Geometria EuclidianaEspacial

Manoel Azevedo

1999

b

Apresentao

Este um trabalho destinado a alunos que esto fazendo o curso de licenciatura oubacharelado em Matemtica, ou, queles que se interessam por geometria. O assuntoaqui tratado, Geometria Euclidiana Espacial, uma continuao natural da GeometriaEucilidiana Plana, a qual , por conseguinte, pr-requisito para compreenso deste mate-rial.

Procuramos um meio termo entre uma abordagem intuitiva e formal. Em algunsmomentos somos formais, notadamente no Captulo 1, em outros intuitivo. O trabalhoest dividido em quatro captulos. Ao final de cada um deles propomos exerccios quetentamos seqenci-los pela ordem crescente de dificuldade. Ao todo so 126. As respostasse encontram no final do livro. Outrossim, apresentamos ao longo do desenvolvimento doassunto, sempre que oportuno, algumas pequenas notas histricas relacionadas com otema. E para facilitar a busca de assuntos relacionados matria tivemos o cuidado deconfeccionar tambm um ndice por ordem alfabtica que se encontra nas ltimas pginas.

Espero com esta obra, modestamente, dar uma contribuio ao ensino da Matemtica.As crticas construtivas ou sugestes para melhoria dela sero bem aceitas. Por fim,quero agradecer s pessoas que me incentivaram a escrev-la e a todos que direta ouindiretamente contribuiram para sua existncia.

Fortaleza, 1999. O Autor

ndice

1 Paralelismo e Perpendicularismo 1

1.1 Noes de Lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Conjuno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Disjuno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Negao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.5 Bicondicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Entes Primitivos e Axiomas da Geometria Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Cilindro, Cone e Esfera 23

2.1 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Volume e rea de Superfcie 39

3.1 A Noo de Volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Volume do Paraleleppedo Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Volume do Cilindro, Cone e Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 rea de Superfcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Poliedros 55

4.1 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Representao Plana de um Poliedro Convexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Relao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Respostas 67

Bibliografia 71

ndice Remissivo 73

Captulo 1Paralelismo e Perpendicularismo

Diz a tradio que Tales de Mileto (624-548 a.C.) foi o precursor da geometria peladeduo. ele atribui-se a autoria da demonstrao, entre outros teoremas, de queum ngulo inscrito num semi-crculo um ngulo reto. No existe documento quecomprovem estas autorias. Outro matemtico antigo, tambm precursor da geometriadedutiva, ao qual se lhe atribui a autoria da demonstrao do famoso teorema - numtringulo retngulo o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos- Pitgoras de Samos (580-500 a.C.). Devido perda de documentos daquela poca epelo fato de que a escola fundada por ele era secreta, o teorema de Pitgoras assim comoo da diviso urea de um segmento, podem ter sido demonstrados por seus discpulosou at mesmo pelos babilnios. Dois sculos depois, Euclides de Alexandria publicara otexto mais influente de todos os tempos: Os Elementos (300 a.C.).

Depois da Bblia, o livro com mais edies publicadas (provavelmente mais demil). Os elementos de Euclides esto divididos em treze livros, dos quais somente os seisprimeiros tratam de geometria plana elementar. Euclides organizou este assunto em 5postulados, 5 noes comuns e mais de 150 proposies. As noes comuns so tam-bm princpios. A diferena destas para os postulados reside no fato de que as noescomuns so mais evidentes. Um tratamento moderno no faz esta distino. Algumascrticas podem ser feitas abordagem do assunto por Euclides. Por exemplo, os conceitosprimitivos foram colocados como definies. Vrias proposies foram demonstradas uti-lizando princpios no estabelecidos no texto tais como a unicidade da reta passando pordois pontos distintos dados. Contudo, por dois mil anos, Os Elementos constituiu o maisrigoroso tratado lgico dedutivo da matemtica elementar.

Neste trabalho, adotamos um tratamento intermedirio entre intuitivo e formal. Noachamos adequado uma abordagem somente intuitiva. Por exemplo, o uso de figuras emgeometria espacial, em certas situaes, impraticvel para tirarmos concluses. Emcasos dessa natureza, nada melhor do que usar um raciocnio lgico-dedutivo. Utilizamos,neste primeiro captulo, uma abordagem axiomtica (formal). O entendimento de umtratamento assim requer um mnimo de noes de lgica e o que significa esta abordagem.Por isso, iniciamo-lo com um pargrafo no qual damos estas noes.

1. Noes de Lgica

Def. 1 Chama-se proposio toda orao afirmativa que pode ser classificada em um esomente um dos seguintes valores lgicos: verdadeira (V) ou falsa (F).

Exemplo 1 Fortaleza a capital do estado do Cear.

Exemplo 2 O Brasil possui, exatamente, 20 mil habitantes.

Exemplo 3 3 + 2 = 5.

1.1 Noes de Lgica

Exemplo 4 Todo retngulo um quadrado.

As proposies so usualmente indicadas pelas letras p, q , r, ...

1.1. Conjuno

Def. 2 Dadas duas proposies p e q, definimos a conjuno de p e q e escrevemos p qa proposio: p e q; ela obtida intercalando-se o conectivo e entre as proposies p eq.

Postulamos o valor lgico da conjuno p q conforme a tabela de valores lgicosabaixo.

p q p qV V VV F FF V FF F F

Observemos que a conjuno de duas proposies s verdadeira quando ambas soverdadeiras.

1.2. Disjuno

Def. 3 A disjuno de duas proposies p e q denotada por pq definida intercalando-se o disjuntivo ou entre p e q; ei-la: p ou q.

Postulamos seu valor lgico de acordo com a tabela abaixo.

p q p qV V VV F VF V VF F F

Notemos que a disjuno de duas proposies s falsa quando ambas so falsas.

1.3. Negao

Def. 4 Definimos a negao de uma proposio p e a indicamos por p como se segue: falso que p ou, quando possvel, colocando-se a palavra no antes do verbo daproposio p.

Assim sendo, p diz precisamente o contrrio de p. Postulamos seu valor lgicocomo sendo o oposto ao valor lgico de p. Confiramos a tabela abaixo.

p pV FF V

2

1.1 Noes de Lgica

1.4. Condicional

Def. 5 Outra proposio que se define a partir de duas proposies p e q dadas aseguinte: ( p) q. Indicamo-la por p q. Ela tambm pode ser lida de outros modos:se p ento q; p condio suficiente para q; q condio necessria para p.

No postulamos e sim calculamos sua tabela de valores lgicos. Vejamos abaixo.

p q p p qV V F VV F F FF V V VF F V V

Vale notarmos que p q s falsa quando p verdadeira e q falsa. Se p q verdadeira, dizemos ento que p implica q e podemos indic-la por p q.

Def. 6 Dada a proposio p q, a proposio q p chamada a recproca de p q.

1.5. Bicondicional

Def. 7 Podemos ainda, a partir de duas proposies p e q, definir a proposio p se esomente se q, denotada por p q, como sendo (p q) (q p). Ela pode ser ditatambm da seguinte maneira: p condio necessria e suficiente para q.

Veja a seguir sua tabela de valores lgicos.

p q p q q p p qV V V V VV F F V FF V V F FF F V V V

Observemos que p q verdadeira quando as proposies p e q so ambas ver-dadeiras ou ambas falsas. Neste caso, dizemos que p equivalente a q e podemos denot-lapor p q. Por conseguinte, duas proposies so equivalentes quando e apenas quandoelas possuem o mesmo valor lgico.

Podemos formar mais proposies a partir de outras por combinaes dos conec-tivos, disjuntivos, negaes, condicionais, etc. Abaixo mostramos exemplos de proposiesequivalentes.

Exemplo 5 (p q) ( p) ( q)

p q p q p q (p q) ( p) ( q)V V F F V F FV F F V V F FF V V F V F FF F V V F V V

3

1.1 Noes de Lgica

Exemplo 6 (p q) ( p) ( q)

p q p q p q (p q) ( p) ( q)V V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V

Exemplo 7 (p q) p ( q)

p q q p q (p q) p ( q)V V F V F FV F V F V VF V F V F FF F V V F F

Os exemplos 5, 6 e 7 nos fornecem substitutos para a negao, respectivamente, dadisjuno, conjuno e do condicional de duas proposies. Notemos, por exemplo, quepara (p q) ser verdadeira, necessrio e suficiente que p e q , simultaneamente,sejam verdadeiras; assim como para que (p q) seja verdadeira, basta que pelo menosuma das proposies p ou q seja verdadeira, isto , p ou q seja falsa. Vejamos maisexemplos.

Exemplo 8 (p q) (( q) ( p))

p q q p p q ( q) ( p)V V F F V VV F V F F FF V F V V VF F V V V V

Exemplo 9 Sendo f falsa, temos: (p q) ((( q) p) f)

p q f q ( q) p p q (( q) p) fV V F F F V VV F F V V F FF V F F F V VF F F V F V V

Exemplo 10 ( p) p

Exemplo 11 (p q) (q p)

Exemplo 12 (p q) ((p q) (( p) ( q)))

Exemplo 13 (p q) (( p) q)

Exemplo 14 ((p q) (q r)) (p r)

A verificao destas ltimas afirmaes deixamos a cargo do leitor.

4

1.1 Noes de Lgica

Na organizao de um tratamento formal de uma teoria matemtica, como o casodeste captulo, existem os chamados conceitos primitivos. Eles no so definveis e apenasso perceptveis. A partir deles que definimos os demais conceitos. Eles so os pon-tos de partida da teoria. A razo de suas existncias reside no seguinte argumento: parase definir um certo conceito, utilizamos outros j estabelecidos. Para definir estes, pre-cisamos de outros e assim por diante. Sendo finita a quantidade de conceitos, decorre queesbarraremos naqueles no expressos a partir de outros. So esses os conceitos primitivos.Por exemplo, na geometria, para se definir tringulo, utiliza-se entre outros o conceito desegmento de reta. Para definir este, necessita-se do conceito de reta que primitivo.

Alm dos conceitos primitivos, h os chamados princpios, tambm denominados depostulados ou axiomas. Os princpios so propriedades envolvendo os conceitos primitivosou outros j estabelecidos, ou, simplesmente, propriedades, no carentes de demonstra-o. Eles geralmente so bem aceitveis, embora isto no seja uma condio necessria.Exemplo de um axioma: por dois pontos distintos passa uma nica reta. Esse postuladofornece uma propriedade relacionando dois entes primitivos da geometria: ponto e reta.

Os resultados aos quais chega uma teoria depende dos princpios que so estabelecidos.Por exemplo, na geometria euclidiana plana chega-se concluso de que a soma dosngulos internos de um tringulo igual a 180. J na geometria de Lobatchewski -Bolyai conclui-se que esta soma menor do que 180. A razo dessa divergncia deresultados reside na diferena dos axiomas em que se basearam as teorias.

Tambm fazem parte do desenvolvimento formal de uma teoria matemtica as propo-sies (no sentido que definimos no incio deste pargrafo), as quais so carentes de umaprova (demonstrao) que se baseia nos princpios ou em outras proposies j provadas.Em geral, elas so do tipo p q. A proposio p chamada de hiptese e a q de tese.

