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Geometría del plano
1. Puntos, rectas, ángulos1.1. Rectas, semirrectas, segmentos1.2. Ángulos1.3. Dibujando puntos y rectas
2. Polígonos2.1. Triángulos2.2. Cuadriláteros2.3. Polígonos regulares
3. Medidas en el plano3.1. Unidades de superficie3.2. Áreas y perímetros
4. La circunferencia y el círculo4.1. Longitud de la circunferencia y área del círculo
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1.1. Rectas, semirrectas, segmentos
Volvamos a nuestro plano virtual, ahora haciendo "clic" con el ratón en un lugar cualquiera de lahoja se dibujará un punto.
Marca un punto en la hoja, a continuación dóblala desde la esquina que desees, de manera quela doblez pase por ese punto que has marcado, ¿cuántas rectas puedes dibujar de esta manera?,comprueba que todas las que quieras. . Por un punto del plano pasan infinitas rectas
Marca dos puntos en la hoja y dóblala de forma que la doblez pase por los dos puntos que hasmarcado, ¿cuántas rectas puedes dibujar ahora?, sólo una. Por dos puntos del plano pasa unarecta y solo una.
Dos puntos A y B determinan una que esrectailimitada.
Un punto C de una recta determina dos , que son ilimitadas.semirrectas
Dos puntos P y Q de una recta determinan un de y . El segmento essegmento extremos P Q
limitado, se puede medir su longitud.
1. Puntos, rectas, ángulos
El plano, puntos y rectas
A nuestro alrededor nos encontramos a menudo con superficies "planas": el tablero de una mesa,una pared, el suelo, la pantalla del ordenador... Imagina una hoja de papel que se extendiera entodas las direcciones hasta el infinito y tan fina que se pudiera considerar 0 su grosor, ésta es larepresentación de un .plano
Y en el plano dos elementos fundamentales: el y la .punto recta
El no tiene longitud ni anchura.punto
La tiene longitud pero no anchura.recta
A continuación se ha simulado una hoja de papel, (puedes hacerlo con una de verdad), que seránuestro plano. Arrastrando el punto rojo con el ratón, se puede doblar y desdoblar, y al pulsarsobre el botón "doblar" se marcará la doblez.
Adaptación de una escena de Consolación Ruiz Gil para Descartes
Dobla la hoja por la esquina que desees, pulsa "doblar", la marca que queda al desdoblarla es larepresentación de una recta que al igual que el plano no tiene límites. Dóblala de nuevo por unsitio diferente, el lugar donde se cortan las dos dobleces es la representación de un punto.
Una recta divide al plano en dos partes, cada una de esas regiones es un .semiplano
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Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Si trazamos dos rectas en un plano puede ocurrirque se corten o que no lleguen a tocarse nunca. Sise cortan diremos que son y no sesecantescortan son .paralelas
Dos rectas son si no se cortan enparalelasningún punto.
Dos rectas son si se cortan en unsecantespunto.
Observa que dos rectas si se cortan sólo puedenhacerlo en un punto ya que si tuviesen dos puntosen común serían , es decir la mismacoincidentesrecta.
Fotografía de J.M. Sorando Muzás enMatemáticas en tu mundo
Dos rectas secantes dividen al plano en cuatro regiones, si estas cuatro regiones tienen la mismaamplitud se dice que las rectas son .perpendiculares
Dos rectas son si dividen al plano en cuatro regiones de igual amplitud. perpendiculares
PARALELAS OBLICUAS PERPENDICULARES
No se cortan Se cortan en un punto
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Relaciones entre ángulos
Dos ángulos son consecutivoscuando tienen el vértice y un ladocomún, y uno no está contenidoen el otro.
Dos ángulos son siadyacentesson consecutivos y además loslados no comunes están sobre lamisma recta.
Dos ángulos consecutivos son si entre los doscomplementarios
forman un ángulo recto y si entre los dossuplementarios
forman un ángulo llano.
Fíjate ahora en este par de rectas paralelas, al cortarlas por otra recta se forman ocho ángulosconvexos que podemos emparejar.
Las parejas 1 y 3, 2 y 4, 5 y 7, 6 y 8, sonángulos .opuestos por el vértice
Las parejas 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8 sonángulos . correspondientes
Las parejas 4 y 6, 3 y 5 son ángulos .alternos internos
Las parejas 2 y 8, 1 y 7 son ángulos .alternos externos
En cada una de estas parejas los dos ángulosson iguales.
En la escena puedes mover los puntos,arrastrándolos con el ratón, y comprobarlo con
distintos ángulos.
