AVANCE DE CONCEPTOS GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Índice

1. Introducción a las curvas en E3 2

1.1. Definición matemática de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Cambio de parámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Longitud de una curva y parámetro longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. Secantes y tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Plano normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6. Vector curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.7. Plano osculador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.8. Triedro intrínseco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.9. Fórmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Introducción a las superficies en E3 7

2.1. Definición matemática de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Superficies Regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Superficies Regladas desarrollables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.2. Caracterización matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.3. Arista o Borde de retroceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.4. Clasificación de las regladas desarrollables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4. Superficies Regladas alabeadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.2. Caracterización matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.3. Línea de estricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

A. Longitud de una curva 9

B. Radio de curvatura 9

C. Radio de torsión 9

D. Caracterización de las superficies regladas desarrollables 10

E. Puntos singulares de la parametrización en una reglada desarrollable 10

F. Caracterización de las superficies regladas alabeadas 11

1

2

1. Introducción a las curvas en E3

1.1. Definición matemática de curva

Sea I un intervalo de la recta real y sea una función continua de la forma:

x : I → R3

u 7→ x(u) = ⌊x(u) y(u) z(u)⌋

Sea E3 el espacio afín-euclídeo asociado al espacio vectorial R

3 con la métrica euclídea. Se llamacurva al lugar geométrico del espacio anterior definido por:

C = O + x(u) ∈ E3 | u ∈ I

Se llama representación paramétrica o parametrización de una curva al par (x, I) y a la variableindependiente de la función se la denomina parámetro de la curva. También existen otros tipos derepresentaciones de una curva, que no se consideran en esta introducción.

1.2. Cambio de parámetro

Se llama cambio de parámetro al homeomorfismo (función continua, biyectiva y con inversa con-tinua) definido entre dos intervalos I y J de la recta real:

φ : J → Iv 7→ u = φ(v)

El resultado de un cambio de parámetro es la transformación de la parametrización (x, I) en la(y, J), donde se tiene que:

y = x φ ⇔ y(v) = x(φ(v))

1.3. Longitud de una curva y parámetro longitud de arco

poligonal inscrita

O

x1

y1

z1

P

Q u

u0

u1

x(u)

x′(u)

s

Se dice que una curva es rectificable cuando el conjuntode las longitudes de la poligonales inscritas en la mismaestá acotado y se define longitud de una curva como el su-premo de dicho conjunto.

Se demuestra que cuando la curva es de clase C1 lalongitud de la misma viene dada por (su demostración sepropone al lector como ejercicio y se recoge en el apéndi-ce)1:

L =

∫ u1

u0

| x′(t)| dt =

∫ u1

u0

√

x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt

Si se toma como origen de arcos un punto cualquieradel intervalo (por ejemplo, el extremo derecho) se puededefinir un cambio de parámetro de la siguiente forma:

s : I → [0, L]u 7→ s(u) =

∫ u

u0

| x′(t)| dt

Este parámetro, llamado longitud de arco s, es especial y se puede tomar como coordenada cur-vilínea intrínseca de la curva.

1Las derivadas con respecto a un parámetro cualquiera se representan en Geometría Diferencial con una “prima”

3

1.4. Secantes y tangente

Sea P el punto de la curva correspondiente al valor del parámetro u0; la recta que lo une con otrodistinto Q de la misma, de parámetro u, se denomina recta secante s. Un vector de la dirección dela secante es:

S(u) =x(u) − x(u0)

u − u0

Cuando hacemos tender el punto Q a P , la recta secante tiende a una posición límite que se denominarecta tangente t a la curva en P . Por lo tanto, el vector tangente en P es:

T = lımu→u0

S(u) = lımu→u0

x(u) − x(u0)

u − u0

= x′(u0)

Se define el versor tangente (vector tangente unitario) como:

~t =x′(u)

|x′(u)|

Si el parámetro de la curva es la longitud de arco se cumple2:

˙x =dx

ds=

dx

du

du

ds= x′(u)

1

|x′(u)|= ~t

1.5. Plano normal

Se llama plano normal a la curva en P al plano ortogonal al vector tangente a la curva en dichopunto. Su representación implícita es:

πN : T (u0) · (x − x(u0)) = 0

1.6. Vector curvatura

Se define en Geometría Diferencial el vector curvatura como el vector derivada segunda de laparametrización con respecto al parámetro longitud de arco dos veces y curvatura como el módulo dedicho vector. Radio de curvatura es el inverso de la curvatura y equivale a la derivada del parámetrolongitud de arco respecto al ángulo ϕ que forman dos tangentes muy próximas (véase apéndice).

k = ¨x = ~t k = |¨x| R = k−1 =ds

dϕ

Para desentrañar la naturaleza del citado vector hacemos lo siguiente:

~t · ~t = 1d

ds→ ~t · ~t = 0 = ~t · ¨x ⇒ ~t = ˙x ⊥ ¨x

Luego el vector curvatura es perpendicular al vector tangente y, por lo tanto, está contenido en elplano normal a la curva en dicho punto.

