Upload
c737475
View
4.393
Download
21
Embed Size (px)
Citation preview
Geometria poligoanelor. Arii
CUPRINS
INTRODUCERE
CAPITOLUL I. SUPRAFEŢE POLIGONALE
I.1. Poligoane. Suprafeţe poligonale convexe
I.2. Descompunerea suprafeţelor poligonale
I.3. Echivalenţa pe mulţimea suprafeţelor poligonale
CAPITOLUL II. ARIA SUPRAFEŢELOR POLIGONALE
II.1. Aria suprafeţelor poligonale
II.2. Calculul ariilor suprafeţelor poligonale
II.3. Suprafeţe măsurabile. Aria discului
II.4. Compararea ariilor
CAPITOLUL III. ASPECTE METODICE PRIVIND
PREDAREA GEOMETRIEI
III.1. Aspecte psiho-pedagogice ale predării geometriei
III.2. Aspecte metodice privind predarea noţiunii de arie în
gimnaziu
III.3. Probleme cu arii
BIBLIOGRAFIE
ANEXE
3
6
6
12
20
30
30
41
45
51
60
60
65
71
79
81
2
Geometria poligoanelor. Arii
INTRODUCERE
Ca ştiinţă, geometria îşi are originile în antichitate. Primele cercetări de
geometrie, consemnate în documente, datează de patru mii de ani şi erau
destinate măsurătorilor de teren, construcţiilor şi calculelor astronomice. De
aici şi cuvântul geometrie – măsurarea pământului.
Una din primele cărţi de geometrie, rămasă din acea perioadă este
semnată de matematicianul Ahmes, carte ce tratează despre dreptunghiuri,
triunghiuri isoscele şi unghiuri şi care prezintă şi o primă relaţie ce permite
calculul ariei cercului şi anume aria unui cerc de rază R poate fi aproximată
prin aria unui pătrat de latură R (ceea ce conduce la o aproximare a
numărului egală cu 3,160… ). Să mai amintim şi faptul că vechii egipteni
cunoşteau că un triunghi cu laturile 3, 4, 5, unităţi este dreptunghic şi foloseau
acest triunghi pentru construcţia dreptelor perpendiculare şi în particular pentru
fixarea direcţiei Est-Vest.
Preocupări în dezvoltarea matematicii, în general, şi a geometriei, în
mod deosebit, au avut Thales din Milet (640-548 î.e.n.), Pitagora (580-500
î.e.n.), Aristotel (384-322 î.e.n.), Arhimede ( 287-212 î.e.n.), Euclid (300 î.e.n.)
şi foarte mulţi alţii.
Reţinem aportul deosebit ce la avut Euclid în studiul geometriei prin
lucrarea sa „Elemente”, care cuprinde 13 cărţi ce conţin rezultate de geometrie
şi, deşi nu în totalitate sau sub aceeaşi formă, unele din axiomele sau
postulatele formulate de el (celebrul postulat V) se regăsesc printre axiomele
geometriei de azi pentru că la el apare prima dată formularea postulatului al V-
lea, postulat ce stă la baza geometriei studiate în şcoală; aceasta poartă numele
– geometrie euclidiană. Printre problemele studiate în prima carte găsim şi
câteva legate de teoria ariilor, egalitatea lor. Scopul lucrării este de a ordona şi
3
Geometria poligoanelor. Arii
demonstra teoremele descoperite de predecesorii săi. Aici a fost iniţiată şi
tradiţia de a indica sfârşitul unei demonstraţii prin cuvintele “Quad erat
demonstrandum” (ceea ce trebuia demonstrat ).
După cum am spus, lui Arhimede i se datorează numeroase rezultate,
dar nu numai în geometrie. O proprietate a mulţimii numerelor reale, cunoscută
sub numele de „axioma lui Arhimede” stă la baza teoriei măsurării – în
particular, teoria ariilor. Iată forma sub care apare ea azi: „pentru orice număr
real x există un număr întreg n unic, astfel încât n ≤ x < n+1” (acest număr
este numit partea întreagă a lui x ).
Dintre matematicienii care s-au evidenţiat de-a lungul timpului în
studiul geometriei reţinem contribuţia lui D. Hilbert (1862-1943 ) care, în
lucrarea sa „Grundlagen der Geometrie”, elaborează prima axiomatizare a
geometriei euclidiene conform cu exigenţele ştiinţei moderne.
În şcoală, studiul axiomatic al geometriei se face astăzi după modelul
dat de G. D. Birkhoff (1884-1944), matematician american, care prezintă un
sistem axiomatic uşor modificat ca acela al lui Hilbert. El este în esenţă „Euclid
aduis la zi”, adică sistemul lui Euclid din Elemente completat şi prezentat ca un
sistem axiomatic, semiformalizat, motiv pentru care poate fi numit „sistemul
axiomatic” Euclid-Hilbert.
Cunoscând acum sistemele axiomatice, care toate conduc la construcţia,
pe căi diferite, a geometriei euclidiene, este momentul să menţionăm unele
concluzii referitoare la o analiză comparativă a lor. Aceasta o vom face din
două puncte de vedere şi anume: primul, considerând aceste sisteme axiomatice
ca şi sisteme axiomatice semiformalizate, în cadrul problemelor generale, şi al
doilea în legătură cu aspectele metodologice pe care le ridică predarea
geometriei în învăţământul gimnazial şi liceal la noi în ţară.
Referitor la aspectele metodice ale predării geometriei euclidiene vis-à-
vis aceste sisteme axiomatice, vom menţiona mai întâi faptul că la noi în ţară,
4
Geometria poligoanelor. Arii
până în anul 1978, geometria a fost predată pe baze neaxiomatice. Noţiunile
primare erau „cunoscute” sau „descrise” intuitiv, principiile fundamentale erau
introduse atunci când erau menţionate ca atare, erau prezentate ca rezultate
„intuitiv evidente”. Se obţinea astfel o teorie matematică, pornită de pe baze
intuitive şi care se constituia într-o construcţie logico-deductivă coerentă şi
într-un grad abstract. Acest mod de a face geometrie este esenţial cel din
Elementele lui Euclid.
Oricare ar fi sistemul axiomatic care ar sta la baza predării geometriei,
considerăm că următoarele aspecte se pot lua în considerare, în primul rând
înţelegerea punctului de vedere axiomatic în studiul geometriei euclidiene şi
predarea axiomatică a geometriei trebuie realizată concret, tratarea este logico-
deductivă şi sistematică, combinată permanent cu interpretări intuitive.
În conformitate cu acesta şi cu manualul, vom nota dreapta care trece
prin două puncte A şi B cu AB, segmentul închis determinat de aceasta cu
[AB], segmentul deschis cu (AB) şi atunci când nu e pericol de confuzii
distanţa dintre punctul A şi B cu AB.
Programa de matematică pentru clasa a VII-a prevede studiul axiomatic
şi proprietăţile ariilor suprafeţelor plane. Manualul oferă un material bogat, atât
teoretic cât şi practic pentru acest capitol.
Studiul ariilor nu înseamnă numai stabilirea unor formule de calcul, ci
şi demonstrarea unor teoreme importante sau rezolvarea unor probleme de
geometrie plană.
În primul capitol am prezentat suprafeţele poligonale, descompunerea
în suprafeţe triunghiulare şi echivalentele ce le putem stabili între acestea.
Capitolul al doilea oferă studiul axiomatic al ariei suprafeţelor poligonale, cu
folosirea lor la studiul ariei discului şi cu aplicaţii practice. Următorul capitol
este axat pe studiul metodic al noţiunii de arie, probleme cu arii şi un test de
evaluare a cunoştinţelor elevilor referitor la capitolul arii.
5
Geometria poligoanelor. Arii
CAPITOLUL I.
SUPRAFEŢE POLIGONALE
I.1. Poligoane. Suprafeţe poligonale convexe
Definiţia 1.1.1.Se numeşte mulţime convexă o mulţime de puncte într-un
plan care are următoarea proprietate: dacă P, Q sunt două puncte distincte ale
mulţimii M, atunci M conţine toate punctele segmentului (PQ), adică P, Q M
(PQ) M.
Exemple de mulţimi convexe:
Exemplul 1. Mulţimea vidă şi mulţimea formată dintr-un singur punct
sunt considerate mulţimi convexe.
O mulţime formată dintr-un număr finit n ( n > 1 ) de puncte este convexă.
Exemplul 2. Orice dreaptă, semidreaptă, segment sunt mulţimi convexe.
Exemplul 3. Un plan, semiplan sunt mulţimi convexe.
În figura 1.1 deosebim două tipuri de mulţimi:
Figura 1.1.
6
Geometria poligoanelor. Arii
Discul cu centrul în O şi raza R ( ex. a ) este mulţime convexă;
exemplele b) şi c) nu sunt mulţimi convexe. Deducem, deci, că pentru a arăta
că o mulţime este convexă este suficient să punem în evidenţă două puncte S, T
ale acestei mulţimi pentru care (ST) este inclus în mulţime.
Teorema 1.1.1 Intersecţia a două mulţimi convexe este o mulţime
convexă.
Demonstraţie: Fie M1 şi M2 două mulţimi convexe şi S, T M1
M2. Atunci S, T M1 şi S, T M2 . Cum M1 şi M2 sunt mulţimi convexe, avem
(ST) M1 şi (ST) M2 . De aici deducem (ST) M1 M2 , ceea ce ne arată
că şi M1 M2 este mulţime convexă.
Generalizare. Orice intersecţie de mulţimi convexe este o mulţime
convexă.
În baza acestei teoreme, interiorul unui unghi, interiorul unui triunghi
sunt mulţimi convexe.
Observaţia 1. Exemplele din figura 1.1 b), c) ne arată că reuniunea
a două (sau mai multe) mulţimi convexe nu este în general o mulţime convexă.
Definiţia 1.1.2. Fie P1, P2, … , Pn, Pn+1 n+1 puncte situate într-un plan. Se
numeşte linie poligonală (de la P1 la Pn+1) mulţimea punctelor L = [P1P2] U… U
[PnPn+1].
Punctele P1, P2, … , Pn, Pn+1 se numesc vârfurile liniei poligonale L, iar
segmentele [P1P2], [P2P3], …, [PnPn+1] se numesc laturile liniei L.
Două vârfuri Pk, Pk+1 se numesc vârfuri vecine (consecutive, alăturate),
iar laturile [Pk-1Pk], [PkPk+1] laturi vecine ( consecutive, alăturate ).
Definiţia 1.1.3 O linie poligonală se numeşte simplă dacă oricare
două laturi vecine sunt disjuncte.
7
Geometria poligoanelor. Arii
Exemple de linii poligonale:
a) b)
c) d) e)
Figura 1.2
Exemplele din figura 1.2. c); d); e); reprezintă linii poligonale simple.
Definiţia 1.1.4. O linie poligonală P=P1P2 . . . Pn Pn +1 se numeşte poligon
(cu n laturi) dacă :
i. Pn+1 = P1 (adică P este o linie poligonală închisă)
ii. este simplă
iii. oricare două laturi nu aparţin aceleaşi drepte
(laturi vecine).
Notăm un poligon P cu vârfurile P1,P2,. . . , Pn+1 cu P=P1 P2 . . .Pn sau mai
simplu P.
Exemplele din figura 1.2. e),d) reprezintă un poligon cu 4 laturi (vârfuri)
respectiv 5 laturi (vârfuri). De astfel, etimologia cuvântului poligon este
grecească, polys =numeros, gonia, gonos =unghi, unghiuri.
8
Geometria poligoanelor. Arii
In concordantă cu acestea este şi utilizarea prescurtării n-gon pentru un
poligon cu n vârfuri (pentagon, hexagon, octogon etc.). Fac excepţie
poligoanele cu trei unghiuri (triunghiuri) sau cu patru unghiuri (patrulater).
Definiţia 1.1.5. Numim frontiera poligonului P mulţimea Fr P alcătuită
din vârfuri şi din punctele interioare laturilor poligonului P, adică ceea ce apare
când desenăm poligonul P.
Definiţia 1. 1.6. Segmentul [Pi Pj ]care nu sunt laturi se numesc
diagonale.
Definiţia 1. 1. 7. Un poligon P este convex dacă oricare ar fi [ Pk Pk+1] o
latură a sa există un semiplan delimitat de dreapta Pk Pk+1 care conţine toate
vârfurile sale cu excepţia vârfurilor Pk şi Pk+1.
a) b)
EMBED PBrush
c)
Figura 1.3
Exemplele a) şi b) din figura 1.3 reprezintă poligoane convexe ;
poligonul c) nu este convex.
9
Geometria poligoanelor. Arii
Definiţia 1. 1. 8. Fie P un poligon convex. Se defineşte interiorul
poligonului convex ca fiind intersecţia semiplanelor delimitate de suporturile
laturilor poligonului şi care conţin vârfurile nesituate pe laturile respective
(figura 1.4).
EMBED PBrush
Figura 1.4
Teorema 1. 1. 2. Un poligon convex nu este o mulţime convexă, dar
interiorul unui poligon convex este o mulţime convexă.
Demonstraţia este imediată, dacă ţinem seama de definiţia 1.1.2. şi 1.1.4.
şi observaţia 1 (în cazul poligonului) şi pentru interiorul poligonului de
definiţia 1.1.8. şi teorema 1.1.1.
Reamintim în continuare câteva clase de poligoane des utilizate în practică.