Como provar uma proposio do tipo p q ? Vejamos. Se p falsa, ento p q sempre verdadeira indepentemente de q ser verdadeira ou falsa de acordo com a tabelade valores lgicos. Se p verdadeira, para que p q seja verdadeira necessrio esuficiente que q seja verdadeira. Por conseguinte, demonstrar uma proposio do tipop q, consiste em admitir p verdadeira e a partir da concluir que q verdadeira.

s vezes, mais conveniente, para provar a proposio p q, usar o seguinte argu-mento, baseado na equivalncia do exemplo 9: negando a tese e admitindo a hiptese, aproposio fica demonstrada se isto acarretar em uma proposio falsa (contradio). Aidia que se chegamos a uma contradio, ento a negao da tese no pode ser ver-dadeira e portanto a tese verdadeira. Este argumento chama-se demonstrao indiretaou demonstrao por absurdo. Podemos tambm utilizar a equivalncia do exemplo 8 parademonstrar uma proposio do tipo p q.

Chamamos ainda a ateno para o exemplo 13 que nos fornece um argumento parademonstrar proposies do tipo p q. Vejamos que para esta ser verdadeira basta anegao de p implicar em q.

Apresentaremos agora terminologias para certas proposies. Chama-se teorema todaproposio de grande relevncia; lema uma proposio que ser utilizada na demons-trao de outra ou de um teorema; corolrio a denominao de toda proposio que conseqncia imediata de outra ou de um teorema; esclio qualquer proposio extradada demonstrao de outra.

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1.2 Entes Primitivos e Axiomas da Geometria Euclidiana

Um dos entes primitivos da matemtica o conceito de conjunto ou coleo. En-tendemos por conjunto toda coleo de objetos bem definidos. Exemplos: o conjuntodos seres humanos que moram no Brasil; o conjunto formado pelos alunos de uma dadauniversidade; o conjunto dos gros de areia existentes no nosso planeta; conjunto consti-tudo de conjuntos; etc. Cada objeto da coleo, que tambm um conceito primitivo, chamado de elemento do conjunto. Se o elemento a membro do conjunto A, dizemosque a pertence a A e escrevemos a A para indicar esse fato. Vale ressaltar que a relaode pertinncia tambm um conceito primitivo.

Chama-se sentena aberta toda proposio p(x) aplicvel aos elementos x de umconjunto A dado explcito ou implicitamente. Exemplo: x um homem alto. Nesseexemplo, o conjunto que contm o elemento x est implcito.

Podemos inserir s sentenas abertas os chamados quantificadores: universal indicadopor ou existencial denotado por . O smbolo significa para todo ou para qualquerque seja ou ainda para cada enquanto que indica existe um ou existe pelo menosum ou ainda para algum. Se p(x) uma sentena aberta, ento x, p(x) ou x talque p(x) so proposies quantificadas. Vale salientarmos que a negao de x, p(x) x tal que p(x) enquanto que a negao de x tal que p(x) x, p(x). Porexemplo, a negao de todo homem alto existe um homem que no alto.

2. Entes Primitivos e Axiomas da Geometria Euclidiana

AXIOMA 1 Existem um conjunto, denominado espao, e duas colees de subconjuntosdo espao satisfazendo s propriedades enunciadas nos axiomas subseqentes.

Os elementos do espao so chamados de pontos, os de uma das colees referidas noaxioma 1 so denominados retas e os da outra, planos. Vale observar que os elementosdas retas e dos planos so pontos.

Ponto, reta e plano so os conceitos primitivos da geometria euclidiana plana. Ospontos so denotados usualmente por letras maisculas A,B,C, ...; as retas por letrasminsculas r, s, t, ...; e os planos por letras gregas ,,, .... Intuitivamente, podemosimaginar que uma poro de um plano a superfcie de uma mesa ou uma folha depapel estirada; uma poro de uma reta um risco feito nesta folha com o auxlio deuma rgua, ou, um cordo esticado; e um ponto um furinho feito com a ponta de umalfinete numa folha ou um pingo feito com uma caneta, etc. O espao pode ser pensadocomo sendo nosso ambiente.

Diremos que dois ou mais pontos so coplanares ou colineares, respectivamente, sepertencem a um mesmo plano ou a uma mesma reta; diremos ainda que dois ou maisconjuntos no vazios de pontos so coplanares ou colineares se todos os seus pontos so,respectivamente, coplanares ou colineares. Se um ponto A pertence a uma reta r ou a umplano usual dizer que r ou passa por A.

Estabelecida essa linguagem inicial, fixaremos a seguir alguns princpios.

AXIOMA 2 Por dois pontos distintos passa uma nica reta.

Se A e B so pontos distintos pertencentes reta r, denotamos r =AB ou r =

BA.

6

1.2 Entes Primitivos e Axiomas da Geometria Euclidiana

AXIOMA 3 Por trs pontos no colineares passa um nico plano.

AXIOMA 4 Se o plano passa por dois pontos distintos A e B, ento AB .

AXIOMA 5 Se a interseo de dois planos no vazia, ento esta contm pelo menosdois pontos distintos.

AXIOMA 6 Cada reta contm pelo menos dois pontos distintos; todo plano contm nomnimo trs pontos no colineares; o espao contm pelo menos quatro pontos distintosentre si no coplanares e no colineares.

Estabeleceremos a seguir resultados decorrentes destes axiomas.

Como conseqncia do axioma 2, podemos concluir que a interseo de duas retasdistintas um conjunto unitrio ou o conjunto vazio. No primeiro caso, dizemos que elasso concorrentes e no segundo dizemos que so reversas se no so coplanares, e, paralelas(e distintas) se so. Usaremos a notao r//s para indicar que uma reta r paralela auma reta s.

Passemos agora a analisar as possibilidades acerca da interseo de dois planos dis-tintos e . Ela poder ser ou no vazia. No caso de ser vazia, dizemos que os planosso paralelos (e distintos) e escrevemos //. Se no, o axioma 5 garante que esta inter-seo contm pelo menos dois pontos distintos A e B. Pelo axioma 4, podemos concluirque

AB e AB , donde, AB . Na realidade, AB = . De fato, de

acordo com o axioma 3, nenhum ponto fora da retaAB (isto , nenhum ponto no per-

tencente aAB) pode pertencer a , uma vez que 6= . Em resumo, a interseo

de dois planos distintos vazia ou uma reta. No caso de ser uma reta, diremos que osplanos so concorrentes.

O que pode ser a interseo de uma reta com um plano? Respondamos. Se ela contmdois pontos, ento, pelo axioma 4, a reta est contida no plano, donde, a interseo aprpria reta. Restam as seguintes possibilidades: vazia ou conjunto unitrio. Na primeiradizemos que a reta e o plano so paralelos e na segunda dizemos que a reta fura o planoou ela secante ele. Adotaremos a notao r// para indicar que uma reta r paralelaa um plano .

Existe um nico plano contendo uma reta e um ponto fora desta, dados, assim comoh um nico plano contendo duas retas concorrentes dadas. Justifiquemos a primeiraafirmao. Pelo axioma 6, existem dois pontos distintos A e B pertencentes reta dada.Seja C o ponto fora desta. Assim sendo, A,B e C no so colineares. Pelo axioma 3,existe um nico plano que contm A,B e C. Este tambm contm a reta, graas aoaxioma 4. A unicidade segue-se porque todo plano que contm

AB e C contm A,B e C.

Provemos agora a segunda assertiva. Sejam r e s as retas concorrentes e A rs. SejamB r {A} e C s {A}, usando o axioma 6. Temos a trs pontos no colineares:A,B e C. O plano determinado por A,B e C contm r e s. Qualquer que seja o planocontendo r e s, contm A,B e C e, por conseguinte, igual a .

Tambm, dadas duas retas paralelas existe um nico plano que as contm. Deixamosa prova deste fato como exerccio.

7

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo

AXIOMA 7 (Postulado de Euclides) Por um ponto fora de uma reta passa uma nicareta paralela reta dada.

Levou-se a crer que o postulado de Euclides, o quinto de seu trabalho, pudesseser demonstrado a partir dos quatro outros. De modo que matemticos famosos, quepassaram-se em quase dois mil anos, o tentaram. Somente no sculo XIX que doismatemticos, trabalhando independentemente, provaram a independncia do quinto pos-tulado. Foram eles, Nicolai Lobachevsky (1793 - 1856), russo, e o hngaro Johan Bolyai(1802 - 1860). Foi com o artigo On the Principles of Geometry em 1829 publicadopor Lobachevsky, que ficou provado definitivamente que o quinto postulado no podia serobtido a partir dos demais. A prova consistiu em substitu-lo por outro que lhe contra-ditrio e a partir disto demonstrou-se que a soma dos ngulos internos de um tringulo menor do que 180, resultado este que entra em choque com o teorema da geometria eu-clidiana plana que afirma ser igual a 180 esta soma. A chamada geometria no-euclidiananascia oficialmente com aquele artigo.

3. Paralelismo e Perpendicularismo

Doravante, admitiremos todos os resultados concernentes geometria euclidianaplana. Passemos aos teoremas bsicos acerca de paralelismo e perpendicularismo deretas ou planos que so assuntos sob os cuidados da geometria euclidiana espacial.

TEOREMA 1 Sejam r uma reta paralela a um plano e P . Ento, a reta paralelaa r passando por P est contida em .

Prova. Seja o plano determinado por P e r. Temos que e so concorrentes.Seja s = .

Ps

r

Pelo fato de s e r ser paralela a , segue-se que s r = e pelo fato de s e r seremcoplanares (esto contidas em ), vem que s e r so paralelas. Desde que P comum a e , decorre que P s. Assim sendo, a reta paralela a r passando por P est contidaem .

TEOREMA 2 Se uma reta r paralela a um plano , ento existe uma reta contidaem paralela a r (e distinta).

Prova. Seja P um ponto qualquer de . Pelo Teorema 1, a reta paralela a r passandopor P est contida em . Logo, segue-se o resultado.

TEOREMA 3 Se uma reta r paralela a uma reta r0 contida num plano e no estcontida nesse plano, ento r paralela a .

Prova. Por absurdo, suponhamos que r fura . Seja {P} = r . Seja o planodeterminado por r e r0. Temos: r0 = . Sendo P r e r , vem que P .

8

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo

Como r0 = , segue-se que P r0. Isto uma contradio ao fato de P r e r serparalela (e distinta) a r0.

TEOREMA 4 Sejam r e s, e, u e v pares de retas concorrentes. Se r//u e s//v, entoos planos determinados por r e s, e, u e v so paralelos ou coincidentes.

Prova. Sejam o plano determinado por r e s e o plano determinado por u e v.Suponhamos que 6= . Devemos mostrar que //. Antes, mostraremos que r no estcontida em . Por absurdo, suponha que r . Assim sendo, teremos necessariamentes , pois do contrrio, como s paralela a uma reta contida em , pelo Teorema 3,decorreria que s//, o que seria uma contradio ao fato de um ponto de s pertencer ar e r . Posto que r e s , ento = . Contradio! Portanto, r 6 . Istoimplica, de acordo com o Teorema 3, que r//, j que r paralela a uma reta contida em. Dado que s tem um ponto em comum com r e r//, segue-se que s 6 e da, peloTeorema 3, s//, uma vez que s paralela a uma reta contida em . Enfim, r e s soretas paralelas a .

s

r

v

u

Para encerrar a demonstrao, suponhamos, por absurdo, que e no so paralelos.Como so distintos, seja t = . Ento, t, r e s so coplanares. Como r e s soconcorrentes, t no simultaneamentre paralela a r e s. Assim, t concorrente a umadelas, j que t distinta de ambas. Digamos, r. Seja {P} = r t. Isto uma contradioao fato de r//.

