставити кроз примере:1.Написати великим штампаним словима ћирилице све самогласнике. Који су од њих представљени простом изломљеном линијом?2. Представи изломљеним линијама свих 10 цифара. Које си цифре успео да представиш простим изломљеним линијама?3. Колико најмање страница може имати многоугаона линија? А темена?4. Нацртај квадрат и једну његову дијагоналу. Колико је пута изломљена линија саму себе пресекла?

Искористити прилику да се уведе појам тачке самопресецања.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из уџбеника текст: “Изломљене линије. Области“ и ураде примере 1, 2 и 3 који су дати у оквиру тог текста.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је да обезбеди самостални рад ученика на усвајању нових појмова. Ово се може радити након обраде тог садржаја али само онда када су нови појмови једноставни и лако схватљиви.


Разред: V


Датум: 8


Наставна јединица: Изломљене линије. Области


Облик рада: Диференциран



По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима изломљене и многоугаоне линије да разликује та два појма уочава области на које многоугаона линија дели

раван



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на садржаје о геометријским објектима уведеним претходног часа инсистирајући на истицању разлике између изломљене и многоугаоне линије.



Час утврђивања можемо реализовати кроз израду примера. У недостатку наставних листића или видеобима и платна наставник може исписати све задатке на табли, а онда препустити ученицима да их израђују темпом који им одговара.

Овако предвиђен час за задатак има да не запосатави слабије и осредње ученике. Они неће успоравати оне боље јер су сви задаци пласирани истовремено.

1.Нацртај једну затворену иломљену линију Тачке самопресецања истаћи другом

састављену од пет дужи тако да:а) нема тачака самопресецањаб) има тачно једну тачку самопресецања која је уједно и крајња тачка за две њене дужив) има две тачке самопресецања од којих ниједна није крајња тачка неке дужиг) има пет тачака самопресецања.

бојом.

2. Нацртај: круг, срце, троугао и звезду петокраку. а) Да ли су ове затворене линије просте?

б) Петокраку нацртати на два начина: састављену од 5 надовезаних дужи са 5 тачака самопресецања и састављену од 10 дужи без тачака самопресецања. Која је од ових линија многоугаона? в) Које су од свих ових пет линија многоугаоне?

Овај задатак за циљ има разликовање многоугаоних и изломљених линија и истицање простих линија.

3. Tачке А, В и С су на једној, а К и М на другој од две паралелне праве а и р. Наброј и именуј све дужи и све троугаоне линије које одређују тих 5 тачака.

Циљ је увежбати пребројавање многоугаоних линија.

4. Шта све може бити пресек једне праве и једне троугаоне линије?5. Шта све може бити пресек две троугаоне линије?

Ови задаци одузимају мало више времена, али треба бити упоран у проналажењу свих решења.

6. Нацртај две паралелне праве, а затим многоугаону линију чије су по две странице на овим правим. Колико најмање страница мора имати таква многоугаона линија?

Задатак је захтеван, па се очекује да га демонстрира наствник. ( одговор: 10 )


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да одреде:1. Шта све може бити пресек једне троугаоне и једне четвороугаоне линије?

Циљ овако конципираног домаћег задатка је да обезбеди самостални рад ученика.


Разред: V


Датум: 9


Наставна јединица: Фигура. Многоугао





По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима фигура у равни и многоугао да разликује та два појма схвати појам конвексности на основу довољног

броја примера



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на појам и врсте линија и многоугаоне линије.


Један од могући почетака часа је да се на табли нацрта неколико простих отворених линија, неколико изломљених са и без тачака самопресецања, неколико затворених које јесу и које нису могоугаоне. Треба их нацртати измешано, а од ученика захтевати прецизан опис.

Циљ овог питања је да се ученици подсете врста линија и да се најдуже задрже на многоугаоним код којих треба истаћи темена и странице.


Корак који следи је дефинисање појма фигуре Овај корак је формирање појма фигуре и

у геометрији, а затим и појма многоугла:Фигуру у геометрији чини затворена линија у равни и унутрашња област одређена том линијом.Фигура одређена многоугаоном линијом зове се многоугао.

многоугла у геометрији.Нацртати на табли по један пример фигуре и многоугла са све шрафирањем унутрашње области.

Дужи које чине многоугаону линију зваћемо странице многоугла. Заједничке тачке страница зваћемо темена многоугла.