Definiţia 1.1.9
1. Patrulaterul cu două laturi paralele se numeşte trapez;
2. Patrulaterul cu laturile paralele două câte două se numeşte
paralelogram;
3. Paralelogramul cu două laturi vecine perpendiculare se
numeşte dreptunghi;
4. Paralelogramul cu laturile congruente se numeşte romb;
5. Un romb care este dreptunghi se numeşte pătrat.
10
Geometria poligoanelor. Arii
Figura 1.5
Definiţia 1.1.10. Un poligon convex se numeşte regulat dacă toate
laturile şi unghiurile sunt congruente.
Dintre toate poligoanele regulate cu denumiri consacrate amintim
triunghiul echilateral şi pătratul.
Pentru n laturi ( n > 4) se va folosi terminologia: pentagon regulat etc.
Observaţia 2. Orice poligon regulat este convex şi inscriptibil într-un
cerc şi se poate circumscrie unui cerc.
Definiţia 1.1.11. Pentru orice poligon regulat, definim apotema ca fiind
distanţa de la centru cercului circumscris la laturi ( sau raza cercului înscris).
Definiţia 1.1.12. Se numeşte suprafaţă poligonală [P]. reuniunea unui
poligon convex P cu interiorul sau Int (P), adică [P]=def P Int P. Poligonul P se
11
Geometria poligoanelor. Arii
zice că limitează pe [ P] (sau este frontiera lui [P] ), iar Int (P) se mai numeşte
interiorul lui [P].
O suprafaţă poligonală cu trei laturi se numeşte suprafaţă trilaterală
(triunghiulară), cu patru laturi suprafaţă patrulateră, etc.
Definiţia 1.1.13. Se numeşte suprafaţă poligonală o mulţime de puncte
din plan, care este reuniunea unui număr finit de suprafeţe poligonale convexe,
acestea având două câte două interioarele disjuncte.
I.2. Descompunerea suprafeţelor poligonale
Definiţia triunghiurilor congruente (sau, în general, a poligoanelor
congruente) s-a introdus pornind de la axiomele de congruenţă. Intuitiv două
poligoane sunt congruente dacă prin suprapunere ele coincid exact, în toate
părţile lor (laturi, unghiuri). In acest caz elementele lor congruente se numesc
omoloage.
Intuiţia ne arată că va trebui să determinăm o corespondenţă bijectivă
între elementele omoloage ale celor două poligoane pentru a preciza congruenţa
lor.
12
Geometria poligoanelor. Arii
Figura 1.6
De exemplu, în figura 1.6. poligoanele ABCD si EFGH sunt
congruente dar nu în această ordine. Corespondenţa între elementele omoloage
este ; ; şi şi respectiv, , ,
, .
Prin urmare, conform acestei corespondenţe si ţinând seama de
elementele omoloage corespondenţa se mai scrie ABCD FGHE.
Se pune problema cum putem stabili congruenţa suprafeţelor poligonale
(sau, mai general, asemănarea lor). Fie deci M şi M’ două mulţimi de puncte
din plan.
Definiţia 1.2.1. Mulţimile M şi M' sunt congruente si vom nota
M M ' dacă există o aplicaţie f : M M astfel ca pentru orice pereche
de puncte P , Q M să avem ( P Q ) ( f ( P) f (Q ) ).
Funcţia f cu această proprietate se numeşte izometrie. ( fig.1.7).
Figura 1.7
13
Geometria poligoanelor. Arii
Definiţia 1.2.2. Mulţimile M şi M’ sunt asemenea şi vom nota
M ~M’ dacă există un număr k > 0 şi o funcţie bijectivă f : M M’ astfel
ca pentru orice pereche de puncte P, Q M să avem :
PQ= kf ( P ) f ( Q ).
Funcţia f cu această proprietate se numeşte asemănare, iar numărul k se
numeşte raport de asemănare. Să facem observaţia că pentru k = 1 avem
congruenţa. ( fig.1.8. )
EMBED PBrush
Figura 1.8
Teorema 1.2.1. Dacă triunghiurile ABC şi A’B’C’ sunt congruente,
atunci [ ABC ] [ A’B’C’].
Demonstraţie. Fie Δ ABC şi Δ A’B’C’ şi fie E, F Int ( ABC), (fig. 1.9).
Figura 1.9
14
Geometria poligoanelor. Arii
Construim aplicaţia f : [ABC] [A’B’C’] definită astfel: E’ =f ( E),
F’=f(F) şi BAE B’A’E’, CAP C’A’P’ , (AE) (A’E’),
(AF) (A’F’), (în baza axiomei de construcţie a unghiurilor şi segmentelor este
asigurată unicitatea acestei corespondente). Avem astfel definită o bijecţie.
Din construcţie şi din ipoteză deducem că AEF şi A’E’F’ de unde (EF) =
(f(E)f(F)). Deci [ABC] [A’B’C’].
Definitia 1.2.3. Numim transversala într-un triunghi orice segment ce
uneşte un vârf cu un punct situat pe latura opusă.
In figura 1.10. AM este transversala în ΔABC.
A
B M CFigura 1.10
Observaţia 3. Fie P un poligon simplu şi fie A, B P. O linie poligonală
care leagă punctele A şi B situată in interiorul poligonului P determină
poligoanele P1 si P2 ale căror suprafeţe poligonale sunt disjuncte (figura 1.11).
Figura 1.11
Vom spune că suprafaţa poligonală [P] a fost descompusă prin suprafeţe
poligonale [P1] si [P2]. Avem deci [P] = [P1] U [P2].
15
Geometria poligoanelor. Arii
Convenţie. Pentru simplificarea scrierilor, în cele ce urmează vom mai folosi si
notaţia (pentru descompunere).
În baza observaţiei de mai sus, din definiţia 1.2.3. rezultă că :
[ABC] = [AMB] + [AMC]
Se poate deduce imediat că putem repeta de mai multe ori acest
procedeu; operaţia se va numi descompunere transversală a suprafeţei
poligonale trilaterale (a triunghiului).
Figura 1.12
[ABC] = [T1] + [T2] + [T3] + [T4]
sau
[ABC] = i
Putem astfel generaliza operaţia de descompunere transversală şi să
considerăm o descompunere transversală a suprafeţei triunghiulare [ABC] în
familia {[Ti]} i = 1,…,n, astfel se poate scrie [ABC]= i.
16
Geometria poligoanelor. Arii
Observaţia 4. Modul de a considera o descompunere transversală a unui
triunghi nu este unic. In figura 1.12. am considerat transversala AM.
Putem însă să considerăm transversala
BN şi să obţinem descompunerea
transversală în {[ Tk]} k=1,…,m şi să
scriem [ABC]=Σ [T K ].
Adică, pentru aceleaşi triunghiuri ABC
putem determina mai multe
descompuneri transversale ale suprafeţei
[ABC].
Firesc, ne punem problema posibilităţii descompuneri unei suprafeţe
poligonale oarecare şi mai ales forma suprafeţelor poligonale care oferă cea
mai avantajoasă descompunere. Forma este cea triunghiulară, observaţie
intuitivă. Deci am putea descompune o suprafaţă poligonală în suprafeţe
triunghiulare ?
Definiţia 1.2.4. Se numeşte descompunere triunghiulară a suprafeţei
poligonale [P] , o familie finită de suprafeţe triunghiulare {[T i]}i=1,…,n. care
verifică următoarele condiţii:
i. [P] = ( sau [P] = )
ii. interioarele a oricăror două triunghiuri oarecare sunt disjuncte:
Int (Ti) Int (Tj) = ; i j
iii. fiecare punct interior unui triunghi Ti este interior lui P,
i = 1,… , n.
iv. fiecare punct interior lui P este interior sau pe un triunghi T i,
i = 1, … , n.
17
Geometria poligoanelor. Arii
Astfel, [P] se exprimă ca reuniune de suprafeţe triunghiulare cu
interioarele disjuncte .
Definiţie 1.2.5. Fie [P] o suprafaţă poligonală şi fie {[ T i ]}i=1,…,n o
descompunere triunghiulară. Dacă fiecare triunghi Ti permite o descompunere
transversală în suprafeţe triunghiulare [Ti ,k] se obţine o altă descompunere
triunghiulară a lui [P].
Spunem că descompunerea {[Ti,k]}i,k este mai fină decât descompunerea
{[Ti]} i considerată. (figura 1.13.).
Figura 1.13
Putem realiza o descompunere, imediată, triunghiulară a unui poligon
convex dacă ducem diagonalele dintr-unul din vârfuri, în acelaşi timp să
observăm că descompunerea nu este unică ( figura 1.14 )
Figura 1.14
În ambele cazuri observăm că descompunerea este realizată din
triunghiuri ale căror vârfuri sunt vârfuri ale poligonului P .
18
Geometria poligoanelor. Arii
Aceasta ne permite să enunţăm:
Teorema 1.2.2. Fiecare suprafaţă poligonală [ P ] se poate descompune
în suprafeţe triunghiulare [ Ti ], astfel încât fiecare vârf al fiecărui triunghi Ti să
fie un vârf al poligonului P .
Teorema 1.2.3. O suprafaţă poligonală convexă cu n laturi ( n > 3) se
poate descompune în n-2 suprafeţe triunghiulare.
Demonstraţie. Arătăm mai întâi ca o suprafaţă poligonală convexă cu n
laturi se descompune într-o suprafaţă triunghiulară şi o suprafaţă poligonală
convexă cu n-1 laturi.
Figura 1.15
Se consideră poligonul convex P = P1P2…Pn şi dreapta P1 P3 (fig.1.15.).
O dreaptă care nu este suportul unei laturi a lui P are cel mult două
puncte cu P, prin urmare dreapta P1 P3 intersectează poligonul P numai în P1 si
P3. Rezultă că punctele P4, P5 ,…,Pn sunt de aceeaşi parte a lui P1 P 3 , ceea ce
înseamnă că P1P3P4 …Pn este un poligon convex.
Deoarece P3 se află în interiorul unghiului P2 P1 Pn rezultă că si P2 si Pn se
află deoparte si de alta a dreptei P1 P 3 , adică interiorul triunghiului P1 P2P3 si
poligonul P1 P 3 P 4 …Pn se află în semiplane opuse având astfel intersecţia vidă.
Pe de altă parte este evident că:
[P]=[P1P2P3 ] + [P1P3P4…Pn]
Aplicând succesiv acest rezultat suprafeţelor poligonale [ P1P3P4…Pn]
etc., care au câte o latură mai puţin decât precedenta se obţine teorema.
19
Geometria poligoanelor. Arii
Consecinţă. Orice suprafaţă poligonală poate fi descompusă în suprafeţe
triunghiulare. (fig.1.16.).
EMBED PBrush
Figura 1.16
I.3. Echivalenţe pe mulţimea suprafeţelor poligonale
Definitia 1.3.1. Două suprafeţe ( P ) şi ( P’) sunt echivalente aditiv
dacă pot fi descompuse într-un număr finit de suprafeţe triunghiulare
congruente două câte două .
Vom nota această relaţie [P] ~ [P’] .
Iată câteva suprafeţe poligonale aditiv echivalente (figura 1.17).
Figura 1.17.
20
Geometria poligoanelor. Arii
[ABCD]~[A’B’C’D’]
Teorema 1.3.1. Dacă două poligoane convexe sunt congruente, atunci
suprafeţele poligonale respective sunt aditiv echivalente.
Demonstraţie . Fie poligoanele P = P1P2…Pn si P = P1P2…Pn cu P P’.
Desigur putem considera pentru fiecare poligon mai multe descompuneri.
Fie descompunerea obţinută ducând diagonalele din vârfurile omoloage
P1 si P’1. În Δ P1P2P3 si în Δ P’1P’2P’3 avem ( P1 P2 )(P’1P’2), (P2P3)(P'2 P’3) :
P1 P2 P3 P’1 P’2 P’3
Deci, de aici rezultă congruenta celor două triunghiuri,
Δ P1 P2 P3 ΔP’1 P2’P’3 . Analog pentru celelalte triunghiuri, în baza teoremei
1. 2. 1. vom putea scrie [ P1 P2 P3 ][ P’1 P’2 P’3] şi de aici va rezulta [P][P’].
Observaţia 5. In baza acestei teoreme, definiţie 1. 3. 1. se mai poate
formula teorema şi astfel : Două suprafeţe poligonale [P] şi [P’] sunt aditiv
echivalente dacă se pot descompune în suprafeţe poligonale congruente două
câte două .
Definiţia 1.3.2. Două suprafeţe poligonale [ P ] şi [ Q ] sunt
echivalente prin complement dacă există suprafeţe poligonale :
{[ Pi ]} i=1,n si {[ Qi ]} i=1,n , Pi Qi , i=1,n şi
21
Geometria poligoanelor. Arii
[ P ] + [Pi ] ~ [ Q ] + [ Qi ] .
Vom nota această relaţie [ P ] ~ [ Q ]
Înainte de a trece la enunţul câtorva din proprietăţile acestor relaţii, să
vedem câteva exemple.
Exemplul 1. Două paralelograme cu baze şi înălţimi respectiv egale sunt
echivalente prin complement sau aditiv echivalente .
Demonstraţie. Fie paralelogramele ABCD şi ABEF cu baza AB şi
aceeaşi înălţime h. Deosebim două cazuri:
Cazul 1. E( DC). Avem atunci
[ABCD] = [ ABED] + [BCE]
[ ABEF] = [ABED] + [ADF]
ΔBCE ΔADF
Din aceste rezultate, conform definiţiei 1. 3. 1. avem [ABCD][ABEF].