TEOREMA 5 Por um ponto no pertencente a um plano, passa um nico plano para-lelo ao plano dado.

Prova. (Existncia) Sejam P um ponto e um plano tais que P / . Sejam u ev retas concorrentes contidas em e r e s as retas passando por P, respectivamente,paralelas a u e v. bvio que r e s no esto contidas no plano . Pelo teorema anterior,o plano determinado por r e s paralelo a .

(Unicidade) Seja um plano paralelo a passando por P. Mostraremos que = . claro que as retas concorrentes u e v contidas em so paralelas ao plano . PeloTeorema 1, as respectivas paralelas a u e v passando por P esto contidas em , uma vezque P . Essas paralelas so r e s. Posto que duas retas concorrentes determinam umnico plano, segue-se que = .

TEOREMA 6 Se uma reta fura um plano, fura tambm qualquer plano paralelo a esseplano.

Prova. Sejam e planos paralelos e r uma reta que fura o plano num ponto P.Por absurdo, suponhamos que r no fura o plano . Como P r e P / , ento r 6 ,logo, r//. Seja s tal que s//r. Desse modo, temos: P , s// (pois s e //)e r a paralela a s passando por P. Pelo Teorema 1, segue-se que r . Contradio!

9

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo

TEOREMA 7 Se s 6= t, r//s e r//t, ento s//t.Prova. Inicialmente, vamos mostrar que s t = . Do contrrio, teramos duas

retas distintas, s e t, paralelas a r passando por um mesmo ponto fora de r. Isto iriacontradizer o axioma das paralelas (axioma 7). Logo, s t = . Resta provarmos que se t so coplanares. Sejam A s e B t. Sejam u =AB e o plano determinado por ue s. Distinguiremos dois casos:

Caso 1. r . O plano contendo t e r tem um ponto em comum com , o ponto B, ea reta r, em que B / r. Desde que uma reta e um ponto fora desta determinam um nicoplano, segue-se que = e, portanto, s e t so coplanares.

Caso 2. r 6 .u

r

s

t

A

B

Sendo r//s, pelo Teorema 3, decorre que r//. Assim sendo, pelo Teorema 1, a retaparalela a r passando por B est contida em . Essa reta t. Por conseguinte, t e sesto contidas em .

TEOREMA 8 Sejam r e s, e, u e v pares de retas concorrentes. Se r//u e s//v, ento (r, s) = (u, v) .

Prova. Sejam {P} = r s e {Q} = u v. Se os planos que contm r e s, e, u ev so iguais, o resultado fcil de demonstrar. Deixamos a prova detalhada do teoremapara este caso como exerccio. Suponhamos que os planos so distintos. Seja o planoque contm r e u, e, o que contm s e v.

s

r u

vA

C

B

D

P Q

TemosPQ = . Sejam A r e B u pontos pertencentes a um mesmo semi-plano

determinado porPQ em tais que AP BQ. Desse modo, ABQP um paralelogramo,

donde,AB//

PQ. Sejam C s e D v pontos pertencentes a um mesmo semi-plano de-

terminado porPQ em tais que CP DQ. Assim sendo, CDQP um paralelogramo,

10

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo

donde,CD//

PQ. Dessa maneira, temos, pela transitividade do paralelismo entre retas,

queAB//

CD. Dado que r//u e s//v, vem, conforme o Teorema 4, que os planos deter-

minados por r e s, e, u e v so paralelos, logo,AC BD = . Posto que AC e BD

so coplanares, segue-se queAC//

BD. Assim sendo, ABDC um paralelogramo, donde,

AC BD. Logo, APC BQD (L.L.L.) e, por conseguinte, A bPC B bQD. Portanto, (r, s) = (u, v) .

Def. 8 Diremos que uma reta r que fura um plano num ponto O perpendicular a em O ou, simplesmente, perpendicular a se toda reta contida em passando por O perpendicular a r. Nesse caso, diremos ainda que O o p da perpendicular r em .

TEOREMA 9 Seja o plano determinado por duas retas concorrentes r e s no pontoO. Se uma reta t perpendicular a r e a s em O, ento t perpendicular a em O.

Prova. Seja u uma reta qualquer contida em passando por O. Mostraremos quet u. Podemos supor, sem perda de generalidade, que u 6= r e u 6= s. Tomemos em re s, respectivamente, pontos A e B tais que A e B se encontram em semi-planos abertosopostos em relao a u.

rs

u

t

A BCO

D

D

O segmento AB intercepta u num ponto C entre A e B. Sejam D e D0 pontos distintosem t tais que O ponto mdio de DD0. Sendo t perpendicular a r, segue-se, pelo casoL.A.L. de congruncia de tringulos, que AOD AOD0 e sendo t perpendicular a s,decorre, por L.A.L., que BOD BOD0. Desse modo, AD = AD0 e BD = BD0, donde,por L.L.L., ABD ABD0 e, portanto, B bAD B bAD0. Isto acarreta, por L.A.L., queCAD CAD0, por conseguinte, CD = CD0. Assim sendo, por L.L.L., COD COD0.Este fato implicar que C bOD reto e, portanto, t u. TEOREMA 10 Seja P um ponto pertencente a um plano . Ento, existe uma nicareta r passando por P perpendicular a .

Prova. (Existncia) Sejam A , em que A 6= P , B / e o plano determinadopor

PA e B. Sejam u a reta perpendicular a AP passando por P e v a reta

11

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo

perpendicular aAP passando por P.

P

A

B

u

v

r

Temos que u e v so retas concorrentes em P. Seja o plano determinado por u e v er a reta perpendicular a v passando por P. Nessa construo, observemos quePA uePA v, logo, PA perpendicular a qualquer reta contida em passando por P. Em

particular,PA r. Agora, notemos que r perpendicular a duas retas concorrentes

contidas em , a saber:PA e v. Por conseguinte, r perpendicular a e passa por P.

(Unicidade) Seja s uma reta perpendicular a passando por P. Mostraremos que r = s.Por absurdo, suponhamos que r 6= s. Assim, r e s concorrem ao ponto P em . Seja oplano determinado por r e s. Temos que concorrente a . Seja t = . Desse modo,r, s e t so coplanares (esto em ), em que r e s so perpendiculares a t no ponto P.Contradio!

TEOREMA 11 Sejam r e s retas distintas, em que r perpendicular a . Ento,s//r s .

Prova. () Seja o plano determinado por r e s. Como r fura , ento concorrente a . Seja t = . Assim, r, s e t so coplanares (esto contidas em ),sendo que t r. Como r//s, ento t s. Sejam {A} = r t e {B} = s t. Sejam u e vem , respectivamente, perpendiculares a t em A e B.

r s

tu v

A B

Desse modo, u//v e como r//s, segue-se que (r, u) = (s, v), de acordo com o Teorema8. Desde que, por hiptese, r u, ento s v. Enfim, s perpendicular a duas retasconcorrentes contidas em , a saber: t e v. Por conseguinte, s .() Sejam A e B, respectivamente, os ps das perpendiculares r e s em . Seja s0 areta paralela a r passando por B. Pela implicao () deste teorema, segue-se que s0

12

1.3 Paralelismo e Perpendicularismo

perpendicular a . Sendo s e s0 pependiculares a passando por B decorre, pelaunicidade do Teorema 10, que s = s0. Logo, s paralela a r.

TEOREMA 12 Por um ponto fora de um plano, passa uma nica reta perpendiculara esse plano.

Prova. (Existncia) Sejam um plano e P / um ponto. Seja o plano paraleloa passando por P. Seja r a reta perpendicular a passando por P.

u

v

r

P

Q

Como //, ento r fura tambm , digamos, num ponto Q. Seja u uma retaqualquer passando por Q. Vamos mostrar que r u. Seja v a reta paralela a u passandopor P. Sendo u//, vem, pelo Teorema 1, que v . Desde que r , segue-se quer v. Posto que r transversal s paralelas u e v, decorre que r u. Concluso: r perpendicular a e passa por P.

(Unicidade) Seja r0 uma reta perpendicular a passando por P. Devemos mostrar quer0 = r. Para isso, basta mostrarmos que Q r0. Seja Q0 o p da perpendicular r0 em .Mostraremos que Q0 = Q. Por absurdo, suponhamos que Q0 6= Q. Assim, a soma dosngulos internos do tringulo PQQ0 maior do que 180. Contradio! Logo, Q0 = Q,donde, Q r0 e, portanto, r0 = r.

ESCLIO. Se uma reta perpendicular a um plano , ento perpendicular a qualquerplano paralelo a .

Def. 9 Sejam um plano e P / um ponto. Definimos a distncia de P a , denotadapor d (P,), como sendo a distncia de P ao p da perpendicular a passando por P. SeP a distncia de P a definida como sendo zero.

Observe que a distncia de P a , nos dois casos, a menor das distncias de P aospontos de .

Def. 10 Sejam e dois planos paralelos. Definimos a distncia entre e , denotadapor d (,), como sendo a distncia de um ponto qualquer de um dos dois planos ao outroplano.

A ttulo de exerccio, demonstre que essa definio, de fato, no depende do ponto enem do plano escolhidos.

TEOREMA 13 Sejam r e s retas reversas. Ento, existem dois nicos planos paralelos(e distintos) e tais que r e s .

13

1.4 ngulos

Prova. (Existncia) Seja A r um ponto qualquer e s0//s passando por A. SejaB s um ponto qualquer e r0//r passando por B.

s

r

s

r

A

B

Como r e s so reversas, ento r e s0 e r0 e s so pares de retas concorrentes. Sejam oplano determinado por r e s0 e o determinado por r0 e s. A reta r no est contida em, pois r e s so reversas, conseqentemente, 6= . Pelo Teorema 4, segue-se que e so paralelos.

(Unicidade) Sejam 0 e 0 planos paralelos tais que r 0 e s 0. Devemos mostrar que0 = e 0 = . Temos: r paralela a 0, pois r 0 e 0//0. Pelo Teorema 1, segue-seque a reta paralela a r passando por B 0 est contida em 0. Esta reta r0. Assim,0 o plano determinado pelas retas concorrentes r0 e s. Portanto, 0 = . Posto que e 0 so planos paralelos a e passam pelo ponto A (pois contm a reta r), decorre que0 = , de acordo com o Teorema 5.

Def. 11 Definimos a distncia entre duas retas reversas como sendo a distncia entreos planos paralelos referidos no teorema anterior.

4. ngulos

Sejam r e s retas. J conhecida a definio do ngulo entre r e s caso elas sejamcoplanares. Vamos rever. Se elas so coincidentes ou paralelas dizemos que o nguloentre elas zero. Se so concorrentes, elas formam dois pares de ngulos opostos pelovrtice (que tm mesma medida) sendo que dois desses ngulos no opostos pelo vrticeso suplementares. Neste caso, o ngulo entre elas , por definio, o menor dos quatrongulos.

A novidade ocorre quando as retas r e s so reversas. Vejamos como se define ongulo entre elas.

Def. 12 Sejam A r e B s pontos quaisquer, r0 a reta paralela a r passando por B es0 a reta paralela a s passando por A.

s

rs

r

A

B

Pelo Teorema 8, (r, s0) = (s, r0). Este ser, por definio, o ngulo entre as retas r es (o qual independe da escolha dos pontos A e B).

Def. 13 Diremos que duas retas so ortogonais se o ngulo entre elas de 90.

Vamos agora definir ngulo entre dois planos.

