Geometria Analityczna w Przestrzeni

Algebra

Geometria Analityczna w Przestrzeni

Aleksander Denisiuk

[email protected]

Polsko-Japonska Wyzsza Szkoła Technik Komputerowych

Wydział Informatyki w Gdansku

ul. Brzegi 55

80-045 Gdansk

Algebra – p. 1/25

Geometria Analityczna w Przestrzeni

Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna jest pod adresemhttp://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Algebra – p. 2/25

http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Afiniczny układ współrzednych w przestrzeni

• Wybierzmy dowolny punkt O, poczatek układu

• Przez ten punkt poprowadzmy trzy niekomplanarne proste:Ox, Oy, Oz, osie współrzednych

• Płaszczyzny współrzednych Oxy, Oxz, Oyz

• Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednioe1, e2, e3 —baze.

• Dla kazdego punktu A wektor−→OA ma jednoznaczne

przedstawienie−−→OX = xe1 + ye2 + ze3

◦ liczby x, y, z —współrzedne punktu A

• układ jest prawym (dodatnim), jezeli (e1e2e3) > 0

• układ jest lewym (ujemnym), jezeli (e1e2e3) < 0

• kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy,nazywaja sie dodatnimi. Kierunki przeciwne —ujemnymi

Algebra – p. 3/25

Układ współrzednych kartezjanskich

• Układ współrzednych nazywa sie kartezjanskim, jezeli

◦ osie sa wzajemnie prostopadłe

◦ wektory e1, e2, e3 sa jednostkowe (maja jednostkowadługosc).

• Dalej w prezentacji prawie zawsze układ bedzie prawymkartezjanskim układem

• Dla wektorów bazy układu kartezjanskiego czasami stosujesie oznaczenia i, j, k

Algebra – p. 4/25

Podział odcinka w danym stosunku

• Dane sa dwa punkty A1(x1, y1, z1) oraz A2(x2, y2, z2)

• Znalezc punkt A(x, y, z), który dzieli odcinek A1A2

w stosunku λ1 : λ2

◦ λ2

−−→A1A− λ1

−−→AA2 = 0

◦ −→OA = λ2

−−→OA1+λ1

−−→OA2

λ1+λ2

◦ x = λ2x1+λ1x2

λ1+λ2

, y = λ2y1+λ1y2

λ1+λ2

, z = λ2z1+λ1z2λ1+λ2

.

• wzory sa prawidłowe w kazdym układzie

Algebra – p. 5/25

Odległosc miedzy punktami

• Dane sa dwa punkty A1(x1, y1, z1) oraz A2(x2, y2, z2)

◦ |A1A2|2 =−−−→A1A2

2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2 + (z1 − z2)2

• wzory sa prawidłowe tylko w układzie kartezjanskim

Algebra – p. 6/25

Pole trójkata

• Dane sa trzy punkty A1(x1, y1, 0), A2(x2, y2, 0) oraz

A3(x3, y3, 0)

◦ −−−→A1A2 ×

−−−→A1A3 =

∣

∣

∣

∣

∣

x2 − x1 y2 − y2

x3 − x1 y3 − y1

∣

∣

∣

∣

∣

k

◦ P (A1A2A3) =1

2

∣

∣

∣

∣

∣

x2 − x1 y2 − y2

x3 − x1 y3 − y1

∣

∣

∣

∣

∣

Algebra – p. 7/25

Objetosc czworoscianu

• Dane sa cztery punkty A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2),A3(x3, y3, z3) oraz A4(x4, y4, z4)

◦ P (A1A2A3) =1

6

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x2 − x1 y2 − y2 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z2 − z1

x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Algebra – p. 8/25

Równanie powierzchni

• f(x, y, z) = 0 równanie niejawne

•

x = f1(u, v),

y = f2(u, v),

z = f3(u, v)

równanie parametryczne

◦ Sfera (x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = R2

◦ Walec:

•

x = R cosu

y = R sin u,

z = v

• x2 + y2 = R2

Algebra – p. 9/25

Równanie krzywej

•{

f1(x, y, z) = 0,

f2(x, y, z) = 0równanie niejawne

•

x = f1(t),

y = f2(t),

z = f3(t)

równanie parametryczne

◦ Okrag

{

(x− a1)2 + (y − b1)

2 + (z − c1)2 −R2

1 = 0,

(x− a2)2 + (y − b2)

2 + (z − c2)2 −R2

2 = 0.

• Punkty przeciecia — rozwiazania układów równan

Algebra – p. 10/25

Zmiana układu współrzednych

• Niech dane beda dwa ogólne układy współrzednych:

(O, e1, e2, e3) oraz (O′, e′1, e′2, e

′3)

• Punkt A ma współrzedne (x, y, z) wzgledem jednego układu

oraz (z′, y′, z′) wzgledem drugiego.