Cazul 2. E, F ( CD)
Avem relaţiile
[ABCD]+[EDH ] = [ABCEH ]
[ABEF] + [ EDH ] = [ABHDF] (1)
Pe de altă parte avem:
[ABHDF] = [ABH] + [ ADF ]
[ABCEH]=[ABH ]+[BCE ] (2)
ΔBCE ΔADF
Din relaţiile ( 1 ) si ( 2 ) rezultă deci [ ABHDF ][ABCEH ] şi de aici în baza
definiţiei 1. 3. 2. avem [ABCD] [ ABEF ] .
22
Geometria poligoanelor. Arii
Consecinţă. Orice paralelogram este aditiv echivalent sau echivalent
prin complement cu un dreptunghi având dimensiunile egale cu baza şi
înălţimea paralelogramului .
Exemplu 2. Orice triunghi este aditiv echivalent cu un paralelogram
având aceeaşi bază şi înălţimea jumătate din înălţimea triunghiului dat .
Demonstraţie. Fie ΔABC cu înălţimea AD . Fie M mijlocul lui AD.
Ducem prin M o paralelă la BC si considerăm punctele H, F de intersecţie a
acestei paralele cu laturile (AB) şi (AC).Alegem EHF în aşa fel încât F(HE)
şi (HE) (BC). În baza construcţiei avem:
ΔCEF ΔAMF
[BCEH ] = [ BCFH] + [CEF ]
[ ABC ] = [ BCFH ] + [AHF]
De
aici putem scrie
[ABC] ~ [ BCEH]
Consecinţă. Orice suprafaţă triunghiulară este aditiv echivalentă cu o
suprafaţă dreptunghiulară având dimensiunile egale cu baza şi jumătate din
înălţimea triunghiului.
Exemplu 3. Fie patrulaterele P=ABCD , Q≠A’B’C’D’ , şi
R=A”B”C”D” astfel ca DB AB , A’D’A’B’ , ( AB ) (A’B’) , (A’D’)
(DB), (A”B”) 2(A’D) , (A’B’) 2(A”D”) si A”D” A”B”.
În aceste condiţii [ P]~ [Q] şi [Q] ~ [R].Atunci [P]~ [R].
23
Geometria poligoanelor. Arii
[P]~[Q] pentru ca [P] = [ABD] +[DBC]
[Q] = [A’B’C’]+[A’C’D’]
Δ ABC ΔA’B’C’,ΔBDC ΔB’D’C’
[Q]~[R] pentru ca [Q]=[A’N’M’] + [A’M’D’] + [N’M’B’] + [N’C’B’]
[R]=[B”C”M”] + [N”B”M”] + [A”N”M”] + [A”B”M”]
ΔA’M’D’ ΔN”B”M” ; ΔA’N’M’ ΔB”C”M”,
ΔM’N’B’ ΔA”N”M”; ΔB’C’M’ ΔA”D”M”.
Ţinând seama de cele două descompuneri ale aceluiaşi poligon [Q],
suprapuse, obţinem o nouă descompunere a suprafeţei poligonale [Q] în
suprafeţele triunghiulare [A’O’N’], [B’S’C’], [A’D’M’] [A’M’O’], [O’M’S’],
[ S’M’C’] şi patrulaterul [ON’B’S’] şi fig .1.18
Efectuând aceeaşi descompunere (suplimentară) şi în suprafeţele
poligonale [P] şi [R]’ obţinem descompunerea din figura 1. 19. si figura 1. 20.
24
Geometria poligoanelor. Arii
Avem [ P ] = [AON] + [BSD] + [BMQ] + [O1MS1] + [S1MC] + [ONBS]
Cu congruentele Δ AON ΔA’O’N’ Δ BMO1 ΔA’M’O’
Δ BSD Δ B’S’C’ Δ O1MS1 ΔO’M’S’
(3)
Δ BDM Δ A’D’M’ Δ S1MC Δ S’M’C’
ONBS O’N’B’S’
[ R ] = [B”O”1C”] + [ S”M”D”] + [B”Q1”M”] + [B”M”N”] + [A”O”S”] +
+ [ S”D”A”] + [O”N”M”S”]
Cu congruenţele Δ B”O”1C” Δ A’N’O’ Δ B”O”1M” ΔA’O’M’
Δ S”M”D” Δ S’B’C’ Δ A”O”S” Δ O’M’S’ (4)
Δ B”M”N” Δ A’D’M’ Δ S”D”A” Δ S’M’C’
O”N”M”S” O’N’D’S’
Comparând descompunerile (3) şi (4) putem afirma că [P] şi [R] au fost
descompuse în poligoane congruente două câte două, deci [ P ] ~ [ R ].
Din aceste cazuri particulare (ex.3) apare firesc întrebarea dacă putem
generaliza rezultatele obţinute sau nu. Înainte de a da teorema ce grupează
proprietăţile relaţiilor de echivalentă, dăm fără demonstraţie următoarea
teoremă:
Teorema 1.3.2. Punctele interioare comune a două poligoane P şi Q
(dacă există formează mulţimea tuturor punctelor interioare ale unei mulţimi
finite de poligoane din care nu exista două să aibă puncte interioare comune
(figura 1.21.).
25
Geometria poligoanelor. Arii
Figura 1.21.
Teorema 1.3.3. Relaţiile ~ şi ~ sunt relaţii de echivalentă.
Demonstraţie. Din definiţiile celor două relaţii rezultă imediat
proprietăţile de reflexivitate şi simetrie. Pentru tranzitivitate vom lucra separat
pentru cele două relaţii.
a.) Ne propunem să demonstrăm că dacă [P] , [Q] , [R] sunt trei suprafeţe
poligonale astfel încât [P] ~ [Q] si [Q] ~ [R] atunci [P] ~[R].
Din [P] ~ [Q] rezultă că există mulţimile de poligoane {[Pi]}i=1,…n şi
{[Qi]}i=1,…n două câte două congruente (Pi Qi , i=1,…,n) astfel încât :
[ P ] = [ Pi ] si [ Q ] = [ Qi ] ( 5 )
Analog, din [Q] ~ [R] avem mulţimile de poligoane {[Q j’]}j=1,…m şi
{[Rj]}j=1,…m două câte două congruente (Q’j Rj ) , j=1,…m astfel încât :
[ Q ] = [Q”j ] si [ R ] = [ R j ] ( 6 )
Familiile de mulţimi Qi, i=1,…n şi Q’j, j=1,…m realizează pentru suprafaţa
poligonală [Q] două descompuneri care, suprapuse, formează o altă
descompunere a lui [Q] în suprafeţe poligonale pe care le vom nota
{[Qi Q’j ]}i=1,…n; j=1,…m; ( vezi ex.3 )
Conform teoremei 1.3.2. mulţimea punctelor comune interioare
poligoanelor Qi si Q’j coincide cu mulţimea punctelor interioare ale unei
mulţimi formată din poligoanele Qi Qj cu interioarele două câte două disjuncte.
In plus, fiecare punct interior lui Qi este interior lui [Q], deci este sau interior
sau pe un anumit Q’j , deci sau interior sau pe anumiţi Q i Q’j , pentru orice i=1,
…n;j=1,…,m (def.1.2.4.). Conform aceleiaşi definiţii avem ca {[QiQ’j]}i,j
realizează o descompunere în triunghiuri (sau poligoane ) a lui [Q i] si deci
[Qi]= [Qi Q’j] , i=1,…n. Din ( 5 ) vom avea atunci [ P i ] =[QiQ’j ],i=1,…n şi deci
şi [P] poate fi împărţit în poligoane congruente cu mulţimea {Qi Q’j } i ,j (în
26
Geometria poligoanelor. Arii
ex.3. familia { Qi Q’j } i , j este formată din poligoanele QiQj cu interioarele
două câte două disjuncte.
În plus, fiecare punct interior lui Qi este interior lui [Q], deci este sau
interior sau pe un anumit Qj’, deci sau interior sau pe anumiţi QiQj’. Conform
aceleiaşi definiţii, avem că {[QiQj’]},i,j realizează o descompunere în triunghiuri
(sau poligoane) a lui [Qi] şi deci [Qi]= , i=1,…,n. Din (5) vom avea
atunci [Pi]=[QiQj’], i=1,…, n. şi deci şi P poate fi împărţit în poligoane
congruente cu mulţimea {QiQj’}i,j (în ex.3, familia {QiQj’}i,j este formată din
poligoanele A’O’N’, B’S’C’, A’D’M’, A’M’O’, O’M’S’, S’M’C’,
O’N’B’S’).
Analog raţionamentul pentru [R]. rezultă în final că [P] [R].
b) Ne propunem să demonstrăm că dacă [P] [Q] şi [Q] [R] atunci [P]
[R].
Dacă [P] [Q] atunci există poligonul S1, astfel ca
[P]+ [S1] [Q]+ [S1]. (7)
Iar dacă [Q] [R] atunci există poligonul S2 astfel încât:
[Q]+ [S2] [R]+ [S2]. (8)
Notăm cu [S’] mulţimea punctelor comune lui S1 şi S2 si [S1], respectiv
[S2’] mulţimea punctelor [S1] care nu sunt interioare lui [S2] (respectiv din [S2]
care nu sunt interioare lui [S1]). Avem deci [S1]=[S’]+[S1’] şi [S2]=[S’]+[S2’].
Dacă înlocuim în (7) şi (8) avem:
]P]+[S]+[’S1 [’]Q]+ [S]+[’S1 [’
[Q]+[S’]+[S2’] [R] +[S’]+[S2’]
de unde, adăugând convenabil [S2’] respectiv [S1’] avem:
[P]+[S’]+[S1’]+[S2’] [Q] +[S’]+[S1’]+[S2’]
27
Geometria poligoanelor. Arii
[Q]+[S’]+[S2’] +[S1’] [R] +[S’]+[S2’]+[S1’]
Aplicând acum tranzitivitatea relaţiei şi ţinând seama de definiţia 1.3.2.
avem [P] [R] (adică teorema este demonstrată). Din aceste teoreme şi rezultate
se poate imediat demonstra.
Teorema 1.3.4. Două triunghiuri de baze şi înălţimi egale sunt
echivalente.
Problemă. Fie M un punct pe diagonala AC a paralelogramului ABCD.
Ducem prin M paralele la AB şi AD şi notăm intersecţia acestor paralele cu
laturile (AD),(BC) respectiv cu E,F,G,H (vezi figura 1.22). În acest caz
paralelogramele EMHD şi FBGM sunt echivalente.
Figura 1.22.
Soluţie:
Ducem prin H şi G paralele la diagonala Ac. Se notează punctele de
intersecţie cu laturile AD, respectiv AB prin L şi O. Din construcţie
MGCMHC, deci înălţimile celor două triunghiuri considerând aceeaşi
bază MC, sunt egale. Deci HH’GG’.
Pe de altă parte, paralelogramele EMHD şi AMHD sunt echivalente prin
complement, având aceeaşi bază MH şi înălţimi egale (deoarece FH // AD).
Analog MFBG AMGO (aceeaşi bază MG şi înălţimi egale).
În paralelogramele AMGO şi AMHD sunt echivalente prin complement
(aceeaşi bază AM şi înălţimi egale HH’ şi GG’).
28
Geometria poligoanelor. Arii
Avem deci, conform teoremei 1.3.3. echivalenţa prin complement între
paralelogramele EMHD şi MFBG.
În încheierea acestui capitol, din exemplele şi teoremele date şi
demonstrate se desprinde ca o concluzie faptul că noţiunile de aditiv
echivalenţă şi echivalenţă prin complement se pot reuni într-o noţiune generală
de echivalenţă.
Definiţia 1.3.3. Două suprafeţe poligonale [P] şi [P’] sunt echivalente
dacă sunt aditiv echivalente sau echivalente prin complement.
Vom folosi în acest scop notaţia [P] [P’].
CAPITOLUL II.
ARIA SUPRAFEŢELOR PLANE
II.1. Aria suprafeţelor poligonale
După cum ştim, aflarea ariei unei mulţimi de puncte este o operaţie de
măsurare. Este astfel necesar introducerea unei unităţi de măsură. Intuitiv s-a
folosit ca unitate ca unitate de arie o suprafaţă pătratică de latură 1.
Se poate măsura direct o suprafaţa poligonala P, dacă P se descompune
într-un număr finit de unităţi de suprafaţă. (figura 2.1)
29
Geometria poligoanelor. Arii
Figura 2.1.
Pentru alte mulţimi (suprafeţe poligonale) procesul direct de măsurare nu
se poate aplica (figura 2. 2.).
Figura 2.2.
şi aceasta pentru că nu permite descompunerea exactă în unităţi de
suprafaţă (unităţi pătratice de arie). Iată de ce este nevoie de reconsiderarea
formei poligonale care să stea la baza determinării ariei oricărui poligon,
suprafeţe poligonale. Înainte însă este necesar să definim funcţia arie.
Vom folosi ca notaţie S mulţimea suprafeţelor poligonale în planul
euclidian.
Definiţia 2.1. 1. 0 funcţie :S+ se numeşte funcţie arie dacă verifică
următoarele axiome:
A1. Dacă suprafeţele poligonale [P,] si [P2] sunt congruente, atunci
(P1)=(P2).
A2. Dacă suprafeţele poligonale [P1] şi [P2] sunt disjuncte sau se
intersectează doar în vârfuri sau pe laturi, atunci (P1U P2)=(P1)+(P2);
30
Geometria poligoanelor. Arii
respectiv convenţiei făcută în capitolul precedent (P1+ P2)=(P1)+(P2), vezi
figura 2.3.
Figura 2.3.
A3. Dacă [ABCD] este o suprafaţă pătrata de latură unitate (adică
[ABCD] este o unitate de suprafaţă), atunci (ABCD)= 1 .
