Geometria Diferencial UPC

8/9/2019 Geometria Diferencial UPC

1/115

Apunts de

GEOMETRIA DIFERENCIAL

Pere Pascual Gainza

Facultat de Matematiques i Estadstica, UPC

Maig de 2014


2/115


3/115

Index

1 Corbes al pla i a lespai 7

1.1 Corbes a lespai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Curvatura duna corba plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 El triedre de Frenet duna corba a lespai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 El teorema fonamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Superfcies 152.1 Que es una superfcie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Funcions diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 El pla tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 La primera forma fonamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Curvatura 27

3.1 Superfcies orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Laplicacio de Gauss: curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 La segona forma fonamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Corbes sobre una superfcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5 El teorema egregi de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 El teorema fonamental de la teoria local de supefcies . . . . . . . . . . 40

4 Algunes superfcies notables 43

4.1 Superfcies de revolucio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Superfcies reglades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Superfcies minimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Geodesiques 57

5.1 Derivada covariant i transport parallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2 Geodesiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


4/115

4 Index

5.3 Laplicacio exponencial: propietats minimals de les geodesiques . . . . 68

5.4 El teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 El teorema de Gauss-Bonnet 81

6.1 Algunes questions preliminars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2 Una expressio per a la curvatura geodesica . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3 El teorema local de Gausss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.4 El teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.5 Lndex dun camp vectorial amb singularitats allades . . . . . . . . . . 90

7 Curvatura constant 95

7.1 Introduccio: geometries no euclidianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.2 Un recproc del teorema egregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3 Superfcies de revolucio de curvatura constant . . . . . . . . . . . . . . 100

7.4 Superfcies de curvatura constant positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.5 Superfces de curvatura constant zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.6 Superfces de curvatura constant negativa: el pla hiperbolic . . . . . . 108

Bibliografia 115


5/115

Introduccio

Aquestes notes corresponen aproximadament als temes exposats els darrers cursos a

lassignatura de Geometria Diferencial del Grau de Matematiques de la UPC. Configu-

ren un curs estandard de geometria de les corbes i les superfcies de lespai, i segueixen

de prop alguns dels excellents textos existents, citats a les referencies.El contingut daquests apunts te dues parts ben diferenciades. En els quatre primers

captols sestudien les propietats locals basiques de les corbes i les superfcies. Aquesta

part, juntament amb part de les dues primeres seccions del captol 5, conforma elcontingut mes basic del curs, en el qual sintrodueixen les curvatures i sestudien diversos

exemples de corbes i superfcies de lespai.

El captol 5 esta dedicat a les geodesiques. En les primeres seccions es defineixen les

geodesiques i sen donen exemples, particularment les de les superfcies de revolucio. A

partir de la seccio 5.3 sanalitzen les propietats minimals de les geodesiques, per a la qual

cosa sintrodueix laplicacio exponencial i les seves propietats fonamentals. Podrem

dir que es a partir daquesta seccio que sinicia lestudi de la geomatria intrnseca

de les superfcies, encara que no sen faci mencio explcita. El tema 6 esta dedicat

al teorema de Gauss-Bonnet i algunes de les seves consequencies, entre les quals cal

destacar el teorema de lndex de Poincare-Hopf, la demostracio del qual hem obviat a

les classes presencials. Lestudi de les superfcies finalitza al captol 7, on sanalitzen

alguns resultats sobre les superfcies de curvatura constant. Lobjectiu del captol

es demostrar el teorema de rigidessa de lesfera, introduir el pla hiperbolic i presentar

breument les superfcies completes de curvatura constant com a models de les geometries

no euclidianes; tot i aixo, hem afegit sense demostracio les caracteritzacions de les

superfcies completes de curvatura zero o el teorema de Hilbert sobre les superfcies de

curvatura constant negativa.

No hem inclos, per falta de temps, el darrer captol de lassignatura, aquell en el qual

sintrodueixen les varietats diferencials i sanalitzen algunes de les extensions de les


6/115

6 Index

nocions i resultats establerts en captols anteriors a aquest context mes general.

Aquesta introduccio, aix com tot el contingut de les notes que segueixen, es molt pro-

visional i sofrira successives millores en un futur. Tot i aixo, aquestes notes provisionals

shan mostrat de certa utilitat com a guio del curs, i es per aixo que les faig accessibles.

Dentre les mancances daquestes notes respecte del que sha presentat al curs o del

que, al nostre entendre, seria aconsellable, assenyalarem:

- falten figures que illustrin els exemples i resultats presentats.- falten mols exemples que han estat treballats en les classes de problemes, aix com

la llista dexcercicis que vam proposar al llarg del curs, i que estava disponible a

la intranet de lassignatura.

- falta el captol 8 dedicat a les varietats de dimensio superior.

He compartit lassignatura amb els professors Eva Miranda i Agust Roig, a qui vull

agrair les discusions mantingudes al voltant dels continguts i la redacci o daquestes

notes, aix com lelaboracio del listat dexercicis que vam proposar als estudiants, que

formaven part imprescindible del curs.

Barcelona, maig 2014


7/115


8/115

8 Captol 1. Corbes al pla i a lespai

es regular en els punts en quet= 0. En el punt t = 0 la corba no es regular, direm queaquest es un punt singular.

4. La corba parametrizada

(t) = (t3 4t, t2 4), t R,

es regular en tots els seus punts. Observem que (2) = (2), es a dir, que la corbapassa per lorigen en dos instants diferents.

Si recorrem la trajectoria descrita per la corba a una altra velocitat, direm que hem

reparametritzat la corba. Mes concretament,

1.1.3 Definicio. Siguin I, J R dos intervals. Anomenarem aplicacio de canvi deparametrea tota aplicacio bijectiva h : JI, diferenciable i amb inversa diferencia-ble.

Direm que la corba

= h: J Rn,es una reparametritzacio de . Direm que la reparametritzacio conserva lorientacio

si h(s) > 0 per a tot s J, en cas contrari direm que la reparametritzacio inverteixlorientacio.

Observem que la traca de es la mateixa que la traca de ((J) =(I)) i que es te

regular regular.

1.1.4 Definicio. Sigui : I Rn una corba parametritzada i t0, t1 I. Es defineixla longitud de entre t0 i t1 per

(; t0, t1) = t1t0

|

(t)| dt.

Observem que si es una corba regular amb|(t)|= 1 en tots els punts, aleshores lalongitud de la corba entre dos instants t0, t1 ve donada per

(; t0, t1) =

t1t0

|(u)| du= t1 t0.

Dit altrament, si la velocitat es 1, el parametre (el temps) es correpon amb la longitud

recorreguda. En aquest cas direm que el parametre est es el parametre arc, parametre

que denotarem per s.


9/115

1.2. Curvatura duna corba plana 9

1.1.5 Teorema. Tota corba parametritzada regular admet una reparametritzacio pel

parametre arc.

Demostracio. Sigui t0I; definim la funcio arc s : I R segons

s(t) =

tt0

|(u)| du.

Aquesta funcio es derivable i, com la corba es regular, te derivada positiva i no nullas(t) =|(t)|> 0.

Per tant es una funcio monotona creixent, J = s(I) R es un interval i es te undifeomorfisme s: IJ :t amb

t(s) = 1

s(t)=

1

|(t)| .

Aix, la reparametritzacio (s) =(t(s)) satisfa|(s)|= 1, es a dir, es una reparame-tritzacio per larc.

1.2 Curvatura duna corba plana

En aquesta seccio : I R2 denota una corba parametritzada regular del pla, quesuposarem que esta parametritzada per larc (s).

1.2.1 Definicio. Es defineix el vector (unitari) tangent de per t(s) = (s) i el vec-

tor normal de com lunic vector unitari n(s) tal que (t(s),n(s)) formen una base

ortonormal positiva de R2.

Com t(s) es unitari, en resulta t(s), t(s)= 0 i, per tant,t(s) es linealment dependent

de n(s).

1.2.2 Definicio. Es defineix la curvatura (s) de (s) com la funcio : I Rdeterminada per

t(s) =(s)n(s).

1.2.3 Exemple. Considerem la circumferencia de radi R, (s) = (R cos sR , R sin sR).

Aleshores,

(s) = ( sin sR

, cos s

R)n(s) = ( cos s

R, sin s

R),

t(s) =(s) = ( 1R

cos s

R, 1

Rsin

s

R) =t(s) = 1

Rn(s)(s) = 1

R.


10/115


Euler definia la curvatura com la taxa de variacio de la direccio tangent t(s) respecte

del parametre arc. Mes concretament, es te:

1.2.4 Proposicio. Sigui (s) una determinacio diferenciable de langle orientat entre

t(s) i el vectore1. Aleshores,

(s) =(s).

Demostracio. Els vectors tangent i normal a la corba son

t(s) = (cos (s), sin (s)), n(s) = ( sin (s), cos (s)),

i per tant,

t(s) = ((s)sin (s), (s)cos (s)) =(s)n(s) = (s) =(s).

1.2.5 Corollari (Teorema fonamental de les corbes planes). SiguiI R un intervalobert if :I R una funcio diferenciable. Aleshores existeix una corba plana regular: I R2 parametritzada per larc i amb curvatura(s) =f(s). A mes, es unicallevat de moviments directes.

Demostracio. Imposem lequacio diferencial que se segueix de la proposicio anterior

(s) =(s) =f(s) =(s) =(s0) + ss0

f(s) ds,

don resulta que

(s) =t(s) =

cos

(s0) +

ss0

f(s) ds

, sin

(s0) +

ss0

f(s) ds

,

i, tornant a integrar,

(s) =(s0) + ss0

t(s) ds.

Observem que les constants dintegracio determinen una translacio de vector(s0) i un

gir dangle (s0), don resulta la unicitat llevat de moviments directes del pla.

1.3 El triedre de Frenet duna corba a lespai

En aquesta seccio fixem una corba regular : I R3, parametritzada per larc.Direm que esbiregular si (s)

= 0 per a tot s

I.


11/115

1.3. El triedre de Frenet duna corba a lespai 11

1.3.1 Definicio. Es defineix la curvatura de com la funcio no negativa

(s) =|(s)|.Si la corba es biregular, (s)= 0 per a tot sI, es defineix el vector normal per

n(s) = (s)

|(s)| = (s)

(s) .

Observem que en el cas de corbes planes, aquesta darrera definicio correspon al valorabsolut de la curvatura definida en la seccio anterior i que, per tant, per a aquetes

corbes hi ha una certa ambiguitat quan parlem de curvatura. El context permetra

saber a quina de les dues definicions ens referim.

1.3.2 Definicio. Suposem que es birregular. Es defineix el vector binormal per

b(s) =t(s) n(s) = (s) (s)

|(s)| .

Al triedre (t(s),n(s),b(s)) lanomenarem el triedre de Frenetde la corba.