14

1.4 ngulos

Def. 14 Se dois planos so coincidentes ou paralelos dizemos que o ngulo entre eles zero. Suponhamos que dois planos e so concorrentes. Seja t = . Sejam A,B t,distintos, r e r0 as perpendiculares a t em passando, respectivamente, por A e B, e, s es0 as perpendiculares a t em passando, respectivamente, por A e B.

A

B

r

sr

s

t

Assim, temos r e s, e, r0 e s0 pares de retas concorrentes tais que r//r0 e s//s0. PeloTeorema 8, (r, s) = (r0, s0). Este ser, por definio, o ngulo entre os planos e (o qual independe da escolha dos pontos A e B).

Def. 15 Diremos que dois planos so perpendiculares se o ngulo entre eles mede 90.

Def. 16 Chama-se diedro ou ngulo diedral a reunio de dois semi-planos com mesmaorigem. Os semi-planos so chamados de faces do diedro e a origem comum chama-searesta.

Iremos agora definir a medida de um ngulo diedral.

Def. 17 Se as faces de um ngulo diedral so semi-planos coincidentes ou opostos amedida do ngulo diedral , por definio, respectivamente, zero ou 180. Suponhamosque os planos que contm as faces so concorrentes.

A

B C

D

E

F

Sejam A e B dois pontos distintos pertencentes aresta. A partir de A tracemos as semi-retas

AD e

AE perpendiculares aresta, uma em cada face e a partir de B tracemos as

semi-retasBC e

BF tambm perpendiculares aresta, sendo

BC contida na mesma face

em que se encontraAD e

BF contida na mesma face em que se encontra

AE, tais que

BC = AD e BF = AE. Desse modo, ABCD e ABFE so paralelogramos, o que implica

15

1.4 ngulos

que CDEF tambm um paralelogramo, donde, ADE BCF (L.L.L.). Assim sendo,D bAE C bBF . Definiremos a medida do ngulo diedral, nesse caso, como sendo a medidade D bAE que independe do ponto escolhido sobre a aresta.Def. 18 Todo plano reparte o espao em trs subconjuntos: o prprio plano, o subcon-junto dos pontos que ficam a um mesmo lado do plano e o subconjunto dos pontos que ficamno outro lado. Cada um desses dois ltimos subconjuntos chama-se semi-espao abertodeterminado por e a unio do plano com um semi-espao aberto chama-se semi-espaofechado determinado por ou, simplesmente, semi-espao.

Assim, um plano determina dois semi-espaos que chamaremos de semi-espaos opos-tos em relao a .

Dados dois pontos A e B distintos e no pertencentes a , ento A e B se situamnum mesmo semi-espao determinado por AB = .

A

B

Def. 19 Um conjunto S, subconjunto do espao, chama-se convexo se goza da seguintepropriedade: dados A,B S, distintos, ento AB S.

Todo semi-espao um conjunto convexo. Interseo de conjuntos convexos umconjunto convexo.

Considere um ngulo diedral de aresta r e cujas faces e no so coplanares.Sejam E e F, respectivamente, o semi-espao determinado por contendo e o semi-espao determinado por contendo . EF um conjunto convexo por ser interseo dedois conjuntos convexos, o qual ser chamado de regio convexa determinada pelo diedro.

r

Def. 20 (Bissetor de um diedro) Chama-se bissetor de um ngulo diedral de aresta r ecujas faces e no so coplanares o semi-plano de origem r, contido na regio convexadeterminada pelo diedro, que o divide em dois ngulos diedrais com mesma medida.

Precisamos mostrar que todo diedro, cujas faces no so coplanares, tem um nicobissetor. o que faremos agora. Sejam r a aresta e e as faces de um tal ngulo

16

1.4 ngulos

diedral. Seja A r um ponto qualquer, AB e AC , perpendiculares a r. SejaAD a bissetriz do ngulo B bAC. Desde que r AB e r AC, ento r perpendicular aoplano determinado por A, B e C, logo, r AD. Seja o plano determinado por r e AD.Assim, o semi-plano contido em determinado por r contendo

AD bissetor do diedro.

r

A

B

C

D

A unicidade segue-se da unicidade da bissetriz de um ngulo B bAC. Os detalhes dademonstrao deixamos a cargo do leitor.

Def. 21 Chama-se triedro a reunio de trs ngulos no rasos, com mesmo vrtice,contidos em planos distintos, tais que a interseo de dois quaisquer um lado comum. Ovrtice comum aos trs ngulos chama-se vrtice do triedro; cada lado comum denomina-searesta e cada ngulo chama-se face.

Um triedro denominado tri-retngulo se os planos que contm as faces so mutuamenteperpendiculares.

TEOREMA 14 Sejam r uma reta que fura um plano num ponto P, A r {P} eA0 o p da perpendicular a passando em A. Ento, r perpendicular a A0 = P.

Prova. () Temos: r e AA0 so perpendiculares a e passam no ponto A / .Pela unicidade do Teorema 12, segue-se que r =

AA0. Desde que P,A0 r e r fura ,

decorre que A0 = P.

() Temos: r =AP =AA0. Sendo AA0 , segue-se que r .

Def. 22 Dados um ponto A e um plano , o p da perpendicular a passando por Achama-se projeo ortogonal de A em ou, simplesmente, projeo de A em .

Observe que a projeo de A em s igual a A se A .

TEOREMA 15 Seja r uma reta no perpendicular a um plano . Sejam A,B,C r,distintos, e A0, B0 e C 0 as projees, respectivamente, de A, B e C em . Ento, A0, B0

17

1.5 Exerccios

e C 0 so distintos e colineares.

AB

C

A B

r

C

A BC

A B

r

C

Prova. Podemos supor que r 6 . Assim, dois dentre os pontos A, B e C nopertencem a . Digamos, A e B. Se A0 = B0, pela unicidade do Teorema 10, decorre queAA0 =

BB0. Assim sendo,

AA0 =

BB0 =

AB = r e, portanto, r perpendicular a ,

o que uma contradio. Logo, A0 6= B0. Note que AA0 6= BB0 e, por conseguinte, peloTeorema 11,

AA0//

BB0. Seja o plano determinado por

AA0 e

BB0. Temos que e so

concorrentes, pois A0, B0 e A . Mais precisamente, A0B0 = . Quanto aC, h duas possibilidades: C ou C / . Se C , ento C = C 0 e, pelo Teorema 14,C 0 6= A0 e C 0 6= B0, j que r no perpendicular a . Desde que C 0 (pois r ),segue-se que C 0, A0 e B0 so colineares. Se C / , temos, em particular, que A e Cno pertencem a . Usando o mesmo raciocnio empregado no incio dessa demonstrao,chegaremos que C 0 6= A0, AA0//CC 0 e a interseo do plano determinado por AA0 eCC 0 com o plano

A0C 0. Entretanto, os planos e tm em comum a reta r e o ponto

A0 / r, logo, so iguais, donde, A0B0 = = = A0C 0 e, por conseguinte, A0, B0e C 0 so colineares. Para encerrar, temos tambm que C 0 6= B0, pois do contrrio r seriaperpendicular a .

Seja r uma reta no perpendicular a um plano . Sejam A,B r, distintos, e A0 eB0 as projees de A e B em . Pelo Teorema 15, A0 6= B0. Seja r0 = A0B0. Seja C rum ponto qualquer. Pelo Teorema 15, podemos concluir que a projeo de C em , C 0,pertence a r0. Em outras palavras, as projees dos pontos de r em so colineares. Areta r0 chama-se a projeo ortogonal de r em ou, simplesmente, a projeo de r em .

Se r perpendicular a , ento todos os pontos de r, conforme o Teorema 14, seprojetam no p da perpendicular de r em . Neste caso, diremos que o p da perpendicularde r em a projeo de r em .

Def. 23 Definimos o ngulo entre uma reta r e um plano como sendo 90 se r perpendicular a e se r no perpendicular a como sendo o ngulo que r faz com suaprojeo sobre .

5. Exerccios

1. Prove as afirmaes abaixo.

a) O espao contm, pelo menos, seis retas e quatro planos.

18

1.5 Exerccios

b) Por um ponto passam, no mnimo, trs retas.

c) Trs pontos no colineares so distintos entre si.

d) Dada uma reta, h, pelo menos, dois planos que a contm.

e) Um plano contm pelo menos trs retas.

f) Dados um plano e um ponto pertencente a , existem, no mnimo, duas retascontidas em passando por esse ponto.

2. Seja F uma figura tal que quatro quaisquer de seus pontos sejam coplanares. Mostreque F plana, isto , est contida num plano.

3. Explique por que uma mesa com trs pernas sempre fica firme sobre um piso plano euma de quatro pernas pode ficar em falso.

4. Uma figura formada por quatro pontosA, B, C eD e pelos segmentosAB, BC, CDe DA. Ela uma figura plana?

5. Trs planos distintos tm em comum dois pontos. Mostre que existe uma reta comumaos trs planos.

6. Seja t uma reta contida em dois planos distintos. Mostre que t a interseo dessesdois planos.

7. Dois tringulos ABC e DEF , situados em dois planos distintos, so tais que asretas

AB,

AC e

BC encontram as retas

DE,

DF e

EF nos pontos M, N e P ,

respectivamente. Mostre que M, N e P so colineares.

8. Sejam s uma reta e um plano tais que sk. Demonstre que existe um nico planoparalelo a (e distinto) contendo s.

9. Mostre que se uma reta paralela a dois planos concorrentes, ento ela paralela reta de interseo dos dois planos.

10. Suponha que trs planos , e tm exatamente um ponto em comum. Mostre queno existe nenhuma reta simultaneamente paralela a , e .

11. Seja r uma reta secante a um plano e P um ponto exterior a . Mostre que existeuma nica reta que passa por P, encontra r e paralela a .

12. Mostre que se um plano concorrente a um plano , tambm concorrente aqualquer plano paralelo a .

13. Use o exerccio anterior para concluir que se dois planos paralelos so cortados pordois planos paralelos, concorrentes aos anteriores, ento as intersees sero quatroretas paralelas.

14. Considere duas retas paralelas secantes a dois planos paralelos. Mostre que os seg-mentos destas retas determinados pelos dois planos so congruentes.

19

1.5 Exerccios

15. Pode existir uma reta paralela a duas retas reversas?

16. Mostre que se duas retas so reversas, ento todo plano determinado por uma e umponto da outra secante a esta.

17. Mostre que se uma reta fura um plano num ponto no pertencente a uma reta contidanesse plano, ento estas retas so reversas.

18. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam A e B pontos distintos de r e C e D pontosdistintos de s. Mostre que as retas

AC e

BD so reversas.

19. Sejam r e s duas retas reversas, A um ponto em r e B um ponto em s. Qual ainterseo do plano definido por r e B com o plano definido por s e A?

20. Mostre que por um ponto dado se pode traar uma nica reta ortogonal a duas retasno paralelas dadas.

21. SejamA, B e C pontos no colineares. Mostre que se as retasAB eAC so ortogonais reta r, ento

BC tambm ortogonal a r.

22. Considere um conjunto com pelo menos trs retas distintas. Mostre que se duasquaisquer dessas retas so concorrentes, ento elas esto todas num mesmo plano oupassam todas num mesmo ponto.