Observaţia 1. Înainte de axioma A3 , să observam că, dacă funcţia :+
satisface axiomele A] si A2 , atunci şi funcţia obţinută prin înmulţirea funcţiei
definită mai sus cu un număr real pozitiv , satisface de asemenea proprietăţile
A1 şi A2. Cel puţin din acest motiv suntem în faţa unei infinităţi de funcţii "arie"
şi, deci, o dificultate suplimentară în alegerea aceleia potrivite. Această
problemă se rezolvă prin introducerea axiomei A3 care fixează o anumită
funcţie din cele de mai sus cu rolul de arie a unei suprafeţe plane.
Aşa cum am amintit mai sus e nevoie să stabilim o modalitate de a
calcula aria oricărei suprafeţe poligonale. În baza teoremelor 1.2.2. şi 1.2.3. în
baza cărora orice suprafaţă poligonală se poate descompune în suprafeţe
triunghiulare, deducem că pentru a calcula aria suprafeţelor poligonale [P]
(oarecare), e necesar să stabilim o formulă pentru aria suprafeţei triunghiulare.
Teorema 2.1.1. În orice triunghi, produsul unei laturi cu înălţimea
corespunzătoare este acelaşi oricare ar fi latura aleasă.
Demonstraţie
31
Geometria poligoanelor. Arii
Fie ABCD în care considerăm că ADBC, BEAC, CFAB. Vrem să
demonstrăm că avem relaţiile BC AD=AC BE=ABCF.
Deoarece şi rezulta că ADC BEC şi deci
putem scrie raportul laturilor (de asemănare).
, de unde avem AD BC = AC BE.
Analog pentru triunghiurile ACF şi ABE. Cu aceasta teorema este
demonstrată.
Definiţia 2.1.2. Numim caracteristică a triunghiului acest număr.
Definiţia 2.1.3. Definim aria unei suprafeţe triunghiulare [ABC],
caracteristica triunghiului ABC, înmulţită cu un număr dat k, fixat o dată pentru
totdeauna şi acelaşi pentru orice triunghi.
Rezultă că, dacă în ABC
avem ADBC, atunci
(ABC)=kBCAD.
Ne propunem în continuare să arătam că
astfel definită aria unei suprafeţe triunghiulare,
sunt verificate axiomele ariei (A1-A3) şi, de asemenea, să determinăm valoarea
constantei k.
Prima axiomă este verificată imediat. Fiind date două triunghiuri
congruente ABC şi A'B'C' (am văzut în capitolul precedent că, în acest caz şi
suprafeţele triunghiulare [ABC] şi [A'B'C’] sunt congruente - teorema 1.2.1.1,
32
Geometria poligoanelor. Arii
şi fiind considerate înălţimile AD, respectiv A'D' (ADBC, A'B'B'C') din
congruenţa ADBA'D'B’ avem AD=A'D'.
Atunci (ABC)= kBCAD = k A’D’ B’C’ şi deci axioma A1 este
verificată.
Să încercăm să verificăm axioma A2.
Teorema 2.1.2. Dacă un triunghi este împărţit prin transversala AM în
triunghiurile T1 şi T2, atunci aria suprafeţei triunghiulare [ABC] este egală cu
suma ariilor suprafeţelor triunghiulare [T,] si [T2].
Demonstraţie. Fie [T1]=[ABM] şi [T2] =
[AMC]. Din definiţia ariei unei suprafeţe
triunghiulare, considerând ADBC avem:
(ABM)+(AMC)=kBMAD+kMCAD=
=kAD(BM+MC)=kADBC=(ABC)
Teorema 2.1.3. Dacă un triunghi oarecare ABC este împărţit într-un
mod oarecare prin drepte într-un număr oarecare, dar finit, de triunghiuri Tk,
aria suprafeţei triunghiulare [ABC] este totdeauna egală cu suma ariilor
suprafeţelor tuturor triunghiurilor Tk.
Demonstraţie. Să arătam mai întâi că, efectuând numai descompuneri
transversale în triunghiuri Tk, aria suprafeţei triunghiulare [ABC] este suma
ariilor tuturor suprafeţelor triunghiulare [Tk]k=1,…,n adică, dacă:
[ABC]= atunci (ABC)= (Tk).
Într-adevăr, să presupunem adevărată teorema pentru o descompunere
transversală în familia de triunghiuri {Tk}k=1,…,n şi să arătăm că este adevărată
şi pentru o descompunere în n+1 triunghiuri.
33
Geometria poligoanelor. Arii
Pentru a obţine o descompunere transversală a triunghiului ABC în n+1
triunghiuri, e suficient să efectuăm, în familia {Tk}k=1,…,n o descompunere
transversală a triunghiului Tn, obţinând triunghiurile Tn’ şi Tn+1
’ cu proprietatea
[Tn]= [Tn’ ]+[Tn+1
’] şi Int (Tn’ )Int(Tn+1
’)= şi pentru care, aplicând teorema
2.1.2. avem:
(Tn)= (Tn’)+ (Tn+1
’ ) (2)
Notând acum:
Tk’= (3)
Am construit o nouă familie de triunghiuri {Tk}k=1,…,n+1.
În plus, folosind rezultatele (1) , (2 ) , (3 ) vom avea
(ABC)= (Tk’).
Să arătam acum că aria suprafeţei triunghiulare [ABC] nu depinde de
descompunerea folosita. Fie pentru aceasta o descompunere oarecare în
triunghiuri {Tk} şi să considerăm segmentele determinate de vârfurile
triunghiurilor T, situate în interiorul
triunghiului ABC sau pe (BC) şi de
punctul A.
Se obţine astfel o
descompunere transversală a lui ABC
în triunghiurile {Ti}i=1,..,n, adică
(ABC)= (Ti’).
Suprapunând cele două descompuneri, se obţine o mulţime de triunghiuri şi
patrulatere. La rândul lor construind o diagonală în fiecare patrulater se obţine
în final o descompunere în triunghiuri {Tik} a suprafeţei triunghiulare [ABC].
Vârfurile fiecărui triunghi Tik se vor găsi numai pe două laturi ale unui
triunghi Ti, respectiv ale unui triunghi Tk, fapt ce rezultă imediat din
34
Geometria poligoanelor. Arii
construcţie. Aceasta ne arată că familia {[Tik]}i,k realizează o descompunere
transversală atât pentru un triunghi Tk, cât şi pentru un triunghi Ti. Vom avea
atunci:
(Ti)= (Tik) şi deci (ABC)= (Ti) = (Tik).
Pe de altă parte, (Tk)= (ik) şi însumând ariile tuturor triunghiurilor
Tk, vom avea (Tk) = (Tik).
Comparând ultimele rezultate vom avea (ABC)= (Tk), rezultat care
ne arata că aria triunghiului ABC nu depinde de descompunerea făcută. Cu
aceasta, teorema este demonstrată.
Observaţia 3. Teorema 2.1.3. enunţată mai sus, este în acelaşi timp şi
verificarea celei de-a doua axiome a ariei. Deci formula pentru calculul ariei
unui triunghi dată prin definiţia 2.1.3. verifică cele două axiome ale ariei.
Problema. Să se demonstreze că distanţele de la un punct al medianei
AA’ a triunghiului ABC până la laturile AB şi AC sunt în raport invers cu
aceste laturi.
Rezolvare. Considerăm BC=a şi fie M(AA'), BA'=A'C=a/2. Ducem
MPAB (PAB), MNAC(NAC), ADBC, MD'BC, D,D'BC.
Unind pe M cu B şi C se formează:
ABA’; AA’C; MAB; MAC;
MBA’; MCA' . Vom avea
(ABA’ )=kBA’AD=1/2 k aAD
(ACA’ )=kADA’C=1/2 k aAD.
De aici deducem
(ABA’ )=(ACA’ ) (4)
De asemenea (MA’B)=kMD’BA’=1/2 kaMD’
35
Geometria poligoanelor. Arii
(MA’C)=kA’CMD’=1/2 kaMD’
De unde deducem (MA’B)=(MA’C) (5)
Comparând rezultatele (4) şi (5) avem (AMB)=(AMC). De unde vom
putea scrie:
kABMP=(AMB)=(AMC)=kACMN de unde obţinem
ABMP=ACMN sau raportul cerut . Să încercăm acum să definim
aria unui poligon (a unei suprafeţe poligonale). Fie [P] o suprafaţă poligonală,
în baza teoremelor 1.2.2. şi 1.2.3. din capitolul precedent există o familie de
suprafeţe triunghiulare {[Ti]}i care permite descompunerea triunghiulară a
suprafeţei [P]. Urmează firesc definiţia.
Definiţia 2.1.4. Fie [P] o suprafaţa poligonală. Definim aria suprafeţei
poligonale [P] ca fiind suma ariilor suprafeţelor triunghiulare ce realizează o
descompunere a suprafeţe [P].
Teorema 2.1.4. Aria unei suprafeţe poligonale [P] este independentă de
descompunerea aleasă.
Demonstraţie. Pentru suprafaţa poligonală [P] presupunem două
descompuneri triunghiulare {[Ti]}i şi {[Tk’]}k (în figura 2.4.). Este prezentat un
heptagon oarecare căruia i s-au pus în evidenta două descompuneri
triunghiulare).
Figura 2.4.
Suprapunând cele două descompuneri, un triunghi al unei descompuneri
36
Geometria poligoanelor. Arii
determină pe cealaltă familie de descompunere triunghiulară, triunghiuri sau
poligoane ce, la rândul lor, pot fi descompuse în triunghiuri. Fie această familie
notată {[Tik]}i,k.
În baza teoremei 2.1.3. aria fiecărui triunghi Ti este suma ariilor
triunghiurilor componente Tik. Însumând ariile tuturor triunghiurilor Ti avem
astfel:
(Ti) = (Tik)
In mod analog găsim (Tk’) = (Tik)
De unde deducem (Ti) = (Tk’) şi astfel teorema este
demonstrata.
Observaţia 4. Astfel definită aria unei suprafeţe poligonale [P], aceasta
verifică atât axioma A1, cât şi axioma A2 din definiţia ariei unei suprafeţe
poligonale ( definiţia 2.1.1.).
Observaţia 5. Până aici am putut lucra atât cu aria unei suprafeţe
triunghiulare oarecare, fără să fim obligaţi să fixăm valoarea constantei k. Este
şi acesta un exemplu la observaţia 1 din acest paragraf.
Verificarea celei de-a treia axiome a ariei duce
de fapt la determinarea valorii lui k.
Fie deci [ABCD] o suprafaţă pătrată de latură
1. Conform celor arătate mai sus, putem
descompune suprafaţa în suprafeţele
triunghiulare [ABC] şi [ACD] şi vom avea:
(ABC) =(ABC)+ (ACD).
În baza axiomei A1 verificată şi a definiţiei 2. 1. 3, avem:
(ABC) =(ACD) = k.
37
Geometria poligoanelor. Arii
Considerând suprafaţa ABCD o unitate de suprafaţă, având deci aria
egală cu 1, vom avea 2k=1, de unde obţinem valoarea constantei k, şi anume
k=1/2. Am obţinut astfel relaţia care permite calculul ariei oricărei suprafeţe
triunghiulare.
Teorema 2.1.5. Aria oricărei suprafeţe triunghiulare este egala cu
jumătate din produsul unei laturi cu înălţimea corespunzătoare.
Problemă. Să se calculeze aria unei suprafeţe triunghiulare având baza
şi înălţimea respectiv egale cu 42 şi 20 (unităţi de lungime).
Rezolvare.
Fie [ABC] suprafaţa triunghiulară. Dacă
notăm o latură cu b (baza) şi înălţimea cu h,
conform teoremei 2.1.5. vom avea:
(ABC)= (6)
Înlocuind cu valorile date obţinem (ABC)=420 (unităţi de arie).
Problemă. Să se calculeze aria unui triunghi, ştiind că înălţimea sa este
36, iar cele două laturi care pleacă din vârf sunt de 85 şi 60.
Rezolvare. În ABC considerăm AB=85, AC=60, AD=36, ADBC.
Pentru a calcula lungimea bazei BC se aplică
teorema lui Pitagora în ABD şi găsim BD=77, iar
din ADC găsim DC=48.
Avem astfel BC=125 şi de aici, folosind (6)
găsim (ABC)=1125 (unităţi de arie).
Problemă. Lungimile laturilor unui patrulater ABCD sunt (în unităţi de
măsură) AB=18, BC=10, CD=10, AD= 15 şi diagonala BD=15. Să se calculeze
aria suprafeţei patrulatere.
38
Geometria poligoanelor. Arii
Rezolvare. În patrulaterul dat ABCD, diagonala BD realizează o
descompunere triunghiulară; avem deci (ABCD)=(ABD)+(BCD).
Dar triunghiurile ABD şi BCD sunt isoscele
având bazele AB şi respectiv BD şi, în urma
calculelor vom avea (ABD)=108 (unităţi de arie)
(BCD)= şi deci aria (ABCD)=108+
(unităţi de arie.).
Problemă. Să se arate că, folosind calculul ariilor suprafeţelor
poligonale şi axiomele ariei ca suma distanţelor unui punct variabil M, situat în
interiorul unui triunghi echilateral, la laturile triunghiului este constantă. Să se
determine această constantă.
Rezolvare.
Fie triunghiul echilateral ABC de latură a. Considerăm N,P,Q picioarele
perpendicularelor duse din M pe laturile
BC, AC respectiv AB ale triunghiului .
Vom avea imediat (ABC)= .