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El sistema sexagesimal
Los submúltiplos del grado son el , (Ž), y el , (ŽŽ). Cada grado tiene 60 minutos yminuto segundocada minuto tiene 60 segundos.
Para pasar de una unidad a otra de orden inferior se multiplica por 60, y para pasar a una de ordensuperior se divide por 60.
EJEMPLOS: 12º = 12·60 = 720Ž= 720·60 = 43200ŽŽ 1440ŽŽ = 1440 : 60 = 240Ž=240 : 60 = 4º
La medida de un ángulo puede darse usando una sóla unidad, 23,495º, o de forma "compleja",esto es empleando dos o las tres unidades, como por ejemplo 23º 29Ž 42ŽŽ. Para pasar de unaforma a la otra se hace de la forma siguiente:
De compleja a incompleja
Se pasan los grados, minutos o segundos ala unidad elegida y se suman losresultados.
23º 29Ž 42ŽŽ = 82800ŽŽ + 1740ŽŽ + 42ŽŽ =84582ŽŽ23º = 23·60·60 = 82800ŽŽ 29Ž = 29·60 = 1740ŽŽ
23º 29Ž 42ŽŽ = 23,495º 42ŽŽ: 60 = 0,7Ž
29,7Ž: 60 = 0,495ºDe incompleja a compleja
Si son minutos o segundos se dividen para60, el cociente entero son las unidades deorden superior y el resto las unidades departida.Si se trata de un número con decimales, semultiplica la parte decimal por 60 paracalcular las unidades de orden inferior.
84582ŽŽ = 23º 29Ž 42ŽŽ84582 : 60 = 1409Ž = 42ŽŽRESTO
1409 : 60 = 23º = 29Ž RESTO
23,495º = 23º 29Ž 42ŽŽ 0,495º = 0,495 · 60 = 29,7Ž
0,7Ž=0,7 · 60 = 42ŽŽ
Medida de ángulos
Igual que para medir longitudes utilizamos el metro, y para medir capacidades el litro, para medirángulos utilizaremos un ángulo como unidad de medida. La unidad principal (no es la única) demedida de ángulos es el .grado sexagesimal
Un es el ángulo que resulta de dividir un ángulo recto en grado sexagesimal 90partes iguales. Se representa .1º
Así un mide y un , que son dos rectos, mide .ángulo recto 90º ángulo llano 180º
El instrumento que se emplea para medir ángulos es el semicírculo graduado o transportador. Enla siguiente actividad puedes medir ángulos con uno simulado.
Practica
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Operaciones con ángulos
Suma de ángulos ¿Cómo se hace?
Para sumar dos ángulos gráficamente, secolocan consecutivos y el ángulo resultantees la suma.
Resta de ángulos
Para restar dos ángulos se colocan elángulo sustraendo con un lado común alminuendo y hacia el interior.
Producto por un número
El producto de un ángulo por 2, 3, 4, ... esotro ángulo de amplitud doble, triple,cuádruple, etc.
Dividir un ángulo en partes iguales
El resultado de dividir un ángulo para 2, 3,4, ... es otro ángulo de amplitud la mitad, latercera parte, etc.
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22°59'mide
queelqueamplituddobletieneánguloElf)
mide45°23'decomplementarioánguloEle)
es32°26'52"y25°34'16"desumaLad)
midepartecadaigualespartes8enllanoánguloundividirAlc)
segundosson12°12'6"b)
escomplejaformaen11360"ánguloEla)
3° 9' 2043926"22° 30'
58° 1' 8"44926"45° 58'
44° 37'44° 57'23,5°
Completa
El ángulo que mide 11011' es cóncavo
La mitad del ángulo de 73°26'40
El ángulo suplementario de 56°34' mide 33°26'
A las diez en punto las agujas del reloj forman un ángulo de30°
Verdadero Falso
Verdadero o falso
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Mediatriz de un segmento
La de un segmento es la recta perpendicular a éste por su . Se dibujamediatriz punto mediocómo puedes ver en la animación, fíjate que al dibujarla queda determinado también el puntomedio del segmento.
Del Banco de Imágenes del ITE (Ministerio de Educación)
La de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales. Fíjate como se traza.bisectriz
Del Banco de Imágenes del ITE (Ministerio de Educación)
1.3. Dibujando puntos y rectas
Paralela a una recta por un punto
Dada una recta, , y un punto exterior a ella, hay sólo una recta que pasando por sea r P P paralelaa . En la imagen puedes ver cómo se dibujan paralelas con la escuadra y el cartabón, y en laranimación otra forma de trazarla.