1.3.3 Proposicio. Suposem que es biregular. Aleshores, esta continguda en un pla

si, i nomes si, el vector binormalb(s) es constant.

Demostracio. La implicacio directa es immediata. Per a la recproca, suposem que

b(s) = b0 es constant, basta veure que la funcio f(s) =(s), b0 es constant, ja quealeshores la corba estara continguda al pla normal ab0. En efecte, calculem la derivada

f(s) =(s), b0=t(s),b(s)= 0.

1.3.4 Definicio. En les condicions anteriors, es defineix la torsio de com la funcio

(s) =n(s),b(s)=n(s),b(s).

Aix, la darrera proposicio ens diu que per a les corbes biregulars,

esta continguda en un pla 0.

1.3.5 Formules de Frenet Sigui una corba birregular parametrizada per larc. Ales-

hores, el triedre de Frenet satisfa les equacions

t(s) = (s)n(s)

n(s) = (s)t(s) +(s)b(s)b(s) =

(s)n(s)


12/115


1.3.6 Donat que tota corba regular pot reparametritzar-se pel parametre arc, es pos-

sible definir els conceptes locals desenvolupats en aquesta seccio per a corbes parame-

tritzades biregulars qualssevol,(t). Deixarem com a excercici provar que el triedre de

Frenet en funcio del parametre t es

t(t) = (t)

|(t)| , b(t) = (t) (t)|(t) (t)| , i n(t) =b(t) t(t),

i la curvatura i la torsio venen donades per

(t) =|(t) (t)|

|(t)|3 , (t) =(t) (t), (t)

|(t) (t)|2 .

Aix, si c(t) =|(t)| es la celeritatde la corba, les formules de Frenet sescriuent(t) = (t)c(t)n(t)

n(t) = (t)c(t)t(t) +(t)c(t)b(t)b(t) = (t)c(t)n(t)

1.3.7 Els plans generats pels parells de vectors del triedre de Frenet reben els nom

seguents:

pla osculador: generat pels vectors t,n,

pla normal: generat pels vectors n,b,

pla rectificador: generat pels vectors t,b.

1.3.8 Forma canonica local. Les formules de Frenet permeten aproximar les projecci-

ons duna corba (s) als plans osculador, normal i rectificador en un punt. En efecte,

suposem que la corba esta parametritzada per larc, fixem s0 i considerem la formula

de Taylor de grau 3 de (s) en s0 (que, per comoditat, suposarem que es s0 = 0):

(s) =(0) + (0)s +

(0)2 s2 +

(0)6 s3 + R4.

De les formules de Frenet dedum

(s0) =t0, (s0) =0n0,

(s0) =0n0 20t0+ 00b0,

on el subndex 0 indica que les funcions corresponents estan avaluades en 0. Substituint

aquests valors en la formula de Taylor obtenim

(s) 0=

s 20

6s3t0+

02

s2 + 0

6s3n0+

006

s3b0+ R4.

Aix, els termes dominants en cadascuna de les pro jeccions son:


13/115

1.4. El teorema fonamental 13

- sobre el pla osculador,st0+ (0/2)s2n0, que es una parabola,

- sobre el pla normal, (0/2)s2)n0+ (

0/6)s

3b0, que es una cuspide,

- i sobre el pla rectificador, st0+ (0/6)s

3b0, expressio que indica que travessem

aquest pla quan 0= 0.

1.4 El teorema fonamental

La curvatura i la torsio duna corba la determinen llevat de moviments, en el sentit que

especifica el seguent resultat:

1.4.1 Teorema fonamental de les corbes a lespai. Sigui I R un interval obert if, g : I R dues funcions C, amb f(s) > 0 per a tot s I. Aleshores, existeixuna corba biregular : I R3 tal que s I es el parametre arc i f(s) = (s) ig(s) =(s) son la curvatura i la torsio, respectivament, de. A mes, aquesta corba es

unica llevat de moviments directes deR3.

Demostracio. Les formules de Frenet i el paramtre arc imposen condicions que ha desatisfer la corba que estem buscant

(s) = t(s)

t(s) = f(s)n(s)

n(s) = f(s)t(s) +g(s)b(s)b(s) = g(s)n(s)

Observem que obtenim aix un sistema de 12 equacions diferencials lineals amb 12

funcions per determinar. Per tant, del teorema dexistencia i unicitat se segueix que,

fixades les condicions inicials, hi ha una unica solucio, que es valida per a tots els sI(ja que es tracta dun sistema lineal). Prenem s0

Ii fixem les condicions inicials

(s0) = 0, t(s0) =e1, n(s0) =e2, b(s0) =e3,

i sigui(s), t(s),n(s),b(s) lunica solucio del sistema amb aquestes condicions inicials.

Observem que el triedre (t(s),n(s),b(s)) es ortonormal per a tot s I. En efec-te, considerem el sistema dequacions diferencials lineals que satisfan les sis funcions

determinades pels productes escalars daquests vectors. Per exemple,

t(s),n(s) = t(s),n(s) + t(s),n(s)= f(s)n(s),n(s) + t(s), f(s)t(s) + g(s)b(s)=

f(s)

t(s), t(s)

+ f(s)

n(s),n(s)

+ g(s)

t(s),b(s)

.


14/115


El sistema resultant es

d

ds

t, tn,nb,bt,nt,bn,b

=

0 0 0 2f 0 0

0 0 0 2f 0 2g0 0 0 0 0 2g

f f 0 0 g 00 0 0 g 0 f0 g g 0 f 0

t, tn,nb,bt,nt,bn,b

Aquest sistema lineal admet la solucio constant (1, 1, 1, 0, 0, 0) i pel teorema dexistencia

i unicitat resulta que es lunica solucio, es a dir, (t(s),n(s),b(s)) formen una base

ortonormal. A mes, com en les condicions inicials el determinant es positiu, ho sera

per continutat per tot s, es a dir, es una base ortonormal directa.

Pel que fa a la unicitat de, siguiuna altra solucio del sistema i considerem la matriu

ortogonal formada pels vectors (columna) del triedre de Frenet de en s0,

A= (t(s0),n(s0),b(s0)),

i p =A(s0). Aleshores, el moviment directeF(x) =Ax +p transforma en , jaque la corba (s) =F((s)) satisfa

(s0) = 0, (t,n,b)(s0) = (e1, e2, e3),

i per la unicitat de les solucions amb condicions inicals fixades, resulta que = .

Al parametre arc s, i les funcions (s) i (s) se les anomena lesequacions intrnseques

de la corba (s).

1.4.2 Observacio. La teoria exposada en aquest captol es pot estendre a lestudi de

les corbes delespai Rn, n4 fent els ajustos corresponents.

En efecte, la curvatura duna corba en un punt mesura la desviaci o de la corba res-pecte de la recta tangent, i la torsio mesura la desviacio de la corba respecte del pla

oscullador; per a les corbes a Rn, necessitarem una altra curvatura que mesuri la des-viacio de la corba respecte duna subvarietat lineal de dimensio 3, i aix successivament.

Daquesta forma, donat un parametres les corbes de Rn que el tenen perparametre arc

estan determinades per bases ortonormals e1(s), . . . , en(s),n1 curvatures,1, 2, . . . , n1i les formules de Frenet corresponents. Per a mes detalls, consulteu [S].


15/115

2

Superfcies

En aquest captol sintrodueix la nocio de superfcie i de pla tangent en un punt. Tot

i que estarem interessats majoritariament en superfcies de lespai R3, les nocions que

sintrodueixen en aquest captol no depenen de la dimensio de lespai ambient, per la

qual cosa ens situarem a lespai euclidia Rn.

2.1 Que es una superfcie?

De forma similar al cas de corbes, partim de la idea que una superfcie correspon a la

deformacio a lespai duna regio del pla.

2.1.1 Definicio. Unasuperfcie parametritzada de Rn es una aplicacio C

: U Rn,

on U R2 es un obert del pla. Direm que es una superfcie parametritzada regularsi

rang d(u,v)= 2,

(u, v)

U.

2.1.2 Exemples. (1) La definicio de superfcie parametritzada inclou els casos en que

= cnt o que no depen duna de les variables. Aquestes superfcies no son regulars;

de fet son superfcies parametritzades degenerades, en el sentit de que coresponen a un

punt o a una corba.

(2) La superfcie parametritzada

(u, v) = (v cos u, v sin u, v), u(0, 2), v0,

que correspon a la part z 0 del con x2 +y2 = z2, es regular en tots els punt llevatdel que correspon a v = 0.


16/115

16 Captol 2. Superfcies

Daltra banda, la superfcie

(u, v) = (u2, u3, v), (u, v) R2,

parametritza el cilindre sobre la cuspide plana x3 = y2; es regular en tots els punts

llevat dels que genera la singularitat de la cuspide, es a dir, llevat dels punts (0, v).

Aquests dos exemples son paradigmatics, cosa que podrem enunciar, en un sentit

imprecs, en la forma: una superfcie parametritzada amb punxes o arestes deixa de ser

regular en aquests punts.

(3) La superfcie parametritzada

(u, v) = (u3 4u, u2 4, v), (u, v) R2,

es regular en tots els punts. Observem que aquesta superfcie es el cilindre sobre la

corba plana (u) = (u3 4u, u2 4) i que, per tant, te una autointerseccio al llargde la recta generada per lorigen, es a dir, en els punts u = 0. Seguidament donarem

una definicio mes restrictiva de superfcie regular que elimina les autointerseccions, tot

i que al llarg del curs sera interessant disposar, en algunes situacions, de la possibilitat

de tenir autointerseccions.

(4) Els exemples anteriors corresponen a superfcies parametritzades de R3. En aquest

captol, la dimensio de lespai ambient Rn no juga cap paper, per la qual cosa la

deixarem indeterminada, encara que posteriorment ens centrarem en el cas n = 3.

Disposar den4 ens permet incloure alguns exemples que no sencabeixen a R3, comper exemple, lampolla de Klein o el pla projectiu, o el producte de dues corbes. Aix,

si , : I R2 son dues corbes planes regulars, el producte defineix una superfcieparametritzada regular

: I I R2 R2 = R4,(u, v) ((u), (v)).

En particular, obtenim aix el tor de R4 com a producte de dues circumferencies.

2.1.3 Definicio. SiguiS Rn amb la topologia induda. Direm queS es unasuperfcieregular si per a tot p S existeixen oberts U R2 i p V S i una aplicaciodiferenciable (C)

: UVS,tal que

(i) es un homeomorfisme, es a dir, es bijectiva i la inversa 1 es contnua.


17/115

2.1. Que es una superfcie? 17

(ii) defineix una superfcie parametritzada regular, es a dir,

rang d(u,v)= 2, (u, v)U.

2.1.4 Exemples. (1) La grafica duna funcio de dues variables es una superfcie regular:

sigui h : U R una funcio diferenciable definida en un obert U R2 i

S={(x,y ,z)|z = h(x, y), (x, y)U},

aleshores (x, y) = (x,y ,h(x, y)) es una parametritzacio que val per a tots els punts,amb inversa 1(x,y ,z) = (x, y), que es la restriccio a Sde la projeccio de R3 al pla

xy i que, per tant, es contnua.