Aplicând axioma A2 vom avea:
(ABC) =(AMB)+(MBC)+(AMC).
Calculând ariile celor trei
triunghiuri AMB, MBC, AMC vom avea:
aMN+aMP+aMQ=(ABC)= , de unde obţinem relaţia:
MN+MP+MQ=(ABC)= .
II.2. Calculul ariilor suprafeţelor poligonale
39
Geometria poligoanelor. Arii
Din definiţiile ariei unei suprafeţe triunghiulare şi a unei suprafeţe
poligonale date în paragraful precedent, vom reţine câteva reguli de calcul
pentru ariile diferitelor suprafeţe poligonale particulare.
Teorema 2.2.1. Dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu catetele c1
şi c2, vom avea: (ABC)= .
Aplicaţie. Să se determine înălţimea unui triunghi dreptunghic având
catetele 30 şi 40 (unităţi de lungime) folosind calculul ariilor.
Rezolvare.
Se calculează aria în două moduri. Notăm cu a
ipotenuza triunghiului şi h înălţimea
corespunzătoare, vom obţine din calculul ariei h=
.
Ca aplicaţie numerica se obţine h=12 .
Teorema 2.2.2. Dacă [ABCD] este o suprafaţă pătratică cu 2 latura a,
aria va fi: (ABCD)= a2.
Demonstraţie.
Vom scrie [ABCD]= [ABC]+[ACD].
Aplicând teorema precedentă triunghiurilor
dreptunghice ABC şi ACD vom avea:
(ABCD)=(ABC)+(ACD) = + =
Teorema 2.2.3. Dacă [ABCD] este o suprafaţă
dreptunghiulară cu dimensiunile a şi b, atunci (ABCD)= ab.
Demonstraţia acestei teoreme se poate face în mai multe moduri. Iată în
continuare două dintre ele.
Demonstraţia 1.
40
Geometria poligoanelor. Arii
Descompunem suprafaţa dreptunghiulară astfel:
[ABCD]=[ABC]+[ACD]. Aplicam pentru aceste triunghiuri rezultatul
teoremei 2. 2. 1. (fiind dreptunghice) şi
vom avea:
(ABCD)=(ABC)+(ACD) = + =
Demonstraţia 2. Construim pătratul cu latura a+b vom avea:
[MNPD]=[AMEB]+[ENQB1+[BQPC]+[ABCD] ENQB şi ABCD sunt
dreptunghiuri, deci (ENQB)=(ABCD).
AMEB este un pătrat cu latura a şi deci
(AMEB)=a2.
BQPC este un pătrat cu latura b şi deci
(BQP
C)=b2.
MNPD este un pătrat cu latura a+b şi
deci (MNPD)=(a+b)2.
Cu aceasta, vom avea aşadar:
(a+b)2=a2+b2+2(ABCD) de unde după calculele efectuate ajungem la
relaţia căutată pentru calculul ariei suprafeţei dreptunghiularei [ABCD].
Problema. Laturile unui dreptunghi sunt de 54, respectiv 6 (unităţi de
lungime). Sa se afle latura unei suprafeţe pătratice a cărei arie este egală cu aria
suprafeţei dreptunghiulare.
Rezolvare. Se calculează aria suprafeţei dreptunghiulare şi avem =324
(unităţi de arie). Din formula pentru aria suprafeţei pătratice se obţine a=18
(unităţi de lungime).
Teorema 2.2.4. Fie ABCD un paralelogram având baza AB=a şi DE=h.
Aria suprafeţei [ABCD] poate fi calculată astfel:
41
Geometria poligoanelor. Arii
(ABCD)=ah. (adică produsul unei baze cu înălţimea).
Demonstraţie.
Putem descompune suprafaţa paralelogramului în [ABCD]=[ABD]+[DBC],
unde ABCCDB şi deci
(ABD)=(CDB)= , de unde
obţinem:
(ABCD ) = + = .
Teorema 2.2.5. Aria rombului este jumătate din produsul
lungimilor diagonalelor sale.
Demonstraţie.
Notăm cu d1=AC şi d2=BD. Ţinând
seama de proprietăţile rombului, vom
avea:
[ABCD]=[ABD]+[BCD] şi d1d2.
De aici vom avea:
(ABD)=(BCD )= .
Problema. Să se calculeze aria unui romb având latura de 8 şi o
diagonală de 14.
Teorema 2.2.6. Aria trapezului este jumătate din produsul dintre
înălţime şi suma bazelor.
Demonstraţie.
Fie ABCD un trapez cu bazele BC şi AD. Notăm BC=b1; AD=b2 şi
AE=h; AEBC.
Avem [ABCD]=[ABC]+
[ADC]
42
Geometria poligoanelor. Arii
Cum triunghiurile ABC şi ADC au aceeaşi înălţime (distanţa dintre
bazele trapezului) vom avea:
(ABCD)=(ABC)+(ACD) = + =
Consecinţă. BC+AD este dublul liniei mijlocii, prin urmare aria
suprafeţei ABCD se mai poate reţine şi sub forma: aria este egală cu produsul
dintre înălţimea trapezului şi linia mijlocie.
Teorema 2.2.7. Fie A1,A2,…,An un poligon convex regulat, având latura
egală cu l şi apotema ap. Aria suprafeţei poligonale [P] va fi
(P)= , unde am notat P=A1A2...An.
Demonstraţie. (A1A2...An)=(A1A2O)+(OA2A3)+…
+(OA1An)=n(OA1A2)= .
Observaţia 6. Ţinând seama de faptul că nl reprezintă perimetrul
poligonului; reţinem aria ca fiind jumătate din produsul dintre perimetrul şi
apotema poligonului.
Observaţia 7. Dacă numărul laturilor poligonului este par, aria sa este
egală cu jumătatea razei cercului circumscris, înmulţită cu perimetrul
poligonului obţinut unind vârfurile din două în două.
Justificarea acestei afirmaţii este imediată.
Fie n=2k numărul laturilor poligonului P=A1A2...An. Atunci poligonul
P'=A1A3A5 ...An-1 va avea k laturi, iar lungimea unei laturi l1=A1A3=A2An.
43
Geometria poligoanelor. Arii
Pentru două triunghiuri alăturate OA1A2 şi A1AnO ale poligonului P
avem congruenţa OA1A2OA1An, de unde OA1A2An.
În acest caz ariile vor fi (OA1A2)(OA1An)=
De aici rezulta imediat rezultatul din
observaţia 7.
Teorema 2.2.8. Aria unui poligon convex circumscris unui cerc este
egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul său şi raza cercului înscris.
II. 3. Suprafeţe măsurabile. Aria discului
Deşi cercul nu este o figura poligonală, iar discul nu este o suprafaţă
poligonală, totuşi considerăm să introducem aici şi deducerea formulei pentru
calculul ariei discului, având în vedere faptul ca teoria se bazează pe aria
suprafeţei poligonale.
Definiţia 2.3.1. O mulţime se numeşte suprafaţă măsurabilă dacă
există un număr unic notat () mai mare sau egal cu aria oricărei suprafeţe
poligonale incluse în şi mai mic sau egal decât aria oricărei suprafeţe
poligonale care include pe .
44
Geometria poligoanelor. Arii
Definiţia 2.3.2. Se numeşte disc cu centrul în O şi rază R mulţimea:
[(O,R)]=(O,R) Int (O,R).
Definiţia 2.3.2. Se numeşte sector de cerc determinat de arcul al
cercului (O,R), reuniunea segmentelor [OM], unde M .
Teorema 2.3.1. i) Şirul format din ariile poligoanelor regulate convexe
înscrise în cerc, al căror număr de laturi creşte prin dublare,este crescător şi
mărginit superior;
ii) Şirul format din ariile poligoanelor regulate convexe circumscrise
corespunzătoare este descrescător şi mărginit inferior.
Demonstraţie:
i) Fie P=A1A2...An. şi P’=B1B2...Bn două poligoane convexe înscrise,
acesta din urmă fiind obţinut prin unirea fiecărui vârf al poligonului P cu
jumătăţile arcurilor alăturate.
Vrem sa arătam că
(P)<(P’).
Pentru calculul ariilor celor
doua poligoane ne vom folosi de
observaţia 6 si observaţia 7 din
paragraful precedent. Notăm deci
p=perimetrul poligonului P,
ap=apotema poligonului [P]. Vom
avea:
45
Geometria poligoanelor. Arii
(P)= şi (P’)=
Dar cum ap<R avem imediat (P)<(P'), şirul format din ariile
poligoanelor înscrise este monoton strict crescător..
ii) Fie P=A1A2...An şi P'=B1B2...Bn poligoane circumscrise, acesta din
urmă obţinut prin intersecţia a două laturi adiacente ale lui P cu tangentele
duse prin mijloacele arcelor determinate de acestea. Avem (P)= şi
(P’)= . În triunghiul A1MB1, m( )= , avem B1M<A1B1; de aici vom
putea scrie B1B2n<A1N şi 2B1B2n<A1A2 şi deci p>p’.
Avem astfel (P)>(P’)
Am folosit aceeaşi notaţie pentru p şi p’, respectiv perimetrele celor două
poligoane. Putem spune şi aici că şirul format din ariile poligoanelor
circumscrise, obţinute prin celor dublarea numărului de laturi, este monoton
strict descrescător. Pentru a verifica şi proprietatea de mărginire, este suficient
să facem observaţia că aria oricărui poligon înscris este mai mică decât aria
oricărui poligon circumscris. Cu aceasta, teorema este demonstrată.
Teorema 2. 3. 2. Un disc [(O,R)] este o suprafaţă măsurabilă
a cărei arie se calculează astfel:
[(O,R)]=R2.
Demonstraţie Fie P=A1A2...A2n un poligon înscris, P’=B1B2...B2n un
poligon circumscris. Notăm:
şi
46
Geometria poligoanelor. Arii
Din observaţia 7 din paragraful precedent şi din faptul că (P)<(P’)
vom putea scrie:
= (P) <(P’)= . (1)
Dar, din modul de definire a lungimii cercului vom avea:
< < .
Înlocuind în (1) aceasta relaţie vom obţine: şi de aici:
(P)<<(P’) .
Deci numărul R2 verifică condiţiile din definiţia unei suprafeţe
măsurabile.
Să arătam acum că numărul R2 este singurul număr care verifică aceste
condiţii. Considerăm aceleaşi poligoane P=A1A2…A2n înscrise şi P'=B1B2....B2n
circumscrise, pentru care este adevărata relaţia (1 ) .
Conform axiomelor de continuitate exista un număr real unic
x astfel încât:
< x < .
sau, simplificând, avem:
< < .
Dar şi reprezintă perimetrele a doua poligoane oarecare, unul
înscris şi celalalt circumscris; ori din definiţia lungimii cercului, acest număr,
care este mai mare decât perimetrul oricărui poligon înscris şi mai mic decât
perimetrul oricărui poligon circumscris, este tocmai numărul care reprezintă
47
Geometria poligoanelor. Arii
lungimea cercului, adică 2R. Avem deci , de unde se obţine .
Cu aceasta teorema este demonstrată.
Teorema 2. 3. 3. Sectorul de cerc determinat de arcul AB este o
suprafaţă măsurabilă şi aria lui este egala cu:
s=
unde, prin am înţeles măsura arcului AB în grade sexagesimale ,
iar prin măsura arcului AB în radiani. Demonstrarea acestei teoreme este
imediată folosindu-ne de aceleaşi consideraţii ca şi pentru aria discului.
Problema. Se consideră trei semicercuri cu centrele pe aceeaşi dreapta
şi situate în acelaşi semiplan, astfel încât suma diametrelor semicercurilor mai
mici să reprezinte diametrul celui de-al treilea. Să se arate că suprafaţa plană
cuprinsă între cele trei semicercuri au aceeaşi arie cu discul cu diametrul egal
cu tangenta comună celor două semicercuri mai mici.
Rezolvare. Considerăm AC=2a; BC=2b şi notăm ariile celor două
semicercuri cu diametrele AC şi BC cu 1= a2 şi 2= b2, iar aria semicercului
cu diametrul AB cu 3= (a2+b2).
Aria suprafeţei plane cerute este = 1 + 2 + 3= ab.
Din trapezul dreptunghic NMO1O2 avem NO2=b, MO=a, O1O2 = a+b şi
deci MN2 = O1O22 - (MO1 – NO2)2 = (a+b)2 - (a - b)2 = 4ab.
De aici MN =2 , iar aria discului cu diametrul MN este ab.
48
Geometria poligoanelor. Arii
Observaţie. Fie D punctul de pe semicercul cu diametrul AB astfel ca
CD să fie tangenta comună a celor două semicercuri mai sus considerate
(cercurile mici). Suprafaţa haşurată aceeaşi din problema precedenta (şi
cunoscută sub numele de secera lui Arhimede) este echivalentă - are aceeaşi
arie cu discul de diametrul (CD).
Într-adevăr , [(O3, DO3)] =DO32 , dar ADB este dreptunghic, cu
unghiul drept D şi aplicând teorema înălţimii vom avea DC=2 . Cu aceasta,
[(O3, DO3)] = ab.
II.4. Compararea ariilor
Teorema 2.4.1. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal
cu pătratul raportului de asemănare.
Demonstraţie. Fie ABC şi A'B'C' două triunghiuri asemenea:
49
Geometria poligoanelor. Arii
Vom arăta că:
Considerăm ADBC şi A’D’B’C’. Se formează astfel perechile de
triunghiuri asemenea ABD A'B'D' şi ADCA'D'C'. Rezultă deci
Dar (ABC)= , (A’B’C’)= şi vom putea scrie:
Consecinţa. Raportul ariilor a două suprafeţe poligonale asemenea este
egal cu pătratul raportului de asemănare.