Циљ овог корака је дефинисање страница и темена многоугла.

Број темена и страница многоугла је једнак. Тај број одређује назив многоугла, па се може говорити о: троуглу, четвороуглу, петоуглу, шестоуглу,...Када број страница није битан, рећи ћемо само многоугао.

Циљ овог корака је одређивање врсте многоугла.

Корак који следи треба да буде разликовање конвексних и неконвексних фигура.Захтевати да ученици самостално у свескама нацртају по: троугао, квадрат, срце и пишкоту, а затим да покушају да одреде по две тачке из унутрашње области сваке од фигура, такве да када их спојимо, дуж која их спаја не буде целом дужином у унутрашњој области.

Циљ овог примера је да се на основу цртежа, без познавања појма и дефинисања конвексности, одреди разлика међу унутрашњим областима које јесу и нису конвексне.

Овде треба да уследи дефиниција конвексности:За фигуру кажемо да је конвексна ако за сваке две тачке које припадају тој фигури и све тачке њима одређене дужи припадају тој фигури.Фигура је неконвексна ако постоје две тачке које припадају тој фигури и постоји тачка њима одређене дужи која не припада тој фигури.

Инсистирати да дефиниције конвексне и неконвексне фигуре знају да репродукују само успешнији ученици, док је за просечне ученике довољно да посматрањем многоугла закључе какав је.

Следећи корак наставити захтевом да ученици нацртају троугао који није конвексан.

Закључити да не постоји неконвексан троугао.

Покушати да ученици самостално нацртају фигуру која није конвексна, а затим и четвороугао који није конвексан

Већина ће успешно одговорити на захтев цртања неконвексне фигуре. Треба искористити прилику да се завири у сваку свеску док они трагају за решењем.Најчешће само неколицина успе да нацрта неконвексан четвороугао, па треба искористити најбржег међу њима да пример демонстрира осталима на табли.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: “Фигура. Многоугао“ и ураде примере 1, 2, 3, 4 и 5 који су дати у оквиру тог текста.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је да обезбеди самостални рад ученика на усвајању нових појмова.


Разред: V


Датум: 10


Наставна јединица: Фигура. Многоугао



Наставна средства: Табла, фломастери, фломастери у боји, лењир


По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима фигура у равни и многоугао да разликује та два појма схвати појам конвексности на основу довољног

броја примера



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на појам фигуре и многоугла. Можемо захтевати да ученици нацртају полукруг и петоугао, да шрафирају унутрашње области, именују странице и темена петоугла и објасне разлику између те две фигуре.


Следећи корак је да наставник нацрта два шестоугла, један неконвексан и један конвексан, а од ученика захтева да доцртавањем први претворе у конвексан, а други у неконвексан многоугао.

Циљ овог питања је да ученици уоче разлику између конвексних и неконвексних фигура.


Час наставити кроз израду следећих примера: Користити исти цртеж за приказ пресека

1. Шта све може бити пресек праве р и троугаоне линије, а шта пресек те исте праве и троугла? Пресеке линија означити црвеним, а пресеке линије и троугла жутим фломастером.

праве са троугаоном линијом и са троуглом.

2.Одредити шта све може бити пресек две четвороугаоне линије, а шта пресек два четвороугла. Пресеке линија означити црвеним, а пресеке четвороуглова жутим фломастером.

Наредни корак је истицање разлике између многоугаоне линије и многоугла.

3. Дате су три колинеарне тачке А, В и С. Могу ли оне бити темена многоугла?

4. Нацртај три паралелне праве р1, р2 и р3, а затим:а) конвексан шестоугао тако да су му по два темена на свакој од датих правихб) неконвексан шестоугао тако да су му по два темена на свакој од датих правих.

Циљ овог примера је разликовање конвексних и неконвексних многоуглова.

5. Шта је тачно:а) Сваки квадрат је конвексан скуп тачака.б) Троугаона линија је конвексан скуп тачака.в) Унија конвексних фигура мора бити конвексна фигура. г) Пресек неконвексаних фигура може бити конвексна фигура.д) Пресек конвексних фигура је конвексна фигура.

Сваки захтев илустровати адекватним примером или контрапримером.

6. Нацртај:а) два правоугаоника тако да њихов пресек буде квадратб) два квадрата тако да њихова унија буде квадратв) два квадрата атко да њихова унија буде седмоугао.