23. Mostre que dois ngulos diedrais opostos pela aresta tm a mesma medida.

24. Mostre que o ngulo formado entre um plano e um plano igual ao nguloformado por e qualquer plano paralelo a .

25. Uma reta r faz um ngulo de 30o com um plano . Mostre que o ngulo que r fazcom qualquer plano paralelo a mede 30o.

26. Seja r uma reta secante a um plano num ponto P, no perpendicular a . Mostreque o ngulo que r faz com o menor ngulo dentre todos os ngulos que as retascontidas em passando por P fazem com r.

27. Mostre que dois planos so perpendiculares se, e somente se, duas retas respectiva-mente perpendiculares a cada um deles so ortogonais.

28. Mostre que se um plano contm uma reta perpendicular a um plano , ento oplano contm uma reta perpendicular ao plano .

29. Seja O a projeo ortogonal de um ponto P sobre um plano . Considere uma cir-cunferncia de centro O contida em . Mostre que todas as retas tangentes a estacircunferncia esto a uma mesma distncia de P.

30. Dadas duas retas reversas, mostre que existe uma nica reta perpendicular a ambas.

31. Sejam r e s retas reversas. Mostre que existem P r e Q s tais que PQ XY ,

20

1.5 Exerccios

para quaisquer que sejam X r e Y s.

32. Seja r uma reta perpendicular a um plano . Mostre que todo plano que contm r perpendicular a .

33. Seja r uma reta perpendicular a um plano num ponto O. Mostre que se s umareta perpendicular a r passando em O, ento s .

Def. 24 (Mediador de um segmento de reta) Chama-se mediador de um segmento dereta o plano passando em seu ponto mdio e perpendicular reta que o contm.

34. Mostre que o mediador de um segmento o conjunto dos pontos do espao equidis-tantes de seus extremos.

35. Mostre que os mediadores dos lados de um tringulo inteceptam-se segundo uma reta.

36. Seja r uma reta perpendicular a um plano . Demonstre que se um plano paraleloa , ento r tambm perpendicular a .

37. Se uma reta perpendicular a dois planos em pontos distintos, mostre que essesplanos so paralelos.

38. Se uma reta perpendicular a dois planos num mesmo ponto, mostre que esses planosso coincidentes.

39. Seja P um ponto pertencente a uma reta r. Mostre que existe um nico planoperpendicular a r passando por P.

40. Seja P um ponto no pertencente a uma reta r. Mostre que existe um nico planoperpendicular a r passando por P.

41. Mostre que um plano perpendicular a dois planos concorrentes se, e somente se, ele perpendicular reta de interseo dos dois planos.

42. Dados um plano e uma reta r contida em , mostre que existe um nico planoperpendicular a contendo r.

43. Dados um plano e uma reta r paralela a , mostre que existe um nico planoperpendicular a contendo r.

44. Sejam A, B, C e D pontos distintos entre si pertencentes a um plano , e, O / .Mostre que se OA = OB = OC = OD, ento A, B, C e D pertencem a uma mesmacircunferncia contida em cujo centro a projeo ortogonal de O em .

45. Mostre que o ngulo entre dois planos igual ao ngulo que duas retas, respectiva-mente, perpendiculares a eles, fazem.

46. Mostre que o bissetor de um ngulo diedral cujas faces no so coplanares o conjuntodos pontos equidistantes dos planos que contm as respectivas faces do ngulo diedral

21

1.5 Exerccios

pertencentes regio convexa determinada por ele.

47. Considere os ngulos que formam um triedro. Mostre que:

a) a medida de cada um menor do que a soma das medidas dos outros dois;

b) a soma das medidas deles menor do que 360.

48. Uma figura formada por quatro pontosA, B, C eD e pelos segmentosAB, BC, CDe DA. Se os ngulos bA, bB, bC e bD so retos, ela uma figura plana?

49. Sejam , e trs planos distintos. Mostre que as posies relativas possveis dosplanos so:

a) Os trs planos so paralelos.

b) Dois deles so paralelos e o terceiro concorrente a ambos, cortando-os segundoretas paralelas.

c) Os trs planos se cortam segundo uma reta.

d) Os trs planos se cortam dois a dois segundo trs retas paralelas.

e) Os trs planos se cortam dois a dois segundo trs retas concorrentes; o pontocomum s trs retas o nico ponto comum aos trs planos.

22

Captulo 2Cilindro, Cone e Esfera

1. Cilindro

Entenderemos por figura plana qualquer um dos seguintes subconjuntos de um plano:polgono (convexo ou cncavo) mais a regio delimitada por ele, disco fechado, elipse maisseu interior, etc., enfim, qualquer curva fechada, simples (isto , sem auto-interseo), maisa regio delimitada por ela.

Vale ressaltarmos que a idia de figura plana que acabamos de dar um conceitoprimitivo, ou seja, sem definio, uma vez que no demos a definio de curva fechadasimples e nem tampouco a definio da regio delimitada por ela. Enfim, temos somenteuma idia.

Def. 25 (Cilindro) Sejam: F uma figura contida num plano ; um plano paralelo a; uma reta r que fura (conseqentemente, fura tambm ) e h a distncia entre e. O subconjunto do espao que a unio de todos os segmentos de reta com uma dasextremidades em F e a outra em , paralelos a r, chama-se cilindro de base F, com retade inclinao r, entre e . Definimos a altura do cilindro como sendo h. Caso a reta rseja perpendicular a (e a ), o cilindro chama-se cilindro reto de base F, entre e .

F

r

h

Conforme demonstraremos adiante, a interseo do cilindro com o plano umafigura congruente base (veja a definio de figuras congruentes logo aps o Teorema 16),a qual ser tambm chamada de base.

Def. 26 Chama-se prisma todo cilindro cuja base um polgono.

Num prisma, cada segmento paralelo reta de inclinao partindo de um vrtice dabase com a outra extremidade no plano , e, os lados da base so chamados de aresta. Asextremidades das arestas so denominadas de vrtices do prisma e todo segmento de reta,que une dois vrtices do prisma no pertencentes a uma mesma aresta, de diagonal doprisma. A reunio dos segmentos paralelos reta de inclinao com uma das extremidades

2.1 Cilindro

num lado da base e a outra em chama-se face lateral do prisma.

Def. 27 Um cilindro chama-se circular se sua base um disco.

Def. 28 Chama-se paraleleppedo todo prisma cuja base um paralelogramo. Todo par-aleleppedo reto cuja base um retngulo chamado de paraleleppedo retangular ou par-aleleppedo retngulo.

Def. 29 Chama-se cubo todo paraleleppedo retangular cuja base um quadrado e cujaaltura igual ao lado da base.

LEMA. Seja r uma reta que fura um plano . Ento, toda reta paralela a r fura qualquerplano paralelo a .

Prova. Seja s uma reta qualquer paralela a r. Seja o plano determinado por r e

24

2.1 Cilindro

s. Como r fura , ento e so concorrentes. Seja t = .

s

r

t

Temos: r, s e t so coplanares (esto contidas em ), r//s e t e r so concorrentes. Logo,t e s so concorrentes. O ponto de concorrncia de t e s comum a s e . Desde ques 6 (pois s 6= t), segue-se que s fura . Pelo Teorema 6, s fura qualquer plano paraleloa .

TEOREMA 16 Seja P um prisma entre os planos e . Se um plano paralelo a e , entre e , ento P uma figura congruente base de P.

Prova. Seja F a base de P. Pelo lema, as retas que contm os segmentosparalelos reta de inclinao do prisma com uma das extremidades em F furam . Emais, o fazem em pontos pertencentes aos prprios segmentos. Sejam A, B e C vrticesconsecutivos quaisquer de F eA0, B0 eC 0 as respectivas intersees dos segmentos paralelos reta de inclinao de P partindo de A, B e C com .

AB

C

AB

C

Basta mostrarmos que ABC A0B0C 0. Temos: AA0//BB0 e como AB e A0B0 esto con-tidos em planos paralelos (respectivamente, em e ) e so coplanares, ento AB//A0B0.Logo, ABB0A0 um paralelogramo. Pela mesma razo, BCC 0B0 e ACC 0A0 so para-lelogramos. Logo, AB A0B0, BC B0C 0 e AC A0C 0 e da, pelo caso L.L.L. decongruncia de tringulos, segue-se que ABC A0B0C 0.

O teorema acima continua vlido se trocarmos a palavra prisma por cilindro. Porm,precisamos de uma definio de figuras congruentes. Antes, vamos recordar a definiode polgonos congruentes.

Dois polgonos so congruentes quando possvel estabelecer uma correspondnciabiunvoca entre os vrtices de um e os vrtices do outro de tal maneira que os lados de um

25

2.2 Cone

so todos congruentes aos lados correspondentes do outro e o mesmo acontecendo com osngulos.

Def. 30 (Congruncia de figuras) Diremos que uma figura F congruente a uma figuraG e escrevemos F G se existe uma funo bijetiva f : F G tal que AB f(A)f(B)para quaiquer que sejam os pontos distintos A,B F.

Em outras palavras, uma figura congruente outra se possvel estabelecer umacorrespondncia biunvoca entre elas de tal maneira que segmentos correspondentes socongruentes. Note que, pelo caso L.L.L. de congruncia de tringulos, figuras congruentestm ngulos correspondentes congruentes.

possvel demonstrar que a definio que acabamos de dar, no caso de F ser umpolgono, equivalente definio de congruncia de polgonos que recordamos h pouco.Omitiremos a prova.

TEOREMA 17 Seja C um cilindro entre os planos e . Se um plano paralelo a e , entre e , ento C uma figura congruente base de C.

Prova. Seja F a base de C. Pelo lema do Teorema 16, as retas que contmos segmentos paralelos reta de inclinao do cilindro com uma das extremidades em Ffuram . E mais, o fazem em pontos pertencentes aos prprios segmentos. Seja F 0 = C.Para mostrar que F F 0, basta estabelecermos uma correspondncia biunvoca entre Fe F 0 de tal modo que segmentos correspondentes sejam congruentes. A correspondncia a seguinte: a cada A F associamos A0 F 0, em que A0 o ponto de interseodo seguinte segmento com : aquele paralelo reta de inclinao do cilindro com umadas extremidades em A e a outra em . Sejam A,B F , distintos. Mostraremos queAB A0B0. Com efeito, temos: AA0//BB0 e como AB e A0B0 esto contidos em planosparalelos (respectivamente, em e ) e so coplanares, ento AB//A0B0. Logo, ABB0A0

um paralelogramo e, portanto, AB A0B0.

2. Cone

Def. 31 (Cone) Sejam: F uma figura plana e V um ponto no pertencente ao plano quecontm F. O subconjunto do espao que a unio de todos os segmentos de reta com umadas extremidades em F e a outra em V chama-se cone de base F e vrtice V. Definimosa altura do cone como sendo a distncia do vrtice ao plano que contm a base.

F

V

Def. 32 Chama-se pirmide todo cone cuja base um polgono.

Numa pirmide, cada segmento que une um vrtice da base e o vrtice da pirmide,e, os lados da base so chamados de aresta. Os tringulos cujos vrtices so o vrtice da

26

2.2 Cone

pirmide e dois vrtices consecutivos da base so chamados de faces laterias da pirmide.

Def. 33 Uma pirmide chama-se regular se sua base um n-gono regular, n 4, e aprojeo de seu vrtice sobre o plano da base coincide com o centro desta.

Def. 34 Chama-se tetraedro toda pirmide cuja base um tringulo. Um tetraedro dito regular se todas as suas faces so tringulos equilteros.

Note que quatro pontos no coplanares so sempre vrtices de um tetraedro e quequalquer face lateral de um tetraedro pode ser tomado como base.