Observaţie 8. La poligoanele regulate, raportul de asemănare este egal cu
raportul razelor cercurilor circumscrise, cu raportul razelor cercurilor înscrise
sau cu raportul apotemelor lor. Avem astfel:
Problema. Într-un triunghi se duce o paralelă la o latură la 5/8 de vârf din
înălţime. Care este aria triunghiului dat dacă aria celui din interior este de 75?
50
Geometria poligoanelor. Arii
Rezolvare. Fie ABC cu înălţimea AD şi MN paralela la BC,
(MN)(AD)={O}.
Avem: .
Aplicând teorema 2.4.1. vom avea:
de unde, după înlocuire obţinem
(ABC)=192.
Problema. Să se descompună o suprafaţă
triunghiulară în trei
suprafeţe de aceeaşi arie, prin
paralele la o latura a
triunghiului.
Rezolvare.
Presupunem problema
rezolvată şi fie triunghiul ABC
în care considerăm ADBC, MN//BC, PQ//BC şi (MN)(AD)={E},
(PQ)(AD)={F}. Vom avea:
(AMN)=(MPQN)=(PBCQ) şi deci
(AMN)=(MPQN)=(PBCQ)=
Aplicând teorema 2. 4. 1. pentru triunghiurile AMN si ABC, respectiv
APQ şi ABC vom obţine:
, de unde sau AE= AD.
, de unde sau AF= AD.
51
Geometria poligoanelor. Arii
Teorema 2.4.2. Raportul ariilor a două triunghiuri care au un unghi
congruent (sau suplementar) este egal cu raportul produselor laturilor care
cuprind acest unghi.
Vom deosebi două cazuri.
Cazul 1. Triunghiurile au un unghi congruent. Fie pentru aceasta ABC
cu înălţimea CH şi A’B’C’ cu înălţimea C’H’; B(AB’), C(AC’). Avem:
(ABC)= , (AB’C’)= .
Dar CHAB, CH'AB' şi deci
ACH ACH’.
De aici vom avea:
şi vom putea scrie:
Cazul 2. Triunghiurile au un unghi suplementar. Fie pentru aceasta
ABC şi A’B’C’ cu A(BB’), C(AC’) şi fie CHAB, CH’AB’
(înălţimile celor două triunghiuri). Din
AHCAH’C’ avem:
.
Pe de alta parte putem scrie:
52
Geometria poligoanelor. Arii
Cu aceasta teorema este demonstrată.
Teorema 2.4.3. Doua poligoane aditiv echivalente au aceeaşi arie.
Demonstraţia este imediată, dacă ţinem seama de definiţia echivalentei
aditive şi de axiomele ariei.
Teorema 2.4.4. Două poligoane echivalente prin complement au aceeaşi
arie
Demonstraţie. Fie [P] [P']. Atunci există poligoanele R şi Q cu
proprietăţile: [R][Q] şi [P] [P’]+[Q]. (1)
Aplicând acum teorema 2.4.3. şi axioma ariei avem:
(P)+(R)=(P’)+(Q).
Dar (R)=(Q), de unde găsim (P)=(P’). Din cele de mai sus putem
formula o singură teoremă care leagă cele două relaţii de echivalenţă .
Teorema 2.4.5. Două poligoane care se află în aceeaşi relaţie de
echivalenţă au aceeaşi arie. Această afirmaţie ne conduce la studiul teoremei
reciproce.
În capitolul precedent am arătat că două triunghiuri care au baze şi
înălţimi egale sunt echivalente (teorema 1.2.4). De asemenea o echivalenţă
absolută nu se poate stabili fără să introducem axiomele ariilor, respectiv
axioma lui Arhimede.
lată în continuare, câteva rezultate care fac legătura între poligoane cu
aceeaşi arie şi poligoane echivalente.
Teorema 2.4.6. Fie a şi h, respectiv a’, h’ bazele şi înălţimile a două
paralelograme. Dacă ah = a’h’,
atunci cele două paralelograme
sunt echivalente prin complement.
53
Geometria poligoanelor. Arii
Demonstraţie. Fie dd' şi dd' ={O}. Alegem pe d segmentele OC =
a, OE = a', O(CE) şi pe d’ segmentele OA=h şi OD=h', O(AD).
Ducem prin A,E,C,D paralele la dreptele d respectiv d', obţinând dreptunghiul
BHFG. Din ah = a’h’, avem sau
Dar OD=h’, FG=h+h’, HD=OC=a şi HF=a+a’. Deci şi de aici
HDOHFG de unde putem spune că O(HG).
Prin urmare [ABCO] si [DFEO] sunt echivalente prin complement în
baza problemei din capitolul precedent.
Observaţie 9. Ţinând seama de calculul ariei unui paralelogram, teorema
precedentă poate fi formulată şi astfel: două paralelograme care au aceeaşi arie
sunt echivalente prin complement (sau aditiv echivalente).
Consecinţa 1. Două dreptunghiuri care au aceeaşi arie sunt echivalente.
Consecinţa 2. Orice paralelogram având baza a şi înălţimea h este
echivalent cu un dreptunghi având o latura 1 si cealaltă latura ah/1.
Teorema 2.4.7. Fiecare poligon simplu este echivalent prin complement
cu un dreptunghi de latura dată.
Demonstraţie. În baza exemplului 2 din capitolul precedent, orice
triunghi este echivalent cu un paralelogram.
Notăm baza şi înălţimea acestui paralelogram cu a şi h. În baza
consecinţei 2 şi teoremei 2.4.6., acest paralelogram este echivalent cu un
dreptunghi, având o latură dată 1 şi cealaltă latura ah/1. Deci, pentru triunghi
este adevărată teorema.
Să consideram un poligon. El poate fi descompus în triunghiuri. Fiecare
din aceste triunghiuri este echivalent cu un dreptunghi cu o latura egală cu 1.
Aşezăm unul lângă altul aceste dreptunghiuri cu laturile lor egale; se obţine
astfel un dreptunghi echivalent cu un poligon dat.
54
Geometria poligoanelor. Arii
Consecinţă. Orice poligon simplu este echivalent prin complement cu
un dreptunghi având aceeaşi arie cu un poligon dat.
Teorema 2.4.8. Dacă două poligoane simple au aceeaşi arie, ele sunt
echivalente prin complement.
Demonstraţie. Fie P1 şi P2 cele două poligoane pentru care (P1)=(P2).
În baza consecinţei teoremei 2.4.7., fiecare este echivalent cu un dreptunghi
având aceeaşi arie. Fie deci D1 şi D2 cele două dreptunghiuri cu (D1)=(D2) .
Dar, conform consecinţei 1 a teoremei 2.4.6. cele două dreptunghiuri
sunt echivalente şi deci, în baza tranzitivităţii relaţiei de echivalenţă, avem
echivalenţa celor două poligoane.
Teorema 2.4.9. Două triunghiuri echivalente prin complement ce au
bazele egale au şi înălţimile egale.
Demonstraţie. Fie a baza comună. Conform teoremei 2.4.3. aceste
triunghiuri au aceeaşi arie. Notam h respectiv h’ înălţimile celor două
triunghiuri. Avem şi de aici h = h’.
Teorema 2.4.10. Dacă două triunghiuri au aceeaşi bază şi aceeaşi arie,
sunt aditiv echivalente.
Demonstraţie. Fie T1 şi T2 cele două triunghiuri pentru care avem
(T1)=(T2) şi fie baza comună. Din relaţia pentru arii obţinem: , de
unde h = h’.
In baza consecinţei exemplului 2 din capitolul precedent, fiecare triunghi
este echivalent cu un dreptunghi de laturi a şi n/2. Cum aceste dreptunghiuri
sunt congruente şi relaţia de echivalenţă este tranzitivă, rezultă aditiv
echivalenţa triunghiurilor.
Teorema 2.4.11. Dacă două triunghiuri au aceeaşi arie
atunci sunt aditiv echivalente sau echivalente prin complement.
55
Geometria poligoanelor. Arii
Demonstraţie. Fie ABC şi A'B'C cele doua triunghiuri având
(ABC) = (A'B'C' ) .
Cazul 1 . Dacă o latură a triunghiului ABC este congruentă cu o latura a
triunghiului A'B'C', teorema este demonstrată prin teorema 2.4.10.
Cazul 2. Fie (A’C’)>(AC). Considerăm ABC cu baza BC şi D(BC) cu
ADDB; fie E (AC), AEEC.
Considerăm în continuare F(DE) cu CF= , M(CF), F(MC) cu
MCA’C’. Notăm cu {I}=BMDE, deci IF//BC.
Fie BNID. Avem:
(BMC)= =BCBN=(BNHC)=(ABC).
Dar (ABC)=(A’B’C’) şi deci vom avea (MBC)=(A’B’C’) şi în
plus, cele două triunghiuri au aceeaşi bază A’C’=MC.
În baza teoremei 2.4.10. avem [BMC] [A’B’C’] de unde
[ABC] [A’B’C’].
În baza celor afirmate mai sus putem da teorema următoare:
Teorema 2.4.12. Două poligoane sunt echivalente dacă şi numai dacă au
aceeaşi arie.
Problema. Cunoscând că la un trapez baza mare este de 40, baza mică de
28 şi înălţimea de 12, să se calculeze ariile triunghiurilor care se formează prin
prelungirea laturilor neparalele ale trapezului.
56
Geometria poligoanelor. Arii
Rezolvare. Fie ABCD trapezul dat, {M}=ABCD şi MFBC,
{E}=MFAD. Avem: MADMBC, de unde putem scrie:
.
Din teorema 2.4.1. avem:
(2)
Dar (MBC)=(MAD)+(ABCD).
(3)
Aria trapezului ABCD se
poate calcula şi vom obţine
(ABCD)=408. Din relaţiile (2) şi
(3) se obţine astfel: (MAD)=245 şi (MBC)= 163.
Problema . Să se demonstreze că triunghiurile formate pe laturile
neparalele ale uni trapez cu vârful comun pe dreapta ce uneşte mijloacele
bazelor sunt echivalente.
Rezolvare.
Fie trapezul ABCD, fie M, N mijloacele bazelor AD, respectiv BC,
OInt(ABCD) şi OEAD, OFBC. Avem:
(ABNM)=(MNCD) (4) şi de asemenea :
57
Geometria poligoanelor. Arii
(OAM)= =(OMD)
(ONB)= =(ONC).
Din aceste relaţii şi din (4) vom avea :
(OAB)=(ABNM)-(ONB)=(MNCD)+(OMD)-(ONC)=
=(ODC),
deci triunghiurile OAB şi OCD sunt echivalente având aceeaşi arie.
CAPITOLUL III.
ASPECTE METODICE PRIVIND PREDAREA GEOMETRIEI
ÎN GIMNAZIU
III.1. Aspecte psiho-pedagogice ale predării geometriei în gimnaziu
Formarea conceptelor geometrice ridică probleme de ordin
psihologic şi pedagogic deosebite. Procesul prin care se ajunge la
conceptele geometrice abstracte, ca entităţi mintale, este un proces
complex şi îndelungat. El începe odată cu primele percepţii şi imagini
şi abia spre vârsta de 11-12 ani se conturează entităţile mintale
desprinse de suportul material, senzorial, care 1-a generat.
În această etapă, a gândirii formale, elevul poate efectua operaţii
asupra unor propoziţii admise ipotetic adevărate, fără a fi verificat
veridicitatea lor printr-o operaţie concretă. Presupunem că dreptele d 1 şi
58
Geometria poligoanelor. Arii
d2 sunt paralele fără a verifica această presupunere printr-o activitate
practică. Aceste posibilităţi nu apar spontan, ca o consecinţă automată a
sporirii numărului de achiziţii ce trebuie cultivate, exersate.
Deducem aşadar că operaţiile logico-deductive se situează pe un
alt plan decât cel al raţionamentului concret, deoarece sunt operaţii cu
concepte abstracte din realitate.
Sintetizând principalele aspecte ale dezvoltării stadiale a
inteligenţei şi gândirii copilului, ca şi relaţia dintre structurile
operatorii ale gândirii, Jean Piaget conclude: "In realitate, daca studiul
matematic se bazează pe structuri care de altfel corespund structurilor
inteligentei», înseamnă că tocmai pe o organizare progresivă a acestor
structuri operatorii trebuie bazată didactica matematicii." Ori, psihologic,
operaţiile derivă din acţiuni, care interiorizându-se se coordonează în
structuri.
Din citatul de mai sus reţine atenţia două aspecte:
1) dezvoltarea progresivă a inteligenţei face posibil studiul geometriei
bazată pe demonstraţii numai pe un anumit palier al acestei dezvoltări .
2) principiul intuiţiei îşi păstrează o valoare didactica de necontestat.
Cu privire la primul aspect sunt posibile două întrebări:
a) poate fi corelată aceasta dezvoltare ?
b) ce s-ar întâmpla dacă, fără a fi atins acest stadiu, încercăm
să-i învăţăm pe elevi geometria bazata pe demonstraţii ?
Ne interesează, în mod deosebit, răspunsul la a doua întrebare.