Banco de Imágenes del ITE (Ministerio de Educación)
Perpendicular a una recta desde un punto
Dada una recta, , y un punto exterior a ella, también hay sólo una recta que pasando por sea r P P a . Fíjate en la imagen y en la animación cómo se traza.perpendicular r
Banco de Imágenes del ITE (Ministerio de Educación)
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2. Polígonos
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A
F
B
E
C
D
De las figuras planas de la imagen selecciona las que son polígonos.
Elige las correctas
Una es una serie de segmentos unidos delinea poligonalforma que cada uno empieza donde acaba el anterior.
Una línea poligonal puede ser o . Si esabierta cerradacerrada delimita un polígono.
Se llama a la porción del plano limitada porpolígonosegmentos rectilíneos.
En todo polígono distinguimos:
Los , cada uno de los segmentos que limitanladosel poligono.
Los , puntos en los que unen dos lados.vértices
Los , formados por dos lados contíguos delángulospolígono. Consideraremos los ángulos interiores alpolígono.
Las , segmentos que unen dos lados nodiagonalesconsecutivos de un polígono.
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Clases de polígonos
Cóncavos y convexos
Un polígono se dice que escóncavo si tiene algún ángulocóncavo, es decir mayor de180º. Es convexo si tiene todossus ángulos convexos.
Un polígono convexo, medianteuna línea recta, sólo se puededividir en dos partes. Unpolígono cóncavo se puededividir mediante una línea rectaen más de dos partes.
Escena adaptada de ed@d
Según los lados
Para poder formar un polígono se necesitan por lo menos tressegmentos.
Un polígono tiene el mismo número de lados que deángulos o de vértices.
Según el número de lados y de ángulos que tenga un polígonorecibe distintos nombres, según puedes ver en la tabla de laderecha. Los polígonos de más lados no tienen nombre especial,simplemente se les llama polígono de 17 lados, de 20 lados,...
Polígonos regulares o irregulares
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y sus ángulosiguales. Si sus lados o sus ángulos no nos todos iguales esirregular.
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2.1. Triángulos
Un es un polígono de lados. triángulo tres
Tres puntos A, B, C, no alineados determinan eltriángulo ABC.
En el triángulo ABC se distinguen:
Los tres A, B y C.vérticesLos tres A, B y C.ángulosLos tres a, b y c.lados
El lado sobre el que se apoya el triángulo es la , y la recta perpendicular a la base desde elbasevértice opuesto es la . Cada uno de los tres lados puede ser base del triángulo y a cada unoalturale corresponde una altura.
Dos de los triángulos:propiedades importantes
¿Cuánto suman los ángulos de untriángulo?En la animación puedes comprobar que losángulos de un triángulo siempre suman .180ºPuedes cambiar el triángulo arrastrando con elratón el vértice A.
De una escena de Javier de la Escosuraen "Geometría dinámica del triángulo"
¿Con tres segmentos cualesquierasiempre se puede formar un triángulo?Arrastra los puntos naranjas hasta hacerloscoincidir para formar el triángulo. Cambia losvalores de a, b y c en la escena y compruebaque . no siempre es posibleEn un triángulo la longitud de un lado debe sermenor que la suma de las longitudes de losotros dos.
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Clases de triángulos
Si se conocen los tres ángulos de un triángulo quedaperfectamente determinado y lo podemos dibujar.
En un triángulo isósceles los ángulos iguales miden 35º,por tanto el triángulo es obtusángulo
Los ángulos de un triángulo miden 31º, 47º y 102º
En un triángulo isósceles y rectángulo los ángulos agudosmiden 45º
Los lados de un triángulo miden 15 cm, 6 cm y 8 cm
Todo triángulo rectángulo es escaleno
Verdadero Falso
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
Verdadero o falso
Los triángulos se pueden clasificar atendiendo a sus lados o atendiendo a sus ángulos.
Atendiendo a sus pueden ser: lados
Equiláteros Isósceles Escalenos
Los tres lados iguales Dos lados iguales Los tres lados desiguales
Según sean sus pueden ser: ángulos
Acutángulos Rectángulos Obtusángulos
Los tres ángulos agudos Un ángulo recto (A=90º)Un ángulo obtuso(Areemplazo90º)
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Rectas y puntos notables de un triángulo
Las alturas y el ortocentro
Las rectas que son perpendiculares por el vértice opuesto acada uno de los lados, contienen las del triángulo.alturas
Las tres alturas se cortan en un punto llamado .ortocentro
Las medianas y el baricentro
Los segmentos que unen cada vértice con el punto mediodel lado opuesto son las del triángulo.medianas
Las tres medianas se cortan en un punto llamado . El baricentro es el centro de gravedadbaricentro
del triángulo.
