GEOMETRÍA DE LO IRREGULAR

"He encontrado la fuerza esencial de la geometría y temo que

nuestros jóvenes hayan sido privados

demasiado tiempo de este placer"

“¿Por qué se suele decir que la Geometría es fría y áspera? En parte, por su incapacidad para describir la forma de una nube, de una montaña, de una costa o de un árbol. Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, …

No es que la Naturaleza exhiba un grado mayor de complejidad, sino que presenta un nivel completamente diferente de complejidad”.

(B. Mandelbrot, 1977).

Mandelbrot desarrolló la GEOMETRÍA FRACTAL, término acuñado por él, que designa objetos geométricos de estructura irregular presentes en muchos comportamientos y formas de la naturaleza

Rasgos característicos

• La simplicidad de su construcción.

• La aparente complejidad del producto final.

Antecedentes de los fractales

• Construcciones intuitivas:

• El conjunto de Cantor.

• Curvas continuas de propiedades sorprendentes : curva de Koch, curva de Hilbert…

El conjunto de Cantor

(1845-1918)

El conjunto de Cantor

• Fue descrito en 1883 por George Cantor, pero fue mencionado en 1875 (posiblemente antes) por el matemático irlandés Henry Shmith.

El conjunto de Cantor• Se parte de un segmento de longitud 1• Se divide el segmento inicial en tres partes iguales • Se elimina la parte central• Se repite el proceso sobre cada segmento obtenido

Curva de Koch

(1870-1924)

Curva de Koch

Es una curva del

Plano, continua en

todos sus puntos y no diferenciable en ninguno

Curva de Koch

• Se parte de un segmento de lado 1.

• Se divide el segmento en 3 partes iguales.

• Se elimina el segmento central.

• Se sustituye por dos segmentos con ángulo 60º.

• Se repite el proceso ilimitadamente.

Isla de Koch

La construcción de La construcción de la isla de Koch la isla de Koch comienza con un comienza con un triángulo equilátero, triángulo equilátero, al que aplicamos un al que aplicamos un algoritmo análogo al algoritmo análogo al descrito para la descrito para la curva, a cada uno curva, a cada uno de sus lados.de sus lados.

Longitud

En la etapa k disponemos de 3∙4k segmentos, de longitud 3-k cada uno de ellos. Así, la longitud total de la curva en esa etapa es   3∙(4/3)k . 

Es evidente que esta cantidad crece indefinidamente cuando k→∞

Área

Si designamos con Δ el área del triángulo de partida, el área de la figura obtenida en la etapa k se escribe

     

cuyo límite, cuando k→∞, es

1

0

1 413 9

ik

ki

A

8

5

La curva de Hilbert

(1862-1943)

La curva de Hilbert

La curva de Hilbert pertenece a un tipo de curvas que pasan por todos los puntos de un cuadrado de lado la unidad

La curva de Hilbert

Es una curva del plano,continua en todos los puntos, no diferenciable en ningúno y de longitud infinita.

Fractales autosemejantes

1) Cada una de sus partes es semejante al todo, repitiéndose este proceso indefinidamente.

2) Su estructura, forma y características permanecen constantes al variar la escala de observación

Triángulo de Sierpinski

(1882-1969)

Triángulo de Sierpinski

• Se parte de un triángulo equilátero T0, de lado unidad.

• Se halla el punto medio de cada lado de T0.

• Se unen dichos puntos dando lugar a triángulos semejantes a T0, de lado 1/2

• Se elimina el triángulo central.

• Se repite el proceso ilimitadamente sobre cada uno de los triángulos obtenidos.

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Contemos y midamos

En el paso k-ésimo, F, tendrá 3k triángulos con:

Longitud del lado:

Altura: 1 3

2 2

k

1

2

k

Área

• Si definimos el área de F como la suma de las áreas de todos los triángulos que componen F, este conjunto tiene área :

• Que es cero, cuando

1 1 3( ) 3

2 2 2

kkkA F

k

Longitud

• Definimos la longitud de F como la suma de los perímetros de todos los triángulos que componen F, este conjunto tiene longitud :

• Que es infinita cuando

1( ) 3 3

2

kkL F

k

Semejanzas

• Transformaciones ortogonales

• Homotecias

• Composición de transformaciones ortogonales con homotecias

Conjuntos semejantes

• F y F’ son semejantes si existe una semejanza que transforme F en F’

Conjuntos autosemejantes

Un conjunto F del plano es autosemejante si existen semejanzas g1,…,gn de razones k1 ,…,kn menores que uno tales que

1( ) ... ( )nF g F g F

Triángulo de Sierpinski

Las semejanzas que dan lugar al triángulo de Sierpinski T1

• Homotecias de razón ½ con centro en en cada uno de los vértices del T0

T0

T1

1 1 0 2 0 3 0( ) ( ) ( )T g T g T g T

Dimensión de Haussdorf

Para un conjunto autosemejante del plano,

con g1,…,gn semejanzas de razones k1 ,…,kn menores que uno, definimos la dimensión de Haussdorf de F como la solución de la ecuación

1( ) ... ( )nF g F g F

1 ... 1d dnk k

Dimensión de Haussdorf

Si las razones de semejanzas son todas iguales a k entonces la dimensión es

log

log

nk

k

Dimensión fractal

• Conjunto de Cantor: log2/log3=0,62093

• Triángulo de Sierpinski: log3/log2=1,58496

• Curva de Koch: log4/log3=1,262

Mandelbrot estudió la convergencia y la divergencia de procesos iterativos en el plano complejo

donde c es un determinado número fijo. Partiendo del cero como número inicial, la serie generada por este método puede ser convergente o divergente, y eso dependerá del número c

21n nz z c

Conjunto de Mandelbrot

Conjunto de Mandelbrot

Al representar los distintos valores de c, coloreados según las serie converja o diverja, obtenemos el conjunto de Mandelbrot

Conjunto de Mandelbrot

Están representados en negro todos los valores posibles de c que dan lugar a series convergentes y en otros colores los valores que causan divergencia, variando la tonalidad del color según la velocidad de divergencia.

¿Qué es un fractal?

Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications” (John Wiley and Sons, 1990), describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1) “F” posee detalle a todas las escalas de observación.

(2) No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente.

(3) “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística.

(4) La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica.

(5) El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

Arquitectura fractal

H. Vöth

Espiral aúrea

Water cubo, Libeskind