(2) Considerem lesfera de radiR >0, S R3, definida perx2+y2+z2 =R2. AleshoresS es una superfcie regular: en efecte, prenem el punt p = (0, 0, 1)S; podem aillar zde lequacio que defineix S, prenent larrel positiva per tal de mantenir-nos al voltant

de p,

z =

R2 x2 y2,amb la qual cosa veiem que a lobert V = S {z > 0}, S es la grafica de la funcioh(x, y) = R2 x2 y2 i, per tant, satisfa les condicions de la definicio anterior.Considerant larrel negativa, cobrim la part de S corresponent a z < 0. Finalment,allant les altres variables de lequacio que defineix S, veiem que tot punt de S te un

entorn parametritzat regular.

(3) El con de R3,S, definit perx2+y2 =z2, no es una superfcie regular en p= (0, 0, 0),

ja que tot entorn de p a Ses desconnecta en treure-li el punt p, contrariament al que

succeeix en els entorns dun punt de R2.

(4) La superfcie parametritzada regular : (1, ) R R3 definida per

(u, v) = ( 3u

1 + u

3,

3u2

1 + u

3, v),

no es una superfcie regular en el sentit de la darrera defincio, ja que V =((1, 1) (1, 1)) no es un obert de la superfcie. En efecte, observeu que tot entorn de (0, 0) =(0, 0, 0) conte punts (u, v) per a u prou gran, que no son de V.

Mentre no diem el contrari, el terme superfcie regular fara referencia a la nocio es-

tablerta en la darrera defincio. Els dos primers exemples del punt anterior son para-

digmatics en els sentit que, genericament, les equacions defineixen superfcies i que les

superfcies son, localment, grafiques. Precisem aquesta observacio en les dues proposici-

ons seguents, que son consequencia dels dos teoremes fonamentals del calcul diferencial,

el teorema de la funcio implcita i el teorema de la funcio inversa.


18/115


2.1.5 Proposicio. Sigui W R3 un obert, f : W R una aplicacio diferenciable(C) i

S={(x,y ,z)W| f(x,y ,z) = 0}.Si rangdfp= 1, per a totpS, aleshoresS es una superfcie regular.

Demostracio. En efecte, sigui pS, per hipotesis una de les tres derivadesf

x(p),

f

y(p),

f

z(p)

es diferent de zero. Suposem que ho es la tercera, f

z(p)= 0.

Pel teorema de la funcio implcita, hi ha una funcio diferenciable h : U R, onU R2 es un obert, i un obert W W que conte p, tal que

S W ={(x,y ,z)|z = h(x, y)}.Dit altrament, en un entorn depSel conjunt S es la grafica duna funcio diferenciable.Com p es un punt arbitari, dedum que S es una superfcie regular.

2.1.6 Hem enunciat el resultat anterior a R3. Es clar que sesten sense dificultad aRn: sigui W Rn un obert, f : W Rn2 una funcio vectorial C i S ={xW | f(x) = 0}. Si rang dfp = n2, per a tot p S, aleshores S es una superfcieregular.

2.1.7 Proposicio. Localment tota superfcie regular es la grafica duna funcio diferen-

ciable.

Demostracio. Fem la prova per a superfcies de R3, tot i que el raonament es valid per

a superfcies en un espai euclidia de dimensio arbitraria.

Abans dentrar en la demostracio, precisem una mica millor lenunciat: si S R3

esuna superfcie regular i p S, aleshores existeix un entorn obert W S de p queadmet una parametritzacio com a grafica duna funcioC.SiguiS R3 una superfcie regular i: USuna parametritzacio regular al voltantdun punt pS, amb (q) =p. Com el rang de dq es dos, un dels tres menors

(x, y)

(u, v)(q),

(x, z)

(u, v)(q),

(y, z)

(u, v)(q),

es diferent de zero. Suposem que ho es el primer. Aleshores laplicacio diferenciable

: U

R3 (x,y)

R

2


19/115

2.1. Que es una superfcie? 19

te jacobia no nul a q U. Si q = (q), pel teorema de la funcio inversa, existiranentorns obertsU i V deq iq, respectivament, i una funcio diferenciable1 :V U, inversa de .

El conjuntW =(U) es un entorn obert de p, ja que 1 es contnua.

Finalment, laplicacio1 :V W Sdefineix una parametritzacio en un entornde p que es la grafica de la funcio f(x, y) =3((

1(x, y))).

En les parametritzacions locals que intervenen en la definicio de superfcie regular esdemana que laplicacio inversa 1 sigui contnua, cosa que pot resultar farregosa de

comprovar. El resultat seguent indica que, si sabem a priori que S es una superfcie, la

continutat de 1 esta garantida per les altres propietats de .

2.1.8 Proposicio. Sigui S Rn una superfcie regular, U R2 un obert i : Uuna aplicacio diferenciable que satisfa

(1) es injectiva,

(2) rang d(u,v) = 2, per a tot (u, v)U.Aleshores, (U)S es un obert deS i1 :(U)U es contnua.

Demostracio. Un cop mes, per comoditat, prendrem n = 3. Sigui p (U) i q Uamb(q) =p. Per la proposicio anterior, existeixen oberts pW S, V R2 i unafuncio diferenciable f : V R tal que W es la grafica de f, es a dir, : V Wdefinida per (x, y) = (x,y ,f (x, y)) es una parametritzacio regular.

Sigui U U lobert U =1(W) i definim h: U V com la composicio h= ,on es la pro jeccio ortogonal de R3 sobre el pla xy . Per la regla de la cadena, es te

dhq =dpdq,

i, per tant, det dhq= 0. Pel teorema de la funcio inversa, existiran obertsqU U,h(q)V V, tals que h indueix un difeomorfisme h : U V. Siguih1 :U V laplicacio inversa, que es diferenciable.

Finalment observem que (U) =1(h(U)) S, per la qual cosa es un entorn obertde p, en el qual es te

1|(U)

= h1,

que, com a composicio daplicacions contnues, es contnua.


20/115


2.2 Funcions diferenciables

Sigui S Rn una superfcie regular, pS i f :S R una funcio.

2.2.1 Definicio. Direm que f es una funcio diferenciable en p si existeix una parame-

tritzacio local : US, (q) =p, tal que f : U R es una funcio diferenciable(C) en q.

Per a que aquesta definicio sigui efectiva, la diferenciabilitat de f en p no hauria dedependre de la parametritzacio local . Aixo sera consequencia del seguent resultat,

que anomenarem el teorema de canvi de parametres.

2.2.2 Teorema. Siguin: US i : VS dues parametritzacions locals dunasuperfcieSa lentorn dun puntpS, W =(U) (V). Aleshores, laplicacio

1: 1(W)1(W)es diferenciable, amb inversa diferenciable (1)1 =1. A 1 lanomenarem

laplicacio de canvi de parametres.

Demostracio. Per comoditat, suposarem que la superfcie esta a R3.

Notem h= 1, i q U, rV amb(q) =p, (r) =p, amb la qual cosa h(q) =r.Com es una parametritzacio local, la diferencial es de rang 2 en r, suposem que

(x, y)

(u, v)(r)= 0.

Definimg : V R R3 per g(u,v,t) =(u, v) + (0, 0, t), aleshores

Jac g (r, 0) =(x, y)

(u, v)(r)= 0,

i, pel teorema de la funcio inversa, existeix un entorn W de p = g(r, 0) i una funcio

diferenciable g1 :WUR, inversa de g .Per la continutat de 1, existeix un entorn obert U deqamb(U)W i observemque, en aquest entorn, h es composicio daplicacions diferenciables

h|U =1|U =g

1|U ,

i, per tant, es diferenciable.

Dedum ara la independencia de la defincio de funcio diferenciable de lentorn coordenat

emprat:


21/115

2.3. El pla tangent 21

2.2.3 Corollari. Siguin: US i : VS dues parametritzacions locals dunasupefcie regular S a lentorn dun punt p = (q) = (q) S, i f : S R una

funcio. Aleshoresf es diferenciable enqsi, i nomes si, f es diferenciable enq.

Ara es clar com definir la diferenciabilitat daplicacions vectorials f : S Rm mit-jancant la diferenciabilitat de les seves components, cosa que permet definir les aplica-

cions diferenciables entre superfcies: siS Rn iS Rm son dues superfcies regulars,una aplicaciof :S

S es diferenciable en un punt p

S si laplicaciof :S

Rm

es diferenciable.

2.2.4 Definicio. Una aplicacio f :SS es un difeomorfismesi es diferenciable, bi-jectiva i amb inversa diferenciable. Direm que dues superfcies regulars sondifeomorfes

si existeix un difeomorfisme entre elles.

Observem que si : US es una parametritzacio local, aleshores1 :(U)Ues diferenciable i, de fet, es un difeomorfisme.

2.2.5 Exemple. SiguiSlobert de lesfera unitat S2 complementari dels punts (0, 0, 1),

(0, 0, 1) i S lobert del cilindre x2 + y2 = 1, determinat per1< z


22/115


2.3.3 Proposicio. Amb les notacions de lexemple anterior,

TpS= Imd0,

i, en particular,TpS es un espai vectorial de dimensio2, que anomenaremel pla tangent

a Sen p.

Demostracio. Considerem un vector v R2. Aleshores, hi ha un >0 amb tvU pera t(, ) i, per a aquests valors de t, estara definida la corba de S, v(t) =(tv).Per a v es te v(0) =p i v(0) =d0(v), per tant, Im d0TpS.Recprocament, sigui w =(0)TpS. La composicio w =1 defineix una corbadiferenciable a U, per a la qual es te

d0(w(0)) =

d(w)

dt (0) =(0) =w,

don resulta laltra inclusio TpSIm d0.

2.3.4 Proposicio. Suposem que S esta definida per una equacio implcita, S ={xR3 | f(x) = 0}, amb rangdfp= 1, per a totpS. Aleshores,

TpS= ker dfp.

Demostracio. Sigui : U S una parametritzacio regular en un entorn de p, amb(0) = p. Aleshores, f = 0 i, per tant, dfpd0 = 0. Es a dir, TpS ker dfp. Comambdos espais vectorials son de dimensio dos, en resulta la igualtat.

2.3.5 Definicio. Sigui f : S S una aplicacio diferenciable i p S. Definimlaplicacio diferencial def enp per

dfp: TpS Tf(p)Sw= (0) (f )(0).

2.3.6 Proposicio. Laplicacio diferencialdfp esta ben definida i es una aplicacio lineal.

Demostracio. Anem a descriuredfp en un sistema local de coordenades i com a resultat

de lexpressio que obtindrem en resultara la proposicio.