Las mediatrices y el circuncentro
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular porsu punto medio. Si se trazan las mediatrices de cada uno delos lados también se cortan en un mismo punto.
Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado .El cincuncentro es el centro de lacircuncentro
circunferencia que pasa por los tres vértices deltriángulo, se llama circunferencia circunscrita.
Las bisectrices y el incentro
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dospartes iguales. Las bisectrices de cada uno de los ángulostambién se cortan en un punto.
Las tres bisectrices se cortan en un punto llamado . El incentro es el centro de la circunferenciaincentro
que es tangente a los tres lados, se llamacircunferencia inscrita.
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2.2. Cuadriláteros
Un es un polígono de lados.cuadrilátero cuatro
Cuatro puntos del plano determinan un cuadriláterosiempre que tres de ellos no estén alineados.
En el cuadrilátero ABCD distinguimos:
Los cuatro A, B, C y D. vérticesLos cuatro A, B, C y D.ángulosLos cuatro a, b, c y d. ladosLas dos , AC y BD.diagonales
¿Cuánto suman los ángulos de un cuadrilátero?
Observa la figura y fíjate en que la diagonal divide alcuadrilátero en dos triángulos, y los ángulos de cadatriángulo suman 180º, luego los ángulos del cuadriláterosuman:
180º + 180º = 360º
Clases de cuadriláteros
Los cuadriláteros se clasifican según tengan sus lados paralelos o no.
Lados paralelos dos a dos Dos lados paralelos Ningún lado paralelo a otro
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Paralelogramos
Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
Los trapecios tienen sólo dos lados paralelos.
Un cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales essiempre un cuadrado.
Dos ángulos opuestos de un paralelogramo miden 60º y losotros dos miden 120º.
En todos los paralelogramos las diagonales miden lomismo.
En todos los paralelogtramos las dos diagonales se cortanen el punto medio.
Verdadero Falso
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
Verdadero o falso
Hay cuatro tipos de , según sean sus lados y ángulos iguales o distintos:paralelogramos
Lados y ángulosiguales
Los cuatro ángulosson iguales (90º)
Los cuatro ladosson iguales
Lados y ángulosdistintos
En todos los se cumple:paralelogramos
Los lados opuestos son iguales.Los ángulos opuestos son iguales.Los ángulos consecutivos son suplementarios (suman180º).Los dos triángulos en que lo divide cada diagonal soniguales.Las diagonales se cortan en el punto medio.
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2.3. Polígonos regulares
Un es si tiene todos los lados iguales ypolígono regulartodos los ángulos iguales
En un polígono regular se distinguen, además de los vértices,los ángulos y los lados, los siguientes elementos:
El , punto que equidista de todos los vértices.centroEl , segmento que une el centro con un vértice.radioLa , segmento que une el centro con el puntoapotemamedio de un lado. Observa que apotema y lado sonperpendiculares.
Los polígonos regulares de tres lados son los y los de cuatro lados son los triángulos equiláteros. A partir de cinco lados se añade a su nombre el adjetivo : cuadrados "regular" pentágono regular,
exágono regular, ... etc.
Ángulos de un polígono regular
El es el formado por dosángulo centralradios consecutivos. Mide donde 360º/n nes el número de lados del polígono.
Ángulo interior es el formado por doslados consecutivos, es suplementario delángulo central, es decir entre los dossuman 180º.
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Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
4. La circunferencia y el círculo
En los apartados anteriores has estudiado lasfiguras planas limitadas por segmentos, esdecir, por trozos de líneas rectas, en este vas aver una linea curva, la y elcircunferenciarecinto plano limitado por la circunferencia, el
.círculo
Una es la linea formada porcircunferenciatodos los puntos que están a la mismadistancia de otro punto llamado . centro
El es la región del plano limitada porcírculouna circunferencia.
El segmento que une el centro con unocualquiera de los puntos de la circunferencia esel . Además del radio, distinguimos otrosradioelementos en la circunferencia.
Elementos de la circunferencia
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r=3 cm, r'=2 cm, d=1 cm
r=6 cm, r'=2 cm, d=3 cm
r=3 cm, r'=2 cm, d=5 cm
r=6 cm, r'=4 cm, d=7 cm
r=4 cm, r'=2 cm, d=7 cm
r=6 cm, r'=4 cm, d=2 cm
De entre las siguientes parejas de circunferencias, de radios respectivos r y r' y distancia dentre sus centros, selecciona las que son tangentes.