Def. 35 Um cone chama-se circular se sua base um disco. Um cone circular ditoreto se a projeo ortogonal de seu vrtice sobre o plano da base coincide com o centrodela. Todo segmento de reta que une o vrtice de um cone circular reto a um ponto dafronteira da base chama-se geratriz do cone.

Note que as geratrizes de um cone circular reto tm a mesma medida.

LEMA. Sejam: V um ponto no pertencente a um plano ; A,B , distintos; umplano paralelo a entre V e ; {A0} = V A e {B0} = V B. Ento, V A0B0 V AB

27

2.2 Cone

com razo de semelhana igual ad (V,)

d (V,).

V

A B

A B

Prova. Temos: AB A0B0 = , pois esto contidas em planos paralelos e desde queso coplanares segue-se que so paralelas. Logo, V A0B0 V AB. Sendo A e B quaisquerpontos distintos em , fixemos A e faamos B igual projeo de V em . Desse modo, B0

a projeo de V em . Ento, a razo de semelhana igual aV A0

V A=V B0

V B=d (V,)

d (V,).

TEOREMA 18 Seja P um pirmide de vrtice V e base F contida num plano . Se um plano paralelo a , entre V e , ento P uma figura semelhante a F cujarazo de semelhana

d (V,)

d (V,).

Prova. As retas que contm os segmentos com uma das extremidades em F e o outraem V furam . E mais, o fazem em pontos pertencentes aos prprios segmentos. SejamA, B e C vrtices consecutivos quaisquer de F e A0, B0 e C 0 as respectivas intersees dossegmentos que unem V a A, B e C com .

AB

AB

C

V

C

Basta mostrarmos que ABC A0B0C 0 com razo de semelhana igual a d (V,)d (V,)

. Pelo

lema, temos: V A0B0 V AB, V C 0B0 V CB e V A0C 0 V AC com razo de semelhanaigual a

d (V,)

d (V,). Desse modo, segue-se que

A0B0

AB=C 0B0

CB=A0C 0

AC=d (V,)

d (V,). Pelo caso

L.L.L. de semelhana de tringulos, decorre o resultado.

28

2.2 Cone

O teorema acima continua vlido se trocarmos a palavra pirmide por cone. Porm,precisamos de uma definio de figuras semelhantes. Antes, vamos recordar a definiode polgonos semelhantes.

Dois polgonos so semelhantes quando possvel estabelecer uma correspondnciabiunvoca entre os vrtices de um e os vrtices do outro de tal maneira que os lados deum so proporcionais aos lados correspondentes do outro e ngulos correspondentes socongruentes. A razo de semelhana a razo de proporcionalidade entre os lados doprimeiro e os lados do segundo.

Def. 36 (Semelhana de figuras) Sejam F e G figuras e k um nmero real positivo.Diremos que F semelhante a G com razo de semelhana k e escrevemos F k G ou,simplesmente, F G se existe uma funo bijetiva f : F G tal que

AB

f(A)f(B)= k

para quaisquer que sejam os pontos distintos A,B F.

Em outras palavras, uma figura semelhante outra se possvel estabelecer umacorrespondncia biunvoca entre elas de tal maneira que segmentos correspondentes soproporcionais. Note que, pelo caso L.L.L. de semelhana de tringulos, figuras semelhantestm ngulos correspondentes congruentes.

possvel demonstrar que a definio que acabamos de dar, no caso de F ser umpolgono, equivalente definio de semelhana de polgonos que recordamos h pouco.Omitiremos a prova. Outro fato que no iremos demonstrar e que utilizaremos no captulosubseqente acerca de figuras semelhantes o seguinte: a razo entre as reas de duasfiguras semelhantes igual ao quadrado da razo de semelhana.

TEOREMA 19 Seja C um cone de vrtice V e base F contida num plano . Se um plano paralelo a , entre V e , ento C uma figura semelhante a F cuja razode semelhana

d (V,)

d (V,).

Prova. As retas que contm os segmentos com uma das extremidades em F e ooutra em V furam . E mais, o fazem em pontos pertencentes aos prprios segmentos.Seja F 0 = C. Para mostrar que F F 0, basta estabelecermos uma correspondnciabiunvoca entre F e F 0 de tal modo que segmentos correspondentes sejam proporcionais

com razo de proporcionalidaded (V,)

d (V,). A correspondncia a seguinte: a cada A F

associamos A0 F 0, em que A0 o ponto de interseo do seguinte segmento com :aquele com uma das extremidades em A e a outra em V. Sejam A,B F , distintos.Mostraremos que

A0B0

AB=d (V,)

d (V,). De fato, isto decorrente do lema do Teorema 18.

Def. 37 Sejam: C um cone de vrtice V e base F contida num plano e um planoparalelo a , entre V e . O subconjunto de C dos pontos que se situam entre e chama-se tronco do cone C determinado por . A distncia dos planos e chamaremos

29

2.3 Esfera

de altura do tronco, e, F e C de bases.

3. Esfera

Def. 38 (Esfera) Sejam O um ponto e r um nmero real positivo. O conjunto dospontos do espao cuja distncia a O menor do que ou igual a r chama-se esfera decentro O e raio r e ser denotada por (O; r).

rO

Duas esferas so ditas concntricas se possuem o mesmo centro.

Def. 39 Dados uma esfera e um ponto P, dizemos que P um ponto interior ouexterior de se, respectivamente, d(P,O) < r ou d(P,O) > r. O conjunto de todos ospontos interiores de chamado de interior de e denotado por int e o dos pontosexteriores chamado de exterior de e denotado por ext.

Def. 40 O subconjunto de uma esfera formado pelos pontos cuja distncia ao centro igual ao raio chamaremos de superfcie da esfera.

TEOREMA 20 Se um plano tem, pelo menos, dois pontos em comum com uma esfera,ento a interseo dos dois um disco cujo centro a projeo orto-gonal do centro daesfera no plano e cuja circunferncia a interseo deste com a superfcie da esfera.

Prova. Sejam: (O; r) a esfera; o plano, e, A e B pontos distintos pertencentes a e . Seja O0 a projeo ortogonal de O em . Como A e B so distintos, ento O0 6= Aou O0 6= B. Digamos que O0 6= A. Seja C O0A tal que O0C =

qr2 d (O,O0)2. O0C

est bem definido e positivo, pois d (O,O0) < d (O,A) r. E mais, d(O,C) = r, poiscaso O 6= O0 o tringulo OO0C retngulo em O0. Mostraremos que o disco D contido em de centro O0 e raio r0 = O0C . De fato, seja X D.

O

O'X A C

30

2.3 Esfera

Temos: d(X,O)2 = d(O0, O)2 + d (X,O0)2 d(O0, O)2 + (r0)2 = d(O0, O)2 + O0C2 = r2,por conseguinte, X . Tomemos agora X . Temos: d(O0, O)2 + d (X,O0)2 =d(X,O)2 r2, donde, d (X,O0)2 r2 d(O0, O)2 = O0C2 = (r0)2, portanto, X D.Isso mostra que D = . Seja C a circunferncia de D. C a interseo de com asuperfcie de . Para provar isso s seguir os mesmos passos que foram utilizados nademonstrao de que D = trocando-se por = .

Def. 41 Diremos que uma esfera e um plano so secantes se eles tm em comum, pelomenos, dois pontos; se eles tm em comum apenas um ponto diremos que so tangentesnaquele ponto e se no tiverem ponto em comum diremos que so exteriores.

TEOREMA 21 Sejam (O; r) uma esfera, um plano e P . Ento, tangentea em P P pertence superfcie de e OP .

Prova. () Seja O0 a projeo de O em . Afirmamos que O0 = P. Por absurdo,suponhamos que O0 6= P. Ento, O = O0 ou o tringulo OO0P retngulo em O0. Emambos os casos, temos: OO0 < OP r, donde, O0 , o que uma contradio ao fatode = {P} . Portanto, O0 = P e, por conseguinte, P = O ou OP . No podemoster P = O, pois se assim o fosse, tomando-se em um ponto Q tal que 0 < d(O,Q) r,teramos outro ponto comum a e . Logo, P 6= O e OP . Vamos agora mostrar quePO = r. Por absurdo, suponhamos que PO < r.

O

PA

r

Seja A tal que 0 < d(P,A) r2 OP 2. Desde que o tringulo OPA retngulo

em P, teremos: OA2 = OP 2 + PA2 r2, donde, A seria outro ponto comum a e .

() Seja Q um ponto qualquer de , distinto de P. Dado que OP , segue-se queOP < OQ e, como P pertence superfcie de , ento r < OQ. Concluso: os pontos de, exceto P, no pertencem a . Portanto, = {P} .

Def. 42 Consideremos agora as superfcies de duas esferas distintas. Se a interseodelas possuir exatamente um ponto diremos que elas so tangentes e se possuir pelo menosdois pontos diremos que so secantes.

TEOREMA 22 Sejam 1(O1; r1) e 2(O2; r2) esferas no concntricas e P um pontocomum s superfcies de 1 e 2. Ento, elas so tangentes O1, O2 e P so colineares.

Prova.() Por absurdo, suponhamos que O1, O2 e P no so colineares. Consideremos o planodeterminado por O1, O2 e P. Podemos tomar no semi-plano oposto ao que contm P, emrelao a

O1O2, um ponto Q tal que QO1 = r1 e QO2 = r2, j que |r1 r2| < O1O2 r1 + r2.

Prova.i) () Seja P o ponto comum s superfcies de 1 e 2. Pelo teorema anterior, P, O1 eO2 so colineares. Por conseguinte, P O1O2 ou P

O1O2 O1O2. imediato que, no

primeiro caso, tem-se d (O1, O2) = r1 + r2 e, no segundo, d (O1, O2) = |r1 r2| .() Se d (O1, O2) = r1 + r2, tomemos P O1O2 tal que O1P = r1. Desse modo, vemque O2P = r2. Portanto, P um ponto comum s superfcies de 1 e 2. Como P,O1 e O2 so colineares, o teorema anterior garante o resultado. Suponhamos agora qued (O1, O2) = |r1 r2| . Assim, d (O1, O2) = r1 r2 ou d (O1, O2) = r2 r1. No primeirocaso, tomemos P O1O2 tal que O2 se situa entre O1 e P e O2P = r2 e, no segundo,tomemos P tal que O1 se situa entre O2 e P e O1P = r1. No primeiro caso, vem queO1P = r1 e, no segundo, O2P = r2. Logo, em ambos os casos, temos que P um pontocomum s superfcies de 1 e 2. Como P, O1 e O2 so colineares, segue-se que {P} ainterseo das superfcies de 1 e 2.

ii) () Seja P um ponto comum s superfcies de 1 e 2. Pelo teorema anterior, P, O1e O2 no so colineares e, portanto, o resultado segue-se pela desigualdade triangular.

() Consideremos um plano qualquer que contenha O1 e O2. Podemos tomar em cadasemi-plano, em relao a

O1O2, respectivamente, um ponto P e um ponto Q tais que

PO1 = r1, PO2 = r2, QO1 = r1 e QO2 = r2, j que |r1 r2| < O1O2 < r1 + r2. Logo, assuperfcies de 1 e 2 so secantes.

iii) bvio.

32

2.3 Esfera

Sejam 1 e 2 as respectivas superfcies de 1 e 2.

Obs. 1 No caso em que d (O1, O2) = r1 + r2, temos que os pontos de uma, exceto o detangncia, P, so exteriores outra.