O astfel de încercare cu siguranţă va favoriza handicapul şcolar. Un
răspuns mai edificator , la aceasta întrebare ni-1 dă Freudeuthal spunând: "Intr-
o zi copilul se va întreba "de ce" şi este de folos să începem geometria
sistematică înainte ca acel moment să fi venit. Ba mai mult, i-ar putea dăuna cu
adevărat Dacă am căzut de acord asupra predării geometriei ca un mijloc de a-i
59
Geometria poligoanelor. Arii
face pe copii să simtă forţa spiritului omenesc a propriului lor spirit, nu trebuie
să-i lipsim de dreptul de a face ei însăşi descoperiri. Cheia geometriei este
expresia "de ce". Numai ucigaşii de bucurii vor înmâna cheia mai devreme”.
Scopul tuturor achiziţiilor geometrice ale elevilor din clasele I-V trebuie
să fie pregătirea, prefigurarea abilităţilor specifice etapei gândirii formale.
Aceasta presupune necesitatea pregătirii elevului pentru a descoperii
perfecţiunea raţionamentului geometric.
Cu privire la principiul intuiţiei, în geometrie, sunt necesare câteva
precizări. Intuiţia geometrică este o intuiţie activă, nu o simplă imagine, o urmă
senzorială a obiectelor percepute. Ea este o imagine mintală, "interiorizată",
construită printr-o activitate perceptivă.
Aceasta etapa a gândirii formale, poate fi atinsă numai atunci când
elevul îşi poate forma concepte, deoarece el nu va supune unor operaţii logice
obiectele materiale pe care le-a cercetat (desenele geometrice), ci conceptele
abstracte pe care şi le-a format .
Conceptele geometrice fiind abstracţiuni, în ele nu reţinem imaginea
concretă a obiectelor, aşa cum am perceput-o senzorial ci ideea care rămâne
prin abstragerea proprietăţilor comune, generale şi esenţiale, îmbinate într-o
unitate în plan mintal.
Conceptele geometrice sunt reflectări idealizate ale unor proprietăţi de
spaţialitate ale obiectelor şi fenomenelor lumii reale. De exemplu, conceptul de
poliedru nu cuprinde nici o referire la forma feţelor, la măsura diedrelor care
apar. Acestea (dimensiunile date) nu sunt proprietăţi comune tuturor poliedre-
lor. La baza formaţii acestui concept stă, însă cercetarea unor obiecte reale,
desprinderea de către elevi a proprietăţilor lor pur spaţiale. El trebuie să
neglijeze natura materialului, culoarea etc. şi să desubstanţializeze aceste forma
până la a obţine entităţi mintale, de o perfecţiune care nu este posibilă decât pe
un plan mintal.
60
Geometria poligoanelor. Arii
Elevul operează cu noţiuni şi concepte la toate disciplinele de
învăţământ. Formarea conceptelor geometrice spre deosebire, de cele din
ştiinţele naturii, are o anumită specificitate sau, cu alte cuvinte, există o
deosebire între o experienţă fizică şi una logico-matematică. În timp ce la
ştiinţele naturii, concluziile desprinse din efectuarea unor raţionamente se
supun unor verificări prin experienţe cu substanţe sau obiecte, la geometrie se
supun unor cercetări, abstracţiuni, entităţi ce au o perfecţiune care nu poate
exista decât în mintea noastră. De asemenea, după efectuarea unor generalizări
sub forma de concepte, formule, teoreme, reguli, acestea vor fi aplicate asupra
unor abstracţiuni.
Un concept geometric nu se poate crea spontan, el se formează în cursul
unui proces psihic asupra căruia îşi pun amprenta imaginaţia, creativitatea,
puterea de generalizare şi abstractizare, deci fiecare din ele are o "istorie de
formare".
O altă caracteristică a conceptelor geometrice constă în aceea că ele
formează sisteme ierarhice şi nu sunt entităţi mintale izolate. Unele au un grad
mai mare de generalitate iar altele mai restrâns. Conceptul de triunghi, spre
exemplu, care reflectă ceea ce este general pentru această întreaga clasă de
figuri geometrice este mai general decât cel de triunghi isoscel, echilateral,
dreptunghic, etc.
Operaţiile cu conceptele geometrice se realizează întotdeauna pe plan
mintal. Din aceasta cauza nu vom confunda secţionarea reală a unui cub
(tăierea efectivă) cu determinarea secţiunii deoarece uneori nici nu vom face
acest lucru, ci doar ni-1 vom imagina. O secţiune într-un corp geometric la
clasa a VIII-a va fi doar intuită, ea va fi determinata din raţionamente, vom
demonstra că aceasta este triunghi, paralelogram, trapez, etc.
Toate aceste forme pure vor fi situate de elevi într-un spaţiu idealizat
obiectiv, ale cărui submulţimi vor fi figurile geometrice. Această idee, de spaţiu
61
Geometria poligoanelor. Arii
obiectiv, apare numai atunci când copilul îşi dă seama de independenţa poziţiei
unor corpuri faţă de altele sau de poziţia sa.
Pentru copil există un "spaţiu grafic", acesta fiind spaţiul ce prezintă
anumite particularităţi. Spaţiul grafic al copilului adică peretele, tabla, foaia de
hârtie reprezintă pentru el un mediu al desenelor" , al figurilor desenate, cu
două dimensiuni în care, pentru a o reprezenta şi pe cea de a treia dimensiune a
corpurilor se recurge la artificii.
Treptat, elevul învaţă să-şi utilizeze acest spaţiu, să-1 identifice pe cel al
tablei, cu cel al foii de caiet. El trebuie să identifice figura de pe spaţiul tablei
cu cea de pe caiet.
Profesorul trebuie sa cunoască evoluţia acestor concepte la copil
precum şi unele referiri filozofice în legătură cu aceasta. Kant afirma că:
"geometria este o ştiinţă care determină însuşiri ale spaţiului în mod sintetic şi
aprioric." Ce trebuie să fie reprezentarea spaţiului ca o atare cunoaştere despre
el sa fie posibilă? El trebuie să fie din capătul locului, intuiţie, căci dintr-un
simplu concept nu se pot scoate propoziţii care-l depăşesc, ceea ce se întâmplă
doar în geometrie.
Figura geometrică apare pentru elevii clasei a VI-a în doua ipostaze:
1) ca reflectare idealizată a unor proprietăţi spaţiale pure;
2) ca posibilitate de concretizare a unor concepte.
Deci, figura geometrică apare atât in procesul de trecere de la concret la
abstract cât şi în procesul de trecere de la concept la imagine, de la concept la
ceea ce numim concept figural.
La nivelul clasei a VI-a elevii nu trebuie să confunde figura geometrică
cu desenul geometric. Figura geometrică este, pe de o parte, o entitate abstractă,
care reflectă, asemenea oricărui concept o proprietate pură, idealizată, iar pe de
altă parte, o entitate mintală intuitivă. Cu ajutorul ei ne intuim conceptele. În
cursul rezolvării problemelor nu ne putem dispensa de aportul figurii
62
Geometria poligoanelor. Arii
geometrice, ci ne folosim de ea pentru a reprezenta simplificat unele operaţii
mintale.
Dacă elevii cu care începem studiul sistematic al geometriei, respectiv
cei din clasa a VI-a, nu şi-au format conceptele geometrice (de punct, dreapta,
segment, unghi) ca entităţi mintale, confundând figura geometrică cu desenul
geometric, atunci poate apărea următoarea contradicţie: profesorul supune
unor operaţii logico-educative figurile geometrice, conceptele figurale, în timp
ce elevul încearcă să aplice aceste operaţii unor desene, să se situeze într-o
pregeometrică grafică.
În procesul de substanţializare a figurilor geometrice, distingem în
gimnaziu următoarele etape:
1) interpretarea grafică în care figura geometrică este o figură desenată;
proprietăţile ei sunt proprietăţile desenului;
2) interpretarea conceptuală în care ea este un mijloc de intuire a unui concept
având toate atributele acestuia.
În predarea geometriei o atenţie deosebită trebuie să se dea şi
simbolurilor, notaţiilor, convenţiilor de desen, de reprezentare, de redactare
simbolică a unui raţionament.
Deoarece toate cunoştinţele, cu excepţia celor din primul capitol
intitulat "Introducere intuitiva", constituie o disciplină integral deductivă,
neînţelegerea unei verigi generează dificultăţi din ce în ce mai mari, astfel încât
elevul în acea verigă îşi pierde încrederea în corectitudinea raţionamentelor
sale. Este necesar ca profesorul să sesizeze la timp acea verigă, să urmărească
ierarhizarea conceptelor geometrice, procesele psihologice implicate în
formarea lor.
III.2. Aspecte metodice privind predarea noţiunii de arie in gimnaziu
63
Geometria poligoanelor. Arii
Noţiunea de arie a unei suprafeţe nu este o noţiune nouă pentru elevii
clasei a VII-a, deoarece în clasa a IV-a şi a V -a elevii au calculat pe baza unor
formule date, aria triunghiului, pătratului, dreptunghiului, rombului, trapezului.
Prin exerciţii şi probleme cu aplicaţii practice rezolvate elevii au observat că
unele suprafeţe au întinderi mai mari decât altele deci şi aria lor este mai mare
- astfel se pune problema definirii noţiunii de arie şi sublinierea proprietăţilor
ei plecând de la a compara "întinderile" unor suprafeţe poligonale.
Elevii cunosc compararea suprafeţelor poligonale prin suprapunere, dar
aceasta comparare nu este întotdeauna posibilă. În acest sens este necesar să
prezentăm elevilor două dreptunghiuri cu dimensiunile (de ex.: de 6 cm şi 8
cm, respectiv de 4 cm şi 12 cm), despre care elevii văd că au aceeaşi arie dar
prin suprapunere nu coincid.
În vederea introducerii noţiunii de arie am pornit de la următoarele
precizări:
1 ) reamintesc elevilor ce este un poligon cerându-le să recunoască şi să
deseneze o linie poligonală convexă;
2) introduc noţiune de interior a unui poligon convex;
3) voi insista mai mult asupra poligoanelor convexe.
Astfel, am introdus noţiunea de suprafaţă poligonală convexă, ca fiind
reuniunea mulţimii punctelor unei linii poligonale convexe şi a celor
interioare, ei.
Am insistat asupra descompunerii unei suprafeţe poligonale convexe în
triunghiuri fie prin ducerea diagonalelor, fie prin unirea unui punct din
interiorul poligonului cu vârfurile acestuia (fig.3.1.).
64
Geometria poligoanelor. Arii
Figura 3.1.
Voi cere elevilor să descompună aceeaşi suprafaţă poligonală convexa
în mai multe moduri. Pentru a rezolva problema comparării întinderilor unor
suprafeţe poligonale este necesar să ataşăm fiecărei suprafeţe câte un număr
real. Astfel aceste numere le putem compara, deci se pune problema găsirii
unui procedeu prin care, fiecărei suprafeţe poligonale considerate să-i
corespunda un număr real care să îndeplinească anumite condiţii.
La baza justificărilor instructive a formulelor ariilor, la început a stat
presupunerea ca aria unui pătrat de latura 1 este 1 .Acoperind apoi, un pătrat de
latura a cu pătrate de latura 1, putem demonstra ca aria acestuia este a2.
Demonstrarea ultimei propoziţii ridică probleme deosebit de dificile în cazul în
care a este număr iraţional. De aceea pornind de la faptul că toate poligoanele
se pot descompune nu în pătrate, ci în triunghiuri pentru calculul ariilor trebuie
să pornim de la aria triunghiului.
Aria triunghiului este prin definiţie jumătatea produsului dintre o latură
şi înălţimea corespunzătoare ei. Demonstrând că produsul dintre o latură a unui
triunghi şi înălţimea corespunzătoare ei este acelaşi, oricare ar fi o latură şi
înălţimea corespunzătoare ei, înseamnă că putem face ca fiecărui triunghi din
plan să-i corespundă un număr real şi numai unul egal cu jumătatea produsului
dintre lungimea unei laturi şi înălţimea corespunzătoare ei.
Bineînţeles, elevii pot pune întrebarea de ce aria unui triunghi este
jumătatea produsului dintre lungimea unei laturi şi înălţimea corespunzătoare.
În acest sens vom construi o funcţie arie raportata la nivelul de cunoştinţe al
elevilor evidenţiind proprietăţile ei.
65
Geometria poligoanelor. Arii
1) Pornind de la definiţia ariei triunghiului şi de la faptul că lungimile
laturilor sunt numere reale pozitive, deducem ca aria triunghiului este un
număr real pozitiv. Aria unui triunghi este un număr pozitiv .
2) Fie două triunghiuri congruente ABC şi A'B'C' cu înălţimile AD şi A'D' ,
corespunzătoare laturilor BC respectiv F'C' (fig.3.2). Din congruenţa
triunghiurilor rezultă că înălţimile corespunzătoare sunt congruente, deci :
[AD][A'D']
[BC][B'C'] , rezulta că
Figura 3.2.
Deci triunghiurile congruente au arii egale. Adică din ABC A'B'C '
rezultă (ABC) = (A'B'C' ).
3) Fie ABM şi AMC două triunghiuri rezultate prin descompunerea
transversală a triunghiului ABC, ducem înălţimea AD şi avem:
(ABM) = ; (AMC) = . Dar
(ABC) = =(ABM)+(AMC).
Deci: (ABC) =(ABM)+(AMC).
66
Geometria poligoanelor. Arii
Figura 3.3.
4) Fie ABC un triunghi cu o latură de lungime 2 şi înălţimea co-
respunzătoare de lungime 1 (unităţi de lungime). Deci aria triunghiului este
egala cu 1. (unităţi de arie). In concluzie putem spune ca pe mulţimea
suprafeţelor triunghiulare este definită o funcţie cu valori în mulţimea
numerelor reale pozitive care îndeplineşte toate proprietăţile unei funcţii arie:
proprietatea de pozitivitate, congruenţă, aditivitate, exista un triunghi a cărui
arie este egală cu unitatea .