Elige las correctas
Una recta y una circunferencia pueden cortarse en dos puntos, sólo en uno o en ninguno. Se dirárespectivamente que son secantes, tangentes o exteriores.
EXTERIORES TANGENTES SECANTES
No se cortan Se cortan en un punto Se cortan en dos puntos
Posiciones relativas de dos circunferencias
Dos circunferencias también pueden cortarse en dos puntos ( ), en uno sólo ( ) osecantes tangentesen ninguno ( o , según una quede fuera o dentro de la otra).exteriores interiores
EXTERIORES INTERIORESTANGENTES
interioresTANGENTES
exterioresSECANTES
No se cortan Se cortan en un punto Dos puntos de corte
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4.1. Longitud de la circunferencia y área del círculo
Longitud de la circunferencia
Si haces el experimento de medir con un cordel distintas circunferencias, el contorno de un plato,de un DVD o de un vaso, observarás que la división entre la longitud y el diámetro de lacircunferencia, siempre da el mismo cociente, un poco más de 3.
Este número se representa con la letragriega , se lee "pi", y su valor esaproximadamente 3,14.
= 3,14...
Imagen tomada de wikipediaPara calcular la longitud de la circunferencia bastará multiplicar el diámetro por pi, y como eldiámetro es igual a dos veces el radio:
EJEMPLO La rueda de un coche tiene 30 cm de radio, ¿cuántos metros recorre al dar unavuelta?
Longitud de la circunferencia de radio 30 cm = 2··30
metros que recorre: 2·3,14·30 = 188,4 cm = 1,884 m
¿Cuántas vueltas dará al recorrer 1 km?1 km = 1000 m y una vuelta son 1,884 m
luego en 1000 m dará 1000:1,884 = 530,78 vueltas
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Área del círculo
Relaciona
En la escena de la derecha puedes ver un polígono regularinscrito en una circunferencia, aumenta el número de ladosdel polígono y fíjate que cuanto mayor sea el número delados más se aproxima su superficie a la del círculo. Poreso para calcular el área del círculo podemos considerar aéste como un polígono regular de infinitos lados.
Al sustituir, en la fórmula del área de un polígono regular,el perímetro por la longitud de la circunferencia y laapotema por el radio obtenemos el área del círculo:
EJEMPLOS El área de un círculo de 2 m de radio es: ·2= 3,14 · 4 = 12,56 m2 2
Una cabra está atada a un árbol en medio de un prado con una cuerda de 12 m delongitud, ¿cuál es el área del prado que se encuentra al alcance del animal?.
Es el área de un círculo de radio 12 m = ·122
3,14·12 = 3,14·144 = 452,16 m2 2
452,16 cm²
219,80 m
1,13 m²
37,68 m
La distancia que recorreuna rueda de una
bicicleta de diámetro 70cm, si da 100 vueltasLa superficie del tablero
de una mesa redonda de120 cm de diámetro
El recorrido del caballitode un tiovivo situado a 6
metros del centro.
La superficie de un discode 12 cm de radio.
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Las figuras circulares
Las partes de un círculo se llaman , fíjate en las siguientes:figuras circulares
SECTOR circular SEGMENTO circular CORONA circular TRAPECIO circular
Cada una de las partesdel círculo comprendidaentre dos radios y el arcocorrespondiente.
Cada una de las partesdel círculo comprendidaentre una cuerda y el arcocorrespondiente.
Región del planocomprendida entre doscircunferencias con elmismo centro.
Cada una de las partes deuna corona circularcomprendida entre dosradios.
Veamos cómo se calcula el área de dos de ellas, el y la :sector circular corona circular
Si se divide el círculo en 360 partes iguales se obtienen sectores de 1º de amplitud, el áreade cada uno de estos sectores es ·r²/360, luego el área de un sector circular de amplitud unángulo determinado será:
Para calcular el área de una corona circular se restan las áreas de los dos círculos que lacomponen:
EJEMPLOS ¿Cuál es el área de un sector circular de radio 8 cm y 60º de amplitud?Área que corresponde a un grado ·8 /3602
Área que corresponde a 60º 60··8 /360 = 3,14·64/6 = 33,49 cm2 2
¿Cuál es el área de una corona circular de radios 7 dm y 5 dm?Área del círculo mayor ·7 = 3,14·49 = 153,86 dm2 2
Área del círculo menor ·5 = 3,14·25 = 78,5 dm2 2
Área de la corona circular 153,86 - 78,5 = 75,36 dm ,2
o bien 3,14·(7 -5 ) = 3,14·(49-25) = 3,14 · 24 = 75,36 dm2 2 2
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