Embed Size (px)
Citation preview
1
Geometrija - srednji nivo 2012.
Rešenje:
a
b
c
d 35o
O a) Ugao 090dOc =∡ kao što vidimo na slici ( oznaka za prav ugao je crna tačka)
Onda je i ugao 090aOc =∡ pa ugao bOc tražimo: 0 0 090 35 55bOc bOc= − → =∡ ∡
b)
a
b
c
d65
o
O
55o
0 0 090 55 145bOd bOd= + → =∡ ∡
Rešenje: Komplementni uglovi imaju zbir 090 . a) 0 0 023 37 60+ = NETAČNO v) 0 0 023 77 100+ = NETAČNO b) 0 0 023 67 90+ = TAČNO g) 0 0 023 157 180+ = NETAČNO Dakle, treba zaokružiti б) 0 0 023 67 90+ =
2
Rešenje: Zbir unutrašnjih uglova u svakom trouglu je 0180 . Ugao kod temena C je prav , to jest ima 090 . Znači ostaje da zbir preostala dva bude takodje 090 , a malopre smo rekli da se takvi uglovi zovu komplementni. Treba zaokružiti v) komplementni.
Rešenje: Da se podsetimo: Prava koja seče dve paralelne prave, zove se transverzala . Ona na paralelnim pravama odseca uglove od kojih su po 4 jednaka. A zbir ta dva ugla je 0180 . Pogledajmo sliku:
a
b
t
α
α
α
α
β
β
β
β
a na našoj slici je:
a
b
t
β
β
β
β
=125o
Dakle 0 0 0 0125 180 125 55β α α= → = − → =
3
Rešenje: Traženi ugao α sa ova dva data ugla pravi ugao od 0180 . Pogledajmo sliku:
3070o o
180o
α
Dakle:
0 0 0
0 0
0
180 (70 30 )
180 100
80
α
α
α
= − +
= −
=
Rešenje: Još jednom: Zbir unutrašnjih uglova u svakom trouglu je 0180 .
a) 50+50+50=150 NETAČNO b) 60+60+40=160 NETAČNO v) 40+70+70=180 TAČNO g) 80+80 + 40=200 NETAČNO
Dakle, tačan odgovor je pod v) 0 0 040 ,70 ,70
4
Rešenje: Da nacrtamo sliku i postavimo problem:
Našli smo da je x= 2cm, sad primenjujemo Pitagorinu teoremu na žuti trougao:
2 2 2
2 2 2
2
2
4 2
16 4
20
20 4 5 4 5 2 5
2 5
c h x
c
c
c
c
c cm
= +
= +
= +
=
= = ⋅ = ⋅ =
=
Dužina kraka trapeza je 2 5cm .
5
Rešenje: Pogledajte fajl iz pripreme “Trougao”. U jednoj teoremi vezanoj za stranice trougla se kaže da se naspram najvećeg ugla nalazi najveća stranice i obrnuto. Najpre ćemo naći vrednost nepoznatog ugla kod temena B.
0 0 0
0 0
0
180 (60 35 )
180 95
85
B
B
B
= − +
= −
=
∡
∡
∡
Imamo:
A B
C
ab
c
35
60
85o
o
o
Najveći ugao je 085B =∡ pa je najduža stranica b. Zatim je 060C =∡ , pa je srednja podužini stranica c Najmanji ugao je 035A =∡ , pa je stranica a najkraća. Znači da je tačan poredak a < c < b koji je dat u ponudi pod v)
6
Rešenje: Neka su a,b i c stranice trougla. Važi teorema ( pogledajte pripremni fajl trougao): Zbir dve stranice trougla je veši od treće, razlika dve stranice trougla je manja od treće! Matematički zapisano : a b c a b
a c b a c
c b a c b
− < < +
− < < +
− < < +
Tanja : 50 cm, 60cm, 90 cm
Ispitujemo da li važi teorema:
50 60 90 50 60 10 90 110
50 90 60 50 90 40 60 140
90 60 50 90 60 30 50 150
− < < + → < <
− < < + → < <
− < < + → < <
Važi!
Nikola: 40cm, 50cm, 100cm
Ispitujemo da li važi teorema: 40 50 100 40 50 10 100 90− < < + → < < Ne važi!
Zoran: 40cm, 20cm, 20cm
Ispitujemo da li važi teorema: 20 20 40 20 20 0 40 40− < < + → < < Ne važi!
ðurña: 20cm, 10cm, 40cm
Ispitujemo da li važi teorema: 20 10 40 20 10 10 40 30− < < + → < < Ne važi!