Овај задатак захтева степен креативности.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да ураде из Збирке задатке: 4, 5, 6, 7 и 11.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању појма многоугла и његових особина.


Разред: V


Датум: 11


Наставна јединица: Кружница. Круг



Наставна средства: Табла, фломастери, шестар, лењир


По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима круг и кружна линија правилно користи шестар при цртању круга

( инсистирати да се увек прво обележи центар )



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на:- мерење дужи- шта је растојање две тачке - како се упоређују растојања.



Корак који следи је покушај да ученици самостално одреде за тачку О на датој правој р тачке са те праве које су од тачке О на растојању 2сm.

Очекује се да већина ученика уочи постојање два решења.

Затим захтевати да за дату тачку О у равни одредимо све тачке те равни које су од тачке О на растојању 2сm. Колико има таквих тачака? Има их безброј. Све те тачке можемо замислити као елементе једне затворене линије.

Циљ овог питања је да ученици самостално дођу до интуитивног закључка шта је кружница и колико тачака је чини.

Дефинисати кружну линију:Проста затворена линија у равни чије су све тачке на једнаком растојању од једне дате тачке те равни, назива се кружна линија или кружница.Ако је О та тачка од које су све остале на једнаком растојању, кажемо да је О центар кружнице, а то растојање обележавамо r и називамо дужина полупречника.

Неопходно је прецизно дефинисати кружницу и истаћи да је она одређена својим центром и дужином полупречника.

За цртање кружнице неопходан је шестар. Потребно је да имамо одређен центар и дужину полупречника, тј. Тачку и дуж. Дакле, кружница је одређена ако су:- дате две тачке, од којих је једна центар, а дуж коју оне одређују је полупречник- дати центар и дуж којој је полупречник једнак- дати центар и дужина полупречника.

Циљ овог корака је утврђивање одређености кружне линије.

Као и свака затворена проста линија, кружница дели раван на две области: унутрашњу и спољашњу.Кружница и одговарајућа унутрашња област равни одређују фигру која се назива круг.

Циљ овог корака је дефинисање појма круг.

Центар и полупречник кружнице су уједно и центар и полупречник њом одређеног круга. Кружницу обележавамо са k( О, r ), a круг са К( О, r ).

Захтевати прецизност у обележавању круга.

За неку тачку кажемо да припада кругу ако припада или његовој кружници или његовој унутрашњој области. Односно, тачка припада кругу ако је њено растојање од центра круга мање или једнако полупречнику. Тачка не припада кругу ако је њено растојање од центра круга веће од полупречника.

Циљ овог дела часа је одређивање припадности тачке кругу.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: “Кружница. Круг“ и ураде примере 1, 2, 3 и 4 који су дати у оквиру тог текста.

Циљ овог подухвата је да се направи увид у оствареност предвиђених исхода, тј. степен овладаности помињаним појмовима и коришћеним процедурама. Напомена: Петоминутно проверавање се реализује уколико то време дозволи. Уколико не преостане времена може се реализовати на почетку следећег часа.


Разред: V


Датум: 12


Наставна јединица: Кружница. Круг





По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима круг и кружна линија правилно користи шестар при цртању круга

( инсистирати да се увек прво обележи центар ) усвоји појам централног растојања



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на појмове проучене претходног часа.



Главни део часа треба да послужи изради следећих примера:1. Нацртај кружницу k(О, 3сm) и тачку А тако да је ОА=2cm. Одреди тачку В са кружнице која је најближа тачки А, као и тачку С са кружнице која је најудаљенија од тачке А. Одреди дужине дужи АВ и АС.

Ово је основни пример за увежбавање цртања круга помоћу познатих елемената.

2. Нацртај два круга различитих полупречника К1(О, 3cm) и K2(В, 2cm) тако да њихов пресек буде:а) празан скуп

Циљ овог задатка је да ученици самостално дођу до закључка на које растојање поставити центре датих кругова како би се испунили тражени

б) тачкав) круг.

захтеви.

Централно растојање два круга је дужина дужи између њихових центара. Обележавамо га са d (О1, О2).

На овом месту је згодно дефинисати централно растојање.

3.Нацртај кружницу и троугаону линију које имају тачно две заједничке тачке.4. Нацртај четвороугаону линију и кружницу у положају када имају највише могуће заједничких тачака. Преброј заједничке тачке.