Q

PO1 O2

Com efeito, seja Q 6= P tal que Q 1, isto , d (Q,O1) = r1. Como Q / O1O2,vem que d (O1, O2) < d (O1, Q) + d (Q,O2), donde, r1 + r2 < r1 + d (Q,O2) e, portanto,r2 < d (Q,O2), ou seja, Q ext2. Nesse caso, dizemos que 1 e 2 so tangentesexternas.

Obs. 2 No caso em que d (O1, O2) = |r1 r2|, ento os pontos, exceto o de tangncia,P, daquela que tiver o menor raio, so interiores outra enquanto que os pontos, excetoo de tangncia, daquela que tiver o maior raio, so exteriores outra.

PO2 O1

De fato, digamos que r1 < r2. Seja Q 6= P tal que Q 1 2. Desde que O1 / QO2(verifique isto), segue-se que d (Q,O2) < d (O1, Q)+d (O1, O2) . imediato que se Q 1,ento d (Q,O2) < r2, e, se Q 2, ento r1 < d (Q,O1) , como queramos provar. Nessecaso, dizemos que aquela de menor raio tangente interna outra e que esta tangenteexterna primeira.

Obs. 3 Se d (O1, O2) > r1+ r2, ento os pontos de uma so exteriores outra. De fato,seja Q 1 2. Temos que r1 + r2 < d (O1, O2) d (O1, Q) + d (Q,O2), donde, decorreque se Q 1, ento d (Q,O2) > r2, e, se Q 2, ento d (O1, Q) > r1. Dizemos, nessecaso, que elas so externas.

O1 O2

Obs. 4 Se d (O1, O2) < |r1 r2| , ento os pontos daquela de menor raio so interiores outra enquanto que os pontos desta so exteriores primeira. Com efeito, para fixarmos

33

2.4 Exerccios

as idias, digamos que r1 < r2.

O2 O1

Seja Q 1 2. Posto que d (Q,O2) d (O1, Q) + d (O1, O2) < d (O1, Q) + |r1 r2| ,decorre que se Q 1, ento d (Q,O2) < r2, e, se Q 2, ento d (O1, Q) > r1. Nessecaso, dizemos que a de menor raio interna outra e que esta externa primeira.

Se duas esferas coplanares e distintas so concntricas, imediato que os pontosdaquela de menor raio so interiores outra ao passo que os pontos da superfcie destaso exteriores primeira. Neste caso, diremos que a superfcie da primeira interna dasegunda e que a superfcie desta externa da primeira.

TEOREMA 24 Sejam 1(O1; r1) e 2(O2; r2) duas esferas no concntricas e cujassuperfcies so secantes. Ento, estas se interceptam segundo uma circunferncia cujocentro a projeo ortogonal de O1 e de O2 no plano que a contm.

Prova. Seja P um ponto comum s superfcies de 1 e 2. Como elas so secantes,temos que P no pertence a

O1O2. Sejam o plano passando por P e perpendicular a

O1O2 e O o p da perpendicularO1O2 em . Temos: O 6= O1 ou O 6= O2. Digamos que

O 6= O1. Seja a circunferncia contida em de centro O e raio r = OP . Afirmamos quea interseo das superfcies . Seja Q um ponto qualquer, distinto de P, na interseo.Q no pertence a

O1O2. Mostraremos que Q .

P QO

O1

O2

Com efeito, desde que O1O2P O1O2Q, segue-se que PcO1O2 QcO1O2, donde, PcO1O QcO1O e, portanto, PO1O QO1O. Posto que P bOO1 reto, decorre queQ bOO1 tambm o e, portanto, Q . Uma vez que r = PO = QO, vem queQ . Tomemos agoraQ .Devemos mostrar que Q pertence interseo. De fato, como QO = r = PO, entoPO1O QO1O, donde, QO1 = PO1 = r1 e PcO1O QcO1O, logo, PcO1O2 QcO1O2,por conseguinte, O1O2P O1O2Q e assim QO2 = PO2 = r2. Assim sendo, Q pertence interseo das superfcies de 1 e 2. Por conseguinte, a interseo das superfcies dasesferas uma circunferncia cujo centro a projeo ortogonal de O1 e de O2 no planoque a contm.

4. Exerccios

34

2.4 Exerccios

1. Qual o comprimento da maior diagonal de uma caixa na forma de um paraleleppedoretangular cujas dimenses so 3cm, 4cm e 6cm.

2. Seja ABCD um quadrado de lado a e PA um segmento, tambm de medida a,perpendicular ao plano do quadrado. Calcule a medida do diedro determinado pelostringulos PCB e PCD.

3. Em um prisma, a soma dos ngulos internos de todas as faces igual a 2880o. Quantasfaces laterais possui o prisma?

4. Determine o nmero de arestas, de vrtices, de faces e a soma dos ngulos de todas asfaces de um prisma cuja base um polgono regular em que a soma de seus ngulosinternos igual a 3600.

5. Determine a rea da figura que a interseo de um plano com um cubo de aresta a,sabendo que o plano contm apenas trs vrtices do cubo.

6. Sejam ABC e A0B0C 0 as bases de um prisma reto cuja altura h, em queAA0,

BB0

eCC 0 so perpendiculares aos planos das bases. Sabendo que ABC equiltero de

lado a, determine a rea do tringulo ABC 0.

7. A base de um prisma reto um hexgono regular de lado a. Suas faces laterais soquadrados. Calcule o comprimento da maior diagonal desse prisma.

8. Mostre que as faces laterais de uma pirmide regular so tringulos issceles congru-entes entre si.

9. Considere uma pirmide regular cuja base quadrada. Suponha que a razo entre opermetro da base e a altura seja igual a 2, que a mesma relao guardada entreo permetro de um crculo e seu raio. (Essas so as propores da grande pirmidedo Egito. Algumas pessoas acreditam que as pirmides com essa forma tm o poderde concentrar energia csmica e, portanto, acelerar os processos biolgicos de cura dedoenas.). Expresse:

a) a tangente do ngulo que as faces laterais fazem com a base;

b) a aresta lateral em funo da aresta da base;

c) o cosseno dos ngulos internos das faces laterais dessa pirmide;

d) o cosseno do ngulo formado por por duas faces laterais contguas.

10. Um tronco de pirmide regular tem como bases tringulos equilteros cujos ladosmedem, respectivamente, 2cm e 4cm. Se a aresta lateral do tronco mede 3cm, qual ovalor de sua altura?

11. Considere um cubo de bases ABCD e EFGH e arestas laterias AE, BF, CG e DH.Suponha que as arestas medem 3m e sejam M, N e P pontos tais que M AD,N AB, P BF, AM = AN = 2m e BP = 0, 5m. Calcule o permetro da seoque o plano passando por M, N e P determina no cubo.

35

2.4 Exerccios

12. Mostre que no existe uma pirmide regular cujas faces laterais so tringulos equi-lteros e cuja base tem mais de cinco lados.

13. Seja A o vrtice de uma pirmide cuja base um polgono regular P. Se A equidis-tante dos vrtices de P, demonstre que a projeo ortogonal de A, no plano quecontm P, coincide com seu centro.

14. Quatro superfcies de esfera, com mesmo raio, so tangentes entre si. Mostre que seuscentros so vrtices de um tetraedro regular.

15. Sejam A e B pontos distintos. Qual o subconjunto do espao formado pelos pontosX tais que A bXB reto?

16. Demonstre que por quatro pontos no coplanares passa uma nica superfcie de esfera.

17. Mostre que existe um nico ponto equidistante dos vrtices de um tetraedro qualquer,chamado de circuncentro do tetraedro, o qual o centro de uma esfera cuja superfciecontm seus vrtices, chamada de esfera circunscrita a ele.

18. Mostre que existe um nico ponto equidistante das faces de um tetraedro qualquer,chamado de incentro do tetraedro, o qual o centro de uma esfera que tangencia suafaces, chamada de esfera inscrita nele.

19. Os tens a seguir, deste exerccio, tm como objetivo garantir a existncia dos tetrae-dros regulares e tambm estabelecer algumas de suas propriedades.

a) Mostre que existe um tetraedro regular. Determine sua altura h em funo de suaaresta a.

b) Mostre que so ortogonais duas arestas opostas do tetraedro regular.

c) Mostre que a reta que passa nos pontos mdios de duas arestas opostas do tetrae-dro regular a perpendicular comum a ambas.

d) Mostre que existe um nico ponto equidistante dos vrtices e das faces do tetraedroregular, chamado de centro do tetraedro, o qual o centro comum das esferas ins-crita e circunscrita a ele. Calcule, em funo de a, os raios R e r, respectivamente,das esferas circunscrita e inscrita nele, bem como seus ngulos diedrais.

e) Mostre que os centros das faces do tetraedro regular so vrtices de outro tetraedroregular.

20. Demonstre que existem paraleleppedos retangulares e cubos.

21. Mostre que existe um nico ponto equidistante dos vrtices e das faces de um cubo,chamado de centro do mesmo, o qual o centro comum das esferas inscrita e circuns-crita a ele. Calcule, em funo da aresta a do cubo, os raios R e r, respectivamente,das esferas circunscrita e inscrita nele.

22. Uma pirmide de base triangular tem faces laterais issceles. Sabe-se que a rea dabase igual ao quadrado da altura h da pirmide. Se r o raio da esfera inscrita

36

2.4 Exerccios

nessa pirmide, determine a razo h/r.

23. Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da base 5cm. Quanto mede o raio daesfera inscrita nele?

24. Um cone circular reto tem altura h e raio da base r. Quanto mede o raio da esferainscrita nele?

25. Sejam A, B, C e D os vrtices da base de um cubo e A0, B0, C 0 e D0 os vrticescorrespondentes da outra base.

a) Mostre que os pontos mdios das seguintes arestas so coplanares: AB, BC,CC 0, C 0D0, D0A0 e A0A.

b) Mostre que os pontos mdios referidos no item anterior so vrtices de um hex-gono regular.

37

Captulo 3Volume e rea de Superfcie

Arquimedes, matemtico grego, nasceu em 287 a.C. na cidade de Siracusa, na ilha deSiclia. Estudou em Alexandria e voltou cidade natal onde permaneceu at a morte queocorreu em 212 pela espada de um soldado romano. Ficou famoso pelas suas invenesblicas. o autor do princpio da alavanca, sobre o qual ficou conhecida a seguinte frasede Arquimedes: Dem-me um ponto de apoio e moverei o mundo. tambm autordo princpio segundo o qual um corpo imerso num lquido sofre a ao de uma fora, debaixo para cima, igual ao peso da quantidade de lquido que desloca. Este ficou conhecidocomo o princpio de Arquimedes que utilizou para descobrir se a coroa do rei Heron IIfora confeccionada de ouro puro ou no.

Arquimedes1 deu uma grande contribuio geometria espacial. Ele responsvelpela descoberta das frmulas do volume e rea da superfcie dos principais slidos ge-omtricos tais como a esfera, cilindro, cone, etc. este assunto que iremos abordar nestecaptulo.

Arquimedes com o compasso.

1. A Noo de Volume

Entenderemos por slido qualquer um dos seguintes subconjuntos do espao: cilindro,cone, esfera, poliedro (que iremos definir no prximo captulo) ou qualquer superfciefechada, simples (isto , sem auto-interseo), mais a regio delimitada por ela.

Vale salientarmos que a idia de slido que acabamos de dar um conceito primitivo,ou seja, sem definio, uma vez que no demos a definio de superfcie fechada simples enem tampouco a definio da regio delimitada por ela. Enfim, temos somente uma idia.