Siguin : USi : VS sengles sistemes de coordenades al voltant depi f(p),i h = 1f : 1((V))1((U)) lexpressio de fen aquestes coordenades.Siw = (0) =au+ bv, aleshores la corba (t) =f((t)) es igual a(t) =h

1(t)

i, segons la definicio de laplicacio diferencial

dfp(w) =(0) =d(dh(a, b)) =

h1u

h1v

h2u

h2v

a

b .


23/115

2.4. La primera forma fonamental 23

2.3.7 Laplicacio diferencial permet transferir resultats del calcul diferencial a les apli-

cacions diferenciables entre superfcies. Aix, per exemple, sera valida la regla de la

cadena, o el teorema de la funcio inversa, que enunciem a continuacio.

2.3.8 Teorema de la funcio inversa. Sigui f : S S una aplicacio diferenciable ipS. Sidet dfp= 0, aleshores existeixen entorns obertspVS if(p)W Stals quef :VW es un difeomorfisme.

2.4 La primera forma fonamental

En aquesta seccio analitzem els aspectes metrics de les superfcies que es deriven del

producte escalar ordinari de lespai Rn.

Sigui S Rn una superfcie regular i pS. Denotarem per, p el producte escalardefinit al pla tangent TpSpel producte escalar ordinari de R

n.

2.4.1 Definicio. La primera forma fonamental de S en p, Ip :TpS R, es la formaquadratica associada al producte escalar

,

p,

Ip(w) =w, wp 0, wTpS.

Calculem el producte escalar i la primera forma fonamental en un sistema de coorde-

nades: sigui : USuna parametritzacio regular al voltant de p. Aleshores,u, vformen base de lespai tangent i la matriu del producte escalar en aquesta base es

E F

F G

=

u, up u, vpu, vp v, vp

Direm que E , F , G son els coeficients de la primera forma fonamental en la para-

metritzacio . Observem que aquests coeficients defineixen funcions diferenciablesE , F , G: U R.

2.4.2 Longitud de corbes. Sigui : IS Rn una corba sobre la superfcie S. Enfuncio de la parametritzacio la corba sescriu (u(t), v(t)) i la longitud entre a, bIsegons

() =

ba

|(t)| dt= ba

E(u)2 + 2F uv + G(v)2 dt.

Aquesta expressio sacostuma a escriure tambe en la forma

ds2 =Edu2 + 2Fdudv+ Gdv2,


24/115


i es diu que ds2 es lelement de longitud de S.

Per exemple, la longitud de les corbesv = cnt, parametritzades peru(t) =t, ve donada

per

(v= cnt) =

ba

E dt

i, per tant, estan parametritzades per larc si, i nomes si, E 1. Analogament, lescorbesu = cnt esta parametrizades per larc si, i nomes si, G1.

2.4.3 Angle entre dos vectors tangents. Siguin v, w TpS dos vectors unitaris tan-gents a Sen p. Langle entre v i w esta determinat per

cos =v, wp,i, per tant, en una parametritzacio pot expressar-se en funcio dels coeficients de la

primera froma fonamental. En particular, langle en que es tallen les corbesu = cnt i

v= cnt, que correspon a langle entre u i v, es

cos = F

EG.

Aix, les corbes coordenades de son ortogonals si, i nomes si, F = 0.

2.4.4 Observacio. Si fixem el punt pS, sabem que TpSadmet una base ortonormalper al producte escalar, p. No es cert, pero, que en general puguem escollir unaparametritzacio en un entorn de pV en la qual la base (u, v) sigui ortonormalper a tot q V. Dit altrament, en general no es cert que existeixi un sistema decoordenades per al qual E , G1, F 0.Malgrat tot, s que podem aconseguir que les corbes coordenades siguin ortogonals, es

a dir, es te el resultat seguent que enunciem sense demostracio: per a tot punt p Sexisteix una parametritzacio regular : U S, p (U), tal que F 0. (vegeu

[dC].)

2.4.5 Area duna regio continguda en un entorn coordenat. Seguint amb les notaci-

ons daquesta seccio, sigui DSuna regio de la superfcie Scontinguda en un entorncoordenat D(U) i tal que la funcio EG F2 es integrable en 1(D). Aleshoreslarea de D ve donada per

A(D) =

1(D)

EG F2 dudv.

Observem que per a superfcies de R3, podem utilitzar el producte vectorial per escriure

|u

v|2 =EG

F2,


25/115

2.4. La primera forma fonamental 25

cosa que permet interpretar lexpressio de lelement darea dA =

EG F2 dudv comlarea del parallelogram definit pels vectors uu, vv.

Isometries

Recordem que una aplicacio lineal entre espais euclidians, F :EE, es diu que esuna isometria si es compatible amb els productes escalars, es a dir, si

v, wE=F(v), F(w)E ,per a qualssevol v , wE.

2.4.6 Definicio. Siguif :SS una aplicacio diferenciable entre superfcies regularsi p S. Direm quef es una isometria local en p si existeix un entorn p V tal quedfq es una isometria lineal per a totqV. Direm que f es una isometria (global) si esun difeomorfisme i una isometria local.

2.4.7 Observacio. (1) Una aplicacio f : S S diferenciable que es bijectiva i unaisometria local en cada punt, es una isometria global.

(2) Les isometries conserven aquelles mesures que depenen de la primera forma fona-mental, es a dir, la longitud de corbes, els angles de vectors tangents i les arees. En

general direm que una propietat es intrnsecasi es conserva per isometries.

2.4.8 Proposicio. Siguif :SS una aplicacio diferenciable entre superfcies regu-lars, pS, i suposem que existeix una parametritzacio : USen un entorn deptal que =f : U S defineix una parametritzacio regular en un entorn def(p).Denotem perE , F , G iE, F, G els coeficients de la primera forma fonamental en les

parametritzacions, , respectivament. Aleshores,

f :(U)(U) es una isometria E= E, F =F, G= G.

Demostracio. Donat que = f , es te

u= dfq(u), v =dfq(v).

Aix, si dfq es una isometria, per a tot q(U), en resulta E= E, F =F, G= G.Recprocament, suposem que E = E, F = F, G = G. Sigui w = au+ bv TqS,q(U), q =f(q). Aleshores, dfq(w) =au+ bv i, per tant,

Iq(dfq(w)) =a2E + 2abF + b2G =a2E+ 2abF+ b2G= Iq(w),

el que acaba la prova.


26/115



27/115

3

Curvatura

En aquest captol fixem n = 3, es a dir, lespai ambient sera R3, donat que definirem

la curvatura a partir de la variacio del vector normal. Els resultats que establirem su-

posaran que la superfcie es orientable; com que localment tota superfcie es orientable,

els resultats sapliquen, localment, a qualsevol superfcie regular.

3.1 Superfcies orientables

Sigui S R3 una superfcie regular.

3.1.1 Definicio. Direm queS esorientablesi existeix un camp vectorial Nnormal aS

i no nul, aixo es, si existeix una aplicacio diferenciableN :S R3 tal queN(p)= 0 iN(p)TpS, per a qualsevolpS. Direm que una superfcie orientable Sestaorientadasi hem escollit un camp normal no nul N.

Com el camp Nque orienta una superfcie es no nul en tots els punts, podem normalitzar-

lo, de manera que lorientabilitat de S es equivalent a lexistencia dun camp normalunitari N :S S2.

3.1.2 Exemples. (1) Si la superfcie Sesta definida implcitament per lequacio

f(x,y ,z) = 0, f(p)= 0, pS,

aleshores el camp vectorial N=f es un camp vectorial normal i no nul, per tant,Ses orientable.

(2) Si hi ha una parametritzacio : USque cobreixS, es a dir, tal que S= (U),aleshores el camp vectorial

uv

es un camp normal i no nul, per tant, S es orientable.


28/115

28 Captol 3. Curvatura

El segon exemple mostra que localment tota superfcie es orientable: per a qualsevol

superfcie Si qualsevol punt pS, hi ha un entorn coordenat V de p en S tal que Ves una superfcie orientable.

En general, si (U), (V) son oberts coordenats de S, aleshores en els punts de la

interseccio se satisfau v|u v| =

u v|u v| .

Observem que el signe positiu correspon a que les bases (u, v), (u, v) defineixin lamateixa orientacio deTpS, cosa que es equivalent a que det d(1)0> 0, si (0) =p.

Pero, en aquest cas, el camp normal definit per ambdues parametritzacions sesten a

un camp normal a (U)(V). Aquesta es essencialment la idea de la prova de lacaracteritzacio de lorientabilitat seguent, els detalls de la qual deixem com a exercici.

3.1.3 Proposicio. Una superfcie S R3 es orientable si, i nomes si, existeix un re-cobriment per entorns coordenats S =ii(Ui) tal que els jacobians dels canvis decoordenades son positius, det d(1j i)> 0,i, j.

Observem que aquesta caracteritzacio de lorientabilitat no fa referencia a lespai ambi-

ent R3 i que, per tant, permet definir lorientabilitat duna superfcie en general. En elnostre cas, donat que estarem sempre a R3, bastara disposar del camp normal unitari.

3.1.4 Per a la resta del captol suposarem que les superfcies son orientables. Com hem

assenyalat, aixo sempre es aix localment, per la qual cosa els conceptes que introduirem

saplicaran, localment, a totes les superfcies de lespai.

Si S es una superfcie orientada pel camp normal N, direm que el sistema de coor-

denades : U S es positiu o compatible amb lorientacio si satisfa les condicionsequivalents

det(u, v, N)> 0

N =

u v|u v|

.

3.2 Laplicacio de Gauss: curvatura

Sigui S R3 una superfcie orientada pel camp normal N. A laplicacio diferenciableN :S S2 lanomenarem laplicacio de Gauss de S.Observem que TpS=TN(p)S

2 i que, per tant, la diferencial de laplicacio de Gauss en

un punt pSdefineix una aplicacio lineal

dNp

: Tp

S

Tp

S.


29/115

3.2. Laplicacio de Gauss: curvatura 29

La diferencialdNpcodifica la variacio del vector normal en totes les direccions tangents

a S en p i aquesta variacio es llegeix al propi espai tangent. Podem observar aquest

mateix fet de la forma seguent: si (t) es una corba de Sque passa per p, aleshores

N((t)), N((t))= 1 = (N )(0), N((0))= 0,

es a dir, la variacio de Nal llarg de es ortogonal a N i, per tant, tangent a S.

A

dN lanomenarem laplicacio de Weingarten de S. (Es pren el signe negatiu per

raons que veurem mes endavant.)

Els invariants duna aplicacio lineal ens donen informacio sobre la propia aplicacio. En

particular, el determinant i la traca.

3.2.1 Definicio. Es defineixen la curvatura de Gauss i la curvatura mitjana de S en p

segons

K(p) = det dNp, H(p) =12

tr dNp.

3.2.2 Teorema. LendomorfismedNp: TpSTpS es un endomorfisme simetric. Enparticular,dNp diagonalitza en una base ortonormal.