Циљ овог примера је да се покаже да постоје једначине које имају два решења, али и да непозната не мора увек бити слово х, већ може бити и у, а, к ...

5. Нацртај К1(О1, 3cm) и К2(О2, 2cm) ако је О1О2

=6cm. Одреди тачке А, В, С и D са тих кружница тако да дуж АВ буде најдужа могућа, а дуж СD најкраћа могућа. Колике су дужине дужи АВ и СD?

Циљ овог примера је да се покаже да постоје једначине које имају бесконачно много решења, јер сваки рационалан број дату једначину претвара у тачну једнакост.

6. Нацртај К1(О1, 3cm) и К2(О2, 2cm) ако је О1О2

= 45mm. Одреди:а) К1 К2

б) k1 k2

в) К1 k2

г) k1 К2.

Циљ овог примера је да се направи разлика између круга и кружне линије.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да ураде из Збирке задатке: 6 и 7 са стране 22. Ово је домаћи предвиђен за ученике који су успешно савладали свих 6 примера, а они који то нису треба да ураде само преостале задатке из школског рада.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању појма круг и кружница.


Разред: V


Датум: 13


Наставна јединица: Кружница и права





По завршетку овог часа ученик треба да: разликује међусобне положаје праве и кружнице интуитивно поима прав угао који се црта

коришћењем троугаоног лењира зна да одреди растојање тачке од праве, односно

централно растојање праве од кружнице



Често смо у ситуацији да треба да одредимо растојање тачке од праве, на пример растојање школе од улице или куће од реке. Подразумева се да нас интересује најкраће растојање.Најкраће растојање тачке М од праве р се одређује тако што нацртамо нормалу из тачке М на праву р и одредимо њихов пресек тачку Р. Тражено растојање је управо растојање тачака М и Р, то јест дужина дужи МР.

Уводном делу часа посветити 7–8 минута. Инсистирати да се нормала нацрта помоћу шестара јер је то елементарна конструкција.


Када се права и кружница налазе у истој равни може настати један од три положаја:

1) права а је ван кружнице

Нацртати једну кружницу и три одговарајуће праве.

2) права t додирује кружницу3) права s сече кружницу.

Ако одредимо растојање центра кружнице О од правих a, t и s, и обележимо их редом са ОА, ОТ и ОS, па их упоредимо са полупречником круга, видећемо да је дуж ОА дужа од полупречника, ОТ једнака, а ОS краћа од полупречника.

Растојање праве од центра круга називамо централно растојање праве.

Дакле, када је централно растојање праве веће од полупречника круга, права и кружница немају заједничких тачака.Када је централно растојање праве једнако полупречнику круга, права и кружница имају заједничку тачно једну тачку. Такву праву називамо тангента или дирка кружнице, а заједничку тачку додирна тачка.Када је централно растојање праве мање од полупречника круга, права и кружница имају две заједничке тачке. Такву праву називамо сечица.

Дефинисање појмова тангента и сечица.

Даље наставити час израдом следећег примера:1. Нека права t додирује кружницу k( О, 3cm) у тачки Т. Нацртај одговарајућу слику, па троугаоним лењиром одреди угао између t и ОТ. Шта закључујеш?

Циљ овог примера је да се дефинише додирни полупречник и утврди да ће угао између тангенте и додирног полупречника увек бити прав.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: „ Кружница и права“ и ураде пример 2 у оквиру те лекције

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању односа праве и кружнице.


Разред: V


Датум: 14


Наставна јединица: Кружница и права





По завршетку овог часа ученик треба да: разликује међусобне положаје праве и кружнице интуитивно поима прав угао који се црта

коришћењем троугаоног лењира зна да одреди растојање тачке од праве, односно

централно растојање праве од кружнице



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на садржаје о кругу, кружници и односу кружнице и праве.



Овај час се посвећује изради примера из Збирке. Ученицима не диктирати текстове задатака, већ рећи да сви отворе страну 22 и почну редом са израдом задатака под насловом „Кружница и права“. Пример 1 попуњавати директно у Збирци. Дозволити употребу Уџбеника и школске свеске ради подсећања на неке дефиниције.

Први пример се може анализирати усмено, а остале примере наставник демонстрира на табли јер су ученици неспретни при коришћењу шестара за таблу. Задатак демонстрирати на табли један по један онда када смо увидом у ђачке свеске евидентирали да их је урадило више од половине ученика.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад

ураде из Уџбеника задатке: 1, 2 и 3 са стране 51.

