GEOMETRIA PLANA: ARCOS E CIRCUNFERÊNCIA

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES.

(Faap ) Uma chapa de metal circular, com 1m de raio, ficou exposta

ao sol. Em consequência, sofreu uma dilatação de 1% na dimensão do

raio. (Considerar ™=3,14)

1. O aumento percentual da área é:

a) 4 %

b) 1,91 %

c) 19,1 %

d) 0,4 %

e) 1 %

2. O perímetro dessa chapa após a dilatação (em metros) é:

a) 6,28

b) 6,34

c) 6,48

d) 6,42

e) 6,25

3. Uma seção cônica é obtida a partir da interseção de um cone com

um plano. Na figura abaixo, temos um exemplo de uma seção cônica,

denominada Elipse. A figura consiste de duas esferas S e S‚ que �tangenciam o cone em duas circunferências C e C‚ e� tangenciam o

plano ™ nos pontos F e F‚. Os pontos P, P‚ e P estão, respectivamente,� �

na interseção de uma reta do cone com as circunferências e a Elipse.

A soma das distâncias de P aos pontos F e F‚ é igual a distância�a) entre as duas circunferências.

b) entre P e P‚.�c) entre os centros das duas esferas.

d) entre F e F‚.�

4. (Ufrj ) Determine, em função de š, o perímetro da figura ABD,

obtida retirando-se do triângulo retângulo ABC o setor circular BCD

(de centro em C, raio 1 e ângulo š). Justifique.

5. (Unicamp ) Os pontos A e B estão, ambos, localizados na superfície

terrestre a 60° de latitude norte; o ponto A está a 15°45' de longitude

leste e o ponto B a 56°15' de longitude oeste.

a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica,

mede 6.400 km qual é o raio do paralelo de 60°?

b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B, medida ao longo

do paralelo de 60°? [Use 22/7 como aproximação para ™]

6. (G1) Um quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência.

Sabendo que os arcos AB, BC e CD valem, respectivamente, 80°, 110°

e 90°, determine todos os ângulos do quadrilátero

7. (Ufrrj ) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular.

Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme

figura a seguir, onde o ponto 0 é o centro do círculo de raio 2m e os

ângulos BOC e OBC são iguais.

O comprimento do segmento AB é

a) 2 m.

b) 3 m.

c) 3Ë2 m.

d) 2Ë5 m.

e) 2Ë3 m.

8. (Uff ) A figura representa três círculos idênticos no interior do

triângulo retângulo isósceles ABC.

Tem-se que:

- A soma das áreas dos três círculos é 6™ cm£;

- P, Q, R, S e T são pontos de tangência;

- BT é perpendicular a AC.

Determine a medida do segmento BC.

9. (Fuvest-gv) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de

centro O é:

a) 125°

b) 110°

c) 120°

d) 100°

e) 135°

10. (Fuvest ) Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência – e

AC é lado de um polígono regular inscrito em –. Sabendo-se que o

ângulo AïC mede 18° podemos concluir que o número de lados do

polígono é igual a:

a) 5

b) 6

c) 7

d) 10

e) 12

11. (Ufpe ) Na figura a seguir, o círculo tem raio 1, os arcos AB e CD

medem ™/6 e ™/9 respectivamente (ambos orientados no sentido

anti-horário). Se‘ é medido em radianos, calcule (144/™)‘.

12. (Ufpe ) Na figura a seguir tem-se um círculo de raio 1 e sobre este

círculo, consideram-se arcos AB e CD medindo ™/6 e ™/9

respectivamente (ambos orientados no sentido anti-horário). Se ‘ é a

medida em radianos do ângulo AOB, calcule (144/™)‘.

13. (Pucsp ) João e Maria costumavam namorar atravessando um

caminho reto que passava pelo centro de um canteiro circular, cujo

raio mede 5m. Veja a figura 1.