Demostracio. Que dN sigui simetric significa que per a qualssevol vectors v, w TpSse satisfa

dN(v), w=v,dN(w).Es suficient comprovar aquesta igualtat per als vectors duna base: fixem un sistema de

coordenades positiu al voltat de p i considerem la base de lespai tangent associada,

(u, v). Basta veure quedN(u), v=u, dN(v).Derivant la igualtatN, v= 0 respecte de u trobem

Nu, v

+

N, uv

= 0 =

dN(u), v

=

N, uv

.

De forma similar trobem

u, dN(v)=N, vu,i comuv = vu, pel teorema de Schwarz, acabem la prova.

3.2.3 Definicio. Els vectors propis e1, e2 dedNp i les direccions del pla tangent quedeterminen, les anomenarem direccions principals. Els valors propis dedNp els deno-tarem per k1, k2 i els anomenarem les curvatures principals de Sen p.

De la definicio de K i H i les curvatures principals en resulta que K = k1k2 i H =

(k1

+ k2

)/2, amb la qual cosa es te:


30/115


3.2.4 Corol.lari. Les curvatures principals son les solucions de lequacio

k2 2Hk+ K= 0,

i, per tant,

ki = H

H2 K.Observem que K,H,k1 i k2 defineixen funcions diferenciables aS.

3.3 La segona forma fonamental

Seguim amb les notacions de la seccio anterior. A tot endomorfisme simetric se li

associa una forma quadratica:

3.3.1 Definicio. La segona forma quadratica de S en p es la forma quadratica IIp :

TpS R definida per

IIp(w) =dNp(w), w, wTpS.

La matriu de IIp en una base w1, w2 de TpSve donada per

dNp(w1), w1 dNp(w1), w2

dNp(w1), w2 dNp(w2), w2

.

Els sistemes de coordenades donen bases naturals de lespai tangent, (u, v); calculem

la matriu de IIp corresponent: sigui: U S una parametritzacio regular positivaambp(U), i denotem per

e f

f g =dNp(u), u dNp(u), v

dN

p(

u),

v dN

p(

v),

v la matriu de la segona forma fonamental en aquesta base.

3.3.2 Proposicio. Amb les notacions anteriors, se satisfa

e = Nu, u=N, uu= det(u, v, uu)EG F2 ,

f = Nu, v=N, uv= det(u, v, uv)EG F2 ,

e = Nv, v=N, vv= det(u, v, vv)EG

F2

.


31/115

3.3. La segona forma fonamental 31

Demostracio. La demostracio daquestes igualtats es immediata. Provem, per exemple,

les corresponents a f:

N, v= 0 i derivant u

= N, uv + Nu, v= 0.

La darrera igualtat se segueix de que N= (u v)/

EG F2.Veiem doncs que tant la segona forma fonamental com la primera forma fonamental

es calculen facilment a partir de les equacions que defineixen un sistema de coordena-des. Podem utilitzar aquest fet per calcular explcitament la matriu de laplicacio de

Weingarten en la base u, v. En efecte, si laplicaciodNte matriu

Nu = a11u+ a12v,

Nv = a21u+ a22v,

segons la proposicio anterior trobem

e = a11E+ a12Ff = a11F+ a12G i

g = a21E+ a22Ff = a21F+ a22G

es a dir, e f

f g

= a11 a12

a21 a22

E FF G

.

Transposant aquesta darrera igualtat i allant la matriu de dN, trobem

3.3.3 Equacions de Weingarten. a11 a21a12 a22

=

E F

F G

1 e f

f g

.

Observem que podem resumir les equacions anteriors en la forma

dN=I1 II,

en el ben entes que aquesta es una igualtat de matrius.

3.3.4 Corol.lari. De les equacions de Weingarten es dedueix que

K= eg f2EG F2 , H=

1

2

eG 2f F+ EgEG F2 .

Acabem aquesta seccio donant la classificacio dels punts de la superfcie S segons els

valors de les curvatures principals.


32/115


3.3.5 Definicio. Direm que pS es- ellptic si K(p)> 0. Equivalentment, si k1(p), k2(p)= 0, amb el mateix signe.- hiperbolic si K(p)< 0. Equivalentment, si k1(p), k2(p)= 0, de signes oposats.- parabolic si K(p) = 0, H(p)= 0. Equivalentment, si k1(p)= 0, k2(p) = 0.- pla si K(p) = 0, H(p) = 0. Equivalentment, k1(p), k2(p) = 0.

3.3.6 La classificacio anterior te lorigen en la conica del pla tangent a Sen passociadaa la segona forma fonamental

IIp(w) =1, wTpS,

que sanomena la indicatriu de DupindeSenp. Observem que si e1, e2 son les direcci-

ons principals deSen p, es a dir, formen la base ortonormal en la qual dNpdiagonalitza,

i w = xe1+ ye2, aleshores la indicatriu de Dupin es

k1x2 + k2y

2 =1.

Aix, si k1, k2 tenen el mateix signe, en resulta una el

lipse, si tenen signes oposats en

resulten dues hiperboles, o si k2= 0, en resulten dues rectes paralleles.

3.4 Corbes sobre una superfcie

Sigui S R3 una superfcie orientada per un camp normal unitari N i p S. Unamanera danalitzar la curvatura de S en p es estudiar la curvatura de les corbes que

sobtenen tallantSper un pla que passa per p. Aquesta era la manera de procedir en el

perode previ a la introduccio de la curvatura de Gauss. Mes generalment, anem a ana-

litzar la curvatura duna corba qualsevol de Sen p en relacio als elements caracterstics

de la superfcie, el pla tangent i el vector normal.

Sigui : I S R3 una corba regular, parametritzada per larc, amb (0) = p.Per la definicio de la curvatura de , t =n. Descomposem aquest vector en les seves

components normal i tangencial

t =n= n, NN+ n, N tN t.

3.4.1 Definicio. Es defineixen les curvatures normal i geodesica de en p per

n = n, N,g =

n, N

t

.


33/115

3.4. Corbes sobre una superfcie 33

Observem que ambdues curvatures tenen signe, com succea per la curvatura de corbes

planes, que depen de lorientacio de la superfcie, aixo es, del vector normal N. Per la

propia definicio, es te

2 =2n+ 2g.

3.4.2 Proposicio. Si esta parametritzada per larc, aleshores

n= IIp((0)).

Demostracio. Com (s) es un vector tangent, es teN((s)), (s) = 0. Derivant,avaluant a s = 0 i usant les formules de Frenet, obtenim

dN((0)), (0) + N((0)), n(0)= 0que es el que volem provar.

Si el parametre no es larc, podem calcular la curvatura normal de en p en la forma

n= IIp

(0)

|(0)|

= IIp(

(0))

Ip((0)).

De la proposicio anterior se segueix que la curvatura normal no depen de la corba

sino nomes del vector tangent w = (0). Dit altrament:

3.4.3 Teorema de Meusnier. Dues corbes de S que passen per p i tenen el mateix

vector tangent, tenen la mateixa curvatura normal enp.

Observem que la curvatura normal en la direccio tangentwTpS es la curvatura de laseccio de S tallada pel pla p+ [w, N]. Podem interpretar aquest resultat dient que la

curvatura normal mesura la part de la curvatura de la corba produda per la curvatura

de la superfcie, mentre que, com veurem mes endavant, la curvatura geodesica mesurara

la curvatura de la corba dinsde la superfcie.

Un altre resultat classic que es deriva immediatament de la darrera proposicio es laformula dEuler.

3.4.4 Formula dEuler. Siguin k1, k2 les curvatures principals de S en p i e1, e2 les

direccions principals corresponents. Siw= cos e1+ sin e2TpS, aleshoresn(w) =k1cos

2 + k2sin2 .

Demostracio. En la base ortonormal e1, e2 laplicacio linealdN diagonalitza, ambvalors propis k1, k2, per la qual cosa

n(w) =IIp(w) =k1cos2 + k2sin

2 .


34/115


3.4.5 Corol.lari. Amb les notacions anteriors, suposem quek1(p)k2(p). Aleshores,

k1 = max {n(w)|wTpS,|w|= 1},k2 = mn {n(w)|wTpS,|w|= 1}.

Acabem la seccio analitzant dues famlies distingides de corbes sobre una superfcie:

les lnies de curvatura i les lnies asimptotiques. En tot el que segueix S R3 es unasuperfcie regular orientada i : U

S es una paramatritzacio regular positiva.

Lnies de curvatura.

3.4.6 Definicio. Direm que : IS es unalnia de curvaturasi (t) es una direccioprincipal per a tot tI.

De la definicio es despren el resultat seguent:

3.4.7 Teorema de Rodrigues. (t) es lnia de curvatura deSsi, i nomes si, existeix

una funcio diferenciable(t) tal que

N(t) =(t)(t).

Demostracio. Hem escrit N(t) per (N )(t) = dN(t)((t)). La prova resulta imme-

diatament de la definicio. Per exemple, si es lnia de curvatura, (t) es una direccio

principal per a tot tI, i existira (t) amb N(t) =(t)(t).

3.4.8 Definicio. Direm que un punt pS esumbilical si k1(p) =k2(p).

Un punt umbilical te les curvatures principals iguals i, per tant, les curvatures normals

en aquest punt son totes iguals a un cert valor k. Dit altrament, la diferencial de

laplicacio de Gauss es una homotecia, dNp = k id. Aix, si tots els punts de S sonumbilicals, totes les corbes son lnies de curvatura. Aquesta situacio nomes es dona al

pla o a les esferes, com mostrem a continuacio.

3.4.9 Proposicio. Suposem queS es connexa i que tots els punts son umbilicals. Ales-

hores, S es un troc de pla o desfera.

Demostracio. Situem-nos a lentorn coordenat . Com dN es una homotecia en tots

els punts, existeix una funcio (u, v) tal que

Nu

= u

, Nv

=v

.


35/115

3.4. Corbes sobre una superfcie 35

Derivant respecte de v i u, trobem

0 =Nuv Nvu = vu uv,

i com u, v formen base del pla tangent, trobem que u = 0 = v. Aix, si lobert

U es connex, es constant. Per la connexio de S, dedum que es constant a tota la

superfcie S.

Distingim ara dos casos, segons que = 0 o

= 0.

= 0: en aquest cas Nu = u = 0 i, analogament, Nv = 0. Aix, usant una altra

vegada la connexio, N es un vector constant i Sesta continguda en un pla ortogonal a

N.

= 0: considerem la funcio(u, v) =(u, v) 1N. Derivant i usant la connexio deSveiem que es constant, ja que

u= u 1

Nu = u 1

u= 0,

i, analogament, v = 0. Sigui q=(u, v) el punt de R3 que determina. Aleshores,S

esta continguda a lesfera de centre q i radi 1/, ja que|(u, v) q|= 1/.Per acabar amb les lnies de curvatura, estudiem lequacio diferencial que satisfan les

components (u(t), v(t)) en el sistema coordenat .