ученика на усвајању односа праве и кружнице.


Разред: V


Датум: 15


Наставна јединица: Кружни лук. Тетива



Наставна средства: Табла, фломастери, фломастери у боји, шестар, лењир


По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима тетива и кружни лук



У уводном делу часа подсетити ученике на разлику између кружнице и круга.


Затим поставити питање: Да ли свака тачка која припада кружници припада и кругу? А да ли важи обрнуто?

Пустити да се расправа захукта јер ће ученици најпре доћи до тачног закључка покушајима да нађу разлоге за оправдање свог става.


Нацртати кружницу k(О, 35mm) и тачке А и В које јој припадају. Обојити различитим фломастерима два дела кружнице одређена овим тачкама. Сваки од ових делова, укључујући тачке А и В, зове се кружни лук. Кружни лук обележавамо симболом изнад његових крајњих тачака .Дакле, кружни лук је део кружнице између две њене тачке, укључујући и те две тачке.

Овај корак треба да послужи дефинисању појма кружни лук.

Ако тачке А и В одређују једнаке кружне лукове, те лукове ћемо звати полукружнице.

Представити полукружнице цртежом и обојити их различитим фломастерима.

Било које две различите тачке кружнице увек ће одређивати два кружна лука који имају исти

Овај корак показује како да разликујемо два кружна лука одређена истим крајњим

запис. Када је један од њих видно мањи, уколико ништа не нагласимо мислићемо баш на њега. У осталим случајевима ћемо изабрати још једну тачку кружнице која припада кружном луку на који мислимо.

тачкама.

Тачке А и В кружнице k(О, 35mm) одређују и дуж АВ. Та дуж се зове тетива кружнице или одговарајућег круга.Тетива је дуж чије крајње тачке припадају кружници.

Дефинисање појма тетива круга.

Нацртајмо сада кружницу k(О, 35mm) и њену тачку А. Захтевајмо од ученика да нацртају тетиву одређену тачком А којој припада центар О.Поставити питање: Да ли постоји тетива дужа од ове?Наравно да не постоји.Најдужа тетива се зове пречник кружнице (круга) и он увек пролази кроз центар.

Дефинисање појма пречник круга.

Било које две различите тачке кружнице увек ће одређивати два кружна лука и тачно једну тетиву.

Наставити час израдом следећег примера:1. Нацртати кружницу k(О, 4cm) а затим њену сечицу р. Одредити шта је пресек р и круга и то означити жутом бојом, а затим шта је пресек р и кружнице и то означити црвеном бојом. Колико кружних лукова одређују пресечне тачке р и кружнице? Мањи означити плавом, а већи зеленом бојом.

Овај пример треба да послужи повезивању појмова са претходних часова и садржаја реализованих на данашњем часу.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да проуче из Уџбеника текст: „Кружни лук, тетива“ и у оквиру њега ураде пример 1.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика на усвајању појма једначине, решења једначине и поступка решавања једначина


Разред: V


Датум: 16


Наставна јединица: Кружни лук. Тетива





По завршетку овог часа ученик треба да: влада појмовима тетива и кружни лук зна да упореди кружне лукове зна да упореди тетиве зна да се упоређивање може вршити само ако су

кружни лукови и тетиве одређени истом кружном линијом или кружним линијама једнаких полупречника



У уводном делу часа покушати кратко подсећање на појмове: круг, кружница, центар круга, кружни лук, тетива, полупречник, пречник, сечица, тангента тако што ћемо ученицима поделити наставне листиће са дефиницијама у којима недостаје по једна реч коју они дописују.


Један од могућих изгледа тог наставног листића би био:1. Проста затворена линија у равни чије су све тачке на ____________ растојању од једне дате тачке те равни, назива се кружна линија или кружница.2. Кружница и одговарајућа__________ област равни одређују фигру која се назива круг.

1. једнаком 2. унутрашња3. два, (тачно) једну4. пречник5. тангента6. мање (краће)

3. Било које две различите тачке кружнице увек ће одређивати_____ кружна лука и ________ тетиву.4. Најдужа тетива се зове _________ кружнице (круга) 5. Права која додирује круг назива се ________.6. Права чије је центарлно растојање ______ од полупречника круга назива се сечица.


