GEOMETRIJA 3. Izreki, dokazi in logika - pef.uni-lj.simatijac/Logika.pdf · Vloga dokaza v matematiki Matematicni jezikˇ Formulacija izrekov Dokazovanje Posredni dokaz Izreki incidencne

Vloga dokaza v matematikiMatemati cni jezik

Formulacija izrekovDokazovanje

Posredni dokazIzreki inciden cne geometrije

GEOMETRIJA3. Izreki, dokazi in logika

Matija Cencelj

Geometrija, Pedagoska fakulteta UL 2008

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 3. Izreki, dokazi in logika




V tem poglavju si bomo poblize ogledali se tretji sklopaksiomatskega sistema – izreke in dokaze (prva dva sklopa stabila: (ne)definirani pojmi in aksiomi). Tako izreki kot tudi dokaziso zahtevna snov. Bolj ali manj vsi vemo, da pisanje dokazov nilahko stvar in de se je moramo nauciti. Pogosto pa pozabljamo,da je pogoj za dober dokaz dobro formuliran izrek.

Tule bomo nekaj rekli o previdni uporabi jezika za matematicneizreke, o tem, kako oblikovati dokaze nasploh in kako to nareditiv preprostem primeru incidencne geometrije.





























Dokaz ima v matematiki osrednjo vlogo. Ne glede na to, kolikoeksperimentalnih rezultatov bi potrdilo kako matematicnodomnevo, le-ta se ni matematicni rezultat, dokler je ne moremodokazati. To tudi loci matematiko od drugih ved (zdruzuje patoliko razlicnih matematicnih disciplin). Kot smo videli se je taaspekt matematike najprej izoblikoval ravno v geometriji.

Ne glede na velike spremembe v razvoju matematike skozistoletja in ceprav cilj, da bi vse matematicne disciplineoblikovali v aksiomatske sisteme ni bil v celoti dosezen, jetemeljni nacin matematicnega dela se vedno: izrek – dokaz.

Kdor si hoce torej sluziti kruh z matematiko, se mora naucitipisanja dokazov (pa cetudi najpreprostejsih).Eden od ciljev tega tecaja geometrije je tudi, da se poglobimoznanje dokazovanja in da se naucimo dokaze ljubiti.















































Pripomnimo pa se tole: ceprav imajo dokazi v matematikiosrednjo vlogo, pa je seveda pogosto zelo pomembna tudimatematicna intuicija. Upajmo, da si jo bomo tudi tu razvijali.Nikakor pa to ne pomeni, da natancna logika dokazovanja inbolj zmuzljiva matematicna intuicija ne gresta z roko v roki.Brez tega se matematika ne bi tako bohotno razvijala.




















Prvi korak k dobremu dokazovanju izrekov je natancen innedvoumen jezik, s kateri izrazimo izrek. Poglejmo primer.

Izrek

Premice, ki niso vzporedne, se sekajo v eni tocki.

Izrek

Ce sta m in ℓ razlicni premici, ki nista vzporedni, obstajanatanko ena tocka P, ki lezi na m in na ℓ.

V obeh primerih gre za bolj ali manj pravilno trditev (glede nanaso definicijo vzporednosti prva velja le za razlicni premici). Apri prvi tudi ni jasno ali govorimo o dveh premicah, o vecihpremicah (v tem primeru ne bi bila resnicna – presek trehpremic je lahko prazen) ali o vecih parih (velja, ce gre za parerazlicnih premic).






Izrek


Izrek








Izrek


Izrek








Izrek


Izrek







Dokazovanje zahteva jasno misljenje in prvi korak za to je jasnoizrazanje.

