Geometria diferencial

Geometria Diferencial: Aplicacoes do Teorema deGauss-Bonnet

Alunos: Abraao Mendes/Soraya Bianca

Profa.: Dra Ines Padilha

16 de Janeiro de 2014

Alunos: Abraao Mendes/Soraya Bianca Geometria Diferencial: Aplicacoes do Teorema de Gauss-Bonnet

Teorema de Gauss-Bonnet Local

Seja x : U → S uma parametrizacao ortogonal (isto e, F = 0), deuma superfıcie orientada S , onde U ⊂ R2 e homeomorfo a umdisco aberto e x e compatıvel com a orientacao de S . SejaR ⊂ x(U) uma regiao simples de S e seja α : I → S tal que∂R = α(I ). Suponha que α e orientada positivamente,paramertizada pelo comprimento de arco s, e sejam α(s0), ..., α(sk)e θ0, ..., θk , respectivamente, os vertices e os angulos externos deα. Entao

k∑i=0

∫ si+1

si

kg (s)ds +

∫R

Kdσ +k∑

i=0

θi = 2π

onde kg (s) e a curvatura geodesica dos arcos regulares de α e K ea curvatura Gaussiana de S .


Proposicao 4

Seja S ⊂ R3 uma superfıcie compacta e conexa; entao um dosvalores 2, 0,−2, ...,−2n, ... e assumido pela caracterıstica deEuler-Poincare X (S). Alem disto, se S∗ ⊂ R3 e uma outrasuperfıcie compacta e conexa e X (S) = X (S∗), entao S ehomeomorfa a S∗.


Teorema de Gauss-Bonnet Global

Seja R ⊂ S uma regiao regular de uma superfıcie orientada e sejamC1, ...,Cn as curvas fechadas, simples e regulares por partes queformam a fronteira ∂R de R. Suponha que cada Ci e orientadapositivamente e sejam θ1, ..., θp o conjunto dos angulos externosdas curvas C1, ...,Cn. Entao

n∑i=1

∫ci

kg (s)ds +

∫R

Kdσ +

p∑l=1

θl = 2πX (R)

onde s denota o comprimento de arco de Ci , e a integral sobre Ci

significa a soma das intergrais em todos os arcos regulares de Ci .


Corolario 1.

Se R e uma regiao simples de S , entao

k∑i=0

∫ si+1

si

kg (s)ds +

∫R

Kdσ +k∑

i=0

θi = 2π


Corolario 2.

Seja S uma superfıcie compacta e orintavel; entao

∫S

Kdσ = 2πX (S)


Teorema da Curva de Jordan

Seja C ⊂ R2 uma curva fechada, simples e regular por partes.Entao R2 − C tem duas componentes conexas, uma limitada D eoutra ilimitada A, tais que ∂D = ∂A = C . Alem disso, D ehomeomorfo a um disco, isto e, C e o bordo de uma regiao simples.


Aplicacoes do Teorema da Gauss-Bonnet

1. Uma superfıcie compacta com curvatura positiva e homeomorfaa uma esfera.



2. Seja S uma superfıcie orientavel com curvatura Gaussiananao-positiva (i.e. K ≤ 0). Entao duas geodesicas γ1 e γ2 quepartem de um ponto p ∈ S nao podem se encontrar novamente emum ponto q ∈ S de tal forma que os tracos de γ1 e γ2 constituama fronteira de uma regiao simples R de S .




3. Seja S uma superfıcie homeomorfa a um cilindro com curvaturaGaussiana K < 0. Entao S tem no maximo uma geodesica fechadasimples.



Afirmacao: Γ ∩ Γ = �.1. Γ e Γ nao podem se intersectar em apenas um ponto.


2. Suponhamos que ϕ(Γ) ∩ ϕ(Γ) 6= �.


3. Suponhamos que existam duas geodesicas fechadas e simples Γe Γ em S que nao se intersectam.



4. Se existem duas geodesicas fechadas e simples Γ1 e Γ2 numasuperfıcie S compacta, conexa e com curvatura gaussiana K > 0,entao Γ1 e Γ2 se intersectam.

Teorema da curva de Jordan na esfera

Seja C ⊂ S2 uma curva fechada, simples e regular por partes.Entao S2 − C tem duas componentes conexas D1 e D2 limitadashomeomorfas a um disco, tais que ∂D1 = ∂D2 = C .



Teorema de Jacobi

5. Seja α : [0, l ]→ S uma curva parametrizada regular fechada(i.e. α(0) = α(l) e α(i)(0) = α(i)(l) para i = 1, ..., n, ...) comcurvatura diferente de zero em todos os pontos. Suponha que acurva descrita pelo vetor normal a curva η : I → S2 e simples.Entao η(I ) divide S2 em duas regioes com areas iguais.


Aplicacoes do Teorema de Gauss-Bonnet

6. Seja T um triangulo geodesico (i.e. os lados de T saogeodesicas) em uma superfıcie orientada S . Sejam θ1, θ2, θ3 osangulos externos de T e ϕi , i = 1, 2, 3, os angulos internos.Entao a soma dos angulos internos

∑3i=1 ϕi de um triangulo

geodesico e:

1. Igual a π se K = 0;

2. Maior que π se K > 0;

3. Menor que π se K < 0.


7.Seja v um campo diferenciavel de vetores em uma superfıcieorientada S . Dizemos que p ∈ S e um ponto singular de v sev(p) = 0.O ponto singular e dito isolado se existe uma vizinhanca V de pem S tal que v nao tem pontos singulares em V alem de p.A cada ponto singular isolado p de um campo de vetores v vamosassociar um numero inteiro, o ındice de v em p, da seguintemaneira:


Seja X : U → X (U) ⊂ S uma parametrizacao ortogonal emX (u0, v0), (u0, v0) ∈ U, compatıvel com a orientacao de S , tal quev(p) 6= 0 para todo p ∈ X (U)− {p}, e seja α : [0, l ]→ S umacurva parametrizada simples, fechada, regular por partes eorientada positivamente tal que α([0, l ]) ⊂ X (U) e a fronteira deuma regiao simples R contendo p em seu interior.


Seja v(t) = v(α(t)), t ∈ [0, l ], a restricao de v ao longo de α, eseja ϕ : [0, l ]→ R3 uma parametrizacao diferenciavel por partes doangulo positivo de Xu a v(t), isto e,

v(t)

‖v(t)‖= cosϕ(t).

Xu

‖Xu‖(β(t)) + senϕ(t).

Xv

‖Xv‖(β(t))

onde α(t) = X (β(t)).


Como α e fechada (α(l) = α(0)) existe um inteiro I definido por

2π.I = ϕ(l)− ϕ(0) =∫ l

0 ϕ′dt

O inteiro I e chamado de ındice de v em p.Exemplo: Vamos calcular o ındice do seguinte campo de vetoresno plano que tem (0, 0) como ponto singular. As curvas queaparecem no desenho sao as trajetorias dos campos de vetores.(1) w(x , y) = (−x ,−y).



Bibliografia

1. DO CARMO, Manfredo Perdigao, Geometria Diferencial dasCurvas e Superfıcies, Colecao Textos Universitarios, SociedadeBrasileira de Matematica, 2008.


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