2Cuando las derivadas se hacen con respecto al parámetro longitud de arco es costumbre representarlas cambiando

la “prima” por un punto encima.

4

Se denomina recta normal principal n a la recta que pasa por un punto de la curva y tiene ladirección del vector curvatura y se llama versor normal principal al vector:

~n =¨x

|¨x|

Con ello resulta:

k = ¨x = k~n

Demostramos que dicho vector apunta siempre en sentido de la concavidad de la curva en los puntosdonde no se anula la curvatura. Desarrollando en serie de Taylor y reteniendo los tres primerostérminos se tiene:

x(s) = x(s0) + (s − s0)~t(s0)︸ ︷︷ ︸

recta tangente en s=s0

+1

2(s − s0)

2k(s0)~n(s0)︸ ︷︷ ︸

desviación de la curva

+ . . .

el tercer término representa la desviación de la curva respecto de la tangente en las proximidades deP (s0); como (s − s0)

2/2 es positivo el vector k~n apunta hacia la parte cóncava de la curva.

1.7. Plano osculador

Se llama plano osculador a la curva en el punto P al plano que definen las rectas tangente ynormal a la curva en P . Demostramos que es el plano que tiene un contacto de segundo orden conla curva. La ecuación implícita de un plano genérico que pasa por P (u0) por la siguiente ecuación:

π : a ·(x − x(u0)

)= 0 (a arbitrario)

y definamos la función siguiente:

F (x) = a ·(x − x(u0)

)

A partir de la parametrización de la curva construyamos una nueva función:

Γ = F x(u) : I → R

u 7→ F (x(u)) = a · (x(u) − x(u0))

Para que tenga un contacto de orden dos con el plano en un punto debe satisfacer las siguientestres condiciones:

dkΓ

duk(u0) = 0 (k = 0, 1, 2)

Contacto de orden 0:

Γ(u0) = 0 (es obvio que pasa por el punto)

Contacto de orden 1:

dΓ

du(u0) = a · x′ = 0 ⇒ a ⊥ ~t

Contacto de orden 2:

d2Γ

du2(u0) = a · x′′ = 0 ⇒ a ⊥ x′′

5

Solo falta por ver ahora la dirección del vector derivada segunda respecto a cualquier parámetro:

x′′ =d

du(ds

du~t) =

d2s

du2~t + (

ds

du)2k~n

Como este vector es linealmente independiente del vector tangente siempre que no estemos en unpunto de inflexión (curvatura nula) los vectores derivada primera y segunda respecto a un parámetrocualquiera definen un plano, el plano osculador. La recta perpendicular al plano osculador (cuyadirección es la del vector a) se denomina recta binormal b y se define el versor binormal como:

~b = ~t × ~n

El plano que definen los versores ~t y ~b se denomina plano rectificante.

1.8. Triedro intrínseco

O

x

y

z

x(u)

P~t

~n~b

t

nb

πN

πO

πR

Se denomina triedro intrínseco de una curva en un pun-to al formado por los versores tangente, normal principal ybinormal en dicho punto P ;~t, ~n,~b. A medida que vamosdescribiendo la curva estos versores irán variando y, por lotanto, también el triedro intrínseco.

1.9. Fórmulas de Frenet

Se llaman fórmulas de Frenet a las derivadas de los ver-sores del triedro intrínseco con respecto al parámetro lon-gitud de arco. La primera ya se ha deducido:

~t = k~n

Para el versor binormal se tiene:

~b ·~b = 1d

ds→ ~b ·~b = 0 ⇒ ~b ⊥ ~b

~b = ~t × ~n + ~t × ~n = ~t × ~n ⇒ ~b ⊥ ~t

Esto implica que:

~b ∝ ~n

Es costumbre en Geometría Diferencial escribirla de la siguiente forma:

~b = −τ~n

recibiendo la variable de proporcionalidad τ el nombre de torsión de la curva y su inversa radio de torsión,que equivale a la derivada del parámetro longitud de arco con respecto al ángulo θ que forman dosbinormales muy próximas (véase apéndice):

T = τ−1 =ds

dθ

Para el versor normal se tiene:

~n · ~n = 1d

ds→ ~n · ~n = 0 ⇒ ~n ⊥ ~n

~n · ~t = 0 ⇒ ~n · ~t = −~t · ~n = −κ

~n ·~b = 0 ⇒ ~n ·~b = −~b · ~n = τ

De donde se desprende que:

6

~n = −κ~t + τ~b

Resumiendo (en forma matricial):

d

ds

(

~t~n~b

)=

0 κ 0−κ 0 τ0 −τ 0

~t~n~b

7

2. Introducción a las superficies en E3

2.1. Definición matemática de superficie

Sea Ω un conjunto conexo de R2 y sea una función continua de la forma:

x : Ω → R3

u,v 7→ x(u, v) = ⌊x(u, v) y(u, v) z(u, v)⌋

Sea E3 el espacio afín-euclídeo asociado al espacio vectorial R

3 con la métrica euclídea. Se llamasuperficie al lugar geométrico del espacio anterior definido por:

S = O + x(u, v) ∈ E3 | (u, v) ∈ Ω

Se llama representación paramétrica o parametrización de una superficie al par (x, Ω) y a lasvariables independientes de la función se las denomina parámetros de la superficie. También existenotros tipos de representaciones de una superficie, que no se consideran en esta introducción.

2.2. Superficies Regladas

Se dice que una superficie es reglada si por cada punto de la misma pasa al menos una rectaenteramente contenida en ella.

Si en cada punto hay al menos una reglante se denomina simplemente reglada; por ejemplo, elhelicoide. Si en cada punto hay al menos dos reglantes distintas se denomina doblemente reglada; porejemplo, el hiperboloide reglado.

Ecuación de una reglada genérica:

x(u, v) = y(u) + v~ı (u)

y(u) ∈ C1(R, R3) curva directriz

~ı (u) ∈ C1(R, R3)versor director

(curva de la esfera de radio unidad)

A las curvas coordenadas u = cte, que en este caso son rectas o reglantes, se les denominageneratrices.

Vector normal:

N = xu ∧ xv = y ′(u) ∧~ı (u) + vı ′(u) ∧~ı (u)

2.3. Superficies Regladas desarrollables

2.3.1. Definición

Se dice que una superficie reglada es desarrollable todos los puntos de una generatriz compartenla misma dirección normal. Esta definición es equivalente a que su curvatura gaussiana sea nula encada punto.

2.3.2. Caracterización matemática

Para que la dirección del vector normal sea independiente de v se necesita que:

y ′(u) ∧~ı (u) ‖ ı ′(u) ∧~ı (u), ∀u ⇒ y ′(u),~ı (u),~ı ′(u) sean vectores coplanarios ⇔

⇔ linealmente dependientes: [y ′(u),~ı (u),~ı ′(u)] = 0, ∀u

8

2.3.3. Arista o Borde de retroceso

Es el lugar geométrico de los puntos de una superficie reglada desarrollable donde la parametri-zación no es regular. Se demuestra que es una curva de la misma cuya ecuación es:

z(u) = y(u) −y ′(u) · ı ′(u)

ı ′(u) · ı ′(u)~ı (u)

Se demuestra que es una curva que en cada punto es tangente a una de las reglantes de la superficie.

2.3.4. Clasificación de las regladas desarrollables

ı ′(u) ≡ 0, cilindro

z ′(u) ≡ 0, cono

z ′(u) 6≡ 0, desarrollable tangencial

2.4. Superficies Regladas alabeadas

2.4.1. Definición

Se dice que una superficie reglada es alabeada si la dirección normal va cambiando a lo largo de unamisma generatriz. Se define una correspondencia dentro de cada generatriz (u = u0) entre cada punto(v) y su plano tangente (N(u0, v)) (haz de planos que pasan por la generatriz). Se comprueba quelos planos límites por los dos extremos de una generatriz coinciden. Se denomina plano asintótico alplano tangente en los puntos del infinito de la generatriz. Se denomina plano central al perpendicularal plano asintótico. Al punto correspondiente al plano central se le denomina punto central. Unpunto central también se caracteriza por ser el límite de la perpendicular común a dos generatricesinfinitamente próximas.