Certo dia, após uma desavença que tiveram no ponto de partida P,

partiram emburrados, e, ao mesmo tempo, para o ponto de chegada

C. Maria caminhou pelo diâmetro do canteiro João andou ao longo do

caminho que margeava o canteiro (sobre o circulo), cuidando para

estar, sempre, à "mesma altura" de Maria, isto é, de modo que a reta

MJ, formada por Maria e João, ficasse sempre perpendicular ao

diâmetro do canteiro. Veja a figura 2.

Quando a medida do segmento PM, percorrido por Maria, for igual a

7,5 = 5 + 5/2 metros, o comprimento do arco de circunferência PJ,

percorrido por João, será igual a

a) 10.™/3 m

b) 2.™ m

c) 5.™/3 m

d) 2.™/3m

e) ™/3 m

14. (G1) Calcule o valor de x na figura a seguir

15. (G1) Calcule o valor de x na figura a seguir

16. (G1) Um ângulo inscrito é formado por uma corda e um diâmetro.

O arco subentendido pela corda é o dobro do arco compreendido

entre os lados. Determine o ângulo inscrito.

17. (Mackenzie ) O perímetro da figura não pontilhada a seguir é 8™,

onde os arcos foram obtidos com centros nos vértices do quadrado

cujo lado mede:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

e) 8

18. (G1) (Fuvest )

Um arco de circunferência mede 300°, e seu comprimento é 2km.

Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio em metros?

a) 157

b) 284

c) 382

d) 628

e) 764

19. (Cesgranrio ) No triângulo ABC, são dados os vértices B e C e

também a medida do ângulo A, agudo. O lugar geométrico do vértice

A é:

a) uma circunferência.

b) um arco de circunferência.

c) a união de dois arcos de circunferências.

d) uma reta.

e) a união de duas retas paralelas.

20. (Cesgranrio ) Em um círculo de raio 5 está inscrito um

quadrilátero ABCD. Sobre a soma dos ângulos opostos BÂD e BðD,

podemos afirmar que vale:

a) 5 x 180°.

b) 3 x 180°.

c) 2 x 180°.

d) 180°.

e) 90°.

21. (Cesgranrio ) O gráfico a seguir representa o resultado da eleição

para governador do Estado do Rio de Janeiro.

Brizola: 47%

Brancos e nulos: 22%

Bittar: 14%

Nelson: 10%

Ronaldo: 6%

Jussara: 1%

Sabendo que, no gráfico, a votação de cada candidato é proporcional

à área do setor que o representa, podemos afirmar que o ângulo

central do setor do candidato Bittar é de:

a) 14°.

b) 25°.

c) 50° 24'.

d) 57° 36'.

e) 60° 12'.

22. (Uff ) A figura a seguir, representa duas circunferências C e C' de

mesmo raio r.

Se o segmento MN é o lado comum de hexágonos regulares inscritos

em C e C', então o perímetro da região sombreada é:

a) 10 ™ r / 3

b) ™ r / 3

c) 2 ™ r / 3

d) 4 ™ r

e) 2 ™ r

23. (Ufmg ) Observe a figura.

Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência circunscrita ao

triângulo ABC, e os ângulos AïD e AÊD medem, respectivamente, 20°

e 85°.

Assim sendo, o ângulo CïD mede

a) 25°

b) 35°

c) 30°

d) 40°

24. (Mackenzie ) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem,

respectivamente, 170° e 130°. Então, o arco MSN mede:

a) 60°

b) 70°

c) 80°

d) 100°

e) 110°

25. (Ufmg ) Observe a figura.

Nessa figura, AB é um diâmetro do círculo de centro O e raio 2 e o

ângulo PÂB mede 15°.

Nesse caso, a distância do ponto P à reta AB é de

a) (Ë3)/2

b) 1

c) Ë2

d) Ë3

26. (Fatec ) Na figura a seguir, o triângulo APB está inscrito na

circunferência de centro C.

Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas, então x é igual

a

a) 23°45'

b) 30°

c) 60°

d) 62°30'

e) 66°15'

27. (Mackenzie )

O ângulo ‘ da figura mede:

a) 60°

b) 55°

c) 50°

d) 45°

e) 40°

28. (Ufes ) Na figura, A, B, C e D são pontos de uma circunferência, a

corda CD é bissetriz do ângulo AðB e as cordas AB e AC têm o mesmo

comprimento. Se o ângulo BÂD mede 40°, a medida ‘ do ângulo BÂC

é

a) 10°

b) 15°

c) 20°

d) 25°

e) 30°

29. (Enem ) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas

à linha do equador e em pontos diametralmente postos no globo

terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370km, pode-se

afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h,

descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em

aproximadamente

a) 16 horas.

b) 20 horas.

c) 25 horas.

d) 32 horas.

e) 36 horas.

30. (Uerj ) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com

a forma de uma espiral de dois centros, como mostra a figura a

seguir.

Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro

um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm

de comprimento.

Considerando ™ = 3, o número de tijolos necessários para fazer a

espiral é:

a) 100

b) 110

c) 120

d) 130

31. (Ufes ) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à

circunferência, o arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45

graus. A medida, em graus, do ângulo APD é

a) 15

b) 20

c) 25

d) 30

e) 35

32. (G1) (FUVEST )

Um triângulo tem 12cm de perímetro e 6cm£ de área. Quanto mede o

raio da circunferência inscrita nesse triângulo?

33. (Pucmg ) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, e a medida

de sua área é 12™m£; o comprimento do cateto BC é igual ao

comprimento da circunferência que tem AC como diâmetro. A medida

do raio dessa circunferência, em metros, é:

a) Ë5

b) Ë6

c) Ë7

d) Ë8

34. (Unifesp ) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis

exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado

2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é

também tangente às outras duas que lhe são contíguas.

Nestas condições, calcule:

a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita.

b) o perímetro da figura que delimita a região sombreada.

35. (G1) (PUC)

O ângulo x, na figura a seguir, mede:

a) 60°

b) 80°

c) 90°

d) 100°

e) 120°

36. (G1) Calcule a área do círculo que tem diâmetro igual a 20 cm.

Use ™ = 3,14.

37. (G1) Qual é o comprimento de uma circunferência que tem raio

igual a 2,4 cm? Use ™ = 3,14.

38. (G1) Na figura a seguir, PA e PB são segmentos tangentes à

circunferência.

Determine:

a) as medidas dos segmentos PA e PB.

b) o perímetro do quadrilátero PAOB, sabendo que o raio do círculo

vale 7.

39. (G1) Observando a figura a seguir, determine (em cm):

a) o valor de x.

b) a medida do segmento AN, sabendo que o perímetro do triângulo

ABC é 46 cm.

40. (G1) Se uma circunferência tem centro O e raio 2 cm, escreva se

são internos, pertencentes ou externos à circunferência cada um dos

pontos dados a seguir.

a) Um ponto X que dista 1,5 cm de O.

b) Um ponto Y que dista 2,0 cm de O.

c) Um ponto Z que dista 2,5 cm de O.

41. (G1) Observe a figura e classifique em (V) se verdadeiro ou (F) se

falso.

a) o segmento de reta OA é diâmetro. ( )

b) o segmento de reta OB de raio. ( )

c) o segmento de reta BC é diâmetro. ( )

d) o segmento de reta BC é corda. ( )

e) o segmento de reta BD é diâmetro. ( )

42. (G1) Sendo d a distância de uma reta ao centro de uma

circunferência de raio r, determine as posições relativas nos casos a

seguir:

a) r = 1 cm e d = 2 cm

b) r = 5 cm e d = 2 cm

c) r = 2 cm e d = 2 cm

43. (G1) Sendo r e r‚ os raios de duas circunferências C e � �C‚respectivamente, e d a distância entre os centros, dê as posições

relativas em cada caso:

a) r = 2 cm, r‚ = 5 cm e d = 1� 0 cm

b) r = 3 cm, r‚ = 7 cm e d = 4 cm�c) r = 5 cm, r‚ = 5 cm e d = 8 cm �d) r = 4 cm, r‚ = 3 cm e d = 7 cm�e) r = 3 cm, r‚ = 2 cm e d = 0�

44. (G1) Determine x nos casos a seguir, onde os segmentos são

tangentes às circunferências:

45. (G1) (Escola Técnica Federal - RJ)

Quando o comprimento de uma circunferência aumenta de 8cm para

14cm o raio da circunferência aumenta de:

a) ™/6 cm

b) 3/™ cm

c) ™/3 cm

d) 1,5 cm

e) 3 cm

46. (G1) (FUVEST )

Deseja-se construir um anel rodoviário circular em torno da cidade de

São Paulo, distando aproximadamente 20km da Praça da Sé.

a) Quantos quilômetros deverá ter essa rodovia?

b) Qual a densidade demográfica da região interior do anel (em

habitantes por km£) Supondo que lá residam 12 milhões de pessoas,

adote o valor ™=3

47. (G1) (ESPM )

Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal mede

20cm. O comprimento da circunferência é:

a) ™Ë2 cm

b) 5™Ë2 cm

c) 10™Ë2 cm

d) 20™Ë2 cm

e) 30™Ë2 cm

48. (Fei ) Três circunferências de raio r estão dispostas no interior de

outra circunferência de raio R conforme a figura a seguir. Qual o valor

da razão K = R/r?

a) (2Ë3)/3

b) (1+2Ë3)/3

c) (2+2Ë3)/3

d) (3+2Ë3)/3

e) (1+3Ë3)/3

49. (Ufrs ) Seja a figura

Sabendo-se que AD=12cm; AE=15cm e AB=8cm; pode-se afirmar

que a medida do raio do círculo é

a) 4 cm

b) 4,5 cm

c) 5 cm

d) 5,5 cm

e) 6 cm

50. (Mackenzie) O trapézio isósceles da figura tem um ângulo agudo

de 60° e área (8Ë3) / 3. Então o comprimento da circunferência

inscrita no trapézio é:

a) 2™

b) ™

c) ™ / 2

d) 3™

e) 4™

51. (Fuvest ) Considere um ângulo reto de vértice V e a bissetriz

desse ângulo. Uma circunferência de raio 1 tem o seu centro C nessa

bissetriz e VC=x.

a) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do

ângulo em exatamente 4 pontos?

b) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do

ângulo em exatamente 2 pontos?

52. (Unb ) Ana e Maria estão se divertindo em uma roda-gigante, que

gira em sentido anti-horário e possui oito lugares equidistantes.

Inicialmente, a roda encontra-se na posição indicada na figura,

estando Maria na parte inferior e Ana à meia altura entre as partes

inferior e superior da roda. A partir dessas informações, julgue os

itens a seguir.

(1) A roda deve girar 90° para que Ana alcance o topo.

(2) Maria estará diretamente acima de Ana, na vertical, após a roda

ter girado 225° a partir do momento inicial.

(3) Se a distância entre os pontos de sustentação das cadeiras de Ana

e de Maria for igual a 4Ë2 m, então a circunferência que contém

esses pontos e tem centro coincidente com a da roda-gigante possui

diâmetro maior que 9 m.

53. (Ufv) Aumentando-se 1m no raio r de uma circunferência, o

comprimento e a área, respectivamente, aumentam:

a) 2™m e 2 (r + 1) ™ m£

b) 2™m e (2r + 1) ™ m£

c) 2™£m e (2r + 1) ™ m£

d) 2™m e (2r£ + 1) ™ m£

e) 2™m e (r£ + 1) ™ m£

54. (Uel ) Considere o sistema de roldanas circulares, de centros A e

B, respectivamente, e as medidas dadas no esquema a seguir.