• Wektory (e1, e2, e3) maja jednoznaczne rozłozenie po

bazie (e′1, e′2, e

′3):

e1 = a11e′1 + a12e

′2 + a13e

′3,

e2 = a21e′1 + a22e

′2 + a23e

′3,

e2 = a31e′1 + a32e

′2 + a33e

′3.

• Punkt O w nowym układzie ma współrzedne (x0, y0, z0).

• Wówczas

x′ = a11x+ a21y + a31z + x0,

y′ = a12x+ a22y + a32z + y0,

z′ = a13x+ a23y + a33z + z0.


Zmiana kartezjanskiego układu współrzednych

• Jezeli obydwa układy sa kartezjanskie, to współczynniki aijspełniaja warunki

a211 + a212 + a213 = 1, a11a21 + a12a22 + a13a23 = 0,

a221 + a222 + a223 = 1, a11a31 + a12a32 + a13a33 = 0,

a231 + a232 + a233 = 1, a21a31 + a22a32 + a23a33 = 0.

• I odwrotnie


Równanie płaszczyzny

• Niech dany bedzie kartezjanski układ współrzednych.

• Niech A(x0, y0, z0) bedzie punktem na płaszczyznie.

• Niech n = (n1, n2, n3) bedzie wektorem, prostopadłym dopłaszczyzny

• Wtedy kazdy punkt płaszczyzny spełnia równanien1(x− x0) + n2(y − y0) + n3(z − z0) = 0

• W kazdem układzie współrzednych równanie płaszczyznyjest liniowe: ax+ by + cz + d = 0

• Odwrotnie: kazde liniowe równanie (a2 + b2 + c2 6= 0)okresla płaszczyzne.


Połozenie wzgledem układu współrzednych

• a = b = 0 — równoległa do Oxy (zgadza sie przy d = 0).

• b = c = 0 — równoległa do Oyz (zgadza sie przy d = 0).

• a = c = 0 — równoległa do Oxz (zgadza sie przy d = 0).

• a = 0, b 6= 0, c 6= 0 — równoległa do Ox (przechodzi przezOx przy d = 0).

• a 6= 0, b = 0, c 6= 0 — równoległa do Oy (przechodzi przezOy przy d = 0).

• a 6= 0, b 6= 0, c = 0 — równoległa do Oz (przechodzi przezOz przy d = 0).

• d = 0 — przechodzi przez poczatek układu współrzednych

• d 6= 0 ⇒ xα+ y

β+ z

γ= 1


Równanie normalne płaszczyzny

• Punkt A0(x0, y0, z0) nalezy do płaszczyzny ⇐⇒ax0 + by0 + cz0 + d = 0

• Niech punkt nie nalezy do płaszczyzny.

◦ Niech A1(x1, y1, z1) bedzie podstawa prostopadłej,poprowadzonej z A0 na płaszczyzne

◦ ax0 + by0 + cz0 + d =

a(x0−x1)+ b(y0−y1)+ c(z0−z1)+d = n ·−−−→A1A0 = ±|n|δ,• n = (a, b, c) jest normala do płaszczyzny• δ jest odległoscia płaszczyzny od punktu

◦ ax0 + by0 + cz0 + d ma znak plus po jednej stronie odpłaszczyzny i minus — po drugiej

◦ δ = |ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2

• Jesli a2 + b2 + c2 = 1, równanie płaszczyzny nazywa sienormalnym


Wzjaemne połozenie dwóch płaszczyzn

• Niech dane beda dwie płaszczyzny:a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 oraz a2x+ b2y + c2z + d2 = 0

• Płaszczyzny sa równoległe (lub sie pokrywaja) ⇐⇒a1

a2

= b1b2

= c1c2

• Płaszczyzny sa prostopadłe ⇐⇒ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

• Niech θ bedzie katem miedzy płaszczyznami. Wtedy

cos θ = a1a2+b1b2+c1c2√a2

1+b2

1+c2

1

√a2

2+b2

2+c2

2


Wzjaemne połozenie trzech płaszczyzn

• Niech dane beda trzy płaszczyzny: a1x+ b1y + c1 + d1 = 0,a2x+ b2y + c2 + d2 = 0 oraz a3x+ b3y + c3 + d3 = 0

• Płaszczyzny maja jeden wspólny punkt ⇐⇒∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6= 0

• jezeli

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0, to płaszczyzny sa równowegłe do

niektórej prostej.