3.4.10 Equacio diferencial de les lnies de curvatura. (t) =(u(t), v(t)) es una lnia

de curvatura si, i nomes si, satisfa lequacio diferencial

(v)2 uv (u)2E F G

e f g

= 0.

Demostracio. Pel teorema de Rodrigues, es una lnia de curvatura si, i nomes si, els

vectors

dN

u

v

,

u

v

.

son linealment dependents. Recordem que la matriu de dNpot calcular-se a partir de les

matrius de la primera i segona formes fonamentals segons les equacions de Weingarten,

de manera que

dN u

v

= E F

F G 1

e f

f g u

v

,


36/115


37/115

3.5. El teorema egregi de Gauss 37

3.5 El teorema egregi de Gauss

En aquesta seccio anem a provar el celebrat teorema egregi de Gauss segons el qual

la curvatura de Gauss duna superfcie es invariant per isometries, es a dir, es una

propietat intrnseca de la superfcie. Observem que aquest fet no es immediat i que en

certa manera es sorprenent, ja que la curvatura sha definit a partir de la variacio del

vector normal i, per tant, aparentment depen de la immersio de la superfcie a lespai

R3

.La demostracio daquest resultat se seguira de lanalisi de la variacio del triedre associat

a una parametritzacio regular a lestil del que havem fet en el cas de corbes i les formules

de Frenet. Aquesta analisi la completarem en la seccio seguent, establint el teorema

fonamental de la teoria local de superfcies.

3.5.1 SiguiS R3 una superfcie orientada i: USuna parametritzacio positiva.En els punts de (U) considerarem el triedre associat,

u, v, N = u v

|u v|,

que es una base positiva de R3 en cada punt. Volem analitzar la variacio daquest triedre

en funcio dels parametres (u, v) i, per fer-ho, analitzarem les derivades corresponents

uu, uv, vv , Nu, Nv. Escrivint en termes del triedre associat, hi haura funcions kij

tals que

uu = 111u+

211v+ eN

uv = 112u+

212v+ f N

vv = 122u+

222v+ gN

Nu = a11u+ a12v,

Nv = a21u+ a22v.

A les funcions kij les anomenarem els smbols de Christoffelde la parametritzacio.

Observem que les components normals deuu, uv, vv sone, f ,g per la propia definicio

de la segona forma fonamental, i que els coeficients aij es calculen a partir de la primera

i segona formes fonamentals mitjancant les equacions de Weingarten.

3.5.2 Proposicio. Els smbols de Christoffel son intrnsecs, es a dir, es poden calcular

a partir dels coeficients de la primera forma fonamental.

Demostracio. Si multipliquem escalarment per u

, v

les equacions que defineixen els


38/115


smbols de Christoffel trobem tres sistemes lineals

111E+ 211F =

12Eu

111F+ 211G = Fu 12Ev

112E+ 212F =

12Ev

112F+ 212G =

12Gu

122

E+ 222

F = Fv

1

2Gu122F+

222G =

12Gv

tots ells amb determinant EG F2 >0, amb la qual cosa son sistemes compatibles ideterminats, es a dir, determinen els smbols kij unvocament.

3.5.3 Es clar que podem donar formules explcites, via la regla de Cramer, per resoldre

els sistemes lineals de la prova de la proposicio anterior. Ho fem en un cas especialment

senzill i que es forca util, aquell en el qual les corbes coordenades son ortogonals, es a

dir, F= 0. En aquest cas trobem

111 = 1

2

Eu

E, 211 =

1

2

Ev

G,

112 = 1

2

EvE

, 212 = 1

2

GuG

,

122 = 1

2

GuE

, 222 = 1

2

GvG

,

a11 = eE

, a21 = fG

,

a12 = fE

, a22 = gG

,

3.5.4 El teorema de Schwarz segons el qual les derivades parcials duna funci o dife-

renciable no depenen de lordre en que shagin fet aquestes derivades, imposa certes

relacions entre els smbols de Christoffel. En efecte, se satisfan les igualtats

(uu)v = (uv)u,

(vv)u = (uv)v,

(Nu)v = (Nv)u,

igualtats que anomenaremequacions de compatibilitat. Escrivint aquestes igualtats en

el triedre associat,

(uu)v (uv)u = A1u+ B1v+ C1N = 0,(vv)u (uv)v = A2u+ B2v+ C2N = 0,(Nu)v (Nv)u = A3u+ B3v+ C3N = 0,

en resulten 9 equacions, Ai = 0, Bi = 0, Ci = 0, 1 i 3. Utilitzant les defincionsi les equacions de Weingarten, es un exercici comprovar que cadascuna daquestes 9


39/115


40/115


que duu el seu nom per calcul directe. En el treball original trobem la seguent expressio

daquesta formula

4(EF F2)K = E(EvGv 2FuGv+ G2u)+F(EuGv EvGu 2EvFv+ 4FuFv 2FuGv)+G(EuGu 2EuFv+ E2v)2(EG F2)(Evv 2Fuv+ Guu),

a partir de la qual, escriu:

Formula itaque articuli praecedentis sponte perducit ad egregium

THEOREMA. Si superficies curva in quamcunque aliam superficiem explicatur,

mensura curvaturae in singulis punctis invariata manet.

3.6 El teorema fonamental de la teoria local de supefcies

Continuem lanalisi de les equacions de compatibilitat, les equacions C1 = 0 i C2 = 0son:

3.6.1 Equacions de Codazzi-Mainardi.

ev fu = e112+ f(212 111) g211,fv gu = e122+ f(222 112) g212,

Aquestes equacions admeten una expressio mes simple si les corbes coordenades son

lnies de curvatura, es a dir, si F = 0 =f:

ev =Ev

2 e

E +

gG

, gu=Gu

2 e

E +

gG

.

El seguent resultat, conegut tambe com a teorema de Bonnet, desmotra que la resta

dequacions de compatibilitat se segueixen de les tres ja establertes, la f ormula de Gauss

i les dues de Codazzi-Mainardi.

3.6.2 Teorema fonamental de la teoria de superfcies. SiguinE,F,G,e,f , gfuncions

diferenciables en un obertV R2 tals que

E >0, G >0, EG

F2 >0,


41/115

3.6. El teorema fonamental de la teoria local de supefcies 41

i tals que satisfan les equacions de Gauss i de Codazzi-Mainardi. Aleshores, per a tot

qV existeix un entornqUV i un difeomorfisme

: U(U) R3,

tal que S = (U) es una superfcie regular que te les funcions E,F,G,e,f , g com a

coeficients de la primera i segona formes fonamentals.

A mes, si U es un obert connex i : U

(U)

R3 es una altra solucio del

problema, aleshores hi ha un moviment directe deR3 que transforma(U) en(U).


42/115



43/115

4

Algunes superfcies notables

En aquest captol presentem tres famlies notables de superfcies de lespai R3: les

superfcies de revolucio, les superfcies reglades i les superfcies minimals. Algunes

daquestes superfcies ja han aparegut en captols anteriors i bona part dels calculs que

ara reproduirem es desenvolupen en les sessions de problemes de lassignatura. Els

recollim aqu per a referencia en captols posteriors.

4.1 Superfcies de revolucio

Una superfcie de revolucio es una superfcie que sobte al fer girar una corba plana

C al voltant duna recta del pla que no talla la corba. Per precisar aquesta definicio,

suposarem que el pla es el plaX Zi que leix de gir es leixOZ.

Sigui (v) una corba plana regular, sense autointerseccions i tal que : I(I) esun homeomorfisme (el que resumirem dient que es un arc de Jordan). Suposem que

no talla leix OZ:

x= r(v), z = z(v), a < v < b, r(v)> 0.

4.1.1 Definicio. La superfcie de revolucio definida per la corba en girar al voltant

de leix OZ es

S={(r(v)cos u, r(v)sin u, z(v))|a < v < b, 0u 2}.

A les corbes u= cnt les anomenarem meridians, mentre que a les v =cnt les anome-

narem parallels de S.

Ens proposem veure que una superfcie de revolucio es una superfcie regular. Per


44/115

44 Captol 4. Algunes superfcies notables

fer-ho, considerem les aplicacions

(u, v) = (r(v)cos u, r(v)sin u, z(v)), 0< u 0,

(u, v) =(u, v) =r(v) =r(v), z(v) =z(v) =v = v ,ja que la corba no te autointerseccions. Pero, aleshores, cos u= cos u, sin u= sin u

i, comu, u (0, 2), trobem que u = u.Pel que fa a la continutat de la inversa, 1, observem que si u =/2, aleshores

tgu

2 =

sin u

1 + cos u =

y

x +

x2 + y2= u= 2 arctg y

x +

x2 + y2,

mentre que a prop de u = /2 podem recuperar u en la forma

u= 2 arctg y

x +

x2 + y2.

Pel que fa av, es te (r(v), z(v)) = (x2 + y2, z) i podem recuperarv de forma contnuaja que es un arc de Jordan.(ii) Si calculem els vectors tangents a les corbes coordenades trobem

u = (r(v)sin u, r(v)cos u, 0),v = (r(v)cos u, r(v)sin u, z(v)),

i, per tant,

u v = (r(v)z(v)cos u, r(v)z(v)sin u, r(v)r(v)).Veiem que aquest vector no sanulla mai, ja que r(v) > 0 i r(v), z(v) no sanullensimultaniament perque (v) es una corba regular.


45/115

4.1. Superfcies de revolucio 45

4.1.3 Observacio. En el raonament anterior hem considerat corbes(v) = (r(v), z(v))

que son arcs de Jordan del pla. A mes, hem pogut completar el raonament perque hem

suposat que la corba no te punts en comu amb leix de gir. Podem ampliar lespectre

de corbes que defineixen superfcies de revolucio segons els dos criteris seguents:

(1) Corbes tancades de Jordan que no tallen leix de gir, com per exemple, una cir-

cumferencia situada en un dels semiplans definits per leix de gir. En aquest cas, bastara

cobrir la corba amb dos arcs de Jordan i raonar sobre les superfcies generades per ca-

dascun dels arcs. Sobte aix, per exemple, el tor quan es fa girar una circumferenciade radi r centrada al punt (a, 0) del pla, amb 0< r < a.

(2) Si la corba talla leix de gir i es simetrica respecte daquest eix, aleshores es pot

veure que la superfcie de revolucio corresponent es regular. Aix, per exemple, si fem

girar una circumferencia al voltant dun diametre, obtenim una esfera.

4.1.4 Proposicio. La primera i segona formes fonamentals de la superfcie de revolucio

S en la paramatritzacio venen donades per

I=

r2 0

0 (r)2 + (z)2 , II=

1

(r)2 + (z)2 rz 0

0 rz

rz

Demostracio. Aquestes expressions es calculen facilment a partir de les formules per

la primera i segona formes fonamentals presentades en el captol anterior, i les deixem

com exercici.