Pazimo na naslednje:Izjava je za matematiko le stavek, ki je je tolikonedvoumen, da je lahko le pravilen ali nepravilen (ne paoboje hkrati);izjave z veznikoma in in ali sestavljamo v konjunkcije indisjunkcije, pa tudi z implikacijami in ekvivalencami;paziti moramo na kvantifikatorje – ali nekaj dokazujemo zaen objekt (∃) ali za vsakega(∀) (ce bomo nekaj dokazovaliza en objekt, ga bomo ali nasli ali s protislovjem dokazali,da ne morejo imeti vsi nasprotno lastnost; ce bomo nekajdokazovali za vse objekte, bomo tipicno zaceli dokaz z: najbo ... poljubni element in bomo dokazali, da je res tak);





























ce moramo dokazati, da obstaja en sam objekt z danolastnostjo, bo dokaz tipicno sestavjen iz dveh delov –dokaza, da tak objekt obstaja in potem se dokaza, da nasobstoj dveh razlicnih objektov s to lastnostjo privede doprotislovja;

pri negacijah moramo biti pozorni na to, da sekvantifikatorji zamenjajo, konjunkcije se spremenijo vdisjunkcije in obratno.





ce moramo dokazati, da obstaja en sam objekt z danolastnostjo, bo dokaz tipicno sestavjen iz dveh delov –dokaza, da tak objekt obstaja in potem se dokaza, da nasobstoj dveh razlicnih objektov s to lastnostjo privede doprotislovja;

pri negacijah moramo biti pozorni na to, da sekvantifikatorji zamenjajo, konjunkcije se spremenijo vdisjunkcije in obratno.





Pogojni stavek (implikacija) je stavek oblike ”ce . . . , potem . . . ”.Prvemu delu recemo predpostavka (antecedens), drugemu paposledica (konsekvens). Izrek je pogojni stavek (izjava), zakaterega je dokazano, da je pravilen. Ni nepravilnih izrekov, sole izjave, ki imajo obliko izreka, pa niso pravilne. Izrek tudi netrdi, da je njegov konsekvens pravilna izjava, ampak le trdi, daje konsekvens pravilen, ce je tudi antecedens pravilen. Lahkose zgodi, da je antecedens skrit (npr. Izrek: π je iracionalnostevilo.), a vseeno obstaja (v tem primeru predpostavkekonstrukcije stevil in definicija stevila π).

























Za dano implikacijo A ⇒ K imamo dve sorodni implikaciji:obratno implikacijo K ⇒ A, ki je seveda popolnoma drugaizjava, inkontrapozicijo K ⇒ A, ki pa ima isto logicno vrednost (jeekvivalentna) prvotni implikaciji A ⇒ K in z njo pogostodokazujemo le-to.

Spomnimo se resnicnostne tabele za implikacijo (P naj pomeni‘pravilno’, N pa ‘nepravilno’):

A K A ⇒ KP P PP N NN P PN N P

































Z resnicnostnimi tabelami lahko preverimo logicnoekvivalentnost bolj zapletenih izjav.Pripomnimo se to, da negacija implikacije (torej pogojne izjave)ni pogojna izjava: nepravilnost implikacije A ⇒ K pomeni, da jeA pravilna, K pa ne. Zato ponavadi dokazemo nepravilnostimplikacije tako, da najdemo protiprimer.




















Dokaz je (koncno) zaporedje korakov, ki nas po zakonih logikeprivedejo od antecedensa do konsekvensa. Vsak korak morabiti upravicen z nekim argumentom. Te argumente lahkorazdelimo v sest vrst:

po predpostavki;

po aksiomu;

po kakem prejsnjem izreku;

po definiciji;

po kakem prejsnjem koraku istega dokaza;

po kakem zakonu logike.






po predpostavki;

po aksiomu;


po definiciji;








po predpostavki;

po aksiomu;


po definiciji;








po predpostavki;

po aksiomu;


po definiciji;








po predpostavki;

po aksiomu;


po definiciji;








po predpostavki;

po aksiomu;


po definiciji;








po predpostavki;

po aksiomu;


po definiciji;








po predpostavki;

po aksiomu;


po definiciji;








po predpostavki;

po aksiomu;


po definiciji;







Kako podrobno pisemo dokaz, je odvisno od ciljne skupineposlusalcev ali bralcev. Za nase potrebe (na primer naseminarju) bo najbolje, ce pisete tako, da boste prepricali svojekolege. Za zacetek bo najbolje, ce raje damo vec argumentovkot manj. Poleg logicnega aspekta (koraki z argumenti, kot sonasteti zgoraj) je prav smiselno upostevati tudi motivacijskiaspekt npr. z obcasnimi opombami, ki dajo intuitivnoinformacijo, kam cilja dokaz. Tudi tu seveda velja: vaja delamojstra!