Równanie prostej

• Prosta jest przecieciem dwóch płaszczyzn

{

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0

a2x+ b2y + c2z + d2 = 0(1)

• Niech dany bedzie punkt A0(x0, y0, z0) na prostej, oraz

niezerowy wektor e = (k, l,m), równoległy prostej. Wtedy

dla dowolnego punktu A(x, y, z) wektory e oraz−−→A0A beda

równoległe:

◦ x−x0

k= y−y0

l= z−z0

m— równanie kanoniczne prostej

◦ równanie kanoniczne jest szczególowym przypadkiemrównania 1

◦ równanie kanoniczne nie jest okreslono jednoznacznie

• Równanie prostej ma taka postac w dowolnym afinicznymukładzie współrzednych


Równanie parametryczne prostej

• x−x0

k= y−y0

l= z−z0

m

•

x = x0 + kt,

y = y0 + lt,

z = z0 +mt.


Połozenie prostej wzgledem układu współrzednych

•

x = x0 + kt,

y = y0 + lt,

z = z0 +mt.

◦ k = 0 — równoległa do płaszczyzny Oyz

◦ l = 0 — równoległa do płaszczyzny Oxz

◦ m = 0 — równoległa do płaszczyzny Oxy

◦ k = l = 0 — równoległa do Osi Oz

◦ k = m = 0 — równoległa do Osi Oy

◦ l = m = 0 — równoległa do Osi Ox


Wzajemne połozenie prostej i płaszczyzny

• ax+ by + cz + d = 0

• x−x0

k= y−y0

l= z−z0

m

◦ równoległe ⇐⇒ ak + bl + cm = 0• jezeli ponadto ax0 + by0 + cz0 + d = 0, to prosta lezy

na płaszczyznie

◦ prostopadłe ⇐⇒ ak= b

l= c

m

•{

a1x+ b2y + c1z + d1 = 0,

a2x+ b2y + c2z + d2 = 0,

◦ k =

∣

∣

∣

∣

∣

b1 c1

b2 c2

∣

∣

∣

∣

∣

, l = −∣

∣

∣

∣

∣

a1 c1

a2 c2

∣

∣

∣

∣

∣

, m =

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1

a2 b2

∣

∣

∣

∣

∣

.


Wzajemne połozenie dwóch prostych

• x−x0

k= y−y0

l= z−z0

m

• x−x′

0

k′= y−y′

0

l′= z−z′

0

m′

◦ równoległe ⇐⇒ kk

′= l

l

′= m

m′

• jezeli ponadtox0−x′

0

k′= y0−y′

0

l′= z0−z′

0

m′, to proste sie

pokrywaja

• prostopadłe ⇐⇒ kk′ + ll′ +mm′ = 0

• kat miedzy prostymi:

cos θ =kk′ + ll′ +mm′

√k2 + l2 +m2

√k′2 + l′2 +m′2


Podstawowe zadania na prosta i płasczyzne

• Płaszczyzna przechodzaca przez punkt (x0, y0, z0):a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0

• Prosta przechodzaca przez punkt (x0, y0, z0):x−x0

k= y−y0

l= z−z0

m

• Prosta przechodzaca przez dwa punkty (x0, y0, z0)

oraz (x1, y1, z1):x−x0

x1−x0

= y−y0

y1−y0

= z−z0z1−z0

• Płaszczyzna przechodzaca przez trzy punkty (x0, y0, z0),(x1, y1, z1) oraz (x2, y2, z2):

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x− x0 y − y0 z − z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0


Podstawowe zadania na prosta i płasczyzne, cd

• Płaszczyzna przechodzaca przez punkt (x0, y0, z0)i równoległa do danej płaszczyzny ax+ by + cz + d = 0:a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0

• Prosta przechodzaca przez punkt (x0, y0, z0) i równoległa do

danej prostejx−x′

0

k= y−y′

0

l= z−z′

0

m: x−x0

k= y−y0

l= z−z0

m

• Prosta przechodzaca przez punkt (x0, y0, z0) i prostopadłado danej płaszczyzny ax+ by + c+ d = 0:x−x0

a= y−y0

b= z−z0

c

• Płaszczyzna przechodzaca punkt (x0, y0, z0) i prostopadła

do danej prostejx−x′

0

k= y−y′

0

l= z−z′

0

m:

k(x− x0) + l(y − y0) +m(z − z0) = 0


Płaszczyzna rónoległa do dwóch prostych

• Płaszczyzna przechodzaca przez punkt (x0, y0, z0)

i równoległa do danych prostychx−x′

0

k1

= y−y′

0

l1= z−z′

0

m1

orazx−x′′

0

k2

= y−y′′

0

l2= z−z′′

0

m2

:

(x− x0)

∣

∣

∣

∣

∣

l1 m1

l2 m2

∣

∣

∣

∣

∣

− (y − y0)

∣

∣

∣

∣

∣

k1 m1

k2 m2

∣

∣

∣

∣

∣

+ (z − z0)

∣

∣

∣

∣

∣

k1 l1

k2 l2

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

czyli∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x− x0 y − y0 z − z0

k1 l1 m1

k2 l2 m2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0


Documents

Geometria Analityczna w Przestrzeni