Outro conceito primitivo que iremos considerar o de volume de um slido. O volumede um slido a quantidade de vezes que o cubo de aresta unitria cabe nele. O cubode aresta unitria ser chamado de unidade de medida de volume. Se a unidade de medida1 Quadro de Jos de Ribera. (Museu do Prado, Madri)

3.2 Volume do Paraleleppedo Retangular

de comprimento utilizada o metro, chamaremos a unidade de medida de volume (que o cubo de aresta unitria) de metro cbico e o denotaremos por 1m3. Assim, medir ovolume de um slido, com essa unidade de medida de volume, consiste em saber quantosmetros cbicos h nele. A idia de comparao dos slidos com o cubo de aresta unitriano que tange ao lugar que eles ocupam no espao.

Adotaremos a notao V (S) para denotar o volume de um slido S.

Def. 43 (Congruncia de slidos) Diremos que um slido S congruente a um slido S0e escrevemos S S0 se existe uma funo bijetiva f : S S0 tal que

AB f(A)f(B)

para quaiquer que sejam os pontos distintos A,B S.

Em outras palavras, um slido congruente outro se possvel estabelecer umacorrespondncia biunvoca entre eles de tal maneira que segmentos correspondentes socongruentes. Note que, pelo caso L.L.L. de congruncia de tringulos, slidos congruentestm ngulos correspondentes congruentes.

Diremos que um slido S est decomposto como soma de dois slidos S1 e S2 se S a unio de S1 e S2 e S1 S2 subconjunto da superfcie de ambos.

Admitiremos que slidos congruentes tm mesmo volume e que se um slido S estdecomposto como soma de S1 e S2, ento V(S) = V(S1)+V(S2). Tambm iremos admitirque paraleleppedos retangulares com bases congruentes e mesma altura so congruentese, conseqentemente, tm mesmo volume. Note que qualquer face de um paraleleppedoretangular pode ser tomado como base.

2. Volume do Paraleleppedo Retangular

Considere um paraleleppedo retangular cujas arestas adjacentes da base medem,respectivamente, 5 e 4 unidades de medida de comprimento e cuja altura mede 3. Quantoscubos de aresta unitria cabem nele? Ou seja, qual seu volume? Vejamos.

uma questo de contagem. Vamos decompor o paraleleppedo em quatro subpara-

40

3.2 Volume do Paraleleppedo Retangular

leleppedos.

Cada um desses subparaleleppedos contm 53 cubos de aresta unitria. Portanto,no total, o paraleleppedo original contm 5 3 4 unidades de medida de volume, isto, seu volume 60.

Enfim, um paraleleppedo retangular cujas arestas adjacentes da base medem, respec-tivamente, m e n unidades de medida de comprimento e cuja altura mede h, em que m,n e h so nmeros inteiros, tem volume igual ao produto mnh.

Esse resultado continua vlido para m, n e h nmeros reais positivos quaisquer. oque pretendemos mostrar em seguida.

LEMA. Seja (an) uma seqncia de nmeros reais e a, b R tais que an a < an + 1ne an b < an + 1n para todo n. Ento, a = b.

Prova. Mostraremos que no temos a < b e nem b < a. Se a < b, escolhamos uminteiro positivo n > 1

ba . Assim, a+1n< b. Sendo an a, vem que an+ 1n a+

1n, donde,

an +1n< b, o que uma contradio! Se b < a, de modo anlogo, tambm chegaremos a

uma contradio. Logo, a = b.

TEOREMA 25 Sejam P e P 0 paraleleppedos retangulares de bases congruentes e al-turas a e a0, respectivamente. Ento,

V (P )V (P 0) =

a

a0

Prova. Sejam XY ZW e X 0Y 0Z 0W 0 as bases de P , em que XX 0 = Y Y 0 = ZZ 0 =WW 0 = a, e, ABCD e A0B0C 0D0 as bases de P 0, em que AA0 = BB0 = CC 0 = DD0 = a0.Escolhamos a altura que for menor do que ou igual outra. Digamos que a0 a. Para cadainteiro positivo n, dividamos AA0 em n partes congruentes, isto , sejam A01, ..., A

0n1

AA0 com A0i entre A0i1 e A

0i+1 para cada i {1, ..., n 1} (tomamos A00 = A e A0n = A0)

41

3.2 Volume do Paraleleppedo Retangular

tais que A0i1A0i =

a0

npara todo i {1, ..., n} .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

A1

A2

An -1

A

A B

B

xn

xn

xn

xn

xn

xn

D C

C

.

.

.

Seja xn =a0

n. Por cada ponto de diviso A0i consideremos o plano paralelo base. Estes

interceptam P 0 segundo retngulos congruentes base. Assim sendo, o paraleleppedoP 0 fica decomposto em n paraleleppedos congruentes entre si. Desse modo, o volume de

cada um deles igual aV (P 0)n

. Consideremos agora a semi-retaXX 0 e o nmero real

positivo xn. Ento, existem A1, A2, ... XX 0 com Ai entre Ai1 e Ai+1 para todo i N

(tomamos A0 = X) tais que Ai1Ai = xn.

. ..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xn

A1

A2

Amn

X

X Y

Y

Amn + 1xn

xn

xn

xn

xn

Z

Z

.

.

.

Alm disso, posto que xn =a0

n a = XX 0, vem que existe um inteiro positivo mn tal

que X 0 = Amn ou X0 est situado entre Amn e Amn+1. Tem-se ainda que mn xn

a < (mn + 1)xn, donde,mnn

aa0 2 um inteiro. Consideremos um polgono regular de n lados inscritona base e sejam pn e an, respectivamente, seu semi-permetro e seu aptema. Ento, asoma das reas das faces laterais da pirmide regular, cuja base o polgono e cujovrtice o vrtice do cone dado, igual a pn

pa2n + h

2. A rea da superfcie lateral docone circular reto o limite desse valor quando n +. Desde que an r e pn rquando n +, decorre que a rea da superfcie lateral do cone igual a r

r2 + h2.

COROLRIO 2 A rea da superfcie lateral de um tronco de pirmide regular cujaaltura h, cujos semi-permetros das bases so P e p, e, cujos aptemas das bases so A

e a igual a (P + p)q(A a)2 + h2.

Prova. Digamos que P e A so, respectivamente, o semi-permetro e o aptema dabase maior. Seja h0 a altura da pirmide. Ento, a razo de semelhana entre a basemenor e a maior h

0hh0 , portanto,

aA= h

0hh0 =

pP, donde, h0 = A

Aah, h0 h = a

Aah,

49

3.4 rea de Superfcie

AAa =

PPp e

aAa =

pPp .

h

h A

a

A pirmide original est decomposta como soma do tronco mais uma pirmide cuja base a base menor do tronco e cuja altura h0h. Por conseguinte, a rea da superfcie lateral dotronco igual a P

qA2 + (h0)2p

qa2 + (h0 h)2 = P

qA2 +

AAah

2pqa2 + aAah

2= PA

Aa

q(A a)2 + h2 pa

Aa

q(A a)2 + h2 =

PAAa

paAa

q(A a)2 + h2 =

P 2

Pp p2

Pp

q(A a)2 + h2 = (P + p)

q(A a)2 + h2.

COROLRIO 3 A rea da superfcie lateral de um tronco de cone circular reto cuja

altura h e cujos raios das bases so R e r igual a (R+ r)q(R r)2 + h2, isto ,

(R+ r) g

em que g a medida de uma geratriz qualquer do tronco.

Prova. Seja n > 2 um inteiro. Consideremos um polgono regular de n lados inscritona base maior, digamos, de raio R, e sejam Pn e An, respectivamente, seu semi-permetroe seu aptema. Considere tambm o polgono regular de n lados inscrito na base de raior correspondente ao anterior e sejam pn e an, respectivamente, seu semi-permetro e seuaptema.

h

r

R

Ento, a rea da superfcie lateral do tronco da pirmide cujas bases so esses polgonos

vale (Pn + pn)q(An an)2 + h2. A rea da superfcie lateral do tronco do cone circular

o limite desse valor quando n +. Desde que An R, Pn R, an r e pn rquando n +, decorre que a rea da superfcie lateral do tronco do cone circular igual a (R+ r)

q(R r)2 + h2.

TEOREMA 33 A rea da superfcie de uma esfera de raio r igual a

4r2

Prova. Seja h > 0. Consideremos a esfera com o mesmo centro O da esfera dada ecujo raio r + h, e, o slido S que o conjunto dos pontos da esfera de raio r + h no

50

3.5 Exerccios

interiores esfera de raio r, isto , o conjunto dos pontos X tais que r d(X,O) r+h.

r h A(r + h) h

O

Iremos admitir que, para valores de h prximos de zero, V(S) aproximado pelo volume docilindro cuja rea da base a rea da superfcie da esfera de raio r+h, que denotaremos porA(r+h), e cuja altura h. Em smbolos, isto quer dizer: V(S) = A(r+h)h para pequenosvalores de h, donde, A(r + h) = V(S)

hpara valores de h prximos de zero. Assim sendo,

temos: limA (r + h) = lim V (S)h

= lim43 (r + h)3 4

3r3

h= lim 4

3 (3r2 + 3rh+ h2) =

43 3r2 = 4r2 quando h 0. Desde que limA (r + h) quando h 0 a rea da

superfcie da esfera de raio r, decorre o resultado.

5. Exerccios

1. Um metro cbico contm quantos centmetros cbicos?

2. Qual o nmero mximo de caixas cujas dimenses (exteriores) so 30cm, 20cm e 50cmque podem ser acomodadas em uma caixa cujas dimenses (interiores) so 2m, 3m e5m.

3. Determine o volume e a rea da superfcie de uma esfera de raio igual a 2.

4. Em quantos por cento devemos aumentar a aresta de um cubo para que tenhamosum novo cubo com o dobro do volume do outro?

5. Em quantos por cento devemos aumentar a aresta de um cubo para que tenhamosum novo cubo com o dobro da rea total do outro?

6. Determine o volume e a rea total da superfcie de um tronco de cone circular retocujos raios das bases medem, respectivamente, 5cm e 1cm, e, cuja altura de 3cm.

7. Calcule o volume do tronco de uma pirmide regular e a rea total da superfcie dessetronco, cuja altura 3, cujos semi-permetros das bases maior e menor, respectiva-mente, so 45 e 9, e, cujos aptemas das bases maior e menor, respectivamente, so5 e 1.

8. Demonstre que dentre os paraleleppedos retangulares de base quadrada com reatotal constante o de maior volume o cubo.

9. Um prisma reto tem por base um tringulo retngulo cujos catetos medem 5cm e

51

3.5 Exerccios

12cm. A diagonal de sua maior face lateral forma um ngulo de 60ocom o plano dabase. Calcule sua rea lateral.

10. Determine o volume e a rea total de uma pirmide regular de base quadrada sabendoque sua aresta lateral mede 5cm e suas faces laterais fazem um ngulo de 30 com abase.

11. Calcule, em funo da aresta, o volume e a rea da superfcie de um tetraedro regular.

12. Demonstre que dentre os paraleleppedos retangulares com rea total cons-tante o demaior volume o cubo.

13. Uma caixa fechada, em forma de um paraleleppedo retangular, tem as seguintesdimenses externas: x, y e z. Sabendo que sua espessura mede a, determine seuvolume interno.

14. Uma lata fechada, em forma de cilindro