Obcasno bomo v dokazih uporabljali tudi algebrske argumente.Mi bomo gradili naso geometrijo na mnozici realnih stevil. Pravje, da se zavedamo tudi te predpostavke (namrec, da delamonad R), ker bi lahko obravnavali tudi geometrijo v kakemdrugacnem kontekstu. Zato pri argumentaciji navedimo tudilastnosti R, ki jih uporabimo.









































Posebej si poglejmo posredni dokaz ali dokaz s protislovjem,ker ga bomo pogosto uporabili.

Denimo, da zelimo dokazati implikacijo

P ⇒ Q .

To lahko naredimo neposredno – predpostavimo P in skoncnim zaporedjem logicnih sklepov pridemo do Q.

Lahko pa dokazemo to s protislovjem, tj. predpostavimo P in Qin s koncnim zaporedjem logicnih sklepov pokazemo, da nas topripelje do protislovja [reductio ad absurdum]. Pravilnost izjaveQ ∧ P je namrec edina moznost, da implikacija P ⇒ Q nipravilna.







P ⇒ Q .









P ⇒ Q .









P ⇒ Q .







Dokaz s protislovjem moramo razlikovati od neposrednegadokaza kontrapozicije (logicno ekvivalentne implikacije Q ⇒ P).Pri tem dokazu pa predpostavimo le Q in naravnost dokazemoP.

Na koncu vsakega dokaza se enkrat preglejmo, ce se ga ne dapoenostaviti. Kratkost pomaga tudi k jasnosti.























Nase splosno razmisljanje o dokazovanju zakljucimo z dokaziizrekov, ki sledijo iz treh aksiomov incidencne geometrije.

Izrek

Ce sta m in ℓ razlicni nevzporedni premici, obstaja natanko enatocka P, ki lezi na m in na ℓ.

Dokaz: Naj bosta m in ℓ razlicni premici in m 6‖ ℓ [predpostavka].Dokazati moramo dve trditvi:

1 da obstaja tocka P, ki je na m in na ℓ;2 da je taka tocka ena sama.






Izrek









Izrek








Tocka P, ki lezi na m in na ℓ obstaja [to sledi iz negacijeparalelnosti]. Denimo, da bi tudi Q, ki je razlicna od P, lezala nam in ℓ [predpostavka za dokaz s protislovjem]. Tedaj je ℓ edinapremica, na kateri lezita P in Q, pa tudi m je edina premica, nakateri lezita P in Q [Aksiom 1 incidencne geometrije]. Torejm = ℓ [lastnost edinosti]. To pa je protislovje, saj sta m in ℓ popredpostavki razlicni premici.

V protislovje nas je pripeljala predpostavka za dokaz sprotislovjem, torej jo moramo zavreci in sklenemo, da drugetake tocke Q ni.

�

Tu smo za vsak korak dokaza navedli argument (razlagalnistavki pa argumenta seveda ne potrebujejo).







�








�








�








�








�






Za vsak slucaj pripomnimo se tole: noben izrek ne velja izvennekega konteksta - nekega aksiomatskega sistema. Konkretnozgornji izrek velja v incidencni geometriji, torej predpostavljaveljavnost treh aksiomov incidencne geometrije.

Se zadnja opomba: Evklidovi dokazi (ce zanemarimopomanjkljivosti, ki smo jih omenili) so lep zgled dobrega pisanjadokazov. Velja si jih kdaj ogledati.





Za vsak slucaj pripomnimo se tole: noben izrek ne velja izvennekega konteksta - nekega aksiomatskega sistema. Konkretnozgornji izrek velja v incidencni geometriji, torej predpostavljaveljavnost treh aksiomov incidencne geometrije.

Se zadnja opomba: Evklidovi dokazi (ce zanemarimopomanjkljivosti, ki smo jih omenili) so lep zgled dobrega pisanjadokazov. Velja si jih kdaj ogledati.


Documents

GEOMETRIJA 3. Izreki, dokazi in logika - pef.uni-lj.simatijac/Logika.pdf · Vloga dokaza v matematiki Matematicni jezikˇ Formulacija izrekov Dokazovanje Posredni dokaz Izreki incidencne