As roldanas estão envolvidas pela correia CDEFC, bem ajustada, que

transmite o movimento de uma roldana para outra. O comprimento

dessa correia, em centímetros, é

a) (54™/3) + 10Ë3

b) (52™/3) + 16Ë3

c) (52™/3) + 20Ë3

d) (58™/3) + 20Ë3

e) (59™/3) + 24Ë3

55. (Puccamp ) Na figura 1, tem-se uma vista superior de dois jardins

de uma praça.

Na figura 2, têm-se esboços dos projetos desses jardins. Um dos

jardins é formado a partir de dois círculos, de centros em A e em B. O

outro tem a forma de um polígono regular.

Em seus cálculos, use ™ = 3,1 e Ë3 = 1,7.

Deseja-se cercar com uma grade o canteiro reservado aos

crisântemos. Para isso, é preciso obter seu perímetro, que é igual a

a) 8,6 m

b) 9 m

c) 10,8 m

d) 11,2 m

e) 12 m

56. (Ufg ) Considere duas circunferências de mesmo centro, uma de

raio r e a outra de raio R, sendo r < R. O segmento AB, representado

na figura abaixo, é tangente à circunferência menor. Sejam A a área �da região exterior ao círculo menor e interior ao maior, e A‚ a área de

um círculo cujo diâmetro é igual ao segmento AB. Uma das áreas,

citadas acima, é maior que a outra? Justifique sua resposta.

57. (Fuvest ) Numa circunferência, c é o comprimento do arco de ™/6 �radianos e c‚ é o comprimento da secante determinada por este arco,

como ilustrado na figura a seguir. Então, a razão c/c‚ é igual a ™/6 �multiplicado por:

a) 2

b) Ë(1+2Ë3)

c) Ë(2+Ë3)

d) Ë(2+2Ë3)

e) Ë(3+Ë3)

58. (Uerj ) Um professor de matemática fez, com sua turma, a

seguinte demonstração:

- colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-o completamente com

um pedaço de barbante, de modo que o comprimento do barbante

coincidisse com o perímetro do CD;

- em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de 1 metro

de comprimento, formou uma circunferência maior que a primeira,

concêntrica com o CD.

Veja as figuras adiante.

Calculou, então, a diferença entre as medidas do raio da

circunferência maior e do raio do CD, chamando-a de x.

Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à do raio

da Terra, repetiu, teoricamente, as etapas anteriores, chamando de y

a diferença encontrada.

Assim, demonstrou a seguinte relação entre essas diferenças, x e y:

a) x + y = ™¢ b) x + y = ™£ c) y - x = ™£ d) y - x = ™¢

59. (Ufpe ) A figura a seguir ilustra um triângulo e sete

semicircunferências com diâmetros de mesma medida. As

semicircunferências adjacentes se interceptam em um dos seus

extremos, que também é ponto do triângulo. Se o perímetro do

triângulo é 28, qual o raio das semicircunferências?

a) 7

b) 6

c) 4

d) 2

e) 1

60. (Pucpr) AB e CD são dois diâmetros perpendiculares de um círculo

de raio 1dm.

Calcular a área da superfície comum a esse círculo e ao círculo de

centro A e raio AC. Resposta em dm£:

a) ™ + 2

b) ™ - 2

c) ™ + 1

d) ™ - 1

e) ™

61. (Ufpi ) Desejamos marcar um terreno na forma de um setor

circular com 50m de perímetro. O raio do círculo (correspondente ao

setor) para que a área do terreno seja máxima deverá ser:

a) 10 m

b) 10,5 m

c) 20 m

d) 12,5 m

e) 30 m

62. (Uflavras ) Um automóvel percorreu uma distância de 125,6km.

Sabendo-se que os pneus têm 0,5m de diâmetro, o número de voltas

dadas por um pneu foi aproximadamente:

a) 251.200

b) 125.600

c) 80.000

d) 40.000

e) 12.560

63. (Ufrrj ) Uma pista de skate foi construída, conforme a figura a

seguir, onde AB representa uma semicircunferência. Em um torneio

realizado nesta pista, após uma sensacional manobra, um dos

participantes despencou do ponto C, estatelando-se no chão.