Com F = 0 =f, es dedueix:

4.1.5 Corol.lari. Els meridians i parallels duna superfcie de revolucio son lnies decurvatura de la superfcie.

4.1.6 A mes a mes, podem calcular facilment les curvatures principals, la curvatura

de Gauss i la curvatura mitjana, que en resulten:

kmeridians = g

G=

rz rz((r)2 + (z)2)3/2

,

kparallels = e

E = z

r((r)2 + (z)2)3/2,

K = z(rz rz)

r((r)2 + (z)2)2

H = r(rz zr) + z((r)2 + (z)2)

2r((r)2) + (z)2)3/2 .


46/115

46 Captol 4. Algunes superfcies notables

4.1.7 Observacions. El vector normal a la superfcie de revolucio es

N= 1

r(v)2 + z(v)2(z(v)cos u, z(v)sin u, r(v)).

(1) Observeu que al llarg dels meridians se satisfan =N i que la curvatura daquestsmeridians no es altra que la curvatura de la corba plana(v).

(2) Pel que fa als parallels, el vector normal N fa un angle constant al llarg delsparal

lels amb leix de gir, OZ.

4.1.8 Les formules anteriors se simplifiquen notablement si la corba (v) esta parame-

tritzada per larc. En aquest cas, (r)2 + (z)2 = 1 i derivant aquesta expressio veiem

que z z =rr; aix, en resulten les formules

K = r

r,

H = 1

2

z + r(zr zr)r

.

4.1.9 Exemples. (1) En el tor corresponent a r(v) =a + r cos v, z(v) =r sin v, 0< r 0, considerem la superfcie de revolucio

(u, v) = (r(v)cos u, r(v)sin u, z(v)).

Es immediat comprovar que els meridians u = u0 (parametritzats per larc) son ge-

odesiques, ja que per als meridians n =N. Pel que fa als parallels v = v0, serangeodesiques aquells per als quals el vector normal a la superfcie coincideix amb la

direccio normal a la corba, que no es altra que la del radi de revolucio. Per tant, els

parallels que son geodesiques son aquells que la tangent a la corba (v) en el punt v0es paral

lela a leix de gir.


65/115

5.2. Geodesiques 65

En particular, veiem que en un cilindre tots els parallels son geodesiques, mentre queper lesfera nomes el parallel corresponent a lequador es una geodesica o que no hi haparallels geodesics en un paraboloide de revolucio.Mes endavant analitzarem altres geodesiques de les superfcies de revolucio.

5.2.3 Proposicio. (t) es una geodesica si, i nomes si, t es un m ultiple del parametre

arc de i g = 0.

Demostracio. Suposem que es una geodesica. Pel corollari 5.1.10, el modul de (t)es constant al llarg de ,|(t)|= c. Per tant, si s es el parametre arc es te

ds

dt =

d

dt

s0

|(t)|dt= c =s = ct.

Calculem ara la derivada del vector tangent trespecte de s,

dt

ds=

d

ds

d

ds

=

d

ds

1

c

d

dt

=

1

c2d2

dt2.

Per hipotesi, es una geodesica, es a dir, d2

dt2 es ortogonal a S i, per tant, tambe ho

es dt

ds. De la definicio de curvatura geodesica se segueix doncs queg = 0.

El recproc, que es demostra de forma similar i el deixem com a exercici

Si la corba(t) no esta parametritzada per larc ic(t) =|(t)|, es un exercici demostrarque se satisfa

(t) =c(t)t + gc2(t)(N t) + (t), NN.

(Indicacio per la prova: de, = c2 se segueix que, t= c(t) i ara basta usarla forumla de la curvatura duna corba quan el parametre no es larc per veure que

t, N

= c2

g.)

Aquesta expressio dona una altra prova de la proposicio anterior, ja que perque el

component tangencial de (t) sigui zero sha de donar simultaniament que c(t) = 0

(es a dir, t es multiple del parametre arc) i g = 0.

5.2.4 Equacions de les geodesiques. En una parametritzacio regular , el camp vec-

torial (t) te components (u, v), aix, les equacions diferencials del camp parallel(t) sescriuen

u + 111(u)2 + 2112u

v + 122(v)2 = 0,

v + 211(u)2 + 2212u

v + 222(v)2 = 0,


66/115

66 Captol 5. Geodesiques

que es un sistema dequacions diferencials ordinaries dordre dos. Observem que aquest

sistema no es lineal.

Del teorema dexistencia i unicitat es dedueix:

5.2.5 Proposicio. Donat un punt p S i un vector tangent w TpS, existeix unaunica geodesica: (, )S tal que(0) =p i(0) =w.

Daltra banda, les equacions de les geodesiques depenen tant sols dels smbols de Chris-

toffel, per la qual cosa les geodesiques son intrnseques, cosa que enunciem en la forma

seguent.

5.2.6 Teorema. Siguif : S S una isometria local entre dues superfcies regularsi: IS una corba regular. Aleshores, es una geodesica deSsi, i nomes si, f es una geodesica deS.

5.2.7 Exemples. (1) Les geodesiques del pla son les rectes. Considerant la isometria

local habitual del pla al cilindre, dedum del corolari anterior que les geodesiques delcilindre son les imarges de les rectes, que no son altres que les helices circulars.

(2) Geodesiques de les superfcies de revolucio. Reprenem lexemple de les superfciesde revolucio

(u, v) = (r(v)cos u, r(v)sin u, z(v)).

Dels calculs efectuats en el captol 4, dedum que les equacions de les geodesiques son

u +2rr

r2 uv = 0,

v rr

(r)2 + (z)2(u)2 +

rr + zz

(r)2 + (z)2 = 0.

Ja hem vist que els meridians son geodesiques. Analitzem-ho ara mitjancant aquestes

equacions diferencials: fentu= cnt les equacions esdevenen

0 = 0,

v + rr + zz

(r)2 + (z)2(v)2 = 0.

La primera equacio se satisfa trivialment, mentre que la segona reflecteix que hem de

recorrer la corba amb un parametre particular, que sigui multiple del parametre arc.

En efecte, si la corba u = cnt esta parametritzada per un multiple de larc, satisfara

((r)2 + (z)2)(v)2 =cnt =

(v)2 =

1

(r

)2

+ (z

)2


67/115

5.2. Geodesiques 67

i, derivant respecte de t,

2vv =2(rr + zz)

((r)2 + (z)2)2v =2(r

r + zz)

(r)2 + (z)2 (v)3 = v = (r

r + zz)

(r)2 + (z)2,

ja que v = 0. Es a dir, satisfa tambe la segona equacio.

Si considerem ara els parallelsv = cnt, les equacions diferencials es redueixen a

u = 0,

rr

(r)2 + (z)2(u)2 = 0.

per la qual cosa, seran geodesiques aquells tals que r(v0) = 0, com es dedueix de la

segona equacio, ja que r(v0) i u no sanullen. Es a dir, aquells parallels tals que

la tangent a la corba (r(v), z(v)) sigui parallela a leix de gir, com ja havem vistanteriorment.

Analitzem ara les geodesiques en una direccio que no sigui coordenada. Observem que,

si la multipliquem per r2, la primera equacio es pot escriure en la forma

(r2u) = 0, es a dir, r2u =c,

on c es una constant. Daltra banda, si (s) es langle que forma la geodesica amb els

parallels que va tallant, 0/2, es te

cos =|u, uu+ vv|

E=|ru|,

per la qual cosa, lequacio anterior sescriu en la forma

r cos =|c| (=cnt).Aquesta relacio es coneix com a teorema de Clairaut.

El teorema de Clairaut te la seguent interpretacio mecanica: les geodesiques son les

trajectories de les partcules sobre les que no actuen altres forces que la normal, que

lobliga a mantenir-se en la superfcie. En una superfcie de revolucio, la forca normal

en un punt p esta en el pla que conte leix de gir i, per tant, el seu moment al voltant

daquest eix es zero i, en consequencia, el moment angular daquesta partcula es cons-

tant. Pero, si la partcula es mou amb velocitat constant al llarg de la geodesica, el

component de la velocitat al llarg del parallel que passa per p es cos i, per tant, elmoment angular es proporcional a r cos .


68/115


En general no es possible resoldre les equacions de les geodesiques de forma explcita.

En el cas de les superfcies de revolucio es pot demostrar que aquestes equacions es

poden resoldre per quadratures (integrals); amb el teorema de Clairaut hem vist com,

en alguns casos, podem extreure informacio geometrica de les equacions sense resoldre-

les completament.

5.2.8 En els exemples anteriors hem vist que les equacions no son independents. Per

exemple, en el cas dels meridians hem vist que una equaci o se satisfa automaticament

mentre que laltra reflecteix que el parametre es un multiple de larc. Aquest fet es

general (la prova del qual deixem com a exercici): si esta parametritzada per larc i

no es una corba coordenada, la segona equacio de les geodesiques es conseq uencia de la

primera.

5.3 Laplicacio exponencial: propietats minimals de les

geodesiques

Sigui S R3 una superfcie regular orientada i p S. Si w TpS, denotem perw : (w, w)S lunica geodesica de Stal que w(0) =p i w(0) =w. Sigui

Ep={wTpS| w(t) esta definida en t = 1}.

5.3.1 Definicio. Es defineix laplicacio exponencial deS en p segons

expp :Ep Sw w(1)

Abans destablir les propietats de lexponencial observem que reescalant la geodesica

en la direccio de w podem suposar que esta definida a t = 1. Mes concretament,

5.3.2 Lema. Si0=c R, aleshores la geodesicacw(t) esta definida en linterval

cw : (wc

,w

c )S,

i satisfa

cw(t) =w(ct).


69/115

5.3. Laplicacio exponencial: propietats minimals de les geodesiques 69

Demostracio. Considerem la corba w(t) := w(ct). Aleshores, w(0) = p i w(0) =

cw(0) =cw. A mes, es una geodesica, ja que

Dw(t)

dt =c2

Dw(t)

dt = 0.

Del teorema dexistencia i unicitat se segueix que w(t) =cw(t).

5.3.3 Observacions. (1) El lema anterior assegura que lexponencial esta definida en

totes les direccions del pla tangent, nomes cal ajustar la velocitat. A mes, en resultaqueEp es un conjunt estrellat respecte de lorigen, ja que si expp esta definida a wtambe ho estara per a tw, 0t1.(2) La geodesica per p en la direccio w sera

w(t) = expp(tw) =tw(1).

Daquesta manera es produeix una dualitat direccio tangent - geodesica: analitzar el

comportament de la geodesica respecte de t es equivalent a anlitzar el comportament

de tw(1) respecte del vector tangent tw.

(3) Es te

w(1) =w |w|

|w|

= w|w|

(|w|),

i, per tant, la longitud de la geodesicaw entre p i q= expp(w) es|w|.