Znači, samo je odgovor pod a) tačan:
7
Rešenje: Jasno je da je jedro oblika pravouglog trougla kod koga znamo katetu a= 5m i hipotenuzu c=13m.
Najpre ćemo naći drugu katetu b, koja je ustvari visina tog jedra.
2 2 2
2 2 2
2
2
2
5 13
25 169
169 25
144
144 12
a b c
b
b
b
b
b b m
+ =
+ =
+ =
= −
=
= → =
Sad tražimo površinu trougla ( jedra )
2
25 12
2
30
abP
P
P m
=
⋅=
=
Površina jedra je 230m .
Rešenje: Kružni tok ima oblik kružnog prstena. Data nam je cela ta površina ( površina velikog kruga!)
2
1225
P R π
π
=
2R π=
2 1225
1225 35
R
R R m
=
= → =
Rr
R-r=10m
2
2 2
10
35 10 25
Površina manjeg kruga ( ono što tražimo) je:
25 625
R r
r r m
P r
P P m
π
π π
− =
− = → =
=
= → =
Površina praznog prostora u sredini kružnog toka je 2625 mπ .
8
Rešenje:
2
16
O rπ
π
=
2r π=
2
2 2
16 2
168
2
8 64
r
r r cm
P r
P P cm
π
π π
=
= → =
=
= → =
Treba zaokružiti б) 264 cmπ
Rešenje: Prečnik je 2r = 100cm , ajmo ovo odmah da prebacimo u metre! 2r = 1m ( jer je 1m = 100cm). Sad da postavimo problem:
A
A
A
A
A
točak je prešao put kojije jednak jednom obimu kruga
za jedan okret
Uočimo tačku A na krugu. Za jedan pun okret ona se vrati na početnu poziciju, a točak je prešao put koji je jednak jednom obimu kruga. Dakle, ideja je: nadjemo obim kruga pa ga pomnožimo sa 7000 okretaja! Traženi put ćemo da obeležimo sa s ( kao u fizici)
2
221
7
22
7
O r
O
O m
π=
= ⋅
=
Sad ovo pomnožimo sa 7000 , dobijamo
7000
227000
71000 22
22000 22
krugas O
s
s
s m s km
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= → =
Traktor će preći 22 km.
9
Rešenje: Iz obima kružnica ćemo naći dužine poluprečnika:
1 12
16
O rπ
π
=
12r π=
1
1
1
2 16
16
2
8
r
r
r cm
=
=
=
i
2 22
10
O r π
π
=
22r π=
2
2
2
2 10
10
2
5
r
r
r cm
=
=
=
Površinu kružnog prstena tražimo kad od površine većeg kruga oduzmemo površinu manjeg kruga!
r
r
1
2
( )
( )( )
2 21 2
2 21 2
2 2
2
8 5
64 25
39
kp
kp
kp
kp
kp
P r r
P r r
P
P
P cm
π π
π
π
π
π
= −
= −
= −
= −
=
Površina kružnog prstena je 239 cmπ .
10
a
aa
H
Rešenje: Obeležimo poluprečnik većeg kruga sa R, a poluprečnik manjeg kruga sa r.
2 2
2
2
2
16 9
16 9
kpP R r
R
R
R
π π
π π π
π π π
π
= −
= −
= +
25π= 2 25 25 5R R R cm→ = → = → =
Poluprečnik većeg kruga je 5cm.
Rešenje:
2
2
2
4
2
?
2
32 3
4
33
2
4 33 4 2
2
16
a cm
H cm
P
P B M
aP aH
aP aH
P
P
=
=
=
= +
= +
= +
= + ⋅ ⋅
=3
2
2
24
8 3 24
8( 3 3)
P
P cm
+
= +
= +
Površina prizme je 28( 3 3)cm+
11
Rešenje:
2 2
2 2
3
3
3 3
?
1 3 36
3 4 2
3 3 9 3 27 33 3 3
2 2 2
40,5
a cm
H cm
V
a aV H V H
V
V cm
=
=
=
= ⋅ ⋅ → =
⋅= = =
=
Zapremina piramide je 340,5cm .
Rešenje: Pošto je piramida jednakoivična, to jest a = s, zaključujemo da se omotač sastoji od 4 jednakostranična trougla.
2 4
P B M
P a
= +
= +2 3
4
a⋅
2 2
2
2
2
3
(1 3)
6 (1 3)
36(1 3)
P a a
P a
P
P cm
= +
= +
= +
= +
Površina piramide je: 236(1 3)cm+
12
Rešenje: Možemo ići na formulu za površinu kvadra , gde je a = 4 cm, b= 2cm i c= 2cm. Medjutim, lakše je ako zaključimo da se površina sastoji od 10 površina kvadrata stranice a = 2cm.