Pe baza ariei triunghiului putem defini aria unui patrulater oarecare şi
să demonstrăm ariile dreptunghiului, pătratului, paralelogramului, trapezului,
etc.
Plecând de la faptul că orice poligon convex se poate descompune în
triunghiuri vom defini aria unui patrulater ca fiind suma ariilor triunghiurilor
descompunerii.
Pentru a demonstra aceasta descompunere este necesar ca la elevii
ciclului gimnazial să pornim de la ducerea diagonalelor.
Dacă ABCD este un poligon convex, atunci
(ABC)+(ADC) =(BCD)+(ABD).
67
Geometria poligoanelor. Arii
Figura 3.4.
Dacă AC şi BD sunt diagonalele paralelogramului şi O punctul de
intersecţie, pe baza proprietăţii de aditivitate avem că:
(ABC)+(ADC) =(AOB)+(BOC)+(AOD)+(DOC)=
=(BOC)+(DOC)+(AOB)+(AOD) =(BCD)+(ABD).
Introducem definiţia ariei unui patrulater convex.
Definiţia 3. 2. 1. Aria unui patrulater convex ABCD este numărul
(ABCD)=(ABC)+(ADC).
Putem trece la definirea ariei patrulaterelor particulare, demonstrând
următoarea lemă:
Lema: Dacă triunghiul A'BC are vârful A’ pe paralela prin A la BC,
atunci, (ABC)=(A’BC) (fig.3.5.).
(ABC)=
(A’BC)= , unde M şi M’
sunt înălţimile corespunzătoare
laturii BC duse din A respectiv A’. Dar
[AM][A'M'], deci (ABC)=(A’BC).
Figura 3.5.
Deci distanţa de la punctul A de pe dreapta a la dreapta d (a // d) este
aceeaşi pentru toate punctele Aa.
Introducem în continuare formula
calculului ariei unui paralelogram.
Fie ABCD un paralelogram
unde AD este paralelă şi
68
Geometria poligoanelor. Arii
congruentă cu BC, deci triunghiul ACB este congruent cu triunghiul ACB,
deci ele au ariile egale. Figura 3.6. Atunci aria paralelo-
gramului este:
(ABCD)=2(ABC)= 2 =
Deci aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre o latură a sa şi
înălţimea corespunzătoare ei.
Aria pătratului, a dreptunghiului, a rombului rezultă ca şi consecinţă, ele
fiind paralelograme particulare, ţinând seama de construcţia unei diagonale
(triunghiulare).
In scopul consolidării noţiunii de arie a unor poligoane, a proprietăţii
funcţiei arie este necesar să rezolvăm o serie de probleme prin care să punem în
evidenţă faptul că suma ariilor triunghiurilor în care un poligon este împărţit
este aceeaşi oricare ar fi această împărţire (triunghiurile fiind disjuncte),
precum şi alte tipuri de probleme.
III.3. Probleme cu arii
Problema 1. Definiţi aria unui patrulater concav ca diferenţă a ariilor a
două triunghiuri. Aveţi nevoie de vreo lemă în prealabil? (figura 3.7.).
Rezolvare:
Unim pe A cu C şi ducem dreapta BD care
intersectează pe AC în M. Triunghiurile ABM şi
BMC cu latura comună BM şi AM şi MC în
prelungire. Pe baza proprietăţii de aditivitate a
ariilor triunghiurilor obţinem:
(ABC)=(ABM)+(BMC). (1)
69
Geometria poligoanelor. Arii
Dar (ABM)=(ABD)+(AMD). (2)
Figura 3.7. Analog (BMC) =(BCD)+(MDC).
(ABC)=(ABD)+(AMD)+(MDC)+(BDC) sau
(ABC) - (ACD)=(ABD)+(BDC).
Lema respectivă este: Dacă D este vârful interior triunghiului determinat
de cele trei vârfuri A,B,C atunci (ABC) - (ACD)=(ABD)+(BDC).
Patrulaterul fiind concav, totdeauna un vârf este interior triunghiului
determinat de celelalte vârfuri ale sale.
Observaţia 1 Dacă ABCD este un patrulater concav şi punctul D este
interior triunghiului determinat de vârfurile ABC, numim aria patrulaterului
ABCD diferenţa (ABC) - (ABD).
Problema 2. Dacă ABCD este un patrulater convex şi M un punct
interior laturii AB, să se arate că: (ABCD)=(MBCD)+(AMD).
Rezolvare.
(ABCD)=(BDC)+(ABD)+(ABD) =
=(BDC)+(MBD)+(AMD) =
=(MBCD)+(AMD).
Figura 3.8.
Problema 3. Fie patrulaterul convex ABCD, M
şi N două puncte interioare laturilor AB şi DC. Să se arate că:
(ABCD)=(AMND)+(MNCB).
Rezolvare.
(ABCD)=(AMD)+(DCMB) (1)
(MBCD) = (MND)+(MNCB) (2)
Figura 3.9.
Atunci (ABCD)=(AMD)+(MND)+(MNCB). În patrulaterul MNDA avem:
70
Geometria poligoanelor. Arii
(ABCD) =(AMD)+(MND)+(MNCB)=(MNDA)+(MNCB).
Propun elevilor problema următoare: Fie ABCD un patrulater convex,
M(AB); N(BC) ; P(DC); Q(AD). Să se demonstreze că:
(ABCD) =(MNPQ)+(BMN)+(CNP)+(PDQ)+(AQM).
Observaţie: Problema propusă este o extindere a problemei 3.
Problema 4. Definiţi aria unui pentagon. În cazul acestei probleme
trebuie să demonstram înainte o lemă.
Lema. Fie pentagonul convex ABCD. Ducem oricum o diagonală şi
pentagonul se descompune într-un patrulater şi un triunghi a căror sumă de arii
este constantă (figura 3.10.). Aceasta constantă o numim aria pentagonului
convex.
Figura 3.10.
Ducem EC o diagonală, iar din extremităţile lui EC ducem o diagonală
EB. În acest caz avem:
(EDC) +(ABCE)=(EDC)+(ECB)+(EBA)=(EDCB)+(EBA).
Deci lema este demonstrată.
Problema 5. Să se calculeze aria unui triunghi în funcţie de măsurile a
două laturi şi a unghiului dintre ele.
71
Geometria poligoanelor. Arii
Rezolvare.
Fie AB = c, AC=b, m( ) =c’ (figura 3.11.).
Avem:
(ABC)= , dar sin A= ,
Deci CD = ACsin A.
Atunci (ABC)=
.
Figura 3.11.
Problema 6. Să se construiască un triunghi de aceeaşi arie cu un patrulater
ABCD (figura 3.12.)
Rezolvare. Fie CE // BD; CEAD={E}. Vom
avea (BDC)=(BDE).
(ABCD)=(ABD)+(BDC)=
=(ABD)+(BDE)=(ABE).
Figura 3.12. Deci
ABE este triunghiul căutat.
Folosind noţiunea de arie putem demonstra în cadrul cercului de
matematică cu elevii mai talentaţi şi interesaţi în studiul matematicii teoreme
importante din geometrie plană (teorema lui Pitagora, teorema fundamentală a
asemănării, teorema bisectoarei, formula lui Heron).
Problema 7. Pătratul construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic
este echivalent cu suma pătratelor construite pe catete.
72
Geometria poligoanelor. Arii
Observaţie. Dacă notam laturile triunghiului ABC cu BC = a, AC = b, AB = c,
problema de mai sus duce la relaţia a2=b2+c2 , adică bine cunoscuta teoremă a
lui Pitagora. (figura 3.13).
Demonstraţie.
Considerăm triunghiul ABC
dreptunghic în A şi suprafeţele
pătratice [AEDC] şi [BGKC]
construite astfel: B(AE), deci
latura pătratului BGKC are latura
egala cu a. Unim pe D cu K şi ducem
prin Q perpendiculare pe DE şi AB.
Fie F şi H respectiv picioarele
acestor perpendiculare.
Figura 3.13.
În aceste condiţii avem ABCDKC, deci (ABC)=(DKC). Tot din
congruenţă avem FG = c şi (EHGE)=a2.
De asemenea mai notăm (AEDC) = b2, (BCKG)=a2, (ABC)= .
Conform axiomei de aditivitate vom avea:
a2=(BCKG) =(CDK) +(FKG) +(FGM) +(BCDM)=
=(BCDM) +(FMG) +(BGH) +(ABC)=
=(BCDM) +(FMG) +(BEM) +(EMGH)+(ABC)=
=(ACDE)+(FEHG)=b2+c2, adică ceea ce trebuia demonstrat.
Observaţie. Aşa cum am demonstrat teorema lui Pitagora cu ajutorul
ariilor pot fi demonstrate si celelalte teoreme cunoscute (a catetei, a
înălţimii).
73
Geometria poligoanelor. Arii
Problema 8. Fie d1,d2,d3 trei drepte paralele, cu transversalele comune s
şi s' care le intersectează în punctele A,B,C respectiv A', B',C'. Atunci avem:
(teorema fundamentala a asemănării).
Demonstraţie. Consideră mai întâi cazul când cele doua transversale se
intersectează în Ad1. ( figura 3.14.).
Fie CHd2, C'H'd2, BEs'. Din
ipoteza d2 // d3 avem CH=C'H'.
În acest fel
( BCB’ )=(BC'B' ) (1)
Triunghiurile ABB' şi BB'C' au
aceeaşi înălţime. Putem deci scrie:
Figura 3.14
(2)
Analog vom obţine:
Din relaţiile (1), (2), (3), vom obţine:
Pentru cazul general, considerăm s’//s’’ aşa încât As’’. Pentru
transversala s’ şi s’’ se poate folosi cazul precedent, deci:
74
Geometria poligoanelor. Arii
dar A’B’’=AB’, B’’C’’=B’C’ deoarece laturile opuse într-un paralelogram sunt
egale (ca lungimi) şi obţinem: ceea ce trebuia demonstrat.
Problema 9. Fie triunghiul ABC şi AD, bisectoarea unghiului A, D(BC) .
Atunci : (teorema bisectoarei).
Demonstraţie. Pentru ABD şi ADC se
poate aplica teorema 2.4.2. (cazul
unghiurilor suplimentare şi vom avea:
Figura 3.15. (4).
Calculate aceste arii, considerând AH înălţimea triunghiului ABC, vom avea:
(5).
Problema 10 . Fiind dat triunghiul ABC cu lungimile laturilor BC= a, AC = b,
AB =c. Să se calculeze aria triunghiului.
Rezolvare. Pentru calculul ariei S a triunghiului considerăm înălţimea AH şi
presupunem fără a restrânge generalitatea, H(BC). Folosind teorema lui
Pitagora de mai multe ori în AHB şi în AHC, în urma calculelor vom obţine:
75
Geometria poligoanelor. Arii
.
Notând , vom avea:
, de unde
Figura 3.16.
Pentru aria triunghiului ABC vom folosi definiţia şi vom obţine:
(ACDE) (6).
Relaţia (6) care ne dă aria unei suprafeţe triunghiulare în funcţie de
lungimile ariilor este cunoscută sub numele de formula lui Heron .
76
Geometria poligoanelor. Arii
BIBLIOGRAFIE
1. ALBU, A.C. - Fundamentele matematicii, Ediţia a II-a
revăzută şi completată, Editura GIL,
2004
2. ALBU, A.C. si alţii - Geometrie pentru perfecţionarea
profesorilor, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti 1983
3. BOTEZ, M. St. - Probleme de geometrie, Editura tehnică,
Bucureşti 1976
4. BRÂNZEI, D. - Bazele raţionamentului geometric,
Editura Academiei R.S.R., Bucureşti
1983
5. CERGHIT, I. - Metode de învăţământ, Editura
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1976
6. CERGHIT, I. - Perfecţionarea în şcoala modernă,
Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti 1983
7. ENGHIŞ, P.;
ENGHIŞ, G.
- Note de curs. Univ."Babes-Bolyai" Cluj
- Napoca
8. ENGHIS, P.
MANTIA, A.
- Spatii RICCI conform recurente, Rev
”Studio”, Univ."Babes-Bolyai" Cluj -
Napoca 1976
77
Geometria poligoanelor. Arii
9. FORDER, H.G. - Fundamentele geometriei euclidiene,
Bucureşti 1970
10. HADAMARD, J. - Lecţii de geometrie elementară,
geometrie plana, Ed.Tehnica, Bucureşti
1960
11. HOLLINGER, A. - Probleme de geometrie pentru clasele VI
- VIII, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti 1987
12. MIHĂILEANU, N.;
NEUMANN, M.
- Fundamentele geometriei, Editura
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti
1973.
13. MIHĂILEANU, N.N. - Lecţii complementare de geometrie,
Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti 1976
14. MIRON, R.
BRÂNZEI, D.
- Fundamentele aritmeticii şi geometriei,
Editura Academiei R.S.R, Bucureşti
1983
15. MOISE, EDWIN - Geometrie elementară dintr-un punct de
vedere superior, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti 1980
16. SINGER, M. - Învăţarea geometriei prin exerciţii,
Editura Sigma, 2005
17. RUSU, EUGEN - Metodica predării geometriei, Editura
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1968
18. RUS, I.; VARNA D. - Metodica predării matematicii Curs
litografiat Univ."Babes-Bolyai" Cluj -
Napoca 1976.
78
Geometria poligoanelor. Arii
79