2.4.2. Caracterización matemática

Se llama parámetro de distribución de una superficie reglada alabeada a la función:

p(u) = [y ′(u),~ı (u),~ı ′(u)]

2.4.3. Línea de estricción

Es el lugar geométrico de los puntos centrales de una superficie reglada alabeada. Su ecuación es:

w(u) = y(u) −y ′(u) · ı ′(u)

ı ′(u) · ı ′(u)~ı (u)

9

Teoremas obviados en primera lectura

A. Longitud de una curva

O

x1

y1

z1

PQ

uu0

u1x(u)x(u + du)

s dsLa longitud de una curva rectificable de clase C1 se

calcula mediante la fórmula:

L =

∫ u1

u0

| x′(ξ)| dξ =

∫ u1

u0

√

x′(ξ)2 + y′(ξ)2 + z′(ξ)2dξ

Demostración:

x(u + du) = x(u) + x′(u)du + . . .

ds = |x(u + du) − x(u)| ≈ |x′(u)|du

L =

∫

ds ⇒ L =∫ u1

u0

|x′(ξ)|dξ

B. Radio de curvatura

O

x1

y1

z1

PQ

uu0 u1x(u)

s ds

dϕ~t(s)

~t(s)

~t(s + ds)

~t(s + ds)

El radio de curvatura equivale a la derivada del parámetro longitud de arco respecto al ángulo ϕque forman dos tangentes muy próximas

Demostración:

dϕ ≈ sin(dϕ) =|~t(s + ds) ∧ ~t(s)|

|~t(s + ds)||~t(s)|=

= | k(s) ∧ ~t(s)| ds =

= k(s)|~n(s) ∧ ~t(s)| ds = k(s)ds ⇒

k(s) =dϕ

ds⇒ ρ = k−1 = ds

dϕ

C. Radio de torsión

O

x1

y1

z1

PQ

uu0 u1x(u)

s ds

dθ

~b(s)

~b(s)

~b(s + ds)

~b(s + ds)

El radio de torsión equivale a la derivada del parámetro longitud de arco respecto al ángulo θ que

forman dos binormales muy próximas

Demostración:

dθ ≈ sin(dθ) =|~b(s + ds) ∧~b(s)|

|~b(s + ds)||~b(s)|=

= |~b(s) ∧~b(s) ds| =

= | − τ(s)~n(s) ∧~b(s)| ds =

= τ(s)|~t(s)| ds = τ(s) ds ⇒

τ(s) =dθ

ds⇒ T = τ−1 = ds

dθ

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D. Caracterización de las superficies regladas desarrollables

Representación paramétrica de una superficie reglada y vectores tangentes a la curvas coordena-das:

x(u, v) = y (u) + v~ı (u)

xu(u, v) = y ′(u) + vı ′(u)

xv(u, v) = ~ı (u)

El vector normal será:

N = xu ∧ xv = y ′(u) ∧~ı (u) + vı ′(u) ∧~ı (u)

Si la dirección del vector normal no cambia a lo largo de una reglante es porque no depende delparámetro v, por lo que se cumplirá que:

N ∧ Nv = 0 = (y ′ ∧~ı + vı ′ ∧~ı) ∧ (~ı ∧ ı ′) = (y ′ ∧~ı) ∧ (~ı ∧ ı ′) = ı ′ · (y ′ ∧~ı)

Lo que es equivalente a:

det(y ′,~ı, ı ′) = [y ′, ~ı, ı ′] = 0

La interpretación geométrica es la siguiente: si la dirección de la normal no depende del parámetrov es porque los vectores y ′(u) ∧~ı (u) y ı ′(u) ∧~ı (u) son paralelos, lo que implica que y ′, ~ı, ı ′ debenser coplanarios.

E. Puntos singulares de la parametrización en una regladadesarrollable

Si la superficie es desarrollable se puede considerar que:

∃λ(u), µ(u) ∈ C0 : y ′(u) = λ(u)~ı (u) + µ(u)ı ′(u) (1)

λ(u) = y ′(u) ·~ı (u) (2)

µ(u) =y ′(u) · ı ′(u)

ı ′(u) · ı ′(u)(3)

La parametrización no es regular donde no está definido el plano tangente. Esto es equivalentea que el vector normal sea nulo. Busquemos un punto de la reglante (caracterizado por el valor delparámetro v = v∗) donde el vector normal sea nulo:

0 = N(u, v∗) = xu(u, v∗) ∧ xv(u, v∗) = y ′(u) ∧~ı (u) + v∗ı ′(u) ∧~ı (u)(1)=

= µ(u)(ı ′(u) ∧~ı (u)) + v∗ı ′(u) ∧~ı (u)(3)=

( y ′(u) · ı ′(u)