Даљи ток часа попунити израдом примера: 1.Нацртати кружницу k(О, 45mm) и њену тачку А. Нацртај тетиву која садржи тачку А и чија је дужина једнака полупречнику круга. Колико решења има задатак?2. Нацртати кружницу k(О, 4cm) и тачку А тако да је ОА=3cm. Како се назива права која садржи тачке О и А? Колико она има заједничких тачака са кружницом? Како називамо пресек те праве и круга?3. Нацртати кружницу k(О, 45mm) и њене тачке А,В и С тако да је В између А и С и да је АВ = 3cm, a VC = 2cm. Упореди краће кружне лукове АВ и ВС.4. Може ли се у кругу полупречника 52mm нацртати тетива дужине 11cm? Образложи.5. Нацртај кружницу са центром у тачки О чија је најдужа тетива 9cm. Затим нацртај једну њену тангенту t и њој паралелну сечицу s која садржи О. 6. Нацртај два круга једнаких полупречника који немају заједничких тачака. Нацртај једну од њихових заједничких сечица. Упореди краће од лукова које је сечица направила на њима.7. Без цртања кругова К1(О1, 3cm) и К2(О2,43mm) одреди њихово централно растојање ако се они додирују:а) спољаб) изнутра.

Након израде примера 3 истаћи:У једном кругу ( или круговима једнакох полупречника ) већем кружном луку одговара дужа тетива, а мањем кружном луку краћа.


За домаћи задатак, тј. увежбавање реализованих садржаја, ученицима задати да у домаће свеске препишу допуњене дефиниције са наставног листића, а речи које су допуна истакну црвеном бојом.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је да се још једном осврну на све појмове обрађене овом темом пред час систематизације.


Разред: VI


Датум: 17


Наставна јединица: Основни геометријски објекти

Тип часа: Час систематизације градива ове наставне теме




По завршетку овог часа ученик треба да: влада свим појмовима дефинисаним у овој

наставној теми, правилно их означава, одређује њихове међусобне односе, истиче њихове карактеристичне особине



Овом часу не претходи неки дужи увод. Поделити ученицима наставне листиће са задацима које треба самостално да ураде. Пет минута пре истека часа исписати укратко решења задатака. Детаљна објашњења нису неопхпдна јер се систематизује градиво које је већ увежбавано. Док ученици раде задатке, наставник шета од клупе до клупе, надгледајући колико су ученици самостални и даје кратка упутства сваком понаособ тамо где примети да је дошло до застоја.


Ово је један од могућих садржаја наставног листића:1.Дате су тачке А, В и С на правој р и тачке К, L и М на правој l. Колико је њима одређено:а) дужи

Сваки задатак захтева или цртеж или скицу.Очекује се да сваки ученик који је савладао основне геометријске појмове може да уради у сваком од првих 5

б) правихв) троугловаг) четвороуглова?2. Колико је правих одређено са четири тачке од којих су тачно три колинеарне?3. Нацртати круг К(О, 4cm) и његове 4 сечице s1, s2, s3 и s4, тако да хга оне деле на:а) најмањиб) највећимогући број делова.4. а) Најкраће растојање тачке М од датог круга К износи 35mm, а централно растојање тачке М је 6cm. Одреди полупречник круга, као и растојање тачке М од најудаљеније тачке круга. б) Растојање тачке Р од најближе тачке круга је 4cm, a oд најудаљеније 2dm. Колики је полупречник круга?5. Нацртај дуж АВ = 8cm и круг К чији је то пречник. Затим нацртај тангенте а и b кроз тачке А и В. Да ли ће се а и b икад пресећи? Како их онда зовемо?6. Централно растојање кругова К1 и К2 је 15cm. Полупречник другог је 4 пута већи од полупречника првог. Одреди њихове полупречнике ако се они додирују изнутра, нацртај их, па одреди:a) К1 К2

б) k1 k2

в) К1 k2

г) k1 K2.

задатака бар по део, ако не и цео задатак.Једино је задатак 6 намењен најуспешнијима.


За домаћи задатак захтевати да се уради задатак са истим текстом као задатак број 6, али изменити да се кругови додирују споља. Овакав задатак је мање захтеван.

Циљ овако конципираног домаћег задатка је обезбеди самостални рад ученика и дефинитивно утврђивање геометријских појмова.

Documents

Osnovni geometrijski objekti