Se a área da pista hachurada é 75,36 m£, qual foi a altura da queda?

(Obs: ™ =3,14)

64. (Ufc ) A figura a seguir mostra quatro rodas circulares, tangentes

duas a duas, todas de mesmo raio r e circundadas por uma correia

ajustada. Determine o comprimento da correia, em termos de r.

Obs.: despreze a espessura da correia.

65. (Pucrs ) A figura a seguir mostra uma janela em que a parte

superior é formada por um semicírculo, e a parte inferior, por um

retângulo cuja altura h possui o dobro da medida da base b. A medida

da altura total da janela é

a) 3b/2

b) 5b/2

c) b/2

d) 2b

e) b

66. (Ufc ) Na figura ao lado, a razão entre o perímetro da

região hachurada e o perímetro da circunferência é:

a) 1/3

b) (™+4)/4™

c) ™/4

d) (™+4)/2™

e) 2

67. (Unifesp ) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica

de raio 50 cm, desde um ponto A até um ponto B, diametralmente

opostos, conforme a figura.

O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem

comprimento igual a:

a) ™/2 m.

b) ™ m.

c) 3™/2 m.

d) 2™ m.

e) 3™ m.

68. (Ufrj ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem

escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal.

Determine o menor número de voltas completas para a roda

percorrer uma distância maior que 10 m.

GABARITO

1. [B]

2. [B]

3. [B]

4. Sabemos que åæ = tg š, åè = sec š e îè = 1. Como o comprimento do arco BD mede š radianos, temos o perímetro p(š)da figura dado por p(š) = tg š + š + sec š - 1.

5. a) 3200 kmb) 28160/7 km

6. A = 100°, B = 85°, C = 80° e D = 95°

7. [E]

8. æè = 10 + 2Ë2 cm

9. [A]

10. [D]

11. 20

12. 4

13. [A]

14. x = 75°

15. x = 20°

16. O ângulo inscrito vale 30°

17. [D]

18. [C]

19. [C]

20. [D]

21. [C]

22. [A]

23. [A]

24. [A]

25. [B]

26. [E]

27. [C]

28. [C]

29. [C]

30. [A]

31. [B]

32. 1 cm

33. [B]

34. a) 6(Ë3) - 2™ unidades de áreab) 4™ unidades de comprimento

35. [B]

36. A = 314 cm£

37. 15,072 cm

38. a) PA = PB = 15 u.c.b) 44 u.c.

39. a) x = 20 cmb) AN = 3 cm

40. a) Internob) Pertencentesc) Externo

41. a) F

b) Vc) Fd) Ve) Vf) F

42. a) Exteriorb) Interiorc) Tangente

43. a) Exteriorb) Tangente internac) Secanted) Tangente externae) Concêntricas

44. a) x = 15b) x = 2

45. [B]

46. a) 40™ km ¸ 125,6 kmb) 10.000 h/km£

47. [C]

48. [D]

49. [C]

50. [A]

51. a) 1 < x < Ë2

b) x = Ë2 ou 0 ´ x < 1

52. V V F

53. [B]

54. [D]

55. [E]

56. Não, as áreas são iguais.

57. [C]

58. [A]

59. [D]

60. [D]

61. [D]

62. [C]

63. H = 8m + 0,5m = 8,5m

64. C = 2r (4 + ™)

65. [B]

66. [D]

67. [A]

68. Seja S a distância total percorrida pela roda. Temos que S = n . C, onde n indica o número de voltas e C representa o comprimento da circunferência.Calculando C, encontramos:

C = ™ . d = ™ . 10/100 = ™/10 m.E como queremos o menor valor inteiro de n para o qual S > 10, vem:

n . (™/10) >10 Ì n > 100/™ ë n > 31,83.Portanto, o menor número de voltas completas procurado é 32.