2
2
2
10
10 2
10 4
40
P a
P
P
P cm
=
= ⋅
= ⋅
=
Površina kvadra je 240cm
Rešenje:
a a
a
aa
aa a
a
mreža Površina se sastoji od površine 4 jednakostranična trougla.
4P =2 3
4
a⋅
2
2
2
3
8 3
64 3
P a
P
P cm
=
=
=
Površina piramide je 264 3cm
13
3
3
4V= r
34
V= 3 3
4V=
3
π
π⋅
1
3⋅
3
3 3
V=4 9 V=36 cm
π
π π
⋅ ⋅
⋅ →
Rešenje: Da se podsetimo:
24P r π= je formula za površinu lopte
34V= r
3π je formula za zapreminu lopte
r = 3 cm pa je :
2
2
2
4
4 3
4 9
36
P r
P
P
P cm
π
π
π
π
=
= ⋅
= ⋅
=
i
Rešenje: Za prvu kupu Za drugu kupu
1
21
1
5
9
?
1
3
1
3
r cm
H cm
V
V r H
V
π
=
=
=
=
=3
25 9π⋅ ⋅
1
31
25 3
75
V
V cm
π
π
= ⋅
=
2
22
2
10
3
?
1
3
1
3
r cm
H cm
V
V r H
V
π
=
=
=
=
=1
210 3π⋅ ⋅
2
32
100 1
100
V
V cm
π
π
= ⋅
=
Očigledno je veća zapremina druge kupe, pa treba zaokružiti a) 1 2V V<
14
Rešenje: Pogledajte pripremni fajl KUPA i podsetite se formulica!
H
r
s
45o
45o
2
6 2
6 2
?
1
3
1
3
H cm
r H cm
V
V r H
V
π
=
= =
=
=
= ( )22
6 2 6π⋅ ⋅
3
2
36 2 2 2
144 2
V
V cm
π
π
= ⋅ ⋅
= ⋅
Zapremina kupe je 3144 2 cmπ⋅
15
Rešenje: valjak A valjak B valjak V
2
2 24 12
2
?
2 ( )
24 (12 2)
24 14
336
r cm r cm
H cm
P
P r r H
P
P
P cm
π
π
π
π
= → =
=
=
= +
= +
= ⋅
=
2
2 6 3
8
?
2 ( )
6 (3 8)
6 11
66
r cm r cm
H cm
P
P r r H
P
P
P cm
π
π
π
π
= → =
=
=
= +
= +
= ⋅
=
2
2 12 6
4
?
2 ( )
12 (6 4)
12 10
120
r cm r cm
H cm
P
P r r H
P
P
P cm
π
π
π
π
= → =
=
=
= +
= +
= ⋅
=
Najveću površinu ima valjak A.
16
Rešenje: Za prvi valjak je Za drugi valjak je
1
21
21
1
31
2
4
?
2 4
4 4
16
r cm
H cm
V
V r H
V
V
V cm
π
π
π
π
=
=
=
=
= ⋅
= ⋅
=
2
22
22
2
32
4
1
?
4 1
16 1
16
r cm
H cm
V
V r H
V
V
V cm
π
π
π
π
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
Zapremine su jednake, pa treba zaokružiti odgovor pod v).
17
Rešenje: Simetrala duži je prava koja deli datu duž na dva jednaka dela i normalna je na duž. Očigledno je ta situacija data na slici v) . Dakle, treba zaokružiti odgovor pod v).
18
Rešenje: a) Svaki pravougaonik ima više od dve ose simetrije u ravni.
Pravougaonik ima dve ose simetrije , pa je tvrdjenje NETAČNO.
b) jednakokraki trougao nema osu simetrije u ravni
Jednakokraki trougao ima jednu osu simetrije u ravni, pa je tvrdjenje NETAČNO. v) Krug ima tačno 4 ose simetrije u ravni
Svaka prava koja sadrži prečnik kruga je osa simetrije, pa ih krug ima beskonačno, tvrdjenje je NETAČNO. g) Kvadrat ima 4 osa simetrije u ravni
Vidimo da je ovo tvrdjenje TAČNO. Treba dakle zaokružiti g)
19
Rešenje: Osu simetrije nema pravougli trougao sa katetama različite dužine! Odgovor je б)
Rešenje: Očigledno je to в).
20
Rešenje: Jednostavno osenčimo kvadratiće sa leve strane:
21