ı ′(u) · ı ′(u)+ v∗(u)

)

(ı ′(u) ∧~ı (u))

ı ′(u) ∧~ı (u) = 0, ∀u ⇒ ı ′(u) = 0 ⇒ Cilindro

ı ′(u) ∧~ı (u) 6= 0, ⇒ v∗ = −y ′(u) · ı ′(u)

ı ′(u) · ı ′(u)

La curva de una superficie reglada desarrollable formada por los puntos donde la parametrizaciónno es regular se denomina borde u arista de retroceso y está dada por la parametrización:

z(u) = x(u, v∗(u)) = y(u) −y ′(u) · ı ′(u)

ı ′(u) · ı ′(u)~ı (u)

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Demostremos que la tangente en cualquiera de sus puntos coincide con una reglante:

y ′(u) · ı ′(u)(1)= µ(u) ı ′(u) · ı ′(u) ⇒ z(u) = y(u) − µ(u)~ı (u)

z ′(u) = y ′(u) − µ(u) ı ′(u) − µ ′(u)~ı (u) =(1)= λ(u)~ı (u) +

µ(u)ı ′(u) −

µ(u) ı ′(u) − µ ′(u)~ı (u) =

=(λ(u) − µ ′(u)

)~ı (u)

λ(u) = µ ′(u) ⇒ z ′(u) = 0 ⇒ z (u) = z0 ⇒ x(u, v) = z0 + v~ı (u) (Cono de vértice z0)

λ(u) 6= µ ′(u) ⇒ z ′(u) ∧~ı (u) = 0 ⇒ la tangente a la curva coincide con una reglante ⇔

⇔ la S.R.D. es la desarrollable tangencial de la arista de retroceso z (u)

Otra forma alternativa: La parametrización no es regular en los puntos donde se anule el Jacobianode la aplicación x ∈ C1(Ω ⊂ R2, R3).

0 = J(u, v∗) =

∣∣∣∣

xu(u, v∗) · xu(u, v∗) xu(u, v∗) · xv(u, v∗)xu(u, v∗) · xv(u, v∗) xv(u, v∗) · xv(u, v∗)

∣∣∣∣=

= (ı ′ · ı ′)(v∗)2 + 2(y ′ · ı ′)v∗ + [(y ′ · y ′) − (y ′ ·~ı)2] ⇒

⇒ v∗(u) =−y ′ · ı ′ ±

((

((

((

((

((

((

((

((

((

((

√

(y ′ · ı ′)2 − ı ′ · ı ′[(y ′ · y ′) − (y ′ ·~ı)2]

ı ′ · ı ′(NOTA)

= −y ′ · ı ′

ı ′ · ı ′

NOTA: Teniendo en cuenta que la superficie reglada es desarrollable, los vectores y ′,~ı, ı ′ deben ser coplanarios. Además ~ı ⊥ ı ′.Por el teorema de Pitágoras:

y′

· y′ = (y ′

·~ı)2 +(y ′

· ı ′)2

ı ′ · ı ′

F. Caracterización de las superficies regladas alabeadas

Plano asintótico es el plano tangente a la superficie alabeada en los puntos del infinito de lareglante.

N±∞ = lımv→±∞

N

|v|= lım

v→±∞

( y ′ ∧~ı

|v|+ sign(v)ı ′ ∧~ı

)

= ± ı ′ ∧~ı

Los planos asintóticos de ambos extremos están girados un ángulo π y como comparten la generatriz,coinciden geométricamente.

Punto central es aquel punto de la reglante en el que su plano tangente es perpendicular al planoasintótico. Busquemos el punto central dado por el valor del parámetro v = v∗ correspondiente a unareglante genérica de parámetro u:

N(u, v∗) · (ı ′(u) ∧~ı (u)) = 0 = (y ′ ∧~ı) · (ı ′ ∧~ı) + v∗(ı ′ ∧~ı) · (ı ′ ∧~ı) =

= y ′ · ı ′ + v∗(ı ′ · ı ′) ⇒

⇒ v∗ = −y ′ · ı ′

ı ′ · ı ′

La linea de estricción de una superficie reglada alabeada es la curva que forman los puntoscentrales, cuya ecuación paramétrica será:

w(u) = x(u, v∗(u)) = y(u) −ı ′(u) · y ′(u)

ı ′(u) · ı ′(u)~ı (u)