5.3.4 Propietats de laplicacio exponencial. El conjuntEp i laplicacio expp satisfan:

(1)EpTpS es un entorn obert estrellat de 0.(2) Laplicacio expp :EpS es diferenciable en un entorn obert de p.(3) La diferenciald(expp)0 : TpSTpS es un isomorfisme i, per tant, expp es un

difeomorfisme local en p.

Demostracio. Les propietats (1) i (2) son consequencia del teorema de dependencia de

les solucions duna edo de les condicions inicials. En efecte, aquest resultat, aplicat al

cas de les geodesiques assegura lexistencia de , >0 i una aplicacio diferenciable

: (, ) B(0) S(t, w) w(t)

Si prenem c = /2, aleshorescw(t) =2w(t) =w(

2t) esta definida per

|t|< 2,

|w

|< .


70/115


Aix,Ep conte p a linterior i lexponencial esta definida i es diferenciable a B 2

(0).

Per demostrar (3), considerem la corba del pla tangent donada per (t) =tw. Alesho-

res,

expp((t)) = expp(tw) =w(t),

i, per tant, segons la definicio daplicacio diferencial, trobem

d(expp)0(w) = d

dtexpp (t)|t=0=

w(0) =w,

es a dir, d(expp)0= id.

5.3.5 Definicio. Anomenaremgeodesiques radials perp a la imatge de les rectes (de fet

segments de recta) tw de TpSper laplicacio exponencial expp, i cercles geodesics a la

imatge de les circumferencies de centre 0 de TpS.

Observeu que malgrat el nom, els cercles geodesics no son corbes geodesiques. Donat

>0 tal queB(0) Ep, denotarem perB(p) el disc geodesic imatge de B(0)TpSper laplicacio exponencial. Per defecte, en els raonament que segueixen, prendrem

de manera que B(0) Ep i que, per tant, la vora B(0) sigui difeomorfa a la voraB(p).

Ates que laplicacio exponencial es un difeomorfisme local al voltant de p, la podem

utilitzar per traslladar diferents sistemes de coordenades del pla tangent a la superfcie.

5.3.6 Definicio. Direm que un entorn VSde p es unentorn normal siV= expp(U)tal que expp : UV es un difeomorfisme. En un entorn normal V considerarem elssistemes de coordenades seguents:

(1) coordenades normals de S en p corresponents, via laplicacio exponencial, a un

sistema de coordenades rectangulars del pla tangent TpS.

(2) coordenades geodesiques polars corresponents, via laplicacio exponencial, a les

coordenades polars del pla tangent.

5.3.7 Aix, si e1, e2es una base ortonormal deTpSi w = ae1+be2, les coordenades nor-

mals de q= expp(w) son (a, b). Observem que els eixos de coordenades es transformen

en geodesiques de Si que en el punt p se satisfa

I(p) = 1 0

0 1 .


71/115


72/115


es a dir, F no depen de r. Aix, per provar queF= 0 basta veure que el lmit de F()

sobre una geodesica radial = cnt, quan r tendeix a zero, es zero.

Sigui q V un punt de lentorn normal V, (s) la geodesica radial que va de p a qparametritzada per larc. Sigui() el cercle geodesic que passa per q, 02; siq= p, () es la corba constant() =p. Aleshores,

F(q) =F(r, ) =

d

d,d

ds.

Mentre que F(r, ) no esta definit per a r = 0, si fixem la geodesica radial = cnt, el

segon membre de la igualtat anterior esta definit sobre tot punt daquesta geodesica,

ja que passa per p en linstant s = 0 i es constant a p. Ates que a p se satisfa

d/d= 0, en resulta

limr0

F(r, ) = limr0

d

d,d

ds

= 0.

Calculem ara el lmit a p de G: considerem el sistema rectangular de coordenades

normals

u= r cos , v= r sin .

Aleshores, es te

EG F2 =

EG F2 (u, v)

(r, ) =r

EG F2,

que, segons els calculs anteriors, es redueix a

G= r

EG F2, r= 0,

amb la qual cosa resulta

limr0

G= 0,

ates que les coordenades rectangulars tenen per primera forma fonamental en p la

matriu identitat. A mes, es te

(

G)r =

EG F2 + r

EG F2

r

= limr0

(

G)r = 1.

El fet queF = 0 es conegut com alema de Gauss, i es pot enunciar sense fer referencia

a les coordenades polars.

5.3.9 Corol.lari. Les geodesiques radials i els cercles geodesics son ortogonals.


73/115


Propietats minimals de les geodesiques

Ens proposem usar les coordenades polars geodesiques per analitzar la relacio entre les

geodesiques i les corbes de la superfcie que minimitzen la distancia entre dos punts.

Sigui S una superfcie connexa. Ates que S es arc-connexa, per a qualssevol punts

p, q S existeix una corba contnua : I S amb (0) = p, (1) = q. Engeneral, una corba contnua no te perque ser de longitud finita, per la qual cosa una

tal trajectoria pot no ser convenient per mesurar la distancia entre p i q.

5.3.10 Definicio. Direm que una corba contnua : IS es diferenciable a trossossi existeix una particio finita de lintervalI,s0= 0< s1


74/115


5.3.13 Proposicio. Sigui >0 tal queexpp : B(0)B(p)S es un difeomorfis-me. Aleshores, per a totqB(p)la geodesica radial dep aq es l unica corba minimaldeS entrep iq, (llevat de reparametritzacions).

Demostracio. Sigui w TpS, =|w| < tal que expp(w) = q i : [0, ] Sla geodesica radial parametritzada per larc que uneix p i q. Volem veure que si :

[0, ]S es una altra corba entre p i qdiferenciable a trossos, aleshores ()()i que la igualtat es dona nomes si = .

Suposem, en primer lloc, que la traca de esta continguda a B(p). Per comparar

les longituds de i anem a descomposar en una component radial i una altra

tangencial als cercles geodesics. Denotem per r el camp vectorial unitari de Tp(S)\{0}que es tangent als radis que surten de lorigen. Aleshores, el camp vectorial(s) definit

per 0< s admet una descomposicio(s) =a(s)r|(s)+ w(s),

on a(s) es una funcio diferenciable i w(s) es un camp ortogonal a r.

Pel lema de Gauss (F = 0 en coordenades polars geodesiques), el campw(s) es tangent

als cercles geodesics de B(p). Aix, si considerem la funcio

r: B(p) \ {0} R+q | exp1p (q)|

que es C, veiem que drq(w(s)) = 0, ja que r es constant sobre els cercles geodesics.

A mes, si q= expp(w), aleshores

drq(r|q) =drexpp(w)

w(1)

|w|

= 1

|w|d

ds(s|w|) = 1,

amb la qual cosa trobem que

(r

)(s) =a(s).

Sigui s0 = 0 < s1


75/115


A mes, perque es doni la igualtat sha de satisfer que w(s) = 0 i a(s) 0 per a tots, cas que correspon a = r, ja que la corba esta parametritzada per larc; pero,

aleshores, per la unicitat de les geodesiques respecte de condicions inicials, coincideix

amb la radial de p a q.

Si la traca de no esta continguda a B(p) procedim de la forma seguent: sigui t1el primer valor del parametre tal que (t1) talla el cercle geodesic B(p). Pels casos

anteriors, la radial entrep i (t1), denotem-la per, es la corba minimal entre aquests

punts continguda a B(p), pero, aleshores

()((0, t1))()(),

on en la darrera igualtat hem usat que q es interior aB(p) mentre quex esta sobre la

frontera.

5.3.14 Teorema. (1)Sigui : ISuna corba diferenciable a trossos minimal entrep iq. Aleshores, quan la paremetritzem per larc, es una geodesica i, en particular,

es diferenciable.

(2) Sigui : [a, b] S una geodesica parametritzada per larc. Aleshores, es,localment, una corba minimal; es a dir, per a totp[a, b] hi ha un entornU tal queper a qualsevolqU [a, b], es el cam mes curt entrep iq aS.

Demostracio. (1) Sigui t0 I tal que (t0) = p i > 0 tal que B(p) es un entornnormal de p. Si q es el primer punt dinterseccio de i el cercle geodesic B(p),

aleshores ha de coincidir amb la radial de p a q, ja que ambdues corbes son minimals

entre aquests dos punts, i podem aplicar la unicitat de la proposicio 5.3.13. Aixo implica

que, localment, es una geodesica, pero com la propietat de ser geodesica es local,

es una geodesica.

(2) Basta prendreB(p) un entorn geodesic, ja que aleshores, es una geodesica radial

de B(p) i saplica la proposicio.

5.3.15 Exemples. (1) El resultat anterior assegura que si hi ha una corba minimal entre

dos punts, aleshores aquesta corba es una geodesica. No estableix, pero, lexistencia de

corbes minimals entre dos punts. De fet, hi ha superfcies sobre les quals lexistencia

de corbes minimals no sempre esta assegurada. Per exemple, si consideremS= R2 \ 0,aleshores no hi ha cap corba minimal entre els punts p = (1, 0) i q = (1, 0), ja quehauria de ser un segment de recta, que no es pot completar per la falta de lorigen.

(2) La segona assercio del teorema afirma que, localment, les geodesiques minimitzen

la distancia. Globalment no podem fer cap afirmacio general ja que, per exemple, si

p, qson dos punts sobre el mateix meridia de lhemisferi nord de lesfera i es larc del


76/115


meridia que va de p a qpassant pel pol sud, aleshores es una geodesica, pero no es

una corba minimal entre p i q.

Apendix: una altra demostracio de que les corbes minimals son geodesiques

Per acabar aquesta seccio anem a donar una prova alternativa de la propietat (1) del teo-

rema 5.3.14. Aquesta demostracio, que no fa us de les coordenades polars geodesiques,

es mes proxima al calcul variacional, que es la tecnica que analitza les funcions queminimitzen certs funcionals.

5.3.16 Teorema. Sigui : [a, b]Suna corba de minimal entrep = (a)iq= (b),parametritzada per larc. Aleshores, es una geodesica.

Demostracio. Provarem queg = 0 i per a fer-ho analitzarem la variacio de les longituds

duna deformacio de la corba .

Mes concretament: suposem que hi ha un s0 [a, b] amb g(s0)= 0. Per continutat,existiran c, d tals que

a < c < s0 < d < b, g(s)= 0, s[c, d], ([c, d])(U),

on : U S es una parametritzacio regular. Pertorbem en la direccio N ten la forma seguent: prenem (s) = (sc)(ds) en linterval [c, d], que satisfa(c) =(d) = 0, (s)= 0 si s=c, d i (s)g(s)0, i considerem la famlia de corbes

t(s) =(u(s) + tu(s), v(s) + tv(s)),

on uu+ vv =(s)(N

t).

Escrivint(t, s) =t(s), considerem com a funcio de dues variables. La longitud de

t entre c i d es

(t) =

dc

s,

s

ds,

i, per tant,

(t) =

t

dc

s,

Documents

Geometria Diferencial UPC